高中数学专题复习培优计划含答案函数的奇偶性与周期性

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高中数学函数周期性和奇偶性基础知识+常用结论+专题训练(含答案)

函数的奇偶性与周期性一、基础知识1．函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：(1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(－x)f(x)＝1⇔f(x)为偶函数；(2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(－x)f(x)＝－1⇔f(x)为奇函数．2．函数的周期性(1)周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．周期函数定义的实质存在一个非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．二、常用结论1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a(a>0)．3．函数图象的对称性(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．考点一函数奇偶性的判断[典例]判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝36－x2|x＋3|－3；(2)f(x)＝1－x2＋x2－1；(3)f(x)＝log2(1－x2)|x－2|－2；(4)f(x)2＋x，x<0，2－x，x>0.[解](1)由f(x)＝36－x2|x＋3|－3，－x2≥0，＋3|－3≠06≤x≤6，≠0且x≠－6，故函数f(x)的定义域为(－6,0)∪(0,6]，定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数．(2)－x2≥0，2－1≥0⇒x2＝1⇒x＝±1，故函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)＝－f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)－x2>0，－2|－2≠0⇒－1<x<0或0<x<1，定义域关于原点对称．此时f(x)＝log2(1－x2)|x－2|－2＝log2(1－x2)2－x－2＝－log2(1－x2)x，故有f(－x)＝－log2[1－(－x)2]－x＝log2(1－x2)x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．法一：图象法画出函数f(x)2＋x，x<0，2－x，x>0的图象如图所示，图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．法二：定义法易知函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x>0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)；当x<0时，f(x)＝x2＋x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)，故原函数是偶函数．法三：f(x)还可以写成f(x)＝x2－|x|(x≠0)，故f(x)为偶函数．[题组训练]1．(2018·福建期末)下列函数为偶函数的是()A．y＝B．y＝x2＋e|x|C．y＝x cos x D．y＝ln|x|－sin x解析：选B对于选项A，易知y＝tan B，设f(x)＝x2＋e|x|，则f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选项C，设f(x)＝x cos x，则f(－x)＝－x cos(－x)＝－x cos x＝－f(x)，所以y ＝x cos x为奇函数；对于选项D，设f(x)＝ln|x|－sin x，则f(2)＝ln2－sin2，f(－2)＝ln2－sin(－2)＝ln2＋sin2≠f(2)，所以y＝ln|x|－sin x为非奇非偶函数，故选B.2．设函数f(x)＝e x－e－x2，则下列结论错误的是()A．|f(x)|是偶函数B．－f(x)是奇函数C．f(x)|f(x)|是奇函数D．f(|x|)f(x)是偶函数解析：选D∵f(x)＝e x－e－x 2，则f(－x)＝e－x－e x2＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．考点二函数奇偶性的应用[典例](1)(2019·福建三明模拟)函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x，则当x>0时，f(x)＝()A．－2x B．2－xC．－2－x D．2x(2)(2018·贵阳摸底考试)已知函数f(x)＝a－2e x＋1(a∈R)是奇函数，则函数f(x)的值域为()A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－3,3)D．(－4,4)[解析](1)当x>0时，－x<0，∵x<0时，f(x)＝2x，∴当x>0时，f(－x)＝2－x.∵f(x)是R上的奇函数，∴当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.(2)法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x ＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．[答案](1)C(2)A[解题技法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．[题组训练]1．(2019·贵阳检测)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝log2(x ＋2)－1，则f(－6)＝()A．2B．4C．－2D．－4解析：选C根据题意得f(－6)＝－f(6)＝1－log2(6＋2)＝1－3＝－2.2．已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，函数f(x)的最大值为________．解析：法一：当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝x2＋x.又因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＋14，所以当x<0时，函数f(x)的最大值为14.法二：当x>0时，f(x)＝x2－x－14，最小值为－14，因为函数f(x)为奇函数，所以当x<0时，函数f(x)的最大值为1 4 .答案：1 43．(2018·合肥八中模拟)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.解析：∵f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即－x ln(a＋x2－x)＝x ln(x＋a＋x2)，从而ln[(a＋x2)2－x2]＝0，即ln a＝0，故a＝1.答案：1考点三函数的周期性[典例](1)(2018·开封期末)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2019)＝()A．5 B.12C．2D．－2(2)(2018·江苏高考)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f(x)＝cosπx2，0<x≤2，x＋12|，－2<x≤0，则f(f(15))的值为________．[解析](1)由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－(2＋0)＝－2. (2)由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝|－1＋12|＝12，所以f(f(15))＝cosπ4＝22.[答案](1)D(2)22[题组训练]1．(2019·山西八校联考)已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝－1f(x)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则________.解析：∵f(x＋2)＝－1f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴2≤x≤3时，f(x)＝x，答案：522．(2019·哈尔滨六中期中)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )x 2－2，－2≤x ≤0，，0<x <1，则________.解析：由题意可得4－2＝14，＝14.答案：14[课时跟踪检测]A级1．下列函数为奇函数的是()A．f(x)＝x3＋1B．f(x)＝ln1－x1＋xC．f(x)＝e x D．f(x)＝x sin x解析：选B对于A，f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于B，f(－x)＝ln1＋x1－x＝－ln 1－x1＋x＝－f(x)，所以其是奇函数；对于C，f(－x)＝e－x≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于D，f(－x)＝－x sin(－x)＝x sin x＝f(x)，所以其不是奇函数．故选B.2．(2019·南昌联考)函数f(x)＝9x＋13x的图象()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝x对称解析：选B因为f(x)＝9x＋13x＝3x＋3－x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称．3．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)2(x＋1)，x≥0，(x)，x＜0，则f(－7)＝()A．3B．－3C．2D．－2解析：选B因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)2(x＋1)，x≥0，(x)，x＜0，所以f(－7)＝－f(7)＝－log2(7＋1)＝－3.4．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝e x，则g(x)＝() A．e x－e－x B.12(e x＋e－x)C.1 2(e－x－e x)D.12(e x－e－x)解析：选D因为f(x)＋g(x)＝e x，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x，所以g(x)＝12(e x－e－x)．5．设f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2－x，则＝()A．－14B．－12C.1 4D.1 2解析：选C因为f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，所以又当0≤x≤1时，f(x)＝x2－x，所以－12＝－14，则＝14.6．(2019·益阳、湘潭调研)定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(－3,0]时，f(x)＝－x－1，当x∈(0,2]时，f(x)＝log2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)的值等于()A．403B．405C．806D．809解析：选B定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，即函数f(x)的周期为5.又当x∈(0,2]时，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.当x∈(－3,0]时，f(x)＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－1.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝403×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＝403×1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405.7．已知函数f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝ln x，则f________．解析：由已知可得ln1e2＝－2，所以f(－2)．又因为f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)＝ln2.答案：ln28．(2019·惠州调研)已知函数f(x)＝x＋1x－1，f(a)＝2，则f(－a)＝________.解析：法一：因为f(x)＋1＝x＋1 x，设g(x)＝f(x)＋1＝x＋1 x，易判断g(x)＝x＋1x为奇函数，故g(x)＋g(－x)＝x＋1x－x－1x＝0，即f(x)＋1＋f(－x)＋1＝0，故f(x)＋f(－x)＝－2.所以f(a)＋f(－a)＝－2，故f(－a)＝－4.法二：由已知得f(a)＝a＋1a－1＝2，即a＋1a＝3，所以f(－a)＝－a－1a－11＝－3－1＝－4.答案：－49．(2019·陕西一测)若函数f(x)＝ax＋b，x∈[a－4，a]的图象关于原点对称，则函数g(x)＝bx＋ax，x∈[－4，－1]的值域为________．解析：由函数f(x)的图象关于原点对称，可得a－4＋a＝0，即a＝2，则函数f(x)＝2x＋b，其定义域为[－2,2]，所以f(0)＝0，所以b＝0，所以g(x)＝2x，易知g(x)在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g(－1)，g(－4)]，即－2，－12.答案：－2，－1210．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)>0的x的取值范围是____________．解析：当x>0时，lg x>0，所以x>1，当x<0时，由奇函数的对称性得－1<x<0，故填(－1,0)∪(1，＋∞)．答案：(－1,0)∪(1，＋∞)11．f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式．解：当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以当x<0时，f(x)＝2x2＋3x－1.因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0.综上可得f(x)的解析式为f(x)2x2＋3x＋1，x>0，，x＝0，x2＋3x－1，x<0.(1)证明y＝f (x )是周期函数，并指出其周期；(2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值．解：(1)证明：由且f (－x )＝－f (x )，知f(3＋x )＝f 32＋f 32－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期．(2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.B 级1．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为()A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 因为f (x )是最小正周期为2的周期函数，且0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ＝x (x －1)(x ＋1)，所以当0≤x <2时，f (x )＝0有两个根，即x 1＝0，x 2＝1.由周期函数的性质知，当2≤x <4时，f (x )＝0有两个根，即x 3＝2，x 4＝3；当4≤x ≤6时，f (x )＝0有三个根，即x 5＝4，x 6＝5，x 7＝6，故f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7.2．(2019·洛阳统考)若函数f (x )＝ln(e x ＋1)＋ax 为偶函数，则实数a ＝________.解析：法一：(定义法)∵函数f (x )＝ln(e x ＋1)＋ax 为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即ln(e－x＋1)－ax＝ln(e x＋1)＋ax，∴2ax＝ln(e－x＋1)－ln(e x＋1)＝ln e－x＋1e x＋1＝ln1e x＝－x，∴2a＝－1，解得a＝－1 2 .法二：(特殊值法)由题意知函数f(x)的定义域为R，由f(x)为偶函数得f(－1)＝f(1)，∴ln(e－1＋1)－a＝ln(e1＋1)＋a，∴2a＝ln(e－1＋1)－ln(e1＋1)＝ln e－1＋1e＋1＝ln1e＝－1，∴a＝－1 2 .答案：－1 23．已知函数f(x)＝－x2＋2x，x>0，0，x＝0，x2＋mx，x<0是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．解：(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知a－2>－1，a－2≤1，所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．。

高三冲刺复习,函数的奇偶性及周期性(含解析)

