第四章 目标规划
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目标规划整数规划第三、四、五章
销地 产地 A1 A2 4
B1
B2
B3 2
B4
B5
产量
3
11 3 6 4 3
12 7 5
5
3 2 5 1 4
6
4 2 9 2 5
4
0 8 0 5 0 9
A3
销量
当产大于销时，即
a b
i 1 i j 1 m
m
n
j
加入假想销地（假想仓库），销量为
a b
i 1 i j 1
n
(二)对偶变量法（位势法） 1.基本原理
检验数的计算： 一般问题：σj = C j- CBB-1 Pj = Cj - Y Pj 运输问题： σij = C ij- CBB-1 Pij = Cij - Y Pij = Cij - (u1,u2, …,um, v1, v2, …,vn) Pij = Cij - ( ui+ vj ) 当xij 为基变量时， σij = Cij - ( ui+ vj )=0 由此，任选一个对偶变量为0，可求出其余所有 的ui， vj 。 再根据σij = Cij - ( ui+ vj )求出所有非基变量的检验 数。
A 1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4
4 12
产量
16 10 2 3 9 10 8 2 8 14 5 11 8 6 22 8 14 12 14 48
10
4
6
11
z 0 8 2 14 5 10 4 2 3 6 11 8 6 246 优点：就近供应，即优先供应运价小的业务。
4. 计划利润不少于48元。
- , P d + , P d -} Min{ P1 d16 maxZ= x1 +8 2 2x2 3 3 5x1 + 10x2 60 • 原材料使用不得超过限额 x1 - 2x2 +d1- -d1+ =0 • 产品II产量要求必须考虑 - -d + =36 4x + 4 x +d 1 2 2 2 • 设备工时问题其次考虑
目标规划与求解
分析: 设 x1 , x2 分别是计划期内甲、乙产品的产
量．则该问题的数学模型为
70 x1 120 x2 d1 d1 45000 70 x1 120 x2 d1 d1 45000 x1 d 2 d 2 250 x d d 200 x1 d 2 d 2 250 3 3 2 x d d 200 9.2 x1 4 x2 3600 3 3 2 4 x 5 x 2000 9.2 x1 4 x2 d 4 d 4 3600 1 2 3x1 10 x2 3000 4 x1 5 x2 d 5 d 5 2000 3 x 10 x d d 3000 x1 , x2 0 2 6 6 1 x1 , x2 0
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 22 2 2n n 2 21 1 a x c x c x b kn n k k1 1 k 2 2 x1 , x2 , , xn 0
分别为采购甲级、乙级原材料的数量（单位：kg）
y1 为花掉的资金，y2 为所购原料总量．则：
Min y1 2 x1 x2 目标函数为： Max y2 x1 x2
约束条件有：
4 1 4 2
2 x1 x2 200 x x 100 1 2 x1 50 x1 , x2 0
甲（每件） 钢 材 （ kg ） 木材 ( m3 ) 设备负荷（台小时） 单位产品利润 (元) 9.2 4 3 70
乙（每件） 4 5 10 120
现有资源 3600 2000 3000
运筹学习题集(第四章)
判断题判断正误，如果错误请更正第四章目标规划1.正偏差变量大于等于0，负偏差变量小于等于0。
2.系统约束中最多含有一个正或负的偏差变量。
3.目标约束一定是等式约束。
4.一对正负偏差变量至少一个大于0。
5.一对正负偏差变量至少一个等于0。
6.要求至少到达目标值的目标函数是maxZ=d+。
7.要求不超过目标值的目标函数是minZ=d+。
8.目标规划没有系统约束时，不一定存在满意解。
9.超过目标的差值称为正偏差。
10.未达到目标的差值称为负偏差。
选择题在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。
