第三章 《证明三》九年级上册
最新九年级数学上三章证明三
O,∠AOD=1200,AB=2.5cm.
求矩形对角线的长.
ADຫໍສະໝຸດ 解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,且OAOC1AC.
OBOD1BD.
2
2
OA OD .
∵∠AOD=1200,
O
B
C
你认为例1还可以 怎么去解？
∴∠ODA=∠OAD=
1800 1200 300. 2
∵∠DAB=900,
∴BD=2AB=2×2.5=5(cm
求证:△ABC是直角三角形 分析:要证明△ABC是直角三角形,
2
A
D
E
可以点A,B,C构造平行四边形,然后
证明其对角线相等,即可证明是矩形.C
B
证明:延长CD到E,使DE=DC,连接AE,BE. ∵ AD=BD,CD=ED,
∴四边形ACBE是平行四边形.
∵AB=2CD,CE=2CD,
∴ AC=DB. ∴四边形ACBE是矩形. ∴∠ACB=900. ∴△ABC是直角三角形.
驶向胜 利的彼
岸
独立 作业
P88习题3.4 3题. 祝你成功！
已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,P是 CD上的一点,且AP和BP分别分别平分∠DAB 和∠CBA,QP∥AD,交AB于点Q. (1).求证:AP⊥PB; (2).如果AD=5cm,AP=8cm,那么AB的长是多 少? △APB的面积是多少?
∴ △ABC≌△DCB. ∴∠ABC=∠DCB. ∵∠ABC+∠DCB=1800.
∴∠ABC=900.
∴四边形ABCD是矩形.
D
C
驶向胜 利的彼
岸
我思,我进步4
直角三角形的判定
定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一
最新九年级数学上第三章证明三
九年级数学(上)第三章 证明(三)
3.1 平行四边形(三） 三角形的中位线及性质
我思,我进步3
三角形中位线的性质
利用定理“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的 一半”,请你证明下面分割出的四个小三角形全等.
已知:如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点. A
∴FE∥AB,FE 1 AB. MN∥AB,MN 1 AB. C
2
2
∴ FE∥MN,FE=MN.
∴四边形FENM是平行四边形.
FG
∴MG=GE,NG=GF.
M●
∴AM=MG=GE,BN=NG=GF.
A
D
∴同G同E∶理G,AG=DG∶FG∶CG=B1=∶12∶..2.
∴GE∶GA=GF∶GB=GD∶GC=1∶2
求证：AF= 1 FC,
1 EF= BE
G
2
3
A
F E
B
D
C
下课了! 结束寄语
• 严格性之于数学家,犹如道德之 于人.
• 条理清晰，因果相应,言必有据 .是初学证明者谨记和遵循的原 则.
E B
别平行或一组对边平行且相等来证明. H
证明:连接AC.
F
∵E,F,G,H分别为各边的中点, D ∴EF∥AC,EF 1 AC.
G
C
2
HG∥AC,HG 1 AC.
2
∴四边形EFGH是平行四边形.
我思,我进步5
做一做,想一想
1、已知，如图,A,B两地被
A
池塘隔开,在没有任何测量
工具的情况下,有通过学习 M
怎么样,在老师的帮助下,你可A 以写出证明过程了吗? 由此你又悟出了些什么?
第3章 证明(三)
南苑中学教师备课笔记）证明：等腰梯形在同一底上的两个角相等．如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC．求证：∠B．证明：夹在两条平行线间的平行线段相等．，AB、CD是l1、l之间的任意平行线段．求证：南苑中学教师备课笔记）若四边形ABCD是平行四边形，则∠A ABCD是平行四边形，则AB＝______南苑中学教师备课笔记定理：三角形的中位线平行于第三边．且等于第三边的一半．ABC的中位线，1BC．，DE＝2两地被池溏隔开，在没有任何测量工具的情况下，小明通过下面的中位线，因此：MN＝“比赛的名次”．南苑中学教师备课笔记．前面我们已探讨过矩形的性质，矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相ABCD，求证：AC＝DB定理：矩形的四个角都是直角．矩形的对角线相等．．如图，设矩形的对角线AC与的交点为E，那么BE有什么大小关系？为什么？推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直接应用：∵BE是Rt△ABC的AC上的中线，AC．（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）南苑中学教师备课笔记2．如图：已知在菱形ABCD中，对角线AC求证：AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCDBDABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线的长度；（2）菱形ABCD推论：菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半．定理：四条边都相等的四边形是菱形．对角线互相垂直平分的四边形是菱形．P88，随堂练习1．南苑中学教师备课笔记想一想议一议依次连结正方形各边的中点得到的四边形是正方形．这个题是先证明了四边形A1B1C1D的四条边相等，即是菱形，然后又证明了这个四边形的一个角是直角，即有一个角为直角的菱形是正方形，从而得证四边用类比的方法，证明了连结平行四边形及特殊平行四边形各边中点得到的图形，那么大家能否得出一个一般性的结沦，即依次连结四边形各边小点所得的新四边形的形状与哪些线段有关？有怎样的关系？只要四边形的对角线互相垂直，那么连接这个四边形各边的中点所得到的图南苑中学教师备课笔记在命题的探索和证明过程中，蕴涵着一些数学思想方法．如：归纳、类比、ABC中，AB＝AC D是BC的中点，DE本节课我们重点复习了本章所学的内容．在这一章里，不仅要理清特殊四边形之间的关系，还要会用几何推理来证明一些问题，而且还要体会数学思想方法南苑中学教师备课笔记。
