直线与椭圆综合运用
高考数学二轮专题15 椭圆原卷版
专题15椭圆命题解读考向考查统计1.高考对椭圆的考查，重点是(1)椭圆的定义、几何图形、标准方程。
(2)椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)。
(3)直线和椭圆的位置关系及综合应用。
椭圆的定义和弦长2022·新高考Ⅰ卷，16椭圆的离心率2023·新高考Ⅰ卷，5直线与椭圆的应用2022·新高考Ⅱ卷，162023·新高考Ⅱ卷，5椭圆的轨迹方程2024·新高考Ⅱ卷，5命题分析2024年高考新高考Ⅰ卷椭圆的考查体现在大题中，后续专题会解读。
Ⅱ卷考查了椭圆的轨迹方程求法，难度较易。
椭圆是圆雉曲线的重要内容，高考主要考查椭圆定义的运用、椭圆方程的求法以及椭圆的简单几何性质，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，因方法多，试题灵活，在各种题型中均有体现。
预计2025年高考还是主要考查椭圆的定义和离心率。
试题精讲一、单选题1.(2024新高考Ⅱ卷·5)已知曲线C ：x 2+y 2=16(y >0)，从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ，P 为垂足，则线段PP 的中点M 的轨迹方程为()A.x 216+y 24=1(y >0)B.x 216+y 28=1(y >0)C.y 216+x 24=1(y >0)D.y 216+x 28=1(y >0)一、单选题2.(2023新高考Ⅰ卷·5)设椭圆C 1:x 2a2+y 2=1(a >1),C 2:x 24+y 2=1的离心率分别为e 1,e 2．若e 2=3e 1，则a =()A.233B.2C.3D.63.(2023新高考Ⅱ卷·5)已知椭圆C :x 23+y 2=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y =x +m 与C 交于A ，B 两点，若△F 1AB 面积是△F 2AB 面积的2倍，则m =( )．A.23B.23C.-23D.-23二、填空题4.(2022新高考Ⅰ卷·16)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，离心率为12．过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，|DE |=6，则△ADE 的周长是．5.(2022新高考Ⅱ卷·16)已知直线l 与椭圆x 26+y 23=1在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且|MA |=|NB |,|MN |=23，则l 的方程为．一、椭圆的定义平面内与两个定点F 1,F 2的距离之和等于常数2a (2a >|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c ，定义用集合语言表示为：P ||PF 1|+|PF 2|=2a (2a >|F 1F 2|=2c >0)注意：当2a =2c 时，点的轨迹是线段；当2a <2c 时，点的轨迹不存在．二、椭圆的方程、图形与性质焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形x OyF 1F 2A 1A 2B 1B 2xOyF 1F 2A 1A 2B 1B 2标准方程x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 y 2a 2+x 2b 2=1a >b >0 统一方程mx 2+ny 2=1(m >0,n >0,m ≠n )参数方程x =a cos θy =b sin θ ,θ为参数(θ∈[0,2π))x =a cos θy =b sin θ ,θ为参数(θ∈[0,2π))第一定义到两定点F 1、F 2的距离之和等于常数2a ，即|MF 1|+|MF 2|=2a (2a >|F 1F 2|)范围-a ≤x ≤a 且-b ≤y ≤b -b ≤x ≤b 且-a ≤y ≤a 顶点Α1-a ,0 、Α2a ,0 Β10,-b 、Β20,bΑ10,-a 、Α20,a Β1-b ,0 、Β2b ,0轴长长轴长A 1A 2 =2a ，短轴长B 1B 2 =2b 长轴长A 1A 2 =2a ，短轴长B 1B 2 =2b对称性关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称焦点F 1-c ,0 、F 2c ,0F 10,-c 、F 20,c焦距F1F2=2c(c2=a2-b2)离心率e=ca=c2a2=a2-b2a2=1-b2a2(0<e<1)准线方程x=±a2c y=±a2c点和椭圆的关系x20a2+y20b2>1⇔点(x0,y0)在椭圆外x20a2+y20b2=1⇔点(x0,y0)在椭圆上x20a2+y20b2<1⇔点(x0,y0)在椭圆内y20a2+x20b2>1⇔点(x0,y0)在椭圆外y20a2+x20b2=1⇔点(x0,y0)在椭圆上y20a2+x20b2<1⇔点(x0,y0)在椭圆内切线方程x0xa2+y0yb2=1((x0,y0)为切点)y0ya2+x0xb2=1((x0,y0)为切点)对于过椭圆上一点(x0,y0)的切线方程，只需将椭圆方程中x2换为x0x，y2换为y0y可得切点弦所在的直线方程x0xa2+y0yb2=1(点(x0,y0)在椭圆外)y0ya2+x0xb2=1(点(x0,y0)在椭圆外)焦点三角形面积①cosθ=2b2r1r2-1,θmax=∠F1BF2，(B为短轴的端点)②SΔPF1F2=12r1r2sinθ=b2tanθ2=c|y0|,焦点在x轴上c|x0|,焦点在y轴上(θ=∠F1PF2)F1F2θr1r2P x0,y0O xyB③当P点在长轴端点时,(r1r2)min=b2,当P点在短轴端点时,(r1r2)max=a2.焦点三角形中一般要用到的关系是|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c;SΔPF1F2=12|PF1||PF2|sin∠F1PF2;|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2.焦半径左焦半径：MF1=a+ex0又焦半径：MF1=a-ex0上焦半径：MF1=a-ey0下焦半径：MF1=a+ey0焦半径最大值a+c，最小值a-c通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=2b2a(最短的过焦点的弦)弦长公式设直线与椭圆的两个交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，k AB=k，则弦长AB=1+k2x1-x2=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+1k2(y1+y2)2-4y1y2=1+k2Δ|a| (其中a是消y后关于x的一元二次方程的x2的系数，Δ是判别式)【椭圆常用结论】1、过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为2b2a．①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为a +c ，距离的最小值为a -c ．2、椭圆的切线①椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)上一点P (x 0，y 0)处的切线方程是x 0x a 2+y 0y b2=1；②过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)外一点P (x 0，y 0)，所引两条切线的切点弦方程是x 0x a 2+y 0y b2=1；③椭圆x 2a 2+y 2b2=1 (a >b >0)与直线Ax +By +C =0相切的条件是A 2a 2+B 2b 2=c 2．一、单选题6.(2024·湖北荆州·三模)已知椭圆C ：x 28+y 2k =1的一个焦点为0,2 ，则k 的值为()A.4B.8C.10D.127.(2024·山东烟台·三模)若椭圆x 24+y 23=1与椭圆x 2+y 2b2=1(b >1)的离心率相同，则实数b 的值为()A.233B.43C.52D.548.(2024·江西九江·三模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,过F 1且倾斜角为π6的直线交C 于第一象限内一点A .若线段AF 1的中点在y 轴上,△AF 1F 2的面积为23,则C 的方程为()A.x 23+y 2=1B.x 23+y 22=1C.x 29+y 23=1D.x 29+y 26=19.(2024·河南·三模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴长为23，点M 在椭圆上，若|MF |的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为()A.3B.4C.1D.210.(2024·浙江绍兴·三模)已知直线y =kx k ≠0 与椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆过椭圆的左焦点F 1，若F 1A =2F 1B ，则椭圆C 的离心率是()A.52B.54C.53D.5911.(2024·江西鹰潭·三模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2，倾斜角为45°且过原点的直线l 交椭圆于M ,N 两点.若MN =F 1F 2 ，设椭圆的离心率为e ，则e 2=()A.2-1B.2-2C.3-1D.3-312.(2024·天津河西·三模)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2=π3，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则e21+e22的最小值为()A.3+3B.5+32 C.2+32 D.413.(2024·四川·三模)已知椭圆C:x24+y2b2=1(b>0) 的左、右焦点分别为F1,F2，点P是椭圆上一点，若△PF1F2的内心为M，连接PM并延长交x轴于点Q，且PM=3QM，则椭圆的短轴长为() A.2 B.22 C.23 D.46314.(2024·广东汕头·三模)已知椭圆C：x216+y212=1的两个焦点分别为F1，F2，P是C上任意一点，则下列不正确的是() A.C的离心率为12 B.PF1的最小值为2C.PF1⋅PF2的最大值为16 D.可能存在点P，使得∠F1PF2=65°15.(2024·河北衡水·模拟预测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F2向圆x2+y2=14b2引切线交椭圆于点P,O为坐标原点，若OP=OF2，则椭圆的离心率为() A.12 B.32 C.53 D.2316.(2024·浙江·三模)已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆Γ相交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接F 1C，F1A．若O为坐标原点，F1C⊥F1A，，则椭圆Γ的离心率为()A.105B.55C.1010 D.5 10二、多选题17.(2024·河南开封·三模)椭圆C:x2m2+1+y2m2=1m>0的焦点为F1，F2，上顶点为A，直线AF1与C的另一个交点为B，若∠F1AF2=π3，则()A.C的焦距为2B.C的短轴长为23C.C的离心率为32D.△ABF2的周长为818.(2024·全国·模拟预测)已知长轴长、短轴长和焦距分别为2a、2b和2c的椭圆Ω，点A是椭圆Ω与其长轴的一个交点，点B是椭圆Ω与其短轴的一个交点，点F1和F2为其焦点，AB⊥BF1．点P在椭圆Ω上，若∠F2PF1=π3，则()A.a，b，c成等差数列B.a，b，c成等比数列C.椭圆Ω的离心率e=5+1D.△ABF1的面积不小于△PF1F2的面积19.(2024·河南·三模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点P(2,1)，且离心率为22．记C在P处的切线为l，平行于OP的直线l 与C交于A，B两点，则()A.C的方程x24+y22=1B.直线OP 与l 的斜率之积为-1C.直线OP ，l 与坐标轴围成的三角形是等腰三角形D.直线P A ，PB 与坐标轴围成的三角形是等腰三角形20.(2024·全国·二模)已知圆O ：x 2+y 2=3经过椭圆C ：y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的两个焦点F 1，F 2，且P 为圆O 与椭圆C 在第一象限内的公共点，且△PF 1F 2的面积为1，则下列结论正确的是()A.椭圆C 的长轴长为2B.椭圆C 的短轴长为2C.椭圆C 的离心率为12D.点P 的坐标为33,26321.(2024·江西南昌·三模)将椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上所有的点绕原点旋转θ0<θ<π2 角，得到椭圆C 2的方程：x 2+y 2-xy =6，则下列说法中正确的是()A.a =23B.椭圆C 2的离心率为33C.(2,2)是椭圆C 2的一个焦点D.θ=π422.(2024·江西宜春·三模)设椭圆C ：x 28+y 24=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，坐标原点为O ．若椭圆C 上存在一点P ，使得|OP |=7，则下列说法正确的有()A.cos ∠F 1PF 2=35B.PF 1 ⋅PF 2 =5C.△F 1PF 2的面积为2D.△F 1PF 2的内切圆半径为2-1三、填空题23.(2024·上海·三模)已知椭圆C 的焦点F 1、F 2都在x 轴上，P 为椭圆C 上一点，△PF 1F 2的周长为6，且PF 1 ，F 1F 2 ，PF 2 成等差数列，则椭圆C 的标准方程为．24.(2024·四川攀枝花·三模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M ,N 在C 上，且F 1F 2 =3MN ,F 1M ⊥F 2N ，则椭圆C 的离心率为．25.(2024·山西·三模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2，若C 上存在一点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则C 的离心率的最小值是．26.(2024·陕西咸阳·三模)已知椭圆C :x 25+y 24=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，M 为椭圆C 上任意一点，P 为曲线E :x 2+y 2-6x -4y +12=0上任意一点，则MP +MF 2 的最小值为.27.(2024·湖南长沙·三模)已知椭圆y 29+x 2=1，P 为椭圆上任意一点，过点P 分别作与直线l 1:y =3x 和l 2:y=-3x 平行的直线，分别交l 2，l 1交于M ，N 两点，则MN 的最大值为.28.(2024·重庆·三模)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点为F 1,F 2，若椭圆上存在不在x 轴上的两点A ，B 满足F 1A +F 1B =F 1F 2，且sin ∠F 1AB =2sin ∠F 2AB ，则椭圆离心率e 的取值范围为.。
历年高考“椭圆”考点分析与应对策略
历年高考“椭圆”考点分析与应对策略考点1 椭圆的定义与标准方程调研1 对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=表示的曲线是椭圆”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若方程221mx ny +=表示的曲线是椭圆，则有0,0,m n m n >>≠，所以“0mn >”是“方程221mx ny +=表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件.调研2 设0a b >>，0k >且1k ≠，则椭圆22122:1x y C a b+=A ．顶点B ．焦点C ．离心率D ．长轴和短轴【答案】C【解析】椭圆22122:1x y C a b +=的离心率为c e a ==22221x y ka kb +=.故选C.☆技巧点拨☆求椭圆的方程有两种方法:（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a 2,b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. （2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.第二步，设方程.根据上述判断设方程为22221(0)x y a b a b +=>>或22221(0)y x a b a b+=>>.第三步，找关系.根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）. 第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为22100()mx ny m n m n >>+≠＝，且.考点2 椭圆的简单几何性质调研 1 椭圆221259x y +=的左焦点为1F ，P 为椭圆上的动点，M 是圆22(1x y +-=上的动点，则1PM PF +的最大值是_______________．【答案】17【解析】圆22(1x y +-=的圆心为C ，半径为1．由椭圆方程221259x y +=可知2225,9a b ==，所以5a =，左焦点为1(4,0)F -，右焦点为()24,0F ．故122221010PC PF PC a PF PC PF CF +=+-=+-≤+=， 所以1max 1max ()()117PM PF PC PF +=++=．调研2 设1F 、2F 是椭圆2221(02)4x y b b+=<<的左、右焦点，过1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若22||||AF BF +的最大值为5，则椭圆的离心率为A ．12B ．2C D 【答案】A【解析】因为124AF AF +=，124BF BF +=，所以2ABF △的周长为228AF BF AB ++=，显然，当AB 最小时，22AF BF +有最大值，而22min 2b AB b a==，所以285b -=，解得23b =，21c =，从而12e =.故选A.☆技巧点拨☆1．利用椭圆几何性质解题时的注意点及技巧： (1)注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系． (2)利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系. 2．求椭圆离心率问题的一般思路：求椭圆离心率或其范围时，一般是根据题意设出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，利用a 2＝b 2＋c 2，消去b 即可求得离心率或离心率的范围.考点3 直线与椭圆的位置关系调研1 已知直线l 过椭圆22:12x C y +=的左焦点F ，且与椭圆C 交于,P Q 两点，M 为弦PQ 的中点，O 为坐标原点，若FMO △是以线段OF 为底边的等腰三角形，则直线l 的斜率为 .【答案】【解析】由题意得222,1a b ==，可得21c =，即1c =，所以椭圆C 的左焦点为(1,0)F -.由题意得直线l的斜率存在且不为0，可设直线l 为y kx k =+，直线l 与椭圆C 交于11)(,P x y 、22(),Q x y ，联立2212x y +=与y kx k =+，化简可得2222(21)4220k x k x k +++-=,所以2122421k x x k -=++；而点M 为PQ 的中点，所以点M 的横坐标为21222221x x k k +-=+.因为F M O △是以OF 为底边的等腰三角形，所以2221212k k -=-+，即212k =，k =，即直线l 的斜率为调研2 设1F 是椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的左焦点，M 是C 上一点，且1MF 与x 轴垂直，若132MF =，椭圆的离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）以椭圆C 的左顶点A 为Rt ABD △的直角顶点，边,AB AD 与椭圆C 交于,B D 两点，求ABD △面积的最大值.【答案】22143x y +=；（2）14449.【解析】（1）因为点()1,0F c -，1MF与x 轴垂直，. 所以2,b M c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭或2,b M c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）点()2,0A -，设直线AB 的方程为()2y k x =+（0k >），联立方程得()222143y k x x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩，消去y 得()2222341616120k x k x k +++-=，设()11,B x y ，则2121612234k x k --=+，所以2128634k x k -+=+，直线AD 的方程为()12y x k=-+，同理可得23AD k =+，所以ABD △的面积令1t k k=+， 因为0k >，所以12t k k=+≥，当且仅当1k =时取等号. 因为()112f t t t=+在[)2,+∞上单调递增， 所以()49f t ≥， 即ABD △面积的最大值为14449.【名师点睛】椭圆是重要的圆锥曲线代表之一，也是高考重点考查的知识点与考点之一，常以解答题的形式出现.求解本题的第一问时，从而使得问题获解；求解第二问时，先建立直线AB 的方程为()2y k x =+（0k >），再与椭圆方程联立，运用直线与椭圆的位置关系中的坐标关系建立ABD △面积关于斜率的函数关系，进而运用函数的单调性进行分析求解，使得问题获解.☆技巧点拨☆1．直线与圆锥曲线的位置关系是高考必考题，难度为中高档，常作为压轴题出现，大致在第20题的位置. 2．直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略(1)求椭圆方程或有关几何性质．可依据条件，寻找满足条件的关于a ，b ，c 的等式，解方程即可求得椭圆方程或椭圆有关几何性质．(2)关于弦长问题．一般是利用根与系数的关系、弦长公式求解．特别对于中点弦或弦的中点问题，一般利用点差法求解. 3．具体解题步骤：对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般要把圆锥曲线的方程与直线方程联立来处理.(1)设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在两种情况进行讨论，或者将直线方程设成x＝my＋b的形式.(2)联立直线方程与曲线方程并将其转化成一元二次方程，利用方程根的判别式或根与系数的关系得到交点的横坐标或纵坐标的关系.(3)一般涉及弦的问题，要用到弦长公式|AB|＝1＋k2|x1－x2|或|AB|＝1＋1k2·|y1－y2|.1．（2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（衡水金卷信息卷））在区间[]0,1上随机取一个数k，则方程2213421x yk k+=--表示焦点在y轴上的椭圆的概率为A．124B．112C．16D．14【答案】B2．（山西省榆社中学2018届高三诊断性模拟考试）若椭圆2214x ym+=上一点到两焦点的距离之和为3m-，则此椭圆的离心率为A BC．7D．37或59【答案】A3．（宁夏银川市第二中学2018届高三下学期高考等值卷（二模））已知椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为M ，N ，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点(异于M 、N )，△AF 1B 的周长为AM 与AN 的斜率之积为－23，则C 的方程为 A ．22=1128x y +B ．22=1124x y + C ．22=132x y +D ．22=13x y + 【答案】C【解析】由△AF 1B的周长为1212|||||4|||AF AF BF BF a +++==.解得a =()),M N.设点()00,A x y ，由直线AM 与AN 的斜率之积为－23，23=-.即()2200233y x =--.①又2200213x y b +=，所以2220013x y b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，②由①②解得：22b =.所以椭圆C 的方程为22132x y +=.故选C ．【名师点睛】此题主要考查椭圆方程，由椭圆定义可得出焦半径的性质，由椭圆上的点和顶点连线的斜率乘积可得出关系式，考查了斜率的坐标表示以及点在椭圆方程上的灵活应用，属于中档题型，也是常考考点.数形结合法是数学解题中常用的思想方法之一，通过“以形助数，以数解形”，根据数列与形之间的对应关系，相互转化来解决问题.4．（湖北省荆州市2018届高三质量检查（III ））设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点与抛物线216y x=，则此椭圆的方程为__________． 【答案】221248x y +=5．（北京市海淀区2018届高三第二学期期末练习（二模））已知椭圆C ： 2222x y +=的左、右顶点分别为1A ，2A .（Ⅰ）求椭圆C 的长轴长与离心率；（Ⅱ）若不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点M ，直线1A Q 与2A P 交于点N .求证：直线MN 垂直于x 轴.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】（Ⅰ）椭圆C 的方程可化为2212x y +=,所以1,1a b c ===.所以长轴长为2a =，离心率2c e a ==【名师点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．（Ⅰ）由椭圆C 的方程可化为2212x y +=,可得1,1a b c ===，所以长轴长为2a =，离心率2c e a ==；（Ⅱ）设直线1A P 的方程为(1y kx =，2A Q 的方程为(2y k x =， 联立可得)2121M k k x k k +=-，同理可得)4343N k k x k k +=-，可证明1412k k =-且2312k k =-，从而可得)1221211211221122N Mk k k k x x k k k k ⎛⎫--⎪+⎪⎪+⎝⎭===----，进而可得结果.1．（2017新课标全国卷Ⅲ理科）已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A．3 B．3 CD ．13【答案】A【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见的有两种方法：①求出a ，c ，代入公式e ＝c a；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).2．（2016新课标全国卷Ⅲ理科）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为A ．13 B ．12 C ．23D ．34【答案】A3．（2017新课标全国卷Ⅰ理科）已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，P 4（1C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析.222(41)8440k x kmx m +++-=.由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841kmk -+，x 1x 2=224441m k -+. 而12121211y y k k x x --+=+ 121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时，0∆>，于是l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）.【思路点拨】（1）根据3P ，4P 两点关于y 轴对称，由椭圆的对称性可知C 经过3P ，4P 两点.另外由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此234,,P P P 在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C 的方程；（2）先设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，再设直线l 的方程，当l 与x 轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l ：y kx m =+（1m ≠），将y kx m =+代入2214x y +=，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x 1+x 2，x 1x 2，进而表示出12k k +，根据121k k +=-列出等式表示出k 和m 的关系，从而判断出直线恒过定点.【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简.4．（2017新课标全国卷Ⅱ理科）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ． 【答案】（1） 222x y +=；（2）见解析．由1OP PQ ⋅=得2231m m tn n --+-=，又由（1）知222m n +=，故330m tn +-=．所以OQ PF ⋅=0，即⊥OQ PF ．又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．【思路点拨】（1）设出点P 的坐标，利用2=NP NM 得到点P 与点M 坐标之间的关系即可求得轨迹方程为222x y +=；（2）利用1OP PQ ⋅=可得坐标之间的关系：2231m m tn n --+-=，结合（1）中的结论整理可得OQ PF ⋅=0，即⊥OQ PF ，据此即可得出结论． 【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系F (x ，y )＝0． （2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程． （4）代入(相关点)法：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而运动，常利用代入法求动点P (x ，y )的轨迹方程．5．（2016新课标全国卷Ⅰ理科）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.【答案】（I ）13422=+y x （0≠y ）；（II ）)38,12[.6．（2016新课标全国卷Ⅱ理科）已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k > 0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA. （Ⅰ）当t =4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）)2.（II ）由题意3t >，0k >，()A .将直线AM的方程(y k x =代入2213x y t +=得()22222330tk x x t k t +++-=.由(221233t k tx tk-⋅=+得)21233tk x tk-=+，故1AM x ==由题设，直线AN 的方程为(1y x k =-+，故同理可得AN ==， 由2AM AN =得22233k tk k t=++，即()()32321k t k k -=-. 当k =因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332122022k k k k k k k -+-+-=<--， 即3202k k -<-.由此得32020k k ->⎧⎨-<⎩，或32020k k -<⎧⎨->⎩2k <<. 因此k 的取值范围是)2.【思路点拨】（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN △的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，写出A 点坐标，并求直线AM 的方程，将其与椭圆方程组成方程组，消去y ，用,t k 表示1x ，从而表示||AM ，同理用,t k 表示||AN ，再由2AM AN =及t 的取值范围求k 的取值范围. 【名师点睛】由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数值，另一个元作为自变量求解．。
椭圆的简单几何性质(3)
1-----直线与椭圆的位置关系 2-----弦长公式
一.直线复习
1.倾斜角、斜率、截距 (1) 直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角，叫做这 条直线的倾斜角. 倾斜角的取值范围是［0，π) (2)若直线的倾斜角为α(α≠90°)，则k＝tanα，叫做这条直 线的斜率.经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)
16 则弦长|AB|= _______ , 52 2
由点差法，易得椭圆不同两点所在直线为 y
2 2 m ( 13, 13) 13 13
3x.
