2020年高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算学案新人教A版必修.doc

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高中数学指数函数指数与指数幂的运算说课稿1新人教A版必修

2.1 指数函数在初中的学习中，学生已经掌握了整数指数幂的概念及其运算性质.本节内容在组织学生回顾平方根、立方根的基础上，类比出一个正数的n 次方根定义，进而将指数推广到分数指数，从而完成了指数由整数指数到有理数指数的一次推广，在利用多媒体演示对无理数与无理数指数幂的近似推广，完成了指数由有理数指数到实数指数的二次推广，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂，使学生对指数幂的概念以及运算性质有了一个比较完整的认识，同时也为研究指数函数作好了知识上的准备.根式的概念是教学中的难点，教材中通过复习平方根、立方根的定义，然后类比出n 次方根的定义.为了更好地分解这一难点，教学中应放慢速度，多举几个具体的例子，帮助学生理解，并在此基础上类比出n 次方根的一般定义与性质.方根的性质实际上是平方根、立方根性质的推广，教学时，可以以平方根、立方根、四次方根为基础来加以说明，加深对这一性质的理解.分数指数是指数概念的又一次推广，分数指数概念是教学中的又一个难点.教学中应多举实例让学生理解分数指数幂的意义，明确分数指数幂表示的是根式的一种新的写法，并通过根式和分数指数幂的互化来巩固、加深对这一概念的理解.由于学过负整数次幂，正分数次幂引入后，学生不难理解负分数次幂的意义，因此，教学中可以放手让学生自己得出.在掌握了有理数指数幂的基础上，利用多媒体演示对无理数与无理数指数幂的近似推广，从而直观形象地给出了有理数指数幂的运算性质也可以推广到无理数.有了把指数范围扩充到实数范围内的知识上的准备，又有前面所学的对函数概念和性质的系统学习，顺理成章地引出了指数函数概念、怎样作出指数函数图象、怎样研究指数函数的性质以及与其他函数结合的研究.教材是通过死亡后生物体内碳14含量与死亡年数的关系这样一个实际问题引入指数函数的，既说明指数函数的概念来自实践，认识到指数函数对实际生活的意义，也便于学生接受.但在教学中，学生往往容易忽略定义域，因此，在进行指数函数定义的教学时，既要明确其定义域，又要让学生去探索成立的条件，明确底数a 是一个大于零且不等于1的常数，这样既培养了学生掌握概念的能力，又锻炼了学生分析问题和处理问题的能力.在理解指数函数的定义的基础上掌握指数函数的图象和性质，是本节教学的重点，而理解底数a 的值对于函数值变化的影响（即对指数函数单调性的影响）是教学的一个难点.教学时为了帮助学生理解，可以充分利用图象.教学时可以先要学生在同一坐标系内画出函数y =2x 和y =（21）x 的图象，通过两个具体的例子，引导学生共同分析、归纳总结指数函数的性质.有条件的学校也可以利用《几何画板》等数学软件，定义变量a 作出函数y =a x 的图象，进而改变a 的值，使学生在动态变化的过程中理解指数函数的性质，认识规定底数a 是一个大于零且不等于1的常数的原因.2.1.1 指数与指数幂的运算（1）从容说课指数是学习指数函数的预备知识，初中学生已经学习了整数指数幂的概念及运算性质.为了讲解指数函数，需要把指数的概念扩充到有理数指数幂、实数指数幂；为了完成这个扩充，必须先学习分数指数幂的概念和运算性质，以及无理数指数幂的概念；为了学习分数指数幂的概念.首先要介绍根式的概念，本课主要学习根式的概念以及n次方根的性质.学生已经学习了数的平方根、立方根，根式的内容是这些内容的推广.因此，在引入根式的概念时要结合这些已学内容，列举多个具体例子以便学生理解.根式n a的讲解要分n是奇数和偶数两种情况来进行，每种情况中，都要分a＞0，a=0，a＜0三种情况介绍，并结合具体例子讲解，其中要强调n a（a＞0，n是偶数）表示一个正数，抓住这一点，理解n次方根的性质就容易了.当n是偶数时，n n a=|a|（因为n n a总是一个非负数），这是本课的一个难点，讲解时可先复习2a=|a|这一性质，并结合具体例子加以讲解，有助于学生理解n n a=|a|这一性质.三维目标一、知识与技能理解根式的概念，掌握n次方根的性质.二、过程与方法1.通过师生之间、学生与学生之间互相交流，使学生逐步学会共同学习.2.引导学生认真体会数学知识发展的逻辑合理性、严谨性，做一个具备严谨科学态度的人.3.通过探究、思考，培养学生思维迁移能力和主动参与的能力.三、情感态度与价值观1.新知识的发现是因为面临的问题以原有的知识得不到解决所引发出来的思考，通过学习根式的概念，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神.2.在教学过程中，通过学生的自主探索，来加深理解n次方根的性质，具有探索能力是学习数学、理解数学、解决数学问题的重要方面.教学重点1.根式的概念.2.n次方根的性质.教学难点1.根式概念的理解.2.n次方根性质的理解.教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业.教学过程一、创设情景，引入新课师：你们知道考古学家是怎样来判断生物的发展与进化的吗？生：对生物体化石的研究.师：那么他们是怎样来判断该生物体所处的年代的?你们知道吗?（众生摇头）师：考古学家是按照这样一个规律来推测的.问题：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系，这个关系式应该怎样表示呢?我们可以先来考虑这样的问题：当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，…年后，它体内碳14的含量P 分别为原来的多少? 生：21，（21）2，（21）3，…. 师：当生物体死亡了6000年，10000年，100000年后，它体内碳14的含量P 分别为原来的多少? 生：（21）57306000，（21）573010000，（21）5730100000.师：由以上的实例来推断关系式应该是什么?生：P =（21）5830t . 师：考古学家根据上式可以知道，生物死亡t 年后，体内碳14含量P 的值.那么这些数（21）57306000，（21）573010000，（21）5730100000的意义究竟是什么呢？它和我们初中所学的指数有什么区别?生：这里的指数是分数的形式.师：指数可以取分数吗?除了分数还可以取其他的数吗?我们对于数的认识规律是怎样的?生：自然数——整数——分数（有理数）——实数.师：指数能否取分数（有理数）、无理数呢？如果能，那么在脱离开上面这个具体问题以后，关系式P =（21）5830t就会成为我们后面将要相继研究的一类基本初等函数——“指数函数”的一个具体模型.为了能水到渠成地研究指数函数，我们有必要认识一下指数概念的扩充和完善过程，这就是我们下面三节课将要研究的内容：分数指数幂（有理数指数幂）、无理数指数幂.（引入课题，书写课题——指数与指数幂的运算）二、讲解新课（一）探求n 次方根的概念师：32=9，那么，在这个等式中3对于9来说，扮演着什么角色？9对于3来说又扮演着什么角色呢?生：9叫做3的平方数，3叫做9的平方根.师：若53=125，那么125对于5来说，扮演着什么角色？5对于125来说又扮演着什么角色呢?生：125是5的立方数，5是125的立方根.师：如果x 2=a ，那么x 对于a 来说扮演着什么角色？生：x 是a 的平方根.师：能否用一句话描述你的结论？生：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根. 师：如果x3=a，那么x对于a来说又扮演着什么角色？生：x是a的立方根.师：能换一种说法表述你的结论吗？生：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根.师：如果x4=a，x5=a，又有什么样的结论呢？生：如果一个数的四次方等于a，那么这个数叫做a的四次方根；如果一个数的五次方等于a，那么这个数叫做a的五次方根.师：①如果x2=a，那么x叫做a的平方根；②如果x3=a，那么x叫做a的立方根；③如果x4=a，那么x叫做a的4次方根.你能否据此得到一个一般性的结论？生：一般地，如果x n=a，那么x叫做a的n次方根.师：上述结论中的n的取值有没有什么限制呢？（生探索，完善n次方根的定义，并强调n的取值范围，师板书如下定义）一般地，如果x n=a，那么x叫做a的n次方根（n—th root），其中n＞1，且n∈N*.（二）概念理解课堂训练：试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根.（多媒体显示，生完成）（1）25的平方根是________；（2）27的三次方根是________；（3）－32的五次方根是________；（4）16的四次方根是________；（5）a6的三次方根是________；（6）0的七次方根是________.（师组织学生紧扣n次方根的定义，完成以上各题）方法引导：在n次方根的概念中，关键的是数a的n次方根x满足x n=a，因此求一个数a的n次方根，就是求出哪个数的n次方等于a.（三）n次方根的性质合作探究：观察并分析以上各数的方根，你能发现什么？（学生交流，师及时捕捉与如下结论有关的信息，并简单板书）1.以上各数的对应方根都是有理数；2.第（1）、第（4）的答案有两个，第（2）、第（3）、第（5）、第（6）的答案只有一个；3.第（1）题的答案中的两个值互为相反数.师：请仔细分析以上各题，你能否得到一个一般性的结论？（提供一个比较发散的问题，给学生提供广阔的思维空间，培养学生理性思维能力和数学的分析问题、解决问题的能力）生甲：一个数的奇次方根只有一个.生乙：一个数的偶次方根有两个，且互为相反数.师：是否任何一个数都有偶次方根？0的n次方根如何规定更合理？生：因为任何一个数的偶次方都是非负数，所以负数没有偶次方根，0的n次实数方根等于0.师：你能否把你所得到的结论再叙述的具体一些呢？（组织学生交流，得出以下结论）n次方根的性质实际上是平方根和立方根性质的推广，因此跟立方根和平方根的情况一样，方根也有如下性质：（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.这时，a 的n 次方根用符号n a 表示.（2）当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示.正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成±n a （a ＞0）.注：①负数没有偶次方根；②0的任何次方根都是0，记作n 0=0；③当a ≥0时，n a ≥0，所以类似416=±2的写法是错误的.（四）根式的概念式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 例如56叫做根式，其中5叫做根指数，6叫做被开方数.（五）n 次方根的运算性质求下列各式的值：（1）（5）2；（2）33)2(-；（3）44)2(-；（4）2)3(a -（a ＞3）.（生板演，师组织学生评析）解：（1）（5）2=5；（2）33)2(-=－2；（3）44)2(-=|－2|=2；（4）2)3(a -= |3－a |=a －3.师：上面的例题中涉及了哪几类问题? 生：主要涉及了（n a ）n 与n n a 的问题.合作探究：（1）（n a ）n 的含义是什么？其化简结果是什么呢？（2）n n a 的含义是什么？其化简结果是什么呢？（组织学生结合例题及其解答，进行分析讨论、归纳出以下结论）（1）（n a ）n =a .例如，（327）3=27，（532-）5=－32.（2）当n 是奇数时，n n a =a ；当n 是偶数时，n n a =|a |=⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a 例如，33)2(-=－2，552=2；443=3，2)3(-=|－3|=3. （六）例题讲解（生板演，师组织学生进行课堂评价）【例1】求下列各式的值：（1）（38-）3；（2）2)10(-；（3）44)π3(-；（4）2)(b a -（a ＞b ）.解：（1）（38-）3=－8；（2）2)10(-=10；（3）44)π3(-=π－3；（4）2)(b a -=|a －b |=a －b .【例2】化简下列各式：（1）681；（2）62)2(-；（3）1532-；（4）48x ；（5）642b a .解：（1）681=643=323=39；（2）62)2(-=622=32；（3）1532-=－1552=－32；（4）48x =442)(x =x 2；（5）642b a =622)|(|b a ⋅=32||b a ⋅.三、课堂练习1.若x ∈R ，y ∈R ，下列各式中正确的是A.44)(y x +=x +yB.33x －44y =x －yC.2)3(+x +2)3(-x =2xD.3-x +x -3=02.12--x x =12--x x 成立的条件是 A.12--x x ≥0 B.x ≠1 C.x ＜1 D.x ≥23.在①42)4(n -；②412)4(+-n ；③54a ；④45a （各式中n ∈N ，a ∈R ）中，有意义的是A.①②B.①③C.①②③④D.①③④4.当8＜x ＜10时，2)8(-x －2)10(-x =________.参考答案：1.D2.D3.B4.2x －18四、课堂小结师：请同学们互相交流一下你在本课学习中的收获.（生互相交流，而后由师多媒体显示如下内容）1.若x n =a （n ＞1，n ∈N *），则x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时，实数a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的n 次方根用符号±n a 表示，负数的偶次方根无意义.式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.2.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数；负数的奇次方根是一个负数.正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数；负数的偶次方根没有意义；0的任何次方根都是0.3.（1）（n a ）n =a .（2）当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n a =|a |=⎩⎨⎧<-≥.0,,0,a a a a 五、布置作业（一）复习课本第57～58页内容，熟悉巩固有关概念和性质；（二）书面作业：课本P 69习题2.1A 组第1题. 板书设计2.1.1 指数与指数幂的运算（1）一、基本概念和性质1.n 次方根的定义2.n 次方根的性质3.根式的定义4.n 次方根的运算性质二、例题解析即学生训练板演例1.求下列各式的值例2.化简下列各式目标检测评析布置作业。

