2021学年高中数学1.6.1垂直关系的判定学案含解析北师大版必修2.doc

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6.1垂直关系的判定-北师大版必修2教案

6.1 垂直关系的判定-北师大版必修2教案
教学目标
1.理解垂直的概念，掌握相交直线垂直的判断方法；
2.掌握平行线、垂直线、相交线的性质；
3.学会运用垂直关系的性质解决实际问题。

教学内容
1. 垂直的概念及相交直线垂直的判断方法
1.1 垂直的概念
垂直是指两个直线或线段在相交于一点时，以这个交点为中心，两个直线或线段互相垂直的状态。

1.2 相交直线垂直的判断方法
•角度法：两个直线或线段相交形成的角度为90度时，两条直线或线段垂直。

•斜率法：当两个直线或线段的斜率的乘积为-1时，两个直线或线段垂直。

•同名角法：在同一条直线上取一点，分别作一条直线与另一条直线相交，如果形成了同名角，则两个直线垂直。

2. 平行线、垂直线、相交线的性质
2.1 平行线的性质
•具有相同的斜率；
•不会相交；
•两个平行线之间的距离是恒定的。

2.2 垂直线的性质
•两个垂直线的斜率的乘积为-1；
•垂直线与其他直线的交角为90度。

2.3 相交线的性质
•相交线上的同名角和补角相等；
•相邻角互不相等；
•对顶角相等。

3. 运用垂直关系的性质解决实际问题
在生活中，我们经常需要运用垂直关系的性质来解决一些实际问题。

例如，建造房屋、摆放家具等。

4. 练习与应用
（1）判断下列直线是否垂直：
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高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修2 6.1垂直关系的判定》

《直线与平面垂直的判定》教学设计吉水二中谢志强1教材分析教学内容本节是北师大版高中数学必修2第一章直线与平面垂直的判定”，内容为直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用通过让学生观察实例引出直线和平面垂直的概念:如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就称这条直线与这个平面互相垂直而直线与平面垂直的判定定理是让学生通过折纸试验来感悟的:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直该定理把原来定义中要求与任意一条无限直线垂直转化为只要与两条有限相交直线垂直就行了，使直线与平面垂直的判定具有可操作性地位作用直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况,它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的轴心，同时它又是直线和平面所成的角等内容的基础，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一通过该内容的学习，进一步培养和发展学生空间想象能力、合情推理能力、一定的推理论证能力以及运用图形语言进行交流的能力，体验和感悟转化的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限问题转化为有限问题”，“直线与直线垂直和直线与平面垂直的相互转化2学情分析基础水平之前学生已经学习了两直线共面或异面互相垂直的位置关系，学习了直线与平面平行的判定和性质，有了研究方法的体验，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有一定的空间想象能力、几何直观能力、推理论证能力以及运用图形语言进行交流的能力，参与意识、自主探究能力有所提高，具备学习本节课所需的知识认知困难学生学习的困难之一是如何从直线和平面垂直的直观形象中抽象概括出直线与平面垂直的定义，让学生认识到线面垂直是用线线垂直来刻画的因为学生直观感知中的形象和定义中“直线与平面内的任意一条直线都垂直”的内涵是有距离的教学中首先通过一些实例让学生直观感知直线与平面垂直的具体形象，然后将其抽象为几何图形，再利用“旗杆与变动的影子的关系”的情境，从中概括出定义，体会直线与平面垂直定义的合理性学生学习的另一个困难是在探究直线与平面垂直的判定定理过程中，对为什么要且只要“两条相交直线”的理解，因为定义中“任一条直线”指的是“所有直线”,这种用“有限”代替“无限”的过程导致学生理解上的思维障碍教学中可充分利用“折纸”试验，引导学生进行操作、观察、思考与说理，挖掘“折纸”活动的数学内涵，对定理的两个关键条件“双垂直”和“相交”进行理解和确认3教学目标1知识与技能:借助对实例、图片的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义;通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明和直线与平面垂直有关的简单命题2过程与方法:在探索直线与平面垂直判定定理的过程中进一步培养学生的空间观念，发展学生的合情推理能力和一定的推理论证能力，同时体验和感悟转化的数学思想方法(3)情感态度与价值观:让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣和信心4重点难点1教学重点:直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理2教学难点:操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及其初步运用5教法教具2教法:本课采用“引导一探究式”教学方法，通过精心设计一个个问题串，激发学生的求知欲教师引导学生通过观察、分析、实验、讨论、说理等活动，领悟定义与判定定理的本质内涵，通过对例题和练习的思考、板演、交流与说理，体验思路的形成过程，感悟蕴涵其中的数学思想方法同时借助多媒体辅助教学，增强教学的直观性，提髙课堂效率3教具:投影仪，多媒体课件（以PowerPoint为平台）；学生自备学具:三角形纸片、笔表直线、课本表平面6教学过程直观感知直线与平面垂直的形象在直线与平面的位置关系中，直线在平面内、直线与平面平行我们已经系统研究过了，接下来要研究直线与平面相交的情形问题1展示日常生活中具有直线与平面相交的四个例子，图三、图四与图一、图二的相交有何不同？意图:基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察,让学生直观感知直线与平面相交中的特例——直线与平面垂直的形象，由此引出课题问题2在已学的空间几何体的直观图中，说说你心目中哪些直线与平面是垂直的？意图:基于学生的数学现实，在已学的几何模型中感知直线与平面垂直的位置关系抽象概括直线与平面垂直的定义问题3根据我们已有的经验，对于直线与平面垂直的位置关系，研究的内容、方法分别是什么？意图：明确研究的内容，通过对已有知识经验的回顾，引导学生用平面外直线与平面内直线的位置关系来研究直线与平面垂直的情形，体会知识形成的自然性问题4将一本书打开直立在桌面上，观察书脊（红线处）与桌面的位置关系（如图1），此时书脊与每页书与桌面的交线的位置关系如何？问题5观察圆锥SO（图2），它给我们以轴垂直于底面的形象，轴SO与底面内的哪些直线垂直呢？意图:问题4旨在让学生发现书脊所在直线始终与书页和桌面交线垂直，问题5旨在引导学生根据异面直线所成角的概念，圆锥的轴与底面任意一条直线垂直问题6若一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，你认为该直线与此平面垂直吗？意图:通过观察、讨论与举例，引导学生认识定义的“充要性”与“合理性”，由此得出直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直。

2020-2021学年高中数学北师大版必修2课后练习：1.6.1 垂直关系的判定 Word版含解析

姓名，年级：时间：§6垂直关系6。

1垂直关系的判定课后篇巩固探究A组基础巩固1.下列结论正确的是（)A.若直线a∥平面α,直线b⊥a,b⫋平面β，则α⊥βB.若直线a⊥直线b，a⊥平面α,b⊥平面β，则α⊥βC.过平面外的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直D。

过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直解析A选项中满足条件的平面β与平面α可能垂直，也可能平行或相交,故A 错；C选项中当平面外的直线与平面垂直时,过该直线有无数个平面与已知平面垂直,故C错;过平面外一点有无数个平面与已知平面垂直,故D错。

答案B2。

如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,则图中与平面PCD垂直的平面是()A。

平面ABCDB.平面PBCC.平面PADD。

平面PBCPA⊥平面ABCD得PA⊥CD,由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD,从而有CD⊥平面PAD,所以平面PCD⊥平面PAD。

故选C。

3。

如图所示，△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形,且∠BAC=60°，下列说法错误的是（)A.AD⊥平面BDCB。

BD⊥平面ADCC。

DC⊥平面ABDD.BC⊥平面ABDAD⊥BD,AD⊥DC,∴AD⊥平面BDC.∵△ADB与△ADC均为以D为直角顶点的等腰直角三角形,∴AB=AC，AB.BD=DC=√22∵∠BAC=60°,∴△ABC为等边三角形，故BC=AB=√2BD，∴∠BDC=90°，即BD⊥DC.∴BD⊥平面ADC,同理DC⊥平面ABD。

∴A，B，C项均正确.4.如图所示,ABCD—A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的个数是()①BD∥平面CB1D 1 ;②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1。

A。

0 B.1 C.2 D.3BD∥B1D1，所以①正确;因为BD⊥AC，BD⊥CC1，所以BD⊥平面ACC1,所以BD⊥AC1,故②正确；因为AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C,所以AC1⊥平面CB1D1，故①②③均正确。

高中数学(北师大版必修2)1.6.1垂直关系的判定

§6 垂直关系6．1 垂直关系的判定一、基础过关1．下列命题中正确的个数是( )①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α； ②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l ⊥α； ③如果直线l 不垂直于α，则α内没有与l 垂直的直线； ④如果直线l 不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直． A ．0B ．1C ．2D ．3 2．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫作二面角；②异面直线a 、b 分别和一个二面角的两个面垂直，则a 、b 组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角； ④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是( )A ．①③B ．②④C ．③④D ．①②3．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( )A.13B.12C.223D.32 4. 如图，AB 是圆的直径，P A 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于A 、B )且P A ＝AC ，则二面角P —BC —A 的大小为( )A ．60°B ．30°C ．45°D ．15°5. 如图所示，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，点P 为△ABC 所在平面外一点，P A ⊥平面ABC ，四面体P ABC 中有________个直角三角形．6．过正方形ABCD 的顶点A 作线段AP ⊥平面ABCD ，且AP ＝AB ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角的度数是________．7. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB.8. 如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)EF∥面ACD；(2)面EFC⊥面BCD.二、能力提升9. 如图所示，已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN 是直角，则∠C1MN＝________.11.如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：(1)AQ⊥平面SBC；(2)PQ⊥SC.三、探究与拓展12.如图，在三棱锥P—ABC中，P A⊥底面ABC，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面P AC.(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．答案1．B2．B3．B4．C5．四6．45°7．证明在平面B1BCC1中，∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，∴△BB1E≌△CBF，∴∠B1BE＝∠BCF，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，又AB⊥平面B1BCC1，CF 平面B1BCC1，∴AB⊥CF，又AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB.8．证明(1)∵E，F分别是AB，BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF面ACD，AD 面ACD，∴EF∥面ACD.(2)∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.∵CB＝CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD.又EF∩CF＝F，∴BD⊥面EFC.∵BD 面BCD，∴面EFC⊥面BCD.9．510．90°11．证明(1)∵SA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴SA⊥BC.又∵BC⊥AB，SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB.又∵AQ 平面SAB，∴BC⊥AQ.又∵AQ⊥SB，BC∩SB＝B，∴AQ⊥平面SBC.(2)∵AQ⊥平面SBC，SC 平面SBC，∴AQ⊥SC.又∵AP⊥SC，AQ∩AP＝A，∴SC⊥平面APQ.∵PQ 平面APQ，∴PQ⊥SC.12．(1)证明∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又∵AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC.(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面P AC，∴DE⊥平面P AC.又∵AE 平面P AC，PE 平面P AC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥AC，∴∠P AC＝90°.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．。

