8.3.1完全平方和平方差公式

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沪科版七年级下册数学：8.3 完全平方公式和平方差公式 (共14张PPT)

1002 2100 4 42
10000 800 16
=10816
2 1982
21982 200 22
40000 800 4
39204
12
思考：
a b c2
解 a b c2 a b c2
a b2 2a bc c2
a2 2ab b2 2ca b c2
b
直接求：总面积=(a+b)(a+b)
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2 a (a+b)2=a2+2ab+b2
a
b
完全平方公式 (a+b)2= a2 +2ab+b2
公式特点：
1、左边为两数和的平方； 2、右边为三项，其中两项为左边两数的平方的和，另一项为两数乘积的2倍
3、公式中的a,b可以表示数，也可以是代数式
1
x
2
6
1
x
3
y
2
6
1
x
2
2
1
x
3
y
3
y
2
6 6
1 x2 xy 9 y2
(2)
0.2a
1Leabharlann b220.2a 1 b2
2
2
0.2a
1 2
b
0.2a
1
b
2
0.2a2
2 2
0.2a
1
b
1
b
2
2 2
0.04a2 0.2ab 1 b2 4
变式2：
11042
11042 100 42
a b2
a ba b
a2 ab ab b2

平方差公式和完全平方公式的转换

平方差公式和完全平方公式的转换平方差公式和完全平方公式，这两个家伙真是数学里的好兄弟。

想想看，它们就像是两位风格各异的歌手，一个偏爱激情四射的摇滚，一个则钟情于温柔细腻的抒情。

虽说它们的风格不同，但一旦在一起，绝对能唱出和谐的旋律。

你知道的，平方差公式就是 (a^2 b^2 = (a b)(a + b))，而完全平方公式则是 (a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2)。

听起来像一场数学音乐会，简直让人欲罢不能。

当我们把这两个公式放在一起的时候，恍若看到了两位演员在台上配合默契。

你有没有注意到，平方差公式就像那种神秘的魔法，突然让一个大数变得无影无踪。

比如说，你有一个 (5^2 3^2)，这玩意儿你一算，哦吼，变成了 ( (5 3)(5 + 3) = 2 times 8 = 16)。

轻轻松松的，不费吹灰之力，就把复杂的问题变得简单了。

而完全平方公式呢，简直就是数学界的超级奶爸，时刻准备着把复杂的数值归纳整理得整整齐齐。

说到这里，不免让我想起了咱们的生活。

平方差就像那些突如其来的惊喜，让你心情瞬间好起来。

而完全平方呢，就像妈妈做的饭，虽然平淡无奇，却总能让你觉得无比温暖。

想象一下，工作一天后，回到家，看到一碗热腾腾的饭，那种感觉真是无与伦比。

数学也是这样，虽说有时繁琐，但它的美就在于那些隐藏的小技巧，恰好能让你解决问题。

很多人一听到数学就犯怵，其实没必要。

就像你走在街上，偶尔听到有趣的故事，心里其实是能感觉到共鸣的。

平方差和完全平方，就是生活中那种让人愉快的小片段。

你瞧，当你用平方差去计算时，内心的小宇宙在悄悄燃烧。

而用完全平方则像是在慢慢欣赏一幅画，细腻而又悠长，真让人感动。

哎，说到底，数学不就是生活的一部分吗？当你用平方差公式解决问题的时候，心里会不会有种“我真聪明”的感觉？我打赌会有的！而用完全平方公式呢，就像在品味一杯好茶，细细回味。

每个公式都有它独特的魅力，真是让人欲罢不能。

常用数学公式

常用数学公式数学公式是一类非常特殊的符号表达式。

在常用的数学公式都有哪些呢?接下来店铺为你整理了常用数学公式，一起来看看吧。

常用数学公式：基础代数1. 平方差公式：(a+b)×(a-b)=a2-b22. 完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2完全立方公式：(a±b)3=(a±b)(a2 ab+b2)3. 同底数幂相乘: am×an=am+n(m、n为正整数，a≠0)同底数幂相除：am÷an=am-n(m、n为正整数，a≠0)a0=1(a≠0)a-p= (a≠0，p为正整数)4. 等差数列：(1)sn ==na1+ n(n-1)d;(2)an=a1+(n-1)d;(3)n = +1;(4)若a,A,b成等差数列，则：2A=a+b;(5)若m+n=k+i，则：am+an=ak+ai ;(其中：n为项数，a1为首项，an为末项，d为公差，sn为等差数列前n项的和)5. 等比数列：(1)an=a1q-1;(2)sn = (q 1)(3)若a,G,b成等比数列，则：G2=ab;(4)若m+n=k+i，则：am·an=ak·ai ;(5)am-an=(m-n)d(6) =q(m-n)(其中：n为项数，a1为首项，an为末项，q为公比，sn为等比数列前n项的和)常用数学公式：基础几何1. 三角形：不在同一直线上的三点可以构成一个三角形;三角形内角和等于180°;三角形中任两边之和大于第三边、任两边之差小于第三边;(1)角平分线：三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段,叫做三角形的角的平分线。

