1960年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案

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1960年高考数学试题

1960年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、解方程.075522=---x x （限定在实数范围内）解：移项得75522-=-x x 两边平方得,75522-=-x x 整理得.2,21,0252212===+-x x x x 得乙、有5组蓝球队，每组6队，首先每组中各队进行单循环赛（每两队赛一次），然后各组冠军再进行单循环赛，问先后比赛多少场？. 解：共需比赛8552526=+C C （场）丙、求证等比数列各项的对数组成等差数列（等比数列各项均为正数）.解：设等比数列的首项为)0(>a a ，公比为)0(>q q ，即,,,2aq aq a分别取此等比数列各项的对数，即,lg 2lg ,lg lg ,lg q a q a a ++这就形成首项是,lg a 公差是q lg 的等差数列丁、求使等式2cos 2sin 12x x =-成立的x 值的范围（x 是00~7200的角）.解：要使等式2cos 2sin 12xx =-成立，必须,02cos ≥x由此可得角2x 在第一象限或第四象限而已知条件中限定x 为00~7200的角，由此可得︒≤≤︒︒≤≤︒36022709020xx 或 .7205401800︒≤≤︒︒≤≤︒∴x x 或戊、如图，用钢球测量机体上一小孔的直径，所用钢球的中心是O ，直径是12mm,钢球放在小孔上测得钢球上端与机件平面的距离CD 是9mm ，求这小孔的直径AB 的长解：联结OA 则OA=OC=6（mm) OD=CD-OC=9-6=3(mm ）又)(3393622mm OD AO AD =-=-=).(362mm AD AB =⋅=∴己、四棱锥P-ABCD 的底面是一个正方形，PA 与底面垂直，已知PA=3cm ，P 到BC 的距离是5cm ，求PC 的长解：∵ABCD 是正方形，而且PA ⊥平面ABCD ， ∴PB ⊥BC （三垂线定理）在直角△PAB 中)(4352222cm PA PB AB =-=-=在直角△PBC 中).(41452222cm BC PB PC =+=+=2．有一直圆柱高是20cm ，底面半径是5cm,它的一个内接长方体的体积是80cm 3，求这长方体底面的长与宽.C OA B DP A D B C解：设长方体底面的长是xcm ，宽是ycm.根据题意可得方程组，).(52),(5410040)52(8002022222cm y cm x y x xy y x xy ==⎩⎨⎧⎩⎨⎧=+=⨯=+=解得即 3．从一船上看到在它的南300东的海面上有一灯塔，船以30里/小时的速度向东南方向航行，半小时后，看到这个灯塔在船的正西，问这时船与灯塔的距离（精确到0.1里）解：由题意，船位于点O ，看到灯塔A ，半小时后船沿OB 方向行至B ，由于A 在B 的正西，所以延长BA 交OC 于C ，且必有BC ⊥OC∵∠OBC=∠BOC=450， ∴OC=BC=OB ·sin450=15×22 CA=OC ·tg300=15×22×23=265（里）∴AB=CB-CA=5.4)33(2252652215≈-=-（里）故这时船与灯塔的距离约为4.5里4．要在墙上开一个矩形的玻璃窗，周长限定为６米（1）求以矩形的一边长x 表示窗户的面积y 的函数; （2）求这函数图像的顶点坐标及对称轴方程; （3）画出这函数的图像，并求出x 的允许值范围解：（1）因为矩形周长为6米，所以若设其长为x 米，则其宽为O 东450300 C A B 南3-x∴窗户的面积y=x(3-x)=-x 2+3x. （2）由y=-x 2+3x ，可得49)23(2+--=x y 故其顶点坐标为),49,23(对称轴方程为.23=x（3）令x 2-3x=0，∴x 1=0,x 2=3. 故图象与x 轴相交于点（0，0），（3，0），其图象如图根据问题的实际意义，必须y>0，所以x的允许值范围为: 0<x<3.5．甲、已知方程0cos 3sin 422=θ+θ⋅-x x 的两个根相等，且θ为锐角，求θ和这个方程的两个根解：由题设，方程的两个根相等，故其判别式.60,).(2cos 21cos ,02cos 3cos 2,0cos 24)cos 1(16,0cos 24sin 16,0cos 324)sin 4(422222︒=θ∴θ-=θ=θ=-θ+θ=θ-θ-=θ-θ=θ⋅⋅-θ-=-=∆为锐角由已知舍或解之得ac b由此，原方程化为.23,0233222==+-x x x 其相等的二根为Y （49,23） O X乙、a 为何值时，下列方程组的解是正数？⎩⎨⎧=+=+8442y x ay x 解：消去x ，得,12)8(=-y a.8816,812aax a y --=-=于是可得欲使其解x,y 均为正数，必须.8,2.08,0816,0812,08816<<∴>->->->--a a a a aa a 即必须故当2<a 时，方程组的解均为正数。