第四章目标规划1.要求不超过第一目标值，恰好完成第二目标值，目标函数是A minZ=P1d1-+P2(d2-+d2+)B minZ= P1d1++P2(d2-+d2+)C minZ=P1(d1-+d1+)+P2(d2-+d2-)D minZ=P1(d1-+d1+)+ P2d2-2.下列正确的目标规划的目标函数是 A minZ=P1d1-- P2d2- B maxZ= P1d1-+P2d2- CminZ=P1d1--+P2(d2--d2+) D minZ=P1(d1-+d1+)+P2(d2-+d2-) E minZ=P1d1- +P2d2+3.下列线性规划与目标规划之间正确的关系是A线性规划的目标函数由决策变量构成，目标规划的目标函数由偏差变量构成 B 线性规划模型不包含目标约束，目标规划模型不包含系统约束C线性规划求最优解，目标规划求满意解。
D 线性规划模型只有系统约束，目标规划模型可以有系统约束和目标约束 E 线性规划求最大值和最小值，目标规划只求最小值4.目标函数minZ= P1(d1-+d2-)+ P2d3- 的含义是A第一和第二目标恰好达到目标值，第三目标不超过目标值。
B第一、第二和第三目标同时不超过目标值。
C首先第一和第二同时不超过目标值，然后第三目标不超过目标值。
第四章多目标规划模型
第四章 多目标规划模型多目标决策问题的理论基础之一是向量优化问题，也称多目标优化问题。
这类问题，从方法论的角度看，它是一个目标函数中具有向量值的数学规划问题；从决策论角度看，它又是决策规则中含有各个目标极值的决策问题。
因此，多目标决策问题属于向量优化问题。
向量优化问题的解与标量优化问题的解是不同的。
标量优化问题对任何两个函数的解，只要比较它们的两个函数值的大小，总可以从中找出一个最优解，且能排出它们的顺序；而多目标优化问题的解都是非劣解，且不是唯一的，究竟谁优谁劣，很难直接作出判断。
非劣解的概念是由经济学家pareto 于1896年提出的。
但是发展为向量优化问题的生成非劣解技术，还是在1951年Kuhn-Tucker 非劣性条件发表以后的事。
由于向量优化问题是在标量优化问题的基础上发展起来的，只要通过适当的途径将向量优化问题转化为标量优化问题，就可以利用求解标量优化问题的现有方法，求解具有一定特征的向量优化问题。
本章主要介绍有关向量优化问题的基本理论，如非劣解概念，特征非裂解的标量优化解法及非劣性的充要条件。
其中提到的许多概念和术语，在本书的后继章节中都是很有用的。
第一节、多目标规划基本概念与原理1.1非劣解概念设求解()x f 1和()x f 2两个目标的最大值，他们的可行解域如图4.1所示。
图中可行解域内部的各点数据，总是劣于可行域边界上的某点值。
这是因为内部的任一点，总可在边界上至少找出一个相应点，它的目标函数值不劣于内部这点所反映的目标函数值，而且至少有一个目标函数值优于内部这点的目标函数值。
图4.1 多目标非劣解集示意图例如，图中的C 点就劣于A 点和B 点之间任一点所反映的目标函数值。
所以，在优选中类似C 点的一些点可以舍去，并将这些可以舍去的解称为劣解。
但是可行域边界上各点所代表的解，就不能直接判断它们的优劣（如A 点、B 点就是这样）。
因为这些点中任一个与其他任一个相比较，总会发现一个目标函数值比其他另一个函数值优越，但又不是两个目标函数值都优越，否则其中的一个作为劣解而舍去。
目标规划
目标函数d1++ d2－=0
22
§3 复杂情况下的目标规划
然后考虑P2，得到目标线性规划如下：
Min d3－ s.t. 2x1+3x2-d1++d1-=680
2x1+3x2-d2++d2-=600 250x1+125x2-d3-+d3+＝70000 x1-d4++d4-=200 x2-d5++d5-=120 d1++ d2－=0 x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-,d3+,d3-,d4+,d4-,d5+,d5-≥0
和120件。
20
§3 复杂情况下的目标规划
采用简化模式，最终得到目标线性规划如下：
Min P1(d1+)+ P1(d2－)+P2(d3-)+ P3(d4-)+ P3(2d5-) s.t.
