【好题】高二数学上期末试卷(及答案)(1)
最新高二数学上学期期末考试试卷含答案
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线x+2=0的倾斜角为()A. 0B. π4C. π3D. π2【答案】D【解析】解：直线x+2=0的斜率不存在，倾斜角为π2．故选：D．直线x+2=0与x轴垂直，斜率不存在，倾斜角为π2．本题考查了直线方程与倾斜角的应用问题，是基础题．2.抛物线y2=4x的准线方程为()A. x=−1B. x=1C. y=−1D. y=1【答案】A【解析】解：∵y2=4x，2p=4，p=2，∴抛物线y2=4x的准线方程为x=−1．故选：A．利用抛物线的基本性质，能求出抛物线y2=4x的准线方程．本题考查抛物线的简单性质，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答．3.如果一个几何体的正视图是矩形，则这个几何体不可能是()A. 三棱柱B. 四棱柱C. 圆锥D. 圆柱【答案】C【解析】解：三棱柱，四棱柱(特别是长方体)，圆柱的正视图都可以是矩形，圆锥不可能．几何体放置不同，则三视图也会发生改变.三棱柱，四棱柱(特别是长方体)，圆柱的正视图都可以是矩形．几何体放置不同，则三视图也会发生改变.考查了学生的空间想象力．4.设a，b，c为实数，且a<b<0，则下列不等式正确的是()A. 1a <1bB. ac2<bc2C. ba>abD. a2>ab>b2【答案】D【解析】解：对于A：1a −1b=b−aab>0，A不正确；对于B：ac2<bc2在c=0时，不成立，B不正确；对于C：ba −ab=b2−a2ab=(b−a)(b+a)ab<0，C不正确．故选：D．A：作差判断不成立；B：c=0时不成立；C：作差判断不成立．本题考查了不等式的基本性质，属基础题．5.如图是根据某赛季甲、乙两名篮球运动员参加11场比赛的得分情况画出的茎叶图.若甲运动员的中位数为a，乙运动员的众数为b，则a−b的值是()A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】A【解析】解：根据茎叶图知，甲运动员的中位数为a=19，乙运动员的众数为b=11，则a−b=19−11=8．故选：A．根据茎叶图中的数据写出甲的中位数a和乙的众数b，再求a−b．本题考查了利用茎叶图求中位数和众数的应用问题，是基础题．6.某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为x−和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为()A. x−，s2+1002B. x−+100，s2+1002C. x−，s2D. x−+100，s2【答案】D【解析】解：由题意知y i=x i+100，则y−=110(x1+x2+⋯+x10+100×10)=110(x1+x2+⋯+x10)=x−+100，方差s2=110[(x1+100−(x−+100)2+(x2+100−(x−+100)2+⋯+(x10+100−(x−+100)2]=110[(x1−x−)2+(x2−x−)2+⋯+(x10−x−)2]=s2．故选：D．根据变量之间均值和方差的关系和定义，直接代入即可得到结论．本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，利用均值和方差的定义是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的计算公式．7.已知双曲线x25−y2b2=1的焦点到渐近线的距离为2，则其虚轴长为()A. 1B. 4C. 3D. 0 【答案】B【解析】解：双曲线x25−y2b2=1的一个焦点设为(c,0)，c>0，且c=√5+b2，一条渐近线的方程设为bx−√5y=0，b>0，由题意可得√b2+5=b=2，即有2b=4，故选：B．设出双曲线的一个焦点和一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得b=2，可得虚轴长2b．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查点到直线的距离公式，以及运算能力，属于基础题．8.设α，β，γ是三个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列说法正确的是()A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若α⊥β，m⊥β，则m//αC. 若α⊥β，β⊥γ，则α//γD. 若m⊥α，n⊥α，则m//n【答案】D【解析】解：A中m，n还可能相交或异面；B中漏掉了m⊂α的情况；C中α，β也可能相交；D中同垂直于一个平面的两条直线平行，正确，故选：D．A，B，C中的结论都不完整，D中的结论有定理作保证，显然选D．此题考查了线面，面面的各种关系，难度较小．9.某市为调查某社区居民的家庭收入与年支出的关系，现随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据：若该社区居民家庭收入与年支出存在线性相关关系，且根据上表得到的回归直线方程是y^=b^x+a^，其中b^=0.76，据此估计，该社区一户年收入为15万元的家庭的年支出约为()A. 11.4万元B. 11.8万元C. 12.0万元D. 12.2万元【答案】B【解析】解：x−=8.5+9+10+11+11.55=10，y−=6.2+7.5+8+8.5+9.85=8，再根据样本中心点(x−,y−)在回归直线上，所以8=0.76×10+â可得â=0.4，所以线性回归直线方程为y−=0.76x+0.4，当x=15时，y=0.76×15+0.4，解得y=11.8元．故选：B．先根据线性回归直线过样本中心点得â=0.4，从而得回归方程，在将x=15代入可求得y=11.8万元．本题考查了线性回归方程，属中档题．10.如图的程序框图的部分算法思路来源于我国古代内容极为丰富的数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b的值分别为12，15，则输出的m=()A. 3B. 30C. 60D. 180【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得a=12，b=15，t=12×15= 180，不满足条件a≥b，b=12−5=3满足条件a≥b，a=12−3=9满足条件a≥b，a=9−3=6满足条件a≥b，a=6−3=3此时，不满足条件a≠b，计算并输出m=180=60．故选：C．由3已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．11.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，点M在C上，若以MF为直径的圆过点P(0,−2)，则|PM|的值为()A. √5B. 5C. 2√5D. 10【答案】C【解析】解：抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F(1,0)，设M(y 24,y)，∵以MF 为直径的圆过点P(0,−2)，∴PM ⊥PF ，∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗ =(y 24,y +2)⋅(1,2)=0，∴y 24+2(y +2)=0，解得y =−4，∴x M =(−4)24=4，M(4,−4)；∴|PM|=√(4−0)2+(−4+2)2=2√5．故选：C ．根据抛物线的方程求出焦点F ，利用直径对直角得出PM ⊥PF ，求出点M 的坐标，再计算|PM|的值．本题考查了圆的性质和抛物线的定义应用问题，也考查了推理能力与计算能力，是中档题．12. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c,0)、F 2(c,0)，A ，B 是圆(x +c)2+y 2=4c 2与双曲线C 位于x 轴上方的两个交点，且∠AF 1B =90∘，则双曲线C 的离心率为()A. √√2+1B. √2+1C. √2√2+1D. 2√2+1【答案】A【解析】解：圆(x +c)2+y 2=4c 2的圆心为(−c,0)，半径为2c ，且|AF 1|=2c ，|BF 1|=2c ，由双曲线的定义可得|AF 2|=2a +2c ，|BF 2|=2c −2a ，设∠BF 1F 2=α，。
高二数学上学期期末考试试题含解析_1 2(共15页)
HY 疏勒县八一(b ā y ī)中学2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题〔含解析〕一．选择题〔答案请写在答题框内〕 1.集合，，那么A.B.C.D.【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得：集合，所以，应选择C考点：集合的运算 2.函数y =+的定义域为〔 〕A.B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】 函数有意义，要求【详解】函数()1233f x x x =-+-有意义，要求故答案(dá àn)为：C.【点睛】这个题目考察了详细函数的定义域问题，对于函数定义域问题，首先分式要满足分母不为0，根式要求被开方数大于等于0，对数要求真数大于0，幂指数要求底数不等于0即可. 3.函数的单调递增区间为( ) A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，然后根据复合函数的单调性满足“同增异减〞的结论求解即可． 【详解】由可得或者， ∴函数的定义域为． 设，那么在上单调递减，又函数为减函数，∴函数在(),2-∞-上单调递增，∴函数()f x 的单调递增区间为(),2-∞-． 应选D ．【点睛】〔1〕复合函数单调性满足“同增异减〞的结论，即对于函数来讲，它的单调性依赖于函数和函数的单调性，当两个函数的单调性一样时，那么函数()()y f g x =为增函数；否那么函数()()y f g x =为减函数．〔2〕解答此题容易出现的错误(cuòwù)是无视函数的定义域，误认为函数的单调递增区间为(),0-∞． 4.，那么的值是( ) A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】 先化简得，再求cos α的值.【详解】由题得1sin =2α-，所以在第三、四象限，所以.应选：D【点睛】此题主要考察诱导公式和同角的平方关系，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题.的图象，只需要将函数的图象〔 〕A. 向左平移个单位B. 向右平移12π个单位C. 向左平移(pínɡ yí)3π个单位 D. 向右平移3π个单位 【答案】B 【解析】 因为函数，要得到函数的图象，只需要将函数4y sin x =的图象向右平移12π个单位。
江苏省2024届高二上数学期末统考试题含解析
江苏省2024届高二上数学期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，半焦距为c ，过点2F 作一条渐近线的垂线，垂足为P ，若12PF F △的面积为22c ，则该双曲线的离心率为（）A.3B.2D.2．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的平均数分别为A x 和B x ，标准差分别为A S 和B S ，则（）A .A B A B x x S S >>B.,A B A Bx x S S <>C.A B A Bx x S S ><D.,A B A Bx x S S <<3．变量x ，y 满足约束条件10,1,1,x y y x -+⎧⎪⎨⎪-⎩则65z x y =+的最小值为()A.6- B.8-C.1- D.54．函数()210x y x x+=>的值域为（）A.[1,)+∞ B.(1,)+∞C.[2,)+∞ D.(2,)+∞5．已知等差数列{}n a 的公差0d <，若3721a a =，2810a a +=，则该数列的前n 项和n S 的最大值为（）A.30B.35C.40D.456．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（）A.120B.84C.56D.287．设x ∈R ，则x <3是0<x <3的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8．某一电子集成块有三个元件a ，b ，c 并联构成，三个元件是否有故障相互独立．已知至少1个元件正常工作，该集成块就能正常运行．若每个元件能正常工作的概率均为45，则在该集成块能够正常工作的情况下，有且仅有一个元件出现故障的概率为（）A.1231 B.48125C.1625 D.161259．已知O 为坐标原点，(1,2,2),(2,1,4),(1,1,4)OA OB OC =-=-= ，点P 是OC 上一点，则当PA PB ⋅ 取得最小值时，点P 的坐标为（）A.114,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.11,,222⎛⎫ ⎪⎝⎭C.11,,144⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.()2,2,810．下列事件：①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；②某人买彩票中奖；③从集合{1,2,3}中任取两个不同元素，它们的和大于2；④在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾.其中是随机事件的个数是（）A.1B.2C.3D.411．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是A.1a b +＞ B.1a b -＞C.22a b ＞ D.33a b ＞12．2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗.1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，1OO ，2OO ，3OO ，4OO 分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，16α≈o ，则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为（）A.0B.1C.2D.3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
数学期末考试试卷及答案(高二上学期)
数学期末考试试卷及答案（高二上学期）一、选择题（每题4分，共40分）1. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则z在复平面内表示的点位于（）A. 实轴B. 虚轴C. 线段AB的中点D. 圆心O答案：C2. 已知函数f(x)=2x+1，若f(f(x))=3，则x等于（）A. -1B. 0C. 1D. 2答案：A3. 设函数g(x)=x²-4x+c，若g(x)的图象上存在两个点A、B，使得∠AOB=90°（其中O为坐标原点），则c的取值范围是（）A. (-∞, 1]B. [1, +∞)C. (-∞, 3]D. [3, +∞)答案：A4. 已知等差数列{an}的前5项和为25，第5项为15，则该数列的首项为（）A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B5. 若平行四边形ABCD的对角线交于点E，已知BE=4，CE=6，∠DCE=30°，则BD的长度为（）A. 8B. 10C. 12D. 16答案：B6. 已知函数h(x)=x³-3x，若h(x)的图象上存在一个点P，使得∠AOP=90°（其中O为坐标原点），则x的取值范围是（）A. (-∞, 0]B. [0, +∞)C. (-∞, 1]D. [1, +∞)答案：C7. 若等比数列{bn}的前三项分别为1、2、4，则该数列的公比为（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A8. 已知函数p(x)=x²-2x+1，若p(p(x))=0，则x等于（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B9. 设函数q(x)=|x-1|+|x+1|，则q(x)的最小值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C10. 若三角形ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=4，则BC的长度为（）A. 5B. 6C. 7D. 8答案：B二、填空题（每题4分，共40分）11. 若复数z=a+bi（a、b为实数），且|z|=2，则___。
数学期末考试试卷及答案(高二上学期)
数学期末考试试卷及答案（高二上学期）一、选择题（共40分，每小题2分）1. 一次函数y = 2x - 3的图象是直线，下列说法正确的是（）。
A. 过点(-3, 3)B. 过点(0, -3)C. 过点(3, 0)D. 过点(0, 3)答案：C2. 已知函数y = ax² + bx + c的图象经过点(1, 4)，则a + b + c的值为（）。
A. 4B. 6C. 8D. 10答案：B3. 在直角坐标系中，已知点A(2, 3)，点B在x轴上，且AB = 5，则点B的坐标为（）。
A. (2, 0)B. (0, -3)C. (7, 0)D. (-3, 0)答案：A4. 设函数f(x) = 2x + 3，g(x) = x² - 4，则f(g(2))的值为（）。
A. 3B. 7C. 9D. 11答案：C5. 函数y = x² - 6x + 8的图象是一条抛物线，下列说法正确的是（）。
A. 开口向上B. 开口向下C. 与x轴平行D. 与y轴平行答案：A二、解答题（共60分）6. 解方程组：2x - y = 3x + y = 5解答：将第一式两边同时加上第二式得到：2x - y + x + y = 3 + 53x = 8x = 8/3将x的值代入第二式得到：8/3 + y = 5y = 5 - 8/3y = 15/3 - 8/3y = 7/3因此，方程组的解为x = 8/3，y = 7/3。
7. 某商品原价为120元，现在打8折出售，求出售价格。
解答：打8折即为原价乘以0.8，所以出售价格为120元 × 0.8 = 96元。
8. 某数的5倍减去6等于30，求这个数。
解答：设这个数为x，则根据题意可以列出方程：5x - 6 = 305x = 30 + 65x = 36x = 36/5因此，这个数为36/5。
9. 已知等差数列的首项为3，公差为4，求第10项。
解答：第10项可以通过首项加上9倍公差来计算：第10项 = 3 + 9 × 4= 3 + 36= 39因此，第10项为39。
高二数学上学期期末考试试卷含答案
第一学期期末考试 高二 年级 数学 试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）每小题只有一个．．．．正确选项，请将正确选项填到答题卡处1.设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<, {|13}B x x =<<，则A B =（ ）A ．{|13}x x -<<B ．{|11}x x -<<C ．{|12}x x << D ．{|23}x x <<2．下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知平面向量，，且//，则＝( ) A ．B ．C ．D ．4．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为（ ）A ．12B ．8C ．6D ．46．函数()22)(x x f π=的导数是（ ）A .x x f π4)(=' B. x x f 24)(π=' C. x x f 28)(π=' D. x x f π16)(='7．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）A ． 向右平移个单位长度B ． 向右平移个单位长度C ． 向左平移个单位长度D ． 向左平移个单位长度8．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点(3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线27y x = 的准线上，则双曲线的方程为 ( )A ．2212128x y -=B ．2212821x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=9.若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（ ）A .318B .315C .3824+D .31624+10．在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是（ ）A .925 B .1625 C .310 D .1511．己知函数恒过定点A ．若直线过点A ，其中是正实数，则的最小值是( )A ．B ．C ．D ． 512．已知不等式2201x m x ++>-对一切()1x ∈+∞，恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ． 6m >- B ． 6m <- C ． 8m >- D ． 8m <-第II 卷 （非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）13．已知命题p ：∀x >0，(x ＋1)e x >1，则p 为 ．14．设变量x ，y 满足约束条件,22,2.y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则z ＝x －3y 的最小值为15．已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -=__________16．对于下列表格x 196 197 200 203 204 y136 7 m所示的五个散点，已知求得的线性回归方程为y ^＝0.8x －155. 