又 y 4 x m, 得 M (m, 3m), 点M 在椭圆内有
小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；
2、弦长的计算方法：
弦长公式： |AB|=
解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这 一 条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，
直线与椭圆的位置关系综合应用 例1已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在 轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
x
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线 l : y kx m 与椭圆 C 相交于A, B 两点 (A, B 不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆 C 的右 顶点．求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标．
3．两条直线的平行与垂直 两条直线有斜率且不重合，则 l1∥l2k1=k2 两条直线都有斜率，l1⊥l2k1· k2=-1
若直线 l1 ： A1x+B1y+C1=0 ， l2 ： A2x+B2y+C2=0 ， 则 l1⊥l2 A1A2+B1B2=0 (无论直线的斜率是否存在， 此式均成立，所以此公式用起来更方便.) 4.点到直线的距离公式为：d
2023年高考数学(理科)一轮复习课件——椭圆 第二课时 直线与椭圆
索引
内容 索引
考点突破 题型剖析
分层训练 巩固提升
考点突破 题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
考点一 直线与椭圆的位置关系
1.若直线 y＝kx＋1 与椭圆x52＋my2＝1 总有公共点，则 m 的取值范围是( D )
A.m>1
B.m>0
C.0<m<5且m≠1
2，且过点1， 22.
(1)求椭圆C的方程；
解 由题意得2c＝2，即c＝1，所以a2＝b2＋c2＝b2＋1. 将1， 22代入b2x＋2 1＋by22＝1，可得b2＋1 1＋21b2＝1， 即2b2＋b2＋1＝2b2(b2＋1)，整理得(2b2＋1)(b2－1)＝0， 解所得以椭b2＝圆－C12的(舍方)或程为b2x＝22＋1，y2则＝1a.2＝2，
索引
训练 1 (1)已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)，点 F 为左焦点，点 P 为下顶点，平行于 FP 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，且 AB 的中点为 M1，12，则椭圆的离心率
为( A )
2
1
A. 2
B.2
1
3
C.4
D. 2
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵AB 的中点为 M1，12，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝1. ∵∵xaP212F＋∥by212l＝，1∴，kxaP222F＋＝byk222l＝＝－1. bc＝xy11－ －yx22.
索引
(2)过椭圆 C 左焦点 F1 的直线 l(不与坐标轴垂直)与椭圆 C 交于 A，B 两点， 若点 H－31，0满足|HA|＝|HB|，求|AB|.
解 由题意得F1(－1，0). 设直线l的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立椭圆C与直线l的方程， 可得x2＋2k2(x＋1)2＝2， 整理得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0， Δ＝16k4－4(2k2＋1)(2k2－2)＝8(k2＋1)>0， 则 x1＋x2＝－2k42k＋2 1，x1x2＝22kk22＋ －12.
椭圆的标准方程及性质的应用新教材选择性必修人教版选择性必修第一册
第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用学 习 任 务 核 心 素 养1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点)2．能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点)1.通过直线与椭圆位置关系的判断，培养逻辑推理素养． 2．通过弦长、中点弦问题及椭圆综合问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算素养.类比点与圆的位置关系，点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有怎样的位置关系？知识点1 点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系： 点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1； 点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1； 点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b 2>1.1.(1)点P (2,1)与椭圆x 24＋y 29＝1的位置关系是________． (2)若点A (a ,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是________． (1)点P 在椭圆外部 (2)(－2，2) [(1)由224＋129>1知，点P (2,1)在椭圆的外部．(2)∵点A 在椭圆内部， ∴a 24＋12＜1，∴a 2＜2，∴－2＜a ＜ 2.]类比直线与圆的位置关系及判断方法，直线与椭圆有哪几种位置关系？如何判断？知识点2 直线与椭圆的位置关系 (1)判断直线和椭圆位置关系的方法直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系的判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，得关于x 的一元二次方程．当Δ>0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离． (2)弦长公式设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2， 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(kx 1－kx 2)2 ＝1＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2， 或|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y 1－1k y 22＋(y 1－y 2)2 ＝1＋1k 2(y 1－y 2)2＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2，其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y (或x )后得到关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系求得．2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大． ( )(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与点P (b ,0)，过点P 可作出该椭圆的一条切线．( ) (3)直线y ＝k (x －a )(k ≠0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的位置关系是相交．( )[提示] (1)√ 根据椭圆的对称性可知，直线过椭圆的中心时，弦长最大． (2)× 因为P (b ,0)在椭圆内部，过点P 作不出椭圆的切线．(3)√ 直线y ＝k (x －a )(k ≠0)过点(a ,0)且斜率存在，所以直线y ＝k (x －a )与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的位置关系是相交．类型1 直线与椭圆的位置关系【例1】 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．[解]直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，x 24＋y 22＝1，消去y ，得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0. ①方程①的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ＞0，即－32＜m ＜32时，方程①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ＜0，即m ＜－32或m ＞32时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．直线与椭圆位置关系的判断方法[跟进训练]1．在平面直角坐标系Oxy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q ，求k 的取值范围．[解] 由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0，直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22，所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞.类型2 弦长和中点弦问题【例2】 过椭圆x 216＋y 24＝1内一点M (2,1)引一条弦，使弦被M 点平分． (1)求此弦所在的直线方程； (2)求此弦长．弦的中点坐标已知，则弦的两端点的横(纵坐标)之和可求，由此思考解决问题的方法.[解] (1)法一：设所求直线方程为y －1＝k (x －2)．代入椭圆方程并整理，得 (4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0. 又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1，x 2是方程的两个根， 于是x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.又M 为AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2，解得k ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 又M (2,1)为AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又A ，B 两点在椭圆上，则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16. 两式相减得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0.于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝－12，即k AB ＝－12. 又直线AB 过点M (2,1)，故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. (2)设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x ＋2y －4＝0，x 216＋y 24＝1，得x 2－4x ＝0，∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝0，∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122·42－4×0＝2 5.1．本例中把条件改为“点M (2,1)是直线x ＋2y －4＝0被焦点在x 轴上的椭圆所截得的线段的中点”，求该椭圆的离心率．[解] 设直线与椭圆的两交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 由x 21a 2＋y 21b 2＝1和x 22a 2＋y 22b 2＝1，得4(x 1－x 2)a 2＝－2(y 1－y 2)b 2，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2b 2a 2.又x ＋2y －4＝0的斜率为－12，∴b 2a 2＝14. 所以椭圆的离心率为e ＝ca ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－14＝32.2．把本例条件中“使弦被M 点平分去掉”，其他条件不变，求弦的中点P 的轨迹方程．[解] 设弦的中点为P (x ，y )，两端点的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1.∴2x (x 1－x 2)16＝－2y (y 1－y 2)4，从而k l ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 4y .又k l ＝k PM ＝y －1x －2，∴－x 4y ＝y －1x －2.整理得x 2＋4y 2－2x －4y ＝0.故轨迹方程为x 2＋4y 2－2x －4y ＝0.(椭圆内的部分)试总结用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤．[提示] ①设点——设出弦的两端点坐标； ②代入——代入圆锥曲线方程；③作差——两式相减，再用平方差公式把上式展开； ④整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．[跟进训练]2．已知斜率为2的直线l 经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，求弦AB 的长．[解] 因为直线l 过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1(1,0)，又直线的斜率为2，所以直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.法一：解方程组⎩⎨⎧x 25＋y 24＝1，2x －y －2＝0，得交点A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，所以|AB |＝(x A －x B )2＋(y A －y B )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－532＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－432 ＝1259＝553.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程组⎩⎨⎧x 25＋y 24＝1，2x －y －2＝0消去y 得3x 2－5x ＝0，因为Δ＝(－5)2＝25>0， 则x 1＋x 2＝53，x 1·x 2＝0. 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2(1＋k 2AB ) ＝(1＋k 2AB )[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋22)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553.类型3 直线与椭圆的最短距离问题【例3】 在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离．[解] 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝32x ＋m ， 代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0， 由Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0 得m 2＝16，∴m ＝±4，故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4，显然y ＝32x －4即3x －2y －8＝0距l 最近，它们之间的距离即为所求最短距离，且y ＝32x －4与椭圆的切点即为所求点P .故所求最短距离为 d ＝|16－8|32＋(－2)2＝813＝81313. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 27＝1，y ＝32x －4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－74，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－74.本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的相切问题.此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，根据判别式Δ＝0建立方程求解.[跟进训练]3．已知椭圆x 2＋8y 2＝8，在椭圆上求一点P ，使P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．[解] 设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x －y ＋a ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0，消x 得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0， 由Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0， 解得a ＝3或a ＝－3，∴与直线l 距离较近的切线为x －y ＋3＝0，它们之间的距离即为所求最短距离，且x －y ＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P .故所求最短距离为d ＝|4－3|2＝22.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－83，y ＝13，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，13.类型4 与椭圆有关的综合问题【例4】 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为M ，且△MF 1F 2为面积是1的等腰直角三角形．(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线l ：y ＝－x ＋m 与椭圆E 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆与y 轴相切，求m 的值．[解] (1)由题意可得M (0，b )，F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，由△MF 1F 2为面积是1的等腰直角三角形得12a 2＝1，b ＝c ，且a 2－b 2＝c 2，解得b ＝c ＝1，a ＝2，则椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，－x ＋m ＝y⇒3x 2－4mx ＋2m 2－2＝0，有Δ＝16m 2－12(2m 2－2)>0， 即－3<m <3，x 1＋x 2＝4m 3，x 1x 2＝2m 2－23，可得AB 中点横坐标为2m3， |AB |＝1＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·16m 29－8m 2－83＝433－m 2，以AB 为直径的圆与y 轴相切， 可得半径r ＝12|AB |＝2|m |3， 即233－m 2＝2|m |3，解得m ＝±62∈(－3，3)，则m 的值为±62.解决直线和椭圆综合问题的注意点(1)根据条件设出合适的直线的方程，当不知直线是否有斜率时需要分两种情况讨论．(2)在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算简单． (3)不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用，这一点容易忽视．[跟进训练]4．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (－2,0)，且离心率为22. (1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (4,0)任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N .在x 轴上是否存在点Q ，使得∠PQM ＋∠PQN ＝180°？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)由条件可知，椭圆的焦点在x 轴上，且a ＝2，又e ＝c a ＝22，得c ＝ 2.由a 2－b 2＝c 2得b 2＝a 2－c 2＝2. ∴所求椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(2)若存在点Q (m ,0)，使得∠PQM ＋∠PQN ＝180°， 则直线QM 和QN 的斜率存在，分别设为k 1，k 2. 等价于k 1＋k 2＝0.依题意，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝k (x －4)．由⎩⎨⎧y ＝k (x －4)x 24＋y 22＝1，得(2k 2＋1)x 2－16k 2x ＋32k 2－4＝0.因为直线l 与椭圆C 有两个交点，所以Δ＞0. 即(16k 2)2－4(2k 2＋1)(32k 2－4)＞0，解得k 2＜16.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝16k 22k 2＋1，x 1x 2＝32k 2－42k 2＋1，y 1＝k (x 1－4)，y 2＝k (x 2－4)， 令k 1＋k 2＝y 1x 1－m ＋y 2x 2－m ＝0，(x 1－m )y 2＋(x 2－m )y 1＝0，当k ≠0时，2x 1x 2－(m ＋4)(x 1＋x 2)＋8m ＝0， 化简得，8(m －1)2k 2＋1＝0，所以m ＝1.当k ＝0时，也成立．所以存在点Q (1,0)，使得∠PQM ＋∠PQN ＝180°.1．若点P (a ,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43B [由题意知a 22＋13>1，即a 2>43，解得a >233或a <－233.]2．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交D ．相交或相切A [把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 2＝1， 得x 24＋(3－x )2＝1，即5x 2－24x ＋32＝0. ∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0， ∴直线与椭圆相离．]3．已知F 是椭圆x 225＋y 29＝1的一个焦点，AB 为过椭圆中心的一条弦，则△ABF 面积的最大值为( )A ．6B ．15C ．20D ．12D [由可知a ＝5，b ＝3，c ＝52－32＝4，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则S ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤12|OF |·2b ＝12.]4．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m ，当直线与椭圆有公共点时，则实数m 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，52 [由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，当直线与椭圆有公共点时，Δ＝4m 2－4×5(m 2－1)≥0， 即－4m 2＋5≥0，解得－52≤m ≤52.]5．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点F (c ,0)的弦中最短弦长是________． 2b 2a [最短弦是过焦点F (c ,0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦．将点(c ，y )的坐标代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，故最短弦长是2b 2a .]回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)直线和椭圆有几种位置关系？如何判断？[提示]三种位置关系：相交、相切、相离．解直线方程与椭圆方程组成的方程组，通过解的个数判断位置关系，当方程组有两个解(Δ>0)时，直线与椭圆相交，当方程组有一个解(Δ＝0)时，直线与椭圆相切，当方程组无解(Δ<0)时，直线与椭圆相离．(2)当直线与椭圆相交时，试写出弦长公式．[提示]|AB|＝1＋k2·(x1＋x2)2－4x1x2＝1＋12－4y1y2.k2·(y1＋y2)(3)如何处理椭圆的中点弦问题？[提示]①根与系数的关系法：联立直线方程与椭圆方程构成方程组，消掉其中的一个未知数，得到一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系结合中点坐标公式求解．②点差法：设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．即“设而不求”思想，这也是此类问题最常用的方法．。
第十三单元§13.2直线与椭圆的综合应用
§13.2直线与椭圆的综合应用一椭圆的焦点弦1.a+c与a-c分别为椭圆上点到焦点距离的最大值和最小值.2.椭圆的通径(过焦点垂直于长轴的弦)长,是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得的弦长的最小值.二直线与椭圆的位置关系的研究方法1.弦长问题,应用弦长公式及韦达定理,设而不求;有关焦点弦长问题,要重视圆锥曲线的定义的运用,以简化运算.2.中点弦问题,除了利用韦达定理外,要注意灵活运用“点差法”,设而不求,简化运算.3.定值问题,常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无关.也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明.4.定点问题,常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求出定点.也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明.5.范围(最值)问题:(1)利用判别式构造不等关系,确定参数的取值范围(最值);(2)利用隐含或已知的不等关系建立不等式,求出参数的取值范围(最值);(3)利用基本不等式,求出参数的取值范围(最值);(4)利用函数的值域,确定目标变量的取值范围(最值);(5)利用几何图形中的边角大小关系,确定参数的取值范围(最值).E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若+=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是().A. B.C. D.【解析】设左焦点为F1,连接AF1,BF1.则四边形BF1AF是平行四边形,故=,所以+=4=2a,所以a=2.设M(0,b),则≥,故b≥1,从而a2-c2≥1,所以0<c2≤3,所以0<c≤,所以椭圆E的离心率的取值范围是,故选A.【答案】AF1,F2是椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线与椭圆交于M,N两点,则△MNF2的周长为().A.16B.8C.25D.32【解析】由椭圆的定义,得△MNF2的周长L=|MN|+|MF2|+|NF2|=(|MF1|+|MF2|)+(|NF1|+|NF2|)=2a+2a=4a=4×4=16.【答案】AF1,F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左,右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为().A.B.C.D.【解析】设直线x=与x轴交于点M,则∠PF2M=60°.在Rt△PF2M中,PF2=F1F2=2c,F2M=-c,故cos 60°==-=,解得=,故E的离心率e=.【答案】CC:+=1的左,右顶点分别为A1,A2,点P在C上且k P A2=-1,那么k P A1=().A.B.C.1 D.2【解析】依题意知a=2,∴A1(-2,0),A2(2,0).设P(x,y),则k P A1k P A2=·-=-.∵y2=3-,∴k P A1×(-1)=---,解得k P A1=.【答案】B题型一椭圆中的定值问题【例1】已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,其长轴长与短轴长的和等于6.(1)求椭圆E的方程.(2)如图,设椭圆E的上,下顶点分别为A1,A2,P是椭圆上异于A1,A2的任意一点,直线PA1,PA2分别交x轴于点N,M,若直线OT与过点M,N的圆G相切,切点为T,证明:线段OT的长为定值.【解析】(1)由e==-=,得a=2b,①又2a+2b=6,即a+b=3,②联立①②,得a=2,b=1,故椭圆E的方程为+y2=1.(2)由(1)可知,A1(0,1),A2(0,-1),设P(x0,y0),显然,直线PA1,PA2的斜率均存在,则直线PA1的方程为y-1=-x,令y=0,得x N=--.直线PA2的方程为y+1=x,令y=0,得x M=.由切割线定理可得|OT|2=|OM||ON|=-=4,∴|OT|=2,即线段OT的长为定值2.【追踪训练1】已知椭圆C:+=1(a>b>0),过焦点垂直于长轴的弦长为1,且焦点与短轴两端点构成等边三角形.(1)求椭圆的方程.(2)过点Q(-1,0)的直线l交椭圆于A,B两点,交直线x=-4于点E,=λ,=μ.判断λ+μ是否为定值,若是,计算出该定值;若不是,请说明理由.【解析】(1)由条件得解得∴椭圆的方程为+y2=1.(2)由题易知直线l斜率存在,令l:y=k(x+1),A(x1,y1),B(x2,y2),E(-4,y0), 由得(1+4k2)x2+8k2x+4k2-4=0,∴x1+x2=-,x1x2=-.由=λ得(-1-x1,-y1)=λ(x2+1,y2),即--解得λ=-.由=μ得(-4-x1,y0-y1)=μ(x2+4,y2-y0),即---解得μ=-.∴λ+μ=-=-.将x1+x2=-,x1x2=-代入, ∴λ+μ=---=---=0.题型二椭圆中的定点问题【例2】已知A,B是椭圆+y2=1上的两点,且=λ,其中F为椭圆的右焦点.(1)求实数λ的取值范围.(2)在x轴上是否存在一个定点M,使得·为定值?若存在,求出定值和定点坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由已知条件知直线AB过椭圆右焦点F(1,0).当直线AB与x轴重合时,λ=3±2.当直线AB不与x轴重合时,可设AB:x=my+1,代入椭圆方程,并整理得(2+m2)y2+2my-1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得y1+y2=-,y1y2=-.所以=-∈(-4,0].又由=λ,得-y1=λy2,所以==-λ-+2∈(-4,0],解得3-2<λ<3+2.综上,实数λ的取值范围是[3-2,3+2].(2)设M(a,0),则·=(x1-a)(x2-a)+y1y2=(my1+1-a)(my2+1-a)+y1y2=(1+m2)y1y2+m(1-a)(y1+y2)+(1-a)2=---+(1-a)2=--为定值,所以2a2-4a+1=2(a2-2),解得a=.