(2)三角形的中线：连结三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。

(3)三角形的高：三角形一个顶点到它的对边所在直线的垂线段，叫做三角形的高。

(4)三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。

8.3《平方差公式与完全平方公式》典型例题精析

8.3 完全平方公式与平方差公式1．了解乘法公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算．2．感受生活中两个乘法公式存在的意义，养成“观察—归纳—概括”的数学能力，体会数形结合的思想方法，提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力，进一步增强符号感和推理能力．1．完全平方公式(1)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.上式用语言叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．(2)完全平方公式的证明：(a±b)2＝(a±b)(a±b)＝a2±ab±ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2±2ab＋b2(合并同类项)．(3)完全平方公式的特点：①左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．可简单概括为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”．②公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．③对于符合两数和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式计算．【例1－1】用完全平方公式计算(1)(x＋2y)2；(2)(2a－5)2；(3)(－2s＋t)2；(4)(－3x－4y)2；(5)(2x＋y－3z)2.分析：第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算；第(3)题可先把它变成(t－2s)2，然后再计算，也可以把－2s看成一项，用和平方公式计算；第(4)题可看成－3x与4y差的平方，也可以看成－3x与－4y和的平方；(5)可把2x＋y看成一项，用差平方公式计算，然后再用和平方公式计算，也可以把它看成2x与y－3z的和平方，再用差平方公式计算．解：(1)(x ＋2y )2＝x 2＋2·x ·2y ＋(2y )2＝x 2＋4xy ＋4y 2；(2)(2a －5)2＝(2a )2－2·2a ·5＋52＝4a 2－20a ＋25；(3)(－2s ＋t )2＝(t －2s )2＝t 2－2·t ·2s ＋(2s )2＝t 2－4ts ＋4s 2；(4)(－3x －4y )2＝(－3x )2－2·(－3x )·4y ＋(4y )2＝9x 2＋24xy ＋16y 2；(5)(2x ＋y －3z )2＝[2x ＋(y －3z )]2＝(2x )2＋2·2x ·(y －3z )＋(y －3z )2＝4x 2＋4xy －12xz ＋y 2－2·y ·3z ＋(3z )2＝4x 2＋y 2＋9z 2＋4xy －12xz －6yz .(1)千万不要与公式(ab )2＝a 2b 2混淆，发生类似(a ±b )2＝a 2±b 2的错误；(2)切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形，使其具备公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．此外，在运用公式时要灵活，如第(4)题，由于(－3x －4y )2与(3x ＋4y )2是相等关系，故可以把(－3x －4y )2转化为(3x ＋4y )2，再进行计算，再如(5)题，也有许多不同的方法．(4)完全平方公式的几何解释．如图是对(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2几何意义的阐释．大正方形的面积可以表示为(a ＋b )2，也可以表示为S ＝S Ⅰ＋S Ⅱ＋S Ⅲ＋S Ⅳ，又S Ⅲ，SⅠ，S Ⅳ，S Ⅱ分别等于a 2，ab ，ab ，b 2，所以S ＝a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.如图是对(a－b)2＝a2－2ab＋b2几何意义的阐释．正方形Ⅰ的面积可以表示为(a－b)2，也可以表示为SⅠ＝S大－SⅡ－SⅣ＋SⅢ，又S大，SⅡ，SⅢ，SⅣ分别等于a2，ab，b2，ab，所以SⅠ＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2.从而验证了完全平方公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2.【例1－2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a，b的恒等式：__________________.解析：根据图中的面积写一个恒等式，需要用两种方法表示空白正方形的面积．首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成，所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积，即(a＋b)2－4ab，空白正方形的面积也等于它的边长的平方，即(a－b)2，根据面积相等有(a＋b)2－4ab＝(a－b)2.答案：(a＋b)2－4ab＝(a－b)22．平方差公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.上式用语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．(2)平方差公式的证明：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2－b2(合并同类项)．(3)平方差公式的特点：①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方)；③公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．利用此公式进行乘法计算时，应仔细辨认题目是否符合公式特点，不符合平方差公式形式的两个二项式相乘，不能用平方差公式．如(a＋b)(a－2b)不能用平方差公式计算．【例2－1】计算：(1)(3x＋2y)(3x－2y)；(2)(－m＋n)(－m－n)；(3)(－2x－3)(2x－3)．分析：(1)本题符合平方差公式的结构特征，其中3x对应“a”，2y对应“b”；(2)题中相同项为－m，互为相反数的项为n与－n，故本题也符合平方差公式的结构特征；(3)利用加法交换律将原式变形为(－3＋2x)(－3－2x)，然后运用平方差公式计算．解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)＝(3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.(2)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2.(3)(－2x－3)(2x－3)＝(－3＋2x)(－3－2x)＝(－3)2－(2x)2＝9－4x2.利用公式计算，关键是分清哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于公式中的b，通常情况下，为防止出错，利用公式前把相同项放在前面，互为相反数的项放在后面，然后套用公式．(4)平方差公式的几何解释如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ＋SⅢ＝SⅠ＋SⅣ＝(a＋b)(a－b)．从而验证了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2.【例2－2】下图由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可以验证的一个乘法公式是____________________．分析：要表示阴影部分的面积，可以从两个方面出发：一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b的正方形得到的，所以它的面积等于a2－b2；二是阴影部分是由两个直角梯形构成的，所以它的面积又等于两个梯形的面积之和．这两个梯形的面积都等于12 (b＋a)(a－b)，所以梯形的面积和是(a＋b)(a－b)，根据阴影部分的面积不变，得(a＋b)(a－b)＝a2－b2.因此验证的一个乘法公式是(a＋b)(a－b)＝a2－b2.答案：(a＋b)(a－b)＝a2－b23．运用乘法公式简便计算平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础，而且在许多的数字运算中也有广泛地运用．不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关，但若根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式，常可以使运算变繁为简，化难为易．