2021高中数学北师大版必修二课时分层作业：1.6.1 垂直关系的判定含解析

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课时分层作业九垂直关系的判定一、选择题(每小题5分，共30分)1.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是( )①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边.A.①③B.②C.②④D.①②④【解析】选A.由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面；对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直.2.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，取四棱锥A1-ABCD，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形.3.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是 ( )A.平行B.垂直相交C.垂直但不相交D.相交但不垂直【解析】选C.因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC=C，所以BD⊥平面AMC.又MA平面AMC，所以MA ⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与BC1垂直的平面是( )A.平面DD1C1CB.平面A1B1CDC.平面A1B1C1D1D.平面A1DB【解析】选B.因为易证BC1⊥B1C，且CD⊥平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.因为B1C∩CD=C，所以BC1⊥平面A1B1CD.5.如图所示，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2、G2G3的中点，D是EF 的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S-EFG中必有( )A.SG⊥平面EFGB.SD⊥平面EFGC.GF⊥平面SEFD.GD⊥平面SEF【解析】选A.折叠后，有些线线的位置关系不发生变化，如SG⊥GF，SG⊥GE.所以SG⊥平面GEF.6.已知三条相交于一点的线段PA，PB，PC两两垂直，PH⊥平面ABC于点H，则垂足H是△ABC的 ( )A. 外心B.内心C.垂心D.重心【解析】选C.因为PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC=P，所以PA⊥平面PBC，因为BC平面PBC，所以PA⊥BC.因为PH⊥平面ABC，所以PH⊥BC.又PA∩PH=P，所以BC⊥平面PAH，所以BC⊥AH.同理可证AB⊥CH，AC⊥BH，所以H为△ABC的垂心.二、填空题(每小题5分，共10分)7.已知四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，则平面PBD 与平面PAC的位置关系是_________.【解析】因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，在正方形ABCD中，BD⊥AC.又AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC.又BD平面PBD，所以平面PBD ⊥平面PAC.答案：垂直8.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形一定是_________.【解析】如图，由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD.又PC⊥BD，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥AC，平行四边形ABCD为菱形.答案：菱形三、解答题(每小题10分，共20分)9.如图，在四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1.求证：SD⊥平面SAB.【证明】因为AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1，所以底面ABCD为直角梯形，AD==.因为侧面SAB为等边三角形，所以SA=SB=AB=2.又SD=1，所以AD2=SA2+SD2，所以SD⊥SA.连接BD，则BD==，所以BD2=SD2+SB2，所以SD⊥SB.又SA∩SB=S，所以SD⊥平面SAB.10.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点.求证：平面ABM⊥平面A1B1M.【证明】由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.又CC1=2，M为CC1的中点，所以C1M=CM=1.在Rt△B 1C1M中，B1M==，同理BM==，又B1B=2，所以B1M2+BM2=B1B2，从而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M=B1，所以BM⊥平面A1B1M，因为BM平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.一、选择题(每小题5分，共25分)1.已知直线a∥直线b，b⊥平面α，则( )A.a∥αB.aαC.a⊥αD.a是α的斜线【解析】选C.2.如图，BC是Rt△ABC的斜边，过A作△ABC所在平面α的垂线AP，连接PB，PC，过A作AD⊥BC于D，连接PD，那么图中直角三角形的个数是( )A.4个B.6个C.7个D.8个【解析】选D.由图中△ABC，△APC，△ABP为直角三角形可以得△PBC为锐角三角形，所以图中有8个直角三角形.3.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )A.m⊥n，m∥α，n∥βB.m⊥n，α∩β=m，nαC.m∥n，n⊥β，mαD.m∥n，m⊥α，n⊥β【解析】选C.因为n⊥β，m∥n，所以m⊥β，又mα，由面面垂直的判定定理，所以α⊥β.4.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)，且PA=AC，则二面角P-BC-A的大小为( )A.60°B.30°C.45°D.90°【解析】选C.因为AB为直径，所以AC⊥CB，又PA⊥平面ABC，BC平面ABC，所以PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC，所以PC⊥BC，所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角，又PA=AC，所以∠ACP=45°.5.在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下列结论中错误的是( )A.平面EFG∥平面PBCB.平面EFG⊥平面ABCC.∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D.∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角【解析】选D.由题意，EG∥BC，FG∥PC，所以平面EFG∥平面PBC，A正确；由PC⊥BC，PC⊥AC，可得PC⊥平面ABC，又因为PC∥FG，所以FG⊥平面ABC，所以平面EFG⊥平面ABC，B正确；因为E，F分别为所在棱的中点，所以EF∥PB，所以∠BPC是直线EF与直线PC所成的角，C正确；因为AB与平面EFG不垂直，所以D错误.二、填空题(每小题5分，共20分)6.在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD=，则二面角B-AC-D的余弦值为_________.【解析】如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角.因为DO=OB=BD=，所以∠BOD=60°.答案：60°7.▱ABCD的对角线交点为O，点P在▱ABCD所在平面外，且PA=PC，PD=PB，则PO与平面ABCD的位置关系是_________.【解析】因为PA=PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC.同理可得PO⊥BD.因为AC∩BD=O，所以PO⊥平面ABCD.答案：垂直8.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个命题：①点H是△A1BD的中心；②AH垂直于平面CB1D1；③AC1与B1C所成的角是90°.其中正确命题的序号是_________.【解析】由于ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以A-A1BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故①正确；又因为平面CB1D1与平面A1BD平行，所以AH⊥平面CB1D1，故②正确；从而可得AC1⊥平面CB1D1，即AC1与B1C垂直，所成的角等于90°，故③正确.答案：①②③9.(2018·安康高一检测)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=CC1，当底面A1B1C1满足条件__________________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况).【解析】如图所示，连接B1C，由BC=CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可.因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可.(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1=90°等)答案：∠A1C1B1=90°(答案不唯一)三、解答题(每小题10分，共20分)10.如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD.求证：(1)AB∥EF.(2)平面BCF⊥平面CDEF.【证明】(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD，CD平面CDEF，AB平面CDEF，所以AB∥平面CDEF.又AB平面ABFE，且平面ABFE∩平面CDEF=EF，所以AB∥EF.(2)因为DE⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以DE⊥BC.因为BC⊥CD，CD∩DE=D，CD，DE平面CDEF，所以BC⊥平面CDEF.又因为BC平面BCF，所以平面BCF⊥平面CDEF.11.如图所示，已知在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=1+，过点A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE ⊥EC.(1)求证：BC⊥平面CDE.(2)求证：FG∥平面BCD.【证明】(1)由已知得DE⊥AE，因为DE⊥EC，AE∩EC=E，所以DE⊥平面ABCE.又因为BC平面ABCE，所以DE⊥BC.又BC⊥CE，DE∩CE=E，所以BC⊥平面DCE.(2)取AB的中点H，连接GH，FH.则GH∥BD，FH∥BC，则易得GH∥平面BCD，FH∥平面BCD.则易得平面FHG∥平面BCD，所以GF∥平面BCD.关闭Word文档返回原板块- 11 -。

北师大版高中必修26.1垂直关系的判定课程设计 (2)

北师大版高中必修26.1垂直关系的判定课程设计课程设计目的本课程设计的主要目的是帮助高中数学学生理解并掌握垂直关系的定义和判定方法。

具体目标包括：•理解垂直关系的定义•掌握通过斜率、倾斜角和向量等方法判定垂直关系的技巧•能够灵活应用垂直关系的判定方法解决实际问题预备知识在进行本课程设计前，学生需要掌握以下知识：•直线的方程（一次函数）•向量的基本概念•向量的数量积和向量积课程设计过程第一步：定义垂直关系首先，引导学生回顾直线的一般方程式 y = kx + b（其中 k 为斜率，b 为截距）。

