卵形曲线计算方法

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卡西尼卵形线讲解学习

卡西尼卵形线
卡西尼卵形线
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卡西尼卵形线，焦点为(-1, 0)和(1, 0)
卡西尼卵形线，是平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，是环面曲线的一种。

也就是说，如果我们定义dist(a,b)为从点a到点b的距离，则卡西尼卵形线上的所有点都满足以下的方程：
其中b是常数。

q
和q2称为卵形线的焦点。

1
假设q1是点(a,0)，q2是点(-a,0)，则曲线的方程为：
或
以及
极坐标系中的方程为：
卵形线的形状与比值b/a有关。

如果b/a大于1，则轨迹是一条闭曲线。

如果b/a小于1，则轨迹是两条不相连的闭曲线。

如果b/a等于1，则是伯努利双扭线。

卵形曲线两圆曲线间的最小间距测量学

卵形曲线两圆曲线间的最小间距测量学
卵形曲线两圆曲线间的最小间距指的是两个不相交曲线之间的最小距离，其中一个曲线是一个卵形曲线，另一个曲线是两个相切的圆形。

这种测量学的应用场景很多，例如在工程中，设计人员需要确定不同零部件之间的最小间距以确保它们可以正确地互相配合，这就需要使用卵形曲线两圆曲线间的最小间距测量学。

另一个应用是在机器视觉技术中，卵形曲线两圆曲线间的最小间距可以作为图像特征来检测圆形物体之间的距离。

计算卵形曲线两圆曲线间的最小间距需要使用高等数学中的曲线和曲面的微积分知识，常用的方法是使用向量和点到曲线的距离公式来计算。

具体来说，可以先将卵形曲线和两个圆形拆分成多个小弧段，然后对每个弧段进行计算，最后取最小值作为两个曲线之间的最小间距。

卵形曲线缓和曲线参数

卵形曲线缓和曲线参数
卵形曲线的缓和曲线参数包括Ls1、Ly和Ls2。

其中，Ls1和Ls2是缓和曲线的长度，Ly是圆曲线的长度。

这些参数可以根据实际需求进行计算和调整，以适应不同的道路设计和行驶需求。

在计算这些参数时，需要考虑道路的曲线半径、设计速度、车辆的行驶特性等因素。

例如，根据缓和曲线的设置要求，Ls1和Ls2应满足一定的长度范围，以保证车辆在缓和曲线上的行驶平稳性和安全性。

同时，Ly的长度也需要根据圆曲线的半径和设计速度进行计算，以确保车辆在圆曲线上的行驶稳定性。

在实际应用中，可以使用专业的道路设计软件来计算这些参数，并根据计算结果进行道路设计和施工。

同时，还需要考虑道路的实际情况和交通流量等因素，对参数进行适当的调整和优化，以保证道路的安全、舒适和可靠性。

1。

卵形曲线计算原理

卵形曲线计算原理一、概念卵形曲线：是指在两半径不等的同向圆曲线间插入一段缓和曲线。

也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。

二、卵形曲线坐标计算原理根据已知的设计参数，求出包括卵形曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素，再按缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意点上的坐标。