2.3函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性2.(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有__________，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个__________，那么这个__________ 就叫做f (x )的最小正周期．(3)周期性常用的结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a ；(3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a .(a >0)1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)、f (－x 0)＝f (x 0)．3．分段函数奇偶性判定时，f (－x 0)＝f (x 0)利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的． [试一试]1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________．2.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2 014)＝________.考点一函数奇偶性的判断例1、（1）判断下列函数的奇偶性．① f (x )＝1－x 2＋x 2－1； ② f (x )＝3－2x ＋2x －3；③ f (x )＝3x－3－x ； ④ f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3； ⑤ f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.(2)已知函数f (x )＝2x －a2x ＋a在其定义域上为奇函数，求a 的值．考点二函数奇偶性的应用例2、 (1)已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.(2)已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．[类题通法] 应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 (1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0___________得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图像和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像及判断另一区间上的单调性．[变式训练1] （1）已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，若f(a)≥f(2)，则实数a的取值范围是________．（2）已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(2)＝1，若f(x＋a)≤1对x∈[－1,1]恒成立，则实数a的取值范围是________．考点三函数的周期性及其应用例3、已知函数f(x)对任意的实数满足：f(x＋3)＝－1f(x)，且当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 014)＝________.[类题通法] 函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．[针对训练2] 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．[课堂练习]1．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝________.2．(2010·江苏高考)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．3．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________.4．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.5．设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[－2,0]上单调递减，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．6、函数f (x )＝ax ＋b 1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫12＝25. ①确定函数f (x )的解析式； ②用定义证明f (x )在(－1,1)上是增函数； ③解不等式f (t －1)＋f (t )<0.2.3函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性2.(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)、f (－x 0)＝f (x 0)．3．分段函数奇偶性判定时，f (－x 0)＝f (x 0)利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的．[试一试]1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是______．答案：13解析：∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.2.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2 014)＝________. 解析：∵f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32，∴f (x ＋3)＝f ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋32＋32＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )． ∴f (x )是以3为周期的周期函数．则f (2 014)＝f (671×3＋1)＝f (1)＝2. 答案：2 考点一函数奇偶性的判断例1、（1）判断下列函数的奇偶性．① f (x )＝1－x 2＋x 2－1； ② f (x )＝3－2x ＋2x －3；③ f (x )＝3x－3－x； ④ f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3； ⑤ f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.(2)已知函数f (x )＝2x －a2x ＋a在其定义域上为奇函数，求a 的值．解：①∵由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1，∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0，即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数． ②∵函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，不关于坐标原点对称，∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．③∵f (x )的定义域为R ，∴f (－x )＝3－x －3x ＝－(3x －3－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．④∵由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，∴f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2(x ＋3)－3＝4－x 2x， ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．⑤易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．(2)已知函数f (x )＝2x －a2x ＋a在其定义域上为奇函数，求a 的值．解析：由f (－x )＝－f (x )，得2－x －a 2－x ＋a ＝－2x －a2x ＋a .于是1a －2x1a ＋2x ＝a －2x a ＋2x ， ∴1a ＝a ， ∴a ＝±1.考点二函数奇偶性的应用例2、 (1)已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.(2)已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．[解析] (1)∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且x ＝1时，y ＝2，∴当x ＝－1时，y ＝－2，即f (－1)＋(－1)2＝－2，得f (－1)＝－3，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. (2)∵f (x )的定义域为[－2,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3.① 又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴f (x )在[－2,2]上递减， ∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m >m 2－1，即－2<m <1.② 综合①②可知，－1≤m <1.[类题通法] 应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 (1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0___________得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值． (4)画函数图像和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像及判断另一区间上的单调性．[变式训练1] （1）已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是________．（2）已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (2)＝1，若f (x ＋a )≤1对x ∈[－1,1]恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：∵y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数， ∴函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上是增函数． ∴当a >0时，由f (a )≥f (2)可得a ≥2，当a <0时，由f (a )≥f (2)＝f (－2)，可得a ≤－2. 所以实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．2.解析：由题意得－2≤x ＋a ≤2对x ∈[－1,1]恒成立，即－2－x ≤a ≤2－x 对x ∈[－1,1]恒成立．当x ∈[－1,1]时，(－2－x )max ＝－2－(－1)＝－1，(2－x )min ＝2－1＝1，所以实数a 的取值范围是[－1,1]．答案：[－1,1]考点三函数的周期性及其应用例3、已知函数f (x )对任意的实数满足：f (x ＋3)＝－1f (x )，且当－3≤x <－1时， f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 014)＝________. [解析] ∵对任意x ∈R ，都有f (x ＋3)＝－1f (x )，∴f (x ＋6)＝f (x ＋3＋3)＝－1f (x ＋3)＝－1－1f (x )＝f (x )，∴f (x )是以6为周期的周期函数，∵当－3≤x <－1时， f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x ， ∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0， f (5)＝f (－1)＝－1， f (6)＝f (0)＝0. ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12)＝…＝f (2 005)＋f (2 006)＋…＋f (2 010)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝1×2 0106＝335.而f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1＋2－1＋0＝2， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝335＋2＝337. [类题通法] 函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．[针对训练2] 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2. (1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]， ∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8.又∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]． [课堂练习]1．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝________. 解析：∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－52＝－f ⎝⎛⎭⎫52＝－f ⎝⎛⎭⎫52－2＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－2×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝－12. 2．(2010·江苏高考)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．解析：设g (x )＝x ，h (x )＝e x ＋a e －x ，因为函数g (x )＝x 是奇函数，则由题意知，函数h (x )＝e x ＋a e －x 为奇函数，又函数f (x )的定义域为R ，∴h (0)＝0，解得a ＝－1.3．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________.解析：观察可知，y ＝x 3cos x 为奇函数，且f (a )＝a 3cos a ＋1＝11，故a 3cos a ＝10.则f (－a )＝－a 3·cos a ＋1＝－10＋1＝－9.4．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________. 解析：法一：∵f (－x )＝f (x )对于x ∈R 恒成立，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |对于x ∈R 恒成立，两边平方整理得ax ＝0对于x ∈R 恒成立，故a ＝0.法二：由f (－1)＝f (1)，得|a －1|＝|a ＋1|得a ＝0.5．设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[－2,0]上单调递减，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．解：由偶函数性质知f (x )在[0,2]上单调递增，且f (1－m )＝f (|1－m |)，f (m )＝f (|m |)，因此f (1－m )<f (m )等价于⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，|1－m |<|m |.解得：12<m ≤2. 因此实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤12，2. 6、函数f (x )＝ax ＋b 1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫12＝25. ①确定函数f (x )的解析式；②用定义证明f (x )在(－1,1)上是增函数； ③解不等式f (t －1)＋f (t )<0. 【思路点拨】①利用f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫12＝25列方程组，求出a ，b ，②设出－1<x 1<x 2<1，比较f (x 2)与f (x 1)的大小，由定义得出结论． ③利用单调性把函数值关系转化为变量t 的关系，求出t .[解析] ①依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫12＝25，即⎩⎪⎨⎪⎧b1＋02＝0，a 2＋b1＋14＝25⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.所以f (x )＝x 1＋x 2.②证明：任取－1<x 1<x 2<1，则f (x 2)－f (x 1)＝x 21＋x 22－x 11＋x 21＝(x 2－x 1)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22).因为－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0,1＋x 21>0,1＋x 22>0，又因为－1<x 1x 2<1，所以1－x 1x 2>0，所以f (x 2)－f (x 1)>0，所以f (x )在(－1,1)上是增函数．③f (t －1)<－f (t )＝f (－t )．因为f (x )在(－1,1)上是增函数，所以－1<t －1<－t <1，解得0<t <12.。

2022年高考数学一轮复习专题3-3 函数的奇偶性与周期性(含答案解析)

又由，可得， , ,
则，
所以 .
故选：C.
【点睛】本题考查函数奇偶性与对称性，周期性，解题关键是由奇函数的性质和对称性得出函数为周期函数．
12.奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则＝（）
A.﹣2B.﹣1C.0D.1
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意和函数的奇偶性，得到函数是周期为4的周期函数，进而利用函数的周期性，求得的值，即可得到答案．
∴1＝2－，∴a＝2.
（2）由（1）知f(x)＝x－，
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．
f(－x)＝－x－＝－x＋＝－(x－ )＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
【点睛】本题考查函数解析式中参数的求解，利用奇偶性的定义判断函数奇偶性，属综合基础题.
高频考点二：函数奇偶性的应用
对于选项 ,令，则．
在中，将换为，得，
【点睛】本题考查利用函数周期性求函数值，涉及函数奇偶性的应用，属综合基础题.
14.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（）
A.2019B.1C.0D.-1
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意推导出函数的对称性和周期性，可得出该函数的周期为，于是得出
可得出答案．
【详解】函数是上的奇函数，则，
对于D选项，令，则，，且，
所以，函数为非奇非偶函数.
故选：B.
【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，考查函数奇偶性定义的应用，考查推理能力，属于基础题.
【知识拓展】
（1）奇、偶函数定义域的特点．
由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

