5.1.1任意角及其度量
5.1任意角及其度量
5.1任意角及其度量1、 角：平面内由一条射线绕着其端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形。
2、 正角、负角与零角：一条射线绕着其端点按逆时针旋转所形成的角为正角，其度量值为正的，按顺时针旋转所形成的角为负角，其度量值为负的；特别的，当一条射线没有旋转时形成了零角（00）（始边与终边重合）。
注意：角的大小是由旋转方向与旋转量决定的。
思考：经过10分钟，分针所转过的角度是多少？秒针呢？（－600，－36000）3、 象限角：在平面直角坐标系中，角的顶点为原点，始边与x 轴正半轴重合，此时角的终边在第几象限，即为第几象限角；当终边在坐标轴上时，即不属于任何象限，称为轴角。
思考：若角α为锐角，角α是第几象限角？第一象限角都是锐角吗？为什么？4、 终边相同的角：所有与角α终边重合的角(包括角α)的集合表示为},360{Z k k ∈+︒∙=αββ举例：(1) 与600终边重合的角的集合：},60360{Z k k ∈︒+︒∙=ββ(2) 与－3000终边重合的角的集合： },300360{Z k k ∈︒-︒∙=ββ ①写成},60360{Z k k ∈︒+︒∙=ββ可以吗？②是否存在最大的负角和最小的正角？－3000和600③与－3000终边重合的负角的集合}0,,300360{≤∈︒-︒∙=k Z k k ββ④若β与－3000终边重合，且 ︒<≤︒7200β ，满足条件的β的集合 解：︒︒==∈︒-︒∙=4206021},300360{、得、取βββk Z k k注意：(1)k ∈Z ；(2)α可以是任意大小的角；(3)终边重合的角有无数个，它们相差3600的整数倍。
[例1] 你能否判断下列角分别属于哪个象限？︒︒-︒1080)3(2000)2(1100)1(解 ： (1) ︒+︒∙=︒2036031100，则︒1100为第一象限角；（2）︒+︒∙-=︒-16036062000, 则︒-2000为第二象限角；(3) ︒∙=︒36031080，则︒1080不是象限角。
2024-2025学年高中数学第五章三角函数5.1.1任意角教案新人教A版必修第一册
2. 利用多媒体手段，直观展示任意角的形象，帮助学生理解。
3. 实例分析，让学生通过实际问题体会任意角的应用。
教学过程：
1. 导入：回顾角度的基本概念，引出任意角的概念。
2. 新课讲解：讲解任意角的定义，引导学生掌握用弧度制表示角的方法。
3. 课堂互动：进行角度转换练习，让学生巩固所学知识。
4. 应用拓展：通过实例分析，让学生了解任意角在实际问题中的应用。
5. 总结：回顾本节课的主要内容，强调任意角的概念及表示方法。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
教学反思：
本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生的学习兴趣和效果。同时，关注学生在学习过程中的问题，及时进行解答，确保学生能够熟练掌握任意角的概念及表示方法。
教学目标：
1. 理解任意角的概念，掌握用弧度制表示角的方法。
2. 了解任意角与标准角的关系，能进行简单的角度转换。
3. 培养学生的空间想象力，提高学生的数学思维能力。
教学重点：
1. 任意角的概念及表示方法。
2. 任意角与标准角的关系。
教学难点：
1. 任意角的概念的理解。
2. 弧度制的应用。
教学方法：
2024-2025学年高中数学 第五章 三角函数 5.1.1 任意角教案 新人教A版必修第一册
主备人
备课成员
教材分析
本节课为人教A版必修第一册第五章《三角函数》的5.1.1节“任意角”。本节内容主要介绍任意角的概念及其表示方法，是学习三角函数的基础。通过本节课的学习，学生应掌握任意角的定义，了解用弧度制表示角的方法，并理解任意角与标准角的关系。
任意角ppt课件
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制 5.1.1 任意角
高一数学组
学习目标
1. 了解任意角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义． 2. 能在规定范围内，找到与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角． 3. 能写出与任一已知角终边相同的角的集合，能表示特殊位置(或给定区域 内)的角的集合．
新课引入
探究新知识
练习2 终边落在x轴的正半轴上的角的集合怎样表示？终边落在x轴的负半 轴上的角的集合怎样表示？终边落在x轴上的角的集合怎样表示？
解： 终边落在x轴的正半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}，终边 落在x轴的负半轴上的角的集合为{α|α＝180°＋k·360°，k∈Z}，终边落 在x轴上的角的集合为{α|α＝k·180°，k∈Z}．
（2）始边重合于x轴的正半轴
终边落在第几象限就是第几象限角
新课引入
探究新知识
思考1 将角按照上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的 一条终边与之对应．反之，对于直角坐标系内任意一条射线OB (如图)，
以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？
分析 不唯一，如果－32°角的终边是OB，那么 328°，－392°，…角的终边都是OB，即所有与 角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集
新课引入
探究新知识
2．运用终边相同的角的注意点 所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360＋α，k∈Z表示，在运用时 需注意以下四点： (1) k是整数，这个条件不能漏掉． (2) α是任意角． (3) k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z. (4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个， 它们相差周角的整数倍．
高一数学任意角及其度量课件
作业与拓展
1.判断下列命题是否正确，说明理由
(1)终边相同的角一定相等
不正确
(2)第一象限的角都是锐角
不正确
（3）a [0, ],则a是第一象
