【人教版】初二数学上册《专训2 分式求值的方法》

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八年级上册数学(人教版)专题训练：分式的运算技巧

分式的运算技巧一、条件求值的三种技巧条件求值与常规的化简求值这两类问题的相同点：都是求某个式子的值．不同点：(1)前者给出的是字母满足的条件，后者给出的是字母的值，因此前者不能直接代入计算；(2)前者中待求式子通常不需要化简，而后者则侧重于化简．► 技巧一整体法为了把已知条件和待求的式子联系起来，我们常把a ＋b ，a －b ，ab ，a 2＋b 2等当作整体，因为根据题目的条件有时不能求出a ，b 的值，即使能求出a 或b 的值，也没必要求出，那样会“走弯路”或把问题复杂化．选择某个式子作为整体不是固定不变的，应视具体条件而定，只要它能把已知和未知“沟通”起来，就可把它当作整体．1．已知实数x 满足x ＋1x ＝3，则x 2＋1x 2的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．92．已知a 2＋3ab ＋b 2＝0(a≠0，b ≠0)，则b a ＋a b的值等于________． 3．已知x ＋y ＝xy ，求1x ＋1y－(1－x)(1－y)的值．4．已知x 2－4x ＋1＝0，求2（x －1）x －4－x ＋6x的值．► 技巧二倒数法ab a ＋b 的倒数是a ＋b ab ，而a ＋b ab 可拆成1a 与1b 的和，即a ＋b ab ＝1b ＋1a.这种先取倒数后拆项的方法可使某些束手无策的问题迎刃而解．5．若x 2－5x ＋1＝0，则x 2x 4＋1的值为________． 6．已知三个数x ，y ，z 满足xy x ＋y ＝－2，yz y ＋z ＝43，zx z ＋x ＝－43，求xyz xy ＋yz ＋zx的值．► 技巧三转化法利用分式的基本性质和已知条件，把异分母的加减法转化为同分母的加减法．7．已知a ，b 为实数，且ab ＝2，则a a ＋1＋b b ＋2的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．若ab ＝1，则31＋a 2＋31＋b 2＝________． 9．已知a ，b ，c 为实数，且abc ＝1，求a ab ＋a ＋1＋b bc ＋b ＋1＋c ca ＋c ＋1的值．二、异分母分式的加减法的两种技巧异分母分式的加减法的常规做法：先确定各分式的最简公分母，再通分，这样即可把异分母分式的加减转化为同分母分式的加减．但是对于某些特殊的异分母分式的加减运算，可以采取约分或运用分配律等方法转化为同分母分式的加减运算或整式的运算，从而达到异曲同工的效果．► 技巧一约分10．计算x 2－1x 2＋2x ＋1＋2x ＋1的结果是( )A ．1B ．2C ．3D ．411．计算：x 2＋9x x 2＋3x ＋x 2－9x 2＋6x ＋9＝________． 12．计算：x 2－y 2x ＋y －4x （x －y ）＋y 22x －y.13．先化简，再求值：(a 2－4a 2－4a ＋4－12－a )÷2a 2－2a，其中a 满足a 2＋3a ＋1＝0.► 技巧二运用分配律含有括号的分式混合运算，通常先算括号里面的，但对有些算式运用分配律，既可以达到去括号的目的，又可以把异分母分式的加减运算转化为整式运算．14．计算(a a －2－a a ＋2)÷a 4－a 2的结果是( ) A ．－4 B ．4 C ．2a D ．－2a15．先化简，再求值：a 2－1a ·(3a a －1－a a ＋1)，其中a ＝2.16．先化简，再求值：(x2－16x2＋8x＋16＋xx－4)÷1x2－16，其中x＝3.17．化简并求值：12a －1a－b·(a－b2a－a2＋b2)，其中a＝10，b＝5.详解详析1．[解析] B 原式＝(x ＋1x)2－2＝32－2＝7.故选B. 2．[答案] －3[解析] b a ＋a b ＝b 2＋a 2ab ，又a 2＋b 2＝－3ab ，故原式＝－3ab ab＝－3. 3．解：∵x ＋y ＝xy ，∴原式＝y ＋x xy －(1－x －y ＋xy )＝x ＋y xy－1＋x ＋y －xy ＝1－1＋0＝0. 4．解： 2（x －1）x －4－x ＋6x ＝2x （x －1）－（x －4）（x ＋6）x （x －4）＝x 2－4x ＋24x 2－4x. ∵x 2－4x ＋1＝0，∴x 2－4x ＝－1. ∴原式＝x 2－4x ＋24x 2－4x ＝－1＋24－1＝－23. 5．[答案] 123[解析] 显然x ＝0不是方程x 2－5x ＋1＝0的解，由此可将方程x 2－5x ＋1＝0的两边同时除以x ，得x 2－5x ＋1x ＝0，左边拆开得x －5＋1x ＝0，即x ＋1x ＝5，两边同时平方，得x 2＋2＋(1x )2＝25，∴x 2＋1x ＝23，即x 4＋1x ＝23，∴x 2x ＋1＝123. 6．解：依题意，得1x ＋1y ＝－12，1y ＋1z ＝34，1z ＋1x ＝－34，以上三个方程相加，得2(1x ＋1y ＋1z )＝－12. 即xy ＋yz ＋zx xyz ＝－14，∴xyz xy ＋yz ＋zx＝－4. 7．[解析] A 将第一个分式的分子和分母同时乘b ，得原式＝ab ab ＋b ＋b b ＋2. ∵ab ＝2，∴原式＝2b ＋2＋b b ＋2＝b ＋2b ＋2＝1.故选A. 8．[答案] 3[解析] 将第二个分式的分子和分母同时乘a 2，得原式＝31＋a 2＋3a 2a 2＋（ab ）2. ∵ab ＝1，∴原式＝31＋a 2＋3a 21＋a 2＝3（1＋a 2）1＋a 2＝3.9．解：将第二个、第三个分式的分子和分母分别乘a ，ab ，得原式＝a ab ＋a ＋1＋ab abc ＋ab ＋a ＋abc a 2bc ＋abc ＋ab . ∵abc ＝1，∴原式＝a ab ＋a ＋1＋ab 1＋ab ＋a ＋1a ＋1＋ab ＝ab ＋a ＋1ab ＋a ＋1＝1. 10．[解析] A 原式＝（x －1）（x ＋1）（x ＋1）2＋2x ＋1＝x －1x ＋1＋2x ＋1＝x ＋1x ＋1＝1.故选A. 11．[答案] 2[解析] 原式＝x （x ＋9）x （x ＋3）＋（x －3）（x ＋3）（x ＋3）2＝x ＋9x ＋3＋x －3x ＋3＝2（x ＋3）x ＋3＝2. 12．解：原式＝（x ＋y ）（x －y ）x ＋y －（2x －y ）22x －y＝x －y －(2x －y )＝－x . 13．解：原式＝[（a －2）（a ＋2）（a －2）2－12－a ]÷2a 2－2a ＝(a ＋2a －2＋1a －2)·a （a －2）2＝12(a 2＋3a )． ∵a 2＋3a ＋1＝0，∴a 2＋3a ＝－1，∴原式＝12×(－1)＝－12. 14．[解析] A 原式＝a a －2·4－a 2a －a a ＋2·4－a 2a ＝－(a ＋2)＋(a －2)＝－4.故选A. 15．解：原式＝a 2－1a ·3a a －1－a 2－1a ·a a ＋1＝3(a ＋1)－(a －1)＝2(a ＋2)．当a ＝2时，原式＝2×(2＋2)＝8.16．解：原式＝[（x －4）（x ＋4）（x ＋4）2＋x x －4]÷1x 2－16＝(x －4x ＋4＋x x －4)·(x ＋4)(x －4)＝(x －4)2＋x (x ＋4)＝2x 2－4x ＋16.当x ＝3时，原式＝22.17．解：原式＝12a －1a －b ·a －b 2a ＋a 2－b 2a －b＝12a －12a ＋a ＋b ＝a ＋b .当a ＝10，b ＝5时，原式＝10＋5＝15.。