故存在定点M,使得·为定值-.(经检验,当AB与x轴重合时也成立)【追踪训练2】设M是焦距为2的椭圆E:+=1(a>b>0)上一点,A,B是椭圆E的左、右顶点,直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,且k1k2=-.(1)求椭圆E的方程.(2)已知椭圆E:+=1(a>b>0)上点N(x0,y0)处的切线方程为+=1.若点P是直线x=2上任意一点,从点P向椭圆E作切线,切点分别为C,D,求证:直线CD恒过定点,并求出该定点的坐标.【解析】(1)设A(-a,0),B(a,0),M(m,n),则+=1,即n2=b2·-.=-,由k1k2=-,即·-=-,则a2=2b2.得-又c2=a2-b2=1,解得a2=2,b2=1.所以椭圆E的方程为+y2=1.(2)设点P(2,t),切点C(x1,y1),D(x2,y2),则两条切线PC,PD的方程分别为+y1y=1,+y2y=1.因为点P在切线PC,PD上,所以x1+y1t=1,x2+y2t=1,故C(x1,y1),D(x2,y2)均满足方程x+ty=1,即x+ty=1为直线CD的方程.令y=0,得x=1,故直线CD过定点(1,0).题型三椭圆中的范围与最值问题【例3】已知椭圆的中心是坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为,坐标原点O到过右焦点F且斜率为1的直线的距离为.(1)求椭圆的标准方程.(2)设过右焦点F且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P,Q两点,在线段OF上是否存在点M(m,0),使得|MP|=|MQ|?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设椭圆的方程为+=1(a>b>0),F(c,0)(c>0),由坐标原点O到直线x-y-c=0的距离为,得=,解得c=1.又e==,∴a=,b=1.∴椭圆的标准方程为+y2=1.(2)假设存在点M(m,0)(0<m<1)满足条件,∵直线l与x轴不垂直,∴设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2).得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.由-∵Δ>0恒成立,∴x1+x2=,x1x2=-.设线段PQ的中点为N(x0,y0),则x0==,y0=k(x0-1)=-.∵|MP|=|MQ|,∴MN⊥PQ,∴k M N·k P Q=-1,-·k=-1,∴m==.即-∵k2>0,∴0<m<.【追踪训练3】平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:+=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.(1)求M的方程;(2)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1,两式相减,得-+-=0.因为--=-1,设P(x0,y0),又P为AB的中点,且OP的斜率为,所以y0=x0,即y1+y2=(x1+x2),解得a2=2b2,即a2=2(a2-c2),即a2=2c2.又因为c=,所以a2=6.所以M的方程为+=1.(2)因为CD⊥AB,直线AB的方程为x+y-=0,设直线CD的方程为y=x+m,将x+y-=0代入+=1,得2x2-4x=0,解得x=0或x=.不妨令A(0,),B-,可得|AB|=.将y=x+m代入+=1,得3x2+4mx+2m2-6=0,设C(x3,y3),D(x4,y4),则|CD|=·-=-.又因为Δ=16m2-12(2m2-6)>0,即-3<m<3,所以当m=0时,CD取得最大值4,所以四边形ACBD面积的最大值为|AB|·|CD|=.方法椭圆中的弦长计算1.有关弦的三个问题涉及弦长的问题,应熟练地利用根与系数的关系,设而不求计算弦长;涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑利用圆锥曲线的定义求解.2.求解与弦有关问题的两种方法(1)方程组法:联立直线方程和圆锥曲线方程,消元(x或y)成为一元二次方程之后,结合根与系数的关系,建立等式关系或不等式关系.(2)点差法:在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时,设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标,代入圆锥曲线的方程并作差,从而求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程.“点差法”的常见题型有:求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性,即要考虑判别式Δ是否为正数.【突破训练】如图,已知P为椭圆E:+=1(a>b>0)上的点,且a2+b2=5,过点P的动直线与圆F:x2+y2=a2+1相交于A,B两点,过点P作直线AB的垂线与椭圆E相交于点Q.(1)求椭圆E的离心率;(2)若AB=2,求|PQ|.【解析】(1)由题意知,+=1,a2+b2=5,a>b>0,解得a2=3,b2=2,所以椭圆E的离心率e=-=.(2)由题意知,圆F的圆心为原点,半径r=2,|AB|=2,所以原点到直线AB的距离d=-·-=1.因为点P的坐标为,所以直线AB的斜率存在,设为k.所以直线AB的方程为y-1=k-,即kx-y-k+1=0,所以d=-=1,解得k=0或k=2.当k=0时,直线PQ的方程为x=,所以|PQ|的值为点P纵坐标的两倍,即|PQ|=2×1=2.当k=2时,直线PQ的方程为y-1=--,代入椭圆E的方程+=1,消去y并整理,得34x2-10x-21=0.设点Q的坐标为(x1,y1),所以+x1=,解得x1=-,所以|PQ|=-=.1.(2018太原模拟)已知点F1、F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线左支上存在点P与点F2关于直线y=x对称,则该双曲线的离心率为().A. B. C.2 D.【解析】如图所示,点P与点F2关于直线y=x对称,∴OP=OF2=OF1=c,∴PF1⊥PF2.又∵tan∠PF1F2=,F1F2=2c,∴PF2=2b,PF1=2a.∵点P在双曲线上,∴|PF2|-|PF1|=2a⇒2b-2a=2a⇒b=2a⇒e==.【答案】D2.(2018山西省太原市五中月考)已知P为椭圆+=1上的一个点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为.【解析】设圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4的圆心分别为F1(-3,0),F2(3,0),同时两圆心为椭圆的焦点,所以由椭圆定义得+=10.又根据圆外点到圆上点的最小距离等于圆外点与圆心连线长减半径,所以|PM|+|PN|≥-1+-2=+-3=10-3=7.【答案】73.(2018长沙月考)已知椭圆C:+=1(0<m<9)的左、右焦点分别为F1、F2,过点F1的直线交椭圆于A,B两点,若|AF2|+|BF2|的最大值为10,则m的值为.【解析】由0<m<9可知,焦点在x轴上,∵过点F1的直线l交椭圆于A,B两点,∴|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=12,∴|BF2|+|AF2|=12-|AB|.当AB垂直x轴时,|AB|最小,|BF2|+|AF2|的值最大,此时|AB|=,∴10=12-,解得m=3.【答案】34.(2018四川绵阳模考)设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与线段AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点,若=6,则k的值为.【解析】依题意得椭圆的方程为+y2=1,直线AB,EF的方程分别为x+2y=2,y=kx(k>0).如图,设D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1<0,x2>0.且x1、x2满足方程(1+4k2)x2=4,故x2=-x1=,由=6,知x0-x1=6(x2-x0),可得x0=(6x2+x1)=x2=.由点D在线段AB上知,x0+2kx0=2,得x0=,所以=,化简得24k2-25k+6=0,解得k=或k=.【答案】或5.(2018湖南六校联考)设椭圆C1:+=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且△PF1F2的周长是4+2.(1)求椭圆C1的方程.(2)设椭圆C1的左、右顶点分别为A、B,过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E,若点C满足AB⊥BC,AD∥OC,连接AC交DE于点P,求证:PD=PE.【解析】(1)由e=知,=,所以c= a.因为△PF1F2的周长是4+2,所以2a+2c=4+2,所以a=2,c=,所以b2=a2-c2=1,所以椭圆C1的方程为+y2=1.(2)由(1)得A(-2,0),B(2,0),设D(x0,y0),所以E(x0,0).因为AB⊥BC,设C(2,y1),所以=(x0+2,y0),=(2,y1).由AD∥OC,得(x0+2)y1=2y0,即y1=,所以直线AC的方程为=,整理得y=(x+2).又点P在直线DE上,将x=x0代入直线AC的方程,可得y=,即点P的坐标为,所以P为DE的中点,所以PD=PE.6.(2018汉中市质检)已知直线l:y=kx+与y轴的交点是椭圆C:x2+=1(m>0)的一个焦点.(1)求椭圆C的方程.(2)若直线l与椭圆C交于A,B两点,是否存在k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为直线l:y=kx+与y轴的交点坐标为F(0,),所以椭圆C:x2+=1(m>0)的一个焦点坐标为F(0,),所以椭圆的焦半距c=,所以m=c2+1=3+1=4,故椭圆C的方程为+x2=1.(2)将直线l的方程y=kx+代入+x2=1并整理,得(k2+4)x2+2kx-1=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-.假设以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O,则·=0,即x1x2+y1y2=0.又y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+3,所以--+3=0,解得k=±.经检验知,此时Δ>0,符合题意.故存在k=±,使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.7.(2018河北衡水中学高三上学期五调)已知椭圆C:+=1(a>b>0),圆Q:(x-2)2+(y-)2=2的圆心Q在椭圆C上,点P(0,)到椭圆C的右焦点的距离为.(1)求椭圆C的方程;(2)过点P作互相垂直的两条直线l1,l2,且l1交椭圆C于A,B两点,直线l2交圆Q于C,D两点,且M为CD的中点,求△MAB面积的取值范围.【解析】(1)∵椭圆C的右焦点F(c,0),=,∴c=2.∵点(2,)在椭圆C上,∴+=1.由a2-b2=4得a2=8,b2=4,∴椭圆C的方程为+=1.(2)由题意可得l1的斜率不为零,当l1垂直x轴时,△MAB的面积为×4×2=4,当l1不垂直x轴时,设直线l1的方程为y=kx+,则直线l2的方程为y=-x+,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(1+2k2)x2+4kx-4=0,∴x1+x2=-,x1x2=-,则=-=.由圆心Q(2,)到l2的距离d1=<得k2>1,又MP⊥AB,QM⊥CD,∴GM∥AB,∴点M到AB的距离等于点Q到AB的距离,设为d2,即d2=-=,∴△MAB面积S=d2==4.令t=2k2+1∈(3,+∞),则∈,S=4-=4--∈,综上,△MAB面积的取值范围为.8.(2018四川巴蜀联盟)如图,点M在椭圆+=1(a>b>0)上,且点M到两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆的方程;(2)设与MO(O为坐标原点)垂直的直线交椭圆于A,B(A,B不重合)两点,求·的取值范围.【解析】(1)由已知得,2a=4,∴a=2.又点M在椭圆+=1(a>b>0)上,∴+=1,解得b2=2,∴所求椭圆的方程为+=1.(2)∵k O M=,∴k A B=-.设直线AB的方程为y=-x+m,联立方程消去y得13x2-4mx+2m2-4=0.-∵Δ=(4m)2-4×13(2m2-4)=8(12m2-13m2+26)>0,∴m2<26.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-.·=x1x2+y1y2=7x1x2-m(x1+x2)+m2=-.结合0≤m2<26,可得·的取值范围是-.9.(2018福州模拟)已知点A(-4,0),直线l:x=-1与x轴交于点B,动点M到A,B两点的距离之比为2.(1)求点M的轨迹C的方程.(2)设C与x轴交于E,F两点,P是直线l上一点,且点P不在C上,直线PE,PF分别与C交于另一点S,T,证明:A,S,T三点共线.【解析】(1)设点M(x,y),依题意,==2,化简得x2+y2=4,即轨迹C的方程为x2+y2=4.(2)由(1)知曲线C的方程为x2+y2=4,令y=0,得x=±2,不妨设E(-2,0),F(2,0),如图.设P(-1,y0),S(x1,y1),T(x2,y2),则直线PE的方程为y=y0(x+2).由得(+1)x2+4x+4-4=0,所以-2x1=-,即x1=-,y1=.直线PF的方程为y=-(x-2).由--得(+9)x2-4x+4-36=0,所以2x2=-,即x2=-,y2=.所以k A S==-=,k A T==-=,所以k A S=k A T,所以A,S,T三点共线.10.(2018佛山质检)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的焦距为4,左、右焦点分别为F1、F2,且C1与抛物线C2:y2=x的交点所在的直线经过F2.(1)求椭圆C1的方程.(2)分别过点F1、F2作平行直线m、n,若直线m与C1交于A,B两点,与抛物线C2无公共点,直线n与C1交于C,D两点,其中点A,D在x轴上方,求四边形AF1F2D的面积的取值范围.【解析】(1)依题意得2c=4,则左、右焦点分别为F(-2,0)、F2(2,0).所以椭圆C1与抛物线C2的一个交点为P(2,),于是2a=|PF1|+|PF2|=4,从而a=2.又a2=b2+c2,解得b=2,所以椭圆C1的方程为+=1.(2)依题意,直线m的斜率不为0,设直线m:x=ty-2,由-消去x并整理,得y2-ty+2=0,由Δ=(-t)2-8<0,得t2<8.由-消去x并整理,得(t2+2)y2-4ty-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=-,所以|AB|=|y1-y2|=-=.因为直线m与n之间的距离d=(即点F2到m的距离),由椭圆的对称性知,四边形ABCD为平行四边形,故S四边形AF1F2D=S四边形ABCD=··=.令=s∈[1,3),则S四边形AF1F2D===∈,所以四边形AF1F2D的面积的取值范围为.11.(2018广东省佛山市高三教学质量检测)已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点M(2,1),且离心率为.(1)求椭圆C的方程.(2)设A(0,-1),直线l与椭圆C交于P,Q两点,且|AP|=|AQ|,当△OPQ(O为坐标原点)的面积S最大时,求直线l的方程.【解析】(1)依题意得+=1,e==,又a2=b2+c2,解得a2=8,b2=2,所以椭圆C的方程为+=1.(2)显然,直线l的斜率k存在.①当k=0时,可设直线l的方程为y=y0,P(-x0,y0),Q(x0,y0),则+=1.所以S=|2x0|·|y0|=|x0|·|y0|=2-≤2·-=2.当且仅当=2-,即=1时取等号,此时直线l的方程为y=±1.②当k≠0时,可设直线l的方程为y=kx+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立消去y整理得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-2)=0.由Δ=(8km)2-4(1+4k2)·4(m2-2)>0,得8k2+2>m2,(*)则有x1+x2=-,x1x2=-,于是可得PQ的中点坐标为-.因为|AP|=|AQ|,所以--=-,化简得1+4k2=3m,结合(*)可得0<m<6.又点O到直线l的距离d=,·-=-,所以S=|PQ|·d=··-.即S=-=--,所以当m=3时,S取得最大值,此时k=±,直线l的方程为y=±x+3.综上所述,直线l的方程为y=±1或y=±x+3.。
第二关 以解析几何中与椭圆相关的综合问题为解答题-(解析版)
压轴解答题第二关 以解析几何中与椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系．类型一 中点问题典例1已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率13e =，焦距为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()0,2Q 作斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若x 轴上的一点E 满足AE BE =，试求出点E 的横坐标的取值范围．【来源】河南省温县第一高级中学2021-2022学年高三上学期1月月考文科数学试题 【答案】(1)22198x y ；(2)220,12⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦. 【解析】（1）由已知可求得a 、c 的值，可求得b 的值，由此可得出椭圆C 的标准方程；（2）设点设()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，求出线段AB 的中点G 的坐标，由题意可知EG AB ⊥，可得1EG k k=-，可得出m 关于k 的表达式，分0k <、0k >两种情况讨论，结合基本不等式可求得m 的取值范围.(1)解：由已知得1322c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以，1c =，3a =，2228b a c =-=，因此，椭圆C 的方程为22198x y .(2)解：根据题意可知直线l 的方程为2y kx =+，设()11,A x y 、()22,B x y ， 线段AB 的中点为()00,G x y ，设点(),0E m ，使得AE BE =，则EG AB ⊥．联立222198y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()228936360k x kx ++-=，()()22223614498288940k k k ∆=++=+>，由韦达定理可得1223698k x x k +=-+，所以，021898k x k -=+，00216298y kx k =+=+， 因为EG AB ⊥，所以，1EGk k =-，即221601981898k k k m k -+=---+， 则2228989k m k k k--==++，当0k >时，89298122k k +≥⨯=22k =20m ≤<； 当0k <时，()()8889929122k k k k k k⎡⎤+=--+≤--⋅-⎢⎥--⎣⎦ 当且仅当22k =20m <≤综上所述，点E 的横坐标的取值范围为220,12⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.【举一反三】已知椭圆C ：()222210y x a b a b+=>>的焦距与椭圆2213x y +=的焦距相等，且C 经过抛物线()212y x =- （1）求C 的方程；（2）若直线y kx m =+与C 相交于A ，B 两点，且A ，B 关于直线l ：10x ty ++=对称，O 为C 的对称中心，且AOB 10k 的值． 【答案】（1）22142y x +=；（2）3k = 【解析】（1）由题意：()212y x =-(2，焦距为22故22222112a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得：24a =，22b =，所以C 的方程为：22142y x +=； （2）因为直线y kx m =+与C 相交于A ，B 两点，且A ，B 关于直线l ：10x ty ++=对称，故直线l 垂直AB ，所以k t =，联立22142y kx my x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2222240k x kmx m +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB的中点为()00,P x y ，则()228240k m∆=+->，022km xk =-+，00222my kx m k =+=+，因为()00,P x y 在直线l ：10x ky ++=上，所以2221022km km k k -++=++，即2m k k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以22480k k ⎛⎫∆=-> ⎪⎝⎭，即：22k >，()()()2222222212122k k AB k k k k +-∆=+=++，O 到直线AB 的距离()222211m d k k k ==++，()2241102AOBk SAB d -===，解得：23k =，3k =类型二 垂直问题典例2 已知椭圆1C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为22，1C 的长轴是圆2C ：222x y +=的直径.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆1C 的左焦点F 作两条相互垂直的直线1l ，2l ，其中1l 交椭圆1C 于P ，Q 两点，2l 交圆2C 于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最小值.【来源】广东省肇庆市2021届高三二模数学试题【答案】（1）2212x y +=；（2）2.【解析】（1）由222a =，得2a =由2c e a ==，得1c =，所以1b =.所以椭圆的方程为2212x y +=.（2）由（1）可得()1,0F -.①当过点F 的直线1l 的斜率不存在时，22MN =2PQ =这时11222222PMQN S MN PQ ==⨯=. ②当过点F 的直线1l 的斜率为0时，2MN =，22PQ =， 这时112222222PMQN S MN PQ ==⨯⨯=③当过点F 的直线1l 的斜率存在且不为0时，设直线1l 的方程为1x my =-，()11,P x y ，()22,Q x y .由22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得()222210m y my +--=. 12222m y y m +=+，12212y y m -=+. 所以())222212121222211142m m y m y y y y m PQ +=+-=++-=+.直线2l 的方程为0mx y m ++=，坐标原点O 到2l 的距离21d mm =+所以2222222211m m MN m m +=-=++22211122221222PMQN m S MN PQ m m +===-++由222m +>，得2122122m->+，即(2,22PMQN S ∈. 综上所述，四边形PMQN 的面积的最小值为2.【举一反三】已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>，离心率6e ．直线:1l x my =+与x 轴交于点A ，与椭圆C 相交于,E F 两点．自点,E F 分别向直线3x =作垂线，垂足分别为11,E F ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及焦点坐标；（Ⅱ）记1AEE ，11AE F ，1AFF 的面积分别为1S ，2S ，3S ，试证明1322S S S 为定值．【答案】（Ⅰ）椭圆C 的方程为2213x y +=，焦点坐标为(2,0)±；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】（Ⅰ）由题意可知1b =，又63c e a ==，即22123a a -=．解得23a =．即3a =． 所以222c a b =-=．所以椭圆C 的方程为2213x y +=，焦点坐标为(2,0)±．（Ⅱ）由221330x my x y =+⎧⎨+-=⎩得22(3)220m y my ++-=，显然m R ∈． 设()11,E x y ，()22,F x y ，则12122222,33m y y y y m m --+==++，()113,E y ，()123,F y ，因为13112211(3)(3)22S S x y x y =-⋅-12121(2)(2)4my my y y =--21212121[42()]4m y y m y y y y =-++ 22221222(42)4333m m m m m m ---=-⋅+⋅+++2223(2)(3)m m +=+， 又因为22221212121[2]()42S y y y y y y =⨯-=+-()22224833m m m =+++()222248243m m m ++=+()22212243m m +=+．所以22213222223(2)1(3)12(2)4(3)m S S m m S m ++==++． 类型三 面积问题典例3如图，已知椭圆221:12x y Γ+=和抛物线22:3x y Γ=，斜率为正的直线l 与y 轴及椭圆1Γ依次交于P 、A 、B 三点，且线段AB 的中点C 在抛物线2Γ上．(1)求点P 的纵坐标的取值范围；(2)设D 是抛物线2Γ上一点，且位于椭圆1Γ的左上方，求点D 的横坐标的取值范围，使得PCD 的面积存在最大值．【来源】浙江省2022届高三水球高考命题研究组方向性测试Ⅴ数学试题 【答案】(1)3,22⎛⎫⎪⎝⎭；(2)323,2⎛-- ⎝⎭. 【解析】（1）设直线l 的方程为()0,0y kx b k b =+>>，则()0,P b ，将直线l 的方程与椭圆的方程联立，可求得点C 的坐标，将点C 的坐标代入抛物线的方程，可得出()223214k b k +=，结合0∆>可得出2k 的取值范围，进而可求得b 的取值范围，即可得解；（2）设点()23,3D t t ，计算得出PCD 的面积239142416t S t k k ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭，令1u k =，记()()32424f u u t u t =-+--，则60u <()f u '，分析可知函数()f u 在6⎛ ⎝⎭内有唯一的极值点，且为极大值点，结合已知条件可得出关于t 的不等式组，解出t 的取值范围，即可得出点D 的横坐标的取值范围.(1)解：由题意可设直线l 的方程为()0,0y kx b k b =+>>，则()0,P b ，联立2222y kx b x y =+⎧⎨+=⎩可得()222214220k x kbx b +++-=， ()()()2222221682118210k b k b k b ∆=-+-=+->，可得2221b k <+，① 设点()11,A x y 、()22,B x y ，由韦达定理可得122421kb x x k +=-+，21222221b x x k -=+，设点()00,C x y ，则12022221x x kb x k +==-+，00221by kx b k =+=+， 将点C 的坐标代入抛物线2Γ的方程得224630k b k --=，则()223214k b k+=，代入①可得()22249212116k k k +<+，可得42161890k k -->，解得232k >， 因此()222321333,24242k b k k +⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭. 因此，点P 的纵坐标的取值范围是3,02⎛⎫⎪⎝⎭.(2)解：设点()23,3D t t，则点D 到直线l 的距离为22223311tk t bd k k -+==++，221kb k PC +=PCD 的面积()22331221kb t tk b S PC d k --=⋅=+，② 将()223214k b k +=代入②得239142416t S t k k ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭， 令1u k =，记()()32424f u u t u t =-+--，则60u <()22342f u u t '=-+-， 因为()f u '在6⎛ ⎝⎭上单调递减，所以，函数()f u 在6⎛ ⎝⎭内有唯一的极值点，且为极大值点，所以，()2204206440f t f t ⎧=->⎪⎨=-<⎪⎭'⎝⎩'，可得2112t <<，③ 因为点D 在椭圆1Γ的左上方，则2409182t t t <⎧⎨+>⎩，④ 由③④可得21t -<<D 的横坐标的取值范围是323,⎛- ⎝⎭. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．【举一反三】已知椭圆C ：22221(x y a b a b+=>>0)的右焦点F 与右准线l ：x ＝4的距离为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线():0m y kx t t =+≠与椭圆C 相交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与直线m 及x 轴和y 轴分别相交于点D ，E ，G ，直线GF 与右准线l 相交于点H ．记AEGF ，ADGH 的面积分别为S 1，S 2，求12S S 的值．【来源】江苏省苏州中学等四校2021-2022学年高三下学期期初联合检测数学试题 【答案】(1)22184x y +=；(2)12 【解析】（1）根据已知条件求得,,a b c ，由此求得椭圆C 的方程.（2）结合根与系数关系求得D 点坐标，进而求得,,E G H 点坐标，利用“中点”求得面积比.(1)依题意2222242a c a c ca b c ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得22,2a b c ===，所以椭圆方程为22184x y +=. (2)右焦点()2,0F .直线():0m y kx t t =+≠，由于线段AB 的垂直平分线与,x y 轴都相交，所以0k ≠，由22184y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得()222124280k x ktx t +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ， 则()1212122242,21212kt tx x y y k x x t k k -+=+=++=++， 所以222,1212ktt D k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭.线段AB 的垂直平分线的方程为22121212t kt y x k k k ⎛⎫-=-⋅+ ⎪++⎝⎭，令0y =，解得22,01212E kt kt x E k k --⎛⎫=⇒ ⎪++⎝⎭， 令0x =，解得220,1212G t t y G k k --⎛⎫=⇒ ⎪++⎝⎭. 所以,D G 关于E 点对称，所以DE EG =， 所以ADEAEGSS=.直线GF 的方程为()20120220tk y x --+-=--，令4x =，解得224,1212H t t y H k k ⎛⎫=⇒ ⎪++⎝⎭， 所以,G H 关于F 对称，所以GF FH =， 所以AGFAFHSS=.结合图象可知：1212S S =.【点睛】本题求四边形AEGF 和四边形ADGH 的面积比，常规的方法是借助弦长公式和点到直线距离来求面积，但本题用这个方法很难.在解题的过程中，求出,,,,D E G F H 的坐标后，要注意观察坐标间的对称性，结合对称性来求面积比，将问题求解大大简化.类型四 范围与定值问题典例4已知椭圆C ：()2222 1x y a b c a b +=>>2()2,1P ．(1)求C 的方程；(2)若A ，B 是C 上两点，直线AB 与曲线222x y +=相切，求AB 的取值范围． 