然后，引导学生了解两条直线之间的垂直关系应该满足什么条件，具体表现在两方面：•斜率的乘积为 -1。

即若直线 L1 的斜率为 k1，直线 L2 的斜率为k2，那么有k1×k2 = -1。

•两条直线的倾斜角之和为 90 度。

通过这样的定义，引导学生深入理解垂直关系的概念和本质，并让学生自己完成相关知识点的整理。

第二步：通过斜率判定垂直关系第二步的主要目的是让学生掌握在已知直线的一般方程式 y = kx + b 的情况下，如何通过斜率来判定两条直线之间的垂直关系。

对此，推荐使用下列思路：•了解斜率的性质和含义，培养对平行和垂直的感性认识。

•利用斜率的乘积为 -1 的性质来判定两条直线之间的垂直关系。

•通过具体例子，帮助学生掌握这一判定方法的具体运用。

第三步：通过倾斜角判定垂直关系第三步的主要目的是让学生掌握在已知两条直线的倾斜角度数的情况下，如何直接判定两条直线之间的垂直关系。

对此，推荐使用以下步骤：•在平面直角坐标系中画出两条直线，并且确定让角度的基准线（例如，横轴）。

•利用正弦定理和余弦定理计算出两条直线与基准线的夹角。

•判断两角之和是否等于 90 度，从而根据定义判断两条直线之间的垂直关系。

第四步：通过向量判定垂直关系第四步的主要目的是让学生掌握通过向量积来判定垂直关系的方法。

具体来说，可以使用以下思路：•通过向量的基本概念，让学生了解向量的含义和性质，培养学生对向量运算的感性认识。

2021年高中数学第一章1.6.2垂直关系的性质学案北师大版必修2

6．2垂直关系的性质知识点一直线与平面垂直的性质定理[填一填]定理内容：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.图形语言：如图所示．作用：证明两直线平行．[答一答]1．两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面吗？提示：垂直．因为两条平行线中的一条垂直于这个平面，所以这条直线垂直于平面内的两条相交直线，所以另一条直线也垂直于这两条相交直线，故另一条也垂直于这个平面．2．分别垂直于两个平行平面的两条直线是否平行？提示：平行．因为一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面的平行平面，所以这两条直线垂直于同一个平面，所以这两条直线平行．3．垂直于同一条直线的两平面平行吗？提示：平行．如图，过直线l作两个平面，分别与两个平面α，β相交于a，a′，b，b′，∵l⊥α，∴l⊥a，l⊥b.∵l⊥β，∴l⊥a′，l⊥b′.∴a∥a′，b∥b′.又a与b相交，a′与b′相交，∴α∥β.∴垂直于同一条直线的两个平面平行．知识点二平面与平面垂直的性质定理[填一填]定理内容：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．符号语言：α⊥β，α∩β＝m，lβ，l⊥m⇒l⊥α.图形语言：如图所示．作用：证明直线与平面垂直．[答一答]4．应用定理若分别去掉以下两个条件，探究定理是否成立．(1)将条件lβ去掉，结论是否成立？(2)将条件l⊥m去掉，结论是否成立？提示：(1)不一定成立，如图(1)让l⊥β，这时也有l⊥m，但l与α不垂直．(2)不成立，如图(2)直线lβ，但l与直线m不垂直，显然l与α不垂直．5．若两个平面互相垂直，一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与另一个平面的关系是什么？提示：若α⊥β，l⊥α，在β内作a与α，β的交线垂直，则a⊥α，∴a∥l.∴l∥β或lβ，即直线l与平面β平行或在平面β内．1．直线与平面垂直的性质定理的三点说明(1)性质定理的前提是直线与平面垂直．(2)性质定理的结论是线线平行．(3)性质定理的作用：主要用于证明线线平行．2．直线与平面垂直的常见性质(1)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直．(2)过一点有且只有一个平面和已知直线垂直．(3)垂直于同一直线的两个平面平行．3．平面与平面垂直的性质定理的关注点(1)性质定理成立要有两个条件：一是线在面内，二是线垂直于交线．(2)利用性质定理的关键点：一找，二证．即在其中一个平面内找到一条直线，然后证明所找直线与交线垂直．(3)定理的实质是由面面垂直得到线面垂直.类型一线面位置关系的判断【例1】已知直线m、n，平面α、β，下列说法正确的是()A．m⊥α，nβ，m⊥n，则α⊥βB．α⊥β，m⊥α，n∥β，则m⊥nC．α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥nD．α⊥β，α∩β＝m，m⊥n，则n⊥β【思路探究】线线、线面、面面位置关系的判断要充分利用有关的定义、性质和定理．【解析】如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1 中，直线C1C⊥平面AC，直线D1C1平面A1B1C1D1，直线C1C⊥直线D1C1，但是平面AC与平面A1B1C1D1 平行，排除A 选项；平面AC⊥平面DC，直线C1C⊥平面AC，B1B∥平面D1C，但B1B∥C1C，排除B 项；平面AC⊥平1面A1B，平面AC∩平面A1B＝AB，AB⊥BC1，但是BC1 不垂直于平面A1B，排除D 项．【答案】 C规律方法本题是符号语言表达题，以选择题形式出现，常通过借助几何模型，利用排除法、淘汰错误的选项来解题．已知三条不重合的直线 m ，n ，l 和两个不重合的平面 α，β，有下列命题：①若 m ∥n ，n α，则 m ∥α；②若 l ⊥α，m ⊥β，且 l ⊥m ，则 α⊥β；③若 l ⊥n ，m ⊥n ，则 l ∥m ；④若 α⊥β，α∩β＝m ，n β，n ⊥m ，则 n ⊥α.其中正确的个数是( C )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：①m ∥n ，n α，则 m ∥α 或 m α，因此不正确；②若 l ⊥α，m ⊥β 且 l ⊥m ，利用面面垂直的判定定理可得 α⊥β，因此正确；③若 l ⊥n ，m ⊥n ，则 l 与 m 平行、相交或异面，因此不正确；④若 α⊥β，α∩β＝m ，n β，n ⊥m ，利用面面垂直的性质定理即可得出 n ⊥α，因此正确．综上可知，只有②④正确．类型二线面垂直的性质定理的应用【例 2】如图，在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，E ，F 分别为 A 1D 和 AC 上的点，EF与异面直线 AC ，A 1D 均垂直．求证：EF ∥BD 1.【思路探究】 BD 1 为正方体的体对角线，连接 AB 1，B 1C 后可证得 BD 1⊥平面 AB 1C ，只需证 EF ⊥平面 AB 1C 即可．【证明】连接 AB 1，B 1C ，BD ，B 1D 1.∵DD 1⊥平面 ABCD ，AC 平面 ABCD ，∴DD 1⊥AC .又∵AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面 BDD 1B 1，∴AC ⊥BD 1.同理可证 BD 1⊥B 1C .∴BD 1⊥平面 AB 1C .又 EF 与异面直线 AC ，A 1D 均垂直，即 EF ⊥AC ，EF ⊥A 1D .又 A 1D ∥B 1C ，∴EF ⊥B 1C ，∴EF ⊥平面 AB 1C ，∴EF ∥BD 1.规律方法正方体、直棱柱、正棱锥、正四面体等特殊的几何体都有明显的几何特征，解题时，要充分挖掘这些几何体的线面关系．如直棱柱的侧棱垂直于底面等．如图，已知平面 α∩平面 β＝l ，EA ⊥α，垂足为 A ，EB ⊥β，垂足为 B ，直线 a β，a ⊥ AB .求证：a ∥l .证明：因为EA⊥α，α∩β＝l，即lα，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，aβ，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.由线面垂直的性质定理，得a∥l.类型三面面垂直的性质定理的应用【例3】如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.若G为AD边的中点，求证：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB.【思路探究】由题目可获取以下主要信息：①四边形ABCD是边长为a的菱形；②平面PAD⊥平面ABCD.解答本题可先由面垂直于面得线垂直于面，再进一步得出线垂直于线．【证明】(1)如图，连接PG，BD，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD平面PAD，PG平面PAD，且AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，又BG平面PBG，PG平面PBG，且BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB.规律方法证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，再一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．如图所示，已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．提示：(1)由平面PAB⊥平面ABC，且交线为AB，则在平面ABC内与AB垂直的直线一定与PA垂直，同理，由平面PAC⊥平面ABC，在平面ABC内与AC垂直的直线也与PA垂直，可证(1)；(2)垂心为高的交点，可先证BA⊥平面PAC.证明：(1)∵平面PAB⊥平面ABC，交线为AB，在平面ABC内过C作CM⊥AB于M(如图)，则CM⊥平面PAB.∴CM⊥PA.又平面PAC⊥平面ABC，交线为AC，在平面ABC内过B作BN⊥AC交CM于点O，则BN⊥平面PAC，∴BN⊥PA.又CM∩BN＝O，∴PA⊥平面ABC.(2)∵E为△PBC的垂心，连接BE并延长交PC于点F，则BF⊥PC.又AE⊥平面PBC，则AE⊥PC.∴PC⊥平面ABE，则PC⊥AB.又由(1)知PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，则AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC为直角三角形．类型四垂直关系的综合应用【例4】如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M是AE的中点．求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.【思路探究】解答本题可先根据题意作出辅助线，再借助辅助线解答相关的各个问题．【证明】(1)如图，取EC的中点F，连接DF.∵CE⊥平面ABC，∴CE⊥BC.易知DF∥BC，∴CE⊥DF.∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC.在Rt△EFD和Rt△DBA中，1∵EF＝CE＝DB，DF＝BC＝AB，2∴Rt△EFD≌Rt△DBA.故DE＝DA.(2)如图，取AC的中点N，连接MN、BN，则MN綊CF.∵BD綊CF，∴MN綊BD，∴N∈平面BDM.∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又∵AC⊥BN，∴BN⊥平面ECA.又∵BN平面MNBD，∴平面BDM⊥平面ECA.(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.又∵DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.规律方法(1)本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定定理，证明的关键是BN⊥平面ECA，在这里应充分体会线线垂直、线面垂直与面面垂直的关系．(2)垂直关系的相互转化：判定定理判定定理直线与直直线与平面平面与平面垂直线垂直垂直定义及性质性质定理(1)求证：AE⊥DA1；Earlybird晨鸟教育(2)在线段AA1 上是否存在一点G，使得AE⊥平面DFG？并说明理由．解：(1)证明：如图，连接AD1，BC1，由正方体的性质可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB，又AB∩AD1＝A，∴DA1⊥平面ABC1D1.又AE平面ABC1D1，∴DA1⊥AE.(2)存在，所示G点即为A1 点，理由如下：由(1)可知AE⊥DA1，取CD的中点H，连接AH，EH，由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH＝H，可证DF⊥平面AHE，∵AE平面AHE，∴DF⊥AE.又DF∩A1D＝D，∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.——多维探究系列——有关垂直的探究问题【例5】如图，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．(1)求证：BM∥平面PAD；(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．【思路分析】(1)取PD的中点E，可证四边形ABME是平行四边形，因此，BM∥AE，从而BM∥平面PAD.(2)可作MN⊥BE，交AE于点N，N即为所求．【精解详析】晨鸟教育(1)取PD的中点E，连接EM、AE，如图所示．1 1∴EM綊CD，而AB綊CD，2 2∴EM綊AB.∴四边形ABME是平行四边形．∴BM∥AE.∵AE平面PAD，BM平面PAD.∴BM∥平面PAD.(2)存在．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB.而AB⊥AD，PA∩AD＝A. ∴AB⊥平面PAD.∴AB⊥PD.∵PA＝AD，E是PD中点，∴PD⊥AE.∴PD⊥平面ABME.作MN⊥BE，交AE于点N.∴MN⊥平面PBD.易知△BME∽△MEN.1而BM＝AE＝2，EM＝CD＝1，2EN EM EM2 1 2∴＝，即EN＝＝＝.EM BM BM 2 22∴AN＝，即点N为AE的中点．2【解后反思】此题是对条件开放的，因此解决此类问题一般用分析法，即从结论入手，分析得到该结论所需的条件或其等价的条件．此题也考查了空间想象能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力．如图，在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．(1)求证：DE∥平面ACF；EG(2)若AB＝2CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出EO 的值；若不存在，请说明理由．Earlybird解：(1)证明：如图，连接OF，由四边形ABCD是正方形可知，点O为BD的中点，又F为BE的中点，∴OF∥DE，又OF平面ACF，D E⃘平面ACF，∴DE∥平面ACF；(2)假设在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE.由于CG⊥平面BDE，则必有CG⊥OE，于是作CG⊥OE于点G，∵EC⊥底面ABCD，∴CE⊥BD，又底面是正方形，∴BD⊥AC，EC∩AC＝C，∴BD⊥平面ACE，而CG平面ACE，∴BD⊥CG，又OE∩BD＝O，∴CG⊥平面BDE，2∵AB＝2CE，∴CO＝AB＝CE，2EG 1∴G为EO的中点，∴＝.EO 2故在线段EO上存在点G，且为中点，使CG⊥平面BDE.一、选择题1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且lα，mβ(A)A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m解析：选项A 为平面与平面垂直的判定定理，故正确；选项B 中，当α⊥β时，l，m可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C 中，l∥β时，α，β可以相交；选项D 中，α∥β时，l，m也可以异面．故选A.2．已知直线l⊥平面α，直线m平面β，给出下列命题：(1)α∥β⇒l⊥m，(2)α⊥β⇒l∥m，(3)l∥m⇒α⊥β，(4)l⊥m⇒α⊥β，其中正确的是(D)A．(1)(2)(3) B．(2)(3)(4) C．(2)(4) D．(1)(3)解析：Earlybird对于(1)，直线l⊥平面α，直线m平面β，α∥β，可得l⊥β⇒l⊥m，所以(1)正确；对于(2)，直线l⊥平面α，直线m平面β，α⊥β，可得l与m还可能异面或相交，所以(2)不正确；对于(3)，直线l⊥平面α，直线m平面β，l∥m⇒α⊥β，满足平面与平面垂直的判定，所以(3)正确；对于(4)，直线l⊥平面α，直线m平面β，l⊥m，如图：α⊥β，也可能平行，相交．所以(4)不正确．二、填空题3．若直线a⊥b，b⊥α，aα，则直线a与平面α的位置关系是a∥α.解析：∵b⊥α，设b∩α＝A，过A与a确定平面β，且β∩α＝c，此时a∥c，cα，a α，故a∥α.三、解答题4.如图所示，α⊥β，α∩β＝AB，CDβ，CD⊥AB，CE、EFα，∠FEC＝90°，求证：平面EFD⊥平面DCE.证明：∵α⊥β，CD⊥AB，α∩β＝AB，∴CD⊥α.又∵EFα，∴CD⊥EF.又∠FEC＝90°，∴EF⊥EC.又EC∩CD＝C，∴EF⊥平面DCE.又EF平面EFD，∴平面EFD⊥平面DCE.Earlybird。

高中数学第一章立体几何初步6.1垂直关系的判定学案北师大版必修2(2021学年)

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6．１垂直关系的判定学习目标1。

掌握直线与平面垂直的定义、判定定理。

2。

掌握平面与平面垂直的概念、判定定理。

3。

会应用两定义及两定理证明有关的垂直问题．知识点一直线与平面垂直的定义思考在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子,随着时间的变化，影子的位置在移动,在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化,为多少？梳理线面垂直的概念定义如果一条直线和一个平面内的_＿__＿＿________直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直记法有关概念直线l叫作平面α的__＿＿＿___，平面α叫作直线l的______＿_,它们唯一的公共点Ｐ叫作＿___＿___图示画法画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直知识点二直线和平面垂直的判定定理将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(ＢD,ＤC与桌面接触)．观察折痕ＡＤ与桌面的位置关系.思考１折痕AD与桌面一定垂直吗？思考2 当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？梳理判定定理文字语言如果一条直线和一个平面内的__＿____＿___＿__都垂直,那么该直线与此平面垂直符号语言ｌ⊥a，l⊥b，aα，bα,ａ∩b=Ａ⇒l⊥α图形语言知识点三二面角思考１观察教室内门与墙面,当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状．数学上,用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？思考2 平时，我们常说“把门开大一点"，在这里指的是哪个角大一点?梳理 (1）定义：从一条直线出发的____＿＿___＿＿___所组成的图形.（２)相关概念：①这条直线叫作二面角的＿_____＿＿.②两个半平面叫作二面角的_＿___＿＿_.（3)二面角的记法以直线AB为棱,半平面α，β为面的二面角,记作二面角α－AB-β。