2019-2020年高中数学指数与指数幂的运算教学案新人教A版必修1

2019-2020年高中数学指数与指数幂的运算教学案新人教A版必修1
学习目标:
1、了解指数函数模型的实际背景；
2、理解根式的意义、表示法，能对根式进行化简；
3、理解分数指数幂的意义、掌握根式与分数指数幂的互化。

学习重点:
1、根式的意义的扩展、分数指数幂的意义；
2、根式与分数指数幂的互化。

3、
学习难点:
根式与分数指数幂的互化。

教学过程:
一、自学导引
1、我们知道:是正整数指数幂，它们的值分别为
那么，的意义是什么呢?
2、阅读教材P49～P51
二、理解与检测
1、一般地，若，那么叫做，其中＞1，;
2、式子叫做根式，这里叫做，叫做；
3、规定: ，
= ，
4、求下列各式的值
⑴= ；⑵= ；⑶= ；
⑷= ；⑸= ；⑹= ；
5、求下列各式的值:
⑴= ; ⑵= ; ⑶= ;
6、疑惑摘
三、探究与思考、讨论
1、根式有意义的条件是什么?
2、是否相同?
四、训练与提高
1、()()3
334212122⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+----的值是( ) A 、 B 、8 C 、-24 D 、-8
2、化简: ；
3、计算:= ；
4、已知，求下列各式的值；
（1）（2）（3）
五、课堂点评与小结
六、作业:P59，习题2.1／1
.。

高中数学 2.1.1.1指数与指数幂的运算(1)导学案新人教A版必修1

四川省古蔺县中学高中数学必修一 2.1.1.1指数与指数幂的运算(1)导学案一、教学目标1.理解n 次方根与根式的概念；理解分数指数幂的概念2.正确运用根式运算性质化简、求值；掌握分数指数幂和根式之间的互化；分数指数幂的运算性质。

3.分类讨论思想，观察分析、抽象概括等的能力。

二、重难点1. 根式概念的理解与分数指数幂的理解；2. 运用根式与分数指数幂的运算性质。

三、课时学法指导（学习方法）从初中已经熟悉的平方根、立方根的概念入手，由特殊逐渐地过渡到一般的n 次方根的概念，有理指数幂的运算性质。

四、预习案（任务布置+自评、互评+反馈与评价）完成任务情况自评：学科组长评价： .1.任务布置：（1）阅读教材P47—51完成大聚焦课堂P23—24内容；（2）思考：①什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？你能由具体的例子推导a 的n 次方根吗？②类比平方根、立方根的概念，归纳出n 次方根的概念。

③类比平方根、立方根，猜想：当n 为偶数时，一个数的n 次方根有多少个？当n 为奇数时呢？（3）回顾初中时的整数指数幂及运算性质是：（4）观察教材P50分数指数幂下具体式子，并总结分数指数幂规律：2.存在问题:五、探究案(教学流程与探究问题)探究1：根式的概念问题1：根据下面的具体例子概括n 次方根的概念？如果x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根，例如±2是4的平方根；如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根，例如2是8的立方根；16)2(4=±，±2是16的4次方根；25＝32,2叫做32的5次方根；…… a n =2，……？问题2：若x 2＝a ，那么x 如何用a 表示呢？有关概念是？（P49）（1）教材P50探究如何回答？（2）结论：n 为奇数时，nn a ＝；n 为偶数时，n n a ＝＝（3）训练与反馈：教材P50—例1；探究2：分数指数幂的概念问题3：观察①②③例子，结果的指数与被开方数的指数、根指数有什么关系？1025a a===)0(>a；842a a===)0(>a；1234a a===)0(>a；1025a a===)0(>a23(0)a a==>；12(0)b b==>；54(0)c c==>③34343451515==-；结论：问题4：问题3的结论中，若没有“0>a”这个条件行不行？原因是探究3：课堂检测：1.p51——例2;2. p54——练习1、2六、训练案1. 教材P59——习题2.1A组——1、2题2. 大聚焦课堂P23—24内容3. 小聚焦课堂P12内容七、反思与小结1.2.3.古蔺中学高 2013 级数学导学案模块必修1 课题2.1.1指数与指数幂的运算（第2课时）课型：检查时间：月日学科组长评价：教师评价：一、教学目标 1. 掌握分数指数幂和根式之间的互化； 2. 理解有理指数幂的含义及其运算性质，并能进行化简，求值；理解无理数指数幂的概念； 3. 培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力。

