吉林省长春汽车经济开发区第三中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
2018-2019学年吉林省高二 第一学期期末考试 数学（文）试题（解析版）
2018-2019学年吉林省“五地六校”合作高二第一学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．已知命题p：，，则是A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：，，则是：，．故选：B．【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．2．若直线过点，，则此直线的倾斜角是A．B．C．D．【答案】C【解析】求出直线的斜率，从而求出直线的倾斜角即可．【详解】由题意得：直线的斜率，故倾斜角是，故选：C．【点睛】本题考查了直线斜率，倾斜角问题，考查转化思想，是一道基础题．3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：由三视图易知该几何体为一个圆柱和半个圆锥组合而成，故其体积为【考点】三视图，空间几何体体积4．已知命题p：，使得，命题q：，使得，则下列命题是真命题的是A．B．C．D．【答案】D【解析】由配方法得：，即命题p为真命题，，即命题q为假命题，得解.【详解】由，，即命题p为真命题，由，即无解，即命题q为假命题，故选：D．【点睛】本题考查了二次不等式及二次方程的问题及命题的真假，属简单题.5．“”是“方程表示椭圆”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由椭圆的性质得：，解得m 范围，又“”范围小，“或”范围大，根据小范围推大范围，故得解。
【详解】“方程表示椭圆”，解得：或，又“”是“或”的充分不必要条件，即“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件，故选：A ． 【点睛】本题考查了椭圆的性质、充分条件，必要条件，充要条件，属简单题 6．已知双曲线的离心率为2，焦点是()40-，， ()40，，则双曲线方程为 （ ）A ．22x y 1412-= B ．22x y 1124-= C ．22x y 1106-= D ．22x y 1610-= 【答案】A【解析】由题意e=2，c=4， 由e=ca，可解得a=2， 又b 2=c 2﹣a 2，解得b 2=12所以双曲线的方程为22x y 1412-=。
2018-2019学年吉林省高二第一学期期末考试理科数学试题 解析版
绝密★启用前吉林省“五地六校”合作2018-2019学年高二第一学期期末考试理科数学试题评卷人得分一、单选题1．已知命题p：，，则是A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：，，则是：，．故选：B．【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．2．若直线过点，，则此直线的倾斜角是A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】求出直线的斜率，从而求出直线的倾斜角即可．【详解】由题意得：直线的斜率，故倾斜角是，故选：C．【点睛】本题考查了直线斜率，倾斜角问题，考查转化思想，是一道基础题．3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：由三视图易知该几何体为一个圆柱和半个圆锥组合而成，故其体积为考点：三视图，空间几何体体积4．已知命题p：，使得，命题q：，使得，则下列命题是真命题的是A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】由配方法得：，即命题p为真命题，，即命题q为假命题，得解.【详解】由，，即命题p为真命题，由，即无解，即命题q为假命题，故选：D．【点睛】本题考查了二次不等式及二次方程的问题及命题的真假，属简单题.5．“”是“方程表示椭圆”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由椭圆的性质得：，解得m范围，又“”范围小，“或”范围大，根据小范围推大范围，故得解。
【详解】“方程表示椭圆”，解得：或，又“”是“或”的充分不必要条件，即“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题考查了椭圆的性质、充分条件，必要条件，充要条件，属简单题6．方程表示的曲线是A．一个圆B．两个半圆C．两个圆D．半圆【答案】D【解析】【分析】方程等价于，即可得出结论．方程等价于，表示的曲线是半个圆．故选：D．【点睛】本题考查曲线与方程，考查圆的知识，属于基础题．7．以为圆心，4为半径的圆的方程为A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】利用圆的标准方程的性质求解．【详解】以为圆心，4为半径的圆的方程为：．故选：C．【点睛】本题考查圆的标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．8．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若，，则；若，，则；若，，则；若，，则．其中真命题的序号是A．B．C．D．【答案】D【分析】与立体几何有关的命题真假判断，要多结合空间图形，充分利用相关的公理、定理解答判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行垂直的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析．【详解】因为空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，中正方体从同一点出发的三条线，满足已知但是，所以错误；若，，则，满足平行线公理，所以正确；平行于同一平面的两直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，所以错误；垂直于同一平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理判断正确；故选：D．【点睛】本题考查空间两条直线的位置关系以及判定方法，线面平行的判定，解决时要紧紧抓住空间两条直线的位置关系的三种情况，牢固掌握线面平行、垂直的判定及性质定理．9．已知在三棱锥中，，，，，，且平面平面，那么三棱锥外接球的体积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：取中点，连接，由知，则，又平面平面，所以平面，设，则，又，则，，，，显然是其外接球球心，因此．故选D．考点：棱锥与外接球，体积．10．在平面内两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，则点M 的轨迹是A．圆B．椭圆C．双曲线D．线段【答案】A【解析】【分析】以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设出动点M的坐标，由M到这两定点的距离的平方和为26列等式，整理后得答案．【详解】设两定点分别为A，B，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系如图：，则，，设，则，即．整理得：．的轨迹方程是．故选：A．【点睛】本题考查了轨迹方程的求法，解答的关键是建立恰当的平面直角坐标系，是中档题．11．已知双曲线C：的左右焦点分别是，，过的直线l与C的左右两支分别交于A，B两点，且，则A．B．3 C．4 D．【答案】C【解析】设双曲线的实半轴长为a，依题意可得a＝1，由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2.又|AF1|＝|BF1|，故|AF2|－|BF2|＝4，又|AB|＝|AF2|－|BF2|，故|AB|＝4. 选C12．如图，已知，是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段与圆相切于点Q，且点Q为线段的中点，则椭圆C的离心率为A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】连接OQ，，先利用三角形中位线定理证明，，而OQ即为圆的半径b，从而得焦半径，再利用椭圆的定义，得，最后利用直线与圆相切的几何性质，证明，从而在三角形中利用勾股定理得到a、b、c间的等式，进而计算离心率即可【详解】如图：连接OQ，，点Q为线段的中点，，，，由椭圆定义，，线段与圆相切于点Q，，，且，即，，故选：B．【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及其运用，直线与圆的位置关系，椭圆的几何性质及其离心率的求法，属基础题第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分二、填空题13．已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为 . 【答案】π33 【解析】试题分析：设圆锥的底面半径为r ，22⨯=ππr ，解得1=r ，根据勾股定理，圆锥的高等于31222=-，所以圆锥的体积ππ3331312=⨯⨯⨯=V . 考点：旋转体的体积 14．抛物线的焦点到准线的距离是______．【答案】 【解析】 【分析】化抛物线方程为标准方程，即可求得焦点到准线的距离． 【详解】抛物线的标准方程为，则，即抛物线的焦点到准线的距离是故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线的标准方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 15．如图，在长方形ABCD 中，，，E 是CD 的中点，沿AE 将向上折起，使D 为，且平面平面则直线与平面ABC 所成角的正弦值为______．【答案】【解析】【分析】由面面垂直，易得斜线在平面的射影，进而得角．【详解】由题意，为等腰直角三角形，平面平面ABCE，在底面的射影为AE，为直线与平面ABC所成角，且，其正弦值为，故答案为：．【点睛】此题考查了斜线与平面所成角，难度不大．求线面角，可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。
吉林省高中学校2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年吉林省高中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设命题p：∀x＞0，|x|＝x，则￢p为（）A．∀x＞0，|x|≠x B．∃x0≤0，|x0|＝x0C．∀x≤0，|x|＝x D．∃x0＞0，|x0|≠x02．直线l过点（1，0），且斜率为2，则l的方程是（）A．2x﹣y﹣2＝0B．x﹣2y﹣1＝0C．2x+y﹣2＝0D．2x﹣y+2＝03．已知双曲线的一个焦点为（2，0），则它的离心率为（）A．B．C．D．24．下面选项中的方程与对应的曲线匹配的是（）A．B．C．D．5．已知向量，平面α的一个法向量，若AB⊥α，则（）A．x＝6，y＝2B．x＝2，y＝6C．3x+4y+2＝0D．4x+3y+2＝06．“a，b，c，d成等差数列”是“a+d＝b+c”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．已知双曲线C：﹣＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上一点，＝，O为坐标原点，若|PF 1|＝10，则|OQ |＝（ ） A ．10B ．1或9C ．1D ．98．某几何体的三视图如图所示，其中三个圆半径都相等，且每个圆中两条半径互相垂直，若该几何体的表面积是68π，则它的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．9．在四面体OABC 中，点M ，N 分别为OA ，BC 的中点，若，且G ，M ，N三点共线，则x +y ＝（ ）A ．．B ．C ．.D ．．10．一个棱长为4的无盖正方体盒子的平面展开图如图所示，A ，B ，C ，D 为其上四个点，则以A ，B ，C ，D 为顶点的三棱锥的体积为（ ）A ．B ．16C ．D ．6411．已知点A 在直线x ﹣y +5＝0上，过点A 作直线与圆C ：（x ﹣3）2+（y +2）2＝18相切于点B ，则△ABC 的面积的最小值为（ ）A ．12B ．C ．15D ．12．抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，AB 是经过抛物线焦点F 的弦，M 是线段AB 的中点，经过A ，B ，M 作抛物线的准线l 的垂线AC ，BD ，MN ，垂足分别是C ，D ，N ，其中MN 交抛物线于点Q ．下列说法不正确的是（ ）A．B．FN⊥ABC．Q是线段MN的一个三等分点D．∠QFM＝∠QMF二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若直线x﹣2y+2＝0与直线2x+my﹣6＝0平行，则它们之间的距离为．14．过椭圆4x2+3y2＝12的一个焦点且斜率存在的直线与椭圆交于A，B两点，则A，B与该椭圆的另一个焦点构成的三角形的周长是．15．直线l的一个方向向量为，直线n的一个方向向量为，则l与n的夹角为．16．已知直线l：kx﹣y+k﹣3＝0与圆C：（x﹣1）2+y2＝10相交于P，Q两点，若，则实数k的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知p：∀x∈R，ax2﹣x+3＞0，q：∃x∈[1，2]，a•2x≥1．（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若p∧q为真命题，且p∧q为假命题，求a的取值范围．18．（12分）已知直线l：（2m﹣3）x+（m﹣1）y+4﹣2m＝0（m∈R），圆C：x2+y2﹣6x+5＝0．（1）证明：直线l恒定点；（2）当直线l与圆C相切时，求m．19．（12分）如图，在四面体ABCD中，AC＝BC＝CD＝2，AB＝AD＝．（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；（2）求直线BD与平面ACD所成角的正弦值．20．（12分）已知动圆C过定点F（2，0），且与直线x＝﹣2相切，圆心C的轨迹为E，（1）求E的轨迹方程；（2）若直线l交E与P，Q两点，且线段PQ的中心点坐标（1，1），求|PQ|．21．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝BB1＝BA，，AB⊥B1C．（1）证明：AC＝AB1；（2）若AC⊥AB1，求二面角B1﹣AB﹣C的正弦值．22．（12分）已知椭圆的离心率为，直线与M相切于点P．（1）求椭圆M的方程；（2）若直线l′：x+2y+n＝0与椭圆M交于不同的两点A，B，与直线l相交于Q（P，Q，A，B均不重合）．证明：为定值．2018-2019学年吉林省高中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设命题p：∀x＞0，|x|＝x，则￢p为（）A．∀x＞0，|x|≠x B．∃x0≤0，|x0|＝x0C．∀x≤0，|x|＝x D．∃x0＞0，|x0|≠x0【分析】利用全称命题的否定是图象命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是推出明天吧，所以命题p：∀x＞0，|x|＝x，则￢p为：∃x0＞0，|x0|≠x0．故选：D．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．2．直线l过点（1，0），且斜率为2，则l的方程是（）A．2x﹣y﹣2＝0B．x﹣2y﹣1＝0C．2x+y﹣2＝0D．2x﹣y+2＝0【分析】代入直线的点斜式方程整理即可．【解答】解：由点斜式得y＝2（x﹣1），化为一般式得2x﹣y﹣2＝0，故选：A．【点评】本题考查了求直线方程问题，考查直线方程的几种形式，是一道常规题．3．已知双曲线的一个焦点为（2，0），则它的离心率为（）A．B．C．D．2【分析】根据焦点坐标得c＝2，再用平方关系得a2+1＝4，解出a值后再用离心率的公式，可得该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的一个焦点为（2，0），∴a2+1＝22＝4，可得a＝（舍负）因此双曲线的离心率为e ＝＝＝故选：A ．【点评】本题给出含有字母参数的双曲线的焦点坐标，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题． 4．下面选项中的方程与对应的曲线匹配的是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据曲线与方程之间的关系进行判断即可．【解答】解：A 中方程表示的曲线是单位圆的上半部分，与对应图象不符；B 中方程lnx +lny ＝0表示的曲线是的图象，与对应图象不符；C 中方程表示的是y ＝x 2（x ≥0）的图象，与对应图象不符；D 中方程x ＝|y |表示的曲线是y ＝x （x ≥0）与y ＝﹣x （x ＞0）的图象，与对应图象符合． 故选：D ．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合曲线和方程之间的关系是解决本题的关键．5．已知向量，平面α的一个法向量，若AB ⊥α，则（ ） A ．x ＝6，y ＝2B ．x ＝2，y ＝6C ．3x +4y +2＝0D ．4x +3y +2＝0【分析】根据空间向量的共线定理列方程组求出x 、y 的值．【解答】解：因为⊥α，所以，由，解得x ＝6，y ＝2． 故选：A ．【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题．6．“a，b，c，d成等差数列”是“a+d＝b+c”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由a，b，c，d成等差数列，可得：a+d＝b+c，反之不成立：例如a＝0，d＝5，b＝1，c＝4．即可判断出结论．【解答】解：由a，b，c，d成等差数列，可得：a+d＝b+c，反之不成立：例如a＝0，d＝5，b＝1，c＝4．∴“a，b，c，d成等差数列”是“a+d＝b+c”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．已知双曲线C：﹣＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上一点，＝，O为坐标原点，若|PF1|＝10，则|OQ|＝（）A．10B．1或9C．1D．9【分析】利用双曲线的定义，结合已知条件，转化求解|OQ|即可．【解答】解：双曲线C：﹣＝1可得a＝4，b＝4，c＝8，c﹣a＝4，由双曲线的定义可知：||PF1|﹣|PF2||＝2a＝8，因为|PF1|＝10，所以|PF2|＝18或|PF2|＝2（舍去），P为C上一点，＝，所以Q为线段PF1的中点，所以|OQ|＝|PF2|＝9．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．8．某几何体的三视图如图所示，其中三个圆半径都相等，且每个圆中两条半径互相垂直，若该几何体的表面积是68π，则它的体积是（）A．B．C．D．【分析】由三视图画出该几何体的直观图，分析可得该几何体是一个球被切掉左上角的八分之一，它的表面积是八分之七的球面面积和三个扇形面积之和，进而得到答案．【解答】解：由三视图可知其对应的几何体为一个切去了的球，设该球的半径为R，由，得R＝4，所以此几何体的体积为．故选：C．【点评】本题考查的知识点是球的体积与表面积，根据已知分析出几何体的形状是解答的关键．9．在四面体OABC中，点M，N分别为OA，BC的中点，若，且G，M，N 三点共线，则x+y＝（）A．．