1949-1961年普通高等学校招生全国统一考试数学试题

1949年北大清华联合招生数学试题一、（5分）有连续三自然数，其平方和为50，求此三数．二、（5分）解方程：6640x +=．三、（15分）求适合sin 2cos 2x x +x =的根（02x π≤≤）．四、（15分）,,PA PB PC 为过圆周上P 点之三弦，PT 为圆周之切线．设一直线平行于PT ，交,,PA PB PC 于,,A B C '''之三点，证明：PA PA PB PB PC PC '''⋅=⋅=⋅．五、（10分）已知A ∠及角内部一点P ，求作通过P 点的直线，使其在A ∠之内部分被点P 所平分．六、（5分）用数学归纳法证明：3333221123(1)4n n n ++++=+．七、（10分）某人在高处望见正东海面上一船只，其俯角为30︒．当该船向正南航行a 里后，其船只的俯角为15︒．求此人视点高出海平面若干垂足八、（15分）自ABC ∆之顶点A 至对边作垂线AD ，自垂足D 作边,AB AC 之垂线，其垂足为,E F ．求证：,,,B E F C 在同一圆上．九、（10分）一平面内有10点，除其中4点在同一直线上外，其余各点无3点在一直线上．问连接各点之所有直线共若干条．十、（10分）下列做法对吗？不对的请改正．16==对吗？为什么？2．(sin cos )sin cos ni n i n θθθθ+=+对吗？为什么？3．log log 1a b b a ⋅=对吗？为什么？1950年全国统一高考数学试题一、（5分）k 为何值时，二次方程22(1)520x k x k --+-=有等根，并求其根．二、（20分）有等长两竹杆直立在地上，皆被风吹折．折处距地面两者不同，其差为3尺．顶着地之处与竹杆足相距一个为8尺，另一个为16尺．求竹杆之长．三、（10分）绳长40丈，围一矩形之地．问其面积最大时，其边长若干？四、（5分）求国旗上五角星每一角之度数．五、（10分）过梯形上底一点作直线，分梯形为两个等面积梯形．六、（20分）从塔之正南面一点A ，测得塔顶仰角为45︒，又从塔之正东面一点B 测得塔的仰角为30︒．若AB =100尺，求塔高．七、（10分）试证： 1．22cos()cos()cos sin A B A B A B +-==-． 2．22sin()sin()sin sin A B A B A B +-=-．八、（20分）分别指出下列正误，并加以改正：1．011,1a a ==．2．,mnmnmnm na a a a a a+⋅=+=．3==． 4．lg11,lg00=-=．5．lg()lg lg ,lg lg lg a b a b ab a b +=+=． 6．11sin sinsin()x y x y --+=+．7．在ABC ∆及A B C '''∆中，若,,AB A B BC B C A A '''''==∠=∠，则两三角形全等．8．若,,,A B C D 在同一个圆上，则恒有ACB ADB ∠=∠．1950年华北高考数学试题甲组第一部分一、将下列各题正确的答案填入括号内： 1．322240x x x --+=的一个根为2，其他两根为A ．两个0B ．一个0，一个实数C ．两个实数D ．一个实数根，一个虚数根E ．两个虚数根2．已知lgsin 26201.6470'︒=，lgsin 26301.6495'︒=．若 lgsin 1.6486x =，则x 的近似值为A ．2623'︒B ．2624'︒C ．2625'︒D ．2626'︒E ．2627'︒3．若(,)ρθ为一点之极坐标，则20cos ρθ=的图形为A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线E ．二平行直线4．22220x xy y x y ++++-=之图形为 A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 E ．二平行直线5．展开二项式17()a b +，其第15项为 A ．152238a b B ．314680a bC ．143736a bD ．15()a b +E ．87a b二、将下列各题正确的答案填在虚线上： 1．二直线40x y ++=及5210x y -=相交之锐角之正切为．2．设,x y 都是实数，且()(84)x yi i +-+()(1)x yi i =++，则x = ．3．555ad a dbe b e cfc f++=+ ． 4．已知x 在第四象限内，而21sin 9x =，则tan x 之值至第二位小数为． 5．参数方程12,(1)x t y t t =+⎧⎨=+⎩之直角坐标方程为．甲组第二部分 1．证明21sin (tan sec )1sin xx x x+=+-．2．设t 及s 为实数，已知方程3250x x tx s -++=之一根为23i -，求t及s 之值．3．用数学归纳法证明：122334(1)n n ⨯+⨯+⨯+++1(1)(2)3n n n =++． 4．设1P 及222(,)P x y 为二定点，过1P 作直线交y 轴于B （如图），过2P 作直线与过1P 之直线垂直，并交轴x 于A ，求AB 中点Q 之轨迹．5．如图，N 第一部分．a c e c eb d f d f +++=+++ ．ac ebd f= 内，若1:2;3:4，则︒︒︒ ︒a = ．1n R-．1n R+lg 2.190.3404=，ABA ．0.5770B ．1.1038C ．6.1038D ．264.06 E．416.745．2sin tan 5AA A ===，1sin tan 2B B B ===，则t a n ()A B +=A ．112-B ．34C ．18-D ．98E ．18二、将下列各题正确的答案填在虚线上： 1．sin 330︒之值为． 2．32452x x x -+-的因子是． 3．书一本，定价元p ．因为有折扣，实价较定价少d 元，则该书实价是定价的百分之．4．若一个多边形之每一外角各为45︒，则此多边形有边． 5．a 年前，弟年龄是兄年龄的1n，今年弟年龄是兄年龄的1m，兄今年岁．乙、丙组第二部分1．设AB 是一圆的直径，过,A B 作AC 及BD 二弦相交于E ，则2AE AC BE BD AB ⋅+⋅=．2．若,,A B C 为ABC ∆之内角，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=．3．分解因式：（1）32221x x x +++．（2）22282143x xy y x y +-++-．（3）444222222222x y z x y y z z x ++---．4．设s 为ABC ∆三边和的一半，r 为内切圆半径，又tan2A=求证：r =5．设一调和级数第p 项为a ，第q 项为b ，第r 项为c ，则()()()0q r bc r p ca p q ab -+-+-=．γC /B /A /βαC B A 1951年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分1．设有方程组8,27x y x y +=-=，求,x y .2．若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？3．当太阳的仰角是600时，若旗杆影长为1丈，则旗杆长为若干丈？4．若x y z a b b c c a ==---，而,,a b c 各不相等，则?x y z ++=5．试题10道，选答8道，则选法有几种？ 6．若一点P 的极坐标是(,)x θ，则它的直角坐标如何？7．若方程220x x k ++=的两根相等，则k =？8．列举两种证明两个三角形相似的方法9．当(1)(2)0x x +-<时，x 的值的范围如何？10．若一直线通过原点且垂直于直线0ax by c ++=，求直线的方程．11．61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项如何？12．02cos =θ的通解是什么？13．系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？14．245505543--=？15．2241x y -=的渐近线的方程如何？16．三平行平面与一直线交于,,A B C 三点，又与另一直线交于,,A B C '''三点，已知3,7AB BC ==及9A B ''=，求A C '17．有同底同高的圆柱及圆锥，已知圆柱的体积为18立方尺，求圆锥的体积18．已知lg2=0.3010,求lg5.19．二抛物线212y x =与223x y =的公共弦的长度是多少？20．国旗上的正五角星的每一个顶角是多少度？第二部分1． ,,P Q R 顺次为△ABC 中BC ，CA ，AB 三边的中点，求证圆ABC 在A 点的切线与圆PQR 在P 点的切线平行．2．设ABC ∆的三边4BC pq =，223CA p q =+，2232AB p pq q =+-,求B ∠，并证明B ∠为A ∠及C ∠的等差中项．3．（1）求证，若方程320x ax bx c +++=的三根可排成等比数列，则33a cb =.（2）已知方程32721270x x x +--=的三根可以排成等比数列，求三根．4．过抛物线顶点任做互相垂直的两弦，交此抛物线于两点，求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线．1952年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分 1.因式分解44x y -=？2.若lg(2)21lg x x =，问x =？3.若方程320x bx cx d +++=的三根为1,-1,21,则c =？4.40=，求x ．5. 123450?321=6.两个圆的半径都是4寸,并且一个圆过另一个圆的圆心，则此两圆的公共弦长是多少寸？7.三角形ABC 的面积是60平方寸，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点，△AMN 的面积是多少？9.祖冲之的圆周率π=？10.球的面积等于大圆面积的多少倍？11.直圆锥之底半径为3尺，斜高为5尺，则其体积为多少立方尺？12.正多面体有几种？其名称是什么？13.已知 1sin 3θ=,求cos 2θ=？14.方程21tg x =的通解x =？15.太阳的仰角为300时，塔影长为5丈，求塔高是多少？ 16．△ABC 的b 边为3寸，c 边为4寸，A 角为300，问△ABC 的面积为多少平方寸？17.已知一直线经过(2,3)，其斜率为-1，则此直线方程如何？18.若原点在一圆上，而此圆的圆心为(3,4)，则此圆的方程如何？19.原点至3410x y ++=的距离是什么？20.抛物线286170y x y -++=的顶点坐标是什么？第二部分 1.解方程432578120x x x x +---=．2.△ABC 中，∠A 的外角平分线与此三角形外接圆相交于P ，求证：BP CP =．3.设三角形的边长为4,5,6a b c ===，其对角依次为,,A B C ，求cos C ，sin C ，sin B ，sin A ．问,,A B C 三角为锐角或钝角？4.一椭圆通过(2,3)及(1,4)-两点，中心为原点，长短轴重合于坐标轴，试求其长轴，短轴及焦点．1953年普通高等学校招生全国统一考试数学1.甲、解1110113x x x x +-+=-+.乙、23120x kx ++=的两根相等，求k 值.丙、求311246?705-=丁、求300700lg lg lg173++.戊、求tg870︒=？已、若1cos2x 2=，求x 之值.庚、三角形相似的条件为何？（把你知道的都写出来）辛、长方体之长、宽、高各为12寸、3寸、4寸，求对角线的长.壬、垂直三棱柱之高为6寸，底面三边之长为3寸、4寸、5寸，求体积.2.解方程组2222239, (1)45630.(2)x xy y x xy y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩3..乙、求123)12(xx +之展开式中的常数项.4.锐角△ABC ∆的三高线为AD ，BE ，CF ，垂心为H ，求证HD 平分EDF ∠.5.已知△ABC ∆的两个角为450，600，而其夹边之长为1尺，求最小边的长及三角形的面积.1954年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、化简131121373222[()()()]a b ab b ---．乙、解c b a x lg lg 2lg 31lg 61++=．丙、用二项式定理计算43.02，使误差小于千分之一．丁、试证直角三角形弦上的半圆的面积，等于勾上半圆的面积与股上半圆的面积的总和．戊、已知球的半径等于r ，试求内接正方形的体积．己、已知a 是三角形的一边，β及γ是这边的两邻角，试求另一边b 的计算公式．2.描绘2371y x x =--的图象，并按下列条件分别求x 的值所在的范围：①0y >； ②0y <．3.假设两圆互相外切，求证用连心线做直径的圆，必与前两圆的外公切线相切4．试由11sin 21tgxx tgx+=+-，试求x 的通值．5．有一直圆锥，另外有一与它同底同高的直圆柱，假设a 是圆锥的全面积，a '是圆柱的全面积，试求圆锥的高与母线的比值．1955年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、以二次方程2310x x --=的两根的平方为两根，作一个二次方程．乙、等腰三角形的一腰的长是底边的4倍，求这三角形各角的余弦．丙、已知正四棱锥底边的长为a ，侧棱与底面的交角为450，求这棱锥的高．丁、写出二面角的平面角的定义．2．求,,b c d 的值，使多项式32x bx cx d +++适合于下列三条件：（1）被1x -整除，（2）被3x -除时余2，（3）被2x +除时与被2x -除时的余数相等．3．由直角△ABC 勾上一点D 作弦AB 的垂线交弦于E ，交股的延长线于F ，交外接圆于G 求证：EG 为EA 和EB 的比例中项，又为ED 和EF 的比例中项． 4．解方程x x x sin cos 2cos +=,求x 的通值．5．一个三角形三边长成等差数列，其周长为12尺，面积为6平方尺，求证这个三角形为一个直角三角形．B C F B C EM A B C DD //1956年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、利用对数性质计算2lg 5lg5lg50+⋅.乙、设m 是实数，求证方程222(41)0x m x m m ----=的两根必定都是实数．丙、设M 是ABC ∆的边AC 的中点，过M 作直线交AB 于E ，过B 作直线平行于ME 交AC 于F AEF ∆的面积等于ABC ∆的面积的一半．丁、一个三角形三边长分别为3尺，4尺及37尺，求这个三角形的最大角的度数．戊、设tan ,tan αβ是方程2670x x ++=的两根求证：)cos()sin(β+α=β+α．2．解方程组12,(1)136.(2)x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ 3．设P 为等边ABC ∆外接圆的点，求证：22PA AB PB PC =+⋅．4．有一个四棱柱，底面是菱形ABCD ，A AB A AD ''∠=∠A ACC''垂直于底面ABCD ．5．若三角形的三个角成等差级数，则其中有一个角一定是600;若这样的三角形的三边又成等比级数，则三个角都是600，试证明之．1957年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、化简1223271020.12927--⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围.丙、求证cot 22301'︒=丁、在四面体A B C D 中，AC BD =，,,,P Q R S 依次为棱,,,AB BC CD DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形.戊、设b a ,为异面直线，EF 为b a ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN 被平面α二等分.2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x3．设ABC ∆的内切圆半径为r ，求证BC边上的高.2sin2cos 2cos2A C B r AD ⋅⋅=4．设ABC ∆为锐角三角形，以BC 为直径作圆，并从A 作此圆的切线AD 与圆切于D 点，由在AB 边上取AE AD =，并过E 作AB 的垂线与AC 边的延长线交于F ，求证：（1）AE :AB =AC :AF . （2）ABC ∆的面积=AEF ∆的面积.5．求证：方程0)2()12(23=+-++-Q x Q x x 的一个根是1.设这个方程的三个根是ABC ∆的三个内角的正弦,sin ,sin ,sin C B A 求,,A B C 的度数以及Q 的值.AC AB1958年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、求二项式5)21(x +展开式中3x 的系数．乙、求证.sin 88sin 4cos 2cos cos xxx x x =⋅⋅丙、设AB ，AC 为一个圆的两弦，D 为的中点，E 为的中点，作直线DE 交AB 于M ，交AC 于N ，求证： AM AN =．丁、求证:正四面体ABCD 中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直．戊、求解.cos 3sin x x =2．解方程组4,(1)1229. (2)x y y =⎪++=⎪⎩3．设有二同心圆，半径为,()R r R r >，今由圆心O 作半径交大圆于A ，交小圆于A '，由A 作直线AD 垂直大圆的直径BC ，并交BC 于D ;由A '作直线A E '垂直AD ，并交AD 于E ，已知OAD α∠=，求OE 的长 4．已知三角形ABC ，求作圆经过A 及AB 中点M ，并与BC 直线相切．5．已知直角三角形的斜边为2，斜边上的高为23，求证此直角三角形的两个锐角是下列三角方程的根043sin 231sin 2=++-x x ．321O G F ED C BA cb a A B CDαO 1959年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、已知lg 20.3010,lg 70.8451==,求lg35乙、求ii +-1)1(3的值.丙、解不等式.3522<-x x丁、求︒165cos 的值戊、不在同一平面的三条直线c b a ,,互相平行，,A B 为b 上两定点，求证另两顶点分别在c a 及上的四面体体积为定值己、圆台上底面积为225cm π，下底直径为cm 20，母线为cm 10，求圆台的侧面积2．已知△ABC 中，∠B =600，4AC =，面积为3，求,AB BC .3．已知三个数成等差数列，第一第二两数的和的3倍等于第三个数的2倍，如果第二个数减去2，则成等比数列，求这三个数．4．已知圆O 的两弦AB 和CD 延长相交于E ，过E 点引EF ∥BC 交AD 的延长线于F ，过F 点作圆O 的切线FG ，求证：EF =FG .5．已知,,A B C 为直线l 上三点，且A B B C a ==;P 为l 外一点，且90,APB ∠=︒45BPC ∠=︒，求（1）PBA ∠的正弦、余弦、正切; （2）PB 的长;（3）P 点到l 的距离.O DC B A 1960年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、解方程.075522=---x x （限定在实数范围内）乙、有5组蓝球队，每组6队，首先每组中各队进行单循环赛（每两队赛一次），然后各组冠军再进行单循环赛，问先后比赛多少场？.丙、求证等比数列各项的对数组成等差数列（等比数列各项均为正数）.丁、求使等式2cos 2sin12xx =-成立的x 值的范围（x 是00~7200的角）.戊、如图，用钢球测量机体上一小孔的直径，所用钢球的中心是O ，直径是12mm,钢球放在小孔上测得钢球上端与机件平面的距离CD 是9mm ，求这小孔的直径AB 的长.己、四棱锥P ABCD -的底面是一个正方形，PA 与底面垂直，已知3PA =cm ，P 到BC 的距离是5cm ，求PC 的长.2．有一直圆柱高是20cm ，底面半径是5cm,它的一个内接长方体的体积是80cm 3，求这长方体底面的长与宽.3．从一船上看到在它的南300东的海面上有一灯塔，船以30里/小时的速度向东南方向航行，半小时后，看到这个灯塔在船的正西，问这时船与灯塔的距离（精确到0.1里）4．要在墙上开一个矩形的玻璃窗，周长限定为６米.（1）求以矩形的一边长x 表示窗户的面积y 的函数;（2）求这函数图像的顶点坐标及对称轴方程;（3）画出这函数的图像，并求出x 的允许值范围.5．甲、已知方程0cos 3sin 422=θ+θ⋅-x x 的两个根相等，且θ为锐角，求θ和这个方程的两个根．乙、a 为何值时，下列方程组的解是正数？⎩⎨⎧=+=+8442y x ay x ．O CBA 1961年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、求二项式10)2(x -展开式里含7x 项的系数.乙、解方程2lg lg(12)x x =+.丙、求函数51--=x x y 的自变量x 的允许值. 丁、求125sin 12sinπ⋅π的值.戊、一个水平放着的圆柱形水管，内半径是12cm ，排水管的圆截面上被水淹没部分的弧含1500（如图），求这个截面上有水部分的面积（取14.3=π）.己、已知△ABC 的一边BC 在平面M 内，从A 作平面M 的垂线，垂足是1A .设 △ABC 的面积是S ，它与平面M 组成的二面角等于)900(︒<α<︒α，求证：1cos A BC S S α∆=.2．一机器制造厂的三年生产计划每年比上一年增产的机器台数相同，如果第三年比原计划多生产1000台，那么每年比上一年增长的百分率相同，而且第三年生产的台数恰等于原计划三年生产总台数的一半，原计划每年生产机器多少台？ 3．有一块环形铁皮，它的内半径是45厘米，外半径是75厘米，用它的五分之一（如图中阴影部分）作圆台形水桶的侧面.求这水4．在平地上有,A B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在A 的650南300米的地方，在A 测得山顶的仰角是300，求山高（精确到10米，94.070sin =︒）.5．两题任选一题.甲、k 是什么实数时，方程22(23)310x k x k -+++=有实数根？乙、设方程28(8sin )2cos2x x αα-++0=的两个根相等，求α.。

