近世代数课件--第二章 群论 §2元素的阶
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近世代数课件--第二章群论§2元素的阶
(ak )n1 akn1 ank1 (an )k1 e
设 (ak )mห้องสมุดไป่ตู้ e ，则
akm e n | km n1 | k1m n1 | m
ak
n1
n. (n, k)
2020/2/8
两个推论：
推论1 在群中，若 | a | st ,则 | a s | t
GL2(Q) 是有理数域Q上的全体二阶满秩
方阵关于矩阵乘法做成的群.
(2)a
1 0
0 1
,
b
0 1
1 1
Q
ab
0 1
1 1
,
ba
1 1
0 1
,
| a | 4,| b | 3,| ab |
2020/2/8
思考题： 设G是群，且|G|>1. 证明：若G中除e外其 余元素的阶都相同，则这个相同的阶不是无 限，就是素数.
定理1
有限群 G 中每个元素的阶均有限.
证明：设 G n
a G ，在 a,a2, ,an ,an1 G
中必有相等的. 设
as at ,1 t s n 1,
则 a st e ，从而阶有限.
2020/2/8
注： 无限群中元素的阶可能无限，也可能有限，
甚至可能都有限.
(am )n amn
，其中 m, n 为任意整数.
2020/2/8
定义1
设 a 为群 G 的一个元素，使 an e
的最小正整数 n 叫做元素 a 的阶，记作
a n ；若不存在这样的 n ，则称 a 的阶
设 (ak )mห้องสมุดไป่ตู้ e ，则
akm e n | km n1 | k1m n1 | m
ak
n1
n. (n, k)
2020/2/8
两个推论：
推论1 在群中，若 | a | st ,则 | a s | t
GL2(Q) 是有理数域Q上的全体二阶满秩
方阵关于矩阵乘法做成的群.
(2)a
1 0
0 1
,
b
0 1
1 1
Q
ab
0 1
1 1
,
ba
1 1
0 1
,
| a | 4,| b | 3,| ab |
2020/2/8
思考题： 设G是群，且|G|>1. 证明：若G中除e外其 余元素的阶都相同，则这个相同的阶不是无 限，就是素数.
定理1
有限群 G 中每个元素的阶均有限.
证明：设 G n
a G ，在 a,a2, ,an ,an1 G
中必有相等的. 设
as at ,1 t s n 1,
则 a st e ，从而阶有限.
2020/2/8
注： 无限群中元素的阶可能无限，也可能有限，
甚至可能都有限.
(am )n amn
，其中 m, n 为任意整数.
2020/2/8
定义1
设 a 为群 G 的一个元素，使 an e
的最小正整数 n 叫做元素 a 的阶，记作
a n ；若不存在这样的 n ，则称 a 的阶
《近世代数》PPT课件
– 剩余类的加法和乘法运算
a b a b ,(m m )o a b d a b(m m )o
10.01.2021
编辑ppt
18
2.2 多项式剩余类环和域
1.域上多项式的定义
– 多项式与码字的关系：桥梁；
• 多项式的系数表示
；
• x的幂次表示
；
– 域上的多项式
• 针对系数定义；
• 例如二进制系数多项式，称为二元域GF(2)上的 多项式。
编辑ppt
28
(1) 常数总是多项式的因子。
(2) 一个多项式 f(x) 是否为既约多项式 与所定义的域有关。
(3) 一个多项式既约的充要条件：多项 式Pl(x) 不能分解成两个次数低于Pl(x) 的多项式的乘积。
(4) 完全分解：n次多项式最多能分解成 n个一次多项式的乘积，被称为完全分 解。
(5) 一次多项式一定是既约的。
（3）加法和乘法之间满足如下分配率 (distributive) ：
a(bc) abac
(bc)a baca
则称F是一个域。
10.01.2021
编辑ppt
6
（1）域的阶（针对群中元素的个数），记 为q。
（2）有限域或伽逻华（Galois）域，表示为：
GF(q)。
–域将
10.01.2021
和
编辑ppt
联系在一起？
7
例2-3
– F1：有理数全体、实数全体对加法和乘法都 分别构成域，分别称为有理数域和实数域。
– F2：0、1两个元素模2加构成域；由于该域 中只有两个元素，记为GF(2)。
10.01.2021
编辑ppt
8
• 定理：
– 设p为质数，则整数全体关于p模的剩余类： 0，1，2，…，p-1，在模p的运算下（p模相 加和相乘），构成p阶有限域GF(p)。
a b a b ,(m m )o a b d a b(m m )o
10.01.2021
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18
2.2 多项式剩余类环和域
1.域上多项式的定义
– 多项式与码字的关系：桥梁；
• 多项式的系数表示
；
• x的幂次表示
；
– 域上的多项式
• 针对系数定义；
• 例如二进制系数多项式，称为二元域GF(2)上的 多项式。
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28
(1) 常数总是多项式的因子。
(2) 一个多项式 f(x) 是否为既约多项式 与所定义的域有关。
(3) 一个多项式既约的充要条件：多项 式Pl(x) 不能分解成两个次数低于Pl(x) 的多项式的乘积。
(4) 完全分解：n次多项式最多能分解成 n个一次多项式的乘积，被称为完全分 解。
(5) 一次多项式一定是既约的。
（3）加法和乘法之间满足如下分配率 (distributive) ：
a(bc) abac
(bc)a baca
则称F是一个域。
10.01.2021
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6
（1）域的阶（针对群中元素的个数），记 为q。
（2）有限域或伽逻华（Galois）域，表示为：
GF(q)。
–域将
10.01.2021
和
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联系在一起？
7
例2-3
– F1：有理数全体、实数全体对加法和乘法都 分别构成域，分别称为有理数域和实数域。
– F2：0、1两个元素模2加构成域；由于该域 中只有两个元素，记为GF(2)。
10.01.2021
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8
• 定理：
– 设p为质数，则整数全体关于p模的剩余类： 0，1，2，…，p-1，在模p的运算下（p模相 加和相乘），构成p阶有限域GF(p)。
近世代数课件-2-2_群的定义
（2）运算 o适合结合律；（3）运算 o适合消去律.