B．C．.D．．【分析】若G，M，N三点共线，则存在实数λ使得＝成立，求出，从而，由此能求出结果．【解答】解：若G，M，N三点共线，则存在实数λ使得＝成立，所以，可得，所以，可得．故选：B．【点评】本题查代数式的和的求法，考查空间向量加法定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．一个棱长为4的无盖正方体盒子的平面展开图如图所示，A，B，C，D为其上四个点，则以A，B，C，D为顶点的三棱锥的体积为（）A．B．16C．D．64【分析】复原正方体，判断三棱锥，结合图形求解几何体的体积即可．【解答】解：复原正方体，如图所示．故以A，B，C，D为顶点的三棱锥的体积．故选：C．【点评】本题考查空间几何体的体积的求法，表面展开图的应用，考查空间想象能力以及计算能力．11．已知点A在直线x﹣y+5＝0上，过点A作直线与圆C：（x﹣3）2+（y+2）2＝18相切于点B，则△ABC的面积的最小值为（）A．12B．C．15D．＝【分析】根据题意，分析圆C的圆心与半径，连接CA，CB，分析可得S△ABC，结合直线与圆的关系分析|AB|的最小值，计算可得答案．【解答】解：根据题意，圆C：（x﹣3）2+（y+2）2＝18，其圆心为C（3，﹣2），半径r＝，连接CA，CB，因为在△ABC中，CB⊥AB，＝，所以△ABC的面积S△ABC又由＝，当|CA|取最小值时，|AB|最小．又点A在直线x﹣y+5＝0上，则|CA|的最小值即为点C到直线x﹣y+5＝0的距离，即|CA|的最小值为，则|AB|的最小值为，故△ABC的面积的最小值为．故选：A．【点评】本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，关键是分析|AB|的最小值．12．抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，AB是经过抛物线焦点F的弦，M是线段AB的中点，经过A，B，M作抛物线的准线l的垂线AC，BD，MN，垂足分别是C，D，N，其中MN交抛物线于点Q．下列说法不正确的是（）A．B．FN⊥ABC．Q是线段MN的一个三等分点D．∠QFM＝∠QMF【分析】画出图形，利用抛物线的定义以及性质，判断选项的正误即可．【解答】解：由抛物线的定义，得|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|．又，则，A正确．由，可知△ANB是直角三角形，MN是斜边上的中线，所以∠MAN＝∠MNA，而∠MNA＝∠CAN，所以∠MAN＝∠CAN．所以△ANC≌△ANF，可知∠AFN＝∠ACN＝90°，所以FN⊥AB，B正确．由∠QFM＝∠QMF，可知|QF|＝|QM|，所以|NQ|＝|QM|，即Q是MN的中点，故C不正确．在Rt△MNF中，|QN|＝|QF|，可知∠QNF＝∠QFN，所以∠QFM＝∠QMF，D正确．故选：C．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查以及数形结合思想的应用．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若直线x﹣2y+2＝0与直线2x+my﹣6＝0平行，则它们之间的距离为．【分析】先把直线方程中未知数的系数化为相同的，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果．【解答】解：由直线x﹣2y+2＝0与直线2x+my﹣6＝0平行，可得＝≠，解得m＝﹣4，所以直线2x+my﹣6＝0的方程可化简2x﹣4y﹣6＝0，而直线x﹣2y+2＝0，即直线2x﹣4y+4＝0，∴它们之间的距离为＝，故答案为：．【点评】本题主要考查两条平行直线间的距离公式的应用，注意直线方程中未知数的系数必需相同，属于基础题．14．过椭圆4x2+3y2＝12的一个焦点且斜率存在的直线与椭圆交于A，B两点，则A，B与该椭圆的另一个焦点构成的三角形的周长是8．【分析】化简椭圆方程为标准方程，求出a，利用椭圆的定义求解即可．【解答】解：将方程4x2+3y2＝12整理得，故a＝2，所求三角形的周长为4a＝8．故答案为：8．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．15．直线l的一个方向向量为，直线n的一个方向向量为，则l与n的夹角为．【分析】利用空间向量夹角公式直接求解．【解答】解：∵直线l的一个方向向量为，直线n的一个方向向量为，，∴l与n的夹角为．故答案为：．【点评】本题考查两直线的夹角的余弦值的求法，考查空间向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．已知直线l：kx﹣y+k﹣3＝0与圆C：（x﹣1）2+y2＝10相交于P，Q两点，若，则实数k的值为．【分析】根据题意，由数量积的计算公式可得，变形可得，结合直线与圆的位置关系分析可得|PQ|的长以及圆心C到直线l的距离，又由点到直线的距离公式可得，解可得k的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，因为，所以，故弦长|PQ|＝，于是圆心C到直线l的距离为，又由，解可得k＝；故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及向量数量积的计算，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知p：∀x∈R，ax2﹣x+3＞0，q：∃x∈[1，2]，a•2x≥1．（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若p∧q为真命题，且p∧q为假命题，求a的取值范围．【分析】（1）分a＝0和a≠0两类求范围取并集即可；（2）由函数单调性求出q真的范围，由已知得p、q一真一假，分p真q假和p假q真两类求范围，取并集即可．【解答】解：（1）①a＝0，x＜3，不合题意，②a≠0，⇒a＞∴a的取值范围为（，+∞）；（2）q真：∵x∈[1，2]，∴2≤2x≤4，∴≤≤，∴a≥，∵p∧q为真命题，且p∧q为假命题，∴p、q一真一假，①p真q假⇒＜a＜②p假q真⇒a∈∅∴a的取值范围为（，）．【点评】本题考查了简易逻辑的判定、指数函数、反比例函数的单调性，以及二次函数的取值和判别式△的关系，考查了推理能力，属于基础题．18．（12分）已知直线l：（2m﹣3）x+（m﹣1）y+4﹣2m＝0（m∈R），圆C：x2+y2﹣6x+5＝0．（1）证明：直线l恒定点；（2）当直线l与圆C相切时，求m．【分析】（1）根据题意，将直线l的方程整理得（2x+y﹣2）m+（﹣3x﹣y+4）＝0，进而可得，解可得x、y的值，即可得答案；（2）根据题意，将圆的方程变形为标准方程，分析可得圆心与半径，结合直线与圆的位置关系分析可得答案．【解答】解：（1）证明：将直线l的方程整理得（2x+y﹣2）m+（﹣3x﹣y+4）＝0，令，得，所以直线l恒过点P（2，﹣2）．（2）解：将圆C的一般方程化为标准方程得（x﹣3）2+y2＝4，所以圆C的圆心为（3，0），半径为2．因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离等于半径，即，得4m2﹣16m+15＝（2m﹣3）（2m﹣5）＝0，所以或．当时，直线l的方程为y＝﹣2；当时，直线l的方程为4x+3y﹣2＝0．【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，（2）中注意直线l的斜率是否存在．19．（12分）如图，在四面体ABCD中，AC＝BC＝CD＝2，AB＝AD＝．（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；（2）求直线BD与平面ACD所成角的正弦值．【分析】（1）设O为BD的中点，连接OA，OC．证明AO⊥BD，AO⊥OC．证明AO⊥平面BCD，然后证明平面ABD⊥平面BCD．（2）以O为原点，OB，OC，OA分别为x轴、y轴、z轴、建立空间直角坐标系O﹣xyz．求出平面ACD的法向量，．设直线BD与平面ACD所成角为α，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（1）证明：设O为BD的中点，连接OA，OC．∵O是BD的中点，∴在△BCD中，BC＝CD＝BD＝2，即△BCD为等边三角形，∴OC⊥BD，∴．在△ABD中，，BD＝2，∴AO⊥BD，且AO＝1，于是AO2+OC2＝AC2，可知AO⊥OC．∵BD∩OC＝O，∴AO⊥平面BCD，∵AO⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD．（2）解：由（1）知，AO，BD，OC两两垂直，以O为原点，OB，OC，OA分别为x轴、y轴、z 轴、建立空间直角坐标系O﹣xyz．则A（0，0，1），B（1，0，0），，D（﹣1，0，0），设平面ACD的法向量，，，则，令，得，又．设直线BD与平面ACD所成角为α，则，即直线BD与平面ACD所成角的正弦值为．【点评】本题考查空间向量的数量积的应用，直线与平面所成角的求法，直线与平面，平面与平面垂直的判断定理的应用．20．（12分）已知动圆C过定点F（2，0），且与直线x＝﹣2相切，圆心C的轨迹为E，（1）求E的轨迹方程；（2）若直线l交E与P，Q两点，且线段PQ的中心点坐标（1，1），求|PQ|．【分析】（1）利用动圆C过定点F（2，0），且与直线l1：x＝﹣2相切，所以点C的轨迹是以F 为焦点x＝﹣2为基准线的抛物线，即可求动点C的轨迹方程；（2）先利用点差法求出直线的斜率，再利用韦达定理，结合弦长公式，即可求|PQ|．【解答】解：（1）由题设知，点C到点F的距离等于它到直线x＝﹣2的距离，所以点C的轨迹是以F为焦点x＝﹣2为基准线的抛物线，所以所求E的轨迹方程为y2＝8x．（2）由题意已知，直线l的斜率显然存在，设直线l的斜率为k，P（x1，y1），Q（x2，y2），则有，两式作差得y12﹣y22＝8（x1﹣x2）即得，因为线段PQ的中点的坐标为（1，1），所以k＝4，则直线l的方程为y﹣1＝4（x﹣1），即y＝4x﹣3，与y2＝8x联立得16x2﹣32x+9＝0，得，．【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题21．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝BB1＝BA，，AB⊥B1C．（1）证明：AC＝AB1；（2）若AC⊥AB1，求二面角B1﹣AB﹣C的正弦值．【分析】（1）连接BC1，交B1C于点O，连接AO，证明B1C⊥BC1，推出B1C⊥平面ABO，得到B1C⊥AO．然后证明AC＝AB1．（2）以O为原点，建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面ABC的法向量，平面B1AB的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B1﹣AB﹣C的正弦值即可．【解答】（1）证明：连接BC1，交B1C于点O，连接AO，由题知，侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1，又AB⊥B1C，AB∩BC1＝B，所以B1C⊥平面ABO，又AO⊂平面ABO，所以B1C⊥AO．因为B1O＝CO，所以AC＝AB1．（2）解：因为AC⊥AB1，所以AO＝CO，又AB＝BC，所以△BOA≌△BOC．所以OA⊥OB，可知OA，OB，OB1两两垂直，以O为原点，建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，设，则A（0，0，1），，C（0，﹣1，0），B1（0，1，0），所以，，，设平面ABC的法向量为，由，令y＝3，得，设平面B1AB的法向量为，由，令x＝1，得，所以，故二面角B1﹣AB﹣C的正弦值为．【点评】本题考查空间向量的数量积的应用，二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用．22．（12分）已知椭圆的离心率为，直线与M相切于点P．（1）求椭圆M的方程；（2）若直线l′：x+2y+n＝0与椭圆M交于不同的两点A，B，与直线l相交于Q（P，Q，A，B均不重合）．证明：为定值．【分析】（1）由题意把椭圆M的方程可表示为．联立，得，再由直线l：与M相切，得c2＝2，由此能求出椭圆M的方程．（2）将直线l：与椭圆M方程联立得点P．将直线l：与直线l'：x+2y+n＝0方程联立得点Q，．将直线l'：x+2y+n＝0与椭圆M方程联立得4x2+2nx+n2﹣24＝0，利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能证明为定值．【解答】解：（1）由题意，得．于是椭圆M的方程可表示为．联立，得．因为直线l：与M相切，所以△＝8﹣4（8﹣3c2）＝0，得c2＝2，故椭圆M的方程为．证明：（2）将直线l：，与椭圆M方程联立得，解得，即点P的坐标为．将直线l：与直线l'：x+2y+n＝0方程联立得，解得，即点Q的坐标为，．将直线l'：x+2y+n＝0与椭圆M方程联立得代入化简得4x2+2nx+n2﹣24＝0，△＝4n2﹣16（n2﹣24）＞0，得且．记A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，，所以＝．同理，，故＝，故，即为定值．【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查代数式为定值的证明，考查椭圆、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。
2018-2019学年吉林省长春实验中学高二(上)期末数学试卷(理科)Word解析版
2018-2019学年高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标为（）A．B．（0，﹣1）C．（0，﹣2）D．（0，﹣4）2．命题“a＝0，则ab＝0”的逆否命题是（）A．若ab＝0，则a＝0 B．若a≠0，则ab≠0C．若ab＝0，则a≠0 D．若ab≠0，则a≠03．命题：“∃x＜1，使得x2＜1”的否定（）A．∀x≥1，都有x2＜1 B．∃x≥1，都有x2≥1C．∀x＜1，都有x2≥1 D．∃x＜1，都有x2≥14．点A在z轴上，它到点（2，，1）的距离是，则点A的坐标是（）A．（0，0，﹣1）B．（0，1，1）C．（0，0，1）D．（0，0，13）5．在如下电路中，条件p：开关A闭合，条件q：灯泡B亮，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．在以下所给函数中，存在极值点的函数是（）A．y＝e x+x B．y＝lnx﹣C．y＝﹣x3D．y＝sin x7．已知椭圆+＝1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|＝8．弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10 B．20 C．2D．48．某单位为寻找高产稳定的菜种，选了3种不同的菜种进行实验，每一菜种在5块试验田上试种，每块试验田的面积相同，试验产量情况如表，则可估计其中既高产又稳定的菜种是（）A．甲B．乙C．丙D．不确定9．《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十丙持钱二百一十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问乙出几何？”其意为：“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了210钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则乙应出（所得结果四舍五入，保留整数）（）A．50 B．32 C．31 D．1910．如图1是某学习小组学生在某次数学考试中成绩的茎叶图，1号到20号同学的成绩依次为a1，a2，a3，……，a20，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的程序框图，那么该框图的输出结果是（）A．12 B．8 C．9 D．1111．已知f（x）＝x2+sin，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（）A．B．C．D．12．过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若＝（+），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．函数y＝e﹣x在x＝0处的导数值是．14．已知双曲线的离心率为，则点P（4，0）到C的渐近线的距离为．15．函数f（x）＝﹣x﹣cos x，则使f（x+1）﹣f（1﹣3x）≥0的成立x范围是．16．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作斜率为的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B 在y轴上的正射影分别为D，C，若梯形ABCD的面积为10，则p＝．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知函数f（x）＝2lnx﹣x2．（1）求函数f（x）在x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间和极值．18．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程，再用1月和6月的2组数据进行检验．（1）请根据2、3、4、5月的数据，求出y关于x的线性回归方程（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？（参考公式：，）参考数据：11×25+13×29+12×26+8×16＝1092，112+132+122+82＝498．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC ＝2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明PB⊥平面EFD；（2）求二面角C﹣PB﹣D的大小．20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（2，n）（n＞0）在抛物线C上，|PF|＝3，直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点．（1）求抛物线C的方程及点P的坐标；（2）求的最大值．21．如图，在五面体ABCDPE中，PD⊥平面ABCD，∠ADC＝∠BAD＝90°，F为棱PA的中点，，AB＝AD＝1，且四边形CDPE为平行四边形．（1）判断AC与平面DEF的位置关系，并给予证明；（2）在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，请求出QE的长；若不存在，请说明理由．22．已知椭圆的离心率为，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上一点，△F1PF2面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A（4，0）作关于x轴对称的两条不同直线l1，l2分别交椭圆于M（x1，y1）与N（x2，y2），且x1≠x2，证明直线MN过定点，并求△AMN的面积S的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标为（）A．B．（0，﹣1）C．（0，﹣2）D．（0，﹣4）【分析】利用抛物线x2＝4y的准线方程为y＝﹣1，即可求出抛物线x2＝4y的准线与y 轴的交点的坐标．解：抛物线x2＝4y的准线方程为y＝﹣1，∴抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标为（0，﹣1），故选：B．