红对勾理科数学2-11

合集下载

《红对勾》2016高考新课标数学(理)大一轮复习第二章函数、导数及其应用课时作业7Word版含答案

课时作业7 二次函数与幂函数一、选择题1．已知幂函数f (x )＝x α的图象过点(4,2)，若f (m )＝3，则实数m 的值为( )A. 3 B ．±3 C ．±9D ．9解析：由已知条件可得4α＝22α＝2，所以α＝12，则f (x )＝x 12＝x ，故f (m )＝m ＝3⇒m ＝9，选D.答案：D2．当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过的象限是( )A ．第二象限B ．第三象限C ．第四象限D ．第二、四象限解析：画出函数图象即可．答案：D3．若x ∈(0,1)，则下列结论正确的是( )A ．lg x >x12>2xB ．2x>lg x >x12C ．x 12>2x >lg xD ．2x >x 12>lg x 解析：当x ∈(0,1)时，2x ∈(1,2)，x12∈(0,1)，lg x ∈(－∞，0)，所以2x >x12>lg x .答案：D4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象是( )解析：∵a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0，∴a >0，c <0. 答案：D5．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x 2－x ，则当x ∈[－2，－1]时，f (x )的最小值为( )A ．－116B ．－18C ．－14D ．0解析：设x ∈[－2，－1]，则x ＋2∈[0,1]，则f (x ＋2)＝(x ＋2)2－(x ＋2)，又f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝2f (x ＋1)＝4f (x )，∴f (x )＝14(x 2＋3x ＋2)，∴当x ＝－32时，取到最小值为－116.答案：A6．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－2B ．a >－2C ．a >－6D ．a <－6解析：不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，所以g (x )≤g (4)＝－2，所以a <－2. 答案：A 二、填空题7．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.解析：由f (x )的定义域为R ，值域为(－∞，4]，可知b ≠0，∴f (x )为二次函数，f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2.∵f (x )为偶函数，∴其对称轴为x ＝0，∴－(2a ＋ab )＝0，解得a ＝0或b ＝－2.若a ＝0，则f (x )＝bx 2，与值域是(－∞，4]矛盾，∴a ≠0，b ＝－2，又f (x )的最大值为4，∴2a 2＝4，∴f (x )＝－2x 2＋4.答案：－2x 2＋48．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a 2＝4b ，所以x 2＋ax ＋a24－c <0的解集为(m ，m ＋6)，易得m ，m ＋6是方程x 2＋ax＋a 24－c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得⎩⎨⎧2m ＋6＝－a ，m (m ＋6)＝a 24－c ，解得c ＝9.答案：99．已知函数f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，对任意的x 1∈[－1,2]都存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________．解析：当x 0∈[－1,2]时，由f (x )＝x 2－2x 得f (x 0)∈[－1，3]，又对任意的x 1∈[－1,2]都存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，∴当x 1∈[－1,2]时，g (x 1)∈[－1,3]．当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2≥－1，2a ＋2≤3，解得a ≤12.综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，12.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，对称轴x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.(2)函数f (x )的对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3， ∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意； ②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知a ＝－13或－1.11．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a >1)， ∴f (x )在[1，a ]上是减函数．又定义域和值域均为[1，a ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝a ，f (a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2. (2)∵f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2. 又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1， ∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2.∵对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4， ∴f (x )max －f (x )min ≤4，得－1≤a ≤3.又a ≥2，∴2≤a ≤3.故实数a 的取值范围是[2,3]．1．幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象如上图所示，则m 与n 的取值情况为( )A ．－1<m <0<n <1B ．－1<n <0<mC ．－1<m <0<nD ．－1<n <0<m <1 解析：在第一象限作出幂函数y ＝x ，y ＝x 0的图象，在(0,1)内作直线x ＝x 0与各图象的交点，由“点低指数大”，如上图，知－1<n <0<m <1，故选D.答案：D2．对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．[0,1]C ．[－2,0)D ．[－2,1)解析：当x 2－1－(4＋x )≥1时，x ≥3或x ≤－2；当x 2－1－(4＋x )<1时－2<x <3，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4＋x ，x ≥3或x ≤－2x 2－1，－2<x <3，f (x )的图象如下图所示，y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴有三个不同交点转化为y ＝f (x )与y ＝－k 有三个不同交点，由图可知－1<－k ≤2，故－2≤k <1.答案：D3．若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a >0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1、x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________．解析：由题意可得，当x ∈[t －1，t ＋1]时，[f (x )max －f (x )min ]min ≥8，又在二次函数的图象上，区间[t －1，t ＋1]离对称轴越远，f (x )max －f (x )min 越大，所以当[t －1，t ＋1]关于对称轴对称时，f (x )max －f (x )min 取得最小值，为f (t ＋1)－f (t )＝a ≥8，所以实数a 的最小值为8.答案：84．已知函数f (x )＝ax 2＋ax 和g (x )＝x －a .其中a ∈R 且a ≠0. (1)若函数f (x )与g (x )的图象的一个公共点恰好在x 轴上，求a 的值；(2)若p 和q 是方程f (x )－g (x )＝0的两根，且满足0<p <q <1a ，证明：当x ∈(0，p )时，g (x )<f (x )<p －a .解：(1)设函数g (x )图象与x 轴的交点坐标为(a,0)，又∵点(a,0)也在函数f (x )的图象上，∴a 3＋a 2＝0. 而a ≠0，∴a ＝－1.(2)由题意可知f (x )－g (x )＝a (x －p )(x －q )． ∵0<x <p <q <1a ，∴a (x －p )(x －q )>0，∴当x ∈(0，p )时，f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )．又f (x )－(p －a )＝a (x －p )(x －q )＋x －a －(p －a )＝(x －p )(ax －aq ＋1)，x －p <0，且ax －aq ＋1>1－aq >0，∴f (x )－(p －a )<0，∴f (x )<p －a ，综上可知，g (x )<f (x )<p －a .。

【红对勾】人教A版高中数学选修2-1课件：2-1-1 曲线与方程

类型四 [例4]
曲线的交点问题已知直线 l： x＋ y＝ a及曲线 C： x2 ＋y2－ 4x
－ 4 ＝ 0. 则实数 a 取何值时分别有一个交点，两个交点，
无交点．
[分析] 联立方程组消y ↓ 讨论 Δ＝ 0， Δ>0， Δ<0的情况 ↓ 确定 a的取值范围
x+y＝a [解] 联立方程， 2 2 x ＋y - 4x- 4＝0 消去 y 得 2x2－(2a＋4)x＋a2－4＝0，则Δ＝(2a＋4)2－8(a2－4) ＝－4a2＋16a＋48，
迁移体验 3 证明圆心为坐标原点，半径等于 5 的圆的方程是 x2＋y2＝25，并判断点 M1(3，－4)、 M2(－2 5，2)是否在这个圆上．
证明：(1)设 M(x0，y0)是圆上任意一点，因为点 M
2 2 2 到原点的距离等于 5，所以 x0 ＋ y2 ＝ 5 ，也就是 x ＋ y 0 0 0
第二章
圆锥曲线与方程
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
德国著名天文学家开普勒发现的行星运动三大定律揭示了行星运动的规律，其中的第一定律指出：太阳
系中的每一个行星都沿一个椭圆轨道环绕太阳运动，
而太阳则是该椭圆的一个焦点．
在本章中，我们将学习曲线与方程，椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与简单几何性质等内容．通过方程
，
Δ＝0 即 a2－4a－12＝0 得 a＝6 或 a＝－2，
此时有一解；
Δ>0即a2－4a－12<0得－2<a<6，此时有两解．
当Δ<0即a2－4a－12>0得a<－2或a>6.
综上所述，当a＝－2或a＝6时有一个交点；
当－2<a<6时有两个交点；

《红对勾理科数学》课件

红对勾理科数学PPT课件
欢迎来到《红对勾理科数学》PPT课件。这个课件将带你从基础的数学符号和术语出发，深入浅出地一步一步带你掌握代数学、几何学、微积分学、线性代数和其他数学领域的知识。
数学符号和术语
符号集合介绍
让我们通过深入了解数学中的符号来打好基础。
正负数和绝对值
认识正、负数和绝对值在数学中的应用。
变量和常数
学习变量和常数之间的区别，以及如何在数学运算中使用它们。
平均数、中位数和众数
这些统计术语不仅重要，也容易被混淆。我们将讨论它们的含义和应用。源自代数学立方和平方公式
这些公式在代数学和其他数学领域中都起到至关重要的作用。了解它们的推导和应用。
多项式和因式分解
多项式和因式分解相关的概念和方法在代数学中非常常见且重要。
极限和连续性
学会如何计算极限和判断一个函数是否连续。
积分和微分
了解积分和微分的基础概念和计算方法。
微积分中的应用
在实际应用中，微积分有着广泛的应用，包括财务、经济学、物理和机器学习等领域。
其他数学
线性代数和矩阵理论
线性代数和矩阵理论在计算机科学、物理学等领域中有着广泛的应用和研究。
数学逻辑和证明方法
在现代科学中，使用形式化的数学语言来阐述问题和证明是非常必要的。
数论和离散数学
数论是纯数学中的研究领域之一，而离散数学是应用数学中的一个子领域。
组合数学和图论
从数学的角度分析那些看似随意的组合问题是组合数学的核心内容之一。
拓扑学和几何拓扑学
拓扑学和几何拓扑学是从点、线、面等几何概念中抽象出来的一类数学领域。
3
圆、椭圆和抛物线
圆、椭圆和抛物线在几何学中起着重要的

【红对勾】高中数学单元综合测试三新人教A版选修2-1(1)