a
2
也是第一象限角
不正确
作业与拓展
2（. 1）求角30o的终边逆时针旋转90o后
所得角的大小
120 o
（2）求角30o的终边顺时针旋转60o后
1、从9点到11点15分，时钟的时针和分针转过的角 度各为多少度？
时针转过了－67.5o； 分针转过了－810o。
2、课本图5－1中，（如右图 所示）主动轮与被动轮齿数之 比为3:5，若被动轮顺时针转 过了两圈，那么主动轮转过的 角度为： 1200o
探究与深化二 象限角的概念
在平面直角坐标系中，把角的 B
角为正角，其度量值是正的；按顺时针方向旋转 所形成的角为负角,其度量值是负的。（以上演示 过程中，主动轮上射线OA旋转产生的角是正角， 而被动轮上射线OB旋转产生的角是负角）
特别地，当一条射线没有旋转时，我们也认 为形成了一个角，这个角叫做零角。零角的度量 值是0o。
探究一
探究二
探究三
探究与深化一
探究与深化三 与角a终边重合的角的集合
1、说出与135o角终边重合的角的例子： 例如：495o、－225o、855o、－585o等。
2、说出上例中各个角的大小之差有何特征？ 上例中各个角的大小之差都是360o的整 数倍。
3、由此我们可以把所有与角a有重合终边的 角（包括角a本身）的集合表示为：
{ | k 360o a (k Z )}
导入一
导入二
准备与导入一
我们知道，角可以看作是平面内由一条射线绕着 其端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边） 所形成的图形。
任意角及其度量
5.1 任意角及其度量1．角的概念的推广⑴“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到另一位置OB ，就形成角α．旋转开始时的射线OA 叫做角α的始边，旋转终止的射线OB 叫做角α的终边，射线的端点O 叫做角α的顶点．⑵“正角”与“负角”、“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．记法：角α或∠α.可以简记成α.⑶意义：用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了.1． 角有正负之分2． 角可以任意大3． 还有零角： 一条射线，没有旋转.要注意：正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样．2．“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角.把角的顶点置于坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，这样一来，角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）.3．终边相同的角所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合：{}=+k 360,S k Z ββα=∈｜即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.注意：1）k ∈Z ，α是任意角2）k 360与α之间是“+”3）终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍4.角的弧度制（1）定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.它的单位符号是rad ，读作弧度.这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.（2）角度与弧度之间的转化360º=_____弧度，即180º=_____弧度（这是角度与弧度转化的依据）1弧度=____度（精确值）；1度=____弧度（精确到0.001）；1º=____弧度（精确值）； 1º=____ 弧度（精确到0.001）；(2)在弧度制下弧长的计算公式应该怎么写呢？(3)在弧度制扇形面积的计算公式应该怎么写呢？例1 在0º到360º度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角(1) -120 º (2)640 º (3)950 º解：⑴∵-120º=-360º+240º，∴240º的角与-140º的角终边相同，它是第三象限角．（2）（3）例2 写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中在-360 º ~720 º间的角写出来：（1）60 º（2）-21 º（3）363 º 14'.解：(1) {}=60+k 360,S k Z ββ=∈｜ S 中在-360°～720°间的角是-1×360°+60°=-280°； 0×360°+60°=60°；1×360°+60°=420°(2)(3)例3第一象限角的集合为A ，则A= 或写成第二象限角的集合为A ，则A= 或写成第三象限角的集合为A ，则A= 或写成第四象限角的集合为A ，则A= 或写成终边在x 轴正半轴的角的集合为B ，则B= 或写成终边在y 轴正半轴的角的集合为B ，则B= 或写成终边在x 轴负半轴的角的集合为B ，则B= 或写成终边在y 轴负半轴的角的集合为B ，则B= 或写成例4 按下列要求把67º30'换算成弧度：（1）精确值（2）近似值（精确到0.001）例5 把下列弧度数转化为度.（1）35π弧度 （2）2.3弧度（保留两位小数）注意： 1．今后“弧度”或“rad ”可以省略，如：sin 60sin3π=例6 设α是第二象限的角，则2α是第几象限的角练习1判断下列命题的真假：(1) 第一象限角就是锐角终边同的角一定相等（ ）(2) 相等的角终边一定相同 （ ）(3) []90,180α∈︒︒ ，则α是第二象限角 （ ）(4) 第二象限角必大于第一象限角 （ ）4．在0 º与360 º范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？ ⑴ 650° ⑵-150° ⑶-990°15′ （4）430°11.一个扇形的圆心角为2弧度，弧长为6，求该扇形的面积.12.已知扇形的周长为12，面积为9，求该扇形的半径以及圆心角.13.若扇形的周长为定值40cm，当α为多少弧度时，该扇形面积最大？。
5.1(1)任意角及其度量
5.1.1 任意角及其度量
一、任意角 一条射线绕着端点旋转而形成的图形叫做角.
