2017-2018学年高中数学人教B版必修4教学案：第二章 2.3 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式 Word版答案
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本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==高中数学必修四2.3教案一、教材分析1．教学内容：《高中数学必修4》中第二章“向量数乘运算及其几何意义”这一节，在新课标中主要内容有三方面：①向量数乘运算及其几何意义的含义；②数乘运算的运算律；③平面向量共线定理。
2．地位与作用：向量数乘运算是学习向量其他运算以及空间向量的基础，也是解决平面解几、立几、三角、复数的重要工具。
因此，本节课的教学活动将对后续课程起着桥梁作用。
教材通过复习引入新课，并通过三个探究活动，完成本节课的教学活动。
二、三维目标根据新课标要求并结合学生具体实际，设计以下三维目标：1．知识与技能⑴掌握向量数乘运算及其几何意义，数乘运算的运算律，并能熟练运用定义、运算律进行简单的计算。
⑵理解向量共线定理及其推导过程，会应用向量共线定理判断或证明两个向量共线、三点共线及两直线平行等简单问题。
2．过程与方法通过对两个向量共线充要条件的探究与推导，让学生对平面向量共线定理有更深刻的理解。
为了帮助学生消化和巩固相应的知识，本节课设置了三个例题及其变式引申；指导学生探究发现，并得出结论，培养学生自主探究能力和创新思维能力。
3．情感、态度与价值观通过向量数乘运算的学习和探究，有助于激发学生学习兴趣和积极性，还有助于培养类比、分析、归纳、抽象思维能力以及逻辑推理能力。
三、重点、难点与疑点1．重点：向量数乘运算的几何意义、运算律，向量共线定理；〖解决办法〗为了突出重点，让学生在创设问题链的驱动下合作探究，得出结论，发展学生的认知结构。
2．难点与疑点：向量共线定理的探究过程及其应用。
〖解决办法〗为了突破难点与疑点，按照学生的认知规律、由浅入深地变式讨论，达到全面理解。
四、学情分析与对策学生已明确向量是有大小和方向的量，且已学过向量的加、减法，对于这种有方向的量能否与实数进行乘法运算有些疑问，且“相乘后方向如何判断呢？”：这也就是本节课知识产生的背景。
2018高中人教b版数学必修四第2章平面向量向量的概念教
1．向量概念的形成1．1 让学生感受引入概念的必要性引子：生：去录播室怎么走？师：出了楼门走50米就到了．用意：向量概念不是凭空产生的．用这一简单、直观例子中的“位移不仅有大小，而且有方向”，让学生感受“既有大小又有方向的量”的客观存在，自然引出学习内容．问题1 你可否再举出一些既有方向，又有大小的量？用意：激活学生的已有相关经验．（学生能容易地举出重力、浮力、作使劲等物理中学过的量．）追问：生活中有无只有大小，没有方向的量？请你举例．用意：形成区别不同量的必要性．（学生所举的例子有年龄、身高、面积等．）概念抽象需要典型丰硕的实例．让学生举例能够观察到他们对概念属性的领悟，形成对概念的初步熟悉，为进一步抽象归纳做预备．T：由同窗们的举例可见，现实中有的量只有大小没有方向，有的量既有大小又有方向．类似于从一支笔、一本书、一棵树……中抽象出只有大小的数量1，数学中对位移、力……这些既有大小又有方向的量进行抽象，就形成一种新的量——向量（板书概念）．演练回馈一【概念辨析】一、身高是一个向量（）二、温度含零上和零下温度，所以温度是向量（）3、坐标平面上的x轴和y轴都是向量（）4、有人说，由于海平面以上的高度（海拔）用正数表示，海平面以下的高度用负数表示，所以海拔也是向量，你以为对吗？1．2 向量的几何表示问题 2 数学中，概念概念后，通常要用符号表示它．如何把你所举例子中的向量表示出来呢？用意：让学生先尝试向量的表示方式，自觉同意用带有箭头的线段（有向线段）来表示向量．T：看来大家都以为用带箭头的线段表示向量比较好．在初中，常常利用AB，CD，a，b，c等表示线段．此刻，咱们加上箭头，用，，，，等表示向量．以前AB与BA表示同一线段，此刻和表示同一贯量吗？为何？S：不．向量和起点、终点正好相反．T：对，方向是向量的本质属性之一．向量的另一本质属性是大小，咱们用||表示，称为向量的模．一样，用||来表示向量的模．因为向量有大小和方向两个要素，只用代数形式或几何形式是无法肯定的，必需二者结合．试探：既然向量能够用有向线段表示，那么向量是不是就是有向线段？1．3 零向量与单位向量T：此刻，咱们已经成立了一个向量的集合．就象每一个人都出名字一样，那个集合中的每一个向量都有了名称．那么问题3 你以为在所有向量组成的集合中，哪些向量较特殊？用意：引导学生学会观察一组对象．面对一组对象，第一注意特殊对象是自然的．（学生普遍以为零向量、单位向量是特殊的．）T：大家为何以为它们最特殊？你们是怎么想的？用意：挖掘结果背后的思维进程．企图引导学生把向量集合与实数集类比．（课堂中，学生从长度那个角度进行了解释，以为零向量的长度是0，单位向量的长度是1，最为特殊．这表明他们已经在把向量集与实数集作类比．从实数集的认知经验动身，自然会想到零向量、单位向量的特殊性．）T：是的．类比实数的学习经验有利于向量的学习．在实数中，0是数的正负分界点，有0就可概念相反数；1是“单位”，作用专门大．对实数的研究经验告知咱们，“引进一个新的数就要研究它的运算；引进一种运算就要研究运算律”．能够预见，引进向量就要研究向量的运算，进而就要研究相应的运算律或运算法则．所以，对于向量，还有许多内容等待咱们去研究．2．相等向量、平行向量、共线向量、相反向量概念的形成问题例2观察图1中的正六边形ABCDEF．给图中的一些线段加上箭头表示向量，并说说你所标注的向量之间的关系．（举例）用意：不是先给出相等向量、平行向量、共线向量、相反向量的概念，再做练习巩固，而是让学生参与概念的概念进程，使概念成为学生观察、归纳、归纳以后的自然产物．留给学生足够的时刻，并提出问题5，组织学生交流．问题5 你是如何研究的？比如，你画了哪几个向量？你以为它们有如何的关系？用意：不仅关注结果，更要关注进程．尤其要挖掘学生用向量概念思维的进程．（课堂中，有的学生第一关注大小；有的学生第一画出向量与，以为它们长度相等且方向相同，是相等的向量；也有学生第一画出向量与，以为它们是共线的向量；等．教师适时介入，解释数学中的向量是自由向量，能够平移，因此，与也称为共线向量．“平行向量”的产生比较顺利，但“相反向量”的产生有困难，其间还类比了“相反数”．）归纳取得：（1）从“方向”角度看，有方向相同或相反，就是平行向量，记为∥；（2）从“长度”角度看，有模相等的向量，||=||；（3）既关注方向，又关注长度，有相等向量=，相反向量=－．T：咱们规定：零向量与任意向量都平行，即∥．问题 6 由相等向量的概念明白，向量完全由它的方向和模肯定．由此，你能说说数学中的向量与物理中的矢量的异同吗？另外，向量的平行、共线与线段的平行、共线有什么联系与区别？用意：让学生注意把向量概念与物理背景、几何背景明确区分，真正抓住向量的本质特征，完成“数学化”的进程．3．阅读讲义请同窗们把讲义看一遍，看看咱们的讨论进程与讲义讲的是不是一致，有什么遗漏？有什么不同？用意：通过阅读，对本课的内容再一次进行归整、明晰．引导学生重视讲义．4．课堂练习5．课堂小结问题7（引导学生自己小结）可否画个图，把今天学的内容梳理一下？（有的学生提出能够把本课的内容分为三个部份，与图2所呈现的内容大体一致，只是把“特殊关系”说成了“向量的性质”，这也是正确的．教师肯定了她的结论，展示了图2．）T：今天咱们学习向量的概念及其表示方式，并初步研究了向量那个集合，发觉了其中的两个特殊向量，和向量之间的一些特殊关系．同窗们要认真体会其中的大体思路，即：从同类具体事例中抽象出一路本质特征——下概念——符号表示——熟悉特殊对象——考察某些特殊关系．这里特别要注意，因为向量带有方向，所以只用代数的形式已无法表示，必需结合几何的形式．因此，向量具有代数形式和几何形式的“双重身份”．随着学习的深切，咱们会看到这种身份给向量带来的力量．另外，咱们用类比数集的方式初步熟悉了向量的集合．咱们明白，数与运算分不开，数的概念的进展也与运算不可分割．例如，为了解方程x2=2，咱们需要有无理数概念，于是要有“开方”运算．引进一种新的数，就要研究关于它的运算；引进一种运算，就要研究相应的运算律．今天咱们引进了一个新的量——向量，下面咱们该研究它的哪些问题？如何研究？请同窗们课后认真考虑，下节课来交流．（说罢，教师在“特殊关系”的右边增加了省略号“……”．）6．布置作业（略）。
2017-2018学年北师大版高中数学必修4全册学案
2017-2018学年高中数学北师大版必修4全册同步学案目录第一章 1 周期现象-§2 角的概念的推广第一章 3 弧度制第一章 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义-4.2 单位圆与周期性第一章 4.1 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质第一章 4.4 单位圆的对称性与诱导公式（一）第一章 4.4 单位圆的对称性与诱导公式（二）第一章 5.1 正弦函数的图像第一章 5.2 正弦函数的性质第一章 6 余弦函数的图像与性质第一章7 正切函数第一章8 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质（一）第一章8 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质（二）第一章9 三角函数的简单应用第一章章末复习课第二章 1 从位移、速度、力到向量第二章 2.1 向量的加法第二章 2.2 向量的减法第二章 3.1 数乘向量第二章 3.2 平面向量基本定理第二章 4.1 平面向量的坐标表示-4.2 平面向量线性运算的坐标表示第二章 4.3 向量平行的坐标表示第二章 5 从力做的功到向量的数量积（一）第二章 5 从力做的功到向量的数量积（二）第二章 6 平面向量数量积的坐标表示第二章向量应用举例第二章章末复习课第三章 1 同角三角函数的基本关系第三章 2.1 两角差的余弦函数第三章 2.2 两角和与差的正弦、余弦函数第三章 2.3 两角和与差的正切函数第三章 3 二倍角的三角函数（一）第三章 3 二倍角的三角函数（二）第三章疑难规律方法第三章章末复习课学习目标 1.了解现实生活中的周期现象.2.了解任意角的概念，理解象限角的概念.3.掌握终边相同的角的含义及其表示．知识点一周期现象思考“钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周．”这样的现象，具有怎样的属性？梳理(1)以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象．(2)要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间这种现象是否会________出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象．知识点二角的相关概念思考1将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？思考2如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？梳理(1)角的概念：角可以看成平面内____________绕着________从一个位置________到另一个位置所形成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：知识点三象限角思考把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？梳理在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．象限角：________在第几象限就是第几象限角；轴线角：________落在坐标轴上的角．知识点四终边相同的角思考1假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？思考2如何表示与60°终边相同的角？梳理终边相同角的表示一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与________的整数倍的和．类型一周期现象的应用例1水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？反思与感悟(1)应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”、“化无限为有限”的目的．(2)只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”就可以把问题转化到一个周期内来解决．跟踪训练1利用例1中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？类型二 象限角的判定例2 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角． (1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.反思与感悟 判断象限角的步骤 (1)当0°≤α<360°时，直接写出结果．(2)当α<0°或α≥360°时，将α化为k ·360°＋β(k ∈Z ，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限．跟踪训练2 (1)判断下列角所在的象限，并指出其在0°～360°范围内终边相同的角． ①549°；②－60°；③－503°36′.(2)若α是第二象限角，试确定2α、α2是第几象限角．类型三 终边相同的角命题角度1 求与已知角终边相同的角例3 在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角．反思与感悟 求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k 的值．跟踪训练3 写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合 例4 写出终边在直线y ＝－3x 上的角的集合．反思与感悟求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并．跟踪训练4写出终边在直线y＝33x上的角的集合．1．下列是周期现象的为()①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次；③某超市每天的营业额；④某地每年6月份的平均降雨量．A．①②④B．②④C．①②D．①②③2．与－457°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}3．2 017°是第________象限角．4．一个质点，在平衡位置O点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则质点第三次通过M点，还要经过的时间是________s.5．已知，如图所示．(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．1．判断是否为周期现象，关键是看在相同的间隔内，图像是否重复出现．2．由于角的概念推广了，那么终边相同的角有无数个，这无数个终边相同的角构成一个集合．与α角终边相同的角可表示为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，要领会好k∈Z的含义．3．熟记终边在坐标轴上的各角的度数，才能正确快速地用不等式表示各象限角，注意不等式表示的角的终边随整数k的改变而改变时，要对k分类讨论．答案精析问题导学知识点一思考周而复始，重复出现．梳理(2)重复知识点二思考1有顺时针和逆时针两种旋转方向．思考2不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．梳理(1)一条射线端点旋转(2)逆时针方向旋转顺时针方向旋转没有作任何旋转知识点三思考终边可能落在坐标轴上或四个象限内．梳理终边终边知识点四思考1它们的终边相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相隔了2个周角的和及1个周角．思考260°＋k·360°(k∈Z)．梳理周角题型探究例1解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．跟踪训练1解设x分钟后盛水y升，由例1知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160(升)，所以y＝x5·160＝32x，为使水车盛800升的水，则有32x≥800，所以x≥25，即水车盛800升的水至少需要25分钟．例2解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．跟踪训练2 解 (1)①∵549°＝189°＋360°，∴549°角为第三象限的角，与189°角终边相同． ②∵－60°＝300°－360°，∴－60°角为第四象限的角，与300°角终边相同． ③∵－503°36′＝216°24′－2×360°，∴－503°36′角为第三象限的角，与216°24′角终边相同． (2)由题意得90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，① 所以180°＋2k ·360°<2α<360°＋2k ·360°(k ∈Z )．故2α是第三或第四象限角或终边落在y 轴非正半轴上的角． 由①得45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )，当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z )，得45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°(n ∈Z )，故α2是第一象限角．当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z )，得45°＋180°＋n ·360°<α2<90°＋180°＋n ·360°(n ∈Z )，即225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°(n ∈Z )，故α2为第三象限角． 综上可知，α2为第一或第三象限角．例3 解 与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k ·360°＋10 030°(k ∈Z )．(1)由－360°＜k ·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k ·360°＜－10 030°，解得k ＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°. (2)由0°＜k ·360°＋10 030°＜360°， 得－10 030°＜k ·360°＜－9 670°， 解得k ＝－27，故所求的最小正角为β＝310°. (3)由360°≤k ·360°＋10 030°＜720°， 得－9 670°≤k ·360°＜－9 310°， 解得k ＝－26，故所求的角为β＝670°.跟踪训练3 解 由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k ·360°－1 910°，k ∈Z }． ∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k ·360°－1 910°＜360°(k ∈Z )，∴31136≤k＜61136(k∈Z)，故取k＝4,5,6.当k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；当k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；当k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.例4解终边在y＝－3x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；终边在y＝－3x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}．因此，终边在直线y＝－3x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}，即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．故终边在直线y＝－3x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．跟踪训练4解终边在y＝33x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}；终边在y＝33x(x<0)上的角的集合是S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}．因此，终边在直线y＝33x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．故终边在直线y＝33x上的角的集合是S＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．当堂训练1．C 2.C 3.三 4.1.45．解(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．知识点一角度制与弧度制思考1在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？思考2在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？思考3“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？