第四章 几何元素的投影1

a c k
●
d b
先作正面投影
⒊ 两直线交叉
d
a
c’
3 1(2) ● ● ●4
b
●2
为什么？ 投影特性： 两直线相交吗？ ★ 同名投影可能相交， 但 “交点”不符合空间 一个点的投影规律。 ★ “交点”是两直线上 的一 对重影点的投影， 用其可帮助判断两直线 的空间位置。
c
b
●
a
●
1 3(4 )
投影特性： ● a b 积聚 成一点 ● a′ b′OX; a″ b″ OY ● a′b′= a″ b″=AB
2） 投影面垂直线——侧垂线
投影特性： ● a″b″ 积聚 成一点 ● a b OY ; a′b′ OZ ● a b = a′b′ =AB
2) 投影面的垂直线
投影面垂直线的投影特性：
a’ c’ d’
a’’
b’
b’’
) ’’ c (
) ’’ d (
a
b
c ） （d
一般位置
铅垂
练习2： 已知直线AB、AC的二投影，求二直线的第三 投影,并说明其空间位置和反映实长的投影。
Z b’
b’’
c’’
a’ c’
a’’
X
c a
0
Yw
b YH
线， ’b ’ 反映 AB 实长； a
AB 是 正平线
1.各种位置直线的投影特性 在三投影面体系中，直线有三种位置：
直线分类
特 殊 位 置 直 线 投影面的平行线
直线对投影面的相对位置
平行于一个投影 面，与另外两个 投影面倾斜。 垂直于一个投影 面，与另外两个 投影面平行。
正平线（∥V 面） 水平线（∥H 面） 侧平线（∥W 面） 正垂线（⊥V 面） 铅垂线（⊥H 面） 侧垂线（⊥W 面）
Z
Z
a' b' b' X A a" X
a'
a" b" O YW
B
b
O
b"
b a Y a YH
两点中X值大的点 ——在左 两点中Y值大的点 ——在前 两点中Z值大的点 ——在上
• 例题：已知A点在B点之前5毫米，之上9毫米，之右8 毫米，求A点的投影。 Z
a a
b X
9
b
O
YW
8
b
5
a YH
Y
2. 已知点的两个投影，求第三投影
解法一:
a● ax az
●
a
通过作45°线 使aaz=aax
a● 解法二:
a● az
●
a
用分规直接量 取aaz=aax
ax
a●
例：已知点的两投影，求其第三投影
z
d′ f a e′ d f e
YW
x
d a
a 0
f
e
YH
二、 两点的相对位置
在与线段垂直的投影面上，该线段的投影积聚成一点。 其余两个投影垂直于相应的投影轴，且反映该线段的 实长。
例：根据直线的两个投影判断直线的类型，并判断其第三投影的 特征
（2）
（1）
侧垂线
铅垂线
3） 一般位置直线：倾斜于各投影面的直线
投影特性：三个投影都是倾斜线，且都小于实长。
练习1：已知立体上直线 AB、CD 的空间位置， 在投影图中标注其投影位置，并填空。
d
Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点， Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。
例：判断直线AB、CD的相对位置。
c
c′ b′ a′
b
1 a d d 1
d′
X
a
a
d b
c
c 1 d 1c
b
判断两直线重影点的可见性
c
b 1 (3)4 2 d C B 判断重影点的可见 性时，需要看重影点 在另一投影面上的投 影，坐标值大的点投 影可见，反之不可见， 不可见点的投影加括 号表示。 O A c a 1(2) 3 4 d b
正垂面（ ⊥V 面） 铅垂面（ ⊥H 面） 侧垂面（ ⊥W 面） 正平面（ ∥V 面） 水平面（ ∥H 面） 侧平面（ ∥W 面）
投影面的平行面
一般位置平面
与三个投影面都倾斜
（∠V 面、 ∠H 面、 ∠W 面）
铅垂面
V P B A a b C PH c a W a b
c
a
c
b