终边
O
P
顶点
A P'
始边
规定逆时针方向旋转而成的角叫做正角； 顺时针方向旋转而成的角叫做负角； 射线没有旋转时也看成一个角，叫做零角.
二、象限角 在平面直角坐标系中，角的顶点置于原点，角的 始边(除端点)与 x 正半轴重合. 角的终边在第几象限， 就说这个角是第几象限角.
例1.在 0 360 范围内，找出与下列各角终边相同 的角，并判定它们是第几象限角. (1) 200
200 360 160
(2) 2000
2000 5 360 200
第二象限角 (3) 950 15'
950 15' 3 360 129 45'
第三象限角
当终边在坐标轴上时，不属于任何象限.
y
O
例1. 是第一象限角.
是第三象限角. 不是象限角.
x
三、终边相同(重合)的角 一般地，所有与角 终边相同的角，包括角 本 身构成一个集合，这个集合可以记为：
{ | k 360 , k Z}
终边相同的角彼此间 可度数就是被360除得的余数!
例2. (1)写出终边在 x正半轴上的角的集合； | k 360, k Z (2)写出终边在 y轴正半轴上的角的集合. | k 360 90, k Z (3)写出终边在 x轴负半轴上的角的集合. | k 360 180, k Z (4)写出终边在 y轴负半轴上的角的集合. | k 360 90, k Z (5)写出终边在x轴上的角的集合. | k 180, k Z (6)写出终边在y轴上的角的集合. | k 180 90, k Z
5.1(1)任意角及其度量(任意角)2015.1
例： 在0 ~ 360 间，找出与下列各角终边 相同的角， 并判断它们是第几象限的角. (1) 120
(2)660
(3) 950 08
1 4 解： (1)由0 k 360 120 360 得， k 3 3 又k Z， k 1，于是0 ~ 360 间与 120 终边相 同的角是360 120 240 ，是第三象限的角. (2)与660 终边相同的角是300 ，是第四象限的角. (3)与 950 08 终边相同的角是129 52， 是第二象限的角.
5.1(1) 任意角 (角的概念的扩充)
任意角 角可以看成平面内一条射线绕着端点从 初始位置旋转到最终位置所成的图形．
终边
顶点
始边
1、正角、负角、零角
正角：射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角 负角：射线绕端点按顺时针方向旋转所形 成的角。 规定：当一条射线没有旋转时，认为形成了 零角。
(口答)如果时间过了5 min，分针转过多少度？ 秒针转过多少度？
练习：
1.将30 角的终边绕原点逆时针方向旋转 三周所得角的大小是 . 2.集合M { | k 90 ， k Z}中角的 终边在 ( ) A. x轴正半轴上 B . y轴正半轴上 C . x或y轴上 D. x轴正半轴或y轴正半轴上 3.写出与下列各角终边相同的角的集合S， 并找出 360 ～720 满足条件的角. (1)70 (2) 21 (3)463 14
若角的顶点与坐标原点重合，角的始 边与x轴的正半轴重合，则角的终边落在 第几象限的角叫第几象限的角.角的终边 落在坐标轴上的角叫轴上角.