解答此类题，关键是分析数的特点，看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式，若改写成两数和的形式乘以两数差的形式，则用平方差公式；若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式，则用完全平方公式．【例3】计算：(1)2 0132－2 014×2 012；(2)1032；(3)1982.分析：(1)2 014＝2 013＋1,2 012＝2 013－1，正好符合平方差公式，可利用平方差公式进行简便运算；(2)可将1032改写为(100＋3)2，利用两数和的平方公式进行简便运算；(3)可将1982改写为(200－2)2，利用两数差的平方公式进行简便运算．解：(1)2 0132－2 014×2 012＝2 0132－(2 013＋1)×(2 013－1)＝2 0132－(2 0132－12)＝2 0132－2 0132＋1＝1.(2)1032＝(100＋3)2＝1002＋2×100×3＋32＝10 000＋600＋9＝10 613.(3)1982＝(200－2)2＝2002－2×200×2＋22＝40 000－800＋4＝39 204.4．利用乘法公式化简求值求代数式的值时，一般情况是先化简，再把字母的值代入化简后的式子中求值．在化简的过程中，合理地利用乘法公式能使整式的运算过程变得简单．在代数式化简过程中，用到平方差公式及完全平方公式时，要特别注意应用公式的准确性．【例4】先化简，再求值：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2，其中m ＝－2，n ＝15. 解：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2＝5(m 2－n 2)－2(m 2＋2mn ＋n 2)－3(m 2－2mn ＋n 2)＝5m 2－5n 2－2m 2－4mn －2n 2－3m 2＋6mn －3n 2＝－10n 2＋2mn .当m ＝－2，n ＝15时，原式＝－10n 2＋2mn ＝－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋2×(－2)×15＝－65. 5．乘法公式的运用技巧一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时，表面上看起来不能利用乘法公式，实际上经过简单的变形后，就能直接运用乘法公式进行计算了．有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．在运用平方差公式时，注意以下几种常见的变化形式：①位置变化：(b ＋a )(－b ＋a )＝a 2－b 2.②符号变化：(－a ＋b )(－a －b )＝(－a )2－b 2＝a 2－b 2.③系数变化：(0.5a ＋3b )(0.5a －3b )＝(0.5a )2－(3b )2.④指数变化：(a 2＋b 2)(a 2－b 2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4.⑤增项变化：(a－b－c)(a－b＋c)＝(a－b)2－c2，(a＋b－c)(a－b＋c)＝a2－(b－c)2.⑥增因式变化：(a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b)＝(a2－b2)(a2－b2)＝(a2－b2)2.⑦连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)＝a8－b8.【例5－1】计算：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)；(2)(m－2n＋p)2；(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2.解：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)＝[(a＋b)＋1][(a＋b)－1]＝(a＋b)2－1＝a2＋2ab＋b2－1.(2)(m－2n＋p)2＝[(m－2n)＋p]2＝(m－2n)2＋2·(m－2n)·p＋p2＝m2－4mn＋4n2＋2mp－4np＋p2.(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2＝[(2x－3y)(2x＋3y)]2＝(4x2－9y2)2＝(4x2)2－2×4x2×9y2＋(9y2)2＝16x4－72x2y2＋81y4.在运用平方差公式时，应分清两个因式是否是两项之和与差的形式，符合形式才可以用平方差公式，否则不能用；完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个三项式，在计算时不要发生：(a＋b)2＝a2＋b2或(a－b)2＝a2－b2这样的错误；当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组，看成是两项，从而应用平方差公式或完全平方公式．【例5－2】计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)的值．分析：为了能便于运用平方差公式，观察到待求式中都是和的形式，没有差的形式，可设法构造出差的因数，于是可乘以(2－1)，这样就可巧妙地运用平方差公式了．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝…＝(22n－1)(22n＋1)＝24n－1.6．乘法公式的实际应用在解决生活中的实际问题时，经常把其中的一个量或几个量先用字母表示，然后列出相关式子，进而化简，这往往涉及到整式的运算．解题时，灵活运用乘法公式，往往能事半功倍，使问题得到快速解答．【例6】一个正方形的边长增加3 cm，它的面积就增加39 cm2，这个正方形的边长是多少？分析：如果设原正方形的边长为x cm，根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x＋3)2＝x2＋39，求解即可．解：设原正方形的边长为x cm，则(x＋3)2＝x2＋39，即x2＋6x＋9＝x2＋39，解得x＝5(cm)．故这个正方形的边长是5 cm.7．完全平方公式的综合运用学习乘法公式应注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”，注意为使用公式创造条件．(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式：①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ；②a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ；③(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ；④(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ；⑤(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)；⑥(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab 等．在公式(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2中，如果把a ＋b ，ab 和a 2＋b 2分别看做一个整体，则知道了其中两个就可以求第三个．(2)注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式，而且也要求会逆用公式，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用——a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.【例7－1】已知a 2＋b 2＋4a －2b ＋5＝0，则a ＋b a －b的值是__________．解析：原等式可化为(a 2＋4a ＋4)＋(b 2－2b ＋1)＝0，即(a ＋2)2＋(b －1)2＝0，根据非负数的特点知a ＋2＝0且b －1＝0，从而可知a ＝－2且b ＝1.然后将其代入求a ＋b a －b的值即可．答案：13【例7－2】已知a ＋b ＝2，ab ＝1，求a 2＋b 2的值．分析：利用完全平方公式有(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，把2ab 移到等式的左边，可得(a ＋b )2－2ab ＝a 2＋b 2，然后代入求值即可．解：∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2aB ．∵a ＋b ＝2，ab ＝1，∴a 2＋b 2＝22－2×1＝2.涉及两数和或两数差及其乘积的问题，就要联想到完全平方公式．本题也可从条件出发解答，如因为a＋b＝2，所以(a＋b)2＝22，即a2＋2ab＋b2＝4.把ab＝1代入，得a2＋2×1＋b2＝4，于是可得a2＋b2＝4－2＝2.。