2．命题“a＝0，则ab＝0”的逆否命题是（）A．若ab＝0，则a＝0 B．若a≠0，则ab≠0C．若ab＝0，则a≠0 D．若ab≠0，则a≠0【分析】根据互为逆否的两命题是条件和结论先逆后否来解答．解：因为原命题是“a＝0，则ab＝0”，所以其逆否命题为“若ab≠0，则a≠0”，故选：D．3．命题：“∃x＜1，使得x2＜1”的否定（）A．∀x≥1，都有x2＜1 B．∃x≥1，都有x2≥1C．∀x＜1，都有x2≥1 D．∃x＜1，都有x2≥1【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题：“∃x＜1，使得x2＜1”的否定：∀x＜1，都有x2≥1．故选：C．4．点A在z轴上，它到点（2，，1）的距离是，则点A的坐标是（）A．（0，0，﹣1）B．（0，1，1）C．（0，0，1）D．（0，0，13）【分析】设A（0，0，z），由题意和距离公式可得z的方程，解方程可得．解：由点A在z轴上设A（0，0，z），∵A到点（2，，1）的距离是，∴（2﹣0）2+（﹣0）2+（z﹣1）2＝13，解得z＝1，故A的坐标为（0，0，1），故选：C．5．在如下电路中，条件p：开关A闭合，条件q：灯泡B亮，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由电路图可知p⇒q成立，q⇒p不成立，即可判定p是q的充分不必要条件．解：若开关A闭合，则灯泡B亮，所以p⇒q；若灯泡B亮，则开关A闭合或开关B闭合，所以q⇒p不成立，所以p是q的充分不必要条件，故选：A．6．在以下所给函数中，存在极值点的函数是（）A．y＝e x+x B．y＝lnx﹣C．y＝﹣x3D．y＝sin x【分析】求导数，利用极值的定义，即可得出结论．解：对于A，y′＝e x+1＞1，函数单调递增，无极值点；对于B，y′＝＞1，函数单调递增，无极值点；对于C，y′＝﹣2x2≤0，函数单调递减，无极值点；对于D，y′＝cos x＝0，x＝kπ+，易知其两侧导数符号改变，有极值点．故选：D．7．已知椭圆+＝1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|＝8．弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10 B．20 C．2D．4【分析】求得椭圆的a，b，c，由椭圆的定义可得△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|＝4a，计算即可得到所求值．解：由题意可得椭圆+＝1的b＝5，c＝4，a ＝＝，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|＝|BF1|+|BF2|＝2a，即有△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝4a＝4．故选：D．8．某单位为寻找高产稳定的菜种，选了3种不同的菜种进行实验，每一菜种在5块试验田上试种，每块试验田的面积相同，试验产量情况如表，则可估计其中既高产又稳定的菜种是（）A．甲B．乙C．丙D．不确定【分析】根据平方数和方差表示的功能，估算出甲．解：根据数据分析：甲数据比较集中，而且都在21左右，乙和丙数据比较分散，极差比较大，可估计其中既高产又稳定的菜种是甲，故选：A．9．《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十丙持钱二百一十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问乙出几何？”其意为：“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了210钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则乙应出（所得结果四舍五入，保留整数）（）A．50 B．32 C．31 D．19【分析】求出抽样比例，再计算乙应交的关税值．解：根据分层抽样原理，抽样比例为：＝，所以乙应交关税为350×≈31（钱）．故选：C．10．如图1是某学习小组学生在某次数学考试中成绩的茎叶图，1号到20号同学的成绩依次为a1，a2，a3，……，a20，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的程序框图，那么该框图的输出结果是（）A．12 B．8 C．9 D．11【分析】根据茎叶图和程序框图知，该程序运行后输出成绩大于或等于100的人数，由此求出输出的n值．解：根据茎叶图知，这20名同学的成绩依次为a1，a2，…，a20，分析程序框图知，该程序运行后输出成绩大于或等于100的人数，由此知输出的结果是8．故答案为：8．故选：B．11．已知f（x）＝x2+sin，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（）A．B．C．D．【分析】先化简f（x）＝x2+sin＝x2+cos x，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B，D．再根据导函数的导函数小于0的x的范围，确定导函数在（﹣，）上单调递减，从而排除C，即可得出正确答案．解：由f（x）＝x2+sin＝x2+cos x，∴f′（x）＝x﹣sin x，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D．又f″（x）＝﹣cos x，当﹣＜x＜时，cos x＞，∴f″（x）＜0，故函数y＝f′（x）在区间（﹣，）上单调递减，故排除C．故选：A．12．过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若＝（+），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题设知|EF|＝，|PF|＝2，|PF′|＝a，再由|PF|﹣|PF′|＝2a，知2﹣a＝2a，由此能求出双曲线的离心率．解：∵|OF|＝c，|OE|＝，∴|EF|＝，∵，∴|PF|＝2，|PF'|＝a，∵|PF|﹣|PF′|＝2a，∴2﹣a＝2a，∴，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．函数y＝e﹣x在x＝0处的导数值是﹣1 ．【分析】根据题意，求出函数的导数，将x＝0代入其导函数，即可得答案．解：根据题意，函数y＝e﹣x，其导数为y′＝﹣e﹣x，则有y′|x＝0＝﹣e﹣0＝﹣1，即函数y＝e﹣x在x＝0处的导数值是﹣1；故答案为：﹣114．已知双曲线的离心率为，则点P（4，0）到C的渐近线的距离为2．【分析】利用双曲线的离心率求出a，b的关系，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离求解即可．解：双曲线的离心率为，可得＝，即：＝2，解得a＝b，双曲线的渐近线方程为：y＝±x，点（4，0）到C的渐近线的距离为：＝2．故答案为：2．15．函数f（x）＝﹣x﹣cos x，则使f（x+1）﹣f（1﹣3x）≥0的成立x范围是{x|x≤0} ．【分析】根据题意，分析可得f（x）在R上为减函数，则原不等式可以转化为x+1≤1﹣3x，解可得x的取值范围，即可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝﹣x﹣cos x，则导数f′（x）＝﹣1+sin x，∀x∈R，f′（x）≤0，则函数f（x）在R上为减函数；f（x+1）﹣f（1﹣3x）≥0⇒f（x+1）≥f（1﹣3x）⇒x+1≤1﹣3x，解可得：x≤0，则不等式的解集为{x|x≤0}，故答案为：{x|x≤0}．16．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作斜率为的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B 在y轴上的正射影分别为D，C，若梯形ABCD的面积为10，则p＝ 3 ．【分析】设出A，B的坐标，依题意表示出焦点坐标，进而得到直线的方程，与抛物线方程联立消去y，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，求得|x1﹣x2|，进而求得|y1﹣y2|，最后利用梯形面积公式建立等式求得p．解：抛物线方程为y2＝2px，设A，B点坐标分别为（x1，y1，），（x2，y2），∴焦点F坐标为（，0），∴直线AB的方程为y＝（x﹣），带入抛物线方程得3x2﹣5px+＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝，∴|x1﹣x2|＝＝，∴|y1﹣y2|＝•p则梯形ABCD的面积为•（AD+BC）•CD＝（x1+x2）|y1﹣y2|＝••＝10，∴p＝3．故答案为：3三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知函数f（x）＝2lnx﹣x2．（1）求函数f（x）在x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间和极值．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．解：（1）∵∴f'（1）＝0，所求的切线斜率为0，又切点为（1，﹣1）故所求切线方程为y＝﹣1…（2）∵且x＞0令f'（x）＞0得0＜x＜1，令f'（x）＜0得x＞1．从而函数f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）显然函数只有极大值，且极大值为f（1）＝﹣1…18．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程，再用1月和6月的2组数据进行检验．（1）请根据2、3、4、5月的数据，求出y关于x的线性回归方程（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？（参考公式：，）参考数据：11×25+13×29+12×26+8×16＝1092，112+132+122+82＝498．【分析】（1）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程．（2）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为10和6时的y的值，把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程理想．解：（1）由数据求得＝11，＝24，由公式求得b＝，再由＝﹣b，求得a＝﹣，∴y关于x的线性回归方程为＝x﹣；（2）当x＝10时，y＝，x＝6时，y＝，|﹣22|＝＜2，|﹣12|＝＜2．∴该小组所得线性回归方程是理想的．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC ＝2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明PB⊥平面EFD；（2）求二面角C﹣PB﹣D的大小．【分析】（1）先证平面PDC⊥平面ABCD，再证BC⊥平面PDC，然后证DE⊥平面PBC，最后即可证出PB⊥平面EFD；（2）由（1）可知，∠DFE是二面角C﹣PB﹣D的平面角，解直角三角形DFE即可得出结论．【解答】（1）证：∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PDC，∴平面PDC⊥平面ABCD，又BC⊥CD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，∴BC⊥平面PDC，又DE⊂平面PDC，∴DE⊥BC，又PD＝DC＝2，E是PC的中点，∴DE⊥PC，∵PC∩BC＝C，PC、BC⊂平面PBC，∴DE⊥平面PBC，又PB⊂平面PBC，∴PB⊥DE，又PB⊥EF，DE∩EF＝E，DE、EF⊂平面EFD，∴PB⊥平面EFD；（2）由（1）可知，∠DFE是二面角C﹣PB﹣D的平面角，由题意有，，，则，又DE＝，DE⊥EF，，∴∠DFE＝30°∴二面角C﹣PB﹣D的大小为30°．20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（2，n）（n＞0）在抛物线C上，|PF|＝3，直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点．（1）求抛物线C的方程及点P的坐标；（2）求的最大值．【分析】（1）根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得p值，即可求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设直线l的方程为：x+my﹣1＝0，代入y2＝4x，得，y2+4my﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝﹣4m，y1y2＝﹣4，x1+x2＝2+4m2，x1x2＝1，＝（），＝（x2﹣2，），由此能求出的最大值．解：（1）∵点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，P（2，y0）是抛物线上一点，|PF|＝3，∴2+＝3，解得：p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x，∵点P（2，n）（n＞0）在抛物线C上，∴n2＝4×2＝8，由n＞0，得n＝2，∴P（2，2）．（2）∵F（1，0），∴设直线l的方程为：x+my﹣1＝0，代入y2＝4x，整理得，y2+4my﹣4＝0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1，y2是上述关于y的方程的两个不同实根，∴y1+y2＝﹣4m，y1y2＝﹣4，x1+x2＝（1﹣my1）+（1﹣my2）＝2﹣m（y1+y2）＝2+4m2，x1x2＝（1﹣my1）（1﹣my2）＝1﹣m（y1+y2）+m2y1y2＝1+4m2﹣4m2＝1，＝（），＝（x2﹣2，），＝（x1﹣2）（x2﹣2）+（）（）＝x1x2﹣2（x1+x2）+4+＝1﹣4﹣8m2+4﹣4+8m+8＝﹣8m2+8m+5＝﹣8（m﹣）2+9．∴当m＝时，取最大值9．21．如图，在五面体ABCDPE中，PD⊥平面ABCD，∠ADC＝∠BAD＝90°，F为棱PA的中点，，AB＝AD＝1，且四边形CDPE为平行四边形．（1）判断AC与平面DEF的位置关系，并给予证明；（2）在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，请求出QE的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设线段PC交DE于点N，连结FN，推导出FN∥AC，从而AC∥平面DEF．（2）以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段EF上存在一点Q（），使得BQ与PBC所成角为，且能求出QE长．解：（1）AC∥平面DEF．理由如下：设线段PC交DE于点N，连结FN，如图，∵四边形PDCE为平行四边形，∴N是PC的中点，又点F为PA的中点，∴FN∥AC，∵FN⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC∥平面DEF．（2）假设在线段EF上存在一点Q，使得BQ与平面PBC所成角的正弦值为，设＝，（0≤λ≤1），如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，∵PD＝BC＝，AB＝AD＝1，∴CD＝2，∴P（0，0，），B（，1，0），C（0，2，0），A（1，0，0），∴＝（1，1，﹣），＝（﹣1，1，0），设平面PBC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，），假设存在点Q满足条件，由F（，0，），E（0，2，），∴＝（﹣，2，），由＝，（0≤λ≤1），整理得Q（，2λ，），则＝（﹣，2λ﹣1，），∵直线BQ与平面PBC所成角的正弦值为，∴|cos＜＞|＝＝＝，解得14λ2﹣5λ﹣1＝0，∵0≤λ≤1，∴λ＝，∴在线段EF上存在一点Q（），使得BQ与PBC所成角为，且QE＝＝．22．已知椭圆的离心率为，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上一点，△F1PF2面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A（4，0）作关于x轴对称的两条不同直线l1，l2分别交椭圆于M（x1，y1）与N（x2，y2），且x1≠x2，证明直线MN过定点，并求△AMN的面积S的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据题意，由椭圆的离心率公式可得，结合椭圆的几何性质可得bc＝，解可得a、b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；（Ⅱ）设MN方程为x＝ny+m，与椭圆的方程联立可得（n2+4）y2+2nmy+m2﹣4＝0，结合根与系数的关系分析可得即，解可得m的值，分析可得直线过定点，结合三角形面积公式分析可得答案．解：（Ⅰ）根据题意，椭圆的离心率为，则，设P（x，y），则，∵．解得．所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）设MN方程为x＝ny+m，（n≠0），联立，得（n2+4）y2+2nmy+m2﹣4＝0，∴，因为关于x轴对称的两条不同直线l1，l2的斜率之和为0即，即，得2ny1y2+m（y1+y2）﹣4（y1+y2）＝0，即．解得：m＝1．直线MN方程为：x＝ny+1，所以直线MN过定点B（1，0）．又令，∴∴又．。
吉林省长春汽车经济开发区第三中学2018_2019学年高二数学10月月考试题理20181207029
长春汽车三中 2018~2019学年高二上学期 10月月考试卷高二年级数学试卷(理科)满分：150分考试时间：120分钟注意事项：1． 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 2 页， 答题前，考生须将自己的姓名、班级、考号写在答题卡指定的位置上。
考试结束，只上交答题卡。
2． 选择题的每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上。
非选择题须使用蓝、黑 色字迹的笔在答题卡上书写。
