数字信号处理第三版(姚天任、江太辉) 答案 第五章-unprotected

由于 x(n)和 y(n)是不相关的两个随机信号，所以在上列最后一个式子中
E[x(n) y(n)] = E[x(n)]E[ y(n)] = mxmy
因此
σ
2 ω
=
E[x2 (n)] +
E[ y 2 (n)] +
2mx m y
− 2(mx
+ my )2
+ (mx
+ my )2
=
E[x2 (n)] +
E[ y 2 (n)] −
2[Rxx (0)−
Rxx (1)]
x(n)的功率谱为
∞
∑ S xx (e jω ) = Rxx (m)e − jωn m=−∞
−∞
∞
∑ ∑ = Rxx (0) + Rxx (m)e− jωn + Rxx (m)e− jωn
m=−1
m=1
∞
∞
∑ ∑ = Rxx (0) + Rxx (−m)e jωn + e− jωn
∫ = 1
q
0 −q
xdx
=
1 2q
x2
|0−q =
−
q 2
∞
∫ mx2 = E[x2 ] = −∞ xpx2 (x)dx
∫ = 1
q
q/2 −q/2
xdx
=
1 2q
x2
|−q
/2 q/
2
=
0
∞
∫ mx3 = E[x3 ] = −∞ xpx3 (x)dx
∫ = 1
2π
2π 0
xdx =
1 4π
x2
|02π = π
cos[ω
0
(n
−
m)]
=
1 2
cos[ω 0
|
n
−
m
|]
因为 mxn 和 Rxx (m, n) 都与时间起点 n 无关， Rxx (m, n) 只与时间差|n-m|有关，所以
x(n)是广义平稳随机过程。
5.5 证明一个任意随机信号与一个与其不相关的白噪声序列相乘后，变成为一个白噪声序 列。 设任意随机信号为 x(n)，白噪声序列为 e(n),它们的乘积 y(n)=x(n)e(n)。 白噪声序列 e(n)的自相关序列为
1
−(x−mx )2
e
2σ
2 x
求取样方差
2π
σ
2 x
σˆ
2 x
的方差
Var[ σˆ
2 x
]=E[( σˆ
2 x
-E[
σˆ
2 x
])]。
5.9 x(n)是零均值随机过程的取样序列，d(n)=x(n+1)-x(n)称为差分序列。设该随机过程的功
率谱是低通的即 S xx (e jω )= ⎩⎧⎨非0,ω零c ，<|ω| ω| ≤|<ωπc 此外还假设已知随机过程自相关序列的前
S xx
(e
jω
)dω
=
cosωc Rcc
(0)
=
(1 −
2 sin 2
ωc 2
) R xx
(0)
≥
(1 −
2(ωc 2
)2
) R xx
(0)
因此得
Rxx
(1)
≥
(1
−
ω
2 c
2
)
Rxx
(0)
即
Rxx (0) −
Rxx (1)
≤
ωc2 2
Rxx (0)
或
E[d 2 (n)] ≤ ωc2 E[x 2 (n)]
pxn ,ym (∞, n, y, m) = [xn ≤ ∞, ym ≤ y] 的概率＝[ ym ≤ y] 的概率＝ Pym ( y, m)
pxn ,ym (x, n,−∞, m) = [xn ≤ x, ym ≤ −∞] 的概率＝0
pxn ,ym (−∞, n, y, m) = [xn ≤ −∞, ym ≤ y] 的概率＝0
因为 e(n)和 x(n)不相关，所以上式可写成
R yy
(n,
n
+
m)
=
E[ x(n) x *
(n
+
m)]E[e(n)e*
(n
+
m)]
=
Rxx
(m)Ree
(m)
=
σ
2 e
Rxx
(m)σ
(m)
因此 y(n)是白噪声序列。
5.6 遍历性过程一定是平稳的，平稳随机过程一定是遍历性的，这两个论断正确吗？为什 么？
E[x(i)x( j)] −
2
N −1 N −1
E[x(i)x( j)]
N n=0
N2 i=0 j=0
N2 i=0 j=0
∑ ∑∑ =
