2020届湖南省怀化市高三3月第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)

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2020届湖南省怀化市高三3月第一次模拟考试数学(理)试题(含答案)

利用分层抽样的方法选 40 人，则镇应选取所以这 40 人中有 16 人来自镇因为所以三镇基层干部平均每人走访贫困户 28.5 户
（人），，
（2）由直方图得，从三镇的所有基层干部中随机选出 1 人，其工作出色的概率为
显然可取 0，1，2，3，且
，则
，
，
，所以的分布列为
0
1
2
3
所以数学期望
【答案】B
【详解】
设
，由于点为切点，则
C．
D．
，
又点的切线相同，则
，即
，即
又，，∴ 则
，于是，，所以在
，设单调递增，在
，，
单调递减，的
最大值为
，故选 B.
二、填空题
13．设等比数列的前项的和为，且满足
，
【答案】32
，则 _______．
14．已知实数满足【答案】4
，则目标函数
，，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系
如图.
设底面边长为，则高
.
则
，
，
又平面，
则平面的一个法向量平面的一个法向量
，，
则
，
又二面角
为锐角，则二面角
为；
（3）在棱上存在一点使平面 .由（2）知是平面的一个法向量，
且
，
设
，
则
又平面，所以
，
则. 即当
时，
而不在平面内，故平面 .
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20．设椭圆值为 3.
D．，
【答案】A
4．两正数的等差中项为，等比中项为，且为（）

高考试题怀化市2020年高三数学第一次模拟考试统一检测试卷及答案.doc

怀化市2020年高三第一次模拟考试统一检测试卷数学说明：本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分；每个小题给出四个选项，只有一项符合要求）1.已知集合P =｛0，b ｝,Q =｛x |x 2－3x ＜0，z x ∈｝，若P I ≠Q Φ,则b 等于 A.1B.2C.1或2D.82.若函数)(x f 的反函数)0(1)(21<+=-x x x f ，则)2(f 的值为A.1B.－1C.1或－1D.－53.若双曲线)0(1822≠=-m my x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线的离心率为A.2B.22C.4D.244、若曲线12-=x y 与31x y -=在0x x =处的切线互相垂直，则0x 的值为A.32 B.361 C.361-D.32-或0 5.若6622106)1(x a x a x a a mx ++++=+Λ且636321=++++a a a a Λ，则实数m 的值为 A.1 B.－1 C.－3D.1或－36.若点Q 在直线b 上，b 在平面β内，则Q 、b 、β之间的关系可写作A.Q ∈b ∈βB. Q ∈b ⊂βC.Q ⊂b ⊂βD.Q ⊂b ∈β7.若函数x x x f ωωcos 3sin )(+=，R x ∈，又2)(-=αf ，0)(=βf ，且βα-的最小值等于π43，则正数ω的值为A.31B. 32C.34D.238.已知：O 、A 、B 、C 是不共线的四点，若存在一组正实数1λ、2λ、3λ，使321=++λλλ，则三个角∠AOB 、∠BOC 、∠CO A 中A.有一个钝角B.至少有两个钝角C.至多有两个钝角D.没有钝角9.设A (x 1，y 1)，B （4，59），C （x 2, y 2）是右焦点为F 的椭圆192522=+y x 上三个不同的点，则“AF ，BF ，CF 成等差数列”是“x 1+x 2＝8”的 A.充要条件 B.必要而不充分条件 C.充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件10.已知定义在R 上的函数)(x f 在),0[+∞上是增函数，且0)21(=f ，又函数 )1(-=x f y 关于1=x 对称，则不等式0)1(>+x xf 的解集是 A. }311|{-<<-x x B. }131|{>-<x x x 或C. }11|{>-<x x x 或D. }13111|{>-<<--<x x x x 或或二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）.11.圆心为（1,2）且与直线07125=--y x 相切的圆的方程是 .12.设实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--03204202y y x y x 则 x y 的最大值是 .13.已知正方体的全面积是24cm 2，它的顶点中有四个在一半球的底面上，另外四个在半球的球面上，则半球的体积为 cm 3.14.已知),1,2(=),6,1(=),1,4(=设M 是直线OP 上一点（O 为坐标原点），那么使⋅取最小值时的OM 的坐标为 . 15.给出下列命题：①对数函数x y a 52log -=在),0(+∞是增函数，则实数a 的取值范围是),3(+∞； ②若不等式a x x >++-13的解集为R ，则实数a 的取值范围是),4(+∞； ③若方程0122=--x ax 在（0，1）内恰有一解，则实数a 的取值范围是),1(+∞；④在ABC ∆中，若AB =1，BC=2，则角C 的取值范围是]6,0(π，其中真命题的编号是（写出所有真命题的编号）.怀化市2008年高三第一次模拟考试统一检测试卷数学答题卷登分栏一、选择题（每小题5分，共50分）二、填空题（每小题5分，共25分）11、； 12、； 13、； 14、； 15、 .三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程及演16、（本题满分12分）张华同学骑自行车上学途中要经过4个交叉路口，在各交叉路口遇到红灯的概率都是51（假设各交叉路口遇到红灯的事件是相互独立的）. （1）求张华同学某次上学途中恰好遇到3次红灯的概率；（2）求张华同学某次上学时，在途中首次遇到红灯前已经过2个交叉路口的概率.17.(本小题满分12分)在等比数列}{n a 中，*)(0N n a n ∈>，公比)1,0(∈q ，且 252825351=⋅+⋅+⋅a a a a a a ，又53a a 与的等比中项为2.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设n n a b 2log =，数列}{n b 的前n 项和为S n ，求n S 的最大值.18. （本题满分12分）已知20πβα<<<，且αcos ，βcos 是方程02150sin )50sin 2(22=-+-oo x x 的两根.（1）求α、β的值;（2）求)]35tan(31)[65sin(︒--︒+βα的值.19.（本小题满分13分）如图，在矩形ABCD 中，AB =2，AD =1，E 是CD 的中点，以AE 为折痕将△DAE 向上折起，使D 到D 1，且平面D 1AE ⊥平面ABCE ，连结D 1B 、D 1C .（1）求证：AD 1⊥EB ；（2）求二面角D 1-AB -E 的大小；（3）求点C 到平面ABD 1的距离.DAB E ED 1C20.（本小题满分13分）'已知函数1)(23+++=cx bx x x f ，在区间]2,(--∞上单调递增，在区间]2,2[-上单调递减，且0≥b .（1）求)(x f 的表达式；（2）设20≤<m ，若对任意的1t ，],2[2m m t -∈，不等式m 16)()(21≤-t f t f 恒成立，求实数m 的最小值.21.（本小题满分13分）如图， A 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的一个动点，弦AB 、AC 分别过焦点F 1、F 2，当AC 垂直于x 轴时，恰好有1:3:21=AF AF .（1）求该椭圆的离心率；（2）设B F AF 111λ=，F AF 222λ=，试判断21λλ+是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.怀化市高三第一次模拟考试检测试卷数学参考答案11、4)2y ()1x (22=-+-；12、23；13、π64；14、（1017,517）；15、①③④三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）.16.解：（1）经过各交叉路口遇到红灯，相当于独立重复试验，∴恰好遇到3次红灯概率为62516)511()51()3(3344=-=C P ……………………………………………………（6分）（2）记“经过交叉路口遇到红灯”事件为A ，张华在第1、2个交叉路口未遇到红灯，在第3个交叉路口遇到红灯的概率为：)()()()(A P A P A P A A A P P ⋅⋅=⋅⋅=1251651)511()511(=⨯-⨯-=………………………………………………………（12分） 17.解：（1）∵25·2825351=++a a a a a a ∴252255323=++a a a a又0>n a ，∴553=+a a ……………………………………………………2分又53a a 与的等比中项为2，∴453=a a而)1,0(∈q ，∴53a a >，∴43=a ，15=a …………………………………4分∴21=q ，161=a ∴nn n a --=⨯=512)21(16………………………………………………………6分（2）n a b n n -==5log 2……………………………………………………8分由⎩⎨⎧≥≤⇒⎩⎨⎧≤≥+45001n n b b n n ∴54≤≤n∴4=n 或5=n ………………………………………………………………10分故10)(54max ===S S S n ………………………………………………………12分18.（1）解：由20πβα<<<得0cos cos >>βα∵050sin 2cos cos =+βααcos 2150sin cos 02-=β∴02250cos 2)cos (cos =-βα∴050cos 2cos cos =-βα ∴055cos cos =α ∴05=α085cos cos =β ∴085=β……………………………………………8分（2）)50tan 31(70sin )]35tan(31)[65(000-=︒--+βαSin00000050cos 50sin 350cos 70sin )50cos 50sin 31(70sin -︒⋅=-= 150cos 140sin 50cos 110cos 270sin 0000-=-=⋅︒=……………………12分19.解法一（几何法）（1）证明：∵E 是CD 中点∴ED=AD =1 ∴∠AED =45° 同理∠CEB =45° ∴∠BEA =90° ∴EB ⊥EA ∵平面D 1AE ⊥平面ABCE∴EB ⊥平面D 1AE ，AD 1⊂平面D 1AE ∴EB ⊥AD 1……4分（2）设O 是AE 中点，连结OD 1，因为平面ABCE O D ABCE AE D 平面，所以平面⊥⊥11 过O 作OF ⊥AB 于F 点，连结D 1F ，则D 1F ⊥AB ，∴∠D 1FO 就是二面角D 1-AB -E 的平面角. 在Rt △D 1OF 中,D 1O =22,OF =21 ∴22122tan 1==∠FO D∴2arctan 1=∠FO D ,即二面角D 1-AB -E 等于2arctan ………………………9分（3）延长FO 交CD 于G ，过G 作GH ⊥D 1F 于H 点， ∵AB ⊥平面D 1FG ∴GH ⊥平面D 1BA ， ∵CE //AB ∴CE //平面D 1BA. ∴C 到平面D 1BA 的距离等于GH . 又D 1F =23)21()22(22=+ ∵FG·D 1O =D 1F·GH ∴GH =36 即点.361的距离是到平面ABD C ………………………13分另解：在Rt △BED 1中，BD 1=31222=+. 又AD 1=1，AB =2∴21212AD BD AB += ∴∠BD 1A =90° ∴2313211=⨯⨯=∆ABD S设点C 到平面ABD 1的距离为h 则ABC D ABD C V V --=11∴222121312331⨯⨯⨯⨯=⨯⨯h D 1 DA EB CFOHGE∴36=h …………………………………13分解法二：（向量法）（1）证明：取AE 的中点O ，AB 的中点F ，连结D 1O 、OF ，则OF//BE 。

2020年湖南省怀化市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)

