理论力学第8章
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理论力学八章
8-1 8-2 8-7 8-6、8、98-15、16、17、208-1 图示四杆机构1OABO 中，ABB O OA211==；曲柄OA 的角速度srad /3=ω。
求当090=ϕ而曲柄B O 1重合于1OO 的延长线上时，杆AB和曲柄B O 1的角速度。
)/1(2.5),/1(31s s B O AB ==ωω参考答案：OA 杆和O1B 杆为定轴转动，AB 杆为平面运动(瞬心在O 点)。
OA OA v A 3=⋅=ω； 由瞬心法知：s rad OAv A AB 3===ωω（逆时针）根据速度投影定理： 60cos 30cos ⋅=⋅B A v v 故：OA v v A B 333=⋅=；s rad s rad BO OA BO v B BO 196.53333111====ω（逆时针）8-2 四连杆机构中，连杆AB 上固联一块三角板 ABD 。
机构由曲柄A O 1带动。
已知：曲柄的角速度s rad A O /21=ω；曲柄cm A O 101=，水平距离cm O O 521=；AD=5cm ,当A O 1铅垂时，AB平行于21O O ，且AD 与1AO 在同一直线上；角030=ϕ。
求三角板ABD 的角速度和D 点的速度。
s cm v s D ABD /35.25),/1(07.1==ω参考答案：O1A 杆和O2B 杆为定轴转动，ABD 三角板为平面运动(瞬心在C 点)。
由O1A 杆作定轴转动：s cm A O v A O A /2011=⋅=ω，方向水平向左，如图。
由O2B 杆作定轴转动，B v 方向如图。
故三角板ABD 的速度瞬心在图示C 点。
则：s rad CO A O v ACv AA ABD /0718.135102011=+=+==ωs rad CD CD v ABD ABD D /359.25=⋅=⋅=ωω（方向水平向左，如图）8-7 如图所示，在振动机构中，筛子的摆动由曲柄连杆机构所带动。
理论力学第8章
第八章 虚位移原理与能量法
分析力学两个基本原理之一 分析静力学基础，也是分析动力学基础。
1. 对可变系，平衡条件非充分
几何静力学的局限 2. 对物系，求解未知约束力多 虚位移原理的优越: 从运动中考察系统平衡，建立理想 约束模型，引入虚位移，由主动力在虚位移上的虚功关 系，给出平衡条件；与达朗贝尔原理结合，构成分析动 力学基础。
用几何法求虚位移关系: 定常约束下与速度关系相同。
单自由度系统，给定某点虚位移后，其它各点虚
位移由约束确定。
2.图示机构中，杆长O1A=O3C=O3D=l，套筒C可 在O2C杆上滑动，图示位臵O1A铅直，杆CD、AB水平， O2B=BC。求力F与力偶矩M的平衡关系。
l
C
l
F
D
O3
A
B
M
l
60 o
O1
O1
O2
C
k=3× 5-(2× 6+2)=1
2. 滚动圆轮，滚动圆球，行驶自行车各有几个
自由度? 2.广义坐标
—完全确定系统位臵的最少参数，可以是长度，角度，
面积等。个数为。
完整约束系统
k 广义坐标相互独立；
非完整约束系统 k 广义坐标相互不独立。
x
l
x
v
( x, y )y源自l0yF
A
yA 7a cos
a
xC a sin
xB a sin
2a
由 Σ δWF Fδy A FQ δxB FQ δxC
(-7 Fa cos θ 2 FQ a sin θ ) δθ 0
故
7 FQ F ctg 2
FQ
分析力学两个基本原理之一 分析静力学基础，也是分析动力学基础。
1. 对可变系，平衡条件非充分
几何静力学的局限 2. 对物系，求解未知约束力多 虚位移原理的优越: 从运动中考察系统平衡，建立理想 约束模型，引入虚位移，由主动力在虚位移上的虚功关 系，给出平衡条件；与达朗贝尔原理结合，构成分析动 力学基础。
用几何法求虚位移关系: 定常约束下与速度关系相同。
单自由度系统，给定某点虚位移后，其它各点虚
位移由约束确定。
2.图示机构中，杆长O1A=O3C=O3D=l，套筒C可 在O2C杆上滑动，图示位臵O1A铅直，杆CD、AB水平， O2B=BC。求力F与力偶矩M的平衡关系。
l
C
l
F
D
O3
A
B
M
l
60 o
O1
O1
O2
C
k=3× 5-(2× 6+2)=1
2. 滚动圆轮，滚动圆球，行驶自行车各有几个
自由度? 2.广义坐标
—完全确定系统位臵的最少参数，可以是长度，角度，
面积等。个数为。
完整约束系统
k 广义坐标相互独立；
非完整约束系统 k 广义坐标相互不独立。
x
l
x
v
( x, y )y源自l0yF
A
yA 7a cos
a
xC a sin
xB a sin
2a
由 Σ δWF Fδy A FQ δxB FQ δxC
(-7 Fa cos θ 2 FQ a sin θ ) δθ 0
故
7 FQ F ctg 2
FQ
理论力学第八章
D
vO B
作无滑动的滚动，已知
O
轮心O以匀速vO前进。
求轮缘上A，B，C和D
C
各点的速度。
25
例题
刚体的平面运动
例题2
解： 基点法
A
因为轮心O点速度已知，故选O为基点。
D
vO B
Oω
vCO vC=0 vO C
应用速度合成定理，轮缘上C点的速度可
表示为
vC vO vCO
其中 vCO 的方向已知，其大小vCO =R ω 。
vB vA vBA
即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕 基点转动的速度的矢量和．这种求解速度的方法称为基点法， 也称为合成法．它是求解平面图形内一点速度的基本方法．
通常把平面图形中速度为已知的点选为基点 二．速度投影法
由于A, B点是任意的，因此 vB vA vBA 表示了图形上任 意两点速度间的关系．由于恒有 vBAAB ，因此将上式在AB
CD
3vB
0.693
m/
s
38
例题
刚体的平面运动
例题5
轮E沿水平面滚动，轮心E的速度水平
由速度投影定理，D，E 两点的速度关系为
vE cos 30 vD
vD
由
D
vD 0.693 m / s
E
30
vE
B vB A vA 60 C O ω
求得
vE 0.8 m / s
39
例
BC＝l
40
解： （1）求AB的角速度
式中vB方向沿BO向下，vAB方向垂直杆