平方差公式与完全平方公式

平方差公式与完全平方公式平方差公式：22))((b a b a b a -=-+说明：相乘的两个二项式中，a 表示的是完全相同的项，+b 和-b 表示的是互为相反数的两项。

所以说，两个二项式相乘能不能用平方差公式，关键看是否存在两项完全相同的项，两项互为相反数的项。

熟悉公式：例：(3a+2b)(3a-2b)中 3a 是公式中的a ， 2b 是公式中的b(a 2+b 2)(a 2-b 2)中 a 2 是公式中的a ， b 2是公式中的b(2a+b-c)(2a+b+c)中 2a+b 是公式中的a ， c 是公式中的b 把下列空补充完整：(5+6x)(5-6x)中是公式中的a ，是公式中的b (5+6x)(-5+6x)中是公式中的a ，是公式中的b (x-2y)(x+2y)中是公式中的a ，是公式中的b (-m+n)(-m-n)中是公式中的a ，是公式中的b（a+b+c ）（a+b-c)中是公式中的a ，是公式中的b （a-b+c ）(a-b-c)中是公式中的a ，是公式中的b 例1：计算下列各题（a+3）(a-3)=a 2-32=a 2-9 (2x+21)(2x-21)=(2x)2-(21)2=4x 2-161仿练：( 2a+3b)(2a-3b)= (1+2c)(1-2c)= (-x+2)(-x-2)= (a+2b)(a-2b)= 例2：计算下列各题：1998×2002 =(2000-2)(2000+2)=20002-22=4000000-4=3999996 仿练： 1.01×0.99 = （20-91）×（19-98）= 例3：计算下列各题（a+b)(a-b)(a 2+b 2)=(a 2-b 2)(a 2+b 2)=(a 2)2-(b 2)2=a 4-b 4仿练：(a+2)(a-2)(a 2+4)= (x-12)(x 2+ 14)(x+ 12)= 例4：计算下列各题（-2x-y ）(2x-y)=（-y-2x)(-y+2x)=(-y)2-(2x)2=y 2-4x 2 (4a-1)(-4a-1)=(-1+4a)(-1-4a)=(-1)2-(4a)2=1-16a 2仿练：(y-x)(-x-y)= (-2x+y)(2x+y)= (b+2a)(2a-b)= (a+b)(-b+a)= 例5；计算下列各题（a+2b+c ）(a+2b-c)=[(a+2b ）+c][(a+2b)-c]=(a+2b)2-c 2=a 2+4ab+b 2-c 2仿练：(a+b-3)(a-b+3)= (m-n+p)(m-n-p)=练习：1、(1)(1)x x +-2、(21)(21)x x +-3、(5)(5)x y x y +-4、(32)(32)x x +-5、(2)(2)b a a b +-6、(2)(2)x y x y -+--7、()()a b b a +-+8、()()a b a b ---9、(32)(32)a b a b +-10、5252()()a b a b-+11、(25)(25)a a +-12、(1)(1)m m ---13、11()()22a b a b ---14、(2)(2)ab ab ---15、10298⨯16、97103⨯17、4753⨯18、22()()()a b a b a b +-+19、(32)(32)a b a b +-20、(711)(117)m n n m ---21、(2)(2)y x x y ---22、(4)(4)a a +-+23、(25)(25)a a -+24、(3)(3)a b a b +-25、(2)(2)x y x y +-完全平方公式完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=± 注意不要漏掉2ab 项（a 为首，b 为尾）口诀：首平方，尾平方，首尾之积二倍加减放中央（4m+n ）2中 4m 是公式中的a ， n 是公式中的b(-a-b)2中 -a 是公式中的a ， b 是公式中的b(a+b-c)2中 a 是公式中的a ， b-c 是公式中的b 或者(a+b-c)2中 a+b 是公式中的a ， c 是公式中的b 仿练： (y-21)2中是公式中的a ，是公式中的b （b-a ）2中是公式中的a ，是公式中的b(2a-b+c)2中是公式中的a ，是公式中的b 熟悉公式变形1、a 2+b 2=(a+b)2 -2ab =(a-b)2+2ab2、（a-b ）2=(a+b)2 -4ab ; (a+b)2=(a-b)2+4ab3、(a+b)2 +（a-b ）2= 2a 2+2b 24、(a+b)2 --（a-b ）2= 4ab 例1：计算下列各题2)(y x +=x 2+2xy+y 2 2)23(y x - =(3x)2-2(3x)(2y)+(2y)2=9x 2-12xy+4y 2仿练：2)21(b a += 2)12(--t = 2)313(c ab +-=2)2332(y x += 2)121(-x = (0.02x+0.1y)2=例2：利用完全平方公式计算： 1022=（100+2)2=1002+2×100+221972=(200-3)2=2002-2×200×3+32仿练：982= 2032=练习：计算 1、2(1)p + 2、2(1)p - 3、2()a b - 4、2()a b + 5、2(2)m + 6、2(2)m -7、2(4)m n +8、21()2y -9、2(3)x y -10、2(2)a b --11、21()a a+12、2(52)x y --13、2(2)a b -14、21()2x y -15、2(23)a b +16、2(32)x y -17、2(2)m n --18、2(22)a c +19、2(23)a -+20、21(3)3x y +21、2(32)a b +22、222()a b -+23、22(23)x y --24、2(1)xy -25、222(1)x y -添括号法则如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；•如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．也是：遇“加”不变，遇“减”都变．例：)(c b a c b a ++=++ )(c b a c b a +-=--练习运用法则：（1）a+b-c=a+（）（2）a-b+c=a-（）（3）a-b-c=a-（）（4）a+b+c=a-（） 2．判断下列运算是否正确．（1）2a-b-2c =2a-（b-2c）（2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b ）（3）2x-3y+2=-（2x+3y-2）（4）a-2b-4c+5=（a-2b ）-（4c+5）在公式里运用法则例：计算：（1）（x+2y-3）（x-2y+3）=[x+(2y-3)][x-(2y-3)]=x 2-(2y-3)2=x 2-(4y 2-12y+9)=x 2-4y 2+12y-9 （2）（a +b +c ）2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c 2=a 2+2ab+b 2+2ac+2bc+c 2（3）（x +5）2-（x-2）（x-3）=x 2+10x+25-(x 2-5x+6)=x 2+10x+25-x 2+5x-6=15x+19练习：计算：（x +3）2-x 2 2)2(c b a +- 22)()(c b a c b a ---++。