【来源】重庆市2022届高三下学期开学考试数学试题【答案】(1)22163x y +=；(2)22,3⎡⎤⎣⎦ 【解析】（1）根据已知条件求得,,a b c ，由此求得椭圆C 的方程.（2）对直线AB 的斜率分成不存在，0k =，0k ≠三种情况进行分类讨论，结合弦长公式、基本不等式求得AB 的取值范围.(1)依题意22222224116,3c aa b c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⇒===⎨⎪=+⎪⎪⎩所以椭圆C 的方程为22163x y +=.(2)圆222x y +=的圆心为()0,0，半径2r =当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为2x 2x = 2222163x y x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩2222163x y x y ⎧=-⎪⇒=⎨+=⎪⎩ 所以22AB =当直线AB 的斜率为0时，直线AB 的方程为2y 2y =-2222163y x x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩2222163y x x y ⎧=-⎪⇒=⎨+=⎪⎩ 所以22AB =当直线AB 的斜率0k ≠时，设直线AB 的方程为,0y kx b kx y b =+-+=， 由于直线AB 和圆222x y +=()2222211b b k k =++.22163y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并化简得()222124260k x kbx b +++-=， ()()222222164122648248k b k b k b ∆=-+-=+- ()22248248213280k k k =+-⨯+=+>.设()()1122,,,A x y B x y 则2121222426,1212kb b x x x x k k --+=⋅=++， 所以()2222212122242614141212kb b AB k x x x x k k k --⎛⎫=++-=+-⋅ ⎪++⎝⎭()2422224242232845112222144144112k k k k k k k k k k ++++++++++2212122144k k=+>++另一方面，由于22221144448k k k k +⋅+≥=，当且仅当222114,2k k k ==时等号成立. 所以2211212131844k k++=++，即223AB ≤. 综上所述，AB 的取值范围是22,3⎡⎤⎣⎦.【举一反三】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(2,0)F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆内一点P （0，t ），斜率为k 的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，设直线OM ，ON （O 为坐标原点）的斜率分别为k 1，k 2，若对任意k ，存在实数λ，使得12k k k λ+=，求实数λ的取值范围． 【来源】江苏省扬州大学附中2021届高三下学期2月检测数学试题【答案】（1）22142x y +=；（2）[2,)+∞． 【解析】（1）椭圆2222:1(0) x y C a b a b+=>>的右焦点为(2,0)F ，则2c =∵过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，22221c y a b ∴+=，解得2b y a =±，222b a∴=，即2b a =，∴2222a b c a =+=+， 解得2a =，∴椭圆的方程为22142x y +=，（2）设直线l 的方程为y kx t =+．由221? 42x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消元可得()222214240k x ktx t +++-=， 设()()1122,,,M x y N x y ，则122421kt x x k -+=+，21222421t x x k -=+， 而121212*********y y kx t kx tk k k t x x x x x x ⎛⎫+++=+=+=++ ⎪⎝⎭1222124422242x x kt kk t k t x x t t +--=+⋅=+⋅=--， 由12k k k λ+=，242kk t λ-=-， 因为此等式对任意的k 都成立，所以242t λ-=-，即242t λ=-． 由题意得点(0,)P t 在椭圆内，故202t ≤<，即4022λ≤-<，解得2λ≥，故实数λ的取值范围为[2,)+∞．典例5 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两个端点组成的三角形是等腰直角三角形，点(10,1)P 是椭圆C 上一点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设(,)R s t 是椭圆C 上的一动点，由原点O 向22()()4x s y t -+-=引两条切线，分别交椭圆C 于点P ，Q ，若直线,OP OQ 的斜率均存在，并分别记为12,k k ，求证：12k k ⋅为定值． 【来源】云南省昭通市2022届高三期末数学（理）试题 【答案】(1)22:1126x y C +=；(2)证明见解析【解析】（1）由椭圆的性质得出b c =，再将(10,1)P 代入椭圆方程，结合222a b c =+得出椭圆C 的标准方程；（2）设直线1:OP y x k =，直线2:OQ y k x =，根据距离公式得出12,k k 是方程()2224240s k stk t --+-=的两根，由韦达定理结合点(,)R s t 在椭圆上，得出12k k ⋅为定值．(1)解：由已知有222222,(10)11,,b c b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩解得22212,6,6,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ ∴椭圆C 的方程为22:1126x y C +=.(2)证明：设直线1:OP y x k =，直线2:OQ y k x = 又直线OP 为圆R 12121k s t k -=+，化简可得()222114240s k stk t --+-=，同理可得()222224240s k stk t --+-=，∴12,k k 是方程()2224240s k stk t --+-=的两根，由()240,0s -≠∆>，可知212244t k k s -⋅=-， 又(,)R s t 在椭圆上，即22162t s =-，∴22122212412442s t k k s s --⋅===---，∴12k k ⋅为定值12-． 【举一反三】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过两点33,M ⎭，242N ⎝⎭. (1)求椭圆C 的方程：(2)A 、B 分别为椭圆C 的左、右顶点，点P 为圆224x y +=上的动点（P 不在坐标轴上），P A 与PB 分别与椭圆C 交E 、F 两点，直线EF 交x 轴于H 点，请问点P 的横坐标与点H 的横坐标之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由.【来源】江西省景德镇市2022届高三第二次质检数学（理）试题【答案】(1)22143x y +=(2)点P 的横坐标与点H 的横坐标之积为定值，定值为4 【解析】（1）将两点代入椭圆方程解方程求出,a b 的值，确定椭圆方程（2）设P A 与PB 直线与椭圆联立，求出E 、F 两点的坐标表达式，写出直线EF 方程，求出与x 轴的交点H 点的坐标，联立两条直线求出P 点的坐标，计算乘积判断是否为定值(1)将,M N 点坐标代入椭圆方程得：222233141421216a b a b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，解得：2234a b =⎧=⎪⎨⎪⎩ ，所以椭圆方程为22143x y +=(2)根据圆方程为224x y +=可知，AB 为圆的直径，点P 在圆上，所以PA PB ⊥，设直线PA 方程为：()2,0y k x k =+≠，联立()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 得：()2222341616120k x k x k +++-=，所以221612234A E E k x x x k -⋅=-=+，所以228634E k x k -+=+，代入直线得：21234E k y k =+；同理设直线PB 方程为：()12y x k =--，联立()2212143y x k x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：2222416163120x x k k k ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，则22221612161224343B F F k k x x x k k--⋅===++， 所以228643F k x k -=+，21243Fk y k =+， 所以2337E F EFE F y y k k x x k --==- ，直线EF 的方程为：222212338634734k k k y x k k k ⎛⎫--+-=- ⎪++⎝⎭，令0y =得：()()()()222222222234661278666343334333433H k k k k k k x k k k k k k -++-++=-⋅+==+-+-+-， 联立直线PA ，PB ()()212y k x y x k =+⎧⎪⎨=--⎪⎩得：22221P k x k -=+，所以222222664133P H k k x x k k -+⋅=⋅=+-，所以点P 的横坐标与点H 的横坐标之积为定值，定值为4【精选名校模拟】1．已知椭圆2222C :1(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，直线1:22l y x =-+与椭圆C 有且仅有一个公共点A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及A 点坐标；（Ⅱ）设直线l 与x 轴交于点B ．过点B 的直线与C 交于E ，F 两点，记点A 在x 轴上的投影为G ，T 为BG 的中点，直线AE ，AF 与x 轴分别交于M ，N 两点．试探究||||TM TN ⋅是否为定值?若为定值，求出此定值；否则，请说明理由．【来源】湖南省长沙市第一中学、广东省深圳实验学校2021届高三下学期联考数学试题【答案】（1）2231,1,432x y A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（2）||||TM TN ⋅为定值94 【解析】（1）设椭圆C 的半焦距为c ，则12c a =，则224a c =，22223b a c c =-=， 所以椭圆C 的方程为：2222143x y c c+=，将椭圆C 的方程与直线l 的方程联立得：222430x x c -+-=, 所以244(43)0c ∆=-⨯-=，解得：21c =，所以24a =，23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=，此时将21c =代入222430x x c -+-=得：2210x x -+=， 所以1x =，此时32y =。
高二数学椭圆试题答案及解析
高二数学椭圆试题答案及解析1.已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为和，且||=2，点（1，）在该椭圆上.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过的直线与椭圆C相交于A，B两点，若A B的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆方程.【答案】（1）（2）【解析】解：（Ⅰ）根据题意，由于椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为和，且||=2，点（1，）在该椭圆上，2c=2,利用定义可知椭圆C的方程为（Ⅱ）①当直线⊥x轴时，可得A（-1，-），B（-1，），A B的面积为3，不符合题意.②当直线与x轴不垂直时，设直线的方程为y=k(x+1).代入椭圆方程得：，显然＞0成立，设A，B，则，，可得|AB|=又圆的半径r=，∴A B的面积=|AB| r==，化简得：17+-18=0，得k=±1，∴r =，圆的方程为【考点】直线与椭圆的位置关系点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题。
2.椭圆=1上一点M到左焦点F的距离为2, N是MF的中点,则=( )A．2B．4C．6D．【答案】B【解析】解：∵椭圆方程为,∴椭圆的a=5，长轴2a=10，可得椭圆上任意一点到两个焦点F1、F2距离之和等于10．∴|MF1|+|MF2|=10，∵点M到左焦点F1的距离为2，即|MF1|=2，∴|MF2|=10-2=8，∵△MF1F2中，N、O分别是MF1、F1F2中点，∴|ON|= |MF2|=4．故选B．【考点】三角形中位线定理和椭圆的定义点评：本题考查了三角形中位线定理和椭圆的定义等知识点，考查学生的计算能力，属于基础题3.过椭圆+=1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求此弦所在直线方程。
【答案】x+2y-4=0，【解析】解：设直线与椭圆的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），∵M（2，1）为AB的中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2，∵又A、B两点在椭圆上，则x12+4y12=16，x22+4y22=16，两式相减得(x12-x 22)+4(y12-y22)=0，于是（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0，故所求直线的方程为y-1=-(x-2)，即x+2y-4=0．【考点】直线与椭圆的位置关系点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．4.设分别为椭圆的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若，则点A的坐标是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，由椭圆可知点的坐标代入得，将A,B代入椭圆得关于的方程组，解得【考点】椭圆方程及性质，向量运算点评：圆锥曲线题目中出现的向量关系式常化为坐标表示，本题将所求A点设出，利用向量求得B点，两点在椭圆上即可代入5.已知椭圆的离心率为，右焦点为（,0），斜率为1的直线与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2）.（I）求椭圆G的方程；（II）求的面积.【答案】（I）（II）【解析】（Ⅰ）由已知得解得，又所以椭圆G的方程为（3分）（Ⅱ）设直线l的方程为（ 4分）由得 5分设A、B的坐标分别为AB中点为E，则；（7分）因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率解得m=2。
《直线与椭圆的位置关系》教学设计
《直线与椭圆的位置关系》教学设计思考：已知条件中的2AOB π∠=还可以用什么形式来表达？教师提出问题，学生思考并回答通过探究一及思考问题实现点在圆上、直角及向量点积等于零的转化，发展学生逻辑推理和数学运算素养変式已知椭圆C ：2214x y +=，直线:l 2y kx =+与椭圆交于AB 两点，且O 为坐标原点，若(,)2AOB ππ∠∈，求k 的取值范围思考：（1）将条件改为(0,)2AOB π∠∈呢？（2）(,)2AOB ππ∠∈，(0,)2AOB π∠∈还可以用什么形式来表达？拍照展示学生解题成果，其他学生纠错，教师点评，在求范围时注意判别式教师提出问题，学生思考并回答通过学生纠错发现问题，提出问题，分析问题并解决问题。
加强“四基”、 “四能”的培养。
激发学生的求知欲望.通过変式训练及思考问题实现点在圆内或外、钝角或锐角及向量点积小于或大于零的转化反思总结学生总结培养学生善于总结，自觉归纳知识的好习惯.探 究 二设椭圆C ：2212x y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A,B ，点M 的坐标为（2，0），设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.思考：（1）此题还可以改为证明什么结论呢？（2）若增加条件MA ，MB 与y 轴分别交于C ，D 两点，试判断MCD ∆的形状学生展台展示并讲解，对出现的问题其他学生纠错，教师点评。
教师提出问题学生思考并回答探究二及思考问题实现角相等、角平分、角互补、等腰三角形、斜率之和为零的转化，发展学生逻辑推理和数学运算素养反思总结学生总结培养学生善于总结，自觉归纳知识的好习惯.変式训练変式1：已知椭圆为C：2214xy+=，过点M （4，0）作关于x轴对称的两条不同的直线12,,l l若直线1l交椭圆C于一点11(,)A x y，直线2l交椭圆C于一点22(,)B x y,12x x≠，证明：直线AB恒过定点。
学生讲解，其他学生补充其他方法，教师点评多种方法解题，发散学生思维能力，再与探究二做对比，总结归纳変式2：已知椭圆为C：22143x y+=，过左焦点F作x轴的垂线交椭圆于A,B两点，点A在第二象限，且满足||||AM AF AN AFAM AN=,问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由。
直线与椭圆综合应用(含答案)
1、（北京文科19）已知△ABC 的顶点A ，B 在椭圆2234x y +=上，C 在直线l ：y=x+2上， 且AB ∥l ．（Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及△ABC 的面积；（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．解：（Ⅰ）因为AB ∥l ，且AB 边通过点（0，0），所以AB 所在直线的方程为y=x.设A ，B 两点坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2).由2234,x y y x ⎧+=⎨=⎩得1,x =±所以12AB x -=又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离， 所以12.2ABCh SAB h === （Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y=x+m. 由2234,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246340.x mx m ++-= 因为A ，B 在椭圆上， 所以212640.m ∆=-+＞设A ，B 两点坐标分别为（x 1,y 1），（x 2,y 2）.则21212334,,24m m x x x x -+=-=所以12AB x =-=又因为BC 的长等于点（0,m ）到直线l 的距离，即BC =所以22222210(1)11.AC AB BC m m m =+=--+=-++所以当m=-1时，AC 边最长.（这时12640=-+＞）此时AB 所在直线的方程为y=x-1.2、（福建厦门理工学院附中·2010届高三12月考（文））已知椭圆E 的焦点在x 轴上，长轴长为4．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知点(0,1)A 和直线l ：y x m =+，线段AB 是椭圆E 的一条弦且直线l 垂直平分弦AB ，求点B 的坐标和实数m 的值． 解：（Ⅰ）由2a ＝4，得a ＝2离心率为a c ，c ＝3………………………2分222c a b -=＝13、且过点(2,1)A（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:10l x y --=与椭圆C 交于不同的两点,M N ，的值.【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。
椭圆的简单几何性质(3) 直线与椭圆位置关系 课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
知识巩固
回忆：直线与圆的位置关系
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
问题2：怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： d>r
d=r
d<r
代数法： ∆<0
∆=0
∆>0
探究新知
点与椭圆的位置关系
·
·
·
直线与椭圆的位置关系
B
A
C
种类:
点在椭圆内
点在椭圆上
点在椭圆外
d
4 x0 5 y0 40
42 52
4 x0 5 y0 40
41
尝试遇到困难怎么办?
作出直线 l 及椭圆,
观察图形,数形结合思考.
且
x0 2
25
y0 2
9
1
l
m
m
பைடு நூலகம்
直线与椭圆的位置关系
x2 y 2
练1：已知椭圆
1，直线l：
4 x - 5 y 40 0.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距
16
4
方程.
x 2y 4 0
x2 y2
10
2.椭圆
1 上的点到直线 x 2 y 2 0 最大距离是________.
16
4
3.已知椭圆的焦点 F1 ( 3, 0), F2 (3, 0) 且和直线 x y 9 0 有公共点,则其中长轴最短
的椭圆方程为______.
△0
m x 2 nx p 0(m 0)
△ =n 2 4m p
方程组有两解
两个交点
相交
【一等奖教案】 椭圆与直线的位置关系
教学难点：准确画出二元一次不等式（或不等式组）所表示的平面区域。 关键：教师引导的逻辑层次要清晰，学生的探求欲望要强烈。
3．教学大纲对这部分内容的要求 了解二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会进行简单的应用。
4
k k OA
2
OB
,求直线
l
的方程.
3.已知椭圆 C 的两个焦点 F1 (0, 2 2 ). F2(0,－ 2 2 ).离心率 e 6 .
3
①求椭圆 C 的方程；
②是否存在直线 l 使之与圆 x2+y2=1 相切，且切点是 l 与椭圆 C 相交弦的中点？若存在，求出 l 的方程；若不存在，请说明理由.
常用的方法，大家务必掌握. 但是，这种解法显得较繁（特别是方程组 16(k2+4k+3)>0
2
16 k 8k 4 2 1 4k
显得较繁）。下面看解法二：
解二：设弦的两个端点分别为 P(x1,y1) , Q(x2,y2) 则 x1+x2=4, y1+y2=2 ∵在 P(x1,y1) , Q(x2,y2)椭圆上, 故有 x12+4y12=16 两式相减得(x1+x2 )(x1-x2 )+4( y1+y2) ( y1-y2)=0 ∵点 M（2，1）是 PQ 的中点, 故 x1≠x2，
x0
k
0
x
x
故 0
x0
1
∴y
3 y y 1
02
3
x ∴ k
02
A
0
0
2
直线与椭圆的综合运用(教案)
教学过程一、知识讲解考点/易错点1 直线与椭圆的位置关系提问学生：回忆点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系引出点与椭圆的位置关系 1.点与椭圆的位置关系设点),(00y x P ，椭圆标准方程为)0(12222>>=+b a by a x若点),(00y x P 椭圆上，则122220=+b y a x ；若点),(00y x P 在椭圆内，则122220<+b y a x ；若点),(00y x P 在椭圆外，则1220220>+by a x ；2.直线与椭圆的位置关系（1）通过直线运动与椭圆形成的交点个数说明直线与椭圆的三种位置关系： 相离：直线与椭圆没有交点； 相切：直线与椭圆有唯一交点；相交：直线与椭圆两个交点； （2）判断直线与椭圆的位置关系设直线:,l y kx m =+椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>，联立直线与椭圆方程消去y 得22222222()2()0a k b x a kmx a m b +++-=记该一元二次方程的判别式为∆，则①当0∆>时，直线与椭圆相交，有两个交点； ②当0∆=时，直线与椭圆相切，此时有一个交点； ③当0∆<时，直线与椭圆相离，没有交点. （3）弦长公式的推导设1122(,),(,)A x y B x y 为椭圆上的两点， AB 叫做椭圆的弦长. 回忆两点间的距离公式，通过距离公式化简整理，得出弦长公式.11AB x x y y =-=-k 为直线AB 的斜率）. 二、例题精析【例题1】【题干】已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x M 的离心率为23，右顶点到左焦点的距离为32+（1）求椭圆M 的方程.（2）若直线20x y m +-=与椭圆M ：①相交，②相切，③相离，求实数m 的取值范围； （3）设直线t x y l +=:与椭圆M 相交于不同的B A ,两点，令)(t f AB =，求)(t f .【答案】（1）2214x y +=（2）①相交：m <<，②相切： m =，③相离： m m <<或（3）()(f t t =∈【解析】（1）依据题意，则2c a a c ⎧=⎪⎨⎪+=+⎩解方程组得2,a c ==所以椭圆方程为2214x y += （2）联立222014x y m x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消掉y 得225161640x mx m -+-=222(16)45(164)16(54)m m m ∆=-⨯-=-①若直线与椭圆相交，则216(54)0m ∆=->，解得22m -<<②若直线与椭圆相切，则216(54)0m ∆=-=，解得m =③若直线与椭圆相离，则216(54)0m ∆=-<m m <<或（3）联立2214y x tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消掉y 得2258440x tx m ++-= 因为直线与椭圆有两个交点，则226420(44)0t t ∆=-->，解得t <设1122(,)(,)A x y B x y ，由韦达定理，则1285tx x +=-，2124(1)5t x x -=由弦长公式，则AB ===所以()(f t t =∈ 【例题2】【题干】已知椭圆22:12x M y +=， （1）求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程； （2）过1()22Q 的直线与椭圆M 相交于,A B 两点，且,A B 关于点Q 对称，求直线AB 的方程；（3）过点(2,1)的直线l 与椭圆M 相交，求直线l 被椭圆截得的弦中点的轨迹方程. 【答案】（1）40x y +=，（2220y +-=，（3）222220x y x y +--=【解析】(1) 设平行弦中点坐标为00(,)x y ，弦与椭圆对应的两个交点为11(,)x y ，22(,)x y221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得12121212()()()()02x x x x y y y y +-++-= 化简整理得1212121222()y y x xx x y y -+=-=-+又因为1201202,2x x x y y y +=+=，代入上式，得0040x y +=.所以平行弦中点的轨迹方程为40x y += (在椭圆22:12x M y +=内的部分). （2）设33(,)A x y ，44(,)B x y ，则223322441212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得34343434()()()()02x x x x y y y y +-++-=曲线的范围 化简整理得121212122()y y x xx x y y -+=--+又因为,A B关于点1()22Q对称，则34121x x y y +=+=所以121212122()2AB y y x x k x x y y -+==-=--+故直线AB220y +-=（3）由点(2,1)的位置结合椭圆方程可知直线l 的斜率必然存在， 设弦中点坐标为(,)x y ''，则12l y k x '-='-………………………()i 设直线与椭圆的两交点分别为5566(,),(,)x y x y ，则56562,2x x x y y y ''+=+=又225522661212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得56565656()()()()02x x x x y y y y +-++-= 化简整理得565656562()2l y y x x x k x x y y y '-+==-=-'-+……………()ii 由()i ()ii 联立化简得， 222220x y x y ''''+--=. 所以弦中点的轨迹为：222220x y x y +--=.三、课堂运用【基础】1.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一动点P ,F 为椭圆的右焦点，若max min 33PF PF ==，则椭圆的方程为（ ）A ．22194x y +=B ．22154x y +=或22195x y += Ｃ．22195x y += Ｄ．22154x y +=或22194x y += 【答案】Ｃ.【解析】依据题意易得33a c a c +=-=3,a c ==所以椭圆方程为：22195x y += 2.已知直线1l 过椭圆14:22=+y x C 的左焦点1F 且与椭圆相交于B A ,两点，椭圆C 的右焦点为2F ，则2ABF ∆的周长为（ ） Ａ．6 Ｂ． 7 Ｃ．8 Ｄ．9【答案】Ｃ．【解析】如图,因为B A ,在椭圆上，由椭圆的定义，则a AF AF a BF BF 2,22121=+=+所以2ABF ∆的周长842222==+=++=a a a AF BF AB C所以选.C3. 椭圆1649422=+y x 的焦点分别为21,F F ,点M 在椭圆上，若31=PF ,则=2PF ,=∠21PF F .【答案】4；2π. 【解析】由椭圆的定义7221==+a PF PF ，则437712=-=-=PF PF , 又因为5222221=-==b a c F F ，故21PF F ∆为直角三角形，所以221π=∠PF F .4.已知)0,2(),0,2(B A -,动点),(y x P 满足6=+PB PA ,则点),(y x P 的轨迹方程为 .【答案】15922=+y x【解析】因为64<=AB ,所以点),(y x P 的轨迹为椭圆62=a ，则3=a ，2=c522=-=c a b ，故椭圆方程为15922=+y x . 5.若直线2y mx =+与椭圆22142x y +=有且只有一个交点，求实数m 的值.【答案】2m =±【解析】联立22224y mx x y =+⎧⎨+=⎩消y 得22(21)840m x mx +++= 因为直线与椭圆只有一个交点，则22644(21)40m m ∆=-⨯+⨯=解得m =. 【巩固】1. 已知两定点)1,1(),1,1(--B A ，动点P 满足22x =⋅，则点P 的轨迹是（ ）Ａ．圆 Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线【答案】Ｂ．【解析】设),(y x P ，)1,1(),1,1(y x PB y x PA ----=--=，则22222x y x =-+=⋅，整理得12422=+y x ，所以是椭圆，选B .2.直线y x a =+与椭圆2212x y +=相交于,A B 两点，若AB =，求a 的值. 【答案】1【解析】联立2222y x a x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得2234220x ax a ++-= 21643(22)0a a ∆=-⨯->恒成立，则a R ∈设1122(,),(,)A x y B x y ，由韦达定理，则1243ax x +=-，212223a x x -=由弦长公式AB ===解得1a =.【拔高】1.