人教版数学八年级上册15.2初二数学分式的运算法则知识

309教育资源库
初二数学分式的运算法则知识
分式的运算法则包括了约分、分式的加减乘除法法则和异分母分式的加减法法则这三大要领。

分式的运算法则
1.约分：
把一个分式的分子和分母的公因式约去的过程为约分。

2.分式的乘法法则：
两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置(除数的倒数)后再与被除式相乘。

3. 分式的加减法法则：
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

4.异分母分式的加减法法则：
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。

备注：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。

如：3/2和2/3可化为9/6和4/6.即：3*3/2*3，2*2/3*2
初中学的分式内容其实很简单，如x/y是分式，还有x(y+2)/y也是分式，计算的要求也不高。

309教育资源库。

人教版八年级数学上册阶段方法技巧训练专训2 分式运算的八种技巧(共18张PPT)

= 4x3 ＋ 4x3 x4 1 x4＋1
4x3 x4＋1＋4x3 x4 1 =
x4 1 x4＋1
8x7
=
.
x8 1
此类题在计算时，采用“分步通分相加”的方法，逐步递进进行计算，达到化繁为简的目的．在解题时既要看到局部特征，又要全局考虑．
技巧 3 整体通分法
3．化简：a－b－
a＋ b 2 .
ab
解：原式
a =
b2
ab
a＋b 2 ab
a b 2 a＋b 2 =
ab
= 4ab . ab
本题将a－b看成一个整体进行通分，使解题简捷．
技巧 4 换元通分法
3m 2n 3
4．计算：(3m－2n) ＋ 3m
2 n＋ 1 －(3m－2n)2
＋ 2n 3m .
3m 2n 1
解：设3m－2n＝x，则原式＝ x＋xx＋ 31 x2
x x1
xx2 1＋ x3 x1 x2 x2 1 xx ＋ 1
=
x ＋ 1x 1
=x ＋ 12x x
22n3m 1=3m2n ＋ 13m2n1.
技巧 4
裂项相消法
即 n
1 n＋1
=1 n
1 n＋1
5．计算：
1＋ 1 ＋ 1 aa＋ 1 a＋ 1a＋ 2 a＋ 2a＋ 3
＋
＋ a＋99
1 a＋100
1＋1＋1 2 1＋1＋1,
abc
6 9 15
所以1＋1＋1 31. a b c 180
易知abc≠0，所以 abc = 1
ab＋bc＋ac 1＋1＋1 cab
180. 31
技巧 7 倒数求值法
x 7．已知 x2－3x＋1

人教版数学八年级上册分式运算2

分式乘除法的应用
例2 “丰收1号”小麦的试验田是边长为a m（a ＞1）的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a-1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了 500 kg．（1）哪种小麦的单位面积产量高？（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少

a2 -1 500
= a+1 . a-1
所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是
“丰收1号”小麦的单位面积产量的
a+1 a-1
倍．
分式乘除法的应用
归纳解题步骤：（1）先根据题意分别列出表示两个量的代数式；（2）再根据题意列出相应的算式；（3）最后通过计算解决问题．
课堂小结
运用分式的乘除法法则计算分子或分母含有多项式的分式主要步骤是什么？
布置作业教材第144页第2题．
分式乘除法的计算
解：
（2）49-1m2