8.3.1完全平方公式与平方差公式

你能用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将
完全平方公式
探索: 你发现了什么?
a a
图 1 —6
直 2 总面积 = 接 (a+b) ；法一求间接总面积= a2+ ab+ ab+ b2. 法二求
b
公式: (a+b)2= a2+ 2 ab + b2.
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和
多项式。
辨一辨

下面各式的计算是否正确？如果不正确应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2 错 (x +y)2 =x2+2xy +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2 错 (x -y)2 =x2 -2xy +y2 (3) (x -y)2 =x2+2xy +y2 错
5, ab 6,
2 2
求
a b ,a ab b .
2 2
1.
2008 2 2008 2009 2009 =_______;
2 2
1
2.若 x 2 2kx 9是一个完全平方公式,
则
3 k _______;
2 2
3.若 x 8 x k 是一个完全平方公式,
2 (a+b)
=(a+b) (a+b) 2 2 = a +ab +ab +b 2 2 = a +2ab+b
=(a-b) (a-b) 2 2 = a - ab - ab +b 2 2 = a - 2ab+b
2 (a-b)

沪科版数学七年级下册8.3《完全平方公式与平方差公式》教学设计

沪科版数学七年级下册8.3《完全平方公式与平方差公式》教学设计一. 教材分析《完全平方公式与平方差公式》是沪科版数学七年级下册第八章第三节的内容。

本节内容主要介绍完全平方公式和平方差公式的概念及其应用。

这两个公式是初中学段数学的重要知识点，也是解决代数问题的重要工具。

本节内容承上启下，为后续学习二次函数、一元二次方程等知识打下基础。

二. 学情分析七年级的学生已经掌握了有理数的运算、整式的乘法等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。

但学生对完全平方公式和平方差公式的理解和应用还不够深入，需要通过本节课的学习，让学生熟练掌握这两个公式，并能够运用到实际问题中。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握完全平方公式和平方差公式的概念及其应用。

2.过程与方法：通过探究、合作、交流的方式，培养学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。

四. 教学重难点1.完全平方公式和平方差公式的记忆和理解。

2.如何将公式运用到实际问题中，解决相关问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究、发现规律。