过原点的直线l 与曲线C:1322=+y x 相交,若直线l 被曲线C 所截得的线段长不大于6,则直线l 的倾斜角α的取值范围是 ( ).A 656παπ≤≤ .B 326παπ<< .C 323παπ≤≤ .D 434παπ≤≤【答案】Ｄ．【解析】因为截得的线段长不大于6，故直线不可能与x 轴重合，可设直线方程为x my = 联立⎩⎨⎧=+=3322y x myx 消去x 得，03)3(22=-+y m ，设直线与椭圆相交于B A ,两点，则63)3(121222≤+++=m m mAB ，整理得63)1(1222≤++m m ，解得11≤≤-m所以]1,1[1tan -∈==m k α，又),0[πα∈，解得434παπ≤≤.选.D 2. 已知椭圆221169x y +=，12,l l 是过点(0,)P m 且相互垂直的两条直线，问实数m 为何值时，12,l l 与椭圆都有公共点.【答案】[5,5]m ∈-【解析】由题知点(0,)P m 在y 轴上运动，分两种情形讨论（1）当12,l l 中有一条与x 轴平行时，则必有一条是y 轴，此时[3,3]m ∈-； （2）当12,l l 中都不与x 轴平行时，设1:l y kx m =+，则21:l y x m k=-+. 1l 与椭圆有公共点，即22()1169x kx m ++=有实数根，整理得 222(169)32161440k x kmx m +++-=222(32)4(169)(16144)0km k m ∴∆=-+-≥解得22916m k -≥. 2l 与椭圆有公共点，同理可得2219()16m k -≥当3m >时，229()1516m m -≤⇒≤；又5m >时，229259()11616m -->=； 而221,k k必有一个小于等于1，此时12,l l 与椭圆不可能都有公共点. 综上所述5m ≤时，12,l l 与椭圆都有公共点.即[5,5]m ∈-.课程小结本讲主要学习了下面的内容： 直线与椭圆的位置关系课后作业【基础】1.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（ ）.A 2211612x y += .B 221128x y += .C 22184x y += .D 221124x y +=【答案】C【解析】依题可设椭圆方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，则2,42==c c ，8,422=-=-=a c a x ，所以4222=-=c a b ，椭圆方程为22184x y +=，故选.C 2.已知直线m x y +=与椭圆1422=+y x 相交，则实数m 的取值范围为（ ）.A ]5,5[- .B )5,0( .C )0,5(- )5,5.(-D 【答案】Ｄ．【解析】把直线方程m x y +=代入椭圆1422=+y x 得0448522=-++m mx x ，因为相交，所以0)44(206422>--=∆m m ，解得)5,5(-∈m .故选.D3.直线12+=x y 与椭圆15922=+y x 相交于MN 两点，则弦=MN （ ）.A 411060 .B 41106 .C 361041 .D 41102【答案】Ａ．【解析】：联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=1591222y x x y 消去y 得03636412=-+x x ，设),(),,(2211y x N y x M 则a acb ky y x x MN 41)()(22221221-+=-+-=41106041364143652=⨯⨯+⋅=.选.A4.直线l 方程)1(-=x m y ，椭圆134:22=+y x M ，则直线l 与椭圆M 的位置关系为（ ）.A 相交 .B 相离 .C 相切 .D 无法判断 【答案】.A【解析】已知直线)1(-=x m y 过定点)0,1(，定点代入椭圆则1304122<+，过直线过椭圆内部的点，所以直线l 与椭圆M 相交，选.A 【巩固】1.已知直线:2l y x m =+，椭圆22:142x y M +=，试问：当m 取何值时，直线l 与椭圆： ①相交；②相切；③相离.【答案】2323<<-m ；23±=m ；2323>-<m m 或【解析】将m x y +=2代入椭圆消去y 得0428922=-++m mx x ，28144m -=∆①当081442>-=∆m ，即2323<<-m 时，直线与椭圆相切；②当081442=-=∆m ，即23±=m 时，直线与椭圆相切；③当081442<-=∆m ，即2323>-<m m 或时，直线与椭圆相离.2.B A ,是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的短轴端点，点M 是椭圆上异于B A ,的任意一点，直线MA ，MB 与x 轴交点的横坐标分别为21,x x ，求证：21x x ⋅是定值. 【答案】答案见解析【解析】证明：如图)5(C ，),0(),,0(b B b A -，设),(00y x M ，则 直线MA 的方程为：00y by b x x --=……………① 直线MB 的方程为：00y by b x x ++=……………② 由①解得,001b y bx x --=由②解得by bx x +=002，则 2222001222000()()b x b x x x y b y b b y -⋅==-+-……………③ 又因为),(00y x M 在椭圆上，则2200221x y a b+=……………④由④解得)(202222y b a x b -=代入③式，得2222022********)(a y b y b a y b x b x x =--=-=⋅. 所以21x x ⋅是定值.3.过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程.【答案】042=-+y x【解析】法一：设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ）,则2,42121=+=+y y x x14162121=+y x ① 14162222=+y x ② ①-②得04))((16))((21212121=+-++-y y y y x x x x ，整理得21421212121-=++⋅-=--y y x x x x y y所以21-=AB k ，故直线方程为042=-+y x . 法二：设所求直线方程为)2(1-=-x k y ，代入椭圆方程并整理得：016)12(4)2(8)14(2222=--+--+k x k k x k又设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），则21,x x 是方程的两个根，于是14)2(82221+-=+k k k x x ， 又M 为AB 的中点，所以214)2(422221=+-=+k k k x x ， 解得21-=k ， 故所求直线方程为042=-+y x . 【拔高】1.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x M 的离心率为23，右顶点到左焦点的距离为32+（1）求椭圆M 的方程.（2）设直线t x y l +=:与椭圆M 相交于B A ,两点，令)(t f AB =，求)(t f .【答案】（１）1422=+y x （２）52104)(2t t f -=)55(<<-t【解析】（1） 23122=-==a b a c e ①，右顶点到左焦点的距离为32+，则23+=+c a ②，联立①②解得1,3,2===b c a ，椭圆方程为1422=+y x .（2）联立⎩⎨⎧=++=4422y x tx y 消去y 得0448522=-++t tx x ，因为直线与椭圆有两个交点，所以0)44(206422>--=∆t t 解得55<<-t 设),(),,(2211y x B y x A ，则aacb ky y x x AB 41)()(22221221-+=-+-=代入数据得5210451680222t t AB -=-⋅=)55(<<-t所以52104)(2t t f -=)55(<<-t2.已知直线3:=+y x l ，点P 为椭圆12:22=+y x M 上的一动点，则P 到直线l 的距离的最大值和最小值分别为（ ） .A 0,233+ .B 233,233-+ .C 13,13-+ .D 0,13+ 【答案】Ｂ．【解析】设点)sin ,cos 2(θθP ，则23)sin(323sin cos 2-+=-+=ϕθθθd当1)sin(-=+ϕθ时，233max +=d ；当1)sin(=+ϕθ时，233min -=d ，选.B3. M 是椭圆22194x y +=不在坐标轴上的点，12,F F 是它的两个焦点，I 是12MF F ∆的内心，MI 的延长线交12F F 于N ，则MI NI= .【解析】法一：如图,过M 作x 轴的垂线，垂足为G ,过I 作x 轴的垂线，垂足为H ，在21F MF ∆中 I F F I MF I MF F MF S S S S 212121∆∆∆∆++=则)(221212121F F MF MF IH MG F F ++=代入数据得IH c a MG c )(+= 所以11MGIH e =+，又MNG INH ∆≅∆,则111MG MN MI IN MI IH IN IN IN e+===+=+所以1MI NIe ==. 法二：解法二：因为I 是12MF F ∆的内心，所以2IF 平分N MF 2∠,MN 平分21MF F ∠,由角平分线定理，则==IN MI N F M F 22N F MF N F MF 1122=,又由等比定理，则531222121===++=e c a N F N F MF MF IN MI . 4. P 为椭圆22221x y b a+=上一点，B 为椭圆的上顶点，O 为坐标原点，若0OP BP ⋅=uu u r uu r ,则椭圆离心率的取值范围为 .【答案】2e ∈ 【解析】依据题意0OP BP ⋅=uu u r uu r，则90OPB ∠=︒，如图则P 点的轨迹是以OB a =为直径，(0,)2a 为圆心的圆222()()22a ax y +-= (1)又因为P 点在椭圆上，则22221x y b a +=……………………（2） 联立（1）（2）消掉x 得22220c y ay b a-+=222240c a b a ∆=-⋅⋅>，且(0,1)e ∈，解得(2e ∈5.已知P 是椭圆19422=+y x 上的一点（非顶点），过点P 作圆122=+y x 的两条切线，切点分别为B A ,，直线AB 分别与x 轴，y 轴交于N M ,两点. （1）证明：B A O P ,,,四点共圆.（其中O 为坐标原点） （2）求MN 的最小值.【答案】（１）答案见解析（２）56【解析】如图)6(C .(1)证明：因为PB PA ,都与圆122=+y x 相切，B A ,是切点，则OB PB OA PA ⊥⊥,,即︒=∠=∠90PBO PAO ,所以B A O P ,,,四点共圆.（2）B A O P ,,,四点共圆，直径为PO ，设),(00y x P ，则圆心为)2,2(0y x ，圆的方程为22220000()()224x y x y x y +-+-=……………………①221x y +=……………………②①-②整理得100=+y y x x ，直线AB 的方程为100=+y y x x 因为直线AB 与y 轴交点分别为N M ,，则01y y M =，01x x N =MN ==，又),(00y x P 在椭圆上，则2200149x y += 3625623613943613)94)(11(1)11(20202020202020202020=+≥++=++=⋅+x y y x y x y x y x 653625112020=≥+=y x MN ，所以65min=MN . 6. 已知，椭圆C 以过点A （1，32），两个焦点为（－1，0）（1，0）.（1）求椭圆C 的方程；（2）E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.【答案】（1）22143x y +=（2）12【解析】（1）由题意，c ＝1,可设椭圆方程为2222114x y b b+=+. 因为A 在椭圆上，所以2219114b b +=+，解得2b ＝3，2b ＝34-（舍去）. 所以椭圆方程为 22143x y +=．（2）设直线ＡＥ方程：得3(1)2y k x =-+，代入22143x y +=得22233+4+4(32)4()1202k x k k x k -+--=（）设Ｅ（E x ，E y ），Ｆ（F x ，F y ）．因为点Ａ（1，32）在椭圆上，所以2234()12234E k x k --=+，32E E y kx k =+-. 又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以k -代k ，可得2234()12234F k x k+-=+， 32F F y kx k =-++. 所以直线EF 的斜率()212F E F E EF F E F E y y k x x k k x x x x --++===--.即直线EF 的斜率为定值，其值为12.。
专题三直线与椭圆综合讲解
专题三 直线与椭圆综合1．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b b a +=>>椭圆C 的长轴长为4． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线:l y kx =C 交于A ，B 两点，是否存在实数k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．2．（本小题满分14分） 已知椭圆G 的离心率为，其短轴的两个端点分别为A （0,1）,B（0,-1）．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）若,C D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线,AC BD 与x 轴分别交于点,M N ．判断以MN 为直径的圆是否过点A ，并说明理由．3．（本小题满分12分）已知直线l ： 323-=x y 过椭圆C ：2221x a b2y ＋＝（a ＞b＞0）的右焦点，且椭圆的离心率为3（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点D （0，1）的直线与椭圆C 交于点A ，B ，求△AOB 的面积的最大值．4．已知椭圆2222:1x y C a b+=（a>b>0）的两个焦点分别为12,F F ，离心率为12，过1F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且2MNF ∆的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点O 的两条互相垂直的射线与椭圆C 分别交于A,B 两点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值，并求出这个定值．5．已知椭圆的中心为原点，焦点在x 轴上，离心率为，且经过点(4,1)M ，直线:l y x m =+交椭圆于异于M 的不同两点,A B ．直线MA MB x 、与轴分别交于点E F 、．（1）求椭圆标准方程；（2）求m 的取值范围；（3）证明MEF ∆是等腰三角形．6．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为12，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）若过点(0,)P m 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且3AP PB =，求实数m 的取值范围．7．（本小题满分13分）已知点P （一1，32）是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>上一点F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，O 是坐标原点，PF 1⊥x 轴．（1）求椭圆E 的方程；（2）设A ，B 是椭圆E 上两个动点，满足：(04,2)PA PB PO λλλ+=<<≠且，求直线AB 的斜率8．已知椭圆E ：()22221 0, 0x ya b a b +=>>的离心率 e =，并且经过定点1)2P （1）求椭圆 E 的方程；（2）问是否存在直线y=-x+m ，使直线与椭圆交于 A, B 两点，满足OA OB ⊥,若存在求 m 值，若不存在说明理由．9．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,)2A ，离心率为12，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）当2F AB ∆的面积为7时，求直线的方程.10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(2, 1)A ，离心率为2，过点(3, 0)B 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）求BM BN ⋅的取值范围.11．（满分14分）如图在平面直角坐标系xoy 中，12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点，顶点B 的坐标是(0,)b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1FC .（1）若点C 的坐标为41(,)33，且2BF =，求椭圆的方程； （2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值. 12．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 过点)3,2(A ，且离心率21=e ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在过点)4,0(-B 的直线l 交椭圆于不同的两点M 、N ，且满足167OM ON ⋅=（其中点O 为坐标原点），若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．13．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为e =12）， （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0,0)l y kx m k m =+≠>与椭圆交于P ，Q 两点，且以PQ 为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ 面积的最大值及此时直线的方程.参考答案1．（1）2214y x +=；（2）存在实数2k =±使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ．【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，利用椭圆的离心率和长轴长列出方程，解出a 和c 的值，再利用222a b c =+计算b 的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，将直线与椭圆联立，消参，利用韦达定理，得到12x x +、12x x ，由于以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ，所以0OA OB ∙=，即12120x x y y +=，代入12x x 和12y y ，解出k 的值．试题解析：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得22a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩解得2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩222431b a c =-=-=， 故所求椭圆C 的方程为2214y x +=． （2）存在实数k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ．理由如下：设点11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则⎪⎩⎪⎨⎧=++=14322x y kx y并整理，得22(4)10k x ++-=．（*）则12x x +=，12214x x k =-+． 因为以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ，所以0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=．又2121212()3y y k x x x x =++，()()033121212=++++∴x x k x x k 于是2222163044k k k k +--+=++，解得k = 经检验知：此时（*）式的Δ＞0，符合题意．所以当2k =±时，以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ． 考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系．2．（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）以MN 为直径的圆不过A 点． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知条件设椭圆G 的方程为：()22211y x a a +＝，＞由c a =可得222,1a b ==由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）设11C x y （，），且10x ≠，则11D x y -（，），由已知条件推导出202011x AM AN y -=+-⋅，()220021x y -＝，由此能求出以线段MN 为直径的圆不过点A ．试题解析：（Ⅰ）设椭圆G 的方程为：()22211y x a a +＝，＞,所以,1b =，2c a =，222a c =，∴21c =，∴222,1a b ==， ∴椭圆方程为2212x y += （Ⅱ）设00(,)C x y ，则00(,)D x y -，001AC y k x -=，001BD y k x +=-, 000011:1,:1,y y AC y x BD y x x x -+=+=-- 令0y =，则0000,,11M N x x x x y y -==-+ ∴0000(,1),(,1)11x x AM AN y y =-=---+，∴2001(1)(1)xAM ANy y-⋅=+-+=2200211x yy--+-∵2212xy+=∴22012xy-=，∴22212xAM ANx-⋅==-，∴AM与AN不垂直，∴以MN为直径的圆不过A点．考点：椭圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系3．（Ⅰ）221 62x y+=;【解析】试题分析：（Ⅰ）通过分析可知直线l与x轴的交点为(2,0)，得2c=，又cea==，得a=2222b a c=-=，可得,22=b即可求得椭圆方程为22162x y+=；（Ⅱ）可设直线AB方程为1y kx=+，设1122(,),(,)A x yB x y，故1112AOB AOD BODS S S OD x x∆∆∆=+=-=，为此可联立221162y kxx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22(31)630k x kx++-=，利用韦达定理，求出12122263,3131kx x x xk k-+==++，可得AOBS∆==令21,31tk=+则AOBS∆==1=t，即0k=时，AOBS∆试题解析：（Ⅰ）∵a b>，∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点，∵直线l与x轴的交点为(2,0)，∴椭圆的焦点为(2,0)，∴2c=， 1分又∵3c e a ==，∴a =2222b a c =-= 3分 ∴椭圆方程为22162x y +=． 4分 （Ⅱ） 直线AB 的斜率显然存在，设直线AB 方程为1y kx =+设1122(,),(,)A x y B x y ，由221162y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(31)630k x kx ++-=， 显然0∆>，12122263,3131k x x x x k k-+==++ 6分 1212AOB AOD BODS S S OD x x∆∆∆=+=-=分====分令2,31t k =+则(]0,1t∈， AOB S ∆==1t ∴=，即0k =时，AOB S ∆分考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与曲线相交问题.4．（Ⅰ）22143x y +=；. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由2MNF ∆的周长为8，得4a=8，由12e =得222222314a c e ab a --＝＝＝，从而可求得b ；（Ⅱ）分情况进行讨论：由题意，当直线AB 的斜率不存在，此时可设0000A x x B x x -（，），（，），再由A 、B 在椭圆上可求0x ，此时易求点O 到直线AB 的距离；当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y=kx+m ，代入椭圆方程消掉y 得x 的二次方程，知0∆＞，由OA ⊥OB ，得12120x x y y +=，即12120x x kx m kx m +++=（）（），整理后代入韦达定理即可得m ，k 关系式，由点到直线的距离公式可求得点O 到直线AB 的距离，综合两种情况可得结论，注意检验0∆＞．试题解析：（Ⅰ）由题意知，4a=8，所以a=2，因为12e =，所以222222314a c e ab a --＝＝＝，23b ∴=．所以椭圆C 的方程22143x y +=； （Ⅱ）由题意，当直线AB 的斜率不存在，此时可设0000A x x B x x -（，），（，）．又A ，B 两点在椭圆C 上，222000121437x x x ∴+＝，＝所以点O 到直线AB的距离7d ＝ 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y=kx+m ．22143x y kx m y ⎧⎪⎨+=⎩+⎪＝，消去y 得2223484120k x kmx m +++-=（）． 由已知0∆＞，设1122A x y B x y （，），（，）．212122284343412km m x x x x k k -+-++＝，＝， ()()221212121212120010OA OB x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⊥∴+=∴+++=∴++++，．（）（），＝．()22222222284123431071142m k k k m k m m k -∴+++-+∴=+＝．（），满足0∆＞．所以点O 到直线AB的距离7d ＝为定值. 考点：椭圆标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系5．（1）221205x y +=；（2）(5,3)(3,5)---；（3）详见解析． 【解析】 试题分析：（1，得224a b = ，由经过点(4,1)M ，得221611a b +=，联立求,a b 即可；（2）本题考查直线和椭圆位置关系，要注意判别式的隐含条件，联立椭圆方程和直线方程，利用0∆>和直线不经过点(4,1)M ，得关于m 的不等式，解不等式得m 的取值范围；（3）由数形结合可知，要证明MEF ∆是等腰三角形，只需证明120k k +=，表示两条直线的斜率，利用韦达定理设而不求，可证明120k k +=．试题解析：（1）设椭圆的方程为22221,x y a b+=因为e =，所以224a b =， 又因为椭圆过点(4,1)M ，所以221611a b+=，解得225,20b a ==，故椭圆标准方程为 221205x y += 4分 （2）将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200,x mx m ++-= 令 2(8)m ∆=220(420)0m -->，解得 55m -<<．又由题设知直线不过M （4,1），所以41m +≠，3m ≠-，所以m 的取值范围是(5,3)(3,5)---． 8分（3）设直线,MA MB 的斜率分别为1k 和2k ，要证明MEF ∆是等腰三角形，只要证明120k k +=即可．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由（2）知1285m x x +=-，2124205m x x -=．则1212121144y y k k x x --+=+-- 122112(1)(4)(1)(4)(4)(4)y x y x x x --+--=--．1221(1)(4)(1)(4)y x y x --+-- 1221(1)(4)(1)(4)x m x x m x =+--++--=122x x +12(5)()8(1)m x x m -+--22(420)8(5)8(1)55m m m m --=--- =0， 120k k ∴+=， 所以MEF ∆是等腰三角形． 14分考点：1、椭圆标准方程；2、直线和椭圆位置关系；3、韦达定理.6．（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）3([,3)． 【解析】试题分析：（Ⅰ）椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3a c +=，且离心率为12，结合222a b c =+，求得,a b 的值，进而求椭圆方程；（Ⅱ）直线和圆锥曲线位置关系问题，往往会将直线方程和圆锥曲线方程联立，根据其位置关系注意判别式符号的隐含条件，同时要善于利用韦达定理对交点设而不求。
【高中数学】第2课时 直线与椭圆的位置关系及其应用