vB
AB，且 vBA=ωAB·AB， 但 ωAB未知 ， 而
ωAB
vAB vA=u。由速度合成矢量图可得
专科工程力学理论力学第8章
恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。
, rv ev av
根据速度合成定理
作出速度平行四边形。
动点、动系和静系的选择原则
动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体，
否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不 能成为合成运动
动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断（已
知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）。
由速度合成定理 va= vr+ ve ，
作出速度平行四边形 如图示。
v a v e tg 30 0 2 3 e 3
（翻页请看动画）
v AB 2 3 e ( ) 3
由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤为：
选取动点，动系和静系。
三种运动的分析。 三种速度的分析。 根据速度平行四边形，求出未知量。
两个不相关的动点，求二者的相对速度。
根据题意, 选择其中之一为动点, 动系为固结于另一点的平动 坐标系。
运动刚体上有一动点，点作复杂运动。
该点取为动点，动系固结于运动刚体上。
机构传动, 传动特点是在一个刚体上存在一个不变的接触点,
相对于另一个刚体运动。 导杆滑块机构：典型方法是动系固结于导杆，取滑块为动点。 凸轮挺杆机构：典型方法是动系固结与凸轮，取挺杆上与凸轮 接触点为动点。
若动点A在偏心轮上时 动点：A(在AB杆上) A（在偏心轮上） 动系：偏心轮 AB杆 静系：地面 地面 绝对运动：直线 圆周（红色虚线） 相对运动：圆周（曲线） 曲线（未知） 牵连运动：定轴转动 平动
[注] 要指明动点应在哪个 物体上， 但不能选在 动系上。
§８－２点的速度合成定理
速度合成定理将建立动点的绝对速度，相对速度和牵连速度 之间的关系。 当t t+△t ABA'B' 一．证明 MM' 也可看成M M１ M´ MM ' 为绝对轨迹 MM ' 为绝对位移 M1 M ' 为相对轨迹 M1M ' 为相对位移
, rv ev av
根据速度合成定理
作出速度平行四边形。
动点、动系和静系的选择原则
动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体，
否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不 能成为合成运动
动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断（已
知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）。
由速度合成定理 va= vr+ ve ，
作出速度平行四边形 如图示。
v a v e tg 30 0 2 3 e 3
（翻页请看动画）
v AB 2 3 e ( ) 3
由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤为：
选取动点，动系和静系。
三种运动的分析。 三种速度的分析。 根据速度平行四边形，求出未知量。
两个不相关的动点，求二者的相对速度。
根据题意, 选择其中之一为动点, 动系为固结于另一点的平动 坐标系。
运动刚体上有一动点，点作复杂运动。
该点取为动点，动系固结于运动刚体上。
机构传动, 传动特点是在一个刚体上存在一个不变的接触点,
相对于另一个刚体运动。 导杆滑块机构：典型方法是动系固结于导杆，取滑块为动点。 凸轮挺杆机构：典型方法是动系固结与凸轮，取挺杆上与凸轮 接触点为动点。
若动点A在偏心轮上时 动点：A(在AB杆上) A（在偏心轮上） 动系：偏心轮 AB杆 静系：地面 地面 绝对运动：直线 圆周（红色虚线） 相对运动：圆周（曲线） 曲线（未知） 牵连运动：定轴转动 平动
[注] 要指明动点应在哪个 物体上， 但不能选在 动系上。
§８－２点的速度合成定理
速度合成定理将建立动点的绝对速度，相对速度和牵连速度 之间的关系。 当t t+△t ABA'B' 一．证明 MM' 也可看成M M１ M´ MM ' 为绝对轨迹 MM ' 为绝对位移 M1 M ' 为相对轨迹 M1M ' 为相对位移
理论力学 第8章 动力学基础
8.4 例 题 分 析
v
dv
t
dt
0 g bv 0
v g 1ebt b
x
g
dx
t
1ebtdt
0
b0
xbgtb11ebt
这就是该物体下沉的运动规律。
t ebt0
v g 1ebt b
g mg
v极限 b m
此速度极值称为物体在液体中自由下沉的极限速度
应用：选矿、选种等。
不同质量不同的极限速度。
8.1 主要内容
8.1.6 质点动力学的两类基本问题 应用质点运动微分方程，可解决质点动力学的两类基本问题。
（１）质点动力学的第一类基本问题。已知质点的运动，求解 此质点所受的力。
（２）质点动力学的第二类基本问题。已知作用在质点上的力， 求解此质点的运动。
求解第一类问题，一般只需进行微分运算；而求解第二类问题，一般要 进行积分运算，属于微分方程的积分问题，应由运动的初始条件确定积分常数。
Theoretical Mechanics
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第8章 动力学基础
8.1 主要内容
若将刚体对于O点的转动惯量(亦称为极转动惯量)表示为
I O m iR i 2 m ix i 2 y i 2 z i 2
或
I O m R R 2 d m m Rx 2 y 2 z 2 d m
8.1.3 单位制
国际单位制(SI)。长度、质量、时间为基本量，对应的基本单位是米
(m)、千克(kg)、秒(s)，力是导出量，力的导出单位是牛顿(N)。
1N=1kg·1m/s2 =1kg·m/s2
工程单位制(EU)。长度、力、时间为基本量，对应的基本单位是米
8理论力学
线运动.