2.运用合作学习法，让学生在小组内讨论、交流，共同解决问题。

3.运用实例讲解法，让学生通过具体例子，理解并掌握公式的应用。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，展示完全平方公式和平方差公式的推导过程及应用实例。

2.准备一些练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式，引导学生回顾已学的有理数的运算、整式的乘法等知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示完全平方公式和平方差公式的推导过程，让学生直观地感受公式的来源和意义。

同时，给出一些应用实例，让学生初步了解公式的应用。

3.操练（10分钟）学生在小组内讨论，如何运用完全平方公式和平方差公式解决实际问题。

教师巡回指导，解答学生遇到的疑问。

4.巩固（10分钟）教师出示一些练习题，让学生独立完成。

初一奥数专题讲义——完全平方公式与平方差公式

完全平方公式与平方差公式一．知识要点1．乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2．基本公式完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b22 23（1（24由（由5（a+b（a－a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。

二．例题精选例1．已知x、y满足x2+y2+54=2x+y,求代数式xyx y的值。

例2．整数x,y满足不等式x2+y2+1≤2x+2y,求x+y的值。

例3．同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.甲商场:•第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b; 乙商场:两次提价的百分率都是2a b+(a>0,•b>0); 丙商场:第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,•则哪个商场提价最多?说明理由. 例4．计算:(1)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1；(2)1.345×0.345×2.69-1.3453-1.345×0.3452.例5222()例6例7例8数.12A.x 3A 45(2)19492-19502+19512-19522+……+19972-19982+19992=_________。

6．已知a+1a=5,则=4221a a a ++=_____。

7．已知两个连续奇数的平方差为•2000,•则这两个连续奇数可以是______.8．已知a 2+b 2+4a -2b+5=0,则a ba b +-=_____.9．若代数式b x x +-62可化为1)(2--a x ，则b ﹣a 的值是． 10．已知a 、b 、c 均为正整数,且满足a 2+b 2=c 2,又a 为质数.证明:(1)b 与c 两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数. 参考答案：一．例题精选例1．提示:由已知得(x-1)2+(y-12)2=0,得x=1,y=12,原式=13例2．原不等式可化为(x-1)2+(y-1)2≤1,且x 、y 为整数,(x-1)2≥0,(y-1)2≥0,•10x -=11x -=±10x -=解得x y =⎧⎨⎩例3例4．(2)设例5．例6．P ＜Q ；差值法：P -例7．例8因(x 12+x 22+…+x 102)-(y 12+y 22…+y 102)=(x 12-y 12)+(x 22-y 22)+…+(x 102-y 102) =(x 1+y 1)(x 1-y 1)+(x 2+y 2)(x 2-y 2)+…+(x 10+y 10)(x 10-y 10) =9[(x 1+x 2+…+x 10)-(y 1+y 1+…+y 10)]=0二．同步练习9．121)(222-+-=--a ax x a x ，这个代数式于b x x +-62相等，因此对应的系数相等，即﹣2a ＝﹣6，解得a ＝3，b a =-12，将a ＝3代入得b ＝8，因此b ﹣a ＝5． 10．解:(1)因(c+b)(c-b)=a 2,又c+b 与c-b 同奇同偶,c+b>c-b,故a•不可能为偶质数2,a应为奇质数,c+b与c-b同奇同偶,b与c必为一奇一偶.(2)c+b=a2,c-b=1,两式相减,得2b=a2-1,于是2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a2-1+2=(a+1)2,为一完全平方数.。

平方差公式完全平方公式

平方差公式完全平方公式设a和b是任意实数，则有：(a+b)(a-b)=a²-b²这个公式可以用于将一个平方差分解为两个因式的乘积。

它在代数运算中非常重要，经常用于化简和解方程等计算中。

完全平方公式：完全平方公式是指一个二次多项式可以写成一个完全平方的形式。

设a、b是任意实数，则有：(a + b)² = a² + 2ab + b²(a - b)² = a² - 2ab + b²这两个公式可以将一个二次多项式表示为两个完全平方的和或差。

它们在代数运算中也是非常重要的，并经常用于因式分解和解方程等计算中。

拓展完全平方公式：完全平方公式还可以拓展为三项平方的公式。

设a、b、c是任意实数，则有：(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc(a - b - c)² = a² + b² + c² - 2ab - 2ac + 2bc这两个公式是将一个三次多项式表示为三个完全平方的和或差。

它们在高等代数中很常见，常用于展开和化简多项式。

使用平方差公式的例子：假设我们想要计算7²-3²的结果。

根据平方差公式，可以将(7+3)(7-3)来表示。

即7²-3²=(7+3)(7-3)=10×4=40。

使用完全平方公式的例子：假设我们想要将x²+8x+16分解为两个完全平方的形式。

根据完全平方公式，可以得到x²+8x+16=(x+4)²。

拓展完全平方公式的例子：假设我们想要将x³+12x²+48x+64分解为三个完全平方的形式。

根据拓展完全平方公式，可以得到x³+12x²+48x+64=(x+4)²(x+4)=(x+4)³。

平方差公式和完全平方公式知识点总结

乘法公式的复习一、平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：①位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2②符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2③指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4④系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2⑤换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2⑥增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2⑦连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z )=-4xy +4xz完全平方公式活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。

