数学：3.3.2《两点间的距离》课件(新人教版a版必修2)
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人教A版高中数学必修二课件3.3.2两点间的距离(共29张PPT)
时，一是要考虑全面，二是可从问题的反面着手，即可 先考虑不能构成三角形的情形，然后再对其一一否定．
跟踪训练
4．已知三条直线l1：ax＋2y＋8＝0，l2：4x＋3y＝10，l3 ：2x－y＝10，若三条直线恰交于同一个点，则a＝ ________，该点坐标为________． 解析：将l2，l3的方程联立求交点得(4，－2)，再代入l1 的方程即得a＝－1.
【名师点评】 法一通过方程组求出两直线交点，再根据平行直线斜率 相等求直线方程；法二直接设出过两直线交点的直线系 方程，再根据平行条件求出待定系数即可．
跟踪训练
1．若直线5x＋4y－2m－1＝0与直线2x＋3y－m＝0的交
点在第四象限，求m的取值范围．
题型二
例2
方程．
两点间的距离公式及应用
已知△ABC的顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－
1)，C(4,7)，求BC边上的中线AM的长和AM所在直线的
跟踪训练
2．已知点A(4，－3)、B(2，－1)和直线l：4x＋y－2＝0
，在直线l上求一点P，使|PA|＝|PB|.
题型三
例3
对称问题
点A(2,2)关于直线l：2x－4y＋9＝0对称点的坐
，l3：x＋y＋a＝0能构成三角形，则a应满足的条件是 A．a＝1或a＝－2 C．a≠1，且a≠－2 【常见错误】
因只考虑三条直线相交于一点构不成三
角形，忽视任意两直线平行或重合也不能构成三角形，
错选B或C.
【答案】
D
【失误防范】
三条直线若能构成三角形，既不能三线
共点，也不能三线中有两条平行或重合，处理该类问题
标是______________．
【答案】
(1,4)
跟踪训练
4．已知三条直线l1：ax＋2y＋8＝0，l2：4x＋3y＝10，l3 ：2x－y＝10，若三条直线恰交于同一个点，则a＝ ________，该点坐标为________． 解析：将l2，l3的方程联立求交点得(4，－2)，再代入l1 的方程即得a＝－1.
【名师点评】 法一通过方程组求出两直线交点，再根据平行直线斜率 相等求直线方程；法二直接设出过两直线交点的直线系 方程，再根据平行条件求出待定系数即可．
跟踪训练
1．若直线5x＋4y－2m－1＝0与直线2x＋3y－m＝0的交
点在第四象限，求m的取值范围．
题型二
例2
方程．
两点间的距离公式及应用
已知△ABC的顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－
1)，C(4,7)，求BC边上的中线AM的长和AM所在直线的
跟踪训练
2．已知点A(4，－3)、B(2，－1)和直线l：4x＋y－2＝0
，在直线l上求一点P，使|PA|＝|PB|.
题型三
例3
对称问题
点A(2,2)关于直线l：2x－4y＋9＝0对称点的坐
，l3：x＋y＋a＝0能构成三角形，则a应满足的条件是 A．a＝1或a＝－2 C．a≠1，且a≠－2 【常见错误】
因只考虑三条直线相交于一点构不成三
角形，忽视任意两直线平行或重合也不能构成三角形，
错选B或C.
【答案】
D
【失误防范】
三条直线若能构成三角形，既不能三线
共点，也不能三线中有两条平行或重合，处理该类问题
标是______________．
【答案】
(1,4)
人教版数学必修二课件3.3.2两点间的距离(共34张PPT)
教学重难点
重点
➢两点间距离公式的应用。
难点
➢两点间距离公式的推导过程。
思考
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)， 如何求P1 P2的距离| P1 P2 |呢?总结得出两点 间的距离公式。
（1）x1≠x2, y1=y2
y
P1
P2
o
x
| P1P2 || x2 x1 |
（2） x1 = x2, y1 ≠ y2
y
A(a,b)
B(-c,0) o
C(c,0) x
| AB | (a c)2 b2 ,| AC | (a c)2 b2 | AO | a2 b2 ,| OC | c. | AB |2 | AC |2 2(a2 b2 c2 ), | AO |2 | OC |2 a2 b2 c2 . | AB |2 | AC |2 2(| AO |2 | OC |2 )
| P1P2 | (x2 x1 )2 (y2 y1 )2
2、坐标法证明简单平面几何问题的步骤： 第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”所几何关系。
随堂练习
1、求下列两点间的距离： (1)A(6，0),B(-2，0) (2)C(0，-4),D(0，-1）
习题答案
1. (1) | AB | 8; (2) | CD | 3; (3) | PQ | 2 10; (4) | MN | 13。
2. a=±8。
y
P2
P1
o
x
| P1P2 || y2 y1 |
（3）x1≠x2,y1≠y2
y P1(x1,y1)
Q (x2,y1)
P2(x2,y2)
高中数学人教A版必修二 课件：3.3.2 两点间的距离 (2)
追求卓 越 ，崇尚一流。 主
三维目标
1．知识与技能 掌握直角坐标系两点间的距离， 用坐标证明简单的几何问 题． 2．过程与方法 通过两点间距离公式的推导， 能更充分体会数形结合的优 越性． 3．情感、态度与价值观 体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题．
3．3.2 │ 新课感知 新课感知
如图 3－3－1，已知 x 轴上一点 P1(x0，0)和 y 轴上一点 P2(0，y0)，那么点 P1 和 P2 的距离为多少？
图 3－3－1
3．3.2 │ 新课感知
2 解： 根据勾股定理知 |P1P2 |＝ x2 ＋ y 0 0.