1 m2 -7m
=-
1 m2 -49
（m2 -7m）
=- m（m-7）（m+7）（m-7）
=- m . m+7
分式乘除法的计算
解题策略：对于分子与分母都是单项式的两个分式乘除，可直接利用分式的乘除法法则，再根据分式的基本性质进行约分，将最后的结果化成最简分式．而对于分子或分母中含有多项式的两个分式相乘，为了使算式简洁，也便于找出分子与分母中的公因式，需要先将多项式因式分解，把多项式化成整式的积的形式，然后利用分式的乘除法法则进行运算，利用分式的基本性质进行约分，并把最后的结果化成最简分式．
分式乘除法的计算
例1 计算：
（1）aa22--42aa++14

人教版八年级数学上册小专题_分式的化简与求值

小专题分式的化简与求值
类型1 分式的运算
1.计算：
(1)
(2)
（甘孜中考）
(7)
（重庆中考）
类型2 分式的化简求值
2.，其中
3.（原黑龙江中考）先化简，再求值：，其中
4.其中
5.（眉山中考）先化简，再求值：，其中满足
6.（广安中考）先化简，并从-1,0,1,2四个数中，
选一个合适的的数代入求值.
7.，其中
8.的非负整数解中选择一
个适当的数代入求值.
9.的范围内选取一个你喜欢的
的值代入求值
10.先化简，，其中
的整数解中选取.
参考答案
1.解：（1）原式=1（2）原式=（3）原式=（4）原式=
（5）原式=（6）原式=（7）原式=8）原式=
（9）原式=
2.解：原式=当时，原式=
3.解：原式=.当时，原式=
4.解：，
原式.当时，原式=
5.解：原式=.则原式=
6.解：原式=且，则原式=-1
7.解：原式=.当时，原式=7
8.解：原式=不等式的非负整数解是0,1,2,且，-2，
.当时，原式=2；当时，原式=
9.解：原式=.当时，原式=4（答案不唯一.注：）
10.解：原式=解得不等式组的整数解为
要使分式有意义，只能取2，原式=-2。

2022分式的运算人教版数学八年级上册教案

2022分式的运算人教版数学八年级上册教案分式的运算法那么有分式的约分法那么，公因式的提取方法，最简分式法那么，分式除法法那么和分式乘方法那么。

以下是WTT整理的分式的运算人教版数学八年级上册教案，欢送大家借鉴与参考!15.2分式的运算教案1.理解同分母分式与异分母分式加减法的运算法那么，体会类比思想.2.能运用同分母分式和异分母分式加减运算法那么进展运算，体会化归思想.分式的加减法法那么.异分母分式的加减运算.一师一优课一课一名师(设计者：)一、创设情景，明确目的同学们还记得分数是如何进展加减法运算的吗?(找同学表达)如今我们看下面两个问题：问题1：甲工程队完成一项工程需要n天，乙工程队要比甲队多用3天，才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几?问题2：2022年、2022年、2022年某地的森林面积(单位：公顷)分别是1S、2S、3S，2022年与2022年相比，森林面积增长率进步了多少?请按两个问题的要求列出代数式，请观察两个代数式有何特征，如何对这类代数式进展运算，这就是我们今天所要探究的内容.二、自主学习，指向目的1.自学教材第139至140页.2.学习至此：请完成《学生用书》相应局部.三、合作探究，达成目的分式加减法运算法那么及应用活动一：1.让学生观察课本P140页考虑，并让学生表达分数加减法法那么.2.类似分数加减法运算法那么，推广可得分式的加减法法那么，你能表达吗?展示点评：同分母的分式相加减，分母________，把分子相________.异分母的分式相加减，先________，变为________分式，再加减.《15.2分式的运算》同步练习试题16.有甲、乙两筐水果，甲筐水果重(x-1)2千克，乙筐水果重(x2-1)千克(其中x>1)，售完后，两筐水果都卖了50元.(1)哪筐水果的单价卖得低?(2)高的单价是低的单价的多少倍?15.2.2分式的加减：精选练习8.甲、乙两人3次都同时到某个体米店买米，甲每次买m(m为正整数)千克米，乙每次买米用去2m元.由于市场方面的原因，虽然这3次米店出售的是一样的米，但单价却分别为每千克1.8元、2.2元、2元，那么比拟甲3次买米的平均单价与乙3次买米的平均单价，结果是( )A.甲比乙廉价B.乙比甲廉价C.甲与乙一样 D .由m的值确定。

