最新北京市2017-2018年高三上学期期中考试数学(文)试题 (2)

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北京市海淀区2017-2018学年高三上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析

2017-2018学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|x＞2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＞1} B．{x|2＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|x＞2或x＜1}2．已知向量=（﹣1，x），=（﹣2，4）．若∥，则x的值为（）A．﹣2 B． C．D．23．已知命题p：∀x＞0，x+≥2命题q：若a＞b，则ac＞bc．下列命题为真命题的是（）A．q B．￢p C．p∨q D．p∧q4．若角θ的终边过点P（3，﹣4），则tan（θ+π）=（）A．B． C．D．5．已知函数y=x a，y=log b x的图象如图所示，则（）A．b＞1＞a B．b＞a＞1 C．a＞1＞b D．a＞b＞16．设，是两个向量，则“|+|＞|﹣|”是“•＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．给定条件：①∃x0∈R，f（﹣x0）=﹣f（x0）；②∀x∈R，f（1﹣x）=f（1+x）的函数个数是下列三个函数：y=x3，y=|x﹣1|，y=cosπx中，同时满足条件①②的函数个数是（）A．0 B．1 C．2 D．38．已知定义在R上的函数f（x）=，若方程f（x）=有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．﹣≤a＜B．C．0≤a＜1 D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．计算lg2﹣lg+3lg5=．10．已知sinα=，则cos2α=．11．已知函数y=f（x）的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，则函数y=f（x）在x=处取得极值．12．在正方形ABCD中，E是线段CD的中点，若=λ+μ，则λ﹣μ=．13．在△ABC中，cosA=，7a=3b，则B=．14．去年某地的月平均气温y（℃）与月份x（月）近似地满足函数y=a+bsin（x+φ）（a，b为常数，0＜φ＜）．其中三个月份的月平均气温如表所示：月份的月平均气温约为℃，φ=．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．=a n（n=2，3，4，…），且16．已知数列{a n}是等差数列，且a2=﹣1，数列{b n}满足b n﹣b n﹣1b1=b3=1．（Ⅰ）求a1的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．17．如图，△ABC是等边三角形，点D在边BC的延长线上，且BC=2CD，AD=．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求CD的长．18．已知函数f （x ）=．（Ⅰ）当a=1时，求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）当a ＜0时，求函数f （x ）在区间[0，1]上的最小值．19．已知{a n }是等比数列，a 2=2且公比q ＞0，﹣2，a 1，a 3成等差数列．（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）已知b n =a n a n +2﹣λna n +1（n=1，2，3，…），设S n 是数列{b n }的前n 项和．若S 1＞S 2，且S k ＜S k +1（k=2，3，4，…），求实数λ的取值范围． 20．已知函数f （x ）=x 3﹣9x ，g （x ）=3x 2+a ．（Ⅰ）若曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）在它们的交点处具有公共切线，求a 的值；（Ⅱ）若存在实数b 使不等式f （x ）＜g （x ）的解集为（﹣∞，b ），求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若方程f （x ）=g （x ）有三个不同的解x 1，x 2，x 3，且它们可以构成等差数列，写出实数a 的值．（只需写出结果）2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|x＞2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＞1} B．{x|2＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|x＞2或x＜1}【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式解得：1＜x＜3，即B={x|1＜x＜3}，∵A={x|x＞2}，∴A∩B={x|2＜x＜3}，故选：B．2．已知向量=（﹣1，x），=（﹣2，4）．若∥，则x的值为（）A．﹣2 B． C．D．2【考点】平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线的充要条件，列出方程求解即可．【解答】解：向量=（﹣1，x），=（﹣2，4）．若∥，可得﹣2x=﹣4，解得x=2．故选：D．3．已知命题p：∀x＞0，x+≥2命题q：若a＞b，则ac＞bc．下列命题为真命题的是（）A．q B．￢p C．p∨q D．p∧q【考点】命题的真假判断与应用．【分析】判断四个选项的真假，首先判断命题p和q的真假，对于p，根据基本不等式即可得出命题p为真命题，对于q，若a＞b＞0，c＜0，显然ac＞bc不成立，从而得出命题q为假命题，这样即可找出正确选项．【解答】解：∵x＞0时，，当且仅当x=1时取“=”；∴命题p为真命题，则￢p假；若a＞b＞0，c＜0，则ac＞bc不成立；∴命题q为假命题；∴p∨q为真命题．故选C．4．若角θ的终边过点P（3，﹣4），则tan（θ+π）=（）A．B． C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵角θ的终边过点P（3，﹣4），则tan（θ+π）=﹣tanθ=﹣=﹣=，故选：C．5．已知函数y=x a，y=log b x的图象如图所示，则（）A．b＞1＞a B．b＞a＞1 C．a＞1＞b D．a＞b＞1【考点】函数的图象．【分析】由图象得到0＜a＜1，b＞1，【解答】解：由图象可知，0＜a＜1，b＞1，故选：A．6．设，是两个向量，则“|+|＞|﹣|”是“•＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据向量数量积的定义和性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若|+|＞|﹣|，则等价为|+|2＞|﹣|2，即||2+||2+2•＞||2+||2﹣2•，即4•＞0，则•＞0成立，反之，也成立，即“|+|＞|﹣|”是“•＞0”的充要条件，故选：C．7．给定条件：①∃x0∈R，f（﹣x0）=﹣f（x0）；②∀x∈R，f（1﹣x）=f（1+x）的函数个数是下列三个函数：y=x3，y=|x﹣1|，y=cosπx中，同时满足条件①②的函数个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的概念及其构成要素．【分析】根据条件分别验证函数是否满足两个条件即可．【解答】解：条件②说明函数的对称轴是x=1，函数y=x3是奇函数，满足条件．①，但不满足条件②，y=|x﹣1|的对称轴是x=1，满足条件．②，不满足条件①，y=cosπx中，当x=1时，y=cos（﹣π）=﹣1，此时函数关于x=1对称，满足条件②，当x=时，f（﹣）=cos（﹣π）=0，f（）=cos（π）=0，即此时满足f（﹣）=﹣f（），满足条件．①，故同时满足条件①②的函数是y=cosπx，故选：B．8．已知定义在R上的函数f（x）=，若方程f（x）=有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．﹣≤a＜B．C．0≤a＜1 D．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据条件，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：当x≤0时，a＜f（x）≤1+a，若a≥0，当x＞0时，f（x）=ln（x+a）≥lna，若方程f（x）=有两个不相等的实数根，则，即，得≤a＜，∵a≥0，∴0≤a＜，若a＜0，当x＞0时，f（x）=ln（x+a）∈R，即此时函数f（x）=有一个解，则当x≤0时，f（x）=有一个解即可，此时满足1+a≥＞a，即可，则﹣≤a＜0，综上﹣≤a＜，故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．计算lg2﹣lg+3lg5=3．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用导数的运算法则化简求解即可．【解答】解：lg2﹣lg+3lg5=3lg2+3lg5=3lg10=3．故答案为：3．10．已知sinα=，则cos2α=．【考点】二倍角的余弦．【分析】由二倍角的余弦公式化简所求后代入已知即可求值．【解答】解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故答案为：．11．已知函数y=f（x）的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，则函数y=f（x）在x=﹣1处取得极值．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】利用导函数的图象，通过导函数的零点，以及函数返回判断函数的极值点即可．【解答】解：函数y=f（x）的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，x＜﹣1时，f′（x）＜0，x＞﹣1时，f′（x）≥0，所以函数只有在x=﹣1时取得极值．故答案为：﹣1．12．在正方形ABCD中，E是线段CD的中点，若=λ+μ，则λ﹣μ=．【考点】向量在几何中的应用．【分析】画出示意图，利用向量的运算法则将用表示即可．【解答】解：如图在正方形ABCD中，E是线段CD的中点，若=λ+μ===，所以，；故答案为：．13．在△ABC中，cosA=，7a=3b，则B=或．【考点】余弦定理．【分析】利用同角三角函数基本关系式可求sinA，由已知及正弦定理可求sinB，根据特殊角的三角函数值即可得解．【解答】解：∵在△ABC中，cosA=，∴sinA==，∵7a=3b，∴sinB==×=，∵B∈（0，π），∴B=或．故答案为：或．14．去年某地的月平均气温y（℃）与月份x（月）近似地满足函数y=a+bsin（x+φ）（a，b为常数，0＜φ＜）．其中三个月份的月平均气温如表所示：则该地2月份的月平均气温约为﹣5℃，φ=．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】根据题意，当x==8时，sin（x+φ）取得最大或最小值，结合φ的取值范围求出φ的值，再列出方程组求出a、b的值，即可写出函数的解析式y，从而求出x=2时y的值．【解答】解：∵函数y=a+bsin（x+φ）（a，b为常数），∴当x==8时，sin（x+φ）取得最大或最小值，∴×8+φ=+kπ，k∈Z，解得φ=kπ﹣，k∈Z，又0＜φ＜，∴φ=；∴a﹣b=31，且a+bsinπ=13，解得a=13，b=﹣18；∴y=13﹣18sin（x+），当x=2时，y=13﹣18sin（×2+）=﹣5（°C）．故答案为：﹣5，．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．【考点】三角函数的周期性及其求法；余弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，从而求得f（0）的值．（Ⅱ）利用正弦函数的周期性和单调性，求得函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=cos（2x﹣）﹣cos2x=（cos2x+sin2x）﹣cos2x= sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），∴f（0）=sin（0﹣）=﹣．（Ⅱ）由于函数f（x）=sin（2x﹣），故它的最小正周期为=π，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．=a n（n=2，3，4，…），且16．已知数列{a n}是等差数列，且a2=﹣1，数列{b n}满足b n﹣b n﹣1b1=b3=1．（Ⅰ）求a1的值；（Ⅱ）求数列{b n}的通项公式．【考点】数列递推式．【分析】（Ⅰ）由题意可知：b2﹣b1=a2=﹣1，b1=b3=1，求得b2=0，代入求得a3=1，根据等差数列的性质，求得d=2，a1=a2﹣d，即可求得a1的值；=2n﹣5，采用“累加（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：a n=﹣3+2（n﹣1）=2n﹣5，当n≥2时，b n﹣b n﹣1法”即可求得b n=n2﹣4n+4，（n≥2），当n=1时，b1=1也满足，求得数列{b n}的通项公式．=a n，（n≥2，n∈N*），【解答】解：（Ⅰ）由数列{b n}满足b n﹣b n﹣1∴b2﹣b1=a2=﹣1，b1=b3=1，∴b2=0，a3=b3﹣b2=1，∵数列{a n}是等差数列，∴d=a3﹣a2=1﹣（﹣1）=2，∴a1=a2﹣d=﹣1﹣2=﹣3，a1的值﹣3；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知数列{a n}是以﹣3为首项，以2为公差的等差数列，a n=﹣3+2（n﹣1）=2n﹣5，∴当n≥2时，b n﹣b n﹣1=2n﹣5，b n﹣1﹣b n﹣2=2（n﹣2）﹣5，…b2﹣b1=﹣1，将上述等式相加整理得：b n﹣b1=•（n﹣1）=n2﹣4n+3，∴b n=n2﹣4n+4，（n≥2），当n=1时，b1=1也满足，∴b n=n2﹣4n+4（n∈N*）．17．如图，△ABC是等边三角形，点D在边BC的延长线上，且BC=2CD，AD=．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求CD的长．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由等边三角形的性质及已知可得AC=2CD，进而利用正弦定理即可得解的值为．（Ⅱ）设CD=x，则可求BC=2x，BD=3x，利用余弦定理即可解得x的值，进而得解CD的值．【解答】（本题满分为13分）解：（Ⅰ）∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，又∵BC=2CD，∴AC=2CD，∴在△ACD中，由正弦定理可得：，∴==．（Ⅱ）设CD=x，则BC=2x，∴BD=3x，∵△ABD中，AD=，AB=2x，∠B=，∴由余弦定理可得：AD2=AB2+BD2﹣2AB•BD•cos∠B，即：7=4x2+9x2﹣2x×3x，解得：x=1，∴CD=1．18．已知函数f （x ）=．（Ⅰ）当a=1时，求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）当a ＜0时，求函数f （x ）在区间[0，1]上的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f （x ）=，x ∈R ，∴f ′（x ）=，令f ′（x ）＞0，解得：x ＜2，令f ′（x ）＜0，解得：x ＞2，∴f （x ）在（﹣∞，2）递增，在（2，+∞）递减；（Ⅱ）由f （x ）=得：f ′（x ）=，x ∈[0，1]，令f ′（x ）=0，∵a ＜0，解得：x=1+＜1，①1+≤0时，即﹣1≤a ＜0时，f ′（x ）≥0对x ∈[0，1]恒成立， ∴f （x ）在[0，1]递增，f （x ）min =f （0）=﹣1； ②当0＜1+＜1时，即a ＜﹣1时，∴f （x ）min=f （1+）=；综上，﹣1≤a ＜0时，f （x ）min =﹣1，a ＜﹣1时，f （x ）min =．19．已知{a n }是等比数列，a 2=2且公比q ＞0，﹣2，a 1，a 3成等差数列．（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）已知b n =a n a n +2﹣λna n +1（n=1，2，3，…），设S n 是数列{b n }的前n 项和．若S 1＞S 2，且S k ＜S k +1（k=2，3，4，…），求实数λ的取值范围．【考点】数列递推式．【分析】（Ⅰ）由﹣2，a 1，a 3成等差数列，可知2×=（﹣2）+a 2q ，由a 2=2，代入求得q的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：a n =2n ﹣1，b n =a n a n +2﹣λna n +1=4n ﹣λn2n ，由S 1＞S 2，代入求得λ＞2，由S k ＜S k +1（k=2，3，4，…）恒成立，可知λ＜，构造数列c k =，作差法求得数列{c n }的最小值，即可求得λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由﹣2，a 1，a 3成等差数列， ∴2a 1=﹣2+a 3，∵{a n }是等比数列，a 2=2，q ＞0，∴a 3=2q ，a 1==，代入整理得：q 2﹣q ﹣2=0，解得：q=2，q=﹣1（舍去）， ∴q=2，（Ⅱ）由（Ⅰ）a n =2n ﹣1， b n =a n a n +2﹣λna n +1=4n ﹣λn2n ，由S 1＞S 2，∴S 2﹣S 1＜0，即b 2＜0，∴42﹣2λ•22＜0，解得：λ＞2，S k ＜S k +1（k=2，3，4，…）恒成立，b n =a n a n +2﹣λna n +1，即λ＜，设c k =（k ≥2，k ∈N*），只需要λ＜（c k ）min （k ≥2，k ∈N*）即可，∵=×=＞1，∴数列{c n }在k ≥2且k ∈N*上单调递增，∴（c k ）min =c 2==，∴λ＜，∵λ＞2，∴λ∈（2，）．20．已知函数f（x）=x3﹣9x，g（x）=3x2+a．（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点处具有公共切线，求a的值；（Ⅱ）若存在实数b使不等式f（x）＜g（x）的解集为（﹣∞，b），求实数a的取值范围；（Ⅲ）若方程f（x）=g（x）有三个不同的解x1，x2，x3，且它们可以构成等差数列，写出实数a的值．（只需写出结果）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）设f（x）与g（x）的交点坐标为（x0，y0），由，即可解得a的值．（Ⅱ）令h（x）=x3﹣3x2﹣9x，则y=h（x）的图象在直线y=a下方的部分对应点的横坐标x∈（﹣∞，b），由h′（x）=3x2﹣6x﹣9=0，解得x的值．判断函数的单调性，利用最值求解即可．（Ⅲ）利用（Ⅱ），通过二次求导，导数为0，求出对称点的坐标，结合等差数列求解a即可．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）设f（x）与g（x）的交点坐标为（x0，y0），由，解得x0=﹣1或x0=3，解得a的值为：5或﹣27．（Ⅱ）令h（x）=x3﹣3x2﹣9x，则y=h（x）的图象在直线y=a下方的部分对应点的横坐标x∈（﹣∞，b），由h′（x）=3x2﹣6x﹣9=0，解得x的值．因为（+）（+）（++）＞+≥||≤，即（+）＞；h（﹣a2﹣2）=﹣（a2+2）（a4+7a2+1）＜﹣（a2+2）≤﹣2|a|≤a，即h（﹣a2﹣2）＜a，（或者：因为当x→+∞时，h（x）→+∞，当x→﹣∞时，h（x）→﹣∞），又因为：h（x）max=h（﹣1）=5，h（x）min=h（3）=﹣27．所以当a＞5或a≤﹣27满足条件．（Ⅲ）由（Ⅱ）h（x）=x3﹣3x2﹣9x，h′（x）=3x2﹣6x﹣9，则h′′（x）=6x﹣6，令6x﹣6=0，可知x=1，此时y=﹣11，函数h（x）的对称中心为：（1，﹣11），方程f（x）=g（x）有三个不同的解x1，x2，x3，且它们可以构成等差数列，实数a的值：﹣11．2016年11月26日。

