[K12学习]2019高考数学一轮复习 第12章 选考部分 4-5 第1讲 绝对值不等式分层演练 文

4-5 第1讲 绝对值不等式
1．(2018·宝鸡市质量检测(一))已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2．
(1)解不等式|g (x )|＜5；
(2)若对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)由||x －1|＋2|＜5得－5＜|x －1|＋2＜5， 所以－7＜|x －1|＜3，得不等式的解集为{x |－2＜x ＜4}． (2)因为对任意x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立， 所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}，
又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)|＝|a ＋3|，
g (x )＝|x －1|＋2≥2，
所以|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5， 所以实数a 的取值范围为a ≥－1或a ≤－5．
2．(2018·广东肇庆第三次统测)已知函数f (x )＝|x ＋1|，g (x )＝2|x |＋a ． (1)当a ＝0时，解不等式f (x )≥g (x )；
(2)若存在x ∈R ，使得f (x )≥g (x )成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)由f (x )≥g (x )， 得|x ＋1|≥2|x |，
两边平方，并整理得(3x ＋1)(x －1)≤0， 解得－1
3
≤x ≤1，
所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪⎪－13≤x ≤1．
(2)法一：由f (x )≥g (x )，得|x ＋1|≥2|x |＋a ，即|x ＋1|－2|x |≥a ． 令F (x )＝|x ＋1|－2|x |，依题意可得F (x )max ≥a ．
F (x )＝|x ＋1|－|x |－|x |≤|x ＋1－x |－|x |＝1－|x |≤1，
当且仅当x ＝0时，等号同时成立， 所以F (x )max ＝1．
所以a 的取值范围是(－∞，1]．
法二：由f (x )≥g (x )，得|x ＋1|≥2|x |＋a ， 即|x ＋1|－2|x |≥a ． 令F (x )＝|x ＋1|－2|x |，
依题意可得F (x )max ≥a ．
F (x )＝|x ＋1|－2|x |＝⎩⎪⎨⎪
⎧1－x ，x ≥0，3x ＋1，－1<x <0，x －1，x ≤－1，
易得F (x )在(－∞，0]上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减， 所以当x ＝0时，F (x )取得最大值1． 故a 的取值范围是(－∞，1]．
3．(2018·广东五校协作体第一次诊断考试)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1． (1)当a ＝3时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；
(2)若函数h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )的图象与x 轴，y 轴围成的三角形面积大于a ＋4，求a 的取值范围．
解：(1)当a ＝3时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪
⎧－2x ＋7，x ≤31，3＜x ＜42x －7，x ≥4，
当x ≤3时，由f (x )≥4－|x －4|得，－2x ＋7≥4，解得x ≤3
2；
当3＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|无解；
当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得，2x －7≥4，解得x ≥11
2；
综上f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤32或x ≥11
2}．
(2)因为h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 所以h (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧－2a ，x ≤04x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a
所以S ＝12×2a ×a
2
＞a ＋4，解得a ＞4．
4．(2018·云南11校跨区调研)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|m －x |(其中m ∈R )． (1)当m ＝2时，求不等式f (x )≥6的解集；
(2)若不等式f (x )≥6对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)当m ＝2时，f (x )＝|x ＋1|＋|2－x |，