c
H

b 投影特性：1、 abc积聚为一条线 2 、 abc、 abc为ABC的类似形
第 四 章
点、直线和平面的投影
本章的主要内容：
4.1 点的投影 4.2 直线的投影 4.3 平面的投影 4.4 直线与平面、平面与平面的相对位置 4.5 投影变换 4.6 综合问题示例
三视图之间的方位对应关系
Z V
左 上 右 下 后 上 后 上 前 下
X
O
后 下
左
右
左
前
前 右
Y
上
左 右 后
上
前
分析：点A是参考点，根据相对坐标△X、△Y、△Z的正 负值，可判定点B在点A的右方、后方和上方。 注意：侧面投影△Y的量取方向
重影点
重影点是指处于同一投射线上的空间两点（即它们有 两个相同的坐标），它们在该投影面上的投影相重合。
重影点投影的可见性要根据不相同的那个坐标来判断， 其中坐标值大者为可见，小者为不可见，并规定不可见 点的投影加括弧表示。
2）重影点
注意：重影点投影的可见性采用观察方向与对投影面的投 射方向一致的观察法来判断，且先看到者为可见。
4.2 直线的投影
1. 各种位置直线的投影特性：
B
B
A
A
B
b a(b)
A
b
a
直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB
a
P
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=ABcosα
直线垂直于投影面 投影重合为一点 积 聚 性
下 后 左
前
下 右
主视图反映：上、下 、左、右 俯视图反映：前、后 、左、右 左视图反映：上、下 、前、后
用绘图工具实现三等规律
4· 点的投影 1
一、点在一个投影面上的投影
过空间点A的投射线与投 影面P的交点即为点A在P面 上的投影。
点在一个投影面上 的投影不能确定点的空 间位置。
解决办法？ A●
a
1 3
2 4 D
X
例题 判断两直线重影点的可见性
c b 1 3(4)
2
a X
d
b 4 c a 1(2)
3
d
二、平面上的直线和点 ⒈ 平面上取任意直线
判断直线在平面 内的方法 定 理 一 若一直线过平面 上的两点，则此 直线必在该平面 内。 定 理 二 若一直线过平面上的 一点，且平行于该平 面上的另一直线，则 此直线在该平面内。
不在一直 线上的三点
直线和直 线外的一点
相交 两直线
平行 两直线
任意平 面图形
1.各种位置平面的投影特性 在三投影面体系中，平面有三种位置：
平面分类
特 殊 位 置 平 面 投影面的垂直面
平面对投影面的相对位置
垂直于一个投影 面，与另外两个 投影面倾斜。 平行于一个投影 面，与另外两个 投影面垂直。
Z
a 点A的水平投影 a 点A的正面投影 a 点A的侧面投影
空间点用大写字母 表示，点的投影用 小写字母表示。
V
a ●
●
A o
●
X a● H
a
W
Y
投影面展开
不动
Z Z
●
向右翻
V
a ● ax a●
az
O
a
W
V
a ●
●
az
A O
●
X
ay
Y
X
ax
a W
ay
Y
a● H 向下翻
ay
Y
H
4.1 点的投影
1) 投影面的平行线
投影面平行线的投影特性：
在与线段平行的投影面上，该线段的投影为倾斜的线段， 且反映实长。 其余两个投影分别平行于相应的投影轴，且都小于实长。
例：根据直线的两个投影判断直线的类型，并判断其第三投影的 特征
a'
ａ" b'
b"
ａ （1）
ｂ
（2）
水平线
正平线
1. 直线的投影特性：
2） 投影面垂直线——铅垂线
求出侧面投影
⒉ 两直线相交
V a A a c
c k
C
b d K D d k
交点是两直 线的共有点
b B a c
k
d
b
H
a
c k
d b
判别方法：
若空间两直线相交，则其同名投影必 相交，且交点的投影必符合空间一点的投 影规律。
例：过C点作水平线CD与AB相交。
b
c● a k d
① 从属性：点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。
例：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。
解法一：（应用第三投影） 解法二：（应用定比定理） a a ● ● c k ●
a k● b b k● a
k ● b
b
b k● a
4.3平面的投影
平面的空间位置可用以下几种方法来确定：
积聚性
积聚性
a b c a c b
a
实形性
b
c
水平面
投影特性： 在它所平行的投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应 的投影轴平行的直线。
3） 一般位置平面