北师大版九年级上册第三章《证明(三)》练习题(北师大版九年级上)
北师大版九年级上册第三章证明（三）练习题一、填空题1、如图，平行四边形ABCD ，对角线AC 、BD 交于点O ，请你写出图中三对一定相等的线段 。
2、在上题图中，若平行四边形ABCD 的周长为30cm ，且A O B ∆的周长比BOC ∆的周长小1cm ，那么AB= cm ，BC ＝ cm 。
第1-2题图 第3题图第4题图 3、如图，将两块完全相同的含有30角的三角板一边重合拼在一起，可以得到一个四边形ABCD ，则四边形ABCD 是 （回答是什么四边形）；若BC=10 cm ，则对角线BD ＝ cm 。
4、如图平行四边形ABCD 中，AE 、AF 分别是BC 和CD 边上的高，若65EAF ∠=，则B ∠= 度，C ∠= 度。
5、如图，将两根等宽的纸条叠放在一起，重叠的部分（图中阴影部分）是一个四边形，对这个四边形的形状你认为最准确的一个描述是：这个四边形是 四边形。
第7题图 96、菱形ABCD 的面积是503cm 2,其中一条对角线的长是103 cm ，则菱形ABCD 的较小的内角为 ，菱形ABCD 的边长为 。
7、如图，矩形ABCD 中，BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，若AE=1，EF ＝2，则FC ＝ ，AB ＝ 。
8、对角线 的四边形是正方形。
二、择题9、如图，平行四边形ABCD 中，AE=CF ，则图中的平行四边形的个数是（ ）个 A.2 B.3 C.4 D.510、若第1题的条件中，除原有条件外，再增加FA ＝FD ，则图中的等腰梯形个数是（ ）个A.2B.3C.4D.511、下列关于平行四边形的判定中正确的是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B.一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 C.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形OC AD BC AD BE FC A DB FECADBCA DBE FD.一组对边平行，一组邻角互补的四边形是平行四边形12、顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点，得到一个四边形，对这个四边形的形状描述最准确的是（ ）A. 平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形13、已知菱形ABCD 的面积为96cm 2，对角线AC 的长为16 cm ，则此菱形的边长为（ ）cm A.32 B.10 C.14 D.2014、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）A. 对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D. 每一条对角线平分一组对角 15、只用一把刻度尺检查一张四边形纸片是否是矩形，下列操作中最为恰当的是（ ） A. 先测量两对角线是否互相平分，再测量对角线是否相等 B. 先测量两对角线是否互相平分，再测量是否有一个直角 C. 先测量两组对边是否相等，再测量对角线是否相等D. 先测量两组对边是否互相平行，再测量对角线是否相等16、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90B C ∠+∠=,E 、F分别是AD 、BC 的中点，若AD=5cm ，BC=13cm ，那么EF=（ ）cmA.4B.5C.6.5D.9三、解答题17、按要求填图下面图中，表达了四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系。
九年级数学上册《第三章证明(三)》回顾与思考(一)教案
一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经对平行四边形、矩形、菱形、正方形的一些相关性质和判定的定理有所了解，在本章前面几节课中，又学习了三角形中位线的定义和性质，并探索了连接四边形各边中点所成的四边形的形状等结论，还通过特殊四边形的学习，掌握了直角三角形斜边中线的性质以及判定一个三角形为直角三角形的定理。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，已经经历了“探索——发现——猜想——证明”的过程，体会了合情推理与演绎推理在获得结论中各自发挥的作用。
掌握了简单证明的方法，解决了简单的现实问题，同时在以前的数学学习中学生已经经历很多合作学习的过程，具有一定的合作学习经验和合作与交流的能力。
二、教学任务分析教科书基于学生对平行四边形、特殊平行四边形性质判定扎实掌握的基础之上，提出了本课的具体学习任务：体会在证明过程中所运用的归纳、转化等数学思想方法。
通过小组的交流讨论，使学生对所学内容在思想方法上有一定的提升。
为此，本节课的教学目标是：①能够理顺平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系，熟练掌握这些四边形的判定和性质定理，并能够应用数学符号语言表述已知、求证、证明。
②掌握三角形中位线的定义和性质，能够推导出依次连接一个四边形四条边的中点所构成的四边形是什么特殊四边形。
③会熟练应用所学定理进行证明。
体会证明中所运用的归类、类比、转化等数学思想，通过复习课对证明的必要性有进一步的认识。
④学会对证明方法的总结。
三、教学过程分析本节课是证明（三）回顾与思考的第一个课时，这一课时主要是对定理的理顺，由于在证明（一）、（二）中，一些相关的定理曾以结论的形式串联总结过，因此学生已经了解定理及一些它们之间的关系，而且有一定的能力可以将这些定理以一个线索串联，所以这一课时共分四个环节：第一个环节，台下准备——学生搜集整理资料；第二环节：台上展示——学生创设线索展示成绩；第三环节：你圈我点——师生共同反思小结；第四环节：布置作业。
北师大初中九年级数学上册 第三章证明(三)复习课件ppt(优秀课件)
提示:作辅助线,连接BD,取BD的 中点Q,连接MQ,NQ.