2020/4/27
五. 有限群的特殊性
推论 一个非空有限集G 构成有限群的条件 : (1)存在G上的一个代数运算•; (2)运算 • 适合结合律; (3)运算 • 适合消去律.
2020/4/27五. 来自限群的特殊性2020/4/27
六、特殊群-Klein（克莱因）四元群
本节教学目的与要求： 记住群的定义，掌握群的基本性质和有限群的特殊性质，并
能熟练判定一个给定的代数系是否是群.
一. 群的定义及常见的群 二. 群的4个等价定义 三. 一些特殊群的例子 四. 群的消去率性质 五. 有限群的特殊性 六. 特殊的群—Klein（克莱因）四元群
2020/4/27
一. 群的定义及常见的群
近世代数
第二章 群
近世代数的主要研究对象是各种各样的代数系， 即具有一些代数运算的集合。
群是具有一种代数运算的代数系，它是近世代数 中一个比较古老，而且内容丰富的重要分支，在数学、 物理、化学、计算机等自然科学的许多领域都有广泛 应用。
从本节开始，学习群的有关性质。
2020/4/27
2.2 群的定义
注：
2020/4/27
一.群的定义及常见的群
2020/4/27
一.群的定义及常见的群
注：
2020/4/27
二. 群的四个等价定义
2020/4/27
三. 几个特殊群的例子
2020/4/27
四. 群的消去率性质
注：
2020/4/27
五. 有限群的特殊性
推论 一个非空有限集G构成有限群的条件: 1存在G上的一个代数运算o;
2020/4/27
六、特殊群-Klein（克莱因）四元群
2020/4/27
五. 有限群的特殊性
推论 一个非空有限集G 构成有限群的条件 : (1)存在G上的一个代数运算•; (2)运算 • 适合结合律; (3)运算 • 适合消去律.
2020/4/27五. 来自限群的特殊性2020/4/27
六、特殊群-Klein（克莱因）四元群
本节教学目的与要求： 记住群的定义，掌握群的基本性质和有限群的特殊性质，并
能熟练判定一个给定的代数系是否是群.
一. 群的定义及常见的群 二. 群的4个等价定义 三. 一些特殊群的例子 四. 群的消去率性质 五. 有限群的特殊性 六. 特殊的群—Klein（克莱因）四元群
2020/4/27
一. 群的定义及常见的群
近世代数
第二章 群
近世代数的主要研究对象是各种各样的代数系， 即具有一些代数运算的集合。
群是具有一种代数运算的代数系，它是近世代数 中一个比较古老，而且内容丰富的重要分支，在数学、 物理、化学、计算机等自然科学的许多领域都有广泛 应用。
从本节开始，学习群的有关性质。
2020/4/27
2.2 群的定义
注：
2020/4/27
一.群的定义及常见的群
2020/4/27
一.群的定义及常见的群
注：
2020/4/27
二. 群的四个等价定义
2020/4/27
三. 几个特殊群的例子
2020/4/27
四. 群的消去率性质
注：
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五. 有限群的特殊性
推论 一个非空有限集G构成有限群的条件: 1存在G上的一个代数运算o;
2020/4/27
六、特殊群-Klein（克莱因）四元群
《近世代数》课件
近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一，是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义，有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个多项式，那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个不可约多项式，那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等 ，并讨论理想的封闭性、运算性质等。
近世代数课件-2-3_元素的阶
注：这个定理的的逆命题不成立，因为存在每个元素的阶都是 有限的无限群。例如： 关于数的乘法做成一个无限交换群，而其中每一个元素ຫໍສະໝຸດ 都存在一个2020/4/27
四、循环群的定义
2020/4/27
五、循环群的性质
2020/4/27
五、循环群的性质
2020/4/27
生成元为：
练习：求出模15的剩余类加群Z15的每个元素的阶与所有
素的阶的特殊性质.
一. 元素的阶的定义 二. 元素的阶的性质 三. 有限群的阶的性质 四. 循环群的定义 五. 循环群的性质
2020/4/27
一、元素的阶的定义
2020/4/27
一、元素的阶的定义
练习：在模8剩余类加群Z8中，各个元素的阶分别是多少？
2020/4/27
二、元素的阶的性质——有限阶元素的性质
生成元。
2020/4/27
五、循环群的性质 作业：P38,第4,9题。
2020/4/27
2020/4/27
二、元素的阶的性质——有限阶元素的性质
推论 在群中，若 | a | m ,则
(1) r Z,| ar | m (m, r) 1;
(2) 若m st, s,t N, 则| as | t.
2020/4/27
二、元素的阶的性质——无限阶元素的性质
2020/4/27
三、有限群的元素的阶的性质
近世代数
第二章 群
近世代数的主要研究对象是各种各样的代数系， 即具有一些代数运算的集合。
群是具有一种代数运算的代数系，它是近世代数 中一个比较古老，而且内容丰富的重要分支，在数学、 物理、化学、计算机等自然科学的许多领域都有广泛 应用。
2020/4/27
四、循环群的定义
2020/4/27
五、循环群的性质
2020/4/27
五、循环群的性质
2020/4/27
生成元为：
练习：求出模15的剩余类加群Z15的每个元素的阶与所有
素的阶的特殊性质.
一. 元素的阶的定义 二. 元素的阶的性质 三. 有限群的阶的性质 四. 循环群的定义 五. 循环群的性质
2020/4/27
一、元素的阶的定义
2020/4/27
一、元素的阶的定义
练习：在模8剩余类加群Z8中，各个元素的阶分别是多少？
2020/4/27
二、元素的阶的性质——有限阶元素的性质
生成元。
2020/4/27
五、循环群的性质 作业：P38,第4,9题。
2020/4/27
2020/4/27
二、元素的阶的性质——有限阶元素的性质
推论 在群中，若 | a | m ,则
(1) r Z,| ar | m (m, r) 1;
(2) 若m st, s,t N, 则| as | t.