D
动系的牵连运动—沿x轴的直线平动. vD
va= ve + vr va = r ve = vD= v
v 解得: va sin
v r sin
16
例题8-7.平底凸轮机构如图
示. 凸轮 O 的半径为R,偏心 距OA = e,以匀角速度 绕 B O 转动,并带动平底从动杆 BCD运动. 试求该瞬时杆 BCD的速度.
动系O—x´y´
e x´
y´
A的绝对运动—以B为中心 l 为 半径的园运动.
x A的相对运动—沿凸轮O边缘的曲线运动.
牵连运动—动系随凸轮O且角速度为的定轴转动.
牵连点—凸轮O上被AB杆的A端盖住的A´点且随凸轮
O作角速度为的定轴转动.
va= ve + vr va = l AB
解得:
AB
e l
22
ve = rsin
将它表示成转角的函数.
B
D
C e O A
26
解:取偏心园凸轮的 B
D
中心C为动点.
建立静系O—x y和 动系A—x´y´
y
ve va
C e vr
O
A
y´
x
x´
C的绝对运动—以O为中心为e半径的园运动.
C的相对运动—平行于 y´ 轴的直线运动.
牵连运动—动系沿水平直线作往复平动.
va= ve + vr
长 r,以匀角速1转动.试分析滑
O2
块A的运动.
5
O
例题8-3.曲柄导杆机构
的运动由滑块 A带动,已
B
C
知OA= r且转动的角速
A
度为.试分析滑块 A的
理论力学课件第八章
第八章 点的合成运动教学要求1、掌握运动合成与分解的基本概念和方法；2、能应用点的速度合成定理和加速度合成定理求解平面问题。
前两章分析的点或刚体相对一个定参考系的运动，可称为简单运动。
物体相对不同参考系的运动是不相同的。
研究物体相对于不同参考系的运动，分析物体相对于不同参考系运动之间的关系，可称为复杂运动或合成运动。
§8-1 相对运动·牵连运动·绝对运动例沿直线轨道滚动的车轮，其轮缘上点M 的运相对地面其轨迹是旋轮线。
通过观察可以发现，物体对一个参考系的运动可以由几个运动组合而成。
一、运动的合成与分解 点M 相对地面的旋轮线运动(分解)→ ←(合成)点M 相对车厢的圆周运动+车厢相对地面的平移 二、基本概念 两个参考系：定参考系oxy —一般固连于地面动参考系o’x’y’—固连在相对地球运动的参考体上三种运动：绝对运动—动点相对定系的运动相对运动—动点相对动系的运动牵连运动—动系相对定系的运动三种速度、加速度：绝对：速度v a ；加速度a a ，相对：速度v r ；加速度a r ，牵连：速度 v e ；加速度a e 牵连速度和牵连加速度是指动系上与动点重合的那一点的速度和加速度。
例8.1 已知AB 杆的ω、α，试分析点M 的三种运动、速度、加速度。
解：1、动点—小圆环M 定系—固连于地面 动系—固连于AB 杆 2、运动分析 绝对运动—M 沿大圆环的圆周运动相对运动—M 沿AB 杆的直线运动牵连运动—杆AB 绕A 点的转动3、速度：v a 、v r 、v e 如图4、加速度a a =a a τ+a a n ；a r ；a e =a e τ+a e n 如图三、运动方程和轨迹动点—M ，定系—oxy ，动系—o ’x’y’绝对运动方程：x =x (t)，y =y (t )，消去t 得绝对运动轨迹 相对运动方程： x’=x’(t)，y’=y’(t )，消去t 得相对运动轨迹 牵连运动方程(动系相对定系)： x o'= x o'(t )，y o'= y o'(t )，ϕ=ϕ (t ) 三者间的关系： x = x o'+x’cos ϕ- y’sin ϕ τo' yy = y o'+ x’sin ϕ+ y’cos ϕ例8.2车削工件端面，oxy 为定系，工件以等角速度ω转动，刀尖M 沿x 轴往复运动，运动方程为x =b sin ωt 。
理论力学 第8章 动力学基础
8 动力学基础
引言
什么是动力学？学习动力学的意义？
力系不平衡
引起运动的原因
力系
运动
平
几运
衡
何动
条
性本
件
质身
质运 量动 关力 系、
静力 学
运动 学
动力学
动力学：研究物体的机械运动与作用力之间的关系。
如果说，力的作用是改变物体机械运动的原因，机械 运动变化是力对物体作用的结果，则动力学就是从因果 关系上论述物体的机械运动。
7
8.1 动力学的基本定律
第二定律（力与加速度之间的关系的定律）
质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小， 加速度的方向与力的方向相同上。
即 说明：
F=ma
•此式建立了质点的加速度、质量与作用力之间 的定量关系。
•质量是质点惯性的度量。 •在地球表面，物体受重力作用，有
G = mg
式中，g — 重力加速度，一般取 g = 9.80 m/s2。
MX
oi x
x
17
8.4 质点系的惯性特征
两个概念：质点系的质心，刚体的转动惯量。
1. 质点系的质心
任一质点系的质心： rC
Σmi ri
M
xC
Σmi M
xi
，yC
Σmi M
yi
，zC
Σmi zi M
18
8.4 质点系的惯性特征
2. 刚体的转动惯量 我们知道，质量是质点惯性的度量。 问题 ①： 对质点系，质量是什么的度量？
1 mR2 2
Jz 1l2, m3
Jz R2 m
Jz 1 R2 m2
25
惯性半径（回转半径）
转动惯量与质量的比值的平方根，常用表示。
引言
什么是动力学？学习动力学的意义？
力系不平衡
引起运动的原因
力系
运动
平
几运
衡
何动
条
性本
件
质身
质运 量动 关力 系、
静力 学
运动 学
动力学
动力学：研究物体的机械运动与作用力之间的关系。
如果说，力的作用是改变物体机械运动的原因，机械 运动变化是力对物体作用的结果，则动力学就是从因果 关系上论述物体的机械运动。
7
8.1 动力学的基本定律
第二定律（力与加速度之间的关系的定律）
质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小， 加速度的方向与力的方向相同上。