单元综合测试三时刻：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，假设CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，那么A 1B →＝( ) A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D ．－a ＋b －c解析：结合图形，得A 1B →＝A 1A →＋AC →＋CB →＝－c －a ＋b ＝－a ＋b －c ，应选D. 答案：D2．已知a ＝(－5,6,1)，b ＝(6,5,0)，那么a 与b ( ) A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向 D ．平行且反向答案：A3．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，假设(a ＋b )⊥c ，那么x 等于( ) A ．4 B ．－4 C.12D ．－6 解析：a ＋b ＝(－2,1,3＋x )，由(a ＋b )⊥c ， ∴(a ＋b )·c ＝0.∴－2－x ＋2(3＋x )＝0，得x ＝－4. 答案：B4．假设a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a ，b 的夹角的余弦值为89，那么λ等于( )A ．2B ．－2C ．－2或255 D ．2或－255解析：a·b ＝2－λ＋4＝6－λ＝5＋λ2×3×89.解得λ＝－2或255. 答案：C5．已知空间四边形ABCD 每条边和对角线长都等于a ，点E 、F 、G 别离是AB 、AD 、DC 的中点，那么a 2是以下哪个选项的计算结果( )A ．2BC →·CA →B ．2AD →·DB →C ．2FG →·AC →D ．2EF →·CB →解析：2BC →·CA →＝－a 2，A 错；2AD →·DB →＝－a 2，B 错；2EF →·CB →＝－12a 2，D 错；只有C 对．答案：C6．假设A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB →|取最小值时，x 的值等于( ) A ．19 B ．－87C.87D.1914解析：AB →＝(1－x,2x －3，－3x ＋3)，那么|AB →|＝1－x 2＋2x －32＋－3x ＋32＝14x 2－32x ＋19＝14x －872＋57，故当x ＝87时，|AB →|取最小值，应选C. 答案：C7．已知ABCD ，ABEF 是边长为1的正方形，FA ⊥平面ABCD ，那么异面直线AC 与EF 所成的角为( ) A ．30° B．45° C ．60° D．90°解析：如图1，由于EF ∥AB 且∠BAC ＝45°，因此异面直线AC 与EF 所成的角为45°，应选B. 答案：B图1图28．如图2所示，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M 是AB 的中点，那么sin 〈DB ′→，CM →〉的值为( ) A.12 B.21015 C.23 D.1115解析：以DA ，DC ，DD ′所在的直线别离为x ，y ，z 轴成立直角坐标系O －xyz ，设正方体棱长为1，那么D (0,0,0)，B ′(1,1,1)，C (0,1,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，那么DB ′→＝(1,1,1)，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0，cos 〈DB ′→，CM →〉＝1515，那么sin 〈DB ′→，CM →〉＝21015.答案：B 图39．如图3，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ⊂面M ，AC ⊥面M ，BD ⊥AB ，BD 与面M 成30°角，那么C 、D 间的距离为( )A ．1B ．2 C.2 D.3解析：|CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos120°＝2.∴|CD →|＝2.答案：C10．在以下命题中，不正确的个数为( ) ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件； ②若a ∥b ，那么存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，假设OP →＝2OA →－2OB →－OC →，那么P 、A 、B 、C 四点共面；④假设{a ，b ，c }为空间的一个基底，那么{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }组成空间的另一个基底； ⑤|(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：①错，应为充分没必要要条件．②错，应强调b ≠0.③错，∵2－2－1≠1.⑤错，由数量积的运算性质判别．答案：C11．在三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA ＝AB ，那么二面角A －PB －C 的平面角的正切值为( )A.6 B.3C.66D.62解析：设PA ＝AB ＝2，成立空间直角坐标系，平面PAB 的一个法向量是m ＝(1,0,0)，平面PBC 的一个法向量是n ＝(33，1,1)．那么cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝33|m ||n |＝331×213＝77.∴正切值tan 〈m ，n 〉＝6.答案：A 图412．(2020·辽宁高考)如图4，四棱锥S －ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，那么以下结论中不正．．确．的是( ) A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角解析：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD .又∵SD ⊥底面ABCD ，∴SD ⊥AC .其中SD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥面SDB ，从而AC ⊥SB .故A 正确；易知B 正确；设AC 与DB 交于O 点，连结SO .那么SA 与平面SBD 所成的角为∠ASO ，SC 与平面SBD 所成的角为∠CSO ，又OA ＝OC ，SA ＝SC ，∴∠ASO＝∠CSO .故C 正确；由排除法可知选D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每题5分，共20分)13．已知直线l 的方向向量为v ＝(1，－1，－2)，平面α的法向量u ＝(－2，－1,1)，那么l 与α的夹角为________．解析：∵cos 〈v ，u 〉＝|－2＋1－2|6×6＝12，∴〈v ，u 〉＝60°.∴l 与α的夹角为30°. 答案：30°14．如图5所示，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以{AB →，AC →，AD →}为基底，那么GE →＝________.解析：GE →＝GA →＋AD →＋DE →＝－23AM →＋AD →＋14DB →＝－23×12(AB →＋AC →)＋AD →＋14(AB →－AD →)＝－112AB →－13AC →＋34AD →，故GE →＝－112AB →－13AC →＋34AD →.答案：－112AB →－13AC →＋34AD →图5 图615．如图6所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC ＝BC ，且∠BAC ＝90°，那么PA 与底面ABC 所成的角为________．解析：由于PA ＝PB ＝PC ，故P 在底面ABC 上的射影为△ABC 外心，由于△ABC 为直角三角形，不妨设OB ＝OC ，因此OP ⊥面ABC ，∠PAO 为所求角，不妨设BC ＝1，那么OA ＝12，cos ∠PAO ＝12，因此∠PAO ＝60°.答案：60°16．(2020·全国高考)已知点E 、F 别离在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1、CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，那么面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于________．图7解析：延长FE 、CB 相交于点G ，连结AG ，设正方体的棱长为3，那么GB ＝BC ＝3，作BH ⊥AG 于H ，连结EH ，那么∠EHB 为所求二面角的平面角．∵BH ＝322，EB ＝1，∴tan ∠EHB ＝EBBH＝23.答案：23三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是不是存在一点E ，使得OE →⊥b ？(O 为原点) 解：(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a ＋b |＝02＋－52＋52＝52.(2)OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )，假设OE →⊥b ，那么OE →·b ＝0，因此－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95，因此存在点E ，使得OE →⊥b ，现在E 点坐标为E (－65，－145，25)．图818．(12分)如图8，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．求证：(1)AC ⊥BC 1；(2)AC 1∥平面CDB 1. 图9证明：∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，且C 1C 垂直底面． ∴AC 、BC 、C 1C 两两垂直．如图9，以C 为坐标原点，直线CA ，CB ，CC 1别离为x 轴，y 轴，z 轴成立空间直角坐标系．则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)，B 1(0,4,4)，D (32，2,0)．(1)AC →＝(－3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)，∴AC →·BC 1→＝0，∴AC ⊥BC 1.(2)设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ，那么E (0,2,2)， ∵DE →＝(－32，0,2)，AC 1→＝(－3,0,4)，∴DE →＝12AC 1→.∴DE ∥AC 1.∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， ∴AC 1∥平面CDB 1.19．(12分)已知M 为长方体AC 1的棱BC 的中点，点P 在长方体AC 1的面CC 1D 1D 内，且PM ∥BB 1D 1D ，试探讨点P 的确切位置．图10解：以DA 、DC 、DD 1为x 、y 、z 轴，如图10成立空间直角坐标系，设DA ＝a ，DC ＝b ，DD 1＝c .依照题意可设A (a,0,0)，B (a ，b,0)，D 1(0,0，c )，P (0，y ，z )，那么M (12a ，b,0)．又PM ∥BB 1D 1D ，依照空间向量大体定理，必存在实数对(m ，n )，使得PM →＝mDB →＋nDD 1→，即(12a ，b －y ，－z )＝(ma ，mb ，nc )，等价于⎩⎪⎨⎪⎧12a ＝mab －y ＝mb －z ＝nc⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，y ＝12b ，z ＝－nc ，n ∈R ，那么点P (0，b2，－nc )．∴点P 在面DCC 1D 1的DC 的中垂线EF 上．20．(12分)在正棱锥P －ABC 中，三条侧棱两两相互垂直，G 是△PAB 的重心，E ，F 别离是BC ，PB 上的点，且BE ∶EC ＝PF ∶FB ＝1∶2.求证：(1)平面GEF ⊥平面PBC ； (2)EG ⊥PG ，EG ⊥BC .图11证明：(1)以三棱锥的极点P为原点，以PA、PB、PC所在的直线别离为x轴、y轴、z轴，成立空间直角坐标系．令PA＝PB＝PC＝3，那么A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)．于是PA→＝(3,0,0)，FG→＝(1,0,0)．故PA→＝3FG→.∴PA∥FG.又PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC.又FG⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.(2)∵EG→＝(1，－1，－1)，PG→＝(1,1,0)，BC→＝(0，－3,3)．∴EG→·PG→＝1－1＝0，EG→·BC→＝3－3＝0.∴EG⊥PG，EG⊥BC.图1221．(12分)(2020·天津高考)如图12，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1BB1的中心，AA1＝22，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝ 5.(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角A－A1C1－B1的正弦值；(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．图13解：如图13所示，成立空间直角坐标系，点B为坐标原点．依题意得A(22，0,0)，B(0,0,0)，C(2，－22，5)，A1(22，22，0)，B1(0,22，0)，C1(2，2，5)．(1)易患AC →＝(－2，－2，5)，A 1B 1→＝(－22，0,0)，于是cos 〈AC →，A 1B 1→〉＝AC →·A 1B 1→|AC →|·|A 1B 1→|＝43×22＝23.因此异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值为23.(2)易知AA 1→＝(0,22，0)，A 1C 1→＝(－2，－2，5)．设平面AA 1C 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，那么⎩⎨⎧m ·A 1C 1→＝0，m ·AA1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧ －22x －2y ＋5z ＝0，22y ＝0.不妨令x ＝5，可得m ＝(5，0，2)，一样地，设平面A 1B 1C 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，那么⎩⎨⎧n ·A 1C 1→＝0，n ·A 1B 1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧－22x －2y ＋5z ＝0，－22x ＝0.不妨令y ＝5，可得n ＝(0，5，2)，于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m |·|n |＝27×7＝27，从而sin 〈m ，n 〉＝357. 因此二面角A －A 1C 1－B 1的正弦值为357.(3)由N 为棱B 1C 1的中点，得N (22，322，52)．设M (a ，b,0)，那么MN →＝(22－a ，322－b ，52)．由MN ⊥平面A 1B 1C 1，得⎩⎨⎧MN →·A 1B 1→＝0，MN→·A 1C 1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧22－a ·－22＝0，22－a ·－2＋322－b ·－2＋52×5＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，b ＝24.故M (22，24，0)．因此BM →＝(22，24，0)，因此线段BM 的长|BM →|＝104.图1422．(12分)如图14，在矩形ABCD 中，点E ，F 别离在线段AB ，AD 上，AE ＝EB ＝AF ＝23FD ＝4.沿直线EF 将△AEF 翻折成△A ′EF ，使平面A ′EF ⊥平面BEF .(1)求二面角A ′－FD －C 的余弦值；(2)点M ，N 别离在线段FD ，BC 上，假设沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与A ′重合，求线段FM 的长．解：法一：(1)取线段EF 的中点H ，连结A ′H . 因为A ′E ＝A ′F 及H 是EF 的中点，因此A ′H ⊥EF .又因为平面A ′EF ⊥平面BEF ，及A ′H ⊂平面A ′EF ，因此A ′H ⊥平面BEF .如图15成立空间直角坐标系A －xyz ，图15 则A ′(2,2,22)，C (10,8,0)，F (4,0,0)，D (10,0,0)，故FA ′→＝(－2,2,22)，FD →＝(6,0,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面A ′FD 的一个法向量，因此⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋2y ＋22z ＝0，6x ＝0，取z ＝2，那么n ＝(0，－2，2)．又平面BEF 的一个法向量m ＝(0,0,1)．故cos 〈n ，m 〉＝n ·m|n ||m |＝33. 因此二面角的余弦值为33. (2)设FM ＝x ，那么M (4＋x,0,0)，因为翻折后，C 与A ′重合，因此CM ＝A ′M ，故(6－x )2＋82＋02＝(－2－x )2＋22＋(22)2，得x ＝214，经查验，现在点N 在线段BC 上，因此FM ＝214. 法二：(1)取线段EF 的中点H ，AF 的中点G ，连结A ′G ，A ′H ，GH .图16因为A ′E ＝A ′F 及H 是EF 的中点，因此A ′H ⊥EF ，又因为平面A ′EF ⊥平面BEF ，因此A ′H ⊥平面BEF ，又AF ⊂平面BEF ，故A ′H ⊥AF ，又因为G ，H 是AF ，EF 的中点，易知GH ∥AB ，因此GH ⊥AF ，于是AG ⊥面A ′GH ，因此∠A ′GH 为二面角A ′－DF －C 的平面角，在Rt △A ′GH 中，A ′H ＝22，GH ＝2，A ′G ＝23，因此cos ∠A ′GH ＝33. 故二面角A ′－DF －C 的余弦值为33.(2)设FM＝x，因为翻折后，C与A′重合，因此CM＝A′M，而CM2＝DC2＋DM2＝82＋(6－x)2，A′M2＝A′H2＋MH2＝A′H2＋MG2＋GH2＝(22)2＋(x＋2)2＋22，得x＝214，经查验，现在点N在线段BC上，因此FM＝214.。

【红对勾】人教A版高中数学选修2-1课件：3-2-2 空间向量与垂直关系

令 y1 ＝－ 1，得 x1＝ 1， z1＝ 0， ∴ n1＝(1，－ 1,0)． → － 2x2＋ 2y2＝ 0 n 2 · BC ＝ 0 由，得 . → － y2＋ 3z2 ＝ 0 n · CC 2 1＝ 0 3 3 令 y2 ＝ 1，得 x2＝ 1， z2＝，∴ n2＝(1,1， )． 3 3 ∴ n1 · n2 ＝ 1－ 1＋ 0＝ 0，∴ n1⊥ n2， ∴平面 A1 AD⊥平面 BCC1 B1 .
3．面面垂直
(线垂直．
(2)证明两个平面的法向量互相垂直．
课时作业 24
迁移体验3 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为
CC1的中点，证明：平面B1ED⊥平面B1BD.
图 12
证明：以 DA， DC， DD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长 1 → 为 1，则 D(0,0,0)， B1(1,1,1)， E(0,1， )， DB1＝ (1,1,1)， 2 → 1 DE＝ (0,1， )．设平面 B1DE 的法向量为 n1＝ (x， y， 2 1 z)，则 x＋ y＋ z＝ 0 且 y＋ z＝ 0，令 z＝－ 2， 2
[分析]
→ 解答本题可证明BC垂直于平面 A1AD
→ → 内的两个不共线向量 AA1 和 AD 或求两平面的法向量，再证明两个法向量互相垂直．
[解]
法一：如图 11，建立空间直角坐标系．
则 A(0,0,0)， B(2,0,0)， C(0,2,0)，A1(0,0， 3)， C1(0,1， 3)， ∵ D 为 BC 的中点， ∴ D 点坐标为 (1,1,0)，
2．线面垂直
(1) 设直线 l 的方向向量是 a ，平面 α 的法向量是 u ，

红对勾理科数学课时作业2

课时作业2命题及其关系、充分条件与必要条件时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．答案：B2．命题：“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析：x2<1的否定为：x2≥1；－1<x<1的否定为x≥1或x≤－1，故原命题的逆否命题为：若x≥1或x≤－1，则x2≥1.答案：D3．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆否命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中的真命题为()A．①②B．②③C．①③D．③④解析：“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”为真命题，则逆否命题也为真；“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等”，该否命题为假命题；若q≤1⇒4－4q≥0，即Δ＝4－4q≥0，则x2＋2x＋q＝0有实根，所以原命题为真命题，故其逆否命题也为真；“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，该逆命题为假命题．故选C.答案：C4．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：A∪B＝{x∈R|x<0，或x>2}，C＝{x∈R|x<0，或x>2}，∵A∪B＝C，∴x∈A∪B是x∈C的充分必要条件．答案：C5．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A．a≥4 B．a≤4C．a≥5 D．a≤5解析：原命题等价于“a≥x2对于任意x∈[1,2]恒成立”，其充要条件是a≥4，所以C正确．答案：C6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的()A．既不充分也不必要的条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．充要条件解析：若f(x)为[0,1]上的增函数，则f(x)在[－1,0]上为减函数，根据f(x)的周期为2可推出f(x)为[3,4]上的减函数；若f(x)为[3,4]上的减函数，则f(x)在[－1,0]上也为减函数，所以f(x)在[0,1]上为增函数，故选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)7．命题“若x>0，则x2>0”的否命题是________命题．(填“真”或“假”)解析：其否命题为“若x≤0，则x2≤0”，它是假命题．答案：假8．有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a≤b则a2≤b2”错误．②原命题的逆命题为：“x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确．答案：②③9．已知α：x≥a；β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．解析：α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，∵β：|x－1|<1，∴0<x<2，∴β可看作集合B＝{x|0<x<2}．又∵α是β的必要不充分条件，∴B A，∴a≤0.答案：(－∞，0]三、解答题(共55分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)10．(15分)已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．(1)写出命题p的否命题．(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．解：(1)否命题：“若ac<0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．(2)命题p的否命题为真命题，证明如下：∵ac<0，∴－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．11．(20分)指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B；(2)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；(3)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.解：(1)在△ABC中，∠A＝∠B⇒sin A＝sin B，反之，若sin A＝sin B，因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，所以只有A ＝B.故p是q的充要条件．(2)显然x ∈A ∪B 不一定有x ∈B ，但x ∈B 一定有x ∈A ∪B ，所以p 是q 的必要不充分条件．(3)条件p ：x ＝1且y ＝2，条件q ：x ＝1或y ＝2，所以p ⇒q 但q /⇒p ，故p 是q 的充分不必要条件．——创新应用——12．(20分)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x ||x －1| ≤m }．(1)若(P ∪S )⊆P ，求实数m 的取值范围；(2)是否存在实数m ，使得“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：由x 2－8x －20≤0解得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}．由|x －1|≤m 可得1－m ≤x ≤1＋m ，∴S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．(1)要使(P ∪S )⊆P ，则S ⊆P ，①若S ＝∅，此时m <0.②若S ≠∅，此时⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥0，1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得0≤m ≤3.综合①②知实数m 的取值范围为(－∞，3]．(2)由题意“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件，则S ＝P ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3，m ＝9，∴这样的m 不存在．。