P G A 1N D
则有QM∥DC,QN∥AB.
QM 1 DC,QN 1 AB.
2
2
Q.
B
M
C
由∠QNM=∠1,∠QMN=∠P,可得证.
课件在线
12
6.如图所示，在平行四边形ABCD中.点E、F在对角线AC上， 且AE＝CF.请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某 一点连成一条新线段，猜想并说明它和图中已有的某一 条线段相等（只须说明一组线段相等即可）. （1）连结____________； （2）猜想:____________＝______________； （3）说明所猜想的结论的正确性.
互相平分 既轴对称 且相等 又中心对称
菱形
对边平行、 对角相等、 互相垂直平分 四边相等 邻角互补 且平分对角
同上
正方形 同上
等腰 梯形
两底平行 不相等， 两腰相等 不平行。
四个角 是直角
互相垂直平分且 相等；平分对角
同一底上 的两个角 相等
对角线 相等
课件在线
同上
轴对称
4
几种特殊四边形的常用判定方法
（C ）
6.矩形具有平行四边形不一定具有的性质是 ( D ) A.对角相等 B.对角线互相平分 C.对边平行且相等 D.对角线相等
课件在线
17
7.下列命题:
(1)顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形；
(2)顺次连结四边形四边中点所得的四边形是平行四边形.
(3)顺次连结平行四边形四边中点所得的四边形是平行四边形.
( D)
4.下列说法正确的是
( D)
A.有一个角是直角的四边形是矩形
数学上三章节证明三
已知:如图,在□ABCD中,对角线AC⊥BD.
求证:四边形ABCD是菱形.
D
分析:要证明□ABCD是菱形,就 要证明有一组邻边相等即可. A 证明:
O
C
∵四边形ABCD是平行四边形.
B
∴AO=CO.
∵AC⊥BD,
∴ DA=DC.
∴四边形ABCD是菱形. a
8
随堂练习 1
菱形的判定
定理:四条边都相等的四边形是菱形. 已知:如图,在四边形ABCD中,
(6)检查表达过程是否正确,完善.
a
2
回顾 思考
矩形的性质,推论
定理:矩形的四个角都是直角. A
D
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=∠C=∠D=900.
B
C
A
D
定∵理AC:,矩BD形是的矩两形条AB对CD角的线两相条等对.角线.
∴AC=BD.
B
C
A
推论(直角三角形性质):直角三角形
斜边上的中线等于斜边的一半. C 在△ABC中,∠ACB=900,
∴AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分a ∠ADC和∠ABC.
6
例题欣赏 4
菱形性质的应用
已知:如图,四边形ABCD是边长为
A
13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.
求:(1).对角线AC的长度;
(2).菱形ABCD的面积. 解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
BE
D
∴∠AED=900,D E1BD 110 5cm .
D
求证:四边形ABCD是正方形.
分析:要证明四边形ABCD是正方形,
可转化为证明有一组邻边相等的矩 形即可.