即 说明：
F=ma
•此式建立了质点的加速度、质量与作用力之间 的定量关系。
•质量是质点惯性的度量。 •在地球表面，物体受重力作用，有
G = mg
式中，g — 重力加速度，一般取 g = 9.80 m/s2。
MX
oi x
x
17
8.4 质点系的惯性特征
两个概念：质点系的质心，刚体的转动惯量。
1. 质点系的质心
任一质点系的质心： rC
Σmi ri
M
xC
Σmi M
xi
，yC
Σmi M
yi
，zC
Σmi zi M
18
8.4 质点系的惯性特征
2. 刚体的转动惯量 我们知道，质量是质点惯性的度量。 问题 ①： 对质点系，质量是什么的度量？
1 mR2 2
Jz 1l2, m3
Jz R2 m
Jz 1 R2 m2
25
惯性半径（回转半径）
转动惯量与质量的比值的平方根，常用表示。
理论力学 第8章 动力学普遍定理
xC
mi
M
xi
,
yC
mi
M
yi
,
zC
mi
M
zi
10
在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采 用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是，质 心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学 意义。 二、质点系的内力与外力 外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。 内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
6
1.第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题） 已知的作用力可能是常力, 也可能是变力。变力可能是时间、 位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。
7
例1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度 转
只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系 的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。
20
[例3] 质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另 放一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角 形柱体的位移。
解：选两物体组成的系统为研究对象。
受力分析， Fx(e) 0, 水平方向 Px 常量。
l2 r2 l
得 F mr2 2 l 2 r 2
9
质点系的质心，内力与外力
一.质点系的质心 质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量分布情况的 一个重要概念。
质心 C 点的位置： (M mi )
rC
mi
M
ri
或 MrC mi ri
理论力学8章分析解析
2018/10/20
理论力学第8章
22
补充例题。圆轮纯滚动的运动特点。 1. 圆轮在水平面上作纯滚动。轮心A作水平直 线运动。 无滑动条件：轮心A的 水平位移OC等于轮缘 滚动过的弧长，即 OC=MC。设OC长度为x， MC的圆心角为φ，则
x r
2018/10/20 理论力学第8章 23
OA sin AB sin r sin sin l
2018/10/20 理论力学第8章 13
2018/10/20
理论力学第8章
14
用基点法建立A和B的 速度关系。
v B v A v BA vB v A sin vBA sin 0 v A cos vBA cos r cos vBA AB l cos cos sin( ) vB r sin r sin r cos cos cos r , cos
2018/10/20
理论力学第8章
34
轮A的速度和加速度分析：
vA v A r A， A 10rad / s R vC 2 R A 4m / s aA aA r A ， A 10rad / s 2 R t n aC a A aCA aCA
v B v A v BA vB cos30 v A cos30 vB sin 30 v A sin 30 vBA v B v A r vBA 0,
2018/10/20
BA 0
理论力学第8章
19
对于轮B： C为瞬心。
vC v B vCB 0 vB vCB vCB vB r vCB B r
理论力学第八章
解: 1、动点：滑块 A 动系：摇杆 O1B 2、运动分析：
绝对运动－绕O点的圆周运动；相对运动－沿 O1B的直线运动；牵连运动－绕O1轴定轴转动。
3、
√√√
ve va sin r sin
1
ve O1 A
r 2
l2 r2
例8-4 如图所示半径为R、偏心距为e的凸轮， 以角速度ω绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移， 杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一直线。
在动参考系上与动点相重合的那一点(牵连点)的 速度和加速度称为动点的牵连速度(用ve表示)和牵连 加速度(用ae表示) 。
如果没有牵连运动，则动点的相对运动就是它的绝 对运动；
如果没有相对运动，则动点随同动参考系所作的运 动就是它的绝对运动；
动点的绝对运动既取决于动点的相对运动，也决定 于动参考系的运动即牵连运动，它是两种运动的合 成。
练习：已知 , ，小球的相对速度u，OM=l。 求：牵连速度和牵连加速度
y x'
y'
M
O
φ
x
实例一：车刀的运动分析