《红对勾》2016高考新课标数学(理)大一轮复习第二章函数、导数及其应用课时作业13Word版含答案

课时作业13变化率与导数、导数的计算一、选择题1．函数y＝x2cos x在x＝1处的导数是()A．0 B．2cos1－sin1C．cos1－sin1 D．1解析：∵y′＝(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2x cos x－x2sin x，∴y′|x＝1＝2cos1－sin1.答案：B2．(2014·大纲卷)曲线y＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于() A．2e B．eC．2 D．1解析：y′＝e x－1＋x·e x－1，∴y′|x＝1＝e0＋1×e0＝2.答案：C3．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A．0 B．1C．2 D．3解析：因为y′＝a－1x＋1，所以在点(0,0)处切线的斜率为a－1＝2，解得a＝3，故选D.答案：D4．设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为()A ．9x －y －16＝0B ．9x ＋y －16＝0C ．6x －y －12＝0D ．6x ＋y －12＝0解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －3，由于f ′(x )是偶函数，所以a ＝0，此时f ′(x )＝3x 2－3，f ′(2)＝9，f (2)＝2，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －2＝9(x －2)，即9x －y －16＝0.答案：A5．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．212B ．29C ．28D ．26解析：f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′，故f ′(0)＝a 1a 2…a 8＝(a 1a 8)4＝212.答案：A6．函数f (x )＝－1b e ax(a >0，b >0)的图象在x ＝0处的切线与圆x 2＋y 2＝1相切，则a ＋b 的最大值是( )A ．4B ．2 2 C. 2D ．2解析：f ′(x )＝－a b e ax ，所以x ＝0处的切线斜率k ＝f ′(0)＝－ab ，又f (0)＝－1b ，所以切线方程为y ＋1b ＝－ab (x －0)即ax ＋by ＋1＝0，由题意该直线与圆x 2＋y 2＝1相切，故1a 2＋b 2＝1即a 2＋b 2＝1，由a 2＋b 2≥(a ＋b )22得a ＋b ≤2，故最大值为 2.答案：C二、填空题7．函数y ＝f (x )的图象在点P (3，f (3))处的切线方程为y ＝x ＋2，f ′(x )为f (x )的导函数，则f (3)＋f ′(3)＝________.解析：(3，f (3))在切线y ＝x ＋2上，∴f (3)＝5，又f ′(3)＝1，∴f (3)＋f ′(3)＝6.答案：68．(2014·江西卷)若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．解析：设P (x 0，y 0)，∵y ＝e －x ，答案：(－ln2,2)9．若以曲线y ＝13x 3＋bx 2＋4x ＋c (c 为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，则实数b 的取值范围是________．解析：y ′＝x 2＋2bx ＋4，∵y ′≥0恒成立， ∴Δ＝4b 2－16≤0，∴－2≤b ≤2. 答案：[－2,2] 三、解答题10．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )． (1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或1.(2)∵曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，∴关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0，即4a 2＋4a ＋1>0， ∴a ≠－12.∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 11．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程．解：f ′(x )＝12x，g ′(x )＝ax (x >0)，由已知得：⎩⎨⎧x ＝a ln x 12x ＝a x，解得a ＝12e ，x ＝e 2.∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e)，切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e ，所以切线的方程为y －e ＝12e (x －e 2)，即x －2e y ＋e 2＝0.1．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1eD ．－1e解析：y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x 0，y 0)，则有k ＝f ′(x 0)＝1x 0，∴切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，又切线过点(0,0)，则x 0＝e ，y 0＝1，∴k ＝f ′(x 0)＝1x 0＝1e ，故选C.答案：C2．下列四个图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－4)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数y ＝f ′(x )的图象，则f (1)＝( )A.103B.43 C ．－23D ．1解析：∵f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－4)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)，则f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－4)，由a ≠0，结合导函数y ＝f ′(x )的图象知导函数图象为③，从而可知a 2－4＝0，解得a ＝－2或a ＝2，再结合－a >0知a ＝－2，代入可得函数f (x )＝13x 3＋(－2)x 2＋1，∴f (1)＝－23，故选C.答案：C3．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：(ⅰ)直线l 在点P (x 0，y 0)处与曲线C 相切；(ⅱ)曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的编号) ①直线l ：y ＝0在点P (0,0)处“切过”曲线C ：y ＝x 3②直线l ：x ＝－1在点P (－1,0)处“切过”曲线C ：y ＝(x ＋1)2 ③直线l ：y ＝x 在点P (0,0)处“切过”曲线C ：y ＝sin x④直线l ：y ＝x 在点P (0,0)处“切过”曲线C ：y ＝tan x ⑤直线l ：y ＝x －1在点P (1,0)处“切过”曲线C ：y ＝ln x 解析：对于①，y ′＝3x 2，y ′|x ＝0＝0，所以l ：y ＝0是曲线C ：y ＝x 3在点P (0,0)处的切线，画图可知曲线C ：y ＝x 3在点P (0,0)附近位于直线l 的两侧，①正确；②中，y ′＝2(x ＋1)，x ＝－1，y ′＝0，x ＝－1不是切线； ③中，y ′＝cos x ，x ＝0，y ′＝1，切线方程为y ＝x ，又x <0时，x <sin x ；x >0时，x >sin x ，符合；④中，y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x ，x ＝0，y ′＝1，切线为y ＝x .当x >0时，x >tan x ；当x <0时，x <tan x ，符合；⑤中，y ′＝1x ，x ＝1，y ′＝1，切线方程为y ＝x －1.当x <1时，x －1>ln x ；当x >1时，x －1>ln x ，不满足(ⅱ)．综述，①③④正确．答案：①③④4．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，又f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k 的值，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是y ＝g (x )的切线；如果存在，求出k 的值；如果不存在，说明理由．解：(1)因为f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，所以f ′(－1)＝0，即3a －6－6a ＝0，所以a ＝－2.(2)因为直线m 恒过点(0,9)．设切点为(x 0,3x 20＋6x 0＋12)，因为g ′(x 0)＝6x 0＋6.所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)，将点(0,9)代入得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9，当x0＝1时，切线方程为y＝12x ＋9.由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，即有x＝－1，x＝2.经检验，当x＝2时，y＝f(x)的切线方程为y＝9，∴y＝9是公切线，又由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，∴x＝0或x＝1，经检验，x＝0或x＝1不是公切线，∴k＝0时y＝9是两曲线的公切线．。

【红对勾】人教A版高中数学选修2-1课件：2-3-2-2 双曲线几何性质的应用

[点评] 对于弦长问题，主要是利用弦长公式，而弦长公式的应用，主要是利用根与系数的关系解
决．另外，在弦的问题中，经常遇到与弦的中点有关
的问题，这种问题经常用点差法解决．另外，要注意灵活转化，如垂直、相等的问题也可以转化成中点、弦长问题来解决．
迁移体验2
已知双曲线3x2－y2＝3，过P(2,1)点作
y1－ y2 y1＋ y2 即 · ＝ 3. x1－ x2 x1＋ x2 所以直线 AB 的斜率 y1－ y2 3 x1＋x2 kAB＝＝ x1－ x2 y1＋y2 3×4 3× 2 ＝＝＝ 6. 2 1 所以直线 AB 的方程为 6x－ y－11＝ 0.
(2)将 y＝ 6x－ 11 代入 3x2－ y2＝ 3，得 33x2－ 132x ＋ 124＝ 0. 由弦长公式 |AB|＝ 1＋ k2|x1－ x2| ＝ 1＋ k2 [x1＋ x22－ 4x1x2]得： |AB|＝ 1322－ 4· 33· 124 1＋ 36× ， 332
4 所以 |AB|＝ 2442. 33
类型三
直线与双曲线的综合问题
x2 2 [例 3] 设双曲线 C： 2－y ＝ 1(a>0)与直线 l： a x＋y＝1 相交于两个不同的点 A、B. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围； → 5→ (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，且PA＝ PB， 12 求 a 的值．
)
解析：过P与渐近线平行的直线与双曲线只有一个公共点，另外x＝1与双曲线只有一个公共点，∴l的条
数是3.
答案：B
3．直线 3x－y＋ 3＝0 被双曲线 x2－y2＝1 截得的弦 AB 的长为________．
解析：应用弦长公式．答案：2