1960高考数学试题

1960高考数学试题注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合2=--<=-，则A x x x B{|340},{4,1,3,5}A、{4,1}-B、A B={1,5}C、{3,5}D、{1,3}2、若3zz=++，则||=12i iA、0B、1C D、23、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥。

以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A 、14B 、12C 、14D 、12+ 4、设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为A 、15 B 、25 C 、12D 、455、某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A 、y a bx =+B 、2y a bx =+C 、e x y a b =+D 、ln y a b x =+6、已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A 、1B 、2C 、3D 、47、设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A 、10π9B 、7π6C 、4π3D 、3π28、设3log 42a =，则4a -=A 、116B 、19C 、18D 、169、执行下面的程序框图，则输出的n =A 、17B 、19C 、21D 、2310、设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=A 、12B 、24C 、30D 、3211、设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为A 、72B 、3C 、52D 、212、已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A 、64πB 、48πC 、36πD 、32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

历年高考数学真题(全国卷整理版)

参考公式：如果事件A 、B 互斥，则球的外表积公式如果事件A 、B 相互独立，则其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径普通高等学校招生全国统一考试一、选择题1、复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,AB ＝A, 则m=A 0或3B 0或3C 1或3D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为*=-4 ，则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =1 4 正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为A 2B 3C 2D 1〔5〕等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为(A)100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100〔6〕△ABC 中，AB 边的高为CD ，假设a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A)〔B 〕 (C) (D)〔7〕α为第二象限角，sin α＋sin β=33，则cos2α=(A)5-3〔B 〕5-9 (C)59 (D)53〔8〕F1、F2为双曲线C：*²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=(A)14〔B〕35 (C)34 (D)45〔9〕*=lnπ，y=log52，12z=e，则(A)*＜y＜z 〔B〕z＜*＜y (C)z＜y＜* (D)y＜z＜*(10) 函数y＝*²-3*+c的图像与*恰有两个公共点，则c＝〔A〕-2或2 〔B〕-9或3 〔C〕-1或1 〔D〕-3或1〔11〕将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不一样，梅列的字母也互不一样，则不同的排列方法共有〔A〕12种〔B〕18种〔C〕24种〔D〕36种〔12〕正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73。

普通高等学校招生全国统一考数学试卷试题及答案

2019年一般高等学校招生全国一致考试数学x1x1101.甲、解.解：两边同乘3（x2-1)，得：3（x2+1)+3（x2-1)=10（x2-1)，即6x2+6=10x2–x2经查验，均为解10,乙、3x2+kx+12=0的两根相等，求k值解：两根相等，=k2–4·3·12=0，∴k12.311丙.求246?70531111161022解:2461610085(8)50 70585021丁.300g70lg1.求lg37解:原式lg3007001lg1044.7戊.求tg870?解:原式tg(51830)tg(30)3.3己.若cos2x,求x之值.解:2x2k,k.(k为整数)36庚、三角形相像的条件为什么？（把你知道的都写出来）答：略辛、长方体之长、宽、高各为12寸、3寸、4寸，求对角线的长解：长方体对角线的长为：1223242169 13(寸).壬、垂直三棱柱之高为6寸，底面三边之长为3寸、4寸、5寸，求体解：因为底面直角三角形，因此S底=1·3·4=6（平方寸），2故三棱柱的体：V=S底×h=6×6=36（立方寸）解x2-2xy+3y2=9⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①4x 2-5xy+6y2=30⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②解：原方程消去常数，得2x2+5xy-12y2=0分解因式得：（x+4y）（2x-3y）=0x+4y=0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯③2x-3y=0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯④解①，③方程，得解①，④方程，得x43,y3.33 x3,y2.于是方程组,有以下四组解:x143,x243,x33,x43,33y 113;y213;y32;y42.33，以上四解均原方程的解3.甲、化12490000664.2527解:原213231663.式0531 5乙、求(2x31)12之睁开式中的常数x解：由二睁开式的一般公式rT r1C12r(2x5)12r1C12r212r x364r.令364r0,r9.x常数项为C1292129C123231760.4.锐角△ABC的三高线为AD、BE、CF，垂心为H，求证HD均分∠EDFA证：因为AD⊥BC，BE⊥CA，因此点A，B，D，E四点共圆，故∠ADE=∠ABEF H E又因点F，B，C，E共圆，故∠FBE=∠FCEB D C又因点C，A，F，D共圆，故∠FCA=FDA综上可得∠ADE=∠FDA，即AD均分∠EDF。