2x1+3x2-d1++d1-=680
对应第1个目标
2x1+3x2-d2++d2-=600
对应第2个目标
250x1+125x2-d3-+d3+＝70000 对应第3个目标
2
§1 目标规划问题举例
商务活动
企业在进行盈亏平衡预算时，不能只集中在一种产品上，因为某一种产品的 投入和产出仅仅是企业所有投入和产出的一部分。因此，需要用多产品的盈 亏分析来解决具有多个盈亏平衡点的决策问题（多产品的盈亏平衡点往往是 不一致的）。
3
§1 目标规划问题举例
投资
企业投资时不仅仅要考虑收益率，还要考虑风险。一般地，风险大的投资其 收益率更高。因此，企业管理者只有在对收益率和风险承受水平有明确的期 望值时，才能得到满意的决策。
22
§3 复杂情况下的目标规划
然后考虑P2，得到目标线性规划如下：
Min d3－ s.t. 2x1+3x2-d1++d1-=680
2x1+3x2-d2++d2-=600 250x1+125x2-d3-+d3+＝70000 x1-d4++d4-=200 x2-d5++d5-=120 d1++ d2－=0 x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-,d3+,d3-,d4+,d4-,d5+,d5-≥0
和120件。
20
§3 复杂情况下的目标规划
采用简化模式，最终得到目标线性规划如下：
Min P1(d1+)+ P1(d2－)+P2(d3-)+ P3(d4-)+ P3(2d5-) s.t.
2x1+3x2-d1++d1-=680
对应第1个目标
2x1+3x2-d2++d2-=600
对应第2个目标
250x1+125x2-d3-+d3+＝70000 对应第3个目标
2
§1 目标规划问题举例
商务活动
企业在进行盈亏平衡预算时，不能只集中在一种产品上，因为某一种产品的 投入和产出仅仅是企业所有投入和产出的一部分。因此，需要用多产品的盈 亏分析来解决具有多个盈亏平衡点的决策问题（多产品的盈亏平衡点往往是 不一致的）。
3
§1 目标规划问题举例
投资
企业投资时不仅仅要考虑收益率，还要考虑风险。一般地，风险大的投资其 收益率更高。因此，企业管理者只有在对收益率和风险承受水平有明确的期 望值时，才能得到满意的决策。
管理运筹学 第四章 目标规划
再来考虑风险约束： 总风险不能超过700， 投资的总风险为 0.5x1＋0.2x2 引入两个变量d1+和d1-，建立等式如下： 0.5x1 +0.2x2=700+d1+-d1根据要求有
min ｛d1+｝
0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700。
再来考虑年收入:
3x1+4x2
引入变量 d2+和d2-，分别表示年收入超过与低于 10000 的数量。于是，第2个目标可以表示为 min ｛d2-｝ 3x1+4x2-d2++d2-=10000。
2. 统一处理目标和约束。
对有严格限制的资源使用建立系统约束，数学形式同线性规划 中的约束条件。如C和D设备的使用限制。
x1 2 x2 40 3x2 24
(3)Ｃ和Ｄ为贵重设备，严格禁止超时使用
对不严格限制的约束，连同原线性规划建模时的目标，均通 过目标约束来表达。 （1）力求使利润指标不低于250元：
本问题中第一个目标的优先权比第二个目标大。即最重要 的目标是满足风险不超过700。分配给第一个目标较高的优先 权P1，分配给第二个目标较低的优先权P2。
Minz= P1（d1+）+P2（d2-） s.t. 20x1＋50x2≤90000 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700 3x1+4x2-d2++d2-=10000 x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-≥0
现假定： 第1优先级P1——企业利润；
第2优先级P2——Ｉ、II产品的产量保持1:2的比例