北师大版数学高一1.6.2 垂直关系的性质学案必修2

1.6.2 垂直关系的性质自主学习1．掌握并会应用直线与平面垂直的性质，理解平行与垂直之间的关系．2．掌握两个平面垂直的性质定理并能利用该定理作平面的垂线．3．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系．1．直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号：________________．2．平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内__________于它们________的直线垂直于另一个平面．符号：α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥l⇒__________．3．两个重要结论(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．图形表示为：符号：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β⇒________．(2)已知平面α⊥平面β，a α，a⊥β，那么________(a与α的位置关系)．对点讲练直线与平面垂直的性质定理的应用例1已知，如图所示，直线a⊥α，直线b⊥β，且AB⊥a，AB⊥b，平面α∩β＝c．求证：AB∥c．点评判断线线、线面的平行或垂直关系，一般依赖于判定定理和性质定理，有时候也可以放到特殊几何体(如正方体，长方体，正棱柱等)中，判断它们的位置关系．变式训练1如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF⊥AC，EF⊥A1D，求证：EF∥BD1．面面垂直的性质定理的应用例2如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB．点评证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，再一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．变式训练2如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD．线线、线面、面面垂直的综合应用例3平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．点评证明线面垂直、面面垂直、线线垂直不要局限于一个方面，有时需考虑多种情况的综合．在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．变式训练3 在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥AB ．1．直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合，利用垂直关系可判断平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面．2．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理． 3．判定线面垂直的方法主要有以下五种： (1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理； (3)面面垂直的性质定理，另外，还有两个重要结论；(4)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面，⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α；(5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa ⊥α⇒a ⊥β．课时作业一、选择题1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A ．AB ∥m B ．AC ⊥m C ．AB ∥βD ．AC ⊥β2．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α． A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．平面α⊥平面β，直线a ∥α，则( ) A ．a ⊥β B ．a ∥βC ．a 与β相交D ．以上都有可能 4．如图，平面ABC ⊥平面BDC ，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝AC ＝a ，则AD 等于( )A ．aB ．22a C ．32a D ．52a 5．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6．过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′等于( )A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶3二、填空题6．直线a 和b 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的两个不同平面内，使a ∥b 成立的条件是______________．(只填序号即可)①a 和b 垂直于正方体的同一个面；②a 和b 在正方体两个相对的面内，且共面；③a 和b 平行于同一条棱；④a 和b 在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．7．如图所示，平面ABC ⊥平面ABD ，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，△ABD 是正三角形，O 为AB 中点，则图中直角三角形的个数为________．8．α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断： ①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________________．三、解答题9．如图，α⊥β，α∩β＝l，AB⊂α，AB⊥l，BC⊂β，DE⊂β，BC⊥DE．求证：AC⊥DE．10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．6．2垂直关系的性质答案自学导引1．a⊥α，b⊥α⇒a∥b2．垂直交线a⊥β3．(1)aα(2)a∥α对点讲练例1证明过点B引直线a′∥a，a′与b确定的平面设为γ，因为a′∥a，AB⊥a，所以AB⊥a′，又AB⊥b，a′∩b＝B，所以AB⊥γ．因为b⊥β，cβ，所以b⊥c．①因为a⊥α，cα，所以a⊥c．又a′∥a，所以a′⊥c．②由①②可得c⊥γ，又AB⊥γ，所以AB∥c．变式训练1证明连接AB1，B1C，B1D1，BD．∵B1B⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥B1B．又AC⊥BD，BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BDD1B1．又∵BD1平面BDD1B1，∴AC⊥BD1，同理可证B1C⊥BD1．∵B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C．∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C．又∵EF⊥AC且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，又BD1⊥平面AB1C，∴EF∥BD1．例2证明(1)由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG．又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD．又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD．(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD．又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB．变式训练2证明设AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥PC．∵PC＝CD＝a，PD＝2a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD．∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD．又EO平面EDB，故有平面EDB⊥平面ABCD．例3证明(1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F．∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC，PA平面PAC，∴DF⊥AP．作DG⊥AB于G．同理可证DG⊥AP．DG、DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC．(2)连接BE并延长交PC于H．∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE．又已知AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE．又∵AE∩BE＝E，∴PC⊥面ABE．∴PC⊥AB．又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB．又PC∩PA＝P，∴AB⊥平面PAC．∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．变式训练3证明在平面PAB内，作AD⊥PB于D．∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，∴AD⊥平面PBC．又BC平面PBC，∴AD⊥BC．又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB．又AB平面PAB，∴BC⊥AB．课时作业1．D[∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l．∵AB∥l，∴AB∥m．故A一定正确．∵AC⊥l，m∥l，∴AC⊥m．从而B一定正确．∵A∈α，AB∥l，lα，∴B∈α．∴AB β，lβ．∴AB∥β．故C也正确．∵AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立．故D不一定成立．]2．C[①②③正确，④中n与面α可能有：nα或n∥α或相交(包括n⊥α)．] 3．D4．A5．A6．①②③解析①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为公理4的应用．7．6解析由题意知CO ⊥AB ，∴CO ⊥面ABD ，∴CO ⊥OD ，∴直角三角形为△CAO ，△COB ，△ACB ，△AOD ，△BOD ，△COD ．8．若①③④，则②(或若②③④，则①)9．证明 ∵α⊥β，α∩β＝l ，AB ⊂α，AB ⊥l ，∴AB ⊥β． ∵DE ⊂β，∴AB ⊥DE ．∵BC ⊥DE ，AB ∩BC ＝B ，∴DE ⊥平面ABC ． ∵AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥DE ． 10．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D ．又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1． ∵A 1D ∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC ．又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1．(2)连接ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ．∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON ∥AM ．又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM ． ∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点．。

北师大版必修2高中数学第1章《立体几何初步》垂直关系的判定导学案

1高中数学第1章《立体几何初步》垂直关系的判定导学案北师大版必修2你的疑惑3.（1）半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成 _________，其中的________都叫作半平面.（2）二面角：从一条直线出发的___________所组成的图形叫作二面角，___________叫做二面角的棱，______________叫作二面角的面.（3）二面角的记法：以直线AB 为棱，半平面α、β为面的二面角，记作________________.（如下图（1））（4）二面角的平面角：以二面角的棱上_________为端点，在两个半平面内分别作___________的两条射线，这两条射线所组成的角叫作二面角的平面角. 如下图（2）中的AOB ∠. ______________的二面角叫作直二面角.（5）两个平面相交，如果所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直.4. 将一支铅笔垂直于桌面，再用一本书紧贴着铅笔转动，你能观察到书本和桌面的关系吗？再观察下图（1）（2）中的长方体，可以发现：平面α内的直线a 与平面β________，这时，α____β.抽象概括平面和平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条_______，那么这两个平面互相垂直.图形语言：符号语言：若直线AB ____平面β，AB ______平面α，策略与反思纠错与归纳【学习目标】 1. 理解直线和平面、平面和平面垂直的判定定理，并能进行简单应用. 2. 通过垂直关系判定定理的探究和应用过程，进一步提高空间想象能力和逻辑思维能力. 3. 通过垂直关系判定定理的探究和应用过程，体会数学和生活的紧密联系. 【重点难点】重点：直线和平面、平面和平面垂直的判定定理及应用. 难点：对直线和平面、平面和平面垂直判定定理的理解. 【使用说明】 1. 认真阅读课本第35—37页的内容，独立完成自主学习内容. 2. 在自主学习的基础上，通过小组讨论，完成合作探究内容. 【自主学习】 1. 如右图，拿一块教学用的直角三角板，放在墙角，使三角板的直角顶点C 与墙角重合，直角边AC 所在直线与墙角所在直线重合，将三角板绕AC 转动，在转动过程中，直角边CB 与地面紧贴，这就表示，AC 与地面垂直.抽象概括直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的___________直线都_________，那么称这条直线和这个平面垂直. 2. 观察上图（1）的长方体，c b ,是平面α内的两条_______直线，直线a __b ，a __c ，这时，a __α. 观察上图（2）的长方体，平面α内的两条直线c b ,不相交，虽然直线a 与c b ,都______，但是a 与α_________. 抽象概括直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的_______________都垂直，那么该直线与此平面垂直. 图形语言：符号语言：若直线a ____平面α，直线b _____平面α，直线l ____a ，直线l ____b ，a ____A b =，则α⊥l .天才在于积累聪明在于勤奋。

北师大版高一数学必修2《1.6.1 垂直关系的判定》

1.6.1 垂直关系的判定知识点1：直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么称这条直线和这个平面垂直.(2)画法:当直线与平面垂直时,通常把表示直线的线段画成和表示平面的平行四边形的横边垂直.如图所示.(3)直线与平面垂直的判定定理①文字叙述:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.②符号表示:若直线a⫋α,直线b⫋α,直线l⊥a,l⊥b,a∩b=A,则l⊥α.③图形表示:④作用:线线垂直⇒线面垂直。

【练习】垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是( )A.垂直B.斜交C.平行D.不能确定解析:梯形的两腰所在的直线相交,根据线面垂直的判定定理可知选项A正确.名师点拨理解线面垂直的判定定理注意以下几点:(1)定理可表述为“线线垂直,则线面垂直”.(2)“两条相交直线”是关键词,一定不要忽视这个条件,否则将导致结论错误,即“线不在多,相交就行”.(3)要证明一条直线与一个平面垂直,只需在平面内找到两条相交直线和该直线垂直即可,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点无关紧要.(4)线面垂直的判定定理与线面垂直的定义往往在证题过程中要反复交替使用.知识点2：二面角及其平面角(1)半平面的定义:一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫作半平面.(2)二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角,这条直线叫作二面角的棱,这两个半平面叫作二面角的面.(3)二面角的记法:以直线AB为棱,半平面α,β为面的二面角,记作二面角α-AB-β.(4)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.(5)直二面角:平面角是直角的二面角叫作直二面角.【练习】给出下列命题:①两个相交平面组成的图形叫作二面角;②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成的角;④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是( )A.①③B.②④C.③④D.①②解析:由二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角,可知①不对.画出图形,可知②正确.③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱,故③不对.由定义知④正确.故选B.知识点3：平面与平面垂直(1)两个平面互相垂直的定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.(2)画法:在画两个垂直的平面时,通常把表示直立平面的平行四边形的竖边画成和表示水平平面的平行四边形的横边垂直.如图①②所示.(3)平面与平面垂直的判定定理①文字叙述:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.②符号表示:③图形表示:④作用:线面垂直⇒面面垂直【练习】已知直线m,n与平面α,β,γ,下列可能使α⊥β成立的条件是( )A.α⊥γ,β⊥γB.α∩β=m,m⊥n,n⫋βC.m∥α,m∥βD.m∥α,m⊥β解析:选择适合条件的几何图形观察可得,A中α∥β或α与β相交,B中α,β相交,但不一定垂直,C中α∥β或α与β相交.名师点拨理解面面垂直的判定定理注意以下几点:(1)定理可简记为“线面垂直,则面面垂直”,因此要证明平面与平面垂直,只需在其中一个平面内找另一个平面的垂线,即证“线面垂直”.(2)两个平面垂直的判定定理,不仅仅是判定两个平面垂直的依据,而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据.(3)要证α⊥β,可证α经过β的某一条垂线,也可证明β经过α的某一条垂线.思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)若直线l垂直于平面α内无数条直线,则有l⊥α. ( ╳)(2)若直线l垂直于平面α内任意直线,则有l⊥α. ( √)(3)若直线l垂直于α内的一个凸五边形的两条边,则有l⊥α. ( √)(4)一个二面角的平面角有且只有一个. ( ╳)(5)若直线l与平面α交于点O,且l与α不垂直,l⫋β,则α与β一定不垂直. ( ╳)【例1】如图所示,在三棱锥A-BCD中,BC=AC,AD=BD,作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于点H.求证:AH⊥平面BCD.证明:取AB的中点F,连接CF,DF,因为AC=BC,所以CF⊥AB.同理可得,DF⊥AB.又CF∩DF=F,所以AB⊥平面CDF.因为CD⫋平面CDF,所以AB⊥CD.又BE⊥CD,且BE∩AB=B,所以CD⊥平面ABE.因为AH⫋平面ABE,所以CD⊥AH.又AH⊥BE,BE∩CD=E,所以AH⊥平面BCD.反思感悟证明线面垂直的关键是：分析几何图形,寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系,进而证明线面垂直.三角形全等、等腰三角形底边上的中线、梯形的高、菱形和正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法.变式训练1：如图所示,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆O上的点.求证:BC⊥平面PAC.分析:由AB是圆O的直径可知AC⊥BC,再结合PA⊥平面ABC,即可证明BC⊥平面PAC.证明:由AB是圆O的直径,得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC,BC⫋平面ABC,得PA⊥BC.又PA∩AC=A,PA⫋平面PAC,AC⫋平面PAC,所以BC⊥平面PAC.2,E,F分别是AB,PD的中点.【例2】如图所示,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,AD=PA=2,CD=2求证:(1)AF∥平面PCE;(2)平面PCE⊥平面PCD.分析:(1)要证AF∥平面PCE,只需证明AF平行于平面PCE内的一条直线即可,取PC的中点G,则该直线为GE. (2)要证明平面PCE⊥平面PCD,只需证明GE⊥平面PCD,而由(1)知GE∥AF,故只需证明AF⊥平面PCD即可.反思感悟怎样证明平面与平面垂直：1.证明面面垂直的方法:(1)证明两个半平面构成的二面角的平面角为90°;(2)证明一个平面经过另一个平面的一条垂线,将证明面面垂直的问题转化为证明线面垂直的问题.2.利用判定定理证明两个平面垂直时,一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图形中不存在这样的垂线,则可通过作辅助线来解决,而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明.变式训练2：已知正方形ABCD的边长为1,分别取边BC,CD的中点E,F,连接AE,EF,AF,以AE,EF,FA为折痕,折叠使点B,C,D重合于一点P.求证:(1)AP⊥EF;(2)平面APE⊥平面APF.题型三：对空间中线面关系理解不透彻而致误【典例】如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,则截面ACB1与对角面BB1D1D垂直吗?纠错心得1.因为B1O与底面不垂直,就断定截面ACB1不可能与对角面BB1D1D垂直,这是毫无根据的.2.要克服上述错误,一定要将有关定理或性质的适用条件及内涵把握清楚,不能凭想当然进行毫无逻辑的论证.课后巩固练习：1.下列各种情况中,一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两条边;②梯形的两条边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.不能保证该直线与平面垂直的是( )A.①③B.②C.②④D.①②④解析:三角形的任何两边都相交;圆的任何两条直径都相交;但梯形中任意两边不一定相交,也可能平行;正六边形中也存在平行的两条边,因此不能保证该直线与平面垂直的是②④.故选C.答案:C2.在空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,则( )A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ABC⊥平面ADBC.平面ABC⊥平面DBCD.平面ADC⊥平面DBC解析:如图所示,∵AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,∴AD⊥平面BDC.又AD⫋平面ADC,∴平面ADC⊥平面DBC.答案:D3.如图所示,∠BCA=90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC,△PAC的边所在的直线中,(1)与PC垂直的直线有;(2)与AP垂直的直线有.解析:(1)因为PC⊥平面ABC,AB,AC,BC⫋平面ABC,所以与PC垂直的直线有AB,AC,BC.(2)∠BCA=90°,即BC⊥AC.又BC⊥PC,AC∩PC=C,所以BC⊥平面PAC,PA⫋平面PAC.所以BC⊥AP.答案:(1)AB,AC,BC (2)BC4.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别为A1D1和AA1的中点,则下列说法正确的个数为( )①C1M∥AC; ②BD1⊥AC; ③BC1与AC所成的角为60°; ④CD与BN为异面直线.A.1B.2C.3D.45.如图所示,四边形ABCD是菱形,PC⊥平面ABCD,E是PA的中点求证:平面BDE⊥平面ABCD.。

