运筹学教案第二章(2)单纯形法

Th1.若线性规划问题存在可行域，则其可行域： 若线性规划问题存在可行域，则其可行域： 若线性规划问题存在可行域 D = { X ⁄ AX = b , X ≥ 0 } ，是凸集。 是凸集。 引理1： 引理 ：线性规划问题的可行解 X 为基可行解 的充要条件是 X 的正分量所对应的系数列向量 是线性无关的。 是线性无关的。 Th2 线性规划问题的基可行解对应于可行域的 顶点。 顶点。
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总之， 总之，线性规划问题的最优解只须在可行域的 顶点上去找，亦即线性规划问题的求解， 顶点上去找，亦即线性规划问题的求解，可以归 结为求达到最大值的基本可行解． 结为求达到最大值的基本可行解．但基本可行解 m 较大时， 可能最多有 Cn 个，当m，n较大时，用穷举法来 ， 较大时 比较目标函数，确定最大值是十分困难的， 比较目标函数，确定最大值是十分困难的，有时 甚至是行不通的．由美国数学家G． ． 甚至是行不通的．由美国数学家 ．B．Dantzig( 丹捷格)提出的单纯形法方便有效地解决了一般 丹捷格 提出的单纯形法方便有效地解决了一般 线性规划寻找最优解的方法．半个世纪以来， 线性规划寻找最优解的方法．半个世纪以来，单 纯形法仍然是具有权威性的算法
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Th 若线性规划问题存在可行解 则一定存在基 若线性规划问题存在可行解,则一定存在基 可行解。 可行解。 Th3 若线性规划问题存在最优解 则一定可以 若线性规划问题存在最优解,则一定可以 在可行域顶点上达到。 在可行域顶点上达到。 各定理证明详见P15-16 注：各定理证明详见
根据以上讨论得到如下的结论： 根据以上讨论得到如下的结论： 线性规划问题的所有可行解的集合一般 是凸集， 可以是有界的， 是凸集，它可以是有界的，也可以是无界的 区域；仅有有限个顶点。 区域；仅有有限个顶点。线性规划问题的每 一个基可行解对应于可行域的一个顶点。 一个基可行解对应于可行域的一个顶点。若 线性规划问题有最优解， 线性规划问题有最优解，必定可在某顶点处 取到。 取到。
作基变换， 入基， 出基 出基， 为一新基， 作基变换，令P1入基，P3出基，B1=(p1,p4)为一新基， 入基 为一新基 对增广矩阵用初等行变换求基本解： 对增广矩阵用初等行变换求基本解：
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4 2 1 0 400 (Ab = ) 2 4 0 1 500
a⑵-1/2*⑴ ⑴*1/4 ⑵ ⑴
用非基变量表示基变量，其形式为： 用非基变量表示基变量，其形式为：
xi = bi −
j = m +1
∑a
n
ij
xj
i = 1,2,L m
(A)
令非基变量x 令非基变量 m+1=xm+2=…xn=0，得到基本可行解： … ，得到基本可行解： X=(x1,x2,…xm,0,0,…0)’=(b1,b2，…,bm,0,0…0)’
基本解间转换情况与例子
LP问题基本解的转换，可通过更换LP的基得以体 问题基本解的转换，可通过更换 的基得以体 问题基本解的转换 从一个基换到另一个基， 现，从一个基换到另一个基，可以一次更换一个或多 个基向量（对应更换基变量）， ），但一次更换一个基向 个基向量（对应更换基变量），但一次更换一个基向 基变量）的变换最为简单。其根本点在于在n-m 量（基变量）的变换最为简单。其根本点在于在 个非基变量中确定一个入基变量，再从原来的m个基 个非基变量中确定一个入基变量，再从原来的 个基 6
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2.3.2 最优ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的检验与解的判定
式代入目标函数中， 将(A)式代入目标函数中，消去目标函数中基变 式代入目标函数中 用非基变量表示目标函数得： 量，用非基变量表示目标函数得：
z= = = =
∑c x
i =1 m i i =1 m i
m
i
+ −
j = m +1 n
∑c
j = m +1
n
j
xj xj)+
1 1 / 2 1 / 4 0 100 0 3 − 1 / 2 1 300
令非基变量x2=x3=0得新的基本解 得新的基本解x=(100,0,0,300)’， 令非基变量 得新的基本解 ， 为基本可行解，对应目标函数值为10000比前一个基 为基本可行解，对应目标函数值为 比前一个基 本解的目标函数值有改进。 本解的目标函数值有改进。 但若选择P2入基 入基， 出基 出基， 但若选择 入基，P3出基，将会得到一个非可 行的基本解。 行的基本解。
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2.3.1 初始基本可行解的确定