动点：车刀刀尖 动系：工件 绝对运动：直线运动 牵连运动：定轴转动 相对运动：曲线运动（螺旋运动）
实例二：回转仪的运动分析
动点：Ｍ点 动系：框架
相对运动：圆周运动 牵连运动：定轴转动 绝对运动：空间曲线运动
§8-1 相对运动·牵连运动·绝对运动
习惯上把固定在地球上的坐标系称为定参考系， 以oxy坐标系表示；固定在其它相对于地球运动的参考 体上的坐标系称为动参考系，以o'x'y'坐标系表示。
用点的合成运动理论分析点的运动时，必须选定两 个参考系，区分三种运动： (1) 动点相对于定参考系的运动，称为绝对运动； (2) 动点相对于动参考系的运动，称为相对运动； (3) 动参考系相对于定参考系的运动，称为牵连运动。
绝对运动－绕O点的圆周运动；相对运动－沿 O1B的直线运动；牵连运动－绕O1轴定轴转动。
3、
√√√
ve va sin r sin
1
ve O1 A
r 2
l2 r2
例8-4 如图所示半径为R、偏心距为e的凸轮， 以角速度ω绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移， 杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一直线。
在动参考系上与动点相重合的那一点(牵连点)的 速度和加速度称为动点的牵连速度(用ve表示)和牵连 加速度(用ae表示) 。
如果没有牵连运动，则动点的相对运动就是它的绝 对运动；
如果没有相对运动，则动点随同动参考系所作的运 动就是它的绝对运动；
动点的绝对运动既取决于动点的相对运动，也决定 于动参考系的运动即牵连运动，它是两种运动的合 成。
练习：已知 , ，小球的相对速度u，OM=l。 求：牵连速度和牵连加速度
y x'
y'
M
O
φ
x
实例一：车刀的运动分析
动点：车刀刀尖 动系：工件 绝对运动：直线运动 牵连运动：定轴转动 相对运动：曲线运动（螺旋运动）
实例二：回转仪的运动分析
动点：Ｍ点 动系：框架
相对运动：圆周运动 牵连运动：定轴转动 绝对运动：空间曲线运动
§8-1 相对运动·牵连运动·绝对运动
习惯上把固定在地球上的坐标系称为定参考系， 以oxy坐标系表示；固定在其它相对于地球运动的参考 体上的坐标系称为动参考系，以o'x'y'坐标系表示。
用点的合成运动理论分析点的运动时，必须选定两 个参考系，区分三种运动： (1) 动点相对于定参考系的运动，称为绝对运动； (2) 动点相对于动参考系的运动，称为相对运动； (3) 动参考系相对于定参考系的运动，称为牵连运动。
理论力学8
摇杆绕固定轴O1来回摆动。设曲柄长OA=r，两轴间距离OO1 l
求曲柄在水平位置瞬时，摇杆O1B绕O1轴的角速度1及滑块A相
对摇杆O1B的相对速度。
运动学/点的合成运动
解：
选取动点： OA 上的A点 动系： O1B 定系： 基座
运 绝对运动：圆周运动 动 分 相对运动：直线运动 析 牵连运动：定轴转动 ：
运动学/点的合成运动
另一方面，在实际问题中，不仅要在固联在地面上
的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和
研究物体的运动。下面先看几个例子。
沿直线轨道纯滚动 的圆轮，研究轮缘上A 点的运动，对于地面上 的观察者，是旋轮线轨 迹，对站在轮心上的观 察者是圆。
A点的运动可看成随轮心的平移与绕轮心转动的合成。
运动学/点的合成运动
MM MM1 M1M 将上式两边同时除以t并取 t0得
lim MM lim MM1 t 0 t t 0 t
lim
M1M
t 0 t
va ve vr
即：在任一瞬时动点的绝对速度等于牵连速度与相对速
度的矢量和，这就是点的速度合成定理。
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其它两个。
运动学/点的合成运动
例如，直管OB以匀角速度绕定轴O转动，小球M
以速度u在直管OB中作相对的匀速直线运动，如图示。 将动坐标系固结在OB管上，以小球M为动点。随着动 点M的运动，牵连点在动坐标系中的位置在相应改变。 设小球在t1、t2瞬时分别到达M1、M2位置，则动点的 牵连速度分别为
ve1 OM1
运动学/点的合成运动
第八章
点的合成运动
在前两章中研究点和刚体的运动时，认为地球（ 参考体）固定不动,将坐标系（参考系）固连于地面。 因此，点和刚体的运动是相对固定参考系而言的。
求曲柄在水平位置瞬时，摇杆O1B绕O1轴的角速度1及滑块A相
对摇杆O1B的相对速度。
运动学/点的合成运动
解：
选取动点： OA 上的A点 动系： O1B 定系： 基座
运 绝对运动：圆周运动 动 分 相对运动：直线运动 析 牵连运动：定轴转动 ：
运动学/点的合成运动
另一方面，在实际问题中，不仅要在固联在地面上
的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和
研究物体的运动。下面先看几个例子。
沿直线轨道纯滚动 的圆轮，研究轮缘上A 点的运动，对于地面上 的观察者，是旋轮线轨 迹，对站在轮心上的观 察者是圆。
A点的运动可看成随轮心的平移与绕轮心转动的合成。
运动学/点的合成运动
MM MM1 M1M 将上式两边同时除以t并取 t0得
lim MM lim MM1 t 0 t t 0 t
lim
M1M
t 0 t
va ve vr
即：在任一瞬时动点的绝对速度等于牵连速度与相对速
度的矢量和，这就是点的速度合成定理。
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其它两个。
运动学/点的合成运动
例如，直管OB以匀角速度绕定轴O转动，小球M
以速度u在直管OB中作相对的匀速直线运动，如图示。 将动坐标系固结在OB管上，以小球M为动点。随着动 点M的运动，牵连点在动坐标系中的位置在相应改变。 设小球在t1、t2瞬时分别到达M1、M2位置，则动点的 牵连速度分别为