2021年高中数学第一章1.6.1垂直关系的判定学案北师大版必修2

§6垂直关系6．1垂直关系的判定知识点一直线与平面垂直的定义[填一填]如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l ⊥α.直线l叫作平面α的垂线，平面α叫作直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫作垂足．[答一答]1．如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，l与α垂直吗？提示：不一定．若平面内的无数条直线是平行的，则直线l与平面可能平行，也可能垂直，也可能是相交但不垂直，也可能直线l在平面内．2．“任何直线”“所有直线”“无数条直线”表达的是同一意思吗？提示：“任何直线”与“所有直线”的意义相同，但与“无数条直线”不同，“无数条直线”仅是“任何直线”中的一部分．3．若l⊥α，a为平面α内的任一条直线，则l与a是否垂直？提示：垂直，由直线和平面垂直的定义可知，直线和平面内的所有直线都垂直，这也是证明两条直线垂直的一种方法．知识点二直线与平面垂直的判定定理[填一填]1．文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．2．图形语言：如下图所示．3．符号语言：aα，bα，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.[答一答]4．如果一条直线和平面内的两条直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直吗？为什么？提示：无法判断这条直线和这个平面是否垂直．因为当这两条直线相交时，由判定定理可知直线和平面垂直；而当这两条直线相互平行时，直线和平面不一定垂直，直线可能在平面内，也可能与平面平行，还可能与平面斜交．5．直线与平面垂直的判定定理的作用是什么？提示：直线与平面垂直的判定定理是证明线面垂直的依据，体现了相互转化的数学思想，在应用时，应该注意定理条件的完备性．知识点三二面角及其平面角[填一填]二面角(1)定义：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作这个二面角的平面角，其范围是[0，π]．二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的度数就是二面角的度数．平面角是直角的二面角叫作直二面角．(3)记法：以直线AB为棱、半平面α，β为面的二面角，记作二面角α－AB－β，如图所示．[答一答]6．确定二面角的平面角的方法有哪些？提示：方法1：(定义法)在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图：方法2：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角．如图：注意：①在平面角的定义中，平面角的两边必须有共同的顶点且分别在两个半平面内；平面角的两边必须都与棱垂直．②“特殊”两字的作用，在于平面角的大小易于求出．知识点四平面与平面垂直[填一填]1．定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．如果平面α与平面β垂直，记作α⊥β.2．画法：两个互相垂直的平面，通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如下图(1)(2)所示．3．判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．符号语言：l⊥α，lβ⇒α⊥β.图形语言：如下图所示：[答一答]7．面面垂直的判定定理的条件有几个，减少一个条件定理是否还成立？提示：判定定理有两个条件，若去掉一个条件，则定理不一定成立．8．当开启房门时，为什么房门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？提示：因为房门无论转到什么位置，都始终经过与地面垂直的门轴，根据两个平面垂直的判定定理知，门所在平面都与地面垂直．9．过一点有多少个平面与已知平面垂直？为什么？提示：过一点有无数个平面与已知平面垂直，虽然过一点有且只有一条直线和已知平面垂直，但是经过这条垂线的所有平面都和已知平面垂直．1．直线与平面垂直的判定定理的条件中，“平面内两条相交直线”是关键性词语，此处强调相交．若两条直线不相交(即平行)，即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直．2．要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可．至于这两条直线是否与已知直线有交点，这是无关紧要的．3．对于二面角及其平面角的理解(1)二面角是一个空间图形，而二面角的平面角是平面图形，二面角的大小通过其平面角的大小表示，体现了由空间图形向平面图形转化的思想．(2)二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.4．对于平面与平面垂直的判定理解平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”．因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题．以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到一条直线和另一个平面垂直即可．类型一有关概念和定理的判断【例1】判断题：正确的在括号内打“√”，不正确的打“×”．(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行．()(2)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．()(3)过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．()(4)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．()【解析】(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行，②异面，因此应打“×”．(2)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，∴应打“√”．(3)①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第①个命题知：过点A垂直于直线a的平面唯一，因此，过点A且与直线a垂直的直线都在过点A且与直线a垂直的平面内，∴应打“√”．(4)三条共点直线两两垂直，设为a，b，c且a，b，c共点于O，∵a⊥b，a⊥c，b∩c＝O，且b，c确定一平面，设为α，则a⊥α.同理可知b垂直于由a，c确定的平面，c垂直于由a，b确定的平面．∴应打“√”．【答案】(1)×(2)√(3)√(4)√规律方法处理此类问题关键是正确理解概念及定理所具备的条件，只有具备相应条件，才能得到相应结论．若l，m是互不相同的空间直线，α，β，γ是不重合的平面，则下列命题中是真命题的是(D)A．若l∥α，m∥α，lβ，mβ，则α∥βB．若α⊥β，lα，则l⊥βC．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γD．若l⊥α，l∥β，则α⊥β解析：A中未说明l，m相交，只有直线l，m相交时，才能得到α∥β；B中l可能在β内或与其相交、平行，故B不正确；C中平面的垂直关系不具有传递性，α与γ可能斜交、平行；D中若l∥β，则在β内能找到一条直线l′使l′∥l，而l⊥α，则有l′⊥α，根据面面垂直的判定定理可得α⊥β.类型二线面垂直的判定【例2】如图所示，在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，∠ABC＝90°，在平面P AB 中，作AH⊥PB于点H.求证：(1)BC⊥平面P AB；(2)AH⊥平面PBC.【思路探究】证明线面垂直的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直，而在证明线线垂直时，可根据线面垂直的定义．【证明】(1)由于P A⊥平面ABC，BC平面ABC，∴P A⊥BC.又∵∠ABC＝90°，∴BC ⊥AB.又AB∩P A＝A，∴BC⊥平面P AB.(2)由题图可知AH平面P AB.∵BC⊥平面P AB.∴BC⊥AH.又∵AH⊥PB，且PB∩BC＝B，∴AH⊥平面PBC.规律方法利用直线和平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直的步骤如下：(1)在这个平面内找两条直线，证明它和这两条直线垂直；(2)说明这个平面内的两条直线是相交的直线；(3)根据判定定理得出结论．在证明线面垂直时，需要先证明线线垂直，而线线垂直关系的获得往往是先证得线面垂直，从而根据线面垂直的定义得出线线垂直，因此证明过程通常是反复利用线面垂直的定义及线面垂直判定定理的过程．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是菱形，且P A＝PC，PB＝PD.若O是AC与BD的交点，求证：PO⊥平面ABCD.证明：在△PBD中，PB＝PD，O为BD的中点，∴PO⊥BD.在△P AC中，P A＝PC，O为AC的中点，∴PO⊥AC，又∵AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD.类型三面面垂直的判定【例3】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BB1的中点，F为CD的中点，G 为AB的中点．求证：平面ADE⊥平面A1FG.【思路探究】据条件得A1D1⊥AE，AE⊥A1G→AE⊥平面A1FG→平面ADE⊥平面A1FG【证明】∵G、F分别为AB、CD的中点，∴GF綊A1D1，又∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴A1D1⊥平面ABB1A1，∴A1D1⊥AE.∵E为BB1的中点，在Rt△ABE与Rt△A1AG中，AB＝A1A，BE＝AG，∴△ABE≌△A1AG，∴∠AEB＝∠A1GA，又∵∠AEB＋∠EAB＝90°，设AE∩A1G＝M，∴∠AGM＋∠MAG＝90°，∴∠AMG＝90°，∴AE⊥A1G.由AE⊥A1G，AE⊥A1D1且A1D1∩A1G＝A1，A1D1，A1G平面A1GFD1，∴AE⊥平面A1GF.又∵AE平面ADE，∴平面ADE⊥平面A1FG.规律方法(1)证明平面与平面垂直的方法有两个：①利用定义：证明一个平面角为直角；②利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化成了求一个平面角为直角．通常情况下利用判定定理要比定义简单些，证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．如图，在空间四边形ABCD 中，AB ＝BC ，CD ＝DA ，E 、F 、G 分别为CD ，DA 和AC 的中点，求证：平面BEF ⊥平面BGD .证明：∵AB ＝BC ，CD ＝AD ，G 是AC 的中点，∴BG ⊥AC ，DG ⊥AC ，又BG 平面BGD ，DG 平面BGD ，BG ∩DG ＝G ，∴AC ⊥平面BGD .又EF ∥AC ，∴EF ⊥平面BGD .又∵EF 平面BEF ，∴平面BGD ⊥平面BEF .类型四二面角问题【例4】已知Rt △ABC ，斜边BC 平面α，点A ∉α，AO ⊥α，O 为垂足，∠ABO ＝30°，∠ACO ＝45°，求二面角A －BC －O 的大小．【思路探究】选特殊点O ，作OD ⊥BC ，连接AD .若AD ⊥BC ，则∠ADO 即为二面角A －BC －O 的平面角，所以只需证明AD ⊥BC 即可．【解】如图，在平面α内，过点O 作OD ⊥BC ，垂足为点D ，连接AD .设OC ＝a .∵AO ⊥α，BC α，∴AO ⊥BC .又∵AO ∩OD ＝O ，∴BC ⊥平面AOD .而AD 平面AOD ，∴AD ⊥BC ，∴∠ADO 是二面角A －BC －O 的平面角．由AO ⊥α，OB α，OC α，知AO ⊥OB ，AO ⊥OC .又∠ABO ＝30°，∠ACO ＝45°，OC ＝a ，∴AO ＝a ，AC ＝2a ，AB ＝2a .在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∴BC ＝AC 2＋AB 2＝6a ， ∴AD ＝AB ·AC BC ＝2a ·2a 6a＝233a .在Rt△AOD中，sin∠ADO＝AOAD＝a233a＝32，∴∠ADO＝60°，即二面角A －BC－O的大小是60°.规律方法求二面角问题的关键是找出(或作出)该二面角的平面角，再把平面角放到三角形中求解．一般采取垂线法来作平面角，即过二面角的一个平面内一点作另一平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．这种方法通用于求二面角的所有题目，其步骤可简写为“一找、二证、三求”．如图，在四面体SABC中，若△BAC是边长为a的正三角形，且SA⊥底面ABC，AS＝12 a，求二面角A－BC－S的大小．解：设D是BC的中点，连接AD，SD.由△ABC是等边三角形知AD⊥BC.⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫SA⊥平面ABCBC平面ABC⇒SA⊥BCAD⊥BCAD，SA平面SADAD∩SA＝A⇒BC⊥平面SAD，⎭⎪⎬⎪⎫BC⊥平面SADSD平面SAD⇒SD⊥BC.∴∠ADS是二面角A－BC－S的平面角．在Rt△SAD中，tan∠ADS＝SAAD＝12a32a＝33，∴∠ADS＝30°.即所求二面角A－BC－S的大小为30°.类型五折叠问题【例5】如图，在△ABC中，AD⊥BC，E在AD上，AE＝12ED，过E的直线MN∥BC，分别交AB，AC于M，N，将△AMN折起，点A对应的点为A′，且使∠A′ED＝60°.求证：平面A ′MN ⊥平面A ′BC .【思路探究】欲证平面A ′MN ⊥平面A ′BC ，运用判定定理，须转化为证线面垂直，而已知条件中AD ⊥BC ，MN ∥BC ，从而折起后，MN ⊥A ′E ，MN ⊥ED 得出MN ⊥平面A ′ED ， ∴MN ⊥A ′D ，从而只要再证A ′D 与平面A ′MN 内另一条直线垂直即可．考虑到所给条件，∠A ′ED ＝60°未用，可考虑计算证明A ′D ⊥A ′E .【证明】 ∵AD ⊥BC ，BC ∥MN ，∴A ′E ⊥MN ，ED ⊥MN ，又∵∠A ′ED ＝60°，A ′E ＝AE ＝12ED ＝ED ·cos60°， ∴△A ′ED 是直角三角形，且A ′E ⊥A ′D ，又∵A ′E ⊥MN ，MN ∥BC ，∴A ′E ⊥BC .又BC ∩A ′D ＝D ，∴A ′E ⊥平面A ′BC ，∵A ′E 平面A ′MN ，∴平面A ′MN ⊥平面A ′BC .规律方法对于折叠问题，应全面分析平面图形中的垂直关系、平行关系、长度关系等在折叠后有没有发生改变，由本题的所证结论知，应抓好折叠前后没有改变的垂直关系．如下图(1)，在矩形ABCD 中，已知AB ＝2AD ，E 为AB 的中点，将△AED 沿DE 折起，使AB ＝AC ，如图(2)．求证：平面ADE ⊥平面BCDE .证明：如图，取DE的中点M，BC的中点N，连接AM，MN，AN，则MN⊥BC.因为AB＝AC，所以AN⊥BC.又MN⊥BC，MN∩AN＝N，所以BC⊥平面AMN，则BC ⊥AM.因为AB＝2AD，E为AB的中点，所以AD＝AE，所以AM⊥DE.而易知BC所在直线与DE所在直线相交．所以AM⊥平面BCDE.因为AM平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCDE.——规范解答系列——空间中垂直关系的判定方法1．线面垂直的判定方法(1)利用定义，即要证明直线a⊥平面α，转化为证明直线a垂直于平面α内的任意一条直线c，这种方法很难实施，一般用反证法来证明．(2)利用判定定理，即要证直线l⊥平面α，只需在平面α内找两条相交直线m，n，证明l⊥m，l⊥n，从而证得l⊥α，即“线线垂直⇒线面垂直”．(3)利用判定定理的推论，即如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．2．面面垂直的判定方法(1)利用面面垂直的定义，即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，那么这两个平面互相垂直．(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，作辅助线应有理论依据并有利于证明，不能随意添加．【例6】如图，已知P A⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过A作AE⊥PC于点E，AF⊥PB于点F，求证：(1)AE⊥平面PBC；(2)平面P AC⊥平面PBC；(3)PB⊥EF.【精解详析】(1)因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90°，即AC⊥BC.因为P A⊥⊙O所在的平面，所以P A⊥平面ABC.又因为BC平面ABC，所以BC⊥P A.又因为AC∩P A＝A，所以BC⊥平面P AC.因为AE平面P AC，所以BC⊥AE.又因为AE⊥PC，PC∩BC＝C，所以AE⊥平面PBC.(2)因为AE⊥平面PBC，且AE平面P AC，所以平面P AC⊥平面PBC.(3)因为AE⊥平面PBC，且PB平面PBC，所以AE⊥PB.又因为AF⊥PB于点F，且AF∩AE＝A，所以PB⊥平面AEF.又因为EF平面AEF，所以PB⊥EF.【解后反思】证明两个平面垂直的方法有两种：一是运用两个平面垂直的定义；二是运用两个平面垂直的判定定理．大多数题目利用判定定理证明，有时将线面垂直、面面垂直多次使用得出证明结论．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝DC，E，F，G分别是AD，DC，CA的中点．求证：平面BEF⊥平面BDG.证明：∵E，F，G分别是AD，DC，CA的中点，且AD＝DC，∴DF綊EG，且DF＝DE，∴四边形EDFG为菱形，∴EF⊥DG.又∵AB＝BC，AG＝GC，∴AC⊥BG.又∵EF∥AC，∴EF⊥BG.又∵BG∩DG＝G，∴直线EF⊥平面BDG.又∵EF平面BEF，∴平面BEF⊥平面BDG.一、选择题1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是(B)A．α⊥β，且mαB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β解析：α⊥β，且mα⇒mβ，或m∥β，或m与β相交，故A不成立；m∥n，且n⊥β⇒m⊥β，故B成立；α⊥β，且m∥α⇒mβ，或m∥β，或m与β相交，故C不成立；由m ⊥n，且n∥β，知m⊥β不成立，故D不正确．故选B.2．如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，P A⊥平面ABC，则四面体P-ABC的四个面中，直角三角形的个数有(A)A．4个B．3个C．2个D．1个解析：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，三角形ABC是直角三角形．又∵P A⊥⊙O所在平面，∴△P AC，△P AB是直角三角形，∵BC在这个平面内，∴P A⊥BC，因此BC垂直于平面P AC中两条相交直线，∴BC⊥平面P AC，∴△PBC是直角三角形，因此直角三角形的个数是4.二、填空题3．已知A是△BCD所在平面外一点，则△ABC、△ABD、△ACD、△BCD中直角三角形最多有4个．解析：三棱锥底面及三个侧面同时为直角三角形时，如图，此时最多为4个．4．设l，m表示两条不同的直线，α表示一个平面，从“∥、⊥”中选择适当的符号填入下列空格，使其成为真命题，即⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m l ⊥α⇒m ⊥α. 解析：若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．三、解答题5．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ，点E 是棱PB 的中点．证明：AE ⊥平面PBC .证明：如图，连接BD .由于P A ⊥底面ABCD ，且AB 平面ABCD ，∴P A ⊥AB .又P A ＝AB ，故△P AB 为等腰直角三角形，而点E 是PB 的中点，∴AE ⊥PB .∵P A ⊥BC ，BC ⊥AB ，又P A ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面P AB ，又AE 平面P AB .∴BC ⊥AE ，∴AE ⊥平面PBC .。