2020年湖南省怀化市高考数学一模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A=｛x｜y=log2(x−1)｝，B=｛y｜y=√2−x｝，则A∩B=()A. (0,2］B. (1,2)C. (1,+∞)D. (1,2］2.i虚数单位，复数z=2i+1在复平面内对应的点的坐标为()A. (−1,1)B. (1,1)C. (1,−1)D. (−1,−1)3.向量a⃗，b⃗ 均为单位向量，其夹角为θ，则命题“p：|a⃗−b⃗ |>1”是命题q：θ∈[π2,5π6)的()条件()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 非充分非必要条件4.如图，若n=4，则输出的结果为()A. 37B. 67C. 49D. 5115.若x,y满足{x+y≥0,x≥1,x−y≥0,则下列不等式恒成立的是()A. y≥1B. x≥2C. x+2y+2≥0D. 2x−y+1≥06.下列四个命题中①设有一个回归方程y=2−3x，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位;②命题p:“∃x0∈R,x02−x0−1>0”的否定¬p:“∀x∈R,x2−x−1≤0”;③设随机变量X 服从正态分布N (0,1)，若P (X >1)=p ，则P (−1<X <0)=12−p; ④在一个2×2列联表中，由计算得K 2=6.679，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．其中正确的命题的个数有( ) 附：本题可以参考独立性检验临界值表A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7. 若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3=14，a 1=2，则a 4=( )A. 16B. 16或−16C. −54D. 16或−548. 把函数y =sin(x +π6)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一个对称中心为( )A. (π3,0)B. (π4,0)C. (π12,0)D. (0,0)9. 已知a >0且a ≠1，则函数f(x)=(x −a)2ln x( )A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值，又有极小值D. 既无极大值，又无极小值10. 已知圆C ：x 2+y 2=1和两点A (−m,2)，B (m,2)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则m 的最大值与最小值之差为( )A. 1B. 2C. 3D. 411. 2018年全国两会在北京召开，会议期间，欲将甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛这八名工作人员平均分配到两个不同的地点参与接待工作，若要求甲、乙不在同一组，丙、丁在同一组，则不同的分配方法有( )A. 10种B. 12种C. 14种D. 16种12. 已知四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，∠BAD =60°，沿对角线BD 将△ABD 折起使 A 位于新位置A′，且A′C =√3，则三棱锥A′−BCD 的外接球的表面积为( )A.52π9B.50π9C. 6πD. 25π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 高一(10)班有男生36人，女生12人，若用分层抽样的方法从该班的全体同学中抽取一个容量为8的样本，则抽取男生的人数为______人．14.若等差数列{a n}的前n项和为S n，a8=2a3，则S15S5的值是______ ．15.已知P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1和F2是其左、右焦点，直线PF2⊥x轴，交椭圆于另一点Q，若△F1PQ为等边三角形，则椭圆的离心率为______．16.函数f(x)=xx2+2013x+4(x>0)的最大值为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3(sin2B+sin2C−sin2A)=2√3sinBsinC．(1)求tan A；(2)若△ABC的面积为√6+√2，求a的最小值．18.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，M为棱SB上的点，SA=AB=√3，BC=2，AD=1．(1)若M为棱SB的中点，求证：AM//平面SCD;(2)当SM=MB，DN=3NC时，求平面AMN与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．19. 已知抛物线E ：x 2=2py(p >0)，其焦点为F ，过F 且斜率为1的直线被抛物线截得的弦长为8．(1)求抛物线E 的方程；(2)设A 为E 上一动点(异于原点)，E 在点A 处的切线交x 轴于点P ，原点O 关于直线PF 的对称点为点B ，直线AB 与y 轴交于点C ，求△OBC 面积的最大值．20. 经调查统计，网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A ，B ，C 三种商品有购买意向．该淘宝小店推出买一种送5元优惠券的活动．已知某网民购买A ，B ，C 商品的概率分别为23，p 1，p 2(p 1<p 2)，至少购买一种的概率为2324，最多购买两种的概率为34.假设该网民是否购买这三种商品相互独立．(1)求该网民分别购买B ，C 两种商品的概率；(2)用随机变量X 表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，求X 的分布列和数学期望．21. 已知函数f(x)=(x −2)e x ．(1)求函数f(x)的最小值；(2)若∀x ∈(12,1)，都有x −lnx +a >f(x)，求证a >−4．22. 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数).在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ的焦点F 的极坐标为(1,π2)． (Ⅰ)求常数λ的值；(Ⅱ)设l 与C 交于A 、B 两点，且|AF|=3|FB|，求α的大小．23.已知f(x)=|x−3|−2，g(x)=4−|x+1|．(1)若f(x)≥g(x)，求x的取值范围；(2)若不等式f(x)−g(x)≥a2−3a的解集为，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查了集合的交集运算，属于基础题．解：由题意可知，集合A =｛x ｜y =log 2(x −1)｝={x|x >1}， B =｛y ｜y =√2−x ｝={y|y ≥0}， ∴A ∩B ={x|x >1}，故选C ．2.答案：C解析：解：∵z =2i+1=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i ，∴复数z =2i+1在复平面内对应的点的坐标为(1,−1)．故选：C ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：B解析：解：若|a ⃗ −b ⃗ |>1，则平方得：a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=2−2a ⃗ ⋅b ⃗ >1，即a ⃗ ⋅b ⃗ <12，则cosθ=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b ⃗ |=a ⃗ ⋅b ⃗ <12，∴θ∈(π3,π]，即p ：θ∈(π3,π]，∵命题q ：θ∈[π2,5π6)，∴p 是q 的必要不充分条件，故选：B根据向量数量积的运算公式，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量数量积的应用求出向量夹角是解决本题的关键．4.答案：C解析：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：输入n =4，k =1，S =0， S =11×3，k =1<4，k =2； S =11×3+13×5，k =2<4，k =3； S =11×3+13×5+15×7，k =3<4，k =4；S =11×3+13×5+15×7+17×9，k =4，输出S =12(1−19)=49，故选C ．5.答案：D解析：由约束条件作出可行域，作出四个选项中不等式所对应的直线，由图可得答案．解：由约束条件{x +y ≥0x ≥1x −y ≥0作出可行域如图，由图可知，对可行域内的点不等式恒成立的是2x−y+1=0．故选D.6.答案：C解析：本题考查回归方程、命题的否定，考查正态分布、独立性检验知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．解题时对选项逐个进行判断，即可得出结论．解：①设有一个回归方程y=2−3x，变量x增加一个单位时，y平均减少3个单位，故①不正确；②命题P：“∃x0∈R，x02−x0−1>0“的否定￢P：“∀x∈R，x2−x−1≤0”，故②正确；−p，③设随机变量X服从正态分布N(0,1)，则对称轴为x=0，∵P(X>1)=p，∴P(−l<X<0)=12故③正确；④在一个2×2列联表中，由计算得K2=6.679>6.535，∴有99%的把握确认这两个变量间有关系，故④正确．即正确的命题的个数为3个．故选C．7.答案：D解析：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和的定义，属于基础题．利用等比数列的通项公式及其前n项和的定义即可得出．解：设等比数列{a n}的公比为q，∵S3=14，a1=2，∴2+2q+2q2=14，化为q2+q−6=0，解得q=−3或2，∴a4=2×23=16或a4=2×(−3)3=−54．故选：D．8.答案：D解析：解：把函数y=sin(x+π6)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数y=sin(12x+π6)的图象；再将图象向右平移π3个单位，可得y=sin[12(x−π3)+π6]=sin12x的图象，令12x=kπ，求得x=2kπ，k∈Z，那么所得图象的对称中心为(2kπ,0)k∈Z，故选：D．由条件利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．9.答案：C解析：本题考查函数的极大值和极小值的判断，考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．求出函数f(x)的导数，根据导函数零点的个数，以及函数的单调性和极值的关系得到函数f(x)的极值情况．解：∵a>0且a≠1，函数f(x)=(x−a)2lnx，∴f′(x)=2(x−a)lnx+(x−a)2x =(x−a)(2lnx+1−ax)，令，则g′(x)=2x +ax2>0,所以在(0,+∞)上单调递增，g(a)=2lna，g(x)=0有唯一解x0，1)当a>1时，g(a)>0，x0<a，f(x)在(0,x0)和(a,+∞)上单调递增，在(x0,a)上单调递减；2)当0<a<1时，g(a)<0，x0>a，f(x)在(0,a)和(x0,+∞)上单调递增，在(a,x0)上单调递减；综上：函数f(x)=(x−a)2lnx既有极大值，又有极小值．故选：C．10.答案：B解析：本题考查实数的最值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量数量积的坐标表示和两点距离公式的运用，以及圆上一点与圆外一点的距离的最值性质是解题的关键．解：圆C ：x 2+y 2=1的圆心C(0,0)，半径r =1，设P(a,b)在圆C 上，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a +m,b −2)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −m,b −2)，由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得(a +m)(a −m)+(b −2)2=0，即m 2=a 2+b 2−4b +4=|CP|2，其中C(0,2)， m 的最大值即为|CP|的最大值，等于|OC|+r =2+1=3． m 的最小值即为|CP|的最小值，等于|OC|−r =2−1=1．则m 的最大值与最小值之差为3−1=2．故选B .11.答案：D解析：本题主要考查了排列组合的综合应用，属于基础题．解题关键是特殊的人优先考虑即可．解：根据题目要求，分为以下两种分组情况：①丙丁甲一组，乙在另外一个组，有C 41种情况： ②丙丁一组，甲在另外一个组，有C 41种情况：然后再将两组分到两个不同的地方；∴不同的分配方法有(C 41+C 41)A 22=16种；故选D ．12.答案：A解析：本题考查三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．由题意画出图形，取BD 的中点E ，连接EC ，A′E ，设球心为O ，连接EO ，CO ，利用勾股定理列式求得半径，则三棱锥的外接球的表面积可求．解：如图，由题意可知，A′B =A′D =BD =BC =CD =2， A′C =√3，取BD 的中点E ，连接EC ，A′E ，设球心为O ，连接EO ，CO ， O′为底面BCD 的中心，连接OO′， OO′⊥底面BCD ，可得OO′⊥CE ，且CE =A′E =A′C =√3，即有OE ⊥A′C ，且直角三角形OEO′中，∠OEC =30°， O′E =√33，O′C =2√33，OO′=O′Etan30°=13，即有R =OC =(13)(2√33)=√133，则A′−BCD 的外接球的表面积为4πR 2=52π9，故选：A ．13.答案：6解析：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．解：由分层抽样的定义得抽取男生的人数为3636+12×8=3648×8=6人，故答案为：6．14.答案：6解析：解：由{a n}为等差数列，且a8=2a3，得到a1+7d=2(a1+2d)，∴a1=3d，∴S15S5=15a1+105d5a1+10d=6，故答案为：6．由a8=2a3，得出a1=3d，再利用等差数列的前n项和的公式，即可得出结论．本题考查学生掌握等差数列的通项公式及前n项和的公式，是一道中档题．15.答案：√33解析：考查椭圆的标准方程，椭圆上的点和椭圆几何量的关系，椭圆的离心率及计算公式的应用，属于基础题．设F2(c,0)，根据已知条件容易判断|PQ|与2c的关系，列出方程即可求出离心率．解：如图，设F2(c,0)，△PQF1为等边三角形，可得：√32⋅2b2a=2c，∴2ca=√3b2=√3(a2−c2)，可得2e=√3−√3e2，解得e=√33(负值舍去)，∴该椭圆离心率为：√33．故答案为：√33．16.答案：12017解析：本题考查函数求最值问题，难度一般.利用基本不等式求最值是解题的关键．解：因为x >0，所以函数f(x)=x x 2+2013x+4=1x+4x+2013≤2√4+2013=12017(当且仅当x =2时等号成立)．故答案为12017．17.答案：解：(1)由正弦定理可得，3(sin 2B +sin 2C −sin 2A)=2√3sinBsinC ，即为3(b 2+c2−a 2)=2√3bc ，由余弦定理可得cosA =b 2+c 2−a 22bc=√33， sinA =√1−(√33)2=√63，tanA =sinA cosA=√2；(2)△ABC 的面积为√6+√2，即有12bcsinA =√6+√2，即bc =6+2√3，a 2=b 2+c 2−2bccosA ≥2bc −2√33bc =(2−2√33)(6+2√3)=8，即有a ≥2√2，则当b =c 时，a 取得最小值，且为2√2．解析：本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，基本不等式求最值．(1)由正弦定理可得3(b2+c2−a2)=2√3bc，再用余弦定理求出cos A，bcsinA=√6+√2，即bc=6+2√3，应用基本不等式求出a的最小值．(2)根据题意有1218.答案：(1)证明：取线段SC的中点E，连接ME，ED．BC，在△SBC中，ME为中位线，∴ME//BC且ME=12BC，∴ME//AD且ME=AD，∵AD//BC且AD=12∴四边形AMED为平行四边形．∴AM//DE.∵DE⊂平面SCD，AM⊄平面SCD，∴AM//平面SCD．(2)解：如图所示以点A为坐标原点，建立分别以AD、AB、AS所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,√3,0),C(2,√3,0),D(1,0,0),S(0,0,√3)，于是AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√32,√32), AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)+34(1，√3，0)=(74，3√34，0)．设平面AMN 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z),则{AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0将坐标代入并取y =7，得n ⃗ =(−3√3,7,−7).另外易知平面SAB 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(1,0,0) 所以平面AMN 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦为|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=3√1525解析：【试题解析】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是中档题． (1)取线段SC 的中点E ，连结ME ，ED ，推导出四边形AMED 为平行四边形，从而AM//DE ，由此能证明AM//平面SCD ．(2)以A 为坐标原点，建立分别以AD ，AB ，AS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AMN 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值．19.答案：解：(1)由题可知F(0,p 2)，则该直线方程为：y =x +p2，代入x 2=2py(p >0)得：x 2−2px −p 2=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)为直线与抛物线的交点，则有x 1+x 2=2p ，∵|MN|=8，∴y 1+y 2+p =8，即3p +p =8，解得p =2， ∴抛物线的方程为：x 2=4y ；(2)设A(t,t 24)，则E 在点A 处的切线方程为y =t2x −t 24，所以P(t 2,0)，直线PF ：y =−2t x +1，B(4tt 2+4,2t 2t 2+4)，直线AB 的方程是y =t 2−44tx +1，∴C(0,1)，S △OBC =|2tt 2+4|≤12，当且仅当t =±2时，取得等号，所以△OBC 面积的最大值为12．解析：本题考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，韦达定理的运用，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)过点F 且斜率为1的直线代入抛物线，利用|MN|=8，可得y 1+y 2+p =8，即可求抛物线C 的方程；(2)求出直线AB 的方程是y =t 2−44tx +1，C(0,1)，可得S △OBC =|2t t 2+4|≤12，即得到答案．20.答案：解：(1)由题意可知至少购买一种的概率为2324，所以一种都不买的概率为1−2324=124，即(1−23)(1−p 1)(1−p 2)=124.① 又因为最多购买两种商品的概率为34，所以三种都买的概率为1−34=14，即23p 1p 2=14.②联立①②，解得{p 1=12,p 2=34或{p 1=34,p 2=12.因为p 1<p 2，所以某网民购买B ，C 两种商品的概率分别为p 1=12，p 2=34．(2)用随机变量X 表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，由题意可得X 的所有可能取值为0，5，10，15．则P(X =0)=124，P(X =5)=23×12×14+13×12×14+13×12×34=14， P(X =10)=23×12×14+23×12×34+13×12×34=1124，P(X =15)=23×12×34=14．所以X 的分布列为则E(X)=0×124+5×14+10×1124+15×14=11512．解析：本题考查离散型随机变量的分布列及其期望的求解，涉及相互独立事件的概率，属中档题． (1)由题意和概率的乘法公式可得P 1和P 2的方程组，解方程组可得；(2)由题意可得X 的可能取值为0，5，10，15，分别可得所对应的概率，可得分布列和期望．21.答案：(1)解：∵f(x)=(x −2)e x ，∴f′(x)=(x −1)e x ，∴当x ∈(−∞,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减， ∴当x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增， ∴f(x)min =f(1)=−e ，(2)证明：∵∀x ∈(12,1)，都有x −lnx +a >f(x)， ∴a >(x −2)e x −x +lnx ，设g(x)=(x −2)e x −x +lnx ，x ∈(12,1)， ∴g′(x)=(x −1)e x −1+1x =(x −1)e x −x−1x=(x −1)(e x −1x )=(x −1)⋅xe x −1x，令ℎ(x)=xe x −1，x ∈(12,1)， ∴ℎ′(x)=(x +1)e x >0， ∴ℎ(x)在(12,1)上单调递增，∵ℎ(1)=e −1>0，ℎ(12)=√e2−1<0，∴存在唯一x 0∈(12,1)使得ℎ(x 0)=x 0e x 0−1=0， ∴当x ∈(12,x 0)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，当x ∈(x 0,1)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，∴g(x)max =g(x 0)=(x 0−2)e x 0−x 0+lnx 0=(x 0−2)1x 0−x 0+lnx 0=1−2x 0--x 0+lnx 0，令φ(x)=1−2x --x +lnx ，x ∈(12,1)， ∴φ′(x)=2x 2−1+1x =−x 2+x+2x 2=−(x−2)(x+1)x 2>0，∴φ(x)在(12,1)上单调递增，∴φ(x)<φ(1)=1−2−1+ln1=−2， ∴g(x)<−2， ∴a >−2， ∴a >−4．解析：(1)先求导，根据导数和函数的单调性和最值的关系即可求出，(2)分离参数，可得a >(x −2)e x −x +lnx ，构造函数g(x)=(x −2)e x −x +lnx ，x ∈(12,1)，利用导数可以得到存在唯一x 0∈(12,1)使得ℎ(x 0)=x 0e x 0−1=0，且g(x)max =g(x 0)=1−2x 0--x 0+lnx 0，再构造函数，利用导数求出函数最大值即可．本题考查了导数和函数的最值的关系以及不等式的证明，关键是构造函数，考查了运算能力和转化能力，属于难题．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ，转换为：2ρ2cos 2θ=λρsinθ，即：x 2=λ2y ，由于：曲线C 的焦点F 的极坐标为(1,π2)．即：F(0,1)，所以：λ8=1，故：λ=8．(Ⅱ)把倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数)代入x 2=4y ．得到：cos 2αt 2−4sinαt −4=0．所以：t 1+t 2=4sinαcos 2α，t 1⋅t 2=−4cos 2α<0，且|AF|=3|FB|，故：t 1=6sinαcos 2α，t 2=−2sinαcos 2α，整理得−12sin 2αcos 4α=−4cos 2α，解得：tanα=±√33，由于：0<α≤π，故：α=π6或5π6．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用一元二次方程关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．23.答案：解：(1)由f(x)≥g(x)得：|x−3|+|x+1|≥6，分情况讨论：当x<−1时，原不等式可化为：−x+3−x−1≥6⇒x≤−2；当−1≤x<3时，原不等式可化为：−x+3+x+1≥6⇒x∈⌀；当x≥3时，原不等式可化为：x−3+x+1≥6⇒x≥4．所以x的取值范围为：(−∞,−2]∪[4,+∞}；(2)f(x)−g(x)=|x−3|+|x+1|−6，因为|x−3|+|x+1|≥|(x−3)−(x+1)|=4，所以f(x)−g(x)≥4−6=−2，所以[f(x)−g(x)]min=−2，因为f(x)−g(x)≥a2−3a的解集为，所以−2≥a2−3a，即a2−3a+2≤0，所以(a−1)(a−2)≤0，解得：1≤a≤2，所以a的范围为[1,2]．解析：本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想方法，以及绝对值不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(1)由题意可得|x−3|+|x+1|≥6，运用绝对值的含义，去绝对值，解不等式求并集，即可得到所求范围；(2)运用绝对值不等式的性质可得f(x)−g(x)的最小值，再由二次不等式的解法，即可得到所求范围．。

湖南省怀化市2019届高三3月第一次模拟考试数学(理)试题(PDF版含答案)

2 a， 4
2 …………12 分 1 ,故 SE：EC 2： 1 即 SC : SE =3：由于 SN：NP 2：解法二：（Ⅰ）同解法一
( Ⅱ ) 由题设知，连 BD , 设 AC 交于 BD 于 O ，由题意知 SO 平面ABCD . 以 O 为坐标原点，
OB, OC, OS 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向，建立坐标系 O xyz 如图.
2 1 1
故选 B. 10 提示：显然焦点 F 的坐标为（1,0），所以可设直线 AB 的方程为 �� = ��(�� − 1)，代入�� 2 = 4��并整理得 �� 2 �� 2 − (2�� 2 + 4)�� + �� 2 = 0，所以��1 + ��2 = 2 +
40 =16 （人）， 200
x=10 0.15 20 0.25 30 0.3 40 0.2 50 0.1 28.5 ，
所以三镇基层干部平均每人走访贫困户 28.5 户…………4 分（II）由直方图得，从三镇的所有基层干部中随机选出 1 人，其工作出色的概率为
2 3 3 b 的最大值为 h(e ) e ,故选 B 2 1 3
二、填空题（ 4 5 20 ）： 13. 32 ; 14. 12 ； 15. 4 ； 16.（2e + , 2 e ) .
2
1 e
16 提示：图略，由 f (a) f (b)=f (c) ，得 | ln a || ln b | =2 ln c,
2 6 2 6 a, 0, a) ， CS (0, a, a) 2 2 2 2