第2课时 直线与椭圆的位置关系及其应用基础过关练题组一 直线与椭圆的位置关系 1.直线y=x+1与椭圆x 25+y 24=1的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.无法判断2.(2020江西南昌二中高二上第一次月考)直线y=kx-k+1与椭圆x 29+y 24=1的位置关系为( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定3.若直线y=kx+2与椭圆x 23+y 22=1有且只有一个交点,则斜率k 的值是 ( )A.√63B.-√63C.±√63D.±√334.已知直线y=kx+1和椭圆x 2+2y 2=1有公共点,则k 的取值范围是( ) A.k<-√22或k>√22 B.-√22<k<√22C.k ≤-√22或k ≥√22D.-√22≤k ≤√22题组二 直线与椭圆的相交弦问题 5.过椭圆x 2+2y2=4的左焦点作倾斜角为π3的弦AB,则弦AB 的长为( )A.67B.167C.716D.766.直线y=x+1被椭圆x 24+y 22=1所截得线段的中点的坐标是()A.(23,53)B.(43,73)C.(-23,13)D.(-132,-172)7.经过椭圆x 22+y 2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B 两点.设O 为坐标原点,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.-3 B.-13C.-13或-3D.±138.(2019广东深圳中学高二上期中)若椭圆x 236+y 29=1的弦被点(4,2)平分,则此弦所在直线的斜率为 .9.过椭圆x 25+y 24=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为 .10.(2020河北唐山一中高二上期中)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率e 为√32,短轴长为4.(1)求椭圆的标准方程;(2)过P(2,1)作弦且弦被P 平分,求此弦所在的直线方程及弦长.题组三 直线与椭圆位置关系的综合运用 11.设椭圆C:x 29+y 24=1的左,右焦点分别为F 1,F 2,以F 1F 2为直径的圆与C 在第一象限的交点为P,则直线PF 1的斜率为( ) A.13B.12C.√33D.√3212.若点O 和点F 分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 .13.已知P(m,n)(m>0,n>0)为椭圆x 28+y 22=1上一点,Q,R,S 分别为P 关于y 轴,原点,x 轴的对称点.(1)求四边形PQRS 面积的最大值;(2)当四边形PQRS 面积最大时,在线段PQ 上任取一点M(不与端点重合),若过M 的直线与椭圆相交于A,B 两点,且AB 中点恰为M,求直线AB 斜率k 的取值范围.能力提升练题组一 直线与椭圆的相交弦问题 1.()已知椭圆x 2+y24=1 和点A (12,12),B (12,1),若椭圆的某弦的中点在线段AB 上,且此弦所在直线的斜率为k,则k 的取值范围为( ) A.[-4,-2] B.[-2,-1]C.[-4,-1]D.[-1,-12]2.(多选)()已知直线l:y=2x+3被椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)截得的弦长为7,则下列直线中被椭圆C 截得的弦长一定为7的有( ) A.y=2x-3 B.y=2x+1 C.y=-2x-3 D.y=-2x+33.(2020吉林长春实验中学高二上期中,)已知中心在原点,焦点坐标为(0,±5√2)的椭圆截直线3x-y-2=0所得的弦的中点的横坐标为12,则该椭圆的方程为 .4.(2020山东师大附中高二上第五次学分认定,)设椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为4,离心率为√32.(1)当直线y=x+m与椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;(2)设点M(2,1)是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点,求直线l的方程.5.(2020辽宁大连高二上期中,)如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x 轴上的射影,M为PD上一点,且|MD|=45|PD|.(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的长度.题组二直线与椭圆位置关系的综合运用6.(2019黑龙江牡丹江一中高二上期中,)若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆x 29+y24=1的交点的个数为()A.0或1B.2C.1D.07.(2018吉林省实验中学期末,)已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,直线AF2与椭圆的另一个交点为C,若S△ABC=3S△BCF2,则椭圆的离心率为()A.√55B.√33C.√105D.3√3108.(多选)()已知椭圆C:x 24+y 22=1的左,右两个焦点分别为F 1,F 2,直线y=kx(k ≠0)与C交于A,B 两点,AE ⊥x 轴,垂足为E,直线BE 与C 的另一个交点为P,则下列结论正确的是( )A.四边形AF 1BF 2为平行四边形B.∠F 1PF 2<90°C.直线BE 的斜率为12k D.∠PAB>90°9.(2020海南海口海南中学高二上期中,)已知点P 是椭圆x 225+y 29=1上任意一点,则当点P 到直线4x-5y+40=0的距离达到最小值时,点P 的坐标为 . 10.(2020山东烟台高二上期末,)过椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点F 1作斜率为12的直线l 与C 交于A,B 两点,若|OF 1|=|OA|,则椭圆C 的离心率为 . 11.(2020辽宁省实验中学高二上期中,)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,且过点(1,√22)和(√22,√32).(1)求椭圆的标准方程;(2)如图,点A 为椭圆上一位于x 轴上方的动点,AF 2的延长线与椭圆交于点B,AO 的延长线与椭圆交于点C,求△ABC 面积的最大值,并写出取到最大值时直线BC 的方程.12.(2020北京通州高二上期末,)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的焦点是F 1,F 2,且|F 1F 2|=2,离心率为√22.(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆右焦点F 2的直线l 交椭圆于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)(x 1≥x 2)两点. (i)求|AF 2|·|BF 2|的最小值;(ii)点Q 是直线l 上异于F 2的一点,且满足|QA||QB|=|F 2A||F 2B|,求证:点Q 在一条定直线上.13.()已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率e=√22,过椭圆的左焦点F 且倾斜角为30°的直线m 与圆x 2+y 2=b 2相交所得弦长为√3. (1)求椭圆C 的方程;(2)是否存在过点P(0,3)的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,且|PA|=2|AB|?若存在,求直线l 的方程;若不存在,说明理由.答案全解全析 基础过关练1.A 解法一:直线y=x+1过点(0,1),将(0,1)代入x 25+y 24=1得,0+14<1,即点(0,1)在椭圆内部,所以直线与椭圆相交.解法二:联立直线与椭圆的方程,得{y =x +1,x 25+y 24=1,消去y 得,9x 2+10x-15=0,Δ=100-4×9×(-15)=640>0,所以直线与椭圆相交.2.A 直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),因为19+14<1,所以点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.3.C 由{y =kx +2,x 23+y 22=1,消去y 并整理,得(2+3k 2)x 2+12kx+6=0, 由题意知Δ=(12k)2-4×6×(2+3k 2)=0, 解得k=±√63,故选C.4.C 由{y =kx +1,x 2+2y 2=1,得(2k 2+1)x 2+4kx+1=0. ∵直线与椭圆有公共点, ∴Δ=16k 2-4(2k 2+1)≥0, 解得k ≤-√22或k ≥√22.5.B 设直线AB 的方程为y=kx+b(k ≠0),易求直线AB 的方程为y=√3(x+√2).由{y =√3(x +√2),x 2+2y 2=4,消去y 并整理,得7x 2+12√2x+8=0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=-12√27,x 1x 2=87.由弦长公式,得|AB|=√1+k 2·|x 1-x 2|=2√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1+(√3)2×√(-12√27)2-4×87=167.6.C 联立方程,得{y =x +1,x 24+y 22=1,消去y 并整理,得3x 2+4x-2=0.设直线与椭圆的交点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),中点M(x 0,y 0). ∴x 1+x 2=-43,x 0=x 1+x 22=-23,y 0=x 0+1=13,∴中点坐标为(-23,13). 7.B 由x 22+y 2=1,得a 2=2,b 2=1,c 2=a 2-b 2=1,则焦点坐标为(±1,0). 不妨设直线l 过右焦点,又倾斜角为45°,则直线l 的方程为y=x-1. 代入x 22+y 2=1得x 2+2(x-1)2-2=0,即3x 2-4x=0.设交点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1x 2=0,x 1+x 2=43,y 1y 2=(x 1-1)(x 2-1)=x 1x 2-(x 1+x 2)+1=1-43=-13,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0-13=-13.8.答案 -12解析 设弦两端点分别为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).因为(4,2)是线段AB 的中点,所以x 1+x 2=8,y 1+y 2=4,将A,B 两点代入椭圆方程,得{x 1236+y 129=1,x 2236+y 229=1,两式相减得x 22-x 1236+y 22-y 129=0,整理得y 2-y 1x 2-x 1=-x 2+x 14(y 2+y 1),即k AB =y 2-y 1x 2-x 1=-12.9.答案 53解析 由题意知,右焦点的坐标为(1,0),直线的斜率k=2,所以直线的方程为y=2(x-1),将其与x 25+y 24=1联立,消去y,得3x 2-5x=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=53,x 1x 2=0,所以|AB|=√1+k 2·|x1-x 2|=√1+k 2×√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1+22×√(53)2-4×0=5√53.设原点到直线的距离为d,则d=2=2√55.所以S △OAB =12|AB|·d=12×5√53×2√55=53.10.解析 (1)由e=ca=√32可设,a=2t,c=√3t(t>0),则b=t=2,因此a=4,所以椭圆的标准方程为x 216+y 24=1.(2)设以点P(2,1)为中点的弦与椭圆交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4,y 1+y 2=2,将A,B 两点坐标分别代入椭圆的方程得{x 1216+y 124=1,x 2216+y 224=1,两式相减可得,(x 1+x 2)(x 1-x 2)+4(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0, ∴4(x 1-x 2)+8(y 1-y 2)=0, ∴弦所在直线的斜率k=y 2-y 1x 2-x 1=-12,∴以点P(2,1)为中点的弦所在直线的方程为x+2y-4=0, 联立椭圆的方程得x 2-4x=0,解得x=0或x=4, 因此弦长|AB|=√1+k 2·|x 1-x 2|=2√5. 11.B 依题意得,a 2=9,b 2=4,∴c 2=5,因此以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2+y 2=5.由{x 2+y 2=5,x 29+y 24=1,得{x 2=95,y 2=165, 又点P 在第一象限,∴P (3√55,4√55),又F 1(-√5,0), ∴斜率k PF 1=4√55-03√55+√5=12,故选B.12.答案 6解析 由x 24+y 23=1,可得F(-1,0).设P(x,y),-2≤x ≤2,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y),FP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+1,y), 所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+x+y 2=x 2+x+3·(1−x 24)=14x 2+x+3=14(x+2)2+2, 当且仅当x=2时,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值,最大值为6. 13.解析 (1)由P 在椭圆上得m 28+n 22=1,∵m>0,n>0,∴利用基本不等式得1=m 28+n 22≥2×√×√=mn 2,当且仅当m 28=n 22=12,即m=2,n=1时,等号成立,易知S 四边形PQRS =2m×2n=4mn ≤8,当m=2,n=1时取等号,故当m=2,n=1时,四边形PQRS 的面积取最大值,最大值为8.(2)由(1)得P(2,1),则Q(-2,1),设M 的坐标为(t,1),其中-2<t<2,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则有{x 128+y 122=1,x 228+y 222=1,两式相减得(x 1-x 2)(x 1+x 2)8=-(y 1-y 2)(y 1+y 2)2(*),∵M 为线段AB 的中点, ∴x 1+x 22=t,y 1+y 22=1, ∴(*)化为(x 1-x 2)t 4=-(y 1-y 2),∴k=-t4,故k ∈(-12,12).能力提升练1.A 设椭圆x 2+y24=1的某弦的两个端点分别为P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),中点为M(x 0,y 0),则{x 12+y 124=1,①x 22+y 224=1,②①-②,得(x 12-x 22)+14(y 12-y 22)=0,即k=y 1-y 2x 1-x 2=-4(x 1+x 2)y 1+y 2=-4x0y 0.∵点M 在线段AB 上, ∴x 0=12,12≤y 0≤1,∴k=-4x 0y 0=-2y 0,2≤2y 0≤4,故-4≤-2y 0≤-2,则k ∈[-4,-2],故选A.2.ACD 直线y=2x-3与直线l 关于原点对称,直线y=-2x-3与直线l 关于x 轴对称,直线y=-2x+3与直线l 关于y 轴对称,因此A 、C 、D 中的直线被椭圆C 截得的弦长一定为7,而直线y=2x+1被椭圆C 截得的弦长大于7.故选ACD.3.答案y 275+x 225=1解析 设椭圆方程为y 2a2+x 2b2=1(a>b>0),则a 2=b 2+c 2=b 2+50.① 设直线3x-y-2=0与椭圆相交的弦的端点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则{b 2y 12+a 2x 12=a 2b 2,b 2y 22+a 2x 22=a 2b 2,∴b 2(y 1-y 2)(y 1+y 2)+a 2(x 1-x 2)(x 1+x 2)=0. 又x 1+x 2=2×12=1,y 1+y 2=2×(-12)=-1,y 1-y2x 1-x2=3, ∴b 2×3×(-1)+a 2×1=0,即a 2=3b 2.② 联立①②得,a 2=75,b 2=25. 故该椭圆的方程为y 275+x 225=1.4.解析 (1)因为离心率e=ca=√32,所以c 2=34a 2,又因为椭圆的短半轴长b=2,a 2-b 2=c 2,所以a 2=16,b 2=4, 即椭圆方程为x 216+y 24=1,因此, {x 216+y 24=1,y =x +m ⇒5x 2+8mx+4m 2-16=0,因为直线y=x+m 与椭圆有公共点,所以Δ=64m 2-4×5×(4m 2-16)≥0,即m 2≤20,解得-2√5≤m ≤2√5.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).解法一:当斜率不存在时,不符合题意;当斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x-2),联立方程{y -1=k(x -2),x 216+y 24=1⇒(4k 2+1)x 2+8k ·(1-2k)x+16k 2-16k-12=0,所以x 1+x 22=4k(2k -1)4k 2+1=2,解得k=-12,所以直线l 的方程为x+2y-4=0.解法二:x 216+y 24=1⇒x 2+4y 2=16,{x 12+4y 12=16,x 22+4y 22=16⇒(x 1-x 2)(x 1+x 2)+4(y 1-y 2)·(y 1+y 2)=0⇒y 1-y 2x 1-x 2=x 1+x 2-4(y 1+y 2)=-12, 所以斜率k=-12,所以直线l 的方程为x+2y-4=0.5.解析 (1)设M 的坐标为(x,y),P 的坐标为(x p ,y p ),由已知得{x p =x,y p =54y,因为P 在圆上,所以x 2+(54y)2=25,即点M 的轨迹C 的方程为x 225+y 216=1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y=45(x-3),设直线与C 的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),将直线方程y=45(x-3)代入C 的方程,得x 225+(x -3)225=1,整理得x 2-3x-8=0,所以x 1+x 2=3,x 1x 2=-8,所以|AB|=√1+(45)2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=415.6.B 因为直线mx+ny=4和圆x 2+y 2=4没有交点,所以√22>2,所以m 2+n 2<4,而m 29+n 24≤m 24+n 24<1,因此点(m,n)在椭圆内部,从而过点(m,n)的直线与椭圆x 29+y 24=1必有两个交点,故选B.7.A 设F 1的坐标为(-c,0),F 2的坐标为(c,0),故过F 1且与x 轴垂直的直线方程为x=-c,代入椭圆方程可得y=±b 2a .可设A (-c,b 2a),C(x,y),由题意可得△ABF 2的面积是△BCF 2的面积的2倍,故AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2F 2C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即有(2c,-b 2a )=2(x-c,y),即{2c =2x -2c,-b2a=2y,则{x =2c,y =−b 22a,代入椭圆方程可得4c 2a2+b 24a2=1,即4c 2a2+a 2-c 24a 2=1,∴4e 2+14-14e 2=1,解得e=√55(负值舍去).故选A.8.ABC 由椭圆的对称性知,四边形AF 1BF 2是平行四边形,故A 正确;∵a 2=4,b 2=2,∴c 2=2, ∴∠F 1AF 2<90°,又∠F 1PF 2<∠F 1AF 2<90°, 故B 正确;由{x 2+2y 2=4,y =kx 得{x 2=41+2k 2,y 2=4k 21+2k2, 结合图形,不妨设k>0,则A (√2√2),B (2√2,2k√2),E (2√2,0),∴k BE =√1+2k 222+22=12k,故C 正确;取k=2,则A (23,43),B (-23,-43),E (23,0),∴直线BE 的方程为y=x-23,与椭圆方程联立得,P (149,89),∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-89,49),PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-209,-209), ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1609-809>0,∴∠PAB>90°错误.故选ABC.9.答案 (-4,95)解析 设平行于4x-5y+40=0,且与椭圆相切的直线方程为4x-5y+c=0(c ≠40). 由{9x 2+25y 2=225,4x -5y +c =0,得25x 2+8cx+c 2-225=0, 令Δ=(8c)2-4×25×(c 2-225)=0得, c 2=625,解得c=±25.结合图形(图略)取c=25,此时,x 2+8x+16=0⇒x=-4.代入4x-5y+25=0得,y=95,∴P (-4,95).10.答案√53解析 如图所示,设右焦点为F 2,则|OF 1|=|OA|=|OF 2|,∴AF 1⊥AF 2, 又tan ∠AF 1F 2=12,∴|AF 1|=4√55c,|AF 2|=2√55c.因此,2a=|AF 1|+|AF 2|=6√55c ⇒e=ca=√53.11.解析 (1)将两点代入椭圆方程,得{1a 2+12b 2=1,12a 2+34b 2=1,解得{a 2=2,b 2=1,所以椭圆的标准方程为x 22+y 2=1.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).由A 在x 轴上方,可知直线AF 2的斜率不为0,所以设直线AF 2的方程为x=ty+1,联立{x 22+y 2=1,x =ty +1⇒(t 2+2)y 2+2ty-1=0,得{y 1+y 2=-2tt 2+2,y 1y 2=-1t 2+2,所以|AB|=√1+t 2·|y 1-y 2|=2√2(1+t 2)t 2+2. 设原点到直线AF 2的距离为d,则d=√2,所以S △ABC =2S △OAB =2×12×|AB|×d=2√2(1+t 2)t 2+2=2√2√1+t 2+12≤√2,当且仅当2=1√2,即t=0时,等号成立,此时直线AB 的方程为x=1,所以A (1,√22),B (1,−√22),C (-1,-√22),所以此时直线BC 的方程为y=-√22.12.解析 (1)因为椭圆的焦点是F 1,F 2,且|F 1F 2|=2,所以半焦距c=1. 因为离心率为√22,所以a=√2,所以b=1.所以椭圆的方程是x 22+y 2=1.(2)(i)由(1)知F 2(1,0),当直线l 的斜率不存在时,不妨设A (1,√22),B (1,−√22),所以|AF 2|·|BF 2|=12.当直线l 的斜率存在时,直线l 的方程可设为y=k(x-1).联立方程{x 22+y 2=1,y =k(x -1),消去y,整理得(1+2k 2)x 2-4k 2x+2k 2-2=0.所以x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1x 2=2k 2-21+2k 2.所以|AF 2|=√(x 1-1)2+y 12=√1+k 2|x 1-1|,|BF 2|=√(x 2-1)2+y 22=√1+k 2|x 2-1|.所以|AF 2|·|BF 2|=(1+k 2)|x 1x 2-(x 1+x 2)+1| =(1+k 2)|2k 2-21+2k2-4k 21+2k2+1|=1+k 21+2k 2 =12(1+11+2k 2). 因为11+2k 2∈(0,1],所以|AF 2|·|BF 2|的取值范围是(12,1]. 因为当直线l 的斜率不存在时,|AF 2|·|BF 2|=12,所以|AF 2|·|BF 2|的最小值是12.(ii)证明:由题意得,直线l 的斜率一定存在.因为点Q 在直线l 上,所以设点Q 的坐标是(m,k(m-1)). 因为|QA||QB|=|F 2A||F 2B|,所以点Q 一定在BA 的延长线上, 所以m -x 1m -x 2=x 1-11−x 2,即(m+1)(x 1+x 2)-2x 1x 2-2m=0. 所以4k 2(m+1)1+2k 2-2(2k 2-2)1+2k 2-2m=0.化简得m=2.所以点Q 的坐标是(2,k). 因此点Q 在定直线x=2上.13.解析 (1)由题易得,圆心(0,0)到直线m 的距离为√b 2-(√32)2,由直线m 的倾斜角为30°得√b 2-(√32)2=c 2,由e=ca=√22得a 2=2c 2,即b 2+c 2=2c 2,∴b 2=c 2,将其与√b 2-(√32)2=c2联立,得b=c=1,∴a=√2,∴椭圆方程为x 22+y 2=1.(2)存在.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).①若直线l 垂直于x 轴,l 与椭圆交于(0,1),(0,-1), 取A(0,-1),B(0,1),满足|PA|=2|AB|.②若直线l 不垂直于x 轴,设方程为y=kx+3,代入椭圆方程x 22+y 2=1整理得,(2k 2+1)x 2+12kx+16=0,令Δ=16k 2-64>0,则k<-2或k>2,x 1+x 2=-12k2k 2+1(*),x 1x 2=162k 2+1(**),对于|PA|=2|AB|,包含两种情况: (i)PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即(x 1-0,y 1-3)=2(x 2-x 1,y 2-y 1), ∴x 1=2(x 2-x 1),即x 2=32x 1,代入(*)(**)得{52x 1=-12k 2k 2+1,32x 12=162k 2+1,消去x 1得32(25×-12k2k 2+1)2=162k 2+1,解得k=±52,∴l 的方程为y=52x+3或y=-52x+3.(ii)PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即(x 1-0,y 1-3)=2(x 1-x 2,y 1-y 2),∴x 1=2x 2, 代入(*)(**)得{3x 2=-12k 2k 2+1,2x 22=162k 2+1,消去x 2得,2(13×-12k2k 2+1)2=162k 2+1,有2k 2=2k 2+1,无解. 综上,l 的方程为x=0或5x-2y+6=0或5x+2y-6=0.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
直线与椭圆位置关系(经典)
直线与椭圆(教师版)知识与归纳：1..点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)在椭圆12222=+b y a x 内部的充要条件是1220220<+b y a x ；在椭圆外部的充要条件是1220220>+b y a x ；在椭圆上的充要条件是122220=+by a x .2.直线与椭圆的位置关系.设直线l ：Ax +By +C =0，椭圆C ：12222=+by a x ，联立l 与C ，消去某一变量(x 或y )得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为Δ，则l 与C 相离的⇔Δ<0； l 与C 相切⇔Δ=0； l 与C 相交于不同两点⇔Δ>0. 3.计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)⇒|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+- 212212111y y kx x k -+=-+=（k 为直线斜率）形式(利用根与系数关系（推导过程：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，AB ====或者AB ====) 一，直线与椭圆的位置关系例题1、判断直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 的位置关系 解：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1416322y x kx y 可得02024)14(22=+++kx x k )516(162-=∆∴k（1）当45450)516(162-<>>-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相交 （2）当45450)516(162-===-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相切 （3）当45450)516(162<<-<-=∆k k 即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相离 例题2、若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，求实数m 的取值范围 解法一：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=15122m y x kx y 可得05510)5(22=-+++m kx x m k ，0152≥--=∆∴k m 即1152≥+≥k m 51≠≥∴m m 且解法二：直线恒过一定点)1,0(当5<m 时，椭圆焦点在x 轴上，短半轴长m b =，要使直线与椭圆恒有交点则1≥m 即51<≤m 当5>m 时，椭圆焦点在y 轴上，长半轴长5=a 可保证直线与椭圆恒有交点即5>m综述：51≠≥m m 且 解法三：直线恒过一定点)1,0(要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点)1,0(在椭圆内部115022≤+m即1≥m 51≠≥∴m m 且[评述]由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接导致两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，则（1）直线与椭圆相交0>∆⇔（2）直线与椭圆相切0=∆⇔（3）直线与椭圆相离0<∆⇔，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具。
考点27 椭圆的综合问题 (教师版) 备战2021年新高考数学微专题补充考点精练