第3优先级P3——设备A,B尽量不超负荷工作。其中设备A的重要性 比设备B大三倍。
第四章 目标规划
对属于同一优先级的不同目标，按其重要程度
可分别乘上不同的权系数，权系数是一个具体数字，
乘上的权系数越大，表明该目标越重要。
现建立上例的目标规划模型：
(1) 设d1－未达到利润目标的差值, d1+ 为超过目标的差值
当利润小于3200时, d1－＞０且 d1＋＝0,有 40x1+30x2+50x3+d1－=3200
deviation variable)
d+ ——为超过目标值的差值，称为正偏差变量(positive deviation
variable),
注： 正、负偏差变量两者必有一个为0，故恒有 d - ×d+ ＝0。
(2) 统一处理目标和约束， 只对资源使用上有严格限制的建立系统约束，数学形式
上为严格等式或不等式，同线性规划中的约束条件。 而对不严格限定的约束，连同原线性规划建模时的目标，
40x1 30x2 50x3 3200 (1) 利润不少于3200元;
x1－1.5x
2
0
32xx3x113x202x22
x3 200 4x3 200
(2) 产品甲与产品乙的产量比例 尽量不超过1.5; (3) 提高产品丙的产量使之达到 30件; (4) 设备加工能力不足可以加班
4 2
x1 x1
尽可能接近3200,可以表达成目标函数 {d1－} 取最小值，则有
min 40x1
d1 30x2
50x3
d1
d1
3200
ห้องสมุดไป่ตู้
d－
(2)设
d
2、d
2
分别为未达到和超过产品比例要求的偏差变量,则
产量比例尽 量不超过 1.5 的数学表达式为：
可分别乘上不同的权系数，权系数是一个具体数字，
乘上的权系数越大，表明该目标越重要。
现建立上例的目标规划模型：
(1) 设d1－未达到利润目标的差值, d1+ 为超过目标的差值
当利润小于3200时, d1－＞０且 d1＋＝0,有 40x1+30x2+50x3+d1－=3200
deviation variable)
d+ ——为超过目标值的差值，称为正偏差变量(positive deviation
variable),
注： 正、负偏差变量两者必有一个为0，故恒有 d - ×d+ ＝0。
(2) 统一处理目标和约束， 只对资源使用上有严格限制的建立系统约束，数学形式
上为严格等式或不等式，同线性规划中的约束条件。 而对不严格限定的约束，连同原线性规划建模时的目标，
40x1 30x2 50x3 3200 (1) 利润不少于3200元;
x1－1.5x
2
0
32xx3x113x202x22
x3 200 4x3 200
(2) 产品甲与产品乙的产量比例 尽量不超过1.5; (3) 提高产品丙的产量使之达到 30件; (4) 设备加工能力不足可以加班
4 2
x1 x1
尽可能接近3200,可以表达成目标函数 {d1－} 取最小值，则有
min 40x1
d1 30x2
50x3
d1
d1
3200
ห้องสมุดไป่ตู้
d－
(2)设
d
2、d
2
分别为未达到和超过产品比例要求的偏差变量,则
产量比例尽 量不超过 1.5 的数学表达式为：
运筹学第四章 目标规划
(1)首先,根据市场信息,椅子的销售量已 )首先,根据市场信息, 有下降的趋势,故应果断决策减少椅子的产量, 有下降的趋势,故应果断决策减少椅子的产量, 其产量最好不大于桌子的产量. 其产量最好不大于桌子的产量. (2)其次,市场上找不到符合生产质量要求 )其次, 的木工了, 的木工了,因此决不可能考虑增加木工这种资 源来增加产量, 源来增加产量,并且由于某种原因木工决不可 能加班. 能加班. (3)再其次,应尽可能充分利用油漆工的有 )再其次, 效工作时间,但油漆工希望最好不加班. 效工作时间,但油漆工希望最好不加班. (4)最后,企业考虑最好达到并超过预计利 )最后, 润指标 56元. 元