湖南省怀化市2020届高三数学统一模拟考试试题(一)理.doc

湖南省怀化市2020 届高三数学统一模拟考试试题（一）理本试卷共 4 页， 23 题（含选考题）。

全卷满分150 分。

考试用时120 分钟。

注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束一定时间后，通过扫描二维码查看考题视频讲解。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合 A={ x N | x2 x 2 0 }，则满足条件的集合B的个数为A. 3B. 4C. 7D. 82. 已知 i 为虚数单位，且复数 2 满足z(1 2i ) | 4 3i |，则复数 z 的共轭复数为A.1-2iB. l+2iC. 2-iD. 2+i2 y2 1 与双曲线 y2 x2 1 有相同的3. 双曲线 x8 4 8 4A. 渐近线B. 顶点C. 焦点D. 离心率4. 已知倾斜角为的直线与直线l : x 2 y 1 0 垂直，则 cos2 sin 2 的值为A. 3B. 3C. 6D. 05 5 55. 某网店2020 年全年的月收支数据如图所示，则针对2020 年这一年的收支情况，说法错误的是A. 月收入的极差为 60B. 7 月份的利润最大C. 这 12 个月利润的中位数与众数均为 30D. 这一年的总利润超过 400 万元6. 已知 p : xR,ax 2, ax 1 > 0, x 0 [ 0, ), a <1x 0，若 pq 为真，则实数 a 的取值范围2 0为A. (0,1)B. [0,1)C. (0,1]D. 07. 已知数列 { a n } 满足 a2a n 1a n 1 (n 2), a 4 a 8 402sin 2xdx ，且 a 4 > 0 , 则 tan(a 6)n33 B.33 D.3A.C.338. 《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，如图，某阳马的三视图如图所示，则该阳马的最长棱的长度为A.1B. 2C. 3D.29. 如图所示为函数f ( x) Asin( x )( > 0,) 的部分图象，点 M 、N 分别为图象的最2高点和最低点，点 P 为该图象一个对称中心，点A(0 ，1) 与点 B 关于点 P 对称，且向量NB 在x 轴上的投影恰为 1， AP29 ，则 f (x) 的解析式为2A.f ( x) 2 3 x ) B.f ( x) 2sin(x )sin(3633 6 C.f ( x) 2sin( x)D.f ( x) 2sin(2 ) 6 x63610. 在正方体中，过 AB作一垂直于直线B1C的平面交平面ADD1A1于直线l，动点M在直线l上，则直线 B1M与直线 CD所成的角的正弦值的最小值是A.3 3 2 1B.2C. D.3 2 211. 过抛物线 C: x2 4 y 的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条直线 l1,l2，其中A交C于A、B 两点， l2交C于D、E两点，若k1k2 2 ,则|AB| + |DE| 的最小值为A. 12B. 16C. 24D. 3012. 对于函数 : y f (x) 与 y g (x) ，若存在 x0，使 f (x0 ) g( x0 ) ，则称M ( x0 , f ( x0 )), N (x o , g ( x o )) 是函数 f (x) 与 g (x) 图象的一对“隐对称点已知函数f (x) m(xln( x 1)f (x) 与 g(x) 的图象恰好存在两对“隐对称点”，2), g (x) ，若函数x 1则实数 m 的取值范围为A.(-1 ，0)B.(- ∞,一 1)C.(0 ，1) U (1 ，+∞)D.(- ∞,-1)U( -1,0) .第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

湖南省怀化市高三数学3月第一次模拟考试题理湘教版

试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上. 1. 复数2iz i+=（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,将支出分区间[20,30)、[30,40)、[40,50)、[50,60)进行统计，现抽出了一个容量为n 的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在[50,60)元的同学有24人,则n 的值为 A ．80 B ．800C ．72D ．7203. 在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 若cos cos 2cos c B b C a A +=，则角A 为A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π 4. 若变量,x y 满足约束条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x-y 的最大值是A ．3-B ．2-C ．1D ．25. 函数()ln f x x =的图像与函数()1g x x =-的图像的交点个数为 A ．3 B ．2C ．1D ．06. 在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点(2,0)A ,将向量OA 绕点O 按逆时针方向旋转3π后得向量OB ,若向量a 满足1a OA OB --=，则a 的最大值是 A ．231- B ．23+1 C ．3 D ．6+2+1 7.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则此几何体的体积V 为A ．323B ．403C ．163D ． 408. 在等腰Rt ABC ∆中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 反射后又回第7题图正视图到原来的点P . 若43AP =，则PQR ∆的周长等于 A ．853 B ．453 C ．833D ．433 第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题:本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.（一）选作题（请考生在9、10、11三题中任选2题作答，如果全做，则按前2题记分） 9. 以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的极坐标方程为cos 2ρθ=,它与抛物线⎩⎨⎧==t y t x 882(t 为参数)相交于两点A 和B ,则AB = .10. 如图,⊙o 的直径6AB =,P 是AB 延长线上的一点,过P 作⊙o 的切线PC ,连接AC ,若30CPA ∠=,则点O 到AC 的距离等于 . 11. 已知函数()12f x x x a =----R ，则a 的取值范围是 .（二）必作题（12~16题）12. 若二项式61()2x x+的展开式的常数项为T, 则02T xdx =⎰ .13.右边程序运行的结果是 .14．设12,F F 是双曲线222:1(0)16x y C b b -=>的两个焦点， P 是双曲线C 上一点，若1290F PF ∠=且12PF F ∆的面积为9，则C 的离心率为 .15．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，数列{}n a 满足a 1＝1，a 2＝1，且23(1)22(1)1n nn n a a +⎡⎤⎡⎤+-=---⎣⎦⎣⎦ (n ＝1,2,3，…)．则100S =___________.16. 将含有3n 个正整数的集合M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A 、B 、C ，其中12{,,...,}n A a a a =，12{,,...,}n B b b b =，12{,,...,}n C c c c =，若A 、B 、C 中的元素满足条件：12...n c c c <<<，k k k a b c +=，k 1,2，…，n ，则称M 为“完并集合”.（1）若{2,,3,5,6,7}M x =为“完并集合”，则x 的一个可能值为 .（写出一个即可）（2）对于“完并集合”{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}M ，则集合C 的个数是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知向量(cos ,sin )a x x =，向量(cos ,sin )b x x =-，()f x a b =⋅ (Ⅰ)求函数 ()()sin 2g x f x x =+ 的最小正周期和对称轴方程； (Ⅱ)若x 是第一象限角且3()2'()f x f x =-,求tan()4x π+的值.18．（本小题满分12分）为喜迎马年新春佳节，怀化某商场在正月初六进行抽奖促销活动，当日在该店消费满500元的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“马”“上”“有”“钱”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“钱”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“马”“上”“有”三个字的球为三等奖．（Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率；（Ⅱ）设摸球次数为ξ，求ξ 的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）已知三棱锥0,90P ABC PAC ABC -∠=∠=,2PA AC BC ==,PAC ABC ⊥平面平面，D E 、分别是PB PC 、的中点.(Ⅰ)求证: BC ⊥平面PAB ； (Ⅱ) 求二面角P ED A --的余弦值.20．（本小题满分13分）已知函数()(2)ln g x b x =-，2()ln ()h x x bx b R =+∈,令()()'()f x g x h x =+.(Ⅰ) 当0b <时，求()f x 的单调区间； (Ⅱ) 当32b -<<-时，若存在12,[1,3]λλ∈，使得12()()(ln3)2ln3f f m b λλ->+-成立，求m 的取值范围.21．（本小题满分13分）已知12(,0)(,0)F c F c -、是椭圆E : 22221(0)x y a b a b+=>>的焦点，点M 在椭圆E 上.（Ⅰ）若12F MF ∠的最大值是2π，求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）设直线x my c =+与椭圆E 交于P 、Q 两点，过P 、Q 两点分别作椭圆E 的切线1l ，2l ，且1l 与2l 交于点R ，试问：当m 变化时，点R 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，说明理由.22. （本小题满分13分）已知集合*12{|(,,,),,1,2,,}(2)n n i T X X x x x x i n n ==∈=≥N ．对于12(,,,)n A a a a =，12(,,,)n n B b b b T =∈，定义；1122(,,,)n n AB b a b a b a =---,1212(,,,)(,,,)()n n a a a a a a =∈R λλλλλ；A 与B 之间的距离为1(,)||ni i i d A B a b ==-∑．（Ⅰ）当5n =时，设5(1,2,1,2,)A a =，(2,4,2,1,3)B =．若(,)7d A B =，求5a ；（Ⅱ）证明：若,,n A B C T ∈，且0∃>λ，使AB BC λ=，则(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=；（Ⅲ）记(1,1,,1)n I T =∈．若A ，n B T ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，求(,)d A B 的最大值．2014年怀化市高三第一次模拟考试统一检测试卷高三数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题（//5840⨯=）8题提示：以AB 、AC 所在直线分别为x 、y 轴建立坐标系，则点4,03P ⎛⎫⎪⎝⎭关于直线BC 的对称点为8'4,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点4,03P ⎛⎫⎪⎝⎭关于直线AC 的对称点为4'',03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则PQR ∆的周长等于'''3P P ==二、填空题（//3065=⨯）选做：9．8； 10．32； 11．(,1]-∞-；必做：12．254； 13．21； 14．54； 15．4925022--； 16．（1）9，13中任一个，（2）3． 16题提示：（2）解：因为1234...1278+++++= 而12...n c c c <<<，k k k a b c +=，k1,2，…，n ，所以123439c c c c +++=，且412c =，1c 的最小值为 6 所以{6,10,11,12}C =或{8,9,10,12}C =或{7,9,11,12}C =题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A D C C B B A三解答题：17解:(Ⅰ)∵22()cos sin sin 2cos 2sin 2)4g x x x x x x x π=-+=+=+ …4分∴最小正周期22T ππ== ; 对称轴方程为()28k x k Z ππ=+∈…………6分 (Ⅱ)由3()2'()f x f x =-,得3cos24sin 2x x =……………………8分又x 是第一象限角∴cos 3sin x x =,故1tan 3x =…………………10分 ∴11tan tan34tan()2141tan tan 143x x x πππ+++===--…………………12分 18解：（Ⅰ）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A ，B ，C ．则()P A =111114444256⨯⨯⨯=（列式正确，计算错误，扣1分）………2分 33415()4256p B A -==（列式正确，计算错误，扣1分）………4分三等奖的情况有：“马，马，上，有”；“ 马，上，上，有”；“ 马，上，有，有”三种情况．()P C 222444111*********()()()444444444444A A A =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯964=……6分（Ⅱ）设摸球的次数为ξ，则ξ的可能取值为1、2、3、4.1(1)4P ξ==， 313(2)4416P ξ==⨯=， 3319(3)44464P ξ==⨯⨯=，27(4)1(1)(2)(3)64P P P P ξξξξ==-=-=-==………………10分故取球次数ξ的分布列为1234416646464E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= …………12分19证明： (Ⅰ)面PAC ⊥面ABC ，且面PAC面ABC AC =，90PAC ∠=PA ABC ∴⊥面，而CB ABC ⊂面，故CB PA ⊥.又90ABC CB AB ∠=⇒⊥，由此得BC PAB ⊥面……………6分(Ⅱ) 因D 、E 分别是PB 、PC 的中点，//DE BC ∴ 又BC ⊥平面PAB ，DE ∴⊥平面PABPDA A ED P ∴∠--是二面角的平面角 ………9分令2=2PA AC BC a ==，则73,7,2a AB a PB a PD AD ====在PDA ∆中，2221cos 27PD AD PA ADP PD AD +-∠==-⨯ 所以二面角P-ED-A 的余弦值17- ………12分 20解：(Ⅰ)依题意，1'()2h x bx x=+ ……………1分所以()()'()f x g x h x =+=1(2)ln 2b x bx x-++，定义域为(0,)+∞………2分又22221(21)()212(2)1'()2(0)b x x b bx b x b f x b x x x x x-+-+--=-+==>……4分当20b -<<时，112b ->，令'()0f x <，得102x <<或1x b >-；令'()0f x >，得112x b<<- ；当2b =-时，22(21)'()0x f x x -=-≤；当2b <-时，112b -<，令'()0f x <，得10x b <<-或12x >；令'()0f x >，得112x b -<< ；综上所述：当20b -<<时，()f x 的单调递减区间为1(0,)2，1(,)b-+∞ ()f x 的单调递增区间为11(,)2b- 当2b =-时，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞当2b <-时，()f x 的单调递减区间为1(0,)b -，1(,)2+∞()f x 的单调递增区间为11(,)2b -………8分 (Ⅱ) 由(1)可知，当32b -<<-时，()f x 在区间[1,3]单调递减所以max min 1()(1)21;()(3)(2)ln 363f x f b f x f b b ==+==-++. 所以12max 2()()(1)(3)4(2)ln 33f f f f b b λλ-=-=-+-. ……10分因为存在12,[1,3]λλ∈，使得12()()(ln3)2ln3f f m b λλ->+-成立，所以2(ln 3)2ln 34(2)ln 33m b b b +-<-+- 整理得243mb b <-. 又0b <，所以243m b >-，又因为32b -<<-，得122339b -<<-，所以132384,339b -<-<-所以389m ≥-…………………13分21解:（Ⅰ）221212122,()2MF MF MF MF a MF MF a ++=∴⨯≤= 2221212124cos 2MF MF c F MF MF MF +-∴∠=⨯21212422b MF MF MF MF -⨯=⨯2221b a ≥- ………3分因为12F MF ∠的最大值是2π，所以22210b a -= ………4分因此椭圆E的离心率2c e a ===………5分（Ⅱ）当m 变化时，点R 恒在一条定直线2a x c=上证明:先证明：椭圆E: 2200221(0)(,)x y a b M x y a b+=>>上一点的切线方程是00221x x y y a b+= 方法一：当000x y ≠时，设00切线方程为：y-y =k(x-x )与椭圆E 方程联立得：2222222220000()2()()0b a k x a k y kx x a y kx a b ++-+--=由22200002201)0x y ay bxk a b b a∆=+=+=及得：（所以2020b x k a y =-，因此切线方程是00221x x y ya b += ………9分方法二：不妨设00(,)M x y 点在第一象限，则由y = 得'y =，所以02020'x x b x k y a y ===-因此切线方程是00221x x y ya b+= ………9分设1122(,)(,)x y x y P 、Q ，则 1l 的方程是11221x x y y a b += 2l 的方程是22221x x y ya b+= 联立方程，解得 2211221()a y y x x y x y -=-又 1122,x my c x my c =+=+，所以 1221122121()()()x y x y my c y my c y c y y -=+-+=-因此 22211221()R a y y a x x y x y c-==-，当m 变化时，点R 恒在一条定直线2a x c =上。

2020年6月湖南省怀化市普通高中2020届高三下期高考仿真模拟考试(三模)数学(理)试题(解析版)

绝密★启用前湖南省怀化市普通高中2020届高三毕业班下学期高考仿真模拟考试(三模)数学(理)试题(解析版)2020年6月注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目.2.考生作答时，选择题和非选择题均须做在答题卡上，在本试题卷上答题无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}1,2,5A =，{}250B x x x m =-+=，若{}1A B ⋂=，则B =（） A. {}1,3-B. {}1,0C. {}1,4D. {}1,5【答案】C【解析】【分析】根据{}1A B ⋂=可得1B ∈，从而得到m 的值，再代入求出二次方程的根，即可得到答案；【详解】{}1A B ⋂=，∴1B ∈，∴150m -+=，解得：4m =， ∴{}{}{}22505401,4B x x x m x x x =-+==-+==，故选：C.【点睛】本题考查利用集合交运算的结果求参数值，再进一步求集合，考查运算求解能力，属于基础题.2. 函数()tan()3π=+f x x 的最小正周期是（） A. 2π B. 4π C. π D. 2π【答案】C【解析】【分析】根据三角函数图像变换分析()tan()3π=+f x x 的图像,再判断最小正周期即可. 【详解】因为()tan()3π=+f x x 的图像为tan y x =向左移动3π个单位,再将x 轴下方的部分往上翻折所得.故最小正周期与tan y x =相同为π.故选：C【点睛】本题主要考查了正切型函数的最小正周期,需要分析所得的图像与原图像间的关系求解.属于基础题.3. 已知直线m ⊥平面α，直线n ⊂平面β，则“//αβ”是“m n ⊥”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条作C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分必要条件定义判断即可. 【详解】直线m ⊥平面α，直线n ⊂平面β，∴若//αβ可得m β⊥，m n ⊥；若m n ⊥，则m 不一定垂直β，∴α与β不一定平行；。