八年级数学上册解题技巧专题分式运算中的技巧(新版)新人教版

x －y 的结果是() x A ．－ y 6 ．先化简，再求值： x 2－2x ＋1÷ 1－ 3 ⎫ ⎪，其中 x ＝0.C .2x －y 2 ．化简 m2⎛ 2x x －1⎫ 1 7．计算 2 ⎪÷ 2⎝x －1 x ＋1⎭ x －1的结果是 A .18 ．化简： 2 － 1 ⎫ ⎝a －1 a ＋1⎭·(a － 1) ＝ 9 ．先化简，再求值：1a解题技巧专题：分式运算中的技巧——观特点，定顺序，灵活计算◆类型一按常规步骤运算1 11．计算－2x ＋yx （x －y ） B .x （x －y ）⎝ x ＋1⎭x 2－1x （x －y ）D.yx （x －y ）6 2 m ＋3 ＋ m 2－9 ÷ m －3 的结果是________．3．(2015－2016·祁阳县校级期中 )先2a ＋1 a 2－2a ＋1 1化简，再求值： a 2－1 · a 2－a －a ＋1，1其中 a ＝－ .◆类型二先约分再化简a 2－1 a 2－a4．化简： 2＋2a ＋1÷ a ＋1 ＝________．9－a 25 ．化简求值： (a －3)· a 2－6a ＋9 ＝________，当 a ＝－3 时，该代数式的值为________．◆类型三混合运算中灵活运用分配律＋( )1x 2＋1 B .x 2－1 C ．x 2＋1 D ．x 2－12________．2x－· x 2－y 2＋x ＋y ⎫ 2x ⎭x ＋y ⎝ 10．若 xy －x ＋y ＝0 且 xy≠0，则分式1y A . 1a 12．先化简，再求值： ⎛x －1 x －2⎫ ⎝ x －x ＋1⎭1 ⎛ ⎪，其中 x ＝2，y ＝3.◆类型四分式化简求值注意整体代入x1－的值为( )xy B ．xy C ．1 D ．－1111．已知：a 2－3a ＋1＝0，则 a ＋－2的值为( )A . 5＋1B ．1C ．－1D ．－5⎪ 2x 2－x ÷x 2＋2x ＋1，其中 x 满足 x 2－x －1＝0.参考答案与解析1．A 2.1 3 ．解：原式＝2a ＋1 （a －1）2 1（a ＋1）（a －1） · a （a －1）－ a ＋1 ＝a （a ＋1） a ＋1 a （a ＋1） a 当 a ＝－时，原式＝－2.4. 5.－a －3 06．解：原式＝ ÷ ＝ .当 x2 2x x ＋y 2x x （x ＋1） x （2x －1） x 22a ＋1 1 a ＋1 1－＝＝ .121ax －1 x －2 x －1x ＋1 x ＋1 x －21＝0 时，原式＝ .7．C 8.a ＋31 x 2－y2 19．解：原式＝－－＝－x ＋y .当 x ＝2，y ＝3 时，原式＝1.10．D 11.B12 ．解：原式＝x 2－1－x 2＋2x （x ＋1）2 x ＋1· ＝ x －1＝0，∴x 2＝x ＋1，∴原式＝1..∵x 2 －。