则实数m 的值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分11分）已知0m >，p :()()260x x +-≤,q :22m x m -≤≤+ ． （I ）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若5m =，“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数x 的取值范围.18、（本小题满分11分）．在锐角中，分别为角所对的边，且.（1）确定角的大小；（2）若，且的面积为，求的周长.19 . (本小题满分12分)已知数列{}n a 中，)(2,1*11N n a a a n n ∈==+，数列{}n b 是以公差为3的等差数列，且32a b =.(1) 求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2) 求数列{}n n b a -的前n 项和n S .20．(本小题满分12分)某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36.(1)求样本容量及样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数；(2)已知这批产品中每个产品的利润y (单位：元)与产品净重x (单位：克)的关系式为3(9698),5(98104),4(104106).y x x x =≤<⎧⎪≤<⎨⎪≤≤⎩求这批产品平均每个的利润．21．（本小题满分12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x C ：的焦距为32，长轴长为4．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线m x y l +=:与椭圆C 交于 A ，B 两点．若OB OA ⊥，求m 的值．22. （本小题满分12 分） 已知函数(1)讨论函数 f (x)的单调性； （2）若对任意的a ∈ [1,4)，都存在 (2,3]使得不等式成立，求实数m 的取值范围.高二数学期末考试参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112答案ABBABCADCDBA13、∃x 0>0，使得(x 0＋1)0e x ≤1. 14．－8 15．32 16. 8 17. (本题11分)解：（I ）:26p x -≤≤ ………………………1分p 是q 的充分条件[]2,6∴-是[]2,2m m -+的子集 ………………………2分 022426m m m m m >⎧⎪∴-≤-⇒≥∴⎨⎪+≥⎩的取值范围是[)4,+∞………………………5分（Ⅱ）当5m =时，:37q x -≤≤，由题意可知,p q 一真一假， ………………………6分p 真q 假时，由2637x x x x -≤≤⎧⇒∈∅⎨<->⎩或 ………………………8分 p 假q 真时，由26326737x x x x x <->⎧⇒-≤<-<≤⎨-≤≤⎩或或 ………………………10分 所以实数x 的取值范围是[)(]3,26,7-- ………………………11分18． (本题11分)解：(1),由正弦定理得A C A sin sin 2sin 3•=…………1分又，， …………3分又 …………5分（2)由已知得，…………7分在中，由余弦定理得…………8分即，又，(舍负)…………10分故的周长为 …………11分19 . (本题12分)解（1）)(2,1*11N n a a a n n ∈==+ ，{}的等比数列是公比为数列2n a ∴， 121-⨯=∴n n a ..........................................3分 因为等差数列{}n b 的公差为3，又42232===a b ，所以233)1(2-=⨯-+=n n b b n ，..........................6分 (2))()()(2211n n n b a b a b a S -++-+-=)(2121n n b b b a a a ++-++=）（.....................8分 2)231(212-1-+--=n n n ..................................10分 122322-+-=nn n...............................12分20、 (本题12分)解： (1)产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300.......1分 设样本容量为n .∵样本中产品净重小于100克的个数是36...........2分 ∴36n ＝0.300，∴n ＝120...........3分.∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750.........4分∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.750＝90.....5分 (2) 产品净重在[96,98)，[98,104)，[104,106]内的频率分别为0.050×2＝0.100， (0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750, 0.075×2＝0.150，........8分∴其相应的频数分别为120×0.1＝12,120×0.750＝90,120×0.150＝18，...10分 ∴这批产品平均每个的利润为1120×(3×12＋5×90＋4×18)＝4.65(元)．..12分 20.(本题12分)解：（1）∵椭圆)0(12222>>=+b a b y a x C ：的焦距为32，长轴长为4，3=∴c ，2=a ，∴1=b ,..........................................2分∴椭圆C 的标准方程为1422=+y x .........................4分 （2）设),(,2211y x B y x A ）（，将直线AB的方程m x y +=为代入椭圆方程得0448522=-++m mx x . .......................6分 则58-21mx x =+，544221-=m x x ， ①.又0)44(206422>--=∆m m ，解得52<m . .......................9分，由OB OA ⊥得：0)(2))((2212121212121=+++=+++=+m x x m x x m x m x x x y y x x ........11分将①代入，得5102±=m ，又∵满足52<m ，∴5102±=m ．........12分22．（本题满分12分）解：（1）.........2分令得：..........3分令得：...........4分所以函数f（x）的单调递增区间为：和；单调递减区间为：.........6分（2）因为由（1）知函数在（2，3]上单调递增，所以........8分若对任意的a[1，4），都存在（2，3]使得不等式成立，等价于恒成立........9分令当时，所以当时，........11分故实数m 的取值范围是：.......12分。
高二数学上学期期末考试题精选及答案
高二数学上学期期末考试题第I 卷（试题） 一、 选择题：（每题5分，共60分）2、若a,b 为实数，且a+b=2,则3a +3b 的最小值为（ ）（A ）18， （B ）6， （C ）23， （D ）243 3、与不等式xx --23≥0同解的不等式是 （ ） （A ）（x-3）(2-x)≥0, (B)0<x-2≤1, (C)32--x x≥0, (D)(x-3)(2-x)>06、已知L 1:x –3y+7=0, L 2:x+2y+4=0, 下列说法正确的是 （ ）（A ）L 1到L 2的角为π43， （B ）L 1到L 2的角为4π（C ）L 2到L 1的角为43π， （D ）L 1到L 2的夹角为π437、和直线3x –4y+5=0关于x 轴对称的直线方程是 （ ）（A ）3x+4y –5=0, (B)3x+4y+5=0, (C)-3x+4y –5=0, (D)-3x+4y+5=08、直线y=x+23被曲线y=21x 2截得线段的中点到原点的距离是 （ ）（A ）29 （B ）29 （C ）429 （D ）22911、双曲线： 的准线方程是191622=-x y （ ） （Ａ）y=±716 (B)x=±516 (C)X=±716 (D)Y=±51612、抛物线：y=4ax 2的焦点坐标为 （ ） （A ）（a 41，0） （B ）（0, a 161） (C)(0, -a 161) (D) (a161,0)二、填空题：（每题4分，共16分） 13、若不等式ax 2+bx+2>0的解集是（–21,31），则a-b= . 14、由x ≥0,y ≥0及x+y ≤4所围成的平面区域的面积为 . 15、已知圆的方程⎩⎨⎧-=+=θθsin 43cos 45y x 为（θ为参数），则其标准方程为 .16、已知双曲线162x -92y =1，椭圆的焦点恰好为双曲线的两个顶点，椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则椭圆的方程为 .三、 解答题：（74分）17、如果a ，b +∈R ，且a ≠b ，求证： 422466b a b a b a +>+（12分）19、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作线段PP 1，求线段PP 1中点M 的轨迹方程。
数学高二上期末经典复习题(含答案解析)(1)
一、选择题1．(0分)[ID ：13328]在区间[]0,1上随机取两个数x ，y ，记P 为事件“23x y +≤”的概率，则(P = ) A ．23B ．12C ．49D ．292．(0分)[ID ：13318]某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这100名学生的成绩按照 [80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率 分布直方图如图所示则下列说法正确的是（ ）A ．频率分布直方图中a 的值为 0.040B ．样本数据低于130分的频率为 0.3C ．总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分D ．总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数不相等 3．(0分)[ID ：13311]我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？右图是源于其思想的一个程序框图，若输出的2S =（单位：升），则输入k 的值为A ．6B ．7C ．8D ．94．(0分)[ID ：13310]如图是把二进制的数11111化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A ．4i >？B ．5i >？C ．4i ≤？D ．5i ≤？5．(0分)[ID ：13305]执行如图的程序框图，如果输入72m =，输出的6n =，则输入的n 是（ ）A ．30B ．20C ．12D ．86．(0分)[ID ：13295]如果数据12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为28，则152x +，252x +，…，52n x +的平均数和方差分别为（ ）A ．x ，28B ．52x +，28C ．52x +，2258⨯D ．x ，2258⨯7．(0分)[ID ：13294]随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面四种说法正确的是（ ）．①1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个②第二季度与第一季度相比，空气合格天数的比重下降了 ③8月是空气质量最好的一个月 ④6月的空气质量最差 A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④8．(0分)[ID ：13290]从区间0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn9．(0分)[ID ：13288]执行如图的程序框图，那么输出的S 的值是（ ）A ．﹣1B ．12C ．2D ．110．(0分)[ID ：13278]执行如图所示的程序框图，如果输入x ＝5，y ＝1，则输出的结果是（ ）A．261B．425C．179D．54411．(0分)[ID：13277]在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（）．A．151B．168C．1306D．140812．(0分)[ID：13259]运行如图所示的程序框图，若输出的S的值为480，则判断框中可以填()A．60i>B．70i>C．80i>D．90i>13．(0分)[ID ：13245]定义运算a b ⊗为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则式子π2πtan cos 43⎛⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是A ．－1B ．12C ．1D ．3214．(0分)[ID ：13243]执行如图所示的程序框图，若输入2x =-，则输出的y =（ ）A ．8-B ．4-C ．4D ．815．(0分)[ID ：13320]一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( ) A ．127B ．29C ．49D ．827二、填空题16．(0分)[ID ：13412]执行如图所示的程序框图若输人x 的值为3，则输出y 的值为______．17．(0分)[ID ：13395]一个算法的伪代码如下图所示，执行此算法，若输出的y 值为1，则输入的实数x 的值为________.18．(0分)[ID ：13388]某单位有职工900人，其中青年职工450人，中年职工270人，老年职工180人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为10人，则样本容量为________．19．(0分)[ID ：13376]某公司的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有下列对应数据：由资料显示y 对x 呈线性相关关系。
最新高二数学上学期期末考试试卷含答案
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在等差数列{a n}中，已知a4=3，a12=19，则公差d为()A. 2B. 1C. −2D. −1【答案】A【解析】解：∵在等差数列{a n}中，a4=3，a12=19，∴公差d=19−3 12−4=168=2．故选：A．利用等差数列的通项公式直接求解．本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.在△ABC中，AB=AC=2，且∠B=π6，则边BC=()A. 2B. 4C. √3D. 2√3【答案】D【解析】解：∵AB=AC=2，且∠B=π6，∴∠C=∠B=π6，∠A=2π3，∴由正弦定理ACsin∠B =BCsin∠A，可得：2sinπ6=BCsin2π3，可得：BC=2×√3212=2√3．故选：D．由已知利用等腰三角形的性质可求∠A=2π3，由正弦定理即可解得BC的值．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．3.在等比数列{a n}中，已知公比q=2，前n项和为S n，若S2=3，S3=7，则它的前5项之和S5为()A. 62B. 15C. 31D. 21【答案】C【解析】解：在等比数列{a n}中，公比q=2，前n项和为S n，S2=3，S3=7，∴{a1(1−22)1−2=3a1(1−23)1−2=7，解得a1=1，∴它的前5项之和S5=1×(1−25)1−2=31．故选：C．利用等比数列前n项和公式列方程组，求出a1=1，由此能求出它的前5项之和S5．本题考查年平均增长率的求法，考查年平均增长率的性质、计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=2√3,a=2，∠B=60∘，则∠A=()A. 120∘B. 60∘C. 45∘D. 30∘【答案】D【解析】解：在△ABC中，由正弦定理得asinA =bsinB，∴sinA=asinBb=2×√32 2√3=12．∵a<b，∴A<B，即A是锐角．∴A=30∘．故选：D．由已知及正弦定理可求得sinA的值，由a<b，可知A是锐角，从而确定∠A的值．本题考查了正弦定理的应用，是基础题．5.已知椭圆x225+y216=1的两个焦点为F1，F2，过F1的直线与椭圆交于A，B两点，则△ABF2的周长为()A. 20B. 10C. 16D. 8【答案】A【解析】解：根据椭圆的定义：|AF1|+|AF2|=2a=10；|BF1|+ |BF2|=2a=10；△ABF1的周长为：|AB|+|AF1|+|BF1|=|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|=4a=20．故选：A．利用椭圆的定义：椭圆上的点到两焦点的距离之和为2a；把三角形的周长转化成椭圆上的点到焦点的距离问题解决．本题考查了椭圆的定义，解题的关键是把三角形的周长问题转化成椭圆上的点到焦点的距离问题，利用椭圆的定义解决．6.已知双曲线C的中心在坐标原点，渐近线方程为y=±2x，且它的个焦点为(√5,0)，则双曲线C的实轴长为()A. 1B. 2C. 4D. 2√5【答案】B【解析】解：双曲线C的中心在坐标原点，渐近线方程为y=±2x，且它的一个焦点为(√5,0)，所以c=√5，ba =2，可得c2−a2a2=4，解得a=1，所以双曲线的实轴长为2．故选：B．一条渐近线方程是y=±2x，焦点为(√5,0)，转化求解双曲线的实轴长即可．本题给出焦点在x坐标轴上的双曲线满足的条件，求双曲线的标准方程.着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．7.下列命题中正确的是()A. 若a，b∈R，则ba +ab≥2√ba⋅ab=2B. 若x>0，则x+1x>2C.若x<0，则x+4x ≥−2√x⋅4x=−4D. 若x∈R，则2x+2−x≥2√2x⋅2−x=2【答案】D【解析】解：A选项必须保证a，b，同号．B选项应取到等号，若x>0，则x+1x≥2，C选项应该为≤，故选：D．由基本不等式成立的条件，正、定、等，可知答案选D．本题考查基本不等式的性质，属于简单题．8. 在等差数列{a n }中，已知a 2+a 5+a 12+a 15=36，则S 16=() A. 288B. 144C. 572D. 72 【答案】B【解析】解：a 2+a 5+a 12+a 15=2(a 2+a 15)=36，∴a 1+a 16=a 2+a 15=18，∴S 16=16(a 1+a 16)2=8×18=144，故选：B ．根据等差数列的性质和求和公式计算即可．本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，属于基础题9. 含2n +1个项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为() A.2n+1nB.n+1nC.n−1nD.n+12n【答案】B【解析】解：依题意，奇数项的和S 奇数=a 1+a 3+⋯+a 2n+1=(n+1)(a 1+a 2n+1)2=(n+1)×2a n+12=(n +1)a n+1，同理可得S 偶数=na n+1；∴S 奇数S偶数=n+1n．故选：B ．利用等差数列的求和公式与等差数列的性质即可求得该题中奇数项的和与偶数项的和之比．本题考查等差数列的性质，着重考查等差数列的求和公式与等差数列的性质的综合应用，属于中档题．10. 已知点M 在抛物线x 2=4y 上，则点M 到直线y =x −3的最小距离为() A. 1B. 2C. √2D. 3 【答案】C【解析】解：设与直线y =x −3平行的直线方程为：y =x −m ，设切点坐标(s,t)，x 2=4y 可得：y ′=12x ，可得12s =1，可得s =2，则t =1，所以点M 到直线y =x −3的最小距离为：√2=√2．故选：C ．设出直线的平行线方程，利用函数的导数，求解切点坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．本题主要考查了抛物线的简单性质，两点距离公式的应用.解此类题设宜先画出图象，进而利用数形结合的思想解决问题．11. 设a >1，则关于x 的不等式(1−a)(x −a)(x −1a )<0的解集是()A. (−∞,a)∪(1a,+∞)B. (a,+∞)C. (a,1a )D. (−∞,1a)∪(a,+∞)【答案】D【解析】解：a >1时，1−a <0，且a >1a ，则关于x 的不等式(1−a)(x −a)(x −1a )<0可化为(x −a)(x −1a )>0，解得x <1a 或x >a ，所以不等式的解集为(−∞,1a )∪(a,+∞)．故选：D ．根据题意，把不等式化为(x −a)(x −1a )>0，求出解集即可．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．12. 已知直线与抛物线y 2=2px(p >0)交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 交AB 于D ，点D 的坐标为(2,1)，则p 的值为() A. 52B. 23C. 54D. 32 【答案】C【解析】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，∵直线OD 斜率为12，OD ⊥AB ，∴直线AB 斜率为−2，故直线AB 方程为2x +y −5=0…(1)将(1)代入抛物线方程得y 2+py −5p =0，则y 1y 2=−5p ，∵y 12=2px 1，y 22=2px 2，则(y 1y 2)2=4p 2x 1x 2，故x 1x 2=254，∵OA ⊥OB ∴x 1x 2+y 1y 2=0，∵p >0，∴p =54．故选：C ．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由直线OD 斜率为12，OD ⊥AB ，知直线AB 方程为2x +y −5=0，代入抛物线方程得y 2+py −5p =0，从而得到y 1y 2=−5p ，再由OA ⊥OB ，能求出p ．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用． 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设x 、y 满足约束条件{0≤x ≤10≤y ≤22y −x ≥1，且z =2y −2x +4，则z的最大值为______． 【答案】8【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z =2y −2x +4得y =x +z 2−2，平移直线y =x +z2−2，由图象可知当直线y =x +z2−2经过点A(0,2)时，直线y =x +z2−2的截距最大，此时z 最大，z max =2×2+4=8．即z 的最大值是8，故答案为：8．作出不等式组对应的平面区域，由z =2y −2x +4得y =x +z2−2，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 14. 命题：“若A ∪B =A ，则A ∩B =B ”的否命题是______． 【答案】若A ∪B ≠A 则A ∩B ≠B【解析】解：“若A ∪B =A ，则A ∩B =B ”的否命题： “若A ∪B ≠A 则A ∩B ≠B ”故答案为：若A ∪B ≠A 则A ∩B ≠B ．对所给命题的条件和结论分别否定，即：A ∪B ≠A 和A ∩B ≠B ，作为否命题的条件和结论．本题考查了否命题的定义，属于基础题．。