第Ⅰ卷（选择题）一、 选择题：（共 12小题，每小题 5分，共计 60分） 1．抛物线 y2x 2 的准线方程为（）y111yx A ．B ．C ．D ．482x1 4x 2y 22．已知椭圆1 ，长轴在 y 轴上．若焦距为 4，则 m 等于（） 10 mm 2A ．4B ．5C ．7D ．83．抛物线21 的焦点到准线的距离为（ ）xy4A ．2B ．4C ． 18D ． 12x 2y 22 2x ya4． 已 知 椭 圆与 双 曲 线有 相 同 的 焦 点 ， 则 的 值 为21 a1a49 3（ ）A. 2B. 10C.4D.10x y225．若双曲线221a0的离心率为2，则实数a等于（）a3A.2B. 3C.32- 1 -D.16．已知△ABC的三个顶点A(3,3,2)，B(4，－3,7)，C(0,5,1)，则BC边上的中线长为()A．2 B．3 C．647D．6577．向量a＝(2x,1,3)，b＝(1,－2y,9)，若a与b共线，则()A．x＝1，y＝1B．x＝1，y＝1C．x＝，y＝3D．x12262＝1，y＝263x y22221(a 0,b 0)(2,3)8．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在a b抛物线y247x的准线上，则双曲线的方程是（）x2y2x y22A．1B．1C．21282821x2y2134D．x2y21439．已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A. 17B.32C. 5D.9210．长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线A1 D与BE所成角的余弦值为（）A．1010C．215D．310101011．已知空间四个点A(1,1,1)，B(－4,0,2)，C(－3，－1，0)，D(－1,0,4)，则直线AD与平面ABC所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°- 2 -2y2F P|1|:|PF|3:112. 双曲线x1的两个焦点F, ，是双曲线上一点，且，PF1222则1F的面积等于（）PF2A. 3B.8 3C. 2D.8 2第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：（共4小题，每小题5分，共计20分）13．设l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则实数m的值为___________14．动圆经过点A(3,0)，且与直线l:x3相切，则动圆圆心M的轨迹方程是____________.x2l A,B3 2AB l15．椭圆：y21，斜率为1的直线与椭圆交于两点，，则直线的方程32为___________.x216．设双曲线与直线交于两个不同的点，求双曲线C :y21(a0)l:x y1A,B Ca2的离心率e的取值范围__________.三、解答题（共6小题，17题10分，18、19、20、21、22每小题12分，共计70分）17. （本小题满分10分）如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB＝2，PC与平面ABCD所成角是45°，F是AD 的中点，M是PC的中点．求证：DM∥平面PFB.18. （本小题满分12分）- 3 -已知抛物线C:y24x与直线y2x4交于A,B两点.(1)求弦AB的长度；(2)若点P在抛物线C上，且ABP的面积为12，求点P的坐标.19.（本小题满分12分）x y22已知双曲线的一个焦点为，实轴长为，经过点C:1a0,b0F3,02a b222,1M l C A,B M AB作直线交双曲线于两点，且为的中点．（1）求双曲线C的方程；（2）求直线l的方程．20.（本小题满分12分）已知抛物线上的点到焦点的距离为．y22px p0T3,t F4（1）求t，p的值；（2）设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且OA OB5（其中O为坐标原点）．求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标．21. （本小题满分12分）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC=4，点E在C1C上，且C1E＝3EC.(1)证明：A1C⊥平面BED；(2)求二面角A1－DE－B的余弦值．- 4 -22. （本小题满分12分）已知CD是等边三角形ABC的AB边上的高,E,F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B.(1)求直线BC与平面DEF所成角的余弦值;(2)在线段BC上是否存在一点P,使AP⊥DE?证明你的结论- 5 -长春三中 2018~2019学年高二上学期十月月考试卷高二年级数学试卷(理科)答案1. 【答案】B 【解析】 y2x 2 ，则 x 21 y ，则抛物线开口向上，且2 1 , 1 ，pp2241y可得准线方程为.8考点：抛物线的标准方程及性质.2. 【答案】Dyx22221【解析】将椭圆的方程转化为标准形式为，( m 2)( 10 m )显然 m2 10 m m 6 且 ( m 2)2 ( 10 m )222 ，解得 m 8 ．考点：椭圆的定义与简单的几何性质． 3. 【答案】C 【解析】抛物线 x 21 y 的焦点到准线的距离为 p ，而2 1 1 , 因此选 C.p p4 4 8考点：抛物线的性质. 4. 【答案】C【解析】根据题意可知 a 2 4 9 3 12 ，结合 a 0 的条件，可知 a 4，故选 C.考点：椭圆和双曲线的性质. 5. 【答案】Bc【解析】∵ e2，∴ ，又 ， ，c 2a b 2 32 9 c 2 a 2 b 2a 4a 2 a 29,a3 ∴.考点：双曲线的离心率及 a ,b ,c 的关系. 6.【答案】B【解析】易知 BC 的中点 D 的坐标为(2,1,4 )，∴ AD1,2, 2，∴AD1443. 考点：空间向量的模.7．【答案】C【解析】由a与b共线知，a＝λb，∴2x＝λ，1＝－2λy，3＝9λ，- 6 -113∴λ＝，x＝，y＝.362考点：空间向量的共线.8. 【答案】D32bby247x 【解析】双曲线的一条渐近线是y x，则①，抛物线的准线是a aa2x7c 7a2b2c27，因此，即②，由①②联立解得，所以双曲线方b3x y22程为．故选D．143考点：双曲线的标准方程．9.【答案】A【解析】由题意，设P在抛物线准线的投影为P，抛物线的焦点为F，则(1,0)，根据抛F2物线的定义可知点P到该抛物线的准线的距离为PP PF,则点P到点A(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和117d PF PA AF ()22222，故选A.考点：抛物线的定义及其简单的几何性质.10.【答案】AA(1,0,2),D(0,0,0),B(1,2,0),E(0,2,1)1A D (1,0,2)1BE (1,0,1)考点：异面直线所成的角.cos A D BE1101A D BE5210111．【答案】A【解析】设平面ABC的法向量为n(x,y,z)，∵AB5,1,1，AC4,2,1，50,x y zx13y由n AB0及n AC0，得令z＝1，得，，∴n＝4x2y z0,22 13AD2,1,3( ，，1)．，设AD与平面ABC所成的角为θ，则22- 7 -sin31231AD nAD n141422，∴θ＝30°．故选A．考点：直线和平面所成的角.12．【答案】CPF PF 2PF:PF 3:1PF PF 2121212F F1223,12cos FPF sin FPF3121233112S PF PF sin FPF 3132A PF F1212223 1213．【答案】2【解析】∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝0，∴－2＋6－2m＝0，∴m＝2.考点：空间向量的垂直.14. 【答案】y212x【解析】设点M(x,y)，设A M与直线l:x3的切点为N，则MA MN，即动点M 到定点A和定直线l:x3的距离相等，所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点，以直线l:x3为准线，所以p 6，所以动圆圆心的轨迹方程为y212x.考点：抛物线的定义及其标准方程.15. 【答案】y x 1.,y x b【解析】设直线方程为y x b，联立2可得，4x26bx 3b23x2y1,36b3b23x x ,x x 2，AB 1k x x，1212124463b 33222b42,b1，所以直线方程为442y x1.考点：直线与椭圆相交的位置关系.- 8 -616.【答案】,22,22x2y 1,2【解析】由C与l相交于两个不同的点，可知方程组有两组不同的解，消去y，ax y1,并整理得1a x 2a x 2a 0,22221a0,24a8a1a0,422解得，0a 2,且a1而双曲线C的离心率e1，从而e且e，1a16,22a a226故双曲线C的离心率e的取值范围为,22,2考点：本题考查双曲线的简单性质；直线与双曲线的综合应用17．【解析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，由PC与平面ABCD所成的角为45°，得∠PCD＝45°，则PD＝2，P(0，0，2)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，F(1，0，0)，D(0，0，0)，M(0，1，1)，∴FB＝(1，2，0)，FP＝(－1，0，2)，DM＝(0，1，1)．FBn0x2y0设平面PFB的法向量为n＝(x，y，z)，则，即．FP n0x2z令y＝1，则x＝－2，z＝－1，故平面PFB的一个法向量为n＝(－2，1，－1)．∵DM·n＝0，∴DM⊥n．又DM⊄平面PFB，则DM∥平面PFB．18.【答案】(1) 35(2)9,6或4,4【解析】(1)设A x y、,1,1B x2,y2y x24,由得, .x25x400y4x,2- 9 -解方程得x 1或4，∴A、B 两点的坐标为1,2、4,4∴AB (41)2(42)235.y2(2)设点,点到的距离为,则P(0,y)P AB d4dy22y045y2y0412A35PAB,∴··=12，S25y y22∴.∴，解得或y04800y04806yy048022y04∴P 点坐标为9,6或4,4. 考点：直线与椭圆的位置关系y219.【答案】（1）（2）x21y 4x 72【解析】（1）由已知得2a 2,c 3，a 1,b2c2a22.y2所以双曲线C的方程为x21.2（2）设点，由题意可知直线的斜率存在，则可设直线的方程为A x1,y1,B x2,y2l l y 1k x 2y kx 12k，即.y2把 ykx 12k 代入双曲线C 的方程 x21，2得2，①2 k 2 x 22k 1 2k x 12k2 0由题意可知 2k 2 0 ， xx1 2 kk所以，解得．x42k12M22 k2当 k 4时，方程①可化为14x 2 56x 51 0 .此时5625651280 0，方程①有两个不等的实数解．所以直线l 的方程为 y 4x 7.- 10 -考点：双曲线方程，直线与双曲线的位置关系．20. 【答案】（1）p2，t23（2）直线AB过定点5,0p【解析】（1）由抛物线的定义得，34，解得，p22所以抛物线的方程为y24x，代入点T3,t，可解得t23．22y y（2）设直线AB的方程为x my n，，,，A1y,B2y124424,y x联立消元得，则，124，y24my4n0y1y24m y y n x myn,2y y由OA OB5，得125，所以1220或124（舍去），12y y y y y y16即4n20，即n5，所以直线AB的方程为x my5，所以直线AB过定点5,0．考点：抛物线的定义，直线与抛物线相交问题，定点问题．21．【解析】以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz．依题设知B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，4)．则DE＝(0，2，1)，DB＝(2，2，0)，A1C＝(－2，2，－DA4)，＝(2，0，4)．1（2）设向量n＝(x，y，z)是平面DA1E的法向量，则n⊥DE，n⊥DA1，∴2y＋z＝0，2x＋4z＝0．令y＝1，则z＝－2，x＝4，∴n＝(4，1，－2)．n14AC141∴cos〈n，AC〉＝．∴二面角A1－DE－B的余弦值为．142n AC421- 11 -22. 【解析】(1)以点D为坐标原点,直线DB,DC分别为x轴,y轴,建立空间直角坐标系,设等边三角形ABC的边长为a,则A,B,C,E,F,设平面EDF的法向量为n=(x,y,z),则取n=(3,-,3).又因为,于是cos<,n>==-,因此直线BC与平面DEF所成角的余弦值等于.(2)假设在线段BC上存在一点,使AP⊥DE,令=λ,即=λ,则P,于是.因为AP⊥DE, 所以=0, 即=0,则λa2-a2=0,解得λ=.故线段BC上存在一点P,使AP⊥DE.- 12 -。
2018-2019学年吉林省高中高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2018-2019学年吉林省高中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设命题p：∀x＞0，|x|＝x，则￢p为（）A．∀x＞0，|x|≠x B．∃x0≤0，|x0|＝x0C．∀x≤0，|x|＝x D．∃x0＞0，|x0|≠x02．（5分）直线l过点（1，0），且斜率为2，则l的方程是（）A．2x﹣y﹣2＝0B．x﹣2y﹣1＝0C．2x+y﹣2＝0D．2x﹣y+2＝0 3．（5分）已知双曲线的一个焦点为（2，0），则它的离心率为（）A．B．C．D．24．（5分）下面选项中的方程与对应的曲线匹配的是（）A．B．C．D．5．（5分）已知向量，平面α的一个法向量，若AB⊥α，则（）A．x＝6，y＝2B．x＝2，y＝6C．3x+4y+2＝0D．4x+3y+2＝0 6．（5分）“a，b，c，d成等差数列”是“a+d＝b+c”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知双曲线C：﹣＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上一点，＝，O为坐标原点，若|PF1|＝10，则|OQ|＝（）A．10B．1或9C．1D．98．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中三个圆半径都相等，且每个圆中两条半径互相垂直，若该几何体的表面积是68π，则它的体积是（）A．B．C．D．9．（5分）在四面体OABC中，点M，N分别为OA，BC的中点，若，且G，M，N三点共线，则x+y＝（）A．．B．C．.D．．10．（5分）一个棱长为4的无盖正方体盒子的平面展开图如图所示，A，B，C，D为其上四个点，则以A，B，C，D为顶点的三棱锥的体积为（）A．B．16C．D．6411．（5分）已知点A在直线x﹣y+5＝0上，过点A作直线与圆C：（x﹣3）2+（y+2）2＝18相切于点B，则△ABC的面积的最小值为（）A．12B．C．15D．12．（5分）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，AB是经过抛物线焦点F的弦，M是线段AB的中点，经过A，B，M作抛物线的准线l的垂线AC，BD，MN，垂足分别是C，D，N，其中MN交抛物线于点Q．下列说法不正确的是（）A．B．FN⊥ABC．Q是线段MN的一个三等分点D．∠QFM＝∠QMF二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若直线x﹣2y+2＝0与直线2x+my﹣6＝0平行，则它们之间的距离为．14．（5分）过椭圆4x2+3y2＝12的一个焦点且斜率存在的直线与椭圆交于A，B两点，则A，B与该椭圆的另一个焦点构成的三角形的周长是．15．（5分）直线l的一个方向向量为，直线n的一个方向向量为，则l与n的夹角为．16．（5分）已知直线l：kx﹣y+k﹣3＝0与圆C：（x﹣1）2+y2＝10相交于P，Q两点，若，则实数k的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知p：∀x∈R，ax2﹣x+3＞0，q：∃x∈[1，2]，a•2x≥1．（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若p∧q为真命题，且p∧q为假命题，求a的取值范围．18．（12分）已知直线l：（2m﹣3）x+（m﹣1）y+4﹣2m＝0（m∈R），圆C：x2+y2﹣6x+5＝0．（1）证明：直线l恒定点；（2）当直线l与圆C相切时，求m．19．（12分）如图，在四面体ABCD中，AC＝BC＝CD＝2，AB＝AD＝．（1）证明：平面ABD⊥平面BCD；（2）求直线BD与平面ACD所成角的正弦值．20．（12分）已知动圆C过定点F（2，0），且与直线x＝﹣2相切，圆心C的轨迹为E，（1）求E的轨迹方程；（2）若直线l交E与P，Q两点，且线段PQ的中心点坐标（1，1），求|PQ|．21．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝BB1＝BA，，AB⊥B1C．（1）证明：AC＝AB1；（2）若AC⊥AB1，求二面角B1﹣AB﹣C的正弦值．22．（12分）已知椭圆的离心率为，直线与M相切于点P．（1）求椭圆M的方程；（2）若直线l′：x+2y+n＝0与椭圆M交于不同的两点A，B，与直线l相交于Q（P，Q，A，B均不重合）．证明：为定值．2018-2019学年吉林省高中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：因为全称命题的否定是推出明天吧，所以命题p：∀x＞0，|x|＝x，则￢p为：∃x0＞0，|x0|≠x0．故选：D．2．【解答】解：由点斜式得y＝2（x﹣1），化为一般式得2x﹣y﹣2＝0，故选：A．3．【解答】解：∵双曲线的一个焦点为（2，0），∴a2+1＝22＝4，可得a＝（舍负）因此双曲线的离心率为e＝＝＝故选：A．4．【解答】解：A中方程表示的曲线是单位圆的上半部分，与对应图象不符；B中方程lnx+lny＝0表示的曲线是的图象，与对应图象不符；C中方程表示的是y＝x2（x≥0）的图象，与对应图象不符；D中方程x＝|y|表示的曲线是y＝x（x≥0）与y＝﹣x（x＞0）的图象，与对应图象符合．故选：D．5．【解答】解：因为⊥α，所以，由，解得x＝6，y＝2．故选：A．6．【解答】解：由a，b，c，d成等差数列，可得：a+d＝b+c，反之不成立：例如a＝0，d ＝5，b＝1，c＝4．∴“a，b，c，d成等差数列”是“a+d＝b+c”的充分不必要条件．故选：A．7．【解答】解：双曲线C：﹣＝1可得a＝4，b＝4，c＝8，c﹣a＝4，由双曲线的定义可知：||PF1|﹣|PF2||＝2a＝8，因为|PF1|＝10，所以|PF2|＝18或|PF2|＝2（舍去），P为C上一点，＝，所以Q为线段PF1的中点，所以|OQ|＝|PF2|＝9．故选：D．8．【解答】解：由三视图可知其对应的几何体为一个切去了的球，设该球的半径为R，由，得R＝4，所以此几何体的体积为．故选：C．9．【解答】解：若G，M，N三点共线，则存在实数λ使得＝成立，所以，可得，所以，可得．故选：B．10．【解答】解：复原正方体，如图所示．故以A，B，C，D为顶点的三棱锥的体积．故选：C．11．【解答】解：根据题意，圆C：（x﹣3）2+（y+2）2＝18，其圆心为C（3，﹣2），半径r ＝，连接CA，CB，因为在△ABC中，CB⊥AB，所以△ABC的面积S△ABC＝，又由＝，当|CA|取最小值时，|AB|最小．又点A在直线x﹣y+5＝0上，则|CA|的最小值即为点C到直线x﹣y+5＝0的距离，即|CA|的最小值为，则|AB|的最小值为，故△ABC的面积的最小值为．故选：A．12．【解答】解：由抛物线的定义，得|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|．又，则，A正确．由，可知△ANB是直角三角形，MN是斜边上的中线，所以∠MAN＝∠MNA，而∠MNA＝∠CAN，所以∠MAN＝∠CAN．所以△ANC≌△ANF，可知∠AFN＝∠ACN＝90°，所以FN⊥AB，B正确．由∠QFM＝∠QMF，可知|QF|＝|QM|，所以|NQ|＝|QM|，即Q是MN的中点，故C不正确．在Rt△MNF中，|QN|＝|QF|，可知∠QNF＝∠QFN，所以∠QFM＝∠QMF，D正确．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：由直线x﹣2y+2＝0与直线2x+my﹣6＝0平行，可得＝≠，解得m＝﹣4，所以直线2x+my﹣6＝0的方程可化简2x﹣4y﹣6＝0，而直线x﹣2y+2＝0，即直线2x﹣4y+4＝0，∴它们之间的距离为＝，故答案为：．14．【解答】解：将方程4x2+3y2＝12整理得，故a＝2，所求三角形的周长为4a ＝8．故答案为：8．15．【解答】解：∵直线l的一个方向向量为，直线n的一个方向向量为，，∴l与n的夹角为．故答案为：．16．