八年级数学上阶段方法技巧训练：分式求值的方法高品质版

2x
的值．
方法 5 设参数求值
7．已知 x = y = z 2 34
x 2－ y 2＋ 2z 2 ≠0，求 xy＋ yz＋ xz
的值．
解：设 x = y = z = k ≠0，则x＝2k，y＝3k， 2 34
z＝4k. 所以 x x 2 y －＋ y y 2 z ＋＋ 2 x zz2=2 (k 2k 贩 )3 2 k －＋ ( 3 3 k k)24 ＋ k＋ 2·2 ( k 4k ?)4 2 k
x2 ＋ y2 ＋ z2 y＋z z＋x x＋y
＋x＋y＋z＝x＋y＋z.
所以
x2 ＋y2 ＋z2 y＋z x＋z x＋y
=
0.
条件分式的求值，如需对已知条件或所求条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能收到事半功倍的效果．条件分式的求值问题体现了数学中的转化思想．
同类变式
6．已知实数x满足4x2－4x＋1＝0，求2x＋ 1
同类变式
4．已知x＋y＝12，xy＝9，求
x 2＋ 3 xy＋ y 2 x 2 y＋ xy 2
的值．
方法 4 巧变形法求值
5．已知 y＋ xz＋z＋ yx＋x＋ zy=1，且x＋y＋z≠0，
求
x2 ＋ y2 ＋ z2 y＋z x＋z x＋y
的值．
解：因为x＋y＋z≠0，
所以给已知等式的两边同时乘(x＋y＋z)，
27k 2 27
=
=.
26k 2 26
随着年岁的叠加，我们会渐渐发现：越是有智慧的人，越是谦虚，因为昂头的只是稗子，低头的才是稻子；越是富有的人，越是高贵，因为真正的富裕是灵魂上的高贵以及精神世界的富足；越是优秀的人，越是努力，因为优秀从来不是与生俱来，从来不是一蹴而就。随着沧桑的累积，我们也会慢慢懂得：成功的路，其实并不拥挤，因为能够坚持到底的人实在太少；所有优秀的人，其实就是活得很努力的人，所谓的胜利，其实最后就是自身价值观的胜利。人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；生活，只有将尘世况味种种尝遍，才能熬出头。这世间，从来没有最好，只有更好。每天，总想要努力醒得比太阳还早，因为总觉得世间万物，太阳是最能赐人力量和能量的。每当面对喷薄的日出，心中的太阳随之冉冉腾起，生命之火熊熊燃烧，生活的热情就会光芒四射。我真的难以想象，那些从来不早起的人，一生到底能够看到几回日升？那些从来没有良好习惯的人，活到最后到底该是多么的遗憾与愧疚？曾国藩说：早晨不起，误一天的事；幼时不学，误一生的事。尼采也说：每一个不曾起舞的日子，都是对生命的辜负。光阴易逝，岂容我待？越是努力的人，越是没有时间抱怨，越是没有工夫颓丧。每当走在黎明的曙光里，看到那些兢兢业业清洁城市的“美容师”，我就会由衷地欣赏并在心底赞叹他们，因为他们活得很努力很认真。每当看见那些奔跑在朝霞绚烂里的晨练者，我就会从心里为他们竖起大拇指，因为他们给自己力量的同时，也赠予他人能量。我总觉得：你可以不优秀，但你必须有认真的态度；你可以不成功，但你必须努力。这个世界上，从来没有谁比谁更优秀，只有谁比谁更努力。我也始终认为：一个活得很努力的人，自带光芒万丈；一个人认真的样子，比任何时候都要美好；一个能够自律自控的人，他的人生也就成功了大半。世间每一种的好，从来都只为懂得努力的人盛装而来。有时候，我真的感觉，人生的另一个名字应该叫做努力，努力了就会无悔，努力了就会无愧；生活的另一种说法应该叫做煎熬，熬过了漫漫黑夜，天就亮了，熬过了萧萧冬日，春天就来了。人生不易，越努力越幸运；余生不长，越珍惜越精彩。人生，是一本太仓促的书，越认真越深刻；生命，是一条无名的河，越往前越深邃。愿你不要为已逝的年华叹息，不要为前路的茫茫而裹足不前愿你相信所有的坚持总能奏响黎明的号角，所有的努力总能孕育硕果的盛驾光临。愿你坚信越是成功的人越是不允许自己颓废散漫，越是优秀的人越是努力……生活中很多时候，我们遇到一些复杂的情况，会很容易被眼前的障碍所蒙蔽，找不到解决问题的方法。这时候，如果能从当前的环境脱离出来，从一个新角度去解决问题，也许就会柳暗花明。一个土豪，每次出门都担心家中被盗，想买只狼狗栓门前护院，但又不想雇人喂狗浪费银两。苦思良久后终得一法：每次出门前把WiFi修改成无密码，然后放心出门每次回来都能看到十几个人捧着手机蹲在自家门口，从此无忧。护院，未必一定要养狗换个角度想问题，结果大不同。一位大爷到菜市场买菜，挑了3个西红柿到到秤盘，摊主秤了下：“一斤半3块 7。”大爷：“做汤不用那么多。”去掉了最大的西红柿。摊主:“一斤二两，3块。”正当身边人想提醒大爷注意秤时，大爷从容的掏出了七毛钱，拿起刚刚去掉的那个大的西红柿，潇洒地换种算法，独辟蹊径，你会发现解决问题的另一个方法。生活中，我们特别容易陷入非A即B的思维死角，但其实，遭遇两难困境时换个角度思考，也许就会明白：路的旁边还有路。一个鱼塘新开张，钓费100块。钓了一整天没钓到鱼，老板说凡是没钓到的就送一只鸡。很多人都去了，回来的时候每人拎着一只鸡，大家都很高兴！觉得老板很够意思。后来，钓鱼场看门大爷告诉大家，老板本来就是个养鸡专业户，这鱼塘本来就没鱼。巧妙的去库存，还让顾客心甘情愿买单。新时代，做营销，必须打破传统思维。孩子不愿意做爸爸留的课外作业，于是爸爸灵机一动说：儿子，我来做作业，你来检查如何？孩子高兴的答应了，并且把爸爸的“作业”认真的检查了一遍，还列出算式给爸爸讲解了一遍不过他可能怎么也不明白为什么爸爸所有作业都做错了。巧妙转换角色，后退一步，有时候是另一种前进。一个博士群里有人提问：一滴水从很高很高的地方自由落体下来，砸到人会不会砸伤？或砸死？群里一下就热闹起来，各种公式，各种假设，各种阻力，重力，加速度的计算，足足讨论了近一个小时后来，一个不小心进错群的人默默问了一句：你们没有淋过雨吗人们常常容易被日常思维所禁锢，而忘却了最简单也是最直接的路有两个年轻人，大学毕

专题课分式求值的几种常用方法人教版广东八年级数学上册课件PPT

第15章专题课分式求值的几种常用方法-2020秋人教版（广东）八年级数学上册课件
解：(1)∵x2－2xx－2＝4， ∴x2－2xx－2＝14. ∴x－2－2x＝14. ∴x－2x＝94.
第15章专题课分式求值的几种常用方法-2020秋人教版（广东）八年级数学上册课件
第15章专题课分式求值的几种常用方法-2020秋人教版（广东）八年级数学上册课件
第15章专题课分式求值的几种常用方法-2020秋人教版（广东）八年级数学上册课件
第15章专题课分式求值的几种常用方法-2020秋人教版（广东）八年级数学上册课件
方法 4 利用整体思想求值【例 4】已知 a2－a＋1＝2，则a2－2 a＋a－a2 的值为 1 ．【变式 4】若 a2＋5ab－b2＝0，则ba－ba的值为 5 .
第15章专题课分式求值的几种常用方法-2020秋人教版（广东）八年级数学上册课件
第15章专题课分式求值的几种常用方法-2020秋人教版（广东）八年级数学上册课件
【变式 5】已知x2－2xx－2＝4.求值： (1)x－2x；
x2 (2)x4－6x2＋4.
第15章专题课分式求值的几种常用方法-2020秋人教版（广东）八年级数学上册课件
数学
第十五章分式专题课分式求值的几种常用方法
01 课堂精讲精练
方法1 利用分式的基本性质求值【例1】【整体思想】已知1x－1y＝5，求分式2xx＋－23xxyy－－y2y的值．解：由已知条件可知，xy≠0. 原式＝（（2xx＋－23xxyy－－y2）y）÷÷（（－－xyx）y）
＝2（（1x1x－－1y1y））－＋23. ∵1x－1y＝5， ∴原式＝2×5－5＋23＝133.