2019-2020学年高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算(1)学案新人教A版必修1.doc

2019-2020学年高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算（1）学案新人教A 版必修1 学习目标1. 了解指数函数模型背景及实用性、必要性；2. 了解根式的概念及表示方法；3. 理解根式的运算性质.学习过程一、课前准备（预习教材）复习1：正方形面积公式为；正方体的体积公式为 .复习2：（初中根式的概念）如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的，记作；如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的，记作 .小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学.探究任务二：根式的概念及运算考察： 2(2)4±=，那么2±就叫4的；3327=，那么3就叫27的；4(3)81±=，那么3±就叫做81的 . 依此类推，若n x a =,，那么x 叫做a 的 .新知：一般地，若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >,n *∈N .简记：n a . 例如：328=，则382=.反思：当n 为奇数时, n 次方根情况如何？例如：3273=，3273-=-, 记：n x a =.当n 为偶数时，正数的n 次方根情况？例如：81的4次方根就是，记：n a ±.强调：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，即00n =.试试：4b a =，则a 的4次方根为；3b a =，则a 的3次方根为 .新知：像n a 的式子就叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数.试试：计算22(3)、334、(2)n n -.反思：从特殊到一般，()n n a 、n n a 的意义及结果？结论：()n n a a =. 当n 是奇数时，n n a a =；当n 是偶数时，(0)||(0)n n a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.※ 典型例题例1求下类各式的值：（1） 33()a -；（2） 44(7)-；（3）66(3)π-；（4） 22()a b -（a b <）.变式：计算或化简下列各式.（1）532-；（2）36a .推广：npn mp m a a = （a ≥0）.※ 动手试试练1. 化简526743642++---.练2. 化简6323 1.512⨯⨯.三、总结提升※ 学习小结1. n 次方根，根式的概念；2. 根式运算性质.※ 知识拓展1. 整数指数幂满足不等性质：若0a >，则0n a >.2. 正整数指数幂满足不等性质：① 若1a >，则1n a >；② 若01a <<，则01n a <<. 其中n ∈N *.学习评价※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 44(3)-的值是（）.A. 3B. －3C. ±3D. 812. 计算34a a -⨯和3(8)a +-，它们之间有什么关系？你能得到什么结论？3. 对比()n n n ab a b =与()nn n a a b b=，你能把后者归入前者吗？。

高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算导学案新人教A版必修1

2.1.1指数与指数幂的运算课前预习· 预习案【自主学习】1．次方根定义表示两个结论2．根式的概念及性质(1)概念：式子叫做根式，其中①根指数为：；②被开方数为： .(2)性质：① (且)；②3．分数指数幂的概念分数指数幂4．无理数指数幂(1)无理数指数幂，是无理数)是一个确定的 .(2)有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.5．有理数指数幂的运算性质(1) (，，).(2) (，，).(3) (，，). 【预习评价】1．9的平方根为A.±3B.±9C.3D.92．是实数，则下列式子中可能没有意义的是A. B. C. D.3．化为分数指数幂为A. B. C. D.4．已知，则 .5．计算： .6．计算： .知识拓展· 探究案【合作探究】1．次方根的定义定义中的取值范围是 .2．次方根的定义当为奇数时，在“且)”中，的实数值有几个？3．次方根的定义当为偶数时，在“且，)”中，的实数值有几个？4．根式的性质求值与化简中常用到与，那么它们的含义是什么？5．根式的性质成立吗？呢？6．根式的性质成立的条件是什么？7．根式与分数指数幂的互化根据公式，，且)观察互化公式，指出根式的根指数与被开方数分别对应分数指数幂的什么位置？8．根式与分数指数幂的互化根据公式，，且)请你根据所学知识思考上述互化公式是否适用于或?9．根式与分数指数幂的互化根据公式，，且)任何根式都能化成分数指数幂的形式吗？10．有理数指数幂的运算性质有理数指数幂的运算性质是否适用于或?11．有理数指数幂的运算性质公式，，)成立吗？请用有理数指数幂的运算性质加以证明，并说明是否要限制?【教师点拨】1．对与的两点说明(1)已暗含有意义，根据是奇数还是偶数可知的取值范围.(2)中的可以是全体实数，的值取决于是奇数还是偶数.2．对次方根的两点说明(l)次方根的存在：任何实数都存在奇次方根；负数没有偶次方根，非负数才存在偶次方根.(2)次方根的个数：任何实数的奇次方根只有一个；正数的偶次方根有两个，且互为相反数；零的次方根只有一个零.3．对有理数指数幂运算性质的两点说明(1)用分数指数幂进行根式运算，顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质计算.(2)结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.4．对分数指数幂与根式互化的两点说明(1)分数指数幂是指数概念的推广，分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新写法.(2)根式与分数指数幂本质上是具有相同意义的量，只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算.【交流展示】1．已知，则的四次方根可表示为 .2．-2013的五次方根是 .3．若，则化简的结果是 .4．化简：.5．设，将表示成分数指数幂，其结果是 .6．下列是根式的化成分数指数幂，是分数指数幂的化成根式的形式：(1). (2).7．化简的结果是A. B. C. D.8．化简： . 【学习小结】1．求解次方根的注意事项(l)当为大于1的奇数时，对任意有意义，它表示在实数范围内唯一的一个次方根.(2)当为大于1的偶数时，只有当时有意义，当时无意义，表示在实数范围内的一个次方根，另一个是.2．根式化简的依据及应遵循的三个原则(1)化简依据：①且)；②(2)遵循原则：①被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式.②被开方数是带分数的要化成假分数.③被开方数中不能含有分母；使用化简时，被开方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式.3．有条件根式化简的两个关注点(1)条件的运用：充分利用已知条件，确定所要化简的代数式中根式的根指数是奇数还是偶数，确定被开方数是正数还是负数.(2)讨论的标准：如果根式的被开方数不确定时，可依据题设条件对被开方数取正值、负值、零进行分类讨论，得出结论.4．根式与分数指数幂互化的关键与技巧(1)关键：解决根式与分数指数幂的相互转化问题的关键在于灵活应用公式，，，).(2)技巧：当表达武中的根号较多时，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简，提醒：对含有多个根式的化简，要注意每一步的等价性，特别要注意字母的取值范围.5．利用分数指数幂的运算性质化简、求值的方法技巧(1)有括号先算括号里的.(2)无括号先做指数运算.(3)负指数幂化为正指数幂的倒数.(4)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.【当堂检测】1．设，,，则，，的大小关系是A. B. C. D.2．若，则是 .3．计算下列各式：(1) .(2).(3) .4．下列是根式的化成分数指数幂，是分数指数幂的化成根式的形式(式中字母都是正数)：(1).(2).(3).(4).5．已知，求的值.答案课前预习· 预习案【自主学习】1．x(1)R(2)a≥0(1)负数(2)02．（1）①n②a(2)①a②a|a|3．(2)①②(3)①0 ②负4．(1)实数5．(1)a r+s(2)a rs(3)a r b r【预习评价】1．A2．C3．A4．5．6．－1知识拓展· 探究案【合作探究】1．定义中的n必须是大于1的正整数，即n＞1且n∈N*.答案n＞1且n∈N*2．因为一个正数的奇次方是正数，一个负数的奇次方是负数，且不同实数的奇次方不同，所以当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，故x的实数值只有一个.3．因为两个相反数的偶次方相等，所以当n为偶数时，正数的n次方根有两个，故x的实数值有两个.4．(1)表示实数的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n是奇数还是偶数的限制，a∈R.(2)表示实数a的n次方根的n次幂，其中a的取值范围由n是奇数还是偶数来定. 5．不一定成立，如，而成立.6．等式成立的条件是n为奇数，或n为偶数且a≥0.7．根式的根指数与被开方数指数分别对应分数指数幂的分母与分子.8．均不适用，原因如下：(1)若a＝0，0的正分数指数幂恒等于0，即无研究的价值.(2)若a＜0，不一定成立.如＝意义，故为了避免上述情况规定了a＞0.9．引入分数指数幂之后，任何有意义的根式都能化成分数指数幂，即(a＞0，m，n∈N*且n＞1).10．(1)若a＝0，因为0的负数指数幂无意义，所以a≠0.(2)若a＜0，(a r)s＝a rs，也不一定成立，如，所以a＜0不成立.因此不适用于a＝0或a＜0的情况.11．成立，且不需要限制m＞n.证明如下：.【交流展示】1．2．3．1－2a4．＝2+.5．6．(1). (2).7．C8．x z－2【当堂检测】1．D2．3．(1)－3 (2)π－3 (3)2.4 4．(1).(2).(3).(4)5．因为，所以。