2020年高考红对勾一轮复习理科数学人教版创新方案课件全书word - 副本2

(2019·安徽合肥一中模拟)如图,四棱锥P ABCD 中,E 为AD 的中点,PE ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为梯形,AB ∥CD ,AB ＝2DC ＝23,AC ∩BD ＝F ,且△P AD 与△ABD 均为正三角形,G 为△P AD 重心.(1)求证：GF ∥平面PDC ；(2)求三棱锥G PCD 的体积.解：(1)证明：连接AG 并延长交PD 于H ,连接CH .由四边形ABCD 是梯形,AB ∥CD ,且AB ＝2DC ,知AF FC ＝21,又G 为△P AD 的重心,∴AG GH ＝21,在△ACH 中,AG GH ＝AF FC ＝21,故GF ∥HC .又HC ⊂平面PDC ,GF ⊄平面PDC ,∴GF ∥平面PDC .(2)由AB ＝23,△P AD ,△ABD 为正三角形,E 为AD 中点得PE ＝3, 由(1)知GF ∥平面PDC ,又PE ⊥平面ABCD ,∴V G PCD ＝V F PCD ＝V P CDF ＝13·PE ·S △CDF , 由四边形ABCD 是梯形,AB ∥CD ,且AB ＝2DC ＝23,△ABD 为正三角形,知DF ＝13BD ＝233,∠CDF ＝∠ABD ＝60°,∴S △CDF ＝12CD ·DF ·sin ∠CDF ＝32,∴V P CDF ＝13PE ·S △CDF ＝32,∴三棱锥GPCD 的体积为32. 考点三面面平行的判定与性质如图所示,在三棱柱ABCA 1B 1C 1中,E ,F ,G ,H 分别是AB ,AC ,A 1B 1,A 1C 1的中点,求证：(1)B ,C ,H ,G 四点共面；(2)平面EF A 1∥平面BCHG .证明：(1)∵G ,H 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,∴GH 是△A 1B 1C 1的中位线,则GH ∥B 1C 1.又∵B 1C 1∥BC ,∴GH ∥BC ,∴B ,C ,H ,G 四点共面.(2)∵E ,F 分别为AB ,AC 的中点,∴EF ∥BC ,∵EF ⊄平面BCHG ,BC ⊂平面BCHG ,∴EF ∥平面BCHG .又G ,E 分别是A 1B 1,AB 的中点,A 1B 1綊AB ,∴A 1G 綊EB ,∴四边形A 1EBG 是平行四边形,∴A 1E ∥GB .∵A 1E ⊄平面BCHG ,GB ⊂平面BCHG ,∴A 1E ∥平面BCHG .又∵A 1E ∩EF ＝E ,∴平面EF A 1∥平面BCHG .【条件探究1】在本典例中,若将条件“E ,F ,G ,H 分别是AB ,AC ,A 1B 1,A 1C 1的中点”变为“点D ,D 1分别是AC ,A 1C 1上的点,且平面BC 1D ∥平面AB 1D 1”,试求AD DC 的值.解：连接A 1B 交AB 1于O ,连接OD 1.由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1,且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1,平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ,所以BC 1∥D 1O ,则A 1D 1D 1C 1＝A 1O OB ＝1. 又由题设A 1D 1D 1C 1＝DC AD , ∴DC AD ＝1,即AD DC ＝1.【条件探究2】在本典例中,若将条件“E ,F ,G ,H 分别是AB ,AC ,A 1B 1,A 1C 1的中点”变为“D 1,D 分别为B 1C 1,BC 的中点”,求证：平面A 1BD 1∥平面AC 1D .证明：如图所示,连接A1C交AC1于点M,∵四边形A1ACC1是平行四边形,∴M是A1C的中点,连接MD,∵D为BC的中点,∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1,DM⊄平面A1BD1,∴DM∥平面A1BD1,又由三棱柱的性质知,D1C1綊BD,∴四边形BDC1D1为平行四边形,∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1,BD1⊂平面A1BD1,∴DC1∥平面A1BD1,又DC1∩DM＝D,DC1,DM⊂平面AC1D,因此平面A1BD1∥平面AC1D.1.判定面面平行的四种方法(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用).(2)利用面面平行的判定定理(主要方法).(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用).(4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行(客观题可用).2.面面平行的应用(1)两平面平行,构造与之相交的第三个平面,可得交线平行.(2)两平面平行,其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行,可用于证明线面平行.(2019·唐山质检)如图所示,四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图所示,设DF与GN交于点O,连接AE,则AE必过点O,连接MO,则MO为△ABE的中位线,所以BE∥MO.因为BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF,所以BE∥平面DMF.(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DE ∥GN.因为DE⊄平面MNG,GN⊂平面MNG,所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点,所以MN为△ABD的中位线,所以BD∥MN.因为BD⊄平面MNG,MN⊂平面MNG,所以BD∥平面MNG.因为DE∩BD＝D,BD,DE⊂平面BDE,所以平面BDE∥平面MNG.1.(2018·浙江卷)已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的(A)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】:∵m⊄α,n⊂α,m∥n,∴m∥α,故充分性成立,而由m∥α,n⊂α,得m∥n或m与n异面,故必要性不成立,故选A.2.(2017·全国卷Ⅰ)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是(A)【解析】:解法一：B选项中,AB∥MQ,且AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,则AB∥平面MNQ；C选项中,AB∥MQ,且AB⊄平面MNQ,MQ ⊂平面MNQ,则AB∥平面MNQ；D选项中,AB∥NQ,且AB⊄平面MNQ,NQ⊂平面MNQ,则AB∥平面MNQ.故选A.解法二：A选项中(如图),连接CB交MN于D,连接DQ,则平面MNQ 与平面ABC的交线为DQ,在△ABC中,Q为AC的中点,而点D为CB 的四等分点,所以AB与DQ不平行,从而可知AB与平面MNQ不平行,故选A.3.(2016·全国卷Ⅱ)α,β是两个平面,m ,n 是两条直线,有下列四个命题：①如果m ⊥n ,m ⊥α,n ∥β,那么α⊥β.②如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n .③如果α∥β,m ⊂α,那么m ∥β.④如果m ∥n ,α∥β,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有②③④__.(填写所有正确命题的编号)【解析】:对于①,由m ⊥n ,m ⊥α可得n ∥α或n 在α内,当n ∥β时,α与β可能相交,也可能平行,故①错误；对于②,过直线n 作平面与平面α交于直线c ,由n ∥α可知n ∥c ,∵m ⊥α,∴m ⊥c ,∴m ⊥n ,故②正确；对于③,由两个平面平行的性质可知正确；对于④,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确的有②③④.4.(2018·全国卷Ⅲ)如图,矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD ︵所在平面垂直,M 是CD ︵上异于C ,D 的点.(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)在线段AM 上是否存在点P ,使得MC ∥平面PBD ？说明理由.解：(1)证明：∵平面ABCD 与半圆弧CD ︵所在平面垂直,平面ABCD ∩平面DMC ＝DC ,且AD ⊥DC ,∴AD ⊥平面MCD .∵CM ⊂平面MCD ,∴AD ⊥CM .∵M 是半圆弧CD ︵上异于C ,D 的点,∴CM ⊥MD .又DM ∩AD ＝D ,且DM ,AD ⊂平面ADM ,∴CM ⊥平面ADM .∵CM ⊂平面BMC ,∴平面AMD ⊥平面BMC .(2)线段AM 上存在点P 且P 为AM 的中点,理由如下：如图,连接BD ,AC 交于点O,则O 为AC 的中点,连接PD ,PB ,PO .∵在矩形ABCD 中,O 是AC 的中点,P 是AM 的中点,∴OP ∥MC .∵OP ⊂平面PBD ,MC ⊄平面PBD ,∴MC ∥平面PBD .第5节直线、平面垂直的判定及其性质考点一直线与平面垂直的判定与性质(1)(2019·湖南益阳模拟)如图所示,在四棱锥P ABCD中,平面P AB⊥平面ABCD,AD∥BC,AD＝2BC,∠DAB＝∠ABP＝90°.①求证：AD⊥平面P AB；②求证：AB⊥PC.证明：①因为∠DAB＝90°,所以AD⊥AB.因为平面P AB⊥平面ABCD,且平面P AB∩平面ABCD＝AB,所以AD⊥平面P AB.②由①知AD⊥AB,因为AD∥BC,所以BC⊥AB.又因为∠ABP＝90°,所以PB⊥AB.因为PB∩BC＝B,所以AB⊥平面PBC,因为PC⊂平面PBC,所以AB⊥PC.(2)如图所示,在四棱锥P ABCD中,P A⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC ⊥CD,∠ABC＝60°,P A＝AB＝BC,E是PC的中点.证明：①CD⊥AE；②PD⊥平面ABE.证明：①在四棱锥P ABCD中,∵P A⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴P A⊥CD.又∵AC⊥CD,P A∩AC＝A,P A,AC⊂平面P AC,∴CD⊥平面P AC.而AE⊂平面P AC,∴CD⊥AE.②由P A＝AB＝BC,∠ABC＝60°,可得AC＝P A.∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.由①知AE⊥CD,且PC∩CD＝C,PC,CD⊂平面PCD,∴AE⊥平面PCD,而PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD,且P A∩AD＝A,∴AB⊥平面P AD,而PD⊂平面P AD,∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A,AB,AE⊂平面ABE,∴PD⊥平面ABE.【结论探究】在本典例(1)中,若点E在棱PD上,且CE∥平面P AB,求PEPD的值.解：过E作EF∥AD交P A于F,连接BF.因为AD∥BC,所以EF∥BC.所以E,F,B,C四点共面.又因为CE∥平面P AB,且CE⊂平面BCEF,平面BCEF∩平面P AB＝BF,所以CE∥BF, 所以四边形BCEF为平行四边形,所以EF＝BC＝12AD.在△P AD中,因为EF∥AD,所以PEPD＝EFAD＝12,即PEPD＝12.证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.(2019·广东茂名模拟)如图,在三棱锥P ABC中,P A⊥AC,PC⊥BC,M为PB的中点,D为AB的中点,且△AMB为正三角形.(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)若P A ＝2BC ,三棱锥PABC 的体积为1,求点B 到平面DCM的距离.解：(1)证明：在正三角形AMB 中,D 是AB 的中点,所以MD ⊥AB .因为M 是PB 的中点,D 是AB 的中点,所以MD ∥P A ,故P A ⊥AB .又P A ⊥AC ,AB ∩AC ＝A ,AB ,AC ⊂平面ABC ,所以P A ⊥平面ABC .因为BC ⊂平面ABC ,所以P A ⊥BC .又PC ⊥BC ,P A ∩PC ＝P ,P A ,PC ⊂平面P AC ,所以BC ⊥平面P AC .(2)设AB ＝x ,则MD ＝32x ,P A ＝3x ,由P A ＝2BC ,得BC ＝32x ,由(1)可知BC ⊥平面P AC ,又AC ⊂平面P AC ,所以BC ⊥AC ,所以AC ＝12x ,由三棱锥P ABC 的体积为 V ＝13·S △ABC ·P A ＝18x 3＝1,得x ＝2.设点B 到平面DCM 的距离为h .因为△AMB 为正三角形,所以AB ＝MB ＝2.因为BC ＝3,BC ⊥AC ,AC ＝1.所以S △BCD ＝12S △ABC ＝12×12·BC ·AC ＝12×12×3×1＝34.因为MD ＝3,由(1)知MD ∥P A ,P A ⊥平面ABC ,所以MD ⊥平面ABC ,因为DC ⊂平面ABC ,所以MD ⊥DC .在△ABC 中,CD ＝12AB ＝1,所以S △MCD ＝12·MD ·CD ＝12×3×1＝32. 因为V M BCD ＝V B MCD , 所以13S △BCD ·MD ＝13S △MCD ·h , 即13×34×3＝13×32×h ,所以h ＝32.故点B 到平面DCM 的距离为32.考点二面面垂直的判定与性质(2018·江苏卷)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝AB ,AB 1⊥B 1C 1.求证：(1)AB ∥平面A 1B 1C ；(2)平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .证明：(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C,所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1＝AB,所以四边形ABB1A1为菱形,所以AB1⊥A1B.因为AB1⊥B1C1,BC∥B1C1,所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC＝B,A1B⊂平面A1BC,BC⊂平面A1BC,所以AB1⊥平面A1BC.又因为AB1⊂平面ABB1A1,所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.1.判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β).2.证面面垂直的思路(1)关键是考虑证哪条线垂直哪个面.这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑.(2)条件中告诉我们某种位置关系,就要联系到相应的性质定理,如已知两平面互相垂直,我们就要联系到两平面互相垂直的性质定理.(3)在垂直关系的证明中,线线垂直是问题的核心,可以根据已知的平面图形通过计算的方式(如勾股定理)证明线线垂直,也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直.(2019·安徽淮北一中模拟)如图,四棱锥P ABCD的底面是矩形,P A⊥平面ABCD,E,F分别是AB,PD的中点,且P A＝AD.(1)求证：AF ∥平面PEC ；(2)求证：平面PEC ⊥平面PCD .证明：(1)取PC 的中点G ,连接FG 、EG ,∵F 为PD 的中点,G 为PC 的中点,∴FG 为△CDP 的中位线,∴FG ∥CD ,FG ＝12CD .∵四边形ABCD 为矩形,E 为AB 的中点,∴AE ∥CD ,AE ＝12CD .∴FG ＝AE ,FG ∥AE ,∴四边形AEGF 是平行四边形,∴AF ∥EG ,又EG ⊂平面PEC ,AF ⊄平面PEC ,∴AF ∥平面PEC .(2)∵P A ＝AD ,F 为PD 的中点,∴AF ⊥PD ,∵P A ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,∴P A ⊥CD ,又∵CD ⊥AD ,AD ∩P A ＝A ,∴CD⊥平面P AD,∵AF⊂平面P AD,∴CD⊥AF,又PD∩CD＝D,∴AF⊥平面PCD,由(1)知EG∥AF,∴EG⊥平面PCD,又EG⊂平面PEC,∴平面PEC⊥平面PCD.考点三平行与垂直的综合问题角度1 平行、垂直中的探索性问题如图所示,平面ABCD⊥平面BCE,四边形ABCD为矩形,BC＝CE,点F为CE的中点.(1)证明：AE∥平面BDF.(2)点M为CD上任意一点,在线段AE上是否存在点P,使得PM⊥BE？若存在,确定点P的位置,并加以证明；若不存在,请说明理由.解：(1)证明：连接AC交BD于O,连接OF,如图①.图①∵四边形ABCD是矩形,∴O为AC的中点, 又F为EC的中点,∴OF为△ACE的中位线,∴OF∥AE,又OF⊂平面BDF,AE⊄平面BDF,∴AE∥平面BDF.(2)当P为AE中点时,有PM⊥BE,证明如下：取BE中点H,连接DP,PH,CH.图②∵P为AE的中点,H为BE的中点,∴PH∥AB.又AB∥CD,∴PH∥CD,∴P,H,C,D四点共面.∵平面ABCD⊥平面BCE,平面ABCD∩平面BCE＝BC,CD⊂平面ABCD,CD⊥BC.∴CD⊥平面BCE,又BE⊂平面BCE,∴CD⊥BE,∵BC＝CE,H为BE的中点,∴CH⊥BE,又CD∩CH＝C,∴BE⊥平面DPHC,又PM⊂平面DPHC,∴BE⊥PM,即PM⊥BE.角度2 折叠问题中的平行与垂直关系如图(1)所示,在Rt△ABC中,∠ABC＝90°,D为AC的中点,AE⊥BD于点E(不同于点D),延长AE交BC于点F,将△ABD沿BD 折起,得到三棱锥A1BCD,如图(2)所示.(1)若M是FC的中点,求证：直线DM∥平面A1EF.(2)求证：BD⊥A1F.(3)若平面A1BD⊥平面BCD,试判断直线A1B与直线CD能否垂直？请说明理由.解：(1)证明：∵D,M分别为AC,FC的中点,∴DM∥EF,又∵EF⊂平面A1EF,DM⊄平面A1EF,∴DM∥平面A1EF.(2)证明：∵EF⊥BD,A1E⊥BD,A1E∩EF＝E,A1E,EF⊂平面A1EF,∴BD⊥平面A1EF,又A1F⊂平面A1EF,∴BD⊥A1F.(3)直线A1B与直线CD不能垂直.理由如下：∵平面BCD⊥平面A1BD,平面BCD∩平面A1BD＝BD,EF⊥BD,EF ⊂平面CBD,∴EF⊥平面A1BD,又∵A1B⊂平面A1BD,∴A1B⊥EF,又∵DM∥EF,∴A1B⊥DM.假设A1B⊥CD,∵DM∩CD＝D,∴A1B⊥平面MCD,∴A1B⊥BD,与∠A1BD为锐角矛盾,∴直线A1B与直线CD不能垂直.角度3 空间位置关系与几何体的度量计算(2018·天津卷)如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB的中点,AB＝2,AD＝23,∠BAD＝90°.(1)求证：AD⊥BC；(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值；(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.解：(1)证明：由平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD＝AB,AD⊥AB,可得AD⊥平面ABC,故AD⊥BC.(2)如图,取棱AC的中点N,连接MN,ND.又因为M 为棱AB 的中点,所以MN ∥BC .所以∠DMN (或其补角)为异面直线BC 与MD 所成的角.在Rt △DAM 中,AM ＝1,故DM ＝AD 2＋AM 2＝13.因为AD ⊥平面ABC ,所以AD ⊥AC .在Rt △DAN 中,AN ＝1,故DN ＝AD 2＋AN 2＝13.在等腰三角形DMN 中,MN ＝1,可得cos ∠DMN ＝12MN DM ＝1326.所以,异面直线BC 与MD 所成角的余弦值为1326.(3)如图,连接CM .因为△ABC 为等边三角形,M 为边AB 的中点, 所以CM ⊥AB ,CM ＝ 3.又因为平面ABC ⊥平面ABD ,而CM ⊂平面ABC ,故CM ⊥平面ABD ,所以,∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角.在Rt △CAD 中,CD ＝AC 2＋AD 2＝4.在Rt △CMD 中,sin ∠CDM ＝CM CD ＝34.所以,直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为34.1.与探索性问题有关的解题策略(1)求条件探索性问题的主要途径：①先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性.(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明,探索点存在问题,点多为中点或三等分点中某一个,也可以根据相似知识建点.2.证明折叠问题中的平行与垂直,关键是分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变.一般地,折叠前位于“折痕”同侧的点、线间的位置和数量关系折叠后不变,而折叠前位于“折痕”两侧的点、线间的位置关系折叠后会发生变化.对于不变的关系可在平面图形中处理,而对于变化的关系则要在立体图形中解决.3. 利用综合法求空间线线角、线面角、二面角一定注意“作角、证明、计算”是完整统一过程,缺一不可.(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影,关键是作垂线,找垂足,要把线面角转化到一个三角形中求解.(2)二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有：①定义法；②垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.如图,在四棱锥P ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面P AC.(2)求证：平面P AB⊥平面P AC.(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得P A∥平面CEF？说明理由.解：(1)证明：因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.又因为DC⊥AC,且PC∩AC＝C,所以DC⊥平面P AC.(2)证明：因为AB∥DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥AB.又因为PC∩AC＝C,所以AB⊥平面P AC.又AB⊂平面P AB,所以平面P AB⊥平面P AC.(3)棱PB上存在点F,使得P A∥平面CEF.理由如下：取PB的中点F,连接EF,CE,CF.因为E为AB的中点,所以EF∥P A.又因为P A⊄平面CEF,且EF⊂平面CEF,所以P A∥平面CEF.1.(2018·全国卷Ⅰ)如图,在平行四边形ABCM中,AB＝AC＝3,∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB ⊥DA.(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点,P 为线段BC 上一点,且BP ＝DQ ＝23DA ,求三棱锥Q ABP 的体积.解：(1)证明：由已知可得,∠BAC ＝90°,即BA ⊥AC .又BA ⊥AD ,所以AB ⊥平面ACD .又AB ⊂平面ABC ,所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)解：由已知可得,DC ＝CM ＝AB ＝3,DA ＝3 2.又BP ＝DQ ＝23DA ,所以BP ＝2 2.如图,过点Q 作QE ⊥AC ,垂足为E ,则QE 綊13DC .由已知及(1)可得,DC ⊥平面ABC ,所以QE ⊥平面ABC ,QE ＝1.因此,三棱锥Q -ABP 的体积为V Q -ABP ＝13×S △ABP ×QE ＝13×12×3×22sin 45°×1＝1. 2.(2016·江苏卷)如图,在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中,D ,E 分别为AB ,BC 的中点,点F 在侧棱B 1B 上,且B 1D ⊥A 1F ,A 1C 1⊥A 1B 1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明：(1)在直三棱柱ABC A1B1C1中,A1C1∥AC.在△ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DE∥AC,于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F,所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC A1B1C1中,A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1,所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1,A1A⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,A1A∩A1B1＝A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F,A1C1⊂平面A1C1F,A1F⊂平面A1C1F,A1C1∩A1F ＝A1,所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C1F.3.(2018·浙江卷)如图,已知多面体ABC A1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC＝120°,A1A＝4,C1C＝1,AB＝BC＝B1B＝2.(1)证明：AB1⊥平面A1B1C1；(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.解：(1)证明：由题意得BB1⊥AB,CC1⊥BC,AA1⊥AB,所以△ABB1为直角三角形,四边形BCC1B1为直角梯形.所以AB1＝2 2.在△ABC中,AB＝2,BC＝2,∠ABC＝120°,由余弦定理得AC＝2 3.在△ACC1中,由勾股定理得AC1＝13.同理,A1B1＝2 2.在直角梯形BCC1B1中可得B1C1＝5,则A1B21＋AB21＝AA21,所以∠AB1A1＝90°,所以AB1⊥A1B1.同理,AB1⊥B1C1.又A1B1∩B1C1＝B1,所以AB1⊥平面A1B1C1.(2)如图,作CH⊥AB,垂足为H,结合CH⊥BB1知CH⊥平面A1ABB1.又CC1∥平面AA1B1B,所以CH为C1到平面A1ABB1的距离.在△BCH 中得∠CBH＝60°,BC＝2,所以CH＝3,所以直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值为CH AC1＝313＝3913.