4.目标规划的目标函数. .目标规划的目标函数. 目标规划的目标函数是通过各目标约束的正, 目标规划的目标函数是通过各目标约束的正, 负偏差变量和赋于相应的优先等级来构造的. 负偏差变量和赋于相应的优先等级来构造的.当 每一目标值确定后, 每一目标值确定后,决策者的要求是尽可能从某 个方向缩小偏离目标的数值.于是, 个方向缩小偏离目标的数值.于是,目标规划的 目标函数应该是求极小: 目标函数应该是求极小:min f = f (d +,d -). . 其基本形式有三种: 其基本形式有三种: (1)要求恰好达到目标值,即使相应目标约束 )要求恰好达到目标值, 的正,负偏差变量都要尽可能地小. 的正,负偏差变量都要尽可能地小.这时取 min (d + + d - ); ; (2)要求不超过目标值,即使相应目标约束的 )要求不超过目标值, 正偏差变量要尽可能地小. 正偏差变量要尽可能地小.这时取 min (d + ); ; (3)要求不低于目标值,即使相应目标约束的 )要求不低于目标值, 负偏差变量要尽可能地小. 负偏差变量要尽可能地小.这时取 min (d - ); ;
第四部分目标规划教学课件
三、解目标规划的单纯形法 第四章
例6 用单纯形法解下列问题 minZ=P1d1++P2(d2-+d2+)+P3(d3-)
2X1+X2 11
X1 -X2+d1- -d1+=0 s.t. X1 +2X2 +d2- -d2+=10
8X1 +10X2 +d3- -d3+=56
X1 , X2 , di- , di+ 0
三、解目标规划的单纯形法 第四章
计算步骤： 1. 建立初始单纯形表。在表尾将检验数行按优先因子
个数分别列成k行，置k=1。 2. 检验该行中是否存在负数且对应的前k-1行的系数为
0。若有取其中最小者对应的变量为换入变量，转 3）。若无负数，转5）。 3. 按最小比值规则确定换出变量，当存在两个及两个 以上相同的最小比值时，选取具有较高级别的变量 为换出变量。 4. 按单纯形法进行基变换运算，建立新计算表，返2）。 5. 当k=K时，计算结束。其中的解即为满意解。 否则 置k=K+1,返2）。
(3)、充分利用设备，不希望加班。
(4)、尽可能达到并超过利润计划指标56千元。
一、目标规划的数学模型
设X1 ，X2为产品Ⅰ，产品Ⅱ产量。
2X1+X2 11
X1 -X2 +d1- -d1+=0 s.t. X1 +2X2 +d2- -d2+=10
8X1 +10X2 +d3- -d3+=56
X1 , X2 , di- , di+ 0
C(24，24)， D(0，60) 比较与目标的偏差 A点：ZA = P1d1- + P2d2++ P2d3+ = 0+0+ P2d3+
第四章目标规划
x1 x2 、 di- 、di+- ≥ 0 i=1,2,3,4
d4+ x2 = 30
d4
x1 + x2 = 50
d1+
d2+
d1
d2
x1 + x2 = 40
x1
例5：某车间计划生产两种产品
考虑:①充分利用供电部门分 配的电量限额指标62 5kw/日;
解：目标规划模型
②考虑完成且超额完成利润指
标10元/日。每日可给车间供 应所需原料8t。其他有关数据 汇总于下表。应当如何确定产 品A B的产量。
下面引入与建立目标规划数学模型有关的概念
• 1 设x1;x2为决策变量，此外，引进正 负偏 差变量d+，d 正偏差变量d＋表示决策值超过目标值的 部分；负偏差变量d-表示决策值未达到目标 值的部分。
决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值
即恒有d+×d=0
2 绝对约束和目标约束
绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不 等式约束；如线性规划问题的所有约束条件; 不能满足这些约束条件的解称为非可行解， 所以它们是硬约束
x2 d3
满意解24;26
x1 = 24 d3+
min Z = P1 d1+ P2 d2++ P32d3- +1d4-
s t.