高中数学2.1.1指数与指数幂的运算教案新人教A版必修1

数，负数没有 n 次方根。此时正数 a 的 n 次方根可表示为： n a (a 0)
其中 n a 表示 a 的正的 n 次方根， n a 表示 a 的负的 n 次方根。
例 3．根据 n 次方根的概念，分别求出 0 的 3 次方根， 0 的 4 次方根。解：因为不论 n 为奇数，还是偶数，都有 0n=0，所以 0 的 3 次方根， 0 的 4 次方根均为 0。
当 n 为奇数时，由 n 次方根定义得： a n a n
当 n 为偶数时，由 n 次方根定义得： a n an
则 |a | | n an | n an
综上所述： (n a) n
a, n为奇数 | a |， n为偶数
注意：性质②有一定变化，大家应重点掌握。（III ）例题讲解例 1．求下列各式的值：
am an
am
n
；又因为
( a )n 可看作 a m a n ，所以
b
(a)n b
an bn
可以归入性质
( ab) n
an bn (n ∈ Z) ） , 这是为下面学习分数指数幂的概念和性
高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算教案新人教 A 版必修 1
高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算教案新人教 A 版必修 1
质做准备。为了学习分数指数幂，先要学习
n 次根式（ n N * ）的概念。
（2）填空（ 3），（ 4）复习了平方根、立方根这两个概念。如：
22=4 ，（ -2 ）2=4
2
， -2 叫 4 的平方根
23=8
2 叫 8 的立方根；
（-2 ） 3=-8 -2 叫-8 的立方根
25=32
2 叫 32 的 5 次方根

高中数学2.1.1指数与指数幂的运算(1)学案新人教A版必修1

2.1.1 (1)指数与指数幕的运算(学生学案)内容：根式1、问题引入：(1)若x2a，则x叫a的__ 如：2是4的平方根一个正数的平方根有 _个，它们互为____________ 数；负数没有平方根；零的平方根是(2 )若X3a，则x叫a的__ 如：2是8的立方根，一2是一8的立方根。

一个正数的立方根是一个 _数，一个负数的立方根是一个 _数，0的立方根是 _(3)类比平方根、立方根的定义，你认为，一个数的四次方等于a，则这个数叫a的__________ ；一个数的五次方等于a，则这个数叫a的；一个数的六次方等于a，则这个数叫a的________________ ；……；一个数的n次方等于a , 则这个数叫a的_______ ；一般地，如果X a，则X叫a的n次方根，其中n 1且n N.问：(1) 16的四次方根是.32 的五次方根是—32的五次方根是(2)一个正数的n次方根有几个？一个负数的n次方根有几个？0的n次方根是多少？(给学生留点时间进行探究)得出结论：(1) 一个正数的偶次方根有两个，这两个数互为相反数；负数没有偶次方根。

(2) —个正数的奇次方根是一个正数，一个负数的奇次方根是一个负数。

(3) 0的任何次方根都是0。

n为奇数，a的n次方根有一个为2 a n为偶即a为正数：数，a的n次方根有两个为n'aa为负数：n为奇数，a的n次方根只有一个为v a n为偶数，a的n次方根不存在零的n次方根为零，记为n0 0注意：正数a的正的n次方根n a叫做a的n次算术根指出：式子n a叫做根式，这里n叫根指数，a叫被开方数。

探究1: (1) (亦)2=—；尺审)3= ____________ ；&16)4=—_(2)从(1)你有何发现？(3)(° a)" = a —定成立吗？为什么？得出结论：(n a)n= a探究2: ( 1) 3 33 = _____ ；3 ( 2)3 = ____ ；525 = _____ ；5 ( 3)5=.(2) 由(1)你发现了什么结论？(3) _______________________________________________________ 22=—；.32=—；424=—；4 34 = .2)2=—；、(—3)2= —；4(一2)4= —；4(一3)4= -------------------(4) 由(3)你发现了什么结论?由此得出：当n 是奇数时，n a n = a(5) (旷32)5 , (6)变式训练3：若. a 2 2a 1 a 1,求a 的取值范围。

新人教A版必修1高中数学2.1.1指数与指数幂的运算导学案

高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算导学案新人教A 版必修1学习目标：理解根式、分数指数幂、无理数指数幂、实数指数幂的定义学习重点：会应用运算性质进行根式、指数幂的运算计算学习过程：一、根式1、观察发现：422=中2叫做4的平方根，记作___； 4)2(2=-中2-叫做4的平方根，记作____823=中2叫做8的立方根，记作___；8)2(3-=-中2-叫做8-的立方根，记作___16)2(4=±中2±叫做16的4次方根，记作_________32)2(5-=-中2-叫做______________，记作_______64)2(6=±中2±叫做________________，记作________2、归纳总结：若a x n =，则x 叫做a 的_______ (其中*∈>N n n ,1)当n 是正奇数时，若0>a ，则x>0，x=________，若0<a ，则x____，x=_____当n 是正偶数时，若0>a ，则x=___________，若0<a ，则x_____________ 其中式子n a 叫做_______，这里n (*∈>N n n ,1)叫做_________，a 叫做_______注：______0=n ()=nn a ___________ n 是正奇数时，=n n a __________；n 是正偶数时，=n n a __________3、练习体验： _______)8(33=- ______)10(2=- 44)3(π-=________ _______)(66=-y x (x>y ）_____)4(2=-π _____)(2=-b a二、分数指数幂1、观察与归纳：（1）_______________224===；_______________248===_______________510===a ______________412===a()0____32>=a a ；()0_____>=b b ；()0_____45>=c c 正数的正分数指数幂)10______(>∈>=*，n N ，m、n a a m n（2）______21=- )0_______(1≠=-x x______534—= _____32—=a正数的负分数指数幂)10______(—>∈>=*，n N ，m、n a a m n（3）0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义。

(学习方略)高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算课件新人教A版必修1

【分析】分n为奇数和n为偶数两种情况解答．
A
28
【解】当n为奇数时，原式＝a－b＋a＋b＝2a；当n为偶数时，∵a<b<0， ∴原式＝|a－b|＋|a＋b|＝b－a＋(－a－b)＝－2a. 综上知， n a－bn＋n a＋bn＝2－a2an为n奇为数偶数，.
A
29
规律技巧为使开偶次方不出现符号错误，先用绝对值保留开方的结果，然后根据题设条件化去绝对值符号，没给条件的要分情况讨论．
A
7
2．根式的性质
(1)当n为奇数时， n an ＝________，当n为偶数时， n an ＝ ________.
(2)负数没有偶次方根，零的任何次方根都是________．
A
8
3．分数指数幂的意义
(1)设a>0，m，n∈N*，n>1，则将 n am 表示为a的分数指数
幂的形式为____________，a－
A
10
1.(1)xn＝a 根式根指数被开方数 a
(2)负数 n a n a －n a ±n a
自 2.(1)a |a|＝a a≥0 －a a<0 我 (2)0
校
m1
3.(1)a n m
对
an
(2)0 没有意义
4.ar＋s ars arbr
A
11
思考探究在有理数指数幂的运算性质中，为什么要规定
A
32
规律技巧本题ab与a－b互为倒数，抓住这一点，已知和所求分别平方很快得出答案，这里运用了公式变形a－b2＝a ＋b2－4ab.
A
33
变式训练4
已知a
1 2
＋a－
1 2
＝m，求a2＋a 1的值．