B
C
九年级数学上册 第3章证明(三)全章教案 北师大版
第三章证明（三）边形（一）知识与技能目标：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的过程．过程与方法目标：能适用综合法征明平行四边形的性质定理，及其他相关结论．情感态度与价值观目标：体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法．重点、难点、关键：1．重点：掌握平行四边形的性质定理．2．难点：探索证明过程，感悟归纳类比、转化的教学思想。
3．关键：充分应用合情推理与演绎推理获得结论．教学过程：问题：1．平行四边形有哪些性质？2．平行四边形有哪些判别条件？3．如何运用公理和已有的定理证明它们？讲解证明过程注意：1．利用三角形全等证明．2．利用定理“平行四边形对边相等”。
相关认知：1．平行四边形是一类特殊的四边形，即两组对边分别平行的四边形，平行四边形是中心对称图形。
它的对角线的交点为对称中心．2．平行四边形的主要性质有：时边相等、对角线等，对边平行，对角线互相平分。
3．平行四边形是一种特殊的四边形，它的一些性质是进行有关证明或计算的基础．如，应用边的性质，可以求解边长、周长、对角线长，以及平行等问题；应用角的性质，可求解角的问题，应用对角线的性质，可证明两个三角形全等，再通过三角形全等研究角或线段之间的关系。
4．由平行四边形的性质可以得出一些角与线段的相等关系，特别地说，可知：夹在两条平行线间的平行线段相等、平行线间的距离处处相等．随堂练习：随堂练习1、2课堂小结：引导学生探索证明的不同思路和方法、并进行适当的比较和讨论，以开阔学生的视野，培养学生的思维能力。
作业：课本习题3．11、2边形（二）知识与技能目标：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．过程与方法目标：能够用综合法证明平行四边形的判定定理．情感态度与价值观目标：感悟在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．重点、难点、关键：1．重点：掌握证明平行四边形的方法。
2．难点；运用综合法证明问题的思路。
3．关键：正确分析条件和结论，通过已知条件的推理，再运用结论的等价转换和逆推，寻求解决问题的思路．教学过程：提问：1．说一说平行四边形有那些性质？2．你能写出（1）中的逆命题吗？3．如何证明判别一个四边是平行四边形的方法？性质：1．平行四边形对边相等逆命题：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
初三数学上学期第三章证明(三)试题
1－3】（2004、重庆北碚，10分）如图1－已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=DC，AD PB=PC．求证：PA=PD．．已知：如图 l －3－6，E 是□MABCD 的对角线上的两点，A E ＝CF ．求证：（1）△ABE ≌△CDF ；（2）BE ∥DF ．．如图1－3－8，已知等腰梯形ABCD ，AD ∥为梯形内一点，且 EA=ED ，求证：EB=EC．在梯形ABCD中，AB∥CD，E、F、G、BC、CD、DA边上的中点，当梯形___________条件时，四边形EWIH是菱形．－3－13，边长为3的正方形ABCD．已知：如图1－3－l5，在矩形ABCD中，点边上，且BE=CF，AF、DE交于点AM=DM。
年新课标中考题一网打尽★★★）在备用图中，画出满足上述条件的图形，记为图⑵试用刻度尺在图1－3－17⑴⑵中量得AQ的长度，估计AQ、B Q间的关系，并填入下表．由上表可猜测AQ、BQ间的关系是______________.2）上述问）中的猜测AQ，BQ间的关系成立吗？3】（2005、温州，8分）如图1－3－ABCD是平行四边形，对角线AC、BD过点O画直线EF，分别交AD、BC于点OE=OF．【回顾4】（2005、南充，3分）如图1－3－21是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点绕正方形ABCDFC＝HB：EC，顺次连结四边形ABCD各要使四边形EFGH为矩形，90°D、33【备考7】如图l－3－28，在□ABCD中，E为DC边的中点，AE交BD于点O．若SΔDOE= 9，则SΔAOB等于（）A．18 B．27 C．36 D．45【备考10】如图l－3－30，在□ABCD中，AB=10AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是（）A．5 B．8．2 C．6．4 D．1．8【备考14】（动手操作题）在给定的锐角三角形中，求作一个正方形DEFG，使D、E落在F、G分别落在AC、AB边上，作法如下：第一步：画一个有三个顶点落在△ABC15】（探究题）如图l－3－35，矩形ABCDAC与BD的交点，过O点的直线EF与的延长线分别交于E、F．（l）求证：△BOE≌△）当EF与AC满足什么条件时，四边形。
北师大版 九年级上册数学 教案 第三章证明(三)
教学过程：一、引入新课本章的内容已经全部学完，这节课我们来进行复习回顾．二、回顾与思考分小组讨论1．说说平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系．2．“等腰梯形在同一底上的两个角相等”与“等腰三角形的两个底角相等”的证明过程有什么联系？矩形、菱形、正方形都是平行四边形．但它们都是有特殊性质的平行四边形，正方形不仅是特殊的平行四边形，而已是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角为直角的特殊菱形．它们的包含关系如图：在命题的探索和证明过程中，蕴涵着一些数学思想方法．如：归纳、类比、转化等．1.性质结构；2.判定结构“矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形．正方形是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的特殊菱形．因此我们可以用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题．”回答下列问题：①将平行四边形、矩形、菱形、正方形填入它们所包含的关系中．