3．3.2 │ 自学探究 自学探究
3．3.2 │ 新课导入 新课导入
[导入一] [情境导入] 三楼屋顶有一蜂窝，住户报 119，消防官兵拟用高压水枪击落蜂 巢，但水枪有效射程只有 20 米，而消防车也只能到达宅基线距离楼 房角 A 处 8 米远的坡坎边，若屋的长、宽、高分别为 15 米、10 米、 4.2 米，蜂巢能被击落吗？这是一个很有趣的实际应用题，同学们你 能根据题意画出符合条件的示意图吗？
[答案] 据题意知蜂巢能否被击落，实质上就是比较图形中消防 车所对应的点距离三楼屋顶对应的长方体的一顶点间的距离与水枪 有效射程的关系．
3．3.2 │ 新课导入
[导入二] [导入新课] 距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题 经常涉及距离，如飞机和轮船的航线的设计，它虽不是直 线距离，但也涉及两点之间的距离，一些建筑设计也要计 算空间两点之间的距离，那么如何计算空间两点之间的距 离呢？这就是我们本堂课的主要内容．
3．3.2 │ 典例类析
►
题组二
坐标法在平面几何的应用 【例题演练】
例 1 已知矩形 ABCD 的两个顶点 A(－1，3)，B(－2，4)， 若它的对角线交点 M 在 x 轴上，则 C，D 两点的坐标分别为 (－9，－3)，(－8，－ ________________ ． 4)
三维目标
1．知识与技能 掌握直角坐标系两点间的距离， 用坐标证明简单的几何问 题． 2．过程与方法 通过两点间距离公式的推导， 能更充分体会数形结合的优 越性． 3．情感、态度与价值观 体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题．
3．3.2 │ 新课感知 新课感知
如图 3－3－1，已知 x 轴上一点 P1(x0，0)和 y 轴上一点 P2(0，y0)，那么点 P1 和 P2 的距离为多少？
图 3－3－1
3．3.2 │ 新课感知
2 解： 根据勾股定理知 |P1P2 |＝ x2 ＋ y 0 0.
3．3.2 │ 自学探究 自学探究
3．3.2 │ 新课导入 新课导入
[导入一] [情境导入] 三楼屋顶有一蜂窝，住户报 119，消防官兵拟用高压水枪击落蜂 巢，但水枪有效射程只有 20 米，而消防车也只能到达宅基线距离楼 房角 A 处 8 米远的坡坎边，若屋的长、宽、高分别为 15 米、10 米、 4.2 米，蜂巢能被击落吗？这是一个很有趣的实际应用题，同学们你 能根据题意画出符合条件的示意图吗？
[答案] 据题意知蜂巢能否被击落，实质上就是比较图形中消防 车所对应的点距离三楼屋顶对应的长方体的一顶点间的距离与水枪 有效射程的关系．
3．3.2 │ 新课导入
[导入二] [导入新课] 距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题 经常涉及距离，如飞机和轮船的航线的设计，它虽不是直 线距离，但也涉及两点之间的距离，一些建筑设计也要计 算空间两点之间的距离，那么如何计算空间两点之间的距 离呢？这就是我们本堂课的主要内容．
3．3.2 │ 典例类析
►
题组二
坐标法在平面几何的应用 【例题演练】
例 1 已知矩形 ABCD 的两个顶点 A(－1，3)，B(－2，4)， 若它的对角线交点 M 在 x 轴上，则 C，D 两点的坐标分别为 (－9，－3)，(－8，－ ________________ ． 4)
A版高中数学必修2课件《两点间的距离 》(人教版)
y
(ｂ,ｃ)
D
(a+ｂ,ｃ)
C
A (0,0)
(a,0)
B
x
因为 AB
AC
2
a 2 CD , AD
( a b) c , BD
2 2
2
2
BC
2
b2 c2
2
2
(a b) 2 c 2
2
所以
AB
AC
2
CD
BD
2
AD
2
BC
2(a 2 b 2 c 2 )
第三章 ·直线与方程
两点间的距离
Hale Waihona Puke 情境导入学习目标1.能够推导两点间距离公式；(重点) 2.会应用两点间距离公式证明几何问题。(难点)
课堂探究
探究1：已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何P1(x1,y1),P2(x2,y2) 的距离|P1P2|? |P1P2|2= |P1Q|2+|QP2|2
2.利用坐标法 解决一些几何问题。
2
2
2( a 2 b 2 c 2 )
所以
AB
2
CD
2
AD
2
BC
2
AC
2
BD
2
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。
课堂训练
求下列两点间的距离：
(1) A(6, 0), B(2, 0) (3) P(6, 0), Q(0, 2) (2)C (0, 4), D(0, 1) (4) M (2,1), N (5, 1)
解得x=1，
(1 1) 2 (0 2) 2 2 2
高中数学 3.3.2两点间的距离课件 新人教A版必修2 (2)
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8
2．坐标法(解析法) 坐标法解决几何问题时，关键是结合图形的特征，建立平 面直角坐标系，坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否 简便解决．因此，建系时应遵循以下原则： (1)让图形中尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运 算．
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9
(2)如果条件中有互相垂直的两条直线，一般情况下将它 们建为坐标系；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心建为 原点；如果图形有对称轴，可考虑将对称轴建为坐标轴.