高中数学2.1.1指数与指数幂的运算学案新人教A版必修1

2．1 指数函数2．1.1 指数与指数幂的运算[学习目标] 1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.2.会进行根式与分数指数幂的互化.3.掌握根式的运算性质和有理指数幂的运算性质．[知识链接]1．4的平方根为±2,8的立方根为2.2．23·22＝32，(22)2＝16，(2·3)2＝36，2523＝4.[预习导引] 1.n 次方根(1)n 次方根的定义：一般地，如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1，且n ∈N *. (2)n 次方根的性质①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号na 表示．②当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．这时正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－na 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可合并写成±na (a ＞0)．③0的任何次方根都是0，记作n0＝0. ④负数没有偶次方根. 2．根式(1)式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2)式子na n对任意a ∈R 都有意义，当n 为奇数时，na n＝a ，当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥0，－a a ＜0.3．分数指数幂(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：nma ＝na m(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)．(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a －m n＝nm a1 (a ＞0，m ，n ∈N *,且n ＞1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 4．有理数指数幂的运算性质 (1)a r a s＝ar ＋s(a ＞0，r ，s ∈Q )；(2)(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 5．无理数指数幂无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．要点一根式的运算例1 求下列各式的值． (1)3－23；(2)4－32；(3)83－π8；(4)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9，x ∈(－3,3)．解 (1)3－23＝－2.(2)4－32＝432＝ 3.(3)83－π8＝|3－π|＝π－3.(4)原式＝x －12－x ＋32＝|x －1|－|x ＋3|，当－3＜x ≤1时，原式＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2. 当1＜x ＜3时，原式＝x －1－(x ＋3)＝－4.因此，原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3＜x ≤1，－4，1＜x ＜3.规律方法 1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．2．开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．跟踪演练1 化简下列各式． (1)5－25；(2)4－104；(3)4a －b4.解 (1)5－25＝－2.(2)4－104＝|－10|＝10.(3)4a －b4＝|a －b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a －ba ≥b ，b －aa ＜b .要点二根式与分数指数幂的互化例2 将下列根式化成分数指数幂形式． (1)3a ·4a ； (2) a a a ； (3)3a 2·a 3； (4)(3a )2·ab 3. 解 (1)3a ·4a ＝31a ·41a ＝127a . (2)原式＝21a ·41a ·81a ＝87a . (3)原式＝32a ·23a ＝613a .(4)原式＝(31a )2·21a ·23b ＝67a 23b .规律方法在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：nm a ＝na m和nm a-＝nm a1＝1na m，其中字母a 要使式子有意义．跟踪演练2 用分数指数幂表示下列各式： (1) 3a ·6－a (a ＜0)； (2) 3ab2ab3(a ，b ＞0)；(3)32432⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b (b ＜0)； (4)13x5x 22(x ≠0)．解 (1)原式＝31a ·(－a )61＝－(－a )31·(－a )61＝－(－a )21(a ＜0)． (2)原式＝323232b a ab ⋅＝32725b a＝(25a ·27b )31＝65a 67b (a ，b ＞0)． (3)原式＝324132⨯⨯b ＝(－b )91(b ＜0)．(4)原式＝3154311⨯⋅xx ＝531x＝53-x(x ≠0)．要点三分数指数幂的运算例3 (1)计算：0.06431-－⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋[(－2)3]34-＋16－0.75＋|－0.01|21； (2)化简： 3329-a a÷33137--⋅a a (a ＞0)．解 (1)原式＝(0.43)31-－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋(0.12)21＝0.4－1－1＋116＋18＋0.1＝14380.(2)原式＝[2931⨯a ·⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯2331a]÷[⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯3721a ·31321⨯a]＝613676369-+-a＝a 0＝1.规律方法指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．跟踪演练3 计算或化简：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－33832-＋(0.002)21-－10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)3323-a a·()1321-215-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-a a . 解 (1)原式＝(－1)32-⎝ ⎛⎭⎪⎫33832-＋⎝ ⎛⎭⎪⎫150021-－105－2＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋(500)12－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1 ＝－1679.(2)原式＝(23a ·23-a)31·[(a －5)21-·(a21-)13]21＝(a 0)31·(25a ·213a)21＝(a －4)21＝a －2.1．下列各式正确的是( ) A ．(3a )3＝a B ．(47)4＝－7 C ．(5a )5＝|a | D.6a 6＝a 答案 A解析 (47)4＝7，(5a )5＝a ，6a 6＝|a |. 2.a －b2＋5a －b5的值是( )A ．0B ．2(a －b )C ．0或2(a －b )D ．a －b 答案 C解析当a －b ≥0时，原式＝a －b ＋a －b ＝2(a －b )；当a －b ＜0时，原式＝b －a ＋a －b ＝0.3．计算[(－2)2]12的结果是( )A. 2 B ．－ 2 C.22 D ．－22答案 A解析 [(－2)2]21＝[(2)2]21＝ 2.4．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1,221-，⎝ ⎛⎭⎪⎫1221-，2－1中，最大的数是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1 B ．221- C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1221- D ．2－1 答案 C解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1＝－2,221-＝12＝22，⎝ ⎛⎭⎪⎫1221-＝2，2－1＝12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1221-最大．5．221-＋－402＋12－1－1－5·832＝________.答案 22－3 解析原式＝12＋12＋2＋1－22＝22－3.1.掌握两个公式：(1)(na )n ＝a ；(2)n 为奇数，na n ＝a ，n 为偶数，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥0，－a a ＜0.2．根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解．一、基础达标1．化简 3a a 的结果是( ) A ．a B.a C ．a 2D.3a 答案 B 解析3a a ＝(a ·21a )31＝(23a )31＝21a ＝a .2．若(1－2x )43-有意义，则x 的取值范围是( )A ．x ∈RB ．x ∈R 且x ≠12C ．x ＞12D ．x ＜12答案 D 解析 ∵(1－2x )43-＝141－2x3，∴1－2x ＞0，得x ＜12.3．若a <12，则化简42a －12的结果是( )A.2a －1 B ．－2a －1 C.1－2a D ．－1－2a 答案 C解析 ∵a <12，∴2a －1<0，∴2a －12＝1－2a ， ∴42a －12＝1－2a .4．化简3421413223ab b a ab b a ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛(a ，b ＞0)的结果是( )A.b a B ．ab C.a bD ．a 2b 答案 C解析原式＝[a 3b 2(ab 2)31]21÷(a 1b 2b 31a 31-)＝21313⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+a21322⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b÷(32a 37b )＝3235-a×3734-b＝a b.5．计算(2a －3b32-)·(－3a －1b )÷(4a －4b35-)得( )A ．－32b 2 B.32b 2C ．－32b 37D.32b 37答案 A解析原式＝354-314-46--ba b a ＝－32b 2.6．如果a ＝3，b ＝384，那么a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 71n －3＝________.答案 3×2n －3解析 a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 71n －3＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫384371n －3＝3[(128)71]n －3＝3×2n －3. 7．(1)求279＋ 3338－30.064的值； (2)化简21212121nm n m +-＋21212121nm n m -+.解 (1)原式＝259＋3278－30.43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫532＋ 3⎝ ⎛⎭⎪⎫323－30.43＝53＋32－0.4＝8330. (2)原式＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212121212212122121n m n m n m n m ＝2m ＋n m －n . 二、能力提升8．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100 答案 A解析 ∵2a＝m,5b＝m ，∴2＝a m 1，5＝b m 1，∵2×5＝a m 1·b m 1＝ba m 11+∴m 2＝10，∴m ＝10.故选A. 9．化简23－610－43＋22得( )A ．3＋ 2B ．2＋ 3C ．1＋2 2D ．1＋2 3 答案 A解析原式＝ 23－610－42＋1＝ 23－622－42＋22＝ 23－62－2＝ 9＋62＋2 ＝3＋ 2.10．设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________. 答案 14251解析利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝15.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝251.11．计算下列各式的值： (1)(0.027)31－⎝ ⎛⎭⎪⎫61421＋25643＋(22)32－3－1＋π0； (2)733－3324－6319＋4333； (3)(a 58·b 56-)21-·5a 4÷5b 3(a ＞0，b ＞0)．解 (1)原式＝[(0.3)3]31－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫52221＋(44)43＋(223)32－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13＋1＝96715. (2)原式＝7×331－3323×3－63⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋43133⨯ ＝7×331－6×331－6×332-＋331 ＝2×331－2×3×332- ＝2×331－2×331＝0.(3)原式＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯2158a·⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2156-b ·54a ÷53b ＝54-a ·53b ·54a ÷53b ＝5454+-a 5353-b ＝a 0b 0＝1. 三、探究与创新12．(1)已知2x ＋2－x ＝a (常数)，求8x ＋8－x的值； (2)已知x ＋y ＝12，xy ＝9且x ＜y ，求21212121y x yx +-的值．解 (1)∵4x ＋4－x ＝(2x )2＋(2－x )2＝(2x ＋2－x )2－2·2x ·2－x ＝a 2－2，∴8x ＋8－x ＝23x ＋2－3x ＝(2x )3＋(2－x )3＝(2x ＋2－x )·[(2x )2－2x ·2－x ＋(2－x )2]＝(2x ＋2－x )(4x ＋4－x －1)＝a (a 2－2－1)＝a 3－3a .(2)21212121y x y x +-＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212121212121y x y x y x 2＝()()yx xy -y x -+212.① ∵x ＋y ＝12，xy ＝9，② ∴(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝122－4×9＝108. 又∵x ＜y ，∴x －y ＝－63.③ 将②③代入①，得21212121y x yx +-＝36921221-⨯-＝－33. 13．若a ＝2，b >0，求b b 21212a a a +＋⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3121b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--323121b b a a 的值．解原式＝23a ＋b －1＋⎝⎛⎭⎫a 213－⎝⎛⎭⎫b 31-3 ＝23a ＋b －1＋23a －b －1＝223a ＝2×232＝4 2.。