【解答】解：根据题意，因为，所以，故弦长|PQ|＝，于是圆心C到直线l的距离为，又由，解可得k＝；故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（1）①a＝0，x＜3，不合题意，②a≠0，⇒a＞∴a的取值范围为（，+∞）；（2）q真：∵x∈[1，2]，∴2≤2x≤4，∴≤≤，∴a≥，∵p∧q为真命题，且p∧q为假命题，∴p、q一真一假，①p真q假⇒＜a＜②p假q真⇒a∈∅∴a的取值范围为（，）．18．【解答】解：（1）证明：将直线l的方程整理得（2x+y﹣2）m+（﹣3x﹣y+4）＝0，令，得，所以直线l恒过点P（2，﹣2）．（2）解：将圆C的一般方程化为标准方程得（x﹣3）2+y2＝4，所以圆C的圆心为（3，0），半径为2．因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离等于半径，即，得4m2﹣16m+15＝（2m﹣3）（2m﹣5）＝0，所以或．当时，直线l的方程为y＝﹣2；当时，直线l的方程为4x+3y﹣2＝0．19．【解答】（1）证明：设O为BD的中点，连接OA，OC．∵O是BD的中点，∴在△BCD中，BC＝CD＝BD＝2，即△BCD为等边三角形，∴OC⊥BD，∴．在△ABD中，，BD＝2，∴AO⊥BD，且AO＝1，于是AO2+OC2＝AC2，可知AO⊥OC．∵BD∩OC＝O，∴AO⊥平面BCD，∵AO⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD．（2）解：由（1）知，AO，BD，OC两两垂直，以O为原点，OB，OC，OA分别为x 轴、y轴、z轴、建立空间直角坐标系O﹣xyz．则A（0，0，1），B（1，0，0），，D（﹣1，0，0），设平面ACD的法向量，，，则，令，得，又．设直线BD与平面ACD所成角为α，则，即直线BD与平面ACD所成角的正弦值为．20．【解答】解：（1）由题设知，点C到点F的距离等于它到直线x＝﹣2的距离，所以点C的轨迹是以F为焦点x＝﹣2为基准线的抛物线，所以所求E的轨迹方程为y2＝8x．（2）由题意已知，直线l的斜率显然存在，设直线l的斜率为k，P（x1，y1），Q（x2，y2），则有，两式作差得y12﹣y22＝8（x1﹣x2）即得，因为线段PQ的中点的坐标为（1，1），所以k＝4，则直线l的方程为y﹣1＝4（x﹣1），即y＝4x﹣3，与y2＝8x联立得16x2﹣32x+9＝0，得，．21．【解答】（1）证明：连接BC1，交B1C于点O，连接AO，由题知，侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1，又AB⊥B1C，AB∩BC1＝B，所以B1C⊥平面ABO，又AO⊂平面ABO，所以B1C⊥AO．因为B1O＝CO，所以AC＝AB1．（2）解：因为AC⊥AB1，所以AO＝CO，又AB＝BC，所以△BOA≌△BOC．所以OA⊥OB，可知OA，OB，OB1两两垂直，以O为原点，建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，设，则A（0，0，1），，C（0，﹣1，0），B1（0，1，0），所以，，，设平面ABC的法向量为，由，令y＝3，得，设平面B1AB的法向量为，由，令x＝1，得，所以，故二面角B1﹣AB﹣C的正弦值为．22．【解答】解：（1）由题意，得．于是椭圆M的方程可表示为．联立，得．因为直线l：与M相切，所以△＝8﹣4（8﹣3c2）＝0，得c2＝2，故椭圆M的方程为．证明：（2）将直线l：，与椭圆M方程联立得，解得，即点P的坐标为．将直线l：与直线l'：x+2y+n＝0方程联立得，解得，即点Q的坐标为，．将直线l'：x+2y+n＝0与椭圆M方程联立得代入化简得4x2+2nx+n2﹣24＝0，△＝4n2﹣16（n2﹣24）＞0，得且．记A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，，所以＝．同理，，故＝，故，即为定值．。
2018-2019学年吉林省高中学校高二上学期期末考试数学(理)试题
2018-2019学年吉林省高中学校高二上学期期末考试数学（理）试题★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题，，则为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【详解】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，则，故选：D．【点睛】本题主要考查含有全称量词的命题的否定，比较基础．2.直线过点，且斜率为2，则的方程是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用直线的点斜式方程直接得到结果.【详解】由点斜式得，化为一般式得.故选：A【点睛】本题考查直线的点斜式方程，属于基础题.3.已知双曲线的一个焦点为，则的离心率为A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】由题意计算出c值，即可得到的离心率【详解】由题知，，，则，所以e=.故选：B【点睛】求解离心率的常用方法1.利用公式，直接求e.2.找等量关系，构造出关于，的齐次式，转化为关于的方程求解．3.通过取特殊位置或特殊点求解．4变用公式,整体求出e：以椭圆为例,如利用,；4.下面选项中的方程与对应的曲线匹配的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】选项A中方程表示的曲线是单位圆的上半部分，选项B中方程表示的曲线是的图像, 选项C中方程表示的是的图像, 选项D中方程表示的曲线是与的图像.【详解】选项A中方程表示的曲线是单位圆的上半部分，与对应图像不符；选项B中方程表示的曲线是的图像，与对应图像不符；选项C中方程表示的是的图像，与对应图像不符；选项D中方程表示的曲线是与的图像，与对应图像符合.故答案为：D.【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用．对于已知函数表达式选图像的题目，可以通过表达式的定义域和值域进行排除选项，可以通过表达式的奇偶性排除选项；也可以通过极限来排除选项.5.已知向量，平面的一个法向量，若，则A. ，B. ，C.D.【答案】A【解析】【分析】由，可得，列出比例式得到结果.【详解】因为，所以，由，得，.故选：A【点睛】本题考查了空间法向量的定义，空间向量共线的坐标表示，属于基础题．6.“，，，依次成等差数列”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，，，成等差数列,而 ,但1,3,3,5不成等差数列,所以“，，，成等差数列”是“”的充分不必要条件,选A.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，为上一点，，为坐标原点，若，则A. 10B. 9C. 1D. 1或9【答案】B【解析】【分析】连接，利用，可得是三角形的中位线,由，结合双曲线的定义可得，从而可求得的大小.【详解】连接，因为，所以是三角形的中位线，，由可得，，或，又因为，所以，，故选B.【点睛】本题主要考查双曲线的定义与简单性质、平面向量的线性运算，属于中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.8.某几何体的三视图如图所示，其中三个圆半径都相等，且每个圆中两条半径互相垂直，若该几何体的表面积是，则它的体积是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用表面积求出几何体的半径，然后求解几何体的体积．【详解】由三视图可知其对应的几何体为一个切去了的球，设该球的半径为，由，得，所以此几何体的体积为.故选：C【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．9.在四面体中，点，分别为，的中点，若，且，，三点共线，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知可得，又，对应项系数相等，得到结果.【详解】若，，三点共线，则存在实数使得成立，所以，可得，所以，可得.故选：B【点睛】本题考查了向量的共线定理、向量的平行四边形法则，属于基础题．10.一个棱长为4的无盖正方体盒子的平面展开图如图所示，，，，为其上四个点，则以，，，为顶点的三棱锥的体积为A. B. 16 C. D. 64【答案】C【解析】【分析】将展开图还原为正方体，利用割补法得到所求几何体的体积.【详解】将展开图还原为正方体，如图所示.故以，，，为顶点的三棱锥的体积.故选：C【点睛】求解空间几何体体积的常用策略：（1）公式法：对于规则几何体的体积问题，直接利用公式即可破解；（2）切割法：对于不规则的几何体，可以将其分割成规则的几何体，再利用公式分别求解之后进行相加求和即可；（3）补形法：同样对于不规则的几何体，还可以将其补形成规则图形，求出规则几何体的体积后减去多于部分即可求解，但需注意的是补形后多于部分的几何体也应该是规则的，若不是规则的，此方法不建议使用.（4）等体积法：一个几何体无论怎样变化，其体积是不会发生变化的.如果遇到一个几何体的底面面积和高较难求解时，常常采用此种方法进行解题.11.已知点在直线上，过点作直线与圆相切于点，则的面积的最小值为A. 12B.C. 15D.【答案】A【解析】【分析】由题意的面积最小，即最小，利用点到直线距离即可得到此时的长.【详解】圆是圆心为，半径为的圆，连接，，因为在中，，所以的面积，而，当取最小值时，最小.又点在直线上，则的最小值即为点到直线的距离，即的最小值为，则的最小值为，故的面积的最小值为.故选：A【点睛】本题考查三角形面积的最小值的求法，考查直线方程、圆、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．12.抛物线的焦点为，是经过抛物线焦点的弦，是线段的中点，经过，，作抛物线的准线的垂线，，，垂足分别是，，，其中交抛物线于点.下列说法不正确的是A. B.C. 是线段的一个三等分点D.【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义及平面几何性质逐一判断即可.【详解】由抛物线的定义，得，.又，则，正确.由，可知是直角三角形，是斜边上的中线，所以，而，所以.所以，可知，所以，正确.在中，，可知，所以，正确.由，可知，所以，即是的中点，故不正确.故选：C【点睛】本题考查抛物线的定义，考查平面几何的性质，考查数形结合的数学思想，属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若直线与直线平行，则它们之间的距离为__________．【答案】【解析】【分析】由直线平行易得m值，可得方程，代入平行线间的距离公式可得结果．【详解】由直线与直线平行，可得，∴m＝4，直线可化为x y＝0，∴d．故答案为．【点睛】本题考查直线的一般式方程与平行关系，平行直线间的距离，属基础题．14.过椭圆的一个焦点且斜率存在的直线与椭圆交于，两点，则，与该椭圆的另一个焦点构成的三角形的周长是__________．【答案】【解析】【分析】由椭圆的方程知，长半轴为，利用椭圆的定义知的周长为，从而可得答案．【详解】椭圆的方程可化为：，所以，，又过焦点的直线与椭圆交于两点，与椭圆的另一个焦点构,则的周长为：【点睛】本题考椭圆的简单性质，着重考查椭圆定义的应用，属于中档题．15.直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则与的夹角为__________．【答案】【解析】【分析】利用空间直线夹角公式即可得到结果.【详解】，所以与的夹角为.故答案为：【点睛】本题考查空间直线所成角的向量求法，考查计算能力，属于基础题.16.已知直线与圆相交于，两点，若，则实数的值为__________．【答案】【解析】【分析】由，求出cos∠PCQ的值，结合余弦定理可得，由勾股定理可得圆心到直线的距离，然后利用点到直线距离公式建立k的方程即可.【详解】因为，所以，故弦长，于是圆心到直线的距离为，由，得.故答案为：【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系问题，考查了垂径定理，数量积运算，余弦定理等知识，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知，，，.（1）若为真命题，求的取值范围；（2）若为真命题，且为假命题，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)分a=0和两种情况讨论即可；（2）因为为真命题，且为假命题，所以真假或假真，当真假，有解出即可，当假真，有解出即可.【详解】(1)当时，不恒成立，不符合题意；当时，，解得.综上所述：.(2)，，则.因为为真命题，且为假命题，所以真假或假真，当真假，有，即；当假真，有，则无解.综上所述，.【点睛】由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p且q真，则p 真，q也真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．（2）可把“p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p且q”为真命题转化为交集的运算．18.已知直线，圆.（1）证明：直线恒定点；（2）当直线与圆相切时，求.【答案】（1）详见解析；（2）或.【解析】【分析】(1)把已知直线l的方程变形为，可得直线l必过直线=0与直线的交点，故联立两直线的方程组成方程组，求出方程组的解，得到交点坐标为，故不论m取什么实数，直线l恒过定点，得证；(2) 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即可得到结果.【详解】（1）证明：将直线的方程整理得，令，得，所以直线恒过点.（2）解：将圆的一般方程化为标准方程得，所以圆的圆心为，半径为2.因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，得，所以或.当时，直线的方程为；当时，直线的方程为.【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系问题，以及恒过定点的方程，涉及的知识有：点到直线的距离公式，两直线的交点坐标，圆的标准方程，把直线l的方程适当变形为是解第一问的关键.19.如图，在四面体中，，.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】(1) 设为的中点，连接，.易知，从而平面，故平面平面；（2）以为原点，，，分别为轴、轴、轴、建立空间直角坐标系.求出直线的方向向量，平面的法向量，代入公式即可得到直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）证明：设为的中点，连接，.∵是的中点，∴在中，，即为等边三角形，∴，∴.在中，，，∴，且，于是，可知.∵，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）解：由（1）知，，，两两垂直，以为原点，，，分别为轴、轴、轴、建立空间直角坐标系.则，，，，设平面的法向量，，，则，令，得，又.设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20.已知动圆过定点，且与直线相切，圆心的轨迹为.（1）求的轨迹方程；（2）若直线交于，两点，且线段的中点的坐标为，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，可判断出圆心C的轨迹为抛物线，由抛物线定义即可求得E的轨迹方程。
吉林省长春汽车经济技术开发区2018-2019学年高二9月月考理数试卷Word版含答案
吉林省长春汽车经济技术开发区2018-2019学年高二9月月考理数试卷考试说明： 1.考试时间为120分钟，满分150分，选择题涂卡。
2.考试完毕交答题卡。
第Ⅰ卷一、选择题（本题包括12个小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分） 1．圆的圆心坐标与半径是（ ）A.B.C.D.2．《九章算术》中介绍了一种“更相减损术”，用于求两个正整数的最大公约数，将该方法用算法流程图表示如下，若输入20a =， 8b =，则输出的结果为（ ）A. 4a =， 3i =B. 4a =， 4i =C. 2a =， 3i =D. 2a =， 4i =3．圆与圆的位置关系是（ ）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切 4．登山族为了了解某山高与气温之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：由表中数据，得到线性回归方程为，由此估计山高为处气温的度数为( )A.B.C.D.5．央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏，下面的茎叶图是两位选手在个人追逐赛中的比赛得分，则下列说法正确的是( )A. 甲的平均数大于乙的平均数B. 甲的中位数大于乙的中位数C. 甲的方差大于乙的方差D. 甲的平均数等于乙的中位数6．二进制数()2110011化为十进制数为（）A. 51B. 52C. 25223D. 250047．执行下面的程序框图，输出的结果为( )A. 9B. 27C. 18D. 368．将40件产品依次编号为1~40，现用系统抽样（按等距离的规则）的方法从中抽取5件进行质检，若抽到的产品编号之和为90，则样本中的最小编号为（）A. 2B. 3C. 4D. 59．如图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图，第1次到第第14次的考试成绩依次记为A1， A2，…A14，如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（）A. 10B. 9C. 8D. 710．由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（）A. B. C. D.11．如图给出的是计算1111352017++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A. 2017i ≤B. 2017i >C. 1008i ≤D. 1008i >12．曲线y x ∈ [－2,2])与直线y =k (x －2)+4有两个公共点时，实数k 的取值范围是（ ） A. 50,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 13,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D. 53,124⎛⎤⎥⎝⎦第Ⅱ卷二、填空题（本题包括4个小题，共20分） 13．在空间直角坐标系中，已知，，则_____________.14．设某总体是由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成的，利用下面的随机数表依次选取4个个体，选取方法是从随机数表第一行的第三列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个个体的编号为_____________.0618 0765 4544 1816 5809 7983 8619 7606 8350 0310 5923 4605 0526 623815．经过原点并且与直线20x y +-=相切于点()2,0的圆的标准方程是_____________.16．已知直线:1l x y -=与圆22:220M x y x y +-+=相交于A C ，两点，点B D ，分别在圆M 上运动，且位于直线AC 两侧，则四边形ABCD 面积的最大值为_____________.三、简答题（本题包括6个小题，共70分）17．(满分10分)已知圆过三点，圆．（1）求圆的方程；（2）如果圆和圆相外切，求实数的值．18．(满分12分)每年的4月23日是“世界读书日”,某校研究性学习小组为了解本校学生的阅读情况,随机调查了本校200名学生在这一天的阅读时间t (单位:分钟),将样本数据整理后绘制成如图的样本频率分布直方图. （1）求a 的值；（2）试估计该学校所有学生在这一天的平均阅读时间；（3）若用分层抽样的方法从这200名学生中，抽出25人参加交流会，则阅读时间为[)30,40， []60,70的两组中各抽取多少人？19．(满分12分) 已知等差数列{}n a ，.21,952==a a（1）求{}n a 的通项公式；（2）令n an b 2=，求数列{}n b 的前n 项和n S .20．(满分12分)已知,,a b c 为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，且cos sin a C C b c =+.（1）求A ；（2）若a = ABC ∆，求b 与c 的值.21．(满分12分) 已知圆()()22:344C x y -+-=，直线1l 经过点A (1，0). （1）若直线1l 与圆C 相切，求直线1l 的方程；（2）若直线1l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求三角形CPQ 面积的最大值，并求此时直线1l 的方程.22．(满分12分)如图，AE⊥平面ABC ，AE∥BD，AB ＝BC ＝CA ＝BD ＝2AE ，F 为CD 中点．（1）求证：EF⊥平面BCD ； （2）求二面角C －DE －A 的大小．吉林省长春汽车经济技术开发区2018-2019学年高二9月月考理数试卷参考答案1．D【解析】圆方程可化为圆心，半径，故选D.2．A【解析】输入20,8,0a b i ===时，?a b >是，20812,1a i =-==，此时?a b >是，1284,2a i =-==，?a b >否，844,3b i =-==，?a b >否，a b =是，输出4,3a i ==，结束，选A.3．C 【解析】由得，两圆的圆心距为，两圆的半径分别为，由于，则两圆相交，选C.4．C【解析】由题意，==10，==40，代入到线性回归方程，可得=60， ∴y ˆ=−2x +60，∴由=−2x +60=72，可得x =−6， 故选：C. 5．C【解析】由茎叶图，知：，，，，甲的中位数为：26，乙的中位数为：28， ∴甲的方差大于乙的方差。