如下图．②要证明一个四边形是正方形，可以先证明四边形是矩形，再证明这个矩形的_______相等；或先证明四边形是菱形，再证明这个菱形有一个角是_________；③如下图，某同学根据菱形的面积计算公式推导出对角线长为a的正方形面1a2，对此结论，你认为是否正确，若正确，给予证明，若不正确，举一个反积是2例说明．三、课堂练习1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F求证：（1）△BDE≌△CDF；（2）∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形．四、课时小结本节课我们重点复习了本章所学的内容．在这一章里，不仅要理清特殊四边形之间的关系，还要会用几何推理来证明一些问题，而且还要体会数学思想方法在几何证明中的应用．五、课后作业（一）课本P92复习题A组，1～9．（二）复习总结《证明》（一）、（二）、（三）的知识内容，并梳理知识体系．（三）完成一份小结，用白己的语言梳理本章的内容．第三章《证明三》随堂测试班级 姓名 学号1、 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，连接E 、F 、G 、H 。
北师大版-数学-九年级上册--第三章 证明(三) 单元综合及答案
第三章 证明（三）一、选择题1．如图3-99所示，在 ABCD 中，AD ＝5，AB =3，AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ，则线段BE ，EC 的长分别为 ( )A ．2和3B ．3和2C ．4和1D ．1和42．如图3-100所示，在平面直角坐标系中， 的顶点A ，B ，D 的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C 的坐标是 ( )A ．(3，7)B ．(5，3)C ．(7，3)D ．(8，2)3．如图3-101所示，在矩形ABCD 中，EF ∥AB ，GH ∥BC ，EF ，GH 的交点P 在BD 上，图中面积相等的四边形有 ( )A.3对 B ．4对 C.5对 D ．6对4．如图3-102所示，正方形ABCD 内有两条相交线段MN ，EF ，M ，N ，F ，F 分别在边AB ，CD ，AD ，BC 上，小明认为：若MN ＝EF ，则MN ⊥EF ．小亮认为：若MN ⊥EF ，则MN =EF ，你认为 ( )A ．仅小明对B ．仅小亮对C ．两人都对D ．两人都不对5．A ′，B ′，C ′，D ′顺次为四边形ABCD 各边的中点，下列条件能使四边形''''D C B A 是正方形的条件是 ( )A ．四边形ABCD 中，AC ＝BDB ．四边形ABCD 中，AC ⊥BDC ．四边形ABCD 对角线交于点O ，且OA ＝OB ＝OC ＝ODD ．四边形ABCD 中，AC ＝BD 且AC ⊥BD6．下列命题中不成立的是A ．矩形的对角线相等B ．三边对应相等的两个三角形全等C ．等腰梯形的对角线相等D ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形．7．如图3-103所示，在正方形ABCD 的对角线AC 上取一点E ，使AE ＝AB ，过E 作EF ⊥AC 交BC 于点F ，则下列关系中，成立的是 ( )A ．BF ＝ECB ．BF ＞ECC ．BF ＜ECD ．BF ＝FC8．如图3-104所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝5，AC，BD相交于O点，且∠B O C＝60°，顺次连接等腰梯形各边中点所得四边形的周长是( ) A．24 B．20 C．16 D．129．如图3-105所示，在菱形ABCD中，∠A＝110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC等于( )A．35°B．45°C．50°D．55°10．已知梯形的上底与下底的比为2：5，且它的中位线长为14 CM，则这个梯形的上、下底长分别为( )A．4cm，10 cm B．8 cm，20 cmC．2 cm，5 cm D．14 cm，28 cm二、填空题11．要使一个平行四边形成为正方形，则需增加的条件是．(填上一个正确的结论即可)12．如图3-106所示，在边长为2 cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P 为对角线AC上一动点，连接PB，PQ，则△PBQ周长的最小值为cm．(结果不取近似值)13．如图3-107所示，BD是ABCD的对角线，点E，F在BD上，要使四边形AECF 是平行四边形，还需要增加的一个条件是．14．如图3-108所示，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角等于15．如图3-109所示，正方形ABCD中，AB＝l，P是对角线AC上一点，分别以AP，PC为对角线作正方形，则两个小正方形周长的和是．16．如图3-110所示，已知任意直线l把ABCD分成两部分，要使这两部分的面积相等，则直线l所在位置需满足的条件是．(只需填上一个你认为合适的条件)17．在一次数学活动课上，张明同学将矩形ABCD沿直线CE折叠，顶点B恰好落在AD边上F点处，如图3－111所示，已知CD＝8cm，BE＝5 cm，则AD＝cm．18．如图3-112所示的是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A和B的距离为mm．三、解答题19．如图3-113所示，AB=CD，AD＝BC，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F．(1)根据以上条件，你能得出哪些等式?至少写出可得到的等式中的任意三个(不同于DE＝BF)；(2)证明你写出的关于线段相等的一个结论．20．如图3-114所示，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠OCF＝∠OBE．求证OE＝OF．21．如图3-115所示，△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别是AC，AB的中点，点F 在BC的延长线上，且∠CDF＝∠A．