ve1 OM1
运动学/点的合成运动
第八章
点的合成运动
在前两章中研究点和刚体的运动时，认为地球（ 参考体）固定不动,将坐标系（参考系）固连于地面。 因此，点和刚体的运动是相对固定参考系而言的。
理论力学第八章
？
几个有意义的实际问题
偏心转子 为什么要 固定，如 果不固定 会怎样
几个有意义的实际问题
偏心转子 电动机工作 时为什么会 左右运动；
这种运动有 什么规律； 会不会上 下跳动； 利弊得失。
？
几个有意义的实际问题
偏心转子 没有跳起 时，质心 运动情况
几个有意义的实际问题
偏心转子 有跳起时， 质心运动 情况
工程实际中的动力学问题
v1
F
v2
棒球在被球棒 击打后，其速度 的大小和方向发 生了变化。如果 已知这种变化即 可确定球与棒的 相互作用力。
工程实际中的动力学问题
载人飞船的交会与对接
v2 v1
B A
工程实际中的动力学问题
航空航天器 的姿态控制
工程实际中的动力学问题
高速列车的振动问题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
工程实际中的动力学问题
1. 直角坐标系投影式
z
ma F
O x
M
r z y
a
y
x
v
F
d r m 2 dt
2
F
直角坐标形式
d2x m 2 Fx ma x m x dt d2y m 2 Fy ma y m y dt d 2z m 2 Fz ma z m z dt
牛顿及其在力学发展中的贡献
牛顿出生于林肯郡伍尔索朴城的一个中等农户家中。 在他出生之前父亲即去世，他不到三岁时母亲改嫁了， 他不得不靠他的外祖母养大。
1661年牛顿进入了剑桥大学的三一学院，1665年获文 学学士学位。在大学期间他全面掌握了当时的数学和光 学。1665-1666的两年期间，剑桥流行黑热病，学校暂 时停办，他回到老家。这段时间中他发现了二项式定律， 开始了光学中的颜色实验，即白光由7种色光构成的实 验，而且由于一次躺在树下看到苹果落地开始思索地心 引力问题。在30岁时，牛顿被选为皇家学会的会员，这 是当时英国最高科学荣誉。
理论力学-第8章1
质点系的动量定理的守恒形式
实际应用质点系的 动量定理时， 动量定理时，常采用投 影式： 影式：
dpx e e = ∑Fix = FRx dt i dpy e e = ∑Fiy = FRy dt i dpz e e = ∑Fiz = FRz dt i
若作用在质点系上的外力主矢不恒为零， 若作用在质点系上的外力主矢不恒为零，但在某个坐标 轴上的投影恒为零， 质点系的动量在该坐标轴上守恒。 轴上的投影恒为零，则：质点系的动量在该坐标轴上守恒。
p = ∑ mi vi
i
质点系的动量是度量质点系整体运动的基本特征之一。 质点系的动量是度量质点系整体运动的基本特征之一。 具体计算时可采用其在直角坐标系的投影形式。 具体计算时可采用其在直角坐标系的投影形式。
px = ∑mvix , py = ∑mviy , pz = ∑mviz i i i
i i i
第8章 动量定理及其应用 章
将适用于质点的牛顿第二定律扩展到质点系， 将适用于质点的牛顿第二定律扩展到质点系，得到质 点系的动量定理、动量矩定理和动能定理，统称为质点系 点系的动量定理、动量矩定理和动能定理， 的动力学普遍定理。 的动力学普遍定理。 质点系动力学普遍定理的主要特征是： 质点系动力学普遍定理的主要特征是：建立了描述质 点系整体运动状态的物理量（动量、动量矩和动能） 点系整体运动状态的物理量（动量、动量矩和动能）与作 用在质点系上的力系的特征量（主矢、主矩和功） 用在质点系上的力系的特征量（主矢、主矩和功）之间的 关系。 关系。 根据静力学中的结论， 根据静力学中的结论，任意力系可向一点简化为一主矢 和一主矩，当主矢和主矩同时为零时，该力系平衡；而当主 和一主矩，当主矢和主矩同时为零时，该力系平衡； 矢和主矩不为零时，物体将产生运动。 矢和主矩不为零时，物体将产生运动。质点系的动量定理建 立了质点系动量对时间的变化率与主矢之间的关系。 立了质点系动量对时间的变化率与主矢之间的关系。
第八章--理论力学解析
系统动量的大小为:
p
p
2 x
p
2 y
l
4(m1 m2 )2 sin 2 t m12 cos2 t
§8-2 动量定理
1.质点的动量定理
d(mv) F dt
或 d(mv) Fdt
－－质点动量定理的微分形式
即质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量.
在 t1~ t 2 内, 速度由 v1 ~ v2, 有
FT2 m2 (g r2)
例9-3：已知：两小球质量皆为 m,初始角速度 。0
求：剪断绳后, 角时的 .
解： 0 时,
Lz1 2ma0a 2ma20
0 时,
Lz2 2m(a l sin )2
Lz1 Lz2
(a
a 2 0 l sin )2
§9-3 刚体绕定轴的转动微分方程
主动力: F1, F2,
, Fn
约束力: FN1 , FN2
d dt
(
J
z)
M
z
(Fi
)
M
z
( FNi
)
Mz (Fi )
即:
Jz
d
dt
M z (Fi )
或 Jz Mz (F)
转动 微分
或
Jz
d2
dt 2
Mz(F)
方程
§9-3 刚体绕定轴的转动微分方程
主动力: F1, F2,
, Fn
O
(F
)
投影式:
质点对某定点的动量矩对时间的
d dt
M
x
(mv )
M
x
(F
)
d dt
M
y
(mv )
M
y
p
p
2 x
p
2 y
l
4(m1 m2 )2 sin 2 t m12 cos2 t
§8-2 动量定理
1.质点的动量定理
d(mv) F dt
或 d(mv) Fdt
－－质点动量定理的微分形式
即质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量.