函数的奇偶性与周期性专题及答案

函数的奇偶性与周期性专题一、选择题1．设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)等于( )．A ．3B ．1C ．－1D ．－32．已知定义在R 上的奇函数，f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为 ( )．A ．－1B ．0C ．1D ．23．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3,5]时，f (x )＝2－|x －4|，则下列不等式一定成立的是 ( )．A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3 B ．f (sin 1)<f (cos 1)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6D ．f (cos 2)>f (sin 2)4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－2－x，x ≥0，2x －1，x <0，则该函数是 ( )．A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减5．已知f (x )是定义在R 上的周期为2的周期函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝4x －1，则f (－5.5)的值为( )A ．2B ．－1C ．－12 D ．16．设函数D (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是 ( )．A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数 D ．D (x )不是单调函数二、填空题7．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.8．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.9．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，当x ∈[0,5]时，函数y ＝f (x )的图象如图所示，则使函数值y ＜0的x 的取值集合为________．10．设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4的所有x 之和为________．三、解答题11．已知f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意x ，y ，f (x )都满足f (xy )＝yf (x )＋xf (y )． (1)求f (1)，f (－1)的值； (2)判断函数f (x )的奇偶性．12．已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－2.(1)求证f (x )是奇函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．13.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．14．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)．(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝12x，求使f(x)＝－12在[0,2 014]上的所有x的个数．函数的奇偶性与周期性专题及答案一、选择题1．设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)等于( )．A ．3B ．1C ．－1D ．－3 解析由f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝0.则b ＝－1，f (x )＝2x ＋2x －1，f (－1)＝－f (1)＝－3. 答案 D2．已知定义在R 上的奇函数，f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为 ( )．A ．－1B ．0C ．1D ．2 解析 (构造法)构造函数f (x )＝sin π2x ，则有f (x ＋2)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2x ＋＝－sinπ2x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin π2x 是一个满足条件的函数，所以 f (6)＝sin 3π＝0，故选B. 答案 B3．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3,5]时，f (x )＝2－|x －4|，则下列不等式一定成立的是 ( )．A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3 B ．f (sin 1)<f (cos 1)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6 D ．f (cos 2)>f (sin 2)解析当x ∈[－1,1]时，x ＋4∈[3,5]，由f (x )＝f (x ＋2)＝f (x ＋4)＝2－|x ＋4－4|＝2－|x |，显然当x ∈[－1,0]时，f (x )为增函数；当x ∈[0,1]时，f (x )为减函数，cos 2π3＝－12，sin 2π3＝32>12，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3.答案 A4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－2－x，x ≥0，2x －1，x <0，则该函数是 ( )．A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析当x >0时，f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x <0时，f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．当x ＝0时，f (0)＝0，故f (x )为奇函数，且f (x )＝1－2－x 在[0，＋∞)上为增函数，f (x )＝2x －1在(－∞，0)上为增函数，又x ≥0时1－2－x ≥0，x <0时2x －1<0，故f (x )为R 上的增函数．答案 C5．已知f (x )是定义在R 上的周期为2的周期函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝4x －1，则f (－5.5)的值为( )A ．2B ．－1C ．－12 D ．1解析f (－5.5)＝f (－5.5＋6)＝f (0.5)＝40.5－1＝1. 答案 D6．设函数D (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是 ( )．A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数 D ．D (x )不是单调函数解析显然D (x )不单调，且D (x )的值域为{0,1}，因此选项A 、D 正确．若x 是无理数，－x ，x ＋1是无理数；若x 是有理数，－x ，x ＋1也是有理数．∴D (－x )＝D (x )，D (x ＋1)＝D (x )．则D (x )是偶函数，D (x )为周期函数，B 正确，C 错误．答案 C 二、填空题7．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.解析由题意知，函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则f (1)＝f (－1)，∴1－|1＋a |＝1－|－1＋a |，∴a ＝0. 答案 08．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.解析因为y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且x ＝1时，y ＝2，所以当x ＝－1时，y ＝－2，即f (－1)＋(－1)2＝－2，得f (－1)＝－3，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. 答案－19．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，当x ∈[0,5]时，函数y ＝f (x )的图象如图所示，则使函数值y ＜0的x 的取值集合为________．解析由原函数是奇函数，所以y ＝f (x )在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y ＝f (x )在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y ＜0的x 的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．答案 (－2,0)∪(2,5)10．设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4的所有x 之和为________．解析∵f (x )是偶函数，f (2x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4， ∴f (|2x |)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4，又∵f (x )在(0，＋∞)上为单调函数， ∴|2x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4，即2x ＝x ＋1x ＋4或2x ＝－x ＋1x ＋4，整理得2x 2＋7x －1＝0或2x 2＋9x ＋1＝0，设方程2x 2＋7x －1＝0的两根为x 1，x 2，方程2x 2＋9x ＋1＝0的两根为x 3，x 4. 则(x 1＋x 2)＋(x 3＋x 4)＝－72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝－8.答案－8 三、解答题11．已知f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意x ，y ，f (x )都满足f (xy )＝yf (x )＋xf (y )．(1)求f(1)，f(－1)的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性．解(1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，所以令x＝y＝1，得f(1)＝0，令x＝y＝－1，得f(－1)＝0.(2)令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)，代入f(－1)＝0得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数．12．已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.(1)求证f(x)是奇函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明令x＝y＝0，知f(0)＝0；再令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)为奇函数．(2)解任取x1＜x2，则x2－x1＞0，所以f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)为减函数．而f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.所以f(x)max＝f(－3)＝6，f(x)min＝f(3)＝－6.13.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．解析(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．(2)当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，又f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]．(3) ∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1又f(x)是以4为周期的周期函数．∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2013) ＝f (2 012)＋f (2 013)＝f (0)＋f (1)＝1.14．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )． (1)求证：f (x )是周期函数；(2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12在[0,2 014]上的所有x 的个数．(1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数． (2)解当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1， ∴f (－x )＝12(－x )＝－12x .∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝12x .故f (x )＝12x (－1≤x ≤1)．又设1<x <3，则－1<x －2<1， ∴f (x －2)＝12(x －2)．又∵f (x )是以4为周期的周期函数∴f (x －2)＝f (x ＋2)＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)，∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，－1≤x ≤1，－12(x －2)，1<x <3.由f (x )＝－12，解得x ＝－1.∵f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z)．令0≤4n －1≤2 014，则14≤n ≤2 0154.又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤503(n ∈Z)， ∴在[0,2 014]上共有503个x 使f (x )＝－12.。

高考数学专题培优20讲(含答案)

培优点一函数的图象与性质1.单调性的判断例１：（1）函数()212log (4)f x x -=的单调递增区间是（）A ．(0,)+∞B ．(0),-∞C ．(2,)+∞D ．(),2-∞-（2）223y x x +-+=的单调递增区间为________．【答案】（1）D ；（2）(],1-∞-，[]0,1【解析】（1）因为12log y t =，0t >在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数24t x =-的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(),2-∞-．（2）由题意知，当0x ≥时，222314()y x x x =-+=--++；当0x <时，222314()y x x x =-+=-+-+，二次函数的图象如图．由图象可知，函数223y x x +-+=在(],1-∞-，[]0,1上是增函数．2．利用单调性求最值例2：函数1y x x =+-________．【答案】1【解析】易知函数1y x x =+-[1,)+∞上为增函数，∴1x =时，min 1y =．3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式例3：（1）已知函数()f x 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当211x x >>时，()()2121()0f x f x x x -⋅-⎡⎤⎣⎦<恒成立，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c a b >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >>（2）定义在R 上的奇函数()y f x =在(0,)+∞上递增，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则满足19log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的集合为________________．【答案】（1）D ；（2）1|0133x x x ⎧⎫<<<<⎨⎬⎭⎩或【解析】（1）根据已知可得函数()f x 的图象关于直线=1x 对称，且在(1,)+∞上是减函数，因为1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且52<<32，所以b a c >>．（2）由题意知102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由19log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭得191log 2x >或191log 02x -<<解得103x <<或13x <<．４．奇偶性例４：已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】因为()f x 是偶函数，所以其图象关于y 轴对称，又()f x 在[0,)+∞上单调递增，1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以1|21|3x -<，所以1233x <<．５．轴对称例５：已知定义域为R 的函数()y f x =在[]0,7上只有1和3两个零点，且()2y f x =+与()7y f x =+都是偶函数，则函数()y f x =在[]0,2013上的零点个数为（）A ．404B ．804C ．806D ．402【答案】C 【解析】()2f x +，()7f x +为偶函数()()22f x f x ∴+=-+，()()77f x f x +=-+，()f x ∴关于2x =，7x =轴对称，()f x ∴为周期函数，且()27210T =⋅-=，∴将[]0,2013划分为[)[)[)[]0,1010,202000,20102010,2013()f x 关于2x =，7x =轴对称()()4f x f x ∴=-，()()14f x f x =- ()()160f f ==，()()()814860f f f =-==，()()()34310f f f =-==∴在[)0,10中只含有四个零点，而[)[)[)0,1010,202000,2010共201组所以2014804N =⨯=；在[]2010,2013中，含有零点()()201110f f ==，()()201330f f ==共两个，所以一共有806个零点６．中心对称例６：函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是奇函数，则（） A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()()2f x f x =+D ．()3f x +是奇函数【答案】D【解析】从已知条件入手可先看()f x 的性质，由()1f x +，()1f x -为奇函数分别可得到：()()11f x f x +=--+，()()11f x f x -=---，所以()f x 关于()1,0，()1,0-中心对称，双对称出周期可求得()2114T =⋅--=⎡⎤⎣⎦，所以C 不正确，且由已知条件无法推出一定符合A ，B ．对于D 选项，因为4T =，所以()()()511f x f x f x +=+=--+，进而可推出()f x 关于()3,0中心对称，所以()3f x +为()f x 图像向左平移3个单位，即关于()0,0对称，所以()3f x +为奇函数，D 正确．７．周期性的应用例７：已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()()1g x f x =-，则()()20172019f f +的值为（） A ．1- B ．1 C ．0 D ．无法计算【答案】C【解析】由题意，得(()1)g x f x ---=，∵()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，∴()()g x g x -=-，()()f x f x -=，∴()()11f x f x =--+， ∴()(2)f x f x +=-，∴()()4f x f x =+，∴()f x 的周期为4， ∴()20171f f =（），()()20193(1)f f f ==-，又∵()1100()f f g -===（），∴()()201720190f f +=．一、选择题1．若函数()2||f x x a =+的单调递增区间是[3,)+∞，则a 的值为（） A ．2- B ．2C ．6-D ．6【答案】C【解析】由图象易知函数()2||f x x a =+的单调增区间是,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，令=32a -，∴6a =-．2．已知函数2(og 1)l y ax =-在()1,2上是增函数，则实数a 的取值范围是（） A ．(]0,1 B ．[]1,2C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞【答案】C【解析】要使2(og 1)l y ax =-在()1,2上是增函数，则0a >且10a -≥，即1a ≥． 3．设函数()()()ln 1ln 1f x x x =-+-，则()f x 是（） A ．奇函数，且在(0,1)内是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)内是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)内是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)内是减函数【答案】A【解析】易知()f x 的定义域为()1,1-，且()()()ln 1l (n 1)f x x x f x -+-=-=-，则()y f x =为对点增分集训奇函数，又ln 1ln 1()()y x y x =+=--与在(0,1)上是增函数，所以()()()ln 1ln 1f x x x =-+-在(0,1)上是增函数．4．已知函数()y f x =的图象关于1x =对称，且在(1,)+∞上单调递增，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】B【解析】∵函数图象关于1x =对称，∴1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()y f x =在(1,)+∞上单调递增，∴5(2)(3)2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即b a c <<，故选B ．5．已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()2(11)f g -+=，())114(f g -=+，则()1g 等于（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】B【解析】由已知得()()11f f -=-，()()11g g -=，则有()()()()112114f g f g -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得()13g =，故选B ．6．函数1()cos (0)f x x x x x x ⎛⎫=--π≤≤π≠ ⎪⎝⎭且的图象可能为（）【答案】D【解析】因为11()cos()cos ()f x x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x -π≤≤π且0x ≠，所以函数()f x 为奇函数，排除A ，B ．当x =π时，1()cos 0f x ⎛⎫=π-π< ⎪π⎝⎭，排除C ，故选D ．7．奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数，且()12f =，则()()45f f +的值为（） A ．2 B ．1 C ．1- D ．2-【答案】A【解析】∵()1f x +为偶函数，∴1()()1f x f x -=++，则(()2)f x f x +-=，又()y f x =为奇函数，则()2()()f x f x f x -=+-=，且()00f =．从而()2(()4)f x f x f x -+=+=，()y f x =的周期为4． ∴()()()()4501022f f f f +=+=+=，故选A ．8．函数()f x 的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x 的解析式为（） A ．()1e x f x += B ．()1e x f x -= C ．()1e x f x -+= D ．()1e x f x --=【答案】D【解析】与e x y =的图象关于y 轴对称的函数为e x y -=．依题意，()f x 的图象向右平移一个单位，得e x y -=的图象．∴()f x 的图象由e x y -=的图象向左平移一个单位得到．∴()1)1(e e x x f x +---==．9．使2)og (l 1x x <+-成立的x 的取值范围是（） A ．()1,0- B ．[)1,0-C ．()2,0-D ．[)2,0-【答案】A【解析】在同一坐标系内作出2(log )y x -=，1y x =+的图象，知满足条件的,0()1x ∈-，故选A ．10．已知偶函数()f x 对于任意R x ∈都有()()1f x f x +=-，且()f x 在区间[]0,1上是单调递增的，则()65f -．，1()f -，()0f 的大小关系是（） A ．()0 6.5()()1f f f <-<- B ．()6.5()()01f f f -<<- C ．()()(60)1.5f f f -<-< D ．()10()( 6.5)f f f -<<-【答案】A【解析】由()()1f x f x +=-，得()1(()2)f x f x f x -+=+=，∴函数()f x 的周期是2． ∵函数()f x 为偶函数，∴ 6.50.5()()(0.)5f f f -=-=，()()11f f -=．∵()f x 在区间[]0,1上是单调递增的，∴()()00.5(1)f f f <<，即()0 6.5()()1f f f <-<-． 11．对任意的实数x 都有()()()221f x f x f -=+，若(1)y f x =-的图象关于1x =对称，且()02f =，则()()20152016f f +=（） A ．0 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】(1)y f x =-的图象关于1x =对称，则函数()y f x =的图象关于0x =对称，即函数()f x 是偶函数，令1x =-，则()121(12)()f f f --=+-， ∴()()()11210f f f -==，即()10f ＝，则()()2(210)f x f x f -=+=，即()2()f x f x +=，则函数的周期是2，又()02f =，则()()()()2015201610022f f f f +=+=+=．12．已知函数()e 1x f x =-，()243g x x x =-+-，若存在()()f a g b =，则实数b 的取值范围为（） A ．[0,3]B ．(1,3)C．2⎡⎣ D．(2+【答案】D【解析】由题可知()e 11x f x =->-，()2243211()g x x x x -=---++≤=，若()()f a g b =，则(),1(]1g b -∈，即2431b b -->-+，即2420b b +<-，解得22b <+b的取值范围为(2+，故选D ．二、填空题13．设函数()10010x x x f x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()21()g x x f x -=，则函数()g x 的递减区间是_______．【答案】[0,1)【解析】由题意知()22111g x x x x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，()g x 的减区间是[0,1)．14．若函数()R ()f x x ∈是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为()()101sin 12x x x xx f x ⎧-≤≤⎪=⎨π<≤⎪⎩，则294146f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________．【答案】516【解析】由于函数()f x 是周期为4的奇函数，所以294137373724244646435si 64n 161666f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯-+⨯-=-+-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π-⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=⎝⎭．15．设函数()||f x x a =+，()1g x x =-，对于任意的R x ∈，不等式()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】[)1,-+∞【解析】如图作出函数()||f x x a =+与()1g x x =-的图象，观察图象可知：当且仅当1a -≤，即1a ≥-时，不等式()()f x g x ≥恒成立，因此a 的取值范围是[)1,-+∞．16．设定义在R 上的函数()f x 同时满足以下条件：①()0()f x f x +-=；②()()2f x f x =+；③当01x ≤≤时，()21x f x =-，则()1351(2)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．【解析】依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，∴()1351(2)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()1111(0)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1111(0)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()11021102121212f f f ⎛⎫=++=-++= ⎪⎝⎭--三、解答题17．已知函数()ln(2)af x x x=+-，其中a 是大于0的常数．（1）求函数()f x 的定义域；（2）当4()1,a ∈时，求函数()f x 在[2,)+∞上的最小值；（3）若对任意,[)2x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）ln 2a；（3）(2,)+∞．【解析】（1）由20a x x+->，得220x x ax -+>，当1a >时，220x x a +>-恒成立，定义域为(0,)+∞，当1a =时，定义域为0{|}1x x x >≠且，当01a <<时，定义域为{|011x x x <<>．（2）设()2a g x x x=+-，当4()1,a ∈，,[)2x ∈+∞时，∴222()10a x ag x x x -'=-=>．因此()g x 在[2,)+∞上是增函数，∴()f x 在[2,)+∞上是增函数．则min ()(2)ln 2af x f ==．（3）对任意,[)2x ∈+∞，恒有()0f x >．即21ax x+->对,[)2x ∈+∞恒成立． ∴23a x x >-．令()23h x x x =-，,[)2x ∈+∞．由于239()24h x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭在[2,)+∞上是减函数，∴()()max 22h x h ==．故2a >时，恒有()0f x >．因此实数a 的取值范围为(2,)+∞．18．设()f x 是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且()1()1f x f x =+-，当10x -≤≤时，()f x x =-．（1）判定()f x 的奇偶性；（2）试求出函数()f x 在区间[]1,2-上的表达式．【答案】（1）()f x 是偶函数；（2）()[]()[]1,00,121,2x x xx x x f x ⎧-∈-⎪=∈⎨⎪-+∈⎩．【解析】（1）∵()1()1f x f x =+-，∴(()2)f x f x =+-．又()2()f x f x +=，∴()()f x f x -=．又()f x 的定义域为R ，∴()f x 是偶函数．（2）当1[]0,x ∈时，1,[]0x --∈，则()()f x f x x =-=；进而当12x ≤≤时，120x -≤-≤，()2()2()2f x f x x x ==-=---+．故()[]()[]1,00,121,2x x xx x x f x ⎧-∈-⎪=∈⎨⎪-+∈⎩．培优点二函数零点1．零点的判断与证明例1：已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--，求证：()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4．【答案】见解析【解析】()111x f x x x-'=-=，()1,x ∈+∞，()0f x '∴>，()f x ∴在()1,+∞单调递增，()31ln30f =-<，()42ln 20f =->，()()340f f ∴<，()03,4x ∴∃∈，使得()00f x =因为()f x 单调，所以()f x 的零点唯一．2．零点的个数问题例2：已知函数()f x 满足()()3f x f x =，当[)1,3x ∈，()ln f x x =，若在区间[)1,9内，函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（） A ．ln 31,3e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．ln 31,93e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．ln 31,92e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ln 3ln 3,93⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】()()()33x f x f x f x f ⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭，当[)3,9x ∈时，()ln 33x x f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()ln 13ln 393xx f x xx ≤<⎧⎪=⎨≤<⎪⎩，而()()g x f x ax =-有三个不同零点⇔()y f x =与y ax =有三个不同交点，如图所示，可得直线y ax =应在图中两条虚线之间，所以可解得：ln3193ea <<3．零点的性质例3：已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)2220,121,0x x f x xx ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()2f x f x +=，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为（） A ．5- B ．6- C ．7- D ．8-【答案】C【解析】先做图观察实根的特点，在[)1,1-中，通过作图可发现()f x 在()1,1-关于()0,2中心对称，由()()2f x f x +=可得()f x 是周期为2的周期函数，则在下一个周期()3,1--中，()f x 关于()2,2-中心对称，以此类推。