第6节空间向量的运算及应用考点一空间向量的线性运算如图所示,在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中,设AA 1→＝a ,AB →＝b ,AD →＝c ,M ,N ,P 分别是AA 1,BC ,C 1D 1的中点,试用a ,b ,c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→.解：(1)∵P 是C 1D 1的中点,∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)∵N 是BC 的中点,∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点,∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c ,又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ,∴MP →＋NC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12c ＝32a ＋12b ＋32c. 用已知向量表示某一向量的方法(1)用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则,向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立.(1)如图,在三棱锥OABC 中,M ,N 分别是AB ,OC 的中点,设OA →＝a ,OB →＝b ,OC →＝c ,用a ,b ,c 表示NM →,则NM →等于( B)A.12(－a ＋b ＋c )B.12(a ＋b －c )C.12(a －b ＋c )D.12(－a －b ＋c )【解析】:NM →＝NA →＋AM →＝(OA →－ON →)＋12AB →＝OA →－12OC →＋12(OB →－OA →)＝12OA →＋12OB →－12OC →＝12(a ＋b －c ).(2)如图所示,在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,O 为AC 的中点.用AB →,AD →,AA 1→表示OC 1→,则OC 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→.【解析】:∵OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →),∴OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→.考点二共线、共面向量定理的应用如图所示,已知斜三棱柱ABC A 1B 1C 1,点M ,N 分别在AC 1和BC 上,且满足AM →＝kAC 1→,BN →＝kBC →(0≤k ≤1).(1)向量MN →是否与向量AB →,AA 1→共面？(2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？解：(1)∵AM →＝kAC 1→,BN →＝kBC →,∴MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝kC 1A →＋AB →＋kBC →＝k (C 1A →＋BC →)＋AB →＝k (C 1A →＋B 1C 1→)＋AB →＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→＝AB →－k (AA 1→＋AB →)＝(1－k )AB →－kAA 1→.∴由共面向量定理知向量MN →与向量AB →,AA 1→共面.(2)当k ＝0时,点M ,A 重合,点N ,B 重合,MN 在平面ABB 1A 1内, 当0＜k ≤1时,MN 不在平面ABB 1A 1内, 又由(1)知MN →与AB →,AA 1→共面, ∴MN ∥平面ABB 1A 1.1.证明空间三点P ,A ,B 共线的方法(1)P A →＝λPB →(λ∈R )；(2)对空间任一点O ,OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )； (3)对空间任一点O ,OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1). 2.证明空间四点P ,M ,A ,B 共面的方法 (1)MP →＝xMA →＋yMB →；(2)对空间任一点O ,OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →；(3)对空间任一点O ,OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →(x ＋y ＋z ＝1)； (4)PM →∥AB →(或P A →∥MB →或PB →∥AM →).已知E ,F ,G ,H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 的中点.①求证：E ,F ,G ,H 四点共面； ②求证：BD ∥平面EFGH ；③设M 是EG 和FH 的交点,求证：对空间任一点O ,有OM →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →).证明：①如图,连接BG ,则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →) ＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →,由共面向量定理的推论知：E ,F ,G ,H 四点共面. ②因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB → ＝12(AD →－AB →)＝12BD →, 所以EH ∥BD .又因为EH ⊂平面EFGH ,BD ⊄平面EFGH ,所以BD ∥平面EFGH .③找一点O ,并连接OM ,OA ,OB ,OC ,OD ,OE ,OG ,如图所示. 由②知EH →＝12BD →,同理FG →＝12BD →, 所以EH →＝FG →,即EH 綊FG , 所以四边形EFGH 是平行四边形. 所以EG ,FH 交于一点M 且被M 平分. 故OM →＝12(OE →＋OG →)＝12OE →＋12OG → ＝12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(OA →＋OB →)＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫OC →＋OD →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →).考点三空间向量数量积及应用如图所示,已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1,点E ,F ,G 分别是AB ,AD ,CD 的中点,计算：(1)EF →·BA →. (2)EG →·BD →.解：设AB →＝a ,AC →＝b ,AD →＝c ,则|a |＝|b |＝|c |＝1,〈a ,b 〉＝〈b ,c 〉＝〈c ,a 〉＝60°. (1)EF →＝12BD →＝12c －12a ,BA →＝－a ,所以EF →·BA →＝⎝⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a )＝－12a ·c ＋12a 2＝－14＋12＝14.(2)EG →＝EB →＋BC →＋CG →＝12AB →＋(AC →－AB →)＋12(AD →－AC →) ＝－12AB →＋12AC →＋12AD → ＝－12a ＋12b ＋12c , BD →＝AD →－AB →＝c －a .所以EG →·BD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b ＋12c ·(c －a )＝12a 2－12a ·b ＋12b ·c ＋12c 2－a ·c ＝12－14＋14＋12－12＝12.【结论探究1】本典例条件不变,求证：EG ⊥AB . 证明：由例3知EG →＝12(AC →＋AD →－AB →)＝12(b ＋c －a ), 所以EG →·AB →＝12(a ·b ＋a ·c －a 2) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1×1×12＋1×1×12－1＝0.故EG →⊥AB →,即EG ⊥AB .【结论探究2】本典例的条件不变,求EG 的长.解：由例3知EG →＝－12a ＋12b ＋12c ,|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a ·b ＋12b ·c －12c ·a ＝12, 则|EG →|＝22,即EG 的长为22.【结论探究3】本典例的条件不变,求异面直线AG 和CE 所成角的余弦值.解：由例3知AG →＝12b ＋12c ,CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a , cos 〈AG →,CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝－23,由于异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2, 所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.1.空间向量数量积计算的两种方法(1)基向量法：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ,b 〉.(2)坐标法：设a ＝(x 1,y 1,z 1),b ＝(x 2,y 2,z 2),则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2. 2.空间向量数量积的三个应用如图,已知平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是边长为1的正方形,AA 1＝2,∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.(1)求线段AC 1的长；(2)求异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值； (3)求证：AA 1⊥BD .解：(1)设AB →＝a ,AD →＝b ,AA 1→＝c ,则|a |＝|b |＝1,|c |＝2,a ·b ＝0,c ·a ＝c ·b ＝2×1×cos120°＝－1. ∵AC 1→＝AC →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝a ＋b ＋c , ∴|AC 1→|＝|a ＋b ＋c |＝(a ＋b ＋c )2 ＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝12＋12＋22＋2(0－1－1)＝ 2. ∴线段AC 1的长为 2.(2)设异面直线AC 1与A 1D 所成的角为θ, 则cos θ＝|cos 〈AC 1→,A 1D →〉|＝|AC 1→·A 1D →||AC 1→||A 1D →|.∵AC 1→＝a ＋b ＋c ,A 1D →＝b －c , ∴AC 1→·A 1D →＝(a ＋b ＋c )·(b －c )＝a ·b －a ·c ＋b 2－c 2＝0＋1＋12－22＝－2, |A 1D →|＝(b －c )2＝|b |2－2b ·c ＋|c |2 ＝12－2×(－1)＋22＝7. ∴cos θ＝|AC 1→·A 1D →||AC 1→||A 1D →|＝|－2|2×7＝147.故异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值为147. (3)证明：∵AA 1→＝c ,BD →＝b －a ,∴AA 1→·BD →＝c ·(b －a )＝c ·b －c ·a ＝(－1)－(－1)＝0, ∴AA 1→⊥BD →,即AA 1⊥BD .1.(2015·浙江卷)已知e 1,e 2是空间单位向量,e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足b ·e 1＝2,b ·e 2＝52,且对于任意x ,y ∈R ,|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0,y 0∈R ),则x 0＝1__,y 0＝2__,|b |＝22 .【解析】:方法一：由题意可令b ＝x 0e 1＋y 0e 2＋e 3,其中e 3⊥e i ,i ＝1,2, 由b·e 1＝2得x 0＋y 02＝2, 由b·e 2＝52得x 02＋y 0＝52,解得x 0＝1,y 0＝2,∴|b |＝(e 1＋2e 2＋e 3)2＝2 2.方法二：∵e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 〈e 1,e 2〉＝cos 〈e 1,e 2〉＝12, ∴〈e 1,e 2〉＝π3.不妨设e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0,e 2＝(1,0,0),b ＝(m ,n ,t ),则由题意知b ·e 1＝12m ＋32n ＝2,b·e 2＝m ＝52,解得n ＝32,m ＝52,∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，t .∵b －(x e 1＋y e 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12x －y ，32－32x ，t ,∴|b －(x e 1＋y e 2)|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12x －y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－32x 2＋t 2＝x 2＋xy ＋y 2－4x －5y ＋t 2＋7＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2, 由题意,当x ＝x 0＝1,y ＝y 0＝2时,⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2取到最小值1,此时t 2＝1,故|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋t 2＝8＝2 2. 2.(2018·北京卷)如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,CC 1⊥平面ABC ,D ,E ,F ,G 分别为AA 1,AC ,A 1C 1,BB 1的中点,AB ＝BC ＝5,AC ＝AA 1＝2.(1)求证：AC⊥平面BEF；(2)求二面角B-CD-C1的余弦值；(3)证明：直线FG与平面BCD相交.解：(1)证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中,因为CC1⊥平面ABC,所以四边形A1ACC1为矩形.又E,F分别为AC,A1C1的中点,所以AC⊥EF.因为AB＝BC,所以AC⊥BE,所以AC⊥平面BEF.(2)解：由(1)知AC⊥EF,AC⊥BE,EF∥CC1.又CC1⊥平面ABC,所以EF⊥平面ABC.因为BE⊂平面ABC,所以EF⊥BE.如图,建立空间直角坐标系E-xyz.由题意得B(0,2,0),C(－1,0,0),D(1,0,1),E(0,0,0),F(0,0,2),G(0,2,1).所以BC →＝(－1,－2,0),BD →＝(1,－2,1). 设平面BCD 的法向量为n ＝(x 0,y 0,z 0),则⎩⎨⎧n ·BC →＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋2y 0＝0，x 0－2y 0＋z 0＝0. 令y 0＝－1,则x 0＝2,z 0＝－4. 于是n ＝(2,－1,－4).又因为平面CC 1D 的法向量为EB →＝(0,2,0), 所以cos 〈n ,EB →〉＝n ·EB →|n ||EB →|＝－2121.由题知二面角B -CD -C 1为钝角, 所以其余弦值为－2121.(3)证明：由(2)知平面BCD 的法向量为n ＝(2,－1,－4),FG →＝(0,2,－1).因为n ·FG →＝2×0＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝2≠0, 所以直线FG 与平面BCD 相交.第7节立体几何中的向量方法考点一利用空间向量证明平行问题如图,在四面体ABCD 中,AD ⊥平面BCD ,BC ⊥CD ,AD ＝2,BD ＝22,M 是AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且AQ ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .证明：方法一如图,取BD 的中点O ,以O 为原点,OD ,OP 所在直线分别为y ,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系Oxyz .由题意知,A (0,2,2),B (0,－2,0),D (0,2,0). 设点C 的坐标为(x 0,y 0,0).因为AQ →＝3QC →,所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，12.因为M 为AD 的中点,故M (0,2,1). 又P 为BM 的中点,故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12,所以PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0.又平面BCD 的一个法向量为a ＝(0,0,1), 故PQ →·a ＝0.又PQ ⊄平面BCD ,所以PQ ∥平面BCD . 方法二在线段CD 上取点F ,使得DF ＝3FC , 连接OF ,同方法一建立空间直角坐标系, 写出点A ,B ,C 的坐标,设点C 坐标为(x 0,y 0,0). 因为CF →＝14CD →,设点F 的坐标为(x ,y,0), 则(x －x 0,y －y 0,0)＝14(－x 0,2－y 0,0),所以⎩⎨⎧x ＝34x 0，y ＝24＋34y 0，所以OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0.又由方法一知PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0,所以OF →＝PQ →,所以PQ ∥OF . 又PQ ⊄平面BCD ,OF ⊂平面BCD , 所以PQ ∥平面BCD .利用空间向量证明平行的方法如图所示,平面P AD ⊥平面ABCD ,ABCD 为正方形,△P AD 是直角三角形,且P A ＝AD ＝2,E ,F ,G 分别是线段P A ,PD ,CD 的中点.求证：PB ∥平面EFG .证明：∵平面P AD ⊥平面ABCD ,ABCD 为正方形,△P AD 是直角三角形,且P A ＝AD ,∴AB ,AP ,AD 两两垂直,以A 为坐标原点,AB ,AD ,AP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A (0,0,0),B (2,0,0),C (2,2,0),D (0,2,0),P (0,0,2),E (0,0,1),F (0,1,1),G (1,2,0).∴PB →＝(2,0,－2),FE →＝(0,－1,0),FG →＝(1,1,－1), 设PB →＝sFE →＋tFG →,即(2,0,－2)＝s (0,－1,0)＋t (1,1,－1), ∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2,∴PB →＝2FE →＋2FG →,又∵FE →与FG →不共线,∴PB →,FE →与FG →共面. ∵PB ⊄平面EFG ,∴PB ∥平面EFG .考点二利用空间向量证明垂直问题如图,已知AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,△ACD 为等边三角形,AD ＝DE ＝2AB .求证：平面BCE ⊥平面CDE .证明：设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ,建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ,则A (0,0,0),C (2a,0,0),B (0,0,a ),D (a ,3a ,0),E (a ,3a,2a ). 所以BE →＝(a ,3a ,a ),BC →＝(2a,0,－a ), CD →＝(－a ,3a,0),ED →＝(0,0,－2a ). 设平面BCE 的法向量为n 1＝(x 1,y 1,z 1), 由n 1·BE →＝0,n 1·BC →＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧ ax 1＋3ay 1＋az 1＝0，2ax 1－az 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋3y 1＋z 1＝0，2x 1－z 1＝0. 令z 1＝2,可得n 1＝(1,－3,2). 设平面CDE 的法向量为n 2＝(x 2,y 2,z 2), 由n 2·CD →＝0,n 2·ED →＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧ －ax 2＋3ay 2＝0，－2az 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3y 2＝0，z 2＝0.令y 2＝1,可得n 2＝(3,1,0). 因为n 1·n 2＝1×3＋1×(－3)＝0. 所以n 1⊥n 2,所以平面BCE ⊥平面CDE .【结论探究】本典例中条件不变,点F 是CE 的中点,证明DF ⊥平面BCE .证明：易得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，a ,则DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，－32a ，a ,又平面BCE的一个法向量为n 1＝(1,－3,2),则DF →＝a 2n 1,即DF →∥n 1,从而DF ⊥平面BCE .用空间向量证明垂直问题的方法如图所示,已知四棱锥PABCD 的底面是直角梯形,∠ABC ＝∠BCD ＝90°,AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ,侧面PBC ⊥底面ABCD .证明：(1)P A ⊥BD ；(2)平面P AD ⊥平面P AB .证明：(1)取BC 的中点O ,连接PO ,∵平面PBC ⊥底面ABCD ,△PBC 为等边三角形, 平面PBC ∩底面ABCD ＝BC ,PO ⊂平面PBC , ∴PO ⊥底面ABCD .以BC 的中点O 为坐标原点,以BC 所在直线为x 轴,过点O 与AB 平行的直线为y 轴,OP 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示.不妨设CD ＝1,则AB ＝BC ＝2,PO ＝3, ∴A (1,－2,0),B (1,0,0),D (－1,－1,0),P (0,0,3), ∴BD →＝(－2,－1,0),P A →＝(1,－2,－3).∵BD →·P A →＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0, ∴P A →⊥BD →,∴P A ⊥BD .(2)取P A 的中点M ,连接DM ,则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，32.∵DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32,PB →＝(1,0,－3),∴DM →·PB →＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0, ∴DM →⊥PB →,即DM ⊥PB .∵DM →·P A →＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0, ∴DM →⊥P A →,即DM ⊥P A .又∵P A ∩PB ＝P ,P A ,PB ⊂平面P AB , ∴DM ⊥平面P AB .∵DM ⊂平面P AD ,∴平面P AD ⊥平面P AB .考点三用空间向量解决探索性问题角度1 与平行有关的探索性问题如图,在四棱锥P ABCD 中,平面P AD ⊥平面ABCD ,P A ⊥PD ,P A ＝PD ,AB ⊥AD ,AB ＝1,AD ＝2,AC ＝CD ＝ 5.(1)求证：PD ⊥平面P AB ；(2)在棱P A 上是否存在点M ,使得BM ∥平面PCD ？若存在,求AMAP 的值；若不存在,说明理由.解：(1)证明：因为平面P AD ⊥平面ABCD ,平面P AD ∩平面ABCD＝AD ,AB ⊥AD ,AB ⊂平面ABCD ,所以AB ⊥平面P AD .所以AB ⊥PD . 又因为P A ⊥PD ,P A ∩AB ＝A , 所以PD ⊥平面P AB .(2)取AD 的中点O ,连接PO ,CO . 因为P A ＝PD ,所以PO ⊥AD .又因为PO ⊂平面P AD ,平面P AD ⊥平面ABCD , 所以PO ⊥平面ABCD .因为CO ⊂平面ABCD ,所以PO ⊥CO . 因为AC ＝CD ,所以CO ⊥AD . 故PO ,CO ,OA 两两垂直. 建立如图所示空间直角坐标系Oxyz.由题意得,A (0,1,0),B (1,1,0),C (2,0,0),D (0,－1,0),P (0,0,1). AP →＝(0,－1,1),DC →＝(2,1,0),DP →＝(0,1,1). 设平面PCD 的一个法向量n ＝(x ,y ,z ),则⎩⎨⎧DC →·n ＝0，DP →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，y ＋z ＝0，令x ＝1,得y ＝－2,z ＝2.所以平面PCD 的一个法向量n ＝(1,－2,2). 设M 是棱P A 上一点,则存在λ∈[0,1],使得AM →＝λAP →, 因此点M (0,1－λ,λ),BM →＝(－1,－λ,λ). 因为BM ⊄平面PCD ,所以要使BM ∥平面PCD ,当且仅当BM →·n ＝0, 即(－1,－λ,λ)·(1,－2,2)＝0,所以－1＋4λ＝0, 解得λ＝14.所以在棱P A 上存在点M 使得BM ∥平面PCD ,此时AM AP ＝14. 角度2 与垂直有关的探索性问题如图,正方形ADEF 所在平面和等腰梯形ABCD 所在的平面互相垂直,已知BC ＝4,AB ＝AD ＝2.(1)求证：AC ⊥BF ；(2)在线段BE 上是否存在一点P ,使得平面P AC ⊥平面BCEF ？若存在,求出BPPE 的值；若不存在,请说明理由.解：(1)证明：∵平面ADEF ⊥平面ABCD ,平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ,AF ⊥AD ,AF ⊂平面ADEF ,∴AF ⊥平面ABCD .∵AC ⊂平面ABCD ,∴AF ⊥AC .过A 作AH ⊥BC 于H ,则BH ＝1,AH ＝3,CH ＝3,。