在 t1~ t 2 内, 速度由 v1 ~ v2, 有
FT2 m2 (g r2)
例9-3：已知：两小球质量皆为 m,初始角速度 。0
求：剪断绳后, 角时的 .
解： 0 时,
Lz1 2ma0a 2ma20
0 时,
Lz2 2m(a l sin )2
Lz1 Lz2
(a
a 2 0 l sin )2
§9-3 刚体绕定轴的转动微分方程
主动力: F1, F2,
, Fn
约束力: FN1 , FN2
d dt
(
J
z)
M
z
(Fi
)
M
z
( FNi
)
Mz (Fi )
即:
Jz
d
dt
M z (Fi )
或 Jz Mz (F)
转动 微分
或
Jz
d2
dt 2
Mz(F)
方程
§9-3 刚体绕定轴的转动微分方程
主动力: F1, F2,
, Fn
O
(F
)
投影式:
质点对某定点的动量矩对时间的
d dt
M
x
(mv )
M
x
(F
)
d dt
M
y
(mv )
M
y
理论力学第八章点的合成运动.
14
二、速度合成定理的推导:
定系:Ｏxyz，动系： O x y z ，动点:Ｍ 动系上与动点重合的点(牵连点):M’ rM rM r xi yj z k
rM rO r ro' xi yj z k ~ dr i y j z k vr x dt
7
va ——绝对运动中,动点的速度 绝对速度 ： v r ——相对运动中,动点的速度 相对速度 ： v e ——牵连运动中,牵连点的速度 牵连速度 ：
8
绝对加速度： aa ar 相对加速度： ae 牵连加速度：
9
[例2]分析动点、动系改变，对运动分析的影响。
动点：A(在AB杆上) 动系：偏心轮 静系：地面 绝对运动：直线 相对运动：圆周 牵连运动：定轴转动 A（在偏心轮上） AB杆 地面 圆周（红色虚线） 曲线（未知） 平动
解：点M1的科氏加速度：
D
a c 1 2v 1 sin
垂直板面向里。
B
e
C
点M2 的科氏加速度
ac 2 0 ( // v 2 )
25
[例2]曲柄摆杆机构，已知:O1A＝r ,
90o ( )
, , 1; 取O1A杆上A点为动点，
动系固结O2B上，试计算:动点A的科氏 加速度。 解：aC 2 2 v r
[注] 1、必须要指明动点在哪个 物体上，注意不能选在动系上。
2、选动点、动系时，一定要使 相对轨迹简单清晰。 三种运动
10
四、坐标变换： 动点M的绝对 x x t 运动方程： y y t 动点M的相对 x x t 运动方程： y y t
4 绝对运动方程
二、速度合成定理的推导:
定系:Ｏxyz，动系： O x y z ，动点:Ｍ 动系上与动点重合的点(牵连点):M’ rM rM r xi yj z k
rM rO r ro' xi yj z k ~ dr i y j z k vr x dt
7
va ——绝对运动中,动点的速度 绝对速度 ： v r ——相对运动中,动点的速度 相对速度 ： v e ——牵连运动中,牵连点的速度 牵连速度 ：
8
绝对加速度： aa ar 相对加速度： ae 牵连加速度：
9
[例2]分析动点、动系改变，对运动分析的影响。
动点：A(在AB杆上) 动系：偏心轮 静系：地面 绝对运动：直线 相对运动：圆周 牵连运动：定轴转动 A（在偏心轮上） AB杆 地面 圆周（红色虚线） 曲线（未知） 平动
解：点M1的科氏加速度：
D
a c 1 2v 1 sin
垂直板面向里。
B
e
C
点M2 的科氏加速度
ac 2 0 ( // v 2 )
25
[例2]曲柄摆杆机构，已知:O1A＝r ,
90o ( )
, , 1; 取O1A杆上A点为动点，
动系固结O2B上，试计算:动点A的科氏 加速度。 解：aC 2 2 v r
[注] 1、必须要指明动点在哪个 物体上，注意不能选在动系上。
2、选动点、动系时，一定要使 相对轨迹简单清晰。 三种运动
10
四、坐标变换： 动点M的绝对 x x t 运动方程： y y t 动点M的相对 x x t 运动方程： y y t
4 绝对运动方程
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运动分类 绝对运动：动点相对于静坐标系的运动。 相对运动：动点相对于动坐标系的运动。 牵连运动：动坐标系相对于静坐标系的运动。 速度分类 动点相对于静坐标系的速度、加速度称为绝对 速度、绝对加速度。记作va，aa 。 动点相对于动坐标系的速度和加速度称为相对 速度、相对加速度。记作vr，ar 。
动点的绝对速度：
' ' M 1M 2 M1M1' M1' M 2 t t t v a ve v r
动点的加速度：
v a ve v r dv a d v e d v r aa dt dt dt
刚体平移时，刚体上各点的速度相同，都等于动坐标 原点的速度#39; y' j' z' k' ) : x' i' x' ω i' ω x' i' ω vrx i' y' j' y' ω j' ω y' j' ω vry j' z' k' z' ω k' ω z' k' ω vrz k' 2( x' i' y' j' z' k' ) 2[ω vrx i' ω vry j' ω vrz k' ] 2ω (vrx i' ω vry j' ω vrz k' ) 2ω v r
2
例8-3 凸轮半径R， 偏心距e，以角速度
ω绕O转动。直杆
AB可在滑槽内上下 滑动，杆端A与凸轮 接触，OAB成 一直 线，求图示位置时杆 AB的速度。
解：运动分析。 定系固定在地面（滑槽）上。 动系固定在凸轮上，此动系绕O 转动。A为动点。 相对速度：站在动系凸轮上观 察，动点A的相对运动轨迹为圆 周，相对速度为vr。 牵连速度：凸轮上的点A’（与 动点A重合）的速度为牵连速度 ve。