2020年湖南省怀化市高考数学一模试卷(理科)(含答案解析)

2020年湖南省怀化市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合，，则A. B. C. D.2.已知i是虚数单位，复数，则复数z在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.命题p：“向量与向量的夹角为锐角”是命题q：“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件4.已知数列中，，，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第2020项，则判断框内的条件是A. ？B. ？C. ？D. ？5.若x，y满足，则下列不等式恒成立的是A. B. C. D.6.以下四个命题中：函数关系是一种确定性关系；回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；独立性检验中的统计假设就是假设相关事件A、B相互独立；某项测量结果服从正态分布，且，则．以上命题中，真命题的个数为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.数列为正项等比数列，若，且，则此数列的前5项和等于A. B. 41 C. D.8.将函数的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则下列说法正确的是A. 函数的最小正周期为B. 当时，函数为奇函数C. 是函数的一条对称轴D. 函数在区间上的最小值为9.关于函数，下列说法正确的是A. 在单调递增B. 有极小值为0，无极大值C. 的值域为D. 的图象关于直线对称10.已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则实数t的取值范围是A. B. C. D.11.为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作．因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为A. 18B. 24C. 30D. 3612.若等边边长为2，边BC的高为AD，将沿AD折起，使二面角的大小为，则四面体ABCD的外接球的表面积为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.我国古代数学算经十书之一的九章算术有一衰分问题即分层抽样问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡应发役______人．14.若数列的前n项和，则______．15.若椭圆的左焦点为，点P在椭圆上，点O为坐标原点，且为正三角形，则椭圆的离心率为______．16.设函数，，则函数的最大值为______；若对任意，，不等式恒成立，则正数k的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．求角C的大小若的面积等于，求ab的最小值18.如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面CDP，M为线段PD的中点，且．Ⅰ求证：平面ACM；Ⅱ求平面PAC与平面MAC所成锐二面角的余弦值．19.若抛物线C：的焦点为F，O是坐标原点，M为抛物线上的一点，向量与x轴正方向的夹角为，且的面积为．Ⅰ求抛物线C的方程；Ⅱ若抛物线C的准线与x轴交于点A，点N在抛物线C上，求当取得最大值时，直线AN的方程．20.某苗木基地常年供应多种规格的优质树苗．为更好地销售树苗，建设生态文明家乡和美好家园，基地积极主动地联系了甲、乙、丙三家公司，假定基地得到公司甲、乙、丙的购买合同的概率分别、p、，且基地是否得到三家公司的购买合同是相互独立的．Ⅰ若公司甲计划与基地签订300棵银杏实生苗的销售合同，每棵银杏实生苗的价格为90元，栽种后，每棵树苗当年的成活率都为，对当年没有成活的树苗，第二年需再补种1棵．现公司甲为苗木基地提供了两种售后方案，方案一：公司甲购买300棵银杏树苗后，基地需提供一年一次，共计两年的补种服务，且每次补种人工及运输费用平均为800元；方案二：公司甲购买300棵银杏树苗后，基地一次性地多给公司甲60棵树苗，后期的移栽培育工作由公司甲自行负责．若基地首次运送方案一的300棵树苗及方案二的360棵树苗的运费及栽种费用合计都为1600元，试估算两种方案下苗木基地的合同收益分别是多少？Ⅱ记为该基地得到三家公司购买合同的个数，若，求随机变量的分布列与数学期望．21.已知函数，，其中常数．Ⅰ当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；Ⅱ若，且，求证：．22.已知曲线的参数方程为：为参数，的参数方程为：为参数．Ⅰ化、的参数方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；Ⅱ若直线l的极坐标方程为：，曲线上的点P对应的参数，曲线上的点Q对应的参数，求PQ的中点M到直线l的距离．23.已知函数．Ⅰ若，且不等式的解集为，求a的值；Ⅱ如果对任意，，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：，，则，故选：A．求出集合的等价条件，结合交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，根据集合的交集的定义是解决本题的关键．2.答案：C解析：解：，复数z在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限．故选：C．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：A解析：解：若，夹角为锐角，则，充分性成立，当，夹角为0时，满足，但向量与向量的夹角为锐角不成立，必要性不成立，故命题p是q的充分不必要条件，故选：A根据向量数量积的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．4.答案：B解析：解：由递推式，可得，，，．将以上个式子相加，可得，则由程序框图可知，当判断框内的条件是？时，则输出的，．综合可知，若要想输出式的结果，则．即判断框内的条件是？故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查程序框图的应用问题，通过对程序框图的分析对判断框进行判断，属于基础题．解析：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，对可行域内的点不等式恒成立的是．故选：D．由约束条件作出可行域，作出四个选项中不等式所对应的直线，由图可得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6.答案：D解析：解：由函数的定义可知当x确定时，y也唯一确定了，所以函数关系是一种确定性关系，所以正确．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法，根据回归分析的定义可知正确．因为当两事件为相互独立事件时，满足独立性检验的统计假设，故独立性检验中的统计假设就是假设相关事件A，B相互独立，所以正确；某项测量结果服从正态分布，则曲线关于直线对称，，则，故，故正确．故选：D．由函数的定义去判断．根据回归分析的定义去判断；由独立检验的定义判断；利用正态分布的性质去判断．本题考查的是相关关系以及回归分析的定义，正态分布的特点和曲线表示的定义的理解，对本题的正确判断需要对相关概念与应用．7.答案：A解析：解：设等比数列的公比为，，且，，，解得，．此数列的前5项和．设等比数列的公比为，由，且，可得，，解得，即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.答案：C解析：解：函数，的图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，得的图象；再将横坐标伸长为原来的2倍，得的图象；所以函数，则的最小正周期为，所以A错误；时，函数为偶函数，所以B错误；是函数的一条对称轴，C正确；时，，的最小值是，所以D错误．故选：C．化简函数，根据图象平移变换得出函数的解析式，再判断选项中的命题是否正确．本题考查了三角恒等变换以及三角函数图象与性质的应用问题，是基础题．9.答案：B解析：解：．．当时，，单调递增，当时，，单调递减．在上单调递增，故A错误；在上单调递增，在上单调递减，则时，有极小值为，无极大值，故B正确；，，故C错误；，，故D错误．故选：B．写出分段函数解析式，再求导数，得到函数的单调区间判断A；求出极值点的情况判断B；求出函数值域判断C；由判断D．本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．10.答案：D解析：解：C：可化为：，故可设，结合，，得．解得．故选：D．根据题意利用参数方程给出P的坐标，然后代入，得到三角函数的方程使之有解，构造t的函数或不等式，从而求出t的范围．本题考查平面向量的运算和应用，以及利用函数不等式思想解决求范围的问题．同时考查学生利用转化思想和函数思想解决问题的能力．属于中档题．11.答案：C解析：解：根据题意，分2步进行分析：将五名专家分成3组，要求甲乙在同一组，丙丁不在同一组，若分为3、1、1的三组，甲乙必须同在三人组，有种分组方法，若分为1、2、2的三组，甲乙必须同在二人组，丙、丁各在一组，戊有2种情况，此时有2种分组方法，则一共有种分组方法；将分好的三组全排列，分配到三个地区，有种情况，则有种分配方法；故选：C．根据题意，分2步进行分析：将五名专家分成3组，要求甲乙在同一组，丙丁不在同一组，将分好的三组全排列，分配到三个地区，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．12.答案：C解析：解：由题意可得，，，所以面BCD，为二面角的大小为，且，，在三角形BCD中，由余弦定理可得，设底面BCD的外接圆的圆心为，半径为，所以，过作面BCD，则，则外接球的球心在直线上，设为O，连接OA，Z则，过O作于H，则为矩形，所以，在三角形AOH中，，即，在三角形中，，即，，由可得，，所以外接球的表面积，故选：C．由题意可得折起的三棱锥中底面二面角为，由余弦定理可得BC的值，进而求出底面BCD的外接圆的半径，设外接圆的圆心为，过作垂直于底面的垂线，则外接球的球心在改垂线上，设为O，连接OA，OC则，作于H，分别在两个三角形中由勾股定理可得R的值，进而求出外接球的表面积．本题考查三棱锥的棱长于外接球的半径之间的关系，及球的表面积公式，属于中档题．13.答案：108解析：解：北乡8100人，西乡7488人，南乡6912，共有人，选300人，则北乡选人数为人，故答案为：108根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．14.答案：21解析：解：数列的前n项和，时，，时，．则．故答案为：21．数列的前n项和，时，；时，，即可得出．本题考查了数列通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.答案：解析：解：椭圆上存在点P使为正三角形，，不妨P在第二象限，点P的坐标为代入椭圆方程得：，即，解得．故答案为：．由于为半焦距c，利用等边三角形性质，即可得点P的一个坐标，代入椭圆标准方程即可得椭圆的离心率本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的几何性质，椭圆的离心率的定义及其求法，属基础题．16.答案：解析：解：的导数为，则时，，递增；时，，递减，可得在处取得极大值，且为最大值；又时，，当且仅当时取得最小值2，由对任意，，不等式恒成立，可得，由，可得，故答案为：；．求得的导数，可得单调区间和极值、最值，对任意，，不等式恒成立，可得，结合基本不等式可得所求范围．本题考查函数的导数的运用：求最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和基本不等式求最值，考查运算能力，属于中档题．17.答案：解：由正弦定理可知：，，，，由，则，可得：，由，，，，则；由，则，又：，可得：，当且仅当时取等号，可得：，即，可得：当时，ab取得的最小值为．解析：利用正弦定理即可求得，由C的取值范围，即可求得C；根据三角形的面积公式，求得，利用余弦定理及基本不等式的性质即可求得ab的最小值．本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查三角形的面积公式及基本不等式的性质，考查转化思想，属于中档题．18.答案：解：Ⅰ证明：在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面CDP，M为线段PD的中点，且．以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，0，，0，，0，，2，，2，，1，，0，，2，，1，，设平面ACM的法向量y，，则，取，得，，平面ACM，平面ACM．Ⅱ解：0，，2，，设平面PAC的法向量b，，则，取，得，设平面PAC与平面MAC所成锐二面角为，则．平面PAC与平面MAC所成锐二面角的余弦值为．解析：Ⅰ以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面ACM．Ⅱ求出平面PAC的法向量和平面ACM的法向量，利用向量法能求出平面PAC与平面MAC所成锐二面角的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：Ⅰ可设，，，，向量与x轴正方向的夹角为，且的面积为，可得，即有，，由M在抛物线上，可得，解得，则抛物线的方程为；Ⅱ过N作NP与准线垂足，垂足为P，则，当取得最大值，则必须取得最大值，此时AN与抛物线相切，设切线方程为，联立，消去x可得，，即，则，则直线方程或，解析：Ⅰ可设，，，由三角形的面积公式可得n，再由正切函数的定义可得m，结合满M在抛物线上，满足抛物线方程，求得p，可得抛物线的方程；Ⅱ过N作NP与准线垂足，垂足为P，由抛物线的定义和余弦函数的定义，可知取得最大值，则必须取得最大值，此时AN与抛物线相切，设直线l的方程，代入抛物线方程，由，考虑求得NA的方程．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和化简运算求解能力，属于中档题．20.答案：解：Ⅰ方案一：苗木基地的合同收益为元；方案二：元．Ⅱ，解得，随机变量的可能取值为0，1，2，3，；；；．0 1 2 3P数学期望．解析：Ⅰ用购买银杏树苗的收入减去人工费用和运输费用即可得解；Ⅱ先根据相互独立事件的概率用p表示出，列出关于p方程，从而求得p的值，而随机变量的可能取值为0，1，2，3，再根据相互独立事件的概率逐一求出每个的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生对数学的分析与处理能力，属于基础题．21.答案：解：Ⅰ由题意，要使当时，不等式恒成立，只需恒成立，令，，易知，当时，，递减；时，，递增．故，所以即为所求．Ⅱ由题意得需证恒成立，，且，当时，显然原式恒成立；当时，要使原式成立，只需，恒成立，令，，，令，，显然是增函数，因为，所以存在，使得，即，当时，，递减；当时，，递增．故，，令，，所以在上是增函数，，，时，恒成立．综上可知，，且时，．解析：Ⅰ分离参数a，然后构造函数，利用导数研究它的最小值即可；Ⅱ当时，原式显然成立；当时，分离参数a，然后研究函数的最小值即可，要注意判断它的极小值点的范围．本题考查利用导数研究函数的单调性、极值以及不等式的恒成立问题，同时考查学生的逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学核心素养．属于较难的题目．22.答案：解：Ⅰ曲线的参数方程为：为参数，转换为直角坐标方程为，所以该曲线为以为圆心，1为半径的圆．曲线的参数方程为：为参数转换为直角坐标方程为，该曲线以原点为中心，x轴y轴为对称轴的椭圆．Ⅱ曲线为参数上的点P对应的参数，所以．曲线上的点Q对应的参数，所以，由于PQ的中点M，所以．直线l的极坐标方程为：，转换为直角坐标为，所以点M到直线的距离．解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．Ⅱ首先求出中点的坐标，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，中点坐标公式的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：Ⅰ若，不等式即为，由解集为，可得，为方程的两个实根，即有，解得，由的几何意义为数轴上的点与，3的距离之和小于5，而，满足原不等式，故；Ⅱ如果对任意，，等价为恒成立，由，当且仅当取得等号，即有，解得或．解析：Ⅰ由题意可得，为方程的两个实根，代入方程，解方程可得a，再由绝对值的几何意义，可得所求值；Ⅱ如果对任意，，等价为恒成立，运用绝对值不等式的性质可得此不等式右边的最小值，解a的不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意方程思想和转化思想，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。

2019届湖南省怀化市高三3月第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)

