《立体几何中的向量方法》展示课件

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立体几何中的向量方法课件

一个法向量;赋的值不同,所求平面的法向量就不同,但它们是共线向
量.注意赋值不能为零.
2.用向量方法证明空间中的平行关系
剖析:空间中的平行关系主要是指:线线平行、线面平行、面面
平行.
(1)线线平行
设不重合的直线l1,l2的方向向量分别是a,b,则要证明l1∥l2,只需证
明a∥b,即a=kb(k∈R).
①u=(2,2,-1),a=(-3,4,2);
②u=(0,2,-3),a=(0,-8,12).
解:(1)①∵a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3),
1
∴a=− 3 , ∴a∥b.∴l1∥l2.
②∵a=(5,0,2),b=(0,4,0),
∴a·b=0,∴a⊥b.∴l1⊥l2.
1
(2)①∵u=(1,-1,2),v= 3,2,- ,
平面的法向量的求法
【例2】四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面
ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1,求平面SCD和平面SAB的法向量.
分析:解答本题可先建立空间直角坐标系,写出每个平面内不共
线的两个向量的坐标,再利用待定系数法求出平面的法向量.
解:∵AD,AB,AS 是三条两两垂直的线段,∴以 A 为原点,以
1
∴y=− 2.
又 n· = (1, , )·(-1,0,2)=-1+2z=0,
1
∴z= 2.
∴n=
1 1
1,- ,
2 2
即为平面SCD 的法向量.
利用向量法证明空间中的平行关系
【例3】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2BC,E,F,E1分别是
棱AA1,BB1,A1B1的中点.

高中数学3.2立体几何中的向量方法课件-(共43张PPT)

，即14x＋ 43y＋12z＝0
，
令 y＝2，则 z＝－ 3，∴n＝(0,2，－ 3)．
∵ PD ＝0，23 3，－1，显然 PD ＝
3 3 n.
26
∵ PD ∥n，∴ PD ⊥平面 ABE，即 PD⊥平面 ABE.
探究提高证明线面平行和垂直问题，可以用几何法，也可以用向量法，用向量法的关键在于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定理及两向量垂直的判定定理。若能建立空间直角坐标系，其证法较为灵活方便.
7
r 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于r平面，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那么向量n
叫做平面的法向量.
r
l
给定一点Ar 和一个向量 n,那么过点A,以向量 n 为法向量的平面是
r 完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
17
题型分类深度剖析
题型一利用空间向量证明平行问题例 1 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1
中，M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点．求证： MN∥平面 A1BD.
18
证明方法一如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在
直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的
1，得
x
1 2
y 1
r n
(
1
,
1,1),
2
10
思考2：
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？

课件10:3.2 立体几何中的向量方法

【训练 3】如图所示，四棱锥 S－ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 2倍，P 为侧棱 SD 上的点．
(1)求证：AC⊥SD. (2)若 SD⊥平面 PAC，则侧棱 SC 上是否存在一点 E，使得 BE ∥平面 PAC.若存在，求 SE∶EC 的值；若不存在，试说明理由．
(1)证明连接 BD，设 AC 交 BD 于 O，则 AC⊥BD. 由题意知 SO⊥平面 ABCD. 以 O 为坐标原点，O→B，O→C，O→S分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系如图．
设C→E＝tC→S，则B→E＝B→C＋C→E＝B→C＋tC→S＝－ 22a， 22a1－t， 26at，由B→E·D→S＝0⇔t＝13. ∴当 SE∶EC＝2∶1 时，B→E⊥D→S. 又 BE 不在平面 PAC 内，故 BE∥平面 PAC.
• 1．用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想．
(2)解假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0，z0)．使得 DP∥平面 B1AE，此时D→P＝(0，－1，z0)．又设平面 B1AE 的法向量 n＝(x，y，z)． ∵n⊥平面 B1AE， ∴n⊥A→B1，n⊥A→E，得aa2xx＋＋zy＝＝00，.
取 x＝1，得平面 B1AE 的一个法向量 n＝1，－a2，－a 要使 DP∥平面 B1AE，只要 n⊥D→P，有a2－az0＝0，解得 z0＝12. 又 DP⊄平面 B1AE， ∴存在点 P，满足 DP∥平面 B1AE，此时 AP＝12.
• 2．两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断．(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题．