1959年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案

1普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、已知 lg2=0.3010,lg7=0.8451,求 lg35 解：原式= lg70= lg 7 ⨯10 = lg 7 + lg10 - lg 2 2 2=0.8451+1-0.3010=1.5441.乙、求(1 - i )3 的值.1 + i解：原式 =1 - 3i + 3i2 - i3 1 + i= 1 - 3i - 3 + i 1 + i = - 2 - 2i 1 + i = - 2(1 + i )1 + i = -2.丙、解不等式2x 2 - 5x < 3.解：原式移项得2x 2 - 5x - 3 < 0, ∴原不等式的解为- 1< x < 3.2 丁、求cos165︒ 的值解： cos165︒ = cos(180︒ - 15︒) = - cos15︒ = - cos(45︒ - 30︒)= -(cos 45︒ cos 30︒ + sin 45︒sin 30︒)= -( 2 ⋅ 3+ 2 ⋅ 1 ) = - 6 + 2 .2 2 2 2 4戊、不在同一平面的三条直线a , b , c 互相平行，A 、B 为b 上两定点，求证另两顶点分别在a 及c 上的四面体体积为定值证：因为 A 、B 为直线b 上 Da两定点，而直线b ∥直线c ，所以，不论点 C 在直线c 的什么位置上，△ABC 的面积均为一定ChAB bOαc2⎩值（同底等高的三角形等积）又因直线a 平行于直线b ,c ，所以，直线a ∥平面α （已知a , b , c 不在同一平面内），因此，不论点 D 在直线a 的什么位置上，从点 D 到平面α 的距离h 为一定值，故四面体 ABCD 的体积= 1⨯ 底面积⨯ 高 = 1⋅ S⋅ h = 定值3 3∆ABC己、圆台上底面积为25πcm 2 ，下底直径为20cm ，母线为10cm ，求圆台的侧面积解：设此圆台上底半径为 r ，下底半径为 R ，由已知条件πr 2 = 25π, 所以 r=5(cm).又下底半径 R=10cm ，母线l = 10cm ,圆台侧面积=π l （R+r )=π·10·（10+5）=150π（cm 2). 2．已知△ABC 中，∠B=600，AC=4，面积为 3 ，求 AB 和 BC. 解：设 AB= c ，BC= a ，则有⎧⎪1ac sin 60︒ = ⎨ 23(两边夹角求面积公式) ⎩⎪ 42 = a 2 + c 2 - 2ac cos 60︒(余弦定理),⎧ac = 4 即⎨a 2 + c 2- ac = 16, 解之,由(a + c )2 = 28,∴ a + c = 2 7,由(a - c )2 = 12,∴ a - c = ±2 3. ∴ a = 7 ± 3, c = 7 3.故所求 AB ，BC 之长为⎧ AB = ⎨ ⎩BC = 7 + 3,⎧ AB = ⎨7 - 3;⎩BC = 7 - 3, 7 + 3.3．已知三个数成等差数列，第一第二两数的和的 3 倍等于第三3⎩个数的 2 倍，如果第二个数减去 2，则成等比数列，求这三个数解：设所求之三数为a - d , a , a + d 则根据题意有⎧3 [(a - d ) + a ] = 2(a + d ), ⎨(a - 2)2 = (a - d )(a + d ). ⎧ 4a = 5d ⎧⎪a = 5 ⎧ a = 5 化简后得⎨4a - 4 = d 2 解得 : ⎨ 1 4, ⎨d= 4. 1 5 9⎪⎩ d 1 = 1; ⎩ 2故所求三数为 , , 4 4 4或1,5,9.4．已知圆 O 的两弦 AB 和 CD 延长相交于 E ，过 E 点引 EF∥CB 交AD 的延长线于 F ，过 F 点作圆 O 的切线 FG ，求证：EF=FG. 证：∵FG 为⊙O 的切线，而 FDA 为⊙O 的割线， ∴FG 2=FD·FA…………① 又∵EF∥CB，∴∠1=∠2.而∠2=∠3，∴∠1=∠3，∠EFD=∠AFE 为公共角∴△EFD∽△AFE，CG2 FO D1A3E BFD =EF EF ,即 EF 2=FD·FA…………② FA由①，②可得 EF 2=FG 2 ∴EF=FG.5．已知 A 、B 、C 为直线l 上三点，且 AB=BC= a ;P 为l 外一点，且∠APB=900，∠BPC=450，求（1）∠PBA 的正弦、余弦、正切;⎩ 241 + tg2 ∠PBA （2）PB 的长;（3）P 点到l 的距离.解：过 P 点作 PD⊥AB 交 AB 于点 D （如图）（1）过点 B 作 BE∥AP 交 PC 于点 E则∠PBE=900，∠PEB=450，PB=BE. ∵△CPA∽△CEB∴PA = 2a= 2,因 PB=BE ， PADB CBE a ∴ PA= 2, tg ∠PBA = 2. PB又∵1 + tg 2∠PBA = sec 2 ∠PBA , ∠PBA 为锐角，∴ sec ∠PBA = = 5,cos ∠PBA =1 =5 ,55sin ∠PBA = tg ∠PBA ⋅ cos ∠PBA =2 5 .5（2） PB = AB ⋅ cos ∠PBA =5 a .5（3） PB = 5a , sin ∠PBA = 2 5 5 , ∴ PD = PB ⋅ sin ∠PBA = 2a . 5 5综上，所求为（1）∠PBA 的正弦、余弦、正切分别是 255, 1 5 5,2（2）PB 的长为155a ;（3）P 点到l 的距离为 2a .5450E。

1960年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案

1960年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、解方程.075522=---x x （限定在实数范围内）解：移项得75522-=-x x 两边平方得,75522-=-x x 整理得.2,21,0252212===+-x x x x 得乙、有5组蓝球队,每组6队,首先每组中各队进行单循环赛（每两队赛一次）,然后各组冠军再进行单循环赛,问先后比赛多少场？. 解：共需比赛8552526=+C C （场）丙、求证等比数列各项的对数组成等差数列（等比数列各项均为正数）.解：设等比数列的首项为)0(>a a ,公比为)0(>q q ,即,,,2aq aq a分别取此等比数列各项的对数,即,lg 2lg ,lg lg ,lg q a q a a ++这就形成首项是,lg a 公差是q lg 的等差数列丁、求使等式2cos 2sin 12x x =-成立的x 值的范围（x 是00~7200的角）.解：要使等式2cos 2sin 12x x =-成立,必须,02cos ≥x由此可得角2x 在第一象限或第四象限而已知条件中限定x 为00~7200的角,由此可得︒≤≤︒︒≤≤︒36022709020x x 或.7205401800︒≤≤︒︒≤≤︒∴x x 或戊、如图,用钢球测量机体上一小孔的直径,所用钢球的中心是O,直径是12mm,钢球放在小孔上测得钢球上端与机件平面的距离CD 是9mm,求这小孔的直径AB 的长解：联结OA 则OA=OC=6（mm) OD=CD-OC=9-6=3(mm ）又)(3393622mm OD AO AD =-=-=).(362mm AD AB =⋅=∴己、四棱锥P-ABCD 的底面是一个正方形,PA 与底面垂直,已知PA=3cm,P 到BC 的距离是5cm,求PC 的长解：∵ABCD 是正方形, 而且PA ⊥平面ABCD, ∴PB ⊥BC （三垂线定理）在直角△PAB 中)(4352222cm PA PB AB =-=-=在直角△PBC 中).(41452222cm BC PB PC =+=+=2．有一直圆柱高是20cm,底面半径是5cm,它的一个内接长方体的体积是80cm 3,求这长方体底面的长与宽.CP A D B C解：设长方体底面的长是xcm,宽是ycm.根据题意可得方程组,).(52),(5410040)52(8002022222cm y cm x y x xy y x xy ==⎩⎨⎧⎩⎨⎧=+=⨯=+=解得即 3．从一船上看到在它的南300东的海面上有一灯塔,船以30里/小时的速度向东南方向航行,半小时后,看到这个灯塔在船的正西,问这时船与灯塔的距离（精确到0.1里）解：由题意,船位于点O,看到灯塔A,半小时后船沿OB 方向行至B,由于A 在B 的正西,所以延长BA 交OC 于C,且必有BC ⊥OC∵∠OBC=∠BOC=450, ∴OC=BC=OB ·sin450=15×22 CA=OC ·tg300=15×22×23=265（里）∴AB=CB-CA=5.4)33(2252652215≈-=-（里）故这时船与灯塔的距离约为4.5里4．要在墙上开一个矩形的玻璃窗,周长限定为６米（1）求以矩形的一边长x 表示窗户的面积y 的函数; （2）求这函数图像的顶点坐标及对称轴方程; （3）画出这函数的图像,并求出x 的允许值范围解：（1）因为矩形周长为6米,所以若设其长为x 米,则其宽为东A B 南3-x∴窗户的面积y=x(3-x)=-x 2+3x. （2）由y=-x 2+3x,可得49)23(2+--=x y 故其顶点坐标为),49,23(对称轴方程为.23=x（3）令x 2-3x=0,∴x 1=0,x 2=3. 故图象与x 轴相交于点（0,0）,（3,0）,其图象如图根据问题的实际意义,必须y>0,所以x的允许值范围为: 0<x<3.5．甲、已知方程0cos 3sin 422=θ+θ⋅-x x 的两个根相等,且θ为锐角,求θ和这个方程的两个根解：由题设,方程的两个根相等,故其判别式.60,).(2cos 21cos ,02cos 3cos 2,0cos 24)cos 1(16,0cos 24sin 16,0cos 324)sin 4(422222︒=θ∴θ-=θ=θ=-θ+θ=θ-θ-=θ-θ=θ⋅⋅-θ-=-=∆为锐角由已知舍或解之得ac b由此,原方程化为.23,0233222==+-x x x 其相等的二根为YX乙、a 为何值时,下列方程组的解是正数？⎩⎨⎧=+=+8442y x ay x 解：消去x,得,12)8(=-y a.8816,812aax a y --=-=于是可得欲使其解x,y 均为正数,必须.8,2.08,0816,0812,08816<<∴>->->->--a a a a aa a 即必须故当2<a 时,方程组的解均为正数。

高考数学普通高等学校招生全国统一考试62

高考数学普通高等学校招生全国统一考试62本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分；第I 卷 1至2页；第II 卷3至9页；共150分。

考试时间120分钟。

考试结束；将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I 卷前；考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后；用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动；用橡皮擦干净后；再选涂其他答案标号。

不能答在试卷上。

一、本大题共8小题．每小题5分；共40分。

在每小题列出的四个选项中；选出符合题目要求的一项.（1）设集合M ={x | x >1；P ={x | x 2>1}；则下列关系中正确的是（A ）M ＝P （B ）P M （C ）M P （ D ）M P R =（2）为了得到函数321x y -=-的图象；只需把函数2x y =上所有点（A ）向右平移3个单位长度；再向下平移1个单位长度（B ）向左平移3个单位长度；再向下平移1个单位长度（C ）向右平移3个单位长度；再向上平移1个单位长度（D ）向左平移3个单位长度；再向上平移1个单位长度（3）“m =21”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的（A ）充分必要条件（B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件（D ）既不充分也不必要条件（4）若||1,||2,a b c a b ===+；且c a ⊥；则向量a 与b 的夹角为（A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150°（5）从原点向圆 x 2＋y 2－12y ＋27=0作两条切线；则这两条切线的夹角的大小为（A ）6π （B ）3π （C ）2π （D ）32π （6）对任意的锐角α；β；下列不等关系中正确的是（A ）sin(α+β)>sin α+sin β （B ）sin(α+β)>cos α+cos β（C ）cos(α+β)<sinα＋sinβ （D ）cos(α+β)<cosα＋cosβ（7）在正四面体P －ABC 中；D ；E ；F 分别是AB ；BC ；CA 的中点；下面四个结论中不．成立．．的是（A ）BC //平面PDF （B ）DF ⊥平面P A E（C ）平面PDF ⊥平面ABC （D ）平面P AE ⊥平面 ABC（8）五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目；每个工程队承建1项；其中甲工程队不能承建1号子项目；则不同的承建方案共有（A ）1444C C 种（B ）1444C A 种（C ）44C 种（D ）44A 种二、填空题：本大题共6小题；每小题5分；共30分。