函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)(含答案)

函数的基本性质一、知识点1．对函数单调性的理解(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；(2) 一些单调性的判断规则：①若f (x)与g(x)在定义域内都是增函数(减函数)，那么f (x) + g(x)在其公共定义域内是增函数(减函数)即“同加异减”减时和第一个单调性相同。

②复合函数的单调性规则是“同增异减”。

2．函数的奇偶性的定义：(1)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = —f (x)，则称f (x)为.奇函数的图象关于对称。

(2)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = f (x)，则称f (x)为.偶函数的图象关于对称。

(3)通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)。

3．奇偶函数图象的对称性(1)若y = f (a + x)是偶函数，则 f (a + x) = f (a - x) o f (2a - x) = f (x) o f (x)的图象关于直线x= a对称；(2)若y = f (b + x)是偶函数，则 f (b - x) = - f (b + x) o f (2b - x) = - f (x) o f (x)的图象关于点(b,0)中心对称；4.若函数满足f Q + a)= f Q)，则函数的周期为T=a。

二、例题讲解1.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,+ 8)上单调递减的函数是()A. y = 2|x|B. y = x3C. y = -x2+1D. y=cosx【答案】C【解析】试题分析：偶函数需满足f (-x) = f (x)，由此验证可知A,C,D都是偶函数，但要满足在区间(0,+ 8) 上单调递减，验证可知只有C符合.考点：偶函数的判断，函数的单调性.2. f (x) = x2-2x + 4的单调减区间是.【答案】(fl) 【解析】试题分析：将函数进行配方得/(，) =，2—2x + 4 = (x —1)2+3,又称轴为x = l,函数图象开口向上，所以函数的单调减区间为(-8,1) . 考点：二次函数的单调性.3 .函数y = log (%2 +2% —3)的单调递减区间为()2A. (— °°, —3)B. (— °°, — 1)C. (1, +°°)D. ( — 3, — 1) 【答案】A 【解析】试题分析：由x2 + 2x —3>0,得％<—3或x>l, .♦./(%)的定义域为(―8,—3)U(L+8).y = log (%2 + 2% —3)可看作由 y = log 沈和 M = %2 + 2% — 3 复合而成的，u - X2 +2x-3 = (x +1)2 -4 2 2在(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，又y = log "在定义域内单调递增，.・.y = log (%2+2%-3)在2 2(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，所以y = log (%2+ 2% —3)的单调递减区间是(―叫—3),故选A.2考点：复合函数的单调性.4 .已知丁 = %2+2(〃 — 2)% + 5在区间(4,+8)上是增函数，则a 的范围是( )【答案】B 【解析】试题分析：函数y = %2+2(〃-2)% + 5的图像是开口向上以x = 2-a 为对称轴的抛物线，因为函数在区间(4,+8)上是增函数，所以2 —a V 4,解得“之―2 ,故A 正确。

函数的奇偶性专题讲义含答案

函数的奇偶性专题一、判断函数奇偶性例1、（1）函数)(x f ＝111122+++-++x x x x 的图象( ).A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线x ＝1对称（2）函数⎩⎨⎧>-+-<++=0,320,32)(22x x x x x x x f 的奇偶性．二、利用函数奇偶性求解析式例2、已知函数)(x f 是R 上的奇函数，且当0x >时，32()21f x x x =+-，求)(x f 的解析式。

思考：若)(x f 是偶函数，能求出)(x f 的解析式吗？例3、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1f xg x x +=-，求()f x 与()g x 的解析式．三、函数奇偶性与函数其它性质综合应用例4、已知函数2()1ax b f x x +=+是定义在(1,1)-上的奇函数，且12().25f = （1）求()f x 的解析式。

（2）用定义法证明()f x 在(1,1)-上是增函数。

（3）若(1)()0,f t f t -+<求t 的取值范围。

四、抽象函数奇偶性问题例5、函数)(x f 的定义域为D ＝{}0≠∈x R x ，且满足对于任意D x x ∈21,，有1212()()()f x x f x f x ⋅=+。

（1）求(1)f 及(1)f -的值；（2）判断函数)(x f 的奇偶性，并证明。

【强化训练】1.函数①xx x f 1)(-= ②1)(+=x x f ③1)(24-+=x x x f ④[)10,10,1)(2-∈+=x x x f ⑤0)(=x f ⑥2)1(3)1()(23++-+=x x x f⑦xxx x f -+⋅-=11)1()(。