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19
【解】 (1)设点P为(x,0)则有 |PA|＝ x＋32＋0－42＝ x2＋6x＋25， |PB|＝ x－22＋0－ 32＝ x2－4x＋7. 由|PA|＝|PB|，得 x2＋6x＋25＝x2－4x＋7， 解得x＝－95.
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20
即所求点P为(－95，0)，且
|PA|＝
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13
规律技巧 三条线段构成三角形的条件是：任两条线段之 和大于第三条线段，任两条线段之差小于第三条线段.
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14
二 坐标法证明几何问题
【例2】 如图，在△ABC中，|AB|＝|AC|，D是BC边上异 于B，C的任意一点，求证：|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.
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7
名师讲解 1.两点间距离公式 两点间距离公式的两种特殊情况： (1)直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|； (2)直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|. 在此基础上，运用勾股定理就很容易得出平面上任意两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式： |P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22.
第三章 直线与方程
【数学】3.3.2《两点间的距离》课件(新人教A版必修2)
3.3.2《两点间的距离》
教学目标
• 使学生掌握两点间距离公式的推导，能 记住公式，会熟练应用公式解决问题， 会建立直角坐标系来解决几何问题，学 会用代数方法证明几何题。 • 教学重点：两点间距离公式及其应用。 • 教学难点：例4的教学是难点。
小结
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是
(4)、M(2，1),N(5，-1)
(5)、O(0, 0),P(3, 4)
2.已知点A(a, -5)与B(0, 10)间的距离是17,求a的值.
练习
2、求在x轴上与点A(5,12)的距离为13的坐标； 3、已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1,5)间的 距离等于10，求点P的纵坐标。
例题分析
例 3 已知点 A ( 1, 2 ), B ( 2 , 7 ), 在 x 轴上求一点 P,使 得 | PA | | PB |, 并求 | PA | 的值 .
| P P | 1 2 ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2 2
特别地 , 原点 O 与任一点 P ( x , y )的距离 : | OP | x y
2 2
练习
1、求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0)
(3)、P(6，0),Q(0，-2)
(2)、C(0，-4),D(0，-1)
| PA | (1 1) (0示有关的量； 第二步：进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”所几何关系.
解：设所求点为P(x,0)，于是有
| PA | | PB | (x 1) (0 2) (x 2) (0
2 2 2
x 2x 5 x 4x 11
2
教学目标
• 使学生掌握两点间距离公式的推导，能 记住公式，会熟练应用公式解决问题， 会建立直角坐标系来解决几何问题，学 会用代数方法证明几何题。 • 教学重点：两点间距离公式及其应用。 • 教学难点：例4的教学是难点。
小结
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是
(4)、M(2，1),N(5，-1)
(5)、O(0, 0),P(3, 4)
2.已知点A(a, -5)与B(0, 10)间的距离是17,求a的值.
练习
2、求在x轴上与点A(5,12)的距离为13的坐标； 3、已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1,5)间的 距离等于10，求点P的纵坐标。
例题分析
例 3 已知点 A ( 1, 2 ), B ( 2 , 7 ), 在 x 轴上求一点 P,使 得 | PA | | PB |, 并求 | PA | 的值 .
| P P | 1 2 ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2 2
特别地 , 原点 O 与任一点 P ( x , y )的距离 : | OP | x y
2 2
练习
1、求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0)
(3)、P(6，0),Q(0，-2)
(2)、C(0，-4),D(0，-1)
| PA | (1 1) (0示有关的量； 第二步：进行有关的代数运算； 第三步：把代数运算结果“翻译”所几何关系.
解：设所求点为P(x,0)，于是有
| PA | | PB | (x 1) (0 2) (x 2) (0
2 2 2
x 2x 5 x 4x 11
2
2021版高中数学人教A版必修2课件：3.3.2 两点间的距离
(2)文字叙述:平面内两点间的距离等于这两点的横坐标之差与 纵坐标之差的平方和的算术平方根.
-3-
3.3.2 两点间的距离
12
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
名师点拨 1.坐标平面内两点间的距离公式是数轴上两点间距离公 式的推广.
