最新一元二次方程中考必考题型

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一元二次方程中考试题(含答案)

一元二次方程中考试题(含答案)

一元二次方程测试题一.选择题1.用配方法解关于x 的一元二次方程x 2-2x -3=0,配方后的方程可以是( )A .(x -1)2=4B .(x +1)2=4C .(x -1)2=16D .(x +1)2=162.某学校准备修建一个面积为200m 2的矩形花圃,它的长比宽多10m ,设花圃的宽为x m ,则可列方程为【 】A .x (x -10)=200B .2x +2(x -10)=200C .x (x +10)=200D .2x +2(x +10)=2003. 若一元二次方程022=++m x x 有实数解,则m 的取值范围是 ( )A. 1-≤mB. 1≤mC. 4≤mD.21≤m 4. 已知关于x 的一元二次方程(a-1)x 2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是( )A .a>2B .a<2C .a<2且a ≠1D .a<-241.5. 某药品经过两次降价,每瓶零售价由168元降为128元.已知两次降价的百分率相同,每次降价的百分率为x ,根据题意列方程得( )A . 168(1+x )2=128B . 168(1﹣x )2=128C . 168(1﹣2x )=128D . 168(1﹣x 2)=1286. 若方程2360x x m -+=有两个不相等的实数根,则m 的取值范围在数轴上表示正确的是( )7.已知关于x 的方程()0112=--+x k kx ,下列说法正确的是( ). A.当0=k 时,方程无解B.当1=k 时,方程有一个实数解C.当1-=k 时,方程有两个相等的实数解D.当0≠k 时,方程总有两个不相等的实数解8.已知b <0,关于x 的一元二次方程(x ﹣1)2=b 的根的情况是( )A .有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根C .没有实数根D .有两个实数根9.如果三角形的两边长分别是方程x 2﹣8x+15=0的两个根,那么连接这个三角形三边的中点,得到的三角形的周长可能是( )A .B . 5C .D . 4 10.已知一元二次方程062=+-c x x 有一个根为2,则另一根为( )11.若关于x 的一元二次方程为ax 2+bx+5=0(a≠0)的解是x=1,则2013﹣a ﹣b 的值是( )A . 2018B . 2008C . 2014D . 201218.二.填空题12一元二次方程0322=--x x 的解是13. 已知1是关于x 的一元二次方程(m ﹣1)x 2+x+1=0的一个根,则m 的值是14. 已知03522=--x x n m 是方程和的两根,则=+nm 11 . 15.已知关于x 的一元二次方程x 2+bx+b ﹣1=0有两个相等的实数根,则b 的值是16.若关于x 的方程22(2)0ax a x a +++=有实数解,那么实数a 的取值范围是_____________三.解答题1.山西特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售可增加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回答:(1)每千克核桃应降价多少元(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售2.雅安地震牵动着全国人民的心,某单位开展了“一方有难,八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10 000元,第三天收到捐款12 100元.(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同,求捐款增长率;(2)按照(1)中收到捐款的增长速度,第四天该单位能收到多少捐款3.如图所示,在长和宽分别是a 、b 的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x 的正方形.(1)用a ,b ,x 表示纸片剩余部分的面积;(2)当a=6,b=4,且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时,求正方形的边长..4. 已知一元二次方程x 2-(2k+1)x +k 2+k=0 .(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)若△ABC 的两边AB 、AC 的长是这个方程的两个实数根,第三边BC 的长为5. 当△ABC 是等腰三角形时,求k 的值.5. 用配方法解关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0.6.已知:关于x 的方程kx 2-(3k -1)x +2(k -1)=0(1)求证:无论k 为何实数,方程总有实数根;(2)若此方程有两个实数根x 1,x 2,且│x 1-x 2│=2,求k 的值.7.已知关于x 的一元二次方程04222=-++k x x 有两个不相等的实数根(1)求k 的取值范围;(2)若k 为正整数,且该方程的根都是整数,求k 的值。

一元二次方程必考题型

一元二次方程必考题型

一元二次方程必考题型
(原创实用版)
目录
一、一元二次方程的概述
二、一元二次方程的必考题型
三、如何解决一元二次方程的必考题型
四、总结
正文
【一、一元二次方程的概述】
一元二次方程是指形如 ax+bx+c=0 的方程,其中 a、b、c 为已知数,且 a≠0。