这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：()()()()()()()12223244222222222222....a b ab a b a b ab a b a b a b a b a b a b ab +-=+-+=+++-=++--=灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。

例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。

例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。

解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3 已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。

沪科版数学七年级下完全平方公式与平方差公式(第1课时)课件

问题2：根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？ (a+b)2= a2+2ab+b2 . (a–b)2= a2–2ab+b2 .
探究新知
完全平方公式
(a+b)2= a2+2ab+b2 . (a–b)2= a2–2ab+b2 .
也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.
(3)(–3a＋b)2＝9a2–6ab＋b2.
探究新知
素养考点 2 利用完全平方公式进行简便计算
例2 运用完全平方公式计算：
(1) 1022；
(2) 992.
解： 1022 = (100+2)2 =10000+400+4 =10404.
992 = (100 –1)2 =10000 –200+1
=9801.
∵x–y=4， ∴(x–y)2=16，即x2+y2–2xy=16②; 由①–②得4xy=48 ∴xy=12.
课堂小结
法则
完全平方公式
注意
(a±b)2= a2±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行
3.弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构特点及结果两方面)
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × (2x +y)2 =4x2+4xy +y2
探究新知
素养考点 1 利用完全平方公式进行计算
例1 运用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2；

83完全平方公式与平方差公式

83完全平方公式与平方差公式完全平方公式和平方差公式是数学中常用的公式，这些公式广泛应用于代数和几何中。

下面将详细介绍这些公式。

一、完全平方公式完全平方公式是指一个二次多项式可以表示为一个完全平方加上或减去一个常数。

完全平方公式具体表示如下：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²这里，a和b都是实数，可以是任意实数。

利用完全平方公式，我们可以将一个二次多项式转化为一个完全平方。

例如，对于多项式x²+6x+9，我们可以看到其中的前两项x²和6x分别是完全平方公式的两个完全平方项，而最后一项9是一个常数。

因此，我们可以将该多项式表示为(x+3)²。

完全平方公式的应用非常广泛。

在代数中，我们经常需要将一个二次多项式写成一个完全平方的形式，这样可以更方便地进行计算和分析。

在几何中，完全平方公式可以用来推导出平方和的展开式，从而研究图形的性质。

平方差公式是指一个二次多项式可以表示为两个完全平方的差。

平方差公式具体表示如下：a²-b²=(a+b)(a-b)这里，a和b都是实数，可以是任意实数。

平方差公式表示了一个平方数与另一个平方数的差的关系。

利用平方差公式，我们可以将一个二次多项式转化为两个完全平方的乘积。

例如，对于多项式x²-9，我们可以将其表示为(x+3)(x-3)。

平方差公式的应用也非常广泛。

在代数中，平方差公式可以帮助我们简化和分解二次多项式，从而更方便地进行计算和分析。

在几何中，平方差公式可以用来推导出平方差和的展开式，从而研究图形的性质。

总结：完全平方公式和平方差公式都是数学中常用的公式。

完全平方公式将一个二次多项式表示为一个完全平方加上或减去一个常数，而平方差公式将一个二次多项式表示为两个完全平方的差。

利用这些公式，在代数和几何中可以更方便地计算和分析各种问题，推导出各种展开式，研究各种图形的性质。

8.3.1完全平方公式与平方差公式

七年级数学问题导学单课题：8.3.1完全平方公式与平方差公式班级：姓名主设计人：上课时间：家长（小组长）签名：一、学习目标1、经历探索完全平方式与平方差公式的过程，发展学生观察、交流、归纳、猜测、验证等能力。

2、会推导乘法公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，(a+b)(a-b)=a2-b2。

3、了解公式的几何背景，会用公式计算。

二、学习重难点1、重点：乘法公式的推导及运用。

2、难点：乘法公式的结构特征及运用。

三、学前准备问题探究：1、由多项式乘法公式(a+b)2 = (a+b)(a+b) = ___________________________(a-b)2 = (a-b)(a-b) = ___________________________ ,(a+b)(a-b) = ____________________其中前两个公式我们称之为(___________)公式,后一个称之为（_________）公式。

2、试一试：(p+1)2= (p+1)(p+1)=____________, (p-1)2=(p-1)(p-1)=_______________.(m+2)2=(m+2)(m+2)=____________, (m-2)2=(m-2)(m-2)=______________.3、交流：见课本64页。

4、下列计算对不对,不对请改过来：(1)、(a+b)2=a2+b2(2)、(a-b)2=a2-b2(3)、(a+m)(b+m)=ab+mn (4)、(-1-m)2=m2-2m+15、利用乘法公式计算：（1）(x+2y)2 （2）(3a-2b)2（3）(1-3m)(1+3m)五、自我检测：1、利用乘法公式计算：（1） (3x+2)2 （2）(a-2b)2（3） (2x+3y)2 （4） (-3x+2y)2(5) (-2x-b)2 (6) (2a-b)(2a+b)五、学习反思七年级数学问题导学单课题：8.3.2完全平方公式与平方差公式班级：姓名主设计人：上课时间：家长（小组长）签名：一、学习目标1、通过自学，会运用乘法公式进行计算。