北师大版高中必修26.1垂直关系的判定教学设计

北师大版高中必修26.1垂直关系的判定教学设计前言本文旨在介绍一种教学设计，以帮助学生更好地理解垂直关系的判定，以及应用垂直关系进行问题求解。

本设计适用于北师大版高中必修《数学》课程中的26.1垂直关系的学习内容。

本设计的核心理念在于，将实际生活中的例子与学习内容相结合，帮助学生更好地理解概念和定理，并通过讨论和练习，培养学生的问题解决能力。

教学目标在完成本教学设计后，学生应该能够：•确定给定线段是否垂直•应用垂直关系进行问题求解•发现并解答实际应用中的问题教学环节1. 理解垂直关系首先，介绍垂直关系的定义和定理。

通过示例图形，展示线段的垂直关系，以及垂直的定义。

接着，让学生分组练习判断线段的垂直关系。

老师可以给出若干个图形，让学生在小组中讨论，并给出判断结果。

每一组讨论完毕后，展示正确答案和解决方法，让学生理解判断垂直关系的过程以及可能的错误。

鼓励学生不断尝试和发现规律。

2. 应用垂直关系进行问题求解接下来，让学生通过实际生活中的问题，应用垂直关系进行求解。

例如，在设计房屋时，如何确定垂直关系，以确保墙体垂直，避免建筑偏差？老师可以用幻灯片或板书展示一些实际问题，并让学生在小组中讨论应用垂直关系的解决方法。

每个小组解决完问题后，让他们分享自己的解决方法和思路，并给出反馈和建议。

3. 培养问题解决能力在这个环节，老师可以给出一些简单或复杂的问题，让学生自己组织思路，寻找解决方法。

例如，在一幢大楼内，如何确定电视天线和地面之间的垂直关系？让学生在小组中自由探讨并寻找解决方法，最后，让不同小组的代表分享自己的解决方法和思路。

这个过程中，鼓励学生提出问题，不断探索，在思辨中寻找解决问题的方法。

总结本文介绍了一种教学设计，以帮助学生更好地理解垂直关系的判定，以及应用垂直关系进行问题求解。

在此过程中，通过实际生活中的例子，帮助学生更加深入地理解概念和定理，并通过分组讨论和自由探索，培养学生的问题解决能力。

数学必修二北师大版 1.6 垂直关系直线与平面垂直的判定教案

直线与平面垂直的判定教学设计一、本节主要内容本节课是在学生学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的，其主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面直的判定定理及其应用。

本节学习内容蕴含丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想。

直线与平面垂直是研究空间中的线线关系和线面关系的桥梁，为后继面面垂直的学习、距离的学习奠定基础。

二、目标和目标解析1.借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.观察和展示现实生活中的实例与图片，以直观感知直线与平面垂直的形象；准备三角形纸片，用于探究直线与平面垂直的判定定理；制作多媒体课件动态演示，以加深对直线与平面垂直定义及判定定理的感知与理解。

三、教学过程设计1.从实际背景中感知直线与平面垂直的形象问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？设计意图：此问基于学生已有的数学现实，通过对已学相关知识的追忆，寻找新知识学习的“固着点”。

问题2：在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明。

设计意图：此问基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面相交中一种特例：直线与平面垂直的初步形象，激起进一步探究直线与平面垂直的意义。

2.提炼直线与平面垂直的定义问题3：你能给出直线和平面垂直的定义吗？回忆一下直线与直线垂直是如何定义的？设计意图：两直线垂直有相交垂直和异面垂直，而异面直线垂直是转化为两直线相交垂直，实质上是将空间问题转化为平面问题，让学生回忆直线与直线垂直的定义，旨在由此得到启发：用“平面化”的思想来思考问题，即能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直？问题4：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．(1)阳光下，旗杆与它在地面上的影子所成的角度是多少？(2)随着太阳的移动,影子的位置也会移动,而旗杆与影子所成的角度是否会发生改变?(3)旗杆与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何?依据是什么？设计意图：第（1）与（2）两问旨在让学生发现旗杆所在直线始终与地面上任意一条过点B 的直线垂直，第（3）问进一步让学生发现旗杆所在直线始终与地面上任意一条不过点B的直线也垂直，在这里，主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念。

1.6.1垂直关系的判定教案 (高中数学必修二北师大版)