x1 + x2 + d1- - d1+= 40
x1 + x2 + d2- - d2+= 40+10=50
x1
+ d3- - d3+= 24
x2 + d4- - d4+= 30
例2．商务活动
第4章目标规划
• min z=f(d++d-) • (2) 要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就
是正偏差变量要尽可能地小。这时min z=f(d+) • (3) 要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负
偏差变量要尽可能地小，这时min z=f(d-) • 对每一个具体目标规划问题，可根据决策者的要求
和赋予各目标的优先因子来构造目标函数，以下用 例子说明。
34
cij xij d10 d10 2950(110%)
i1 j1
• 因路段的问题，尽量避免安排将A2的产 品运往B4
• x24+d11--d11+=0 • 给B1和B3的供应率要相同 • (x11+x21+x31)-
(200/450)(x13+x23+x33)+d12--d12+=0
2x1 x2 11
x1
x2
d1
ห้องสมุดไป่ตู้
d1
0
满足约束条件： x1 2x2 d2 d2 10
8x1 10x2 d3 d3 56
x1, x2, di, di 0, i 1,2,3
目标规划的一般数学模型为
LK
目标函数： min z Pl (lk dk lk dk )
第4章 目标规划
• 第1节 目标规划的数学模型
• 第2节 解目标规划的图解法 • 第3节 解目标规划的单纯形法 • 第4节 灵敏度分析 • 第5节 应用举例
前言
前几章，所讨论的都是单目标的决策问题，但在现实 世界中，一个企业可能同时有多个目标：保持比较稳定 的价格和利润，提高产品的市场占有率，维持比较稳定 的职工队伍等。这些目标很难集中到一个目标上，而且 各个目标甚至相互矛盾，相互冲突。对于这类问题，我 们提出一种新的方案，目标规划。
是正偏差变量要尽可能地小。这时min z=f(d+) • (3) 要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负
偏差变量要尽可能地小，这时min z=f(d-) • 对每一个具体目标规划问题，可根据决策者的要求
和赋予各目标的优先因子来构造目标函数，以下用 例子说明。
34
cij xij d10 d10 2950(110%)
i1 j1
• 因路段的问题，尽量避免安排将A2的产 品运往B4
• x24+d11--d11+=0 • 给B1和B3的供应率要相同 • (x11+x21+x31)-
(200/450)(x13+x23+x33)+d12--d12+=0
2x1 x2 11
x1
x2
d1
ห้องสมุดไป่ตู้
d1
0
满足约束条件： x1 2x2 d2 d2 10
8x1 10x2 d3 d3 56
x1, x2, di, di 0, i 1,2,3
目标规划的一般数学模型为
LK
目标函数： min z Pl (lk dk lk dk )
第4章 目标规划
• 第1节 目标规划的数学模型
• 第2节 解目标规划的图解法 • 第3节 解目标规划的单纯形法 • 第4节 灵敏度分析 • 第5节 应用举例
前言
前几章，所讨论的都是单目标的决策问题，但在现实 世界中，一个企业可能同时有多个目标：保持比较稳定 的价格和利润，提高产品的市场占有率，维持比较稳定 的职工队伍等。这些目标很难集中到一个目标上，而且 各个目标甚至相互矛盾，相互冲突。对于这类问题，我 们提出一种新的方案，目标规划。
第4章+目标规划-第3-5节
⑥ 进行基变换运算，计算结果见表4-2
CB cj XB xs d1x2 d3b 6 5 5 6 P1 P2 P3 x1 x2 3/2 3/2 1/2 1 [3] -3 P1 P2 xs d1- d1+ d2-1/2 1 1 -1 1/2 1/2 -5 1 1 5 P3 P4 d2+ d3- d3+ θ 1/2 4 10/3 -1/2 10 -1/2 5 1 -1 6/3 1 -5 1
2/3
3 - 2/3 - 1/3 1/3
1
第5节 应 用 举 例