终边落在y轴正半轴上的角的集合： { | =k 360 90 ( k Z )} 终边落在y轴上的角的集合： { | =k 360 90，或 =k 360 270 ( k Z )} ={ | =n 180 90 ( n Z )}
1 5．1.1任意角(共42张PPT)
3．终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S＝ _{_β_|β_＝__α_＋__k_·_3_6_0_°__，__k_∈__Z__}___，即任一与角 α 终边相同的角，都可以表示 成角 α 与____整__数__个__周__角______的和． ■微思考 3 终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？ 提示：当角的始边相同时，若角相等，则终边相同，但若角终边相同，则 不一定相等．
()
A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}
C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}
D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}
解析：选 A.由终边相同的角的定义可知与 30°角终边相同的角的集合是
{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}．
4．如图，角 α 的终边为 OB，则 α＝____________．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)第一象限的角一定是正角． (2)终边相同的角一定相等． (3)锐角都是第一象限角． (4)第二象限角是钝角．
(× ) (× ) (√ ) (× )
2．－110°是 A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 答案：C
()
3．与 30°角终边相同的角的集合是
合表示各类象限角及区域角
核心素养
数学抽象
数学抽象、 逻辑推理
数学抽象、 直观想象
问题导学 预习教材 P168－P171，并思考以下问题： 1．角的概念推广后，分类的标准是什么？ 2．如何判断角所在的象限？ 3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？
1．任意角 (1)角的表示 如图，OA 是角 α 的始边，OB 是角 α 的终边，O 是角的 顶点．角 α 可记为“角 α”或“∠α”或简1)阴影部分的角从－45°到 90°＋30°＝120°， 再加上 360°的整数倍， 即 k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z. (2)因为 α 是第三象限角， 所以 k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°(k∈Z)， 所以 k·180°＋90°＜α2＜k·180°＋135°(k∈Z)．
5.1.1任意角及其度量
第一章 集合和命题 第二章 不等式 第四章 幂函数、指数函数、对数函数
与 终边重合 { | k 360 , k Z }
135
225 135 (1) 360 135 225 360
x
225
O
三、终边重合的角
课堂练习2
一、任意角的概念（旋转，正角，负角，零角） 二、象限角的概 念
{ | 60 k 360 , k Z } 与 （1） 60 终边重合的角的集合 { | 180 k 360 , k Z } 所有终边在 x 负半轴上的角 （2）
角 是第三象限角 III
角 不是象限角O来自xIII
IV
一、任意角的概念（旋转，正角，负角，零角）
二、象限角的概念
y
课堂练习1
在直角坐标系中画出
135
O
45 ,135 , 225
并指出它们分别属于哪个象限
x
225
45
三、终边重合的角
y
一、任意角的概念（旋转，正角，负角，零角） 二、象限角的概 念
第三章 函数的基本性质
第五章 三角比
5.1.1 任意角及其度量
一、任意角的概念
平面内一条射线绕着其端点从始边 旋转到终边所形成的图形 逆时针方向旋转：正角 顺时针方向旋转：负角
任意角及其度量1资料
典型例题
例1、判断下列角属于第几象限 （1）-200° （2）2000° （3）361° （4）-136° （5）-3658°
典型例题
例2、写出下列角的集合 （1）终边落在x轴非负半轴上的角 （2）终边落在x轴非正半轴上的角 （3）终边落在x轴上的角 （4）终边落在y轴非负半轴上的角 （5）终边落在y轴非正半轴上的角 （6）终边落在y轴上的角 （7）终边落在坐标轴上的角 （8）终边落在第一象限角平分线上的角 （9）终边落在四个象限角平分线上的角
任意角的定义
• 任意角：角可以看成是由一条射线绕着它 的端点旋转而成的。射线的端点叫做角的 顶点，旋转开始时的射线叫做角的始边， 终止时叫做角的终边。
确定角的方向
• 正角、负角和零角
– 按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角 – 按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角 – 当射线没有作任何旋转时，形成的角叫做零角
典型例题
例4、
（1）要把手表拨慢20分钟，分钟应当转 过。
（2）从4点半到6点，时钟转过了
；
分钟转过了 ；秒钟转过了
。
典型例题
例5、若角 在第二象限，则
（1）角 90在
；
（2）角 在
；
（3）角 在
；
2