三、坐标计算以雅（安）至攀（枝花）高速公路A合同段（西昌西宁）立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一：（图一）已知相关设计数据见下表：1、缓和曲线（卵形曲线）参数计算A1==59.161卵形曲线参数：A2=（HY2-YH1）×R1（小半径）×R2（大半径）÷（R2-R1）=（271.881-223.715）×50×75÷（75-50）= 7224.900A2==84.999A3==67.0822．卵形曲线所在缓和曲线要素计算卵形曲线长度LF由已知条件知：LF=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度LS，由此找出HZ'点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用）LM=LS（YH1至HZ'的弧长）=A2÷R1=7224.900÷50=144.498∴HZ'桩号=YH1+LM=223.715+144.498=368.213LE=HY2至HZ'的弧长=A2÷R2=7224.900÷75=96.332或LE= LM-LF=144.498-48.166=96.332卵形曲线长度LF=LM-LE=144.498-96.332=48.166（校核）HY2=HZ'-LE=368.213-96.332=271.881（校核）由上说明计算正确3．HZ'点坐标计算（见图二）（图二）①用缓和曲线切线支距公式计算，缓和曲线切线支距公式通式：Xn=[(-1)n+1×L4n–3]÷[(2n-2)!×22n–2×(4n-3)×(RLs)2n–2]Yn=[(-1)n+1×L4n–1]÷[(2n-1)!×22n–1×(4n-1)×(RLs)2n–1]公式中符号含义：n —项数序号(1、2、3、……n)！—阶乘R —圆曲线半径Ls —缓和曲线长②现取公式前6项计算（有关书籍中一般为2-3项，不能满足小半径的缓和曲线计算精度要求，如本例中AK0+090~AK0+160段缓和曲线，如AK0+160中桩坐标带2项算误差达8cm），公式如下：X=L-L5÷[40（RLS）2]+L9÷[3456（RLS）4]–L13÷[599040（RLS）6]+L17÷[175472640（RLS）8]- L21÷[7.80337152×1010（RLS）10] （公式1）Y=L3÷[6（RLS）] - L7÷[336（RLS）3]+L11÷[42240（RLS）5] - L15÷[9676800（RLS）7]+L19÷[3530096640（RLS）9] - L23÷[1.8802409472×1012（RLS）11] （公式2）公式中L为计算点至ZH'或HZ'的弧长HZ'：AK0+368.213的坐标从YH1：AK0+223.715推算，L=LS=HZ'-YH1=368.213-223.715=144.498将L=LS 代入公式（1）、（2）得：X=117.1072 Y=59.8839L对应弦长C=√（X2+Y2）=131.5301偏角a1=arctg（Y÷X）=27°05’00.2”* 偏角计算用反正切公式，不要用其它公式。

卵形曲线计算方法

卵形曲线坐标计算方法一、概念卵形曲线：是指在两半径不等的圆曲线间插入一段缓和曲线。

也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。

三、坐标计算以雅（安）至攀（枝花）高速公路A合同段（西昌西宁）立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一：（图一）已知相关设计数据见下表：主点桩号坐标（m）切线方位角（θ）X Y ° ’ ”ZHAK0+090 9987.403 10059.378 92 17 26.2HY1AK0+160 9968.981 10125.341 132 23 51.6YH1AK0+223.715 9910.603 10136.791 205 24 33.6HY2AK0+271.881 9880.438 10100.904 251 24 18.5YH2AK0+384.032 9922.316 10007.909 337 04 54.2HZAK0+444.032 9981.363 10000.000 0 00 001、缓和曲线（卵形曲线）参数计算A1= =59.161卵形曲线参数：A2=（HY2-YH1）×R1（小半径）×R2（大半径）÷（R2-R1）=（271.881-223.715）×50×75÷（75-50）= 7224.900A2= =84.999A3= =67.0822．卵形曲线所在缓和曲线要素计算卵形曲线长度LF由已知条件知：LF=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度LS，由此找出HZ'点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用）LM=LS（YH1至HZ'的弧长）=A2÷R1=7224.900÷50=144.498∴HZ'桩号=YH1+LM=223.715+144.498=368.213LE=HY2至HZ'的弧长=A2÷R2=7224.900÷75=96.332或LE= LM-LF=144.498-48.166=96.332卵形曲线长度LF=LM-LE=144.498-96.332=48.166（校核）HY2=HZ'-LE=368.213-96.332=271.881（校核）由上说明计算正确3．HZ'点坐标计算（见图二）（图二）①用缓和曲线切线支距公式计算，缓和曲线切线支距公式通式：Xn=[(-1)n+1×L4n–3]÷[(2n-2)!×22n–2×(4n-3)×(RLs)2n–2]Yn=[(-1)n+1×L4n–1]÷[(2n-1)!×22n–1×(4n-1)×(RLs)2n–1]公式中符号含义：n —项数序号(1、2、3、……n)！—阶乘R —圆曲线半径Ls —缓和曲线长②现取公式前6项计算（有关书籍中一般为2-3项，不能满足小半径的缓和曲线计算精度要求，如本例中AK0+090~AK0+160段缓和曲线，如AK0+160中桩坐标带2项算误差达8cm），公式如下：X=L-L5÷[40（RLS）2]+L9÷[3456（RLS）4]–L13÷[599040（RLS）6]+L17÷[175472640（RLS）8]- L21÷[7.80337152×1010（RLS）10] （公式1）Y=L3÷[6（RLS）] - L7÷[336（RLS）3]+L11÷[42240（RLS）5] - L15÷[9676800（RLS）7]+L19÷[3530096640（RLS）9] - L23÷[1.8802409472×1012（RLS）11] （公式2）公式中L为计算点至ZH'或HZ'的弧长HZ'：AK0+368.213的坐标从YH1：AK0+223.715推算，L=LS=HZ'-YH1=368.213-223.715=144.498将L=LS 代入公式（1）、（2）得：X=117.1072 Y=59.8839L对应弦长C=√（X2+Y2）=131.5301偏角a1=arctg（Y÷X）=27°05’00.2”* 偏角计算用反正切公式，不要用其它公式。

卵形曲线辅助点计算(即完整缓和曲线起点的支距)解算步骤.