2019届湖南省怀化市高三3月第一次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．若集合，，则为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解不等式得到集合，再和求交集即可.【详解】解不等式得，即，因为，所以.故选B【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.2．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（）A．1 B．-1 C．0 D．【答案】A【解析】由复数的除法先求出复数，进而可得出结果.【详解】因为，所以，所以虚部为1.故选A【点睛】本题主要考查复数的运算和概念，熟记复数的运算法则即可，属于基础题型.3．有下列四个命题：：，.：，.：的充要条件是.：若是真命题，则一定是真命题.其中真命题是（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】逐项判断命题的真假即可.【详解】根据正弦函数的值域，可判断：，为真；当时，，所以：，为真；时，，但无意义，所以：的充要条件是为假命题；若是真命题，则或有一个为真即可，所以“：若是真命题，则一定是真命题”是假命题.故选A【点睛】本题主要考查命题的真假判断，结合相关知识点判断即可，属于基础题型.4．两正数的等差中项为，等比中项为，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据两正数的等差中项为，等比中项为，求出，进而可求出结果. 【详解】因为两正数的等差中项为，等比中项为，所以，解得或，因为，所以，所以.故选D【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，熟记公式即可，属于基础题型.5．已知甲袋中有1个黄球和1个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，现随机地从甲袋中取出一个球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出一个球，则从乙袋中取出的球是红球的概率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分两种情况讨论：甲袋中取出黄球和甲袋中取出红球；分别求出对应概率，再求和即可.【详解】分两种情况讨论如下：(1)甲袋中取出黄球，则乙袋中有3个黄球和2个红球，从乙袋中取出的球是红球的概率为；(2)甲袋中取出红球，则乙袋中有2个黄球和3个红球，从乙袋中取出的球是红球的概率为；综上，所求概率为.故选C【点睛】本题主要考查古典概型，以及分类讨论思想，分两种情况讨论即可得出结果，属于基础题型.6．设函数的图像关于原点对称，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先由辅助角公式整理函数解析式，再由函数关于原点对称，即可求出结果. 【详解】因为，又函数关于原点对称，所以，即，因为，所以.故选D【点睛】本题主要考查三角函数的性质，熟记性质即可得出结果，属于基础题型.7．在的展开式中，项的系数为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据二项展开式的通项公式先求出，再由微积分基本定理即可求出结果. 【详解】因为，展开式的通项为，所以在的展开式中，项的系数为，即；所以.故选C【点睛】本题主要考查二项式定理和微积分基本定理，熟记定理即可，属于基础题型.8．的面积为，角的对边分别为，若，则的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先由面积公式和余弦定理，可将化为，进而可求出结果.【详解】因为为的面积，所以，又,所以可化为，所以，因为为三角形内角，所以为钝角，又，所以，整理得，解得，所以，因此.故选B【点睛】本题主要考查余弦定理和同角三角函数基本关系，熟记公式即可，属于基础题型. 9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值为3.14，这就是著名的“徽率”.如图所示是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，其中表示圆内接正多边形的边数，执行此算法输出的圆周率的近似值依次为（）（参考数据：，，）A．3，3.1056，3.1420 B．3，3.1056，3.1320C．3，3.1046，3.1410 D．3，3.1046，3.1330【答案】B【解析】按程序框图，逐步执行即可得出结果.【详解】当时，，输出；当时，，输出；当时，，输出.故选B.【点睛】本主要考查程序框图，分析框图的作用，逐步执行即可，属于基础题型.10．过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，，则四边形面积的最小值为（）A．8 B．16 C．32 D．64【答案】C【解析】先由题意设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，求出，同理可求出，再由即可求出结果.【详解】显然焦点的坐标为，所以可设直线的方程为，代入并整理得，所以，，同理可得，所以故选C.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合，联立直线与抛物线，结合韦达定理求出弦长，进而可求解，属于常考题型.11．如图，是某几何体的三视图，其正视图、侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先由三视图确定该几何体是一个四棱锥，进而可求出结果.【详解】显然几何体是一个四棱锥，将它放到棱长为2的正方体中显然，所以，所以选A.【点睛】本题主要考查几何体的三视图，以及几何体外接球的相关计算，先由三视图确定几何体的形状即可求解，属于常考题型.12．设点为函数与的图像的公共点，以为切点可作直线与两曲线都相切，则实数的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先设，由以为切点可作直线与两曲线都相切，可得两函数在点处切线斜率相同，再由导数的方法即可求解.【详解】设，由于点为切点，则，又点的切线相同，则，即，即，又，，∴，于是，，设，则，所以在单调递增，在单调递减，的最大值为，故选B.【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及导数的几何意义，一般需要对函数求导，用导数的方法研究其单调性等，属于常考题型.二、填空题13．设等比数列的前项的和为，且满足，，则_______．【答案】32【解析】先设等比数列的公比为，再由，求出首项和公比，进而可得出结果.【详解】设等比数列的公比为，因为，，所以，解得，，所以.故答案为【点睛】本题主要考查等比数列，熟记其通项公式和前项和公式，即可求出结果，属于基础题型.14．已知实数满足，则目标函数的最大值为_______．【答案】4【解析】先由约束条件作出可行域，再由目标函数可化为，结合可行域即可求出结果.【详解】由约束条件作出可行域如图所示：因为目标函数可化为，因此表示直线在轴截距的相反数，求的最大值，即是求截距的最小值，由图像可得直线过点B时截距最小，由解得，所以.故答案为4【点睛】本题主要考查简单的线性规划，由约束条件作出可行域，再根据目标函数的几何意义结合图像即可求解，属于基础题型.15．已知正方形的边长为2，为平面内一点，则的最小值为______．【答案】-4【解析】由正方形的边长为2，以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系，分别写出四点坐标，再设，由向量数量积的坐标运算即可求出结果.【详解】由题意，以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系，因为正方形的边长为2，所以可得，设，则，，，，所以，，因此，当且仅当时，取最小值.故答案为-4【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，熟记向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型.16．已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是______．【答案】【解析】画出函数的图象（如图所示）．不妨令，则由已知和图象，得，且，则，则，因为在恒成立，所以在单调递减，所以，三、解答题17．已知等差数列的前项的和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前项和，求使得恒成立时的最小正整数.【答案】(1) (2)1【解析】（1）先设设等差数列的公差为，由，列出方程组求出首项和公差即可；（2）由(1)先求出，再由裂项相消法求数列的前项和即可.【详解】解：（1）设等差数列的公差为，因为，，所以解得所以数列的通项公式为.（2）由（1）可知∴,∴，∴，∴的最小正整数为1【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，以及裂项相消法求数列前项和的问题，熟记公式即可，属于基础题型.18．如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点.（1）求证：；（2）若平面，求二面角的大小；（3）在（2）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.【答案】(1)见证明；(2) (3)见解析【解析】（1）先证明平面，即可得到；（2）由题设知，连，设交于于，由题意知平面.以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，求法向量的夹角余弦值，即可求出结果；（3）要使平面，只需与平面的法向量垂直即可，结合(2)中求出的平面的一个法向量，即可求解.【详解】（1）连交于，由题意.在正方形中，，所以平面，得（2）由题设知，连，设交于于，由题意知平面.以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图.设底面边长为，则高.则，，又平面，则平面的一个法向量，平面的一个法向量，则，又二面角为锐角，则二面角为；（3）在棱上存在一点使平面.由（2）知是平面的一个法向量，且，设，则又平面，所以，则.即当时，而不在平面内，故平面.【点睛】本题主要考查线面垂直的性质，以及空间向量的方法求二面角等，一般需要建立适当的坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量即可结合条件求解，属于常考题型. 19．在全国第五个“扶贫日”到来之际，某省开展“精准脱贫，携手同行”的主题活动，某贫困县调查基层干部走访贫困户数量.镇有基层干部60人，镇有基层干部60人，镇有基层干部80人，每人走访了不少贫困户.按照分层抽样，从三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将走访数量分成5组，，，，，，绘制成如下频率分布直方图.（1）求这40人中有多少人来自镇，并估计三镇基层干部平均每人走访多少贫困户.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从三镇的所有基层干部中随机选取3人，记这3人中工作出色的人数为，求的分布列及数学期望.【答案】（1）40人中有16人来自镇，28.5户（2）见解析【解析】（1）先确定抽样比，再由镇有基层干部80人即可求出结果；求平均数时，只需每组的中间值乘以该组的频率再求和即可；（2）先确定从三镇的所有基层干部中随机选出1人，其工作出色的概率，由题意可知服从二项分布，进而可求出结果.【详解】解：（1）因为三镇分别有基层干部60人，60人，80人，共200人，利用分层抽样的方法选40人，则镇应选取（人），所以这40人中有16人来自镇因为，所以三镇基层干部平均每人走访贫困户28.5户（2）由直方图得，从三镇的所有基层干部中随机选出1人，其工作出色的概率为显然可取0，1，2，3，且，则，，，所以的分布列为所以数学期望【点睛】本题主要考查频率分布直方图，以及二项分布，由频率分布直方图求平均数，只需每组的中间值乘以该组频率再求和即可，对于二项分布的问题，熟记二项分布即可求解，属于常考题型.20．设椭圆的离心率，椭圆上的点到左焦点的距离的最大值为3.（1）求椭圆的方程；（2）求椭圆的外切矩形的面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据题意求出，进而可求出结果；（2）当矩形的一组对边斜率不存在时，可求出矩形的面积；当矩形四边斜率都存在时，不防设，所在直线斜率为，则，斜率为，设出直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式等，即可求解. 【详解】解：（1）由题设条件可得，，解得，∴，所以椭圆的方程为（2）当矩形的一组对边斜率不存在时，得矩形的面积当矩形四边斜率都存在时，不防设，所在直线斜率为，则，斜率为，设直线的方程为，与椭圆联立可得，由，得显然直线的直线方程为，直线，间的距离，同理可求得，间的距离为所以四边形面积为（等号当且仅当时成立）又，故由以上可得外切矩形面积的取值范围是【点睛】本题主要考查椭圆方程以及直线与椭圆的综合，灵活运用弦长公式，韦达定理等即可求解，属于常考题型. 21．已知函数（其中为自然对数的底数）.（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）设，证明：.【答案】（1）见解析；（2）（3）见证明【解析】（1）对函数求导，分类讨论和两种情况，即可得出结果；（2）分类参数的方法，将化为，再由导数的方法求在的最小值即可；（3）先由（1）令可知对任意实数都有，即，再令，即可证明结论成立.【详解】解：（1）因为，所以，①当时，，函数在区间上单调递增；②当时，，所以在上单调递减，在上单调递增. （2）因为对任意的，不等式恒成立，即不等式恒成立.即当时，恒成立.令，则.显然当时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增.∴时取最小值.所以实数的取值范围是（3）在（1）中，令可知对任意实数都有，即（等号当且仅当时成立）令，则，即故【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要用导数的方法求出函数的单调区间，以及函数的最值等，属于常考题型.22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程是：（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程.（2）点是曲线上的动点，求点到直线距离的最大值与最小值.【答案】（1）曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为（2），【解析】（1）由曲线的参数方程消去参数，即可求出其普通方程；由极坐标与直角坐标的互化公式即可求出直线的直角坐标方程；（2）由曲线C的参数方程，先设点，再由点到直线的距离公式即可求解.【详解】解：（1）∵曲线的参数方程为（为参数），∴曲线的普通方程为∵直线的极坐标方程是：∴∴直线的直角坐标方程为（2）∵点是曲线上的动点，∴设，则到直线的距离：，∴当时，点到直线距离取最大值当时，点到直线距离取最小值【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化和极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及参数的方法求点到直线的距离，熟记公式即可，属于常考题型.23．选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若恒成立，求实数的最大值；（2）在（1）成立的条件下，正数满足，证明：.【答案】（1）（2）见证明【解析】（1）由分类讨论的思想，先求出函数的最小值，再解函数绝对值不等式即可；（2）由分析法证明即可.【详解】解：（1）由已知可得，所以因为恒成立，所以，从而可得所以实数的最大值（2）由（1）知，，所以，要证，只需证，即证，即证，即，又因为是正数，所以，故只需证，即，而，可得，故原不等式成立【点睛】本题主要考查含绝对值不等式，以及不等式的证明，分析法是常用的一种证明方法，属于常考题型.。