（4）角 2 在
。
思考题
形式表示出来。3
点评：写终边相同角，先写一个特殊角，再加上K个周期即可．
典型例题
例3、判断下列命题是否正确 （1）终边相同的角是相等的角 （2）终边在第二象限的角是钝角 （3）若角在第一象限，则 的终边一定在第一象限 （4）锐角是第一象限的角 2 （5）第一象限的角是锐角 （6）不相等的角终边必不相同 （7）（0°,180°）的角在第一象限或第二象限
任意角及其度量
2、象限角 、
若角的顶点与坐标原点重合， 若角的顶点与坐标原点重合，角的始 边与x轴的正半轴重合 轴的正半轴重合， 边与 轴的正半轴重合，则角的终边落在 第几象限叫第几象限的角 第几象限的角.角的终边落在 第几象限叫第几象限的角 角的终边落在 坐标轴上的角叫轴上角 轴上角. 坐标轴上的角叫轴上角
终 边 落 在 y轴 正 半 轴 上 的 角 的 集 合 ： {α |α =k ⋅ 360 + 90 ( k ∈ Z )} 终边 落在y轴上 的角的 集合： {α |α =k ⋅ 360 + 90 ，或α =k ⋅ 360 + 270 ( k ∈ Z )} ={α |α =n ⋅ 180 + 90 ( n ∈ Z )}
弧度制和角度制的换算关系
180 = π (弧 度 )
把角度换成弧度 π 1 = 弧 ≈ 0.01745弧 度 度 180 把弧度换成角度
180 ' 1弧度 = ≈ 57.30 = 5718 π
3 练习： 化为弧度， 化为角度。 练习：把 22 30 化为弧度， π弧 度化为角度。 5
在0 ~ 360 间，找出与下列各角终边相 同 的 角， 并 判断 它 们是 第 几象 限 的角 . (1) − 120 (2)660 (3) − 950 08′
解： （2）∵660 = 1 × 360 + 300 ） ∴与 660 角终边相同的角是300 角， 它是第四象限的角； 它是第四象限的角； （3） 950 08′ = −3 × 360 + 129 52′ ） − 所以与−950 08′角终边相同的角是129 52′ ， 它是第二象限角． 它是第二象限角．
y轴正方向： = 2kπ + 轴 α
任意角知识点
任意角知识点任意角是指角的度数可以是正数、负数或零的角。
在平面几何中，我们经常遇到各种类型的角，例如锐角、直角和钝角。
但是，这些角度都限制在0到90度之间。
然而，当我们需要处理超过90度的角度时，我们就需要使用任意角的知识。
在本文中，我们将详细介绍任意角的概念、性质和常见的度量单位。
1. 任意角的概念任意角是指度数不受限制的角。
它可以是正数、负数或零。
我们通常用字母表示任意角，如∠A、∠B、∠C等。
任意角通常是由终边上的一个点P和坐标轴原点O连接而成的射线所确定的。
2. 任意角的性质任意角具有以下性质：- 任意角可以有无数个终边- 两个角的终边相同，则它们的度数相等- 两个角的度数为正数时，它们的终边方向相同；度数为负数时，它们的终边方向相反3. 任意角的度量单位在度量任意角时，我们可以使用以下两种常见的度量单位：- 角度：角度是最常见的度量单位，用度（°）表示。
一个完整的圆是360度，一个直角是90度。
例如，一个180度的任意角表示半个圆，而一个-90度的任意角表示向下的直角。
- 弧度：弧度是另一种度量角的单位。
它用弧长和半径的比值来表示。
一个完整的圆对应的弧度是2π，即约等于6.28。
弧度的计算可以使用弧长公式：θ = s/r，其中θ表示弧度，s表示弧长，r表示半径。
4. 任意角的转换我们可以通过转换来改变任意角的度数，例如：- 角度到弧度的转换：通过角度与弧度的换算公式（θ = π/180 × α），我们可以将角度转换为弧度。
- 弧度到角度的转换：通过弧度与角度的换算公式（α = 180/π × θ），我们可以将弧度转换为角度。
5. 任意角的四象限在坐标平面中，我们可以将任意角根据终边所在的象限进行分类。
四象限分别是第一象限、第二象限、第三象限和第四象限：- 第一象限：角的终边位于x轴正半轴和y轴正半轴之间，角度范围为0度到90度。
- 第二象限：角的终边位于x轴负半轴和y轴正半轴之间，角度范围为90度到180度。
数学高一下册- 5.1 任意角及其度量 -任意角 课件
练习1：（口答）
锐角、钝角分别是第几象限角？第一象限角一 定是 锐角吗？第四象限角一定是负角吗？
练习2：
作出下列各角，并指出它们是第几 象限角。 ⑴420°⑵-75°⑶600°⑷-302°⑸840°
⑹-752°
探究1：一个角的角度一旦确定， 其终边位置可否确定？
探究2：一个角的终边确定， 其角度可否确定下来？
O
A
形成的角规定为负角.
(3) 射 线 没 作 任 何 旋 转 时 ，
规定为零角.
B
300 3900 -3300
象限角:
终边落在第几象限就是第几象限角
y 终边
o 终边
x 始边
终 边
终 边
1)置角的顶点于原点 2)始边重合于X轴的非负半轴
轴线角：如果角的终边落在坐标轴上，就说 该角不属于任何象限，习惯上称其为轴线 角.
任意角
学习目标:
1.通过实例,理解角的概念推广的 必要性
2.理解任意角的概念，根据角的终边 旋转方向,能判定正角、负角和零角
3.学会建立直角坐标系来讨论任意角, 能够根据终边判断象限角,掌握终边 相同角的表示方法。体会数形结合的 思想
复习回顾 角的定义(初中)：
定义：从一点出发的两条射 线所组成的图形
S中适合-360 °≤β＜ 720 °的 元素是: 60 º-1×360°=- 300 º, 60 º+0×360°=60 º,
60 º+1×360°=420 º.
模仿一下吧
写出与-45º角终边相同的角的集合S, 并把S中适合不等式-720º≤β＜360º 的元素β写出来.
解 S={β∣β= -45º+ k·360°,k∈Z}.