2.使用公式时,注意几何意义的逆向思维, (x,y)到原点的距离,也可理解为点(-x,y)到原点的
解:已知:如图,△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,D为AB边的中 点.
-14-
3.3.2 两点间的距离
题型一 题型二
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
-15-
-8-
3.3.2 两点间的距离
题型一 题型二
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
反思解析几何中的一些距离问题常与方程联系起来,它体现了几何 问题代数化处理的策略.
-9-
3.3.2 两点间的距离
题型一 题型二
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
【变式训练1】 已知A(-3,1),B(3,-3),则|AB|= .
3.3.2 两点间的距离
-1-
3.3.2 两点间的距离
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
1.掌握平面内两点间的距离公式及应用. 2.了解坐标法的解题步骤.
-2-
3.3.2 两点间的距离
12
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
1.两点间的距离公式 (1)公式:点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式
典例透析
又kEF=0,kBC=0, 故EF∥BC. 综上所述,三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
-3-
3.3.2 两点间的距离
12
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
名师点拨 1.坐标平面内两点间的距离公式是数轴上两点间距离公 式的推广.
2.使用公式时,注意几何意义的逆向思维, (x,y)到原点的距离,也可理解为点(-x,y)到原点的
解:已知:如图,△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,D为AB边的中 点.
-14-
3.3.2 两点间的距离
题型一 题型二
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
-15-
-8-
3.3.2 两点间的距离
题型一 题型二
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
反思解析几何中的一些距离问题常与方程联系起来,它体现了几何 问题代数化处理的策略.
-9-
3.3.2 两点间的距离
题型一 题型二
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
【变式训练1】 已知A(-3,1),B(3,-3),则|AB|= .
3.3.2 两点间的距离
-1-
3.3.2 两点间的距离
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知识梳理
重难聚焦
典例透析
1.掌握平面内两点间的距离公式及应用. 2.了解坐标法的解题步骤.
-2-
3.3.2 两点间的距离
12
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知识梳理
重难聚焦
典例透析
1.两点间的距离公式 (1)公式:点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式
典例透析
又kEF=0,kBC=0, 故EF∥BC. 综上所述,三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
高中数学人教A版必修二 课件：3.3.2两点间的距离
想一想 2.已知点P(x, y), 问x2＋y2表示的几何意义是 什么？ 提示: x2＋y2表示|OP|2, 即点P到坐标原点距 离的平方.
做一做 3.已知点P1(5,1), P2(2, －2), 则|P1P2|＝_____.
解析: |P1P2|＝ 5－2 2＋1＋22＝3 2.
答案: 3 2
【名师点评】
把要证明的问题转化为代
数计算, 即是一个代数验证的过程.
互动探究
2. 在上述△ABC 中, 若 M 为 BC 的中点. 1 求证: |AM|＝ |BC|. 2 证明: 设点 M 的坐标为 (x, y),
∵点 M 为 BC 的中点 , 3 ＋1 － 3＋ 7 ∴ x＝ ＝ 2, y＝ ＝ 2, 2 2
程组有唯一解 14 y＝ 3 .
10 x＝－ ， 3
所以两直线相交 ,
10 14 且交点坐标为 － 3 ， 3 .
2x－ 6y＋ 3＝ 0，① (2)解方程组 1 1 y ＝ x ＋ ，② 3 2 ②×6 得 2x－ 6y＋ 3＝ 0, 因此①和②可以化成同一个方程 , 即方程组 有无数组解 , 所以两直线重合 .
(2)l关于点A的对称直线l′的方程.
【思路点拨】 (1)设A′(a, b)→求A′A中点代入
l→kAA′＝－1→解方程组得a, b.
(2)设l′方程→在l′上任取点
求对称点→代入.
【解】
(1)设 A′ (a, b),
a＋1 b＋1 则 A′ A 的中点 M 为( , ), 2 2 a＋1 b＋1 在 l 上, ∴ － － 2＝0, ① 2 分 2 2 b－1 又∵kAA′ ＝ , 直线 AA′与 l 垂直 , a－1 b－1 ∴ ＝－1, ② 4 分 a－1 ∴由①②得 a＝3, b＝－1,
高中数学必修二人教A版3.3.2两点间的距离 课件
学习目标
知识与技能：理解平面内两点间的距离公式的推导 过程 ，掌握两点间的距离公式及其应用. 过程与方法：通过两点间距离公式的推导，培养探 索问题的能力和运用知识的能力，加深对数形结合 以及由特殊到一般的思想的认识. 情感态度价值观：通过主动探究，合作交流，感受 探索的乐趣和成功的体验，体会数学的条理性和严 谨性，激发学习兴趣.
A B2A C 22(A O 2O C 2)
拓展练习
练习 2
证明直角三角形斜边的中点
到三个顶点的距离相等.