高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算(1)导学案新人教A版必修1

《2.1.1 指数与指数幂的运算（1）》导学案【学习目标】其中2、3是重点和难点1．了解指数函数模型背景及实用性必要性，了解根式的概念及表示方法，理解根式的概念。

2．掌握n 次方根的求解。

3．理解根式的概念，了解指数函数模型的应用背景。

【课前导学】阅读教材第49-50页，完成新知学习。

1、n 次方根：一般地，如果，那么 ,其中1n n N *>∈且。

2、当n 为奇数时, 正数的n 次方根是一个，负数的n 次方根是一个，这时a的n 次方根用符号表示。

当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，且互为，用符号表示。

负数没有方根，0的任何次方根都是，即= 。

3叫做 , 这里n 叫做 , a 叫做。

4n = 。

当n 是奇数时，= ；当n 是偶数时，= = 。

【预习自测】首先完成教材上P59第1题，然后做自测题。

1= 。

2= 。

3)a b ≤= 。

4、下列说法正确的是（）A.4的平方根只有2B.27的立方根有3和-3C.a 的nD.若n x a =，则x 叫做a 的n 次方根 5、下列各式正确的是( )3 a =＝2 D ．0a ＝1 【课中导学】首先独立思考探究，然后合作交流展示。

探究一：思考1：4的平方根是什么？任何一个数有平方根吗？一个数的平方根有几个？思考2：-27的立方根是什么？任何一个数有立方根吗？一个数的立方根有几个？思考3:一般地，实常数a 的平方根、立方根是什么概念？思考4:如果4,x a =5,x a =6,x a =参照上面的说法，这里的x 分别叫什么名称？思考5:推广到一般情形，a 的n 次方根是一个什么概念？试给出其定义。

探究二：思考1:-8的立方根，32的5次方根，-32的5次方根分别是什么数？怎样表示？思考2:设a 为实常数，则关于x 的方程3,x a =5x a =分别有解吗？有几个解？思考3:一般地，当n 为奇数时，实数a 的n 次方根存在吗？有几个？思考4:设a 为实常数，则关于x 的方程4,x a = 6,x a =分别有解吗？有几个解？思考5:一般地，当n 为偶数时，实数a 的n 次方根存在吗？有几个？思考6:n 叫做根指数，a 叫做被开方数.那么，a 的n 次方根用根式怎么分类表示？探究三：思考1：3,5,4分别等于什么？一般地，n 等于什么？思考2例1、求值化简：变式：a b <）例2变式：（推广：= a ≥0）【自我评价】你完成本节导学案的情况为（）A.很好B.较好C.一般D.较差【基础检测】当堂达标练习，（时量：5分钟满分：10分）计分：1= 。

2.1.1指数与指数幂的运算教案(新人教A版必修1)

指数与指数幂的运算一：教学目标（一）知识目标（1）理解根式的概念及其性质，能根据性质进行简单的根式计算。

（2）理解掌握分数指数幂的意义并能进行基本的运算。

（二）能力目标（1）学生能进一步认清各种运算间的联系，提高归纳，概括的能力．（2）让学生了解由特殊到一般的解决问题的方法，渗透分类讨论的思想．（3）训练学生思维的灵活性（三）德育目标（1）激发学生自主学习的兴趣（2）养成良好的学习习惯二：教学的重，难点及教学设计（一）教学重点重点是次方根的概念及其取值规律。

（二）教学难点分数指数幂的意义及其运算根据的研究。

（三）教学设计要点1.情景设计引入国民生产总值的计算问题和生物体内C的变化规律问题，设置出问题情景，通过将实际问题转化为数学模型，激发学生的学习动机，让学生更积极地去接受新知识，由此引入新课。

2.教学内容的处理（1）复习引入整数指数的基本知识。

（2）补充一组理解指数幂运算练习（用幻灯片展示）（3）在分数指数部分多一些练习，强化学生对分数指数的理解。

3.教学方法独立探索，合作交流与教师引导相结合三：教具准备幻灯片，粉笔，投影仪等四：教学过程（一）创设问题情景引入新课（预计5分钟）1：问题情景据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP（国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%，那么，在2001~2020年，各年的GDP可望为2000年的多少倍2：学生根据已有的经验和知识独立探究，教师巡视，进行个别指导3：老师在黑板上列出第一年到第四年，引导学生观察，比较，概括，并找同学说明自己的想法。