它是初中数学中的重要内容,也是高中数学的基础知识。

一元二次方程的解法主要包括配方法、公式法和韦达定理等。

【二、一元二次方程的必考题型】
在一元二次方程的考试中,以下几种题型是经常出现的:
1.根据一元二次方程的根与系数的关系,求解方程的根。

2.给定一元二次方程的根,求解方程。

3.根据一元二次方程的解的判别式,判断方程的根的情况。

4.利用一元二次方程的解法,解决实际问题。

【三、如何解决一元二次方程的必考题型】
1.对于第一种题型,我们可以根据一元二次方程的根与系数的关系,直接得出答案。

2.对于第二种题型,我们可以利用一元二次方程的求根公式,将已知的根代入公式,解出方程。

3.对于第三种题型,我们可以根据一元二次方程的解的判别式,判断方程的根的情况。

如果判别式大于 0,则方程有两个不相等的实数根;如果判别式等于 0,则方程有两个相等的实数根;如果判别式小于 0,则方程无实数根。

4.对于第四种题型,我们首先需要根据题目的要求,列出一元二次方程,然后利用一元二次方程的解法,求解方程,最后得出答案。

【四、总结】
一元二次方程是数学中的基础知识,也是各类考试中的常考点。

一元二次方程(考题猜想,15种题常考题型)解析版—2024-2025学年九年级数学上学期期中考点串讲

一元二次方程(考题猜想,15种题常考题型)解析版—2024-2025学年九年级数学上学期期中考点串讲

一元二次方程(考题猜想,15种题常考题型)➢直接开平方➢配方法➢因式分解法➢公式法➢用适当的方法解方程➢含绝对值的一元一次方程➢换元法➢判断一元二次方程根的情况➢确定字母的取值或范围➢根与系数关系的综合应用➢与几何图形的综合应用➢储蓄问题➢行程问题➢工程问题➢进制问题一.直接开平方(共3小题)1.(23-24九年级上·吉林长春·期中)方程260x -=的解是( )A.12x x ==B.1x =2x =C .126x x ==D .16x =,26x =-2.(23-24九年级上·广东韶关·期中)一元二次方程260x -=的根为 .3.(23-24九年级上·江苏常州·期中)解方程:()22910x x --=.二.配方法(共3小题)4.(20-21九年级上·四川成都·期中)一元二次方程2610x x --=配方后可变形为( )A .2(3)8x -=B . ()2310x -=C .2(3)8x +=D .2(3)10x +=【答案】B【分析】本题考查解一元二次方程—配方法.根据配方法可以将题目中的方程写成完全平方的形式.【详解】解:2610x x --=Q ,261x x \-=,26919x x \-+=+,()2310x \-=,故选:B .5.(22-23九年级上·湖南永州·期中)用配方法解方程2810x x ++=时,则方程需变形为()24x += .【分析】本题考查解一元二次方程—配方法,将常数项移到方程的右边,两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后,即可得出答案.解一元二次方程常用的方法有:直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法,解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法.【详解】解:∵2810++=,x x∴281+=-,x x∴2816116++=.x xx x++=-+,即281615故答案为:156.(23-24九年级上·福建福州·期中)解方程:(1)()224x-=(2)213-=x x三.因式分解法(共3小题)7.(22-23九年级上·安徽芜湖·期中)若实数x 满足()()222616=0x x x x +-+-,则2x x +的值为( )A .8B .2-C .8或2-D .8-或2【答案】A【分析】本题考查解一元二次方程,把2x x +看成一个整体,利用因式分解法解方程即可.【详解】解:()()2226160x x x x +-+-=,因式分解得,()()22820x x x x +-++=,∴280x x +-=,220x x ++=,∴28x x +=,22x x +=-(满足此式实数不存在,舍去),故选:A .8.(23-24九年级上·湖北武汉·期中)一元二次方程232x x =的根为 .9.(22-23九年级上·海南省直辖县级单位·期中)解下列方程(1)2350x x -=(2)2314x x+=四.公式法(共3小题)10.(23-24九年级上·福建厦门·期中)x)A.2x x2310-+=2310x x++=B.2C.22310x x+-=+-=D.22310x x-的值互为相反数,那么x的值为.2x12.(23-24九年级上·广东东莞·期中)解方程.(1)2--=;2510x x2五.用适当的方法解方程(共3小题)13.(22-23九年级上·辽宁锦州·期中)按指定的方法解方程:(1)22410x x -+=(公式法)(2)2926x x -=+(因式分解法)14.(22-23九年级上·江苏无锡·期中)选择合适的方法解方程:(1)2540x x -+=;(2)2(1)40x +-=.【答案】(1)11x =,24x =(2)11x =,23x =-【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.(1)利用因式分解法求解可得;(2)利用直接开平方法求解可得.【详解】(1)2540x x -+=,(1)(4)0x x --=,10x \-=或40x -=,解得:11x =,24x =;(2)2(1)40x +-=,2(1)4x +=,12x +=或12x +=-,解得:11x =,23x =-.15.(22-23九年级上·山东济宁·期中)(1)解方程:()24190x --=;(2)解方程:2420x x --=.六.含绝对值的一元二次方程(共2小题)16.(22-23九年级上·湖南永州·期中)阅读下面的材料,并完成相应的任务.材料:解含绝对值的方程:2560x x --=.解:分两种情况:(1)当0x ³时,原方程可化为:2560x x --=,解得16x =,21x =-(舍去);(2)当0x <时,原方程可化为:2560x x +-=,解得16x =-,21x =(舍去).综上所述:原方程的解是16x =,26x =-.任务:请参照上述方法解方程:220x x --=.【答案】12x =,22x =-【分析】分两种情况讨论∶ 当0x ³时,当0x <时,即可求解.【详解】解:分两种情况讨论(1)当0x ³时,原方程可化为220x x --=解得:12x =,21x =-(舍去);(2)当0x <时,原方程可化为220x x +-=解得:12x =-,21x =(舍去);∴综上所述,原方程的根是12x =,22x =-.【点睛】此题考查了解含绝对值的一元二次方程,解题的关键是根据题意分两种情况讨论.17.(23-24九年级上·河南洛阳·期中)有人说“数学是思维的体操”,运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝.阅读下列例题及其解答过程:例:解方程22||30x x --=.解:①当0x ³时,原方程为2230x x --=,解得11x =-(与0x ³矛盾,舍去),23x =.②当0x <时,原方程为2230x x +-=,解得11x =(与0x <矛盾,舍去),23x =-.所以原方程的根是13x =,23x =-.在上面的解答过程中,我们对x 进行讨论,从而化简绝对值.这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论.请仿照上述例题的解答过程,解方程:2||10x x --=.