上述函数中为奇函数的是（）。

A. ①⑥⑦ B .①⑥ C. ①⑤⑦ D. ①⑤2.设()f x 是定义在Ｒ上的奇函数，当0x ≤时，()22f x x x =-，则()1f =（）。

高三数学专项复习函数的奇偶性与周期性专项练习题答案

高三数学专项复习函数的奇偶性与周期性一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )·f (x ＋2)＝13，f (1)＝2，则f (99)＝( )A ．13B ．2C.132D.213解析：由f (x )·f (x ＋2)＝13，知f (x ＋2)·f (x ＋4)＝13，所以f (x ＋4)＝f (x )，即f (x )是周期函数，周期为4.所以f (99)＝f (3＋4×24)＝f (3)＝13f (1)＝132. 答案：C2．(2010·郑州)定义在R 上的函数f (x )满足：对于任意α，β∈R ，总有f (α＋β)－[f (α)＋f (β)]＝2010，则下列说法正确的是( )A ．f (x )－1是奇函数B ．f (x )＋1是奇函数C ．f (x )－2010是奇函数D ．f (x )＋2010是奇函数解析：依题意，取α＝β＝0，得f (0)＝－2010；取α＝x ，β＝－x ，得f (0)－f (x )－f (－x )＝2010，f (－x )＋2010＝－[f (x )－f (0)]＝－[f (x )＋2010]，因此函数f (x )＋2010是奇函数，选D.答案：D3．设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知x ∈(0,1)时，f (x )＝log 12(1－x )，则函数f (x )在(1,2)上( )A ．是增函数，且f (x )<0B ．是增函数，且f (x )>0C ．是减函数，且f (x )<0D ．是减函数，且f (x )>0解析：由题意得当x ∈(1,2)时，0<2－x <1,0<x －1<1，f (x )＝f (－x )＝f (2－x )＝log 12[1－(2－x )]＝log 12(x －1)>0，则可知当x ∈(1,2)时，f (x )是减函数，选D.答案：D4．设f (x )是连续的偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x ＋4的所有x 之和为( ) A ．－3 B ．3C ．－8D ．8 解析：因为f (x )是连续的偶函数，且x >0时是单调函数，由偶函数的性质可知若f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ＋4，只有两种情况：①x ＝x ＋3x ＋4；②x ＋x ＋3x ＋4＝0.由①知x 2＋3x －3＝0，故两根之和为x 1＋x 2＝－3.由②知x 2＋5x ＋3＝0，故其两根之和为x 3＋x 4＝－5.因此满足条件的所有x 之和为－8.答案：C5．已知奇函数f (x )在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，那么函数f (x )在区间[－7，－3]上() A ．是增函数且最小值为－5B ．是增函数且最大值为－5C ．是减函数且最小值为－5D ．是减函数且最大值为－5解析：∵f (x )为奇函数，∴f (x )的图象关于原点对称．∵f (x )在[3,7]上是增函数，∴f (x )在[－7，－3]上也是增函数．∵f (x )在[3,7]上的最小值为5，∴由图可知函数f (x )在[－7，－3]上有最大值－5.答案：B评析：本题既涉及到函数的奇偶性，又涉及到函数的单调性，还涉及到函数的最值，是一道综合性较强的题目，由于所给的函数没有具体的解析式，因此我们画出函数f (x )在区间[3,7]上的示意图，由图形易得结论．6．(2010·新课标全国)设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( )A ．{x |x <－2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2}解析：当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝(－x )3－8＝－x 3－8，又f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝－x 3－8，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3－8，x ≥0－x 3－8，x <0. ∴f (x －2)＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)3－8，x ≥2－(x －2)3－8，x <2， ⎩⎨⎧ x ≥2(x －2)3－8>0或⎩⎨⎧x <2－(x －2)3－8>0，解得x >4或x <0.故选B.答案：B二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．(2010·江苏)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．解析：设g (x )＝x ，h (x )＝e x ＋a e －x ，因为函数g (x )＝x 是奇函数，则由题意知，函数h (x )＝e x ＋a e －x 为奇函数，又函数f (x )的定义域为R ，∴h (0)＝0，解得a ＝－1.答案：－18．已知函数f (x ＋1)是奇函数，f (x －1)是偶函数，且f (0)＝2，则f (4)＝________.解析：依题意有f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝f (x －1)，所以f (4)＝f (－(－3)＋1)＝－f (－2)＝－f (－1－1)＝－f (0)＝－2.答案：－29．(2010·湖北八校)设函数f (x )的定义域、值域分别为A 、B ，且A ∩B 是单元集，下列命题①若A ∩B ＝{a }，则f (a )＝a ；②若B 不是单元集，则满足f [f (x )]＝f (x )的x 值可能不存在；③若f (x )具有奇偶性，则f (x )可能为偶函数；④若f (x )不是常数函数，则f (x )不可能为周期函数．其中，正确命题的序号为________．解析：如f (x )＝x ＋1，A ＝[－1,0]，B ＝[0,1]满足A ∩B ＝{0}，但f (0)≠0，且满足f [f (x )]＝f (x )的x 可能不存在，①错，②正确；如，f (x )＝1，A ＝R ，B ＝{1}，则f (x )＝1，A ＝R 是偶函数，③正确；如f (x )＝x －2k ＋1，A ＝[2k －1,2k ]，B ＝[0,1]，k ∈Z ，f (x )是周期函数，但不是常数函数，所以④错误．答案：②③10．对于定义在R 上的函数f (x )，有下述四个命题，其中正确命题的序号为________．①若f (x )是奇函数，则f (x －1)的图象关于点A (1,0)对称；②若对x ∈R ，有f (x ＋1)＝f (x －1)，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称；③若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，则f (x )为偶函数；④函数y ＝f (1＋x )与函数y ＝f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称．解析：f (x －1)的图象是由f (x )的图象向右平移一个单位而得到，又f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，所以f (x －1)的图象关于点A (1,0)对称，故①正确；由f (x ＋1)＝f (x －1)可知f (x )的周期为2，无法判断其对称轴，故②错误；f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，则f (x )关于y 轴对称，故f (x )为偶函数，③正确；y ＝f (1＋x )的图象是由y ＝f (x )的图象向左平移一个单位后得到，y ＝f (1－x )是由y ＝f (x )的图象关于y 轴对称后再向右平移一个单位而得到，两者图象关于y 轴对称，故④错误．答案：①③三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数． (1)求a 、b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．分析：(1)由f (0)＝0可求得b ，再由特殊值或奇函数定义求得a ；(2)先分析函数f (x )的单调性，根据单调性去掉函数符号f ，然后用判别式解决恒成立问题．解：(1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即b －1a ＋2＝0⇒b ＝1，所以f (x )＝1－2xa ＋2x ＋1，又由f (1)＝－f (－1)知1－2a ＋4＝－1－12a ＋1⇒a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝1－2x2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1，易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f (x )是奇函数，从而不等式：f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)，因f (x )为减函数，由上式推得：t 2－2t >k －2t 2，即对t ∈R 有：3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0⇒k <－13. 12．设函数f (x )的定义域为R ，对于任意的实数x ，y ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x ＞0时，f (x )＜0，求证：(1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．证明：(1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝f (0)＋f (0)，∴f (0)＝0.再令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，∵当x ＞0时，f (x )＜0，∴f (x 2－x 1)＜0.又∵对于任意的实数x ，y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )且f (x )为奇函数， ∴f (x 2－x 1)＝f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)．∴f (x 2)－f (x 1)＜0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．13．设函数f (x )的定义域关于原点对称，且满足①f (x 1－x 2)＝f (x 1)f (x 2)＋1f (x 2)－f (x 1)； ②存在正常数a ，使f (a )＝1.求证：(1)f (x )是奇函数；(2)f (x )是周期函数，并且有一个周期为4a .证明：(1)不妨令x ＝x 1－x 2，则f (－x )＝f (x 2－x 1)＝f (x 2)f (x 1)＋1f (x 1)－f (x 2)＝－f (x 1)f (x 2)＋1f (x 2)－f (x 1)＝－f (x 1－x 2) ＝－f (x )．∴f (x )是奇函数．(2)要证f (x ＋4a )＝f (x )，可先计算f (x ＋a )，f (x ＋2a )，∵f (x ＋a )＝f [x －(－a )]＝f (－a )f (x )＋1f (－a )－f (x )＝－f (a )f (x )＋1－f (a )－f (x )＝f (x )－1f (x )＋1，(f (a )＝1)．∴f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝f(x＋a)－1f(x＋a)＋1＝f(x)－1f(x)＋1－1f(x)－1f(x)＋1＋1＝－1f(x).∴f(x＋4a)＝f[(x＋2a)＋2a]＝1－f(x＋2a)＝f(x)故f(x)是以4a为周期的周期函数．。

高考数学复习、高中数学函数的奇偶性与周期性附答案解析

第3节函数的奇偶性与周期性基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.下列函数中，既是偶函数，又在(0，1)上单调递增的函数是( )A.y ＝|log 3x |B.y ＝x 3C.y ＝e |x |D.y ＝cos |x |2.(2019·河北“五个一”名校联盟二模)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎨⎧log 3（x ＋1），x ≥0，g （x ），x <0，则g (－8)＝( ) A.－2 B.－3 C.2 D.33.已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(－2，0)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)等于( )A.－2B.2C.－98D.984.已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x ).若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a <b <cB.c <b <aC.b <a <cD.b <c <a5.(2019·山东、湖北部分重点中学模拟)已知定义在R 上的函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减，且f (x ＋1)是偶函数，不等式f (m ＋2)≥f (x －1)对任意的x ∈[－1，0]恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.[－3，1]B.[－4，2]C.(－∞，－3]∪[1，＋∞)D.(－∞，－4]∪[2，＋∞) 6.(2017·全国II 卷文科·9)已知函数f(x)=lnx+ln(2-x),则 ( )A.f(x)在(0,2)单调递增B.f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称二、多项选择题7.已知函数()f x 是偶函数，且(5)(5)f x f x -=+，若()()sin g x f x x π=，()()cos h x f x x π=，则下列说法正确的是（）A ．函数()y g x =是偶函数B ．10是函数()f x 的一个周期C ．对任意的x ∈R ，都有(5)(5)g x g x +=-D ．函数()y h x =的图象关于直线5x =对称 8．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()2f x f x +=-，且函数()1y f x =-为奇函数，则（）A ．函数()y f x =是周期函数B ．函数()y f x =的图象关于点()1,0-对称C ．函数()y f x =为R 上的偶函数D ．函数()y f x =为R 上的单调函数三．填空题9.若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.10.若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________.11.设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是________.12.设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x ，则有①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________.能力提升题组(建议用时：20分钟)13. (2018·全国Ⅱ卷)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A.－50B.0C.2D.50 14. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且对于任意的x ∈[0，＋∞)都满足f(x ＋2)＝f(x)．若当x ∈[0，2)时，f(x)＝|x 2－x －1|，则函数y ＝f(x)－1在区间[－2，4]上的零点个数为__________．15.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 成立. (1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期；(2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值；(3)若g (x )＝x 2＋ax ＋3，且y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，求实数a 的值.16．关于函数的对称性有如下结论：对于给定的函数(),y f x x D =∈，如果对于任意的x D ∈都有()()2f a x f a x b ++-=成立(,a b 为常数），则函数()f x 关于点(),a b 对称．（1）用题设中的结论证明：函数()213x f x x -+=-关于点()3,2-；（2）若函数()f x 既关于点()2,0对称，又关于点()2,1-对称，且当()2,6x ∈时，()23x f x x =+，求：①()5f -的值；②当()82,82,x k k k Z ∈-+∈时，()f x 的表达式．第3节函数的奇偶性与周期性1.C2.A3.B4.C5.A6. C.7. BCD8． ABC9.110.－211.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 12.①②13. 2.14. 715.解 (1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期.(2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.(3)因为y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，且|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，所以|f (x )|为偶函数.故g (x )＝x 2＋ax ＋3为偶函数，即g (－x )＝g (x )恒成立，于是(－x )2＋a (－x )＋3＝x 2＋ax ＋3恒成立.于是2ax ＝0恒成立，所以a ＝0.16．解 (1)f （x ）=的定义域为{x|x≠3}，对任意x≠3有f（3﹣x）+f（3﹣x）=（﹣2﹣）+（﹣2﹣）=﹣4，∴函数f（x）=关于点（3，﹣2）对称；（2）函数f（x）关于点（2，0）对称，∴f（2+x）+f（2﹣x）=0，即f（x）+f（4﹣x）=0，又关于点（﹣2，1）对称，∴f（﹣2+x）+f（﹣2﹣x）=2，即f（x）+f（﹣4﹣x）=2，∴f（﹣4﹣x）=2+f（4﹣x），即f（x+8）=f（x）﹣2，①f（﹣5）=f（3）+2=23+3×3+2=19，②x∈（8k﹣2，8k+2），x﹣8k∈（﹣2，2），4﹣（x﹣8k）∈（2，6），∴f（x）=f（x﹣8）﹣2=f（x﹣8×2）﹣2×2=f（x﹣8×3）﹣2×3=…=f（x﹣8k）﹣2k，又由f（t）=﹣f（4﹣t），∴f（x）=f（x﹣8k）﹣2k=﹣f[4﹣（x﹣8k）]﹣2k=﹣[24﹣（x﹣8k）+3（4﹣（x﹣8k））]﹣2k，∴即当x∈（8k﹣2，8k+2），k∈Z时，f（x）=﹣24﹣x+8k+3x﹣26k﹣12.。