梳理(1)角度制和弧度制(2)角的弧度数的计算设r是圆的半径，l是圆心角α所对的弧长，则角α的弧度数的绝对值满足|α|＝lr.知识点二角度制与弧度制的换算思考角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？梳理(1)角度与弧度的互化(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系知识点三 扇形的弧长及面积公式思考 扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？ 梳理类型一 角度与弧度的互化 例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以180°π即可． 跟踪训练1 (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π12化成度．类型二 用弧度制表示终边相同的角例2 已知角α＝2 010°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．反思与感悟 用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．跟踪训练2 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α≤2π； (2)在[0°，720°]内找出与2π5角终边相同的角．类型三 扇形的弧长及面积公式的应用例3 (1)若扇形的中心角为120°，半径为3，则此扇形的面积为( ) A ．π B.5π4 C.3π3 D.23π9(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为( ) A ．2 B.2sin 1 C ．2sin 1 D.4sin 1反思与感悟 联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S ＝12lr ＝12|α|r 2，二是l ＝|α|r ，如果已知其中两个，就可以求出另一个．求解时应注意先把度化为弧度，再计算． 跟踪训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．1．下列说法中，错误的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 2．时针经过一小时，转过了( )A.π6 rad B ．－π6 radC.π12rad D ．－π12rad3．若θ＝－5，则角θ的终边在( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限D ．第一象限4．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4D ．2或45．已知⊙O 的一条弧AE 的长等于该圆内接正三角形的边长，则从OA 顺时针旋转到OE 所形成的角α的弧度数是________．1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式． 易知：度数×π180 rad ＝弧度数，弧度数×180°π＝度数．3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度．答案精析问题导学 知识点一思考1 周角的1360等于1度．思考2 在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．思考3 在半径为1的圆中，1弧度的角为长度为1的弧所对的圆心角，又当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，故1弧度角的大小与所在圆的半径大小无关． 梳理 (1)度 弧度 弧度 知识点二思考 利用1°＝π180 rad 和1 rad ＝180°π进行弧度与角度的换算．梳理 (1)2π 360° π 180° 0.017 45 57．30° (2)45° 90° 135° 270° 0 π6 π3 2π35π6 知识点三思考 设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则S ＝12lr ，l ＝αr .题型探究例1 解 (1)20°＝20π180＝π9. (2)－15°＝－15π180＝－π12.(3)7π12＝712×180°＝105°. (4)－11π5＝－115×180°＝－396°.跟踪训练1 解 (1)112°30′＝⎝⎛⎭⎫2252°＝2252×π180＝5π8. (2)－5π12＝－⎝⎛⎭⎫5π12×180π°＝－75°. 例2 解 (1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6，又π<7π6<3π2，∴α与7π6终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角可以写成γ＝7π6＋2k π(k ∈Z )，又－5π≤γ＜0，∴当k ＝－3时，γ＝－29π6；当k ＝－2时，γ＝－17π6；当k ＝－1时，γ＝－5π6.跟踪训练2 解 (1)∵－1 480°＝－1 480×π180＝－74π9，而－74π9＝－10π＋16π9，且0≤α≤2π，∴α＝16π9.∴－1 480°＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵2π5＝2π5×(180π)°＝72°，∴终边与2π5角相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )，当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°. ∴在[0°，720°]内与2π5角终边相同的角为72°，432°.例3 (1)A (2)D跟踪训练3 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4，∴l ＝4－2R ， 根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad. 当堂训练1．D 2.B 3.D 4.C 5.－34．1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2单位圆与周期性学习目标 1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义及其应用.2.掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系.3.理解周期函数的定义．知识点一任意角的正弦函数和余弦函数使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PM⊥x 轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.思考1角α的正弦、余弦分别等于什么？思考2对确定的锐角α，sin α，cos α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？思考3若取|OP|＝1时，sin α，cos α的值怎样表示？梳理(1)对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，那么点P的____________定义为角α的正弦函数，记作________；点P的____________定义为角α的余弦函数，记作________．(2)对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数．知识点二正弦、余弦函数的定义域思考对于任意角α，sin α，cos α都有意义吗？梳理正弦函数、余弦函数的定义域知识点三正弦、余弦函数值在各象限的符号思考根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦函数的值在各象限的符号吗？梳理正弦、余弦函数在各象限的符号知识点四周期函数思考由sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)可知函数值随着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗？梳理一般地，对于函数f(x)，如果存在____________，对定义域内的____________x值，都有____________，我们就把f(x)称为周期函数，____称为这个函数的周期．特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2kπ(k∈Z，k≠0)为正弦函数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中________的一个，称为____________，简称为周期．类型一 正弦函数、余弦函数定义的应用命题角度1 已知角α终边上一点坐标求三角函数值 例1 已知θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ的值．反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．②在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝y r ，cos α＝xr .当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．跟踪训练1 已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值．命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值例2 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．反思与感悟 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a ，b )，则对应角的三角函数值分别为sin α＝b a 2＋b 2，cos α＝aa 2＋b 2. 跟踪训练2 已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α的值．类型二 正弦、余弦函数值符号的判断例3 (1)若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)判断下列各式的符号．①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4.反思与感悟准确确定正弦函数、余弦函数值中角所在象限是基础，准确记忆正弦函数、余弦函数值在各象限的符号是解决这类问题的关键．跟踪训练3若三角形的两内角A，B，满足sin A cos B＜0，则此三角形必为()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上三种情况都有可能类型三周期性例4(1)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝－f(x)，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数；(2)已知函数f(x)在其定义域上都满足f(x＋2)＝－1f(x)，求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数．反思与感悟(1)证明函数是周期函数，只需根据定义：存在非零常数T，对任意定义域内实数x，都有f(x＋T)＝f(x)．(2)一般地，如果f(x＋a)＝－f(x)，那么f(x)的周期为2a(a≠0)；如果f(x＋a)＝1f(x)，那么f(x)的周期也为2a(a≠0)．跟踪训练4若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(x－a)＋f(x＋a)(a<0)，f(2a)＝1，求f(14a)的值．1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于()A.45B.35 C ．－35D ．－452．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A ．1B ．0C ．2D ．－23．设f (x )是以1为一个周期的函数，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1，则f (72)的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－34．点P (sin 2 016°，cos 2 016°)位于第________象限． 5．已知角α的终边在直线y ＝2x 上，求sin α＋cos α的值．1．三角函数的定义是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点． 2．三角函数值的符号主要涉及开方、去绝对值等计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上的角的三角函数值情况，因角的终边经过的点决定了三角函数值的符号，所以当点的位置不确定时注意进行讨论，体现了分类讨论的思想．3．正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的三角函数值相等，作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．答案精析问题导学 知识点一思考1 sin α＝y r ，cos α＝xr .思考2 不会．思考3 sin α＝y ，cos α＝x .梳理 (1)纵坐标v v ＝sin α 横坐标u u ＝cos α 知识点二思考 由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义． 知识点三思考 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (u ，v )，则sin α＝v ，cos α＝u .当α为第一象限角时，v >0，u >0，故sin α>0，cos α>0，同理可得α在其他象限时三角函数值的符号． 知识点四思考 2π，4π，6π，－2π，…等都是函数的周期．梳理 非零实数T 任意一个 f (x ＋T )＝f (x ) T 最小 最小正周期 题型探究例1 解 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9， 由三角函数定义得cos θ＝xr＝xx 2＋9. 又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)， 此时sin θ＝312＋32＝31010.当x ＝－1时，P (－1,3)， 此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010. 跟踪训练1 解 r ＝(－3a )2＋(4a )2＝5|a |. ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35，∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.例2 解 由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)，则 x ＝k ，y ＝－3k ， r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |.(1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角， sin α＝y r ＝－3k 10k ＝－31010，1cos α＝r x ＝10k k ＝10， ∴10sin α＋3cos α＝10×⎝⎛⎭⎫－31010＋310＝－310＋310＝0.(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角， sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，1cos α＝r x ＝－10k k ＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0.综上所述，10sin α＋3cos α＝0.跟踪训练2 解 因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点，则r ＝a 2＋(3a )2＝2|a |(a ≠0)． 若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ， 所以sin α＝3a 2a ＝32， cos α＝a 2a ＝12.若a <0，则α为第三象限角，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12.例3 (1)D(2)解 ①∵145°是第二象限角， ∴sin 145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0， ∴sin 145°cos(－210°)＜0.②∵π2＜3＜π，π＜4＜3π2，3π2＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0， ∴sin 3·cos 4<0. 跟踪训练3 B例4 证明 (1)∵f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2) ＝－[－f (x )]＝f (x )，∴由周期函数定义知，函数f (x )是以4为周期的周期函数． (2)∵f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )，∴由周期函数定义知，函数f (x )是以4为周期的周期函数． 跟踪训练4 解 由f (x )＝f (x －a )＋f (x ＋a )，① 得f (x ＋a )＝f (x )＋f (x ＋2a )．② ①＋②，得f (x －a )＋f (x ＋2a )＝0， 即f (x －a )＝－f (x ＋2a )， ∴f (x )＝－f (x ＋3a )， 即f (x ＋3a )＝－f (x )，∴f (x ＋6a )＝－f (x ＋3a )＝f (x )． ∴T ＝6a 为函数y ＝f (x )的一个周期， ∴f (14a )＝f (6a ×2＋2a )＝f (2a )＝1. 当堂训练1．D 2.C 3.B 4.三5．解 在直线y ＝2x 上任取一点P (x,2x )(x ≠0)， 则r ＝x 2＋(2x )2＝5|x |. ①若x >0，则r ＝5x ， 从而sin α＝2x 5x＝255，cos α＝x 5x ＝55， ∴cos α＋sin α＝355.②若x <0，则r ＝－5x ， 从而sin α＝2x－5x＝－255，cos α＝x －5x ＝－55，∴cos α＋sin α＝－355.4．3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质学习目标 1.会利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质.2.能利用正弦、余弦函数的基本性质解决相关的问题．知识点 正弦、余弦函数的性质思考1 正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少？思考2 能否认为正弦函数在单位圆的右半圆是单调增加的？梳理正弦、余弦函数的性质类型一 正弦余数、余弦函数的定义域 例1 求下列函数的定义域． (1)y ＝2sin x －3； (2)y ＝lg(sin x －22)＋1－2cos x .反思与感悟 (1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．跟踪训练1 函数y ＝2sin x ＋1的定义域为_________________________________________． 类型二 正、余弦函数的值域与最值例2 (1)求函数y ＝cos x (－π3≤x ≤5π6)的值域．(2)已知函数y ＝a sin x ＋1的最大值为3，求它的最小值．反思与感悟 (1)求正、余弦函数的值域或最值时应注意定义域，解题时可借助图像结合正、余弦函数的单调性进行分析．(2)对于含有参数的值域或最值，应注意对参数讨论．跟踪训练2 函数y ＝2＋cos x ，x ∈(－π3，2π3]的值域为________．类型三 正、余弦函数的单调性例3 函数y ＝cos x 的一个递增区间为( ) A ．(－π2，π2)B ．(0，π)C ．(π2，3π2)D ．(π，2π)反思与感悟 利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间，特别注意不连贯的单调区间不能并．跟踪训练3 求下列函数的单调区间．(1)y ＝sin x ，x ∈[－π，π]；(2)y ＝cos x ，x ∈[－π，π]．1．函数y ＝sin x ，x ∈[－π4，π4]的最大值和最小值分别是( )A ．1，－1B ．1，22 C.22，－22D ．1，－222．不等式2sin x －1≥0的解集为____________________________________________． 3．函数y ＝2cos x －1的定义域为_____________________________________________． 4．求y ＝－2sin x ，x ∈[－π6，π]的值域．利用单位圆来研究正弦、余弦函数的基本性质，能够加深对正弦、余弦函数性质的理解与认识，同时也有助于提升学生利用数形结合思想解决问题的意识．答案精析问题导学 知识点思考1 设任意角x 的终边与单位圆交于点P (cos x ，sin x )，当自变量x 变化时，点P 的横坐标是cos x ，|cos x |≤1，纵坐标是sin x ，|sin x |≤1，所以正弦函数、余弦函数的最大值为1，最小值为－1.