2020/4/27
二、元素的阶的性质——无限阶元素的性质
2020/4/27
三、有限群的元素的阶的性质
近世代数
第二章 群
近世代数的主要研究对象是各种各样的代数系， 即具有一些代数运算的集合。
群是具有一种代数运算的代数系，它是近世代数 中一个比较古老，而且内容丰富的重要分支，在数学、 物理、化学、计算机等自然科学的许多领域都有广泛 应用。
2020/4/27
近世代数简介ppt
若R是交换环，I是R的非空子集，如满足 1． a、b I， a－b I。 2． a I、r R， a r = r a I， 则I是R的理想子环，简称理想
若理想子环的所有元素可由一个元素a的各
次幂或各次幂的线性组合生成，则称该理想子环 主理想子环，简称主理想
域（Field)
一个集合，二种运算
不能被 x5+1 整除 不能被 x6+1 整除
…
…
不能被 x14+1 整除
能被 x15+1 整除 ∴ x4+x+1 是本原多项式
而 x4+ x3+ x2+ x+1
能被 x5+1 整除
能被 x15+1 整除
∴ x4+x3+x2+x+1是既约的，但不是本原的
多项式环Rq(x)g(x)
系数GF(q),模g(x)
对于有限域GF(q)上的m次既约多项式P(x)，若能 被它整除的最简首一多项式(x n -1)的次数n qm
–1, 则称该多项式为本原多项式。 本原多项式一定既约；
反之，既约多项式未必本原。
多项式循环群 Cycle Group
由多项式的各次幂所构成的群称为多项式循环群
比如， x4+x+1
(q=2, m=4, 2m-1=15)
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若理想子环的所有元素可由一个元素a的各
次幂或各次幂的线性组合生成，则称该理想子环 主理想子环，简称主理想
域（Field)
一个集合，二种运算
不能被 x5+1 整除 不能被 x6+1 整除
…
…
不能被 x14+1 整除
能被 x15+1 整除 ∴ x4+x+1 是本原多项式
而 x4+ x3+ x2+ x+1
能被 x5+1 整除
能被 x15+1 整除
∴ x4+x3+x2+x+1是既约的，但不是本原的
多项式环Rq(x)g(x)
系数GF(q),模g(x)
对于有限域GF(q)上的m次既约多项式P(x)，若能 被它整除的最简首一多项式(x n -1)的次数n qm
–1, 则称该多项式为本原多项式。 本原多项式一定既约；
反之，既约多项式未必本原。
多项式循环群 Cycle Group
由多项式的各次幂所构成的群称为多项式循环群
比如， x4+x+1
(q=2, m=4, 2m-1=15)
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《近世代数》PPT课件
定理1.5.1 假设一个集合A的代数运算 同时适合结合
律与交换律,那么在 a1a2 an中，元素的次序 可以调换.
例 判定下列有理数集Q上的代数运算 是否适合结合律，
交换律？
(1) a b a b ab (适合结合律和交换律 )
(2) ab(ab)2 (适合交换律，但不适合结合律)
(3) aba (适合结合律，但不适合交换律 )
定义1.9.2 设 是集合 A的代数运算. 若 是 A到 A的 一个同构映射(同态映射)，则称 是 A的一个自 同构 (自同态).
小结
同态是把代数运算考虑在内的映射，即是用来
比较两个代数结构的工具.
返回
在代数学中,两个同构的代数结构一般认为是相同的. 22
§1.10 等价关系与集合的分类
定义1.10.1 A设 是集合，D对，.错 一个 AA 到 D 的映射
注: 变换 是 A到A自身的一个映射.
小结
为了比较两个集合，我们引入了单射，满射，一
一映射和变换的概念.
返回
19
§1.8 同态
定义1.8.1 设 , 分别是集合的代数运算， : A A 是一个映
射,若 a,bA，有 (ab ) (a ) (b ),
则称 是 A到 A 的一个同态.
例1 A=Z (整数集)， 是普通加法； A ={1,-1}， 是普通乘法.
定义1.2.2 设 1 , 2是A到B的两个映射，若对 aA，
有 1(a)2(a), 则称 1 与 2 是相等的,记作 1 2.
注: 映射相等 构成映射的三要素（值域、定义域、对
应法则）全相同．
例5 设 AB 为正整数集 ．
定义 1 : ; a1 1 ( a ) ， a ,
近世代数教学PPT课件
拟枚举： 自然数的集合可以记作 1,2,3,4,5....n..... , 拟枚
举可以用来表示能够排列出来的的集合, 像 自然数、整数…
描述法:
如果一个集A是由一切具有某一性质的元 素所组成的，那么就用记号
A {x | x具有某一性质
来表示.
第18页/共187页
A {x | 1 x 1, x R } 表示一切大于-1且小于1
第7页/共187页
(2)Hamilton四元数的发现
长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法，后来发现 可以把复数看成二元数(a,b)=a+bi，其中i2= -1。二元数按 (a,b)±(c,d)=(a±c,b±d)，(a,b)(c,d)=(ad+bc,ac-bd)的法则进行代 数运算，二元数具有直观的几何意义；与平面上的点一一对应。 这是数学家高斯提出的复数几何理论。二元数理论产生的一个 直接问题是：是否存在三元数？经过长时间探索，力图寻求三 元数的努力失败了。但是爱尔兰数学家W.Hamilton(1805-1865) 于1843年成功地发现了四元数。四元数系与实数系、复数系一 样可以作加减乘除四则运算，但与以前的数系相比，四元数是 一个乘法不交换的数系。从这点来说四元数的发现使人们对于 数系的代数性质的认识提高了一大步。四元数代数也成为抽象 代数研究的一个新的起点，它是近世代数的另一个重要理论来 源。
元素，就说a属于A，记作 a A ；如果a不是集合A
的元素，就说a不属于A，记作 a A ； 例如，设A是一切偶数所成的集合，那么4∈A，
而 3. A
第16页/共187页
一个集合可能只含有有限多个元素，这样的 集合叫做有限集合. 如，学校的全体学生的集 合；一本书里面的所有汉字的集合等等这些 都是有限集合.