高中数学必修一(人教版)《5.1.1 任意角》课件
2．射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置，接着逆时针旋转250°到OC位置， 然后再顺时针旋转270°到OD位置，则∠AOD＝________. 解析：如图，∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD ＝(－80°)＋250°＋(－270°) ＝－100°. 答案：－100°
题型二 终边相同的角的表示及应用 【学透用活】
对终边相同的角的说明 所有与角α终边相同的角，连同角α在内(而且只有这样的角)，可以用式子α ＋k·360°，k∈Z表示．在运用时，需注意以下几点： (1)k是整数，这个条件不能漏掉． (2)α是任意角． (3)k·360°与α之间用“＋”号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－ 30°)(k∈Z)． (4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无 数个，它们相差周角的整数倍．
【对点练清】
1．给出下列说法：
①终边在y轴非负半轴上的角是直角；
②始边相同而终边不同的角一定不相等；
③三角形的内角必是第一、二象限角；
④第四象限角一定是负角；
⑤{α|α＝k·180°，k∈Z}＝{0°，180°，360°}．
其中正确说法的个数是
A．1
B．2
C．3
D．4
()
解析：①错误．－270°是终边在 y 轴非负半轴上的角但不是直角． ②正确．相等的角始边相同则终边必相同，所以始边相同而终边不同的角一定 不相等． ③错误．三角形的内角可以是直角，它既不是第一象限角，也不是第二象限角． ④错误．如 271°是第四象限角，但不是负角． ⑤错误．{0°，180°，360°} {α|α＝k·180°，k∈Z }． 答案：A
第四象限角 {_x_|_2_7_0_°__＋__k_·3_6_0_°__＜__x_＜__3_6_0_°__＋__k_·_3_6_0_°__，__k_∈__Z_}_
5.1任意角及其度量教案
第5章 三角比5．1任意角及其度量（1）【教学目标】通过一条射线绕着它的端点旋转，了解角的形成过程，然后推广到任意角.理解角的概念，理解任意角中正角和负角的意义.理解任意角、象限角、终边相同的角等概念，能够准确判断出角的终边在平面直角坐标系中的位置.【教学重点】理解任意角、象限角、终边相同的角等概念.【教学难点】判断出角的终边在平面直角坐标系中的位置.【教学过程】1、角的概念角可以看作是平面内由一条射线绕着其端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形.我们以前学过的角，其大小都在0 到360之间，而在生活中还有其它的角. 我们定义，一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的，（如160 、520 ）；按顺时针方向旋转所形成的角为负角，其度量值是负的，（如200- ）；一条射线没有旋转时，形成的角叫做零角0α=.【问题】经过12分钟，时钟的分针转过的角是多少度？ 72-【说明】确定一个角的大小不仅要看始边、终边的位置，更要看角形成的过程2、象限角的概念在平面直角坐标系中，把角的顶点置于坐标原点，角的始边与x 轴的正半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限.当角的终边在坐标轴上时，认为这些角不属于任何象限.（称为轴线角）【问题】1. 在0 到360 之间，各象限角分别是什么范围？2. 判断下列角属于第几象限？ 160,200,520-解：这些角都属于第二象限，还可以发现这三个角的终边重合.3、终边相同的角的概念 所有与角α终边重合的角的集合：{|360,}k k Z ββα=⋅+∈【例1】判断下列角属于哪个象限（1）200- （2）516 （3）2000解：（1）第二象限 （2）第二象限 （3）第三象限【例2】（1）写出与65- 角终边相同的角的集合 {|36065,k k Z αα=⋅-∈（2）写出终边与x 轴正半轴重合的角的集合、终边与x 轴负半轴重合的角的集合{|360,}k k Z αα=⋅∈ 、{|360180,}k k Z αα=⋅+∈（3）写出终边与y 轴正半轴重合的角的集合、终边与y 轴负半轴重合的角的集合{|36090,}k k Z αα=⋅+∈ 、{|360270,}k k Z αα=⋅+∈（4）写出第一象限角的集合 {|36036090,k k k Z αα⋅<<⋅+∈变式：写出第二、三、四象限角的集合{|36090360180,}k k k Z αα⋅+<<⋅+∈ ；{|360180360270,}k k k Z αα⋅+<<⋅+∈{|360270360360,}k k k Z αα⋅+<<⋅+∈【例3】（1）与1024 角终边重合的角中，最小的正角是_______，最大的负角是______；304 、56- （2）与576 角终边重合的角中，绝对值最小的角是______________144-思维拓展：1.已知α为第二象限角，则2α为第 象限角. 第一、三象限 已知α是第三象限的角，则2α为第 象限角. 第二、四象限 2.（1）已知,αβ的终边关于x 轴对称，则,αβ的关系为 ；0360k αβ+=（2）已知,αβ的终边关于y 轴对称，则,αβ的关系为 ；00360180k αβ+=+（3）已知,αβ的终边关于原点对称，则,αβ的关系为 ；00360180k αβ-=+5.1任意角及其度量（2）【教学目标】1、了解弧度的概念，掌握弧度与角度的换算；2、建立起弧度度量角的感性认识.