思考2 不能，右半圆可以表示无数个区间，只能说正弦函数在每一个区间[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )上是增加的． 梳理 2π [－π2＋2k π，π2＋2k π]题型探究例1 解 (1)自变量x 应满足2sin x －3≥0，即sin x ≥32. 图中阴影部分就是满足条件的角x 的范围，即{x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．(2)由题意知，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x >22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示， ∴{x |2k π＋π3≤x <2k π＋3π4，k ∈Z }．跟踪训练1 [－π6＋2k π，7π6＋2k π]，k ∈Z例2 解 (1)∵y ＝cos x 在区间[－π3，0]上是增加的，在区间[0，5π6]上是减少的，∴当x ＝0时，y max ＝1，当x ＝5π6时，y min ＝cos 5π6＝－32，∴y ＝cos x (－π3≤x ≤5π6)的值域是[－32，1]．(2)当a >0时，y max ＝a ×1＋1＝3，得a ＝2， ∴当sin x ＝－1时，y min ＝2×(－1)＋1＝－1； 当a <0时，y max ＝a ×(－1)＋1＝3，得a ＝－2， ∴当sin x ＝1时，y min ＝－2×1＋1＝－1. ∴它的最小值为－1. 跟踪训练2 [32，3]例3 D跟踪训练3 解 (1)y ＝sin x 在x ∈[－π，π]上的递增区间为[－π2，π2]，递减区间为[－π，－π2]，[π2，π]． (2)y ＝cos x 在x ∈[－π，π]上的递增区间为[－π，0]，递减区间为[0，π]． 当堂训练1．C 2.{x |π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z }3.⎣⎡⎦⎤－π3＋2k π，π3＋2k π ，k ∈Z 4．解 由x ∈[－π6，π]，得sin x ∈[－12，1]，∴y ＝[－2,1]，∴y ＝－2sin x ，x ∈[－π6，π]的值域为[－2,1]．4.4 单位圆的对称性与诱导公式(一)学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．知识点2kπ±α，－α，π±α的诱导公式思考1设α为任意角，则2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？思考22kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α终边和单位圆的交点与α的终边和单位圆的交点有怎样的对称关系？试据此分析角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系．梳理对任意角α，有下列关系式成立：sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α(1.8)sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α(1.9)sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α(1.10)sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α(1.11)sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α(1.12)公式1.8～1.12叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式．这五组诱导公式的记忆口诀是“____________________________”．其含义是诱导公式两边的函数名称________，符号则是将α看成________时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号．类型一给角求值问题例1求下列各三角函数式的值．(1)cos 210°；(2)sin 11π4；(3)sin(－43π6)；(4)cos(－1 920°)．反思与感悟利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”：用公式一或三来转化．(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．(3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．跟踪训练1求下列各三角函数式的值．(1)sin 1 320°； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6.类型二 给值(式)求值问题例2 (1)已知sin(π＋α)＝－0.3，则sin(2π－α)＝________. (2)已知cos(π6－α)＝22，则cos(5π6＋α)＝________.反思与感悟 解决此类问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系，从而灵活选择诱导公式求解，一般可从两角的和、差的关系入手分析，解题时注意整体思想的运用． 跟踪训练2 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＝________. 类型三 利用诱导公式化简 例3 化简下列各式． (1)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)；(2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.引申探究若本例(1)改为：sin (n π－α)cos (n π－α)cos[α－(n ＋1)π]·sin[(n ＋1)π－α](n ∈Z )，请化简．反思与感悟 利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值．跟踪训练3 化简：cos (π＋α)·sin (2π＋α)sin (－α－π)·cos (－π－α).1．sin 585°的值为( ) A ．－22 B.22 C ．－32 D.322．cos(－16π3)＋sin(－16π3)的值为( )。
高中数学人教B版必修4教学案第二章 2.3 2.3.1
．向量数量积的物理背景与定义向量数量积的运算律预习课本～，思考并完成以下问题()两向量的夹角是如何定义？()向量在轴上的正射影定义是什么？()怎样定义向量的数量积？向量的数量积与向量数乘相同吗？()向量数量积的性质有哪些？()向量数量积的运算律有哪些？．向量的夹角与正射影()向量的夹角.范围是°≤θ≤°.()向量在轴上的正射影．已知向量和轴，如图．①正射影的概念：作＝，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，则向量叫做向量在轴上的正射影(简称射影)．②正射影的数量：该射影在轴上的坐标，称作在轴上的数量或在轴的方向上的数量．＝在轴上正射影的坐标记作，向量的方向与轴的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有＝θ.[点睛]向量在轴上的射影是一个向量，其在轴上的坐标为数量，其数值可正、可负、可为零；当θ为锐角时，该数量为正值；当θ为钝角时，该数量为负值；当θ为直角时，该数量为；当θ＝°时，该数量为；当θ＝°时，该数量为－.．平面向量数量积(内积)的定义及性质()定义：〈，〉叫做向量和的数量积(或内积)，记作·.[点睛]()两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定．()两个向量的数量积记作·，千万不能写成×的形式．()性质．①若是单位向量，则·＝·＝〈，〉．②若⊥，则·＝；反之，若·＝，则⊥，通常记作⊥⇔·＝.(，均不为零向量)③·＝，即＝.④〈，〉＝(≠)．⑤对任意两个向量，有·≤·，当且仅当∥时等号成立．[点睛]对于性质②，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个向量垂直，只需判定它们的数量积为；若两个非零向量的数量积为，则它们互相垂直．．向量数量积的运算律()·＝·(交换律)．()λ(·)＝(λ)·＝·(λ)(结合律)．()(＋)·＝·＋·(分配律)．[点睛]()向量的数量积不满足消去律：若，，均为非零向量，且·＝·，但得不到＝.()(·)·≠·(·)，因为·，·是数量积，是实数，不是向量，所以(·)·与向量共线，·(·)与向量共线，因此，(·)·＝·(·)在一般情况下不成立．．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)()两个向量的数量积仍然是向量．( )。
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人教B版数学必修4 第一章基本初等函数（Ⅱ）教学设计一、教材分析1、本单元教学内容的范围1.1 任意角的概念与弧度制1.1.1 角的概念的推广1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1.2 任意角的三角函数1.2.1 三角函数的定义1.2.2 单位圆与三角函数线1.2.3 同角三角函数的基本关系式1.2.4 诱导公式1.3 三角函数的图象与性质1.3.1 正弦函数的图象与性质1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3 已知三角函数值求角本章知识结构如下：2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用（1）三角函数是一类十分重要的初等函数，它与本模块第三章“三角恒等变换”构成了高中“三角”知识的主体，是中学数学的重要内容之一，也是学习后继内容和高等数学的基础。
（2）三角函数是数学中重要的数学模型之一，是研究度量几何的基础，又是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具。
（3）三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其它学科如天文学、物理学等联系非常紧密。
因此三角函数的学习可以培养学生的数学应用能力。
（4）三角函数的基础知识，主要是平面几何中的相似形和圆。
研究三角函数的方法，主要是在必修1中建立的研究初等函数的方法。
因此，通过对三角函数的学习，可以初步地把“数”与“形”联系起来。
（5）通过对三角函数的学习，不仅能使学生获得新的知识和技能，而且可以培养学生的辨证唯物主义观点，提高分析问题和解决问题的能力。
3、本单元教学内容总体教学目标 （1）任意角的概念、弧度制了解任意角的概念．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． （2）任意角的三角函数理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解任意角的余切、正割、余割的定义；并会利用单位圆中的有向线段表示正弦、余弦和正切，并理解其原理。
理解同角三角函数的基本关系式： 22sin cos 1x x +=，sin tan cos xx x=；借助单位圆的直观性探索正弦、余弦、正切的诱导公式，能进行同角三角函数之间的变换，会求任意角的三角函数值，并记住某些特殊角的三角函数值。
高中数学人教版必修4全套教案
a教学目标:1.了解相反向量地概念；2.掌握向量地减法,会作两个向量地减向量,并理解其几何意义；3.通过阐述向量地减法运算可以转化成向量地加法运算,使学生理解事物间可以相互转化地辩证思想.教学重点:向量减法地概念和向量减法地作图法.教学难点:减法运算时方向地确定.教学思路:一、复习:向量加法地法则:三角形法则与平行四边形法则,向量加法地运算定律例:在四边形中,=++AD BA CB .解:CD AD CA AD BA CB =+=++二、提出课题:向量地减法1．用"相反向量"定义向量地减法（1）"相反向量"地定义:与a 长度相同、方向相反地向量. 记作 -a （2）规定:零向量地相反向量仍是零向量.-(-a) = a. 任一向量与它地相反向量地和是零向量.a + (-a) = 0 如果a 、b 互为相反向量,则a = -b,b = -a,a + b = 0 （3）向量减法地定义:向量a 加上地b 相反向量,叫做a 与b 地差. 即:a - b = a + (-b) 求两个向量差地运算叫做向量地减法.2．用加法地逆运算定义向量地减法: 向量地减法是向量加法地逆运算: 若b + x = a,则x 叫做a 与b 地差,记作a - b 3．求作差向量:已知向量a 、b,求作向量a - b ∵(a -b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a作法:在平面内取一点O,作OA = a, AB = b 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 地终点指向向量a 地终点地向量. 注意:1︒AB 表示a - b. 强调:差向量"箭头"指向被减数 2︒用"相反向量"定义法作差向量,a - b = a + (-b)4．探究:１）如果从向量a 地终点指向向量b 地终点作向量,那么所得向量是 b - a .２）若a ∥b, 如何作出a - b ？三、例题:例一、（P86 例三）已知向量a 、b 、c 、d,求作向量a -b 、c -d.解:在平面上取一点O,作OA = a, OB = b, OC = c, OD = d, 作BA , DC , 则BA = a -b, DC = c -d例二、平行四边形ABCD 中,=AB a,=AD b, 用a 、b 表示向量AC 、DB .解:由平行四边形法则得: AC = a + b, DB = AD AB - = a -b 变式一:当a, b 满足什么条件时,a+b 与a -b 垂直？（|a| = |b|）变式二:当a, b 满足什么条件时,|a+b| = |a -b|？（a, b 互相垂直）变式三:a+b 与a -b 可能是相等向量吗？（不可能,∵ 对角线方向不同）练习:在△ABC 中, BC =a, CA =b,则AB 等于( B )A.a+bB.-a+(-b)C.a-bD.b-a四:小结:向量减法地定义、作图法|五:作业:《优化设计》作业十九2.3.1-2.3.2平面向量基本定理、平面向量地正交分解和坐标表示教学目地:OAaB’b -bbBa + (-b )aba bOabBa -b A B D CbadcABCDOa -bAABBB’Oa -baa b bOAOB a -ba -bBA O-b..3OD c b a c b a C B A ABCD O 表示、、试用向量，、、的向量分别为、、的三个顶点到平行四边形已知一点如图，例叫做a 在x 轴上地坐标,y 叫做a 轴上地坐标,○2式叫做向量地坐标表示量地坐标也为),(y x . 特别地,0,1(=i ,)0,0(0=.2.3.3平面向量地坐标运算教学目地:（1）理解平面向量地坐标地概念；（2）掌握平面向量地坐标运算；（3）会根据向量地坐标,判断向量是否共线. 教学重点:平面向量地坐标运算教学难点:向量地坐标表示地理解及运算地准确性.教学过程:一、复习引入:1．平面向量基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内地两个不共线向量,那么对于这一平面内地任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2使a=λ11e +λ22e (1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量地一组基底；(2)基底不惟一,关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２地条件下进行分解；(4)基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2是被a,1e ,2e 唯一确定地数量二、讲解新课:1．平面向量地坐标运算思考1:已知:),(11y x a =,),(22y x b =,你能得出b a +、b a -、aλ地坐标吗？设基底为i 、j ,则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=即b a +),(2121y y x x ++=,同理可得b a -),(2121y y x x --=（1） 若),(11y x a =,),(22y x b =,则b a +),(2121y y x x ++=, b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差地坐标分别等于这两个向量相应坐标地和与差.（2）若),(y x a =和实数λ,则),(y x a λλλ=.实数与向量地积地坐标等于用这个实数乘原来向量地相应坐标.设基底为i 、j ,则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=,即),(y x a λλλ= 实数与向量地积地坐标等于用这个实数乘原来向量地相应坐标。
2017-2018学年高中数学北师大版必修四教学案：第二章
第1课时数乘向量[核心必知]1．数乘向量(1)定义：一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.它的长度和方向分别为：①长度：|λa|＝|λ||a|；②方向：当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0，方向任意．(2)几何意义：λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长(|λ|>1)或压缩(|λ|<1)为原来的|λ|倍．(3)运算律设a，b为向量，λ，μ为实数．①结合律：λ(μa)＝(λμ)a；②第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；③第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb．2．向量的线性运算向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算，通常叫作向量的线性运算(或线性组合)．3．向量共线定理[问题思考]1．数乘向量是数量还是向量？提示：数乘向量仍是一个向量，它既有大小又有方向，且与原向量共线． 2．当λ＝0时，λa ＝0，那么当λ≠0时，若a ＝0，也有λa ＝0，对吗？ 提示：正确．3．向量共线定量为什么规定a 是非零向量？提示：是为了保证λ的存在性与唯一性．若a ＝b ＝0时，实数λ仍然存在，但λ是任意实数，不唯一；若a ＝0，b ≠0时，则不存在实数λ，使b ＝λa .讲一讲1．已知a 、b 为两非零向量，试判断下列说法的正误，并说明理由． (1)2a 与a 的方向相同，且2a 的模是a 的模的两倍； (2)－2a 与5a 的方向相反，且－2a 的模是5a 的模的25倍；(3)－12a 与12a 是一对相反向量；(4)a －b 与－(b －a )是一对相反向量．[尝试解答] (1)正确，∵2>0，∴2a 与a 的方向相同，且|2a |＝2|a |； (2)正确，∵－2<0，5>0，∴－2a 与5a 的方向相反， 又|－2a ||5a |＝2|a |5|a |＝25，∴|－2a |＝25×|5a |； (3)正确，因为|－12a |＝12|a |＝|12a |，且－12a 与a 反向，12a 与a 同向；(4)错误，∵－(b －a )＝－b ＋a ＝a －b ，∴a －b 与－(b －a )是相等向量，而不是相反向量．理解数乘向量要抓住两点：一是大小，二是方向．设λ，μ∈R ，a ≠0若λμ<0，则λa 与μa 的方向相反，若λμ>0，则λa 与μa 的方向相同；若λμ＝0，则λa ，μa 至少有一个为0；当λμ≠0时，|λa ||μa |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λμ.练一练1．如图，已知向量a ，b ，c ，求作向量3a －2b ＋12c .解：法一：在平面内任取一点A ，作AB ＝3a ，BC ＝－2b ，CD ＝12c ，连接AD ，则AD ＝3a －2b ＋12c 即为所求．(如图所示)法二：在平面内任取一点A ，作AB ＝3a ，AC ＝2b ，连接BC ，则CB ＝AB －AC ＝3a －2b ，再作BD ＝12c ，连接CD ，则CD ＝3a －2b ＋12c 即为所求(如图所示)．法三：在平面内任取一点A ，作AB ＝3a ，AC ＝－2b ，以AB ，AC 为邻边作▱ABDC ，连接AD ，则AD ＝3a －2b ，再作＝12c ，连接AE (如图)．则AE ＝3a －2b ＋12c 即为所求．讲一讲2．(1)13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（2a ＋8b ）－（4a －2b ）的运算结果是( ) A ．2a －b B ．2b －a C ．b －a D ．a －b(2)若a ＝b ＋c ，则3(a ＋2b )－2(3b ＋c )－2(a －b )＝________(用b ，c )表示． [尝试解答] (1)13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12()2a ＋8b －()4a －2b＝13(a ＋4b －4a ＋2b )＝13(－3a ＋6b ) ＝－a ＋2b ＝2b －a .故选B (2)∵a ＝b ＋c∴3(a ＋2b )－2(3b ＋c )－2(a －b ) ＝3a ＋6b －6b －2c －2a ＋2b ＝a ＋2b －2c＝b ＋c ＋2b －2c ＝3b －c . [答案] (1)B (2)3b －c1．向量的线性运算是指向量的加法、减法和数乘向量的运算．