北京市西城35中2018届高三上期中(文)数学真题试题(解析版)

北京市第三十五中学2017-2018年度第一学期期中试卷高三数学（文科）I卷一、选择题（共8个小题，每题5分，共40分）1. 已知集合，，则（）．A. B.C. D.【答案】D∴或，即，故选．2. 下列函数中，值域为的偶函数是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：B，D不是偶函数，A是偶函数，但值域为，C是偶函数，值域也是．故选C．考点：函数的奇偶性与值域．3. 如图，正方形中，为的中点，若，则的值为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：，又,所以,又,那么.故本题选A．考点：1.平面向量的线性运算；2.平面向量的基本定理.4. 已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，且，，则下列说法正确的是（）．A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】试题分析：A：，平行或异面，故A错误；B：根据面面垂直的判定可知B正确；C：根据面面平行判定可知C错误；D：根据面面垂直的性质可知D错误，故选B．考点：空间中直线平面的位置关系的判定与性质．5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个直四棱柱，底面是一个上下边长分别为，，高为的直角梯形，棱柱的高为，所以该几何体的表面积．故选．点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．6. 等比数列中，，则“”是“”的（）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，∴，∴，若，则，∴不成立；若成立，则，又，∴，∴，∴成立，综合可知，“”是“”必要而不充分条件，故选B.7. 已知函数则下列结论正确的是（）．A. ，B. ，C. 函数在上单调递增D. 函数的值域是【答案】D【解析】作出函数的图象，由图可知函数是奇函数，即对，，故错误；当时，满足，此时，不成立，故项错误；函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，故项错误；函数的值域是，故项正确．故选．点睛：研究函数的奇偶性和单调性，可做出函数的图象，图象关于y轴对称时函数为偶函数的充要条件，图像关于原点对称是函数为奇函数的充要条件.对于正弦函数有.8. 如图：正方体中，为底面上的动点，于，且，则点的轨迹是A. 线段B. 圆弧C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分【答案】A【解析】如图，过做，垂足为，连接.因为平面，平面，故.又因，故平面，而平面，所以.因为，故平面，则为直角三角形且，而，故，故，故为的角平分线，故为定点，又，故的轨迹为过且垂直于的线段.选A.点睛：题设中给出了，我们需要把这种垂直关系转化为平面中的的某种几何性质，故在平面中作，通过空间中垂直关系的转化得到为定点，从而在一条定线段上.II卷二、填空题（共6小题，每题5分，共30分）9. 已知复数满足，那么__________．【解析】试题分析：由z（1+i）=2﹣4i，得．故答案为：﹣1﹣3i．考点：复数代数形式的乘除运算．10. 已知平面向量，，与的夹角为，则__________．【答案】2【解析】因为，所以．故答案为：2.11. 在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则__________；的面积为__________．【答案】(1). (2).【解析】∵，，，∴，∴，，∴的面积．12. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录了有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以表示．（）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，则__________．（）乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率为__________．【答案】(1). 1(2).【解析】（）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，则，解得．（）设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件，依题意，，，共有种可能，由（）可知，当时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当，，时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有种可能，故乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率．13. 函数在区间上的最大值是__________．【答案】【解析】∵，，∴当时，，当，，∴函数在区间上单调递增，在上单调递减，∴当时，取最大值为．故答案为：.点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解得两个根；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．14. 已知、两所大学的专业设置都相同（专业数均不小于），数据显示，大学的各专业的男女生比例均高于大学的相应专业的男女生比例（男女生比例是指男生人数与女生人数的比）．据此，甲同学说：“大学的男女生比例一定高于大学的男女生比例”；乙同学说：“大学的男女生比例不一定高于大学的男女生比例”；丙同学说：“两所大学的全体学生的男女生比例一定高于大学的男女生比例”．其中，说法正确的同学是__________．【答案】乙【解析】根据大学的各专业的男女比例均高于大学的各专业的男女比例，可知甲、丙不一定正确，所以大学的男女比例有可能等于大学的男女比例，即大学的男女生比例不一定高于大学的男女生比例，故说法正确的同学是乙．点睛：本题考查了合情推理，对于合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．三、解答题（共6道题，共80分．每道题要写出必要的演算步骤和计算过程）15. 已知函数的最小正周期为．（）求的值及的单调递增区间．（）求在区间的最值．【答案】（1），单调递增区间是，；（2）最小值0，最大值.【解析】试题分析：（1）由题意利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得ω的值，由题意利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调递增区间．（Ⅲ）利用正弦函数的定义域，得，从而了利用正弦函数的性质求得函数f（x）的值最值. 试题解析：（）∵函数的最小正周期为，∴，，∴，令，，得，，∴函数的单调递增区间是，．（）∵，∴，∴当时，即时，取得最小值，，当时，即时，函数取得最大值，．16. 已知等比数列的前项的和，且，，成等差数列．（）求的通项公式．（）设是首项为，公差为的等差数列，其前项和为，求满足的最大正整数．【答案】（1）；（2）13.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意得到等比数列的首相和公比的方程和，联立求得等比数列中的，的通项公式求得结论；（Ⅱ）根据（Ⅰ）得到的，进而求得，显然数列是等差数列，求得其前项和，解不等式，进而求得满足的最大正整数为．试题解析：（Ⅰ）设的公比为，因为成等差数列，所以．整理得，即，解得．又，解得．所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）得,所以．．所以由，得，整理得，解得．故满足的最大正整数为．考点：1．等比数列的同项公式；2．等差数列的前项和公式；3．解不等式．17. 某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间的有人．（）求直方图中的值及甲班学生每天平均学习时间在区间的人数．（）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于小时的学生中任取人参加测试，则人中恰有人为甲班同学的概率．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（I）由频率分布直方图中频率之和即各小矩形面积之和为列出方程，可求的值；先由甲班学习时间在区间的有人，计算甲班的学生人数为，用甲班总人数乘以学习时间在区间的频率即可；（II）先计算乙班学习时间在区间的人数为人，由（I）知甲班学习时间在区间的人数为3人，两班中学习时间大于小时的同学共人，分别计算从这人中选取人甲班人数分别为时的概率，即可得到概率分布列及期望.试题解析：（I）由直方图知，，解得，因为甲班学习时间在区间的有8人，所以甲班的学生人数为.所以甲、乙两班人数均为40人，所以甲班学习时间在区间的人数为（人）.（II）乙班学习时间在区间的人数为（人）.由（I）知甲班学习时间在区间的人数为3人.在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，的所有可能取值为0,1,2,3.，，，.所以随机变量的分布列为：.考点：1.频率分布直方图；2.用样本估计总体；3.离散型随机变量的概率分布列与期望.【名师点睛】本题考查频率分布直方图、用样本估计总体、离散型随机变量的概率分布列与期望，属中档题；离散型随机变量的均值与方差是高中数学的重要内容，也是高考命题的热点，高考对离散型随机变量的均值与方差的考查主要有以下几个命题角度：1.已知离散型随机变量符合条件，求均值与方差；2.已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值；3.已知离散型随机变量满足两种（或两种以上）方案，试作出判断.18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，为棱的中点．（）求证：．（）求证：平面平面．（）试判断与平面是否平行？并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析（3）见解析.【解析】试题分析：（1）PD⊥底面ABCD，DC⊂底面ABCD⇒PD⊥DC．又AD⊥DC，AD∩PD=D故CD⊥平面PAD．又AE⊂平面PAD，得CD⊥AE．（2）由AB∥DC，CD⊥平面PAD，⇒AB⊥平面PAD．又由AB⊂平面PAB，得平面PAB⊥平面PAD．（3）PB与平面AEC不平行．假设PB∥平面AEC，由已知得到，这与矛盾.试题解析：（）证明：∵底面，底面，∴，又，，∴平面，∵平面，∴．（）证明：，平面，∴平面，又平面，∴平面平面．（）与平面不平行，假设平面，设，连结，则平面平面，又平面，∴，∴在中有，由是中点可得，即，∵，∴，这与矛盾，所以假设不成立，即与平面不平行．19. 设函数，，，记．（）求曲线在处的切线方程．（）求函数的单调区间．（）当时，若函数没有零点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）求曲线在处的切线方程，由导数的几何意义得，对函数求导得，既得函数在处的切线的斜率为，又，得切点，由点斜式可得切线方程；（2）求函数的单调区间，由题意得，，求函数的单调区间，先确定函数的定义域为，由于含有对数函数，可对函数求导得，，由于含有参数，需对讨论，分，两种情况，从而得函数的单调区间；（3）当时，若函数没有零点，即无解，由（2）可知，当时，函数的最大值为，只要小于零即可，由此可得的取值范围．试题解析：(1)，则函数在处的切线的斜率为.又，所以函数在处的切线方程为,即4分（2），，（）.①当时，，在区间上单调递增；②当时，令，解得；令，解得.综上所述，当时，函数的增区间是；当时，函数的增区间是，减区间是. 9分（3）依题意，函数没有零点，即无解.由（2）知，当时，函数在区间上为增函数,区间上为减函数，由于，只需，解得.所以实数的取值范围为. 13分考点：函数与导数，导数的几何意义，函数的单调性，函数的零点．20. 已知函数，．（）当时，存在，使得，求的取值范围．（）当时，求证：在上为增函数．（）若在区间上有且只有一个极值点，求的取值范围．【答案】（1）；（2）见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）存在，使得，等价于，求导利用函数单调性求最值即可；（3）设，则，分，和讨论即可.试题解析：（）存在，使得，等价于，当时，，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又，，∴，故，即的取值范围为．（）证明：当时，，设，则，故在上是减函数，在上是增函数，所以，所以当时，恒成立，所以在上为增函数．（），设，则，①当时，恒成立，故在上为增函数，而，，故函数在上有且只有一个零点，故这个零点为函数在区间上的唯一的极小值点．②当时，时，，故在上为增函数，又，故在上为增函数，所以函数在区间上没有极值．③当时，，当时，总有成立，即在上为增函数，故函数在区间上没有极值．综上所述，．。