4：引入新课。

揭示课题：指数与指数幂的运算（二）复习整数指数幂指数与其说它是一个概念，不如说它是一种重要的运算，且这种运算在初中曾经学习过，今天只不过把它进一步向前发展。

引导学生回顾指数运算的由来，是从乘方而来，因此最初指数只能是正整数，同时引出正整数指数幂的定义。

2019-2020年高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算(三)教案新人教A版必修1

2019-2020年高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算（三）教案新人教A版必修1（一）教学目标1．知识与技能：能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简，求值.2．过程与方法：通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质.3．情感、态度、价值观（1）培养学生观察、分析问题的能力；（2）培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.（二）教学重点、难点1．重点：运用有理指数幂性质进行化简，求值.2．难点：有理指数幂性质的灵活应用.（三）教学方法1.启发学生认识根式与分数指数幂实质是相同的.并能熟练应用有理指数幂的运算性质对根式与分数指数幂进行互化.2.引导学生在化简求值的过程中，注意将根式转化为分数指数幂的形式和积累一些常用技巧.如凑完全平方、分解因式、化小数为分数等等.另外，在运用有理指数幂的运算性质化简变形时，应注意根据底数进行分类，以精简解题的过程.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习1.分数指数幂的概念.*(0,,)mn mna a a m n N=>∈*1(0,,)mnmna a m n Na-=>∈2.分数指数幂的运算性质.师：提出问题生：复习回顾师：总结完善复习旧知，为新课作铺垫.(0,,)r s r s a a a a r R s R +⋅=>∈∈()(0,,)r s rs a a a r R s R =>∈∈()(0,)r r r a b a b a r R ⋅=>∈应用举例例1．（P 56，例4）计算下列各式（式中字母都是正数）（1）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b -÷-（2）学生思考，口答，教师板演、点评．例 1 （先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析、提问、解答）分析：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的. 整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序.我们看到（1）小题是单项式的乘除运算；（2）小题是乘方形式的运算，它们应让如何计算呢？其实，第（1）小题是单项式的乘除法，可以用单项式的运算顺序进行.第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算.解：（1）原式 =211115326236[2(6)(3)]ab+-+-⨯-÷-= =4通过这二个例题的解答，巩固所学的分数指数幂与根式的互化，以及分数指数幂的求值，提高运算能力．例2．（P57例5）计算下列各式（1）（2）＞0）课堂练习：化简：（1）；（2）；（3） .（2）原式==例2 分析：在第（1）小题中，只含有根式，且不是同类根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，同样，第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算.解：（1）原式=====（2）原式=.小结：运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数.练习答案：解（1）原式==；（2）原式==2；（3）原式===.强化解题技巧.归纳总结1.熟练掌握有理指数幂的运算法则，化简的基础.2.含有根式的式子化简，一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算.先让学生回顾反思，然后师生共同总结，完善．巩固本节学习成果，形成知识体系.课后作业作业：2.1 第三课时习案学生独立完成巩固新知提升能力备选例题例1 已知，求下列各式的值.33221122(3).a a a a----【分析】从已知条件中解出a 的值，然后再代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值.【解析】（1）将两边平方，得即（2）将上式平方，有（3）由于33221122a a a a----1111122221122()()a a a a a a a a-----++⋅=-【小结】对“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值.例2 化简.111113131313132---+++++-x xx x x x x x【分析】根据本题的特点，须注意到)1()1(1)(13132313331++⋅-=-=-x x x x x ，1121333333()1(1)(1),x x x x +=+-+1111112333333[()1](1)(1)x x x x x x x -=-=-+，应对原式进行因式分解. 【解析】原式111)(1)(1)(31313231313331312313331---+++++-=x x x x x x x x x1213332133(1)(1)()1x x x x x -++=++12133313(1)(1)1x x x x +-+++1)1)(1(31313131-+--x x x x121213333311x x x x x =-+-+--【小结】解这类题，要注意运用下列公式：11112222,a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2111122222,a b a a b b ⎛⎫±=±+ ⎪⎝⎭112112333333.a b a a b b a b ⎛⎫⎛⎫±+=± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2019-2020年高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算（二）全册精品教案新人教A 版必修1（一）教学目标1．知识与技能（1）理解分数指数幂的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力. 2．过程与方法通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质. 3．情感、态度与价值观（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美. （二）教学重点、难点1．教学重点：（1）分数指数幂的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；2．教学难点：分数指数幂概念的理解（三）教学方法发现教学法1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题回顾初中时的整数指数幂及运算性质.,1(0)na a a a a a a=⋅⋅⋅⋅⋅=≠,;()m n m n m n mna a a a a+⋅==(),()n m mn n n na a ab a b==什么叫实数？有理数，无理数统称实数.老师提问，学生回答.学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课作好了知识上的准备.复习引入观察以下式子，并总结出规律：＞0①②③④小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.老师引导学生“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）”联想“根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.”.从而推广到正数的分数指数幂的意义.数学中引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则是根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：即：*(0,,1)mnmna a a n N n =>∈>相容的.形成概念为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为： *(0,,)m n m na a a m n N =>∈正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.即：*1(0,,)m nm naa m n N a-=>∈规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是111(0)nm m m ma a a a a =⋅⋅⋅⋅>学生计算、构造、猜想，允许交流讨论，汇报结论．教师巡视指导．让学生经历从“特殊一一般”，“归纳一猜想”，是培养学生“合情推理”能力的有效方式，同时学生也经历了指数幂的再发现过程，有利于培养学生的创造能力．深化概念由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数让学生讨论、研究，教师引导．通过本环节的教指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：（1）(0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈（2）()(0,,)r S rsa a a r s Q =>∈ （3）()(0,0,)r r r a b a b Q b r Q ⋅=>>∈若＞0，P 是一个无理数，则P 该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P 57——P 58.即：的不足近似值，从由小于的方向逼近，的过剩近似值从大于的方向逼近.所以，当不足近似值从小于的方向逼近时，的近似值从小于的方向逼近.当的过剩似值从大于的方向逼近时，的近似值从大于的方向逼近，(如课本图所示)所以，是一个确定的实数. 一般来说，无理数指数幂(0,)p a a p >是一个无理数是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.思考：的含义是什么？由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：(0,,)r s r s a a a a r R s R +⋅=>∈∈学，进一步体会上一环节的设计意图．()(0,,)r s rs a a a r R s R =>∈∈ ()(0,)r r r a b a b a r R ⋅=>∈应用举例例题例1（P 56，例2）求值；；；.例2（P 56，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（＞0）；；.分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.解：117333222.a a a a a a +=⋅==；；31442133332()a a a a a a a =⋅===.课堂练习：P 59练习第 1，2，3，4题补充练习：1. 计算：的结果；2. 若 .学生思考，口答，教师板演、点评．例1解： ① ； ② ； ③；④ .例2分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算.解：；； . 练习答案： 1.解：原式= ==512； 2.解：原式= =.通过这二个例题的解答，巩固所学的分数指数幂与根式的互化，以及分数指数幂的求值，提高运算能力．归纳总结1．分数指数是根式的另一种写法. 2．无理数指数幂表示一个确定的实数. 先让学生独自回忆，然后师生共同总结．巩固本节学习3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.成果，使学生逐步养成爱总结、会总结的习惯和能力．课后作业作业：2.1 第二课时习案学生独立完成巩固新知提升能力备选例题例1计算（1）.)01.0(41225325.0212-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛--（1）5.1213241)91()6449()27()0001.0(---+-+；【解析】（1）原式（2）原式=232212323414])21[(])87[()3()1.0(---+-+ = =.【小结】一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的.例2 化简下列各式：（1）313315383327----÷÷a a a a a a ；（2）33323323134)21(248a ab a abb ba a ⨯-÷++-.【解析】（1）原式=321233153832327----÷÷a aa aa a= = = =；（2）原式=313131313231313231224)8(a a b a a b a b b a a ⨯⋅-÷++-3131313132313132323131323131312424)42)(2(a b a a b a b b b a a b a a ⋅-⋅++++-=.【小结】（1）指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算. 负指数幂化为正指数幂的倒数. 底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质.（2）根据一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理指数幂的运算性质进行运算. 在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解. 如8)2(])2[()2(2162166==-=-.（3）利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，但不能既有根式又有分数指数幂.。

高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算(一)教案新人教A版必修1

高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算（一）教案新人教A版必修1§2.1.1 指数一．教学目标：1．知识与技能：（1）理解分数指数幂和根式的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.2．过程与方法：通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质.3．情态与价值（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美. 二．重点、难点1．教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解；n 次方根：一般地，若nx a =，则x 叫做a 的n次方根（throot ），其中n ＞1，且n ∈Ｎ＊,当n 为偶数时，a 的n 次方根中，正数用na 表示，如果是负数，用n a -表示，na 叫做根式.n 为奇数时，a 的n 次方根用符号na 表示，其中n 称为根指数，a 为被开方数.类比平方根、立方根，猜想：当n 为偶数时，一个数的n 次方根有多少个？当n 为奇数时呢？零的n 次方根为零，记为00n=举例：16的次方根为2±，527527--的次方根为等等，而27-的4次方根不存在.小结：一个数到底有没有n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇数和偶数两种情况.根据n 次方根的意义，可得：()nna a=肯定成立，nna表示a n的n 次方根，等式nn a a=一定成立吗？如果不一定成立，那么nna 等于什么？让学生注意讨论，n 为奇偶数和a 的符号，充分让学生分组讨论.通过探究得到：n nn a a=n 为偶数,0||,0nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩34334(3)27(8)|8|8--=--=-=小结：当n nna 绝对值，再在绝对值算具体的值，这样就避免出现错误：例题：求下列各式的值（1）33(1)(8)- 2(2)(10)- 44(3)(3)π-2(4)()a b -分析：当n ||nn a a =，然后再去绝对值.()nn nn a a =是否成立，举例说明.课堂练习：1. 求出下列各式的值22211,a a a a -+=-求的取值范围. 3343334(8)(32)(23)---三．归纳小结：1．根式的概念：若n ＞1且*n N ∈，则n ,x a x a n是的次方根,n 为奇数时,=n为偶数时，nx a =±2．掌握两个公式：(0),||(0)n n n a a n a n a a a a ≥⎧==⎨-<⎩n 为奇数时,()为偶数时,3．作业：P 69习题2.1 A 组第1题。