5800卵形曲线坐标计算歪哥收集整理50卵形曲线辅助点计算（即完整缓和曲线起点的支距）解算步骤卵形曲线：是指在两半径不等的圆曲线间插入一段缓和曲线。

也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线，计算前只需要把不完整的缓和曲线（也就是卵型曲线）补充完整即可。

在计算小半径的缓和曲线或卵形曲线坐标时,由于切线支距公式取项少而造成计算精度低,现有书中一般介绍也就只有2~4项,为提高计算精度就需要将支距公式多展开几项。

以下计算卵型曲线的完整缓和曲线长支距模型：重在学习掌握解算流程，现在空间里有更好的计算程序。

曲线参数A2=LS×R1×R2÷(R2-R1)=卵形曲线长×小半径×大半径÷（大半径-小半径）在同一段回旋线内,它的参数永远是不变的。

LS=卵型曲线长. （已知）完整缓和曲线长L= A2÷R1=曲线参数÷小半径当L=LS时：代入完整缓和曲线切线支距公式：(式中R均为小半径R1)E=L-L5÷[40（RLS）2]+L9÷[3456（RLS）4]–L13÷[599040（RLS）6]+L17÷[175472640（RLS）8]- L21÷[7.80337152×1010（RLS）10]F=L3÷[6（RLS）] - L7÷[336（RLS）3]+L11÷[42240（RLS）5] - L15÷[9676800（RLS）7]+L19÷[3530096640（RLS）9] - L23÷[1.8802409472×1012（RLS）11] 完整缓和曲线切线角（即两切线交角）L所对应玄长C=√（E2+F2）大半径处偏角P1=tan- 1(F2÷E2)小半径处偏角P3=180- P1-(180- p2)O=小半径处切线方位角（已知）小半径处至完整缓和曲线起点方位角Q=O±P3 (右向取+号；左向取-号)完整缓和曲线（起点）坐标：X=A+CcosQY=B=CsihQ完整缓和曲线（起点）处切线方位角：O=Q+180±p2 (右向取+号；左向取-号)以起点为基点用回旋线编程计算卵型曲线上任意桩号的中边桩点位坐标。

匝道中卵形曲线坐标的计算

匝道中卵形曲线坐标的计算happy【摘要】在高速公路立交平面线型中，现在越来越多采用卵形曲线这一线型形式，而卵形曲线坐标的计算在现有的书籍中很少提到，这就给施工中坐标的计算和放样增加了难度。

在***施工中**互通式立交的匝道上就有卵形曲线的形式，我通过实践和对缓和曲线坐标计算的分析研究，总结出了卵形曲线的计算方法和技巧。

【关键词】卵形曲线缓和曲线坐标计算一、卵形曲线的概念卵形曲线是指在两个半径不等的同向圆曲线间插入一段缓和曲线（目前高速公路多采用以回旋线形式的缓和曲线，本文所说的缓和曲线均是回旋线的形式）。

也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。

二、卵形曲线坐标的计算原理根据图纸上提供的已知的设计参数，求出包括卵形曲线的完整的缓和曲线的相关参数和曲线要素，然后再按照缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意一点的坐标。

972D（图一）三、坐标计算的实例以我所在沧黄高速六合同段黄骅互通式立交B匝道上的卵形曲线为例。

见图一所示，已由图一和上表可知：YH1→HY2、YH2→HY3段均是卵曲线，半径变化为R=50→R=200、R=200→R=50。

下面就以YH1—HY2段卵曲线为例进行计算。

1. 卵曲线参数计算A2=（HY2-YH1）×R1（小半径）×R2（大半径）÷（R2-R1）=（196.873-159.373）×50×200÷（200-50）=2500 ∴A=502. 卵形曲线所在的缓和曲线要素计算卵形曲线的长度L F由已知条件知：L F=HY2-YH1=196.873-159.373=37.5卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度L S，由此找出HZ点的桩号及坐标（实际上HZ点不存在，只是作为卵形曲线的辅助计算用）。