例6 某单位领导在考虑本单位职工的升级调 资方案时，依次遵守以下规定： (1) 不超过年工资总额60000元； (2) 每级的人数不超过定编规定的人数； (3) Ⅱ，Ⅲ级的升级面尽可能达到现有人数 的20%，且无越级提升； (4) Ⅲ级不足编制的人数可录用新职工，又 Ⅰ级的职工中有10%要退休。 有关资料汇总于表4-8中，问该领导应如何拟 订一个满意的方案。
(2) min z= P1d3- + P2(2d1++3d2+)+P3d4+ • 将变化了的优先等级直接反映到表4-5上。 再计算检验数， P1、P2行对换得表4-6 • 然后进行迭代，直到求得新的满意解为 止 • 从表4-7中得到新的满意解x1*=4，x2*=12。
表4-6
CB P1 cj XB x2 x1 d 3d4 2P2 b x1 x2 d1- d1+ d21 1 -1 -1 6 1 4 1 -3 3 -2 18 -1 [1] 2 3 -3 2 P1 2 P2 P3 3P2 P1 P3 d2 + d 3 - d3 + d 4- d 4+ 1 -1 2 1 -1 1 -1 1 -2 3 1
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2015-4-30
浙江理工大学经管学院-周晓林
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3、优先因子（优先等级）与权系数 • 在一个多目标决策问题中，要找出使所有目标达到最优的 解是很不容易的，在有些情况下，这样的解根本不存在 （当这些目标是互相矛盾时）.而在实际问题中，决策者 要求达到这些目标时，是有主次或轻重缓急的不同，凡要 求第一位达到的目标赋予优先因子P1，次位的目标赋予优 先因子P2 …，并规定Pk>> Pk+1表示Pk比Pk+1有更大的优先 权.若要区别具有相同优先因子的两个目标的差别，这时 可分别赋予它们不同的权系数，这些都是由决策者按具体 情况而定.
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4、目标规划的目标函数 • 目标规划的目标函数（又称准则函数或达成函数），是由 各目标约束的偏差变量及相应的优先因子和权系数构成， 由于目标规划追求的是尽可能接近各既定目标值，也就是 各有关偏差变量尽可能小，所以，其目标函数一定是极小 化的，应用时，有三种基本表达式. （1）要求恰好达到目标值.这时决策值超过或低于目标值都 是不希望的，因此有： min z f (d d ) （2）要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏 差变量要尽可能地小，因此有：min z f (d ) （3）要求不低于目标值，即允许超过目标值，就是负偏差 变量要尽可能地小，因此有：min z f (d )
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二 目标规划的基本概念
1 目标值与偏差变量 • 目标规划通过引入目标值和正、负偏差变量，可以将目标函数 转化为目标约束. • 所谓目标值是指预先给定的某个目标的一个期望值，如例4.1中， 计划利润48元就是目标的目标值，实现值或决策值是指当决策 变量确定以后，目标函数的对应值. 显然，决策值与目标值之 间会有一定的差异，这种差异用偏差变量（事先无法确定的未 知量）来刻划，正偏差变量表示决策值超过目标值的数量，记 为d+；负偏差变量表示决策值未达到目标值的数量,记为d-. 显 然. 在一次决策中，决策值不可能既超过目标值，同时又未达 到目标值，所以有 d+*d-=0 example: 6x1 8x2 d3 d3 48
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例4.2:某工厂生产两种产品，相关数据见表4-1.
产品 原材料 (kg/件) 设备工时 (h/件) 利润 (元/件) Ⅰ 5 4 6 II 10 4 8 限量 60 40
• 工厂作决策时可能还需根据市场和工厂实际情况， 考虑以下问题： P1:由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量不 超过产品Ⅰ的一半； P2:最好能节约4小时设备工时； P3:计划利润不少于48元. 试建立该问题的数学模型.