【红对勾】高中数学 2-1-2 求曲线的方程课时作业新人教A版选修2-1(1)

课时作业9 求曲线的方程时刻：45分钟分值：100分一、选择题(每题6分，共36分)1．假设点M 到两坐标轴的距离的积为2020，那么点M 的轨迹方程是( )A ．xy ＝2020B ．xy ＝－2020C ．xy ＝±2020D ．xy ＝±2020(x>0)答案：C2．已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P 知足|PA|＝3|PO|，那么点P 的轨迹方程是( )A ．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0B ．8x 2＋8y 2－2x －4y －5＝0C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝0解析：设P 点的坐标为(x ，y)，那么x －12＋y ＋22＝3x 2＋y 2，整理得8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0.答案：A3．已知M(－2,0)，N(2,0)，那么以MN 为斜边的直角三角形的直角极点P 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝2(x≠±2)D ．x 2＋y 2＝4(x≠±2)解析：设P(x ，y)，因为△MPN 为直角三角形，∴MP 2＋NP 2＝MN 2，∴(x＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝16，整理得：x 2＋y 2＝4.∵M、N 、P 不共线，∴x≠±2，∴轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x≠±2)．答案：D4．已知A 、B 两点的坐标别离为(0，－5)和(0,5)，直线MA 与MB 的斜率之积为－49，那么M 的轨迹方程是( )A .x 225＋y 21009＝1B .x 225＋y 21009＝1(x≠±5) C .x 22254＋y 225＝1 D .x 22254＋y 225＝1(x≠0) 解析：设M 的坐标为(x ，y)，那么k MA ＝y ＋5x ，k MB ＝y －5x. 由题知y ＋5x ·y －5x ＝－49(x≠0)，即x 22254＋y 225＝1(x≠0)．答案：D5．一条线段的长等于10，两头点A 、B 别离在x 轴和y 轴上滑动，M 在线段AB 上且AM →＝4MB →，那么点M 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋16y 2＝64 B ．16x 2＋y 2＝64C ．x 2＋16y 2＝8D ．16x 2＋y 2＝8解析：设M(x ，y)、A(a,0)、B(0，b)，则a 2＋b 2＝100.∵AM →＝4MB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a 1＋4，y ＝4b 1＋4，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5x ，b ＝54y.代入a 2＋b 2＝100，得25x 2＋2516y 2＝100，即16x 2＋y 2＝64. 答案：B6．平面上有三点A(－2，y)，B(0，y 2)，C(x ，y)，假设AB →⊥BC →，那么动点C 的轨迹方程是( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：∵A(－2，y)，B(0，y 2)，C(x ，y) ∴AB →＝(2，－y 2)，BC →＝(x ，y 2)． ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0.得2·x－y 2·y 2＝0得y 2＝8x. 答案：A二、填空题(每题8分，共24分)7．圆心为(1,2)且与直线5x －12y －7＝0相切的圆的方程是________．解析：圆心到直线的距离等于半径，那么r ＝|5×1－12×2－7|52＋122＝2613＝2， ∴圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝4.答案：(x －1)2＋(y －2)2＝48．已知点A(－a,0)、B(a,0)，a>0，假设动点M 与两定点A 、B 组成直角三角形，那么直角极点M 的轨迹方程是________．图1解析：设点M 的坐标为(x ，y)．由AM⊥BM，得k AM ·k BM ＝－1，即y x ＋a · yx －a＝－1，化简得x 2＋y 2＝a 2.因为M 、A 、B 三点不共线，点M 的纵坐标y≠0，从而x≠±a，因此所求轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(x≠±a)．答案：x 2＋y 2＝a 2(x≠±a)9．已知直线l ：2x ＋4y ＋3＝0，P 为l 上的动点，O 为坐标原点，点Q 分线段OP 为1∶2两部份，那么点Q 的轨迹方程为__________．解析：设点Q 的坐标为(x ，y)，点P 的坐标为(x 1，y 1)．∵Q 分线段OP 为1∶2，∴OQ →＝12QP →. ∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ x ＝12x 11＋12，y ＝12y11＋12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ，y 1＝3y. ∵点P 在直线l 上，∴2x 1＋4y 1＋3＝0.把x 1＝3x ，y 1＝3y 代入上式并化简，得2x ＋4y ＋1＝0为所求轨迹方程．答案：2x ＋4y ＋1＝0三、解答题(共40分)10．(10分)已知点M 到点F(0,1)和直线l ：y ＝－1的距离相等，求点M 的轨迹方程．图2解：设点M 的坐标为(x ，y)，点M 的轨迹确实是集合P ＝{M||MF|＝|MQ|}，其中Q 是点M 到直线y ＝－1的垂线的垂足．由两点间距离公式及点到直线的距离公式，得x 2＋y －12＝|y ＋1|，将上式两边平方，得x 2＋(y －1)2＝(y ＋1)2，化简，得y ＝14x 2.① 下面证明方程①是所求轨迹的方程．(1)由求方程的进程，可知曲线上的点的坐标都是方程①的解；(2)设点M 1的坐标(x 1，y 1)是方程①的解，那么y 1＝14x 21，即x 21＋(y 1－1)2＝(y 1＋1)2，x 21＋y 1－12＝|y 1＋1|，|M 1F|＝|M 1Q 1|.其中Q 1是点M 1到直线y ＝－1的垂线的垂足，因此点M 1是曲线上的点．由(1)(2)，可知方程①是所求轨迹的方程，图形如图2所示．11．(15分)已知线段AB 与CD 相互垂直平分于点O ，|AB|＝8，|CD|＝4，动点M 知足|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.求动点M 的轨迹方程．解：以O 为原点，别离以直线AB ，CD 为x 轴，y 轴成立平面直角坐标系，那么A(－4,0)，B(4,0)，C(0,2)，D(0，－2)，设M(x ，y)为轨迹上任意一点，那么|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.因为|MA|＝x ＋42＋y 2，|MB|＝x －42＋y 2，|MC|＝x 2＋y －22，|MD|＝x 2＋y ＋22. 因此[x ＋42＋y 2][x －42＋y 2] ＝[x 2＋y －22][x 2＋y ＋22]. 化简，得y 2－x 2＋6＝0.因此所求轨迹方程为y 2－x 2＋6＝0.图312．(15分)如图3所示，已知A(－3,0)，B 、C 两点别离在y 轴和x 轴上运动，点P 为BC 延长线上一点，而且知足AB →⊥BP →，BC →＝12CP →，试求动点P 的轨迹方程．解：设P(x ，y)，B(0，y′)，C(x′，0)，则BC →＝(x′，－y′)，CP →＝(x －x′，y)，由BC →＝12CP →，得(x′，－y′)＝12(x －x′，y)，即x′＝x 3，y′＝－y2，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－y 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，0. 又A(－3,0)，∴AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－y 2，BP →＝⎝⎛⎭⎪⎫x ，3y 2. 由AB →⊥BP →，得AB →·BP →＝0，∴3x－34y 2＝0，得y 2＝4x ，即为动点P 的轨迹方程．。