§6垂直关系6．1垂直关系的判定(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解线面垂直的定义．(2)理解线面垂直的判定定理．(3)能运用判定定理证明线面垂直．2．过程与方法通过对垂直关系判定的理解，培养学生分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过垂直关系的判断，让学生体会从直观感知到数学定理的认识事物规律，培养探索精神和创新意识．●重点难点重点：垂直关系的判定定理．难点：垂直关系的判定定理的应用．直线与平面垂直的判定定理避免了用定义直接判定直线与平面垂直的麻烦，根据这一定理，只要在平面内选择两条相交直线，考虑它们是否与平面外的直线垂直即可，将原来判定直线和平面垂直的问题，通过判定直线和直线垂直来解决，在学习两个平面垂直时可引导学生类比平面与平面平行的判定定理的过程，即把面面关系化归为线面关系，从而突破重点，化解难点．(教师用书独具)●教学建议1．竖立课本，把书的底边放在桌面上，探究：(1)书脊和各书页与桌面的交线的位置如何？(2)书脊所在直线与桌面上所有直线的位置关系如何？(3)归纳出直线与平面垂直的定义，并试着用图形和符号表示出来．2．如图，请同学们准备一块三角形的纸片，做如下实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)(1)折痕AD与桌面垂直吗？(2)如何翻折才能使AD与桌面所在平面α垂直？(3)探索直线与平面垂直的判定定理，并用三种语言描述出来．●教学流程创设问题情境，引出问题：如何通过线线垂直判断线面垂直⇒类比线面、面面平行关系得出垂直关系，归纳出垂直关系的判定定理⇒通过例1及互动探究，使学生掌握线面垂直的证明方法⇒通过例2及变式训练，使学生掌握面面垂直的证明方法⇒通过例3及变式训练，使学生掌握垂直关系的综合问题⇒归纳整理进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如：旗杆与地面的位置关系，把旗杆看成AB ，地面为α，BC 、BD 为不同时刻旗杆在地面上的影子(如图)．(1)旗杆所在直线AB 与影子BC 、BD 所在直线的位置关系是什么？(2)旗杆AB 与地面内任意一条不过旗杆底部B 的直线B 1C 1的位置关系是什么？【提示】 (1)相交垂直．(2)旗杆AB 与地面内不过B 的直线B 1C 1也垂直．1．定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l ⊥α.直线l 叫作平面α的垂线，平面α叫作直线l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫作垂足．2．画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图1－6－1.图1－6－13．判定定理⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥al ⊥ba αbαa ∩b ＝P ⇒l ⊥α【问题导思】打开的课本两书页有何特点？任何两页书页构成什么图形？【提示】打开的书页可看作是一条直线(书棱)出发的两个半平面，构成有一定夹角的图形．1．半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面．2．二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．3．二面角的记法如图1－6－2，记作：二面角α－AB －β，也可记作2∠α—AB —β.图1－6－24．二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，其中平面角是直角的二面角叫作直二面角．。

北师大版数学高一1.6.1 垂直关系的判定(一)--直线与平面垂直的判定学案必修2

1.6.1 垂直关系的判定(一)——直线与平面垂直的判定自主学习1．掌握直线与平面垂直的定义．2．掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用定理证明直线与平面垂直．1．如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．2．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条________直线都垂直，那么该直线与此平面________．符号表示：若直线a平面α，直线bα，直线l⊥a，l⊥b，a∩b＝A，则l⊥α．对点讲练线面垂直的判定例1 S是直角△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥面SAC．点评(1)线面垂直的判定定理是判定线面垂直的最常用思路．(2)线面垂直的定义，给出了线面垂直的必备条件，即直线垂直于平面内的所有直线，但作为直线与平面垂直的判定并不实用．变式训练1如图所示，已知空间四边形ABCD的边BC＝AC，AD＝BD，引BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于点H，求证：AH⊥平面BCD．证明线线垂直例2 如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD所在的平面，过点A 且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于点E、F、G．求证：AE⊥SB，AG⊥SD．点评本题的证明过程很具有代表性，即证明线线垂直，可先证线面垂直，而已知的线面垂直又可以产生有利于题目的线线垂直，在线线垂直和线面垂直的相互转化中，平面在其中起着至关重要的作用，由于线线垂直是相互的，应充分考虑线和线各自所在平面的特征，以顺利实现证明需要的转化．变式训练2在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥AE．综合应用例3 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE．点评证明线线(或线面)垂直有时需多次运用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，实现线线垂直与线面垂直的相互转化．另外，平面几何中有关垂直的判定方法也经常用到．变式训练3如图所示，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，△PAD是等腰三角形，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN⊥平面PCD．直线与平面垂直的判定方法：(1)定义，(2)判定定理．由直线和平面垂直的判定定理知，把线线垂直关系转化为线面垂直关系．在判定定理中，注重“两条”和“相交直线”的重要性．判定线面垂直关键在平面内找出两条相交直线和已知直线垂直．(3)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．这个命题也可作为线面垂直的一个判定方法．证明时常用的转化关系：线面垂直．线线垂直判定定理定义课时作业一、选择题1．下列命题中正确的个数是()①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0 B．1 C．2 D．32．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交3．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A．12 B．24 C．36 D．484．如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为A1C1上的点，则在下列直线中一定与直线CE垂直的直线是()A．AC B．BD C．A1D1D．A1A5．直线a与平面α内的两条直线垂直，则直线a与平面α的位置关系是()A．垂直B．平行C．相交或在平面内D．以上均有可能二、填空题6．下列五个正方体图形中，l是正方体的一条体对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形的序号是______________(写出所有符合要求的图形序号)．7．已知P是△ABC所在平面外的一点，点P与AB、AC、BC的距离相等，且点P在△ABC上的射影O在△ABC内，则O一定是△ABC的________心．8．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BC ＝CC 1，当底面A 1B 1C 1满足条件________________时，有AB 1⊥BC 1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．三、解答题9．如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱EF 綊12BC ，设BC ＝3CD ．求证：EO ⊥平面CDF ．10．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为棱CC 1的中点，AC 交BD 于点O ．求证：A 1O ⊥平面MBD ．§6 垂直关系6．1 垂直关系的判定(一)——直线与平面垂直的判定答案自学导引2．相交垂直对点讲练例1 证明(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC，连接BD．在Rt△ABC中，则AD＝DC＝BD．又SA＝SB，∴△ADS≌△BDS．∴SD⊥BD．又AC∩BD＝D，∴SD⊥面ABC．(2)∵BA＝BC，D为AC中点，∴BD⊥AC．又由(1)知SD⊥BD．∵SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC．变式训练1证明取AB中点F，连接CF、DF，∵AC＝BC，∴CF⊥AB．又∵AD＝BD，∴DF⊥AB，∵CF∩DF＝F，∴AB⊥平面CDF，∴AB⊥CD．又BE⊥CD，且AB∩BE＝B，∴CD⊥平面ABE．∴CD⊥AH．而AH⊥BE，CD∩BE＝E，∴AH⊥平面BCD．例2 证明因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC．又BC⊥AB，SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB，又AE平面SAB，所以BC⊥AE．因为SC⊥平面AEFG，所以SC⊥AE．又BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC，所以AE⊥SB．同理可证AG⊥SD．变式训练2证明在平面B1BCC1中，∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，∴△BB1E≌△CBF，∴∠B1BE＝∠BCF，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，又AB⊥平面B1BCC1，CF平面B1BCC1，∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB．∴CF⊥AE．例3 证明(1)在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD．∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．而AE平面PAC，∴CD⊥AE．(2)由PA＝AB＝BC, ∠ABC＝60°，可得AC＝PA．∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD．而PD平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB．又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD．又∵AB∩AE＝A，综上得PD⊥平面ABE．变式训练3证明取PD的中点E，连接AE，NE，∵N，E分别为PC，PD的中点，∴NE为△PCD的中位线，∴NE∥CD且NE＝12CD．又M为AB的中点，∴AM∥CD且AM＝12CD，∴AM∥NE且AM＝NE，∴四边形AENM为平行四边形，∴AE∥MN．又△PAD为等腰三角形，∴AE⊥PD，又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DC，而DC⊥AD．∴DC⊥平面PAD，又AE平面PAD．∴AE⊥DC，∴AE⊥平面PDC．由AE∥MN知，MN⊥平面PCD．课时作业1．B2．C3．C4．B5．D6．①④⑤7．内解析如图所示，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，分别交AB、AC、BC于点D、E、F．O是点P在平面ABC内的射影，连接OD、OE、OF．因为点P到AB、AC、BC的距离相等，且PO⊥平面ABC，所以PD＝PE＝PF，PO＝PO＝PO，∠POD＝∠POE＝∠POF＝90°，所以OD＝OE＝OF．因为PO⊥AB，PD⊥AB且PD∩PO＝P．所以AB⊥平面POD，所以AB⊥OD．同理可以证得OF⊥BC，OE⊥AC．又因为OD＝OE＝OF，所以点O到三角形三边的距离相等，故O为三角形ABC的内心．8．∠A1C1B1＝90°解析如图所示，连接B1C，由BC ＝CC 1，可得BC 1⊥B 1C ，因此，要证AB 1⊥BC 1，则只要证明BC 1⊥平面AB 1C ，即只要证AC ⊥BC 1即可，由直三棱柱可知，只要证AC ⊥BC 即可．因为A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC ，故只要证A 1C 1⊥B 1C 1即可． 9．证明如图所示，取CD 中点M ，连接EM ，FM ，OM ，FO ． ∵四边形ABCD 为矩形，∴OM 綊12AD 綊12BC ．又EF 綊12BC ，∴四边形EFOM 是平行四边形．又△CDE 是等边三角形， ∴CM ＝DM ，EM ⊥CD ，且EM ＝32CD ＝12CB ＝EF ． ∴四边形EFOM 为菱形，从而EO ⊥FM ， ∵CD ⊥OM ，CD ⊥EM ，∴CD ⊥平面EOM ，从而CD ⊥EO ．又∵FM ∩CD ＝M ，∴EO ⊥平面CDF ． 10．证明连接MO ． ∵DB ⊥A 1A ，DB ⊥AC ， A 1A ∩AC ＝A ．∴DB ⊥平面A 1ACC 1，而A 1O平面A 1ACC 1，∴A 1O ⊥DB ．在矩形A 1ACC 1中，设A 1A ＝1， ∵tan ∠AA 1O ＝22，tan∠MOC＝2 2，∴∠AA1O＝∠MOC，则∠A1OA＋∠MOC＝90°，∴A1O⊥OM．∵OM∩DB＝O，∴A1O⊥平面MBD．。

1.6.2 垂直关系的性质教案 (高中数学必修2北师大版)