高二上学期期末数学试卷及答案
高二上学期期末数学试卷及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 若复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$表示的点在（）A. 实轴上B. 虚轴上C. 单位圆上D. 第一象限答案：C2. 已知函数$f(x)=\sqrt{1-x^2}$，则$f(x)$的定义域为（）A. $[-1,1]$B. $[0,1]$C. $(-1,1)$D. $[1,+\infty)$答案：A3. 若$a$，$b$是方程$x^2+(a+b)x+ab=0$的两根，则实数$a$，$b$满足（）A. $a+b=0$B. $a+b=2$C. $ab=1$D. $a^2+b^2=2$答案：C4. 已知等差数列的前5项和为35，公差为3，首项为（）A. 5B. 8C. 11D. 14答案：B5. 若$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$BC=6$，$\angle BAC=45^\circ$，则$\triangle ABC$的面积为（）A. $9\sqrt{2}$B. $18$C. $9$D. $6\sqrt{2}$答案：A二、填空题（每题5分，共25分）1. 若$f(x)=\ln x$，$g(x)=x^2-2x+1$，则$f(g(2))=______$。
答案：22. 已知函数$f(x)=x^3-3x+1$，则$f'(x)=______$。
答案：$3x^2-3$3. 若$\sin\alpha=\frac{1}{2}$，$\cos\beta=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，且$\alpha$，$\beta$都在第二象限，则$\sin\beta=______$。
答案：$\frac{\sqrt{3}}{2}$4. 若$a$，$b$，$c$是等差数列，且$a+b+c=12$，$a-b=4$，则$b=______$。
答案：45. 若$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$BC=10$，$\angleBAC=60^\circ$，则$\triangle ABC$的周长为______。
高二数学上学期期末考试试题(及答案)
高二数学上学期期末考试试题(及答案)高二数学上学期期末考试试题及答案第I卷（选择题）1.在三角形ABC中，已知a+b=c-2ab，则C=（）。
A。
2π/3 B。
π/3 C。
π D。
3π/4改写：在三角形ABC中，已知a+b=c-2ab，求C的大小。
答案：B2.在三角形ABC中，已知cosAcosB=p，求以下条件p的充要条件。
A。
充要条件B。
充分不必要条件C。
必要不充分条件D。
既非充分也非必要条件改写：在三角形ABC中，已知cosAcosB=p，求p的充要条件。
答案：B3.已知等比数列{an}中，a2a10=6a6，等差数列{bn}中，b4+b6=a6，则数列{bn}的前9项和为（）。
A。
9 B。
27 C。
54 D。
72改写：已知等比数列{an}和等差数列{bn}的一些条件，求{bn}的前9项和。
答案：C4.已知数列{an}的前n项和Sn=n+2n，则数列{a1}的前n 项和为（）。
A。
n^2/(n-1) B。
n(n+1)/(2n+1) C。
3(2n+3)/(2n+1) D。
3(n+1)/(n-1)改写：已知数列{an}的前n项和Sn=n+2n，求数列{a1}的前n项和。
答案：B5.设 2x-2y-5≤2，3x+y-10≥3，则z=x+y的最小值为（）。
A。
10 B。
8 C。
5 D。
2改写：已知不等式2x-2y-5≤2和3x+y-10≥3，求z=x+y的最小值。
答案：C6.对于曲线C：x^2/4+y^2/k^2=1，给出下面四个命题：①曲线C不可能表示椭圆；②“14”的必要不充分条件；④“曲线C表示焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<5”的充要条件。
其中真命题的个数为（）。
A。
0个 B。
1个 C。
2个 D。
3个改写：对于曲线C：x^2/4+y^2/k^2=1，判断下列命题的真假，并统计真命题的个数。
答案：C7.对于曲线C：x^2+y^2=1与直线y=k(x+3)交于点A,B，则三角形ABM的周长为（）。
高二(上)期末数学试卷带答案详解
高二（上）期末数学试卷带答案详解一、填空题（本大题满分36分，共12小题，每小题满分36分）1．（3分）直线x﹣（m﹣2）y+4=0的倾斜角为，则m的值是．2．（3分）若实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最大值为．3．（3分）若复数z满足，则|z+1|的值为．4．（3分）已知直线5x+12y+a=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切，则a的值为．5．（3分）已知方程+=1表示椭圆，则k的取值范围为．6．（3分）若直线l经过原点，且与直线的夹角为30°，则直线l方程为．7．（3分）过点（2，0）且方向向量为（k，1）的直线与双曲线﹣=1仅有一个交点，则实数k的值为．8．（3分）已知点P是椭圆上的在第一象限内的点，又A（2，0）、B （0，1），O是原点，则四边形OAPB的面积的最大值是．9．（3分）若点O和点F分别为双曲线﹣y2=1的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则•的取值范围为．10．（3分）双曲线﹣y2=1（n＞1）的两个焦点为F1，F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2，则△PF1F2的面积为．11．（3分）若点P（﹣1，0）在直线2ax+（a+c）y+2c=0上的射影是Q，则Q的轨迹方程是．12．（3分）已知点P在直线x+2y﹣1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，PQ中点为N（x0，y0），且y0＞x0+2，则的取值范围为．二、选择题（本大题满分12分，共4小题，每小题满分12分）13．（3分）设a、b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数a+bi为纯虚数的”（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）与双曲线=1有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（）A．B．C．D．15．（3分）设曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的方程为x ﹣3y+2=0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．416．（3分）已知曲线C：﹣=1（a＞b＞0），下列叙述中正确的是（）A．垂直于x轴的直线与曲线C存在两个交点B．直线y=kx+m（k，m∈R）与曲线C最多有三个交点C．曲线C关于直线y=﹣x对称D．若P1（x1，y1），P2（x2，y2）为曲线C上任意两点，则有＜0三、解答题（本大题满分52分）17．（6分）求以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的标准方程．18．（10分）设z1是方程x2﹣6x+25=0的一个根．（1）求z1；=a+i（其中i为虚数单位，a∈R），若z2的共轭复数满足（2）设z，求．19．（10分）如图，直线y=x与抛物线y=x2﹣4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=﹣5交于Q点．（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时，求△OPQ面积的最大值．20．（12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21．（14分）椭圆E1：+=1和椭圆E2：+=1满足==m（m ＞0），则称这两个椭圆相似，m称为其相似比．（1）求经过点（2，），且与椭圆+=1相似的椭圆方程；（2）设过原点的一条射线L分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上），求的最大值和最小值；（3）对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆C1：+=1和C2：+=1交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若|OA|，|OP|，|OB|成等比数列，则点P的轨迹方程为+=1”．请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题，不必证明．参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分，共12小题，每小题满分36分）1．（3分）直线x﹣（m﹣2）y+4=0的倾斜角为，则m的值是3．【分析】由直线的倾斜角求出斜率，再由斜率列式求得m值．【解答】解：∵直线x﹣（m﹣2）y+4=0的倾斜角为，∴该直线的斜率为tan，即，解得：m=3．故答案为：3．【点评】本题考查直线的倾斜角，考查了直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．2．（3分）若实数x，y满足不等式组，则z=x+2y的最大值为6．【分析】作出题中不等式组对应的平面区域如图，将直线l：z=x+2y进行平移，并观察它在轴上截距的变化，可得当l经过区域的右上顶点A时，z达到最大值．由此求出A点坐标，不难得到本题的答案．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如右图，是位于△ABO及其内部的阴影部分．将直线l：z=x+2y进行平移，可知越向上平移，z的值越大，当l经过区域的右上顶点A时，z达到最大值由解得A（2，2）∴z max=F（2，2）=2+2×2=6故答案为：6【点评】本题给出线性约束条件，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单线性规划等知识点，属于基础题．3．（3分）若复数z满足，则|z+1|的值为．【分析】由已知条件求出复数z，并利用复数代数形式的除法法则化简为1﹣i，由此求得z+1的值及|z+1|的值．【解答】解：∵复数z满足，解得z====﹣i，∴z+1=1﹣i，∴|z+1|==，故答案为．【点评】本题主要考查复数代数形式的混合运算，复数的模的定义和求法，属于基础题．4．（3分）已知直线5x+12y+a=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切，则a的值为8或﹣18．【分析】写出圆的圆心坐标和半径，利用圆心到切线的距离等于圆的半径得答案．【解答】解：圆（x﹣1）2+y2=1的圆心为（1，0），半径为1，∵直线5x+12y+a=0与圆（x﹣1）2+y2=1相切，∴，解得：a=8或a=﹣18．故答案为：a=8或a=﹣18．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，训练了点到直线的距离公式的应用，是基础题．5．（3分）已知方程+=1表示椭圆，则k的取值范围为．【分析】根据题意，方程表示椭圆，则x2，y2项的系数均为正数且不相等列出不等关系，解可得答案．【解答】解：∵方程表示椭圆，则⇒解得k∈故答案为：．【点评】本题考查椭圆的标准方程，注意其标准方程的形式与圆、双曲线的标准方程的异同，考查运算能力，属基础题．6．（3分）若直线l经过原点，且与直线的夹角为30°，则直线l方程为x=0或y=x．【分析】可得已知直线的倾斜角为为60°，进而所求直线l的倾斜角为30°或90°，可得直线l的方程．【解答】解：∵直线的斜率为，∴倾斜角为60°，∴所求直线l的倾斜角为30°或90°，当直线l的倾斜角为90°时，直线的方程为x=0；直线l的倾斜角为30°时，直线的方程为y=x．故答案为：x=0或y=x．【点评】本题考查两直线的夹角，涉及直线的倾斜角和斜率的关系，属基础题．7．（3分）过点（2，0）且方向向量为（k，1）的直线与双曲线﹣=1仅有一个交点，则实数k的值为0或±．【分析】先根据直线的方程可知直线恒过（2，0）点，进而可推断出要使直线与双曲只有一个公共点，需直线与双曲线相切或与渐近线平行，进而根据双曲线方程求得其渐近线方程，求得k的值．【解答】解：依题意可知直线l恒过（2，0）点，即双曲线的右顶点，双曲线的渐近线方程为y=±x，要使直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线相切，即垂直于x轴，即有k=0；当直线与渐近线平行，即有=±，即k=±，此时直线与双曲线仅有一个交点．故答案为：0或±．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法．8．（3分）已知点P是椭圆上的在第一象限内的点，又A（2，0）、B（0，1），O是原点，则四边形OAPB的面积的最大值是．【分析】利用三角函数来解答这道题，椭圆方程上里面的自变量x，y 可以表示为x=2cosa y=sina 本题中要求第一象限，这样就应该有0＜a＜π，设P 为（2cosa，sina）这样四边形OAPB的面积就可以表示为两个三角形OAP和OPB 面积之和，对于三角形OAP有面积S1=sina 对于三角形OBP有面积S2=cosa 这样四边形的面积S=S1+S2=sina+cosa也就相当于求解sina+cosa的最大值，0＜a＜π，sina+cosa=sin（a+）这样其最大值就应该为，并且当且仅当a=时成立．【解答】解：由于点P是椭圆上的在第一象限内的点，设P为（2cosa，sina）即x=2cosa y=sina （0＜a＜π），这样四边形OAPB的面积就可以表示为两个三角形OAP和OPB面积之和，对于三角形OAP有面积S1=sina 对于三角形OBP有面积S2=cosa∴四边形的面积S=S1+S2=sina+cosa=sin（a+）其最大值就应该为，并且当且仅当a=时成立．所以，面积最大值．故答案为：．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，解答的关键在于利用椭圆的参数方程设出椭圆上一点的坐标，利用三角函数的有界性求最值．9．（3分）若点O和点F分别为双曲线﹣y2=1的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则•的取值范围为[3+2，+∞）．【分析】求得双曲线的焦点F，设出点P，代入双曲线方程求得纵坐标的表达式，根据P，F，O的坐标表示•，进而利用二次函数的性质求得其最小值，则可得•的取值范围．【解答】解：设P（m，n），由F（﹣2，0），O（0，0），则•=（m，n）•（m+2，n）=m2+2m+n2．由点P为双曲线右支上的任意一点，可得﹣n2=1（m≥），即n2=﹣1，则m2+2m+n2=m2+2m+﹣1=m2+2m﹣1=（m+）2﹣，由m≥＞﹣，可得函数在[，+∞）上单调递增，即有m2+2m+n2≥3+2，则•的取值范围为[3+2，+∞）．故答案为：[3+2，+∞）．【点评】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．10．（3分）双曲线﹣y2=1（n＞1）的两个焦点为F1，F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2，则△PF1F2的面积为1．【分析】令|PF1|=x，|PF2|=y，根据题设条件和双曲线定义可得关于x和y的方程组，解x和y，进而可求得x2+y2，结果正好等于|F1F2|2，根据勾股定理可知△PF1F2为直角三角形，进而根据三角形面积公式求得答案．【解答】解：令|PF1|=x，|PF2|=y，依题意可知解得x=+，y=﹣，∴x2+y2=（+）2+（﹣）2=4n+4∵|F1F2|=2∴|F1F2|2=4n+4∴x2+y2|F1F2|2∴△PF1F2为直角三角形∴△PF1F2的面积为xy=（2+）（﹣）=1故答案为：1．【点评】本题主要考查了双曲线的应用．考查了学生对双曲线定义的理解和灵活运用．11．（3分）若点P（﹣1，0）在直线2ax+（a+c）y+2c=0上的射影是Q，则Q的轨迹方程是x2+（y+1）2=2．【分析】直线2ax+（a+c）y+2c=0恒过定点M（1，﹣2），PQ垂直直线2ax+（a+c）y+2c=0，故△PQM为直角三角形，Q的轨迹是以PM为直径的圆．【解答】解：直线2ax+（a+c）y+2c=0恒过定点M（1，﹣2）∵点P（﹣1，0）在直线2ax+（a+c）y+2c=0上的射影是Q∴PQ⊥直线l故△PQM为直角三角形，Q的轨迹是以PM为直径的圆．∴Q的轨迹方程是x2+（y+1）2=2．故答案为：x2+（y+1）2=2．【点评】本题考查了直线恒过定点，以及利用几何意义求解，属于中档题．12．（3分）已知点P在直线x+2y﹣1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，PQ中点为N（x0，y0），且y0＞x0+2，则的取值范围为．【分析】首先由直线x+2y﹣1=0与直线x+2y+3=0是平行线，得出PQ的中点N（x0，y0）满足的直线方程；再根据y0＞x0+2对应的平面区域进一步限定M的范围；最后结合的几何意义求出其范围．【解答】解：根据题意作图如下因为PQ中点为N，则点N的坐标满足方程x+2y+1=0，又y0＞x0+2，则点N在直线y=x+2的左上部，且由得N（，），则k ON=﹣，并且直线x+2y+1=0的斜率k=﹣，而可视为点N与原点O连线的斜率，故﹣＜＜﹣．【点评】本题考查数形结合的思想方法．二、选择题（本大题满分12分，共4小题，每小题满分12分）13．（3分）设a、b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数a+bi为纯虚数的”（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】结合纯虚数的概念，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若复数a+bi为纯虚数，则a=0，b≠0，∴“ab=0”是“复数a+bi为纯虚数的”必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用纯虚数的概念是解决本题的关键．14．（3分）与双曲线=1有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（）A．B．C．D．【分析】由题意设出与双曲线有共同的渐近线的方程为，把点（2，2）代入求出λ，则答案可求．【解答】解：设所求的双曲线方程为，∵所求双曲线过点（2，2），则，即λ=﹣3，∴所求双曲线方程为．故选：B．【点评】本小题主要考查双曲线标准方程的求解，考查学生的运算求解能力．设与双曲线有共同的渐近线的方程为是简化运算的关键，是中档题．15．（3分）设曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的方程为x ﹣3y+2=0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】将参数方程化为普通方程，求出圆心和半径，再求圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系，观察即可得到点的个数．【解答】解：曲线C的参数方程为（θ为参数），化为普通方程为圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=9，圆心为（2，1），半径为3．则圆心到直线的距离d==．则直线与圆相交，则由3﹣＞，故在直线x﹣3y+2=0的上方和下方各有两个，共4个．故选D．【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化，考查直线与圆的位置关系，考查判断和运算能力，属于中档题．16．（3分）已知曲线C：﹣=1（a＞b＞0），下列叙述中正确的是（）A．垂直于x轴的直线与曲线C存在两个交点B．直线y=kx+m（k，m∈R）与曲线C最多有三个交点C．曲线C关于直线y=﹣x对称D．若P1（x1，y1），P2（x2，y2）为曲线C上任意两点，则有＜0【分析】对x，y的符号进行讨论，得出曲线的图象，根据椭圆与双曲线的性质进行判断．【解答】解：当x＞0，y＞0时，曲线C的方程为，渐近线方程为y=．当x＜0，y＞0时，曲线C方程为﹣，方程无解．当x＜0，y＜0时，曲线C方程为，渐近线方程为y=．当x＞0，y＜0时，曲线C方程为．作出曲线C的图象如图所示：显然y是关于x的函数，故A错误．由图象可知当直线y=kx+m经过点（a，0）且k＞时，直线与曲线C有三个交点．∵a≠b，∴曲线C不关于直线y=﹣x对称，故C错误．由图象可知y=f（x）为增函数，∴k=＞0，故D错误．综上，故选B．【点评】本题考查了曲线的方程的含义，椭圆与双曲线的性质，属于中档题．三、解答题（本大题满分52分）17．（6分）求以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的标准方程．【分析】根据抛物线的性质和圆的标准方程即可求出．