其运算法则在形式上类同实数加、减法与乘法满足的运算法则，但它们的具体含义是不同的，不过由于它们在形式上类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中都可以使用．2．若需要结合几何图形进行向量的线性运算，则要注意使用三角形法则或平行四边形法则，并正确利用数乘向量的几何意义，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．练一练2. 如图，▱OADB 中，向量＝b ，，试用a ，b 表示.讲一讲3．设e 1，e 2是两个不共线向量，已知AB ＝2e 1－8e 2，CB ＝e 1＋3e 2，CD ＝2e 1－e 2. (1)求证：A 、B 、D 三点共线；(2)若＝3e 1－k e 2，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值． [尝试解答] (1)由已知得＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2，∵＝2e 1－8e 2，∴，又有公共点B .∴A 、B 、D 三点共线．(2)由(1)可知＝3e 1－k e 2，且B 、D 、F 三点共线，得，即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ，解得k ＝12.1．向量共线的判定定理的主要作用是判断两个向量是否共线，进而可解决诸点是否共线问题．2．利用向量证明三点共线时，一般是把“共线”问题转化为“向量关系a＝λb”，通过向量关系得到“三点共线”的结论．3．利用向量共线的性质定理，并结合向量的线性运算，可由向量共线(或三点共线)求相关的参数的值．练一练3．3．如图，在△ABC中，D为BC的中点，M为AD的中点，，判断B、M、N 三点是否共线．解：∵D为BC的中点，∴B、M、N三点共线．如图所示，在△ABO中，OC＝，AD与BC相交于点M，设＝b.试用a和b表示向量OM.[巧思] 既然OM 能用a 、b 表示，那么不妨设OM ＝m a ＋n b ，利用向量共线定理建立方程，用方程的思想方法求解．即(m －1)a ＋n b ＝t (－a ＋12b )，∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t ，n ＝t 2，消去t 得，m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.①∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1(－14a ＋b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1，n ＝t 1，消去t 1得，4m ＋n ＝1.②由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM ―→＝17a ＋37b .1．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( ) A ．a 与－λa 的方向相反 B ．|－λa |≥|a | C ．a 与λ2a 的方向相同 D ．|－λa |＝|λ|a 解析：选C 对于A ，∵λ的正反未定， ∴a 与－λa 的方向可能相同，也可能相反，∴A 不正确；对于B ，|－λa |＝|λ|×|a |，λ的值未定，有可能|λ|×|a |<|a |，如λ＝12时，12|a |<|a |， ∵B 不正确；对于C ， ∵λ≠0，∴λ2>0，∴a 与λ2a 的方向相同，C 正确；对于D ，|－λa |＝|λ|×|a |是一个实数，而|λ|a 是一个向量，二者不能相等，∴D 不正确． 2．已知向量a ，b ，且＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D又∵有公共点BD ，AB 有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线．3. 如图，向量的终点在同一直线上，且＝p ，＝r ，则下列等式中成立的是( )A ．r ＝－12p ＋32q B ．r ＝－p ＋2qC ．r ＝32p －12q D ．r ＝－q ＋2p4．若向量a ＝3i －4j ，b ＝5i ＋4j ，则(13a －b )－3(a ＋23b )＋(2b －a )＝________．解析：(13a －b )－3(a ＋23b )＋(2b －a )＝(13－3－1)a ＋(－1－2＋2)b ＝－113a －b ＝－113(3i －4j )－(5i ＋4j )＝(－11－5)i ＋(443－4)j＝－16i ＋323j .答案： －16i ＋323j5．在△ABC 中，D 在线段BC 上，＋n，则m n＝________.∴m ＝13，n ＝23，故m n ＝12.答案： 126．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2，问是否存在非零实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb 与c 共线？解：∵d ＝λa ＋μb＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2) ＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2，要使d 与c 共线，则应存在实数k ，使d ＝k c ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ， ∴λ＝－2μ.故存在非零实数λ，μ，只要λ＝－2μ就能使d 与c 共线．一、选择题1．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：选D ∵c ∥d ，∴c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )＝λa －λb .又∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝－λ.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，k ＝－1.∴c ＝－d ，∴c 与d 反向．2．已知O 、A 、M 、B 为平面上四点，且＋(1－λ)·OA ，λ∈(1,2)，则( )A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上C ．点A 在线段BM 上D ．O 、A 、M 、B 四点共线∵λ∈(1，2)，∴点M 在线段AB 的延长线上， 即点B 在线段AM 上．3．已知A 、B 、C 三点共线，O 是这条直线外的一点，满足，则λ的值为( )A ．－12B ．－13 C.12 D.134.四边形ABCD 中，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，则( )二、填空题5．点C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，则＝________AB .解析：∵AC CB ＝32，∴点C 为线段AB 的5等分点，答案：35 －256．若2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a －12(c ＋b －3x )＋b ＝0，其中a 、b 、c 为已知向量，则未知向量x ＝________．解析：由已知可得72x －23a ＋12b －12c ＝0，∴x ＝421a －17b ＋17c .答案：421a －17b ＋17c7．已知△ABC 和点M 满足＝0.若存在实数m 使得成立，则m ＝________.答案：38．D 、E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的中点，且CB ＝a ，＝b ，给出下列命题：其中所有正确命题的序号为________． 解析：∵D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 的中点．＝(12a －b )＋(－a ＋12b )＋(12a ＋12b )＝0. 故②③④正确． 答案：②③④ 三、解答题9．设两个非零向量e 1，e 2不共线，已知＝e 1＋3e 2，CD ＝2e 1－e 2，若A 、B 、D 三点共线，试求k 的值．解：＝2e 1－e 2－(e 1＋3e 2) ＝e 1－4e 2若A 、B 、D 三点共线，则，从而存在唯一实数λ，使，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)整理得(2－λ)e 1＝－(k ＋4λ)e 2 ∵e 1、e 2不共线∴⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝0k ＋4λ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2k ＝－8即k 的值为－8时，A 、B 、D 三点共线．10．△ABC 中，，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N .设＝b ，试用a 、b 表示向量.。
人教版高中数学必修4教案
人教版高中数学必修4教案教案标题：人教版高中数学必修4教案教案目标：1. 熟悉人教版高中数学必修4课程的教学内容和教学要求；2. 制定合理的教学目标和教学步骤，提高学生的数学思维能力和解题能力；3. 通过多种教学方法和教学资源，激发学生的学习兴趣和积极性；4. 培养学生的数学学习策略和解题技巧，提高他们的学习效果。
教学内容：本教案以人教版高中数学必修4教材为基础，包括以下内容：1. 第一章三角函数2. 第二章三角恒等变换与解三角形3. 第三章平面向量4. 第四章空间向量5. 第五章矩阵与变换6. 第六章概率初步教学步骤：1. 第一章三角函数a. 学习目标：了解三角函数的定义和性质，能够应用三角函数解决实际问题。
b. 教学重点：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和性质。
c. 教学方法：讲解+示例演练+练习题。
d. 教学资源：教材、课件、练习册。
2. 第二章三角恒等变换与解三角形a. 学习目标：掌握三角恒等变换的基本公式和应用，能够解决三角形的相关问题。
b. 教学重点：三角恒等变换的基本公式和解三角形的方法。
c. 教学方法：讲解+示例演练+练习题。
d. 教学资源：教材、课件、练习册。
3. 第三章平面向量a. 学习目标：了解平面向量的定义和性质，能够进行平面向量的运算和应用。
b. 教学重点：平面向量的定义、平面向量的线性运算和数量积。
c. 教学方法：讲解+示例演练+练习题。
d. 教学资源：教材、课件、练习册。
4. 第四章空间向量a. 学习目标：了解空间向量的定义和性质，能够进行空间向量的运算和应用。
b. 教学重点：空间向量的定义、空间向量的线性运算和数量积。
c. 教学方法：讲解+示例演练+练习题。
d. 教学资源：教材、课件、练习册。
5. 第五章矩阵与变换a. 学习目标：了解矩阵的定义和性质，能够进行矩阵的运算和应用。
b. 教学重点：矩阵的定义、矩阵的运算和矩阵的应用。
c. 教学方法：讲解+示例演练+练习题。
人教版高中数学必修4教案
人教版高中数学必修4教案
课题：高中数学必修4 第二章三角恒等变换
教学内容：三角恒等变换的基本理论和应用
教学目标：
1. 了解三角函数的定义和性质；
2. 掌握三角函数的基本恒等变换；
3. 进一步理解三角函数的应用；
4. 能够独立解决相关的数学问题。
教学重点和难点：
重点：三角函数的基本恒等变换和应用
难点：灵活运用三角函数的恒等变换解决问题
教学准备：
1. 教材《高中数学必修4》
2. 多媒体课件
3. 黑板、粉笔
教学过程：
一、复习导入（5分钟）
1. 复习前一节课的内容，简单回顾三角函数的基本概念和性质。
二、讲解三角恒等变换（15分钟）
1. 介绍三角函数的基本恒等变换；
2. 讲解如何应用三角恒等变换简化三角函数的运算过程；
3. 解释三角函数图像的移动和变换。
三、练习与讨论（20分钟）
1. 让学生进行练习，巩固三角恒等变换的基本知识；
2. 引导学生分组讨论，解决一些应用题。
四、课堂小结（5分钟）
1. 总结本节课的重要内容和要点；
2. 强调灵活运用三角函数的恒等变换解决问题的重要性。
五、作业布置（5分钟）
1. 布置相关的练习题，让学生在家继续巩固所学知识；
2. 鼓励学生积极思考如何运用所学知识解决实际生活中的问题。
教学反思：
本节课主要是讲解三角函数的基本恒等变换和应用，通过讲解和练习，让学生掌握基本的知识和技能。
在教学中，要注重引导学生独立思考和解决问题的能力，培养学生的数学思维和创新能力。
同时要注重激发学生的学习兴趣，使学生能够主动参与课堂教学，达到提高教学质量的目的。
普通高中课程标准教科书人教B版数学必修4
OA, OB 2k
③如何处理数量积 OA OB ？
OA OB OA OB cos OA, OB
OA OB cos cos sin sin
用 代替
用 代替
（三）应用强化
例1：求 cos 750 和cos150的值。
设计意图：既回答了引入新课时的疑问，又向学生 展示了公式的作用。
例2：若将 固定，分别用、 2 代替，
你会得到怎样的结论？
设计意图：使学生更深刻地体会 、 的任意性， 同时也使学生对诱导公式有了新的认识。
普通高中课程标准实验教科书（人教B版） 《数学》必修4
辽宁省锦州市 北镇高级中学
1 2
教材分析 教学目标 教学方法
3
4 教学过程
一. 教材分析 1、教材的地位和作用
2、教材的处理和调整
3、教材的重点和难点
一. 教材分析
1、教材的地位和作用：
本节是在学习了第一章《三角函数》和第二章 《平面向量》后的内容，它既是对前面所学三 角函数知识的继承与发展，同时也是推导本章 全部和（差）角公式及二倍角公式的基础，起 着承上启下的作用；又由于本节课可以从不同
y A
α
B
β
cos( ) cos cos sin sin
O
x
同名之积相加减， 运算符号左右反。
α、β是任意角
cos cos cos sin sin .简记：C （ ）
cos cos cos sin sin .简记：C （ ）
高中数学必修4第二、三章教案
高中数学必修4知识点总结第二章 平面向量基本知识回顾：1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.例．下列物理量中，不能称为向量的是 （ ） A ．质量 B ．速度 C ．位移 D ．力2.向量的表示方法：①用有向线段表示-----AB(几何表示法)；②用字母a 、b等表示(字母表示法)； ③平面向量的坐标表示（坐标表示法）：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底。
任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得axi yj =+ ，),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，i (1,0)=，j (0,1)=，0(0,0)= 。
22a x y =+；若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=，222121()()AB x x y y =-+- 3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0；②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：||a a 就是单位向量）4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0 与任一向量平行.向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.性质：//(0)(a b b a b λλ≠⇔= 是唯一）||b a b a a b λλλ⎧⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩⎨⎪=⎪⎩0,与同向方向---0,与反向长度--- 1221//(0)0a b b x y x y ≠⇔-= （其中 1122(,),(,)a x y b x y ==）5.相等向量和垂直向量：①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.②垂直向量——两向量的夹角为2πθ=性质：0a b a b ⊥⇔=12120a b x x y y ⊥⇔+= （其中 1122(,),(,)a x y b x y ==） 6.向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
高中数学人教版必修4全套教案(2)[1]
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第1，2课时1.1．1 任意角教学目标（一） 知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角） 与区间角的概念。
（二） 过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角，会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．（三） 情感与态度目标1． 提高学生的推理能力; 2．培养学生应用意识． 教学重点：任意角概念的理解；区间角的集合的书写．教学难点：终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入：1．回顾角的定义①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。
②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课：1．角的有关概念： ①角的定义:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称：③角的分类:④注意：⑴在不引起混淆的情况下，“角α "或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°; ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念：①定义：若将角顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角始边终边顶点AO B 负角：按顺时针方向旋转形成例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角．⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°；答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：终边相同的角的表示:所有与角α终边相同的角,连同α在内，可构成一个集合S ＝｛β｜β=α+k ·360°，k ∈Z ｝,即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整个周角的和． 注意:⑴ k ∈Z⑵ α是任一角；⑶ 终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍;⑷ 角α + k ·720°与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．⑴－120°;⑵640°；⑶－950°12＇．答:⑴240°，第三象限角；⑵280°，第四象限角；⑶129°48＇，第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示） ．解:｛α ｜ α = 90°+ n ·180°，n ∈Z ｝．例5．写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来．4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类：③象限角；④终边相同的角的表示法． 5．课后作业：练习第1—5题； 习题1。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 2.2.1 平面向量基本定理》4
平面向量基本定理教学设计平面向量基本定理教学设计一、教材分析本节课是在学习了共线向量基本定理的前提下，进一步研究平面内任一向量的表示，为今后平面向量的坐标运算打下坚实的基础。
所以，本节在本章中起到承上启下的作用。
平面向量基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是向量解决问题的理论基础。
平面向量基本定理提供了一种重要的数学思想—转化思想。
二、教学目标知识与技能: 理解平面向量基本定理，学会利用平面向量基本定理解决问题，掌握基向量表示平面上的任一向量过程与方法：通过学习平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力情感态度与价值观：通过学习平面向量基本定理，培养学生敢于实践的创新精神，在解决问题中培养学生的应用意识。
教学重点：平面向量基本定理的应用；教学难点：平面向量基本定理的理解三、教学教法1学情分析: 学生已经学习了向量的基本知识，并且对向量的物理背景有了初步的了解2教学方法：采用“问题导学—讨论探究—展示演练”的教学方法，完成教学目标3教学手段：有效使用多媒体和视频辅助教学，直观形象四、学法指导1导学：设置问题情境，激发学生学习的求知欲，引发思考2探究：引导学生合作探究，解决问题，注重知识的形成过程3应用：在解决问题中培养学生的应用意识与学以致用的能力五、教学过程针对以上情况，结合我校“学本课堂”模式，我设计了如下教学过程，分为六个环节。