七.换元法(共3小题)18.(23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中)关于x 的方程()20a x m b ++=的解是12x =-,21x =(a ,m ,b 均为常数,0a ¹),则方程()220a x m b +++=的解是( )A .10x =,21x =-B .10x =,23x =C .14x =-,21x =-D .14x =,23x =19.(23-24九年级上·江苏苏州·期中)若()()2222260x y x y +-+-=,则22x y +的值为.【答案】3【分析】本题主要考查换元法解一元二次方程,将22x y +看成一个整体计算即可.【详解】解:设22z x y =+,原方程为:260z z --=,解得123,2z z ==-,Q 220³+x y ,223x y \+=.故答案为:3.20.(23-24九年级上·辽宁锦州·期中)阅读材料:为了解方程()()22215140x x ---+=,我们可以将21x -看作一个整体,设21x y -=…①,那么原方程可化为2540y y -+=,解得11y =,24y =,当1y =时,211x -=,∴22x =,∴x =当4y =时,214x -=,∴25x =,∴x =,故原方程的解为1x =,2x =3x =4x =以上解题方法叫做换元法,在由原方程得到方程①的过程中,利用换元法达到了解方程的目的,体现了转化的数学思想;请利用以上知识解方程:()()22260x x x x +++-=八.判断一元二次方程根的情况(共3小题)21.(22-23九年级上·重庆綦江·期中)关于x 的一元二次方程2810x x +-=的根的情况是( )A .有两个不相等实数根B .没有实数根C .有两个相等的实数根D .不能确定【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的运用,熟练掌握相关方法是解题关键.根据根的判别式即可求出答案.【详解】解:2810x x +-=∵()2248411680b ac --D ==´´-=>,∴方程有两个不相等的实数根.故选:A .22.(23-24九年级上·辽宁沈阳·期中)一元二次方程26100x x +=-根的情况是 实数根(填“有”或“没有”).【答案】没有【分析】此题考查了一元二次方程的根,利用一元二次方程根的判别式24b ac D =-判断方程的根的情况即可,熟练掌握方程的判别式24b ac D =-,当0D >时方程有两个不相等的实数根,当0D =时方程有两个相等的实数根,当0D <时方程无实数根.【详解】解:()2246411040b ac D =-=--´´=-<,∴方程没有实数根,故答案为:没有23.(23-24九年级上·广东河源·期中)证明:无论k 取何值,关于x 的方程()2310k x kx -++=恒有实数根所以方程有两个不相等的实数根,所以不论k 取何值,方程总有实数根九.确定字母的取值或范围(共3小题)24.(22-23九年级上·福建莆田·期中)若关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等实数根,则k 的值是( )A .1-B .1C .4-D .4【答案】D【分析】本题考查的是根的判别式,即一元二次方程20ax bx c ++=(0a ¹)的根与24b ac -有如下关系:①当240b ac ->时,方程有两个不相等的两个实数根;②当240b ac -=时,方程有两个相等的两个实数根;③当240b ac -<时,方程无实数根.根据关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等的实数根可知240b ac -=,求出k 即可.【详解】解:Q 关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等实数根,\2(4)40k D =--=,解得:4k =.故选:D .25.(21-22九年级上·天津滨海新·期中)若关于x 的一元二次方程230x x c -+=有两个实数根,则c 的取值范围为 .26.(23-24九年级上·新疆伊犁·期中)已知关于x 的方程()221210m x m x +-+=有两个不相等的实数根.求实数m 的取值范围.十.根与系数关系的综合应用(共3小题)27.(23-24九年级上·湖北武汉·期中)已知实数a ,b 满足 23510a a +-=,2530b b --=,且1ab ¹,则ab的值为( )A .53-B .1-C .3-D .13-28.(22-23九年级上·四川内江·期中)如果m n 、是两个不相等的实数,23m m -=,23n n -=,那么代数式2222021n mn m -++ .【答案】2032【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系,代数式求值.熟练运用一元二次方程根的定义和根与系数的关系,把代数式化成已知式子形式及两根和、积的形式,是解此题的关键.由题意得m ,n 是230x x --=的两个不相等的实数根,则根据根的定义和根与系数的关系可知:2226n n -=,1m n +=,3=-mn ,变形2222021n mn m -++,为222222021n n mn m n --+++,代入求解即可.【详解】mn Q 是两个不相等的实数,且满足2233m m n n -=-=,,mn \是方程230x x --=的两根,2226n n \-=,1m n +=,3=-mn ,2222021n mn m \-++222222021n n mn m n =--+++6322021=+++2032=.故答案为:2032.29.(23-24九年级上·山西临汾·期中)已知关于x 的一元二次方程()2931104kx k x k -+++=有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围.(2)是否存在k 的值,使得两根互为相反数.若存在,求出此时k 的值,若不存在,请说明理由.十一.与几何图形的综合应用(共4小题)30.(23-24九年级上·云南昆明·期中)若一个三角形不是等边三角形且边长均满足方程21090-+=,则x x此三角形的周长是()A.11B.19C.20D.11或1931.(20-21九年级上·四川凉山·期中)已知等腰三角形(不是等边三角形)的三边长均满足方程22860x x -+=,则这个等腰三角形的周长为,【答案】7【分析】根据题意由等腰三角形的底和腰是方程22860x x -+=的两根,解此一元二次方程即可求得等腰三角形的腰与底边的长,注意需要分当1是等腰三角形的腰时与当3是等腰三角形的腰时讨论,然后根据三角形周长的求解方法求解即可.【详解】解:22860x x -+=Q ,(1)(3)0,x x \--=解得:1x =或3x =,∵等腰三角形的底和腰是方程22860x x -+=的两根,∴当1是等腰三角形的腰时,113+<,不能组成三角形,舍去;当3是等腰三角形的腰时,133+>,则这个三角形的周长为1337++=.故答案为:7.【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三边关系以及解一元二次方程.解题的关键是注意分类讨论思想的应用32.(23-24九年级上·山西长治·期中)已知等腰ABC V 的两边长是关于x 的一元二次方程()()21210x k x k -++-=的两个实数根.(1)当5k =时,求ABC V 的周长.(2)若ABC V 为等边三角形,求k 的值.