普通高等学校招生全国统一考试数学练习卷及含答案 (2)

普通高等学校招生全国统一考试数学练习卷（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.“所有的函数都是连续的”的否命题是（）（A ）某些函数不是连续的（B ）所有的函数都不是连续的（C ）没有函数是连续的（D ）没有函数不是连续的2.正方体的全面积为24，球O 与正方体的各棱均相切，球O 的体积是（）（A ）43π（B ）π34（C ）3（D ）33.直线y m =与圆22(2)1x y +-=相切，则常数m 的值是（）A ．1B ．3C ．1或3D ．2或44.在ABC ∆中，“π3A =”是“sin 2A =”的（）A ．充分而不必要条件B ．充要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件5.在等差数列{}n a 中，1233a a a ++=，282930165a a a ++=，则此数列前30项的和等于：（）A ．810B ．840C ．870D ．9006.椭圆2219x y +=的两个焦点为1F 、2F ，且椭圆上的点P 满足112PF F F ⊥，则2||PF =____：（）A ．173B ．53C ．13D ．837.93x ⎛- ⎝的展开式中的常数项是（）A ．84B ．84-C ．36D ．36-8.如图，在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 是各边中点，O 是正方形中心，在A 、E 、B 、F 、C 、G 、D 、H 、O 这九个点中，以其中三个点为顶点作三角形，在这些三角形中，互不全等的三角形共有（）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个9.如图，正四面体ABCD 中，E 为AB 中点，F 为CD 的中点，则异面直线EF 与SA 所成的角为（）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°10.如图，正三棱柱111C B A ABC -中，AB ＝1AA ，则1AC 与平面C C BB 11所成的角的正弦值为（）A ．22B ．515C ．46D ．3611.抛物线)2(2)2(2+-=-m y x 的焦点在x 轴上，则实数m 的值为（）A ．0B ．23C ．2D ．312.已知椭圆22221a y x =+（a ＞0）与A （2，1），B （4，3）为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是（）A ．2230<<a B ．2230<<a 或282>a C ．223<a 或282>a D ．282223<<a 二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）1.方程log2|x|=x2－2的实根的个数为______.2.1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家.C60是由60个C 原子组成的分子，它结构为简单多面体形状.这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分为五边形或六边形两种,则C60分子中形状为五边形的面有______个，形状为六边形的面有______个.3.在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，两球的球心距为13，若作一个平面与两个球都相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为______.4.定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+1)=－f(x)，且在［－1，0］上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x=1对称；③f(x)在［0，1］上是增函数；④f(x)在［1，2］上是减函数；⑤f(2)=f(0),其中正确判断的序号为______(写出所有正确判断的序号).三、大题：(满分70分)1、在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N令n n n n M A B C = .从集合Mn 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.（1）当n=1时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）.2、已知函数f(x)＝2x －12x ＋1.求f(f(0)＋4)的值；3.已知直线l 的参数方程为,sin cos 2⎩⎨⎧=+-=ααt y t x (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标系方程为θθρcos 2sin 2-=.(1)求曲线C 的参数方程;(2)当4πα=时,求直线l 与曲线C 的交点的极坐标.4.如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量，已知50AB m =，120BC m =，于A 处测得水深80AD m =，于B 处测得水深200BE m =，于C 处测得水深110CF m =，求∠DEF 的余弦值。

1961年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案

1961年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、求二项式10)2(x -展开式里含7x 项的系数解：设所求的项是第r+1项，则.9602,7.)(2773710810101x x C T r x C T r rr r -=-=∴=-=-+今故在求二项式10)2(x -展开式里含7x 项的系数为-960 乙、解方程),12lg(lg 2+=x x解：原方程即,12),12lg(lg 22+=+=x x x x 即.3,4:,012212-===--x x x x 解得但32-=x 使原对数方程无意义，应舍去，故方程的解为x=4 丙、求函数51--=x x y 的自变量x 的允许值解：要使函数y 有意义，必须,0501≠-≥-x x 及故自变量的允许值为.5,51><≤x x丁、求125sin 12sinπ⋅π的值解：)122sin(12sin 125sin 12sin π-π⋅π=π⋅π.416sin 2112cos 12sin =π=ππ=戊、一个水平放着的圆柱形水管，内半径是12cm ，排水管的圆截面上被水淹没部分的弧含1500（如图），求这个截面上有水部分的面积（取14.3=π）解：⊙O 的面积=)(14422cm OA π=⋅π 扇形OACB 的面积O=)(601443601502cm π=π⋅ △OAB 的面积=︒⋅⋅⋅150sin 21OB OA)(36211212212cm =⋅⋅⋅= ∴弓形ACB 的面积)(4.1523614.36036602cm =-⨯≈-π= 故截面有水部分的面积为24.152cm己、已知△ABC 的一边BC 在平面M 内，从A 作平面M 的垂线，垂足是A 1设△ABC 的面积是S ，它与平面M 组成的二面角等于)900(︒<α<︒α，求证：△A 1BC 的面积=α⋅cos S证：在△ABC 中，作AD ⊥BC ，垂足为D ，联结A 1D ，A 1B ，A 1C 因AD ⊥BC ，由三垂线定理可得 A 1D ⊥BC ，所以∠ADA 1为平面ABC 与平面M 所构成的二面角的平面角，∴∠ADA 1=α在△AA 1D 中，A 1D=AD ·αcos∴△A 1BC 的面积=α⋅⋅⋅=⋅⋅cos 21211BC AD BC D A=△ABC 的面积·αcos =S ·αcos2．一机器制造厂的三年生产计划每年比上一年增产的机器台数相同，如果第三年比原计划多生产1000台，那么每年比上一年增长的百分率相同，而且第三年生产的台数恰等于原计划三年生产总台数的一半，原计划每年生产机器多少台？ACB解：设原计划第一年生产x 千台，第二年生产x+y 千台，第二年生产x+2y 千台，根据题意可得如下方程组：)(1,2,2)1()2()2(2)1()]2()([2112)()12()(2122不合题意得代入将-==∴+=⎩⎨⎧+==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++=++++-++=-+y y y y y x x y y x y x x y x yx y x y x x x y x将y=2代入（2）得x=4.故原计划生产机器的台数为：第一年4000台，第二年6000台，第三年8000台3．有一块环形铁皮，它的内半径是45厘米，外半径是75厘米，用它的五分之一（如图中阴影部分）作圆台形水桶的侧面求这水桶的容积是多少立方厘米？解：圆台上底周长=)(1845251cm π=⋅π⋅ 圆台下底周长=)(3075251cm π=⋅π⋅圆台上底半径)(9218cm r =ππ=圆台下底半径)(15230cm r =ππ= 圆台的母线长)(3045751cm A A l =-==圆台的高)(612)915(3022cm h =--=圆台体积)(322rR R r h V ++π=A 1 O 1B 1A B C O)(61764)135159(3612322cm π=++⋅π=故水桶的容积是361764cm π4．在平地上有A 、B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在A 的650南300米的地方，在A 测得山顶的仰角是300，求山高（精确到10米，94.070sin =︒）解：设山高MN=h ∠ABN=1800-（650+450）=700 由正弦定理得.294.030045sin 70sin ⨯⨯=︒︒⋅=AB AN在直角△ANM 中，)(2304495.29469433294.030030米≈⨯≈=⨯⨯⨯=︒⋅=tg AN h故山高约为230米5．两题任选一题甲、k 是什么实数时，方程x 2-(2k+3)x+3k 2+1=0有实数根？解：根据一元二次方程有实数根的条件，判别式.41,043,0)13(4)]3(2[,042222≤≤-∴≤--≥+-+-≥-=∆k k k k k ac b 即所以故当41≤≤-k 时，原方程有实数根乙、设方程02cos 2)sin 8(82=α++α-x x 的两个根相等，求α 解：根据一元二次方程有等根的条件，判别式M 300 N 450 600 A B).(3.23sin ,43sin ,022cos sin 2,02cos 3264sin 64,0)2cos 2(84)sin 8(,0422222为整数由此得所以k k ac b π±π=α±=α=α=-α-α=α--α=α+⋅⋅-α-=-=∆。

高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试60

高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，，（2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（AB ）32（CD ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

1951年以来历年全国高考数学试卷全试题答案解析

3.设三角形的边长为 =4，b=5，c=6，其对角依次为A，B，C求 .问A，B，C三角为锐角或钝角？
解：应用余弦定理，可得：
由此可知C为锐角；另外，由已知条件，三边边长适合关系式＜b＜c，从而可知∠A＜∠B＜∠C 由于C为锐角，故A，B亦为锐角
4.一椭圆通过（2，3）及（-1，4）两点，中心为原点，长短轴重合于坐标轴，试求其长轴，短轴及焦点
1952年普通高等学校招生全国统一考试
数学
第一部分：
1.因式分解x4–y4=？
解：x4–y4=(x2+y2)(x+y)(x-y)
2.若lg2x=21lgx，问x=？
解：2x=x21，x≠0，∴
3.若方程x3+bx2+cx+d=0的三根为1,-1, ,则c=？
解：由根与系数的关系可知：c=1·（-1）+（-1）· + ·1=1
故顶点坐标为（1，-3）
第二部分：
1.解方程x4+5x3-7x2-8x-12=0
解：左式=(x4+5x3-6x2）-（x2+8x+12）
=(x+6)[x2(x-1)-(x+2)]
=(x+6)(x3-x2-x-2)
=(x+6)[(x3-2x2)+(x2-x-2)]
=(x+6)(x-2)(x2+x+1)=0
5．已知直角三角形的斜边为2，斜边上的高为，求证此直角三角形的两个锐角是下列三角方程的根
证：设AD=k（如图）
C
A D B
∵AB=2，∴DB=2-k.
由CD2=AD·DB，
在直角△ACD中，
当时， ∴A=300，B=600.