合作探究
探究三 运用两点间的距离公式证明不等式 例3 已知 0x1,0y1，求证：
x 2 y 2 x 2 ( 1 y ) 2 ( 1 x ) 2 y 2 ( 1 x ) 2 ( 1 y ) 2 2 2
（2）C(0，-4),D(0，-1); CD= 0-02+-1+42=3
（3）P(6，0),Q(0，-2); PQ=0-62+-2-02=210
（4）M(2，1),N(5，-1); M N52211213
基础检测 三、课本106页练习题2.
2. 已知点A（a，-5）与B（0,10）间的距离 为17，求a的值.
由 |P| A |P| B得 x22 x5 x24 x11
解得x=1，所以所求点P(1,0)
|P| A( 1 12) ( 022) 22
基础检测
四、学生讲解课本105页例4.
例4 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线
的平方和。
解：如图，以顶点A为坐标原 点，AB所在直线为x轴，建立
并求使等式成立的条件.
拓展练习
练习 3
设a,b,c,dR,求证：对于任意 p, q R,有
知识与技能：理解平面内两点间的距离公式的推导 过程 ，掌握两点间的距离公式及其应用. 过程与方法：通过两点间距离公式的推导，培养探 索问题的能力和运用知识的能力，加深对数形结合 以及由特殊到一般的思想的认识. 情感态度价值观：通过主动探究，合作交流，感受 探索的乐趣和成功的体验，体会数学的条理性和严 谨性，激发学习兴趣.
A B2A C 22(A O 2O C 2)
拓展练习
练习 2
证明直角三角形斜边的中点
到三个顶点的距离相等.
合作探究
探究三 运用两点间的距离公式证明不等式 例3 已知 0x1,0y1，求证：
x 2 y 2 x 2 ( 1 y ) 2 ( 1 x ) 2 y 2 ( 1 x ) 2 ( 1 y ) 2 2 2
（2）C(0，-4),D(0，-1); CD= 0-02+-1+42=3
（3）P(6，0),Q(0，-2); PQ=0-62+-2-02=210
（4）M(2，1),N(5，-1); M N52211213
基础检测 三、课本106页练习题2.
2. 已知点A（a，-5）与B（0,10）间的距离 为17，求a的值.
由 |P| A |P| B得 x22 x5 x24 x11
解得x=1，所以所求点P(1,0)
|P| A( 1 12) ( 022) 22
基础检测
四、学生讲解课本105页例4.
例4 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线
的平方和。
解：如图，以顶点A为坐标原 点，AB所在直线为x轴，建立
并求使等式成立的条件.
拓展练习
练习 3
设a,b,c,dR,求证：对于任意 p, q R,有
高中数学 3.3.2两点间的距离公式课件 新人教A版必修2
2．坐标法 (1)定义：通过建立平面直角坐标系，用___代__数_____方法解
决几何问题的方法称为坐标法． (2)步骤：①建立__坐__标__系____，用坐标表示有关的量：②进
行有关_代__数__运__算___；③把代数运算结果“__翻__译_____”成几何关
系．
●预习自测
1．已知点A(－3,0)，B(2,0)，则|AB|＝________. [答案] 5 2．已知点P1(5,1)，P2(2，－2)，则|P1P2|＝________. [答案] 3 2
[证明] 如图所示，E，F 分别是△ABC 的边 AB 和 AC 的中点．
以线段 BC 的中点为原点，直线 BC 为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系．
设 A(a，b)，C(c,0)，则 B(－c,0)． 则 AB 的中点 E 的坐标是(a－2 c，b2)，AC 的中点 F 的坐标 是(a＋2 c，b2)．
高效课堂
●互动探究
求平面上两点间距离
已 知 A(a,3) 和 B(3,3a ＋ 3) 的 距 离 为5，求a的值．
[探究] 利用两点间距离公式列方程解得a的值． [解析] ∵|AB|＝ a－32＋3－3a－32＝5， 即 5a2－3a－8＝0，∴a＝－1 或 a＝85.