求证四边形DECF是平行四边形．22．如图3-116所示，已知E为平行四边形ABCD中DC延长线上的一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于O，连接O F，求证AB＝2OF．23．如图3-117所示，在ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，且∠DAF＝∠BCE．(1)求证△DAF≌△BCE(2)若∠ABC=60°，∠ECB=20°，∠ABC的平分线BN交AF于M，交AD于N，求∠AMN的度数．24．如图3-118所示，将正方形沿图中虚线(其中x＜y)剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成一个矩形(非正方形)．(1)画出拼成的矩形的简图；(2)求xy的值．25．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD．(1)如图3-119(1)所示，E，F分别在AD，CD上，DE＝CF，AF与BE交于点P，当∠DCB=60°时，通过测量并猜想BE与AF满足的数量关系是，∠BPF的度数为．(2)当图3-119(1)中的∠DCB＝n°(0＜n＜90)时，猜想BE与AF满足的数量关系是，∠BPF的度数为．(3)如图3-119(2)所示，当E，F分别在AD，DC的延长线上，DE＝CF，BE与AF交于点P，当∠DCB＝60°时，猜想(1)中的结论能否成立，并证明你的猜想．参考答案1．B 2．C3．C4．C 5．D6．D7．A8．C9．D10．B11．对角线相等且互相垂直(答案不唯一)12．(22)13．BE＝DF(答案不唯一)14．30°15．416．直线l 过AC 与BD 的交点(或经过AD 和BC 的中点或经过A ，C 两点等)17．10 18．15019．提示：(1)AE ＝CF ，AF ＝CE ，∠ADE =∠CBF 等． (2)如AE ＝CF ．证明如下： ∵AB ＝CD ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∴AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠BCF ．又∵∠AED ＝∠CFB ＝90°，∴△ADE ≌△CBF ，∴AE =CF ．20．证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，即∠A O B ＝∠B O C ＝90°，BO ＝OC.又∵∠O CF ＝∠O BE ，∴△O CF ≌△O BE ，∴O E ＝O F ．21．证明：∵D ，E 分别是AC ，AB 的中点，∴DE ∥BC ．∵∠ACB ＝90°，∴CE ＝12AB ＝AE ，∴∠A ＝∠ECA ．∵∠CDF ＝∠A ，∴∠CDF ＝∠ECA ，∴DF ∥CE ，∴四边形DECF 是平行四边形． 22．证明：连接BE ，如图3-121所示，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ，A O ＝O C ．∵CE ＝CD ，∴AB CE ，∴四边形ABEC 为平行四边形， ∴BF ＝FC ，O F ＝12AB ，即AB ＝2O F ． 23．(1)证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以∠EBC ＝∠ADF ，BC ＝AD ．又 ∠BCE ＝∠DAF ，所以△BCE ≌△DAF ． (2)解：因为AN ∥BC ，所以∠ANB ＝∠NBC ．因为BN 平分∠ABC ， ∠ABC =60°，所以∠NBC ＝∠ABN ＝30°．又由(1)得∠DAF ＝ ∠ECB ＝20°，所以∠AMN ＝180°－30°－20°＝130°．24．解：(1)如图3-122所示． (2)由拼图前后的面积相等得y ＝(x ＋y)2．因为y ≠0，整理得2()10x x y y +-=，解得x y ＝5-1510,22x y ⎛⎫--=< ⎪ ⎪⎝⎭舍去． 25．解：(1)BE ＝AF 120° (2)BE ＝AF 180°－n °(3)成立．证明过程如下：因为梯形ABCD 中，AD ＝CD ，DE ＝CF ，所以AE ＝DF ．又因为AB ＝CD ，∠BAE =∠ADF ，所以△BAE ≌△ADF ，所以BE ＝AF ，∠ABE =∠DAF ．因为∠BPF ＝∠ABE ＋∠BAP ， ∠BAE =∠DAF ＋∠BAP ，所以∠BPF =∠BAE ．因为AD ∥BC ，所以∠BAE ＋∠ABC ＝ 180°．又因为∠DCB ＝60°，所以∠BPF ＝∠BAE ＝120°．。
九年级数学(上册)第三章证明(三)
3.1平行四边形（一） (1)平行四边形的性质, (2)等腰梯形的性质与判定
回顾 思考 1
平行四边形的性质
你还记得我们探索过的平行四边形的性 质及判别条件吗?
你能利用公理和已有的定理证明它们吗?
心动 不如行动
我思,我进步1
平行四边形的性质
定理:平行四边形的对边相等.
求证:∠A=∠D, ∠B=∠C.
A
D
分析:可将两个角转化为同一三角形
的内角,利用等腰三角形等边对等角
′
来证明,于是可过D作AB的平行线. B 证明:过点D作DE∥AB,交BC于点E.
∴∠1=∠B.
∵AD∥BC,DE∥AB,
1
E
C
∴四边形ABED是平行四边形.
∴AB=析:可转化为利用全等三角形的对
应边相等来证明.
′
证明:
A
D
∵AD∥BC,
∴∠B=∠C. ∵ AB=DC.
B
C
BC=CB, ∴△ABC≌△DCB(SAS). ∴AC=DB.
驶向胜利 的彼岸
我思,我进步8
等腰梯形的判定
定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形.
已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC=DB. 求证:AB=DC. 分析:设法将两条相等的线段转化在同一三角形中,
小结 拓展 平行四边形的性质
定∵理A:B平CD是行平四行边四形边的形对.则边AB相=C等D,B.C=DA
A
D
定∵理AB:C平D是行平四行边四边形形的.对则∠角A相=∠等C.,
B
C
∠B=∠D.