考点27 椭圆的综合问题1、掌握直线与椭圆的关系，能够解决椭圆问题中的直线的方程和斜率问题·2、掌握圆锥曲线中最值问题的解题策略3、掌握圆锥曲线中定点、定值等问题解答题中考查直线与椭圆的知识 .涉及重点是考查椭圆的标准方程、几何性质,以及直线与椭圆相交所产生的相关问题,如范围问题、最值问题及定点、定值问题等等 . 在解决这类问题时,要充分利用方程的思想、数形结合的思想,同时,注意定义及几何图形的性质的应用,另外,这类问题也会考查学生观察、推理以及分析问题、解决问题的能力解析几何题的解题思路一般很容易觅得，实际操作时，往往不是因为难于实施，就是因为实施起来运算繁琐而被卡住，最终放弃此解法，因此方法的选择特别重要．从思想方法层面讲，解析几何主要有两种方法：一是设线法；二是设点法．此题的两种解法分属于设点法和设线法．一般地，设线法是比较顺应题意的一种解法，它的参变量较少，目标集中，思路明确；而设点法要用好点在曲线上的条件，技巧性较强，但运用得好，解题过程往往会显得很简捷．解析几何大题肩负着对计算能力考查的重任，所以必要的计算量是少不了的，不要一遇到稍微有一点计算量的题目就想放弃，坚持到底才是胜利1、【2017年高考全国Ⅲ理数】已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．3 B ．3C ．3D ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即2223()a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率c e a ===，故选A ． 2、【2018年高考浙江卷】已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大． 【答案】5【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =得122x x -=，1212(1)y y -=-， 所以1223y y -=-，因为A ，B 在椭圆上，所以22114x y m +=，22224x y m +=，所以22224(23)4x y m +-=，所以224x +22324()m y -=，与22224x y m +=对应相减得234m y +=，2221(109)44x m m =--+≤， 当且仅当5m =时取最大值．3、【2019年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4（1）求椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率． 【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ，依题意，24,5c b a ==，又222a b c =+，可得a =，2,b =1c =． 所以，椭圆的方程为22154x y +=．（2）由题意，设()()()0,,0P P p M P x y x M x ≠，．设直线PB 的斜率为()0k k ≠， 又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222,1,54y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2245200k x kx ++=，可得22045P k x k =-+，代入2y kx =+得2281045P k y k-=+， 进而直线OP 的斜率24510P p y k x k-=-． 在2y kx =+中，令0y =，得2M x k=-． 由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2k -． 由OP MN ⊥，得2451102k k k-⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，化简得2245k =，从而k =±所以，直线PB的斜率为或． 4、【2020年北京卷】.已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．【解析】(1)设椭圆方程为：()222210x y a b a b+=>>，由题意可得：224112a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：2282a b ⎧=⎨=⎩， 故椭圆方程为：22182x y +=.(2)设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为：()4y k x =+，与椭圆方程22182x y +=联立可得：()222448x k x ++=，即：()()222241326480k x k x k +++-=，则：2212122232648,4141k k x x x x k k --+==++. 直线MA 的方程为：()111122y y x x ++=++， 令4x =-可得：()()()1111111141214122122222P k x k x y x y x x x x ++-++++=-⨯-=-⨯-=++++， 同理可得：()()222142Q k x y x -++=+.很明显0P Q y y <，且：PQPB y PQy =，注意到： ()()()()()()()()122112121242424421212222P Q x x x x x x y y k k x x x x +++++⎛⎫+++=-++=-+⨯ ⎪++++⎝⎭， 而：()()()()()122112124242238x x x x x x x x +++++=+++⎡⎤⎣⎦2222648322384141k k k k ⎡⎤⎛⎫--=+⨯+⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦()()()22226483328412041k k k k -+⨯-++=⨯=+，故0,P Q P Q y y y y +==-.从而1PQPB yPQ y==.5、【2020年江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22:143x yE+=的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．（1）求△AF1F2的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求OP QP⋅的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．【解析】（1）∵椭圆E的方程为22143x y+=∴()11,0F-,()21,0F由椭圆定义可得：124AF AF+=.∴12AF F△的周长为426+=（2）设(),0P x，根据题意可得1x≠.∵点A在椭圆E上，且在第一象限，212AF F F⊥∴31,2A⎛⎫⎪⎝⎭∵准线方程为4x=∴()4,QQ y∴()()()()200000,04,4244QOP QP x x y x x x⋅=⋅--=-=--≥-，当且仅当02x=时取等号.∴OP QP⋅的最小值为4-.（3）设()11,M x y，点M到直线AB的距离为d.∵31,2A⎛⎫⎪⎝⎭，()11,0F-∴直线1AF的方程为()314y x=+∵点O到直线AB的距离为35，213S S=∴2113133252S S AB AB d ==⨯⨯⨯=⋅∴95d = ∴113439x y -+=①∵2211143x y +=②∴联立①②解得1120x y =⎧⎨=⎩，1127127x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ∴()2,0M 或212,77⎛⎫-- ⎪⎝⎭.6、【2020年全国1卷】0.已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.【答案】（1）2219x y +=；（2）证明详见解析. 【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a +=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G∴(),1AG a =，(),1GB a =- ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）证明：设()06,P y ， 则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭. 同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭∴直线CD 的方程为：0022********2000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭ 整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭7、【2020年全国2卷】.已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程. 【解析】（1）(),0F c ，AB x ⊥轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x c =，联立22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，则22b AB a =，抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x cy cx =⎧⎨=⎩， 解得2x cy c=⎧⎨=±⎩，4CD c ∴=，43CD AB =，即2843b c a=，223b ac =，即222320c ac a +-=，即22320e e +-=，01e <<，解得12e =，因此，椭圆1C 的离心率为12；（2）由（1）知2a c =，3b c =，椭圆1C 的方程为2222143x yc c+=，联立222224143y cx x y c c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得22316120x cx c +-=， 解得23x c =或6x c =-（舍去），由抛物线的定义可得25533cMF c c =+==，解得3c =. 因此，曲线1C 的标准方程为2213627x y +=，曲线2C 的标准方程为212y x =.8、【2020年天津卷】.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【解析】（Ⅰ）椭圆()222210x y a b a b +=>>的一个顶点为()0,3A -，∴3b =，由OA OF=，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以，椭圆的方程为221189x y +=；（Ⅱ）直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥，根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在， 设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx ，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+. 将21221k x k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++， 所以，点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0,3-，所以点P 的坐标为2263,2121kk k -⎛⎫⎪++⎝⎭， 由3OC OF =，得点C 的坐标为()1,0，所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk k k k k k --+=-+-+=， 又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =. 所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-. 9、【2020年浙江卷】.如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值． 【解析】（Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩，1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++， 由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++， 又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤ 所以，p的最大值为40，此时(55A . 法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+. 将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当5m t==时，p取到最大值为40.10、【2020年山东卷】.已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的离心率为2，且过点A（2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．【解析】(1)由题意可得：222222411caa ba b c⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c===，故椭圆方程为：22163x y+=.(2)设点()()1122,,,M x y N x y.因为AM⊥AN，∴·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y--+--=,①当直线MN的斜率存在时，设方程为y kx m=+,如图1.代入椭圆方程消去y并整理得：()22212k4260x kmx m +++-=,2121222426,1212km m x x x x k k-+=-=++②,根据1122,y kx m y kx m=+=+,代入①整理可得：()()()()221212k1x2140x km k x x m++--++-+=将②代入，()()()22222264k121401212m km km k m k k-⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭，整理化简得()()231210k m k m+++-=,∵2,1A（）不在直线MN上，∴210k m+-≠，∴23101k m k++=≠，，于是MN的方程为2133y k x⎛⎫=--⎪⎝⎭，所以直线过定点直线过定点21,33 E⎛⎫-⎪⎝⎭.当直线MN的斜率不存在时，可得()11,N x y-,如图2.代入()()()()121222110x x y y--+--=得()2212210x y-+-=,结合2211163x y+=,解得()1122,3x x==舍,此时直线MN过点21,33E⎛⎫-⎪⎝⎭,由于AE为定值，且△ADE为直角三角形，AE为斜边，所以AE中点Q满足QD为定值（AE221214221233⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭）. 由于()21,32,13,A E⎛⎫-⎪⎝⎭，故由中点坐标公式可得41,33Q⎛⎫⎪⎝⎭.故存在点41,33Q⎛⎫⎪⎝⎭，使得|DQ|为定值.二年模拟试题题型一、椭圆与圆的结合问题1、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知P 是椭圆C ：2216x y +=上的动点，Q 是圆D ：()22115x y ++=上的动点，则（ ）A ．CB ．CC ．圆D 在C 的内部 D ．PQ 【答案】BC 【解析】2216x y +=a ∴=1b =c ∴===C 的焦距为c e a ===.设(), P x y （x ≤≤， 则()()22222256441111665555x x y x x PD ⎛⎫++=++-=++≥> ⎪⎝⎭=，所以圆D 在C 的内部，且PQ 5=. 故选：BC .2、（2020届湖南省长沙市长郡中学高三月考（一)数学（文)试题）设P ，Q 分别是圆()2262x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．BC ．D ．7【答案】C 【解析】圆()2262x y +-=的圆心为M (0,6)，设()00,Q x y ，则2200110x y +=， 即[]01,1y ∈-，MQ ==[]0 ,?1,1y ∈-∴当0y =- 23时，MQ =最大PQ 的最大值为. 故选C.3、（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）设椭圆M 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，若斜率为1的直线与椭圆M 相切同时亦与圆222:()C x y b b +-=（b 为椭圆的短半轴）相切，记椭圆的离心率为e ，则2e =__________．【答案】32- 【解析】设切线方程为y x m =+，代入椭圆方程可得：()2222222220b axa mx a m ab +++-=.因为相切2220,m a b ∆=∴=+，由直线y x m =+与圆C ,(1b m b =∴=，或(1b -（舍去）.则有2222(1b a b +=+，因为222b a c =-，所以可得22231)2,)2a c e ==∴.故答案为：32.4、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知椭圆L ：()222210x y a b a b +=>>，短轴长为2.（1）求椭圆L 的标准方程；（2）过点()0,2Q 的直线l 与椭圆L 交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l 的方程及AB 的大小.【答案】(1) 2214x y += (2) 22y x =±+，17AB =. 【解析】（1）由22222222314c a b b e a a a -===-=得224a b =， 又∵短轴长为2可得1b =，24a =，∴椭圆L 的标准方程为：2214x y +=.（2）易知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的斜率为()0k k ≠， 设直线l 的方程为：2y kx =+，则联立222440y kx x y =+⎧⎨+-=⎩， 消元得：()224116120k x kx +++=，()()2221616484116430k k k ∆=⨯-+=->，即234k >. 设()11,A x y ，()22,B x y ， ∴1221641k x x k -+=+，1221241x x k ⋅=+， 由题意可知OA OB ⊥，0OA OB ⋅=即：()()2121212121240x x y y k x x k x x ⋅+⋅=+⋅+++=，∴()222212132401414k k k k+-+=++，解得2344k =>，∴12x AB =-=21417k ==+综上：直线l 的方程为：22y x =±+，AB =. 题型二、椭圆中的直线问题1、（2020届山东省潍坊市高三上期末）在平面直角坐标系中，()()1 ,0,1,0A B -，设ABC 的内切圆分别与边,,AC BC AB 相切于点,,P Q R ，已知1CP =，记动点C 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程;(2)过()2,0G 的直线与y 轴正半轴交于点S ，与曲线E 交于点,H HA x ⊥轴，过S 的另一直线与曲线E 交于M N 、两点，若6SMGSHNSS=，求直线MN 的方程.【答案】（1）221(0)43x y y +=≠（2）1y x =+或1y x =+.【解析】(1)由内切圆的性质可知CP CQ =，AP AR =，BQ BR =，∴CA CB CP CQ AP BQ +=+++24CP AB AB =+=>.所以曲线E 是以,A B 为焦点，长轴长为4的椭圆(除去与x 轴的交点).设曲线2222:1(0,0)x y E a b y a b+=>>≠则1,24c a ==，即2222,3a b a c ==-=所以曲线E 的方程为221(0)43x y y +=≠.(2)因为HA x ⊥轴，所以31,2H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()00,S y ， 所以03223y --=-，所以01y =，则()0,1S因为2a c =，所以2SG SH =，所以1sin 2261sin 2SMG SMNSM SG MSG SM S SSN SN SH NSH ∠===∠ 所以3SMSN=，所以3SM SN =- 设()()1122,, ,,M x y N x y 则()11,1SM x y =-()22,1SN x y =-，所以123x x =-①直线MN 斜率不存在时， MN 方程为0x = 此时312331SM SN+==+-，不符合条件舍去. ②直线MN的斜率存在时，设直线MN 的方程为1y kx =+.联立221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234880,k x kx ++-=所以122122834834k x x k k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，将123x x =-代入得222228348334k x k kx k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，所以2224833434k k k k ⎛⎫=⎪⎭+ ⎝+. 所以236,2k k ==±， 所以直线MN 的方程为61y x =+或61y x =-+. 2、(2019苏州期初调查）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A ，B ，离心率为12，点P ⎝⎛⎭⎫1，32为椭圆上一点．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 如图，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，记直线AM 的斜率为k 1，直线BN 的斜率为k 2，若k 1＝2k 2，求直线l 斜率的值．规范解答 (1)因为椭圆的离心率为12，所以a ＝2c.又因为a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝3c.所以椭圆的标准方程为x 24c 2＋y 23c2＝1.(3分)又因为点P ⎝⎛⎭⎫1，32为椭圆上一点，所以14c 2＋943c 2＝1，解得c ＝1.(5分) 所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(6分)(2) 由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为y ＝kx ＋1. 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)．联立方程组⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋1，消去y 可得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0.所以由根与系数关系可知x 1＋x 2＝－8k 3＋4k 2，x 1x 2＝－83＋4k 2.(8分) 因为k 1＝y 1x 1＋2，k 2＝y 2x 2－2，且k 1＝2k 2，所以y 1x 1＋2＝2y 2x 2－2.(10分)即y 21（x 1＋2）2＝4y 22（x 2－2）2. ① 又因为M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)在椭圆上， 所以y 21＝34(4－x 21)，y 22＝34(4－x 22)． ② 将②代入①可得：2－x 12＋x 1＝4（2＋x 2）2－x 2，即3x 1x 2＋10(x 1＋x 2)＋12＝0.(12分)所以3⎝⎛⎭⎫－83＋4k 2＋10⎝⎛⎭⎫－8k3＋4k 2＋12＝0，即12k 2－20k ＋3＝0.(14分)解得k ＝16或k ＝32，又因为k>1，所以k ＝32.(16分)3、(2019通州、海门、启东期末）如图，A 是椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点，点P ，Q 在椭圆上且均在x 轴上方，(1) 若直线AP 与OP 垂直，求点P 的坐标；(2) 若直线AP ，AQ 的斜率之积为34，求直线PQ 的斜率的取值范围．思路分析 第1问，由于点A ，O 已知，且AP ⊥PO ，由此可得点P 所满足的轨迹方程，再根据点P 在椭圆上，就可以通过两个方程所组成的方程组求得点P 的坐标．第2问，要研究直线PQ 的斜率的取值范围，由于点P 、Q 与直线AP ，AQ 有关，因此，利用解方程组的方法可以将点P 、Q 的坐标表示为直线AP ，AQ 的斜率的形式，进而将直线PQ 的斜率表示为直线AP ，AQ 的斜率的形式，利用k AP ·k AQ ＝34就可以利用基本不等式或利用消元法转化为单个变量的函数形式，通过函数求得它的取值范围．(1) 设P(x 0，y 0)，A(－2，0)，则AP →＝(x 0，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，因为直线AP 与OP 垂直，所以AP →·OP →＝0，即x 0(x 0＋2)＋y 20＝0.(3分)得x 20＋2x 0＋y 20＝0.①又点P 在椭圆上，所以x 204＋y 20＝1.② 由①②得x 0＝－23或－2(舍去)，代入②得y 0＝±223.因为点P 在x 轴上方，所以P ⎝⎛⎭⎫－23，223.(6分)(2)由于直线AP ，AQ 的斜率之积为34，点P ，Q 在椭圆上且均在x 轴上方．所以可设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2＝34，k 1>0，k 2>0.所以直线AP 的方程为y ＝k 1(x＋2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝k 1（x ＋2）得(4k 21＋1)x 2＋16k 21x ＋16k 21－4＝0.(8分)设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则－2x 1＝16k 21－44k 21＋1，即x 1＝－2（4k 21－1）4k 21＋1.同理可得，x 2＝－2（4k 22－1）4k 22＋1.(10分) 所以直线PQ的斜率为k＝y 1－y 2x 1－x 2＝k 1（x 1＋2）－k 2（x 2＋2）x 1－x 2＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－2（4k 21－1）4k 21＋1＋2－k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2（4k 22－1）4k 22＋1＋2－2（4k 21－1）4k 21＋1－－2（4k 22－1）4k 22＋1＝4k 1（4k 22＋1）－4k 1（4k 21＋1）2（4k 22－1）（4k 21＋1）－2（4k 21－1）（4k 22＋1）＝4（k 2－k 1）（4k 1k 2－1）16（k 22－k 21）＝4k 1k 2－14（k 2＋k 1）＝12（k 2＋k 1）.(12分) 因为k 1k 2＝34，k 1>0，k 2>0.所以k 1＋k 2≥2k 1k 2＝3，注意到，点P ，Q 不重合，所以重号不成立． 所以0<12（k 2＋k 1）<36，所以直线PQ 的斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，36.(14分)4、(2019南京、盐城一模）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的两焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线l ：y ＝k(x －m)(m ∈R )与椭圆交于P ，Q 两点．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设椭圆的左顶点为A ，记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2. ①若m ＝0，求k 1k 2的值；②若k 1k 2＝－14，求实数m 的值．规范解答 (1)因为椭圆C 的两个焦点间距离为2，两准线间的距离为2×a 2c ＝8，所以a ＝2，c ＝1，所以b 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(3分)(2)①设P(x 0，y 0)，由于m ＝0，则Q(－x 0，－y 0)，由x 204＋y 203＝1，得y 20＝3－3x 204，(5分) 所以k 1k 2＝y 0x 0＋2·－y 0－x 0＋2＝y 20x 20－4＝3－3x 204x 20－4＝－34.(8分)②由(1)得A(－2，0)．解法1 设P(x 1，y 1)，设直线AP 的方程为AP ：y ＝k 1(x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k 1（x ＋2），消去y ，得(3＋4k 21)x 2＋16k 21x ＋16k 21－12＝0，所以x A ·x 1＝16k 21－123＋4k 21，(10分)所以x 1＝6－8k 213＋4k 21， 代入y ＝k 1(x ＋2)得y 1＝12k 13＋4k 12， 所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 213＋4k 21，12k 13＋4k 21.(12分) 由k 1k 2＝－14，得k 2＝－14k 1，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21－21＋12k 21，－12k 11＋12k 21.(13分) 设M(m ，0)，由P ，Q ，M 三点共线，得PM →＝λQM →， 即12k 13＋4k 21×⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21－21＋12k 21－m ＝－12k 11＋12k 21×⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 213＋4k 21－m ， 化简得(m －1)(16k 21＋4)＝0，所以m ＝1.(16分) 解法2 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －m ），消去y ，得(3＋4k 2)x 2－8mk 2x ＋4m 2k 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝8mk 23＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2k 2－123＋4k 2.(10分)而k 1k 2＝y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝k （x 1－m ）x 1＋2·k （x 2－m ）x 2＋2＝k 2x 1x 2＋2（x 1＋x 2）＋4＝－14，(13分)化简得k 2（3m 2－12）4m 2k 2＋16mk 2＋16k 2＝－14，即m 2k 2＋mk 2－2k 2＝0. 因为k 2≠0，所以m 2＋m －2＝0，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)． 当m ＝1时，Δ＞0，所以，m ＝1.(16分) 题型三、椭圆中的最值问题1、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，F 是其右焦点，直线y kx =与椭圆交于A ，B 两点，8AF BF +=. （1）求椭圆的标准方程；（2）设()3,0Q ，若AQB ∠为锐角，求实数k 的取值范围.【答案】（1）221164x y += （2）10k >10k <- 【解析】（1）设1F 为椭圆的左焦点,连接1F B ,由椭圆的对称性可知,1AF FB =, 所以128AF BF BF BF a +=+==,所以4a =,又c e a==,222a b c =+,解得c =,2b =, 所以椭圆的标准方程为221164x y +=（2）设点1122(,),(,)A x y B x y ,则11(3,)QA x y =-,22(3,)QB x y =-,联立221164x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩,得22(41)160k x +-=, 所以120x x +=,1221641x x k -=+, 因为AQB ∠为锐角,所以0QA QB ⋅>, 所以1212(3)(3)QA QB x x y y ⋅=--+12121293()x x x x y y =-+++ 2121293()(1)x x k x x =-+++2216(1)9041kk+=->+,解得3510k>或3510k<-2、(2019无锡期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，且过点⎝⎛⎭⎫3，12，点P在第四象限，A为左顶点，B为上顶点，PA交y轴于点C，PB交x轴于点D.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 求△PCD 面积的最大值．解答. (1) 由题意得：⎩⎨⎧3a2＋14b2＝1ca＝32a2＝b2＋c2得a2＝4，b2＝1，(4分)故椭圆C的标准方程为：x24＋y2＝1.(5分)(2) 由题意设l AP：y＝k(x＋2)，－12<k<0，所以C(0，2k)，由⎩⎪⎨⎪⎧y＝k（x＋2），x24＋y2＝1，消y得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0，所以x A x P＝16k2－41＋4k2，由x A＝－2得x P＝2－8k21＋4k2，故y P＝k(x P＋2)＝4k1＋4k2，所以P⎝⎛⎭⎪⎫2－8k21＋4k2，4k1＋4k2，(8分)设D(x0，0)，因B(0，1)，P，B，D三点共，所以k BD＝k PB，故1－x0＝4k1＋4k2－12－8k21＋4k2，解得x0＝2（1＋2k）1－2k，得D⎝⎛⎭⎪⎫2（1＋2k）1－2k，0，(10分)所以S△PCD＝S PAD－S△CAD＝12×AD×|y P－y C|＝12]⎪⎪⎪⎪4k1＋4k2－2k＝4|k（1＋2k）|1＋4k2，(12分)因为－12<k<0，所以S △PCD ＝－8k 2－4k 1＋4k 2＝－2＋2×1－2k 1＋4k 2，令t ＝1－2k ，1<t<2，所以2k ＝1－t ， 所以g(t)＝－2＋2t 1＋（1－t ）2＝－2＋2t t 2－2t ＋2＝－2＋2t ＋2t－2≤2＋222－2＝2－1，(14分)当且仅当t ＝2时取等号，此时k ＝1－22，所以△PCD 面积的最大值为2－1.(16分)3、(2019宿迁期末）如图所示，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，右准线方程为x ＝4，过点P(0，4)作关于y 轴对称的两条直线l 1，l 2，且l 1与椭圆交于不同两点A ，B ，l 2与椭圆交于不同两点D ，C.(1) 求椭圆M 的方程；(2) 证明：直线AC 与直线BD 交于点Q(0，1)； (3) 求线段AC 长的取值范围．规范解答 (1)由⎩⎨⎧e ＝c a ＝22，a2c ＝4，得a ＝22，c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆M 的方程为x 28＋y 24＝1.(4分)(2)解法1 设直线l 1：y ＝kx ＋4，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则由对称性可知D(－x 1，y 1)，C(－x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝kx ＋4，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋24＝0,所以x 1＋x 2＝－16k 1＋2k 2，x 1·x 2＝241＋2k 2.