1、对于全为≤约束的 问题，在引入松驰变量标准 、对于全为 约束的 问题， 约束的LP问题 化之后，显然，引入的松驰变量即为一组初始基变量， 化之后，显然，引入的松驰变量即为一组初始基变量， 并能能马上得到一初始的基本可行解， 并能能马上得到一初始的基本可行解，但实际工作中 这种情况不常见。 这种情况不常见。 2、对于无基变量的等式约束方程，可以人为引入一 、对于无基变量的等式约束方程， 个基变量x 从而找到变化后的LP问题的初始基本 个基变量 n+i，从而找到变化后的 问题的初始基本 可行解。但要在目标函数中引入一个惩罚性价格系数： 可行解。但要在目标函数中引入一个惩罚性价格系数： -Mxn+i 使之在进行基变量时尽快被换出并使之与原约 束等价。 束等价。 总之，我们认为可以找到LP问题的一个初始基本可 总之，我们认为可以找到 问题的一个初始基本可 行解。并将其约束方程组中初始基向量化为单位矩阵， 行解。并将其约束方程组中初始基向量化为单位矩阵， 并不妨设其恰好为前m个向量 个向量。 并不妨设其恰好为前 个向量。 问题的约束方程可化为如下形式： 即LP问题的约束方程可化为如下形式： 问题的约束方程可化为如下形式 10
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2.3 单纯形算法
单纯形算法的基本思路是: 根据问题的标准型, 单纯形算法的基本思路是 根据问题的标准型 行域中某个基可行解(顶点 顶点)（ 从可 行域中某个基可行解 顶点 （常称为初始基本 可行解）开始,转换到另一个基可行解 顶点),并使得 转换到另一个基可行解(顶点 可行解）开始 转换到另一个基可行解 顶点 并使得 每次的转换,目标函数值均有所改善 目标函数值均有所改善,最终达到最大值 每次的转换 目标函数值均有所改善 最终达到最大值 时就得到最优解。 时就得到最优解。
标准型： 标准型：
MaxZ = 100x1 + 80x2 = 400 4x1 + 2x2 + x3 + x4 = 500 2x1 + 4x2 x , x ,x ,x ≥0 1 2 3 4
4 2 1 0 A= 2 4 0 1
B=(p3,p4)为一基，基本解为 为一基， 为一基 x=(0,0,400,500)’，亦为基本可行解。 ，亦为基本可行解。
则
z = z0 +
j = m +1
∑σ . x
j
n
j
σ j ≤ 0, j = m + 1, m + 2,L n则
z = z0 +
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j = m +1
∑σ . x
j
n
j
≤ z0
故基本可行解是可行解中使目标函数达最大值z0 故基本可行解是可行解中使目标函数达最大值 的解，即为LP问题的最优解 问题的最优解。 的解，即为 问题的最优解。
(1)最优解的判别定理： 最优解的判别定理： 最优解的判别定理
1、若为对应于基B的一个基本可行解，其所有非基变 、若为对应于基 的一个基本可行解 的一个基本可行解， 量的检验系数 σ j ≤0，则该基本可行解为 问题的最优 ，则该基本可行解为LP问题的最优 解。 的计算公式及以后在单纯形表中的计算方法。 注意 σ j的计算公式及以后在单纯形表中的计算方法。 2、无穷多最优解的判别定理：若为对应于基B的一 、无穷多最优解的判别定理：若为对应于基 的一 个基本可行解， 个基本可行解，其所有非基变量的检验系数 σ j ≤0， ， 又存在某个非基变量的检验系数 σ j =0，则该 问题 ，则该LP问题 有无穷多最优解。 有无穷多最优解。
变量中确定一个为调出变量。对于新的基，可在原 变量中确定一个为调出变量。对于新的基， 有的求解基础上通过矩阵的初等变换求得变换后的 新基本解。 新基本解。 问题： 例：LP问题： 问题
Max Z = 100 x1 + 80 x2 4 x1 + 2 x2 ≤ 400 2 x1 + 4 x2 ≤ 500 x ,x ≥0 1 2
∑ c (b ∑cb
i =1 m i i
i
∑a
ij
j = m +1 n
∑c
n
j
xj )x j
+ +
j = m +1
∑
n
n
cjx j −
j = m +1
∑ (∑ c a
i =1 i
m
ij
∑cb
i =1 i
i
j = m +1
∑
( c j − ∑ c i a ij ) x j
i =1
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m
记 σ j = c j − ∑ ci aij
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因此，要想通过基变换，获得改进的基本可行解， 因此，要想通过基变换，获得改进的基本可行解， 入基变量的确定与出基变量的确定都应遵循一定的原 则，入基变量的确定应使变换后的基本可行解对应的 目标函数有所改进， 目标函数有所改进，而出基变量的确定应保证新的基 本解仍是可行的。这就是单纯形算的重要内容之一。 本解仍是可行的。这就是单纯形算的重要内容之一。 上述迭代算法应解决的基本问题： 上述迭代算法应解决的基本问题： （1）如何得到一个初始的基本可行解； ）如何得到一个初始的基本可行解； （2）如何判断当前基本可行解是否为是优解及 ）如何判断当前基本可行解是否为是优解及LP 问题无最优解； 问题无最优解； （3）若对（2）无肯定结论，如何寻找一个使目标 ）若对（ ）无肯定结论， 函数提到改进的新的基本可行解，即进行基变换， 函数提到改进的新的基本可行解，即进行基变换， 按什么原则确定调入与调出变量； 按什么原则确定调入与调出变量；