2022高三总复习数学函数的奇偶性与周期性(含解析)

函数的奇偶性与周期性A 级——基础达标1．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 2 C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |解析：选D 对于A ，y ＝x ＋1为非奇非偶函数，不满足条件．对于B ，y ＝－x 2是偶函数，不满足条件．对于C ，y ＝1x 是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件．对于D ，设f (x )＝x |x |，则f (－x )＝－x |x |＝－f (x )，则函数为奇函数，当x >0时，y ＝x |x |＝x 2，此时为增函数，当x ≤0时，y ＝x |x |＝－x 2，此时为增函数，综上，y ＝x |x |在R 上为增函数．故选D.2．(2021·河北唐山模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≤0，ax 2＋x ，x ＞0为奇函数，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．±1解析：选A ∵函数f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，则有f (－1)＝－f (1)，即1＋a ＝－a －1，即2a ＝－2，得a ＝－1(符合题意)，故选A.3．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( ) A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x ) C.12(e －x －e x ) D ．12(e x －e －x )解析：选D 因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x ，所以g (x )＝12(e x －e －x )．故选D.4．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0,1]上是减函数，则有( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫14 B ．f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫32 C ．f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫－14 D ．f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫14解析：选C 因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数的周期为4，作出f (x )的草图，如图，由图可知f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫－14.故选C.5．(多选)(2021·潍坊模拟)已知定义在区间[－7,7]上的一个偶函数，它在[0,7]上的图象如图，则下列说法正确的有( )A ．这个函数有两个单调递增区间B ．这个函数有三个单调递减区间C ．这个函数在其定义域内有最大值7D ．这个函数在其定义域内有最小值－7解析：选BC 根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作出其在[－7,7]上的图象，如图所示．由图象可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是－7，故选B 、C.6．(多选)(2021·淄博质检)已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且函数f (x ＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( )A ．函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称B ．f (4)＝0C ．f (x ＋8)＝f (x )D ．若f (－3)＝－1，则f (2 021)＝－1解析：选BCD 根据题意，f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (－x )＝－f (x )，又由函数f (x ＋2)为偶函数，则函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则有f (－x )＝f (4＋x )，则有f (x ＋4)＝－f (x )，即f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是周期为8的周期函数；据此分析选项：对于A ，函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，A 错误；对于B ，f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0，又由函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则f (4)＝0，B 正确；对于C ，函数f (x )是周期为8的周期函数，即f (x ＋8)＝f (x )，C 正确；对于D ，若f (－3)＝－1，则f (2 021)＝f (－3＋253×8)＝f (－3)＝－1，D 正确． 7．函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 解析：∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )的周期为 2.∴f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＋2＝f ⎝⎛⎭⎫12＝2×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝12. 答案：128．(2021·北京东城区综合练习)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．解析：设f (x )＝sin x ，则f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤π2，2上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x ∈(0,2]时，f (x )>f (0)＝sin 0＝0，故f (x )＝sin x 满足条件f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不一直都是增函数．答案：f (x )＝sin x (答案不唯一)9．设函数f (x )＝x 3x 2＋1＋1在x ∈[－9,9]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.解析：f (x )＝x 3x 2＋1＋1，其中x 3x 2＋1上奇下偶明显是奇函数，最大、最小值之和为零，那么f (x )的最大值与最小值之和就是2×1＝2.答案：210．已知f (x )的定义域为R ，其函数图象关于x ＝－1对称，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－4，－1]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.解析：由f (x ＋4)＝f (x －2)，得f (x ＋6)＝f (x )．故f (x )是周期为6的函数．所以f (919)＝f (6×153＋1)＝f (1)．因为f (x )的图象关于x ＝－1对称，所以f (1)＝f (－3)．又x ∈[－4，－1]时，f (x )＝6－x ，所以f (－3)＝6－(－3)＝216. 从而f (1)＝216，故f (919)＝216. 答案：21611．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0为奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，作出f (x )的图象如图所示，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1)判断f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1,2]上的表达式．解：(1)∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (－x )＝f (2＋x )．又f (x ＋2)＝f (x )，∴f (－x )＝f (x )．又f (x )的定义域为R ，∴f (x )是偶函数． (2)当x ∈[0,1]时，－x ∈[－1,0]，则f (x )＝f (－x )＝x ；从而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0， f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2. 故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ∈[－1，0]，x ，x ∈(0，1)，－x ＋2，x ∈[1，2].B 级——综合应用13．(多选)如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，则下列说法正确的是( )A ．函数y ＝f (x )是偶函数B ．对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)C ．函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减D ．函数y ＝f (x )的值域是[0,1]解析：选AB 当－2≤x ≤－1时，P 的轨迹是以A (即(－1,0))为圆心，1为半径的14圆；当－1＜x ≤1时，P 的轨迹是以B (即(0,0))为圆心，2为半径的14圆；当1＜x ≤2时，P 的轨迹是以C (即(1,0))为圆心，1为半径的14圆，当2＜x ≤3时，P 的轨迹是以A (即(3,0))为圆心，1为半径的14圆．所以函数f (x )的周期为4，图象如图所示，根据图象的对称性可知y ＝f (x )是偶函数，所以A 项正确；因为f (x )的周期为4，所以B 项正确；函数f (x )在[2,3]上单调递增，所以C 项不正确；函数f (x )的值域为[0， 2 ]，所以D 项不正确．故选A 、B.14．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x <1时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 解析：依题意知，函数f (x )为奇函数且周期为2，则f (1)＋f (－1)＝0，f (－1)＝f (1)，即f (1)＝0. ∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋0＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0) ＝212－1＋20－1＝2－1. 答案：2－115．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解：(1)因为对于任意x 1，x 2∈D 有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，所以令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数．证明如下：f (x )定义域关于原点对称，令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，所以f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知f (x )是偶函数，所以f (x －1)<2等价于f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以0<|x －1|<16，解得－15<x <17且x ≠1，所以x 的取值范围是(－15,1)∪(1,17)．C 级——迁移创新16．(多选)(2021·徐州月考)如果对定义在R 上的奇函数y ＝f (x )，对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数y ＝f (x )为“H 函数”，下列函数为H 函数的是( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝e xC ．f (x )＝x 3＋3xD ．f (x )＝x |x |解析：选CD 因为任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，故x 1f (x 1)－x 1f (x 2)＞－x 2f (x 2)＋x 2f (x 1)，即(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，所以函数f (x )在R 上单调递增．对于A ，y ＝sin x 在R 上不单调，不符合题意；对于B ，y ＝e x 在R 上单调递增，但是非奇非偶函数，不符合题意；对于C ，f ′(x )＝3x 2＋3＞0恒成立，故f (x )在R 上单调递增，符合题意；对于D ，由于y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，在R 上单调递增，符合题意．故选C 、D.。

函数的奇偶性与周期性及答案

函数的奇偶性与周期性考点一：函数的奇偶性1、下列函数是偶函数的是（）A 、sin y x =B 、3y x =C 、x y e =D 、y =2、若函数()33x x f x -=+与()33x x g x -=-的定义域均为R ，则A 、()f x 与()g x 均为偶函数B 、()f x 为偶函数，()g x 为奇函数C 、()f x 与()g x 均为奇函数D 、()f x 为奇函数，()g x 为偶函数3、设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++（b 为常数），则(1)f -= 。

4、讨论下列函数的奇偶性（1）2()(1)f x x x =+；（2）()(f x x =+ （3）2221,0()21,0x x x f x x x x ⎧-++>=⎨+-<⎩（4）()f x =规律总结：1、利用定义判断奇偶性的方法：（1）首先求函数的定义域，只有定义域关于原点对称才能继续讨论奇偶性，否则这个函数非奇非偶；（2）在定义域关于原点对称的前提下，计算()f x -，看()()f x f x -=还是()()f x f x -=-或者两者都不是，如果()()f x f x -=，那么是偶函数；如果()()f x f x -=-，那么是奇函数；2、如果已知函数奇偶性以及一半区间的函数解析式，应利用()()f x f x -=或()()f x f x -=-的关系来求另一半函数的解析式。

考点二：函数的周期性1、若()f x 是周期为5的奇函数，且满足(1)1f =，(2)2f =，则(3)(4)f f -等于（）A 、1-B 、1C 、2-D 、22、已知()f x 在R 上为奇函数，并满足(2)()f x f x +=-，当(2,0)x ∈-时，2()2f x x =，则(2013)f =（）A 、2-B 、2C 、18-D 、183、已知()f x 是定义在R 上的偶函数，并满足1(2)()f x f x +=-，当12x ≤≤时，()2f x x =-，则(6.5)f = 。

函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)(含答案)

函数的基本性质一、知识点1．对函数单调性的理解（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；（2）一些单调性的判断规则：①若)(x f 与)(x g 在定义域内都是增函数（减函数），那么)()(x g x f +在其公共定义域内是增函数（减函数）即“同加异减”减时和第一个单调性相同。

②复合函数的单调性规则是“同增异减”。

2．函数的奇偶性的定义：（1）对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，则称)(x f 为 . 奇函数的图象关于对称。

（2）对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，则称)(x f 为 . 偶函数的图象关于对称。

（3）通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。

3．奇偶函数图象的对称性（1）若)(x a f y +=是偶函数，则⇔=-⇔-=+)()2()()(x f x a f x a f x a f )(x f 的图象关于直线a x =对称；（2）若)(x b f y +=是偶函数，则⇔-=-⇔+-=-)()2()()(x f x b f x b f x b f )(x f 的图象关于点)0,(b 中心对称；4．若函数满足()()x f a x f =+，则函数的周期为T=a 。