北京市第四中学2017-2018学年高三上学期期中考试数学(文)试题 Word版含答案

2017-2018学年高三数学期中测试卷(文)试卷满分共计150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1．若集合{1,2,3}A =，{0,1,2}B =，则A B =A ．{0,1,2,3}B ．{0,1,2}C ．{1,2}D ．{1,2,3}2．设3log 2a =，21log 8b =，c = A ．a b c >> B ．c b a >> C ．a c b >> D ．c a b >>3．“数列{}n a 既是等差数列又是等比数列”是“数列{}n a 是常数列”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若实数,x y 满足010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．1C ．32D ．2 5．从,,,,A B C DE 5名学生中随机选出2人，A 被选中的概率为A ．15B ．25C ．825D ．9256. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是A ．y x =B ．lg y x =C ．2x y = D．y =7．执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为A ．3B ．4C ．5D ．68．函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（）A ．2,3π- B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 9．设命题p ：∃n ∈N ，2n >2n ，则p ⌝为______ .10．若i 为虚数单位，则21i=+______ .11．数列}{n a 中，若11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于______ .12．曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线方程为______ .13．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c . 若3a =，2b =，1cos()3A B +=，则边c =______ .14．设函数21()4()(2)1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--≥⎩，①若1a =，则()f x 的最小值为______；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是______ .三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程.15．（本小题满分13分）已知：ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且sin 2sin a B A =．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若1cos 3A =，求sin C 的值．16．（本小题满分13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？17．（本小题满分13分）已知：函数2()sin 2f x x x =+. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）把函数()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()6g π的值．18．（本小题满分13分）已知：函数2()()(0)x f x ax bx c e a =++>的导函数'()y f x =的两个零点为3-和0．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 的极小值为1-，求()f x 的极大值．19.（本小题满分14分）已知：()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若,[1,1]a b ∈-，且0a b +≠时，有()()0f a f b a b+>+恒成立．（Ⅰ）用定义证明函数()f x 在[1,1]-上是增函数；（Ⅱ）解不等式：1()(1)2f x f x +<-；（Ⅲ）若2()21f x m m ≤-+对所有[1,1]x ∈-恒成立，求：实数m 的取值范围．20．（本小题满分14分）已知：对于无穷数列{}n a 与{}n b ，记*{|,}n A x x a n ==∈N，*{|,}n B x x b n ==∈N ，若同时满足条件：①{}n a ，{}n b 均单调递增；②A B =∅且*A B =N ，则称{}n a 与{}n b 是无穷互补数列．（Ⅰ）若21n a n =-， 42n b n =-，判断{}n a 与{}n b 是否为无穷互补数列，并说明理由；（Ⅱ）若2n n a =且{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，求数列{}n b 的前16项的和；（Ⅲ）若{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，{}n a 为等差数列且1636a =，求{}n a 与{}n b 的通项公式．高三数学期中测试卷(文)答题纸班级___________学号___________姓名___________成绩___________一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分），请把答案填涂在机读卡上二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）三、解答题（本大题共6小题，共80分）参考答案： CDAD BDBA9．p ⌝：2,2n n N n ∀∈≤； 10．1i -； 11．27；12．21y x =-； 13．； 14． 1-；11[2)2，，⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；15．解：（Ⅰ）ABC ∆中，由正弦定理BbA a sin sin =，可得A bB a sin sin =，又由A b B a sin 32sin =得B a A b B B a sin 3sin 3cos sin 2==，所以23cos =B ，因为0B π<<，6π=B ； ………7分（Ⅱ）由31cos =A 及0A π<<得322sin =A ，则)sin()](sin[sin B A B A C +=+-=π，所以)6sin(sin π+=A C 6162cos 21sin 23+=+=A A ． ………13分16．解：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2000.21000=； ………4分（Ⅱ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为1002000.31000+=； ………8分（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2000.21000=，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003000.61000++=，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1000.11000=，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大． ………13分17．解：2()sin 2f x x x =+cos2)sin 2x x -+sin 2x x =2sin(2)3x π=-………3分（Ⅰ）22T ππ==； ………5分（Ⅱ）由222232k x k πππππ-≤-≤+（k ∈Z ）得51212k x k ππππ-≤≤+（k ∈Z ），则()f x 的单调递增区间是5[,]1212k k ππππ-+（k ∈Z ）； ………8分（Ⅲ）函数()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数2sin()3y x π=-+再把得到的图象向左平移3π个单位得到函数2sin y x =()2sin g x x =()2sin 166g ππ=+=． ………13分18．解：（Ⅰ）2()()x f x ax bx c e =++，定义域：R22()(2)()[(2)]x x x f x ax b e ax bx c e ax a b x b c e '=++++=++++．令()0f x '=，则3x =-和0x =，由0x e >，0a >，则则()f x 的单调增区间是(,3)-∞-，(0,)+∞，单调减区间是(3,0)-， ………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()(0)f x f c ==极小值，3-和0是2(2)0ax a b x b c ++++=的根，则1230(3)0c a b a b c a ⎧⎪=-⎪+⎪-+=-⎨⎪+⎪-⨯=⎪⎩，解得111a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以2()(1)x f x x x e =+-，又由（Ⅰ）知，335()(3)(93f x f e e-=-=--=极大值………13分19．解：（Ⅰ）证明：设任意12,[1,1]x x ∈-且12x x <，由于()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，∴2121()()()()f x f x f x f x -=+- 因为12x x <，所以21()0x x +-≠，由已知有2121()()0()f x f x x x +->+-,∵2121()0x x x x +-=->，∴21()()0f x f x +->，即21()()f x f x >，所以函数()f x 在[1,1]-上是增函数. ………5分（Ⅱ）由不等式1()(1)2f x f x +<-得1112111112x x x x⎧-≤+≤⎪⎪-≤-≤⎨⎪⎪+<-⎩，解得104x ≤<………9分（Ⅲ）由以上知()f x 最大值为(1)1f =，所以要使2()21f x m m ≤-+对所有[1,1]x ∈-，只需2121m m ≤-+恒成立，得实数m的取值范围为m ≤或2m ≥.………14分20．解：（Ⅰ）若21n a n =-， 42n b n =-，则*{|,}{1,3,5,7,}n A x x a n ==∈=N ，*{|,}{2,6,10,14,}n B x x b n ==∈=N因为4∉A ，4∉B ，所以4∉A B ，从而{}n a 与{}n b 不是无穷互补数列； ………4分（Ⅱ）若2n n a =，*{|,}{2,4,8,16,32,}n A x x a n ==∈=N ，则当{1,3,5,6,7,9,10,11,12,13,14,15,17,18,19,20,}B =时满足条件，则数列{}n b 的前16项的和为()()23412202222++⋅⋅⋅+-+++()512020221802+=⨯--=； ………9分（Ⅲ）设{}n a 的公差为d ，d *∈N ，则1611536a a d =+=，由136151a d =-≥，得1d =或2，若1d =，则121a =，20n a n =+，则{}n b 中只有20项与{}n b 是无穷数列矛盾；若2d =，则16a =，24n a n =+，5255n nn b n n ≤⎧=⎨->⎩． ………14分。

【数学】2017-2018年北京市海淀区高三(上)期中数学试卷与答案(文科)

2017-2018学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|x﹣2＜0}，集合B={x|2x＞1}，则A∩B=（）A．R B．（﹣∞，2）C．（0，2） D．（2，+∞）2．（5分）命题“∀x≥0，sinx≤1”的否定是（）A．∀x＜0，sinx＞1 B．∀x≥0，sinx＞1 C．∃x＜0，sinx＞1 D．∃x≥0，sinx＞1 3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．f（x）=﹣x2B．f（x）=3﹣x C．f（x）=ln|x|D．f（x）=x+sinx4．（5分）已知数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a n=2a2（n=1，2，3，…），则（）A．a1＜0 B．a1＞0 C．a1≠a2D．a2=05．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A的纵坐标为2，点C在x轴的正半轴上．在△AOC中，若，则点A的横坐标为（）A．B．C．﹣3 D．36．（5分）已知向量，是两个单位向量，则“=”是“||=2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知函数（）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为（）A．B． C．D．8．（5分）若函数的值域为，则实数a的取值范围是（）A．（0，e） B．（e，+∞）C．（0，e]D．[e，+∞）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知等差数列{a n}满足a1=2，a2+a4=a6，则公差d=．10．（5分）已知向量=（1，0），=（m，n），若与平行，则n的值为．11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则=．12．（5分）如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h（厘米）由如下关系式确定：h=cost，t∈[0，+∞），则小球在开始振动（即t=0）时h的值为，小球振动过程中最大的高度差为厘米．13．（5分）能够说明“设x是实数，若x＞1，则”是假命题的一个实数x的值为．14．（5分）已知非空集合A，B满足以下两个条件：（ⅰ）A∪B={1，2，3，4}，A∩B=∅；（ⅱ）集合A的元素个数不是A中的元素，集合B的元素个数不是B中的元素．那么用列举法表示集合A为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．16．（13分）已知等比数列{a n}满足a1a2a3=8，a5=16．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）设b n=log2a n+1，求数列的前n项和T n．17．（13分）如图，△ABD为正三角形，AC∥DB，AC=4，．（Ⅰ）求sin∠ACB的值；（Ⅱ）求AB，CD的长．18．（13分）已知函数f（x）=x3﹣x，g（x）=2x﹣3．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，2]上的最大值；（Ⅲ）求证：存在唯一的x0，使得f（x0）=g（x0）．19．（14分）已知数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=a n+2（﹣1）n，（n∈N*）．（Ⅰ）写出a5，a6的值；（Ⅱ）设b n=a2n，求{b n}的通项公式；（Ⅲ）记数列{a n}的前n项和为S n，求数列{S2n﹣18}的前n项和T n的最小值．20．（14分）已知函数f（x）=（x2﹣x）lnx．（Ⅰ）求证：1是函数f（x）的极值点；（Ⅱ）设g（x）是函数f（x）的导函数，求证：g（x）＞﹣1．2017-2018学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|x﹣2＜0}，集合B={x|2x＞1}，则A∩B=（）A．R B．（﹣∞，2）C．（0，2） D．（2，+∞）【解答】解：集合A={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，集合B={x|2x＞1}={x|x＞0}，则A∩B={x|x＞0}∩{x|x＜2}={x|0＜x＜2}=（0，2）．故选：C．2．（5分）命题“∀x≥0，sinx≤1”的否定是（）A．∀x＜0，sinx＞1 B．∀x≥0，sinx＞1 C．∃x＜0，sinx＞1 D．∃x≥0，sinx＞1【解答】解：∵“∀x≥0”的否定是“∃x≥0”，“都有sinx≤1”的否定是“使得sinx ＞1”，∴“∀x≥0，都有sinx≤1”的否定是“∃x≥0，使得sinx＞1”．故选：D．3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．f（x）=﹣x2B．f（x）=3﹣x C．f（x）=ln|x|D．f（x）=x+sinx【解答】解：对于A，函数在（0，+∞）递减，不合题意；对于B，不是偶函数，不合题意；对于C，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增，符合题意；对于D，是奇函数，不合题意；故选：C．4．（5分）已知数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a n=2a2（n=1，2，3，…），则（）A．a1＜0 B．a1＞0 C．a1≠a2D．a2=0【解答】解：数列{a n}满足a1+a2+…+a n=2a2（n=1，2，3，…），n=1时，a1=2a2；n=2时，a 1+a2=2a2，可得a2=0．故选：D．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A的纵坐标为2，点C在x轴的正半轴上．在△AOC中，若，则点A的横坐标为（）A．B．C．﹣3 D．3【解答】解：设点A的横坐标为a，由题意可得a＜0，|OA|=，且=sin（﹣∠AOC）=﹣sin（∠AOC﹣）=﹣，求得a=﹣，故选：A．6．（5分）已知向量，是两个单位向量，则“=”是“||=2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵向量，是两个单位向量，则“=”时，“||=2”，即“=”是“||=2”的充分条件；“||=2”，向量，同向，结合向量，是两个单位向量，可得“=”，即“=”是“||=2”的必要条件；故“=”是“||=2”的充分必要条件；故选：C．7．（5分）已知函数（）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为（）A．B． C．D．【解答】解：由图象可知f（x）的周期为T==π，∴=π，解得ω=2．由图象可知f（）=1，即=1，∴+φ=+kπ，k∈Z．∴φ=﹣+kπ，又，∴φ=﹣．故选：B．8．（5分）若函数的值域为，则实数a的取值范围是（）A．（0，e） B．（e，+∞）C．（0，e]D．[e，+∞）【解答】解：由题意，当x≥0时，f（x）=xe x，则f′（x）=（x+1）e x，令f′（x）=0，可得x=﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＜0，在函数f（x）在（﹣∞，﹣1）单调递减；当x∈（﹣1，0]时，f′（x）＞0，在函数f（x）在（﹣1，0]单调递增；∴当x=﹣1时，f（x）=xe x取得最小值为．其值域为[，+∞）那么：当x＞0时，二次函数f（x）=ax2﹣2x的最小值大于等于．∴a＞0，其对称x=＞0．则f（x）min=f（）．即，解得：a≥e故选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知等差数列{a n}满足a1=2，a2+a4=a6，则公差d=2．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a1=2，a2+a4=a6，得2a1+4d=a1+5d，即4+4d=2+5d，得d=2．故答案为：2．10．（5分）已知向量=（1，0），=（m，n），若与平行，则n的值为0．【解答】解：向量=（1，0），=（m，n），=（m﹣1，n），若与平行，可得：n•1=0•（m﹣1），即n=0．故答案为：0．11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则=﹣2．【解答】解：函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，可得f（0）=0，且f（x+2）=f（x），则=﹣f（）+0=﹣f（+2）=﹣f（），由当0＜x＜1时，，可得f（）=2，即=﹣2．故答案为：﹣2．12．（5分）如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h（厘米）由如下关系式确定：h=cost，t∈[0，+∞），则小球在开始振动（即t=0）时h的值为，小球振动过程中最大的高度差为4厘米．【解答】解：由关系式：h=cost，t∈[0，+∞），整理得：h=，当t=0时，h=，小球振动过程中最大的高度，即：，小球振动过程中最低的高度，即：厘米．，所以最大高度差为：4．故答案为：；4．13．（5分）能够说明“设x是实数，若x＞1，则”是假命题的一个实数x的值为2．【解答】解：令x=2，则，故答案为：214．（5分）已知非空集合A，B满足以下两个条件：（ⅰ）A∪B={1，2，3，4}，A∩B=∅；（ⅱ）集合A的元素个数不是A中的元素，集合B的元素个数不是B中的元素．那么用列举法表示集合A为{3}或{1，2，4} ．【解答】解：∵（ⅰ）A∪B={1，2，3，4}，A∩B=∅；（ⅱ）集合A的元素个数不是A中的元素，集合B的元素个数不是B中的元素．则A，B不能为空集，且A，B不能均为二元集合，若A含一个元素，则该元素只能是3，即A={1}若A含三个元素，则元素不能有3，即A={1，2，4}故答案为：{3}或{1，2，4}（答对一个给3分）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（I），=，=1…（4分）（II）f（x）=sin2x+cos2x，=．令（k∈Z），得所以函数f（x）的单调递增区间为．…（13分）16．（13分）已知等比数列{a n}满足a1a2a3=8，a5=16．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）设b n=log2a n+1，求数列的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q．因为a1a2a3=8，且所以，得a2=2，又因为，所以q3=8，得q=2，a1=1．所以（n∈N），+所以==2n﹣1．（Ⅱ）因为，所以b n=log2a n+1=n，所以．所以数列的前n项和T n===．17．（13分）如图，△ABD为正三角形，AC∥DB，AC=4，．（Ⅰ）求sin∠ACB的值；（Ⅱ）求AB，CD的长．【解答】（本题13分）解：（Ⅰ）因为△ABD为正三角形，AC∥DB，所以在△ABC中，，所以．所以…（1分）=…（3分）因为在△ABC中，，∠ABC∈（0，π）…（4分）所以．…（5分）所以sin∠ACB=．…（6分）（Ⅱ）方法1：在△ABC中，AC=4，由正弦定理得：，…（8分）所以…（9分）又在正△ABD中，AB=AD，，所以在△ADC中，，…（10分）由余弦定理得：CD2=AC2+AD2﹣2AC•ADcos∠DAC，=所以CD的长为．…（13分）方法2：在△ABC中，由正弦定理得：，…（8分）所以，…（9分）…（10分）所以cos∠DBC=cos（∠DBA+∠ABC）=cos∠DBAcos∠ABC﹣sin∠DBAsin∠ABC，==．…（11分）在△DBC中，由余弦定理得：CD 2=DB 2+BC 2﹣2DB ×BC ×cos ∠DBC…（12分） =，=61．所以CD 的长为．…（13分）18．（13分）已知函数f （x ）=x 3﹣x ，g （x ）=2x ﹣3．（Ⅰ）求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f （x ）在[0，2]上的最大值；（Ⅲ）求证：存在唯一的x 0，使得f （x 0）=g （x 0）．【解答】解：（Ⅰ）由f （x ）=x 3﹣x ，得f'（x ）=3x 2﹣1，…（1分）所以f'（1）=2，又f （1）=0…（3分）所以曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为：y ﹣0=2（x ﹣1），即：2x ﹣y ﹣2=0．…（4分）（Ⅱ）令f'（x ）=0，得．…（5分）f （x ）与f'（x ）在区间[0，2]的情况如下：…（7分）因为f （0）=0，f （2）=6，…（8分）所以函数f （x ）在区间[﹣2，3]上的最大值为6．…（9分）（Ⅲ）证明：设h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=x 3﹣3x +3，则h'（x ）=3x 2﹣3=3（x ﹣1）（x +1），…（10分）令h'（x ）=0，得x=±1．h （x ）与h'（x ）随x 的变化情况如下：则h（x）的增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），减区间为（﹣1，1）．…（11分）又h（1）=1＞0，h（﹣1）＞h（1）＞0，所以函数h（x）在（﹣1，+∞）没有零点，…（12分）又h（﹣3）=﹣15＜0，所以函数h（x）在（﹣∞，﹣1）上有唯一零点x 0．…（13分）综上，在（﹣∞，+∞）上存在唯一的x0，使得f（x0）=g（x0）．19．（14分）已知数列{a n}满足a1=a2=1，a n+2=a n+2（﹣1）n，（n∈N*）．（Ⅰ）写出a5，a6的值；（Ⅱ）设b n=a2n，求{b n}的通项公式；（Ⅲ）记数列{a n}的前n项和为S n，求数列{S2n﹣18}的前n项和T n的最小值．=a n+2（﹣1）n，【解答】解：（Ⅰ）∵a n+2∴a3=a1﹣2=﹣1，a4=a2+2=3，a5=a3﹣2=﹣3，a6=a4+2=5；（Ⅱ）b n=a2n=a2n﹣2+2，n∈N*﹣b n=a2n+2﹣a2n=2，∴b n+1∴{b n}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴b n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1．（Ⅲ）∵，n∈N*，∴{a2n}是以1为首项，﹣2为公差d的等差数列，﹣1∴数列{a n}的前n个奇数项之和为，由（Ⅱ）可知，a2n=2n﹣1，∴数列{a n}的前n个偶数项之和为．∴S2n=2n，∴S2n﹣18=2n﹣18．﹣18）=2，且S2﹣18=﹣16，∵S2n﹣18﹣（S2n﹣2∴数列{S2n﹣18}是以﹣16为首项，2为公差的等差数列．由S2n﹣18=2n﹣18≤0可得n≤9，∴当n=8或n=9时，数列{S2n﹣18}的前n项和T n的最小值为T8=T9=﹣16×8+=﹣72．20．（14分）已知函数f（x）=（x2﹣x）lnx．（Ⅰ）求证：1是函数f（x）的极值点；（Ⅱ）设g（x）是函数f（x）的导函数，求证：g（x）＞﹣1．【解答】（本题14分）（Ⅰ）证明：证法1：f（x）=（x2﹣x）lnx的定义域为（0，+∞）…（1分）由f（x）=（x2﹣x）lnx得，…（2分）∴f'（1）=0．…（3分）当x＞1时，（2x﹣1）lnx＞0，x﹣1＞0，∴f'（x）＞0，故f（x）在（1，+∞）上单调递增；…（4分）当时，（2x﹣1）lnx＜0，x﹣1＜0，∴f'（x）＜0，故f（x）在上单调递减；…（5分）（此处为推理说明，若用列表说明则扣1分）所以1是函数f（x）的极值点．…（6分）证法2：（根据极值的定义直接证明）f（x）=（x2﹣x）lnx的定义域为（0，+∞）…（1分）∵f（x）=x（x﹣1）lnx，∴f（1）=0…（3分）当x＞1时，x（x﹣1）＞0，lnx＞0，∴f（x）＞0，即f（x）＞f（1）；…（4分）当0＜x＜1时，x（x﹣1）＜0，lnx＜0，∴f（x）＞0，即f（x）＞f（1）；…（5分）根据极值的定义，1是f（x）的极值点．…（6分）（Ⅱ）由题意可知，g（x）=（2x﹣1）lnx+x﹣1证法1：，令，∴，故h（x）在（0，+∞）上单调递增．…（7分）又，又h（x）在（0，+∞）上连续，∴使得h（x0）=0，即g'（x0）=0，…（8分）∴．（*）…（9分）g'（x），g（x）随x的变化情况如下：…（10分）∴g（x）min=g（x0）=（2x0﹣1）lnx0+x0﹣1．…（11分）由（*）式得，代入上式得．…（12分）令，，故t（x）在上单调递减．…（13分）∴t（x）＞t（1），又t（1）=﹣1，∴t（x）＞﹣1．即g（x0）＞﹣1∴g（x）＞﹣1．…（14分）证法2：g（x）=（2x﹣1）lnx+x﹣1=2xlnx﹣lnx+x﹣1，x∈（0，+∞），令h（x）=2xlnx，t（x）=﹣lnx+x﹣1，x∈（0，+∞），…（7分）h'（x）=2（lnx+1），令h'（x）=0得．…（8分）h'（x），h（x）随x的变化情况如下：∴，即，当且仅当时取到等号．…（10分），令t'（x）=0得x=1．…（11分）t'（x），t（x）随x的变化情况如下：…（12分），∴t （x ）min =t （1）=0，即x ﹣1﹣lnx ≥0，当且仅当x=1时取到等号．…（13分）∴．即g （x ）＞﹣1．…（14分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2xO∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