L S=（YH1至HZ的弧长）= A2÷R1=2500÷50=50∴HZ桩号=YH1+ L S=159.373+50=209.373L E=HY2至HZ的弧长= A2÷R2=2500÷200=12.5或L E= L S- L F=50-37.5=12.5卵形曲线长度L F= L S- L E=50-12.5=37.5（校核）HY2=HZ- L E=209.373-12.5=196.873（校核）由以上说明计算正确。

坐标的计算方法及公式

坐标的计算方法及公式标签: 坐标, 计算公式, 公式请教一下,有哪位知道坐标的计算公式?即从已知的两点坐标怎么算出需放样的第三点坐标及角度?(距离已知的情况下).可以详细解释吗?.可以加我QQ373542515和我一起讨论的./xin幽渊回答:2 人气:38 解决时间:2008-09-06 12:35检举一、概念卵形曲线：是指在两半径不等的圆曲线间插入一段缓和曲线。

也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。

三、坐标计算以雅（安）至攀（枝花）高速公路A合同段（西昌西宁）立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一：（图一）已知相关设计数据见下表：主点桩号坐标（m）切线方位角（θ） X Y ° ’ ”ZH AK0+090 9987.403 10059.378 92 17 26.2Y1 AK0+160 9968.981 10125.341 132 23 51.6YH1 AK0+223.715 9910.603 10136.791 205 24 33.6HY2 AK0+271.881 9880.438 10100.904 251 24 18.5YH2 AK0+384.032 9922.316 10007.909 337 04 54.2HZ AK0+444.032 9981.363 10000.000 0 00 001、缓和曲线（卵形曲线）参数计算A1==59.161卵形曲线参数：A2=（HY2-YH1）×R1（小半径）×R2（大半径）÷（R2-R1）=（271.881-223.715）×50×75÷（75-50）= 7224.900A2==84.999A3==67.0822．卵形曲线所在缓和曲线要素计算卵形曲线长度LF由已知条件知：LF=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度LS，由此找出HZ'点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用）LM=LS（YH1至HZ'的弧长）=A2÷R1=7224.900÷50=144.498∴HZ'桩号=YH1+LM=223.715+144.498=368.213LE=HY2至HZ'的弧长=A2÷R2=7224.900÷75=96.332或LE= LM-LF=144.498-48.166=96.332卵形曲线长度LF=LM-LE=144.498-96.332=48.166（校核）HY2=HZ'-LE=368.213-96.332=271.881（校核）由上说明计算正确3．HZ'点坐标计算（见图二）（图二）①用缓和曲线切线支距公式计算，缓和曲线切线支距公式通式：Xn=[(-1)n+1×L4n–3]÷[(2n-2)!×22n–2×(4n-3)×(RLs)2n–2]Yn=[(-1)n+1×L4n–1]÷[(2n-1)!×22n–1×(4n-1)×(RLs)2n–1]公式中符号含义：n —项数序号(1、2、3、……n)！—阶乘R —圆曲线半径Ls —缓和曲线长②现取公式前6项计算（有关书籍中一般为2-3项，不能满足小半径的缓和曲线计算精度要求，如本例中AK0+090~AK0+160段缓和曲线，如AK0+160中桩坐标带2项算误差达8cm），公式如下：X=L-L5÷[40（RLS）2]+L9÷[3456（RLS）4]–L13÷[599040（RLS）6]+L17÷[175472640（RLS）8]- L21÷[7.80337152×1010（RLS）10] （公式1）Y=L3÷[6（RLS）] - L7÷[336（RLS）3]+L11÷[42240（RLS）5] - L15÷[9676800（RLS）7]+L19÷[3530096640（RLS）9] - L23÷[1.8802409472×1012（RLS）11] （公式2）公式中L为计算点至ZH'或HZ'的弧长HZ'：AK0+368.213的坐标从YH1：AK0+223.715推算，L=LS=HZ'-YH1=368.213-223.715=144.498将L=LS 代入公式（1）、（2）得：X=117.1072 Y=59.8839L对应弦长C=√（X2+Y2）=131.5301偏角a1=arctg（Y÷X）=27°05’00.2”* 偏角计算用反正切公式，不要用其它公式。

浅谈道路线形设计中卵型平曲线的计算方法

107科技创新导报 Science and Technology Innovation Herald 工程技术道路线形设计在道路整体设计中占有重要地位,设计合理的线形可以提高道路行车安全保障,同时对道路连续性和美观都起到重要作用。