近世代数引论PPT课件
域是近世代数中的一个基本概念，它是一个加法群和 一个乘法半群的组合，具有一些重要的性质。
详细描述
域是一个非空集合，其中定义了两种运算：加法和乘法 ，满足一定的性质。在域中，加法和乘法都是可逆的， 即每个元素都有唯一的加法逆元和乘法逆元。此外，域 中的乘法满足结合律，且每个元素都有乘法单位元。
子域与扩域
环论在几何学中的应用
环论也是近世代数的一个重要分支，它在几何学中也有着广泛的应用。例如，在代数几 何中，环论被用于描述多项式环的结构；在解析几何中，环论也被用于描述函数的性质。
数论中的应用
域论在数论中的应用
域论是近世代数中一个重要的分支，它在数论中有着广泛的应用。例如，在代数数论中，域论被用于描述代数数 的性质；在数论中，域论也被用于研究整数的性质和结构。
分式域与函数域
总结词
分式域和函数域是两种特殊的域，它们在数学和物理 中有广泛的应用。分式域是由其整环的分式组成的域 ，而函数域则是基于函数的定义域和值域形成的域。
详细描述
分式域是由一个整环的分式组成的域。整环是一个只含 有限除数的环，也就是说，如果一个元素在整环中不能 被其他元素整除，则该元素被称为不可约元素。分式环 是由整环中所有分式组成的集合，它构成一个域。函数 域是基于函数的定义域和值域形成的域。具体来说，给 定一个函数f和一个集合D，函数域是由集合D中所有可 能的函数值组成的集合，它也构成一个域。
交叉学科的研究
近世代数与其他学科的交叉研究也是未来的一个重要方向，如 代数几何、代数数论、计算机科学等学科的交叉研究，可以促
进近世代数的发展和应用。
THANKS
感谢观看
环论
环的定义和性质
要点一
总结词
环是具有加法和乘法两种运算的代数系统，满足一定的性 质。
详细描述
域是一个非空集合，其中定义了两种运算：加法和乘法 ，满足一定的性质。在域中，加法和乘法都是可逆的， 即每个元素都有唯一的加法逆元和乘法逆元。此外，域 中的乘法满足结合律，且每个元素都有乘法单位元。
子域与扩域
环论在几何学中的应用
环论也是近世代数的一个重要分支，它在几何学中也有着广泛的应用。例如，在代数几 何中，环论被用于描述多项式环的结构；在解析几何中，环论也被用于描述函数的性质。
数论中的应用
域论在数论中的应用
域论是近世代数中一个重要的分支，它在数论中有着广泛的应用。例如，在代数数论中，域论被用于描述代数数 的性质；在数论中，域论也被用于研究整数的性质和结构。
分式域与函数域
总结词
分式域和函数域是两种特殊的域，它们在数学和物理 中有广泛的应用。分式域是由其整环的分式组成的域 ，而函数域则是基于函数的定义域和值域形成的域。
详细描述
分式域是由一个整环的分式组成的域。整环是一个只含 有限除数的环，也就是说，如果一个元素在整环中不能 被其他元素整除，则该元素被称为不可约元素。分式环 是由整环中所有分式组成的集合，它构成一个域。函数 域是基于函数的定义域和值域形成的域。具体来说，给 定一个函数f和一个集合D，函数域是由集合D中所有可 能的函数值组成的集合，它也构成一个域。
交叉学科的研究
近世代数与其他学科的交叉研究也是未来的一个重要方向，如 代数几何、代数数论、计算机科学等学科的交叉研究，可以促
进近世代数的发展和应用。
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环论
环的定义和性质
要点一
总结词
环是具有加法和乘法两种运算的代数系统，满足一定的性 质。
近世代数课件2
25
代数系统(S,⊙)是否 做成半群的判断方法就是检验代数 运算⊙在集合S上是否适合结合律.
设(S , o)是一个半群, Φ ≠ T ⊆ S , 则称(T , o)是(S , o)的一个 子半群 ⇔ ∀a, b ∈ T , 有a o b ∈ T .
26
设 是 个 空 合若 S 一 非 集 , 1)在 上 在 个 数 算 ” S 存 一 代 运 “ ; 2)代 运 “ ” 集 S上 合 合 数 算 在 合 适 结 律 (也 ∀ ,b,c∈S,有 a b) c =a (b c).) 即a ( 则 集 S关 代 运 做 一 半 , 称 合 于 数 算 成 个 群 记 半 (S，. 作 群 )
37
M n(R)(实数域R上全体n阶矩阵组成 的集合)关于矩阵的乘法、加法能否做成M n(R) 上的半群、交换半群吗？若把M n(R)换为On(R), 其中 n(R) = {A∈ M n(R) AA′ = A′A = I}, 结果如 O 何?若把M n(R)换为GLn(R), 其中 ( GLn(R) = {A∈ M n(R) A ≠ 0} 另一表示形式: GL n, R)),结果如何?若把M n(R)换为SLn(R), （ ),结 其中SLn(R) = {A∈ M n(R) A = 1},结果如何?
16
GLn( R) = {A ∈ M n( R) A ≠ 0} 关于矩阵的乘法、加法能否做成 ?(另 GLn( R)上的代数系统?(另一表 示形式:GL n, R)) （
17
有理数集合关于规定 ⊕:Q × Q → Q, ∀a, b ∈ Q, 有a ⊕ b = a + b + ab 能否做成有理数集合Q上 的代数系统？
29
在半群(S, o)中, 任取n n ≥ 3)个元a1, a2,L, an, ( 只要不改变元素次序,则 a1 o a2 oLo an的任一计算方法 所得结果均相同.