【人教版】初二数学上册《专训2 分式求值的方法》

1．【2016·咸宁】a ，b 互为倒数，代数式÷⎝a ＋b⎭的值为________．a ＋b 2．先化简，再求值： 2 x ＋2xy ＋y 2 x －y专训 2 分式求值的方法名师点金：分式的求值既突出了式子的化简计算，又考查了数学方法的运用，在计算中若能根据特点，灵活选用方法，往往会收到意想不到的效果．常见的分式求值方法有：设参数求值、活用公式求值、整体代入法求值、巧变形法求值等．直接代入法求值a 2＋2ab ＋b 2 ⎛1 1⎫化简求值x 2－y 2 x ＋y－，其中 x ＝1，y ＝－3.整体代入法求值13．已知 x 2－5x ＋1＝0，求 x 4＋x 4的值．x 2y ＋xy 2 y ＋z z ＋x x ＋y y ＋z x ＋z x ＋y 6．已知实数 x 满足 4x 2－4x ＋1＝0，求 2x ＋的值．x 2＋3xy ＋y 2 4．已知 x ＋y ＝12，xy ＝9，求的值．巧变形法求值x y z x 2 y 2 z 2 5．已知＋＋＝1，且 x ＋y ＋z ≠0，求＋＋的值．1 2x设参数求值x y z x2－y2＋2z2 7．已知＝＝≠0，求的值．234xy＋yz＋xz1．1 点拨：原式＝ ÷ ＝ · ＝ab ，由 a ，b 互为倒数可得 ab 2．解：原式＝－＝＝－ 2 ，当 x ＝1，y ＝－3 时，原式＝－ . 3．解：由 x 2－5x ＋1＝0 得 x ≠0，∴x ＋＝5. ∴x 4＋ 4＝⎝x 2＋x 2⎭ －2＝⎣⎛⎝x ＋x ⎫⎭ －2⎦ －2＝527. x 2y ＋xy 2 xy （x ＋y ） xy （x ＋y ） 9×12 12 ab y ＋z z ＋x x ＋y y ＋z y ＋z z ＋x z ＋x x ＋y x ＋y 所以＋＋＋x ＋y ＋z ＝x ＋y ＋z. y ＋z x ＋z x ＋y∴原式＝1＋＝2. 7．解：设＝＝＝k ≠0，则 x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k. x （y ＋z ） y （z ＋x ）答案（a ＋b ）2 a ＋b （a ＋b ）2 ab a ＋b a ＋b a ＋b＝1，所以原式＝1，故答案为 1.x －y x ＋y x ＋y x －y（x －y ）2－（x ＋y ）2 4xy 3 （x －y ）（x ＋y ） x －y 22 点拨：本题考查了分式的化简与求值．正确化简分式是解题的关键，熟练掌握整式的因式分解是化简的基础．1 x1 ⎛ 1 ⎫2 ⎡ 1 2 ⎤2 x点拨：在求解有关分式中两数(或两式)的平方和问题时，可考虑运用完全平方公式进行解答．x 2＋3xy ＋y 2 x 2＋2xy ＋y 2＋xy （x ＋y ）2＋xy 4．解：＝＝因为 x ＋y ＝12，xy ＝9， 122＋9 17 所以原式＝＝ . 5．解：因为 x ＋y ＋z ≠0，所以给已知等式的两边同时乘 (x ＋ y ＋ z) ，得 x （x ＋y ＋z ） y （x ＋y ＋z ）＋＋ z （x ＋y ＋z ）＝x ＋y ＋z ，x 2 y 2 z 2 z （x ＋y ）即＋＋＋＋＋＝x ＋y ＋z.x 2 y 2 z 2 y ＋z z ＋x x ＋yx 2 y 2 z 2 所以＋＋＝0.点拨：条件分式的求值，如需对已知条件或所求条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能收到事半功倍的效果．条件分式的求值问题体现了数学中的转化思想． 6．解：∵4x 2－4x ＋1＝0，∴(2x －1)2＝0，∴2x ＝1.1 1x y z 2 3 4xy ＋yz ＋xz ＝＝ . x 2－y 2＋2z 2 所以＝（2k ）2－（3k ）2＋2· （4k ）2 2k·3k ＋3k·4k ＋2k·4k 27k 2 27 26k 2 26。