′
.定∵定AB理CD:是平平行行四四边边形形.的C对O=A角O,线BO互=DO相平分A O
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对知识之间 联系的掌握
数学思考 知识技能
问题解决
知识应 用意识
有无兴趣， 是否参与、 思考、交流
情感态度
对概念、定理 的理解掌握
关注个体差异，注 意评价的层次性
评价建议
说 建 议
良好的学习习惯
注意评价结果呈现 的多样化。
3.课程资源开发建议
3.课程资源开发与利用建议
综合与实践 教材资源
习题
信息技术、 图书馆、 报刊、杂志 多媒体光 盘 学具或教 数学课外 具 活动小组 课外资源
第1章 有理数 第2章 整式的加减 第3章 一元一次方程 第4章 图形认识初步 第5章 相交线与平行线 第6章 平面直角坐标系 第7章 三角形 第8章 二元一次方程组 第9章 不等式与不等式组 第10章 数据库的收集整理与描述
第14章 一次函数 第15章 整式的乘除与因式分解 第16章 分式 第17章 反比例函数 第18章 勾股定理 第19章 四边形 第20章 数据的分析
统 计 与 概 率
综合与实践 说 九年级下 教 直角三角形的边角关系 材 第一章 第二章 二次函数
第三章 圆 第四章 概率与统计 课题学习 制作抛物线型拱桥模型 课题学习 课题学习 设计庶阳棚 拱桥设计
2.内容结构
2.内容结构：
第11章 全等三角形
第12章 轴对称
第13章 实数
人教版
7—9年级所 有章节统一 编号
2.课程内容
2、课程内容：新课标下的“课程内容”与旧课标下的“内容标准”的比较
旧
空间与图形 统计与概率
新
图形与几何 统计与概率
数与代数
内 容 标 准
实践与综合 应用 数与代数
综合与实践
课 程 内 容
2、课程内容：新课标下的“课程内容”与旧课标下的“内容目标”的比较
旧
图形与变换
图形与坐标
新
图形的变化
北师大版初中数学《义务教育教科书》 九年级上册 第三章 《证明三》
第三章 证明（三）
图形与几何 统计与概率 综合与实践
数与代数
四大领域
数 学 课 程
内容结构
体例、特点 课程目标 立体整合
说教材
教学建议 说建议
说课标
流程
课程内容
说 教 材
评价建议
课程资源 开发建议
1.课程目标
建立空间观念，初步 形成几何直观能力，发展 形象思维与抽象思维。
让学生经历命题证明过 程的探索，提倡证明过程 的多样性，并能运用有关 结论证明相关问题。
数学思考
问题解决
知识技能
经历探索、猜测、 证明的过程，进一步发 展学生的推理论证能力。 进一步掌握用综合 法证明平行四边形和相 关特殊平行四边形的性 质及判定定理。
证明（三） 课 程 内 容
情感态度
让学生体验数学活动 充满探索性和创造性，感 受证明过程的严谨性。
八上 第1章 第3章 探索 第5章 第7章 八下 第1章 第3章 第5章
勾股定理 第2章 实数 图形的平移与旋转 第4章 四边形性质 位置的确定 第6章 一次函数 二元一次方程组 第8章 数据的代表
一元一次不等式（组）第2章 分解因式 分式 第4章 相似图形 数据的手机与处理 第6章 证明（一） 九上 第一章 证明（二） 第二章 一元一次方程 八年级 第三章 证明（三） 七年级 九年级 第四章 试图与投影 第五章 反比例函数 内容结构 第六章 频率与概率 九下 第一章 直角三角形 说 的边角关系 第二章 二次函数 教 第三章 圆 材 第四章概率与统计
平行四边形、 菱形、矩形、 正方形、梯形
三角形全等 的判定 线、角、 平行、垂直、 七巧板
证明（三）
四边形
三角形
平面图形
纵向整合
按图形元素顺序展开，利于 学生掌握研究问题的方法。
角 边
图形的性质 对角线 边 图形的定义 平行四边形、 矩形、菱形、正方形、 等腰梯形 立体整合 对角线 证 明 三 图形的判定 角
体现了螺旋上 升的编排体系
八年级下
八年级
七年级下
内容结构
图 形 与 九年级 几 何
课题学习
第一章 整式的运算 第一章 一元一次不等式和一元 第二章 平行线与相交线 一次不等式组 第三章 生活中的数据 第二章 分解因式 第四章 概率 第三章 分式 第五章 三角形 第四章 相似图形 第六章 变量之间的关系 课题学习 制作视力表 第七章 生活中的轴对称 第五章 数据的收集与处理 课题学习 制作“人口图” 第六章 证明（一） 课题学习 吸烟的危害
教与学的辅 助用书
课程资源的 开发与利用 说 建 议