(6分) 又k BQ ＝y 2－1x 2，k DQ ＝y 1－1－x 1， 则k BQ －k DQ ＝y 2－1x 2－y 1－1－x 1＝kx 2＋3x 2＋kx 1＋3x 1＝2k ＋3（x 1＋x 2）x 1x 2＝2k ＋－48k1＋2k 2241＋2k 2＝2k －2k ＝0，(8分)知k BQ ＝k DQ ，故点B ，D ，Q 三点共线，即直线BD 经过点Q(0，1)． 同理可得直线AC 经过点Q(0，1)．所以直线AC 与直线BD 交于点Q(0，1)．(10分)解法2 设直线l 1：y ＝kx ＋4，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则由对称性可知D(－x 1，y 1)，C(－x 2，y 2)，且k＝y 2－y 1x 2－x 1.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝kx ＋4，削去y 得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋24＝0，Δ＝(16k)2－4(1＋2k 2)·24＝64k 2－96>0. 所以x 1＋x 2＝16k 1＋2k 2，x 1·x 2＝241＋2k 2.(6分) 直线AC 的方程为y ＝－y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 1)＋y 1＝－y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 1)＋kx 1＋4. 直线BD 的方程为y ＝y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 2)＋y 2＝y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 2)＋kx 2＋4.联立直线AC 和直线BD 的方程并化简得k(x 1＋x 2)＝y 2－y 1x 2＋x 1，即k （x 1－x 2）y 2－y 1＝1x 2＋x 1＝2x x 2＋x 1－1，即k－k ＝－1＝2xx 2＋x 1－1，解得x ＝0.在直线AC 的方程中，令x ＝0，得y ＝－y 2－y 1x 2＋x 1(－x 1)＋kx 1＋4＝－kx 2－kx 1x 2＋x 1(－x 1)＋kx 1＋4＝2kx 2x 1x 2＋x 1＋4.将x 1＋x 2＝－16k 1＋2k 2，x 1·x 2＝241＋2k 2代入计算得y ＝2kx 2x 1x 2＋x 1＋4＝48k1＋2k 2－16k1＋2k 2＋4＝－3＋4＝1.同理可得，在直线BD 的方程中，令x ＝0，得y ＝2kx 2x 1x 2＋x 1＋4＝48k 1＋2k 2－16k1＋2k 2＋4＝－3＋4＝1.故直线AC 与直线BD 交于点Q(0，1)．(3)由(2)可知AC 2＝(x 1＋x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1＋x 2)2＋k 2(x 1－x 2)2 ＝(x 1＋x 2)2＋k 2[]（x 1＋x 2）2－4x 1·x 2＝162k 2（1＋2k 2）2＋k 2⎣⎡⎦⎤162k 2（1＋2k 2）2－4×241＋2k 2＝16×4k 4＋10k 24k 4＋4k 2＋1＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋6k 2－14k 4＋4k 2＋1.(12分)令t ＝6k 2－1，则k 2＝t ＋16.又由Δ＝162k 2－4×24×(1＋2k 2)>0得k 2>32，所以t>8，所以AC 2＝16＋]＝16(1＋9tt 2＋8t ＋16]＝16(1＋9t ＋16t＋8)．(14分) 因为⎝⎛⎭⎫t ＋16t ＋8′＝1－16t 2>0在t ∈(8，＋∞)上恒成立， 所以t ＋16t ＋8在t ∈(8，＋∞)上单调递增，所以t ＋16t ＋8>18, 0<9t ＋16t ＋8<12，1<1＋9t ＋16t＋8<32.所以16<AC 2<24，4<AC<26，所以线段AC 长的取值范围是(4，36)．(16分) 题型四、椭圆中的定点与定值问题1、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率e 满足223220e e -+=，右顶点为A ，上顶点为B ，点C (0，－2)，过点C 作一条与y 轴不重合的直线l ，直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，直线BP ，BQ 分别交x 轴于点M ，N ；当直线l 经过点A 时，l 的斜率为2．(1)求椭圆E 的方程；(2)证明：BOM BCN S S ∆∆⋅为定值．【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析【解析】（1）由223220e e -+=解得22e =或2e =， ∴2a c =，又222a b c =+，2a b ∴=，又()0220AC k a --==-2a ∴=1b ∴=，∴椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）由题知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =-， 设()()1122,,,P x y Q x y ，由22212y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2221860k x kx +-+=， ∴12122286,2121k x x x x k k +==++， ()()22=84621k k --⨯⨯+=216240k ->232k ∴>， ∴()121224421y y k x x k -+=+-=+，()()121222y y kx kx =--()21212=24k x x k x x -++=224221k k -+，直线BP 的方程为1111y y x x -=+，令0y =解得111x x y =-，则11,01x M y ⎛⎫⎪-⎝⎭， 同理可得22,01x N y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭， 12123411BOMBCNx x SSy y ∴=--=()()()12121212123341141x x x x y y y y y y =---++=22226321444212121k k k k +-++++=12， BOM BON S S∆∴为定值12． 2、（2019·山东高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，12||2F F ，过点1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，延长2BF 交椭圆C 于点M ，2ABF ∆的周长为8.（1）求C 的离心率及方程；（2）试问：是否存在定点0(,0)P x ，使得·PM PB 为定值？若存在，求0x ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）12,22143x y +=； （2）存在点P ，且0118x =.【解析】（1）由题意可知，12||=2c=2F F ，则1c =， 又2ABF ∆的周长为8，所以48a =，即2a =， 则12c e a ==，2223b a c =-=. 故C 的方程为22143x y +=.（2）假设存在点P ，使得·PM PB 为定值.若直线BM 的斜率不存在，直线BM 的方程为1x =，31,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2M ⎛⎫-⎪⎝⎭， 则()209·14PM PB x =--. 若直线BM 的斜率存在，设BM 的方程为()1y k x =-，设点()11,B x y ，()22,M x y ，联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=， 根据韦达定理可得：2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，由于()202,PM x x y =-，()101,PB x x y =-， 则()212120012•PM PB x x x x x x y y =-+++()()()()2220002222120122485312143x x k x k x x x k x x kx k --+-=+-++++=+因为·PM PB 为定值，所以2200048531243x x x ---=， 解得0118x =，故存在点P ，且0118x =. 3、(2019苏北三市期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，且右焦点到右准线l 的距离为1.过x 轴上一点M(m ，0)(m 为常数，且m ∈(0，2))的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，与l 交于点P ，D 是弦AB 的中点，直线OD 与l 交于点Q.(1) 求椭圆C 的标准方程．(2) 试判断以PQ 为直径的圆是否经过定点．若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．规范解答 (1)由题意，得⎩⎨⎧e ＝c a ＝22，a 2c －c ＝1，，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，所以a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(4分)(2)解法1 由题意，当直线AB 的斜率不存在或为零时显然不符合题意，所以可设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k(x －m)．又准线方程为x ＝2，所以点P 的坐标为P(2，k(2－m))．(6分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －m ），x 2＋2y 2＝2，得，x 2＋2k 2(x －m)2＝2，即(1＋2k 2)x 2－4k 2mx ＋2k 2m 2－2＝0， 所以x A ＋x B ＝4k 2m 2k 2＋1，则x D ＝12·4k 2m 2k 2＋1＝2k 2m 2k 2＋1，y D ＝k ⎝⎛⎭⎫2k 2m 2k 2＋1－m ＝－km 2k 2＋1， (8分)所以k OD ＝－12k，从而直线OD 的方程为y ＝－12kx(也可用点差法求解)，所以点Q 的坐标为Q ⎝⎛⎭⎫2，－1k .(10分) 所以以P ，Q 为直径的圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋1k ＝0， 即x 2－4x ＋2＋m ＋y 2－]y ＝0.(14分)因为该式对∀k ≠0恒成立，令y ＝0，得x ＝2±2－m ， 所以以PQ 为直径的圆经过定点()2±2－m ，0.(16分)解法2 由题意，当直线AB 的斜率不存在或为零时显然不符合题意．直线l ：x ＝2. 设直线AB 的方程为x ＝ny ＋m ，则P ⎝⎛⎭⎫2，2－m n .(6分)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则D ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.(8分)联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ny ＋m ，x 2＋2y 2＝2，得(n 2＋2)y 2＋2nmy ＋m 2－2＝0，Δ＝8(n 2－m 2＋2)>0，y 1＋y 2＝－2nm n 2＋2，x 1＋x 2＝n(y 1＋y 2)＋2m ＝4m n 2＋2，故D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m n 2＋2，－nm n 2＋2.(10分)所以k OD ＝－n 2，直线OD: y ＝－n2x ，故Q(2，－n)，则PQ 中点为⎝⎛⎭⎫2，2－m －n 22n ，PQ 2＝（n 2－m ＋2）n 22，所以以P ，Q为直径的圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋n 2＋m －22n 2＝⎝⎛⎭⎫n 2－m ＋22n 2，(14分)整理得(x －2)2＋y 2＋m －2＋n 2＋m －2ny ＝0，令y ＝0，解得x ＝2±2－m ， 所以以PQ 为直径的圆经过定点(2±2－m ，0)．(16分)4、(2018苏州期末）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，椭圆上动点P到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点M(0，－1)的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以线段AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．规范解答 (1) 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a －c ＝3（2－1），解得⎩⎨⎧a ＝32，c ＝3.所以b 2＝a 2－c 2＝9.(4分)椭圆C 的标准方程是x 218＋y 29＝1.(6分)(2) 当直线l 的斜率不存在时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝9；(7分)当直线l 的斜率为零时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝16.(8分)这两圆仅有唯一公共点，也是椭圆的上顶点D(0，3)．猜想以AB 为直径的圆恒过定点D(0，3)．(9分) 证明如下：证法1(向量法) 设直线l 的方程为y ＝kx －1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．只要证DA →·DB →＝x 1x 2＋(y 1－3)(y 2－3)＝x 1x 2＋(kx 1－4)(kx 2－4)＝0即可．即要证DA →·DB →＝(1＋k 2)x 1x 2－4k(x 1＋x 2)＋16＝0.(11分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＋2y 2＝18，消去y ，得(1＋2k 2)x 2－4kx －16＝0，Δ＝16k 2＋64(1＋2k 2)>0，此方程总有两个不等实根x 1，x 2. x 1，2＝2k ±29k 2＋41＋2k 2，所以x 1＋x 2＝4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－161＋2k 2.(14分) 所以DA →·DB →＝(1＋k 2)x 1x 2－4k(x 1＋x 2)＋16＝－16（1＋k 2）1＋2k 2－16k 21＋2k 2＋16＝0. 所以DA ⊥DB ，所以以AB 为直径的圆恒过定点D(0，3)．(16分)证法2(斜率法) 若设DA ，DB 的斜率分别为k 1，k 2，只要证k 1k 2＝－1即可．设直线l 的斜率为λ，则y A ＋1x A＝λ. 由点A 在椭圆x 2＋2y 2＝18上，得x 2A ＋2y 2A ＝18，变形得y A －3x A ·y A ＋3x A ＝－12，即k 1·y A ＋3x A ＝－12. 设y A ＋3＝m(y A －3)＋n(y A ＋1)，可得m ＝－12，n ＝32，得y A ＋3x A ＝32λ－12k 1. 从而k 1(3λ－k 1)＝－1，即k 21－3λk 1－1＝0.同理k 22－3λk 2－1＝0，所以k 1，k 2是关于k 的方程k 2－3λk －1＝0的两实根．由根与系数关系，得k 1k 2＝－1.所以DA ⊥DB ，所以以AB 为直径的圆恒过定点D(0，3)．(16分)5、(2019镇江期末）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的长轴长为4，两准线间距离为4 2.设A 为椭圆C 的左顶点，直线l 过点D(1，0)，且与椭圆C 相交于E ，F 两点．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若△AEF 的面积为10，求直线l 的方程；(3) 已知直线AE ，AF 分别交直线x ＝3于点M ，N ，线段MN 的中点为Q ，设直线l 和QD 的斜率分别为k(k ≠0)，k ′，求证：k·k′为定值．. 规范解答 (1)由长轴长2a ＝4，两准线间距离2a 2c＝42，解得a ＝2，c ＝2，(2分)则b 2＝a 2－c 2＝2，即椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(4分) (2) 当直线l 的斜率不存在时，此时EF ＝6，△AEF 的面积S ＝12AD ·EF ＝326，不合题意；(5分) 故直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝k(x －1)，代入椭圆方程得，(1＋2k 2)x －4k 2x ＋2k 2－4＝0.因为D(1，0)在椭圆内，所以Δ>0恒成立．设E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.(6分) 故EF ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2223k 2＋21＋2k 2.(7分) 又点A 到直线l 的距离d ＝3|k|1＋k 2，(8分) 则△AEF 的面积S ＝12d ·EF ＝12·3|k|1＋k 2·1＋k 2·223k 2＋21＋2k 2＝323k 4＋2k 21＋2k 2＝10， 则k ＝±1.(9分)综上，直线l 的方程为x －y －1＝0和x ＋y －1＝0.(10分)(3) 证法1 设点E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，则直线AE ：y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)， 令x ＝3，得点M ⎝⎛⎭⎫3，5y 1x 1＋2，同理可得N ⎝⎛⎭⎫3，5y 2x 2＋2，所以点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，52y 1x 1＋2＋52y 2x 2＋2.(12分) 直线QD 的斜率为k′＝5y 12（x 1＋2）＋5y 22（x 2＋2）3－1＝54⎝⎛⎭⎫y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2，(13分) 而y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝k （x 1－1）x 1＋2＋k （x 2－1）x 2＋2＝k·2x 1x 2＋x 1＋x 2－4x 1x 2＋2（x 1＋x 2）＋4.(14分) 由(2)知x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，代入上式得，(15分) y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝k·4k 2－8＋4k 2－4（1＋2k 2）2k 2－4＋8k 2＋4＋8k 2＝－12k 18k 2＝－23k . 则有k′＝－56k ，所以k·k′＝－56，为定值．(16分) (3) 证法2 设点M(3，m)，N(3，n)，且m ≠n ，则Q ⎝⎛⎭⎫3，m ＋n 2，从而k′＝m ＋n 23－1＝m ＋n 4. 直线AM 的方程为y ＝m 5(x ＋2)， 与椭圆方程联立得(x ＋2)(x －2)＋2m 225(x ＋2)2＝0，。
高二数学椭圆试题答案及解析
高二数学椭圆试题答案及解析1.设分别是椭圆的左，右焦点，过的直线与相交于两点，且成等差数列．(1)求； (2)若直线的斜率为1，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】本试题主要考查了椭圆的定义，以及直线与椭圆的位置关系的综合运用.（1）因为椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交于两点，且成等差数列，结合定义得到的值；（2）联立方程组，然后结合韦达定理，得到根与系数的关系，然后利用直线的斜率为，得到弦长公式的表达式，从而得到参数的值.试题解析：(1)由椭圆定义知，又(2)的方程为，其中.设，则两点坐标满足方程组,消去得则，，因为直线的斜率为所以，即则解得.【考点】1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的综合问题.2.若是椭圆与轴的两个交点，是该椭圆的两个焦点，则以为顶点的四边形的面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】椭圆16x2+25y2=400可变为=1，故a=5，b=4，由a2=b2+c2，可解得c=3，故焦距为6，短轴长为8又以A，B，C，D为顶点的四边形是一个菱形，且两对角线CD=6，AB=8故它的面积为×6×8=24，故选D。
【考点】本题考查椭圆的几何性质。
点评：简单题，解题的关键是利用椭圆的对称性，明确以A，B，C，D为顶点的四边形是一个菱形，并根据题设条件得出a，b，c三个量之间的关系，由此关系求出椭圆的焦距与短轴的长度。
3.椭圆（）的左右顶点分别为、，左右焦点分别为、，若，,成等差数列，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】易知=a-c，="2c," =a+c,又因为，,成等差数列，所以4c=a-c+a+c,即a=2c，所以e=.【考点】离心率的求法；等差数列的性质；椭圆的简单性质。
点评：求圆锥曲线的离心率是常见题型，常用方法：①直接利用公式；②利用变形公式：（椭圆）和（双曲线）③根据条件列出关于a、b、c的关系式，两边同除以a,利用方程的思想，解出。
高二数学椭圆试题
高二数学椭圆试题1.过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ,∵过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B，若M是线段AB的中点，∴两式相减可得 , .故选A.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题2.已知椭圆的顶点与双曲线的焦点重合，它们的离心率之和为，若椭圆的焦点在y轴上．（1）求双曲线的离心率，并写出其渐近线方程；（2）求椭圆的标准方程．【答案】（1）e1=2，渐近线方程为y=±；（2）．【解析】（1）首先由已知双曲线的标准方程求出双曲线的几何量，就可得焦点及离心率，渐近线方程；（2）根据已知条件求出椭圆的离心率及焦距，利用椭圆的三个参数的关系，求出椭圆中的三个参数，从而就可求出椭圆的方程．试题解析：（1）设双曲线的焦距为2c1，离心率为e1，（2分）则有：c12=4+12=16，c1=4 （4分）∴e1=2，渐近线方程为y=±；（6分）（2）椭圆的离心率为，∴．又a=4，∴c=；∵a2=b2+c2，（10分）∴b2=；∴所求椭圆方程为（12分）【考点】1.双曲线的简单性质；2.椭圆的标准方程．3.已知椭圆：的左焦点，离心率为，函数，（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设，，过的直线交椭圆于两点，求的最小值，并求此时的的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的最小值为,此时.【解析】（Ⅰ）利用左焦点F（-1，0），离心率为，及求出几何量，即可求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）分类讨论，设直线l的方程来：y=k（x-t）代入抛物线方程，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可求的最小值，并求此时的t的值．试题解析：（Ⅰ）,由得,椭圆方程为（Ⅱ）若直线斜率不存在,则=若直线斜率存在,设直线,由得所以故故的最小值为,此时.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．4.(本小题满分12分)如图，椭圆上的点M与椭圆右焦点的连线与x轴垂直，且OM（O是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行．（1）求椭圆的离心率；（2）过且与AB垂直的直线交椭圆于P、Q，若的面积是，求此时椭圆的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）点M与椭圆右焦点的连线与x轴垂直，可得，又，椭圆中,可得；（2）设直线PQ的方程为，代入椭圆方程整理得又，可得从而解得，可得椭圆的标准方程.解：（1）易得（2）令，设直线PQ的方程为．代入椭圆方程消去x得：，整理得：∴因此a2＝50，b2＝25，所以椭圆方程为【考点】椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，设而不求.5.若点P为共焦点的椭圆和双曲线的一个交点,、分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为，双曲线离心率为，若,则（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】由题设中的条件，设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，根据椭圆和双曲线的性质以及勾弦定理建立方程，联立可得m，a，c的等式，整理即可得到结论，【考点】椭圆与双曲线的几何性质.6.椭圆的左、右顶点分别为，点在上且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由椭圆可知其左顶点A1（-2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x，y）（x≠±2），代入椭圆方程可得．利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出．【考点】椭圆的性质.7.已知椭圆上一点到右焦点的距离是1，则点到左焦点的距离是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据椭圆的定义，点P到两个焦点距离和等于2a=即可.【考点】椭圆的定义.8.已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．【答案】D【解析】因为焦点相同所以有，解得，即。
椭圆典型例题
椭圆典型例题一、椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
例1：椭圆的焦点是F 1(0，－1)、F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且PF 1＋PF 2＝2F 1F 2，求椭圆的标准方程。
解：由PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝2×2＝4，得2a ＝4.又c ＝1，所以b 2＝3.所以椭圆的标准方程是y 24＋*23＝1.2．椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝10，求椭圆的标准方程． 解：由椭圆定义知c ＝1，∴b ＝52－1＝24.∴椭圆的标准方程为*225＋y 224＝1.二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
例：1. 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：〔1〕当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11422=+y x ； 〔2〕当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116422=+y x ； 三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。
例．求过点(－3,2)且与椭圆*29＋y 24＝1有一样焦点的椭圆的标准方程．解：因为c 2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为*2a 2＋y 2a 2－5＝1.由点(－3,2)在椭圆上知9a 2＋4a 2－5＝1，所以a 2＝15.所以所求椭圆的标准方程为*215＋y 210＝1. 四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。
例： 中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222=+y ax ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，2111ax y M M +=-=，4112===ax y k M M OM ，∴42=a ， ∴1422=+y x 为所求． 五、求椭圆的离心率问题。
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直线与椭圆的综合运用
学习目标：1、90%以上的学生会推导弦长公式，并会利用公式求弦长
2、85%以上的学生会推到弦中点与直线斜率之间的关系
创设情境、引入新课：
回顾思考：直线与圆位置关系判断？当直线与圆相交时如何求弦长？（设计意图复习几何法求弦长，引出代数法）比如：直线02=--y x 与圆的072222=---+y x y x 位置关系？如果相交怎样求弦长？
引入新知：如果将圆换成椭圆，如何判断直线与椭圆的位置关系，当直线与椭圆相交时如何求弦长？比如：直线y=x －1与椭圆x 2+4y 2
=4的位置关系如何，如果相交的话如何求弦长？
互帮互学、探究新知
例1：已知椭圆的方程为14
22
=+y x ，直线方程为01=--y x ，试判断直线与椭圆的位置关系？若直线与椭圆相交，试求直线被椭圆截得的线段长？
例2：若椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是？
补读帮困、理解新知
1.椭圆x 236 ＋ y 29 ＝1，椭圆与直线x ＋2y ＋8＝0相交于P 、Q 两点，|PQ|＝
2.椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程
为（ ）
A ．01223=-+y x
B ．01232=-+y x
C ．014494=-+y x
D ． 014449=-+y x
3.已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=
（1） 若直线与椭圆相切，求直线方程
（2） 若直线被椭圆截得线段长为
522，求直线方程
4.中心在原点，一焦点为F 1（0，5
2）的椭圆被直线y=3x －2截得的弦的中点横坐标是2
1，求此椭圆的方程。
22
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x y +=(4,2)A
3.智者加速：1．直线1+=x y 被椭圆12
42
2=+y x 所截得的弦的中点坐标是____________。
2.椭圆上的点到直线l:的距离的最小（大）值为___________．
效果监测，评估学情
1、中心在原点，一焦点为F 1（0，5
2）的椭圆被直线y=3x －2截得的弦的中点横坐标是2
1，求此椭圆的方程
2、已知椭圆与过点A (2，0)，B (0，1)的直线l 有且只有一个公共点T ，且椭圆的离心率．求椭圆方程 3. 椭圆中，过点P （1，1）的弦AB 恰被点P 平分，求弦AB 所在的直线方程
（能力提升）4.已知为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点。
（1）求的最大值；
（2）若且的面积为，求的值；
19
162
2=+y x 09=-+y x )0(1
2222
>>=+b a b y a x 2
3=e 12,F F 22
2
1(010)100x y b b +=<<P 12||||PF PF ⋅1260F PF ∠=12F
PF ∆3
b
归纳总结，知识建网
分材作业、共同提高
必做1．已知椭圆12
222=+b y a x 的一个焦点是()0,2,且截直线2=x 所得弦长为634,则该椭圆方程为____ ____.
2.已知椭圆22
x +y 2=1.过点P （21，2
1）且被P 点平分的弦所在直线的方程.
选做3.已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，F 1，F 2是椭圆的两焦点，若PF 1⊥PF 2. 试求：(1)椭圆的方程；(2)△PF 1F 2的面积．。