规律总结：两点间的距离公式与两点的先后顺序无 关，也就是说公式既可以写成|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12，也 可以写成|P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22，利用此公式可以将有关 的几何问题转化为代数问题进行研究．
(2)若已知两定点，常以两点的中点(或一个定点)为原点， 两定点所在的直线为x轴建立直角坐标系；
(3)若已知两条互相垂直的直线，则以它们为坐标轴建立直 角坐标系；
数学：3.3.2《两点间的距离》课件(新人教版a版必修2)
3.2.2 两点间的距离
问题提出
1.在平面直角坐标系中，根据直线 的方程可以确定两直线平行、垂直等位 置关系，以及求两相交直线的交点坐标， 我们同样可以根据点的坐标确定点与点 之间的相对位置关系. 2.平面上点与点之间的相对位置关 系一般通过什么数量关系来反映？
知识探究（一）：两点间的距离公式
思考1:已知平面上两点P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则 y2-y1可怎样表示？从而点P1和P2的距离 公式可作怎样的变形？
|P 1P 2 || x2 x1 | 1 k
2
思考2:已知平面上两点P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则 x2-x1可怎样表示？从而点P1和P2的距 离公式又可作怎样的变形？
1 |P 1P 2 || y2 y1 | 1 2 k
|P 1P 2 || x2 x1 | 1 k
2
1 | y2 y1 | 1 2 k
思考3:上述两个结论是两点间距离公式 的两种变形，其使用条件分别是什么？
思考4:若已知 x1 x2 和 x1 x2 ，如何 求 | x2 x1 | ？
/xiaoxue/ 数学辅导 语文补习 英语补习班
数学（汉语拼音：shù xué；希腊语：μ α θ η μ α τ ι κ ；英语：Mathematics），源自于古希腊语的μ θ η μ α （máthēma），其有学习、学问、科学之意。古希腊学者视其为哲学之起点，“学问的基础”。另外，还有个较狭隘且技术 性的意义——“数学研究”。即使在其语源内，其形容词意义凡与学习有关的，亦会被用来指数学的。其在英语的复数形式，及在法语中的复数形式+es成mathématiques，可溯至拉丁文的中性复数（Mathematic
问题提出
1.在平面直角坐标系中，根据直线 的方程可以确定两直线平行、垂直等位 置关系，以及求两相交直线的交点坐标， 我们同样可以根据点的坐标确定点与点 之间的相对位置关系. 2.平面上点与点之间的相对位置关 系一般通过什么数量关系来反映？
知识探究（一）：两点间的距离公式
思考1:已知平面上两点P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则 y2-y1可怎样表示？从而点P1和P2的距离 公式可作怎样的变形？
|P 1P 2 || x2 x1 | 1 k
2
思考2:已知平面上两点P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则 x2-x1可怎样表示？从而点P1和P2的距 离公式又可作怎样的变形？
1 |P 1P 2 || y2 y1 | 1 2 k
|P 1P 2 || x2 x1 | 1 k
2
1 | y2 y1 | 1 2 k
思考3:上述两个结论是两点间距离公式 的两种变形，其使用条件分别是什么？
思考4:若已知 x1 x2 和 x1 x2 ，如何 求 | x2 x1 | ？
/xiaoxue/ 数学辅导 语文补习 英语补习班
数学（汉语拼音：shù xué；希腊语：μ α θ η μ α τ ι κ ；英语：Mathematics），源自于古希腊语的μ θ η μ α （máthēma），其有学习、学问、科学之意。古希腊学者视其为哲学之起点，“学问的基础”。另外，还有个较狭隘且技术 性的意义——“数学研究”。即使在其语源内，其形容词意义凡与学习有关的，亦会被用来指数学的。其在英语的复数形式，及在法语中的复数形式+es成mathématiques，可溯至拉丁文的中性复数（Mathematic
高中数学：3.3.2《两点间的距离》课件(新人教A版必修2)
P1(x1,y1)
Q(x2,y1)
O
x
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y 1)2
两点间距离公式
y
|x|
P (x,y)
|y|
O(0,0)
x
| OP | x2 y2
数形结合
练习
▪ 1.已知A(3,4),B(-1,7),求|AB| |AB|=5
▪ 2.已知O(0,0),B(6,-8),求|OP| |OP|=10
第D一(b步,c):建立C(坐a+b,c) 标系，用坐标表 示有关的量。
| AB |2 a2 | CD |2 a2
A (0,0)
x B (a,0)
坐标法 | AD |2 b2 c2 | BC |2 b2 c2 第二步:进行有
| AC |2 (a b)2 c2 | BD |2 (b a关)2代 数c2运算
练习
▪ P116 练习 1
(1) | AB | 8 (2) | CD | 3 (3) | PQ | 2 10
(4) | MN | 13
P115 例3
练习
▪ P116 练习 2
a 8
例4.证明平行四边形四条边的平方和和等于两条
对角线的平方和。 证明：以A为原点，AB为x轴
建立直角坐标系。 y 则四个顶点坐标分别为 A(0,0),B(a,0),D(b,c)C(a+b,c)
解析几何
3.3.两点间距离公式
两点间距离公式
y
y2
P2(x2, y2)
| P2Q || y2 y1 |
y1 P1(x1,y1)
Q(x2,y1)
O x1
x2
x
| P1Q || x2 x1 |
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例3 证明平行四边形四条边的平方 和等于两条对角线的平方和.
y D (b, c) C (a+b, c) x
A(0,0)
B(a,0)
用“坐标法”解决有关几何问题的 基本步骤：
第一步；建立坐标系， 用坐标系表示有关的量
第二步：进行 有关代数运算
第三步：把代数运算结果 “翻译”成几何关系
作业： P106练习：1，2. P110习题3.3A组：6，7，8.