【解答】解：抛物线的焦点F（1，0），因为圆过原点，所以半径R=1所以所求的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=1．【点评】本题考查了抛物线的性质和圆的标准方程，属于基础题．18．（10分）设z1是方程x2﹣6x+25=0的一个根．（1）求z1；=a+i（其中i为虚数单位，a∈R），若z2的共轭复数满足（2）设z，求．【分析】（1）直接利用实系数一元二次方程的求根公式求解；（2）由z 2=a+i得其共轭复数，把z1及代入，整理后求解a的值，代入z2=a+i后求解．【解答】解（1）∵△=62﹣4×25=﹣64，∴，即z1=3﹣4i或z1=3+4i；（2）由z 2=a+i，得．当z1=3﹣4i时，则=|（3﹣4i）3•（a﹣i）|=，得|（﹣117﹣44i）（a﹣i）|=，整理得：，∴a=±2．当z1=3+4i时，则=|（3+4i）3•（a﹣i）|=，得|（﹣117+44i）（a﹣i）|=，整理得：，∴a=±2．综上：当a=﹣2时，；当a=2时，．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，训练了实系数一元二次方程虚根的求法，考查了复数模的求法，考查了学生的计算能力，是基础题．19．（10分）如图，直线y=x与抛物线y=x2﹣4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=﹣5交于Q点．（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时，求△OPQ面积的最大值．【分析】（1）把直线方程抛物线方程联立求得交点A，B的坐标，则AB中点M 的坐标可得，利用AB的斜率推断出AB垂直平分线的斜率，进而求得AB垂直平分线的方程，把y=﹣5代入求得Q的坐标．（2）设出P的坐标，利用P到直线0Q的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得QO的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形OPQ，利用x的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值．【解答】解：（1）解方程组得或即A（﹣4，﹣2），B（8，4），从而AB的中点为M（2，1），由k AB═，直线AB的垂直平分线方程y﹣1=﹣2（x﹣2）．令y=﹣5，得x=5，∴Q（5，﹣5）．（2）直线OQ的方程为x+y=0，设P（x，x2﹣4）．∵点P到直线OQ的距离d==．，∴S=|OQ|d=△OPQ∵P为抛物线上位于线段AB下方的点，且P不在直线OQ上，∴﹣4≤x＜4﹣4或4﹣4＜x≤8．∵函数y=x2+8x﹣32在区间[﹣4，8]上单调递增，∴当x=8时，△OPQ的面积取到最大值30．【点评】本题主要考查了抛物线的应用，点到直线的距离公式．考查了对解析几何基础知识的灵活运用．20．（12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？【分析】建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向．设在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标进而可知此时台风侵袭的区域，根据题意可知其中r（t）=10t+60，若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有（0﹣x）2+（0﹣y）2≤（10t+60）2，进而可得关于t的一元二次不等式，求得t的范围，答案可得．【解答】解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向．在时刻：t（h）台风中心P（x，y）的坐标为令（x′，y′）是台风边缘线上一点，则此时台风侵袭的区域是（x′﹣x）2+（y′﹣y）2≤[r（t）]2，其中r（t）=10t+60，若在t时，该城市受到台风的侵袭，则有（0﹣x）2+（0﹣y）2≤（10t+60）2，即，即t2﹣36t+288≤0，解得12≤t≤24．答：12小时后该城市开始受到台风侵袭．【点评】本题主要考查了圆的方程的综合运用．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．21．（14分）椭圆E1：+=1和椭圆E2：+=1满足==m（m ＞0），则称这两个椭圆相似，m称为其相似比．（1）求经过点（2，），且与椭圆+=1相似的椭圆方程；（2）设过原点的一条射线L分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上），求的最大值和最小值；（3）对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆C1：+=1和C2：+=1交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若|OA|，|OP|，|OB|成等比数列，则点P的轨迹方程为+=1”．请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题，不必证明．【分析】（1）直接根据定义得到，解得a，b，即可得到与已知椭圆相似的椭圆方程；（2）先对射线与y轴重合时求出结论；再对射线不与坐标轴重合时，由椭圆的对称性，仅考查A、B在第一象限的情形，联立直线与两个椭圆方程分别求出线段的长度，再结合函数的单调性即可求出的最大值和最小值；（整理过程需小心避免出错）．（3）分析出命题的基本条件为：椭圆、a=2，b=、m=2、等比，类比着写：①双曲线或抛物线；②a，b或p；③相似比为m；④等比．【解答】解：（1）设所求的椭圆方程为+=1，则有，解得，∴所要求的椭圆方程为+=1；（2）①当射线与y轴重合时，|OA|+=+=；②当射线不与y轴重合时，由椭圆的对称性，我们仅考察A、B在第一象限的情形．设其方程为y=kx（k≥0，x＞0），设A（x1，y1），B（x2，y2），由解得，所以；由解得所以；=+，令，，=（）在上是增函数，∴，即，由①②知，|OA|+的最大值为，的最小值为．（3）过原点的一条射线分别与两条双曲线C1：﹣=1和C2：﹣=1（m＞0）交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若|OA|、|OP|、|OB|成等比数列，则点P 的轨迹方程为﹣=1；或过原点的一条射线分别与两条抛物线C1：y2=2px（p＞0）和C2：y2=2mpx（m ＞0）相交于异于原点的A、B两点，P为线段AB上的一点，若|OA|、|OP|、|OB|成等比数列，则点P的轨迹方程为y2=2px．【点评】本题综合考查直线和椭圆的位置关系，难度较大，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．第21页（共21页）。
安徽省2022年高二上期末数学文科试卷(1)含答案解析
高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：（每小题5分，共60分）1．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切2．（5分）已知直线l、m，平面α、β且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β．其中正确的命题个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）已知条件p：k=；条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则￢p 是￢q的（）A．充分必要条件B．必要不充分条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）设A为圆周上一点，在圆周上等可能取点，与A连结，则弦长不超过半径的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）在对两个变量x，y进行线性回归分析时，有下列步骤：①对所求出的回归直线方程作出解释；②收集数据（x i，y i），i=1，2，…，n；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．如果根据可形性要求能够作出变量x，y具有线性相关结论，则在下列操作顺序中正确的是（）A．①②⑤③④B．③②④⑤①C．②④③①⑤D．②⑤④③①6．（5分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣37．（5分）设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0 有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2+x﹣m=0 有实根，则m＞0B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0C．若方程x2+x﹣m=0 没有实根，则m＞0D．若方程x2+x﹣m=0 没有实根，则m≤08．（5分）命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2x0＞0 B．存在x0∈R，2x0≥0C．对任意的x∈R，2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞09．（5分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）10．（5分）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是（3，0），则椭圆的标准方程为（）A．=1 B．=1C．=1 D．=111．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax ﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．12．（5分）对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，第i次观测得到的数据为a i，具体如下表所示：i12345678a i4041434344464748在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图（其中是这8个数据的平均数），则输出的S的值是（）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题：（每小题5分，共20分）13．（5分）程所表示的曲线是．（椭圆的一部分，圆的一部分，椭圆，直线的）14．（5分）直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则|AB|=．15．（5分）命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为．16．（5分）已知P为椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积S=．三、解答题：17．（10分）给定两个命题，P：对任意的实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．18．（12分）某校高二年级有男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查，设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择，下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．同意不同意合计教师1女生4男生2（1）请完成此统计表；（2）试估计高二年级学生“同意”的人数；（3）从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意”的概率．19．（12分）设锐角三角形的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2bsinA．（1）求B的大小；（2）求cosA+sinC的取值范围．20．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．22．（12分）已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R，圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25．（Ⅰ）证明：直线l恒过一定点P；（Ⅱ）证明：直线l与圆C相交；（Ⅲ）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值．高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分）1．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切【解答】解：圆O1：x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，圆心是O1（1，0），半径是r1=1圆O2：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4，圆心是O2（0，2），半径是r2=2∵|O1O2|=，故|r1﹣r2|＜|O1O2|＜|r1+r2|∴两圆的位置关系是相交．故选B2．（5分）已知直线l、m，平面α、β且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β．其中正确的命题个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解；①∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又∵m⊂β，∴l⊥m，①正确．②由l⊥m推不出l⊥β，②错误．③当l⊥α，α⊥β时，l可能平行β，也可能在β内，∴l与m的位置关系不能判断，③错误．④∵l⊥α，l∥m，∴m∥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，正确；故选：B．3．（5分）已知条件p：k=；条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则￢p 是￢q的（）A．充分必要条件B．必要不充分条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，可得：=1，解得k=．∴p是q的充分不必要条件．则￢p是￢q的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）设A为圆周上一点，在圆周上等可能取点，与A连结，则弦长不超过半径的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：在圆上其他位置任取一点B，设圆半径为R，则B点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2πR，其中满足条件AB的长度不超过半径长度的对应的弧长为•2πR，则AB弦的长度不超过半径长度的概率P=．故选：C．5．（5分）在对两个变量x，y进行线性回归分析时，有下列步骤：①对所求出的回归直线方程作出解释；②收集数据（x i，y i），i=1，2，…，n；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．如果根据可形性要求能够作出变量x，y具有线性相关结论，则在下列操作顺序中正确的是（）A．①②⑤③④B．③②④⑤①C．②④③①⑤D．②⑤④③①【解答】解：对两个变量进行回归分析时，首先收集数据（x i，y i），i=1，2，…，n；根据所搜集的数据绘制散点图．观察散点图的形状，判断线性关系的强弱，求相关系数，写出线性回归方程，最后对所求出的回归直线方程作出解释；故正确顺序是②⑤④③①故选D．6．（5分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2），代入直线3x+y+a=0得：﹣3+2+a=0，∴a=1，故选B．7．（5分）设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0 有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2+x﹣m=0 有实根，则m＞0B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0C．若方程x2+x﹣m=0 没有实根，则m＞0D．若方程x2+x﹣m=0 没有实根，则m≤0【解答】解：命题的逆否命题为，若方程x2+x﹣m=0 没有实根，则m≤0，故选：D．8．（5分）命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2x0＞0 B．存在x0∈R，2x0≥0C．对任意的x∈R，2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞0【解答】解：命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是对任意的x∈R，2x＞0，故选：D．9．（5分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）【解答】解：∵直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点∴圆心到直线x﹣y+1=0的距离为∴|a+1|≤2∴﹣3≤a≤1故选C．10．（5分）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是（3，0），则椭圆的标准方程为（）A．=1 B．=1C．=1 D．=1【解答】解：设椭圆的短轴为2b（b＞0），长轴为2a，则2a+2b=18又∵个焦点的坐标是（3，0），∴椭圆在x轴上，c=3∵c2=a2﹣b2∴a2=25 b2=16所以椭圆的标准方程为故选B．11．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax ﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行，所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2．故选C．12．（5分）对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，第i次观测得到的数据为a i，具体如下表所示：i12345678a i4041434344464748在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图（其中是这8个数据的平均数），则输出的S的值是（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：本题在算法与统计的交汇处命题，考查了同学们的识图能力以及计算能力．本题计算的是这8个数的方差，因为所以故选B二、填空题：（每小题5分，共20分）13．（5分）程所表示的曲线是椭圆的一部分．（椭圆的一部分，圆的一部分，椭圆，直线的）【解答】解：方程，可得x≥0，方程化为：x2+4y2=1，（x≥0），方程表示焦点坐标在x轴，y轴右侧的一部分．故答案为：椭圆的一部分；14．（5分）直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则|AB|=2．【解答】解：圆心为（0，0），半径为2，圆心到直线x﹣2y+5=0的距离为d=，故，得|AB|=2．故答案为：2．15．（5分）命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为[﹣2，2] ．【解答】解：原命题的否定为“∀x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”，且为真命题，则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立，只需△=9a2﹣4×2×9≤0，解得：﹣2≤a≤2．故答案为：[﹣2，2]16．（5分）已知P为椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积S=．【解答】解：由椭圆的标准方程可得：a=5，b=3，∴c=4，设|PF1|=t1，|PF2|=t2，所以根据椭圆的定义可得：t1+t2=10①，在△F1PF2中，∠F1PF2=60°，所以根据余弦定理可得：|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos60°=|F1F2|2=（2c）2=64，整理可得：t12+t22﹣t1t2=64，②把①两边平方得t12+t22+2t1•t2=100，③所以③﹣②得t1t2=12，∴∠F1PF2=3．故答案为：3．三、解答题：17．（10分）给定两个命题，P：对任意的实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．【解答】解：当P为真时，a=0，或，解得：a∈[0，4）﹣﹣（3分）当Q为真时，△=1﹣4a≥0．解得：a∈（﹣∞，]﹣﹣（6分）如果p∨q为真，p∧q为假，即p和q有且仅有一个为真，﹣﹣（8分）当p真q假时，a∈（，4）当p假q真时，a∈（﹣∞，0）a的取值范围即为：（﹣∞，0）∪（，4）﹣﹣（12分）18．（12分）某校高二年级有男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查，设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择，下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．同意不同意合计教师1女生4男生2（1）请完成此统计表；（2）试估计高二年级学生“同意”的人数；（3）从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意”的概率．