【答案】(1)10(2)3k =【分析】(1)将5k =代入方程,求出方程的两个根,根据等腰三角形的定义,分两种情况讨论求解;(2)根据题意,得到方程有两个相等的实数根,进而得到240b ac D =-=,求解即可.【详解】(1)解:当5k =时,一元二次方程为2680x x -+=,解得2x =或4x =.∴ABC V 是等腰三角形,∴三边长为4,4,2或2,2,4(舍去),∴ABC V 的周长44210=++=.(2)∵ABC V 为等边三角形,∴方程有两个相等的实数根,∴()()()22222418121886930b ac k k k k k k k k -=-+--=++-+=-+=-=éùëû,解得3k =.【点睛】本题考查解一元二次方程,根的判别式.熟练掌握解一元二次方程的方法,以及根的判别式与根的个数的关系,是解题的关键.33.(23-24九年级上·山东济宁·期中)已知关于x 的一元二次方程()()220b c x ax b c +-+-=,其中a ,b ,c分别为ABC V 三边的长.(1)已知1x =是方程的根,求证:ABC V 是等腰三角形;(2)如果ABC V 是直角三角形,其中90B Ð=°,请你判断方程的根的情况,并说明理由.十二.储蓄问题(共2小题)34.(21-22九年级上·广西河池·期中)王洪存银行5000元,定期两年后取出共6050元,如果每年的年利率不变,则年利率为( )A .5%B .20%C .15%D .10%【答案】D【分析】设年利率为x ,根据“两年后的定期本息=本金´(1+年利率)2”建立方程,解方程即可得.【详解】解:设年利率为x ,由题意得:()2500016050x +=,解得120.110%, 2.10x x ===-<(不符题意,舍去),即年利率为10%,故选:D .【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,正确建立方程是解题关键.35.(22-23九年级上·广东佛山·期中)某人在银行存了400元钱,两年后连本带息一共取款484元,设年利率为x ,则列方程为 .【答案】24001484x +=()【分析】本题为复利问题,一般形式为21a x b +()=,如果设年利率为x ,那么根据题意可得出方程.【详解】解:设年利率为x ,则根据公式可得:24001484x +=();故答案为:24001484x +=().【点睛】本题考查一元二次方程的应用,解决此类两次变化问题,可利用公式21a x b +()=,其中a 是变化前的原始量,b 是两次变化后的量,x 表示平均每次的增长率十三.行程问题(共3小题)36.(23-24九年级上·山西临汾·期中)飞机起飞前,先要在跑道上滑行一段路程,滑行时是匀加速运动,其公式为212s at =,如 果飞机起飞前滑行距离750m ,其中215m/s a =,则飞机起飞的时间t = s .故答案为:10.37.(23-24九年级上·湖南岳阳·期中)在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车,突然发现前面有情况,紧急刹车后又滑行30米才停车.刹车后汽车滑行10米时用了 秒.的算术平均数)与路程s ,时间t 的关系为s v t =×.现有一个小球以5m/s 的速度开始向前滚动,并且均匀减速,4s 后小球停止运动.(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少?(2)小球滚动5m 1.41»)【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少1.25m/s (2)小球滚动5m 约用了1.2秒【分析】(1)根据以5m/s 的速度开始向前滚动,并且均匀减速,4s 后小球停止运动列式计算即可;(2)设小球滚动5m 约用了x 秒,由时间´速度=路程,列出一元二次方程,解方程即可.【详解】(1)解:小球的滚动速度平均每秒减少()54 1.25m/s ¸=,十四.工程问题(共1小题)39.(22-23九年级上·四川成都·期中)由于疫情反弹,某地区开展了连续全员核酸检测,9月7日,医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了A 、B 两个采样点进行核酸采样,当天共采样9220份,已知A 点平均每人采样720份,B 点平均每人采样700份.(1)求A 、B 两点各有多少名医护人员?(2)9月8日,医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样,这天,社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围,同时重新规划,决定从B 点抽调部分医护人员到A 点经调查发现,B 点每减少1名医护人员,人均采样量增加份,A 点人均采样量不变,最后当天共采样9360份,求从B 点抽调了多少名医护人员到A 点?【答案】(1)A 检测队有6人,B 检测队有7人(2)从B 检测队中抽调了2人到A 检测队【分析】(1)设A 点有x 名医护人员,B 点有y 名医护人员,根据“A 、B 两个采样点共13名医护人员,且当天共采样9220份”,即可得出关于x ,y 的且当天共采样9220份,即可得出关于x ,y 的二元一次方程组,解之即可得出结论;(2)设从B 点抽调了m 名医护人员到A 点,则B 点平均每人采样()70010m +份,根据重新规划后当天共采样9360份,即可得出关于m 的一元_二次方程,解之取其符合题意的值,即可得出结论.【详解】(1)解:设A 检测队有x 人,B 检测队有y 人,依题意得:137207009200x y x y +=ìí+=î,分解得:67x y =ìí=î答:A 检测队有6人,B 检测队有7人;(2)解:设从B 检测队中抽调了m 人到A 检测队,则B 检测队人均采样()70010m +人,依题意得:()()()72067001079360m m m +++-=,解得:29140m m -+=,解得:12m =,27m =,由于从B 对抽调部分人到A 检测队,则7m <故2m =,答:从B 检测队中抽调了2人到A 检测队.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用,解题的关键是:(1)找准等关系,正确列出二元一次方程组;(2)找准等量关系,正确列出一元二次方程十五.进制问题(共1小题)40(22-23九年级上·河北保定·期中)第十四届国际数学教育大会(-14ICME )会徽的主题图案(如图)有着丰富的数学元素,展现了我国古代数学的文化魅力,其下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745.八进制是以8作为进位基数的数字系统,有0~7共8个基本数字.八进制数3745换算成十进制数是3210387848582021´+´+´+´=,表示-14ICME 的举办年份.(1)八进制数3746换算成十进制数是 ;(2)小华设计了一个n 进制数120,则n 的值为.【答案】 2022 9【分析】(1)根据已知,从个位数字起,将八进制的每一位数分别乘以08,18,28,38,再把所得结果相加即可得解;(2)根据n 进制数和十进制数的计算方法得到关于n 的方程,解方程即可求解.【详解】解:(1)3210374638784868=´+´+´+´1536448326=+++2022=.故八进制数字3746换算成十进制是2022.故答案为:2022;(2)依题意有:21043120n n n +´+´=,解得19n =,213n =-(舍去).故n的值是9.【点睛】本题主要考查因式分解的应用,有理数的混合运算,解题的关键是弄清各个进制数转化为十进制数的计算方法.。