【教学重点】弧度制的理解与应用【教学难点】弧度制的感性认识【教学过程】这节课，我们研究如何度量角的大小.1、角度制.在平面几何中，我们把周角分成360等分，每一份叫做1度的角.这种用“度”作为单位来度量角的单位制叫做角度制.回忆角度制下，圆心角为x 的扇形的弧长公式、面积公式：180r x l π=，3602r x S π=. 2、弧度制由于1 的圆心角所对的弧长为2360180r r l ππ==，x 的圆心角所对的弧长为180r l x π=⋅，由此得到180l x r π=，其中180π为定值，说明比值l r 仅与角的大小有关.因此，我们可以用圆弧的长与圆半径的比值来表示这个圆弧所对的圆心角的大小.把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度,符号rad ，读作：弧度.一般地说，如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么比值l r 就是角α的弧度数的绝对值，即||l rα=，α的正负由它的终边的旋转方向决定；零角的弧度数为零. 3、弧度制与角度制的换算：由上述定义，x 的角其弧度数为180xπ弧度，所以 1的角其弧度数为180π弧度. 即1 =180π弧度，两边同除180π得1弧度=180π，两边同乘π得180 =π弧度.[说明]在进行角度制与弧度制互化时要抓住180π= 这个关键．【例1】将100 换算成弧度、将2.3弧度换算成角度（保留两位小数） 解：59π弧度、131.78 快速回答：360 =____2π____弧度 90 =____2π____弧度 30 =____6π____弧度 45 =____4π____弧度 60 =____3π____弧度 120 =____23π____弧度 135 =____34π____弧度 150 =____56π____弧度32π弧度=__270 ___ 310π-弧度=__54- _ '6730 =___38π____弧度 【例2】设扇形的圆心角为(02)ααπ<<，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，求证：（1）l r α= （2）212S r α= （3）12S lr = 【例3】（1）在扇形OAB 中，已知半径 8,12,OA cm AB cm ==求圆心角AOB ∠和扇形OAB 的面积 解：32、248cm （2）已知3弧度的圆心角所对的弧长为9cm ，求此圆心角所夹的扇形面积. 解：2272cm 【例4】（1）把所有与角α终边重合的角的集合用弧度制表示解：{|2,}k k Z ββπα=+∈（2）把每个象限角的范围用弧度制表示：【例5】将下列各角写成2(02,)k k Z πααπ+≤<∈（1）245π （2）403π- （3）450 （4）310- 解：（1）445ππ+ （2）2143ππ-+ （3）22ππ+ （4）5218ππ-+ 【例6】用弧度制表示下列各集合（1）终边在x 轴上的角的集合 {|,}k k Z ααπ=∈（2）终边在y 轴上的角的集合 {|,}2k k Z πααπ=+∈（3）终边落在第一象限的角平分线上的角的集合 {|2,}4k k Z πααπ=+∈（4）终边落在第一、三象限的角平分线上的角的集合 {|,}4k k Z πααπ=+∈ 【例7】判断下列各角分别属于哪个象限（1）232π （2）4- （3）终边落在区间7(,3)2ππ--内 解：（1）不属于任何象限 （2）第二象限 （3）第二象限。
5.1.1 任意角(课件)
第三步：起始、终止边界对应角 α，β 再加上 360°的整数倍，即得区间
角集合．
经典例题
题型二 区域角的表示
跟踪训练2
写出角的终边落在图中阴影区域内的角的集合(包括边界)．
解：在 0°～360°范围内，45°≤α≤90°或 225°≤α≤270°， 所以 S1＝{α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°，k∈Z}， ＝{α|45°＋2k·180°≤α≤90°＋2k·180°，k∈Z}， S2＝{α|225°＋k·360°≤α≤270°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|45°＋(2k＋1)·180°≤α≤90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}， 所以 S1∪S2＝{α|45°＋n·180°≤α≤90°＋n·180°，n∈Z}．
的终边所落在的区域．如此，角αn所在的象限就可以由标号区域所在的
象限直观地看出．
经典例题
总结
题型三
判断角nα，nα(n∈N*)所在象限
2.已知角 α 终边所在的象限，确定 nα 终边所在的象限，可依据角 α 的 范围求出 nα 的范围，再直接转化为终边相同的角即可． 注意不要漏掉 nα 的终边在坐标轴上的情况．
当堂达标
3.已知 α 为第三象限角，则α2所在的象限是(
)
A．第一或第二象限
B．第二或第三象限
C．第一或第三象限
D．第二或第四象限
D 解析：由于 k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z， 得2k·360°＋90°<α2<2k·360°＋135°，k∈Z. 当 k 为偶数时，α2为第二象限角； 当 k 为奇数时，α2为第四象限角．
课件5：1.1.1 任意角
S={β| β=α+k·360º，k∈Z}，
即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.