【解答】解：（1）根据题意，填写被调查人答卷情况统计表如下：男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查，设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择，下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．同意不同意合计教师11 2女生24 6男生325（2）由表格可以看出女生同意的概率是，男生同意的概率是；用男女生同意的概率乘以人数，得到同意的结果数为105×+126×=105，估计高二年级学生“同意”的人数为105人；（3）设“同意”的两名学生编号为1，2，“不同意”的四名学生分别编号为3，4，5，6，选出两人则有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15种方法；其中（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），共8种满足题意；则恰有一人“同意”一人“不同意”的概率为P=．19．（12分）设锐角三角形的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2bsinA．（1）求B的大小；（2）求cosA+sinC的取值范围．【解答】解：（1）由a=2bsinA．根据正弦定理，得sinA=2sinBsinA，sinA≠0．故sinB=．因△ABC为锐角三角形，故B=．（2）cosA+sinC=cosA+sin=cosA+sin=cosA+cosA+sinA=sin．由△ABC为锐角三角形，知=﹣B＜A＜，∴＜A+＜，故＜sin＜，＜＜．故cosA+sinC的取值范围是．20．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，解得a＜x＜3a．命题q：实数x满足．化为，解得，即2＜x≤3．（1）a=1时，p：1＜x＜3．p∧q为真，可得p与q都为真命题，则，解得2＜x＜3．实数x的取值范围是（2，3）．（2）∵p是q的必要不充分条件，∴，a＞0，解得1＜a≤2．∴实数a的取值范围是（1，2]．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，∠BAP=∠CDP=90°，∴AB⊥PA，CD⊥PD，又AB∥CD，∴AB⊥PD，∵PA∩PD=P，∴AB⊥平面PAD，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．解：（2）设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO，∵PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，平面PAB⊥平面PAD，∴PO⊥底面ABCD，且AD==，PO=，∵四棱锥P﹣ABCD的体积为，由AB⊥平面PAD，得AB⊥AD，=∴V P﹣ABCD====，解得a=2，∴PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2，PO=，∴PB=PC==2，∴该四棱锥的侧面积：S侧=S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC=+++==6+2．22．（12分）已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R，圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25．（Ⅰ）证明：直线l恒过一定点P；（Ⅱ）证明：直线l与圆C相交；（Ⅲ）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值．【解答】（本题满分12分）解：证明：（Ⅰ）直线l方程变形为（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0，由，得，∴直线l恒过定点P（3，1）．…（4分）（Ⅱ）∵P（3，1），圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的圆心C（1，2），半径r=5，∴，∴P点在圆C内部，∴直线l与圆C相交．…（8分）解：（Ⅲ）当l⊥PC时，所截得的弦长最短，此时有k l•k PC=﹣1，而，k PC=﹣，∴=﹣1，解得m=﹣．…（12分）。
最新高二数学上学期期末考试试卷 含答案
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 命题“∀x >1，x 2−x >0”的否定是()A. ∃x 0≤1，x 02−x 0>0B. ∃x 0>1，x 02−x 0≤0C. ∀x >1，x 2−x ≤0D. ∀x ≤1，x 2−x >0 【答案】B【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x >1，x 2−x >0”的否定是：∃x 0>1，x 02−x 0≤0．故选：B ．利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查． 2. 椭圆点x 26+y 28=1的离心率为()A. 12B. 14C. 13D. √33【答案】A 【解析】解：椭圆点x 26+y 28=1，可得a =2√2，b =√b ，c =√2，可得e =c a=√22√2=12．故选：A ．求出椭圆的长半轴以及半焦距的大小，然后求解离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．3. 过点P(3,4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线有() A. 0条B. 1条C. 2条D. 3条 【答案】C【解析】解：设直线在x 、y 轴上的截距分别为a 和−a(a ≠0)，则直线l 的方程为xa −ya =1，∵直线过点A(3,4)，∴3a −4a =1，解得：a =−1，此时直线l 的方程为x −y +1=0；当a =0时，直线过原点，设直线方程为y=kx，过点A(3,4)，此时直线l的方程为y=43x，即4x−3y=0；综上，直线l的方程有2条．故选：C．过点A且在x、y轴上的截距互为相反数的直线有2条，分别求出即可．本题考查了直线的截距式方程应用问题，容易疏忽过原点的情况，是基础题．4.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为34，焦距为10，则双曲线C的方程为()A. x232−y218=1B. x23−y24=1C. x29−y216=1D. x216−y29=1【答案】D【解析】解：∵焦距为10，c=5，∴曲线的焦点坐标为(±5,0)，∵双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为34，∴ba=34，25=a2+b2，解得a=4，b=3，所求的双曲线方程为：x216−y29=1．故选：D．利用双曲线的渐近线的斜率，转化求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程．本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】C【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，下半部分为正方体，棱长为2，上半部分为直三棱柱，高为2，底面是等腰直角三角形，直角边长为√2，则该几何体的体积V=2×2×2+1×√2×√2×2=10．故选：C．由2三视图还原原几何体，该几何体为组合体，下半部分为正方体，棱长为2，上半部分为直三棱柱，高为2，底面是等腰直角三角形，直角边长为√2，再由正方体与棱柱的体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．6.“m=−3”是“直线(m+1)x+y+1=0与直线2x+(m+2)y+2=0互相平行”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：直线(m+1)x+y+1=0与直线2x+(m+2)y+ 2=0互相平行，∴(m+1)(m+2)−1×2=0，∴m(m+3)=0解得m=−3或m=0，故m=−3”是“直线(m+1)x+y+1=0与直线2x+(m+2)y+2=0互相平行”的充分不必要条件，故选：A．根据直线平行的等价，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线平行的等价条件求出m 是解决本题的关键．7. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AD ，C 1D 1的中点，O 为侧面BCC 1B 1的中心，则异面直线MN 与OD 1所成角的余弦值为() A. 16B. 14C. −16D. −14 【答案】A【解析】解：如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则M(1,0，0)，N(0,1，2)，O(1,2，1)，D 1 (0,0，2)，∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,2)，OD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2,1)．则cos <MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6×√6=16．∴异面直线MN 与OD 1所成角的余弦值为16．故选：A ．以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，求出MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由数量积求夹角公式求解．本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，关键是正确标出所用点的坐标，是中档题．8.已知直线l：(a−1)x+2ay+a+1=0(a∈R)，圆C：(x−2)2+(y−1)2=9，则下列说法正确的是()A. l与C可能相切或相交B. l与C可能相离或相切C. l与C一定相交D. l与C可能相交或相离【答案】C【解析】解：由直线l：(a−1)x+2ay+a+1=0(a∈R)可得：a(x+2y+1)−(x−1)=0，由{x−1=0x+2y+1=0可得该直线所过的定点为(1,−1)，检验可知，该点在圆内，故选：C．由直线系方程可得直线所过定点，检验可得点在圆内，故一定相交．此题考查了直线与圆的位置关系，难度不大．9.已知直线y=−√3(x−2)与抛物线C：y2=2px(p>0)的准线相交于M，与C的其中一个交点为N，若线段MN的中点在x轴上，则p=()A. 2B. 4C. 2√3D. 4√3【答案】B【解析】解：直线y=−√3(x−2)与x轴的交点为T(2,0)，由抛物线的准线方程x=−p2，可得M(−p2,√3(2+p2))，由T为MN的中点，可得N(4+p2,−√3(2+p2))，代入抛物线的方程可得3(2+p 2)2=2p(4+p2)，化为p2+8p−48=0，解得p=4(−12舍去)，故选：B．求得直线与x轴的交点T(2,0)，以及抛物线的准线方程，可得M的坐标，由中点坐标公式可得N的坐标，代入抛物线方程可得p的方程，解方程可得p的值．本题考查抛物线的方程和运用，同时考查中点坐标公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10. 在三棱锥P −ABC 中，PC ⊥底面ABC ，∠BAC =90∘，AB =AC =4，∠PBC =60∘，则点C 到平面PAB 的距离是() A.3√427B. 4√427C. 5√427D. 6√427【答案】B【解析】解：∵在三棱锥P −ABC 中，PC ⊥底面ABC ，∠BAC =90∘，AB =AC =4，∠PBC =60∘，∴以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，过A 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则C(0,4，0)，P(0,4，4√6)，A(0,0，0)，B(4,0，0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0，0)，AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，4√6)，设平面PAB 的法向量n ⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ =4y +4√6z =0n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4x =0，取z =1，得n ⃗ =(0,−√6,1)，∴点C 到平面PAB 的距离d =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n⃗⃗ |=√6√7=4√427．故选：B ．以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，过A 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C 到平面PAB 的距离．本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 11. 点P 在椭圆C 1：x 24+y 23=1上，C 1的右焦点为F ，点Q 在圆C 2：x 2+y 2+6x −8y +21=0上，则|PQ|−|PF|的最小值为()A. 4√2−4B. 4−4√2C. 6−2√5D. 2√5−6 【答案】D【解析】解：点P 在椭圆C 1：x 24+y 23=1上，C 1的右焦点为F(1,0)，左焦点E(−1,0)，如图：圆C 2：x 2+y 2+6x −8y +21=0上，可得：(x +3)2+(y −4)2=4，圆心坐标(−3,4)，半径为2．由椭圆的定义可得：|PE|+|PF|=2a =4，|PF|=4−|PE|，则|PQ|−|PF|=|PQ|+|PE|−4，由题意可得：|PQ|−|PF|的最小值为：|PQ|−|PF|=|PQ|+|PE|−4=|C 2E|−2−4=√(−3+1)2+(4−0)2−6=2√5−6，故选：D ．利用椭圆方程求出焦点坐标，求出圆的圆心与半径，利用椭圆的定义，转化求解距离的最小值即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．12. 设双曲线M ：y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的上顶点为A ，直线y =√a 2+b 2与M 交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D 若D 到点(0,2√a 2+b 2)的距离不超过8√a 2+b 2−7a ，则M 的离心率的取值范围是()A. [√7+1,+∞)B. [√7−1,+∞)C. (1,√7+1]D. (1,√7−1] 【答案】D 【解析】解：记c =√a 2+b 2，由题意可得B(b2a,c)，C(−b 2a,c)，由双曲线的对称性可知D 点在y 轴上，设D(0,t)，则c−tb 2a−0×c−a−b 2a−0=−1，则t =c −b 4a (c−a)=c −(c+a)2(c−a)a ，∴2c −[c −(c+a)2(c−a)a 2]≤8√a 2+b 2−7a =8c −7a ，∴(c+a)2(c−a)a 2≤7(c −a)，∴c 2+2ac +a 2≤7a 2，即e 2+2e −6≤0，解得−1−√7≤e ≤−1+√7，∵e >1，∴e ∈(1,√7−1]，故选：D ．求出双曲线的渐近线方程，令x =c ，求得B ，C 的坐标，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设D(0,t)，则c−tb 2a−0×c−a−b 2a−0=−1，利用D 到直线BC 的距离不超过8√a 2+b 2−7a ，建立不等式关系，结合双曲线离心率的定义，即可得出结论本题考查双曲线的方程和性质，考查三角形的垂心的概念，以及两直线垂直的条件：斜率之积为−1，考查运算能力，属于中档题． 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 抛物线x 2=4√3y 的焦点坐标为______． 【答案】(0,√3)【解析】解：抛物线x 2=4√3y 的焦点坐标(0,√3).故答案为：(0,√3).直接利用抛物线的标准方程求解焦点坐标．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．14. 命题“当c >0时，若a >b ，则ac >bc.”的逆命题是______． 【答案】当c >0时，若ac >bc ，则a >b【解析】解：命题“当c >0时，若a >b ，则ac >bc.”的逆命题是当c >0时，若ac >bc ，则a >b ，故答案为：当c >0时，若ac >bc ，则a >b 根据原命题是若P ，则Q ，它的逆命题是若Q ，则P ，本题考查了四种命题之间的关系，解题时应根据原命题直接写出对应的逆命题15. 倾斜角为π3且在x 轴上的截距为a 的直线被圆(x +a)2+y 2=4所截得的弦长为2，则a =______． 【答案】±1【解析】解：倾斜角为π3且在x 轴上的截距为a 的直线方程为：y =√3(x −a)，即√3x −y −√3a =0，圆心(−a,0)到直线的距离为：|2√3a 2|=|√3a|，∴3a 2+1=4，得a =±1，故答案为：±1设直线方程，求得圆心到直线的距离，再利用弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形可得解．此题考查了圆的弦长问题，难度不大． 16. 已知在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =1，BC =2，AA 1=4，E 是侧棱CC 1的中点，则直线AE 与平面A 1ED 所成角的正弦值为______． 【答案】49【解析】解：在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =1，BC =2，AA 1=4，E 是侧棱CC 1的中点，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，A(2,0，0)，E(0,1，2)，A 1(2,0，4)，D(0,0，0)，EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,−2)，DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，4)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，2)，]设平面A 1ED 的法向量n ⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +4z =0n ⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y +2z =0，取z =1，得n⃗ =(−2,−2,1)，设直线AE 与平面A 1ED 所成角为θ，则sinθ=|EA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||EA⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=43×3=49，∴直线AE 与平面A 1ED 所成角的正弦值为49．故答案为：49．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AE与平面A1ED所成角的正弦值．本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知椭圆W：x2m +y2n=1(m>0,n>0)的离心率为e，长轴为AB，短轴为CD．(1)若W的一个焦点为(3,0)，|CD|=6，求W的方程；(2)若|AB|=10，e=35，求W的方程．【答案】解：(1)由已知可得，c=3，2b=6，b=3．∴a2=b2+c2=18．由题意可知，椭圆焦点在x轴上，则椭圆方程为x218+y29=1；(2)由已知可得，2a=10，则a=5，又e=ca =35，∴c=3，则b2=a2−c2=16．若椭圆焦点在x轴上，则椭圆方程为x225+y2 16=1．若椭圆焦点在y轴上，则椭圆方程为x216+y225=1．【解析】(1)由已知求得c与b的值，再由隐含条件求得a，则椭圆方程可求；(2)由已知求得a，结合离心率求得c，再由隐含条件求得b，然后分类写出椭圆方程．本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆方程的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题．18.已知p：方程x2m−2−y2m−6=1表示椭圆；q：双曲线x2−y2m=1的离心率e∈(1,2)．(1)若p∧q是真命题，求m的取值范围；(2)若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求m的取值范围．【答案】解：p ：方程x 2m−2−y 2m−6=1表示椭圆；则x 2m−2+y 26−m=1，则{m −2>06−m >0m −2≠6−m ，得{m >2m <6m ≠4，得2<m <4或4<m <6，即p ：2<m <4或4<m <6；q ：双曲线x 2−y 2m=1的离心率e ∈(1,2)．则a =1，b 2=m ，c 2=1+m ，得e 2=c 2a 2=1+m ∈(1,4)，则m ∈(0,3)，即0<m <3，则q ：0<m <3，(1)若p ∧q 是真命题，则p ，q 都是真命题，则{0<m <32<m<4或4<m<6，得2<m <3．(2)若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，则p ，q 一个为真命题，一个为假命题，若p 真q 假，则{m ≥3或m ≤02<m<4或4<m<6，得3≤m <4，若p假q 真，则{0<m <3m≥6或m≤2或m=4，此时0<m ≤2，综上0<m ≤2或3≤m <4．【解析】(1)求出命题p ，q 为真命题的等价条件，结合p ∧q 是真命题，则p ，q 同时为真命题，进行计算即可．(2)若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，则p ，q 一个为真命题，一个为假命题，进行计算即可．