专题08一元二次方程(4大考点)(原卷版)三年(2022-2024)中考数学真题分类汇编(全国通用)

专题08一元二次方程(4大考点)(原卷版)三年(2022-2024)中考数学真题分类汇编(全国通用)

专题08一元二次方程(4大考点)(原卷版)三年(2022-2024)中考数学真题分类汇编(全国通用)【考点归纳】一、考点01解一元二次方程---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1二、考点02一元二次方程根的判别式--------------------------------------------------------------------------------------------------------2三、考点03根与系数的关系---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4四、考点04一元二次方程的实际应用--------------------------------------------------------------------------------------------------------5考点01解一元二次方程一、考点01解一元二次方程1.(2024·贵州·中考真题)一元二次方程220x x -=的解是()A .13x =,21x =B .12x =,20x =C .13x =,22x =-D .12x =-,21x =-2.(2024·四川凉山·中考真题)若关于x 的一元二次方程()22240a x x a +++-=的一个根是0x =,则a 的值为()A .2B .2-C .2或2-D .123.(2022·青海·中考真题)已知方程230x mx +=+的一个根是1,则m 的值为()A .4B .4-C .3D .3-4.(2024·河北·中考真题)淇淇在计算正数a 的平方时,误算成a 与2的积,求得的答案比正确答案小1,则=a ()A .1B 1C 1D .115.(2024·内蒙古赤峰·中考真题)等腰三角形的两边长分别是方程210210x x -+=的两个根,则这个三角形的周长为()A .17或13B .13或21C .17D .136.(2024·吉林·中考真题)下列方程中,有两个相等实数根的是()A .()221x -=-B .()220x -=C .()221x -=D .()222x -=7.(2024·四川南充·中考真题)当25x ≤≤时,一次函数2(1)1y m x m =+++有最大值6,则实数m 的值为()A .3-或0B .0或1C .5-或3-D .5-或18.(2024·四川凉山·中考真题)已知2220330y x x y x -=-+-=,,则x 的值为.9.(2023·广东广州·中考真题)解方程:2650x x -+=.10.(2024·青海·中考真题)(1)解一元二次方程:2430x x -+=;(2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根,求第三边的长.考点02一元二次方程根的判别式二、考点02一元二次方程根的判别式11.(2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题)关于x 的一元二次方程()22420m x x -++=有两个实数根,则m的取值范围是()A .4m ≤B .4m ≥C .4m ≥-且2m ≠D .4m ≤且2m ≠12.(2023·辽宁锦州·中考真题)若关于x 的一元二次方程2230kx x -+=有两个实数根,则k 的取值范围是()A .13k <B .13k ≤C .13k <且0k ≠D .13k ≤且0k ≠13.(2023·山东聊城·中考真题)若一元二次方程2210mx x ++=有实数解,则m 的取值范围是()A .1m ≥-B .1m £C .1m ≥-且0m ≠D .1m £且0m ≠14.(2022·四川宜宾·中考真题)若关于x 的一元二次方程2210ax x +-=有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是()A .0a ≠B .1a >-且0a ≠C .1a ≥-且0a ≠D .1a >-15.(2024·甘肃兰州·中考真题)关于x 的一元二次方程2960x x c -+=有两个相等的实数根,则c =()A .9-B .4C .1-D .116.(2024·四川广安·中考真题)若关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +-+=有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是()A .0m <且1m ≠-B .0m ≥C .0m ≤且1m ≠-D .0m <17.(2024·四川泸州·中考真题)已知关于x 的一元二次方程2210x x k ++-=无实数根,则函数y kx =与函数2y x=的图象交点个数为()A .0B .1C .2D .318.(2024·上海·中考真题)以下一元二次方程有两个相等实数根的是()A .260x x -=B .290x -=C .2660x x -+=D .2690x x -+=19.(2024·北京·中考真题)若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根,则实数c 的值为()A .16-B .4-C .4D .1620.(2024·吉林长春·中考真题)若抛物线2y x x c =-+(c 是常数)与x 轴没有交点,则c 的取值范围是.21.(2024·河南·中考真题)若关于x 的方程2102x x c -+=有两个相等的实数根,则c 的值为.22.(2024·湖南·中考真题)若关于x 的一元二次方程2420x x k -+=有两个相等的实数根,则k 的值为.23.(2024·山东·中考真题)若关于x 的方程2420x x m -+=有两个相等的实数根,则m 的值为.24.(2019·上海·中考真题)若关于x 的方程20x x k -+=没有实数根,则k 的取值范围是.25.(2024·广东·中考真题)若关于x 的一元二次方程220x x c ++=有两个相等的实数根,则c =.26.(2023·江苏连云港·中考真题)若关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是.27.(2024·四川遂宁·中考真题)已知关于x 的一元二次方程()2210x m x m -++-=.(1)求证:无论m 取何值,方程都有两个不相等的实数根;(2)如果方程的两个实数根为12,x x ,且2212129x x x x +-=,求m 的值.28.(2024·广东广州·中考真题)关于x 的方程2240x x m -+-=有两个不等的实数根.(1)求m 的取值范围;(2)化简:2113|3|21m m m m m ---÷⋅-+.29.(2023·湖北襄阳·中考真题)关于x 的一元二次方程2230x x k ++-=有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围;(2)若方程的两个根为α,β,且23k k αβ=+,求k 的值.30.(2023·湖北·中考真题)已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m m -+++=.(1)求证:无论m 取何值时,方程都有两个不相等的实数根;(2)设该方程的两个实数根为a ,b ,若()()2220a b a b ++=,求m 的值.31.(2023·湖北荆州·中考真题)已知关于x 的一元二次方程()22460kx k x k -++-=有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围;(2)当1k =时,用配方法...解方程.32.(2023·四川南充·中考真题)已知关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m m ---+=(1)求证:无论m 为何值,方程总有实数根;(2)若1x ,2x 是方程的两个实数根,且212152x x x x +=-,求m 的值.考点03根与系数的关系三、考点03根与系数的关系33.(2022·内蒙古呼和浩特·中考真题)已知1x ,2x 是方程220220x x --=的两个实数根,则代数式321122022-+x x x 的值是()A .4045B .4044C .2022D .134.(2024·四川乐山·中考真题)若关于x 的一元二次方程220x x p ++=两根为1x 、2x ,且12113x x +=,则p 的值为()A .23-B .23C .6-D .635.(2024·四川成都·中考真题)若m ,n 是一元二次方程2520x x -+=的两个实数根,则()22m n +-的值为.36.(2024·四川泸州·中考真题)已知1x ,2x 是一元二次方程2350x x --=的两个实数根,则()212123x x x x -+的值是.37.(2024·四川内江·中考真题)已知关于x 的一元二次方程210x px -+=(p 为常数)有两个不相等的实数根1x 和2x .(1)填空:12x x +=________,12x x =________;(2)求1211+x x ,111x x +;(3)已知221221x x p +=+,求p 的值.38.(2024·四川南充·中考真题)已知1x ,2x 是关于x 的方程22210x kx k k -+-+=的两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围.(2)若5k <,且k ,1x ,2x 都是整数,求k 的值.39.(2023·内蒙古通辽·中考真题)阅读材料:材料1:关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根12x x ,和系数a ,b ,c 有如下关系:12b x x a+=-,12cx x a =.