二、例题讲解1．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．||2x y = B ．3y x = C ．12+-=x y D ．y ＝cosx 【答案】C 【解析】试题分析：偶函数需满足()()f x f x -=，由此验证可知A,C,D 都是偶函数，但要满足在区间(0，＋∞)上单调递减，验证可知只有C 符合. 考点：偶函数的判断，函数的单调性.2．2()24f x x x =-+的单调减区间是 .【答案】(,1)-∞ 【解析】试题分析：将函数进行配方得22()24(1)3f x x x x =-+=-+，又称轴为1x =，函数图象开口向上，所以函数的单调减区间为(,1)-∞．考点：二次函数的单调性．3．函数22log (23)y x x =+-的单调递减区间为（）A ．（－∞，－3）B ．（－∞，－1）C ．(1，+∞)D ．(－3，－1) 【答案】A 【解析】试题分析：由2230x x +->，得3x <-或1x >，∴()f x 的定义域为(,3)(1,)-∞-+∞．22log (23)y x x =+-可看作由2log y u =和223u x x =+-复合而成的，223u x x =+-＝2(1)4x +-在(,3)-∞-上递减，在(1,)+∞上递增，又2log y u =在定义域内单调递增，∴22log (23)y x x =+-在(,3)-∞-上递减，在(1,)+∞上递增，所以22log (23)y x x =+-的单调递减区间是(,3)-∞-，故选A ．考点：复合函数的单调性．4．已知5)2(22+-+=x a x y 在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的范围是（）A.2a ≤-B.2a ≥-C.6-≥aD.6-≤a 【答案】B 【解析】试题分析：函数5)2(22+-+=x a x y 的图像是开口向上以2x a =-为对称轴的抛物线，因为函数在区间(4,)+∞上是增函数，所以24a -≤，解得2a ≥-，故A 正确。

函数的单调奇偶及周期性_附答案

三、函数的性质 1．函数的单调性（1）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数．（2）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数．（3）若函数()f x 在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间．若函数()f x 在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数．2．函数的奇偶性（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．（2）若奇函数()y f x =的定义域内有零，则由奇函数定义知(0)(0)f f -=-，即(0)(0)f f =-，所以(0)0f =．（3）奇、偶性图象的特点如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y 轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．例4．设定义在R 上的函数y = f （x ）是偶函数,且f （x ）在（－∞，0）为增函数．若对于120x x <<，且120x x +>，则有 ( )A ．12(||)(||)f x f x <B ．21()()f x f x ->-C ．12()()f x f x <-D ．12()()f x f x -> 【答案】D举一反三：【变式1】（1）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0，2]上是增函数，则（）A ．(25)(11)(80)f f f -<<B ．(80)(11)(25)f f f <<-C ．(11)(80)(25)f f f <<-D ．(25)(80)(11)f f f -<<（2）定义在R 上的偶函数f (x)，对任意x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有2121()()0f x f x x x -<-，则（）A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-【解析】（1）由函数()f x 是奇函数且()f x 在[0，2]上是增函数可以推知()f x 在[－2，2]上递增，又(4)()(8)(4)()f x f x f x f x f x -=-⇒-=--=，故函数()f x 以8为周期，(25)(1)f f -=-，(11)(3)(34)(1)f f f f ==--=，(80)(0)f f =，故(25)(80)(11)f f f -<<．故选D ．（2）由题知，()f x 为偶函数，故(2)(2)f f =-，又知x ∈[0，+∞）时，()f x 为减函数，且3＞2＞1，∴(3)(2)(1)f f f <<，即(3)(2)(1)f f f <-<．故选A ．例5．设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->=（） A ．{x|x ＜－2或x ＞4} B ．{x|x ＜0或x ＞4} C ．{x|x ＜0或x ＞6} D ．{x|x ＜－2或x ＞2}【思路点拨】先求()f x 的解析式，即338, 0()8, 0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，然后再去解(2)0f x ->这个不等式。

第2章第3课时函数的奇偶性、周期性-备战2025年高考数学一轮复习(解析版)