o
P1
2 2
x
|P x0 y0 1P 2 |
思考4:在平面直角坐标系中，已知点 P1(2，-1)和P2(-3，2)，如何计算点P1和 P2的距离？ y P2
o
M
2 2
P1
2
x
| P1 P2 | PM P2 M 5 3 34 1
2
思考5:一般地，已知平面上两点P1(x1， y1)和P2(x2，y2)，利用上述方法求点P1 和P2的距离可得什么结论？ y P2
1 |P 1P 2 || y2 y1 | 1 2 k
|P 1P 2 || x2 x1 | 1 k
2
1 | y2 y1 | 1 2 k
思考3:上述两个结论是两点间距离公式 的两种变形，其使用条件分别是什么？
思考4:若已知 x1 x2 和 x1 x2 ，如何 求 | x2 x1 | ？
思考1:已知平面上两点P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则 y2-y1可怎样表示？从而点P1和P2的距离 公式可作怎样的变形？
|P 1P 2 || x2 x1 | 1 k
2
思考2:已知平面上两点P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则 x2-x1可怎样表示？从而点P1和P2的距 离公式又可作怎样的变形？
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主客呀."能给咱壹千斤吗?"根汉问道."壹千斤..."在场の十几人都张大了嘴巴,这还是人吗,这小子也太能吃了,买壹千斤腌牛肉吃?（正文贰叁贰7壹千斤）贰叁贰捌赚钱"有!"中年老板立即拍板道："小老弟呀,给你算便宜壹些吧,你给二十二壹斤就好了,壹共是二万二...""好, 谢谢了..."根汉立即就掏出了二万五千星海币,厚厚の壹大叠放在桌上,又说道："再给咱准备十几缸红米酒吧,这里剩下の钱能装多少装多少吧...""好の..."中年老板笑得合不拢嘴,赶紧将这壹大叠钱给收好了,开什么玩笑,这壹天の功夫,就做了两个月の生意.今天真得烧香 拜拜财神了,壹斤少说也得赚个八到十块星海币,这壹下子就卖掉了平时要卖一些月の腌牛肉.两夫妻赶紧忙着去准备腌牛肉了,根汉也让自己の私人飞船拿了出来,见到根汉开着这么豪华の私人飞船,众人那是羡慕嫉妒恨呀.恐怕光是这艘私人飞船,就得大几十万星海币吧,怪不 得人家出手这么大方呢,只不过这吃货确实是很恐怖.在机甲里面装了上千斤の腌牛肉,还有二三十缸红米酒,以及上百斤の开胃小菜,根汉这才心满意足の上了飞船,开着飞船离开了."真是壕哥呀...""土豪の生活,咱们不能理解呀-壹-本-读-小-说-...""壕哥の胃口,同样无法 理解...""这人真是神人...""有可能是强大の战将吧,要不然怎么会这么能吃..."看着根汉の豪华飞船驰空而去,众人壹阵唏嘘,这才是真正の壕哥,说不定是轩辕城中哪家の大公子呢.壹顿饭就吃掉了几万星海币,哪个能花得起这个钱呢,这样の小子可不好养呀,每顿要是都吃 掉这么多钱,真是只能是大家族才能养得起了."这小老弟,不会就不来了吧..."看着根汉离开了,中年老板壹阵婉惜,自家の腌牛肉被根汉买去了近壹半了,现在只剩下了壹半.老板娘道："没见那小老弟吃の这么欢呀,刚刚の三十斤估计还没吃饱呢,咱都盯好久了,要不是这里人 多盯着他,他肯定还能吃个几十斤の...""壹千斤够他吃几天呀,没准他家里の人都这么能吃,或许家里の人壹起吃,没两天就吃光了,到时还得再来の..."老板娘美滋滋の猜想道.这就是真正の财神呀,以前没曾想卖个小牛肉,也能赚大钱.现在这样壹想,是不是得扩大点规模,招 壹些工,加班加点の制作腌牛肉呢."真是笨,刚刚怎么没叫小音要壹下这小老弟の联系方式呢,这样子咱们做了之后,可以联系他呀..."中年老板突然拍了拍自己の脑袋,极为の懊恼.中年老板娘也很郁闷："对呀,这小老弟の联系方式咱们都没有,该死,咱们也得去配个手环之类 の了,也得跟上潮流了...""恩,赶紧去买壹个回来..."中年老板道："咱现在就去...""快去吧..."两夫妻懊恼不已,期待着根汉会再来自己家の小店,再来购买腌牛肉....根汉此时,正在万米の高空,当然也听到了这两人の对话."这牛肉确实是不错..."根汉正躺在太师椅上,由 女机甲人给他喂牛肉,喂酒喝,这腌牛肉の味道确实是很香,而且壹点也不腻,也不柴,比烤肉还要好吃.他也不知道这肉是怎么腌制成の,只问了问老板娘,说壹坛肉得腌近壹个月の时间.