材料2:已知一元二次方程210x x --=的两个实数根分别为m ,n ,求22m n mn +的值.解:∵m ,n 是一元二次方程210x x --=的两个实数根,∴1,1m n mn +==-.则()22111m n mn mn m n +=+=-⨯=-.根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列问题:(1)应用:一元二次方程22310x x +-=的两个实数根为12x x ,,则12x x +=___________,12x x =___________;(2)类比:已知一元二次方程22310x x +-=的两个实数根为m ,n ,求22m n +的值;(3)提升:已知实数s ,t 满足2223102310s s t t +-=+-=,且s t ≠,求11s t-的值.考点04一元二次方程的实际应用四、考点04一元二次方程的实际应用40.(2024·云南·中考真题)两年前生产1千克甲种药品的成本为80元,随着生产技术的进步,现在生产1千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为x ,根据题意,下列方程正确的是()A .()280160x -=B .()280160x -=C .()80160x -=D .()801260x -=41.(2024·四川内江·中考真题)某市2021年底森林覆盖率为64%,为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,该市大力发展植树造林活动,2023年底森林覆盖率已达到69%.如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x ,则符合题意得方程是()A .()0.6410.69x +=B .()20.6410.69x +=C .()0.64120.69x +=D .()20.64120.69x +=42.(2024·四川眉山·中考真题)眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区,该村的“智慧春耕”让生产更高效,提升了水稻亩产量,水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克,该村水稻亩产量年平均增长率为x ,则可列方程为()A .()67012780x ⨯+=B .()26701780x ⨯+=C .()26701780x ⨯+=D .()6701780x ⨯+=43.(2024·黑龙江牡丹江·中考真题)一种药品原价每盒48元,经过两次降价后每盒27元,两次降价的百分率相同,则每次降价的百分率为()A .20%B .22%C .25%D .28%44.(2024·内蒙古通辽·中考真题)如图,小程的爸爸用一段10m 长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5m )的矩形鸭舍,其面积为215m ,在鸭舍侧面中间位置留一个1m 宽的门(由其它材料制成),则BC 长为()A .5m 或6mB .2.5m 或3mC .5mD .3m45.(2023·浙江衢州·中考真题)某人患了流感,经过两轮传染后共有36人患了流感.设每一轮传染中平均每人传染了x 人,则可得到方程()A .()136x x ++=B .()2136x +=C .()1136x x x +++=D .2136x x ++=46.(2023·湖北襄阳·中考真题)我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题:“直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.”意思是:长方形的面积是864平方步,宽比长少12步,问宽和长各是几步.设宽为x 步,根据题意列方程正确的是()A .22(12)864x x ++=B .22(12)864x x ++=C .(12)864x x -=D .(12)864x x +=47.(2023·黑龙江哈尔滨·中考真题)为了改善居民生活环境,云中小区对一块矩形空地进行绿化,这块空地的长比宽多6米,面积为720平方米,设矩形空地的长为x 米,根据题意,所列方程正确的是()A .()6720x x -=B .()6720x x +=C .()6360x x -=D .()6360x x +=48.(2023·黑龙江·中考真题)如图,在长为100m ,宽为50m 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路,若余下的部分全部种上花卉,且花圃的面积是23600m ,则小路的宽是()A .5mB .70mC .5m 或70mD .10m49.(2022·黑龙江·中考真题)2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛,单循环比赛共进行了45场,共有多少支队伍参加比赛?()A .8B .10C .7D .950.(2024·重庆·中考真题)随着经济复苏,某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴税40万元,2023年缴税48.4万元,该公司这两年缴税的年平均增长率是.51.(2023·黑龙江牡丹江·中考真题)张师傅去年开了一家超市,今年2月份开始盈利,3月份盈利5000元,5月份盈利达到7200元,从3月到5月,每月盈利的平均增长率都相同,则每月盈利的平均增长率是.52.(2022·上海·中考真题)某公司5月份的营业额为25万,7月份的营业额为36万,已知6、7月的增长率相同,则增长率为.53.(2022·四川成都·中考真题)若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程2640x x -+=的两个实数根,则这个直角三角形斜边的长是.54.(2024·湖北·中考真题)学校要建一个矩形花圃,其中一边靠墙,另外三边用篱笆围成.已知墙长42m ,篱笆长80m .设垂直于墙的边AB 长为x 米,平行于墙的边BC 为y 米,围成的矩形面积为2cm S .(1)求y 与,x s 与x 的关系式.(2)围成的矩形花圃面积能否为2750cm ,若能,求出x 的值.(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值,并求出此时x 的值.55.(2024·山东烟台·中考真题)每年5月的第三个星期日为全国助残日,今年的主题是“科技助残,共享美好生活”,康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售,根据市场调查,每辆轮椅盈利200元时,每天可售出60辆;单价每降低10元,每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售,但每辆轮椅的利润不低于180元,设每辆轮椅降价x 元,每天的销售利润为y 元.(1)求y 与x 的函数关系式;每辆轮椅降价多少元时,每天的销售利润最大?最大利润为多少元?(2)全国助残日当天,公司共获得销售利润12160元,请问这天售出了多少辆轮椅?56.(2023·江苏·中考真题)为了便于劳动课程的开展,学校打算建一个矩形生态园ABCD (如图),生态园一面靠墙(墙足够长),另外三面用18m 的篱笆围成.生态园的面积能否为240m 如果能,请求出AB 的长;如果不能,请说明理由.57.(2023·江苏·中考真题)如图,在打印图片之前,为确定打印区域,需设置纸张大小和页边距(纸张的边线到打印区域的距离),上、下,左、右页边距分别为cm cm cm cm a b c d 、、、.若纸张大小为16cm 10cm ⨯,考虑到整体的美观性,要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的70%,则需如何设置页边距?58.(2023·湖北黄冈·中考真题)加强劳动教育,落实五育并举.孝礼中学在当地政府的支持下,建成了一处劳动实践基地.2023年计划将其中21000m 的土地全部种植甲乙两种蔬菜.经调查发现:甲种蔬菜种植成本y (单位;元/2m )与其种植面积x (单位:2m )的函数关系如图所示,其中200700x ≤≤;乙种蔬菜的种植成本为50元/2m .(1)当x =___________2m 时,35y =元/2m ;(2)设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W 元,如何分配两种蔬菜的种植面积,使W 最小?(3)学校计划今后每年在这21000m 土地上,均按(2)中方案种植蔬菜,因技术改进,预计种植成本逐年下降,若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%,乙种蔬菜种植成本平均每年下降%a ,当a 为何值时,2025年的总种植成本为28920元?59.(2022·山东德州·中考真题)如图,某小区矩形绿地的长宽分别为35m ,15m .现计划对其进行扩充,将绿地的长、宽增加相同的长度后,得到一个新的矩形绿地.(1)若扩充后的矩形绿地面积为2800m,求新的矩形绿地的长与宽;(2)扩充后,实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5:3.求新的矩形绿地面积.60.(2022·辽宁沈阳·中考真题)如图,用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD,铁丝恰好全部用完.(1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米,则AB的长为多少厘米?(2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米.。