代数系统(S,⊙)是否 做成半群的判断方法就是检验代数 运算⊙在集合S上是否适合结合律.
设(S , o)是一个半群, Φ ≠ T ⊆ S , 则称(T , o)是(S , o)的一个 子半群 ⇔ ∀a, b ∈ T , 有a o b ∈ T .
26
设 是 个 空 合若 S 一 非 集 , 1)在 上 在 个 数 算 ” S 存 一 代 运 “ ; 2)代 运 “ ” 集 S上 合 合 数 算 在 合 适 结 律 (也 ∀ ,b,c∈S,有 a b) c =a (b c).) 即a ( 则 集 S关 代 运 做 一 半 , 称 合 于 数 算 成 个 群 记 半 (S，. 作 群 )
37
M n(R)(实数域R上全体n阶矩阵组成 的集合)关于矩阵的乘法、加法能否做成M n(R) 上的半群、交换半群吗？若把M n(R)换为On(R), 其中 n(R) = {A∈ M n(R) AA′ = A′A = I}, 结果如 O 何?若把M n(R)换为GLn(R), 其中 ( GLn(R) = {A∈ M n(R) A ≠ 0} 另一表示形式: GL n, R)),结果如何?若把M n(R)换为SLn(R), （ ),结 其中SLn(R) = {A∈ M n(R) A = 1},结果如何?
16
GLn( R) = {A ∈ M n( R) A ≠ 0} 关于矩阵的乘法、加法能否做成 ?(另 GLn( R)上的代数系统?(另一表 示形式:GL n, R)) （
17
有理数集合关于规定 ⊕:Q × Q → Q, ∀a, b ∈ Q, 有a ⊕ b = a + b + ab 能否做成有理数集合Q上 的代数系统？
29
在半群(S, o)中, 任取n n ≥ 3)个元a1, a2,L, an, ( 只要不改变元素次序,则 a1 o a2 oLo an的任一计算方法 所得结果均相同.
近世代数ppt
8
第4讲 基本概念之与代数运算发生关系的映射 ——同态映射
1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例
9
第5讲 基本概念之等价关系与集合的分类 ——商集
1 商集 2 等价关系 3 集合的分类 4 集合A上的等价关系与 集合A的分类之间的联系
10
第三章 群
11
第1讲 代数系统
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第一章 绪 论
1
第1讲 绪 论
一 关于代数的观念 二 数学史的发展阶段 三 代数发展的阶段(数学发展史) 四 代数学发展的四个阶段 五 几类与近世代数的应用有关的实际
问题
2
第二章 基本概念
3
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集合与元素的相关概念
集合的相关概念
集合的运算及运算律
集合的补充及说明
6
第2讲 基本概念之集合及其之间的关系 —对应关系(映射)(人造关系)
1 映射概念回忆
2 映射及相关定义 3 映射的充要条件
4 映射举例
5 符号说明
6 映射的合成及相关结论
7 映射及其映射相等概念的推广
8 集合及其之间的关系——特殊
第4讲 基本概念之与代数运算发生关系的映射 ——同态映射
1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例
9
第5讲 基本概念之等价关系与集合的分类 ——商集
1 商集 2 等价关系 3 集合的分类 4 集合A上的等价关系与 集合A的分类之间的联系
10
第三章 群
11
第1讲 代数系统
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第一章 绪 论
1
第1讲 绪 论
一 关于代数的观念 二 数学史的发展阶段 三 代数发展的阶段(数学发展史) 四 代数学发展的四个阶段 五 几类与近世代数的应用有关的实际
问题
2
第二章 基本概念
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集合与元素的相关概念
集合的相关概念
集合的运算及运算律
集合的补充及说明
6
第2讲 基本概念之集合及其之间的关系 —对应关系(映射)(人造关系)
1 映射概念回忆
2 映射及相关定义 3 映射的充要条件
4 映射举例
5 符号说明
6 映射的合成及相关结论
7 映射及其映射相等概念的推广
8 集合及其之间的关系——特殊
近世代数课堂PPT
4
但其中有一些可以通过旋转一个角
度或翻转180度使它们完全重合， 5 我们称为是本质相同的，我们要考
虑的是无论怎么旋转、翻转都不能
使它们重合的项链类型数。
1 8
7 6
28.07.2024
06:10
例1 用黑白两种颜色的珠子做成有5颗珠子的项链
利用枚举法，得到一共8种不同类型的项链。
随着n、m的增加，用枚举法解决越来越难， 采用群论方法解决是最简单、有效的方法。
学习近世代数的意义
由于近世代数在数学的其他分支、近代 物理、近代化学、计算机科学、数字通信、 系统工程等许多领域都有重要应用，因而它 是现代科学技术的数学基础之一，是许多科 技人员需要掌握的基本内容和方法，因此近 世代数也是数学专业的专业基础课之一。
28.07.2024
06:10
几个有趣的应用实例
28.07.2024
06:10
伽罗华（Évariste Galois，公元1811年~公元1832 年）是法国对函数论、方程式论和数论作出重要贡献的数学
家，他的工作为群论（一个他引进的名词）奠定了基础；所
有这些进展都源自他尚在校就读时欲证明五次多项式方程根
数解（Solution by Radicals）的不可能性（其实当时 已为阿贝尔（Abel）所证明，只不过伽罗华并不知道）， 和描述任意多项式方程可解性的一般条件的打算。虽然他已
图。 问题：n个点的图中互不同构的图有多少个？
28.07.2024
06:10
5.开关线路的构造与计数问题 一个有两种状态的电子元件称为一个开关，
例如普通的电灯开关，二极管等。由一些开关 组成的二端网络称为开关线路。一个开关线路 的两端也只有两种状态：通与不通。
近世代数基础 第二章 群论
第二章群论群是最简单，最重要，有广泛应用的代数系统。