湖南省怀化市2019_2020学年高三数学上学期模拟考试试题理

湖南省怀化市2019-2020学年高三数学上学期模拟考试试题理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（﹣1，0）D．（0，1）2．（5分）若复数z满足，则|z|＝（）A．B．C．D．3．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和，若S6＝﹣33，a1＝2，则a5＝（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．124．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在其定义域上单调递增的是（）A．B．y＝2x﹣2﹣x C．y＝sin x D．y＝x25．（5分）若x、y满足约束条件，则z＝x+2y的取值范围是（）A．[0，6] B．[0，4] C．[6，+∞）D．[4，+∞）6．（5分）已知△ABC的边BC上有一点D满足＝3，则可表示为（）A．＝﹣2+3B．＝+C．＝+D．＝+7．（5分）太极是中国古代的哲学术语，意为派生万物的本源．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，俗称阴阳鱼．太极图形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理．太极图形展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被的图象分割为两个对称的鱼形图案，图中的两个一黑一白的小圆通常称为“鱼眼”，已知小圆的半径均为1，现在大圆内随机投放一点，则此点投放到“鱼眼”部分的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知双曲线C的中心为坐标原点，一条渐近线方程为，点在C上，则C的方程为（）A．B．C．D．9．（5分）由的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为（）A．B．C．D．10．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2BC＝4，E是AB的中点，则三棱锥E﹣D1C1C 外接球的表面积为（）A．36πB．32πC．9πD．8π11．（5分）已知x＝1是f（x）＝[x2﹣（a+3）x+2a+3]e x的极小值点，则实数a取值范围是（）A．（1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，1）12．（5分）已知椭圆的左右顶点分别为A，B，P是椭圆上异于A，B的一点，若直线PA的斜率k PA与直线PB的斜率k PB乘积，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）一个频率分布表（样本容量为50）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60）上的频率为0.6，则估计样本在[40，50），[50，60）内的数据个数之和是．14．（5分）已知数列{a n}为等比数列，a1＝2，a3＝4则a12+a22+a32+…+a82＝．15．（5分）的展开式中x4的系数为．16．（5分）在平面凸四边形ABCD中，，将△ABD沿BD 折起，形成三棱锥A'﹣BCD，若翻折过程中，存在某个位置，使得BC⊥A'D，则x取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在△ABC中，AC＝8，BC＝7，．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积．18．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面SBC是等边三角形，SB⊥AC．（1）证明：AB＝AS；（2）若AB⊥AS，CA＝CS，求二面角A﹣SD﹣C的余弦值．19．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）经过点M（，），，直线l：y＝kx+与椭圆C交于A，B两点，O是坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求△OAB面积的最大值．20．（12分）某产品年末搞促销活动，由顾客投掷4枚相同的、质地均匀的硬币，若正面向上的硬币多于反面向上的硬币，则称该次投掷“顾客胜利”．顾客每买一件产品可以参加3次投掷活动，并且在投掷硬币之前，可以选择以下两种促销方案之一，获得一定数目的代金券．方案一：顾客每投掷一次，若该次投掷“顾客胜利”，则顾客获得代金券万元，否则该次投掷不获奖；方案二：顾客获得的代金券金额和参加的3次投掷活动中“顾客胜利”次数关系如表：获得代金券金额（万元）“顾客胜利”次数0 1 2 3（1）求顾客投掷一次硬币，该次投掷“顾客胜利”的概率；（2）若某公司采购员小翁为公司采购很多件该产品，请从统计的角度来分析，小翁该采取哪种奖励方案？21．（12分）已知函数在（0，+∞）上单调递减．（1）求a的取值范围；（2）若g（x ）＝﹣lnx的图象在x＝x1，x2（x1≠x2）的切线斜率相同，证明：（i）x1•x2＞256；（ii）g（x1）+g（x2）＞8﹣8ln2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为，将直线l1绕极点O 逆时针旋转个单位得到直线l2．（1）求C和l2的极坐标方程；（2）设直线l1和曲线C交于O，A两点，直线l2和曲线C交于O，B两点，求|OA|+|OB|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|2x﹣2|（a∈R）．（1）当a＝2时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若f（x）≥2，求实数a的取值范围．数学模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（﹣1，0）D．（0，1）【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；5J：集合．【分析】解二次不等式可求得A＝（0，2），又B＝（﹣1，1）则可得解．【解答】解：解二次不等式x2﹣2x＜0，得0＜x＜2，所以集合A＝（0，2），又B＝（﹣1，1），所以A∩B＝（0，1），故选：D．【点评】本题考查了交集及其运算，属简单题．2．（5分）若复数z满足，则|z|＝（）A．B．C．D．【考点】A5：复数的运算；A8：复数的模．【专题】38：对应思想；4R：转化法；5N：数系的扩充和复数．【分析】直接利用商的模等于模的商求解．【解答】解：∵，∴|z|＝||＝．故选：C．【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．3．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和，若S6＝﹣33，a1＝2，则a5＝（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】先根据求和公式即可求出公差，再求和即可．【解答】解：∵S6＝﹣33，a1＝2，S6＝6a1+×d，∴﹣33＝12+15d，∴d＝﹣3，∴a5＝a1+4d＝2﹣4×3＝﹣10，故选：B．【点评】本题考查了等差数列的求和公式和通项公式，属于基础题．4．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在其定义域上单调递增的是（）A．B．y＝2x﹣2﹣x C．y＝sin x D．y＝x2【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝﹣，为反比例函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意；对于B，y＝2x﹣2﹣x，有f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣f（x），为奇函数，且其导数f′（x）＝2x﹣2﹣x＞0，在其定义域上为增函数，符合题意；对于C，y＝sin x，为正弦函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；对于D，y＝x2，为偶函数，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数奇偶性与单调性，属于基础题．5．（5分）若x、y满足约束条件，则z＝x+2y的取值范围是（）A．[0，6] B．[0，4] C．[6，+∞）D．[4，+∞）【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．【解答】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z＝x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．故选：D．【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．6．（5分）已知△ABC的边BC上有一点D满足＝3，则可表示为（）A．＝﹣2+3B．＝+C．＝+D．＝+【考点】9E：向量数乘和线性运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；41：向量法；5A：平面向量及应用．【分析】根据向量的三角形法则和向量的几何意义即可求出．【解答】解：由＝3，则＝+＝+＝+（﹣）＝+，故选：C．【点评】本题考查了向量的三角形法则和向量的几何意义，属于基础题．7．（5分）太极是中国古代的哲学术语，意为派生万物的本源．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，俗称阴阳鱼．太极图形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理．太极图形展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被的图象分割为两个对称的鱼形图案，图中的两个一黑一白的小圆通常称为“鱼眼”，已知小圆的半径均为1，现在大圆内随机投放一点，则此点投放到“鱼眼”部分的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】由三角函数的周期可得：函数的周期为＝6，即大圆的半径为3，由几何概型中的面积型可得：P（A）＝＝＝，得解．【解答】解：由函数的图象可得函数的周期为＝6，即大圆的半径为3，设“此点投放到“鱼眼”部分”为事件A，由几何概型中的面积型可得：P（A）＝＝＝，故选：B．【点评】本题考查了三角函数的周期及几何概型中的面积型，属中档题．8．（5分）已知双曲线C的中心为坐标原点，一条渐近线方程为，点在C上，则C的方程为（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意y＝x是C的一条渐近线，故可设双曲线的标准方程为（y+x）（y ﹣x）＝λ．把点P的坐标代入即可．【解答】解：由题意可知：求的双曲线的方程是标准方程．∵y＝x是C的一条渐近线，∴可设双曲线的方程为（y+x）（y﹣x）＝λ，即y2﹣2x2＝λ把点P（2，﹣2）代入得（﹣2）2﹣2×（2）2＝λ，解得λ＝﹣14．∴双曲线的方程为y2﹣2x2＝﹣14．化为﹣＝1，故选：B．【点评】本题考查了双曲线的性质和方程，属于基础题．9．（5分）由的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得图象对应的函数解析式为（）A．B．C．D．【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图象与性质．【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．【解答】解：函数的图象向左平移个单位，得到：，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后，所得：故选：A．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2BC＝4，E是AB的中点，则三棱锥E﹣D1C1C 外接球的表面积为（）A．36πB．32πC．9πD．8π【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【专题】31：数形结合；4R：转化法；5F：空间位置关系与距离．【分析】由题意画出图形，由已知求得D1E⊥CE，可得D1C中点O为三棱锥E﹣D1C1C外接球的球心，求出半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：如图，∵AA1＝AB＝2BC＝4，E是AB的中点，∴CE＝，，，则，∴D1E⊥CE，又D1C1⊥C1C，取D1C中点O，则O为三棱锥E﹣D1C1C外接球的球心，∴外接球的半径为．∴三棱锥E﹣D1C1C外接球的表面积为．故选：B．【点评】本题考查多面体外接球的表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．11．（5分）已知x＝1是f（x）＝[x2﹣（a+3）x+2a+3]e x的极小值点，则实数a取值范围是（）A．（1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，1）【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【专题】32：分类讨论；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】根据题意求函数f（x）的导数f′（x），根据x＝1是f（x）的极小值点，得出x＜1时f′（x）＜0，且x＞1时f′（x）＞0，由此可得出实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）＝[x2﹣（a+3）x+2a+3]e x，则f′（x）＝[x2﹣（a+1）x+a]e x，令f′（x）＝0，得x2﹣（a+1）x+a＝0，设g（x）＝x2﹣（a+1）x+a，x∈R，①当a＝1时，g（x）＝（x﹣1）2≥0恒成立，∴f′（x）≥0恒成立，f（x）是R上的单调增函数，没有极值点，不合题意；②当a＞1时，g（x）有两个零点1和a，且x＜1或x＞a时g（x）＞0，则f′（x）＞0，1＜x＜a时g（x）＜0，则f（x）＜0，所以x＝1是f（x）的极大值点，不满足题意；③当a＜1时，g（x）有两个零点1和a，且x＜a或x＞1时g（x）＞0，则f′（x）＞0，a＜x＜1时g（x）＜0，则f（x）＜0，所以x＝1是f（x）的极小值点，满足题意；综上所述，x＝1是f（x）的极小值点时，实数a取值范围是（﹣∞，1）．故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，也考查了导数的应用问题，是中档题．12．（5分）已知椭圆的左右顶点分别为A，B，P是椭圆上异于A，B的一点，若直线PA的斜率k PA与直线PB的斜率k PB乘积，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设P点坐标，代入椭圆方程，根据直线的斜率公式，即可求得＝，根据椭圆的离心率公式，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：设P（x0，y0）代入椭圆方程，则，整理得：y02＝（x02﹣a2），又k1＝，k2＝，所以k1k2＝＝﹣，联立两个方程则k1k2＝﹣＝﹣，即＝，则e＝＝＝．故选：D．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，难度中档．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）一个频率分布表（样本容量为50）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60）上的频率为0.6，则估计样本在[40，50），[50，60）内的数据个数之和是21 ．【考点】B7：分布和频率分布表．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】设分布在「40，50），[50，60）内的数据个数分别为x，y．根据样本容量为50和数据在[20，60）上的频率为0.6，建立关于x、y的方程，解之即可得到x+y的值．【解答】解：根据题意，设分布在「40，50），[50，60）内的数据个数分别为x，y ∵样本中数据在[20，60）上的频率为0.6，样本容量为50∴，解之得x+y＝21即样本在「40，50），[50，60）内的数据个数之和为21故答案为：21【点评】本题给出频率分布表的部分数据，要我们求表中的未知数据．着重考查了频率分布表的理解和频率计算公式等知识，属于基础题．14．（5分）已知数列{a n}为等比数列，a1＝2，a3＝4则a12+a22+a32+…+a82＝1020 ．【考点】87：等比数列的性质．【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列的通项公式和求和公式即可求出．【解答】解：数列{a n}为等比数列，a1＝2，a3＝4，∴q2＝＝2，∴a n2＝（a1q n﹣1）2＝4×（q2）n﹣1＝4×2n﹣1＝2n+1，∴a12+a22+a32+…+a82＝＝1020，故答案为：1020．【点评】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了运算能力，属于基础题15．（5分）的展开式中x4的系数为120 ．【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中x4的系数．【解答】解：∵＝（1+x3）•（x10+10x7+40x4+80x+80x﹣2 32x﹣5），故它的展开式中x4的系数为40+80＝120，故答案为：120．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．16．（5分）在平面凸四边形ABCD中，，将△ABD沿BD 折起，形成三棱锥A'﹣BCD，若翻折过程中，存在某个位置，使得BC⊥A'D，则x取值范围是（，+∞）．【考点】L3：棱锥的结构特征．【专题】35：转化思想；48：分析法；5F：空间位置关系与距离．【分析】求得BD＝3，取BD的中点E，连接A'E，CE，由等腰三角形的三线合一，以及线面垂直的判断和性质，以及已知垂直条件可得A'在底面BCD的射影为垂心H，求得A'E，EH，由A'E＞EH，解不等式可得所求范围．【解答】解：由平面凸四边形ABCD中，，可得BD＝3，取BD的中点E，连接A'E，CE，由A'B＝A'D，CB＝CD，可得BD⊥A'E，BD⊥CE，则BD⊥平面A'CE，可得BD⊥A'C，由存在某个位置，使得BC⊥A'D，由线面垂直的判断和性质可得A'在底面BCD的射影为三角形BCD的垂心，设H为垂心，可得AE＞EH，即＞•3，解得x＞，满足x+x＞3，故答案为：（，+∞）．【点评】本题考查线面垂直的判断和性质的运用，考查转化思想和空间想象能力、推理能力，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在△ABC中，AC＝8，BC＝7，．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积．【考点】HP：正弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】（1）由已知利用同角三角函数关系式可求sin B的值，根据正弦定理可得，利用大边对大角可求A的范围，即可得解A的值．（2）由（1）利用两角和的正弦函数公式可求sin C的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．【解答】（本小题满分12分）解：（1）在△ABC中，cos B＜0，所以，所以，由正弦定理可得，，即，得．…………（4分）又因为A＜B，所以，所以．…………（6分）（2）由（1）可得：sin C＝sin[π﹣（A+B）]＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝，…………（9分）可得：．…………（12分）【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，正弦定理，大边对大角，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面SBC是等边三角形，SB⊥AC．（1）证明：AB＝AS；（2）若AB⊥AS，CA＝CS，求二面角A﹣SD﹣C的余弦值．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）取BS的中点O，连接CO，AO，推导出BS⊥CO，BS⊥AC，从而BS⊥面AOC．再求出BS⊥AO．由此能证明AB＝AS．（2）设BS＝2，以O为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣SD﹣C的余弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（1）取BS的中点O，连接CO，AO，因为△SBC是等边三角形，所以BS⊥CO，又BS⊥AC，AC∩CO＝C，所以BS⊥面AOC．又AO⊂面AOC，所以BS⊥AO．…………（3分）又O是BS的中点，所以AB＝AS．…………（4分）（2）设BS＝2，依题意可得AO＝OS＝1，，CA＝CS＝2．因为AO2+OC2＝AC2，所以AO⊥OC．又由（1）知，OS⊥OA，OS⊥OC，如图以O为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，…………（6分）则A（0，0，1），S（1，0，0），，B（﹣1，0，0），，，设面ASD的一个法向量为，则，即，得方程的一组解为，即…………（8分），，设面SDC的一个法向量为，则，即，得方程的一组解为，即…………（10分）…………（11分）所以二面角A﹣SD﹣C的余弦值为．…………（12分）【点评】本题考查两线段相等的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）经过点M（，），，直线l：y＝kx+与椭圆C交于A，B两点，O是坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求△OAB面积的最大值．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）依题意可得解得，即可求出椭圆方程，（2）联立方程组，得（1+4k2）x2+12kx+5＝0，由此利用根的判断式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式、基本不等式，能求出△OAB面积取最大值．【解答】解：（1）依题意可得解得，椭圆C的标准方程为，（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由得（1+4k2）x2+12kx+5＝0，△＝（12k）2﹣4×5×（1+4k2）＝64k2﹣20由△＞0得，∴，∴，∴O到AB的距离设，则，，当且仅当，即t2＝9时，得，△OAB面积取得最大值1．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查根的判断式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式、基本不等式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．（12分）某产品年末搞促销活动，由顾客投掷4枚相同的、质地均匀的硬币，若正面向上的硬币多于反面向上的硬币，则称该次投掷“顾客胜利”．顾客每买一件产品可以参加3次投掷活动，并且在投掷硬币之前，可以选择以下两种促销方案之一，获得一定数目的代金券．方案一：顾客每投掷一次，若该次投掷“顾客胜利”，则顾客获得代金券万元，否则该次投掷不获奖；方案二：顾客获得的代金券金额和参加的3次投掷活动中“顾客胜利”次数关系如表：获得代金券金额（万元）“顾客胜利”次数0 1 2 3（1）求顾客投掷一次硬币，该次投掷“顾客胜利”的概率；（2）若某公司采购员小翁为公司采购很多件该产品，请从统计的角度来分析，小翁该采取哪种奖励方案？【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】（1）设“顾客投掷一次硬币，该次投掷‘顾客胜利’”为事件A，利用古典概型能求出顾客投掷一次硬币，该次投掷“顾客胜利”的概率．（2）方案一：设顾客参加的3次投掷活动中“顾客胜利”次数为X，获得代金券数目为Y ，则，，；方案二：设顾客每买一件产品获得的代金券金额为ξ，求出，从而统计的角度来分析，小翁该采取哪种奖励方案二．【解答】（本小题满分12分）解：（1）设“顾客投掷一次硬币，该次投掷‘顾客胜利’”为事件A，则．所以顾客投掷一次硬币，该次投掷“顾客胜利”的概率为．…………（3分）（2）方案一：设顾客参加的3次投掷活动中“顾客胜利”次数为X，获得代金券数目为Y，则，，∴．…………（6分）方案二：设顾客每买一件产品获得的代金券金额为ξ，则，，，，…………（8分）（以上概率的值无需化简）…………（10分）∵∴统计的角度来分析，小翁该采取哪种奖励方案二．…………（12分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的应用，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知函数在（0，+∞）上单调递减．（1）求a的取值范围；（2）若g（x）＝﹣lnx的图象在x＝x1，x2（x1≠x2）的切线斜率相同，证明：（i）x1•x2＞256；（ii）g（x1）+g（x2）＞8﹣8ln2．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（1）求出函数的导数，根据导函数的单调性求出函数的最大值，从而求出a的范围即可；（2）（i）求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可；（ii）求出g（x1）+g（x2）的解析式，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1），…………（1分）因为f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以f'（x）≤0，得令，则h（x）max≤0…………（2分），当0＜x＜16时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；当x＞16时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，所以当x＝16时，h（x）取得最大值h（16）＝ln16+a﹣3，由ln16+a﹣3≤0得a≤3﹣4ln2…………（4分）（2），依题意有，化简整理得，因为x1≠x2，所以①…………（6分）因为，当且仅当x1＝x2时，等号成立成立，即，即x1x2≥256，又因为x1≠x2，所以x1x2＞256 …………（8分）（ii），结合①式得，令x1x2＝t，则t＞256，由（1）可知在（16，+∞）上单调递减，所以在（16，+∞）上单调递增，…………（10分）所以当t＞256时，即g（x1）+g（x2）＞8﹣8ln2．…………（12分）【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为，将直线l1绕极点O逆时针旋转个单位得到直线l2．（1）求C和l2的极坐标方程；（2）设直线l1和曲线C交于O，A两点，直线l2和曲线C交于O，B两点，求|OA|+|OB|的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】35：转化思想；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用三角函数关系式的变换和正弦型函函数的性质的应用求出结果．【解答】解：（1）将C的参数方程化为普通方程得，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，并化简得C的极坐标方程为．l2的极坐标方程为（2）依题意可得，即，即．因为，所以，当时，|OA|+|OB|取得最大值．【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|2x﹣2|（a∈R）．（1）当a＝2时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若f（x）≥2，求实数a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】38：对应思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值不等式的性质得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）不等式f（x）＞2，即|x﹣2|+|2x﹣2|＞2．可得，或或…………（3分）解得，所以不等式的解集为．…………（5分）（2）f（x）＝|x﹣a|+|2x﹣2|＝|x﹣a|+|x﹣1|+|x﹣1|≥|x﹣a﹣（x﹣1）|+|x﹣1|＝|a﹣1|+|x﹣1|≥|a﹣1|当且仅当x＝1时，两处等号同时成立，…………（8分）所以|a﹣1|≥2，解得a≤﹣1或a≥3实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）…………（10分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。

2020届湖南省怀化市高三6月仿真模拟考试(三模考试)理科数学试卷及答案

2020届湖南省怀化市高三6月仿真模拟考试（三模考试）理科数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,2,5=A ,{}250B x x x m =-+=．若{}1A B =,则B = A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,5 D ． {}1,42．函数()tan()3π=+f x x 的最小正周期是 A ．2π B ．4π C ．π D ．2π3．已知直线⊥m 平面α,直线⊂n 平面β,则βα//是n m ⊥的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．据记载,欧拉公式cos sin ()ix e x i x x R =+∈是由瑞士著名数学家欧拉发现的,该公式被誉为“数学中的天桥”．特别是当x π=时,得到一个令人着迷的优美恒等式 10i e π+=,这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底e ,圆周率π,虚数单位i ,自然数的单位1和零元0）联系到了一起,有些数学家评价它是“最完美的公式”．根据欧拉公式,若复数z = 34i e π的共轭复数为z ,则z =A ．2222i --B ．2222i -+C ．2222i +D ．2222i - 5．5)2(x x -的展开式中含3x 的项的系数为A ．10B ．－10C ．5D ．－56．若32=a ,3log 2=b ,2log 3=c ,则实数c b a ,,之间的大小关系为A ．a c b >>B ． a b c >>C ．c a b >>D ．b a c >>7．某保险公司为客户定制了5个险种：甲为一年期短险；乙为两全保险；丙为理财类保险；丁为定期寿险；戊为重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查,得出如下的统计图例：。