道路线形设计中一般包括6种线形,即:基本型、S型、卵型、凸型、复合型和C型。

其中,基本型是现代道路线形设计中最基本、最常用、计算最简单的线形之一,但在设计中往往由于地形或其它因素的影响不能采用基本型设计,而采用其他5种线形中的一种,其中卵型是计算最为复杂的线形。

卵型平曲线是指用一个回旋线连接两个同向圆曲线的组合形式。

卵型组合的前提条件:(1)大圆必须把小圆完全包含在内,但不是同心圆。

(2)延长两相邻圆曲线的圆弧不能相互交叉。

(3)连接的回旋线不是由回旋线的原点开始,而是曲率为121/1/R R 的部分。

下面我将结合自己的实践经验对道路线形设计中的卵型平曲线进行案例分析。

本案例中, 5JD 和 6JD 构成卵形平曲线,并且两交点的坐标分别为(76816.62,45314.107),(76615.557,45541.151),两交点的偏角分别为30°30'07″和23°21'06″,初拟 5JD 的半径R 1=400 m ,缓和曲线1165s L m 。

本案例采用切线长度控制曲线半径法(直线型定线)进行计算,按两同向曲线(未设缓和曲线时)在公切点处直接相接在的思想进行设计(公切线即为两交点的连线)两曲线应满足:12()tan ()tan 112222R p R p L(交点间距)221111652.8362424400s L p mRm1111()tan109.8332T R p mm303.274T m m21193.441T T T m m22222222()tan 2cot936.0792T R p R p T m1111()214.454180R p L mm2211936.079 2.324402.836R p R p由于＞2.0,故两边设缓和曲线 3s L ,中间加一个缓和曲线,构成卵形平曲线。

公路卵型曲线坐标计算

为节约土地资源，应汽车转弯时的行车轨迹，除曲率突变，适消增进线形美观及行车的安全、适性，设计线形较为复杂，舒。其常
２．２完整缓和曲线坐标计算２．直角坐标．１２建立以０ｆＨ点为坐标原点，Ｚ）Ｚ过Ｈ点的缓和曲线切线为Ｘ轴，Ｚ过Ｈ点上缓和曲线的半径为Ｙ轴的直角坐标系。如图１
百家论坛ｌ —
公路卵型曲线坐标计算
王寿武，李厚贤
（．南云桥建设股份有限公司，云南昆明６００；１云５１１２中国水利水电第十四工程局有限公司，云南昆明６００）．５１１
摘要：在公路线形设计中，卵型曲线上任意点坐标计算较为困难，文章以某高速公路立交区Ｃ匝道卵形曲线为例，介绍卵形曲线上任意一点的直角坐标、大地坐标和方位角的计算方法，其在工程应用中具有指导作用。
特殊性。常用的计算方法是将卵型曲线的一端顺延至曲率半径为无穷大的直缓点处，根据完整缓和曲线公式计算卵型曲线上任一点的直角坐标，再通过坐标体系转换，算出直缓点的大计
地坐标及切线方位角，而依据直缓点大地坐标及切线方位角进
当Ｒ１Ｒ时：＜２
或
０＝２Ｉｐｏ０＋・２
（６）
（ＨＨ）任意一点的大地坐标可由公式（）Ｚ＾Ｙ段３计算。
０＝ｌ＋・ｌｏ０＋ＩＢ盯
或
０＝２＇ＩＢｏ０＋ｒ・２ｒ＋

公路卵形曲线任意点坐标和切线方位角的计算方法

方法求卵形曲线上任意一点的坐标和切线方位角. 首先 ,缓和曲线的长度 l 为 :
l = K9 + 309. 542 - K8 + 700 = 549. 542 m 取式 (12) 的前三项 ,求得切线支距坐标为 :
x = 546. 393
y = 43. 725 利用式 (13) 及求得的支距坐标计算 K8 + 760 中桩在大地坐标系中的坐标为 :
近年来高等级公路已经成为我国公路网中的重要组成部分. 高等级公路 ,特别是高速公路的平面线形设计形式很多 ,但归根结底它们都是由直线、圆曲线和缓和曲线 (回旋曲线) 等公路平面线形要素组合而成. 按线形组合与衔接形式可分为 :基本形、卵形、 S 形、凸形、复合形、C 形等几种形式. 各种复杂的平面线形设计形式 ,就行车方面而言会更加适应汽车转弯时的行车轨迹、消除曲率突变、增加行车的舒适感和安全感 ,但同时也会使曲线的计算及测设工作变得更为复杂. 本文针对在高等级公路测设中出现的卵形曲线问题 ,推导了卵形曲线段任意点的坐标及切线方位角的计算公式.
C = A 2 = R大 R小 lF / ( R大 - R小 )
(1)
式中 : R大 , R小为与卵形曲线相连的两圆曲线半径 ,
m ; lF 为非完整缓和曲线段即卵形曲线段长度 , m ; A 为缓和曲线参数 ;
2) 与 lF 相对应的完整缓和曲线的长度 lS 为 :
lS = A 2 / R小
(2)
2 公式的推导
如图 1 所示 ,在半径为 R1 和 R2 的两圆曲线之间插入长度为 lF 的非完整缓和曲线 , 此段缓和曲线的端点分别为 Y H 点和 H Y 点. 缓和曲线起点 Q 的桩