第一环节：问题导学自主学习首先是复习引入共线向量的基本定理，从而对下一环节导入课题做好准备：如果向量共线的基本定理，则;反之，如果，且，则一定存在唯一一个实数，使a b λ=∥a b ∥a b 0b ≠λa bλ=复习引入:第二环节：创设情境 导入课题通过关于向量加法的探究，解决实际问题，从而引入平面向量的基本定理，为了让学生形象生动感受到，特别使用了动画效果：aaa a OB A bOAB bb+b+平行四边形法则三角形法则第三环节：分组讨论 合作探究提出问题，进入探究阶段。
2017-2018学年人教B版高中数学选修4-5全册同步教学案
2017-2018学年高中数学人教B版选修4-5全册同步配套教学案目录第一章1．1 1．1.1不等式的基本性质第一章1．1 1．1.2一元一次不等式和一元二次不等式的解法第一章1．2 基本不等式第一章1．3绝对值不等式的解法第一章1．4绝对值的三角不等式第一章1．51．5.1比较法第一章1．51．5.2综合法和分析法第一章1．51．5.3反证法和放缩法第一章章末小结知识整合与阶段检测第二章2．1 柯西不等式第二章2．2 排序不等式第二章2．3～2.4 平均值不等式（选学）最大值与最小值问题优化的数学模型第二章章末小结知识整合与阶段检测第三章3．1 数学归纳法原理第三章3．2 用数学归纳法证明不等式贝努利不等式第三章章末小结知识整合与阶段检测1．1不等式的基本性质和一元二次不等式的解法 1．1.1 不等式的基本性质[对应学生用书P1][读教材·填要点]1．实数的大小的几何意义和代数意义之间的联系 设a ，b ∈R ，则 ①a ＞b ⇔a －b ＞0； ②a ＝b ⇔a －b ＝0； ③a ＜b ⇔a －b ＜0. 2．不等式的基本性质[小问题·大思维]1．若x ＞y ，a ＞b ，则在①a －x ＞b －y ，②a ＋x ＞b ＋y ，③ax ＞by ，④x －b ＞y －a ，⑤ay ＞bx这五个不等式中，恒成立的不等式有哪些？ 提示：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2， 符合题设条件x ＞y ，a ＞b ，则∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不正确． 又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝bx，因此⑤不正确． 由不等式的性质可推出②④恒成立． 即恒成立的不等式有②④. 2．若a <b ，一定有1a >1b吗？提示：不一定．如a ＝－1，b ＝2.事实上， 当ab >0时，若a <b ，则有1a >1b ；当ab <0时，若a <b ，则有1a <1b；当ab ＝0时，若a <b ，则1a 与1b 中有一个式子无意义．[对应学生用书P2][例1] x ∈R ，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．[思路点拨] 本题考查利用作差法比较两个代数式的大小．解答本题需要将作差后的代数式分解因式，然后根据各因式的符号判断x 3－1与2x 2－2x 的大小．[精解详析] (x 3－1)－(2x 2－2x ) ＝(x 3－x 2)－(x 2－2x ＋1) ＝x 2(x －1)－(x －1)2 ＝(x －1)(x 2－x ＋1)∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34＞0， ∴当x ＞1时，(x －1)(x 2－x ＋1)＞0. 即x 3－1＞2x 2－2x ；当x ＝1时，(x －1)(x 2－x ＋1)＝0， 即x 3－1＝2x 2－2x .当x ＜1时，(x －1)(x 2－x ＋1)＜0， 即x 3－1＜2x 2－2x .(1)用作差法比较两个数(式)的大小时，要按照“三步一结论”的程序进行，即：作差→变形→定号→结论，其中变形是关键，定号是目的．(2)在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断．变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等．(3)在定号中，若为几个因式的积，需每个因式均先定号，当符号不确定时，需进行分类讨论．1．当a ≠0时，比较(a 2＋2a ＋1)(a 2－2a ＋1)与(a 2＋a ＋1)(a 2－a ＋1)的大小． 解：两式作差得(a 2＋2a ＋1)(a 2－2a ＋1)－(a 2＋a ＋1)(a 2－a ＋1) ＝[(a 2＋1)2－(2a )2]－[(a 2＋1)2－a 2]＝－a 2. ∵a ≠0，∴－a 2<0.∴(a 2＋2a ＋1)(a 2－2a ＋1)<(a 2＋a ＋1)(a 2－a ＋1).[例2] 下列命题中正确的是( ) (1)若a ＞b ，c ＞b ，则a ＞c ； (2)若a ＞b ，则lg ab ＞0；(3)若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； (4)若a ＞b ＞0，则1a <1b ；(5)若a c ＞bd，则ad ＞bc ；(6)若a ＞b ，c ＞d ，则a －d ＞b －c . A ．(1)(2) B ．(4)(6) C ．(3)(6)D ．(3)(4)(5)[思路点拨] 本题考查对不等式的性质的理解，解答本题需要利用不等式的性质或利用特殊值逐项判断．[精解详析] (1)错误．因为当取a ＝4，b ＝2，c ＝6时，有a ＞b ，c ＞b 成立，但a ＞c 不成立．(2)错误．因为a 、b 符号不确定，所以无法确定a b ＞1是否成立，从而无法确定lg ab ＞0是否成立．(3)错误．此命题当a 、b 、c 、d 均为正数时才正确．(4)正确．因为a ＞b ，且a 、b 同号，所以ab ＞0，两边同乘以1ab ，得1a ＜1b .(5)错误．只有当cd ＞0时，结论才成立．(6)正确．因为c ＞d ，所以－d ＞－c ，又a ＞b ， 所以a －d ＞b －c . 综上可知(4)(6)正确． [答案] B运用不等式的性质时要注意条件，如倒数法则要求两数同号；两边同乘一个数，不等号方向是否改变要视此数的正负而定；同向不等式可以相加，异向不等式可以相减．2．若m ，n ∈R ，则1m >1n 成立的一个充要条件是( )A ．m >0>nB ．n >m >0C ．m <n <0D ．mn (m －n )<0解析：1m >1n ⇔1m －1n >0⇔n －m mn >0⇔mn (n －m )>0⇔mn (m －n )<0.答案：D[例3] 已知π<α＋β<4π3，－π<α－β<－π3，求2α－β的取值范围．[思路点拨] 解答本题时，将α＋β，α－β看作整体，再求出2α－β的取值范围． [精解详析] 设2α－β＝A (α＋β)＋B (α－β)， 则2α－β＝(A ＋B )α＋(A －B )β.比较两边系数得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝2，A －B ＝－1⇒⎩⎨⎧A ＝12，B ＝32.∴2α－β＝12(α＋β)＋32(α－β)．∵π2<12(α＋β)<23π， －3π2<32(α－β)<－π2， ∴－π<2α－β<π6.故2α－β∈⎝⎛⎭⎫－π，π6.(1)若已知某两个代数式的取值范围，求另一个代数式的取值范围时，应利用待定系数法把所求代数式用已知的两代数式表示，进而利用同向不等式的可加性求其范围，否则可能导致所求代数式范围变大．(2)同一问题中应用同向不等式相加性质时，不能多次使用，否则可能导致范围扩大．3．若已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4.求f (－2)的范围． 解：法一：∵f (x )过原点，∴可设f (x )＝ax 2＋bx .∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a ＋b ，f (－1)＝a －b . ∴⎩⎨⎧a ＝12[f (1)＋f (－1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． ∵1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4. ∴6≤f (－2)≤10. 法二：设f (x )＝ax 2＋bx ， 则f (1)＝a ＋b ，f (－1)＝a －b .令m (a ＋b )＋n (a －b )＝f (－2)＝4a －2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4， ∴6≤f (－2)≤10.[对应学生用书P3]一、选择题1．已知a ，b ，c ，d 为实数，且c >d ，则“a >b ”是“a －c >b －d ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ a －c >b －d ，c >d ⇒a >b ；而当a ＝c ＝2，b ＝d ＝1时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，c >d ，但a －c >b －d 不成立，所以“a >b ”是“a －c >b －d ”的必要而不充分条件．答案：B2．已知a ，b ，c ∈R ，且ab ＞0，则下面推理中正确的是( ) A ．a ＞b ⇒am 2＞bm 2 B ．a c ＞bc ⇒a ＞bC ．a 3＞b 3⇒1a ＜1bD ．a 2＞b 2⇒a ＞b解析：对于A ，若m ＝0，则不成立；对于B ，若c ＜0，则不成立；对于C ，a 3－b 3＞0⇒(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＞0，∵a 2＋ab ＋b 2＝(a ＋b 2)2＋34b 2＞0恒成立，∴a －b ＞0.∴a ＞b .又∵ab ＞0，∴1a ＜1b .∴C 成立．对于D ，a 2＞b 2⇒(a －b )(a ＋b )＞0，不能说a ＞b . 答案：C3．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 3<0 C ．a 2－b 2<0D ．b ＋a >0解析：∵a －|b |>0，∴a >|b |>0.∴不论b 取任何实数不等式a ＋b >0都成立． 答案：D4．如果a ∈R ，且a 2＋a ＜0，那么a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是( ) A ．a 2＞a ＞－a 2＞－a B ．－a ＞a 2＞－a 2＞a C ．－a ＞a 2＞a ＞－a 2D ．a 2＞－a ＞a ＞－a 2解析：∵a 2＋a ＜0，即a (a ＋1)＜0，可得，－1＜a ＜0， ∴－a ＞a 2＞0，∴0＞－a 2＞a . 综上有－a ＞a 2＞－a 2＞a . 答案：B 二、填空题5．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是f (x )________g (x )． 解析：f (x )－g (x )＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1≥1＞0，∴f (x )＞g (x )． 答案：＞6．已知12<a <60,15<b <36，则a －b 的取值范围分别是________． 解析：∵12<a <60，－36<－b <－15，∴－24<a －b <45. 答案：(－24,45)7．给出下列条件：①1＜a ＜b ；②0＜a ＜b ＜1；③0＜a ＜1＜b .其中能推出log b 1b ＜log a1b ＜log a b 成立的条件的序号是________．(填所有可能的条件的序号)解析：∵log b 1b ＝－1，若1＜a ＜b ，则1b ＜1a＜1＜b ，∴log a 1b ＜log a 1a ＝－1，故条件①不可以；若0＜a ＜b ＜1，则b ＜1＜1b ＜1a .∴log a b ＞log a 1b ＞log a 1a ＝－1＝log b 1b ，故条件②可以；若0＜a ＜1＜b ，则0＜1b ＜1，∴log a 1b＞0，log a b ＜0，条件③不可以．故应填②. 答案：②8．设x ＝a 2b 2＋5，y ＝2ab －a 2－4a ，若x >y ，则实数a ，b 满足的条件是________________． 解析：∵x >y ，∴a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a ＝a 2＋4a ＋4＋a 2b 2－2ab ＋1 ＝(a ＋2)2＋(ab －1)2>0. ∴ab ≠1或a ≠－2. 答案：ab ≠1或a ≠－2. 三、解答题9．已知－π2≤α<β≤π2，求α＋β2，α－β2的范围．解：∵－π2≤α<β≤π2，∴－π4≤α2＜π4，－π4＜β2≤π4. 因而两式相加得－π2＜α＋β2<π2.又∵－π4＜β2≤π4，∴－π4≤－β2＜π4.∴－π2≤α－β2<π2.又∵α＜β，∴α－β2＜0.∴－π2≤α－β2＜0.即α＋β2∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，α－β2∈⎣⎡⎭⎫－π2，0. 10．已知a ，b ∈{正实数}且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2a 与a ＋b 的大小．解：∵⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 2b －b ＋b2a －a ＝a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)⎝⎛⎭⎫1b －1a ＝(a 2－b 2)(a －b )ab ，＝(a －b )2(a ＋b )ab ，又∵a >0，b >0，且a ≠b ， ∴(a －b )2>0，a ＋b >0，ab >0， ∴a 2b ＋b 2a>a ＋b . 11．已知α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β ≤1，1≤α＋2β ≤3，试求α＋3β的取值范围．解：设α＋3β＝λ(α＋β)＋u (α＋2β) ＝(λ＋u )α＋(λ＋2u )β.比较α，β的系数，得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋u ＝1，λ＋2u ＝3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，u ＝2.由题意得－1≤－α－β≤1,2≤2α＋4β≤6， 两式相加，得1≤α＋3β≤7. 故α＋3β的取值范围是[1,7]．1．1.2一元一次不等式和一元二次不等式的解法[对应学生用书P4][读教材·填要点]1．一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2．二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系[小问题·大思维]1．“若ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集是空集，则a、b、c满足的关系是b2－4ac<0且a>0”是否正确？提示：当Δ＝0时，易知ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集也是∅，从而满足的条件应为“a>0且b2－4ac≤0”．2．当a<0时，若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根α，β且α<β，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是什么？提示：借助函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，不等式的解集为{x|α<x<β}．3．一元二次不等式与二次函数有什么关系？提示：一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合．[对应学生用书P5][例1] 不等式x －2x 2－1<0的解集为( )A ．{x |1<x <2}B ．{x |x <2且x ≠1}C ．{x |－1<x <2且x ≠1}D ．{x |x <－1或1<x <2}[思路点拨] 根据不等式性质把ba <0转化为ab <0，再求解．[精解详析] 因为不等式x －2x 2－1<0，等价于(x ＋1)(x －1)(x －2)<0，所以该不等式的解集是{x |x <－1或1<x <2}． [答案] D解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理将其转化为整式不等式(组)求解．即f (x )g (x )≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≥0g (x )≠0⇒f (x )·g (x )＞0或f (x )＝0.f (x )g (x )＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＞0g (x )＞0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＜0g (x )＜0⇒f (x )·g (x )＞0.1．解不等式：x ＋1x －2≤2.解：∵x ＋1x －2≤2，∴x ＋1x －2－2≤0.即－x ＋5x －2≤0.∴x －5x －2≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧(x －5)(x －2)≥0，x －2≠0，∴x <2或x ≥5. 即原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}.[例2] 解关于x 的不等式：ax 2－(a ＋1)x ＋1<0. [思路点拨] 由于a ∈R ，故分a ＝0，a >0，a <0讨论． [精解详析] 若a ＝0，原不等式可化为－x ＋1<0，即x >1.若a <0，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)>0， 即x <1a或x >1.若a >0，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0 (*)其解的情况应由1a 与1的大小关系决定，故(1)当a ＝1时，由(*)式可得x ∈∅； (2)当a >1时，由(*)式可得1a <x <1；(3)当0<a <1时，由(*)式可得1<x <1a.综上所述：当a <0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <1a 或x >1； 当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1.解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式Δ>0，Δ＝0，Δ<0；第三层次是根的大小的讨论．2．若k ∈R ，求解关于x 的不等式：x 22－x <(k ＋1)x －k2－x.解：不等式x 22－x <(k ＋1)x －k2－x 可化为x 2－(k ＋1)x ＋k 2－x <0，即(x －2)(x －1)(x －k )>0.当k <1时，x ∈(k,1)∪(2，＋∞)； 当k ＝1时，x ∈(2，＋∞)；当1<k <2时，x ∈(1，k )∪(2，＋∞)； 当k ≥2时，x ∈(1,2)∪(k ，＋∞).[例3] 国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税政策，现知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R 元(叫做税率R %)，则每年的销售将减少10R 万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元，问R 应怎样确定？[思路点拨] 由题意求出在此项经营中所收附加税金，建立不等关系转化为不等式问题求解．[精解详析] 设产销量为每年x 万瓶，则销售收入为每年70x 万元， 从中征收的税金为70x ·R %万元，其中x ＝100－10R ， 由题意得70(100－10R )R %≥112， 整理，得R 2－10R ＋16≤0.∵Δ＝36＞0，方程R 2－10R ＋16＝0的两个实数根为x 1＝2，x 2＝8.然后画出二次函数y ＝R 2－10R ＋16的图象，由图象得不等式的解集为{R |2≤R ≤8}． 答：当2≤R ≤8时，每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元．解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，即分析题目中有哪些未知量，然后选择其中起关键作用的未知量，设此未知量为x ，用x 来表示其他未知量，再根据题目中的不等关系列不等式．3．据调查，湖南某地区有100万从事传统农业的农民，人均年收入3 000元．为了增加农民的收入，当地政府积极引资建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作．据估计，如果有x (x >0)万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x %，而进入企业工作的农民人均年收入为3 000a 元(a >0为常数)．(1)在建立加工企业后，要使该地区从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的年总收入，求x 的取值范围；(2)在(1)的条件下，当地政府应安排多少万农民进入加工企业工作，才能使这100万农民的人均年收入达到最大？解：(1)根据题意，得(100－x )·3 000·(1＋2x %)≥100×3 000， 即x 2－50x ≤0，解得0≤x ≤50. 又x >0，故x 的取值范围是(0,50]． (2)设这100万农民的人均年收入为y 元，则 y ＝(100－x )×3 000×(1＋2x %)＋3 000ax 100＝－60x 2＋3 000(a ＋1)x ＋300 000100＝－35[x －25(a ＋1)]2＋3 000＋375(a ＋1)2(0<x ≤50)．