在本章里主要研究具有某种特殊的群存在，结构和构造等。
学习中我们从群的定义开如直到同态基本定理和不变子群，共讲十一个问题，它是以下几章的基础，本章开头提出的十一问题是：一、群在的定义及其基本性质七、循环群；二、单位元、逆元、消去律；八、子群；三、有限群的另一定义；九、子群的陪集；四、群的同态；十、不变子群、商群；五、变换群；十一、同态与不变子群。
六、置换群；§2.1 群的定义●课时安排约1课时●教学内容《近世代数基础》张禾瑞著P31-35群的思想：第一，它有满足结合律的代数运算；第二，这个代数运算具有逆运算。
定义：一个非空集合G对一个叫做乘法的代数过算来说作成一个群，则等价于下列条件: （1）（G，·）有单位元，且G中每一个元有逆元。
（2）（G，·）有左单位元，且G 中每个元有左逆元；（3）（G，·）有右单位元，且G 中每个元有右逆元；（4）a,b∈G，方程a.x=b和y.a=b在G中都有解，是一个有限整数；不然的话，这个群叫做无限群，有限群的元素个数叫做这个群的阶。
定义：对 a,b∈G来说，满足ab=ba条件的群叫做交换群。
例 1：证明若G包含一个元g，且乘法是gg=g，则G对于这个第六法来说作成一个群。
例2：设G是一个全体整数的集合，证明G对于普通加法来说作成一个群。
例3：设G是所有不等于零的整数集合，证明G对于普通乘法来说不作成一个群。
习题选讲：P38 1，3●教学重点群的定义，基本特点，群的思想方法，群的判定常用的方法。
●教学难点群定义，群的判定常用的方法，利用群的定义证明性质和判定。
●教学要求理解群的定义，掌握群定义中的四个等价条件，和群的判定方法，多训练（做题）。
●布置作业 P35 1，3（2）●教学辅导一、掌握三个基本概念（1）群的最本质的特点（2）群的思想方法主要体现在包含的方面。
（3）代数系充（G，·）是群当且仅当（i）结合律成立（ii）方程ax=b，ya=b在G中有解，其 a,b∈G.二、精选习题：（1）在群G中方程ax=b，ya=b， a,b∈G都有解，这个解是（）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)（2）设（G，·）为半群，如果方程ax=b与ya=b a,b∈G在G中有解，（不要求唯一性）则G（）。
近世代数之元素的阶
(ab)mn (am )n (bn )m e 若 (ab)s e
(ab)sm (am )s bsm bsm e n | sm n | s
同理 m | s ， (m,n) 1 mn | s ，于是 | ab | mn.
2019/8/12
07:49
例5 |ab|一定等于|a||b|吗？
，其中 m, n 为任意整数.
2019/8/12
07:49
定义1
设 a 为群 G 的一个元素，使 an e
的最小正整数 n 叫做元素 a 的阶，记作
a n ；若不存在这样的 n ，则称 a 的阶
为无限.
显然，群中单位元的阶为1，其他元的阶
都大于1， a a1 .
2019/8/12
07:49
r 0
m nq n| m
证明 G 中 | a | n ，只需证
(1)an e, （2）若 am e n | m.
2019/8/12
07:49
定理3
若群中 | a | n ，则 ak n
(n, k )
，其中 k 为任意的整数.
证明： (n, k) d
n dn1, k dk1, (n1, k1 ) 1
GL2(Q) 是有理数域Q上的全体二阶满秩
方阵关于矩阵乘法做成的群.
(1)a
1 0
0 1
,
b
1 0
0
1
ab
ba
1 0
0 1
,
| a || b || ab |
2
(| a |,| b |) 1
(ab)sm (am )s bsm bsm e n | sm n | s
同理 m | s ， (m,n) 1 mn | s ，于是 | ab | mn.
2019/8/12
07:49
例5 |ab|一定等于|a||b|吗？
，其中 m, n 为任意整数.
2019/8/12
07:49
定义1
设 a 为群 G 的一个元素，使 an e
的最小正整数 n 叫做元素 a 的阶，记作
a n ；若不存在这样的 n ，则称 a 的阶
为无限.
显然，群中单位元的阶为1，其他元的阶
都大于1， a a1 .
2019/8/12
07:49
r 0
m nq n| m
证明 G 中 | a | n ，只需证
(1)an e, （2）若 am e n | m.
2019/8/12
07:49
定理3
若群中 | a | n ，则 ak n
(n, k )
，其中 k 为任意的整数.
证明： (n, k) d
n dn1, k dk1, (n1, k1 ) 1
GL2(Q) 是有理数域Q上的全体二阶满秩
方阵关于矩阵乘法做成的群.
(1)a
1 0
0 1
,
b
1 0
0
1
ab
ba
1 0
0 1
,
| a || b || ab |
2
(| a |,| b |) 1
近世代数课件(全)--2-10 群对集合的作用、伯恩赛德引理
H { g ( H ) | g G } { gH g { g | g G , gH g
1
1
| g G}
S tabG H { g | g G , g ( H ) H } H}
{ g | g G , gH H g }
2012-9-19
稳定子群和轨道的关系： (1)轨道公式： a [ G : G a ] 证明： a { g ( a ) | g G }
2012-9-19
定义1 设 G 是一个群, 是一个非空集合 （称为目标集），若 g G 对应 上的一个变换 g ( x ) 满足
(1) e ( x ) x , x ;
( 2 ) g 1 g 2 ( x ) g 1 ( g 2 ( x )), x .
g1 ( g 2 H g 2 ) g1 , H .
此作用称为群 G 对其子群集的共轭作用.
2012-9-19
二、轨道与稳定子群 定义2 设 为目标集，群 G 作用于 a 上， ，则集合 称为 在 G 作用下的一个轨道，a 称为 此轨道的一个代表元. 例4 设 {1, 2, 3, 4 , 5 },
fg
g G
其中
fg
为元素 g 在 上的不动点数目
，求和是对群中每个元素求和.