2( x' i' y' j' z' k' ) ae r O ' x' i ' y' j' z' k' a r x' i' y' j' z' k' ac 2( x' i' y' j' z' k' )
动点的相对速度：
dx ' dy ' dz ' vr i ' j ' k' dt dt dt
（3）点的牵连速度 站在静坐标上观察，动坐标上的某点（x’,y’,z’) 是运动的，该点的位置为 r = ro’ + r’ = ro’ + x’i’+y’j’+z’k’
牵连运动是动坐标上某固定点的运动。这个固 定点的坐标x’，y’，z’是不变的，但坐标矢i’， j’，k’是变化的。 在静坐标上观察到的动坐标上某固定点的速度 是牵连速度，因此，得到 动点的牵连速度：
式中，ω是动坐标系绕 某轴转动的角速度。
2. 加速度合成的解析法
2
r rO ' r' rO ' x' i' y' j' z' k'
d r a 2 r O ' x' i ' y' j' z' k' x' i' y' j' z' k' dt
A的加速度表达式：
aa ae ar
式中的牵连加速度就是 丁字形杆的加速度。 aa=rω2， 利用加速度在水平方向 的投影式，得
ae aa cos r cos
2
例8-5 半径为R的半圆柱凸轮在水平面上向右运动， 瞬时速度、加速度分别为v和a。杆AB在滑槽内上下 移动，其A端与凸轮光滑接触，求杆AB的加速度。 解：A为动点，动系在圆柱体上。A在竖直方向作绝 对运动。A沿圆柱表面作相对运动。圆柱在水平面上 的运动是动点A的牵连运动。 速度分析：
速度合成定理：绝对速度等于牵连速度与相对 速度的矢量和。
2. 点的速度合成的解析法 （1）点的绝对速度 动点在静坐标系的位置坐标是：
r rO' r xi yj zk xO' i yO' j zO' k x' i ' y' j ' z' k '
动点的绝对速度为：
解：AB为动系。滑 块为动点。 绝对速度：滑块对 于地面的速度。 站在地面观察到动 点（滑块）的速度 为绝对速度： va=rω
相对速度：滑块对于摇 杆的速度 站在动系（摇杆AB)看 到动点（滑块）沿着 AB运动，其相对速度 为vr，方向沿AB方向。
牵连速度：牵连速度 是摇杆上与滑块重合 的点A’的速度， ve=O1Aω1,
第八章
点的合成运动
动点的复合运动：质点在刚体内作相对运动， 而刚体对于地面发生运动。 例如：人在装甲车上射击。装甲车的行驶速度 为ve=100m/s，子弹射出枪筒的速度为vr=20m/s。
§8-1 相对运动、牵连运动、绝对运动 坐标系： 1.静坐标系（定参考系）：固结于地面上的 坐标系。 2.动坐标系（动参考系）：固结于运动刚体 上的坐标系。
k ' k ' sin 2 sin k ' sin 2 k ' k ' sin τ k ' sin τ dk ' lim k ' sin τ ω k ' dt t 0 t
同理，
di ' dj ' ω i', ω j' dt dt
t 时刻，动点在轨道AB的M1点。t+△t，轨道运 动到A’B’，动点运动到A’B’的M’2。 M1 M’2是绝对位移。 M1 M2是相对位移。 M1 M’1是动点在M处的牵连位移，即刚体轨道 的点M1的绝对位移。
M 1M '2 M 1M '1 M '1 M '2 M 1M '2 M 1M '1 M 1 M '2 va lim lim lim t 0 t 0 t 0 t t t v a ve vr
va ve vr
刚体作平移运动时，刚体上各点的速度相同， 都等于动坐标的坐标原点的速度。
dv o' dv r aa dt dt a a ao' a r a a ae a r
va ve vr
水平投影：
va sin 30 ve vrx
垂直投影：
v2 aa a cot R sin 3 水平向投影:
t r
0 ae arn cos art sin
v a (ae art cos ) sin v v2 (a cos ) 2 sin R sin
作业 8-5
§8-4 牵连运动为转动时的 加速度合成定理
动点的绝对速度的表达式为：
drO ' di ' dj ' dk ' dx ' dy ' dz ' va x' y ' z ' i ' j ' k' dt dt dt dt dt dt dt
（2）点的相对速度 站在动坐标系上观察，点在动坐标的位置坐标 是时间的函数： r’= x’(t) i+ y’(t) j+ z’(t) k x’=x’(t) , y’=y(t), z’=z’(t)
drO ' dr ' va dt dt
drO ' 式中 dt
是动坐标系原点O’的速度。
而
r ' x' i ' y ' j ' z ' k ' dr ' di ' dj ' dk ' dx' dy' dz' x' y ' z ' i ' j ' k' dt dt dt dt dt dt dt
设刚体一方面对 固定坐标系作平 动，另一方面又 绕自身的一个轴 转动。
1. 预备知识：动坐标矢 的时间变化率 动系x’y’z’绕某轴转动时， 固结在动坐标上的坐标 矢量的大小虽然不变， 但方向不断变化。现求 动坐标矢量i’、 j’ 、k’对 时间的变化率。 设动坐标系绕某轴转动。 则动坐标矢k’ 端点的轨 迹是圆周。
M 1M 1' O' O1' ve vO ' t t dv a dvO ' dv r aa dt dt dt 即：aa aO ' ar
刚体平移时，在刚体上运动的质点的绝对加速度等于 动坐标原点的加速度速度与质点对于刚体的相对加速 度的矢量和。