①若0<25(a ＋1)≤50，即0<a ≤1， 则当x ＝25(a ＋1)时，y 取最大值； ②若25(a ＋1)>50，即a >1， 则当x ＝50时，y 取最大值．答：当0<a ≤1时，安排25(a ＋1)万人进入加工企业工作，当a >1时，安排50万人进入加工企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大．[对应学生用书P6]一、选择题1．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则∁U M ＝( ) A ．{x |－1≤x ≤3} B ．{x |－3≤x ≤1} C ．{x |x <－3或x >1}D ．{x |x <－1或x >3}解析：因为M ＝{x |－1≤x ≤3}，全集U ＝R ， 所以∁U M ＝{x |x <－1或x >3}． 答案：D2．关于x 的不等式x 2－ax －20a 2<0任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解析：方程x 2－ax －20a 2＝0的两根是x 1＝－4a ，x 2＝5a ，由关于x 的不等式x 2－ax －20a 2<0任意两个解的差不超过9，得|x 1－x 2|＝|9a |≤9，即－1≤a ≤1. 答案：C3．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2＋1＝1a ，－2×1＝－c a，解得a ＝－1，c ＝－2， 则函数y ＝f (－x )＝－x 2＋x ＋2. 答案：C4．已知a ∈[－1,1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a >0恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．(－∞，2)∪(3，＋∞) B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)解析：把不等式的左端看成关于a 的一次函数， 记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)， 则f (a )>0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立， 有f (－1)＝x 2－5x ＋6>0，① 且f (1)＝x 2－3x ＋2>0，② 联立①②解得x <1或x >3.故选C. 答案：C 二、填空题5．若不等式－x 2＋2x －m >0在x ∈[－1,0]上恒成立，则m 的取值范围是________． 解析：由m <－x 2＋2x 知m 只需小于u ＝－x 2＋2x ，x ∈[－1,0]的最小值即可． 又∵u 在[－1,0]上递增， ∴u min ＝－1－2＝－3. ∴m <－3.答案：(－∞，－3)6．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0(k ≠0)的解，则k 的取值范围是______________． 解析：由题意知，k 2－6k ＋8≥0， 即(k －2)(k －4)≥0，∴k ≥4或k ≤2，又∵k ≠0，∴k 的取值范围是(－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)． 答案：(－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)7．若不等式2x －1>m (x 2－1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，则x 的取值范围为________________．解析：(等价转化法)将原不等式化为： m (x 2－1)－(2x －1)<0. 令f (m )＝m (x 2－1)－(2x －1)，则原问题转化为当－2≤m ≤2时，f (m )<0恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)<0，f (2)<0即可，即⎩⎪⎨⎪⎧－2(x 2－1)－(2x －1)<0，2(x 2－1)－(2x －1)<0，解得－1＋72<x <1＋32.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1＋72，1＋328．已知方程x 2＋(2m －3)x ＋m 2－15＝0的两个根一个大于－2，一个小于－2，则实数m 的取值范围为________．解析：设函数f (x )＝x 2＋(2m －3)x ＋m 2－15， 则由题意：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(2m －3)2－4(m 2－15)＞0，f (－2)＜0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－12m ＋69＞0，m 2－4m －5＜0. ∴－1＜m ＜5. 答案：(－1,5) 三、解答题9．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R? 解：(1)由题意知1－a <0，且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，∴⎩⎨⎧1－a <0，41－a＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0， 即为2x 2－x －3>0， 解得x <－1或x >32.∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－1或x >32.(2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0. 若此不等式解集为R ，则b 2－4×3×3≤0， ∴－6≤b ≤6.10．一个服装厂生产风衣，日销售量x (件)与售价p (元/件)之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件的成本R ＝500＋30x 元．(1)该厂日产量多大时，日利润不少于1 300元？(2)当日产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？ 解：(1)由题意知，日利润y ＝px －R ， 即y ＝(160－2x )x －(500＋30x ) ＝－2x 2＋130x －500， 由日利润不少于1 300元， 得－2x 2＋130x －500≥1 300， 即x 2－65x ＋900≤0，解得20≤x ≤45.故当该厂日产量在20～45件时，日利润不少于1 300元． (2)由(1)得，y ＝－2x 2＋130x －500 ＝－2⎝⎛⎭⎫x －6522＋3 2252， 由题意知，x 为正整数．故当x ＝32或33时，y 最大为1 612.所以当日产量为32或33件时，可获得最大利润，最大利润为1 612元． 11．已知二次函数f (x )＝ax 2＋x ，若对任意x 1，x 2∈R ，恒有2f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≤f (x 1)＋f (x 2)成立，不等式f (x )<0的解集为A .(1)求集合A ；(2)设集合B ＝{x ||x ＋4|<a }，若集合B 是集合A 的子集，求a 的取值范围．解：(1)对任意的x 1，x 2∈R ， f (x 1)＋f (x 2)－2f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝12a (x 1－x 2)2≥0，要使上式恒成立，所以a ≥0.由f (x )＝ax 2＋x 是二次函数知a ≠0，故a >0. 由f (x )＝ax 2＋x ＝ax ⎝⎛⎭⎫x ＋1a <0， 解得A ＝⎝⎛⎭⎫－1a ，0. (2)解得B ＝(－a －4，a －4)，因为集合B 是集合A 的子集，所以a －4≤0，且－a －4≥－1a. 解得0<a ≤－2＋ 5.即a 的取值范围是(0，－2＋5]．1．2基本不等式[对应学生用书P7][读教材·填要点]1．定理1设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．定理2(基本不等式或平均值不等式)如果a ，b a ＝b 时，等号成立．即：两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．3．定理3(三个正数的算术—几何平均值不等式)如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥a ＝b ＝c 时，等号成立．4．定理4(一般形式的算术—几何平均值不等式) 如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则 a 1＋a 2＋…＋a nn≥ 并且当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．[小问题·大思维]1．在基本不等式a ＋b2≥ab 中，为什么要求a ，b ∈(0，＋∞)?提示：对于不等式a ＋b2≥ab ，如果a ，b 中有两个或一个为0，虽然不等式仍成立，但是研究的意义不大，而且a ，b 至少有一个为0时，不能称ab 为几何平均(或等比中项)，因此规定a ，b ∈(0，＋∞)．2．满足不等式a ＋b ＋c 3≥3abc 成立的a ，b ，c 的范围是什么？提示：a ，b ，c 的范围为a ≥0，b ≥0，c ≥0.[对应学生用书P8][例1] 已知a ，b ，c 为正实数，且abc ＝1 求证：(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8.[思路点拨] 本题考查基本不等式在证明不等式中的应用，解答本题需要分析不等式的特点，先对a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 分别使用基本不等式，再把它们相乘．[精解详析] ∵a ，b ，c 为正实数， ∴a ＋b ≥2ab ＞0， b ＋c ≥2bc ＞0， c ＋a ≥2ca ＞0， 由上面三式相乘可得 (a ＋b )(b ＋c )(c ＋a ) ≥8ab ·bc ·ca ＝8abc . 即(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8.(1)用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明．(2)本题证明过程中多次用到基本不等式，然后利用同向不等式的可加性得出所证的不等式．1．已知a ，b ∈(0，＋∞)，求证：(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4. 证明：∵a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab >0，① 当且仅当a ＝b 时取等号． 1a ＋1b≥21ab>0，② 当且仅当1a ＝1b ，即a ＝b 时取等号．①×②，得(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab＝4， 当且仅当a ＝b 时取等号． ∴(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4.[例2] (1)已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥6 3.(2)设a 1，a 2，a 3均为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝m ，求证：1a 1＋1a 2＋1a 3≥9m.[思路点拨] 本题考查平均不等式的应用．解答(1)题时可重复使用均值不等式，(2)题需要先观察求证式子的结构，然后通过变形转化为用平均不等式证明．[精解详析] (1)a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2 ≥33a 2b 2c 2＋931a 2·1b 2·1c 2≥233a 2b 2c 2·931a 2·1b 2·1c 2＝63，当且仅当a ＝b ＝c ＝43时等号成立． (2)∵⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋1a 3·m ＝(a 1＋a 2＋a 3)·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋1a 3≥33a 1·a 2·a 3·3 31a 1·1a 2·1a 3＝9·3a 1·a 2·a 3·1a 1·1a 2·1a 3＝9.当且仅当a 1＝a 2＝a 3＝m3时等号成立．又∵m >0，∴1a 1＋1a 2＋1a 3≥9m.三个正数的算术—几何平均不等式定理，是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此，凡是可以利用该定理证明的不等式，一般都可以直接应用比较法证明，只是在具备条件时，直接应用该定理会更简便．若不直接具备“一正二定三相等”的条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明．连续多次使用平均值不等式定理时要注意前后等号成立的条件是否保持一致．2．已知a ，b ，c ∈R ＋，证明⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＋1c 2(a ＋b ＋c )2≥27. 证明：∵a ，b ，c ∈R ＋， ∴a ＋b ＋c ≥33abc >0.∴(a ＋b ＋c )2≥93a 2b 2c 2 又1a 2＋1b 2＋1c 2≥331a 2b 2c2>0， ∴⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＋1c 2(a ＋b ＋c )2≥331a 2b 2c 2·93a 2b 2c 2 ＝27.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． ∴⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＋1c 2(a ＋b ＋c )2≥27.[对应学生用书P9]一、选择题1．设x 、y 为正实数，且xy －(x ＋y )＝1，则( ) A ．x ＋y ≥2(2＋1) B ．x ＋y ≤2(2＋1) C ．x ＋y ≤(2＋1)2D ．x ＋y ≥(2＋1)2解析：x ＞0，y ＞0，xy －(x ＋y )＝1⇒xy ＝1＋(x ＋y )⇒1＋(x ＋y )≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22⇒x ＋y ≥2(2＋1)．答案：A2．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列关系式总成立的是( ) A ．V ≥π B ．V ≤π C ．V ≥18πD ．V ≤18π解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ， 则由题意得：4r ＋2h ＝6，即2r ＋h ＝3， 于是有V ＝πr 2h ≤π·⎝⎛⎭⎫r ＋r ＋h 33＝π⎝⎛⎭⎫333＝π，当且仅当r ＝h 时取等号． 答案：B3．设x ，y ，z ∈R ＋且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( ) A ．(－∞，lg 6] B ．(－∞，3lg 2] C ．[lg 6，＋∞) D ．[3lg 2，＋∞) 解析：∵lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg(xyz )，而xyz ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y ＋z 33，∴lg(xyz )≤lg 8＝3lg 2(当且仅当x ＝y ＝z ＝2时，等号成立)． 答案：B4．设a ，b ，c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，令x ＝⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1，则x 的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫0，18 B.⎣⎡⎭⎫18，1 C ．[1,8)D ．[8，＋∞)解析：∵x ＝⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1 ＝1－a a ·1－b b ·1－c c ＝(b ＋c )·(c ＋a )·(a ＋b )abc ≥2bc ·2ca ·2ababc＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴x ≥8. 答案：D 二、填空题5．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．解析：因为x ＞0，y ＞0， 所以x 3＋y 4≥2x 3·y 4＝ xy3，即 xy3≤1，解得xy ≤3，所以其最大值为3. 答案：36．设a >1，t >0，则12log a t 与log a t ＋12的大小关系为12log a t ________log a t ＋12(填“<”“≥”或“≤”)．解析：因为12log a t ＝log a t ，又t >0又t ＋12≥ t . 而a >1，∴log a t ＋12≥log a t ，故填“≤”．答案：≤7．函数y ＝x 2x 4＋9(x ≠0)有最大值________，此时x ＝________.解析：∵x ≠0，∴x 2>0.∴y ＝x 2x 4＋9＝1x 2＋9x2≤12x 2·9x2＝16， 当且仅当x 2＝9x 2，即x 4＝9，x ＝±3时取等号，即当x ＝±3时，y max ＝16.答案：16±38．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，则abc 的最大值是________． 解析：∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴1＝a ＋b ＋c ≥33abc . 0＜abc ≤⎝⎛⎭⎫133＝127，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．答案：127三、解答题9．求函数y ＝2x 2＋3x (x >0)的最小值．解：由x >0知2x 2>0，32x >0，则y ＝2x 2＋3x ＝2x 2＋32x ＋32x≥332x 2·32x ·32x ＝3392.当且仅当2x 2＝32x ，即x ＝334时，y min ＝3392＝32336.10．已知a ，b 为正实数，a ＋b ＝1. 求证：⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2≥252. 证明：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1. ∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12.∴1ab ≥4.∵a ＋b 2≤a 2＋b 22，∴a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22.∴⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2≥2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋1a ＋b ＋1b 22＝⎝⎛⎭⎫1＋1a ＋1b 22≥⎝⎛⎭⎫1＋21ab 22≥252.∴⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2≥252. 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．11．设a ，b ，c 为正实数， 求证：1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3.证明：因为a ，b ，c 为正实数，由算术—几何平均不等式可得 1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a 3·1b 3·1c 3， 即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc (当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立)． 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc ＋abc .而3abc＋abc ≥23abc·abc ＝23(当且仅当a 2b 2c 2＝3时，等号成立)， 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥23(当且仅当a ＝b ＝c ＝63时，等号成立)．1．3绝对值不等式的解法[对应学生用书P10][读教材·填要点]1．含绝对值的不等式|x|≤a与|x|≥a的解集2．|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法(1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；(2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.3．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法(1)分区间讨论法：以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负进而去掉绝对值符号是解题关键．