北京市第四中学2018届高三上学期期中考试数学(文)试题+Word版含解析

北京四中2018届上学期高三年级期中考试数学试卷（文科）（试卷满分：150分考试时间：120分钟）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合，，那么等于A. B. C. D.【答案】B【解析】集合，，根据集合的并集的概念得到等于。

故答案为：B。

2. 若，则A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：，故选C.考点：二倍角公式3. 已知向量a,b满足，，则A. B. C. D. 2【答案】C【解析】由条件知，。

故答案为：C。

4. 设，，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由函数的单调性可知由单调性可知，由函数单调性可知，所以有，故选B考点：函数单调性比较大小5. 已知，，则是的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】已知，。

根据向量平行的坐标表示得到故是的充分不必要条件。

故答案为：A。

6. 函数的图象如图所示，则的解析式可以为A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，故当时，的符号不确定，因此不单调，即答案A不正确；对于答案B，因，故函数是递减函数，但函数有两个零点，则答案B不正确；对于答案D，因时，无零点，故答案不正确；而，故函数在时，是单调递减函数，当时，函数也单调递减函数，应选答案C。

点睛：解答本题的关键是搞清楚函数的图像的变化情况与题设的要求，将每一个函数解析式的导数求出，再运用比较对比的方法将函数的解析式选出，从而使得问题获解。

7. 实数x,y满足则的最小值为A. 15B. 3C. -3D. -15【答案】C【解析】根据不等式组画出可行域，如图：目标函数可化简为：,根据图像得到当目标函数过点（-3，3）时候，目标函数有最小值，代入得到z=-3.故得到答案为：C。

点睛：这个题目考查的是较为简单的线性规划问题；需要注意的是线规问题，可行域中的线是实线还是虚线，目标函数是什么模型，常见的有形如这个函数的截距型，还有面积型，距离型，斜率型等，注意最值能否取倒。

2017-2018北京西城铁路二中高三上期中【文】数学真题卷

高三铁路第二中学2017—2018学年度第一学期高三文科期中考试试卷一、选择题（共8个小题，每题5分，共40分．每小题的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请把正确的答案填在括号里）1．集合{}|02A x x =<<，{|0B x x c =<<，其中}0c >，若A B ⊆，则c 的取值范围是（）．A ．(0,1]B ．(2,)+∞C ．[2,)+∞D ．(0,2]【答案】C 【解析】解：用数轴表示集合A ，B ，若A B ⊆，则2c ≥，即c 的取值范围是[2,)+∞．故选C ．2．复数z 满足i=3i z ⋅-，则在复平面内，复数z 对应的点位于（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】解：∵复数z 满足i=3i z ⋅-， ∴23i (3i)i13i i iz --===--，其在复平面内对应的点为(1,3)--，位于第三象限．故选C ．3．已知2sin 3α=，则cos(π2)α-=（）．A．B ．19-C ．19D【答案】B【解析】解：∵2sin 3α=，∴241cos(π2)cos2(12sin )1299ααα⎛⎫-=-=--=--⨯=- ⎪⎝⎭．故选B ．4．设x ，y 满足约束条件2110y x x y y ⎧⎪+⎨⎪+⎩≤≤≥，则3z x y =+的最大值是（）．A ．43B ．73C ．13-D ．1【答案】B 【解析】解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，由3z x y =+得133z y x =-+，平移直线133zy x =-+，由图像可知当直线133z y x =-+经过点A 时，直线133zy x =-+的截距最大，此时z 最大，由12x y y x +=⎧⎨=⎩，得1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即12,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以3z x y =+的最大值max 1273333z =+⨯=．故选B ．5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）．A ．32B．C ．48D．16+【答案】B【解析】解：由三视图可知该四棱锥高为2，底面是边长为4的正方形，顶点在底面的投影是正方形的中心，所以该四棱锥的底面积是4416⨯=，侧面积是：1442⨯⨯⨯=故该四棱锥的表面积是16+ 故选B ．y=1正主()视图侧左()视图6．以下有关命题的说法错误的是（）． A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠” B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件 C ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题:p x ∃∈R 使得210x x ++<，则:p x ⌝∀∈R ，均有210x x ++≥【答案】C【解析】解：A 项、命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”，故A 正确；B 项、由2320x x -+=得1x =或2x =，则“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，故B 正确；C 项、若p q ∧为假命题，则p 、q 中至少有一个为假命题，故C 错误；D 项、命题:p x ∃∈R 使得210x x ++<，则:p x ⌝∀∈R ，均有210x x ++≥，故D 正确．故选C ．7．平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（）．A ．20x y -或20x y -=B ．20x y +或20x y +C ．20x y -或250x y --=D ．20x y +或250x y +-=【答案】D【解析】解：由题意，可设直线方程为20x y m ++=，则由直线和圆225x y +==，解得5m =±，则所求直线方程为：250x y ++=或250x y +-=．故选D ．8．设函数12()log f x x x a =+-，则“(1,3)a ∈”是，“函数()f x 在(2,8)上存在零点”的（）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：函数12log x x a =+-在(2,8)上单调递减，若“函数()f x 在(2,8)上存在零点”，则(2)(8)(1)(5)0f f a a ⋅=--<，解得：15a <<，所以“(1,3)a ∈”是“函数()f x 在(2,8)上存在零点”的充分而不必要条件．故选A ．二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案直接填在题中横线上）9．函数21()(0)x f x x x+=>的最小值为__________．【答案】2【解析】解：∵0x >，∴函数211()2x f x x x x +==+≥，当且仅当1x x=，即1x =时取等号，∴函数21()x f x x+=的最小值是2．10．设向量a ，b 不平行，向量a b λ+ 与2a b +平行，则实数=λ__________．【答案】12【解析】解：∵向量a ，b 不平行，向量a b λ+ 与2a b +平行，∴存在M ，使(2)a b M a b λ+=+，∴12M M λ=⎧⎨=⎩，解得12M λ==．11．已知直线1:(2)10l ax a y +++=，2:20l x ay ++=，若12l l ⊥，则实数a 的值是__________．【答案】3-或0【解析】解：若:(2)10l ax a y +++=，2:20l x ay ++=，且12l l ⊥，则(2)0a a a ++=，解得：0a =或3a =-．12．在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的三边，已知222b c a bc +-=．则角A =__________，若a =cos C =，则c 的长为__________．【答案】π3【解析】解：由余弦定理得：2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，∵0πA <<，∴π3A =，又在ABC △中，π3A =，acos C =，∴sin C == 由正弦定理知：sin sin a cA C =sin 3∴c ==13．已知函数13log ,0()2,0x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪⎩≤，则[(1)]f f =__________，若1()2f a >，则实数a 的取值范围是__________．【答案】1；⎛- ⎝⎭【解析】解：∵13log ,0()2,0x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪⎩≤，∴[(1)](0)1f f f ==，又1()2f a >， ∴1301log 2a x >⎧⎪⎨>⎪⎩或0122a a ⎧⎪⎨>⎪⎩≤，即0a a >⎧⎪⎨⎪⎩或01a a ⎧⎨>-⎩≤，∴0a <<或10a -<≤，即1a -<<即实数a的取值范围是：⎛- ⎝⎭． 14．在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优，若A 电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B 电影，则称A 电影不亚于B 电影，已知共有5部微电影参展，如果某部电影不亚于其他4部，就称此部电影为优秀影片，那么在这5部微电影中，最多可能有__________部优秀影片．【答案】5【解析】解：记这5部微电影为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，先考虑2部电影的情形，若1A 的点播量2A >的点播量，且2A 的专家评分1A >的专家评分，则优秀影片最多可能有2部，再考虑3部电影的情形：若1A 的点播量2A >的点播量3A >的点播量，且3A 的专家评分2A >的专家评分1A >的专家评分，则优秀影片最多可能有3部，以此类推可知：这5部微电影中，优秀影片最多可能有5部．本题正确答案是：5．三、解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 15．（本小题13分）已知函数π()sin sin 3f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（1）求π6f ⎛⎫⎪⎝⎭．（2）求()f x 在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的最大值和最小值以及对应的x 的值．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵π()sin sin 3f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1sin sin 2x x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭1sin 2x x = πsin 3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴ππππsin sin 16632f ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）∵ππ22x -≤≤，∴ππ5π636x -+≤≤，∴当ππ36x +=-，即π2x =-时，()f x 取最小值12-，当ππ32x +=，即π6x =时，()f x 取最大值1．16．（本小题13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12(*)n n a a n +=∈N ，且2a 是2S 与1的等差中项．（1）求{}n a 的通项公式．（2）若数列1n a ⎛⎫⎪⎝⎭的前n 项和为n T ，且对*n ∀∈N ，n T λ<恒成立，求实数λ最小值．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵12(*)n n a a n +=∈N ，∴21211123S a a a a a =+=+=，又2a 是2S 与1的等差中项， ∴2221a S =+，即11431a a =+，得11a =， ∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴12n n a -=．（2）由（1）可得：1112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以12为公比的等比数列，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为：1112211212n n n T -⎛⎫==- ⎪⎝⎭-，∵102n>， ∴12122n n T ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，∴对任意*n ∈N ，n T λ<恒成立，则2λ≥， ∴实数λ的最小值是2． 17．（本小题13分）某单位从一所学校招收某类特殊人才，对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：20位参加测试的学生中随机抽取一位,抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为15．（1）求a ，b 的值．（2）从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率．【答案】见解析．【解析】解：（1）根据题意可以知道，逻辑思维能力优秀的学生共有(2)a +人，设事件A ：从20名学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力的学生，则21()205a P A +==，解得：2a =， ∴4b =．（2）根据题意可知，运动协调能力为优秀的学生共有6位，分别记为1M ，2M ，3M ，4M ，5M ，6M ，其中5M 和6M 为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生．从中任意抽取2位，则基本事件有：12M M ，13M M ，14M M ，15M M ，16M M ，23M M ，24M M ，25M M ，26M M ，34M M ，35M M ，36M M ，45M M ，46M M ，56M M ，共15个，设事件B ：从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生，则事件B 包括：15M M ，16M M ，25M M ，26M M ，35M M ，36M M ，45M M ，46M M ，56M M 共9种可能， ∴93()155P B ==． 18．（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，点E 是线段BD 的中点，点F 是线段PD 上的动点．（1）若F 是PD 的中点，求证：EF ∥平面PBC ．（2）求证：CE BF ⊥．（3）若2AB =，3PD =，当三棱锥P BCF -的体积等于43时，试判断点F 在边PD 上的位置，并说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）证明：∵在PBD △中，点E 是BC 的中点，F 是PD 的中点， ∴EF PB ∥，又∵EF ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ， ∴EF ∥平面PBC ．（2）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ， ∴PD CE ⊥，又∵底面ABCD 是正方形，且点E 是BD 的中点， ∴CE BD ⊥， ∵BD PD D = ， ∴CE ⊥平面PBD ，又∵BF ⊂平面PBD ， ∴CE BF ⊥．（3）点F 为边PD 上靠近D 点的三等分点，理由如下：由（2）可知，CE ⊥平面PBF ，又∵PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PD BD ⊥，设PF x =，由2AB =得BD =CEDP ABCEF F ECBAP D∴11123263P BCF C BPF V V PF BD CE x --==⨯⨯⋅⋅=⨯=，由已知三棱锥P BCF -的体积等于43得2433x =，解得2x =，∵3PD =，∴点F 为边PD 上靠近D 点的三等分点． 19．（本小题13分）已知函数()ln a xf x x x-=+，其中a 为常数，且0a <．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线112y x =+垂直，求a 的值．（2）若函数()f x 在区间[1,2]上的最小值为12，求a 的值．【答案】见解析．【解析】解：（1）由()ln a x f x x x -=+，得2()(0)x af x x x-'=>， ∵曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线112y x =+垂直，∴(1)2f '=-，即12a -=-，解得：3a =．（2）当01a <≤时，()0f x '>，在(1,2)上恒成立，()f x 在区间[1.2]上单调递增， ∴min ()(1)1f x f a ==-， ∴112a -=，解得32a =，舍去，当12a <<时，由()0f x '=，得(1,2)x a =∈，若(1,)x a ∈，则()0f x '<，()f x 单调递减，若(,2)x a ∈，则()0f x '>，()f x 单调递增， ∴min ()()ln f x f a a ==，∴1ln 2a =，解得a = 当2a ≥时，()0f x '<在(1,2)上恒成立，()f x 在[1,2]上为减函数， ∴min ()(2)ln212af x f ==+-， ∴1ln2122a +-=，解得32ln 2a =-，舍去．综上，a20．（本小题14分）设*n ∈N ，函数ln ()n xf x x =，函数e ()x ng x x=，(0,)x ∈+∞．（1）判断函数()f x 在区间(0,)+∞上是否为单调函数，并说明理由．（2）若当1n =，对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，都有12()()f x t g x ≤≤成立，求实数t 的取值范围．（3）当2n >时，若存在直线:()l y t t =∈R ，使得曲线()y f x =与曲线()y g x =分别位于直线l 的两侧，写出n 的所有取值．（只需写出结论）【答案】见解析．【解析】解：（1）函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数，理由如下：由ln ()n x f x x =得11ln ()n n x fx x +-'=，令()0f x '=，解得1e nx =，当10,e n x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当1e ,n x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，∴函数()f x 在区间10,e n ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1e ,n ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，∴函数()f x 在区间(0,)+∞上不是单调函数．（2）当1n =时，函数ln ()x f x x =，e ()xg x x=，0x >，由题意，若对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，都有12()()f x t g x ≤≤恒成立，只需当(0,)x ∈+∞时，m a x m i n ()()f x t g x ≤≤，∵21ln ()xf x x -'=，令()0f x '=，解得e x =，当(0,e)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(e,)x ∈+∞时，()f x 单调递减，∴max 1()(e)=ef x f =，又∵2e (1)()x x g x x-'=，令()0g x '=，解得1x =，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增， ∴min ()(1)e g x g ==，综上，实数t 的取值范围为：1e et ≤≤．（3）满足条件的n 的取值集合为{}3,4．。