1962-1966年普通高等学校招生全国统一考试数学试题参考答案

AD=BC,AB=CD D CBA D /C /B /A /A B D =半圆周 2（A B +A D ）=圆周27°1962年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案1．解：设平均每年增长%x ，则有2(1%)121%x +=+，解得10x =.又第一年产量/第三年产量 =110083%121%121=≈+∴该工厂平均每年比上一年增长10%，第一年的产量是第三年的产量的83%. 2．解：5)21(i -的实部是由包含i 的偶次方的各项所组成， ∴所求之实部为.41)2()2(44522505=-+-+i C i C C3．解：由已知方程得),92lg(4)3)(5(lg-=+-x x x 即(5)(3)294x x x -+=-，∴210210x x -+=， ∴3,7x x ==，当3x =时，方程无意义， ∴原方程的解为7x =．4．解：4sin(2arcsin )5442sin arcsin cos arcsin 55⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭432425525=⨯⨯=．5．证：（1）设ABCD 为圆的内接平行四边形（如图），由于两平行弦所夹的弧相等，∴又∵ ∴∴∠C=900，∴ABCD 为矩形. （2）设ABCD 为圆外切平行四边形（如图）． ∵圆的外切四边形的每组对边的和相等，∴AD BC AB +=+ 但,AD BC AB CD ==，∴22,AD AB AB AD ==∴ABCD 为菱形.6．解：由②得 a y x -=③ 将③代入①得24(()210y y a y ---+=，即26(41)0y y a -++=，……………④ 2(6)4(41)16(2)a a ∆=--+=--.（1）当0∆>，即2a <时，方程组有不同的两实数解，且3y ==±，3xa =±，即 113,3x a y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩或 223,3x a y ⎧=-⎪⎨=+-⎪⎩ （2）当0∆=，即2a =时，方程组有相同的两实数解1,3.x y =⎧⎨=⎩（3）当0∆<，即2a >时，方程组没有实数解.7．解：∠ADB =1800-（330+270）=1200根据正弦定理，得sin 27sin120AB AD ⋅︒==︒第7题图第8题图D1C1B1A1ED CBADCBA又∠CAD=630-330=300，由余弦定理可得222cos30 CD AD AC AD AC=+-⋅⋅︒，24sin271232︒=+-24(0.4540)120.45400.3668.3=+-⨯=∴0.61.CD≈8．解（1）：设AA'mt=，A B'nt=.又1mt nt+=，∴1tm n=+.在直角△D AA''中，222D A D A AA''''=+2222222()m t n t m n t=+=+，而正方形A B C D''''的面积=2222222()()m nD A m n tm n+''=+=+.证（2）：∵2221()2m nm n+-+22222()()2()m n m nm n+-+=+22()2()m nm n-=≥+，∴2221()2m nm n+≥+.9．证：设正方体的棱长为1，连接AC，则AC=2.∵AE为直角△1A AC的斜边1AC上的高，∴1A E·1AC=21AA，CE·1AC=AC2.两式相除，得,21)2(122211===ACAAECEA∴1A E:CE=1:2.10．证：第一种情形：四条直线4321,,,llll没有三条直线过同一点，这时它们共有六个交点,,,,,A B C D E F，它们各不相同.令直线21,ll相交于点A，可决定一平面α.∵点,,B C D均在平面α内，∴直线43,ll也在平面α内，∴直线4321,,,llll同在平面α内.第二种情形：四条直线4321,,,llll中有三条，例如,,,321lll过同一点A.∵直线4l不过点A，∴由点A及直线4l可决定一平面α.∵直线4l与直线,,,321lll相交，设交点为,,B C D，则点,,B C D在直线4l上，从而在平面α内，因此，直线,,,321lll各有两点在平面α内，即这三条直线在平面α内，故四直线4321,,,llll在同一平内.βP E D C B A D C BA1963年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案 1．解：tan cos 0θθ=∴≠ ， ∴cos sin 1tan cos sin 1tan θθθθθθ--=++3==-+. 2．解：（1）2)3(1|31|22=+=+i ，tan θ=3πθ=.（2）由图可知，复数i 31+沿反时针方向转1500后，得到的复数为2(cos210sin 210)i i ︒+︒=.3．解：∵AD :BD =4:1， ∴AD =54AB ，BD =51AB ，又∵AB =1，∴AD =54，BD =51.在直角△ACD 中， ∵CD ⊥AB ，∴CD 2=AD ·BD =,254 ∴CD =52.4．证：如图，点P 是二面角CD αβ--内一点，PA ⊥平面α于点A ，PB ⊥平面β于点B ，∴PA ⊥CD ，PB ⊥CD .∴CD 垂直于由PA ， PB 所决定的平面． 5．解：101lg23.28101lg23.28-=-101 1.3670=-⨯____138.067013910.0670=-=+-____139.9330=，lg 0.9330,8.570x x ==，∴10113923.28108.570--=⨯1398.57010-=⨯.6．解：由sin 3sin cos 20x x x -+=得， 2cos 2sin cos 20x x x ⋅+=，即 cos 2(2sin 1)0x x +=．由cos 20x =得，222x k ππ=±，即4x k ππ=±（k Z ∈）；由2sin 10x +=，得1sin 2x =-，即 1(1)()(1)66k k x k k ππππ+=+--=+-（k Z ∈）．7．解：由2(1)3(2)⨯+得222530x xy y --=，即 (3)(2)0x y x y -+=，∴3x y =，或2yx =-．将3x y =代入（1）得2y x =±= 将2yx =-代入（1）得2,1y x =±= ，经检验得原方程组的解为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或221,2.x y =⎧⎨=-⎩ 8．解：（1）没有重复数字的五位数共有72056=P （个）．（2）由这六个数组成的五位数要为偶数，其末位数字只能是2和4，故末位数的取法有12C 种，当末位数字取定后，其余四位数字的取法只有4445P C ⋅种偶数的个数为240444512=⋅⋅P C C （个）．（3）五位数要为3的倍数，必须组成它的数字的和是3的倍数，这里只有1，3，4，7，9五个数字的和是3的倍数，故共有 120!555==P （个）． 9．证：由图可知AE 2=AC ·AD ，BF 2=BD ·BC ，∵AC =BD ，AD =BC ，∴AE 2=BF 2，AE =BF又OE OF =，90AEO BFO ∠=∠=︒， ∴△AOE ≌△BOF . 10．证：（1）如图，过球心O 与直圆锥底面的中心1O 作一平面与圆锥和球的截面，则△SAB 为等腰三角形．联OB ，则1OBO θ∠=．设圆锥母线长为l ，底面半径为R ，则 cos 2l R θ⋅=，即θ=2cos Rl ．又11tan OBO R ∠=，即1tan R θ=， ∴1tan cos 2l θθ=⋅，∴11tan cos 2tan l R θθθ+=+⋅11(1)tan cos 2θθ=+ 11cos 2tan cos 2θθθ+=⋅22212cos tan cos sin θθθθ=⋅- 22122tan 1tan tan (1tan )g θθθθ=⋅=--．（2）由条件及（1）得圆锥的全面积()S R l R π=+212tan tan (1tan )πθθθ=⋅⋅- 222tan (1tan )πθθ=-．（3）由（2）得222tan (1tan )S πθθ=-22228tan (1tan )2ππθθ≥=⎛⎫+- ⎪⎝⎭，当且仅当arctan 2θ=，即tan 2θ=（舍去负值），∴arctan2θ= ∴当θ取值22arctg=θ时，圆锥的全面积最小.注：本题可用配方法等方法求解.βPDBA1964年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案1．解：原式=32==．2．解：设乙的速度为v ，则甲的速度为v a +．在直角PBD ∆中，10cot PD v β=⋅；在直角PAD ∆中，10()cot PD v a α=+， ∴10cot 10()cot v v a βα⋅=+，∴cot cot cot a v αβα=-∴cot cot 10cot cot cot a PD v αβββα==-10cos cos .sin()αβαβ=-3．解方程,014=+x 并证明它的四个根为一个正方形的四个顶点解：,sin cos 14ππi x +=-= ∴22cossin44k k x i ππππ++=+，0,1,2,3.k=1cossin44x i ππ=+=233cos sin44x i ππ=+=，355cos sin44x i ππ=+=，477cossin 4422x i iππ=+=-．在复平面内（x 为实轴，y 为虚轴）分别用,,,A B C D 四点来表示四个根1234,,,x x x x （如图）即22A ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，22B ⎛- ⎝⎭，22C ⎛-- ⎝⎭，22D ⎛- ⎝⎭. ∵,A B 关于y 轴对称，,A D 关于x 轴对称，∴∠A =900，同理，90B C D ∠=∠=∠=︒，且|AB |=|BC |=|CD |=|DA |=.2 ∴ABCD 是正方形，而,,,A B C D 是顶点． 4．证：设R 为△ABC 的外接圆的半径，则由正弦定理得，2sin ,2sin ,2sin a R b R c R αβγ===，∴由余弦定理得222cos 2b c a bcα+-=222224(sin sin sin )42sin sin R R βγαβγ+-=⋅⋅ 222sin sin sin 2sin sin βγαβγ+-=⋅. 5．解：设方程的三根为,,αββ，且0β>，则由根与系数的关系及题设有22222, (1)23,(2), (3)2 6. (4)m n αβαββαβαβ+=-⎧⎪+=-⎪⎨=-⎪⎪+=⎩ 由（4）-2·（2）得2412,(5)ααβ-=（1）式平方得22244,(6)m ααββ++=（5）+（6）得2222(2)12m αβ+=+,即22612m ⋅=+， ∴0m =.由（1）得02=+βα，即2αβ=-，代入（4）得266β=，1β=，或1β≠-（舍去），2α=-. 由（3）得2(2)12n αβ=-=--⋅=，∴0,2m n ==.6．解：将圆台补成圆锥体（如图）.设其顶点为S ，SD x =，则103015x r x R ==+，即)(60cm x =. 又因AB 弧的长为 230()l R cm ππ==，而90()l SA cm θθ=⋅=，∴,3090πθ=3πθ=，∴△SAB 为等边三角形，AB =90（cm ），即AB 间的距离为90cm.7．证：1）先证,,,A B C D 四点共面.设通过直线1111A B C D 而垂直于平面M 的平面为P .则因1AA ⊥平面M ，而1A 又在直线1111A B C D上，所以点A 在平面 P 内，同理点,,B C D 均在平面P 内，即 ,,,A B C D 四点共面.2）证ABCD 是一个平行四边形.若AB 与CD 相交于E ，则其在平面N 内的射影22A B 与22C D 也相交于2E ，此与22A B ∥22C D 的假设相违，∴AB ∥CD ，同理AD ∥BC . ∴ABCD 是一个平行四边形. 8．解：（1）设圆1O ，圆2O 的半径分别为1R ，2R ，则由图知 190CEO ∠=︒， 22CE O E R ==∴.211R CO =同理.222R AO =∴2211AC AO O O CO =++1212)()R R R R =+++121)()R R =+.又∵AB =1，∴AC =2.∴121)()R R +=∴122R R +== （2）两圆面积之和22221212()S R R R R πππ=+=+2211[(2)]R R π=+2211[22(2(2]R R π=-+2132(2R π⎛=-+ ⎝，∴当122R -=，即12R R =时S 取小. ∵1R 的最大值为1R =21，这时2R 为最小值，其值为2R=13(222-= 又当2R =21时，1R 有最小值1R =223-， ∴当1R =21（此时2R =223-）或1R =223-（此时2R =21）时，S 有最大值. 机动题解：（1）如图，ABCD 为矩形.设AB =a ，AD b =. 作直角△12O O G ，则有()212R R +[][]221212()()b R R a R R =-++-+，解得12R R +=（a +b ）.2ab ± ∵12R R a b +<+ ,∴12R R +=（a +b ）.2ab - ∴两圆面积之和2212S R R ππ=+212(R π⎡=⎢⎣⎦∴当1R =，即12R R =时，S有最小值；当1R 或212R =min(b a ,)时,S 有最大值. (2)如图，球1O 和球2O 外切，球1O 和以1C 为顶点的三面角的三个面相切，球2O 和以A 为顶点的三面角的三个面相切（设棱长为1）.同前类似可计算出：22AO =111C O =，1232R R +=. 两球的体积和33331212444()333V R R R R πππ=+=+22213)R ⎫⎡⎤⎪--⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭2213R ⎤⎛⎥=+ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦当1R =，即12R R =时V 有最小值；当2111,22R R ===，或121,2R R ==V 有最大值.