8.3完全平方公式与平方差公式

环球雅思教育学科教师讲义副校长/组长签字：签字日期：年级：七年级上课次数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题8.3 完全平方公式与平方差公式课型□ 预习课 □ 同步课 □ 复习课 □ 习题课授课日期及时段年月日教学内容8.3 完全平方公式与平方差公式知识点1：完全平方公式由222222))(()(b ab a b ab ab a b a b a b a ++=+++=-+=+，222222))(()(b ab a b ab ab a b a b a b a +-=+--=--=-可知两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的2倍，用字母表示为()2222b ab a b a +±=±，即完全平方公式.注：（1）完全平方公式中的字母具有一般性，它可以为单项式，也可以为多项式.（2）完全平方公式可逆向使用（3）()2b a +=()2b a -+4ab ，()2b a -=()2b a +-4ab ，ab=()2)(222b a b a +-+, 22b a +=()2b a +-2ab=()2b a --2ab 例：计算下列各式.（1）()24n m +；（2）221⎪⎭⎫ ⎝⎛-y ；（3）()222y x --；（4）())(2222y x y x -+-（1）（2-5x ）（-2+5x ）；（2）23243⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ；（3）()2n m --；（4）2521⎪⎭⎫ ⎝⎛-y例：计算（1）28.99；（2）2502练习：（1）()2301 (2)28.89知识点2：平方差公式由()()2222b a b ab ab a b a b a -=-+-=-+可知两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，用字母表示为()()22b a b a b a -=-+，即平方差公式.注：（1）平方差公式中的字母a 与b 可以是具体的数，也可以是整式.（2）平方差公式可以逆向使用.（3）平方差公式中的几个变化形式：①位置变化，如()()a b b a +-+只需将-b+a 变形为a-b.②系数变化，如()()y x y x 3434+-只是系数与公式不同，但可以将4x ，3y 分别看成一个整体. ③指数变化，如()()2323n m n m -+只是指数与公式不同，可将3m ，2n 分别看成一个整体. ④符号变化，如()()n m n m ---中应将-n 看成公式中的a,m 看成公式中的b.⑤增项变化，如（m+n+p ）（m-n+p ）中项数比公式中有所增加，此时相同的项为m+p ，相反的项为n 和-n ，故将m+p 看成一个整体.（1）（3x+2y ）（3x-2y ）；（2）（b+2a ）（2a-b ）；（3）（-x+2y ）(-x-2y)练习：计算下列各式（1）（a+3b ）（a-3b ）（2）（-m-n ）（-m+n ）（3）（x+2）（2-x ）（4）（3xy-2）（3xy+2）例：计算（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-2141212x x x （2）30.8×29.2练习：(1) 1.01×0.99 （2）22222222000654321-⋅⋅⋅+-+-+-多维解题例：化简下列各式.（1）()()()4222111y x xy xy ---+ （2）（a+b+c ）（a+b-c ）（3）（x-y+z ）（x+y-z ）（4）（3x-21）（-21-3x ）（-41-92x ）（1）（a+2b+1）（a-2b+1）（2）()22)32(32m n m n +-（3）()()()22422y x y x y x --+例：若代数式232++x x 可以表示为()()b x a x +-+-112的形式，则a+b 的值是_____________ 练习：若n>0，且对所有的x ，29x +mx+36=()23n x +恒成立，则m-n=__________________ 例：先化简，再求值：（a+b ）（a-b ）+22a ，其中a=1,b=2.练习：先化简，再求值：（x+3）（x-3）-x(x-2)，其中x=4.例:已知()82=-n m ，()22=+n m ，则22n m +等于___________ 练习：若a+b=3,a-b=7,则ab=____________例：如左图所示，从边长为（a+1）cm 的正方形纸片中剪去一个边长为（a-1）cm 的正方形（a>1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则该长方形的面积是______________. 练习：利用如右图所示的几何图形的面积可以表示的公式是___________________例：如图所示的是一块直径为a+b 的圆形钢板，从中挖去直径分别为a 与b 的两个圆，求剩下的钢板的面积.练习：某农场为了鼓励小学生集体到农场去劳动，许诺学生到农场劳动后，没人得到的苹果数同等于参加劳动的人数，第一天去农场劳动的有x 人，第二天去农场劳动的有y 人，第三天去了（x+y ）人第四天去了（x+2y ）人，则在这四天中，农场送出去的苹果共有多少个？例：观察下列各式：()22221212)21(1+⨯=+⨯+，2222)132(3)32(2+⨯=+⨯+，2222)143(4)43(3+⨯=+⨯+，...写出第n 行的式子，并证明你的结论.7.已知1+3=4=22，1+3+5=9=23，1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25，...，根据前面各式的规律，可猜想1+3+5+7+9+...+（2n-1）=______________（n 为正整数）.易错题例：计算⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b b a 43212143 计算()223b a --拓展题例：2222228425152979899100)2()12)(12)(12)(12)(1(-++-+-++++。