2012-9-19
例4 设 {1, 2, 3, 4 , 5 },
G {(1), (12 ), ( 345 ), ( 354 ), (12 )( 345 ), (12 )( 354 )}
（3）求 G 的每个元素在 上的不动点数目. （4）求 在 G 作用下的轨道数目. f ( 1 2 ) 3, 解： f ( 1 ) 5 ,
1
1
| g G}
S tabG H { g | g G , g ( H ) H } H}
{ g | g G , gH H g }
2012-9-19
稳定子群和轨道的关系： (1)轨道公式： a [ G : G a ] 证明： a { g ( a ) | g G }
2012-9-19
定义1 设 G 是一个群, 是一个非空集合 （称为目标集），若 g G 对应 上的一个变换 g ( x ) 满足
(1) e ( x ) x , x ;
( 2 ) g 1 g 2 ( x ) g 1 ( g 2 ( x )), x .
g1 ( g 2 H g 2 ) g1 , H .
此作用称为群 G 对其子群集的共轭作用.
2012-9-19
二、轨道与稳定子群 定义2 设 为目标集，群 G 作用于 a 上， ，则集合 称为 在 G 作用下的一个轨道，a 称为 此轨道的一个代表元. 例4 设 {1, 2, 3, 4 , 5 },
fg
g G
其中
fg
为元素 g 在 上的不动点数目
，求和是对群中每个元素求和.
2012-9-19
例4 设 {1, 2, 3, 4 , 5 },
G {(1), (12 ), ( 345 ), ( 354 ), (12 )( 345 ), (12 )( 354 )}
（3）求 G 的每个元素在 上的不动点数目. （4）求 在 G 作用下的轨道数目. f ( 1 2 ) 3, 解： f ( 1 ) 5 ,
近世代数第二章课件
第二章群论 20第二章群论本章讨论具有一个代数运算的代数结构——半群与群，但重点是群的基本知识及典型的两个群-变换群和循环群．群是概括性比较强的一个概念，是近世代数中比较丰富的一个分支，它产生于19世纪初人们对高次方程根号解问题的研究，发展到现在，群论已经应用到数学许多其它分支及一些别的科学领域．如在近世几何中，利用群的观点，把几何加以科学分类；在晶体学中，利用群论的方法，解决了空间晶体的分类问题；在现代通讯理论中，利用群来进行编码，有所谓的群码．我们先从半群开始来研究群．§1 群的定义及基本性质2.1 半群的定义设S是具有一个代数运算的集合，为了方便，将此代数运算叫S的乘法，并且仍用通常的乘法记号“·”来表示，把S的两个元素ba,关于“·”运算结果ba∙简记为ab．当然，这样被叫做乘法不一定就是指数的乘法，还可表示像矩阵、函数、向量的乘法，但一般来说它们都不是数的乘法．定义1如果代数结构（S，·）的乘法适合结合律，即ba∈c∀)有,S,,ab=，则称S关于它的乘法是一个半群，简称Sac(bc()是一个半群．2关于数的乘法是一个半群．关于数的加法也是一例1 偶数集Z个半群．n⨯矩阵作成的集合M n(F)，关于矩阵乘法例2数域F上的所有n是一个半群．例3 A 是一个非空集合，A 的幂集}|{A x x A P ⊆=）（关于∩、∪分别是半群．例4 +Z （正整数）关于数减法不能作成一个半群，因为数的减法不是+Z 的一个代数运算；Z 虽然关于数的减法是Z 的代数运算，但结合律不成立，故),(-Z 不是一个半群．注 由于一个半群),(⋅S 的乘法适合结合律，故可以在半群),(⋅S 中可以引进一个元素a 的正整数次幂的概念，规定：, 个n n a aa a =那么，易见半群里有以下指数运算规律：ba ab b a ab a a a a a n n n nm m n n m n m =⋅===⋅+当,)(,)(,，这里+∈Z n m ,。
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(a
m
)
n
a
mn
，其中 m , n 为任意整数.
2012-9-19
定义1 设 a 为群 G 的一个元素，使 a e 的最小正整数 n 叫做元素 a 的阶，记作
n
a n ；若不存在这样的
n ，则称 a 的阶
为无限. 显然，群中单位元的阶为1，其他元的阶 都大于1， a a
1
.
2012-9-19
(| a |, | b |) 1
2012-9-19
例5 |ab|一定等于|a||b|吗？
G L 2 ( Q ) 是有理数域Q上的全体二阶满秩
方阵关于矩阵乘法做成的群.
1 ( 2 )a 0 0 0 ,b 1 1 1 1
0 ab 1
s
，其中s，t 均为正整数.
推论2 在群中，若 | a | n ，则
|a
k
| n ( k , n ) 1 .
2012-9-19
定理4 在群中，若 | a | m ，| b | n ，则当 | ab ba 且 ( m , n ) 1 时， ab | mn . 证明： | a | m ，| b | n ， ab ba
G L 2 ( Q ) 是有理数域Q上的全体二阶满秩
方阵关于矩阵乘法做成的群.
0 1 0 ,b 1 1 0 0 1 ab ba , | a | | b | | a b | 2 1 0 1 (1 ) a 0
例1
G {1, 1, i , i } 关于数的普通乘法做成
4次单位根群.
1 1, 1 2, i i 4
2012-9-19
例2 正有理数乘群
Q
单位元的阶是1， 其他元的阶均为无限. 例3 非零有理数乘群 Q
1的阶是1， -1的阶是2，
其余元的阶均为无限.
2012-9-19
例4
U
U
i 1
i
，其中 U i 是 i 次单位根群
，则 U 关于普通乘法作成无限交换群， 其中每个元素的阶都有限.