卵形曲线的坐标计算

关系得：ＸＫ＝ＸＭ＋（一５）Ｏ（Ｍ＋１× ｌ×１￡ｌｃａＮ了Ｓ８Ｚ）ｏ
，
２多形曲线的坐标计算
卵形曲线两端是直线一缓和曲线一圆曲线，各点坐标按切其
线支距法容易求得计算公式为『］『］，Ｘｌｊｌｊｘ＋
卵形曲线的坐标计算
张生成
摘要：由于路线的转向及大小圆曲线位置先后不同，出卵形曲线中间段回旋线起点Ｍ的切线方位角和坐标计算情指
况，具体介绍了路线右转且大圆曲线在先小圆曲线在后的计算公式及计算过程。
关键词４２文献标识码：Ａ
由Ａ点的坐标（曲线主点坐标）ｌ的长度，及１可反算缓和曲
线起点Ｍ坐标。
ｌ～Ｒ，
田儿术 ‘。山。Ｉ寸
现定义回旋线的参数方程：＝ｒ，ｆｌ并令ＡＡ＝ｚ，／ＬＩＭＢ＝￡，２
Ａ＝１Ｂ２ｌＦ＝。
所示，的方位角＝ｕ，ｊ一其中，Ａ为丽的方位角，ａＵ由
须指出的是，中间段缓和曲线长度ｌｌＲｌ“ ，，）Ｆ由『，Ｒ２决定：已知条件可求得。 ’ （
‘ ／Ｒ（何件出一堕由条得）＾二几。
Ｆ：
２２Ｍ点的坐标计算．
音。在儿何理论上，若两圆曲线相交、相切或相离时，只用一条叫
旋线不能将两个圆曲线连接，以卵彤曲线必须要求大圆曲线能所完全包住小圆曲线（文中假定Ｒｌ本＞Ｒ２。并且，了避免中间）为
Ｄ

标准卵圆方程

标准卵圆方程
标准卵圆方程，又称轨道方程，是物理和数学领域中重要的问题。

标准卵圆方程用来描述一个物体在两个定点之间的轨迹以及由此产生
的几何形状。

根据参数，标准卵圆方程可以表示为:
x=acos θ
y=bsinθ
在标准卵圆方程中，θ 是一个变量，a 和 b 是卵圆的两个长轴。

如果 a=b，标准卵圆方程将描绘出一个完美的圆形。

如果a≠b，则会
描绘出一个椭圆形。

标准卵圆方程具有广泛的应用，从提供任意小臂间距弧线理解，
例如拱形桥梁，到附在圆机床上的铣削头，到在空气动力学，自动控
制和机器人动力学，以及航空运动等领域，它都扮演着重要的角色。

最为广泛的应用包括天文学和航空运动，特别是运载火箭和人造卫星，这些传感器影响着大气湍流，地球的引力场，太阳的磁场等等。

总之，标准卵圆方程是一个重要的数学模型，提供了许多其他应
用的理论基础，也提供了多种解决性能机构动力学问题的方法。

它对
科学非常重要，学习它也极其重要，因此，我们应当抓住机会，深入
研究，以便实现这些科学模型带来的收益。

卵形曲线计算方法

一．概述近年来随着我国公路建设的发展，全封闭、全立交的高等级公路已经成为我国公路网中的重要组成部分，组成立交的基本单元是匝道，匝道的平面线形组合相对比较复杂，计算烦琐，特别是卵形曲线的计算更加抽象难懂。