2025届湖南省湖南师大附中高三3月份模拟考试数学试题含解析

2025届湖南省湖南师大附中高三3月份模拟考试数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若202031i iz i+=+，则z 的虚部是（）A ．iB ．2iC ．1-D ．12．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()11,P x y ，()11,Q x y --在椭圆C 上，其中1>0x ，10y >，若22PQ OF =，1133QF PF ≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为（） A ．610,2⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭ B ．(0,62⎤-⎦C ．2,312⎛⎤- ⎥ ⎝⎦D ．(0,31⎤-⎦3．如图，抛物线M ：28y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线M 交于A ，B 两点，若直线l 与以F 为圆心，线段OF （O 为坐标原点）长为半径的圆交于C ，D 两点，则关于AC BD ⋅值的说法正确的是（）A ．等于4B ．大于4C ．小于4D ．不确定4．已知集合{}1,2,3,,M n =（*n N ∈），若集合{}12,A a a M =⊆，且对任意的b M ∈，存在{},1,0,1λμ∈-使得i j b a a λμ=+，其中,i j a a A ∈，12i j ≤≤≤，则称集合A 为集合M 的基底.下列集合中能作为集合{}1,2,3,4,5,6M =的基底的是（）A ．{}1,5B ．{}3,5C ．{}2,3D ．{}2,45．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（）A ．且B ．且C ．且D ．且6．某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）.A ．22S ∉，且23S ∉B ．22S ∉，且23S ∈C ．22S ∈，且23S ∉D ．22S ∈，且23S ∈7．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且11a ，31a ，41a 构成新的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若存在n 使得0n S =，则n =（） A ．10B ．11C ．12D ．138．设非零向量a ，b ，c ，满足||2b =，||1a =，且b 与a 的夹角为θ，则“||3b a -=”是“3πθ=”的（）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．610．已知复数z ，满足(34)5z i i -=，则z =（） A ．1B 5C 3D ．511．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是A ．M N N =B ．()UMN =∅C ．MN U =D ．()UM N ⊆12．斜率为1的直线l 与椭圆22x y 14+=相交于A 、B 两点，则AB 的最大值为( )A ．2B ．455C ．4105D ．8105二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届湖南省怀化三中高考数学三模试卷(含解析)

2020届湖南省怀化三中高考数学三模试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 若复数是纯虚数(是虚数单位)，则的值为( )A.B.C. D.2. 已知集合A ={1,2，3}，B ={x|x 2−x −6=0}，则A ∩B =( )A. {1}B. {2}C. {3}D. {2,3}3. 设f(x)是以2为周期的奇函数，且f(−)=3，若sinα=，则f(4cos2α)= ( )A. −3B. 3C. −D.4. 等比数列{a n }的公比q <0，已知a 2=1，a n+2=a n+1+2a n ，则{a n }的前2018项和等于( )A. −1B. 0C. 1D. 20185. 已知x 、y 满足以下约束条件{2x +y −2≥0x −2y +4≥03x −y −3≤0，则z =x 2+y 2的最大值和最小值分别是( )A. 13，1B. 13，2C. 13，45D. √13，2√556. 已知函数y =log a (ax 2−x)在区间[2,4]上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A. (14,1)∪(1,+∞) B. (1,+∞) C. (14,1)D. (0,18)7. 已知点A ，B ，C ，D 是直角坐标系中不同的四点，若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μAB ⃗⃗⃗⃗⃗ (μ∈R)，且1λ+1μ=2，则下列说法正确的是( )A. C 可能是线段AB 的中点B. D 可能是线段AB 的中点C. C 、D 可能同时在线段AB 上D. C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上8. 方程x 2+x +n =0(n ∈(0,1))有实根的概率为 ( )A. B.C. D.9.若函数f(x)=x2+2ax+2在(3,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是()A. a=−3B. a≥−3C. a>−3D. a≤−310.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=√3，AA1=1，则异面直线AD与BC1所成角为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(sinA+sinB)2−sin2C=3sinAsinB，且c=4，则△ABC面积的最大值是()A. 4B. 4√3C. 8D. 8√312.设函数f(x)=x3−4x+a(a>0)，若f(x)的三个零点分别为x1，x2，x3，且x1<x2<x3，则()A. x1>−2B. x12+x22<103C. x3>2 D. x22+x32<163二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.己知某产品的销售额y与广告费用x之间的关系如表：x(单位：万元)01234y(单位：万元)1015203035若求得其线性回归方程为ŷ=6.5x+a，则预计当广告费用为7万元时的销售额为______．14.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)具有相同的焦点F1，F2，且在第一象限交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，若∠F1PF2=π2，则e12+e22的取值范围为______ ．15.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，且AB=PD=2，则这个四棱锥的内切球半径是______ ．16.数列的通项公式其前项和，则=_____．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，A=π4，B=π3，BC=2.(1)求AC的长；(2)求AB的长．18.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC，D，E分别为BB1，AC1的中点．(1)证明：DE⊥平面ACC1A1；(2)设AA1=AC=√2AB，求二面角A1−AD−C1的大小．19.某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取n份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图(如图所示)，其中成绩在[50,60)的学生人数为6．(Ⅰ)估计所抽取的数学成绩的众数；(Ⅱ)用分层抽样的方法在成绩为[80,90)和[90,100]这两组中共抽取5个学生，并从这5个学生中任取2人进行点评，求分数在[90,100]恰有1人的概率．20.线段AB为圆M：x2+y2+2x−10y+6=0的一条直径，其端点A，B在抛物线C：x2=2py(p>0)上，且A，B两点到抛物线C焦点的距离之和为11．(1)求抛物线C的方程及直径AB所在的直线方程；(2)过M点的直线l交抛物线C于P，Q两点，抛物线C在P，Q处的切线相交于N点，求△PQN面积的取值范围．x2(a∈R)．21.已知函数f(x)=e x−a2(Ⅰ)若函数f(x)存在单调递减区间，则求a取值范围；(Ⅱ)若x>0时存在唯一正整数x0使f(x0)<0，则求a的取值范围．22.将曲线C的坐标方化为角标方程，并指出曲线是么线；若线的参数方程为{x=32+ty=√3t(数当直线l与曲线C相交于A，B点，求|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |23.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象通过原点，对称轴为x=−2n，(n∈N∗).f′(x)是f(x)的导函数，且f′(0)=2n，(n∈N∗).(1)求f(x)的表达式(含有字母n)；(2)若数列{a n}满足a n+1=f′(a n)，且a1=4，求数列{a n}的通项公式；(3)在(2)条件下，若bn =n⋅2 a n+1−a n2，S n=b1+b2+⋯+b n，是否存在自然数M，使得当n>M时n⋅2n+1−S n>50恒成立？若存在，求出最小的M；若不存在，说明理由．【答案与解析】1.答案：D解析：试题分析：根据题意，由于复数是纯虚数，则可知(2+ai)(1+i)=，那么可知2−a=0，故可知a=2，答案为D．考点：复数的概念点评：主要是考查了复数的计算以及概念的运用，属于基础题。

2020届湖湘名校(A佳教育)高三下学期3月线上自主联合检测数学(理)试题(解析版)