(2)图象法：构造函数，结合函数的图象求解．(3)几何法：利用绝对值不等式的几何意义求解．[小问题·大思维]1．|x|以及|x－a|±|x－b|表示的几何意义是什么？提示：|x|的几何意义是数轴上表示数x的点到原点O的距离；|x－a|±|x－b|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a，b的点的距离之和(差)．2．如何解|x－a|＜|x－b|、|x－a|＞|x－b|(a≠b)型的不等式的解集？提示：可通过两边平方去绝对值符号的方法求解．[对应学生用书P10][例1]解下列不等式：(1)1＜|x－2|≤3；(2)|2x ＋5|＞7＋x ； (3)1x 2－2≤1|x |. [思路点拨] 本题考查较简单的绝对值不等式的解法．解答本题(1)可利用公式转化为|ax ＋b |＞c (c ＞0)或|ax ＋b |＜c (c ＞0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式．(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式． (3)可分类讨论去掉分母和绝对值．[精解详析] (1)法一：原不等式等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ |x －2|＞1，|x －2|≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1或x ＞3，－1≤x ≤5，解得－1≤x ＜1或3＜x ≤5，所以原不等式的解集为{x |－1≤x ＜1或3＜x ≤5}． 法二：原不等式可转化为：①⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，1＜x －2≤3，或②⎩⎪⎨⎪⎧x －2＜0，1＜－(x －2)≤3，由①得3＜x ≤5，由②得－1≤x ＜1，所以原不等式的解集是{x |－1≤x ＜1或3＜x ≤5}． (2)由不等式|2x ＋5|＞7＋x ，可得2x ＋5＞7＋x 或2x ＋5＜－(7＋x )， 整理得x ＞2或x ＜－4.∴原不等式的解集是{x |x ＜－4或x ＞2}． (3)①当x 2－2＜0且x ≠0，即当－2＜x ＜2， 且x ≠0时，原不等式显然成立． ②当x 2－2＞0时，原不等式与不等式组⎩⎨⎧|x |＞2，x 2－2≥|x |等价，x 2－2≥|x |即|x |2－|x |－2≥0， ∴|x |≥2，∴不等式组的解为|x |≥2， 即x ≤－2或x ≥2. ∴原不等式的解集为(－∞，－2]∪(－2，0)∪(0，2)∪[2，＋∞)．含一个绝对值不等式的常见类型及其解法：(1)形如|f (x )|＜a ，|f (x )|＞a (a ∈R )型不等式 此类不等式的简单解法是等价命题法，即 ①当a ＞0时，|f (x )|＜a ⇒－a ＜f (x )＜a . |f (x )|＞a ⇔f (x )＞a 或f (x )＜－a . ②当a ＝0时，|f (x )|＜a 无解． |f (x )|＞a ⇔f (x )≠0.③当a ＜0时，|f (x )|＜a 无解． |f (x )|＞a ⇔f (x )有意义．(2)形如|f (x )|＜g (x )，|f (x )|＞g (x )型不等式 此类不等式的简单解法是等价命题法，即 ①|f (x )|＜g (x )⇔－g (x )＜f (x )＜g (x )，②|f (x )|＞g (x )⇔f (x )＞g (x )或f (x )＜－g (x )(其中g (x )可正也可负)． 若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂． (3)形如a ＜|f (x )|＜b (b ＞a ＞0)型不等式 此类问题的简单解法是利用等价命题法，即 a ＜|f (x )|＜b (0＜a ＜b )⇔a ＜f (x )＜b 或－b ＜f (x )＜－a . (4)形如|f (x )|＜f (x )，|f (x )|＞f (x )型不等式 此类题的简单解法是利用绝对值的定义，即 |f (x )|＞f (x )⇔f (x )＜0， |f (x )|＜f (x )⇔x ∈∅.1．设函数f (x )＝|2x －a |＋5x ，其中a >0. (1)当a ＝3时，求不等式f (x )≥5x ＋1的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 解：(1)当a ＝3时，不等式f (x )≥5x ＋1可化为|2x －3|≥1， 由此可得x ≥2或x ≤1.故不等式f (x )≥5x ＋1的解集为{x |x ≤1或x ≥2}．(2)由f (x )≤0得|2x －a |＋5x ≤0，此不等式可化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a 2，2x －a ＋5x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a 2，－(2x －a )＋5x ≤0，即⎩⎨⎧x ≥a 2，x ≤a7或⎩⎨⎧x <a 2，x ≤－a3，因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ≤－a 3.由题设可得－a3＝－1，故a ＝3.[例2] 解不等式|x ＋7|－|3x －4|＋3－22>0. [思路点拨] 先求出零点即x ＝－7，43，再分段讨论．[精解详析] 原不等式化为 |x ＋7|－|3x －4|＋2－1>0，当x >43时，原不等式为x ＋7－(3x －4)＋2－1>0，得x <5＋22，即43<x <5＋22； 当－7≤x ≤43时，原不等式为x ＋7＋(3x －4)＋2－1>0， 得x >－12－24，即－12－24<x ≤43；当x <－7时，原不等式为 －(x ＋7)＋(3x －4)＋2－1>0， 得x >6－22，与x <－7矛盾； 综上，不等式的解为－12－24<x <5＋22.(1)|x －a |＋|x －b |≥c 、|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．(2)|x －a |＋|x －b |≥c 、|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的图象解法和画出函数f (x )＝|x －a |＋|x －b |－c 的图象是密切相关的，其图象是折线，正确地画出其图象的关键是写出f (x )的分段表达式．不妨设a ＜b ，于是f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋b －c ， (x ≤a )，b －a －c ， (a ＜x ＜b )，2x －a －b －c ， (x ≥b ).这种图象法的关键是合理构造函数，正确画出函数的图象，求出函数的零点，体现了函数与方程结合、数形结合的思想．(3)形如|f (x )|＜|g (x )|型不等式此类问题的简单解法是利用平方法，即 |f (x )|＜|g (x )|⇔[f (x )]2＜[g (x )]2 ⇔[f (x )＋g (x )][f (x )－g (x )]＜0.2．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －3|. (1)解不等式f (x )≥4； (2)求函数y ＝f (x )的最小值．解：(1)由题意得，f (x )＝|2x ＋1|－|x －3| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －4， x <－12，3x －2， －12≤x ≤3，x ＋4， x >3，所以不等式f (x )≥4，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x <－12，－x －4≥4或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤3，3x －2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧x >3，x ＋4≥4，解得x ≤－8或x ≥2.所以原不等式的解集为{x |x ≤－8或x ≥2}． (2)由(1)知，当x <－12时，f (x )＝－x －4，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递减； 当－12≤x ≤3时，f (x )＝3x －2，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，3上单调递增； 当x >3时，f (x )＝x ＋4，所以f (x )在(3，＋∞)上单调递增．故当x ＝－12时，y ＝f (x )取得最小值，此时f (x )min ＝－72.[例3] 设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. 如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围．[思路点拨] 本题考查绝对值不等式的解法．解答本题应先对a 进行分类讨论，求出函数f (x )的最小值，然后求a 的取值范围．[精解详析] 若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件． 若a ＜1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1， x ≤a ，1－a ， a ＜x ＜1，2x －(a ＋1)， x ≥1，f (x )的最小值为1－a .若a ＞1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1， x ≤1，a －1， 1＜x ＜a ，2x －(a ＋1)， x ≥a ，f (x )的最小值为a －1.所以∀x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，从而a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．含有参数的不等式的求解问题分两类，一类不需要对参数进行讨论，另一类如本例，对参数a 进行讨论，得到关于参数a 的不等式(组)，进而求出参数的取值范围．3．(辽宁高考)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6， x ≤2，2， 2<x <4，2x －6， x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|，得－2x ＋6≥4， 解得x ≤1；当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|，得2x －6≥4， 解得x ≥5.所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}． (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ， x ≤0，4x －2a ， 0<x <a ，2a ， x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}， 所以⎩⎨⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.[对应学生用书P12]一、选择题1．若不等式|ax ＋2|＜6的解集为(－1,2)，则实数a 的取值为( ) A ．8 B ．2 C ．－4D ．－8解析：原不等式化为－6＜ax ＋2＜6， 即－8＜ax ＜4. 又∵－1＜x ＜2，∴验证选项易知a ＝－4适合． 答案：C2．如果1x <2和|x |>13同时成立，那么x 的取值范围是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －13<x <12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >12或x <－13C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－13或x >13解析：解不等式1x <2得x <0或x >12；解不等式|x |>13得x >13或x <－13.如图所示：∴x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >12或x <－13.答案：B3．如果关于x 的不等式|x －a |＋|x ＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]∪[5，＋∞)B ．[－5，－3]C ．[3,5]D ．(－∞，－5]∪[－3，＋∞)解析：在数轴上，结合绝对值的几何意义可知a ≤－5或a ≥－3. 答案：D4．若关于x 的不等式|x ＋1|≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．[－1,0] C ．[0,1]D ．[0，＋∞)解析：作出y ＝|x ＋1|与l1；y ＝kx 的图象如图，当k ＜0时，直线一定经过第二、四象限，从图看出明显不恒成立；当k ＝0时，直线为x 轴，符合题意；当k >0时，要使|x ＋1|≥kx 恒成立，只需k ≤1.综上可知k ∈[0,1]． 答案：C 二、填空题5．不等式|2x ＋1|－2|x －1|＞0的解集为________．解析：原不等式即|2x ＋1|＞2|x －1|，两端平方后解得12x ＞3，即x ＞14.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x >146．不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的实数解集为________．解析：|x ＋1||x ＋2|≥1⇔|x ＋1|≥|x ＋2|，x ＋2≠0⇔(x ＋1)2≥(x ＋2)2，x ≠－2⇔x ≤－32，x ≠－2.答案：(－∞，－2)∪⎝⎛⎦⎤－2，－327．若不等式| x ＋1x | ＞|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________．解析：∵|x ＋1x |≥2，∴|a －2|＋1＜2，即|a －2|＜1，解得1＜a ＜3.答案：1＜a ＜38．若关于x 的不等式|x －1|＋|x －a |≥a 的解集为R (其中R 是实数集)，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式|x －1|＋|x －a |≥a 恒成立， a 不大于|x －1|＋|x －a |的最小值， ∵|x －1|＋|x －a |≥|1－a |，∴|1－a |≥a,1－a ≥a 或1－a ≤－a ，解得a ≤12.答案：⎝⎛⎦⎤－∞，12 三、解答题9．解不等式|2x －4|－|3x ＋9|＜1. 解：(1)当x ＞2时，原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，(2x －4)－(3x ＋9)＜1， 解得x ＞2.(2)当－3≤x ≤2时，原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤x ≤2，－(2x －4)－(3x ＋9)＜1， 解得－65＜x ≤2.(3)当x ＜－3时，原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－3，－(2x －4)＋(3x ＋9)＜1， 解得x ＜－12.综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ＜－12或x ＞－65.10．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x －2a |. (1)当a ＝1时，求f (x )≤3的解集；(2)当x ∈[1,2]时，f (x )≤3恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，原不等式可化为|2x －1|＋|x －2|≤3，当x >2时，得3x －3≤3，则x ≤2，无解；当12≤x ≤2时，得x ＋1≤3，则x ≤2，所以12≤x ≤2； 当x <12时，得3－3x ≤3，则x ≥0，所以0≤x <12.综上所述，原不等式的解集为[0,2]． (2)原不等式可化为|x －2a |≤3－|2x －1|， 因为x ∈[1,2]，所以|x －2a |≤4－2x ， 即2x －4≤2a －x ≤4－2x ，故3x －4≤2a ≤4－x 对x ∈[1,2]恒成立．当1≤x ≤2时，3x －4的最大值为2,4－x 的最小值为2， 所以a 的取值范围为1.11．已知函数f (x )＝|x ＋3|＋|x －a |(a >0)． (1)当a ＝4时，已知f (x )＝7，求x 的取值范围； (2)若f (x )≥6的解集为{x |x ≤－4或x ≥2}，求a 的值．解：(1)因为|x ＋3|＋|x －4|≥|x ＋3－x ＋4|＝7，当且仅当(x ＋3)(x －4)≤0时等号成立． 所以f (x )＝7时，－3≤x ≤4，故x ∈[－3,4]． (2)由题知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －3－2x ， x ≤－3，a ＋3， －3<x <a ，2x ＋3－a ， x ≥a ，当a ＋3≥6时，不等式f (x )≥6的解集为R ，不合题意；当a ＋3<6时，不等式f (x )≥6的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－3，a －3－2x ≥6或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，2x ＋3－a ≥6，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－3，x ≤a －92或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≥a ＋32.又因为f (x )≥6的解集为{x |x ≤－4或x ≥2}， 所以a ＝1.1．4绝对值的三角不等式[对应学生用书P13][读教材·填要点]绝对值的三角不等式(1)定理1：若a ，b 为实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |. 当且仅当ab ≥0时，等号成立．(2)定理2：设a ，b ，c 为实数，则|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，等号成立⇔(a －b )(b －c )≥0，即b 落在a ，c 之间．①推论1：||a |－|b ||≤|a ＋b | ②推论2：||a |－|b ||≤|a －b |[小问题·大思维]1．|a ＋b |与|a |－|b |，|a －b |与|a |－|b |及|a |＋|b |分别具有什么关系？ 提示：|a |－|b |≤|a ＋b |，|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |.2．不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，右侧“＝”成立的条件是ab ≥0，左侧“＝”成立的条件是ab ≤0，且|a |≥|b |；不等式|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，右侧“＝”成立的条件是ab ≤0，左侧“＝”成立的条件是ab ≥0且|a |≥|b |.3．绝对值不等式|a －c |≤|a －b |＋|b －c |的几何解释是什么？提示：在数轴上，a ，b ，c 所对应的点分别为A ，B ，C ，当点B 在点A ，C 之间时，|AC |＝|AB |＋|BC |；当点B 不在点A ，C 之间时，|AC |<|AB |＋|BC |.[对应学生用书P13][例1] (1)以下四个命题：①若a ，b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |； ②若|a －b |＜1，则|a |＜|b |＋1； ③若|x |＜2，|y |＞3，则|x y |＜23；④若AB ≠0，则lg |A |＋|B |2≥12( lg|A |＋lg|B |)．其中正确的命题有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个(2)不等式|a ＋b ||a |－|b |≥1成立的充要条件是________．[思路点拨] 本题考查绝对值的三角不等式定理的应用及充要条件等问题．解答问题(1)可利用绝对值的三角不等式定理，结合不等式的性质、基本定理等一一验证；解答问题(2)应分|a |＞|b |与|a |<|b |两类讨论．[精解详析] (1)|a ＋b |＝|(b －a )＋2a |≤|b －a |＋2|a | ＝|a －b |＋2|a |，∴|a ＋b |－2|a |≤|a －b |，①正确； 1＞|a －b |≥|a |－|b |，∴|a |＜|b |＋1，②正确； |y |＞3，∴1|y |＜13.又∵|x |＜2，∴|x ||y |＜23.③正确；⎝⎛⎭⎫|A |＋|B |22＝14(|A |2＋|B |2＋2|A ||B |)， ≥14(2|A ||B |＋2|A ||B |)＝|A ||B |， ∴2lg |A |＋|B |2≥lg|A ||B |.∴lg|A |＋|B |2≥12(lg|A |＋lg|B |)，④正确． (2)当|a |>|b |时，有|a |－|b |>0， ∴|a ＋b |≥||a |－|b ||＝|a |－|b |. ∴必有|a ＋b ||a |－|b |≥1.即|a |>|b |是|a ＋b ||a |－|b |≥1成立的充分条件． 当|a ＋b ||a |－|b |≥1时，由|a ＋b |>0， 必有|a |－|b |>0. 即|a |>|b |，故|a |>|b |是|a ＋b ||a |－|b |≥1成立的必要条件． 故所求为：|a |>|b |. [答案] (1)A (2)|a |＞|b |。