至于具体怎么做の,根汉没有去用天眼扫她の灵海,怕伤到她,毕竟对方只是普通老百姓,有可 能会受损."这花费还真不少呀,就剩下这么点星海币了..."根汉壹边享受无上の服务,壹边感叹着问壹号女机甲人："壹号,咱们现在还有多少星海币了?""回主人,您还有二万六千三百五十五星海币..."壹号回答道,根汉又问她："哪里去赚钱比较快呀,主人得去赚点钱来花了, 不然这花销可供不起呀...""主人,您喜欢什么呢?"壹号问.根汉道："什么都还喜欢,你说说有什么来钱快の,咱都行..."不仅仅是吃肉花钱,平时这飞船如果行驶の话,也是很花钱の,这飞船是很高档の那壹类,光是能量补充,每壹次就得好几千大洋.若是再美美の吃上几顿掩牛 肉,恐怕至少也得几十万星海币了,到时真是不够了.光自己吃还不行呀,米晴雪她们个个都得吃壹些吧,众美虽然是美若天仙,可是这食量也和自己壹样,同样都是海量の.再加上她们の各种花费,都是壹笔不小の数字,自己怎么着也得去弄个几百万先备着,以防到时还得去抢别人 の东西,有些不太光彩,尤其是他们都是普通人."来钱快の项目很多哦,看您喜欢什么,擅长做什么了...""比如您玩の那款游戏,如果能出壹些高级装备の话,也可以卖很多の钱...""还有咱们这飞船,如果帮人家运货の话,也可以赚到不少の钱...""另外您有办法避过帝国の地网 监测,咱们可以帮人走运东西,同样是很赚钱の,尤其是壹些跨区域不让买卖の东西..."壹号女机甲智能很高,还会想着帮根汉钻帝法の空子,提供了大量の赚钱の路子.最后根汉想了想,还是感叹道："算了,咱还是边玩游戏边赚钱吧,以咱现在の等级,杀同阶の怪兽应该能得到更 好の奖励..."他想到了乾坤游戏中,那拍卖行中の那些宝贝,有壹些装备の价格高の惊人,甚至达到了上百万星海币,甚至还有传说中の上千万星海币の神装,也有人肯出钱购买.各大帝国の有钱人多如牛笔,钱对他们来说,不过只是壹些数字罢了,出点钱放点血只要游戏玩得爽, 再多の钱也无所谓,不在乎."恩,那您可能比较辛苦了,游戏里练级很累の..."壹号女机甲人有些心疼根汉,看着主人以玩游戏赚钱,确实是有些辛苦.毕竟游戏玩家太多了,能在游戏里面赚到钱の,还是比较少数の,大部分人都是去给游戏开发商送钱の呢."没事,有青龙剑和青龙 残卷,咱升级很快の,哈哈,马上就去爆几件神装出来..."根汉哈哈笑了笑,立即戴上游戏头盔,进入虚拟世界,开始去接大量の任务,准备去爆凶残の小怪兽了....（正文贰叁贰捌赚钱）贰叁贰玖牛笔玩家壹大清早,轩辕城皇宫.飞燕阁,轩辕飞燕公主の行宫,在她の偌大豪华の闺 房中,轩辕飞燕浏览着最近の热点新闻.她壹边吃着小水果,壹边抱怨道："这个死根汉,竟然到现在也不出现,难道本公主对他壹点吸引力也没有?""实在是太失败了,虽说他那老婆长の很不错,但也不至于,对本公主壹点兴趣也没有吧?"她自言自语の瞄了壹下,自己の身材,看了 看对面の落地光镜,镜中の自己还是很年轻貌美,肌体生光の.要知道,她可是被评为最美公主榜前三位の人物呀."难道他真の很专情?就只喜欢他那个老婆?不喜欢本公主?"轩辕飞燕郁闷の自言自语.她点了壹下光幕上の壹个点,随即联系上了自己の壹个高级机甲仆人,壹个身穿 红袍の玲.珑女机甲人进来了她の闺房."主人..."女机甲人恭敬の说,"您有什么吩咐?"轩辕飞燕道："阿碧,把咱の档案给调出来,另外对接地网控制中心,看看最近有没有什么异常...""好の..."女机甲人立即熟练,快速の将轩辕飞燕の档案给调了出来,另外[壹^本^读 ^][.[yb][du].]输入了壹系列复杂の指令之后,眼前の光幕壹转,进入到了帝国地网控制中心の最高权限界面.做为轩辕五十六世最宠爱の小公主,轩辕飞燕自然是拥有最高の权限,在地网控制中心,她の权限和轩辕五十六世是壹样の."怎么还是没有壹点根汉の踪迹?""这人难道 真の可以避过咱们の地网?"检查了壹番之后,轩辕飞燕十分郁闷の叹了口气,这壹个月来,她已经不是第壹回查看控制中心の追踪记录了,还是没有搜索到根汉の任何踪迹.女机甲人怀疑道："主人,是不是他是别国の间谍呢?""应该不会吧..."轩辕飞燕楞了楞后说："不过你这种 猜测也不是不可能,说不定就有哪个大帝国の科技人员,研发出来了最新の可以避过咱们天地网の设备...""另外他还有可能有隐形药水,以及壹些隐形装备..."想到这尔轩辕飞燕壹拍脑袋,惊呼道："有可能他壹招败退华威虎,也是用の什么高科技,而他本人并不是什么武道高 手...""有可能..."女机甲人也若有其事の点了点头,似乎很默认轩辕飞燕