2020届湖湘名校（A 佳教育）高三下学期3月线上自主联合检测数学（理）试题一、单选题1．若集合{}|1A x x =≤，则满足A B A =I 的集合B 可以是（） A ．{}|0x x ≤ B ．{}2|x x ≤C ．{}|0x x ≥D ．{}|2x x ≥【答案】B【解析】由A B A =I 推出A B ⊆,再依次判断选项即可. 【详解】若A B A =I ,则A B ⊆, 又{}|1A x x =≤{}2|x x ⊆≤ 故选:B. 【点睛】本题考查集合关系,属于基础题.2．若(4)()0mi m i -+≥，其中i 为虚数单位，则实数m 的值为（） A ．－2 B ．－4C ．4D ．2【答案】D【解析】先利用复数运算化简,再由实部大于0且虚部等于0列式求解. 【详解】2(4)()5(4)0mi m i m m i -+=+-Q …,∴240m m >⎧⎨-=⎩,即2m =, 故选:D. 【点睛】本题考查复数运算,考查复数的基本概念,属于基础题.3．已知向量(2,2)AB =u u u r ，(1,)=u u u r AC a ，若||1BC =u u u r ，则AB AC ⋅=u u u r u u u r（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】由||1BC =u u u r ,可得2a =,再利用坐标运算求出AB AC ⋅uu u r uuu r.【详解】(1,2)BC AC AB a =-=--u u u r u u u r u u u r,由||1BC =u u u r,可得22(1)(2)1a -+-=,解得2a =,则21226AB AC ⋅=⨯+⨯=u u u r u u u r,故选:C. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算,难度不大.4．已知函数()2sin(1)f x x π=+，若对于任意的x ∈R ，都有()()12()f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为（） A ．2 B ．1 C ．4 D ．12【答案】B【解析】由题意可知1()f x 是函数的最小值,2()f x 是函数的最大值,则12||x x -的最小值就是函数的半周期. 【详解】对任意的x ∈R ,()()12()f x f x f x ≤≤成立, 所以()1min ()2f x f x ==-,()2max ()2f x f x ==, 所以12min2T x x -=, 又()2sin(1)f x x π=+的周期22T ππ==,所以12min1x x -=,故选:B . 【点睛】本题主要考查三角函数的性质运用,考查分析理解能力,难度不大5．在圆M ：224410x y x y +---=中，过点(0,1)E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．6B ．12C ．24D ．36【答案】B【解析】先将圆M 的方程化为标准方程,得到其圆心坐标与半径,再结合直线与圆的位置关系可得AC ､BD 的值,进而求出答案. 【详解】圆M 的标准方程为:22(2)(2)9x y -+-=, 其圆心为(2,2)M ,半径3r =, 过点E 最长的弦长是直径,故6AC =, 最短的弦是与ME 垂直的弦,又415ME =+=,所以2219522BD r ME =-=-=,即4BD =, 所以四边形的面积11641222S AC BD =⋅⋅=⨯⨯=,故选:B. 【点睛】本题考查直线与圆相交的性质,解题关键是明确AC 和BD 的位置关系,难度不大. 6．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”.三国时期，吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角12πα=，现在向该正方形区域内随机地投掷100枚飞镖，则估计飞镖落在区域1的枚数最有可能是（）A ．30B ．40C ．50D ．60【答案】C【解析】设大正方形的边长为1,区域2直角三角形的直角边分别为a ,b (a b <),分别求出大正方形和小正方形的面积,再利用几何概型概率公式求解即可. 【详解】设大正方形的边长为1,区域2直角三角形的直角边分别为a ,b (a b <), 则1sin12a π=⨯,1cos12b π=⨯,小正方形的面积为221()cos sin 1sin 121262S b a πππ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭,所以飞镖落在区域1的概率为12P =, 则估计飞镖落在区域1的枚数最有可能是1100502N =⨯=, 故选:C. 【点睛】本题考查几何概型概率的求法,解题关键是求出两正方形的面积比,难度不大.7．已知抛物线x 2＝－4y 的准线与双曲线2222x ya b-＝1(a>0，b>0)的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是( ) A ．B ．2 CD ．5【答案】A【解析】抛物线x 2＝－4y 的准线为l ：y ＝1，显然双曲线的两条渐近线互相垂直，所以该双曲线为等轴双曲线，则e.8．已知二进制数(2)1010化为十进制数为n ，若()n x a +的展开式中，7x 的系数为15，则实数a 的值为（） A ．12B ．15C ．1D ．2【答案】A【解析】先利用进制转化求出n 的值,再利用二项展开式的通项公式,结合题意列式求得a 的值.【详解】根据进制转换法可得:31(2)1010121210=⨯+⨯=, 所以10n =,设10()x a +展开式的通项为10110C kkk k T x a -+=,令107k -=,∴3k =,∴7x 的系数为3310C 15a =,∴318a =,∴12a =,故选:A. 【点睛】本题考查二项式,考查进制转换,需要学生对基础知识牢固掌握且灵活运用. 9．若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足2131n n A n B n -=+，则371159a a ab b +++的值为（）A ．3944B ．58C ．1516D ．1322【答案】C【解析】利用等差中项的性质将371159a a ab b +++化简为7732a b ,再利用数列求和公式求解即可. 【详解】11337117131135971313()3333213115213()22223131162a a a a a a A b b b b b B +++⨯-==⨯=⨯=⨯=++⨯+, 故选:C. 【点睛】本题考查了等差中项以及数列求和公式的性质运用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.10．已知倾斜角为α的直线l 过定点(0,2)-，且与圆22(1)1y x +-=相切，则1cos 2cos 2απα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（） A．3-BC ．23-D或3-【答案】A【解析】根据直线和圆相切,利用点到直线的距离公式列式求出2tan 8α=,再利用三角函数公式化简求值即可. 【详解】由题意知0180α︒<︒…且90α≠︒,则直线斜率tan k α=, 直线l 方程为2y kx +=,即20kx y --=, 圆心坐标(0,1),则圆心到直线l的距离1d ==,即291k =+,解得28k =,即2tan 8α=, 由sin 0α>,可得22sin 3α=, 所以()2112sin 1cos 2422sin sin 3cos 2αααπαα---==-=--⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 故选:A . 【点睛】本题考查三角函数的化简和求值,结合了直线与圆的相关知识,属于中档题.11．已知四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于223+，则球O 的体积等于（） A ．43π B ．83π C ．163πD ．323π【答案】A【解析】当此四棱锥体积取得最大值时,四棱锥为正四棱锥,根据该四棱锥的表面积等于223+,确定该四棱锥的底面边长和高,进而可求球的半径,从而求出球的体积.【详解】根据题意可知,当此四棱锥体积取得最大值时,四棱锥为正四棱锥, 如下图所示,设球O 的半径为R ,则2AC R =,SO R =,则该四棱锥的底面边长为2AB R =,Q 该四棱锥的表面积等于223+,则有22212(2)42()22322R R R R +⨯+=+1R ∴=,所以球O 的体积是344133ππ⨯=, 故选:A. 【点睛】本题主要考查球内接多面体问题,考查学生的空间思维与分析能力,解题关键是确定球的半径,属于中档题.12．已知函数()ln f x ax x =-，[]1,x e ∈的最小值为3，若存在[]12,1,n x x x e ∈L ，使得()()()()121n n f x f x f x f x -+++=L ，则正整数n 的最大值为（） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】对函数求导,研究函数单调性,利用最值与函数单调性的关系,即可求得a 的值,从而求得()f x 的最大值与最小值,再根据题意推出min max (1)()()n f x f x -…,即可求得n 的最大值. 【详解】11()ax f x a x x'-=-=, ①当0a ≤或10a e <≤时,()0f x '<在[]1,x e ∈恒成立,从而()f x 在[]1,e 单调递减,所以min ()()13f x f e ae ==-=,解得41,a e e ⎛⎤=∉-∞ ⎥⎝⎦,不合题意; ②当11a e <<时,易得()f x 在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减,在1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增, 所以min 11()1ln 3f x f a a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,解得21,1a e e ⎛⎫=∉ ⎪⎝⎭,不合题意;③当1a >时,()f x 在[]1,e 单调递增, 所以min ()(1)31f x f a ===>,满足题意; 综上知3a =.所以()3ln f x x x =-,[]1,x e ∈,所以min ()(1)3f x f ==,max ()()31f x f e e ==-依题意有min max (1)()()n f x f x -≤,即(1)331n e -≤-,得23n e ≤+, 又*n N ∈,所以3n ≤. 从而n 的最大值为3. 故选:B. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值,考查求参数的取值范围,需要学生结合分类讨论思想答题.二、填空题13．已知实数x ，y 满足不等式组10,240,0,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2log (1)z x y =++的最大值为________. 【答案】2【解析】作出不等式组对应的平面区域,令1t x y =++可得1y x t =-+-,结合图象即可求出t 的最大值,从而求出答案. 【详解】作出满足不等式组102400x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩…„…的可行域如图所示,令1t x y =++可得1y x t =-+-,结合图象可知当直线过点C 时,截距最大,此时1t x y =++取得最大值, 由10240x y x y -+=⎧⎨+-=⎩⇒12x y =⎧⎨=⎩,即(1,2)C ,故1t x y =++的最大值为:4,2log (1)z x y ∴=++的最大值为:2log 42=,故答案为:2. 【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合思想答题是解决本题的关键.14．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若2sin 5sin a C A =，22()16a c b +=+则用“三斜求积”公式求得ABC ∆的面积为________. 【答案】2【解析】利用正弦定理推出5ac =,从而求出222a c b +-,最后利用面积公式计算即可. 【详解】2sin 5sin a C A =Q , 25a c a ∴=,即5ac =,因为22()16a c b +=+,所以2221626a c b ac +-=-=,从而ABC ∆的面积为22165242S ⎡⎤⎛⎫=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦, 故答案为:2. 【点睛】本题考查正弦定理,考查学生的推理与计算能力,难度不大.15．某三棱锥的三视图如图所示，且图中的三个三角形均为直角三角形，则x y +的最大值为________.【答案】16【解析】根据三视图,利用勾股定理列出等式,再结合基本不等式求最值. 【详解】由三视图之间的关系可知2210802x y =--,整理得22128x y +=,故22222()2()2562x x y x y x y y =++=++≤, 解得16x y +…,当且仅当8x y ==时等号成立, 故答案为:16 【点睛】本题考查三视图之间的关系应用,考查基本不等式,难度不大.16．已知曲线1C ：()2x f x e x =--，曲线2C ：()cos g x ax x =+，（1）若曲线1C 在0x =处的切线与2C 在2x π=处的切线平行，则实数a =________；（2）若曲线1C 上任意一点处的切线为1l ，总存在2C 上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为________. 【答案】－2 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】(1)由已知分别求出曲线1C 在0x =处的切线的斜率及曲线2C 在2x π=处的切线的斜率,让两斜率相等列式求得a 的值;(2)曲线1C 上任意一点处的切线的斜率1()2x k f x e ='=--,则与1l 垂直的直线斜率为11(0,)22x e ∈+,再求出过曲线2C 上任意一点处的切线斜率的范围,根据集合关系列不等式组求解得答案. 【详解】(1)()2x f x e '=--,则曲线1C 在0x =处的切线的斜率1(0)3k f '==-,2()sin ,g x a x C '=-在2x π=处的切线的斜率212k g a π⎛⎫'==-⎪⎝⎭, 依题意有13a -=-,即2a =-;(2)曲线1C 上任意一点处的切线的斜率1()2xk f x e '==--, 则与1l 垂直的直线的斜率为110,22x e ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭, 而过2C 上一点处的切线的斜率[]2()sin 1,1k g x a x a a '==-∈-+,依题意必有10112a a -≤⎧⎪⎨+≥⎪⎩,解得112a -≤≤,故答案为:12;,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程,需要学生具备一定的计算分析能力,属于中档题.三、解答题17．设数列{}n a 满足：11a =，且112n n n a a a +-=+（2n ≥），3412a a +=. （1）求{}n a 的通项公式：（2）求数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【答案】（1）21n a n =-（*n N ∈）（2）113(21)(23)n n n +-++ 【解析】(1)先根据等差中项判别法判断出数列{}n a 是等差数列,然后根据已知条件列式求出公差d ,即可得到数列{}n a 的通项公式; (2)由(1)求出数列21{}n n a a +的通项公式,然后运用裂项相消法求出前n 项和n S . 【详解】(1)由112n n n a a a +-=+(2n ≥)可知数列{}n a 是等差数列,设公差为d , 因为11a =,所以34112312a a a d a d +=+++=,解得2d =, 所以{}n a 的通项公式为:21n a n =-(*n N ∈); (2)由(1)知211111(21)(23)42123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭,所以数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和:1111111114537592123n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11111432123n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 113(21)(23)n n n +=-++. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用,考查裂项相消法求数列的前n 项和,难度不大. 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形//AB CD ，AB AD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，E 是棱PC 上的一点.（1）证明：平面ADE ⊥平面PAB ；（2）若PE EC λ=，F 是PB 的中点，3AD =，22AB AP CD ===，且二面角F AD E --10λ的值. 【答案】（1）证明见解析（2）1λ=或4【解析】(1)先证明PA AD ⊥,结合AB AD ⊥,推出AD ⊥平面PAB ,再根据面面垂直的判定定理证明出结论;(2)以A 为原点,AD ,AB ,AP 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,利用向量法结合夹角公式建立λ的关系式,求解即可. 【详解】(1)因为PA ⊥平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,所以PA AD ⊥, 又AB AD ⊥,PA AB A =I , 所以AD ⊥平面PAB ,又AD ⊂平面ADE ,所以平面ADE ⊥平面PAB ;(2)以A 为原点,AD ,AB ,AP 分别为x ,y ,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系:则(0,0,0)A ,(0,2,0)B ,(0,0,2)P ,(3,1,0)C ,(3,0,0)D ,(0,1,1)F , 由(1)知AD ⊥平面PAB ,故AD PB ⊥, 又F 是PB 的中点,AB AP =,∴PB AF ⊥,且AF A AD =I ,∴PB ⊥平面ADF ,∴平面ADF 的一个法向量为(0,2,2)PB =-u u u r, ∵PE EC λ=,∴32,111PE PC λλλλλλλ⎫-==⎪⎪+++⎝⎭u u u r u u ur , ∴32,,111AE AP PE λλλλλ⎛⎫=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭u u u r u u u r u u u r ,设平面ADE 的法向量为(,,)n x y z =r,则0n AD ⋅=r u u u r且0n AE ⋅=r uu u r ,30x =32011x y zλλλλ++=++, ∴0x =,令1y =,则2z λ=-,∴平面ADE 的一个法向量0,1,2n λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ,∵二面角F AD E --10∴()310cos ,10PB n =u u u r r, 2310102214λ=⋅+,∴1λ=或4. 【点睛】考查空间中的垂直,考查向量法求二面角的余弦值,属于中档题.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>20l x y -+=:与以原点为圆心、椭圆C 的短半轴长为半径的圆O 相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在直线与椭圆C 交于,A B 两点，交y 轴于点()0,M m ，使22OA OB OA OB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1) 22182x y +=(2) m >或m < 【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何意义得到abc 的值，从而得到椭圆方程；（2）将向量模长的方程两边平方得到OA OB ⊥u u u v u u u v ，即·0OAOB =u u u v u u u v，即12120x x y y +=，联立直线和椭圆得到二次方程，带入韦达定理得到参数范围．解析：（1）由已知得2222a b c b c a⎧⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解方程组得a b c ===∴椭圆1C 的方程为22182x y +=，（2）假设存在这样的直线，由已知可知直线的斜率存在，设直线方程为y kx m =+，由22182y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()()22222418480,16820*k x kmx m k m +++-=∆=-+>，设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222848,4141km m x x x x k k -+=-=++，()()()2222121212122841m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+，由22OA OB OA OB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v 得OA OB ⊥u u u v u u u v ，即·0OAOB =u u u v u u u v ，即12120x x y y +=，故228580k m =-≥，代入（）式解得m >或m <．点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．20．甲、乙两位同学参加某个知识答题游戏节目，答题分两轮，第一轮为“选题答题环节”第二轮为“轮流坐庄答题环节”.首先进行第一轮“选题答题环节”，答题规则是：每位同学各自从备选的5道不同题中随机抽出3道题进行答题，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，已知甲能答对备选5道题中的每道题的概率都是23，乙恰能答对备选5道题中的其中3道题；第一轮答题完毕后进行第二轮“轮流坐庄答题环节”，答题规则是：先确定一人坐庄答题，若答对，继续答下一题…，直到答错，则换人（换庄）答下一题…以此类推.例如若甲首先坐庄，则他答第1题，若答对继续答第2题，如果第2题也答对，继续答第3题，直到他答错则换成乙坐庄开始答下一题，…直到乙答错再换成甲坐庄答题，依次类推两人共计答完20道题游戏结束，假设由第一轮答题得分期望高的同学在第二轮环节中最先开始作答，且记第n 道题也由该同学（最先答题的同学）作答的概率为n P （120n ≤≤），其中11P =，已知供甲乙回答的20道题中，甲，乙两人答对其中每道题的概率都是13，如果某位同学有机会答第n 道题且回答正确则该同学加10分，答错（不答视为答错）则减5分，甲乙答题相互独立；两轮答题完毕总得分高者胜出.回答下列问题（1）请预测第二轮最先开始作答的是谁？并说明理由（2）①求第二轮答题中2P ，3P ；②求证12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求n P （120n ≤≤）的表达式.【答案】（1）第二轮最先开始答题的是甲；详见解析（2）①213P =，359P =②证明见解析；1111223n n P -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭（120n ≤≤）【解析】(1)设甲选出的3道题答对的道数为ξ,则2~(3,)3B ξ,设甲第一轮答题的总得分为x ,则1515x ξ=-,1515Ex E ξ=-,设乙第一轮得分为y ,求出y 的分布列,得到Ey ,比较两者大小即可得出结论; (2)①依题意得11P =,213P =,再利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出3P ;②1111212(1)(2)3333n n n n P P P P n ---=⨯+-⨯=-+…,从而1111()232n n P P --=--,2n …,由此能证明1{}2n P -是等比数列,并求出(120)n P n 剟的表达式. 【详解】(1)设甲选出的3道题答对的道数为ξ,则23,3~B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 设甲第一轮答题的总得分为x ,则105(3)1515x ξξξ=--=-, 所以2151515315153Ex E ξ=-=⨯⨯-=; (或法二:设甲的第一轮答题的总得分为x ,则x 的所有可能取值为30,15,0,-15,且33328(30)327P x C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 2231212(15)3327P x C ⎛⎫===⎪⎝⎭, 213126(0)3327P x C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 30311(15)327P x C ⎛⎫=-==⎪⎝⎭, 故得分为x 的分布列为:812130151515272727Ex =⨯+⨯-⨯=;) 设乙的第一轮得分为y ,则y 的所有可能取值为30,15,0,则33351(30)10C P y C ===,2132356(15)10C C P y C ===,1232353(0)10C C P y C ===, 故y 的分布列为:故163015121010Ey =⨯+⨯=, ∵Ex Ey >,所以第二轮最先开始答题的是甲. (2)①依题意知11P =,213P =,31122533339P =⨯+⨯=, ②依题意有()111121213333n n n n P P P P ---=⨯+-⨯=-+(2n ≥), ∴1111232n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,(2n ≥), 又11122P -=, 所以12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项,13-为公比的等比数列, ∴1111223n n P -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭,∴1111223n n P -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭(120n ≤≤).【点睛】本题考查概率､离散型随机变量的分布列､数学期望的求法及应用,考查等比数列,需要学生具备一定的运算求解以及分析理解能力,属于中档题.21．已知对数函数()f x过定点12P ⎫⎪⎭（其中 2.71828e ≈L ），函数()()()g x n mf x f x '=--（其中()f x '为()f x 的导函数，n ，m 为常数）（1）讨论()g x 的单调性；（2）若对(0,)x ∀∈+∞有()g x n m ≤-恒成立，且()()2h x g x x n =+-在12,x x x =（12x x ≠）处的导数相等，求证：()()1272ln 2h x h x +>-.【答案】（1）当0m ≤时，()g x 在(0,)+∞单调递减；当0m >时()g x 在(0,)m 单调递增，在(,)m +∞单调递减（2）证明见解析【解析】(1)求出()f x 的解析式,得到()g x ,利用分类讨论法研究()g x 的单调性;(2)根据(1)可知1m =,得到()g x 和()h x 的解析式,利用12()()h x h x '='求得12111x x +=,结合基本不等式得到124x x >,令124t x x =>,则()()12h x h x +121221ln x x x x =--可换元为()21ln t t t ϕ=--,最后利用导数求出()t ϕ的最小值即可得证. 【详解】(1)令()log a f x x =(0a >且1a ≠),将定点12P ⎫⎪⎭代入解得a e =, 所以()ln f x x =,1()f x x'=, 所以()ln m g x n x x =--,221()m m xg x x x x-'=-=(0x >), 当0m ≤时,()0g x '<在0x >时恒成立,即()g x 在(0,)+∞单调递减; 当0m >时()00g x x m '>⇒<<,()0g x x m '<⇒>, 即()g x 在(0,)m 单调递增,在(,)m +∞单调递减; 综上所述:当0m ≤时,()g x 在(0,)+∞单调递减; 当0m >时()g x 在(0,)m 单调递增,在(,)m +∞单调递减.(2)因为(1)g n m =-,而(0,)x ∀∈+∞有()(1)g x n m g ≤-=恒成立, 所以max ()g x =(1)g ,由(1)知必有1m =, ∴1()ln g x n x x =--,1()()22ln h x g x x n x x x =+-=--, 211()2h x x x'∴=+-, 设()()12h x h x k ''==,即21122211201120k x x k x x ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩,∴12111x x +=, 1212124x x x x x x ∴+=≥>,∴()()()()12121212112ln ln h x h x x x x x x x ⎛⎫+=+-+-+⎪⎝⎭121221ln x x x x =--, 令124t x x =>,()21ln t t t ϕ=--, ∴1()20t tϕ'=->(4t >), ∴()t ϕ在(4,)+∞上单调递增,∴()(4)72ln 2t ϕϕ>=-,即()()1272ln 2h x h x +>-. 【点睛】本题考查导数研究函数单调性与最值,考查分类讨论思想,需要学生具备一定的计算分析能力,属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：12cos 2sin x y αα=-+⎧⎨=⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）已知点(2,0)P -，直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求11||||PA PB +的值. 【答案】（1）曲线C 的普通方程22(1)4x y ++=，l 的直角坐标方程20x y -+=（2）【解析】(1)直接利用转换关系式,将参数方程,极坐标方程和直角坐标方程进行转换;(2)将直线的普通方程化为参数方程,再利用参数的几何意义结合韦达定理求解. 【详解】 (1)已知曲线C :12cos 2sin x y αα=-+⎧⎨=⎩(α为参数),则曲线C 的普通方程22(1)4x y ++=, 直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 则l 的直角坐标方程20x y -+=;(2)直线l的参数方程为222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t为参数)代入曲线C :22(1)4x y ++=,化简得230t -=, 设A ,B 对应的参数分别为1t ,2t ,则12t t +=123t t =-,所以12121212121111|||||t t t t PA PB t t t t t t +-+=+==3==.【点睛】本题考查参数方程,极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,考查直线参数方程的应用,难度不大.23．已知函数()|4||1|f x x x =-+-，x ∈R . （1）解不等式：()5f x ≤；（2）记()f x 的最小值为M ，若实数a ，b 满足22a b M +=，试证明：22112213a b +≥++. 【答案】（1）{}|05x x ≤≤（2）证明见解析【解析】(1)先将()f x 化为分段函数形式,然后根据()5f x …,分别解不等式即可; (2)由(1)可得min ()3f x M ==,从而得到223a b +=,再利用基本不等式求出第 21 页共 21 页 221121a b +++的最小值. 【详解】(1)()|4||1|f x x x =-+-25,43,1425,1x x x x x ->⎧⎪=⎨⎪-+<⎩剟.()5f x Q „,∴2554x x -⎧⎨>⎩„或14x 剟或2551x x -+⎧⎨<⎩„, 45x ∴<„或14x 剟或01x <„,05x ∴剟,∴不等式的解集为{|05}x x 剟; (2)因为()|4||1||(4)(1)|3f x x x x x =-+-≥-+-=(当且仅当14x ≤≤等号成立), 所以()f x 的最小值3M =,即223a b +=, 所以()()222222111112121216a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++⨯ ⎪⎣⎦++++⎝⎭ 22221212216b a a b ⎛⎫++=++⨯ ⎪++⎝⎭1(26≥+⨯ 23=(当且仅当21a =,22b =等号成立). 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值,属于中档题.。