北京市朝阳区2017-2018学年高三上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析

2017-2018学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}，B={x|＜x＜2，x∈R}，那么集合A∩B=（）A．∅B．C．{x|﹣2＜x＜2，x∈R}D．{x|﹣2＜x＜1，x∈R}2．下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（）A．y=x﹣1 B．y=tanx C．y=x3D．3．已知sinx=，则sin2x的值为（）A．B．C．或D．或﹣4．设x∈R且x≠0，则“x＞1”是“x+＞2”成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βB．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥nC．若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m∥n D．若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥β6．已知三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），且+=，||=2||，则•等于（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）=则函数g（x）=f（f（x））﹣的零点个数是（）A．4 B．3 C．2 D．18．5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9．设平面向量=（1，2），=（﹣2，y），若∥，则y=．10．已知角A为三角形的一个内角，且cosA=，sinA=．cos2A=．11．已知a=log2.10.6，b=2.10.6，c=log0.50.6，则a，b，c的大小关系是．12．各项均为正数的等比数列{{a n}的前n项和为S n，若a3=2，S4=5S2，则a1的值为，S4的值为．13．已知函数f（x）=在（﹣∞，+∞）上是具有单调性，则实数m的取值范围．14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第天，两马相逢．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．已知数列{a n}（n∈N*）是公差不为0的等差数列，若a1=1，且a2，a4，a8成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=，求数列{b n}的前n项和S n．16．已知函数f（x）=asinx﹣cosx（a∈R）的图象经过点（，0）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若x∈[，]，求f（x）的取值范围．17．如图，已知A，B，C，D四点共面，且CD=1，BC=2，AB=4，∠ABC=120°，cos∠BDC=．（Ⅰ）求sin∠DBC；（Ⅱ）求AD．18．如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，DE∥PA．（Ⅰ）求证：BC⊥CE；（Ⅱ）若直线m⊂平面PAB，试判断直线m与平面CDE的位置关系，并说明理由；（Ⅲ）若AB=PA=2DE=2，AD=3，求三棱锥E﹣PCD的体积．19．已知函数f（x）=，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线斜率为﹣2，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1）上无极值，求a的取值范围．20．已知函数f（x）=ax﹣﹣（a+1）lnx，a∈R．（I）若a=﹣2，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a≥1，且f（x）＞1在区间[，e]上恒成立，求a的取值范围；（III）若a＞，判断函数g（x）=x[f（x）+a+1]的零点的个数．2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}，B={x|＜x＜2，x∈R}，那么集合A∩B=（）A．∅B．C．{x|﹣2＜x＜2，x∈R}D．{x|﹣2＜x＜1，x∈R}【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，根据交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：集合A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}={x|0＜x＜1，x∈R}，B={x|＜x＜2，x∈R}，集合A∩B={x|＜x＜1，x∈R}．故选：B．2．下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（）A．y=x﹣1 B．y=tanx C．y=x3D．【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【解答】解：A．f（x）=x﹣1是非奇非偶函数，不满足条件．B．y=tanx是奇函数，在定义域上函数不是单调函数，不满足条件．C．y=x3是奇函数，在定义域上为增函数，满足条件．D.是奇函数，在定义域上不是单调函数，不满足条件．故选：C3．已知sinx=，则sin2x的值为（）A．B．C．或D．或﹣【考点】二倍角的正弦．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosx，进而利用二倍角的正弦函数公式即可计算求值．【解答】解：∵sinx=，∴cosx=±=±，∴sin2x=2sinxcosx=2×（±）=±．故选：D．4．设x∈R且x≠0，则“x＞1”是“x+＞2”成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据基本不等式的性质，结合充分不必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当x＜0时，不等式x+＞2不成立，当x＞0时，x+≥2=2，当且仅当x=，即x=1时，取等号，当x＞1时，不等式x+＞2成立，反之不一定成立，是充分不必要条件，故选：A5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βB．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥nC．若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m∥n D．若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，推导出m⊥β，所以m⊥n；在C中，m与n相交、平行或异面；在D中，n与β相交、平行或n⊂β．【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥β，所以m⊥n，故B正确；在C中，若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m与n相交、平行或异面，故C错误；在D中，若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n与β相交、平行或n⊂β，故D错误．故选：B．6．已知三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），且+=，||=2||，则•等于（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得三角形是以角A为直角的直角三角形，解直角三角形求出相应的边和角，代入数量积公式得答案．【解答】解：三角形ABC外接圆O的半径为1（O为圆心），且+=，∴O为BC的中点，故△ABC是直角三角形，∠A为直角．又||=2||，∴||=，||=2，∴||=，∴cosC===，∴•=﹣•=﹣×2×=﹣故选：A．7．已知函数f（x）=则函数g（x）=f（f（x））﹣的零点个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】函数零点的判定定理．【分析】作出函数的图象，先求出f（x）=的根，然后利用数形结合转化为两个函数的交点个数即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：当x≤0时，由f（x）=得x+1=，即x=﹣1=﹣，当x＞0时，由f（x）=得log2x=，即x==，由g（x）=f（f（x））﹣=0得f（f（x））=，则f（x）=﹣或f（x）=，若f（x）=﹣，此时方程f（x）=﹣有两个交点，若f（x）=，此时方程f（x）=只有一个交点，则数g（x）=f（f（x））﹣的零点个数是3个，故选：B8．5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（）A．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个【考点】进行简单的合情推理．【分析】5个黑球和4个白球，5为奇数，4为偶数，分析即可得到答案．【解答】解：5为奇数，4为偶数，故总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多，故选：A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9．设平面向量=（1，2），=（﹣2，y），若∥，则y=﹣4．【考点】平行向量与共线向量．【分析】直接利用向量共线的坐标表示列式计算【解答】解：∵=（1，2），=（﹣2，y），∥，∴1×y=2×（﹣2）∴y=﹣4故答案为：﹣410．已知角A为三角形的一个内角，且cosA=，sinA=．cos2A=﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦．【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式，求得sinA和cos2A的值．【解答】解：∵角A为三角形的一个内角，且cosA=，∴sinA==，cos2A=2cos2A﹣1=2•﹣1=﹣，故答案为：．11．已知a=log2.10.6，b=2.10.6，c=log0.50.6，则a，b，c的大小关系是b＞c＞a．【考点】对数值大小的比较．【分析】直接利用中间量“0”，“1”判断三个数的大小即可．【解答】解：a=log2.10.6＜0，b=2.10.6＞1，0＜c=log0.50.6＜1∴b＞c＞a，故答案为：b＞c＞a．12．各项均为正数的等比数列{{a n}的前n项和为S n，若a3=2，S4=5S2，则a1的值为，S4的值为．【考点】等比数列的前n项和．【分析】经分析等比数列为非常数列，设出等比数列的公比，有给出的条件列方程组求出a1和q的值，则S4的值可求．【解答】解：若等比数列的公比等于1，由a3=2，则S4=4a3=4×2=8，5S2=5×2S3=5×2×2=20，与题意不符．设等比数列的公比为q（q≠1），由a3=2，S4=5S2，得：，整理得，解得，q=±2．因为数列{a n}的各项均为正数，所以q=2．则．故答案为；．13．已知函数f（x）=在（﹣∞，+∞）上是具有单调性，则实数m的取值范围（1，] ．【考点】函数单调性的性质．【分析】函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是具有单调性，需要对m分类讨论，当m＞1，m＜﹣1，m=±1、0，﹣1＜m＜0，0＜m＜1分别判断分段函数的单调性．【解答】解：令h（x）=mx2+1，x≥0；g（x）=（m2﹣1）2x，x＜0；①当m＞1时，要使得f（x）在（﹣∞，+∞）上是具有单调性，即要满足m2﹣1≤1⇒﹣≤m≤故：1＜m≤；②当m＜﹣1时，h（x）在x≥0上递减，g（x）在x＜0上递增，所以，f（x）在R上不具有单调性，不符合题意；③当m=±1时，g（x）=0；当m=0时，h（x）=1；所以，f（x）在R上不具有单调性，不符合题意；④当﹣1＜m＜0 时，h（x）在x≥0上递减，g（x）在x＜0上递减，对于任意的x≥0，g（x）＜0；当x→0时，h（x）＞0；所以，f（x）在R上不具有单调性，不符合题意；⑤当0＜m＜1时，h（x）在x≥0上递增，g（x）在x＜0上递减；所以，f（x）在R上不具有单调性，不符合题意；故答案为：（1，]14．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第20天，两马相逢．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n}，其中b1=97，d=﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+a m+b1+b2+…+b m=103m++97m+=200m+×12.5≥2×3000，化为m2+31m﹣960≥0，解得m，取m=20．故答案为：20．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．已知数列{a n}（n∈N*）是公差不为0的等差数列，若a1=1，且a2，a4，a8成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）a2，a4，a8成等比数列，可得．再利用等差数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）b n==，利用“裂项求和方法”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，因为a2，a4，a8成等比数列，所以．即，即d2=a1d．又a1=1，且d≠0，解得d=1．所以有a n=a1+（n﹣1）d=1=（n﹣1）=n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：．则．即．16．已知函数f（x）=asinx﹣cosx（a∈R）的图象经过点（，0）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若x∈[，]，求f（x）的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）的图象过点，代入函数解析式求出a的值，从而写出函数解析式并求出最小正周期；（Ⅱ）根据x的取值范围，计算f（x）的最值，从而求出它的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为函数的图象经过点，所以，解得a=1；…所以，所以f（x）最小正周期为T=2π；…（Ⅱ）因为，所以；所以当，即时，f（x）取得最大值，最大值是2；当，即时，f（x）取得最小值，最小值是﹣1；所以f（x）的取值范围是[﹣1，2]．…17．如图，已知A，B，C，D四点共面，且CD=1，BC=2，AB=4，∠ABC=120°，cos∠BDC=．（Ⅰ）求sin∠DBC；（Ⅱ）求AD．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用已知及同角三角函数基本关系式可求，进而利用正弦定理即可求得sin∠DBC的值．（Ⅱ）在△BDC中，由余弦定理可求DB的值，利用同角三角函数基本关系式可求，进而利用两角差的余弦函数公式可求cos∠ABD的值，在△ABD中，由余弦定理可求AD的值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC中，因为，所以．由正弦定理得，．…（Ⅱ）在△BDC中，由BC2=DC2+DB2﹣2DC•DBcos∠BDC，得，．所以．解得或（舍）．由已知得∠DBC是锐角，又，所以．所以cos∠ABD=cos=cos120°•cos∠DBC+sin120°•sin∠DBC==．在△ABD中，因为AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcos∠ABD=，所以．…18．如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，DE∥PA．（Ⅰ）求证：BC⊥CE；（Ⅱ）若直线m⊂平面PAB，试判断直线m与平面CDE的位置关系，并说明理由；（Ⅲ）若AB=PA=2DE=2，AD=3，求三棱锥E﹣PCD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）推导出DE⊥BC．，BC⊥CD，由此能证明BC⊥CE．（Ⅱ）推导出DE∥平面PAB，CD∥平面PAB，从而平面PAB∥平面CDE，从而得到m∥平面CDE．（Ⅲ）三棱锥E﹣PCD的体积等于三棱锥P﹣CDE的体积，由此能求出三棱锥E﹣PCD的体积．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为PA⊥底面ABCD，PA∥DE所以DE⊥底面ABCD．所以DE⊥BC．又因为底面ABCD为矩形，所以BC⊥CD．又因为CD∩DE=D，所以BC⊥平面CDE．所以BC⊥CE．…解：（Ⅱ）若直线m⊂平面PAB，则直线m∥平面CDE．证明如下，因为PA∥DE，且PA⊂平面PAB，DE⊄平面PAB，所以DE∥平面PAB．在矩形ABCD中，CD∥BA，且BA⊂平面PAB，CD⊄平面PAB，所以CD∥平面PAB．又因为CD∩DE=D，所以平面PAB∥平面CDE．又因为直线m⊂平面PAB，所以直线m∥平面CDE．…（Ⅲ）由题意知，三棱锥E﹣PCD的体积等于三棱锥P﹣CDE的体积．由（Ⅰ）可知，BC⊥平面CDE．又因为AD∥BC，所以AD⊥平面CDE．易证PA∥平面CDE，所以点P到平面CDE的距离等于AD的长．因为AB=PA=2DE=2，AD=3，所以．所以三棱锥E﹣PCD的体积．…19．已知函数f（x）=，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线斜率为﹣2，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1）上无极值，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）先求出函数的导函数令x的值为0代入其中得到f'（0）=﹣2即切线方程的斜率为﹣2，即可求出a的值，再利用导数和函数的最值的关系即可求出最小值，（Ⅱ）求出函数的导函数，f（x）在区间（0，1）上无极值，则函数f（x）在（0，1）单调，分类讨论，求出函数的单调性即可求出a的取值范围【解答】解：（Ⅰ）因为，所以．依题意，f′（0）=﹣2，解得a=﹣1．所以，．当x＞2时，f'（x）＞0，函数f（x）为增函数；当x＜2时，f'（x）＜0，函数f（x）为减函数；所以函数f（x）的最小值是．（Ⅱ）因为，所以．（1）若a=0，则．此时f（x）在（0，1）上单调递减，满足条件．（2）若a≠0，令f'（x）=0得．（ⅰ）若，即0＜a≤1，则f'（x）＜0在（0，1）上恒成立．此时f（x）在（0，1）上单调递减，满足条件．（ⅱ）若，即a＞1时，由f'（x）＞0得；由f'（x）＜0得．此时f（x）在上为增函数，在上为减，不满足条件．（ⅲ）若即a＜0．则f'（x）＜0在（0，1）上恒成立．此时f（x）在（0，1）上单调递减，满足条件．综上，a≤1．20．已知函数f（x）=ax﹣﹣（a+1）lnx，a∈R．（I）若a=﹣2，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a≥1，且f（x）＞1在区间[，e]上恒成立，求a的取值范围；（III）若a＞，判断函数g（x）=x[f（x）+a+1]的零点的个数．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当a=﹣2时，对f（x）求导，求出导函数的零点，即可判断单调区间；（2）若a≥1，且f（x）＞1在区间[，e]上恒成立，即：f（x）在[，e]上的最小值大于1；利用导数求判断函数f（x）的最小值．（3）分类讨论判断g'（x）的单调性与函数的最小值，从而验证g（x）在区间（0，+∞）上单调递增．再构造新函数h（a）=e3a﹣（2lna+6），证明h（a）＞0，进而判断函数g（x）是否穿过x轴即可．【解答】解：（Ⅰ）若a=﹣2，则，x∈（0，+∞）由f'（x）＞0得，0＜x＜1；由f'（x）＜0得，x＞1．所以函数f（x）的单调增区间为（0，1）；单调减区间为（1，+∞）．（Ⅱ）依题意，在区间上f（x）min＞1.，a≥1．令f'（x）=0得，x=1或．若a≥e，则由f'（x）＞0得，1＜x≤e；由f'（x）＜0得，．所以f（x）min=f（1）=a﹣1＞1，满足条件；若1＜a＜e，则由f'（x）＞0得，或1＜x≤e；由f'（x）＜0得，.，依题意，即，所以2＜a＜e．若a=1，则f'（x）≥0．所以f（x）在区间上单调递增，，不满足条件；综上，a＞2．（III）x∈（0，+∞），g（x）=ax2﹣（a+1）xlnx+（a+1）x﹣1．所以g'（x）=2ax﹣（a+1）lnx．设m（x）=2ax﹣（a+1）lnx，．令m'（x）=0得．当时，m'（x）＜0；当时，m'（x）＞0．所以g'（x）在上单调递减，在上单调递增．所以g'（x）的最小值为．因为，所以．所以g'（x）的最小值．从而，g（x）在区间（0，+∞）上单调递增．又，设h（a）=e3a﹣（2lna+6）．则．令h'（a）=0得．由h'（a）＜0，得；由h'（a）＞0，得．所以h（a）在上单调递减，在上单调递增．所以．所以h（a）＞0恒成立．所以e3a＞2lna+6，．所以．又g（1）=2a＞0，所以当时，函数g（x）恰有1个零点．2016年11月25日。