课件11：§3.2立体几何中的向量方法

例题解析例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
D1 A1
D A 图1
C1 B1 C B
解：如图1，设
AB AA1 AD 1 ， BAD BAA1 DAA1 60.
P
b
O a
这样，点O与向量 a,b 不仅可以确定平面的位置，还可以具体表示出内的任意一点.
除此之外,还可以用垂直于平面的直线的方向向量 (这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.
探究点2 平面的法向量
n
b
P
O
a
平面的法向量：如图，直线 l ，取直线l的方向向
量 a ，则向量 a 叫做平面的法向量 .
以及一个方向确定．在直线l上取点A和 a ，a 可
以作为l的方向向量，借助点A和 a 即可确定直线 l的位置，并能具体表示出直线l上的任意一点．
2．如何理解平面的法向量？ (1)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．
3．如何认识直线的方向向量和平面的法向量的作用？ (1)可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系． (2)可以利用它们表示直线与平面所成的线面角． (3)可以解决有关线段的长度或点、线、面之间的距离问题．
2ab
例3 如图,一块均匀的正三角形面的钢板所受重力为500N，
在它的顶点处分别受力F1, F2 , F3 ，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60o，且 F1 F2 F3 200N .这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多

第7章第6节立体几何中的向量方法课件共61张PPT

1
2
3
走进教材·夯实基础细研考点·突破题型课后限时集训
考点二求直线与平面所成的角
利用向量法求线面角的两种方法
第六节立体几何中的向量方法
1
2
3
走进教材·夯实基础细研考点·突破题型课后限时集训
[典例 2] (2020·郑州模拟)在如图所示的多面体中，四边形 ABCD 是平行四边形，四边形 BDEF 是矩形，ED⊥平面 ABCD，∠ABD＝π6，AB＝2AD.
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成 |a·n|
的角为θ，则sin θ＝_|_c_o_s〈__a_，__n__〉__| _＝___|a_||_n_| _.
第六节立体几何中的向量方法
3．二面角
1
2
3
走进教材·夯实基础细研考点·突破题型课后限时集训
(1)如图①，AB，CD是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈__A_→_B_，__C→_D_〉__．
[常用结论] 点到平面的距离如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为|B→O|＝|A→|Bn·|n|.
第六节立体几何中的向量方法
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2
3
走进教材·夯实基础细研考点·突破题型课后限时集训
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( )
23，－21，0，
C1
23，－21，1，A→B1＝(0，－2,1)，B→C1＝
23，－21，1，
cos〈A→B1，B→C1〉＝

立体几何中的向量方法PPT课件

第17页/共67页
(2)假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0，z0)，使得 DP∥平面 B1AE.此时D→P＝(0，－1，z0)．又设平面 B1AE 的法向量 n＝(x，y，z)． ∵n⊥平面 B1AE，∴n⊥A→B1，n⊥A→E，得aa2xx＋＋zy＝＝00，.
第18页/共67页
取 x＝1，得平面 B1AE 的一个法向量 n＝1，－a2，－a. 要使 DP∥平面 B1AE，只要 n⊥D→P，有a2－az0＝0，解得 z0＝12. 又 DP⊄平面 B1AE，∴存在点 P，满足 DP∥平面 B1AE，此时 AP＝12.
第15页/共67页
• [审题视点] (1)证明两直线的方向向量数量积为零；(2)设存在点P(0,0，z0)，构建 z0的方程，若能求出z0的值，说明点P存在；(3)先求出两平面的法向量，利用二面角的平面角的度数即可得到关于a的方程，从而可求出a的值．
第16页/共67页
[解] (1)以 A 为原点，A→B，A→D，A→A1的方向分别为 x 轴， y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如右图)．
第32页/共67页
求两异面直线所成的角，用向量法就是求两直线上的两方向向量的夹角，但需注意二者范围的区别．同样地，利用向量法求二面角的大小，就是求两个半平面的法向量的夹角(或夹角的补角)．在空间直角坐标系中，常采用待定系数法求平面的法向量．
第33பைடு நூலகம்/共67页
[变式探究] [2013·济宁模拟]已知三棱锥 P－ABC 中， PA⊥平面 ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝12AB，N 为 AB 上一点， AB＝4AN，M，S 分别为 PB，BC 的中点．
第25页/共67页
• 例2 [2012·重庆高考]如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3， D为AB的中点．

3.2--立体几何中的向量方法(全)ppt课件

PB (1,1,1)
故PB DE 0 1
DE 1
(0,1 2
0
,1) 2
P
22 所以PB DE
F
E
由已知 EF PB,
且EF DE E,
所以PB 平面EFD A
X
D
C
Y
B
30
第30页，共70页。
例2. 四棱锥P - ABCD中, 底面ABCD是正方
形, PD 底面ABCD, PD DC ,点E是PC的中点,
A
证1 立体几何法
M
B
D
N C
MN就是异面直线AB与CD的公垂线，故异面直线AB与CD的距离就是MN.
26
第26页，共70页。
例1 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD
的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD.
证2 向量法
A
ＭＮ＝MA AD DN
M
1 AB AD 1 DC
⑴设平面的法向量为 n ( x, y,
r 习惯上取n
z);
(
x,
y,1)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
组
n
a
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
6
第6页，共70页。
z
作EF PB交PB于点F . 2 求证 : PB 平面EFD.
证2：立体几何法
P
PD 面ABCD
BC
面ABCD
PD PC
BC BC,
E
PD PC P