学生的 作品 学生的错 题资源数学教育不能只局限于数学本身， 应将数学教育置于更为广阔的文化背 景中，渗透数学文化，提升学生的数 学素养，使学生感受到数学的博大与 精深，领略到人类的智慧和文明。
培养有条理地 思考和表达
要规范学生证明过 程，但也要注意题目 的分层、数量和难度
说 建 议
2.评价建议
评价主体的多元化： 可以综合运用教师评价、 自我评价、学生互评和 家长评价等方式。
注意评价方式的多样化： 口头评价、作业评价、 试卷评价、课后访谈等
数学思想 的掌握
逻辑和形象 思维的发展
提出、发现 问题意识
矩形+ 边
矩形+ 对角线
判定 正方形
平行四边形+ 对角线 四边形+ 三角 菱形+ 对角线
菱形+ 边
矩形的判定 矩形 矩形的性质
直角三角形斜边的中 线等于斜边的一半
菱形的性质 特殊平行四边形 内 容 结 构 菱形
菱形的判定
平行四边形+ 对角线
四边形+四边
3.立体整合
横向整合
经历探索、猜想、 证明的过程、掌握 综合证明法。
从“数学思想”方面进行立体整合
一般的 四边形
平行四边形
特殊的平 行四边形
1.教学建议
让学生经历探索猜想 的过程，注重思路的 启发，定理的证明可 分组或口述过程。 用贴近学生生活的情境或 丰富多彩的数学活动
合理分配时间
情境教学， 加强直观 教学建议
渗透模型、分类、 化归的思想，使 具体问题“模型化”
获得分析问题和解决问题 的一些基本方法，体验解决问 题方法的多样性，发展创新意 识。
数学思考 知识技能
问题解决
情感态度 图形与几何
经历图形的抽象、分类、 性质探讨、运动、位置确定 等过程，掌握图形与几何的 基础知识和基本技能。
课 程 目 标
养成乐于思考、勇于质疑、 言必有据等良好品质，认识 数学具有抽象，严谨和应用 广泛的特点，体会数学的价 值。
1.编写体例和编写特点
编写体例：
突出重点 引起重视 结论定理 黑体字 想、做、议 等栏目
拓宽学生视野 满足各层次学生 逐层落实目标 读一读 习题分层 正文 章末 复习全章， 建立知识网 回顾与思考
动口动手 发展思维
章前 章前图 引言 教师导入新课 学生自主预习
编写体例
复习题
知识技能
数学理解
说 教 材
数 与 代 数
八 年 级 上
第一章 勾股定理 第二章 实数 第三章 图形的平移与旋转 第四章 四边形性质探索 第五章 位置的确定 第六章 一次函数 第七章 二元一次方程组 第八章 数据的代表 课题学习 拼图与勾股定理
九 年 级 上
第一章 证明（二） 第二章 一元二次方程 第三章 证明（三） 课题学习 猜想、证明与拓广 第四章 视图与投影 第五章 反比例函数 第六章 频率与概率
问题解决
联系拓广
编写特点：
符合学生的认知规律和心理特征 遵循逻辑 螺旋上升
体现数学的实质
内容严谨
利于激发学生学习兴趣
注重应用
章节明了 条理清晰
第十九章 四边形 19.1 平行四边形 阅读与思考 平行 四边形法则 19.2 特殊的平行四边形 实验与探究 巧拼正方形 19.3 梯形 观察与猜想 平面直角坐标系中的 特殊四边形 19.4 课题学习 重心 数学活动 小结 复习题19
图形的认识 空间与图形
图形与证明
图形的性质
图形与几何
图形与坐标
内 容 目 标
课 程 内 容
图形的平移、旋 转、轴对称、相 似和投影
平面图形基本 性质的证明 图形的性 质、分类 和度量
图形的变化
运用坐标描述 图形的位置和 运动
图形的性质
图形与几何
图形与坐标
平面和空间基 本图形的认识
课 程 内 容
体会在证明过程中所 运用的归纳、类比、转化 等数学思想。
平行四边形
特殊平行四边形
第三章 证 明 （ 三 ）
定义 对角线 对角
平行四边形的性质
对边 对角
平行四边形的判定
对角线
定义
对边
平行四边形 定义
内 容 结 构
等腰梯形的 性质和判定，三角 形中位线定理
底角
对角线
对边的位 置和数量
两组对边分别平行的四边形 是平行四边形及其相关概念
具备矩形和菱形的一切性质
八年级 七年级 内容结构 说 教 材
第21章 二次根式
九年级第22章 一元二次方程
第23章 旋转
第24章 圆 第25章 概率初步 第26章 二次函数
第27章 相似
第28章 锐角三角函数 第29章 投影与视图
七上 第1章 丰富的图形世 界 第2有理数及其运算 第3章 字母表示数 第4章 平面图形及位 置关系 第5章 一元一次方程 第6章 生活中的数据 第7章 可能性 七下 第1章 整式的运算 第2章 平行线与相交 线 第3章 生活中的数据 第4章 概率 第5章 三角形