注：在（1）中的b a ,必须限制为,2b a b ≤<否则在矩形内之二圆无法相切.C B AAB 1965年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案1.解：二视图表示的是一个正六棱锥，其棱长为a 2，底面边长为a ，∴底面积2323a S = 棱锥的高,3a h =∴正六棱锥的体积23113332V Sh a ===.2.解：设经过x 小时后，甲船在C 处追上以船，则22BC x =（里） 26AC x =（里）由正弦定理得sin sin BC ACCAB ABC=∠∠，即2226sin(4948)sin(1804948)x xα=''︒-︒-︒，∴22sin 4948sin(4948)26α'⋅︒'︒-=，两边取对数得lgsin(4948)α'︒-lg22lgsin 4948lg26 1.8104'=+︒-=，9484015α''︒-=︒，∴49484015933α'''=︒-︒=︒. 3. 解：A ，B 两地之间的球面距离为过A ，B 所作的大圆的圆弧的长，设其长为l ，且设θ=∠AOB ，过A ，B 作平面1O AB NS ⊥（极轴），此平面与球面交成圆1O . 设其半径为r ，由已知， 1AO B β∠=.设C ，D 分别为赤道平面上与点A ，B 同经度之两点，则由已知得， AOC BOD α∠=∠=. 在过A ，B 的大圆上有180R l πθ=.由此可知，只需求出θ即可.在圆1O 中，线段AB=2sin 2AB r β=.又在过A ，C 的大圆中，1190,OO A OAO α∠=︒∠=， ∴αcos R r =，代入上式，可得线段2cos sin2AB R βα=.在AOB ∆中，线段2sin ,2AB R θ=∴2sin2θR =,2sincos 2βαR∴2arcsin(cos sin)2βθα=.由此可得A ，B 两地之间的球面距离为2arcsin(cos sin ).1802R l πβα=此处之角度以度为单位. 4.证：（1）|sin 2||2sin cos |x x x =⋅2|sin ||cos |x x =⋅．∵|cos |1x ≤，∴|sin 2|2|sin |x x ≤．（2）当n =1时，结论显然成立. 假设当(1)n k k =>时结论成立，即 .|sin ||sin |x k kx ≤ 当1n k =+时，|sin(1)||sin cos cos sin |k x kx x kx x +=⋅+⋅ |sin cos ||cos sin |kx x kx x ≤⋅+⋅ |sin ||cos ||cos ||sin |kx x kx x =⋅+⋅ |sin ||sin |(1)|sin |k x x k x ≤+=+，这就是说当1n k =+时，结论成立， ∴当n 为任意正整数时，结论均成立. 5.解：曲线C 是椭圆，中心在(1,1)-，其长轴平行于y 轴，短轴平行于x 轴（如图）．设直线1l 过点P (4,2)-且垂直于直线l ，与曲线C 相交于点A ，B ，1l 的方程为2(4)y x +=--，即2y x =-+.解方程组22(1)(1)1,242,x y y x ⎧+-+=⎪⎨⎪=-+⎩得 12211,1,3 3.5;3x x y y ⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩∴直线1l 与曲线C 的交点为 15(,),(1,3)33A B -. 6.解：设α是它们的公共根，则2230, (1)4(1)0.(2)a p a p αα⎧+-=⎨---=⎩由（1）+3⨯（2）得241230p p ααα+--=，即 (4)(3)0p αα+-=，解得3α=或4pα=-.当3α=时，将3α=代入（1）得2p =-；当4p α=-时，将4pα=-代入（1）得210p +=，p 不存在.∴当p =-2时，方程032=-+px x 与方程x x 42-0)1(=--p 有一公共根3.7.解：（1） ∵111222(,),(,)P x y P x y ， ∴12PP 的中点为)2,2(21211y y x x M ++， ∴点3P 的横坐标,8)(22212y y y x +== 纵坐标221y y y +=.123PP P S ∆=1122212121112()182x y x y y y y y ++211221121|()22x x x y x y y y -=-++ 21212()|8y y y y -++2222121221121|()2222y y y y y y y y -=-++ 21212()|8y y y y -++22121212121|||42()()|16y y y y y y y y =-⋅-+++ |)(|||16122121y y y y --⋅-=3121||16y y =-. （2）∵1P 的坐标为11(,)x y ， 3P 的坐标为)2,8)((21221y y y y ++， ∴13PP 的中点为)43,1625(212221212y y y y y y M +++，点1Q 的横坐标,32)3(22212y y y x +== 纵坐标.4321y y y +=同理，点2Q 的横坐标212(3)32y y x +=，纵坐标.4321y y y += ∴131PPQ ∆的面积+232P PQ ∆的面积=128)(14332)3(121212212122111y y y y y y y y y x ++++的绝对值+114332)3(128)(21222122121221y x y y y y y y y y ++++的绝对值2212121|[2()(3)]16y y y y y =+-+ 12121212()(3)[2()(3)]8y y y y y y y y ++++-+2221212[(3)4()]|4y y y y y ++-+ 2212121|[2()(3)]16y y y y y ++-+ 12121212()(3)[2()(3)]8y y y y y y y y ++++-+2221212[(3)4()]|4y y y y y ++-+ 222112122111|||()||||()|128128y y y y y y y y =-⋅-+-⋅- 3121||64y y =-. （3）线段12PP 与抛物线所围成的图形的面积123131232()PP P PP Q P P Q S S S S ∆∆∆=+++ 333121212111||||||1664256y y y y y y =-+-+-+ 3123121||116||11214y y y y -==--.8.附加题（1）已知c b a ,,为实数，证明c b a ,,均为正整数的充要条件是0,0,0.a b c ab bc ca abc ++>⎧⎪++>⎨⎪>⎩（2）已知方程023=+++r qx px x 的三根γβα,,都是实数，证明γβα,,是一个三角形的三边的充要条件是30,0,048.p q r p pq r <><⎧⎨>-⎩证明：（1）条件的必要性是显然的. ∵,0,0,0>>>c b a∴0>++c b a ，0>++ca bc ab ， .0>abc .下面证明条件的充分性：设c b a ,,是三次方程320x px qx r +++=的三个根，则由根与系数的关系及已知条件有0,0,0,p a b c q ab bc ca r abc -=++>⎧⎪=++>⎨⎪-=>⎩即 .0,0,0<><r q p∴三次方程023=+++r qx px x 的系数正负相间，∴方程无负根，即方程的根均非负; 又由0>abc 可知，方程无零根， ∴0,0,0a b c >>>.（2）由（1）的证明可知，γβα,,均为正数的充要条件是0,0,0p q r <><， ∴问题转化为证明γβα,,为三角形三条边的充要条件为r pq p 843->. 条件的必要性：若γβα,,为三角形的三边，则由三角形的性质必有,,αβγβγαγαβ+>+>+>， ∴0,0αβγβγα+->+->，0γαβ+->，∴))()((βαγαγβγβα-+-+-+ (2)(2)(2)p p p αβγ=------ (2)(2)(2)p p p αβγ=-+++a 32[2()p p αβγ=-+++ 4()8]p βγγααβαβγ++++33(248)p p pq r =--+- 3480p pq r =-+>，即r pq p 843->.条件的充分性：若r pq p 843->，则 ,0843>+-r pq p 3()αβγ-+++4()()80αβγαββγγααβγ++++->， ()(222αβγαββγγα++++222)80αβγαβγ---->， 2[()][()αβγβγ++--22()]80αβγααβγ++-->， 322()()ααβγαβγ-+++- 2()()0βγβγ-+->，22()()()0ααβγβγαβγ-+++--->， 22()[()]0αβγαβγ-++-->，()()()0αβγαβγαβγ-+++--+>．此式中至少有一因式大于0，今设,0>++-γβα则必有()()0αβγαβγ+--+>．如果,0,0<+-<-+γβαγβα 两式相加得02<a ，即0<α，此与0>α相矛盾． ∴,0>++-γβα,0,0>+->-+γβαγβα 即⎪⎩⎪⎨⎧>+>+>+,,,βγαγβααγβ 即γβα,,可作为一个三角形的三条边．综上所证可知，方程023=+++r qx px x 的三根γβα,,为一个三角形的三条边的充要条件是⎩⎨⎧-><><.840,0,03r pq p r q p1966年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案1.解:从12只灯泡中,选5只,如果其中有1只绿灯泡,4只红灯泡,那么,选法的种数为1457175C C =.如果其中有2只绿灯泡,3只红灯泡,那么,选法的种数为2357350C C =.∴一共有175+350=525种选法. 2.解:如图,已知8AD =， 10,6BC CD ==. 用1,O O 表示上、下底面的中心,,E F 表示,AD BC 的中点.连接11,,,OO EF OE O F ,则1OO FE 为直角梯形.从E 点作1O F 的垂线,垂足为G ，EG 就是正四棱台的高.EF ==EG ==，∴110080)3V =++=. 3.解法一:如图,在ABD ∆中，,,AB a BAD BDA θααβ=∠=-∠=-，由正弦定理得sin()sin()BD aθααβ=--，即asin()sin()a BD θααβ-=-.在BCD ∆中，,CBD BCD θβπθ∠=-∠=-，由正弦定理,得sin()sin()CD BDθβπθ=--，即 sin()sin BD CD θβθ-=，∴sin()sin()sin sin()a CD θαθβθαβ--=-..解法二:如图, 从D 点作AC 的垂线与AC 的延长线交于点E ，设DE h =.在直角三角形ADE 中，tan()ha BEθα=-+，即tan()hBE a θα=--.在直角三角形BDE 中, tan()h BE θβ=- ，即tan()tan()hh a θβθα⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦，∴tan()tan()tan()tan()a h θβθαθβθα--=---.在直角三角形CDE 中,[]tan()tan()sin sin tan()tan()h a CD θβθαθθθβθα--==--- ．4.已知双曲线的方程为221696418890x y x y -++-=.(1)求它的两个焦点的坐标.(2)一个圆通过这两个焦点并且与x 轴交于两点,这两点的距离是8.求这个圆的方程.解:(1)已知方程变形得2216(2)9(1)144x y +--=，即22(2)(1)1916x y +--=．令2,1x x y y ''+=-=,得221916x y ''-=， ∴这条双曲线的两个焦点在新坐标系中的坐标分别为(5,0),(5,0)-，且双曲线的两个焦点在旧坐标系中的坐标分别为 12(7,1),(3,1)F F -.(2)如图, 12,F F 为双曲线的两个焦点,为圆与x 轴的两个交点, C 为圆心.因为过C 点与x 轴垂直的直线必平分线段12F F ,且平分线段AB ,所以C 点的横坐标为7322-+=-，且4AM BM ==. 设圆心坐标为(2,)C t -，半径为r ，则在AMC Rt ∆中，2216r t =+. 由圆C 经过焦点12,F F 得()2222(7)(1)r t =---+-，即22226r t t =-+，∴2216226t t t +=-+， ∴5t =，∴r =∴圆的方程为22(2)(5)41x y ++-=.5. 解:设0,0u v ，则221,1x u y v =-=-， ∴原方程组可转化为22223, (1)2()180.(2)u v u v u v +=⎧⎨-++=⎩ 由（2）得2222()4180u v u v u v -+++=，即2240u v uv +=，0uv =，或40uv =-<（舍去）.解方程组3,0u v uv +=⎧⎨=⎩得0,3u v ==，或3,0u v ==，即1,8,x y =-⎧⎨=⎩或9,1.x y =⎧⎨=-⎩检验知原方程组的解是1,8,x y =-⎧⎨=⎩9,1.x y =⎧⎨=-⎩ 注：本题的解法较多，在此不一一列举. 6.解: （1）为边长可这三个数中，任意两个数的和大于第三个数即可.∵,,a b c 是三角形是△ABC 的三边， ∴b c a +>，∴2b c b c a =++>+>，>同理可证>>∴以为边长可以作一个三角形.（2）∵是三角形A B C '''∆的三边长，∴cos A '=.(3)不失一般性可以认为a b c ≥≥,并且至少有一个不等号成立.由于较大的数的算术≥ 如果△ABC 与A B C '∆相似，那么△ABC 中的大边与A B C '''∆中的大边必为对应边，由相似三角形对应边成比例得==a b c ==. 这与△ABC 不是正三角形相矛盾.。