2017-2018北京西城14中高三上期中【文】数学真题卷

北京市第十四中学2017-2018学年度第一学期高三数学（文科）期中试卷 2017年11月一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．集合{}0,1,2,3,4M =，{}1,3,5N =，且P M N =，则P 的子集共有（）．A ．8个B ．6个C ．4个D ．2个【答案】C【解析】∵集合{}0,1,2,3,4M =，{}1,3,5N =， ∴{}1,3P MN ==，∴集合P 的子集中有，{}1，{}3，{}1,3共4个．故选C ．2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）．A．6+B ．5+C ．6D ．5【答案】B【解析】由该几何体的三视图可知：该几何体是一个直三棱柱，底面是腰长为1的等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的表面积1112212252S =⨯⨯⨯+⨯⨯+=+故选B ．3．有200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km /h 的汽车数量为（）．A ．65辆B ．76辆C ．88辆D ．95辆【答案】B【解析】根据频率分布直方图得，时速超过60km /h 的频率是：(0.0280.010)100.38+⨯=，因此，时速超过60km /h 的汽车数量为：2000.3876⨯=．故选B ．4．设a ，b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】令2a =-，3b =-，则满足a b >，但不满足22a b >，所以“a b >”是“22a b >”的不充分条件，反之，令3a =-，2b =，则满足22a b >，但不满足a b >，所以“a b >”是“22a b >”的不必要条件，故“a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件．故选D ．5．若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程是20x y -=，则此双曲线的离心率为（）．A B C ．12D ．2【答案】A【解析】∵双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为20x y -=，∴2a b =，c =，∴双曲线的离心率是c e a ==．6．定义运算()()a a b a b b a b ⎧⊕=⎨>⎩≤，则函数()12x f x =⊕的图象是（）．A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由已知新运算a b ⊕的定义可知a b ⊕是取a ，b 中的最小值，因此函数1,0()122,0xxx f x x >⎧=⊕=⎨⎩≤，即当0x >时，()1f x =，当0x <时，()2x f x =，只有选项A 中的图象符合要求．故选A ．7．已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点(,0)A m -，(,0)(0)B m m >．若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（）．A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】圆22:(3)(4)1C x y -+-=的圆心(3,4)C ，半径为1，圆心C 到(0,0)O 的距离为5，故圆C 上的点到点O 的距离的最大值为6，再由90APB ∠=︒可得，以AB 为直径的圆和圆C 有交点，可得12PO AB m ==，所以6m ≤，故m 的最大值为6．故选C ．8．蔬菜价格随着季节的变化而有所变化．根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知，购买2千克甲种蔬菜与1千克乙种蔬菜所需费用之和大于8元，而购买4千克甲种蔬菜与5千克乙种蔬菜所需费用之和小于22元．设购买2千克甲种蔬菜所需费用为A 元，购买3千克乙种蔬菜所需费用为B 元，则（）． A ．A B < B ．A B =C ．A B >D ．A ，B 大小不确定【答案】C【解析】设甲、乙两种蔬菜的价格分别为x ，y 元，则284522x y x y +>⎧⎨+<⎩，2A x =，3B y =，两式分别乘以22，8，整理得12180x y ->，即230x y ->，所以A B >．故选C ．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若i 2i a b +=-，则2(i)a b +=__________．【答案】34i -【解析】若i 2i a b +=-，则2a =，1b =-，故22(i)(2i)34i a b +=-=-．10．ABC △中，120B =︒，7AC =，5AB =，则ABC △的面积为__________．【解析】∵在ABC △中，120B =︒，7AC =，5AB =， ∴由余弦定理得：2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅，即249255BC BC =++，解得3BC =，（8BC =-舍去），∴ABC △的面积11sin 5322S AB BC B =⋅⋅=⨯⨯=．11．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是：__________．【答案】4【解析】当0S =，0k =时，满足100S <，执行5232S S =+=，1k =；当32S =，1k =时，满足100S <，执行5264S S =+=，2k =；当64S =，2k =时，满足100S <，执行5296S S =+=，3k =；当96S =，3k =时，满足100S <，执行52128S S =+=，4k =；当128S =，4k =时，不满足100S <，输出4k =． 12．在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率为__________．【答案】15【解析】若以线段AP 为边的正方形的面积介于225cm 与249cm 之间，则线段AP 的长介于5cm 与7cm 之间，满足条件的P 点对应的线段长为2cm ，而线段AB 的总长度为10cm ，故正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率21105P ==．13．某公司租地建仓库，每月土地占用费1y 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费2y 与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用1y 和2y 分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站__________千米处．【答案】5【解析】设仓库与车站的距离为x ，由题意可设11k y x=，22y k x =，把10x =，12y =与10x =，28y =分别代入上式得120k =，20.8k =，故120y x=，20.8y x =，∴这两项费用之和12200.88y y y x x =+=+≥，当且仅当200.8x x=，即5x =时等号成立，故要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站5千米处．14．甲乙两人做游戏，游戏的规则是：两人轮流从1（1必须报）开始连续报数，每人一次最少要报一个数，最多可以连续报7个数（如，一个人报数“1，2”，则下一个人可以有“3”，“3，4”，，“3，4，5，6，7，8，9”等七种报数方法），谁抢先报到“100”则谁获胜．如果从甲开始，则甲要想获胜，第一次报的数应该是__________．【答案】1，2，3，4【解析】甲先报1，2，3，4，然后不管乙报几个数，甲只需要每次报的数的个数与乙的个数为8，因为100496812-==⨯，于是12轮过后，甲获胜．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数π()22sin cos 3f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的最小正周期．（2）求证：当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，1()2f x -≥．【答案】见解析．【解析】解：（1）π()22sin cos 3f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1cos22sin 22x x x ⎫=-⎪⎪⎭，12sin 22x x =+， πsin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期2ππ2T ==．（2）∵ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴ππ5π2,366x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， ∴1πsin 2123x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，∴1()2f x -≥．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，45ADC ∠=︒，1AD AC ==，O 为AC 中点，PO ⊥平面ABCD ，2PO =，M 为PD 中点．（1）证明：PB ∥平面ACM ．（2）证明：AD ⊥平面PAC ．（3）求三棱锥M ABC -的体积．【答案】见解析．【解析】（1）证明：连接BD ，MO ，∵底面ABCD 是平行四边形，O 是AC 中点， ∴O 是BD 中点，又∵M 是PD 的中点， ∴MO PB ∥，∵PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ， ∴PB ∥平面ACM ．（2）证明：∵AD AC =，45ADC ∠=︒， ∴90DAC ∠=︒，即DA AC ⊥，又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴AD PO ⊥，又0POAC =，∴AD ⊥平面PAC ．（3）解：∵M 是PD 的中点，∴M 到平面ABCD 的距离112d PO ==，又11111222ABC S AC BC =⨯⨯=⨯⨯=△．∴三棱锥M ABC -的体积111113326ABC V S d =⋅=⨯⨯=△．17．（本小题满分13分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中．随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．（1）假设2n =，求第一大块地都种植品种甲的概率．（2）试验时每大块地分成5小块．即5n =，试验结束后得到品种甲和品种乙在各个小块地上的每公顷产量（单位2kg /hm ）如下表：品种？附：样本数据1x ，2x ，，n x 的样本方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为样本平均数．【答案】见解析．【解析】解：（1）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，令事件A =“第一大块地都种品种甲”，从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件有： (1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6个，而事件A 包含1个基本事件：(1,2)．故1()6P A =．（2）品种甲的每公顷产量的样本平均数和方差分别为：1(403397390404406)4005x =++++=甲，【注意有文字】2222221[3(3)(10)46]345S =+-+-++=甲，【注意有文字】品种乙的每公顷产量的样本平均数和方差分别为：1(418403418408413)4125x =++++=乙，【注意有文字】2222221[6(9)6(4)1]345S =+-++-+=乙，【注意有文字】由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差相同，故应选择种植品种乙． 18．（本小题满分13分）等比数列{}n a 中，1a ，2a ，3a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且1a ，2a ，3a 中的任何两个数不在下表的同一列．（1）求数列n 的通项公式．（2）设数列{}n a 的前n 项之和为n S ，求n S ．（3）设数列{}n a 的前n 项之积为n T ，求n T ．【答案】见解析．【解析】解：（1）由题意可知，12a =，26a =，318a =， ∴数列{}n a 的公比3q =， ∴123n n a -=⋅．（2）由等比数列的前n 项和公式可知：2(13)3113n n n S -==--．（3）1212232323n n T -=⋅⋅⋅⋅⋅，123123n n ++++-=⋅，(11)(1)223n n n+--=⋅，(1)223n n n-=⋅．19．（本小题满分13分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右交点分别为1F ，2F ，点(,)P a b 满足212||||PF F F =．（1）求椭圆的离心率e ．（2）设直线2PF 与椭圆相交于A ，B 两点，若直线2PF 与圆22(1)(16x y ++=相交于M ，N 两点，且5||||8MN AB =，求椭圆的方程．【答案】（1）12．（2）2211612x y +=．【解析】解：（1）设1(,0)F c -，2(,0)(0)F c c >，由题意212||||PF F F =2c =，整理得2210c c a a⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得1c a =-（舍去）或12c a =，故椭圆的离心率12c e a ==．（2）由（1）知2a c =，b =，可得椭圆方程为2222143x y c c +=，直线2PF的方程为)y x c -，代入椭圆方程消去y 得：2580x xc -=，解得0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或85x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，不妨设85A c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，(0,)B ，∴16||5AB c =， ∴5||||28MN AB c ==，又圆心(-到直线2PF的距离d =∵222||42MN d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即223(2)164c c ++=，解得267c =-（舍去）或2c =．故椭圆的方程为2211612x y +=． 20．（本小题满分14分）设()ln f x x =，()()()g x f x f x '=+．（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．（2）求函数()g x 的单调区间．（3）求a 的取值范围，使得1()()g a g x a-<对任意0x >成立．【答案】见解析．【解析】解：（1）由()ln f x x =可得()f x 的定义域是(0,)+∞，1()f x x'=，∴(1)0f =，(1)1f '=，∴曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为：01(1)y x -=-，即1y x =-．（2）1()()()ln g x f x f x x x '=+=+，22111()x g x x x x-'=-=，令()0g x '>，则1x >，令()0g x '<，则1x <，又(0,)x ∈+∞，∴函数()g x 的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1,)+∞．（3）若1()()g a g x a-<对任意0x >成立，则1()()g a g x a -<对任意0x >成立，故min 1()()g a g x a-<，由（2）可知，min ()(1)ln111g x g ==+=，∴1()1g a a -<，即11ln 1a a a+-<，即ln 1a <， ∴0e a <<．。