本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键． 19. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面是边长为4的菱形，∠BAD =π3，平面PAC ⊥平面ABCD ，PC ⊥PA ，M 为PC的中点．(1)证明：PA//平面BDM ；(2)若直线PA 与底面ABCD 所成角为π6，求三棱锥P −BDM 的体积．【答案】(1)证明：如图，设AC，BD 交于O，连接OM，在△APC中，PA//OM，又OM⊂平面BDM，PA⊄平面BDM，∴PA//平面BDM；(2)解：∵平面PAC⊥平面ABCD，∴∠PAC即为直线PA与底面ABCD所成的角，即∠PAC=π6，又PC⊥PA，∴PC=12AC，PA=√32AC，∵底面是边长为4的菱形，∠BAD=π3，∴AC=4√3，BD=4，∴PC=2√3，PA=6，∴PM=√3，OM=3，∵BD⊥AC，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC，BD⊥OM，又PC⊥PA，∴PC⊥OM，而BD，OM为平面MBD内两条相交线，∴PC⊥平面MBD，∴V P−BDM=13S△BDM×PM=13×12×4×3×√3=2√3．故三棱锥P−BDM的体积为：2√3．【解析】(1)利用中位线得线线平行，进而得线面平行；(2)利用两面垂直得到线面所成角，而后在直角三角形APC中可得相关线段长，从而求得底面积和高，得解．本题考查了线面平行，线面所成角，线面垂直，面面垂直，锥体体积等，是中档题．20.如图，四边形ABCD为正方形，BE//DF，且AB=BE=DF=√22EC，AB⊥平面BCE．(1)证明：平面AEC⊥平面BDFE；(2)求二面角A−FC−E的余弦值．【答案】证明：(1)∵四边形ABCD 为正方形，BE//DF ，且AB =BE =DF =√22EC ，AB ⊥平面BCE ．∴四边形BDEF 是平行四边形，AB ⊥DF ，AD ⊥DC ，AC ⊥BD ，∵BE 2+BC 2=12EC 2+12EC 2=EC 2，∴BE ⊥BC ，∴BE ⊥平面ABCD ，∴AC ⊥BC ，∵BD ∩BE =B ，∴AC ⊥平面BDFE ，∵AC ⊂平面ACE ，∴平面AEC ⊥平面BDFE ．解：(2)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DF 为z轴，建立空间直角坐标系，设AB =BE =DF =√22EC =√2，则A(√2,0，0)，C(0,√2,0)，E(√2,√2,√2)，F(0,0，√2)，FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,−√2)，FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,−√2)，FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,√2,0)，设平面AFC 的法向量n ⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅FA⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x −√2z =0n ⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y −√2z =0，取x =1，得n⃗ =(1,1，1)，设平面EFC 的法向量m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅FE⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x +√2y =0m⃗⃗⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y −√2z =0，取x =1，得m⃗⃗⃗ =(1,−1,−1)，设二面角A −FC −E 的平面角为θ，则cosθ=|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3⋅√3=13．∴二面角A −FC −E 的余弦值为13．【解析】(1)推导出AB ⊥DF ，AD ⊥DC ，AC ⊥BD ，BE ⊥BC ，从而BE ⊥平面ABCD ，进而AC ⊥BC ，由此能证明AC ⊥平面BDFE ，从而平面AEC ⊥平面BDFE ．(2)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DF 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A −FC −E 的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 21. 已知过点M(2,3)的直线l 与抛物线E ：y 2=8x 交于点A ，B ．(1)若弦AB 的中点为M ，求直线l 的方程；(2)设O 为坐标原点，OA ⊥OB ，求|AB|．【答案】解：(1)由题意知直线的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则有y 12=8x 1，y 22=8x 2，两式作差可得：y 12−y 22=8(x 1−x 2)，即y 1−y 2x1−x 2=8y 1+y 2=，∵y 1+y 2=2×3=6，∴k AB =43．则直线l 的方程为y −3=43(x −2)，即4x −3y +1=0；(2)当AB ⊥x 轴时，不符合题意，故设直线l 方程为y =k(x −2)+3．{y 2=8xy=k(x−2)+3⇒ky 2−8y +24−16k =0．∴y 1y 2=24−16kk，y 1+y 2=8k ，x 1x 2=(y 1y 2)264=(24−16k)264k 2．∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2+y 1y 2=0，∴24−16kk +(24−16k)264k 2=0，∵y 1y 2≠0，∴24−16k ≠0．解得k =−12|AB|=√1+1k |y 1−y 2|=√5⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=16√10．【解析】(1)由题意知直线的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，利用点差法求得直线斜率，再由直线方程点斜式求解；(2)设直线l 方程为y =k(x −2)+3.由OA ⊥OB 解得k ，由|AB|=√1+1k 2|y 1−y 2|求解．本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理得运用，考查等价转化问题的能力． 22. 设A 是圆O ：x 2+y 2=16上的任意一点，l 是过点A 且与x 轴垂直的直线，B 是直线l 与x 轴的交点，点Q 在直线l 上，且满足4|BQ|=3|BA|.当点A 在圆O 上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)已知直线y =kx −2(k ≠0)与曲线C 交于M ，N 两点，点M 关于y 轴的对称点为M ′，设P(0,−2)，证明：直线M ′N 过定点，并求△PM ′N 面积的最大值．【答案】解：(1)设Q(x,y)，A(x 0,y 0)，∵4|BQ|=3|BA|，Q 在直线l 上，∴x 0=x ，|y 0|=43|y|.①∵点A 在圆x 2+y 2=16上运动，∴x 02+y 02=16.②将①式代入②式即得曲线C 的方程为x 216+y 29=1．证明：(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则M ′(−x 1,y 1)，联立{x 216+y 29=1y =kx −2，得(16k 2+9)x 2−64kx −80=0，∴x 1+x 2=64k 16k +9，x 1x 2=−8016k 2+9．∵直线M ′N 的斜率k M ′N =y 2−y1x 2+x 1，∴直线M ′N 的方程为y −y 1=y 2−y1x 2+x 1(x +x 1).令x =0，得y =y 2x 1+y 1x 2x 2+x 1=(kx 2−2)x 1+(kx 1−2)x 2x 2+x 1=2kx 1x 2x 2+x 1−2=−92，∴直线M ′N 过定点D(0,−92).△PM ′N 面积S△PM ‘N=12|PQ|⋅(x 1+x 2)=54×64k 16k 2+9=8016k+9k≤2√16k×k=103，当且仅当16k =9k ，即k =±34时取等号，∴△PM ′N 面积的最大值为103．【解析】(1)点A 在圆x 2+y 2=16上运动，引起点Q 的运动，我们可以由4|BQ|=3|BA|，得到点A 和点Q 坐标之间的关系式，并由点A 的坐标满足圆的方程得到点Q 坐标所满足的方程；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则M ′(−x 1,y 1)，联立{x 216+y 29=1y =kx −2，得(16k 2+9)x 2−64kx −80=0，利用直线的斜率，求直线M ′N 的方程，即可直线M ′N 过定点，并求出△PM ′N 面积的最大值．本题考查曲线方程的求法，考查直线过定噗的证明，考查三角形的面积的最大值的求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理、三角形面积公式、均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。
高二数学上学期期末考试试卷含答案(共3套)
高二上学期期末考试数学试卷含答案（全卷满分：120 分 考试用时：120 分钟）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高三年级有12名足球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②那么完成上述两项调查宜采用的抽样方法是（ ）A. ①用随机抽样法，②用系统抽样法B. ①用系统抽样法，②用分层抽样法C. ①用分层抽样法，②用随机抽样法D. ①用分层抽样法，②用系统抽样法 2.若直线1:(2)10l m x y ---=与直线2:30l x my -=互相平行，则m 的值为（ ）A. 0或-1或3B. 0或3C. 0或-1D. -1或33.用秦九韶算法求多项式542()42016f x x x x x =++++在2x =-时，2v 的值为（ ）A. 2B.-4C. 4D. -34.执行右面的程序框图，如果输入的3N =，那么输出的S =（ ）A. 1B.32C.53D.525.下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件） 若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为（ ）A. 5，5B. 3，5C. 3，7D. 5，7 6.若点P （3，4）和点Q （a ，b ）关于直线10x y --=对称，则（ ）A.5,2a b ==B. 2,1a b ==-C. 4,3a b ==D. 1,2a b ==-7.直线l 过点（0，2），被圆22:4690c x y x y +--+=截得的弦长为l 的方程是（ ）A.423y x =+ B. 123y x =-+ C. 2y = D. 423y x =+ 或2y = 8.椭圆221169x y +=中，以点(1,2)M 为中点的弦所在直线斜率为（ ）A.932-B.932C.964D.9169.刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（ ）C.12πD.14π10.若椭圆22194x y k+=+的离心率为45，则k 的值为( ) A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 11.椭圆221164x y +=上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是( ) A ．3 B.11 C ．2 2D.1012.2=，若直线:12l y kx k =+-与曲线有公共点，则k 的取值范围是（ ）A.1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. )1,1,3⎛⎤⎡-∞⋃+∞ ⎣⎥⎝⎦ D. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.命题“20,0x x x ∀>+>”的否定为______________________________ ．14.已知x 与y 之间的一组数据：，已求得关于y 与x 的线性回归方程 1.20.55x =+，则a 的值为______ ．15.若,x y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最小值为______．16.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c. 若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆的一个交点M满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本小题10分）已知直线l 的方程为210x y -+=. （1）求过点A （3，2），且与直线l 垂直的直线1l 的方程； （2）求与直线l 平行，且到点P （3，0）的距离2l 的方程.18.（本小题12分）设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<（0a >）；命题:q 实数x 满足32x x -+＜0． （1）若1a =且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；（2）若¬q 是¬p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19.(本小题12分)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5），[0.5，1）， …[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的a 值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由； （3）估计居民月均用水量的中位数．20.（本小题12分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x 、y ． 奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶． 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动． （1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．21.（本小题12分）已知曲线方程为：22240x y x y m +--+=． （1）若此曲线是圆，求m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线240x y +-=相交于M 、N 两点，且OM⊥ON（O 为坐标原点），求m 的值．22.（本小题12分）已知1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，且点3(1,)2P 在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线:l y kx m =+（m ＞0）与椭圆C 有且仅有一个公共点，且与x 轴和y 轴分别交于点M ，N ，当△OMN 面积取最小值时，求此时直线l 的方程．数学参考答案13.20000,0x x x ∃>+≤14. 2.1515. -5117.（1）设与直线l ：2x -y +1=0垂直的直线1l 的方程为：x +2y +m =0，-------------------------2分把点A （3，2）代入可得，3+2×2+m =0，解得m =-7．-------------------------------4分 ∴过点A （3，2）且与直线l 垂直的直线1l 方程为：x +2y -7=0；----------------------5分（2）设与直线l ：2x -y +1=0平行的直线2l 的方程为：2x -y +c =0，----------------------------7分∵点P （3，0）到直线2l =，解得c =-1或-11．-----------------------------------------------8分∴直线2l 方程为：2x -y -1=0或2x -y -11=0．-------------------------------------------10分18.（1）由x 2-4ax +3a 2＜0得(x -3a )(x -a )＜0，又a ＞0，所以a ＜x ＜3a ，.------------------------------------------------------2分 当a =1时，1＜x ＜3，即p 为真时实数x 的取值范围是1＜x ＜3．由实数x 满足302x x -<+ 得-2＜x ＜3，即q 为真时实数x 的取值范围是-2＜x ＜3．------4分 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是1＜x ＜3．---------------------------------------------- 6分（2）¬q 是¬p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件 -----------------------------8分由a ＞0，及3a ≤3得0＜a ≤1，所以实数a 的取值范围是0＜a ≤1．-------------------------------------------------12分19.（1）∵1=（0.08+0.16+a +0.40+0.52+a +0.12+0.08+0.04）×0.5，------------------------2分整理可得：2=1.4+2a ，∴解得：a =0.3-----------------------------------------------------------------4分（2）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，又样本容量为30万-----6分 则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．---------------------------8分 （3）根据频率分布直方图，得0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.40×0.5=0.47＜0.5， 0.47+0.5×0.52=0.73＞0.5，∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x ，---------------------------------------10分 令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.4×0.5+0.5×x =0.5， 解得x =0.06；∴中位数是2+0.06=2.06．--------------------------------------------------------12分 20.（1）两次记录的数为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4）， （4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个， ----------------------------2分 满足xy ≤3，有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共5个， ----------4分∴小亮获得玩具的概率为516； -------------------------------------------------------6分 （2）满足xy ≥8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），（3，3），（4，4）共6个， ----8分∴小亮获得水杯的概率为616； --------------------------------------------------------9分 小亮获得饮料的概率为5651161616--=，----------------------------------------------11分 ∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率．-------------------------------------------------12分21.（1）由曲线方程x 2+y 2-2x -4y +m =0．整理得：（x -1）2+（y -2）2=5-m ，------------------------------------------------2分 又曲线为圆，则5-m ＞0，解得：m ＜5．------------------------------------------------------------------4分（2）设直线x +2y -4=0与圆：x 2+y 2-2x -4y +m =0的交点为M （x 1，y 1）N （x 2，y 2）．则：22240240x y x y x y m +-=⎧⎨+--+=⎩，消去x 整理得：5y 2-16y +8+m =0， 则：1212168,55m y y y y ++==，------------------------------------------------6分 由OM ⊥ON （O 为坐标原点），可得x 1x 2+y 1y 2=0，-------------------------------------8分又x 1=4-2y 1，x 2=4-2y 2，则（4-2y 1）（4-2y 2）+y 1y 2=0．---------------------------------------------------10分 解得：85m =，故m 的值为85．--------------------------------------------------12分 22.（1）∵1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，且点3(1,)2P 在椭圆C 上，∴依题意，1c =，又3242a ==，故2a =．---------------------2分由222b c a +=得b 2=3．-----------------------------------------------------------3分故所求椭圆C 的方程为22143x y +=．-----------------------------------------------4分（2）由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得（4k 2+3）x 2+8kmx +4m 2-12=0，由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，△=64k 2m 2-4（4k 2+3）（4m 2-12）=0，整理得m 2=4k 2+3．-----------------------------6分 由条件可得k ≠0，(,0)mM k-，N （0，m ）． 所以．①------------------------------8分将m 2=4k 2+3代入①，得．因为|k |＞0，所以，-------------------------------10分当且仅当34k k=，则，即时等号成立，S △OMN 有最小值．-----11分因为m 2=4k 2+3，所以m 2=6，又m ＞0，解得．故所求直线方程为或．----------------------------12分高二级第一学期期末质量检测数学试卷本试卷分两部分，共4页，满分150分。