①当x ＜－1时，f (x )≥6可化为－x －1＋2－x ≥6，解得x ≤－5
2；
②当－1≤x ≤2时，f (x )≥6可化为x ＋1＋2－x ≥6，无实数解； ③当x ＞2时，f (x )≥6可化为x ＋1＋x －2≥6，解得x ≥7
2
．
综上，不等式f (x )≥6的解集为{x |x ≤－52或x ≥7
2}．
(2)因为|x ＋1|＋|m －x |≥|x ＋1＋m －x |＝|m ＋1|， 由题意得|m ＋1|≥6，即m ＋1≥6或m ＋1≤－6， 解得m ≥5或m ≤－7，
即m 的取值范围是(－∞，－7]∪[5，＋∞)．
5．(2018·南昌第一次模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|，a ∈R ． (1)若不等式f (x )≤2－|x －1|有解，求实数a 的取值范围； (2)当a ＜2时，函数f (x )的最小值为3，求实数a 的值． 解：(1)由题f (x )≤2－|x －1|，可得|x －a
2|＋|x －1|≤1． 而由绝对值的几何意义知|x －a 2|＋|x －1|≥|a
2－1|，
由不等式f (x )≤2－|x －1|有解，得|a
2－1|≤1，
即0≤a ≤4．
故实数a 的取值范围是[0，4]．
(2)函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|，当a ＜2，即a
2
＜1时，
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋a ＋1（x ＜a
2
）
x －a ＋1（a 2
≤x ≤1）
3x －a －1（x ＞1）
． 所以f (x )min ＝f (a 2)＝－a
2＋1＝3，得a ＝－4＜2(符合题意)，故a ＝－4．
6．已知函数f (x )＝2|x ＋a |－|x －1|(a ＞0)．
(1)若函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积的最小值为4，求实数a 的取值范围； (2)对任意的x ∈R 都有f (x )＋2≥0，求实数a 的取值范围． 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧－x －2a －1，x ＜－a 3x ＋2a －1，－a ≤x ＜1，x ＋2a ＋1，x ≥1
如图所示，函数f (x )的图象与x 轴围成的△ABC ，求得
A (－2a －1，0)，
B (
1－2a
3
，0)，C (－a ，－a －1)． 所以S △ABC ＝12[1－2a 3－(－2a －1)]×|－a －1|＝23(a ＋1)2
≥4(a ＞0)，
解得a ≥6－1．
(2)由(1)中图，可知f (x )min ＝f (－a )＝－a －1， 对任意的x ∈R 都有f (x )＋2≥0， 即(－a －1)＋2≥0，解得0＜a ≤1．
1．(2018·合肥第一次教学质量检测)已知函数f (x )＝|x －m |－|x ＋3m |(m ＞0)． (1)当m ＝1时，求不等式f (x )≥1的解集；
(2)对于任意实数x ，t ，不等式f (x )＜|2＋t |＋|t －1|恒成立，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝|x －m |－|x ＋3m | ＝⎩⎪⎨⎪
⎧－4m ，x ≥m －2x －2m ，－3m ＜x ＜m .4m ，x ≤－3m
当m ＝1时，由⎩
⎪⎨⎪⎧－2x －2≥1－3＜x ＜1，或x ≤－3，得x ≤－32，所以不等式f (x )≥1的解集为{x |x ≤
－3
2
}． (2)不等式f (x )＜|2＋t |＋|t －1|对任意的实数t ，x 恒成立，等价于对任意的实数x ，
f (x )＜(|2＋t |＋|t －1|)min 恒成立，即[f (x )]max ＜(|2＋t |＋|t －1|)min ，
因为f (x )＝|x －m |－|x ＋3m |≤|(x －m )－(x ＋3m )|＝4m ， |2＋t |＋|t －1|≥|(2＋t )－(t －1)|＝3， 所以4m ＜3，又m ＞0，所以0＜m ＜3
4
．
2．(2018·湘中各校联考)已知函数f (x )＝|x －2|＋|2x ＋a |，a ∈R ． (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥5；
(2)若存在x 0满足f (x 0)＋|x 0－2|＜3，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －2|＋|2x ＋1|．
由f (x )≥5得|x －2|＋|2x ＋1|≥5．
当x ≥2时，不等式等价于x －2＋2x ＋1≥5，解得x ≥2，所以x ≥2； 当－1
2＜x ＜2时，不等式等价于2－x ＋2x ＋1≥5，即x ≥2，所以解集为空集；
当x ≤－12时，不等式等价于2－x －2x －1≥5，解得x ≤－43，所以x ≤－4
3．
综上原不等式的解集为{x |x ≤－4
3
或x ≥2}．
(2)f (x )＋|x －2|＝2|x －2|＋|2x ＋a |＝|2x －4|＋|2x ＋a |≥|2x ＋a －(2x －4)|＝|a ＋4|，
因为原命题等价于(f (x )＋|x －2|)min ＜3，即|a ＋4|＜3，所以－7＜a ＜－1．。