2017-2018学年高三上学期期中考试数学(文)试题Word版含解析

2017-2018学年高三上学期期中考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}0,1,A a =，{}22,B a =，若{}0,1,2,3,9A B = ,则a 的值为（）A ．3B ．1C ．2D ．0 2．复数z 满足21iz i-=-，则z 对应的点位于复平面的（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．如果命题" ()"p q ⌝∨为假命题，则（）A ．,p q 均为真命题B ．,p q 中至少有一个为真命题C ．,p q 均为假命题D ．,p q 中至多有一个真命题 4．设1.05.0=a ,1.0log 4=b ，1.04.0=c ,则( )A. a c b >> B ．a c b >> C ．c a b >> D. c a b >> 5. 若sin cos 1sin cos 2αααα-=+，则tan 2α的值为（）A ．34B ．35 C.34- D ．36．定义在R 上的函数()f x 在)(6,+∞上为减函数，且函数()6+=x f y 为偶函数，则（）A ．()()54f f >B ．()()74f f >C ．()()75f f >D ．()()85f f >7．一个五面体的三视图如右图，正视图是等腰直角三角形，侧视图是直角三角形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为（）A.1B.2C.3D.48．函数()()2sin f x x ωϕ=+(0,2πωϕπ>≤≤)的部分图象如右图所示，其中,A B 两点之间的距离为5，则=)1(f ( ) A ．3 B ． 3- C ．1 D ．1-9．已知数列}{n a 为等差数列，若11101,a a <-且它们的前n 项和n S 有最大值，则使得0n S >的n 的最大值为（）A.11B.21C.20D.19 10．在ABC ∆中，90C =o ，且3CA CB ==，点M 满足2=，则⋅等于（）A ．3B ．4C ．5D ．611．函数()f x 的导函数为()f x '，对x R ∀∈,都有()()f x f x '>成立，若(ln 2)2f =，则不等式()x f x e >的解是（）A ．1x >B ．01x <<C ．ln 2x > D. 0ln 2x <<12．已知方程|lnx|=kx+1在（0，e 3）上有三个不等实根，则实数k 的取值范围是（）A ．320,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．3232,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．3221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．3221,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数21,0()0xx f x x -⎧-≤⎪=>，则[(2)]f f -=14．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别是n S 和n T ，且对任意正整数n 都有3523n n S n T n +=+，则77a b = ． 15．已知O 是坐标原点，点(1,1)A -，若点(,)M x y 为平面区域2,1,2,x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上一个动点，则OA OM ⋅的取值范围是____________16．已知函数()()02x f x f e x '=-+，点P 为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线l 上的一点，点Q在曲线x y e =上，则PQ 的最小值为____________三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）已知命题p ：函数()212log 2y x x a =++的定义域R ，命题q ：函数()250,a y x -=+∞在上是减函数.若p q ∧⌝为真命题，求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有324n n a S =+成立．（1）记2log n n b a =，求数列{}n b 的通项公式；（2）设11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin sin 1sin sin sin sin B CA C A B+=++．（1）求角A ；（2）若a =b c +的取值范围．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△ABC 为正三角形，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，PA=AC ，PA ⊥平面ABCD ．（1）若E 为棱PC 的中点，求证PD ⊥平面ABE ；（2）若AB=3，求点B 到平面PCD 的距离．21.（本小题满分12分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈．（1）当2a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（2）设函数1()()ah x f x x+=+，求函数()h x 的单调区间；（3）若1()ag x x+=-，在[]()1 2.71828e e =⋯，上存在一点0x ，使得()()00f x g x ≤成立，求a 的取值范围．请考生在22、23、二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．(本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为2sin cos θρθ=．（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）过点P （0，2）作斜率为1直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试求11PA PB+的值．23．(本小题满分10分)已知函数|32||1|)(+--=x x x f . （I ）解不等式2)(>x f ；（II ）若关于x 的不等式a a x f -≤223)(的解集为R ，求正数a 的取值范围.2017-2018学年高三上学期期中考试文科数学答案1.A2.A3.B4. B5.C6.D7. B8. D9.D 10. A 11.C 12. C13.14.4429 15.[]0,2 16．17.解：对于命题p ：因其定义域为R ，故220x x a ++>恒成立，所以440a ∆=-<，∴1a >．对于命题q ：因其在()0,+∞上是减函数，故250a -<，则52a <．……6分∵p q ∧⌝为真命题， ∴p 真q 假，则1,52a a >⎧⎪⎨≥⎪⎩，则52a ≥，故实数a 的取值范围为5[,)2+∞． …………………………12分18.解：（1）在中令n=1得a 1=8，因为对任意正整数n，都有成立，所以，两式相减得a n+1﹣a n=a n+1，所以a n+1=4a n ，又a 1≠0，所以数列{a n }为等比数列，所以a n =8•4n ﹣1=22n+1，所以b n =log 2a n =2n+1，……6分（2）c n===（﹣）所以…12分19.解：（1）∵=1．∴由正弦定理可得：=1，整理可得：b 2+c 2﹣a 2=bc ，∴由余弦定理可得：cosA===，∵A ∈（0，π）， ∴A=．……6分（2）∵A=，a=4，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bc，可得：48=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，解得：bc≤48，当且仅当b=c=4时等号成立，又∵48=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc，可得：（b+c）2=48+3bc≤192，∴可得：b+c≤8，又∵b+c＞a=4，∴b+c∈（4，8]．…………12分20.（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE．∵AC=PA，E是PC的中点，∴AE⊥PC，又PC∩CD=C，∴AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，由面面垂直的性质定理可得BA⊥平面PAD，AB⊥PD，又AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABE．……6分（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，∴，由（1）的证明知，CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC，∵AB⊥AD，△ABC为正三角形，∴∠CAD=30°，∵AC⊥CD，∴设点B的平面PCD的距离为d，则．在△BCD中，∠BCD=150°，∴．∴，∵V B﹣PCD=V P﹣BCD，∴，解得，即点B到平面PCD的距离为．………12分21.………3分………7分………12分22．解：（I ）∵ρ=，∴ρ2cos 2θ=ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程是x 2=y ，即y=x 2．……4分（II ）直线l的参数方程为（t 为参数）．将（t 为参数）代入y=x 2得t 2﹣﹣4=0． ∴t 1+t 2=，t 1t 2=﹣4．∴+====．……10分23.解：（1）函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥--<<----≤+=+--=1,4123,2323,4|32||1|)(x x x x x x x x x f ，当23-≤x 时，由24>+x 解得2->x ，即232-≤<-x ；当123<<-x 时，由223>--x 解得2<x ，即3423-<<-x ；当1≥x 时，由24>--x 解得6-<x ，无解；所以原不等式的解集为}342|{-<<-x x .……5分（2）由（1）知函数)(x f 在23-=x 处取函数的最大值25)23(=-f ，要使关于x 的不等式a a x f -≤223)(的解集为R ，只需25232≥-a a ，即05232≥--a a ，解得1-≤a 或35≥a .又a 为正数，则35≥a .……10分。

北京市海淀区2018届高三上学期期中考试数学(文)试题含解析

北京市海淀区2017—2018学年高三上学期期中考试数学试题（文科）1. 若集合，集合,则A. B. C。

D.【答案】C【解析】，由交集的定义得到：故答案选择C.2。

命题“”的否定是A。

B.C. D。

【答案】D【解析】命题“”的否定是：;根据换量词否结论,不变条件的原则得到结论即可.故答案为D。

3. 下列函数中,既是偶函数又在上单调递增的是A。

B. C. D。

【答案】C【解析】A:是偶函数，在上是减函数。

故不正确。

B：是非奇非偶函数,在上是减函数.故不正确。

C：函数是偶函数,在上是增函数，故正确.D：是奇函数，在R上是增函数。

故不正确。

故答案为C。

4。

已知数列满足，则A。

B。

C。

D。

【答案】D【解析】根据条件得到：可设，，故两式做差得到：，故数列的每一项都为0,故D是正确的。

A，B，C，都是不正确的.故答案为D。

5。

在平面直角坐标系中,点的纵坐标为，点在轴的正半轴上. 在△中，若，则点的横坐标为A. B。

C。

D。

【答案】A【解析】设点C的坐标为，点A的坐标为，则，由，以及，得到故得到故答案选A。

6。

已知向量是两个单位向量，则“”是“”的A。

充分不必要条件B。

必要不充分条件C。

充分必要条件D。

既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由条件得到，即两边平方得到：得到即两个向量的夹角是0，又因为长度相等，故；反之也能推得结论。

故答案为C.7。

已知函数（)的部分图象如图所示，则的值分别为A. B。

C。

D。

【答案】B【解析】由条件知道：均是函数的对称中心，故这两个值应该是原式子分母的根,故得到，由图像知道周期是，故,故,再根据三角函数的对称中心得到，故如果,根据，得到故答案为B。

点睛:根据函数的图像求解析式，一般要考虑的是图像中的特殊点，代入原式子；再就是一些常见的规律，分式型的图像一般是有渐近线的，且渐近线是分母没有意义的点；还有常用的是函数的极限值等等方法。