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一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.与命题“若x=3，则x2−2x−3=0”等价的命题是()A. 若x≠3，则x2−2x−3≠0B. 若x=3，则x2−2x−3≠0C. 若x2−2x−3≠0，则x≠3D. 若x2−2x−3≠0，则x= 3【答案】C【解析】解：原命题与逆否命题属于等价命题，此命题的逆否命题是：若x2−2x−3≠0，则x≠3．故选：C．原命题与逆否命题属于等价命题，写出命题的逆否命题得答案．本题考查了四种命题间的逆否关系，是基础题．2.在等比数列{a n}中，若a2，a9是方程x2−x−6=0的两根，则a5⋅a6的值为()A. 6B. −6C. −1D. 1【答案】B【解析】解：∵在等比数列{a n}中，a2，a9是方程x2−x−6=0的两根，∴a5⋅a6=a2⋅a9=−6．∴a5⋅a6的值为−6．故选：B．利用韦达定理和等比数列的通项公式直接求解．本题考查等比数列中两项积的求法，考查韦达定理和等比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.设x<a<0，则下列不等式一定成立的是()A. x2<ax<a2B. x2>ax>a2C. x2<a2<axD. x2>a2>ax【答案】B【解析】解∵x <a <0，∴ax >a 2，x 2>ax ，∴x 2>ax >a 2故选：B ．直接利用不等式性质a >b ，在两边同时乘以一个负数时，不等式改变方向即可判断．本题主要考查了不等式的性质的简单应用，属于基础试题．4. 命题“∀x ∈R ，e x >x ”的否定是()A. ∃x ∈R ，e x <x B. ∀x ∈R ，e x <x C. ∀x ∈R ，e x ≤x D. ∃x ∈R ，e x ≤x【答案】D【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x ∈R ，e >x ”的否定是：∃x ∈R ，e x ≤x ．故选：D ．直接利用全称命题是否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．5. 不等式2x+1x−3≤0的解集为()A. {x|−12≤x ≤3}B. {x|−12<x <3}C. {x|−12≤x <3}D. {x|x ≤12或x ≥3} 【答案】C【解析】解：不等式等价为{x −3≠0(2x+1)(x−3)≤0，得{−12≤≤x ≤3x ≠3，即|−12≤x <3，即不等式的解集为{x|−12≤x <3}，故选：C ．将分式不等式转化为一元二次不等式，进行求解即可．本题主要考查分式不等式的求解，利用转化转化为一元二次不等式是解决本题的关键．6. 命题甲：x =−2是命题乙：x 2=4的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：x2=4⇔x=±2，∵x=−2⇒x=±2，x=±2推不出x=−2，∴x=−2是x2=4的充分不必要条件．故选：A．把x2=4转化为x=±2，由x=−2⇒x=±2，x=±2推不出x=−2，得x=−2是x2=4的充分不必要条件．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．7.△ABC中，a，b，C分别是角A，B、C所对应的边，a=4，b=4√3，A=30∘，则B=()A. 60∘或120∘B. 60∘C. 30∘或150∘D. 30∘【答案】A【解析】解：由a=4，b=4√3，A=30∘，可得B>A=30∘；正弦定理：asinA =bsinB，可得412=4√3sinB解得：sinB=√32；∵0<B<π，∴B=60∘或120∘；故选：A．根据正弦定理和大边对大角，可得答案．本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．8.设实数a=√5−√3.b=√3−1，c=√7−√5，则()A. b>a>cB. c>b>aC. a>b>cD. c>a>b【答案】A【解析】解：√5−√3=√5+√3．√3−1=√3+1，√7−√5=√7+√5，∵√3+1<√3+√5<√5+√7，∴√3+1>√5+√3>√7+√5，即b >a >c ，故选：A ．利用分子有理化进行化简，结合不等式的性质进行判断即可．本题主要考查不等式的大小比较，利用分子有理化进行化简是解决本题的关键．9. 已知x ，y 满足约束条件{x −y +4≥0x ≤2x +y −2≥0，则z =x +3y 的最小值为()A. 0B. 2C. 6D. 8【答案】B【解析】解：x ，y 满足约束条件{x −y +4≥0x ≤2x +y −2≥0表示的区域如图：由z =x +3y ，当直线经过图中A(2,0)时，直线在y 轴上的截距最小，所以最小值为2；故选：B ．画出不等式组表示的平面区域，利用目标函数的几何意义求最大值．本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是解答的关键．10. 在等差数列{a n }中，已知a 6+a 7<0，且S 11>0，则S n 中最大的是()A. S 5B. S 6C. S 7D. S 8【答案】B【解析】解：∵在等差数列{a n }中，a 6+a 7<0，且S 11>0，∴S 11=112(a 1+a 11)=11a 6>0，∴a 6>0，a 7<0，∴S n 中最大的是S 6．故选：B ．由a 6+a 7<0，且S 11=112(a 1+a 11)=11a 6>0，得到a 6>0，a 7<0，由此能求出S n 中最大的是S 6．本题考查等差数列中前n 项和最大时项数的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11. 如图，在四面体OABC 中，M 、N 分别在棱OA 、BC 上，且满足OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗ =NC⃗⃗⃗⃗⃗ ，点G 是线段MN 的中点，用向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC⃗⃗⃗⃗⃗ 表示向量OG⃗⃗⃗⃗⃗ 应为() A. OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −14OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −14OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 【答案】A【解析】解：∵在四面体OABC 中，M 、N 分别在棱OA 、BC 上，且满足OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点G 是线段MN 的中点，∴OG⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12[13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )]=23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+14(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．故选：A ．利用空间向量加法法则直接求解．本题考查命题真假的判断，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．12.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|=5，线段MF中点的横坐标为52，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的焦点到准线的距离为()A. 4或8B. 2或8C. 2或4D. 4或16【答案】B【解析】解：∵抛物线C方程为y2=2px(p>0)，∴焦点F(p2,0)，准线方程为x=−p2，设M(x,y)，由抛物线性质|MF|=x+p2=5，可得x=5−p2，因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为5−P2+P22=52，由已知圆半径也为52，据此可知该圆与y轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，即M(5−p2,4)，代入抛物线方程得p2−10p+16=0，所以p=2或p=8，则则C的焦点到准线距离为2或8．故选：B．求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义和准线和圆相切的条件，求出M(5−P2,4)，代入抛物线方程得p2−10p+16=0，求出p．本题考查抛物线的定义和方程、性质，注意运用第一发和中位线定理和直线和圆相切，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知a⃗=(2,−1,2)，b⃗ =(−4,2，x)，且a⃗//b⃗ ，则x=______．【答案】解：∵a⃗//b⃗ ，∴2×2=−2×x∴x=−4．故答案为：−4【解析】利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘的积相等，列出方程求出x的值．解决向量共线问题，一般利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘的积相等找解决的思路．14.若一元二次不等式ax2−2x+2>0的解集是(−12,13)，则a的值是______．【答案】−12【解析】解：一元二次不等式ax2−2x+2>0的解集是(−12,13 )，则−12和13是一元二次方程ax2−2x+2=0的实数根，∴−12×13=2a，解得a=−12．故答案为：−12．根据一元二次不等式和对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a的值．本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，是基础题．15.已知两个正实数x，y满足2x +1y=1，且恒有x+2y>m，则实数m的取值范围是______．【答案】(−∞,8)【解析】解：∵x>0，y>0，2x +1y=1，∴x+2y=(x+2y)(2x+1y)=2+2+4yx +xy≥4+2√4yx⋅xy=8，(当且仅当x=4，y=2时，取等号)，x+2y>m恒成立等价于8>m，故答案为：(−∞,8)．先用基本不等式求出x+2y的最小值8，然后解一元二次不等式得到结果．本题考查了基本不等式及其应，属基础题．16.当双线M：x2m −y2m+4=1的离心率取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为______．【答案】y=±2x【解析】解：双曲线M：x2m −y2m2+4=1，显然m>0，双曲线的离心率e=√m2+m+4m =√m+4m+1≥√2√m×4m+1=√5，当且仅当m=2时取等号，此时双曲线M：x22−y28=1的双曲线的渐近线方程为：y=±2x．故答案为：y=±2x．求出双曲线的离心率的表达式，然后求解最小值，求出m，即可情况双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知{a n}为等差数列，且a3=−6，S6=−30．(1)求{a n}的通项公式；(2)若等比数列{b n}满足b1=8，b2=a1+a2+a3，求{b n}的前n项和公式．【答案】解：(1)∵{a n}为等差数列，设公差为d，由已知可得{6a1+15d=−30a1+2d=−6，解得a1=−10，d=2．∴a n=a1+(n−1)d=2n−12；(2)由b1=8，b2=a1+a2+a3=−10−8−6=−24，∴等比数列{b n}的公比q=b2b1=−3，∴{b n}的前n项和公式T n=b1(1−q n)1−q =8[1−(−3)n]1−(−3)=2−2⋅(−3)n．【解析】(1)设等差数列的公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，则{a n}的通项公式可求；(2)求出b2，进一步得到公比，再由等比数列的前n项和公式求解．本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的前n项和，是中档题．18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinC1−cosA=√3c．(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)若b+c=10，S△ABC=4√3，求a的值．【答案】解：(Ⅰ)由正弦定理可得：sinAsinC1−cosA=√3sinC，∵sinC≠0，∴sinA=√3(1−cosA)，∴sinA+√3cosA=2sin(A+π3)=√3，可得：sin(A+π3)=√32，∵A+π3∈(π3,4π3)，∴A+π3=2π3，可得：A=π3，(Ⅱ)∵S △ABC =4√3=12bcsinA =√34bc ，∴可得：bc =16，∵b +c =10，∴a =√b 2+c 2−2bccos π3=√(b +c)2−2bc −bc =2√13． 【解析】(Ⅰ)由正弦定理化简已知等式可得：sinAsinC 1−cosA =√3sinC ，结合sinC ≠0，利用两角和的正弦函数公式可求sin(A +π3)=√32，结合范围A +π3∈(π3,4π3)，可求A 的值．(Ⅱ)利用三角形的面积公式可求bc =16，进而根据余弦定理即可解得a 的值．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19. 直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB ⊥AC ，AB =AC =2，AA 1=4，M 是侧棱CC 1上一点，设MC =h ，用空间向量知识解答下列问题．(Ⅰ)若h =1，证明：BM ⊥A 1C ；(Ⅱ)若h =2，求直线BA 1与平面ABM 所成的角的正弦值．【答案】证明：(Ⅰ)直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB ⊥AC ，AB =AC =2，AA 1=4，M 是侧棱CC 1上一点，设MC =h ，h =1，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，B(2,0，0)，M(0,2，1)，A 1(0,0，4)，C(0,2，0)，BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，1)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−4)，∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+4−4=0，∴BM ⊥A 1C.(Ⅱ)当h =2时，M(0,2，2)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，4)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (2,0，0)，AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，2)，设平面ABM 的法向量n ⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x =0n⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y +2z =0，取y =1，得n ⃗ =(0,1，−1)，设直线BA 1与平面ABM 所成的角为θ，则sin θ=|BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗ ||BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n⃗ |=√20⋅√2=√105．∴直线BA 1与平面ABM 所成的角的正弦值为√105．【解析】(Ⅰ)以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BM ⊥A 1C. (Ⅱ)当h =2时，求出平面ABM 的法向量，利用向量法能求出直线BA 1与平面ABM 所成的角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20. 已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a >b >0)过点(√3,√22)，(√2,−1)，直线l ：x −my +1=0与椭圆C 交于M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)两点．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)已知点A(−94,0)，且A 、M 、N 三点不共线，证明：∠MAN 是锐角．【答案】解：(Ⅰ)将点(√3,√22)、(√2,−1)的坐标代入椭圆C 的方程得{3a 2+12b 2=12a2+1b 2=1，解得{b 2=2a 2=4，所以，椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1；(Ⅱ)将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立{x −my +1=0x 24+y 22=1，消去x 并化简得(m 2+2)y 2−2my −3=0，△>0恒成立，由韦达定理得y 1+y 2=2m m +2，y 1y 2=−3m +2．AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+94,y 1)=(my 1+54,y 1)，同理可得AN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 2+54,y 2)所以，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 1+54)(my 2+54)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+54m(y 1+y 2)+2516=−3(m 2+1)m 2+2−5m 22(m 2+2)+2516=17m 2+216(m 2+2)>0．由于A 、M 、N 三点不共线，因此，∠MAN 是锐角．【解析】(Ⅰ)将题干中两点坐标代入椭圆C 的方程，求出a 和b的值，即可得出椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，利用向量数量积的坐标运算并代入韦达定理计算AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，并结合A 、M 、N 三点不共线，可证明出∠MAN 是锐角．本题考查直线与椭的综合问题，考查椭圆的方程，结合向量数量积的坐标运算进行考察，属于中等题．21. 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD =DE =2AB ，F 为CD 的中点．(1)求证：AF//平面BCE ；(2)求二面角C −BE −D 的余弦值的大小．【答案】证明：(1)设AD =DE =2AB =2a ，以AC ，AB所在的直线分别作为x 轴、z轴，以过点A 在平面ACD 内和AC 垂直的直线作为y 轴，建立如图所示的坐标系，A(0,0，0)，C(2a,0，0)，B(0,0，a)，D(a,√3a,0)，E(a,√3a,2a)．∵F 为CD 的中点，∴F(3a 2,√3a 2,0)．AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(32a,√3a 2,0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,√3a,a)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a,0，−a)，∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，AF ⊄平面BCE ，∴AF//平面BCE ．