人教版八年级数学上解题技巧专题：分式运算中的技巧.docx

桑水初中数学试卷桑水出品解题技巧专题：分式运算中的技巧——观特点，定顺序，灵活计算◆类型一按常规步骤运算1．计算1x －1x －y 的结果是( )A ．－yx （x －y ） B .2x ＋y x （x －y ）C .2x －y x （x －y ）D .y x （x －y ） 2．化简m m ＋3＋6m 2－9÷2m －3的结果是________．3．(2015－2016·祁阳县校级期中)先化简，再求值：2a ＋1a 2－1·a 2－2a ＋1a 2－a －1a ＋1，其中a ＝－12.◆类型二先约分再化简4．化简：a 2－1a 2＋2a ＋1÷a 2－aa ＋1＝________．5．化简求值：(a －3)·9－a 2a 2－6a ＋9＝________，当a ＝－3时，该代数式的值为________．6．先化简，再求值：x 2－2x ＋1x 2－1÷⎝⎛⎭⎫1－3x ＋1，其中x ＝0.◆类型三混合运算中灵活运用分配律7．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x 2－1＋x －1x ＋1÷1x 2－1的结果是( )A .1x 2＋1B .1x 2－1C ．x 2＋1D ．x 2－1桑水8．化简：⎝⎛⎭⎫2a －1－1a ＋1·(a 2－1)＝________． 9．先化简，再求值：12x －1x ＋y ·⎝⎛⎭⎫x 2－y 2＋x ＋y 2x ，其中x ＝2，y ＝3.◆类型四分式化简求值注意整体代入10．若xy －x ＋y ＝0且xy ≠0，则分式1x －1y 的值为( )A .1xyB ．xyC ．1D ．－1 11．已知：a 2－3a ＋1＝0，则a ＋1a －2的值为( )A .5＋1B ．1C ．－1D ．－512．先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －x －2x ＋1÷2x 2－xx 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－x －1＝0.参考答案与解析1．A 2.13．解：原式＝2a ＋1（a ＋1）（a －1）·（a －1）2a （a －1）－1a ＋1＝2a ＋1a （a ＋1）－1a ＋1＝a ＋1a （a ＋1）＝1a. 当a ＝－12时，原式＝－2.桑水4.1a5.－a －3 0 6．解：原式＝x －1x ＋1÷x －2x ＋1＝x －1x －2.当x ＝0时，原式＝12.7．C 8.a ＋39．解：原式＝12x －x 2－y 2x ＋y －12x ＝－x ＋y .当x ＝2，y ＝3时，原式＝1.10．D 11.B12．解：原式＝x 2－1－x 2＋2x x （x ＋1）·（x ＋1）2x （2x －1）＝x ＋1x 2.∵x 2－x －1＝0，∴x 2＝x ＋1，∴原式＝1.。

2020-2021学年八年级数学专题特训(分式求值的方法与技巧)

八年级数学专题特训(分式求值的方法与技巧)类型一化简后直接带入求值1.当6,3x y ==时，代数式232x y xy x y x y x y ⎛⎫+ ⎪+++⎝⎭的值是( )A.2B. 3C.6D. 92.当2x =时，代数式211x x x x x ++⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭的值是 . 3. (2019·淮安)先化简，再求值:2421a a a -⎛⎫÷- ⎪⎝⎭，其中5a =.4.先化简，再求值: 222(2)()y x y y x y x y x y x y ⎛⎫--÷--+ ⎪+-⎝⎭，其中1,2x y =-=.类型二变形后求值5.已知，16x x +=，则221x x +的值为( ) A.38 B. 36 C.34 D. 326.已知113x y x y +=+，则y x x y +的值为 . 7.已知3m n mn +=，则11m n +的值为 . 8.已知2ab a b =+，3bc b c =+，1ac a c =+，则abc ab bc ac =++ .9.当x 分别取1111100,,99,,98,,,2,,1,010099982⋅⋅⋅时，分式2211x x -+都对应着一个值，将所有这些值相加得到的和为 .类型三整体代入求值10.(2019·北京)如果1m n +=，那么代数式22221()()m n m n m mn m ++⋅--的值为( ) A.－3 B.－1 C. 1 D. 311.(2019·本溪)先化简，再求值：222412()4422a a a aa a --÷-+--，其中2320a a +-=.12. (2019·通辽)先化简: 221211212x x x x x x +÷+--++，再从不等式组52130x x -≥⎧⎨+>⎩的整数解中选择一个你喜欢的数代入求值.13.(2019·东营)先化简: 22222()a b a ab b a b a ab a ++-÷--，当1a =-时，请你选择一个合适的数作为b 的值代入求值.14.( 2019·广元)先化简: 231(1)144x x x x x ---⋅--+，再从1,2,3中选取一个合适的数代入求值.参考答案1.C2. 33. 24212a a a a -⎛⎫÷-=+ ⎪⎝⎭当5a =时，27a +=. 4.22222(2)()2y x y y x y x y x y x y x y ⎛⎫--÷--+=-+ ⎪+-⎝⎭当1,2x y =-=时，2227x y -+=. 5. C6. 17. 38. 12119. 1-10. D 11.22224123()44222a a a a a a a a -+-÷=-+--. 因为2320a a +-=，所以原式=1 12.222121112122x x x x x x x x +÷+=--+++.不等式组52130x x -≥⎧⎨+>⎩的整数解为2,1,0,1,2--. 因为分式分母不为0，所以22202021010x x x x x x ⎧+≠⎪+≠⎪⎨-+≠⎪⎪-≠⎩，解得021x x x ≠⎧⎪≠-⎨⎪≠⎩.所以，当1x =-时，原式=1-，当2x =时，原式=18. 13.222221()a b a ab b a b a aba ab ++-÷=--+ 因为分式分母不为0，所以0a b a a b ≠⎧⎪≠⎨⎪≠-⎩，所以，当1a =-时，1b ≠或1-.代入求值的答案不唯一，如2b =时，原式=114.2312(1)1442x x x x x x x -+--⋅=--+- 因为分式分母不为0，所以12x x ≠⎧⎨≠⎩，所以x 只能取3，当3x =时，原式=5-。