第3课时函数的奇偶性、周期性[考试要求]1．了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.2．会依据函数的性质进行简单的应用．1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f (x )的定义域为D ，如果∀x ∈D ，都有－x ∈D ，且f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数一般地，设函数f (x )的定义域为D ，如果∀x ∈D ，都有－x ∈D ，且f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数关于原点对称2．周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．[常用结论]1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0．如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(2)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．(3)若y ＝f (x ＋a )是奇函数，则f (－x ＋a )＝－f (x ＋a )；若y ＝f (x ＋a )是偶函数，则f (－x ＋a )＝f (x ＋a )．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝1，则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－1，则T＝2a(a>0)．(4)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝|a－b|(a≠b)．3．常见奇、偶函数的类型(1)f(x)＝a x＋a－x(a＞0且a≠1)为偶函数；(2)f(x)＝a x－a－x(a＞0且a≠1)为奇函数；(3)f(x)＝−−+−＝2−12+1(a＞0且a≠1)为奇函数；(4)f(x)＝log a K r＞0且≠1，≠0为奇函数；(5)f(x)＝log a(2+1±x)(a＞0且a≠1)为奇函数；(6)f(x)＝|ax＋b|＋|ax－b|为偶函数；(7)f(x)＝|ax＋b|－|ax－b|为奇函数．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．()(2)存在既是奇函数，又是偶函数的函数．()(3)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()(4)若函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，则f(x)是周期为2a的周期函数．() [答案](1)×(2)√(3)×(4)√二、教材经典衍生1．(多选)(人教A版必修第一册P84例6改编)下列函数中为奇函数的是() A．f(x)＝2x4＋3x2B．f(x)＝x3－2xC．f(x)＝2+1D．f(x)＝x3＋1[答案]BC2．(人教A版必修第一册P203练习T4改编)若f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[0，2)时，f(x)＝2－x，则f(2025)＝________．[∵f(x)的周期为2，∴f(2025)＝f(1)＝2-1＝12.]3．(人教A版必修第一册P86习题3.2T11改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x－2x＋a，则a＝________；当x<0时，f(x)＝________．－1－2－x－2x＋1[∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，即1＋a＝0，∴a＝－1.∴当x≥0时，f(x)＝2x－2x－1，设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝2－x－2(－x)－1＝2－x＋2x－1，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝2－x＋2x－1，∴f(x)＝－2－x－2x＋1．]4．(人教A版必修第一册P85练习T1改编)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________．(－2，0)∪(2，5][由题图可知，当0<x<2时，f(x)>0；当2<x≤5时，f(x)<0，又f(x)是奇函数，∴当－2<x<0时，f(x)<0，当－5≤x<－2时，f(x)>0.综上，f(x)<0的解集为(－2，0)∪(2，5].]考点一函数奇偶性的判断[典例1]判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝3−22−3；(2)f(x)＝(1＋x(3)f(x)＝2+，<0，−2+，>0；(4)f(x)＝log2(x＋2+1)．[解](1)由3−2≥0，2−3≥0，得x2＝3，解得x＝±3，即函数f(x)的定义域为{－3，3}，从而f(x)＝3−2+2−3＝0.因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)函数f(x)＝(1＋x的定义域满足1−1+≥0，则1+1−≥0≠−1⇒－1＜x≤1，由于定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数．(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．(4)显然函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝log2[－x＋−2+1]＝log2(2+1－x)＝log2(2+1＋x)-1＝－log2(2+1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．判断函数奇偶性的两个必备条件及方法(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先判断函数的定义域是不是关于原点对称；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．(3)判断函数奇偶性的方法：①定义法；②图象法．[跟进训练]1．(1)(多选)设函数f(x)＝e−e−2，则下列结论正确的是()A．|f(x)|是偶函数B．－f(x)是奇函数C．f(x)|f(x)|是奇函数D．f(|x|)f(x)是偶函数(2)已知函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝2x2＋(a∈R)，讨论f(x)的奇偶性，并说明理由．(1)ABC [对于A ，B ，C 用定义验证正确；因为f (x )＝e −e −2，则f (－x )＝e −−e2＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．因为f (|－x |)＝f (|x |)，所以f (|x |)是偶函数，所以f (|x |)f (x )是奇函数，所以D 错误．](2)[解]由题意知，函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，当a ＝0时，f (x )＝2x 2，f (－x )＝2(－x )2＝2x 2＝f (x )，f (x )是偶函数；当a ≠0时，f (1)＝2＋a ，f (－1)＝2－a ，f (1)≠f (－1)，f (－1)≠－f (1)，f (x )是非奇非偶函数．考点二函数奇偶性的应用利用奇偶性求值(解析式)[典例2](1)(2023·新高考Ⅱ卷)若f (x )＝(x ＋a )·ln2K12r1为偶函数，则a ＝()A ．－1B ．0C ．12D ．1(2)(2024·山东潍坊模拟)已知函数f (x )是定义在R 上奇函数，当x ＞0时，f (x )22−2r2，则f (x )＝________．(1)B(2＜0＞0[(1)法一：由2K12r1＞0，得x ＞12或x ＜－12，由f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，得(－x ＋a )ln −2K1−2r1＝(x ＋a )ln 2K1，又(－x ＋a )ln 2r12K1＝(－x ＋a )ln2r1，所以(x －a )ln2K12r1＝(x ＋a )ln 2K12r1，∴x －a ＝x ＋a ，得－a ＝a ，得a ＝0.故选B.法二：因为f (x )＝(x ＋a )ln2K12r1为偶函数，f (－1)＝(a －1)ln 3，f (1)＝(a ＋1)ln 13＝－(a ＋1)ln 3，所以(a －1)ln 3＝－(a ＋1)ln 3，解得a ＝0.故选B.(2)由函数f(x)是R上的奇函数，得f(0)＝0，而当x＜0时，－x＞0，所以f(x)＝－f(－x)＝－2−2−+2＝－22+2r2，综上所述，f(x)＜0，＞0．](1)选择、填空题中，已知奇偶性求参数值，可采用特值法，如f(－1)＝－f(1)，f(－1)＝f(1)．(2)利用奇偶性求解析式，求谁设谁，自变量转移．利用奇偶性解不等式[典例3](1)(2023·山东鄄城一中三模)已知函数f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b是定义在[－2c－1，c＋3]上的奇函数，则不等式f(2x＋1)＋f(a＋b＋c)＞0的解集为()A．(－2，4]B．(－3，5]C．−52，2D．(－2，2](2)(2024·湖南师大附中模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(3)＝0，则不等式(2x－5)f(x－1)＜0的解集为() A．(－∞，－2)∪4B．(4，＋∞)C．−2(4，＋∞)D．(－∞，－2)(1)C(2)C[(1)因为函数f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b是定义在[－2c－1，c＋3]上的奇函数，所以－2c－1＋c＋3＝0，解得c＝2，又f(－x)＝－f(x)，即－x3＋(a－2)x2－2x＋b＝－x3－(a－2)x2－2x－b，所以2(a－2)x2＋2b＝0，解得2−2=0，2=0，解得=2，=0，所以f(x)＝x3＋2x，x∈[－5，5]，因为y＝x3与y＝2x在定义域[－5，5]上单调递增，所以f(x)在定义域[－5，5]上单调递增，则不等式f(2x＋1)＋f(a＋b＋c)＞0，即f(2x＋1)＋f(4)＞0，等价于f(2x＋1)＞f(－4)，所以2+1＞−4，−5≤2+1≤5，解得－52＜x ≤2，即不等式的解集为−52，2.故选C.(2)依题意，函数的大致图象如图：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，在[0，＋∞)上单调递减，且f (3)＝0，所以f (x )在(－∞，0]上单调递增，且f (－3)＝0，则当x ＞3或x ＜－3时，f (x )＜0；当－3＜x ＜3时，f (x )＞0，不等式(2x －5)f (x －1)＜0化为2−5＞0，−1＜0或2−5＜0，−1＞0，所以2−5＞0，−1＞3或2−5＞0，−1＜−3或2−5＜0，−3＜−1＜3，解得x ＞4或x ∈∅或－2＜x ＜522＜x52或x ＞4，即原不等式的解集为−2(4，＋∞)．故选C.](1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数值或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合图象直观求解相关问题．[跟进训练]2．(1)(2024·安徽滁州模拟)函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，若f (a )≥f a 的取值范围是()A 3+∞B ．−∞，−C ．−13D ．−∞，−∪+∞(2)已知函数f(x)＝sin x＋x3＋1＋3，若f(a)＝1，则f(－a)＝________．(3)(2023·福建漳州三模)已知函数f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，且f(x)＝2−，0＜≤1，−1，1＜≤2，则f−f f(0)＝________．(1)C(2)5(3)－[(1)∵y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，∴y＝f(x)在[0，＋∞)上单调递减，∵f(a)≥f3∴|a|≤13，－13≤a≤13，a的取值范围是−13， C.(2)根据题意f(a)＝sin a＋a3＋1＋3＝1，即sin a＋a3＋1＝－2，3所以f(－a)＝sin(－a)＋(－a)3＝－sin+3+3＝2＋3＝5.(3)由函数f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，则f−f−1＝12，f(0)＝0，由f－12＝－14，则f−f f(0)＝－12−14＋0＝－34.]考点三函数的周期性[典例4](1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0，2)时，f(x)＝x2，则f()A．－94B．－14C．14D．94(2)(2023·湖北二模)已知函数y＝f(x)，对任意x∈R，都有f(x＋2)·f(x)＝k(k 为常数)，且当x∈[0，2]时，f(x)＝x2＋1，则f(2025)＝________．(1)A(2)2[(1)由f(x－2)＝f(x＋2)，知y＝f(x)的周期T＝4，又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f f8−f−f＝－94.(2)因为对任意x∈R，都有f(x＋2)·f(x)＝k为常数，所以f(x＋4)·f(x＋2)＝k，从而f(x＋4)＝f(x)，即f(x)的周期为4，所以f(2025)＝f(1)＝2．]等问题，转化到已知区间上，进而解决问题；利用函数的周期性，能实现自变量的转移，把自变量大化小．[跟进训练]3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2.(1)f(x)的最小正周期是________；(2)当x∈[2，4]时，f(x)＝________；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2023)＝________．(1)4(2)x2－6x＋8(3)0[(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.即当x∈[2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，且f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2020)＋f(2021)＋f (2022)＋f(2023)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2023)＝0．]课时分层作业(八)函数的奇偶性、周期性一、单项选择题1．(2024·福州模拟)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的为() A．y＝0B．y＝1C．y＝x2D．y＝2xD[对于A，定义域为R，且f(－x)＝0＝f(x)，则f(x)为偶函数，故A不满足题意；对于B，因为定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝－1＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故B不满足题意；对于C，因为定义域为R，且f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故C不满足题意；对于D，因为f(－x)＝2－x，f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)，所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．故选D.] 2．(2024·湖南长沙模拟)已知f(x)＝2－x＋a·2x为奇函数，则f(1)的值为() A．－32B．1C．32D．52A[因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即20＋a·20＝0，解得a＝－1，当a＝－1时，f(x)＝2－x－2x，此时f(－x)＝2x－2－x＝－(2－x－2x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数，故f(1)＝12－2＝－32.故选A.]3．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，f(1)＝－2，则f(2023)＝()A．2B．0C．－2D．－4A[依题意，函数f(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)是奇函数，又f(x)的周期为4，且f(1)＝－2，则f(2023)＝f(－1＋506×4)＝f(－1)＝－f(1)＝2．] 4．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝1−1+，则下列函数中为奇函数的是()A．f(x－1)－1B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1D．f(x＋1)＋1B[f(x)＝1−1+＝＝21+－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1.故选B.]5．(2024·江苏南京模拟)已知奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝1K1，则f(x)＝()A．12−1B．11−2C．2−1D．1−2C[由f(x)＋g(x)＝1K1可得，f(－x)＋g(－x)＝1−K1，又f(x)，g(x)分别为奇，偶函数，所以g(x)－f(x)1−K1，由+=1K1，−=1−K1解得f(x)＝2−1.故选C.]6．(2023·广东六校联考)设函数f(x)＝(a－1)x|x－b＋1|为奇函数且在R上为减函数，则关于a，b的值表述正确的是()A．a＞1，b＝1B．a＞1，b＜1C．a＜1，b＝1D．a＜1，b＞1C[因为函数f(x)＝(a－1)x|x－b＋1|为R上的奇函数，且是R上的减函数，所以a－1≠0且f(－1)＝－f(1)，即－(a－1)|－b|＝－(a－1)|2－b|，所以|－b|＝|2－b|，解得b＝1，经检验符合题意，故f(x)＝(a－1)x|x|＝−12，≥0，−−12，＜0，因为函数f(x)＝(a－1)x|x|在R上为减函数，所以a－1＜0，所以a＜1.故选C.]7．函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0，的解集为()A．(－2，2)B．(－∞，0)∪(0，2)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D[由于f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0，所以f(x)的大致图象如图所示．由f(－x)＝－f(x)，由于x在分母位置，所以x≠0，当x<0时，只需f(x)<0，由图象可知x<－2；当x>0时，只需f(x)>0，由图象可知x>2.综上，不等式的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．]8．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2023)等于() A．336B．338C．337D．339B[因为f(x＋6)＝f(x)，所以函数的周期T＝6，于是f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，而2023＝6×337＋1，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2023)＝337×1＋1＝338．]二、多项选择题9．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()A．y＝f(|x|)B．y＝f(－x)C．y＝xf(x)D．y＝f(x)＋xBD[由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，对于A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；对于B项，f(－(－x))＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；对于C项，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；对于D项，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．可知BD正确．]10．已知函数f(x)的定义域为R，∀x1，x2∈R，x2－x1＝2，都有f(x1)＋f(x2)＝0，且f(1)＝1，则下列结论正确的是()A．f(23)＝1B．f(－23)＝1C．f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝1D．f(x)＋f(x＋1)＋f(x＋2)＋f(x＋3)＝0BCD[由x2－x1＝2得x2＝x1＋2，所以f(x1)＋f(x1＋2)＝0，故f(x1＋2)＋f(x1＋4)＝0，所以f(x1＋4)＝f(x1)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数．对于A，f(23)＝f(5×4＋3)＝f(3)＝－f(1)＝－1，A错误；对于B，f(－23)＝f(－6×4＋1)＝f(1)＝1，B正确；对于C，f(1)＋f(3)＝0，f(2)＋f(4)＝0，f(5)＝f(1)＝1，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝1，C正确；对于D，f(x)＋f(x＋2)＝0，f(x＋1)＋f(x＋3)＝0，所以f(x)＋f(x＋1)＋f(x＋2)＋f(x＋3)＝0，D正确．故选BCD.]三、填空题11．(2023·广东湛江二模)已知奇函数f(x)＝2−3−，＜0，+1，＞0，则g(x)＝________．－x2＋3x－1[当x＞0时，－x＜0，f(x)＝g(x)＋1＝－f(－x)＝－[(－x)2－3－(－x)]＝－x2＋3x，则g(x)＝－x2＋3x－1．]12．(2024·烟台模拟)已知f(x)为定义在R上的奇函数，且f(x)＋f(2－x)＝0，当－1＜x＜0时，f(x)＝2x，则f(2＋log25)的值为________．[因为f(2－x)＝－f(x)＝f(－x)，所以f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)的周期为2，所以f(2＋log25)＝f2×2+log＝f log f log2又－1＜log245＜0，所以f(2＋log25)＝－f log2−2log245＝－45.]13．函数f(x)＝x(e x＋e－x)＋1在区间[－2，2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为()A．－2B．0C．2D．4C[依题意，令g(x)＝x(e x＋e－x)，显然函数g(x)的定义域为R，则g(－x)＝－x(e－x＋e x)＝－g(x)，即函数g(x)是奇函数，因此，函数g(x)在区间[－2，2]上的最大值与最小值的和为0，易知f(x)＝g(x)＋1，则有M＝g(x)max＋1，N＝g(x)min＋1，于是得M＋N＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，所以M＋N的值为2.故选C.]14．(多选)已知定义域为R的函数f(x)满足：∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f (y)，且f(1)＝1，则下列结论正确的是()A．f(0)＝2B．f(x)为偶函数C．f(x)为奇函数D．f(2)＝－1ABD[因为∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，取x＝1，y＝0可得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，又f(1)＝1，所以f(0)＝2，A正确；取x＝0，y＝x可得f(x)＋f(－x)＝f(0)f(x)，因为f(0)＝2，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，C错，B正确；取x＝1，y＝1可得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，又f(1)＝1，f(0)＝2，所以f(2)＝－1，D正确．]15．设f(x)是定义在R上的函数，且f(x＋2)1+1−f(3)＝3，则f(5)f(2023)＝________．[∵f(x＋2)1+1−∴f(x＋4)r2r2＝－1，∴f(x＋8)＝－1r4＝f(x)，∴f(x)的周期为8，∵f(x＋2)f(3)＝3，∴f(5)＝1+31−3＝－2，∴f(7)55＝1−21+2＝－13，∴f(2023)＝f(7)＝－13.f(5)f(2023)＝－2×−＝23.] 16．(2024·贵州模拟)已知函数f(x)＝ln(2+1＋x)＋x，若f(2x－1)＋f(2－x)＞0，则x的取值范围是________．(－1，＋∞)[因为函数f(x)＝ln(2+1＋x)＋x的定义域为R，且f(－x)＋f(x)＝ln(2+1－x)－x＋ln(2+1＋x)＋x＝ln[(2+1－x)(2+1＋x)]＝ln(x2＋1－x2)＝ln1＝0，即f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数，当x＞0时，y＝2+1＋x，y＝ln x，y＝x均单调递增，所以f(x)＝ln(2+1＋x)＋x在(0，＋∞)上单调递增，则f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以f(x)是奇函数且在R上单调递增，由f(2x－1)＋f(2－x)＞0，得f(2x－1)＞f(x－2)，所以2x－1＞x－2，解得x＞－1，即x的取值范围为(－1，＋∞)．。

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