1 N
N −1
E[x2 (n)] −
n=0
1 N2
N −1 N −1
E[x(i)x( j)]
i=0 j=0
∑ ∑ ∑∑ =
1
N −1
E[x2 (n)] −
1
N −1
N −1 N −1
另一方面，有
∞
∞
∫ ∫ E[a xn ]= −∞ axpxn (x, n)dx =a −∞ xpxn (x, n)dx =aE[ xn ]
故随机变量的均值具有线性性质。
5.2
已知
x(n) 和
y(n) 是 不 相 关 的 两 个 随 机 信 号 ， 它 们 的 方 差 分 别 是
σ
2 x
和
σ
2 y
，求
数字信号处理 答案 第五章
5.1 证明随机变量的均值的线性性质即式(5.16)和式(5.17)。 证明
∞∞
∞∞
∫ ∫ ∫ ∫ E( xn + ym )=
−∞
(x +
−∞
y) pxn ,ym (x, n, y, m)dxdy
=
−∞ −∞ xpxn ,ym (x, n, y, m)dxdy +
∞∞
∫ ∫−∞ −∞ ypxn ,ym (x, n, y, m)dxdy
=
π2 3
5.4 已知随机信号 x(n)=cos(ω0 n+φ )其中，角频率 ω0 是常数，初相φ 是在区间(0,2π )均匀分
布的随机变量。求 x(n)的均值和自相关序列，并判别 x(n)是否广义平稳随机过程。 x(n)的均值为
mxn =E[x(n)]
∫=
∞ −∞
x(n)
pθ
(θ
)dθ
∫1
= 2π
m
2 x
−
m
2 y
=
E[x 2
(n)
−
m
2 x
]
+
E[ y 2
(n)
−
m
2 y
]
= E[(x(n) = mx )2 ] + E[( y(n) − my )2 ]
=
σ
2 x
+σ
2 y
5.3 设有 3 个白噪声序列 x 1 (n)、x 2 (n)和 x 3 (n)，它们分别在区间(-q,0)、(-q/2,q/2)和(0,2 π )
w(n)=x(n)+y(n)的方差
σ
2 ω
。
根据随机信号的均值的线性性质，得到
mx = E[ω(n)] = E[x(n) + y(n)] = E[x(n)] + E[ y(n)] = mx + my
σ
2 ω
=
E[(ω(n) − mω )2 ] =
E{[x(n) +
y(n) − mx
− my ]2}
其它
px3
(
x)
=
⎧⎪ ⎨
1 2π
,0
≤
⎪⎩0, 其它
x
≤
2π
其图形如图所示。
−q
px3 (x) 1 2π
px1 (x)
1 q
x
0
1 px2 (x) q
−q
qx 0
2
2
0
2π x
(2) x1(n) 、 x2 (n) 和 x3 (n) 的均值
∞
∫ mx1 = E[x1] = −∞ xpx1 (x)dx
其中
∫∞ −∞
xpxn , ym
(x, n,
y, m)dy =
x
∂ ∂x
pxn , ym
(x, n,
y, m)
|∞ y = −∞
∫∞ −∞
yp xn , ym
(x, n,
y, m)dx =
y
∂ ∂x
pxn , ym
(x, n,
y, m)
|∞
x=−∞
由于
pxn ,ym (x, n, ∞, m) = [xn ≤ x, ym ≤ ∞] 的概率＝[xn ≤ x] 的概率＝ Pxn (x, n)
∞ −∞
(x
−
mx2
)2
px2
( x)dx
∫ = 1 q
q/2 −q / 2
x2dx
=
1 3q
x3
|q / 2
−q/
2
=
q2 12
∫ σ 2 x3
=
E[( x3
− mx3 )2 ] =
∞ −∞
(x
−
mx3
)2
px3
( x)dx
∫ = 1
2π
2π 0
(x
−π
)2 dx
=
1 6π
(x
−π )3
|02π
上呈均匀分布。 (1) 画出它们的概率密度函数图形。 (2) 计算它们各自的均值。 (3) 计算它们各自的方差。