6.2 垂直关系的性质判定定理和性质定理间的相互联系.的内在联系.1．直线与平面垂直的性质定理(1)文字叙述：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行． (2)符号表示：若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b .(3)图形表示： (4)作用：线⊥面⇒线∥线．预习交流1直线与平面垂直除了上述性质外，还有哪些性质？提示：直线与平面垂直的性质还有：①一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该平面内的所有直线；②两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；③一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面；④垂直于同一直线的两个平面平行．预习交流2在一个工件上同时钻很多孔时，常用多头钻，多头钻杆都是互相平行的．在工作时，只要调整工件表面和一个钻杆垂直，工件表面就和其他钻杆都垂直，为什么？提示：根据两平行线中有一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于此平面，可推出若干平行杆中一个与工件表面垂直，其他都和工件表面垂直．2．平面与平面垂直的性质定理(1)文字叙述：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．(2)符号表示：若α⊥β，α∩β＝b ，a α，a ⊥b ，则a ⊥β.(3)图形表示：(4)作用：面面垂直⇒线面垂直．预习交流3平面与平面垂直除了上述性质外，还有哪些性质？提示：平面与平面垂直还有如下性质．(1)如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内的一点垂直于另一个平面的直线在该平面内；(2)如果两个相交平面都与第三个平面垂直，那么它们的交线垂直于第三个平面．预习交流4(1)若α⊥β，aα，bβ，则a⊥b成立吗？提示：不一定成立．a与b可能平行、相交或异面．只有当直线a垂直于α与β的交线时，才有a⊥b成立．(2)已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是()．A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB.若α∩β＝m，lα，l⊥m，则l⊥βC.若α⊥β，lα，则l⊥βD.若α⊥β，α∩β＝m，lα，l⊥m，则l⊥β提示：根据面面垂直的性质定理逐一判断.选项A缺少了条件：lα；选项B缺少了条件：α⊥β；选项C缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直性质定理的全部条件，故选D.1．线面垂直性质的应用如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.思路分析：本题以正方体为载体，给出了EF分别与两条异面直线A1D，AC垂直，要证EF∥BD1，只需证明EF与BD1同垂直于某一平面即可，由条件可知这里当然选择平面AB1C.证明：如图所示，连接AB1，B1C，BD，B1D1.∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.∵BD 1平面BDD 1B 1，∴BD 1⊥AC. 同理BD 1⊥B 1C ，∵B 1C ∩AC ＝C ， ∴BD 1⊥平面AB 1C. ∵EF ⊥A 1D ，A 1D ∥B 1C ，∴EF ⊥B 1C.又EF ⊥AC ，且AC ∩B 1C ＝C ， ∴EF ⊥平面AB 1C.∴EF ∥BD 1.如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC.求证：(1)MN ∥AD 1； (2)M 是AB 的中点．证明：(1)∵四边形ADD 1A 1为正方形，∴AD 1⊥A 1D.又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1. ∵A 1D ∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC. 又∵MN ⊥平面A 1DC ，∴MN ∥AD 1.(2)连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ，∴ON ∥12CD ∥12AB.∴ON ∥AM.又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形．∴ON ＝AM.∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB.∴M 是AB 的中点．证明线线平行常有如下方法：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线； (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行； (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直； (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．特别提醒：“平行关系”与“垂直关系”在特定条件下是可以相互转化的． 2．面面垂直性质的应用如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，AF ∥BE ，AF⊥EF，AF=EF=12BE.求证：EA⊥平面ABCD.思路分析：解答本题的关键是证明EA⊥AB，为此应该在平面四边形ABEF中，利用AF∥BE，AF⊥EF，AF=EF=12BE等条件计算AB，AE，BE的长度，利用勾股定理逆定理证明．证明：设AF=EF=a，则BE=2a.过A作AM⊥BE于M，∵AF∥BE，∴AM⊥AF.又∵AF⊥EF，∴AM∥EF，∴四边形AMEF是正方形．∴AM＝a，EM＝MB＝a，∴AE＝AB＝2a，∴AE2＋AB2＝EB2，∴AE⊥AB.又∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AE平面ABEF，∴EA⊥平面ABCD.1．(2011江苏高考，16)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.证明：(1)在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF平面PCD，PD平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.。

高中数学《垂直关系的判定》导学案北师大版必修2

第10课时垂直关系的判定1.理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理,能用图形语言和符号语言表述这些定理,并能加以证明.2.能运用直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理证明一些空间位置关系的简单问题.3.了解二面角及其平面角的概念.天安门广场上,伫立的旗杆、纪念碑给我们一种直线与平面垂直的形象.你能否用数学语言表述一下什么是直线与平面垂直?如果一条直线与平面内的无数条直线都垂直,那么这条直线与这个平面一定垂直吗?问题1:如果直线l与平面α内的一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作,直线l叫作平面α的,平面α叫作直线l的,唯一的公共点叫作.问题2:直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理是怎样的?试用符号语言表示出来.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则这条直线与平面垂直.符号语言表示:若l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,,则l⊥α.平面与平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.符号语言表示:若l⊥α,,则α⊥β.问题3:直线与平面所成的角、平面与平面所成的角是如何定义的?范围分别是多少?平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,称为该直线与平面所成的角,范围是.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角,范围是.问题4:如何应用线面垂直、面面垂直的判定定理?面面垂直判定定理可简述为“,则面面垂直”.使用定理时两个条件缺一不可.该定理告诉我们证明两平面垂直的问题可以转化为证明直线与平面垂直的问题,进而转化为的问题,体现了“直线与平面垂直”与“平面与平面垂直”相互转化的数学思想.直线和平面垂直的判定定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想,即要证线面垂直,只需证这条直线与平面内的两条垂直即可,至于这两条直线与已知直线是否有公共点是无关紧要的.定理使用时五个条件缺一不可.即l⊥a,l⊥b,a∩b=O,a⊂α,b⊂α⇒.1.若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大小关系是().A.相等B.互补C.相等或互补D.不确定2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以下结论不正确的是().A.AB⊥平面BCC1B1B.AC⊥平面CDD1C1C.AC⊥平面BDD1B1D.A1C⊥平面AB1D13.过一个平面的垂线和这个平面垂直的平面有个.4.已知在空间四边形ABCD中,AB=AC,DB=DC,点E为BC的中点,求证:BC⊥平面AED.直线与平面垂直的判定与证明如图所示,Rt△ABC所在的平面外有一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.面面垂直的判定与证明在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分别为MB、PB、PC的中点,且AD=PD=2MA.求证:平面EFG⊥平面PDC.平面图形折叠后的垂直问题如图①,已知直角三角形ABC中,∠B=90°,E,F分别为AB,AC上的点,且EF∥BC,AE=2BE.现将△AEF沿EF边折叠到点A,并且点A在平面EBCF内的射影恰好是点B,如图②所示.(1)求证:平面AEF⊥平面ABE;(2)的值为何值时,EC⊥平面ABF.在四面体ABCD中,AC=BD,E,F分别为AD,BC的中点,且EF=AC,∠BDC=90°,求证:BD⊥平面ACD.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AB,BC的中点.求证:平面B1MN⊥平面BB1D1D.如图,矩形ABCD满足AB=3,AD=2,E,F分别是AB,DC上的点,且EF∥AD,AE=1,将四边形AEFD沿EF折起,形成了三棱柱ABE-DCF,若折起后的CD=.求证:(1)CF⊥平面AEFD;(2)平面AEC⊥平面DFB.1.二面角是指().A.两个相交平面构成的图形B.从一个平面的一条直线出发的一个平面与这个平面构成的图形C.从一条直线出发的两个半平面构成的图形D.过棱上一点,在两个面内分别作棱的垂线,这两条射线所成的角2.如图,正方形ABCD交正方形ABEF于AB,M、N在对角线AC、FB上,且MN∥平面BCE,则下列结论一定成立的是().A.MN∥CEB.AM=FNC.AM=CMD.BN=FN3.已知PA⊥矩形ABCD所在平面(如图),则图中互相垂直的平面有对.4.如图,在△ABC中,AD⊥BC,将△ABD折起构成了三棱锥B-ADC.求证:AD⊥平面BDC.(2013年·辽宁卷)如图,AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点.(1)求证:BC⊥平面PAC;(2)设Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证:QG∥平面PBC.考题变式(我来改编):第10课时垂直关系的判定知识体系梳理问题1:任意l⊥α垂线垂面垂足问题2:a∩b=A l⊂β问题3:[0°,90°][0°,180°]问题4:线面垂直线线垂直相交直线l⊥α基础学习交流1.C可以根据空间角的关系定理来想象这两个二面角的大小关系.2.B A正确,因为AB⊥BC且AB⊥BB1.所以AB⊥平面BCC1B1.C正确,因为BB1⊥平面ABCD,所以BB1⊥AC,又AC⊥BD,所以AC⊥平面BDD1B1.D正确,因为B1D1⊥平面A1ACC1,所以B1D1⊥A1C.同理,AB1⊥A1C.所以A1C⊥平面AB1D1.3.无数可以想象直立在课桌上的书本,书本的每一页纸都与桌面垂直.4.解:∵AB=AC,DB=DC,∴AE⊥BC,DE⊥BC,AE∩DE=E,∴BC⊥平面AED.重点难点探究探究一:【解析】(1)∵SA=SC,D为AC的中点,∴SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD=DC=BD,∴△ADS≌△BDS,∴SD⊥BD.又∵AC∩BD=D,∴SD⊥平面ABC.(2)∵AB=BC,D为AC的中点,∴BD⊥AC,由(1)可知,SD⊥平面ABC ,∴SD⊥BD.∵SD∩AC=D,∴BD⊥平面SAC.【小结】证明线线垂直时,往往要利用平面几何中的有关方法,这是值得我们注意的地方.同时,线面垂直的定义给出了线面垂直的必备条件,但作为判定并不实用.不过直线和平面垂直时,可以得到直线和平面内的任意一条直线都垂直,给判定两直线垂直带来了方便.探究二:【解析】∵MA⊥平面ABCD,PD∥MA.∴PD⊥平面ABCD.又∵BC⊂平面ABCD,∴PD⊥BC.∵四边形ABCD为正方形,∴BC⊥DC,又PD∩DC=D,∴BC⊥平面PDC.在△PBC中,G、F分别为PB、PC的中点,∴GF∥BC,∴GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG,∴平面EFG⊥平面PDC.【小结】要证平面EFG⊥平面PDC,关键是利用线面垂直的判定定理得BC⊥平面PDC,再利用平行线的传递性可得所证的结论.探究三:【解析】 (1)由图①知:∠B=90°,EF∥BC ,所以EF⊥AB,EF⊥AE,又因为EF⊥BE,且AE∩BE=E,所以EF⊥平面ABE,又因为EF⊂平面AEF,所以平面AEF⊥平面ABE.(2)因为AB⊥平面BEFC,EC⊂平面BEFC,所以AB⊥EC,若EC⊥平面ABF,则只需EC⊥BF即可,当∠ECB=∠EBF时,EC⊥BF,因为从图①可知==,所以∠ECB=∠EBF时,tan∠ECB=tan∠EBF,即==,得=,所以=时,EC⊥平面ABF.【小结】观察折叠后的几何体与折叠前的平面图形间的联系,注意到不变的元素有哪些,注意已知条件在两种图形间的转化关系.思维拓展应用应用一:取CD的中点G,连接EG,FG,∵E,F分别为AD,BC的中点,∴EG AC,FG BD.又AC=BD,∴FG=AC,∴在△EFG中,EG2+FG2=AC2=EF2,∴EG⊥FG,∴BD⊥AC.又∠BDC=90°,即BD⊥CD,AC∩CD=C,∴BD⊥平面ACD.应用二:连接AC且AC∩BD=O,则AC⊥BD,又M,N分别是AB,BC的中点,∴MN∥AC,∴MN⊥BD.∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴BB1⊥平面ABCD.∵MN⊂平面ABCD,∴BB1⊥MN.∵BD∩BB1=B,∴MN⊥平面BB1D1D.∵MN⊂平面B1MN,∴平面B1MN⊥平面BB1D1D.应用三:(1)矩形ABCD中,因为EF∥AD,所以EF⊥CD,又因为DF=AE=1,FC=BE=2,所以在三棱柱ABE-DCF中,EF⊥FC,DC2=DF2+CF2,所以DF⊥FC,且EF∩DF=F,所以CF⊥平面AEFD.(2)由(1)知四边形BCFE是正方形,所以EC⊥FB,又因为DF⊥FC,DF⊥EF,EF∩FC=F,所以DF⊥平面BCFE,EC⊂平面BCFE,所以DF⊥EC,且DF∩FB=F,所以EC⊥平面DFB,且EC⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面DFB.基础智能检测1.C注意二面角与二面角的平面角是不同的两个概念,前者指的是图形,后者指的是角度.2.B过M作MG∥BC交AB于G,连接NG,又MN∥平面BCE,所以平面MNG∥平面BCE,所以NG∥BE∥AF,所以==,正方形ABCD和正方形ABEF边长相等,所以AC=FB,所以AM=FN.3.5面PAD⊥面ABCD,面PAB⊥面ABCD,面PAB⊥面PBC,面PDC⊥面PAD,面PAD⊥面PAB.4.解:因为AD⊥BC,所以在三棱锥B-ADC中,AD⊥BD,AD⊥DC, BD∩DC=D,所以AD⊥平面BDC.全新视角拓展(1)由AB是圆O的直径,得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,得PA⊥BC.又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC.(2)连OG并延长交AC于M,连接QM,QO,由G为△AOC的重心,得M为AC中点.由Q为PA中点,得QM∥PC,又O为AB中点,得OM∥BC.因为QM∩MO=M,QM⊂平面QMO,MO⊂平面QMO,BC∩PC=C,BC⊂平面PBC,PC⊂平面PBC,所以平面QMO∥平面PBC.因为QG⊂平面QMO,所以QG∥平面PBC.思维导图构建锐角α⊥β90°。