精选-吉林省长春汽车经济开发区第三中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题文
长春三中学年高二上学期期中考试数学（文）试卷满分：分考试时间：分钟注意事项：1．答题前，考生须将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡指定的位置上。
2．选择题的每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上。
非选择题须使用蓝、黑色字迹的笔书写。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共小题，每小题分，共分，每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．. 抛物线的准线方程为( )．．．．. 设命题：则为( )．．．．.已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是( )．．．．.已知：函数为增函数，：则是的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件.曲线在点(，－)处的切线方程为( )．．．．. 若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是( )．．．．.已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为( ) ．．．．. 若三次函数的导函数的图象如图所示，则函数的解析式可能为（）．．．．. 已知抛物线的对称轴为轴，顶点在原点，焦点在直线，则此抛物线的方程是( )．．．．. 过曲线上一点的切线斜率为－，则点的坐标为( )．．或．．.下列说法不正确的是( )．命题“对,都有”的否定为“,使得”．“”是“”的必要不充分条件．“若,则”是真命题．甲、乙两位学生参与数学模拟考试,设命题是“甲考试及格”,是“乙考试及格”,则命题“至少有一位学生不及格”可表示为. 等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，，则的实轴长为( )．．．．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本题共小题，每小题分共分，把答案填在答题纸中的横线上.. 若则的值为．. 椭圆的焦距是，且焦点在轴上，则的值是．.是“”的条件．.函数在区间上的最小值为．三、解答题（共计分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.（本小题满分分）已知命题命题 (为常数)．()写出原命题“”的逆否命题．()若，求值。
2018-2019学年吉林省长春高二上学期期末考试数学（理）试题 解析版
绝密★启用前吉林省长春外国语学校2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理)试题评卷人得分一、单选题1．复数的共轭复数是()A．2＋i B．2－i C．－1＋i D．－1－i【答案】D【解析】【分析】根据复数除法运算得到复数z,再由共轭复数的概念得到结果.【详解】复数,共轭复数是－1－i。
故答案为：D.【点睛】这个题目考查了复数的运算法则，以及共轭复数的概念，较为简单.2．一班有学员54人，二班有学员42人，现在要用分层抽样的方法从两个班中抽出一部分人参加4×4方队进行军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是()A．9人、7人B．15人、1人C．8人、8人D．12人、4人【答案】A【解析】利用分层抽样的方法得，∴一班应抽出人，二班应抽出人，则一班与二班分别被抽取的人数是9，7，故选.点睛：本题主要考查了分层抽样方法及其应用，分层抽样中各层抽取个数依据各层个体数之比来分配，这是分层抽样的最主要的特点，首先各确定分层抽样的个数，分层后，各层的抽取一定要考虑到个体数目，选取不同的抽样方法，但一定要注意按比例抽取，牢记分层抽样的特点和方法是解答的关键，着重考查了学生的分析问题和解答问题的能力．3．已知命题、，如果是的充分而不必要条件，那么是的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要【答案】B【解析】是的充分不必要条件，根据逆否命题与原命题的等价性可知，是的充分不必要条件，故选B.4．椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为() A．B．C．或D．或【答案】D【解析】【分析】根据题干条件得到a,c的值,再由，从而得到结果.【详解】椭圆的长轴长为10，故得到2a=10,a=5,焦点到中心的距离为4，故得到c=4,进而得到。
分情况，得到椭圆焦点在x轴和y轴两种情况：故椭圆方程为：或.故答案为：D.【点睛】这个题目考查了椭圆标准方程的求法，属于简单题目.5．设那么()A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的求导法则得到即可.【详解】已知，根据求导法则得到.故答案为：A.【点睛】这个题目考查了导数的基本运算法则，常见函数的求导法则，属于基础题.6．如果执行下面的程序框图，那么输出的S等于()A．10 B．22 C．46 D．94【答案】C【解析】【分析】根据程序框图得到一次次的循环，进而得到结果。
吉林省长春汽车经济开发区第三中学2018_2019学年高二数学10月月考试题理201812070292
长春汽车三中2018~2019学年高二上学期10月月考试卷高二年级数学试卷(理科)满分：150分 考试时间：120分钟注意事项：1． 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 2 页， 答题前，考生须将自己的姓名、班级、考号写在答题卡指定的位置上。
考试结束，只上交答题卡。
2． 选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上。
非选择题须使用蓝、黑色字迹的笔在答题卡上书写。
第Ⅰ卷（选择题）一、 选择题：（共12小题，每小题5分，共计60分） 1．抛物线的准线方程为（ ） 22y x =A ． B ． C ． D ． 14y =-18y =-12x =14x =- 2．已知椭圆，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于（ ） 221102x y m m +=--A ．4 B ．5 C ．7 D ．83．抛物线的焦点到准线的距离为（ ） 214x y =A ．2B ．4C ．18D ．124．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为()222104x y a a +=>22193x y -=a （ ）C. 4D.105．若双曲线的离心率为，则实数等于（ ）()2222103x y a a -=>2aA. B. C.232D.16．已知△ABC 的三个顶点A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为( ) A ．2 B ．3 C ．647D ．6577．向量a ＝(2x,1,3)，b ＝(1,－2y ,9)，若a 与b 共线，则( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝，y ＝C ．x ＝，y ＝D ．x1212-1632-＝，y ＝16-238．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在22221x y a b-=(0,0)a b >>抛物线的准线上，则双曲线的方程是（ ）2y =A ． B ． C ． 2212128x y -=2212821x y -=22134x y -=D ．22143x y -=9．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线准P 22y x =P A (0,2)P 线的距离之和的最小值为（ ）B.39210．长方体中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线A 1 D 与1111ABCD A B C D -BE 所成角的余弦值为（ ）A ．C D 11．已知空间四个点A (1,1,1)，B (－4,0,2)，C (－3，－1，0)，D (－1,0,4)，则直线AD 与平面ABC 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°12. 双曲线的两个焦点,，是双曲线上一点，且，1222=-y x 1F 2F P 1:3||:||21=PF PF 则的面积等于（ ）21F PF ∆A. B. C.338 D.228第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：（共4小题，每小题5分，共计20分）13．设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则实数m 的值为___________14．动圆经过点，且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程是(3,0)A :3l x =-M ____________.15．椭圆：，斜率为1的直线与椭圆交于，则直线的方程2213x y +=l ,A B l 为___________.16．设双曲线与直线交于两个不同的点，求双曲线222:1(0)x C y a a-=>:1l x y +=,A B C的离心率的取值范围__________.e 三、解答题（共6小题，17题10分，18、19、20、21、22每小题12分，共计70分） 17. （本小题满分10分）如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在的平面，AB ＝2，PC 与平面ABCD 所成角是45°，F 是AD 的中点，M 是PC 的中点． 求证：DM ∥平面PFB .18. （本小题满分12分）已知抛物线与直线交于两点. 2:4C y x =24y x =-A B ,(1)求弦的长度；AB (2)若点在抛物线上，且的面积为，求点的坐标. P C ABP ∆12P19.（本小题满分12分）已知双曲线的一个焦点为，实轴长为，经过点()2222:10,0x y C a b a b-=>>)F2作直线交双曲线于两点，且为的中点．()2,1M l C ,A B M AB （1）求双曲线的方程； C （2）求直线的方程． l20.（本小题满分12分）已知抛物线上的点到焦点的距离为．()220y px p =>()3,T t F 4（1）求，的值；t p （2）设，是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且（其中为A B x 5OA OB ⋅=O 坐标原点）．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．AB21. （本小题满分12分）如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC =4，点E 在C 1C 上，且C 1E ＝3EC . (1)证明：A 1C ⊥平面BED ； (2)求二面角A 1－DE －B 的余弦值．22. （本小题满分12分）已知CD是等边三角形ABC的AB边上的高,E,F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B.(1)求直线BC与平面DEF所成角的余弦值;(2)在线段BC上是否存在一点P,使AP⊥DE?证明你的结论长春三中2018~2019学年高二上学期十月月考试卷高二年级数学试卷(理科)答案1. 【答案】B【解析】，则，则抛物线开口向上，且， 22y x =212x y =112,24p p ==可得准线方程为. 18y =-考点：抛物线的标准方程及性质. 2. 【答案】D，1=显然且，解得． 2106m m m ->-⇒>2222-=8m =考点：椭圆的定义与简单的几何性质． 3. 【答案】C 【解析】抛物线的焦点到准线的距离为，而因此选C. 214x y =p 112,48p p =⇒=考点：抛物线的性质. 4. 【答案】C【解析】根据题意可知，结合的条件，可知，故选C. 249312a -=+=0a >4a =考点：椭圆和双曲线的性质. 5. 【答案】B 【解析】∵，∴，又，， 2ce a==2c a =2239b ==222c a b =+∴2249,a a a =+=考点：双曲线的离心率及的关系. ,,a b c 6.【答案】B【解析】易知BC 的中点D 的坐标为(2,1,4)，∴， ()1,2,2AD =--∴. 考点：空间向量的模.3AD ==7．【答案】C【解析】由a 与b 共线知，a ＝λb ，∴2x ＝λ，1＝－2λy ，3＝9λ，∴λ＝，x ＝，y ＝. 131632-考点：空间向量的共线. 8. 【答案】D【解析】双曲线的一条渐近线是，则①，抛物线的准线是b y x a=2b a=2y =，因此②，由①②联立解得，所以双曲线方x =c =2227a b c +==2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩程为．故选D ．22143x y -=考点：双曲线的标准方程． 9. 【答案】A【解析】由题意，设在抛物线准线的投影为，抛物线的焦点为，则，根据抛P P 'F 1(,0)2F 物线的定义可知点到该抛物线的准线的距离为,则点到点的距离与P PP PF '=P A (0,2)点到该抛物线准线的距离之和P ，故选A. d PF PA AF =+≥==考点：抛物线的定义及其简单的几何性质. 10. 【答案】A考点：异面直线所成的角.1111(1,0,2),D(0,0,0),B(1,2,0),E(0,2,1)(1,0,2)(1,0,1)cos A A D BE A D BE A D BEθ=--=-⋅===⋅11．【答案】A【解析】设平面ABC 的法向量为，∵，，(,,)x y z =n ()5,1,1AB =-- ()4,2,1AC =---由及，得令z ＝1，得，，∴n ＝0AB ⋅= n 0AC ⋅= n 50,420,x y z x y z --+=⎧⎨---=⎩12x =32y =-(，，1)．，设AD 与平面ABC 所成的角为θ，则1232-()2,1,3AD =--，∴θ＝30°．故选A ．1sin 2AD AD θ⋅===n n考点：直线和平面所成的角.12．【答案】C1212121212121212122:3:121cos F PF sin F PF 311sin F PF 3122PF F PF PF PF PF PF PF F F S PF PF -==-=∴=∠=-∠==∠=⨯⨯=13． 【答案】2【解析】∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴－2＋6－2m ＝0，∴m ＝2. 考点：空间向量的垂直. 14. 【答案】212y x =【解析】设点，设与直线的切点为，则，即动点(,)M x y M :3l x =-N MA MN =M 到定点和定直线的距离相等，所以点的轨迹是抛物线，且以为焦点，A :3l x =-M (3,0)A 以直线为准线，所以，所以动圆圆心的轨迹方程为. :3l x =-6p=212y x =考点：抛物线的定义及其标准方程. 15. 【答案】1.y x =±【解析】设直线方程为， y x b =+2246330x bx b ++-=，， 21212633,44b b x x x x -∴+=-=2AB x =-1.y x =±考点：直线与椭圆相交的位置关系.16. 【答案】)+∞⎭【解析】由与相交于两个不同的点，可知方程组有两组不同的解，消去，C l 2221,1,x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩y 并整理得()22221220,a x a x a -+-=解得， ()242210,4810,a a a a ⎧-≠⎪∴⎨+->⎪⎩01a a <<≠且而双曲线的离心率，从而，C e ==e e >≠且故双曲线的离心率的取值范围为Ce )+∞⎭考点：本题考查双曲线的简单性质；直线与双曲线的综合应用 17． 【解析】以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，由PC 与平面ABCD 所成的角为45°，得∠PCD ＝45°，则PD ＝2，P (0，0，2)，C (0，2，0)，B (2，2，0)，F (1，0，0)， D (0，0，0)，M (0，1，1)，∴＝(1，2，0)，＝(－1，0，2)，＝(0，1，1)．FB FP DM设平面PFB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则，即． 0FB FP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 2020x y x z +=⎧⎨-+=⎩令y ＝1，则x ＝－2，z ＝－1，故平面PFB 的一个法向量为n ＝(－2，1，－1)．∵·n ＝0，∴⊥n ．又DM ⊄平面PFB ，则D M ∥平面PFB ．DM DM18. 【答案】(1)或 ()9,6()4,4-【解析】 (1)设、, ()11,A x y ()22,B x y 由得,.224,4,y x y x =-⎧⎨=⎩2540xx -+=0∆>解方程得或，∴、两点的坐标为、 1x =4A B ()1,2-()4,4(2)点到的距离为,则 P AB d，53，解得或 06y =04y =-∴点坐标为或. 考点：直线与椭圆的位置关系P ()9,6()4,4-19. 