第21章 一元二次方程(六大热考题型)(解析版)

第21章 一元二次方程(六大热考题型)(解析版)

第21章《一元二次方程》分层练习1.(2018秋·广东清远·九年级统考期末)一元二次方程22350x x -+=的一次项是( )A .3xB .3x -C .3D .3-【答案】B【分析】根据一元二次方程的一般形式判断即可.【详解】一元二次方程22350x x -+=的一次项是3x-故选:B .【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式:20ax bx c ++=,其中a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项,熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键.2.(2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考模拟预测)将方程24825x x +=化成20ax bx c ++=的形式,则a ,b ,c 的值分别为( )A .4,8,25B .4,2,25-C .4,8,25-D .1,2,25【答案】C 【分析】将原方程化为一般形式,进而可得出a ,b ,c 的值.【详解】解:将原方程化为一般形式得:24825=0x x +-,∴4a =,8b =,25c =-.故选:C .【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式,牢记“一般地,任何一个关于x 的一元二次方程经过整理,都能化成如下形式()200ax bx c a ++=¹,这种形式叫一元二次方程的一般形式”是解题的关键.3.(2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中)把一元二次方程231x x -=化为一般形式后,它的常数项为( )A .1B .1-C .3D .3-【答案】B【分析】根据一元二次方程的一般式及定义,即可求解.【详解】解:231x x -=转化为一般式得,2310x x --=,∴常数项为1-,故选:B .【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用,掌握一元二次方程的定义和形式是解题的关键.4.(2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级乌市八中校考期中)一元二次方程22510x x +-=的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )A .2,5,1-B .2,5,1C .2,5,0D .22x ,5x ,1-【答案】A【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式有关知识.根据一元二次方程的一般形式:20(,,ax bx c a b c ++=是常数且0)a ¹中,2ax 叫二次项,bx 叫一次项,c 是常数项,其中a ,b ,c 分别叫二次项系数,一次项系数,常数项,直接进行判断即可.【详解】解:一元二次方程22510x x +-=,则该方程的二次项系数为2,一次项系数为5,常数项为1-.故选:A .【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式,掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键.考查题型三 一元二次方程的解1.(2022秋·广东佛山·九年级校联考阶段练习)若m 是一元二次方程2520x x --=的一个实数根,则220225m m -+的值是( )A .2018B .2019C .2020D .2021【答案】C【分析】先将m 代入方程中得到252m m -=,再代入所求式子中求解即可.【详解】解:∵m 是一元二次方程2520x x --=的一个实数根,∴2520m m --=,则252m m -=,∴220225m m-+()220225m m =--20222=-2020=,故选:C .【点睛】本题考查一元二次方程的解、代数式求值,理解方程的解满足方程是解答的关键.2.(2023春·安徽阜阳·九年级阶段练习)若关于x 的一元二次方程()22390m x x m -++-=的一个根为0,则m 的值为( )A .3B .0C .3-D .3-或3【答案】C【分析】利用一元二次方程根的定义,确定出m 的值即可.【详解】解:∵关于x 的一元二次方程()22390m x x m -++-=的一个根为0,∴30m -¹且290m -=,解得:3m =-.故选:C .【点睛】本题考查了一元二次方程的解,一元二次方程的定义,一元二次方程的一般形式为20(,,ax bx c a b c ++=为常数且0)a ¹,理解一元二次方程的定义是解题的关键.3.(2023·广东珠海·校考三模)如果关于x 的一元二次方程210ax bx ++=的一个解是1x =,则代数式2023a b --的值为( )A .2022-B .2022C .2023D .2024【答案】D【分析】由题意知,10a b ++=,则1a b +=-,根据()20232023a b a b --=-+,计算求解即可.【详解】解:由题意知,10a b ++=,∴1a b +=-,∴()202320232024a b a b --=-+=,故选:D .【点睛】本题考查了一元二次方程的解,代数式求值.解题的关键在于对知识的熟练掌握.4.(2023·福建南平·校联考模拟预测)若关于x 的一元二次方程260x ax -+=的一个根是2-,则a 的值为( )A .2-B .3-C .4-D .5-【答案】D【分析】根据方程解的定义,把2x =-代入方程求解即可.【详解】解:∵关于x 的一元二次方程260x ax -+=的一个根是2-,∴()()22260a --´-+=,解得:5a =-.故选:D .【点睛】本题考查一元二次方程解的定义.掌握一元二次方程解的定义是解题的关键.\129x x +=-,1217x x =,2119170x x ++=,2229170x x ++=,\()()22112281653x x x x ++-+12()()171617143x x =--+--+12)141(1)(x x =++1212()141x x x x =´+++)1417(91=´-+126=.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式,一元二次方程根的定义,一元二次方程根与系数的关系,熟练掌握以上知识是解题的关键.考查题型六 一元二次方程与实际问题1.(2023·广东阳江·统考一模)自2023年1月以来,甲流便肆虐横行,成为当前主流流行疾病.某一小区有1位住户不小心感染了甲流,由于甲流传播感染非常快,小区经过两轮传染后共有121人患了甲流.(1)每轮感染中平均一个人传染几人?(2)如果按照这样的传播速度,经过三轮传染后累计是否超过1500人患了甲流?【答案】(1)10人(2)不超过【分析】(1)设每轮感染中平均一个人传染x 人,根据题意列方程解方程即可;(2)根据(1)可知每轮感染中平均一个人传染10人,进而得到三轮后患病总人数为1331即可解答.【详解】(1)解:设每轮感染中平均一个人传染x 人.根据题意得()11121x x x +++=,解得10x =,或12x =-,∵0x >,∴10x =,答:每轮感染中平均一个人传染10人;(2)解:根据题意可得:第三轮的患病人数为()31011331+=,∵13311500<,∴经过三轮传染后累计患甲流的人数不会超过1500人,答:经过三轮传染后累计患甲流的人数不超过1500人;【点睛】本题考查了一元二次方程与实际问题,读懂题意明确数量关系是解题的关键.2.(2023·湖南郴州·统考中考真题)随旅游旺季的到来,某景区游客人数逐月增加,2月份游客人数为1.6万人,4月份游客人数为2.5万人.(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率;(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长,但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人,则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人?【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%(2)5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人【分析】(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x,根据题意,列出一元二次方程,进行求解即可;(2)设5月份后10天日均接待游客人数是y万人,根据题意,列出不等式进行计算即可.【详解】(1)解:设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x,由题意,得:()2x+=,1.612.5x==(负值已舍掉);解得:0.2525%答:这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%;(2)设5月份后10天日均接待游客人数是y万人,由题意,得:()y+£+,2.12510 2.5125%y£;解得:0.1∴5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人.【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用,找准等量关系,正确的列出方程和不等式,是解题的关键.3.(2022秋·广东佛山·九年级校联考阶段练习)2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱,象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神.为满足市场需求,某超市购进一批吉祥物“冰墩墩”,进价为每个15元,第一天以每个25元的价格售出30个,为了让更多的消费者拥有“冰墩墩”,从第二天起降价销售,根据市场调查,单价每降低1元,可多售出3个.(1)当售价小于25元时,试求出第二天起每天的销售量y (个)与每个售价x (元)之间的函数关系式;(2)如果前两天共获利525元,则第二天每个“冰墩墩”的销售价格为多少元?【答案】(1)3105y x =-+(2)第二天每个“冰墩墩”的销售价格为20元【分析】(1)利用第二天起每天的销售量303=+´每个降低的价格,即可解答;(2)利用总利润=每个销售利润´销售数量,结合前两天共获利525元,即可列一元二次方程,解之即可.【详解】(1)解:由题意可得()303253105y x x =+-=-+,\第二天起每天的销售量y (个)与每个售价x (元)之间的函数关系式为3105y x =-+;(2)解:由题意可得()()()251530153105525x x -´+--+=,整理得2506000x x -+=,解得120x =,230x =,当230x =时,不符合题中让更多的消费者拥有“冰墩墩”降价的主旨,\20x =,答:第二天每个“冰墩墩”的销售价格为20元.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,一次函数的应用,解题的关键是找准等量关系.4.(2023·山东东营·统考中考真题)如图,老李想用长为70m 的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD ,并在边BC 上留一个2m 宽的门(建在EF 处,另用其他材料).(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为6402m 的羊圈?(2)羊圈的面积能达到6502m 吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.【答案】(1)当羊圈的长为40m ,宽为16m 或长为32m ,宽为20m 时,能围成一个面积为6402m 的羊圈;(2)不能,理由见解析.【分析】(1)设矩形ABCD 的边m AB x =,则边()7022722BC x x =-+=-m ,根据题意列出一元二次方程,解方程即可求解;(2)同(1)的方法建立方程,根据方程无实根即可求解.【详解】(1)解:设矩形ABCD 的边m AB x =,则边()7022722BC x x =-+=-m .根据题意,得()722640x x -=.化简,得2363200x x -+=.解得116x =,220x =.当16x =时,722723240x -=-=;当20x =时,722724032x -=-=.答:当羊圈的长为40m ,宽为16m 或长为32m ,宽为20m 时,能围成一个面积为6402m 的羊圈.(2)解:不能,理由如下:由题意,得()722650x x -=.化简,得2363250x x -+=.∵()236432540´=--=-<D ,∴一元二次方程没有实数根.∴羊圈的面积不能达到6502m .【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,根据题意列出一元二次方程,解一元二次方程是解题的关键.1.(2022秋·陕西西安·九年级校考期中)如图,已知A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点,16cm AB =,6cm AD =,动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发,点P 以3cm /s 的速度向点B 移动,一直到点B 为止,点Q 以2cm /s 的速度向点D 移动.问:(1)P 、Q 两点从出发开始几秒时,四边形PBCQ 的面积为233cm ?(2)几秒时点P 点Q 间的距离是10厘米?则|162PM x =-22(165)610x -+=解得:85x ==∴P 、Q 出发1.6(1)若点P 从点A 移动到点B 停止,点Q 是10cm ?(2)若点P 沿着AB BC CD ®®移动,点求经过多长时间PBQ V 的面积为212cm【答案】(1)8s 5或24s 5;。