必修2红对勾2-2-11

2.2 第11课时
红对勾系列丛书
2．下列命题中正确的是(
)
A．平行于同一平面的两条直线平行
B．同时与两条异面直线平行的平面有无数多个
C ．如果一条直线上有两点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行 D．直线l与平面α不相交，则l∥α
2.2 第11课时
红对勾系列丛书
解析：平行于同一平面的两条直线可能相交、平行
A1B1C1D1 截去一个角后得到的几何体， E ， F 分别是
B1D1，AB1的中点． (1)求证：EF∥平面BB1C1C； (2)求几何体ABCD—B1C1D1的体积．
图4
2.2 第11课时
红对勾系列丛书
解：(1)∵E，F分别是B1D1，AB1的中点，
∴EF∥AD1，又AD1∥BC1，
2.2 第11课时
红对勾系列丛书
图2
答案：B
2.2 第11课时
红对勾系列丛书
5．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上
的点，若 AE∶EB ＝ CF∶FB ＝ 1∶3 ，则对角线 AC 和平面DEF的位置关系是( A．平行 C．在平面内答案：A ) B．相交 D．不能确定
2.2 第11课时
点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN，求证：MN∥ 平面AA1B1B.
图6
2.2 第11课时
红对勾系列丛书
证明：证法一：如图7，作ME∥BC，交B1B于E，
作NF∥AD交AB于F，连接EF，则EF⊂平面AA1B1B.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图7
2.2 第11课时
红对勾系列丛书
ME B1M NF BN ∴ ＝，＝ . BC B1C AD BD ∵在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，CM＝DN， ∴ B1M＝BN. ME BN NF 又∵B1C＝BD，∴ ＝＝ . BC BD AD ∴ ME＝ NF.

《红对勾》2016高考新课标数学(理)大一轮复习第二章函数、导数及其应用课时作业15Word版含答案

课时作业15导数与函数极值、最值一、选择题1．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝()A.1ln2B．－1ln2 C．－ln2 D．ln2解析：y′＝2x＋x·2x ln2＝0，∴x＝－1ln2.答案：B2．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是()A．－2 B．0C．2 D．4解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或2.∴f(x)在[－1,0)上是增函数，f(x)在(0,1]上是减函数．∴f(x)max＝f(x)极大值＝f(0)＝2.答案：C3．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)e x 的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是()解析：因为[f(x)e x]′＝f′(x)e x＋f(x)(e x)′＝[f(x)＋f′(x)]e x，且x ＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，所以f(－1)＋f′(－1)＝0；选项D中，f(－1)>0，f′(－1)>0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0.答案：D4．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是()A．－13 B．－15C．10 D．15解析：求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.故选A.答案：A5．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c ＝()A．－2或2 B．－9或3C．－1或1 D．－3或1解析：∵y′＝3x2－3，∴当y′＝0时，x＝±1.则x，y′，y的变化情况如下表：因此，当函数图象与x 轴恰有两个公共点时，必有c ＋2＝0或c －2＝0，∴c ＝－2或c ＝2.答案：A6．设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，若1和－1是函数f (x )的两个零点，x 1和x 2是f (x )的两个极值点，则x 1·x 2等于( )A ．－1B ．1C ．－13 D.13解析：f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )，若1和－1是函数f (x )的两个零点，即1和－1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋(－1)＝－b a ，1×(－1)＝c a ，解得b ＝0，c ＝－a ，∴f (x )＝ax 3－ax ，f ′(x )＝3ax 2－a . 又由题意知x 1和x 2是f ′(x )＝0的两根，所以x 1x 2＝－a 3a ＝－13，故选C. 答案：C 二、填空题7．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )极大值与极小值之差为________．解析：∵y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，⎩⎪⎨⎪⎧ 3×22＋6a ×2＋3b ＝03×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0. ∴y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2. ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4.答案：48．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2,2]恒成立，则m的取值范围是________．解析：令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，得x＝－1或3(舍去)．∵f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20.∴f(x)的最小值为f(2)＝－20，故m≤－20.答案：(－∞，－20]9．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如表，f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，下列是关于函数f(x)的命题：①函数f(x)的值域为[1,2]；②函数f(x)在[0,2]上是减函数；③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1<a<2时，函数y＝f(x)－a有4个零点．其中真命题的是________(填写序号)．解析：由题意可知函数f(x)的单调增区间为(－1,0)，(2,4)；单调减区间为(0,2)，(4,5)，且f(x)的极小值为f(2)，由于f(2)未知，故①④均错误，又因为f(x)的最大值为f(0)＝f(4)＝2，故③错误．答案：②三、解答题10．已知函数f(x)＝e x(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4. 故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x(x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12.令f ′(x )＝0得，x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)． 11．(2014·江西卷)已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a <0. (1)若a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间； (2)若f (x )在区间[1,4]上的最小值为8，求a 的值．解：(1)当a ＝－4时，由f ′(x )＝2(5x －2)(x －2)x ＝0得x ＝25或x ＝2，由f ′(x )>0得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25或x ∈(2，＋∞)，故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25和(2，＋∞)． (2)因为f ′(x )＝(10x ＋a )(2x ＋a )2x ，a <0，由f ′(x )＝0得x ＝－a 10或x ＝－a2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 10时，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 10，－a 2时，f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f (x )单调递增，易知f (x )＝(2x ＋a )2x ≥0，且f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2＝0.①当－a2≤1时，即－2≤a <0时，f (x )在[1,4]上的最小值为f (1)，由f (1)＝4＋4a ＋a 2＝8，得a ＝±22－2，均不符合题意．②当1<－a2≤4时，即－8≤a <－2时，f (x )在[1,4]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0，不符合题意． ③当－a2>4时，即a <－8时，f (x )在[1,4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4上取得，而f (1)≠8，由f (4)＝2(64＋16＋a 2)＝8得a ＝－10或a ＝－6(舍去)，当a ＝－10时，f (x )在(1,4)单调递减，f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8，符合题意．综上有，a ＝－10.1．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( ) A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0解析：由x 0是f (x )的极小值点，则y ＝f (x )的图象大致如右图所示，由图可知f (x )在(－∞，x 0)上不单调，故C 不正确．答案：C2．已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，则( )A ．f (x 1)>0，f (x 2)>－12B ．f (x 1)<0，f (x 2)<－12 C ．f (x 1)>0，f (x 2)<－12 D ．f (x 1)<0，f (x 2)>－12解析：f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，依题意知f ′(x )＝0有两个不等实根x 1，x 2.即曲线y 1＝1＋ln x 与y 2＝2ax 有两个不同交点，如图．由直线y ＝x 是曲线y 1＝1＋ln x 的切线，可知：0<2a <1，且0<x 1<1<x 2.∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.由0<x 1<1，得f (x 1)＝x 1(ln x 1－ax 1)<0，当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0，当x >x 2时，f ′(x )<0，∴f (x 2)>f (1)＝－a >－12. 答案：D3．若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103 解析：因为f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1，所以f ′(x )＝x 2－ax ＋1.又f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，即f ′(x )＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3有一个解或者两个不相同的解．当有一解时，需f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12f ′(3)≤0，解得52≤a ≤103，经检验a ＝103不成立，所以52≤a <103；当有两解时，依题意可得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧12<a2<3，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，f ′(3)>0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2<0，解得2<a <52.综上可得a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103.故选C.答案：C4．(2014·重庆卷)已知函数f (x )＝a e 2x －b e －2x －cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为4－c .(1)确定a，b的值；(2)若c＝3，判断f(x)的单调性；(3)若f(x)有极值，求c的取值范围．解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝2a e2x＋2b e－2x－c，由f′(x)为偶函数，知f′(－x)＝f′(x)，即2(a－b)(e2x＋e－2x)＝0，因e2x＋e－2x>0，所以a＝b.又f′(0)＝2a＋2b－c＝4－c，故a＝1，b＝1.(2)当c＝3时，f(x)＝e2x－e－2x－3x，那么f′(x)＝2e2x＋2e－2x－3≥22e2x·2e－2x－3＝1>0，故f(x)在R 上为增函数．(3)由(1)知f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c，而2e2x＋2e－2x≥22e2x·2e－2x＝4，当x＝0时等号成立．下面分三种情况进行讨论．当c<4时，对任意x∈R，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c>0，此时f(x)无极值；当c＝4时，对任意x≠0，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－4>0，此时f(x)无极值；当c>4时，令e2x＝t，注意到方程2t＋2t－c＝0有两根t1,2＝c±c2－164>0，即f′(x)＝0有两个根x1＝12ln t1或x2＝12ln t2.当x1<x<x2时，f′(x)<0；又当x>x2时，f′(x)>0，从而f(x)在x＝x2处取得极小值．综上，若f(x)有极值，则c的取值范围是(4，＋∞)．。

《红对勾》2021届高三数学第一轮复习北师大版课时作业50 Word版含解析

课时作业50 双曲线一、选择题(每小题5分，共40分)1．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0 D ．(3，0)解析：将方程化为标准方程x 2－y212＝1∴c 2＝1＋12＝32，∴c ＝62，故选C.答案：C2．(2022·福建理，8)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A. 5 B ．4 2 C ．3D ．5解析：由y 2＝12x ，焦点坐标为(3,0)． ∴a 2＋b 2＝9，∴b ＝ 5.双曲线的一条渐近线为y ＝52x .∴d ＝353＝ 5. 答案：A3．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x解析：由题意可得2b ＝2,2c ＝23， ∴b ＝1，c ＝3，故a 2＝c 2－b 2＝2.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±12x ＝±22x . 答案：C4．过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( )A ．28B ．14－8 2C ．14＋8 2D ．8 2解析：|PF 2|＋|PQ |＋|QF 2|＝|PF 2|－|PF 1|＋|QF 2|－|QF 1|＋2|PQ | ＝14＋8 2. 答案：C5．(2021·福建理，3)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.25 B.45 C.255D.455 解析：不妨设顶点(2,0)，渐近线y ＝x2，即x －2y ＝0， ∴d ＝|2|5＝255.答案：C6．(2021·北京理，6)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x解析：由于离心率e ＝3，所以c ＝3a ，即b ＝2a ，由双曲线的焦点在x 轴上，所以渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x .选B.答案：B7．已知双曲线x 2－y23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为( ) A ．－2 B ．－8116 C ．1D ．0解析：设点P (x ，y )，其中x ≥1.依题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，则有y23＝x 2－1，y 2＝3(x 2－1)，P A 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2－x －5＝4(x －18)2－8116，其中x ≥1.因此，当x ＝1时，P A 1→·PF 2→取得最小值－2，选A.答案：A8．(2021·浙江理，9)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在其次、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62解析：不妨设双曲线为x 2a 2－y 2b 2＝1.由题意知|BF 1|－|BF 2|＝2a ⇒|BF 1|2＋|BF 2|2－2|BF 1|·|BF 2|＝4a 2，① 并由勾股定理得|BF 1|2＋|BF 2|2＝4c 2，② 由①②知4c 2－4a 2＝2|BF 1|·|BF 2|.下面求2|BF 1|·|BF 2|的值．在椭圆中|BF 1|＋|BF 2|＝4，故|BF 1|2＋|BF 2|2＋2|BF 1|·|BF 2|＝16，又由②知|BF 1|2＋|BF 2|2＝4c 2＝12， ∴2|BF 1|·|BF 2|＝4，因此有c 2－a 2＝1，即c 2＝3，a 2＝2，∴c a ＝62. 答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)。

红对勾高三数学讲义手册知识点答案

红对勾高三数学讲义手册知识点答案高考数学必考知识点归纳必修一：1、集合与函数的概念(这部分知识抽象，较难理解)2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用(比较抽象，较难理解)中考数学必修知识点概括必修课程二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角。

这部分科学知识就是高一学生的难点，比如说：一个角实际上就是一个锐角，但是在图中表明的钝角等等一些问题，须要学生的立体意识较强。

这部分科学知识中考占到22---27分后2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题3、圆方程1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空)2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分。