【答案】（1）（2） 2212y x -=47y x =-【解析】（1）由已知得.22,a c ==2221,2a b c a ∴=∴=-=所以双曲线的方程为. C 2212y x -=（2）设点，由题意可知直线的斜率存在，则可设直线的方程为()()1122,,,A x y B x y l l ，即.()12y k x -=-12y kx k =+-把代入双曲线的方程， 12y kx k =+-C 2212y x -=得，①()()()22222121220kx k k x k ------=由题意可知，220k -≠所以，解得． ()12212222M k k x x x k -+===-4k =当时，方程①可化为.4k =21456510x x -+=此时，方程①有两个不等的实数解． 25656512800∆=-⨯=>所以直线的方程为l 47.y x =-考点：双曲线方程，直线与双曲线的位置关系．20. 【答案】（1），（2）直线过定点2p=t =±AB ()5,0【解析】（1）由抛物线的定义得，，解得， 342p +=2p =所以抛物线的方程为，代入点，可解得．24y x =()3,Tt t =±（2）设直线的方程为，，，AB x my n =+211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭联立消元得，则，，24,,y x x my n ⎧=⎨=+⎩2440y my n --=124y y m +=124y y n =-由，得，所以或（舍去）， 5OA OB ⋅= ()21212516y y y y +=1220y y =-124y y =即，即，所以直线的方程为，420n -=-5n =AB 5x my =+所以直线过定点． AB ()5,0考点：抛物线的定义，直线与抛物线相交问题，定点问题．21．【解析】以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ．依题设知B (2，2，0)，C (0，2，0)，E (0，2，1)，A 1(2，0，4)．则＝(0，2，1)，＝(2，2，0)，＝(－2，2，－DE DB 1AC 4)，＝(2，0，4)．1DA（2）设向量n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1E 的法向量，则n ⊥，n ⊥，∴2y ＋z ＝0，2x ＋4z ＝0．DE 1DA 令y ＝1，则z ＝－2，x ＝4，∴n ＝(4，1，－2)． ∴cos〈n ，〉＝．∴二面角A 1－DE－B1AC 11A C A C ⋅= n n22. 【解析】(1)以点D为坐标原点,直线DB,DC分别为x轴,y轴,建立空间直角坐标系,设等边三角形ABC的边长为a,则A,B,C,E,F, 设平面EDF的法向量为n=(x,y,z),则取n=(3,-,3).又因为,于是cos<,n>==-,因此直线BC与平面DEF所成角的余弦值等于.(2)假设在线段BC上存在一点,使AP⊥DE,令=λ,即=λ,则P,于是.因为AP⊥DE, 所以=0, 即=0,则λa2-a2=0,解得λ=.故线段BC上存在一点P,使AP⊥DE.。
吉林省长春汽车经济开发区第三中学2018-2019学年高二数学10月月考试题 文
长春汽车三中2018~2019学年高二上学期十月月考试卷高二年级数学试卷(文科)满分：150分 考试时间：120分钟注意事项：1． 答题前，考生须将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡指定的位置上。
2． 选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上。
非选择题须使用蓝、黑色字迹的笔书写。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1. 抛物线260x y +=的焦点位于（ ）A.x 轴的正半轴上B.x 轴的负半轴上C.y 轴的正半轴上D.y 轴的负半轴上2. 抛物线22y x =的准线方程为（ ）A ．14y =-B ．18y =-C ．12x =D ．14x =- 3. 已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于（ ）A ．4B ．5C ．7D ．84. 抛物线214x y =的焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．18D ．125. 若双曲线()2222103x y a a -=>的离心率为2，则实数a 等于（ ）A.2B.C.32D.16.椭圆62+k x ＋72y =1的离心率e =21, 则k 的值是（ ）A.310 B.43- C.43310--或 D.310或43- 7. 过（0，2）作直线，它与抛物线24y x =仅有一个公共点，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 8. 已知2)(23-+=x x x f ，则=)1('f （ ）A.5B.3C.2D.09. 已知双曲线12222=-by a x 的离心率为5，则此双曲线的渐近线方程为( )A.x y 4±=B.x y 41±= C.x y 2±= D.x y 21±= 10. 已知椭圆长半轴长与短半轴长之比是5：4，焦距是12，焦点在x 轴上，则此椭圆的标准方程是( )A.642x ＋1002y ＝1B.1002x ＋642y ＝1C.162x ＋252y ＝1 D.252x ＋162y ＝ 111. 已知椭圆()222104x y a a +=>与双曲线22193x y -=有相同的焦点，则a 的值为（ ）A. B. C.4D.1012. 双曲线1222=-y x 的两个焦点1F ,2F ，P 是双曲线上一点，且1:3||:||21=PF PF ， 则21F PF ∆的面积等于（ ）A.3B.38C.2D.28第Ⅱ卷（非选择题）二、 填空题：本题共4小题，每小题5分共20分，把答案填在答题纸中的横线上. 13.x y ln =在)0,1(处的切线方程为_________________.14. 动圆经过点(3,0)A ，且与直线:3l x =-相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是____________.15.已知椭圆19822=+y x ,过焦点1F 作弦AB ，另一焦点为2F ,则2ABF ∆的周长是____________.16.已知双曲线12222=-y ax )0(>a 的左右焦点分别为21,F F ，一条渐近线方程为x y 2=，点),3(0y P 在双曲线上，则=0y ____________.三、解答题（共计70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 求下列函数的导数（本小题满分10分）（1）x x x f ln 2)(2-= （2）xxe x f =)(18. （本小题满分12分）已知抛物线2:4C y x =与直线24y x =-交于A B ,两点.(1)求弦AB 的长度；(2)若点P 在抛物线C 上，且ABP ∆的面积为12，求点P 的坐标.19. （本小题满分12分） 已知函数x ea x x f +-=1)(，其中R a ∈，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线平行于直线x 轴；（1）求a 的值；（2）求)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程.20. （本小题满分12分）已知椭圆C 的左顶点坐标为(-C 有相同焦点，直线x y 3=为双曲线的一条渐近线；（1）求椭圆C 的方程； （2）求双曲线的方程.21.（本小题满分12分）已知双曲线离心率为2，其中一个焦点坐标为)0,2(-. （1）求双曲线的方程；（2）若直线l 与双曲线相交于A 、B 两点，点)12(，C 是弦AB 的中点，求弦AB 所在直线方程．22. （本小题满分12分）已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左,右焦点分别为1F ,2F ,且126F F ||=,直线y kx =与椭圆交于A ,B 两点．（1）若12AF F ∆的周长为16,求椭圆的标准方程.(2)且22AF BF ⊥,求椭圆离心率e 的值；长春汽车三中2018~2019学年高二上学期十月月考答案1. 【答案】D “一次定轴，系数定开口”考点：抛物线的标准方程及性质.2. 【答案】B【解析】22y x =，则212x y =，则抛物线开口向上，且112,24p p ==， 可得准线方程为18y =-. 考点：抛物线的标准方程及性质. 3【答案】D221=，显然210m m m ->-⇒>且2222=，解得8m =． 考点：椭圆的定义与简单的几何性质． 4. 【答案】C 【解析】抛物线214x y =的焦点到准线的距离为p ，而112,48p p =⇒=因此选C. 考点：抛物线的性质. 5. 【答案】B 【解析】∵2c e a==，∴2c a =，又2239b==，222c a b =+，∴2249,a a =+考点：椭圆的标准方程和离心率. 6. 【答案】D考点：椭圆的标准方程#离心率. 7. 【答案】C考点：抛物线的切线问题 8【答案】A考点：基本初等函数的导数公式 9. 【答案】C考点：双曲线的标准方程#渐近线. 10. 【答案】B考点：椭圆的标准方程#长短半轴11【答案】C考点：椭圆与双曲线的综合问题 12. 【答案】C考点：双曲线定义#余弦定理#三角形面积公式1212121212121212122:3:121cos FPF sin FPF 311sin FPF 3122PF F PF PF PF PF PF PF F F S PF PF -==-=∴=∠=-∠==∠=⨯⨯=13． 【答案】1y x =-考点：基本初等函数的导数公式#切线方程求法14． 【答案】212y x =考点：抛物线定义#抛物线标准方程 15．考点：椭圆定义#椭圆标准方程 16． 【答案】2±考点：双曲线的标准方程#渐进线. 17.【答案】(1)1(x)4f x x '=-; (2)(2)(x)xx f e xe '=+考点：基本初等函数的导数公式18. 【答案】(1) ()9,6或()4,4-考点：弦长公式#点到直线距离公式#三角形面积公式【解析】 (1)设()11,A x y 、()22,B x y ,由224,4,y x y x =-⎧⎨=⎩得2540x x -+=,0∆>. 解方程得1x =或4，∴A 、B 两点的坐标为()1,2-、()4,4(2)点P 到AB 的距离为d ,则PABS=53，.∴202y -，解得06y =或04y =- ∴P 点坐标为()9,6或()4,4-. 考点：直线与椭圆的位置关系 19.【答案】(1),(2)1a e y ==考点：基本初等函数的导数公式#直线的点斜式方程#切线方程求法 【解析】(1)1(x)1,(1)10,x a af f a e e e ''=-=-=∴=(2)(1)111,1ef y e =-+=∴=20.【答案】(1)22221+184168x y y x +==或(2)222211623y x y -=-=或x考点：椭圆的标准方程#椭圆性质#双曲线的标准方程#双曲线性质.【解析】(1)由题意得，当焦点在x轴上时222c 2,b 844,1284c x y a e a ===∴==-=∴+= 当焦点在y轴上时222216,b 8,+12168c y x b e a a ===∴==∴= (2)当焦点在x轴上时：双曲线的22222,1,3,13b y c a b a ===∴-=x 当焦点在y轴上时22222,6,2,162a y x c a b b ==∴==∴-= 21.【答案】(1)2213y x -=(2)6110x y --= 考点：双曲线的标准方程#离心率#点差法#中点坐标公式#直线的点斜式方程【解析】(1)222222,2,1,3,13c y c e a b c a x a ===∴==-=∴-=(2)点差法，设直线与曲线交点1122(x ,y ),B(x ,y )A1212+=42;x x y y +=由中点坐标公式，22221212A,B 1;1,33y y x x ∴-=-=将两点代入曲线有121224()=(y ),k 63x x y --∴=两式相减得:16(x 2)由直线的点斜式：，即6x-y-11=0 -=-y22.【答案】（1）2212516x y +=（2）e =考点：椭圆定义#椭圆标准方程#韦达定理#平面向量数量积坐标运算 【解析】F A F B ⋅=2122(x 3,y ),(x F A F B =-=-22128,91(a b x x b a b =-⋅==-+又。
吉林省高中学校2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题
吉林省高中学校高二期末考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题:0p x ∀>，||x x =，则p ⌝为A ．0x ∀>，||x x ≠B ．00x ∃≤，00||x x =C ．0x ∀≤，||x x =D ．00x ∃>，00||x x ≠2.直线l 过点(1,0)，且斜率为2，则l 的方程是A ．220x y --=B ．210x y --=C ．220x y +-=D ．220x y -+=3.已知双曲线222:1(0)x C y a a-=>的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为A ．32 D ．2 4.下面选项中的方程与对应的曲线匹配的是A ．B ． C. D ．5.已知向量(2,4,)AB x =，平面α的一个法向量(1,,3)n y =，若AB α⊥，则A ．6x =，2y =B ．2x =，6y = C.3420x y ++= D ．4320x y ++=6.“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”是“a d b c +=+”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件7.已知双曲线22:11648x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上一点，1FQ QP =，O 为坐标原点，若1||10PF =，则||OQ =A ．10B ．9 C. 1 D ．1或98.某几何体的三视图如图所示，其中三个圆半径都相等，且每个圆中两条半径互相垂直，若该几何体的表面积是68π，则它的体积是A ．1123π B C. 2243π D 9.在四面体OABC 中，点M ，N 分别为OA ，BC 的中点，若13OG OA xOB yOC =++，且G ，M ，N 三点共线，则x y +=A ．13-B 13 C.23 D ．23- 10.一个棱长为4的无盖正方体盒子的平面展开图如图所示，A ，B ，C ，D 为其上四个点，则以A ，B ，C ，D 为顶点的三棱锥的体积为A ．163B ．16 C.643D ．64 11.已知点A 在直线50x y -+=上，过点A 作直线与圆22:(3)(2)18C x y -++=相切于点B ，则ABC∆的面积的最小值为A ．12B ． C. 15 D ．12.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，AB 是经过抛物线焦点F 的弦，M 是线段AB 的中点，经过A ，B ，M 作抛物线的准线l 的垂线AC ，BD ，MN ，垂足分别是C ，D ，N ，其中MN 交抛物线于点Q .下列说法不正确的是A ．1||||2MN AB = B ．FN AB ⊥ C.Q 是线段MN 的一个三等分点 D ．QFM QMF ∠=∠第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若直线220x y -+=与直线260x my +-=平行，则它们之间的距离为 ．14.过椭圆224312x y +=的一个焦点且斜率存在的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A ，B 与该椭圆的另一个焦点构成的三角形的周长是 ．15.直线l 的一个方向向量为(2,a =--，直线n 的一个方向向量为(1,2,b =-，则l 与n 的夹角为 ．16.已知直线:30l kx y k -+-=与圆22:(1)10C x y -+=相交于P ，Q 两点，若2CP OQ ⋅=-，则实数k 的值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知:p x R ∀∈，230ax x -+>，:[1,2]q x ∃∈，21xa ⋅≥.（1）若p 为真命题，求a 的取值范围；（2）若p q ∧为真命题，且p q ∧为假命题，求a 的取值范围.18. 已知直线:(23)(1)420l m x m y m -+-+-=()m R ∈，圆22:650C x y x +-+=.（1）证明：直线l 恒定点；（2）当直线l 与圆C 相切时，求m .19. 如图，在四面体ABCD 中，2AC BC CD BD ====，AB AD ==（1）证明：平面ABD ⊥平面BCD ；（2）求直线BD 与平面ACD 所成角的正弦值.20. 已知动圆C 过定点(2,0)F ，且与直线2x =-相切，圆心C 的轨迹为E .（1）求E 的轨迹方程；（2）若直线l 交E 于P ，Q 两点，且线段PQ 的中点的坐标为(1,1)，求||PQ .21. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BC BB BA ==，13CBB π∠=，1AB B C ⊥.（1）证明：1AC AB =；（2）若1AC AB ⊥，求二面角1B AB C --的正弦值.22.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率为12，直线:20l x y -+=与M 相切于点P . （1）求椭圆M 的方程；（2）若直线':20l x y n ++=与椭圆M 交于不同的两点A ，B ，与直线l 相交于Q （P ，Q ，A ，B 均不重合）.证明：2||||||PQ QA QB ⋅为定值. 试卷答案一、选择题1. D 全称命题的否定是特殊命题.2. A 由点斜式得2(1)y x =-，化为一般式得220x y --=.3. B 由题知，2c =，1b =，则a =c e a ==.4. D 选项A 中方程y =B 中方程ln ln 0x y +=表示的曲线是1(0)y x x=>的图像，与对应图像不符；选项C 中方程y 表示的是2(0)y x x =≥的图像，与对应图像不符；选项D 中方程||x y =表示的曲线是(0)y x x =≥与(0)y x x =->的图像，与对应图像符合.5. A 因为AB α⊥，所以AB n ∥，由2413x y ==，得6x =，2y =. 6. A 若a ，b ，c ，d 依次成等差数列，则a d b c +=+，反之不成立，故选A .7. B 由双曲线定义可知12||||||28PF PF a -==，因为1||10PF =，所以2||2PF =（因为2||4PF c a ≥-=，所以舍去）或2||18PF =.因为1FQ QP =，所以Q 为线段1PF 的中点，所以21||||92OQ PF ==. 8. C 由三视图可知其对应的几何体为一个切去了18的球，设该球的半径为R ，由2271436884R R πππ⨯+⨯=，得4R =，所以此几何体的体积为3742244833ππ⨯⨯=. 9. B 若G ，M ，N 三点共线，则存在实数λ使得(1)OG ON OM λλ=+-1222OA OB OC λλλ-=++成立，所以1123λ-=，可得13λ=，所以16x y ==，可得13x y +=.10. C 将展开图还原为正方体，如图所示.故以A ，B ，C ，D 为顶点的三棱锥的体积331164444323V =-⨯⨯⨯=.11. A 圆22:(3)(2)18C x y -++=是圆心为(3,2)C -，半径为CA ，CB ，因为在ABC ∆中，CB AB ⊥，所以ABC ∆的面积ADC S ∆=11||||||22CB AB AB ⨯⨯=⨯，而||AB ==当||CA 取最小值时，||AB 最小.