8. 若函数的值域为,则实数的取值范围是A。

2017～2018北京西城35中高三上期中(文)数学真题卷

北京市第三十五中学2017-2018年度第一学期期中试卷高三数学（文科）I 卷一、选择题（共8个小题，每题5分，共40分）1．已知集合{}|01A x x =∈<<R ，{}|(21)(1)0B x x x =∈-+>R ，则A B =（）．A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(1,1)-C ．1(,1),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭D ．(,1)(0,)-∞-+∞【答案】D【解析】∵集合{}|01A x x =<<，集合{}{|(21)(1)0|1B x x x x x =-+>=<-或12x ⎫>⎬⎭，∴{|1AB x x =<-或}0(,1)(0,)x >=-∞-+∞．故选D ．2．下列函数中，值域为[0,)+∞的偶函数是（）． A ．21y x =+B ．lg y x =C ．||y x =D ．cos y x x =【答案】C【解析】A 项，21y x =+是偶函数，值域是[1,)+∞，故A 项不符合题意；B 项，lg y x =是非奇非偶函数，值域是R ，故B 项不符合题意；C 项，||y x =是偶函数且值域是[1,)+∞，故C 项符合题意；D 项，cos y x x =是奇函数，故D 项符合题意．故选C ．3．如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AC λμ=+，则λμ+的值为（）．A ．12B ．12-C ．1D ．1-【答案】A【解析】设正方形的边长为2，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴建立直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，(2,2)C ，(1,2)E ，(1,2)AE =，(2,0)AB =，(2,2)AC =，由于AE AB AC λμ=+，所以12222λμμ=+⎧⎨=⎩，解得12λ=-，1μ=，所以12λμ+=．故选A ．4．已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，且m α⊂，n β⊂，则下列说法正确的是（）．A ．若αβ∥，则m n ∥B ．若m β⊥，则αβ⊥C ．若m β∥，则αβ∥D ．若αβ⊥，则m n ⊥【答案】B【解析】A 项，若αβ∥，m α⊂，n β⊂，则m n ∥或m ，n 异面，故A 项错误； B 项，由线面垂直的判定定理可知，若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥，故B 项正确；C 项，若m β∥，m α⊂，αβ∥则α，β相交都有可能，故C 项错误；D 项，若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ∥，m ，n 相交，异面都有可能，故D 项错误．故选B ．5．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面是（）．A．20+B．20+C．16+D．16+【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个直四棱柱，底面是一个上下边长分别为2，4，高为2的直角梯形，棱柱的高为2，所以该几何体的表面积2211222(12)222162S =⨯++⨯⨯+⨯++=+故选C ．6．等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“36a a <”的（）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若13a a <，则211a a q <，因为10a >，所以21q >，即1q <-或1q >；若36a a <，则2511a q a q <，因为10a >，20q >，所以31q >，即1q >， ∴“13a a <”是“36a a <”的必要而不充分条件．故选B ．7．已知函数,||1,()πsin ,||1,2x x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩≤则下列结论正确的是（）．A ．0x ∃∈R ，00()()f x f x -≠-B ．x ∀∈R ，()()f x f x -≠C ．函数()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()f x 的值域是[1,1]-【答案】D【解析】作出函数()f x 的图象，由图可知函数()f x 是奇函数，即对 x ∀∈R ，()()f x f x -=-，故A 错误；当2x =时，满足(2)(2)0f f -=-=，此时x ∀∈R ，()()f x f x -≠不成立，故B 项错误；函数()f x 在π,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数，在(1,1)-上是增函数，在π1,2⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，故C 项错误；函数()f x 的值域是[1,1]-，故D 项正确．故选D ．8．如图，：正方体1111ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD 上的动点，1PE AC ⊥于E ，且P A P E =，则点P 的轨迹是（）．A ．线段B ．圆弧C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分【答案】A【解析】连结1A P ，由题意知1A A AP ⊥， ∵1PE AC ⊥，且PA PE =， ∴1A AP △≌1A EP △， ∴11A A A E =，即E 为定点， ∵PA PE =，∴点P 位于线段AE 的中垂面上，又点P 在底面上，∴点P 的轨迹为两平面的交线，即点P 的轨迹是线段．故选A ．II 卷二、填空题（共6小题，每题5分，共30分）9．已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么||z = __________．【解析】由(1i)24i z +=-，得24i (24i)(1i)26i13i 1i (1i)(1i)2z -----====--++-，故||z =．10．已知平面向量||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为120°，则|2|a b += __________．【答案】2【解析】因为2221|2|4||||4||||cos1204441242a b a b a b ⎛⎫+=++⋅︒=++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以|2|2a b +=．11．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若πsin cos 2A B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，3a =，2c =，则cos C = __________；ABC △的面积为__________．【答案】79；【解析】∵πsin cos sin 2A B B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，3a =，2c =，∴3b a ==，∴222994147cos 2233189a b c C ab +-+-====⨯⨯，sin C =∴ABC △的面积11sin 3322S ab C ==⨯⨯=12．以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录了有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示．（1）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，则a =__________．（2）乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率为__________．【答案】（1）1（2）45【解析】（1）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，则11(889292)[9091(90)]33a ++=++++，解得1a =．（2）设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ，依题意0a =，1，29，共有10种可能，由（1）可知，当1a =时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当2a =，3，49时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能，故乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率84()105P A ==． 13．函数()2cos f x x x =+在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是__________．【答案】π6【解析】∵()12sin f x x '=-，π02x ≤≤， ∴当()0f x '>时，π06x <≤，当()0f x '<，ππ62x <≤， ∴函数()2cos f x x x =+在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在ππ,62⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，∴当π6x =时，()2cos f x x x =+取最大值为π6．14．已知A 、B 两所大学的专业设置都相同（专业数均不小于2），数据显示，A 大学的各专业的男女生比例均高于B 大学的相应专业的男女生比例（男女生比例是指男生人数与女生人数的比）．据此，甲同学说：“A 大学的男女生比例一定高于B 大学的男女生比例”；乙同学说：“A 大学的男女生比例不一定高于B 大学的男女生比例”；丙同学说：“两所大学的全体学生的男女生比例一定高于B 大学的男女生比例”．其中，说法正确的同学是__________．【答案】乙【解析】根据A 大学的各专业男女比例均高于B 大学的相应专业的男女比例可知甲、丙不一定正确，A 大学的男女生比例可能等于B 大学的男女生比例，即A 大学的男女比例不一定高于B 大学的男女生比例，故说法正确的同学是乙．三、解答题（共6道题，共80分．每道题要写出必要的演算步骤和计算过程） 15．（本小题满分13分）已知函数2()2sin cos 2cos (0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π．（1）求ω的值及()f x 的单调递增区间．（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值．【答案】见解析．【解析】（1）2π()2sin cos 2cos sin 2cos21214f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭∵函数()f x 的最小正周期为π，∴2ππ2T ω==，1ω=，∴π()214f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令ππππ22π242k x k -+++≤≤，k ∈Z ，得3ππππ88k x k -++≤≤，k ∈Z ， ∴函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．（2）∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴当π5π244x +=时，即π2x =时，()f x 取得最小值，min π()02f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，当ππ242x +=时，即π8x =时，函数()f x取得最小值，man π()18f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．16．（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的前4项的和45S =，且14a ，232a ，2a 成等差数列．（1）求{}n a 的通项公式．（2）设{}n b 是首项为2，公差为1a -的等差数列，其前n 项和为n T ，求满足10n T ->的最大正整数n ．【答案】见解析．【解析】（1）根据题意，设{}n a 的公比为q ，∵14a ，232a ，2a 成等差数列，∴12243a a a +=，整理得122a a =，故2q =，又414(12)512a S -==-，解得113a =，故{}n a 的通项公式为：1123n n a -=⨯．（2）由（1）得113a -=-，∴172(1)33n nb n -⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭，∴72(13)3026nnn n T n -+-=⨯=>，又∵10n T ->， ∴[13(1)](1)06n n --->，整理得(1)(4)0n n --<，解得114n <<，故满足10n T ->的最大正整数为13． 17．（本小题满分13分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2,4]的有8人．（1）求直方图中a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间(10,12]的人数．（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10小时的学生中任取4人参加测试，则4人中恰有2人为甲班同学的概率．【答案】见解析．【解析】（1）由频率分布直方图知，(0.1500.1250.1000.100)21a ++++⨯=，解得0.025a =，因为甲班学习时间在区间[2,4]的有8人，所以甲班的学生人数为8400.2=人，所以甲、乙两班人数均为40人，故甲班学习时间在区间(10,12]的人数为400.2522⨯⨯=（人），乙班学习时间在区间(10,12]的人数为400.0524⨯⨯=（人）．（2）由第（1）知甲班学习时间在区间(10,12]的人数为2人，甲班的2人记为1X ，2X ，乙班的4人记为1Y ，2Y ，3Y ，4Y ，设“四人中恰有2人为甲班同学”为事件A ，从两个班学习时间大于10小时的6名同学中抽取四人的所有可能情况为：1212(,,,)X X Y Y ，1213(,,,)X X Y Y ，1214(,,,)X X Y Y ，1223(,,,)X X Y Y ，1224(,,,)X X Y Y ，1234(,,,)X X Y Y ，1123(,,,)X Y Y Y ，1124(,,,)X Y Y Y ，1134(,,,)X Y Y Y ，1234(,,,)X Y Y Y ，2123(,,,)X Y Y Y ，2124(,,,)X Y Y Y ，2134(,,,)X Y Y Y ，2234(,,,)X Y Y Y ，1234(,,,)Y Y Y Y 共15种，其中四人中恰有2人为甲班同学的所有可能为6种，故62()155P A ==． 18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，AD DC ∥，2CD AB =，AD CD ⊥，E 为棱PD 的中点．（1）求证：CD AE ⊥．（2）求证：平面PAB ⊥平面PAD ．（3）试判断PB 与平面AEC 是否平行？并说明理由．【答案】见解析．【解析】（1）证明：∵PD ⊥底面ABCD ，DC ⊂底面ABCD ， ∴PD DC ⊥，又AD DC ⊥，AD PD D =， ∴CD ⊥平面PAD ， ∵AE ⊂平面PAD ， ∴CD AE ⊥．（2）证明：AB DC ∥，CD ⊥平面PAD ， ∴AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面PAD ．（3）PB 与平面AEC 不平行，假设PB ∥平面AEC ，设BD AC D =，连结OE ，则平面EAC 平面PDB OE =，又PB ⊂平面PDB ， ∴PB DE ∥，∴在PDB △中有OB PEOD ED =，由E 是PD 中点可得1OB PEOD ED==，即OB OD =， ∵AB DC ∥，∴12AB OB CD OD ==，这与OB OD =矛盾，所以假设不成立，即PB 与平面AEC 不平行．19．（本小题满分13分）设函数()ln f x x =，()1g x ax =+，a ∈R ，记()()()F x f x g x =-．（1）求曲线()y f x =在e x =处的切线方程．（2）求函数()F x 的单调区间．（3）当0a >时，若函数()F x 没有零点，求a 的取值范围．【答案】见解析．【解析】（1）1()f x x '=，1(e)e f '=，∴函数()f x 在e x =处的切线的斜率1ek =，又(e)1f =，∴函数()f x 在e x =处的切线方程为11(e)e y x -=-，即1ey x =．（2）()()()ln 1F x f x g x x ax =-=--，11()axF x a x x-'=-=，(0)x >， ①当0a ≤时，()0F x '>，()F x 在区间(0,)+∞上单调递增；②当0a >时，令()0F x '<，解得1x a>；令()0F x '>，解得10x a <<，综上所述，当0a ≤时，函数()F x 的增区间是(0,)+∞，当0a >时，函数()F x 的增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（3）依题意，函数()F x 没有零点，即()()g()ln 10F x f x x x ax =-=--=无解，由（2）知，当0a >时，函数()F x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，区间1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是减函数，由(1)10F a =--<，只需111ln 1ln 20F a a a a a ⎛⎫=-⋅-=--< ⎪⎝⎭，解得2e a ->，所以实数a 的取值范围为21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．20．（本小题满分14分）已知函数()e x a f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，a ∈R ．（1）当0a =时，存在[2,0]x ∈-，使得()f x M ≥，求M 的取值范围．（2）当1a =-时，求证：()f x 在(0,)+∞上为增函数．（3）若()f x 在区间(0,1)上有且只有一个极值点，求a 的取值范围．【答案】见解析．【解析】（1）存在[2,0]x ∈-，使得()f x M ≥，等价于max ()f x M ≥，当0a =时，()e x f x x =，()(1)e x f x x '=+，当[2,1)x ∈--时，()0f x '<，()f x 单调递减，当[1,0]x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增，又2(2)2e f --=-，(0)0f =，∴max ()0f x =，故0M ≤，即M 的取值范围为(,0]-∞．（2）证明：当1a =-时，3221()e xx x x f x x+-+'=，设32()1g x x x x =+-+，则2()321(31)(1)g x x x x x '=+-=-+，故()g x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，所以122()0327g x g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭≥，所以当(0,)x ∈+∞时，3221()e 0xx x x f x x +-+'=>恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上为增函数．（3）322()e xx x ax a f x x ++-'=，设32()h x x x ax a =++-，则2()32h x x x a '=++，①当0a >时，()0h x '>恒成立，故()h x 在(0,)+∞上为增函数，而(0)0h a =-<，(1)20h =>，故函数()h x 在(0,1)上有且只有一个零点，故这个零点为函数()f x 在区间(0,1)上的唯一的极小值点．②当0a =时，(0,1)x ∈时，2()320h x x x '=+>，故()h x 在(0,1)上为增函数，又(0)0h =，故()f x 在(0,1)上为增函数，所以函数()f x 在区间(0,1)上没有极值． ③当0a <时，32()(1)h x x x a x =++-，当(0,1)x ∈时，总有()0h x >成立，即()f x 在(0,1)上为增函数，故函数()f x 在区间(0,1)上没有极值．综上所述，0a >．。

北京四中2018届高三上学期期中考试文科数学(含答案)(2017.11)

北京四中2018届上学期高三年级期中考试数学（文）（试卷满分：150分考试时间：120分钟）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合}0)1)(2(|{<-+∈=x x Z x A ，}1,2{--=B ，那么B A 等于A. }1,0,1,2{--B. }0,1,2{--C. }1,2{--D. }1{-2. 若0tan >α，则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α3. 已知向量a,b 满足02=-b a ，2)(=⋅-b b a ，则=||bA. 21B. 1C. 2D. 2 4. 设7log 3=a ，1.12=b ，1.38.0=c ，则 A. c a b << B. b a c << C. a b c << D. b c a <<5. 已知)1,1(-=x a ，)3,1(+=x b ，则2=x 是b a //的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 函数)(x f y =的图象如图所示，则)(x f 的解析式可以为A. 21)(x xx f -= B. 31)(x x x f -=C. x e x x f -=1)(D. x x x f ln 1)(-= 7. 实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤06,0,3y x y x x 则y x z +=2的最小值为A. 15B. 3C. -3D. -158. 设函数)(x f 的定义域D ，如果存在正实数m ，使得对任意D x ∈，都有)()(x f m x f >+，则称)(x f 为D 上的“m 型增函数”，已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，)(||)(R a a a x x f ∈--=。

北京市海淀区2018届高三上学期期中练习数学文科试卷及答案

海淀区高三年级第一学期期中练习数学（文科） 2017.11本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题纸交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合{}02<-=x x A ，集合{}12>=x x B ,则=B A I（A ）R （B ）()2,∞-（C ）()2,0（D ）()+∞,2 （2）命题“1sin ,0≤≥∀x x ”的否定是（A ）1sin ,0><∀x x （B ）1sin ,0>≥∀x x （C ）1sin ,0><∃x x （D ）1sin ,0>≥∃x x（3）下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是（A ）2)(x x f -=（B ）xx f -=3)(（C ）x x f ln )(=（D ）x x x f sin )(+=（4）已知数列{}n a 满足12322(1,2,3,)n a a a a a n ++++==L L ，则（A ）01<a （B ）01>a （C ）21a a ≠（D ）02=a（5）在平面直角坐标系xOy 中，点A 的纵坐标为2，点C 在x 轴的正半轴上. 在△AOC 中，若35cos -=∠AOC ，则点A 的横坐标为（A ）5-（B ）5（C ）3-（D ）3（6）已知向量b a ,是两个单位向量，则“b a =”是 “2=+b a ”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）已知函数)sin(1)(ϕ+ω=x x f （0,2ωφπ><）的部分图象如图所示，则ϕω,的值分别为（A ）2,3π（B ）2, 3π-（C ）1, 6π（D ）1, 6π- （8）若函数()0,0,22>≤⎩⎨⎧-=x x x ax xe x f x 的值域为1[,)e-+∞，则实数a 的取值范围是（A ）(0, e)（B ）(e, )+∞（C ）(0, e]（D ）[e, )+∞第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2017朝阳高三第一学期期中文科答案

北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试数学试题答案（文史类） 2017.11一、选择题二、填空题三、解答题15. （本小题满分13分）解：因为π()2sin cos()3f x x x =⋅-，所以ππ()2sin (cos cos sin sin )33f x x x x =⋅+2sin cos x x x =⋅+1sin 2cos 2)2x x =+- πsin(2)3x =-+（Ⅰ）函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. ……………………………… 8分（Ⅱ）因为π[0,]2x ∈，所以ππ2π2[,]333x -∈-.所以πsin(2)[3x -∈. 所以()[0,1f x ∈. ……………………………… 13分 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由21n n S a =-可得，当1n =时，11a =.当2n ≥时1n n n a S S -=-,122n n n a a a -=-，即1=2n n a a -则数列{}n a 为首项为1，公比为2的等比数列,即1=2n n a -，n *∈N . ………………………………8分（Ⅱ）(1)0123(1)212322n n n n n T a a a a -++++⋅⋅⋅+-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==………………………………13分17. （本小题满分13分）（Ⅰ）解：由正弦定理sin sin a b A B =，可得sin sin 3A =π.所以sin 2A =. 在三角形中，由已知b a >，所以4A π=. ………………………………6分（Ⅱ）由面积公式1sin 2S ac B =可得1222=⨯，解得c =由余弦定理知2222cos 218614b a c ac B =+-=+-=，所以b ………………………………13分18. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：如图，设AC 交BD 于O ,连接EO ．因为底面ABCD 是菱形，所以O 是AC 的中点．又因为E 为PA 的中点，所以//EO PC ．因为PC ⊄平面BDE , EO ⊂平面BDE ，所以//PC 平面BDE ． ……………………4分（Ⅱ）证明：因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥．因为PA AC A = ，所以BD ⊥平面PAC ．因为BD ⊂平面BDE ，所以平面PAC ⊥平面BDE ． ………………………………10分PADBOE（Ⅲ）设四棱锥P ABCD -的体积为V ．因为PA ⊥平面ABCD ，所以13ABCD V S PA ∆=⋅⋅．又因为底面ABCD 是菱形，所以12ABD BCD ABCD S S S ∆∆∆==，所以1132P ABD ABD V S PA V -∆=⋅⋅=．根据题意，13P BDE V V -=，所以111236E ABD P ABD P BDE V V V V V V ---=-=-=．又因为13E ABD ABD V S EA -∆=⋅⋅，所以13E ABD P ABD V EA PA V --==． ………………………………14分 19. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >.211()k f x k x x+'=-+ 22(1)1kx k x x -++= 2(1)(1)kx x x--=（1）当0k ≤时，令()0f x '>，解得01x <<，此时函数()f x 为单调递增函数；令()0f x '<，解得1x >，此时函数()f x 为单调递减函数.（2）当0k >时，①当11k<，即1k > 时，令()0f x '>，解得10x k<<或1x >，此时函数()f x 为单调递增函数；令()0f x '<，解得11x k<<，此时函数()f x 为单调递减函数. ②当1k = 时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 在()0+∞，上为单调递增函数； ③当11k>，即01k << 时， PADBE令()0f x '>，解得01x <<或1x k>，此时函数()f x 为单调递增函数；令()0f x '<，解得11x k<<，此时函数()f x 为单调递减函数. ……………9分综上所述，当0k ≤时，函数()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1+∞，；当01k <<时，函数()f x 的单调递增区间为()0,1，(+)k∞1，，单调递减区间为(1)k1，；当1k =时，函数()f x 的单调递增区间为()0+∞，；当1k >时，函数()f x 的单调递增区间为(0)k 1，，()1+∞，,单调递减区间为(+)k∞1，. （Ⅱ）2(1)(1)()kx x f x x --'=，因为函数()f x 在(1,2)内单调递减，所以不等式在2(1)(1)0kx x x--≤在(1,2)上成立. 设()(1)(1)g x kx x =--，则(1)0,(2)0,g g ≤⎧⎨≤⎩即00210,k ≤⎧⎨-≤⎩，解得102k <≤. …………13分20. （本小题满分14分）解：函数的定义域为(0,)+∞，2112()e e x f x x x'=--+. （Ⅰ）1(1)1e f '=-，又1(1)e f =-，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为111(1)1e e e y x +=--+，即12()+10e ex y -1--=. ┈┈ 4分（Ⅱ）“要证明1ln (0)e x x x ≥->”等价于“1ln e x x ≥-”设函数()ln g x x x =.令()=1+ln 0g x x '=，解得1ex =.因此，函数()g x 的最小值为()eeg =-.故ln ex x ≥-. 即1ln e x x≥-. ┈┈ 9分（Ⅲ）曲线()y f x =位于x 轴下方. 理由如下：由（Ⅱ）可知1ln e x x ≥-，所以1111()()e e e ex x x f x x x ≤-=-. 设1()e e x x k x =-，则1()ex xk x -'=.令()0k x '>得01x <<；令()0k x '<得1x >. 所以()k x 在()0,1上为增函数，()1+∞，上为减函数.所以当0x >时，()(1)=0k x k ≤恒成立,当且仅当1x =时，(1)0k =. 又因为1(1)0ef =-<，所以()0f x <恒成立. 故曲线()y f x =位于x 轴下方. ………………………14分。