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50 例4.4 40 min z P1d1 P2 d 2 P3 d3 s.t. 5x1 10x2 d 0 60 30 x1 2x2 d1 d1 0 4x1 4x2 d 2 d 2 36 6 x 8 x d d 1 2 3 3 48 20
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解：设x1和x2分别表示黑白和彩色电视机的产量， 问题的目标规划模型为:
min z P d P d P ( 2 d d 1 1 2 2 3 3 4) s.t. x1 x2 d1 d1 40 ① ② x1 x2 d2 d2 50 ③ x1 d3 d3 24 ④ x2 d4 d4 30
一 问题的提出 线性规划存在的不足:目标单一 , 不切实际 目标规划:多目标决策问题 见下例
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例4.1:某工厂生产两种产品，相关数据见表4-1.
产品 原材料 (kg/件) 设备工时 (h/件) 利润 (元/件) Ⅰ 5 4 6 II 10 4 8 限量 60 40
第四章 目标规划
“最好”是理想, “更好”是现实
学习重点与难点
目标规划的数学模型(重点.难点) 目标规划的图解法(重点.难点) 目标规划的单纯形法(了解.难点)
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作业
P105 •1
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§1 目标规划的数学模型
x1 , x2 , d 0 , di , di 0
① ② ③ ④
10 8
③
6
i 1,2,3
②
4 2 ④ 2 4 6 8 10 12 x1
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①
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解空间
例4.5
• 某电视机厂装配黑白和彩色两种电视机，每装配一台，电 视机需占用装配线1小时,装配线每周计划开动40小时，预 计市场每周彩色电视机的销量是24台，每台可获利80元， 黑白电视机的销量是30台，每台可获利40元，该厂确定的 目标为： • P1：充分利用装配线每周计划开动40小时； • P2：允许装配线加班，但加班时间每周昼不超过10小时； • P3：装配电视机的数量尽量满足市场需要. • 试建立该问题的目标规划模型，并用图解法求解黑白和彩 色电视机的产量.
工厂作决策时可能还需根据市场和工厂实际情况，考虑以下问题： （1）由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量不超过产品Ⅰ的一半； （2）原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗； （3）最好能节约4小时设备工时； （4）计划利润不少于48元. 试建立该问题的数学模型.
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2、目标约束和绝对约束
• 绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束.如 线性规划问题的所有约束条件，不能满足这些约束条件的 解称为非可行解，所以它们是硬约束. • 目标约束是目标规划特有的，可把约束右端看作要追求的 目标值，在达到此目标值时允许发生正或负偏差，因此在 这些约束中加入正、负偏差变量，它们是软约束.线性规 划问题的目标函数在给定目标值和加入正、负偏差变量后， 可变换为目标约束，也可根据问题的需要将绝对约束变换 为目标约束.
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例4.2:
min z P1d1 P2 d 2 P3 d3
s.t. 5x1 10x2 d 0
60 x1 2x2 d1 d1 0 4x1 4x2 d 2 d 2 36 6x1 8x2 d3 d3 48
x1 , x2 , di , di 0
i 1,2,3,4
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50 例4.5
min z P d P d P ( 2 d d 1 1 2 2 3 3 4) s.t. x1 x2 d1 d1 40 ① 30 ② x1 x2 d2 d2 50 ③ x1 d3 d3 24 ④ x2 d4 d4 30
40
50 40
③
④
20
30
20 10 10
x1 , x2 , di , di 0
i 1,2,3,4
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①
20 30 40
②
50
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x1
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i 1,2,3
① ② ③ ④
x1 , x2 , d 0 , di , di 0
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§2 目标规划的图解法
• 同线性规划一样,可以用图解法求解含有两个决策变量的 目标规划问题.见例4.4: • 例4.2 的图解