解：(2)设平面BCE 的一个法向量m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =ax +√3ay +az =0m ⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2ax −az =0，令x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,−√3,2)．设平面BDE 的一个法向量n ⃗ =(x,y ，z)，BD⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,√3a,−a)，则{n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =ax +√3ay +az =0n⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =ax +√3ay −az =0，令x =√3，得n ⃗ =(√3,−1,0)．∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=√64．故二面角C −BE −D 的余弦值为√64． 【解析】(1)设AD =DE =2AB =2a ，以AC ，AB 所在的直线分别作为x 轴、z 轴，以过点A 在平面ACD 内和AC 垂直的直线作为y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF//平面BCE ．(2)求出平面BCE 的一个法向量和设平面BDE 的一个法向量，利用向量法能证明二面角C −BE −D 的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．22. 已知抛物线E ：x 2=2px(p >0)的焦点为F ，A(2,y 0)是抛物线E 上一点，且|AF|=2．(Ⅰ)求抛物线E 的标准方程；(Ⅱ)设点B 是抛物线E 上异于点A 的任意一点，直线AB 与直线y =x −3交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交抛物线E 于点M ，设直线BM 的方程为y =kx +b ，k ，b 均为实数，请用k 的代数式表示b ，并说明直线BM 过定点．【答案】解：(Ⅰ)根据题意知，4=2py 0，…①因为|AF|=2，所以y 0+p 2=2，…②联立①②解得y 0=1，p =2；所以抛物线E 的标准方程为x 2=4y ；(Ⅱ)设B(x 1,y 1)，M(x 2,y 2)；又直线BM 的方程为y =kx +b ，代入x 2=4y ，得x 2−4kx −4b =0；由根与系数的关系，得x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−4b ；…③由MP ⊥x 轴及点P 在直线y =x −3上，得P(x 2,x 2−3)，则由A ，P ，B 三点共线，得x2−4x2−2=kx1+b−1x1−2，整理，得(k−1)x1x2−(2k−4)x1+(b+1)x2−2b−6=0；将③代入上式并整理，得(2−x1)(2k+b−3)=0，由点B的任意性，得2k+b−3=0，即b=3−2k，所以y=kx+ 3−2k=k(x−2)+3；即直线BM恒过定点(2,3)．【解析】(Ⅰ)由题意，利用抛物线的定义与性质求得p的值，即可写出抛物线方程；(Ⅱ)设点B(x1,y1)，M(x2,y2)，由直线BM的方程和抛物线方程联立，消去y，利用根与系数的关系和A，P，B三点共线，化简整理可得BM的方程，从而求出直线BM所过的定点．本题考查了抛物线的性质和直线和抛物线的位置关系，以及直线过定点的应用问题，是中档题．。
高二(上学期)期末数学试卷及答案解析
高二(上学期)期末数学试卷及答案解析（时间120分钟，满分150分）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.倾斜角为135°，在轴上的截距为的直线方程是（）A. B. C. D.2.设双曲线上的点到点的距离为15，则点到的距离是（）A. 7B. 23C. 7或23D. 5或233.命题甲：双曲线C的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C的方程是：，那么甲是乙的（）A. 分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.对抛物线y2=4x，下列描述正确的是（）A. 开口向上，焦点为（0，1）B. 开口向上，焦点为C. 开口向右，焦点为（1，0）D. 开口向右，焦点为5.已知a、b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面．下列选项中说法正确的是（）①若a∥b，b⊂α，则a∥α②若a⊥α，b⊥a，则b∥α③若a⊥α，b⊥β，a∥b则α∥β④若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥bA. ①②B. ③④C. ②③D. ③6.已知圆，则过点的最短弦所在直线的方程是（）A. B. C. D.7.已知曲线C的方程为+=1，给定下列两个命题：p：若9＜k＜25，则曲线C为椭圆；q：若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则k＜9；那么，下列命题为真命题的是（）A. B.C. D.8.椭圆+=1上的点到直线（t为参数）的最大距离是（）A. 3B.C. 2D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.一个正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒中下列结论正确的是（）A. B. 与所成的角为60°C. D. 与所成的角为60°10.已知双曲线，则下列说法正确的是（）A. 离心率的最小值为4B. 当m=2时，离心率最小C. 离心率最小时，双曲线的标准方程为D. 离心率最小时，双曲线的渐近线方程为11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1B的中点，F为线段BC上的动点（不包括端点），则（）A. 对任意的F点，三棱锥F-ADE与三棱锥A1-ADE的体积相等B. 对任意的F点过D，E，F三点的截面始终是梯形C. 存在点F，使得EF∥平面A1C1DD. 存在点F，使得EF⊥平面BDC112.已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）A. 点的坐标为B. 若直线过点，则C. 若，则的最小值为D. 若，则线段的中点到轴的距离为三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.过原点且倾斜角为60°的直线被圆所截得的弦长为．14.设点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是．15.将边长为的正方形沿翻折成直二面角，若四点在同一个球面上，则该球的体积等于_______________.16.以椭圆=1的右焦点为圆心，且与双曲线=1的两条渐近线都相切的圆方程为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，求直线的方程.18.已知圆和点（1）若过点有且只有一条直线与圆相切，求实数的值，并求出切线方程；（2）若，过点作圆的两条弦，且互相垂直，求的最大值。
最新高二数学上学期期末考试试卷含答案
(1)求证：平面PAD 平面PCD
(2)求直线AM与平面PBC所成角的余弦值．
20．(12分)已知函数
（1）求函数 的极值．
（2）若 ，求证： ;
21．(12分)设F1，F2分别是椭圆C: 的左右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N；
3.已知a,b是两条不同的直线，α是平面， ，那么a//α是“a//b”的( )
A.充分不必要条件B.充要条件
C.既不充分也不必要条件D.必要不充分条件
4.已知 ，则使不等式 都成立的x的取值集合是()
A. B． C． D.
5.若函数 在 处取得最小值，则m＝()
A. B． C.4D.5
6.已知双曲线C: (a>0,b>0)的离心率为2， 且右焦点到一条渐近线的距离为 ，双曲线方程为()
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(10分)设 为数列 的前n项和， ；
（1）求 及 ；
（2）判断这个数列是否是等差数列.
18．(12分)如图，在圆内接四边 形中，AB=1,AD=2,BD= ;
(1)求角C；
(2)若△DCB的面积 ，求△DCB的周长；
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的）
1.如果a<0,b>0,那么下列不等式正确的是()
A．a2>b2B.a2<b2C． D.
2.在△ABC中，角A,B,C所在的对边分别为a,b,c,若 则sinC等于()
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【好题】高二数学上期末试卷(及答案)(1)一、选择题1．将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（ ） A ．0795B ．0780C ．0810D ．08152．如果数据121x +、221x +、L 、21n x +的平均值为5，方差为16，则数据：153x -、253x -、L 、53n x -的平均值和方差分别为（ ）A ．1-，36B ．1-，41C ．1，72D ．10-，1443．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．1B ．-1C ．0D ．-24．下列赋值语句正确的是( ) A ．s ＝a ＋1 B ．a ＋1＝s C ．s －1＝a D ．s －a ＝1 5．把化为五进制数是（ ） A ．B ．C ．D ．6．在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，作一矩形，邻边长分別等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于216cm 的概率为（ ） A ．23B ．34C ．25D ．137．执行如图的程序框图，如果输出a 的值大于100，那么判断框内的条件为( )A ．5k <？B ．5k ≥？C ．6k <？D ．6k ≥？8．某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试(试卷满分为100分)的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示.若分别从(1)班、(2)班的样本中各取一份，则(2)班成绩更好的概率为( )A ．1636B ．1736C ．12D ．19369．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x 万 8.3 8.6 9.9 11.1 12.1 支出y 万5.97.88.18.49.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中0.78b ∧=，a y b x ∧∧=-元，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（ ） A ．12.68万元B ．13.88万元C ．12.78万元D ．14.28万元10．已知具有线性相关的两个变量,x y 之间的一组数据如下表所示：x0 1 2 3 4 y 2.24.34.54.86.7若,x y 满足回归方程 1.5ˆˆyx a =+，则以下为真命题的是（ ） A ．x 每增加1个单位长度，则y 一定增加1.5个单位长度 B ．x 每增加1个单位长度，y 就减少1.5个单位长度 C ．所有样本点的中心为(1,4.5)D ．当8x =时，y 的预测值为13.511．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元， 5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是 （ ） A ．310B ．25C ．12D ．3512．已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为( )A ．92，94B ．92，86C ．99，86D ．95，91二、填空题13．现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，则这组数据的标准差是______．14．执行如图所示的程序框图若输人x 的值为3，则输出y 的值为______．15．在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相离”发生的概率为_______。
16．执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为10，则输入的x 的值是________．17．某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为_________18．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为__________.19．某公司的班车在8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是__________20．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的45%，在一次考试中，男、女生平均分数依次为72、74，则这次考试该年级学生的平均分数为__________．三、解答题21．某函数的解析式由如图所示的程序框图给出.（1）写出该函数的解析式；（2）执行该程序框图，若输出的结果为4，求输入的实数x的值.22．某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况，利用假期进行了一次全县成年人安全知识抽样调查.已知该县成年人中40%的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了100名成年人，然后对这100人进行问卷调查，所得分数的频率分布直方图如下图所示.规定分数在80以上（含80）的为“安全意识优秀”.拥有驾驶证没有驾驶证合计得分优秀得分不优秀 25合计100（1）补全上面22⨯的列联表，并判断能否有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关？（2）若规定参加调查的100人中分数在70以上（含70）的为“安全意识优良”，从参加调查的100人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人中恰有一人为“安全意识优良”的概率.附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()2P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82823．甲，乙两人玩摸球游戏，每两局为一轮，每局游戏的规则如下：甲，乙两人均从装有4只红球、1只黑球的袋中轮流不放回摸取1只球，摸到黑球的人获胜，并结束该局. （1）若在一局中甲先摸，求甲在该局获胜的概率；（2）若在一轮游戏中约定：第一局甲先摸，第二局乙先摸，每一局先摸并获胜的人得1分，后摸井获胜的人得2分，未获胜的人得0分，求此轮游戏中甲得分X 的概率分布及数学期望.24．“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[)20,30，[)30,40，[)40,50，[)50,60，[)60,70，[]70,80后得到如图所示的频率分布直方图.问： （1）估计在40名读书者中年龄分布在[)40,70的人数；（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在[)20,40的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在[)30,40的人数X 的分布列及数学期望.25．随着互联网经济不断发展，网上开店销售农产品的人群越来越多，网上交易额也逐年增加，某一农户农产品连续五年的网银交易额统计表，如下所示： 年份x 2012 2013 2014 2015 2016 网上交易额y （万元）567810经研究发现，年份与网银交易额之间呈线性相关关系，为了计算的方便，农户将上表的数据进行了处理，2011,5t x z y =-=-，得到如表： 时间代号t 1 2 3 4 5 z1235（1）求z 关于t 的线性回归方程；（2）通过（1）中的方程.求出y 关于x 的回归方程；并用所求回归方程预测到2020年年底，该农户网店网银交易额可达多少？（附：在线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，()()()1122211ˆ()nni iiii i nniii i x y nx y x x y y b xn x x x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-） 26．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100分成5组，制成如图所示频率分直方图.（1）求图中x 的值及这组数据的众数；（2）已知满意度评分值在[)50,60内的男生数与女生数的比为3:2，若在满意度评分值为[)50,60的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】分析：先确定间距，再根据等差数列通项公式求结果.详解：因为系统抽样的方法抽签，所以间距为10002050= 所以抽取的第40个数为1520(401)795+⨯-=选A.点睛：本题考查系统抽样概念，考查基本求解能力.2．A解析：A 【解析】 【分析】计算出数据1x 、2x 、L 、n x 的平均值x 和方差2s 的值，然后利用平均数和方差公式计算出数据153x -、253x -、L 、53n x -的平均值和方差. 【详解】设数据1x 、2x 、L 、n x 的平均值为x ，方差为2s ，由题意()()()()121221212121215n n x x x x x x x nn++++++++=+=+=L L，得2x =，由方差公式得()()()()()()22212212121212121n x x x x x x n⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+++-++++-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ()()()2221224416n x x x x x x s n⎡⎤-+-++-⎢⎥⎣⎦===L ，24s ∴=. 所以，数据153x -、253x -、L 、53n x -的平均值为()()()12535353n x x x n-+-+-L ()1235535321n x x x x n+++=-=-=-⨯=-L，方差为()()()()()()22212535353535353n x x x x x x n⎡⎤⎡⎤⎡⎤---+---++---⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ()()()2221229936n x x x x x x s n⎡⎤-+-++-⎢⎥⎣⎦===L . 故选：A. 【点睛】本题考查平均数与方差的计算，熟练利用平均数与方差的公式计算是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.3．B解析：B 【解析】 【分析】由题意结合流程图运行程序，考查5i >是否成立来决定输出的数值即可. 【详解】结合流程图可知程序运行过程如下： 首先初始化数据：1,2i S ==， 此时不满足5i >，执行循环：111,122S i i S =-==+=； 此时不满足5i >，执行循环：111,13S i i S=-=-=+=； 此时不满足5i >，执行循环：112,14S i i S=-==+=； 此时不满足5i >，执行循环：111,152S i i S =-==+=；此时不满足5i >，执行循环：111,16S i i S=-=-=+=； 此时满足5i >，输出1S =-. 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查循环结构流程图的识别与运行过程，属于中等题.4．A解析：A【解析】赋值语句的格式为“变量＝表达式”，“＝”的左侧只能是单个变量，B 、C 、D 都不正确．选A.5．B解析：B 【解析】 【分析】利用倒取余数法可得化为五进制数.【详解】 因为所以用倒取余数法得323，故选：B. 【点睛】本题考查十进制数和五进制数之间的转化，利用倒取余数法可解决此类问题.6．C解析：C 【解析】 【分析】根据几何概型的概率公式，设AC ＝x ，则BC ＝10﹣x ，由矩形的面积S ＝x （10﹣x ）＜16可求x 的范围，利用几何概率的求解公式求解． 【详解】设线段AC 的长为xcm ，则线段CB 长为(10)cm x -， 那么矩形面积为(10)16x x -<，2x <或8x >，又010x <<， 所以该矩形面积小于216cm 的概率为42105=. 故选：C 【点睛】本题考查几何概型，考查了一元二次不等式的解法，明确测度比为长度比是关键，是中档题．7．C解析：C 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】由题意，模拟程序的运算，可得k 1=，a 1=满足判断框内的条件，执行循环体，a 6=，k 3= 满足判断框内的条件，执行循环体，a 33=，k 5= 满足判断框内的条件，执行循环体，a 170=，k 7=此时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出a 的值为170． 则分析各个选项可得程序中判断框内的“条件”应为k 6<？ 故选：C ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．C解析：C 【解析】 【分析】由题意从(1)班、(2)班的样本中各取一份，(2)班成绩更好即(2)班成绩比(1)班成绩高，用列举法列出所有可能结果，由此计算出概率。