又点A 在直线50x y -+=上，则||CA 的最小值即为点C 到直线50x y -+=的距离，即||CA 的最小值为d ==||AB =ABC ∆的面积的最小值为1122S =⨯=. 12. C 由抛物线的定义，得||||AC AF =，||||BD BF =.又||||2AC BD MN +=， 则||||1||||22AF BF MN AB +==，A 正确.由1||||2MN AB =，可知ANB ∆是直角三角形，MN 是斜边上的中线，所以MAN MNA ∠=∠，而M N A C A N∠=∠，所以MAN CAN ∠=∠.所以ANC ANF ∆∆≌，可知90AFN ACN ∠=∠=︒，所以FN AB ⊥，B 正确.在Rt MNF ∆中，||||QN QF =，可知QNF QFN ∠=∠，所以QFM QMF ∠=∠，D 正确.由QFM QMF ∠=∠，可知||||QF QM =，所以||||NQ QM =，即Q 是MN 的中点，故C 不正确.二、填空题由1(2)20m ⨯--⨯=，得4m =-，所以直线260x my +-=的方程可化简14. 8 将方程224312x y +=整理得22134x y +=，故2a =，所求三角形的周长为48a =.15.4π cos ,a b ==l 与n 的夹角为4π.16. 512因为10cos 2CP CQ PCQ ⋅=∠=-，所以1cos 5PCQ ∠=-，故弦长||PQ ==C 到直线l 2=，由2=，得512k =. 三、解答题17.解：（1）01a ==. 2()2ln 3f x x x x =+-，2'2252()25x x f x x x x-+=+-=. 则'(1)1f =-.（2）令'()0f x =，得2x =或12， 当1(,2)2x ∈时，'()0f x <，所以()f x 在1(,2)2上单调递减； 当1(0,)(2,)2x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 在1(0,)2，(2,)+∞上单调递增. 所以()f x 的极大值点为12，极小值点为2. 18.（1）证明：将直线l 的方程整理得(22)(34)0x y m x y +-+--+=，令220340x y x y +-=⎧⎨--+=⎩，得22x y =⎧⎨=-⎩， 所以直线l 恒过点(2,2)P -.（2）解：将圆C 的一般方程化为标准方程得22(3)4x y -+=，所以圆C的圆心为(3,0)，半径为2.因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离等于半径，2=，得241615(23)(25)0m m m m-+=--=，所以32m=或52m=.当32m=时，直线l的方程为2y=-；当52m=时，直线l的方程为4320x y+-=.19.（1）证明：设O为BD的中点，连接OA，OC.∵O是BD的中点，∴在BCD∆中，2BC CD BD===，即BCD∆为等边三角形，∴OC BD⊥，∴OC.在ABD∆中，AB AD==2BD=，∴AO BD⊥，且1AO=，于是222AO OC AC+=，可知AO OC⊥.∵BD OC O=，∴AO⊥平面BCD，∵AO⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD.（2）解：由（1）知，AO，BD，OC两两垂直，以O为原点，OB，OC，OA分别为x轴、y轴、z 轴、建立空间直角坐标系O xyz-.则(0,0,1)A，(1,0,0)B，C，(1,0,0)D-，设平面ACD的法向量(,,)n x y z=，1)AC=-，(1,0,1)AD=--，则300n AC yz n AD x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令y =(3,3,3)n =-，又(2,0,0)BD =-. 设直线BD 与平面ACD 所成角为α， 则||21sin ||||BD n BD n α⋅==，即直线BD 与平面ACD 所成角的正弦值为7.20.解：（1）由题设知，点C 到点F 的距离等于它到直线2x =-的距离， 所以点C 的轨迹是以F 为焦点，2x =-为准线的抛物线，所以所求E 的轨迹方程为28y x =.（2）由题意易知，直线l 的斜率显然存在，设直线l 的斜率为k ，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则有2118y x =，2228y x =，两式作差得2212128()y y x x -=-，即128k y y =+， 因为线段PQ 的中点的坐标为(1,1)，所以4k =，则直线l 的方程为14(1)y x -=-，即43y x =-，与28y x =联立得2163290x x -+=，得122x x +=，12916x x =，||PQ ===. 21.（1）证明：连接1BC ，交1B C 于点O ，连接AO ，由题知，侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥，又1AB B C ⊥，1AB BC B ⋂=，所以1B C ⊥平面ABO ，又AO ⊂平面ABO ，所以1B C AO ⊥.因为1B O CO =，所以1AC AB =.（2）解：因为1AC AB ⊥，所以AO CO =，又AB BC =，所以BOA BOC ∆≅∆. 所以OA OB ⊥，可知OA ，OB ，1OB 两两垂直，以O 为原点，建立如图空间直角坐标系O xyz -，设OB =(0,0,1)A，B ，(0,1,0)C -，1(0,1,0)B ， 所以(3,0,1)AB =-，(1,0)BC =-，1(,0)BB =， 设平面ABC 的法向量为(,,)m x y z =， 由3030m AB x z m BC z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令3y =，得(3,3,3)m =--， 设平面1B AB 的法向量为(,,)n x y z =， 由13030n AB x z n BB y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，得(1,3,n =， 所以1cos 7||||m n mn m n ⋅⋅==-， 故二面角1B AB C --22.（1）解：由题意2221,2,c a a b c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得2a c b =⎧⎪⎨=⎪⎩.于是椭圆M 的方程可表示为2222143x y c c+=.联立222214320x y c cx y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，得22830x c ++-=. 因为直线l：20x y -+=与M 相切，所以284(83)0c ∆=--=，得22c =， 故椭圆M 的方程为22186x y +=. （2）证明：将直线l：20x y -+=与椭圆M方程联立得2220,3424,x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩解得2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即点P的坐标为(2. 将直线l：20x y -+=与直线l '：20x y n ++=方程联立得20,20,x y x y n ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩解得,2,4n x n y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 即点Q的坐标为()(24n n n -≠-，225(||16n PQ +=. 将直线l '：20x y n ++=与椭圆M 方程联立得2220,3424.x y n x y ++=⎧⎨+=⎩ 代入化简得2242240x nx n ++-=， 22416(24)0n n ∆=-->，得n -<<n ≠-记A ，B 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ， 则122n x x +=-，212244n x x -=，所以||QA =1||2n x =+.同理，2||||2n QB x =+，故125||||||||422n n QA QB x x =++22121255(|))()|42216n n n x x x x +=+++=， 故2||1||||PQ QA QB =⋅，即2||||||PQ QA QB ⋅为定值.。
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汽车三中2018--2019学年高二上学期期末考试数学 (理科) 试卷满分：150分 考试时间：120分钟1．第Ⅰ卷（选择题）一、 选择题：（共12小题，每小题5分，共计60分）1、复数ii z ++-=23的模是（ ） A.2 B. i 2 C.2 D. 23 2、已知函数)(x f 是可导函数，则“0)('0=x f ”是“0x 是函数)(x f 的极值点”的（ ）A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3、若焦点在y 轴上的椭圆1422=+m y x 的离心率为22=e ，则m 的值为（ ） A.2 B. 8 C. 2或8 D.64、若21,F F 分别是双曲线12222=-by a x 的左、右焦点，点P 在双曲线上，x PF ⊥2轴， 且 3021=∠F PF ，则此双曲线的渐近线方程为（ ） A.y x 33±= B.x y 22±= C.x y ±= D.x y 2±=5、函数234)(3-+=ax x x f 在区间),1(+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. ),4[+∞B. ),4[+∞-C. ),4(+∞-D. )4,(--∞6、下列判断错误的是( )A ．“若22am bm <，则a b <”的否命题为真命题。
B ．命题“32,10x x x ∀∈--≤R ”的否定是“32,10x x x ∃∈-->R ”C ．若q p ∨为假命题，则q p ,均为假命题D ．2x =是24x =的充分不必要条件7、若右下方的程序框图输出的S 是62，则①应为( )A. ?5≤nB. ?6≤nC. ?7≤nD.?8≤n 8、观察下表：1 1 12 1 13 3 11 4 6 4 1……则此表第10行第4个数( )A. 45B. 120C. 210D. 2529、由抛物线y x 42=和直线3+=x y 所围图形的面积是（ ） A.328 B. 332 C. 362 D.364 10、已知抛物线方程为x y 82=，定点)3,1(A ，点P 为抛物线上的动点，P 到抛物线的准线的距离为||PB ，则||||PA PB +最小值为( ) A. 32 B. 22 C. 3 D. 1011、函数)(x f 定义域为R ，1)2(-=f ，任意x R ∈，1)('<x f ，则3)(->x x f 解集为（ ）A ．),1(+∞B ．)1,(-∞C ．)2,(-∞D ． ),2(+∞12、设奇函数)(x f 的导函数是)('x f ，,0)2(=f 当0>x 时，0)()('<-x f x xf ，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是（ ）A ．)2,0()2,(⋃--∞B ．),2()0,2(+∞⋃-C ．)0,2()2,0(-⋃D ．)0,2()2,(-⋃--∞第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：（共4小题，每小题5分，共计20分）13、以椭圆181722=+y x 的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线方程为_________ 14、________sin 62=⎰-ππxdx15、已知F 是双曲线13:22=-y x E 的左焦点，P 是E 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是()3,1，则APF ∆的面积为_________16． 在一次数学竞赛中，某班甲、乙、丙、丁四名同学参加，比赛结果，四人中只有一个人获奖。
甲说：“乙获奖了”；乙说：“丙获奖了”；丙说：“甲说的对”；丁说：“很遗憾，我没获奖”。
已知四人的说法中只有一个人说的对。
根据以上信息判断在该项竞赛中获奖的是_________三、解答题（共6小题，17题10分，18、19、20、21、22每小题12分，共计70分）17. （本小题满分10分）已知命题:p 实数m 满足)0(0)2)((>≥--a a m a m ；命题:q 关于x 的方程01)2(2=+-+x m x 无实数根。
若p ⌝是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围。
18. （本小题满分12分）设函数 x e x x x f )1()(2+-=(1)求)(x f 的单调区间；(2)若 ]1,1[-∈x 时，不等式55)(2-->t t x f 恒成立，求实数t 的取值范围．19.（本小题满分12分）已知抛物线C ：x y 42=的焦点为F ，准线为l ，过F 倾斜角为 60的直线与抛物线交于B A ,两点，点B A ,在l 上的射影分别为C D ,（1）求||AB ； （2）求梯形ABCD 的面积20.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥ABCD P -，⊥PA 平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，,2,4==AB PA F E ABC ,,3π=∠分别是PC BC ,的中点．（1）证明：⊥AE 平面PAD ；（2）求二面角F AE B --的正弦值．21. （本小题满分12分）若21,F F 分别是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点，椭圆的离心率为23，P 是该椭圆上的一个动点，21PF F ∆面积的最大值是3（1）求出这个椭圆的标准方程；（2）O 是坐标原点，是否存在过定点)0,1(G 的直线l 与椭圆交于不同的两点F E ,， 使||||-=+成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．22. （本小题满分12分）已知函数b x x ax x f --++=)1ln()(2在2=x 处取得极值1-（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若对任意的],0(e x ∈，方程21)1(-=+m x f 有两个根，求实数m 的取值范围。
高二上学期期末答案1答案C，解|3||||2|i z i -+=+2.答案B3.答案B ,解：8c e m = 4.答案D, 解;设211,221PF PF b c a ay ===∴=5，答案B 解：222max ()4041(4)44f x x a a x x x a '=+≥≥->∴-=-∴≥-6，答案A,解7，答案A1,02,26,314,430,562,6n s s n s n s n s n s n ============8, 答案B1,4,6,4,11,5,10,10,5,11,6,15,20,15,6,11,7,21,35,35,21,7,1,1,8,28,56,70,56,28,8,19,答案D262242,63164(3)43x yx x y x x x dx -⎧=⎪∴=-=⎨=+⎪⎩+-=⎰10.答案Dmin (2,0),(1,3)()F A FB FA FA +=11,答案C设()()(3)()()10F x f x x F x f x =--''=-<F （x ）为减函数，因为F(2)=f(2)+1=0 ·()()(3)02F x f x x x =--><12.答案A 设2()(),()()()0f x F x x f x x f x F x x ='⋅-'=<()0,()f x x F x x ∴>-为减函数(2)(2)0022f F x -=∴<<()f x ∴为奇函数20,02x x -<<<<13答案22198x y-=椭圆：22217,8,9a b c === 双曲线：22217,9,8c a b ===14.答案6622sin (cos )2xdx x ππππ--=-=⎰15.答案92 (2,0),(2,3)(1,3)92APF F P A S ∆--±∴= 16.答案：甲上述说法只有一个是对的所以甲错、乙错、丙错，丁对。
17．解：:2p m a m a ≥≤或2:(2)40q m ∆=--< 04m <<:2p a m a ⌝<<024a a ≥⎧⎨≤⎩02a ∴<≤18.解2()(21)(1)x x f x x e x x e '=-+-+ 2()()0x f x x x e '=+= 0x = 1x =-()0f x '> 0x > 或 1x <- ()0f x '< 10x -<< ()f x ∴ 单调递增 (,1)-∞-，(0,)+∞()f x 单调递减 (1,0)-（2）(0)1f =(1)f e =3(1)f e -=min ()1f x =2551t t --<2560t t --<16t -<<19. 解：21)4y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩231030x x -+=121016||233AB x x p =++=+=11623S =⨯=20.解：PA ABCD ⊥面 AE ABCD ⊂面 PA AE ∴⊥ ABCD 四边形是菱形 60ABC ︒∠= AB AC ∴= E BC 为中点 AE BC ∴⊥ AD BC AE AD ∴⊥ PA AD A ⋂= AE PAD ∴⊥面（2）(0,0,0)A1,0)B -CE (0,0,4)P1,2)2F1(0,0,1)ABE n =面 2(0,4,1)AEF n =-面 (3,0,0)AE = 31(,2)22AF = 01202x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩cos θ=sin θ∴=21.解： 122bc ⋅=bc =ca =c = 2a ∴=1b = c =2214x y += 2244(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩2224(21)40x k x x +-+-= 2222(14)8440k x k x k +-+-= 4226416(1)(14)k k k ∆=--+ 42426416(414)k k k k =-+-- 4426416(431)k k k =--- 44264644816k k k =-++ 248160k =+>2122814k x x k +=+21224414k x x k -⋅=+21212(1)(1)y y k x x ⋅=-- 21212(()1)k x x x x =-++ 222222244814()141414k k k k k k k -+=-++++22314k k -=+224430k k --=24k =2k =±22y x =- 22y x =-+ 22解：（1）1()21(1)11(2)41021(2)42ln(21)2f x ax x x f a f a b '=++>-'=++=-=++--=-21,121()ln(1)12a b f x x x x =-=∴=-++-- （2）221(1)(1)1ln(11)1(0)211(1)ln 22f x x x x x f x x x+=-+++++-->++=-+ 2221()ln (0)211()00111()01g x x x x e x g x x x x x x g x x x e x x =-+<≤-'=-+=≥∴<<-'=-+=≤∴≤≤ max 2min 21()(1)2()()121122g x g e g x g e e m ==-==-+∴-+≤<-。