展示课件(立体几何中的向量方法)

u

0
u
v

// u// v u v
l
a
bm
l

m

a

b

a
b

0
l
a
u

l a// u a u
v u

u
v

u
v
0
rr
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
(1)u (2,2,5),v (6,4,4) 垂直 (2)u (1,2,2),v (2,4,4) 平行 (3)u (2,3,5),v (3,1,4) 相交
巩固性训练3
1、已知 l //，且 l 的方向向量为(2,m,1)，平面
的法向量为(1,1/2,2),则m= -8
rr 的法向量分别为 u, v ，则
垂直：
r r rr
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ；
rr r r
线面垂直 l ⊥ a ∥ u a u, R ；面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
巩固性训练1
1.设 a,b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
.
2、若 l 的方向向量为(2,1,m),平面的法向量为
(1,1/2,2),且 l ，则m= 1
.
rr 直线 l, m 的方向向量分别为 a, b
rr
平面 , 的法向量分别为 u, v
如何求立体几何中的异面直线成角、直线与平面成角、二面角的大小？
课堂小结
• 知识与技能

立体几何中的向量方法完整版46页PPT

立体几何中的向量方法完整版
41、俯仰终宇宙，不乐复何如。 42、夏日长抱饥，寒夜无被眠。 43、不戚戚于贫贱，不汲汲于富贵。 44、欲言无予和，挥杯劝孤影。 45、盛年不重来，一日难再晨。及时当勉励，岁月不待人。
▪
谢谢！
46
Байду номын сангаас
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华

课件5：立体几何中的向量方法

(2)[解] 连接 EF，B′E，B′F，A′E，AF，设 AE＝BF ＝m，则三棱锥 B－EB′F 的体积为 V＝12m(3－m)≤m＋38－m2
＝98，当 m＝32时取等号．故当 m＝32，即点 E，F 分别是棱 AB，BC 的中点时，三棱
锥 B－EB′F 的体积最大，则|cos∠A′FE|为所求．
考向三用向量求线面角例3 在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD
＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图所示． (1)求证：AB⊥CD； (2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．
(1)[证明] ∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝ BD，AB ⊆平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.
图(1) OP＝14AD.
从而 OP∥FQ，且 OP＝FQ，
所以四边形 OPQF 为平行四边形，故 PQ∥OF.
又 PQ⊄平面 BCD，OF 平面 BCD，所以 PQ∥平面 BCD.
(2)[解] 如图(1)，作 CG⊥BD 于点 G，作 GH⊥BM 于点 H，连接 CH.
因为 AD⊥平面 BCD，CG⊂平面 BCD，所以 AD⊥CG. 又 CG⊥BD，AD∩BD＝D，故 CG⊥平面 ABD. 又 BM⊂平面 ABD，所以 CG⊥BM. 又 GH⊥BM，CG∩GH＝G，故 BM⊥平面 CGH，所以 GH⊥BM，CH⊥BM. 所以∠CHG 为二面角 C－BM－D 的平面角，即∠CHG＝60°.
在 Rt△CHG 中，tan∠CHG＝HCGG＝3scionsθθ＝ 3.
所以 tan θ＝ 3.从而 θ＝60°.即∠BDC＝60°.
拓展提高本题法一采用了传统法，在第二问中要作出C－ BM－D的平面角，这里采用了棱BM的垂面(面CGH)法，作、证、算于一体．二面角的做法一直是个难点，不如建系用向量方法求简单，如方法二．

立体几何中的向量方法-课件

解2：
C1
B1
F1 D1
A1 C
B
A
例2、空间四边形ABCD中，AB=BC=CD，
AB⊥BC，BC⊥CD，AB与CD成600角，求AD
与BC所成的uu角ur 大小. 解设 AB 1
uuur uuur uuur uuur
AD AB BC CD
uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur uuur AD AB BC CD 2ABgBC uuur uuur uuur uuur
D1 C1
A1
B1
平面CBD1的一个法向量为
uuuur DC1 (1, 0,1)
D
A
y
cos DA1, DC1 1/ 2
xC
B
cos 1/ 2, 120o
二面角A-BD1 -C的大小为120o.
例5 、
求二面角A-BD1 -C的大小.
解2
2) 3
1
6 1
3
1 2
所以EFD 60o,即二面角 C PB D的大小为 60o.
例4、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的
中点，作EF⊥PB交PB于点F. (3)求二面角C-PB-D
的大小。
Z
解2 如图所示建立
P
空间直角坐标系，设DC=1.
rr
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
rr
(2) l,的夹角为，则sin cos a,u
u
l a
l a
cos(
π
-
θ)
=
cos
<
ur r a, u