⑷注意以下四点： ① k∈Z， k> 0，表示逆时针旋转； k< 0，表示顺时针旋转.
②是任意角. ③k·360º与之间是“+”号，如角k·360º－30º，1.1.1 任意角
1.角的概念 初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形叫做角， 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的. 初中学过的角的范围是：0º至360º. 然而生活中有很多实例的角会不在该范围，例如： 体操运动员转体720º（即“转体2周”），跳水运动员 向内、向外转体1080º（即“转体3周”）. 这些例子中有的角不仅不在范围0º至360º内 ，而且方向 也各不相同.
例2 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在 －360º~720º之间的角写出来. (1)60º；(2)－21º；(3)363º14′.
解：(1)S={β| β=60º+k·360º，k∈Z}， S中在－360º～720º间的角包括： 0×360º+60º=60º； －1×360º+60º=－300º； 1×360º+60º=420º．
成(－30º)+k·360º. ④ 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定 相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360º的整 数倍.
例1 在0º~360º范围内，找出与下列各角终边相同的角， 并判断它是哪个象限的角. (1)－120º；(2)640º.
解：⑴∵－120º=240º+（-1）×360º， ∴－120º的角与240º的角终边相同， ∴它是第三象限角． ⑵ ∵640º=280º+1×360º， ∴640º的角与280º的角终边相同， ∴它是第四象限角．
高中数学第五章三角函数5.1.1任意角学案含解析第一册
第五章三角函数5．1任意角和弧度制5．1.1任意角［目标] 1.理解任意角的概念，能区分各类角的概念;2.掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角；3。
理解终边相同的角的含义及其表示，并能解决有关问题．[重点] 用集合的形式表示终边相同的角．［难点］会判断角的终边所在的象限．知识点一角的概念的推广和分类［填一填］1．任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．2．正角、负角和零角我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角．这样,零角的始边与终边重合．如果α是零角，那么α＝0°.1．根据角的新的定义，角的范围有什么变化？提示：角的范围不再是以前学的锐角、直角以及钝角，而是任意的角．2．如图所示，图(1)中,角α的度数为330°，图（2）中，角β的度数为－150°，角γ的度数为570°。
解析：题图(1）中，α＝360°－30°＝330°；题图(2）中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°；γ＝360°＋60°＋（－β）＝360°＋60°＋150°＝570°.知识点二象限角[填一填］为了讨论问题的方便，我们在直角坐标系内使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称它为轴线角（或称为象限界角)．3．把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x 轴的非负半轴重合,旋转该角，则其终边（除端点外）可能落在什么位置?提示：坐标轴上或四个象限内．4．“锐角”、“第一象限角"、“小于90°的角”三者有何不同？提示：锐角是第一象限角也是小于90°的角,而第一象限角可以是锐角，也可以大于360°，还可能是负角,小于90°的角可以是锐角,也可以是零角或负角．知识点三终边相同的角[填一填］所有与角α终边相同的角,连同角α在内，可构成一个集合S ＝｛β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．［答一答]5．终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？提示：终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角，终边相同．6．与－2 014°角终边相同的最小正角是146°。
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45
三、终边重合的角
y
一、任意角的概念（旋转，正角，负角，零角） 二、象限角的概 念
与 终边重合 { | k 360 , k Z }
135
225 135 (1) 360 135 225 360
x
225
O
三、终边重合的角
90
一、任意角的概念（旋转，正角，负角，零角） 二、象限角的概 念 三、终边重合的角 { | k 360 , k Z }
四、锐角与第一象限角
锐角的范围
0 90
0 k 360 90 k 360 , k Z
第一象限角的范围
课堂练习2
一、任意角的概念（旋转，正角，负角，零角） 二、象限角的概 念
{ | 60 k 360 , k Z } 与 （1） 60 终边重合的角的集合 { | 180 k 360 , k Z } 所有终边在 x 负半轴上的角 （2）
0 与角 终边重合， 360 , 则 （3）630 三 象限角 （4）2000 是第
二、象限角的概念
y
II
I
角 是第一象限角 I
角 是第三象限角 III
角 不是象限角
O
x
III
IV
一、任意角的概念（旋转，正角，负角，零角）
二、象限角画出
135
O
45 ,135 , 225
并指出它们分别属于哪个象限
x
225
所有的锐角都是第一象限角
第一象限角不一定是锐角
第一章 集合和命题 第二章 不等式 第四章 幂函数、指数函数、对数函数
第三章 函数的基本性质
第五章 三角比
5.1.1 任意角及其度量
一、任意角的概念
平面内一条射线绕着其端点从始边 旋转到终边所形成的图形 逆时针方向旋转：正角 顺时针方向旋转：负角
没有旋转：零角
0
0
一、任意角的概念（旋转，正角，负角，零角）