卵形曲线的计算方法主要有曲直法、解析法、拟合法、积木法、综合法、弦切法等。

由于其他方法理论抽象、计算烦琐。

因此一般工程放样中主要以弦切法为主。

本文重点介绍弦切法在立交匝道卵形曲线敷设计算中的应用。

二、弦切法的基本原理及计算思路对于路线平面线形而言，无论是绵延不断的公路，还是局部线形组合复杂的立交匝道，其基本构成单元不外是圆曲线、缓和曲线、直线。

一段圆曲线的终点，可以认为是其弦长（弧长所对应的）在相应方向上的延伸所构成的；一段缓和曲线的终点，也可以认为是由一方向和距离所构成的。

因此，在一段路线的起终点坐标和切线方位角固定的情况下，便能容易的求出坐标增量，方位增量的计算式，进而求得各曲线参数。

对于任何一种线形单元，只要知道起点坐标（X0，Y0）和切线方位角ɑ（可以假设为任意值），即可根据弦长S和相关参数确定其线形。

以下图2-1所示卵形曲线为例，若给定R1、R2和回旋曲线参数A，即、终可求得该缓和曲线长、交点坐标（XM，YM）、切线长T1、T2、偏角ɑJ点坐标（XZ，YZ）和终点切线方位角。

这样求得的终点坐标，曲率半径和切线方位角又可以作为下一线形单元起点的相应资料。

交点J的坐标：Xm=T1×COS（ɑ）+X0Ym=T1×SIN（ɑ）+Y0终点坐标：Xz=Xm+T2×COS（a+aj)Yz=Ym+T2×SIN(a+aj)根据卵形曲线的特点，可以计算出如下参数：L1=A2/R1，L2= A2/R2，L=L2-L1（R1>R2),或L=L1-L2 （R1<R2)根据回旋曲线上任意点的相对坐标计算公式：X=L S-L S5/40/A4+L S9/3456/A8，Y=L S3/6/A2-L S7/336/A6+L S11/42240/A10即可计算出卵形曲线起终点在相对坐标系中的坐标(X1,Y1) 和（X2，Y2）。

卵形曲线的计算方法

一、概念卵形曲线：是指在两半径不等的圆曲线间插入一段缓和曲线。

也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。

三、坐标计算以雅（安）至攀（枝花）高速公路A合同段（西昌西宁）立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一：（图一）已知相关设计数据见下表：1、缓和曲线（卵形曲线）参数计算A1==59.161卵形曲线参数：A2=（HY2-YH1）×R1（小半径）×R2（大半径）÷（R2-R1）=（271.881-223.715）×50×75÷（75-50）= 7224.900A2==84.999A3==67.0822．卵形曲线所在缓和曲线要素计算卵形曲线长度L F由已知条件知：L F=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度L S，由此找出HZ'点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用）L M=L S（YH1至HZ'的弧长）=A2÷R1=7224.900÷50=144.498∴HZ'桩号=YH1+L M=223.715+144.498=368.213L E=HY2至HZ'的弧长=A2÷R2=7224.900÷75=96.332或L E= L M-L F=144.498-48.166=96.332卵形曲线长度L F=L M-L E=144.498-96.332=48.166（校核）HY2=HZ'-L E=368.213-96.332=271.881（校核）由上说明计算正确3．HZ'点坐标计算（见图二）（图二）①用缓和曲线切线支距公式计算，缓和曲线切线支距公式通式：Xn=[(-1)n+1×L4n–3]÷[(2n-2)!×22n–2×(4n-3)×(RLs)2n–2]Yn=[(-1)n+1×L4n–1]÷[(2n-1)!×22n–1×(4n-1)×(RLs)2n–1]公式中符号含义：n —项数序号(1、2、3、……n)！—阶乘R —圆曲线半径Ls —缓和曲线长②现取公式前6项计算（有关书籍中一般为2-3项，不能满足小半径的缓和曲线计算精度要求，如本例中AK0+090~AK0+160段缓和曲线，如AK0+160中桩坐标带2项算误差达8cm），公式如下：X=L-L5÷[40（RL S）2]+L9÷[3456（RL S）4]–L13÷[599040（RL S）6]+L17÷[175472640（RL S）8]- L21÷[7.80337152×1010（RL S）10] （公式1）Y=L3÷[6（RL S）] - L7÷[336（RL S）3]+L11÷[42240（RL S）5] - L15÷[9676800（RL S）7]+L19÷[3530096640（RL S）9] - L23÷[1.8802409472×1012（RL S）11] （公式2）公式中L为计算点至ZH'或HZ'的弧长HZ'：AK0+368.213的坐标从YH1：AK0+223.715推算，L=L S=HZ'-YH1=368.213-223.715=144.498将L=L S代入公式（1）、（2）得：X=117.1072 Y=59.8839L对应弦长C=√（X2+Y2）=131.5301偏角a1=arctg（Y÷X）=27°05’00.2”* 偏角计算用反正切公式，不要用其它公式。