人教A版数学必修一2.1.1指数与指数幂的运算

② 3－2 2 ＋ 3 （1－ 2）3 ＋ 4 （1－ 2）4 ＝ _____2_－__1．
2.1.1 │ 考点类析
[解析] ①8 （x－3）8＝|x－3|，当 x≥3 时，原式＝x－3；当 x<3 时，原式＝3－x.
所以8 （x－3）8＝x3－－3x，，xx≥<33. ， ②因为 3－2 2＝2－2 2＋1＝( 2)2－2 2＋1＝( 2－1)2，所以 3－2 2 ＋ 3 （1－ 2）3 ＋ 4 （1－ 2）4 ＝（ 2－1）2＋ 3 （1－ 2）3＋ 4 （1－ 2）4＝ 2－1＋1－ 2＋ 2－1＝ 2－1.
2.1.1 │ 考点类析
[小结] 有理指数幂运算的基本原则和常规方法： (1)基本原则：式子里既有分数指数幂又有根式时，
一般把根式统一化为分数指数幂的形式，再用有理指数幂的运算性质化简．
(2)常规方法：①化负指数幂为正指数幂；②化根式为分数指数幂；③化小数为分数．
2.1.1 │ 考点类析
考点四条件求值重点探究型 [导入] 已知 x＋1x＝a(a≥2)，如何求 x2＋x12的值？
[ 解析 ] (1)① 4 （－8）4 ＝ | － 8| ＝ 8 ；
②3 （－8）3＝－8.
6 (2)①
1－π3 6＝1－π3 ＝π3 －1；② 5
1－π3 5
＝1－π3 .
2.1.1 │ 考点类析
(3)计算下列各式的值：
①8
x－3，x≥3，
（x－3）8＝_3_－__x_，_x_<_3，
2.1.1 │ 考点类析
【变式】 (1)设 10m＝2，10n＝3，则 10－2m－10－n＝_－_1_12_____．
[解析] 由 10m＝2 得 10－2m＝（101m）2＝14，10 －n＝110n＝13，所以 10－2m－10－n＝14－13＝－112.

高中数学第二章基本初等函数2.1.1指数与指数幂的运算第2课时分数指数幂新人教A版必修1

B．234
C．18
D．243
[解析]
4－23
＝
1
3
42
＝22123
＝213＝18.
(C)
2．若a>0，n，m为实数，则下列各式中正确的是
m
A．am÷an＝a n
B．an·am＝am·n
C．(an)m＝am＋n
D．1÷an＝a0－n
(D )
• [解析] 由指数幂的运算法则知1÷an＝a0÷an＝a0－n正确，故选D．
(3)由于a23
－a－32
＝(a12
)3－(a－12
3
)3，所以有a21 a2
－a－32 －a－12
1
＝a2
－a－21 a＋a－1＋a12
1
a2
－a－12
·a－12
＝a＋a－1＋1＝7＋1＝8.
『规律方法』 (1)条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知
条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体
3
(2)化简：
7
a2
a－3÷ 3 a－83 a15÷3
a－3 a－1.
• [思路分析] 将根式化为分数指数幂的形式，利用分数指数幂的运算性质计算．
[解析] (1)原式＝1＋14×(49)12 －(1100)21 ＝1＋16－110＝1165.
3
(2)原式＝
7
a2
a－32
÷
a－83
15
a3
3
÷
a－23
• 利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数．

高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算(一)全册精品教案新人教A版必修1

2.1.1 指数与指数幂的运算（一）（一）教学目标1．知识与技能（1）理解n次方根与根式的概念；（2）正确运用根式运算性质化简、求值；（3）了解分类讨论思想在解题中的应用.2．过程与方法通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出n次方根的概念，进而学习根式的性质.3．情感、态度与价值观（1）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（2）培养学生认识、接受新事物的能力.（二）教学重点、难点1．教学重点：（1）根式概念的理解；（2）掌握并运用根式的运算性质.2．教学难点：根式概念的理解.（三）教学方法本节概念性较强，为突破根式概念的理解这一难点，使学生易于接受，故可以从初中已经熟悉的平方根、立方根的概念入手，由特殊逐渐地过渡到一般的n次方根的概念，在得出根式概念后，要引导学生注意它与n次方根的关系，并强调说明根式是n次方根的一种表示形式，加强学生对概念的理解，并引导学生主动参与了教学活动.故本节课可以采用类比发现，学生合作交流，自主探索的教学方法.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题先让我们一起来看两个问题（见教材P52—53）.在问题2中，我们已经知道23111,(),(),222…老师提出问题，学生思考回答.由实际问题引入，激发学是正整数指数幂，它们的值分别为111 ,,, 248….那么，600010000100000573057305730 111(),(),()222的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识.下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数.为此，需要先学习根式的知识.生的学习积极性.复习引入什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？归纳：在初中的时候我们已经知道：若2x a=，则x叫做a的平方根.同理，若3x a=，则x叫做a的立方根.根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为2±，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2；零的平方根、立方根均为零.师生共同回顾初中所学过的平方根、立方根的定义.学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课作好了知识上的准备.形成概念类比平方根、立方根的概念，归纳出n次方根的概念.n次方根：一般地，若n x a=，则x叫做a的n次方根（throot），其中n ＞1，且n∈Ｎ＊,当n为偶数时，正数a的n次方根中，正数用n a表示，如果是负数，用n a-表示.当n为奇数时，a的n次方根用符号n a表示，n a叫做根式.其中n称为根指数，a为被老师点拨指导，由学生观察、归纳、概括出n次方根的概念.由特殊到一般，培养学生的观察、归纳、概括的能力.开方数.深化概念类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？nnn a n aan a n a⎧⎪⎨±⎪⎩为奇数, 的次方根有一个,为为正数:为偶数, 的次方根有两个,为nn a n aan a n⎧⎪⎨⎪⎩为奇数, 的次方根只有一个,为为负数:为偶数, 的次方根不存在.零的n次方根为零，记为00n=举例：16的次方根为2±，527527--的次方根为等等，而27-的4次方根不存在.小结：一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数两种情况.根据n次方根的意义，可得：()nn a a=()nn a a=肯定成立，n n a表示a n的n次方根，等式n n a a=一定成立吗？如果不一定成立，那么n n a等于什么？让学生注意讨论，n为奇偶数和a的符号，充分让学生分组讨论.通过探究得到：n为奇数，n n a a=n为偶数,,0||,0n na aa aa a≥⎧==⎨-<⎩让学生对n为奇偶数进行充分讨论.通过探究得到：n为奇数，n n a a=；n为偶数,,0||,0n na aa aa a≥⎧==⎨-<⎩.举出实例，加深理解.通过分n为奇数和偶数两种情况讨论，掌握n次方根概念，培养学生掌握知识的准确性、全面性，同时培养学生的分类讨论的能力备选例题例1 计算下列各式的值. （1）33)(a ；（2 （1n >，且n N *∈）（3）1n >，且n N *∈）【解析】（1）a a =33)(.（2）当n =3π-；当n =3π-. （3）||x y -，当x y ≥时，x y -；当x y <时，y x -.【小结】（1）当n 为奇数时，a a nn =；当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a nn（2）不注意n的奇偶性对式子n n a值的影响，是导致错误出现的一个重要原因.故要在理解的基础上，记准、记熟、会用、活用.例2 求值：【分析】需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；==||2|2=+---=2(2=【小结】开方后带上绝对值，然后根据正负去掉绝对值.。

数学：2.1.1《指数与指数幂的运算》课件(新人教A版必修1)

1.am· an=am+n；
2.am÷an=am-n； 3.(am)n=amn； 4.(ab)n=an· bn； 5.
a n an ( ) n (b 0). b b
另外，我们规定：
a 1(a 0); 1 n a n. a
0
二、根式
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n＞1，且n∈N*.
(a b) (a b).
2
三、分数指数幂探究:
5 10 5
a
10பைடு நூலகம்
(a ) a a (a 0),
5 2 5 2 12 4
4
a12 4 (a 4 ) 3 a 3 a (a 0).
2 3
0的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义.
3
a 2 a ( a 0), b b (b 0),
(2)(a r ) s a rs (a 0, r , s Q) (3)(ab) r a r b r (a 0, b 0, r Q)
例2 用分数指数幂表示下列各式(其中a>0).
a 3 a , a 2 3 a 2 , a3 a .
解：
a3 a a3 a a
2 3 1 3 1 3 1 3
2 3

a
1 3
1 3 1 3
a
1 3
a 2b
a a a a.
五、知识总结
整数指数幂根式两个等式
分数指数幂有理数指数幂无理数指数幂
(1)a r a s a r s (a 0, r , s R) (2)(a r ) s a rs (a 0, r , s R ) (3)(ab) a b (a 0, b 0, r R)