2012-9-19
定理2 若群 G 中 | a | n ，则 a m e n | m . 证明： 令 m nq r ， 0 r n m nq r n q r r ，则 a a (a ) a a e
(a )
k
n1
a
k m
k n1
a
n k1
(a )
n
k1
e
设(a )
a
km
e ，则
.
e n | k m n 1 | k 1 m n1 | m
k
a
n1
n (n, k )
2012-9-19
两个推论： 推论1 在群中，若 | a | st ,则 | a | t
r 0
m nq
n|m
证明 G 中 | a | n ，只需证 n (1 ) a e , （2）若 a m e n | m.
2012-9-19
定理3 若群中 | a | n ，则
a
k
ห้องสมุดไป่ตู้
n (n, k )
，其中 k 为任意的整数.
证明： ( n , k ) d
n d n1 , k d k 1 , ( n1 , k 1 ) 1
定理1 有限群 G 中每个元素的阶均有限. 证明：设 G n
a G ，在 a , a , , a , a
2 n n 1
G
中必有相等的. 设
a
s
a ,1 t s n 1,
t
则 a
st
e ，从而阶有限.
2012-9-19
注： 无限群中元素的阶可能无限，也可能有限， 甚至可能都有限.
近世代数
第二章 群论
§2元素的阶
2012-9-19
元素的指数 在群 G 中，由于结合律成立， a 1 a 2 a n 有意义，据此, 可定义群的元素的指数: 设 n 为正整数, 则规定: n n 0 n 1 1 1 n a e, a aa a , a a a a 显然有， a m a n a m n
1 , 1
1 ba 1
0 , 1
| a | 4 , | b | 3 , | a b |
2012-9-19
思考题： 设G是群，且|G|>1. 证明：若G中除e外其 余元素的阶都相同，则这个相同的阶不是无 限，就是素数.
2012-9-19
(ab )
mn
s
(a
m
m
) (b )
sm
n
n
m
e
若 (ab ) e
(ab ) (a ) b n | sm n | s
sm s
b
sm
e
同理 m | s ， ( m , n ) 1 m n | s ，于是 | ab | mn .
2012-9-19
例5 |ab|一定等于|a||b|吗？
m
)
n
a
mn
，其中 m , n 为任意整数.
2012-9-19
定义1 设 a 为群 G 的一个元素，使 a e 的最小正整数 n 叫做元素 a 的阶，记作
n
a n ；若不存在这样的
n ，则称 a 的阶
为无限. 显然，群中单位元的阶为1，其他元的阶 都大于1， a a
1
.
2012-9-19
(| a |, | b |) 1
2012-9-19
例5 |ab|一定等于|a||b|吗？
G L 2 ( Q ) 是有理数域Q上的全体二阶满秩
方阵关于矩阵乘法做成的群.
1 ( 2 )a 0 0 0 ,b 1 1 1 1
0 ab 1
s
，其中s，t 均为正整数.
推论2 在群中，若 | a | n ，则
|a
k
| n ( k , n ) 1 .
2012-9-19
定理4 在群中，若 | a | m ，| b | n ，则当 | ab ba 且 ( m , n ) 1 时， ab | mn . 证明： | a | m ，| b | n ， ab ba
G L 2 ( Q ) 是有理数域Q上的全体二阶满秩
方阵关于矩阵乘法做成的群.
0 1 0 ,b 1 1 0 0 1 ab ba , | a | | b | | a b | 2 1 0 1 (1 ) a 0
例1
G {1, 1, i , i } 关于数的普通乘法做成
4次单位根群.
1 1, 1 2, i i 4
2012-9-19
例2 正有理数乘群
Q
单位元的阶是1， 其他元的阶均为无限. 例3 非零有理数乘群 Q
1的阶是1， -1的阶是2，
其余元的阶均为无限.
2012-9-19
例4
U
U
i 1
i
，其中 U i 是 i 次单位根群
，则 U 关于普通乘法作成无限交换群， 其中每个元素的阶都有限.
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定理2 若群 G 中 | a | n ，则 a m e n | m . 证明： 令 m nq r ， 0 r n m nq r n q r r ，则 a a (a ) a a e
(a )
k
n1
a
k m
k n1
a
n k1
(a )
n
k1
e
设(a )
a
km
e ，则
.
e n | k m n 1 | k 1 m n1 | m
k
a
n1
n (n, k )
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两个推论： 推论1 在群中，若 | a | st ,则 | a | t
r 0
m nq
n|m
证明 G 中 | a | n ，只需证 n (1 ) a e , （2）若 a m e n | m.
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定理3 若群中 | a | n ，则
a
k
ห้องสมุดไป่ตู้
n (n, k )
，其中 k 为任意的整数.
证明： ( n , k ) d
n d n1 , k d k 1 , ( n1 , k 1 ) 1
定理1 有限群 G 中每个元素的阶均有限. 证明：设 G n
a G ，在 a , a , , a , a
2 n n 1
G
中必有相等的. 设
a
s
a ,1 t s n 1,
t
则 a
st
e ，从而阶有限.
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注： 无限群中元素的阶可能无限，也可能有限， 甚至可能都有限.
近世代数
第二章 群论
§2元素的阶
2012-9-19
元素的指数 在群 G 中，由于结合律成立， a 1 a 2 a n 有意义，据此, 可定义群的元素的指数: 设 n 为正整数, 则规定: n n 0 n 1 1 1 n a e, a aa a , a a a a 显然有， a m a n a m n
1 , 1
1 ba 1
0 , 1
| a | 4 , | b | 3 , | a b |
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思考题： 设G是群，且|G|>1. 证明：若G中除e外其 余元素的阶都相同，则这个相同的阶不是无 限，就是素数.
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(ab )
mn
s
(a
m
m
) (b )
sm
n
n
m
e
若 (ab ) e
(ab ) (a ) b n | sm n | s
sm s
b
sm
e
同理 m | s ， ( m , n ) 1 m n | s ，于是 | ab | mn .
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例5 |ab|一定等于|a||b|吗？