中考数学必修知识点概括必修课程四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查。

2、平面向量：中考不单独命题，极易和三角函数、圆锥曲线融合命题。

09年理科占5分后，文科占13分后。

高考数学必考知识点归纳必修五：1、求解三角形：(正、余弦定理、三角并集转换)中考中理科占22分后左右，文科数学占13分后左右2、数列：中考必修，17---22分后3、不等式：(线性规划，听讲时易认知，但做题较繁杂，应当掌控技巧。

中考必修5分后)不等式不单独命题，通常和函数融合谋最值、边值问题。

高考数学必考知识点归纳文科选修：报读1--1：重点：中考占到30分后1、逻辑用语：一般不考，若考也是和集合放一块考2、圆锥曲线：3、导数、导数的应用(高考必考)报读1--2：1、统计：2、推理证明：一般不考，若考会是填空题3、复数：(新课标比老课本难的多，高考必考内容)。

中考数学必修知识点概括理科报读：选修2--1：1、逻辑用语2、圆锥曲线3、空间向量：(利用空间向量可以把立体几何做题简便化)选修2--2：1、导数与微积分2、推理证明：一般不考3、复数报读2--3：1、计数原理：(排列组合、二项式定理)掌控这部分知识点须要大量做题打听规律，并无技巧。

【红对勾】高中数学单元综合测试二新人教A版选修2-1(1)

单元综合测试二时刻：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( ) A.32 B.34 C.22 D.23解析：∵a ＝1，b ＝12，∴c ＝a 2－b 2＝32，∴e ＝c a ＝32，应选A. 答案：A2．(2020·新课标全国卷)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的核心，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，那么E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1 解析：∵F (3,0)，AB 的中点N (－12，－15)， ∴k AB ＝－15－0－12－3＝1.又∵F (3,0)，可设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，易知a 2＋b 2＝9①再设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么有x 21a 2－y 21b 2＝1②x 22a 2－y 22b 2＝1③由②－③可得x 21－x 22a 2＝y 21－y 22b 2，即x 1－x 2x 1＋x 2a 2＝y 1＋y 2y 1－y 2b 2∴y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝k AB ＝1.*又∵x 1＋x 22＝－12，y 1＋y 22＝－15，∴*式可化为b 2a 2×(－12－15)＝1，∴b 2a 2＝54④由①和④可知b 2＝5，a 2＝4， ∴双曲线的方程为x 24－y 25＝1，应选择B.答案：B3．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，那么k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)解析：∵a 2＝4，b 2＝－k ，∴c 2＝4－k .∵e ∈(1,2)，∴c 2a2＝4－k4∈(1,4)，k ∈(－12,0)．答案：B4．假设点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，那么点P 的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解析：设M (2,0)，由题设可知，把直线x ＝－1向左平移一个单位即为直线x ＝－2，那么点P 到直线x ＝－2的距离等于|PM |，因此动点P 的轨迹为抛物线，应选D.答案：D5．已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且12|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，那么动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．线段解析：依题意知|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|＝2，作图可知点P 的轨迹为线段，应选D. 答案：D6．(2020·课标全国高考)设直线l 过双曲线C 的一个核心，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，那么C 的离心率为( )A.2 B.3C ．2D ．3解析：不妨设双曲线C 为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，并设l 过F 2(c,0)且垂直于x 轴，那么易求得|AB |＝2b 2a，∴2b 2a＝2×2a ，b 2＝2a 2，∴离心率e ＝ca＝1＋b 2a 2＝3，应选B.答案：B7．过抛物线y 2＝4x 的核心作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，那么如此的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在解析：由概念|AB |＝5＋2＝7，∵|AB |min ＝4，∴如此的直线有且仅有两条．答案：B8．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，那么l 的方程是( )A ．x －2y ＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x ＋3y ＋4＝0D ．x ＋2y －8＝0解析：设l 与椭圆的两交点别离为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，那么得y 21－y 22x 21－x 22＝－936，因此y 1－y 2x 1－x 2＝－12.故方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.答案：D9．过椭圆x 24＋y 22＝1的右核心作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，已知双曲线的核心在x 轴上，对称中心在座标原点且两条渐近线别离过A 、B 两点，那么双曲线的离心率e 为( )A.12B.22C.62D.32解析：A (2，1)，B (2，－1)，设双曲线为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，渐近线方程为y ＝±bax ，因为A 、B在渐近线上，因此1＝b a·2，b a＝22，e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝1＋b a2＝62. 答案：C10．双曲线x 2m－y 2n＝1(mn ≠0)有一个核心与抛物线y 2＝4x 的核心重合，那么m ＋n 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．以上都不对解析：抛物线y 2＝4x 的核心为F (1,0)，故双曲线x 2m－y 2n＝1中m >0，n >0，且m ＋n ＝c 2＝1.答案：C11．设F 1，F 2是双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b <0)的左、右核心，点P 在双曲线上，假设PF 1→·PF 2→＝0，且|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac (c ＝a 2＋b 2)，那么双曲线的离心率为( )A.1＋52B.1＋32C ．2 D.1＋22解析：由PF 1→·PF 2→＝0可知△PF 1F 2为直角三角形，那么由勾股定理，得|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝4c 2，①由双曲线的概念，得(|PF 1→|－|PF 2→|)2＝4a 2，② 又|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac ，③由①②③得c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)．答案：A12．已知F 1，F 2别离为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右核心，P 为双曲线右支上的任意一点，假设|PF 1|2|PF 2|的最小值为8a ，那么双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞) B．(1,2] C ．(1，3] D ．(1,3] 解析：|PF 1|2|PF 2|＝2a ＋|PF 2|2|PF 2|＝4a 2|PF 2|＋|PF 2|＋4a ≥4a ＋4a ＝8a ，当且仅当4a 2|PF 2|＝|PF 2|，即|PF 2|＝2a 时取等号．这时|PF 1|＝4a .由|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，得6a ≥2c ，即e ＝ca≤3，得e ∈(1,3]，应选D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每题5分，共20分)13．假设双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，它的一个核心是(10，0)，那么双曲线的标准方程是________．解析：由双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，知b a ＝13，它的一个核心是(10，0)，知a 2＋b 2＝10，因此a ＝3，b ＝1，故双曲线的方程是x 29－y 2＝1.答案：x 29－y 2＝114．椭圆x 29＋y 22＝1的核心为F 1，F 2，点P 在椭圆上，假设|PF 1|＝4，那么|PF 2|＝__________，∠F 1PF 2的大小为________．解析：由椭圆的概念知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×3＝6，因为|PF 1|＝4，因此|PF 2|＝2. 在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝－12.∴∠F 1PF 2＝120°. 答案：2 120°15．已知F 1、F 2是椭圆x 2a2＋y 2b 2＝1的左、右核心，点P 是椭圆上任意一点，从F 1引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，交F 2P 的延长线于M ，那么点M 的轨迹方程是________．解析：由题意知|MP |＝|F 1P |， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝|MF 2|＝2a . ∴点M 到点F 2的距离为定值2a .∴点M 的轨迹是以点F 2为圆心，以2a 为半径的圆，其方程为(x －a 2－b 2)2＋y 2＝4a 2.答案：(x －a 2－b 2)2＋y 2＝4a 216．(2020·浙江高考)设F 1，F 2别离为椭圆x 23＋y 2＝1的左，右核心，点A ，B 在椭圆上，假设F 1A →＝5F 2B →，那么点A 的坐标是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由F 1(－2，0)，F 2(2，0)且F 1A →＝5F 2B →得x 2＝15(x 1＋62)，y 2＝15y 1.又A 、B 两点在椭圆上，故有⎩⎪⎨⎪⎧x 213＋y 21＝1，x 1＋622－x 2175＋y 2125＝1，消去y 1得x 1＋622－x 213＝24，有x 1＝0，从而y 1＝±1，故点A 的坐标为(0,1)和(0，－1)．答案：(0，±1)三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共核心，而且离心率为52的双曲线方程．解：由椭圆方程x 29＋y 24＝1，知长半轴a 1＝3，短半轴b 1＝2，焦距的一半c 1＝a 21－b 21＝5，∴核心是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，因此双曲线的核心也是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设双曲线方程为x 2a2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题设条件及双曲线的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，c a ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.故所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.18．(10分)(2020·天津高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个极点取得的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B .已知点A 的坐标为(－a,0)，点Q (0，y 0)在线段AB 的垂直平分线上，且QA →·QB →＝4，求y 0的值．解：(1)由e ＝ca ＝32，得3a 2＝4c 2.再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b . 由题意可知12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，ab ＝2，得a ＝2，b ＝1.因此椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)可知A (－2,0)．设B 点的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，那么直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．于是A ，B 两点的坐标知足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，x24＋y 2＝1.由方程组消去y 并整理，得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0. 由－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，得x 1＝2－8k 21＋4k 2.从而y 1＝4k1＋4k 2. 设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为(－8k 21＋4k 2，2k1＋4k 2)．以下分两种情形：①当k ＝0时，点B 的坐标为(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是QA →＝(－2，－y 0)，QB →＝(2，－y 0)．由QA →·QB →＝4，得y 0＝±22.②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为 y －2k1＋4k 2＝－1k (x ＋8k 21＋4k 2)．令x ＝0，解得y 0＝－6k1＋4k 2.由QA →＝(－2，－y 0)，QB →＝(x 1，y 1－y 0)．QA →·QB →＝－2x 1－y 0(y 1－y 0)＝－22－8k 21＋4k 2＋6k1＋4k 2(4k1＋4k 2＋6k1＋4k 2) ＝416k 4＋15k 2－11＋4k 22＝4，整理得7k 2＝2，故k ＝±147.因此y 0＝±2145.综上，y 0＝±22或y 0＝±2145.19．(12分)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的核心F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．求证： (1)x 1x 2为定值； (2)1|FA |＋1|FB |为定值．证明：(1)抛物线y 2＝2px的核心为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去y ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 2p 24＝0.由根与系数的关系，得x 1x 2＝p 24(定值)．当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2＝p 2，x 1x 2＝p 24，也成立．(2)由抛物线的概念，知|FA |＝x 1＋p2，|FB |＝x 2＋p2.1|FA |＋1|FB |＝1x 1＋p2＋1x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p p2x 1＋x 2＋x 1x 2＋p 24＝x 1＋x 2＋pp2x 1＋x 2＋p 22＝x 1＋x 2＋pp2x 1＋x 2＋p＝2p(定值)．当AB ⊥x 轴时，|FA |＝|FB |＝p ，上式仍成立． 20．(12分)已知A (2，0)、B (－2，0)两点，动点P 在y 轴上的射影为Q ，PA →·PB →＝2PQ →2.(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)设直线m 过点A ，斜率为k ，当0<k <1时，曲线E 的上支上有且仅有一点C 到直线m 的距离为2，试求k 的值及现在点C 的坐标．解：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，那么点Q (0，y )，PQ →＝(－x,0)，PA →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，PA →·PB →＝x 2－2＋y 2.∵PA →·PB →＝2PQ →2，∴x 2－2＋y 2＝2x 2，即动点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝2. (2)设直线m ：y ＝k (x －2)(0<k <1)，依题意，点C 在与直线m 平行且与m 之间的距离为2的直线上，设此直线为m 1：y ＝kx ＋b .由|2k ＋b |k 2＋1＝2，即b 2＋22kb ＝2.①把y ＝kx ＋b 代入y 2－x 2＝2，整理，得(k 2－1)x 2＋2kbx ＋(b 2－2)＝0，则Δ＝4k 2b 2－4(k 2－1)(b 2－2)＝0，即b 2＋2k 2＝2.② 由①②，得k ＝255，b ＝105. 现在，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝255x ＋105，y 2－x 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝10，即C (22，10)．21．(14分)(2020·江西高考) 图2设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，抛物线C 2：x 2＋by ＝b 2.(1)假设C 2通过C 1的两个核心，求C 1的离心率； (2)设A (0，b )，Q (33，54b )，又M ，N 为C 1与C 2不在y 轴上的两个交点，假设△AMN 的垂心为B (0，34b )，且△QMN 的重心在C 2上，求椭圆C 1和抛物线C 2的方程．解：(1)因为抛物线C 2通过椭圆C 1的两个核心F 1(－c,0)，F 2(c,0)，可得c 2＝b 2.由a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，有c 2a 2＝12，因此椭圆C 1的离心率e ＝22. (2)由题设可知M ，N 关于y 轴对称，设M (－x 1，y 1)，N (x 1，y 1)，(x 1>0)，那么由△AMN 的垂心为B ，有BM →·AN →＝0，因此－x 21＋(y 1－34b )(y 1－b )＝0① 由于点N (x 1，y 1)在C 2上，故有x 21＋by 1＝b 2② 由①②得y 1＝－b 4，或y 1＝b (舍去)，因此x 1＝52b ，故M (－52b ，－b 4)，N (52b ，－b4)，因此△QMN 的重心为(3，b4)，由重心在C 2上得：3＋b 24＝b 2，因此b ＝2，M (－5，－12)，N (5，－12)，又因为M ，N 在C 1上，因此±52a 2＋－1224＝1，得a 2＝163.因此椭圆C 1的方程为：x 2163＋y 24＝1，抛物线C 2的方程为：x 2＋2y ＝4.22．(12分)(2020·江西高考)P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 别离是双曲线E 的左、右极点，直线PM ，PN 的斜率之积为15. (1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右核心且斜率为1的直线交双曲线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，知足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解：(1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，有x 20a 2－y 20b 2＝1.由题意又有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，那么e ＝c a ＝305. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5y 2＝5b 2y ＝x －c 得4x 2－10cx ＋35b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b 24.①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2. 又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2，化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ·(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.②又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，因此x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )·(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，得：λ2＋4λ＝0，解出λ＝0或λ＝－4.。