1962年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案

1962年普通高等学校招生全国统一考试数学1．某工厂第三年产量比第一年增长21%，问平均每年比上一年增长百分之几？又第一年的产量是第三年的产量的百分之几？（精确到1%）解：设平均每年增长%x ，则得.10%,211%)1(2=+=+x x又%,83121100%2111≈=+=第二年产量第一年产量故该工厂平均每年比上一年增长10%，第一年的产量是第三年的产量的83%2．求5)21(i -的实部解：显然，5)21(i -的实部是由包含i 的零次方及包含i 的偶次方的各项所组成，故所求之实部为.41)2()2(44522505=-+-+i C i C C3．解方程).92lg(2lg 2)3lg()5lg(-=-++-x x x 解：),92lg(4)3)(5(lg-=+-x x x .7,,092,05,3.7,3,02110,924)3)(5(2=<-<-====+--=+-x x x x x x x x x x x 原方程的解为故不是原方程的解无意义使时当4．求)54arcsin 2sin(的值解：设),900(54arcsin ︒<α<︒α=则.53)54(1sin 1cos ,54sin 22=-=α-=α=α.252453542cos sin 22sin 54arcsin2sin(=⨯⨯=αα=α=∴ 5．求证：（1）圆内接平行四边形就是矩形;（2）圆外切平行四边形就是菱形证：（1）设ABCD 为圆的内接平行四弧相等， ∴AB=DCAD+AB ）=圆周， AD+AB=半圆周， ∠C=900， ∴ABCD 为矩形（2）设ABCD 为圆外切平行四边形（如图）由于圆的外切四边形的每组对边的和相等，∴AD+BC=AB+DC但AD=BC ，AB=DC ， ∴2AD=2AB ，AD=AB 故ABCD 为菱形6．解方程组⎩⎨⎧+==+--a x y y x y 01242并讨论a 取哪些实数时，方程组BDC B（1）有不同的两实数解; （2）有相同的两实数解; （3）没有实数解解：由②得 a y x -=③ 将③代入①得⎩⎨⎧--+=---=⎩⎨⎧-+=--+=--±=-±=+-±==+-=+---.223,223:223,223.223,2232)14(4366,0)14(6,012)((4221122a y a a x a y a a x a a x a a y a y y y a y y 即方程组的解为讨论：（1）当2,02<>-a a 即时，方程组有不同的两实数解;（2）当2,02==-a a 即时，方程组有相同的两实数解; （3）当2,02><-a a 即时，方程组没有实数解7．已知D 为△ABC 内的一点，AB=AC=1，∠BAC=630，∠BAD=270，求DC （精确到小数点后两位，4540.027sin =︒）解：∠ADB=1800-（330+270）=1200 根据正弦定理，得,327sin 2120sin 27sin ︒⋅=︒︒⋅=AB AD又∠CAD=630-330=300，由余弦定理可得A330 D 270 B C.61.036668.0.3668.04540.0213)4540.0(423327sin 221327sin 430cos 22222≈=∴=⨯-+=⋅︒⋅-+︒=︒⋅⋅-+=DC AC AD AC AD DC8．已知ABCD ，A ＇B ＇C ＇D ＇都是正方形（如图），而A ＇、B ＇、C ＇、D ＇分别把AB 、BC 、CD 、DA 分为m:n ，设AB=1（1）求A ＇B ＇C ＇D ＇的面积; （2）求证A ＇B ＇C ＇D ＇的面积不小于.21解（1）：设AA ＇mt =，A ＇B nt = 又.1,1nm t nt mt +=∴=+ 在直角△D ＇AA ＇中，2222222222)(tn m t n t m A A A D A D +=+='+'=''而正方形A ＇B ＇C ＇D ＇的面积=.)()(2222222n m n m t n m A D ++=+=''证（2）：0)(2)()(2)()(221)(222222222≥+-=++-+=-++n m n m n m n m n m n m n m .21)(222≥++∴n m n m 9．由正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A 作这正方体的对角线A 1C 的垂线，垂足为E ，证明A 1E:EC=1:2证：设正方体的棱长为1，连接AC ，则AC=2D C ＇ CD B ＇ A A ＇ B∵为直角△A 1AC 的斜边A 1C 上的高，∴A 1E ·A 1C=AA 12， EC ·A 1C=AC 2两式相除，得,21)2(122211===AC AA EC E A ∴A 1E:EC=1:2.10．求证两两相交而不过同一点的四条直线必在同一个平面内证：第一种情形：四条直线一点，这时4321,,,l l l l 没有三条直线过同它们共有六个交点A 、B 、C 、D 、E 、F ，它于点A ，可决们各不相同因直线21,l l 相交定一平面α;因点B 、C 、D 、E 均在平面α内，所以直线43,l l 也在平面α内，故直线4321,,,l l l l 同在平面α内第二种情形：四条直线4321,,,l l l l 中有三条，例如,,,321l l l 过同一点A 线4l 不过点A ，故由点A 及直线4l 可决定一平面α因直线4l 与直线,,,321l l l 相交，设交点为B 、C 、D ，则点B 、C D 在直线4l 上，从而在平面α内，因此，直线,,,321l l l 各有两点在平面α内，即这三条直线在平面α内，故四直线4321,,,l l l l 在同一平内D 1 C 1 A 1 B 1E D C A B123。