高中数学人教新课标必修四B版教案人教B版 数学 必修4：三角恒等变换单元教学设计
人教B版数学必修4：三角恒等变换单元教学设计案例 3.1.1两角和与差的余弦（一）教学目标知识目标：掌握用向量方法建立两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.能力目标：进一步理解向量法解决问题的方法，培养学生运用数学工具在实践中探索知识，进而获取知识的能力．情感目标：培养学生探索和创新的意识，构建良好的数学思维品质．（二）教学重点，难点本节课的重点是使学生掌握两角和与差的余弦公式．难点是两角差的余弦公式的推导与证明．（三）学法与教学用具1. 学法：启发式教学2. 教学用具：多媒体（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图探究提出问题并引入新课师：探究βαβαcoscos)cos(-≠-生：反例：3cos2cos)32cos(6cosπππππ-≠-=问题：βαβαcos,cos),cos(-的关系？创设问题的情景，通过设疑，引导学生开展积极的思维活动复习复习有关知识，寻求解决问题的思路复习：1。
余弦的定义在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角β的终边与单位圆的交点为P,βcos等于角α与单位圆交点的横坐标通过复习相关知识为下面公式的推导做好铺垫。
β终边yxOP2．能否用向量的方法求角的余弦？ 师：M 、N 是β两边上任一点，ONOM ON OM ∙=βcos（显然为了简化计算，取M 、N 为α两边与单位圆的交点， 此时有ON OM ∙=βcos ）公式的推导公式的推导证明 公式理解和基本掌握。
如图构造角α，终边与单位圆交于Q, , β终边Qα终边yx OP师：指出角αβ-与OQ OP ,关系： 生：Z k k OQ OP ∈+±=-,2,πβα 则OQ OP ,cos )cos(=-βα 师：写出点P 、Q 坐标 生: )sin ,(cos ),sin ,(cos ββααP Q 带领学生推导公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-（板书） 因为：OQOP OQ OP OQ OP ∙==-,cos )cos(βα)sin ,(cos )sin ,(cos ββαα∙=∙OQ OP通过定义的复习，在坐标系中找到差角的几何表示，利用以上的铺垫引导学生试探采用向量方法去解决问题，同时也体会到向量的工具性作用。
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2．3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式(1)平面向量数量积的坐标表示是什么？(2)如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？[新知初探]1．向量数量积及向量垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2) (1)数量积a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2.(2)若a ，b 为非零向量，a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.[点睛] 记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”． 2．三个重要公式(1)向量的长度公式：已知a ＝(a 1，a 2)，则|a |＝a 21＋a 22.(2)两点间的距离公式：A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)向量的夹角公式：a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量的模等于向量坐标的平方和．( )(2)若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0.( )(3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．已知a ＝(－3,4)，b ＝(5,2)，则a ·b 的值是( ) A ．23 B ．7 C ．－23 D ．－7 答案：D3．已知向量a ＝(x －5,3)，b ＝(2，x )，且a ⊥b ，则由x 的值构成的集合是( ) A ．{2,3} B ．{－1,6} C ．{2} D ．{6} 答案：C预习课本P112～114，思考并完成以下问题4．已知a ＝(1，3)，b ＝(－2,0)，则|a ＋b |＝________. 答案：2平面向量数量积的坐标运算[典例] (1)(全国卷Ⅱ)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2(2)(广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，则AD ·AC＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2[解析] (1)a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1.(2)由AC ＝ AB ＋AD ＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得AD ·AC＝(2,1)·(3，－1)＝5.[答案] (1)C (2)A数量积坐标运算的两条途径进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．[活学活用]已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10. (1)求向量a 的坐标； (2)若c ＝(2，－1)，求(b ·c )·a .解：(1)因为a 与b 同向，又b ＝(1,2)， 所以a ＝λb ＝(λ，2λ)．又a ·b ＝10，所以1·λ＋2·2λ＝10，解得λ＝2>0. 因为λ＝2符合a 与b 同向的条件，所以a ＝(2,4)． (2)因为b ·c ＝1×2＋2×(－1)＝0，所以(b ·c )·a ＝0·a ＝0.向量的模的问题[典例] (1)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5D ．10(2)已知点A (1，－2)，若向量 AB 与a ＝(2,3)同向，|AB |＝213，则点B 的坐标是________．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a ⊥c ，b ∥c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝0，2y ＋4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2. ∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，a ＋b ＝(3，－1)． ∴|a ＋b |＝10.(2)由题意可设AB ＝λa (λ＞0)， ∴ AB ＝(2λ，3λ)．又|AB |＝213，∴(2λ)2＋(3λ)2＝(213)2，解得λ＝2或－2(舍去)．∴AB ＝(4,6)．又A (1，－2)，∴B (5,4)．[答案] (1)B (2)(5,4)求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算：若a ＝(x ，y )，则a ·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2.[活学活用]1．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为________． 解析：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ)， |2a －b |＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ)2 ＝4cos 2θ－43cos θ＋3＋4sin 2θ ＝7－43cos θ，当且仅当cos θ＝－1时，|2a －b |取最大值2＋ 3. 答案：2＋ 32．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.解析：∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，∴a·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c ＝a －(a·b )b ＝(2,4)－6(－1,2)＝(2,4)－(－6,12)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2. 答案：8 2向量的夹角和垂直问题[典例] (1)已知a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，(a ＋λb )⊥b ，则实数λ＝________.(2)已知a ＝(2,1)，b ＝(－1，－1)，c ＝a ＋kb ，d ＝a ＋b ，c 与d 的夹角为π4，则实数k 的值为________．[解析] (1)∵a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)， ∴a ＋λb ＝(3－λ，2＋2λ)． 又∵(a ＋λb )⊥b ， ∴(a ＋λb )·b ＝0，即(3－λ)×(－1)＋2×(2＋2λ)＝0， 解得λ＝－15.(2)c ＝a ＋kb ＝(2－k,1－k )，d ＝a ＋b ＝(1,0)， 由cos π4＝22得(2－k )×1＋(1－k )×0(2－k )2＋(1－k )2·12＋02＝22， ∴(2－k )2＝(k －1)2，∴k ＝32.[答案] (1)－15 (2)32解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b|a ||b |求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)由于0≤θ≤π，利用cos θ＝a ·b|a ||b |来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.[活学活用]已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小． 解：(1)∵a ∥b ，∴3x ＝4×9，∴x ＝12. ∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0，∴y ＝－3， ∴b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)， n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)． 设m ，n 的夹角为θ， 则cos θ＝m ·n |m ||n |＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)272＋12＝－25252＝－22.∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，即m ，n 的夹角为3π4.[典例] 已知点A ，B ，C 34＝5[解] [法一 定义法]如图，根据题意可得△ABC 为直角三角形，且B ＝π2，cos A ＝35，cos C ＝45，＝4×5cos(π－C )＋5×3cos(π－A ) ＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×35＝－25.[法二 坐标法]如图，建立平面直角坐标系， 则A (3,0)，B (0,0)，C (0,4)．(－3,0)(0,4)(3，－4)．3×0＋0×4＝0，0×3＋4×(－4)＝－16，3×(－3)＋(－4)×0＝－9.0－16－9＝－25. [法三 转化法]∵345，∴AB ⊥BC 0，2＝－25.[活学活用]如果正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，那么cos ∠DOE 的值为________．解析：法一：以O 为坐标原点，OA ，OC 所在的直线分别为x 轴，y⎝⎛⎭⎫1，12，⎝⎛⎭⎫12，1.故cos ∠DOE 1×12＋12×152×52＝45.法二∴＝52，＝52，＝1， ∴cos ∠DOE ＝45. 答案：45层级一 学业水平达标1．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A.3 B ．3 C ．－ 3D ．－3解析：选D 向量a 在b 方向上的投影为a·b |b |＝－62＝－3.选D.2．设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．10解析：选B 由a ⊥b 得a·b ＝0， ∴x ×1＋1×(－2)＝0，即x ＝2， ∴a ＋b ＝(3，－1)， ∴|a ＋b |＝32＋(－1)2＝10.3．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6D ．12 解析：选D 2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )，由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0，∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12.4．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865B ．－865C.1665 D ．－1665解析：选C 设b ＝(x ，y )，则2a ＋b ＝(8＋x,6＋y )＝(3,18)，所以⎩⎪⎨⎪⎧8＋x ＝3，6＋y ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝12，故b ＝(－5,12)，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1665.5．已知A (－2,1)，B (6，－3)，C (0,5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：选A (8，－4) (2,4)(－6,8)，2×8＋(－4)×4＝0∴∠BAC ＝90°， 故△ABC 是直角三角形．6．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a|＝________. 解析：a ＋c ＝(3,3m )，由(a ＋c )⊥b ，可得(a ＋c )·b ＝0，即3(m ＋1)＋3m ＝0，解得m ＝－12，则a ＝(1，－1)，故|a |＝ 2.答案： 27．已知向量a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)，a 与2a ＋b 的夹角为θ，则θ＝________. 解析：∵a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)， ∴|a |＝2，|2a ＋b |＝2，a ·(2a ＋b )＝2， ∴cos θ＝a ·(2a ＋b )|a ||2a ＋b |＝12，∴θ＝π3.答案：π38．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a·b ＝3，则向量b 的坐标为________．解析：设b ＝(x ，y )(y ≠0)，则依题意有⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，3x ＋y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝32，故b ＝⎝⎛⎭⎫12，32.答案：⎝⎛⎭⎫12，329．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R.(1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |. 解：(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x ) ＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0， 即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)， a －b ＝(2，－4)，|a －b |＝4＋16＝2 5. 综上，|a －b |＝2或2 5.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,4)，B (－2,3)，C (2，－1)．(1)；(2)设实数t 满足t 的值．解：(1)(－3，－1)(1，－5)，3×1＋(－1)×(－5)＝2.(－2，－6)，∴＝4＋36＝210.(2)(－3－2t ，－1＋t )(2，－1)，且∴0， ∴(－3－2t )×2＋(－1＋t )·(－1)＝0， ∴t ＝－1.层级二 应试能力达标1．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解析：选C 由题意知|a |＝12＋02＝1，|b |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝22，a ·b ＝1×12＋0×12＝12，(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝12－12＝0，故a －b 与b 垂直．2(2,2)(4,1)，在x 轴上有一点P P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)解析：选C 设P (x,0)(x －2，－2)(x －4，－1)，(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，故当x ＝3P 的坐标为(3,0)．3．若a ＝(x,2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，103 B.⎝⎛⎦⎤－∞，103 C.⎝⎛⎭⎫103，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫103，＋∞ 解析：选C x 应满足(x,2)·(－3,5)＜0且a ，b 不共线，解得x ＞103，且x ≠－65，∴x ＞103.4(－3,1)(0,5)(O 为坐标原点)，则点C 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－3，－294 B.⎝⎛⎭⎫－3，294 C.⎝⎛⎭⎫3，294 D.⎝⎛⎭⎫3，－294解析：选B 设C (x ，y )(x ，y )．(－3,1)，(x ＋3，y －1)．∴5(x ＋3)－0·(y －1)＝0， ∴x ＝－3.(0,5)，(x ，y －5)(3,4)．3x ＋4(y －5)＝0，∴y ＝294，∴C 点的坐标是⎝⎛⎭⎫－3，294. 5．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.解析：因为向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝ma ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20.因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以c·a |c|·|a|＝c·b |c|·|b|，即a·c |a |＝b·c |b |，所以5m ＋85＝8m ＋2025， 解得m ＝2.答案：26．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB ______；______．解析：以D 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，设E (1，a )(0≤a ≤1)．(1，a )·(1,0)＝1，(1，a )·(0,1)＝a ≤1，1.答案：1 17．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)．(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ.解：(1)设c ＝(x ，y )，∵|c |＝25，∴x 2＋y 2＝25，∴x 2＋y 2＝20.由c ∥a 和|c |＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝－4.故c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，∴2×5＋3a ·b －2×54＝0，整理得a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b|a ||b |＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.8．已知 OA ＝(4,0)(2,23)(1－λ(λ2≠λ)．(1)(2)证明A ，B ，C λ的值；(3)的最小值．解：8θ， 则cos θ＝84×4＝12，θ＝4×12＝2.(－2,23)(1－λ(1－λ(λ－A ，B ，C 三点共线．λ－1＝1，所以λ＝2.＝(1－λ)2λ(1－λλ＝16λ2－16λ＋16＝16⎝⎛⎭⎫λ－122＋12，∴当λ＝12时，2 3.。