分式求值的方法与技巧

分式专题三---分式求值的方法与技巧一．求值;1．已知()224++=+-x B x A x x x ,求A,B 的值; 2．已知:22)2(2)2(3-+-=-+x B x A x x ,则A= 、B = 3．若()()212112+++=+++x B x A x x x 恒成立,则A ＋B ＝_______________;二．将条件式变形后代入求值;1．已知432z y x ==,z y x z y x +--+22求的值．提示：已知连比,常设比值k 为参数,这种解题方法叫参数法2. 二、将求值变形代入求值．1．已知31=+xx ,的值求1242++x x x ． 2．已知的值求ba b a b ab a +-=-+,0622． 3.已知0132=+-a a ,求142+a a 的值; 4．已知yxy x y xy x y x ---+=-2232,311则分式的值为__________． 5．已知231=-x x ,求分式221xx +的值．6．已知b a 43=,则222232b a b ab a -+-＝_______________;7.2007赤峰已知114a b +=,则3227a ab b a b ab-+=+- ． 8．已知311=+b a ,则bab a b ab a +++-23的值是_________. 9．如果a+a 1=3,则=+221a a __________. 10．已知错误!- 错误!=3,求分式错误!的值.11．若ab=2,a+b=-1,则ba 11+ 的值为 12．若0152=+-x x ,则x x x x 1122+++＝_______________; 13.已知02322=-+y xy x x ≠0,y ≠0,求xy y x x y y x 22+--的值; 三、将条件式和求值式分别变形后代入求值．14．已知a 2＋2a －1＝0,求分式24)44122(22+-÷++--+-a a a a a a a a 的值．注意：本例是将条件式化为“122=+a a ”代入化简后的求值式再求值,这种代入的技巧叫做整体代入．15．已知abc ＝1,则111++++++++c ca c b bc b a ab a 的值为________． 16．已知)11()11()11(,0c b a a c b b a c c b a +++++=++求的值．17．若.1,11,11的值求bab a c c b +=+=+ 18．若7=+b a ,12=ab ,则ab b a 22+＝_______________;19．若b a a b -=-111,则b a a b +＝_______________; 20．如果n 222108++为完全平方数,则n ＝_______________;21．已知0199752=--x x ,则代数式()()211223-+---x x x 的值是多少22．已知：A=xy-x 2,B=xy y xy x 222+-,C=y x x -2,若A ÷B=C ×D,求D ． 24．已知ac c b b a 111+=+=+,且c b a ≠≠,你能否求出222c b a 的值请说出理由 25.2008四川省达州市符号“a bc d ”称为二阶行列式,规定它的运算法则为：a bad bc c d =-,请你根据上述规定求出下列等式中x 的值． 2111111x x =--26．已知b a b a b a ab b a -+>>=+则且,0622的值为 27．3213213232y x y x x y x y -+--+ 28．143)1(2111=-+-x 29．已知01342=+++x x x ,先化简后求xx x -+-3932的值． 30．化简求值43326512222-+---+÷+--a a a a a a a a ,其中a ＝－3．。

分式求值的几种常用方法

分式求值的几种常用方法分式求值是指解决一个分式的数值的过程。

分式由分子和分母组成，分数线表示两者的除法关系。

求解分式的数值可以使用几种常用的方法。

下面将介绍一些常用的方法。

1.分母与分子同乘（常用于消除分母中的变量）这种方法适用于分母中有变量的情况，为了简化计算，可以通过同乘一个合适的因式使分子或分母中的变量消除。

例如，对于分式(a+b)/(a-b)，可以将分子和分母都同乘(a+b)，得到(a+b)*(a+b)/(a-b)。

这样，原先的分式变为了一个更简单的形式，可以更容易地求解。

2.分子与分母同除（常用于消除分子中的变量）这种方法适用于分子中有变量的情况，同样为了简化计算，可以通过同除一个合适的因式使分子或分母中的变量消除。

例如，对于分式(a+b)/(a-b)，可以将分子和分母都同除(a+b)，得到(a+b)/(a+b)*(a+b)/(a-b)。

同样地，原先的分式变为了一个更简单的形式。

3.分解分子或分母（常用于将复杂的分式化简为简单的分式）当分子或分母中出现更复杂的表达式时，可以将其进行分解，将分式化简为简单的分式。

例如，对于分式(a+b)/(a-b)，可以将分子展开为(a+b)=a+b，将分母展开为(a-b)=a-b，然后将其带入分式，得到(a+b)/(a-b)=(a+b)/(a-b)。

这样，原先的分式变为了一个更简单的形式。

4.改变分割点（常用于化简复杂的分式）有时，将分式中的表达式写成更简单的形式，可以更好地进行计算。

例如，对于分式(a+b)/(a-b)，可以将(a+b)分别分成a和b的和，将(a-b)分别分成a和b的差，即得到a/(a-b)+b/(a-b)。

这样，原先的分式变为了两个简单分式相加的形式，可以更容易地求解。

5.用分母的乘法倒数取代除法（常用于取消除法运算）当分式中存在除法运算时，可以用乘以分母的倒数来替代除法。

例如，对于分式1/(a+b)，可以将其写为1*(a+b)^（-1），然后使用指数的乘法法则将指数变为负数，得到(a+b)^-1、这样，原先的分式变为了一个更简单的形式。

分式求值的方法

分式求值的方法
分式求值是数学中比较常见的一种计算方法，它主要是指对于一个分数式子进行化简和计算的过程。

下面将介绍分式求值的基本方法和一些常见的技巧。

一、基本方法
1. 首先要对分式进行化简，把分子分母中的公因数约掉，使得分式的形式更加简单。

2. 然后要找到分式的最简公共分母，把分式统一为相同的分母，这样就可以进行加减乘除等运算了。

3. 进行加减乘除等运算后，最后还要对结果进行化简，把分式中的公因数约掉，得到最简形式。

二、常见技巧
1. 对于分式中含有多项式的情况，可以使用分解因式的方法进行化简。

2. 对于分式中含有根式的情况，可以使用有理化分母的方法进行化简。

3. 对于分式中含有三角函数的情况，可以使用三角恒等式进行化简。

4. 对于分式中含有指数的情况，可以使用指数运算的规律进行化简。

总之，分式求值是一种基本的数学技能，掌握了基本的方法和技巧，就可以轻松应对各种题目。