卵型曲线计算方法

三、坐标计算
以雅（安）至攀（枝花）高速公路A合同段（西昌西宁）立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一：
（图一）
已知相关设计数据见下表：
主点
桩号
坐标（m）
X
Y
切线方位角（θ）
°’ ”
ZH
AK0+090
9987.403
10059.378
92 17 26.2
HY1
AK0+160
9968.981
1卵型曲线坐标计算。
HZ'：AK0+368.213的坐标从YH1：AK0+223.715推算，
L=LS=HZ'-YH1
=368.213-223.715=144.498
将L=LS代入公式（1）、（2）得：
X=117.1072 Y=59.8839
L对应弦长C=√（X2+Y2）=131.5301
偏角a1=arctg（Y÷X）=27°05’00.2”
卵型曲线计算方法
【摘要】在高速公路立交平面线型中，现越来越多采用卵形曲线这一线型形式，而卵形曲线坐标的计算在现有相关书籍中却又很少提到，这就为施工中的坐标计算及放样增加了较大难度，为解决此难道，我在实践中通过对缓和曲线坐标的计算加以分析并结合理论知识，总结出了卵形曲线坐标的计算方法和技巧。
【关键词】卵形曲线坐标计算
=10100.902
②与设计值比较:
rX=X计算值-X设计值=9880.442-9880.438
=+0.004
rY=Y计算值-Y设计值=10100.902-10100.904
=-0.002 mm
同理依次可计算出卵型曲线上其它任意点的坐标。由此可见，采用此方法计算求得的坐标与

卵形曲线的相关总结

目录一、定义 (1)二、卵形曲线的应用 (1)三、计算卵形曲线上点坐标的方法 (1)1、一般坐标计算 (1)辛甫生公式 (2)四、案例计算 (3)1、使用一半坐标计算方法 (3)2、使用辛甫生公式计算 (4)卵形曲线一、定义卵形曲线：是指在两半径不等的圆曲线间插入一段缓和曲线。

也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。

二、卵形曲线的应用西直门立交桥是北京市二环路西北的一座立交桥，位于北京市老城墙西北角，原北京内城西直门原址上。

从1994年开始，北京市政工程设计研究院用了整整4年的时间，做出了新立交桥的设计。

1999年，投资2个亿的崭新的西直门立交桥拔地而起……仅仅过了两年，这里成了北京最堵车的地方之一。

三、计算卵形曲线上点坐标的方法1、一般坐标计算首先补全缓和曲线。

在缓和曲线中R1L1= R2(L1+L2) ,使用此公式求的所补缓和曲线的长度。

利用缓和曲线的切线角公式求得YH点切线与x轴夹角β，而δ=1β/3。

α1为YH 点的切线方位角，则ox 的方位角α＝α1- β。

o-YH 的坐标方位角α =α+δ+180°。

使用缓和曲线的参数方程求得YH 点在自定义坐标系下的坐标，进一步求得o-YH 的距离，o 点的坐标可由几何关系求得为（ x 0 ，y 0 ）。

缓和段上任一点可利用缓和曲线参数方程计算出在自定义坐标系下的坐标，再利用坐标转换求得各点在施工坐标系下的坐标。

缓和曲线参数方程：坐标转换公式：辛甫生公式[]i A Ai A i n DK DK x x αααααcos cos cos 4cos 2cos 6434121+⎪⎪⎭⎫+ ⎝⎛++-+=[]i A Ai A i n DK DK y y αααααsin sin sin 4sin 2sin 6434121+⎪⎪⎭⎫+ ⎝⎛++-+=ZHZHy y x Y x y x X +∆+∆-=+∆+∆=ααααcos sin sin cos 旧旧新旧旧新四、案例计算1、使用一半坐标计算方法AB 段以A （ZH ）点为原点切线方向为X 轴，垂直于切线方向为Y 轴，使用缓和曲线参BC 段与AB 段在同一个自定义坐标系中，使用公式CD 段缓和曲线是不全的缓和曲线，需要将其补全后再使用缓和曲线参数方程计算。