2024年全国各省市数学中考真题汇编 专题6一元二次方程及其应用(11题)含详解

2024年全国各省市数学中考真题汇编 专题6一元二次方程及其应用(11题)含详解

专题06一元二次方程及其应用(11题)一、单选题1.(2024·四川自贡·中考真题)关于x 的一元二次方程220x kx +-=的根的情况是()A .有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根C .只有一个实数根D .没有实数根2.(2024·山东泰安·中考真题)关于x 的一元二次方程2230x x k -+=有实数根,则实数k 的取值范围是()A .98k <B .98k ≤C .98k ≥D .98k <-3.(2024·甘肃兰州·中考真题)关于x 的一元二次方程2960x x c -+=有两个相等的实数根,则c =()A .9-B .4C .1-D .14.(2024·内蒙古赤峰·中考真题)等腰三角形的两边长分别是方程210210x x -+=的两个根,则这个三角形的周长为()A .17或13B .13或21C .17D .13二、填空题5.(2024·广东·中考真题)若关于x 的一元二次方程220x x c ++=有两个相等的实数根,则c =.6.(2024·四川巴中·中考真题)已知方程220x x k -+=的一个根为2-,则方程的另一个根为.7.(2024·甘肃临夏州·中考真题)若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m=0有两个相等的实数根,则m 的值为.三、解答题8.(2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题)解方程:x 2﹣5x +6=09.(2024·安徽·中考真题)解方程:223x x -=10.(2024·青海·中考真题)(1)解一元二次方程:2430x x -+=;(2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根,求第三边的长.11.(2024·辽宁·中考真题)某商场出售一种商品,经市场调查发现,日销售量y (件)与每件售价x (元)满足一次函数关系,部分数据如下表所示:每件售价x /元⋅⋅⋅455565⋅⋅⋅日销售量y /件⋅⋅⋅554535⋅⋅⋅(1)求y 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围);(2)该商品日销售额能否达到2600元?如果能,求出每件售价:如果不能,请说明理由.专题06一元二次方程及其应用(11题)一、单选题1.(2024·四川自贡·中考真题)关于x 的一元二次方程220x kx +-=的根的情况是()A .有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根C .只有一个实数根D .没有实数根【答案】A【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式,熟知一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠中,当0∆>时,方程有两个不相等的实数根是解题的关键.根据一元二次方程根的判别式解答即可.【详解】解: △()2241280k k =-⨯⨯-=+>,∴方程有两个不相等的实数根.故选:A .2.(2024·山东泰安·中考真题)关于x 的一元二次方程2230x x k -+=有实数根,则实数k 的取值范围是()A .9k <B .98k ≤C .98k ≥D .98k <-【答案】B【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况,熟知一元二次方程有实数根的条件是解题的关键.根据一元二次方程有实数根的条件是0∆≥,据此列不等式求解即可.【详解】解:∵关于x 的一元二次方程2230x x k -+=有实数根,∴()2Δ3420k =--⨯≥,解得98k ≤.故选B .3.(2024·甘肃兰州·中考真题)关于x 的一元二次方程2960x x c -+=有两个相等的实数根,则c =()A .9-B .4C .1-D .1【答案】D【分析】此题考查了根的判别式,根据根的情况确定参数k 的取值,解题的关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠根的判别式24b ac ∆=-,当方程有两个不相等的实数根时,0∆>;当方程有两个相等的实数根时,Δ0=;当方程没有实数根时,Δ0<.【详解】解:∵关于x 的一元二次方程2960x x c -+=有两个相等的实数根,∴()2Δ64936360c c =--⨯⨯=-=,解得:1c =,故选:D .4.(2024·内蒙古赤峰·中考真题)等腰三角形的两边长分别是方程210210x x -+=的两个根,则这个三角形的周长为()A .17或13B .13或21C .17D .13【答案】C【分析】本题考查了解一元二次方程,等腰三角形的定义,三角形的三边关系及周长,由方程可得13x =,27x =,根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为3,腰长为7,进而即可求出三角形的周长,掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键.【详解】解:由方程210210x x -+=得,13x =,27x =,∵337+<,∴等腰三角形的底边长为3,腰长为7,∴这个三角形的周长为37717++=,故选:C .二、填空题5.(2024·广东·中考真题)若关于x 的一元二次方程220x x c ++=有两个相等的实数根,则c =.【答案】1【分析】由220x x c ++=有两个相等的实数根,可得240b ac ∆=-=进而可解答.【详解】解:∵220x x c ++=有两个相等的实数根,∴24440b ac c ∆=-=-=,∴1c =.故答案为:1.【点睛】本题主要考查根据一元二次方程根的情况求参数,掌握相关知识是解题的关键.6.(2024·四川巴中·中考真题)已知方程220x x k -+=的一个根为2-,则方程的另一个根为.7.(2024·甘肃临夏州·中考真题)若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m=0有两个相等的实数根,则m 的值为.【答案】-1【分析】根据关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣m=0有两个相等的实数根可知△=0,求出m 的取值即可.【详解】解:由已知得△=0,即4+4m=0,解得m=-1.故答案为-1.【点睛】本题考查的是根的判别式,即一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b 2-4ac 有如下关系:①当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;②当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;③当△<0时,方程无实数根.三、解答题8.(2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题)解方程:x 2﹣5x +6=0【答案】x 1=2,x 2=3【分析】利用因式分解的方法解出方程即可.【详解】利用因式分解法求解可得.解:∵x 2﹣5x +6=0,∴(x ﹣2)(x ﹣3)=0,则x ﹣2=0或x ﹣3=0,解得x 1=2,x 2=3.【点睛】本题考查解一元二次方程因式分解法,关键在于熟练掌握因式分解的方法步骤.9.(2024·安徽·中考真题)解方程:223x x -=【答案】13x =,21x =-【分析】先移项,然后利用因式分解法解一元二次方程,即可求出答案.【详解】解:∵223x x -=,∴223=0x x --,∴(3)(1)0x x -+=,∴13x =,21x =-.【点睛】本题考查了解一元二次方程,解题的关键是掌握解一元二次方程的方法进行解题.10.(2024·青海·中考真题)(1)解一元二次方程:2430x x -+=;(2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根,求第三边的长.11.(2024·辽宁·中考真题)某商场出售一种商品,经市场调查发现,日销售量(件)与每件售价x (元)满足一次函数关系,部分数据如下表所示:每件售价x /元⋅⋅⋅455565⋅⋅⋅日销售量y /件⋅⋅⋅554535⋅⋅⋅(1)求y 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围);(2)该商品日销售额能否达到2600元?如果能,求出每件售价:如果不能,请说明理由.【答案】(1)100=-+y x ;(2)该商品日销售额不能达到2600元,理由见解析。

一元二次方程中考经典题型

一元二次方程中考经典题型

一元二次方程是中考数学中的重要内容,以下是几个经典的中考题型:
1.已知一元二次方程x² - kx - 6 = 0 的两根分别是2 和3,则k 的值为多少?
解析:由求根公式可知,一元二次方程ax² + bx + c = 0 的两根分别为x1 = (-b + √(b² - 4ac)) / 2a 和x2 = (-b - √(b² - 4ac)) / 2a。

题目已知方程x² - kx - 6 = 0 的两根为2 和3,根据求根公式可得2 + 3 = k,即k = 5。

2. 若一元二次方程x² - x - a = 0 的两根之差为3,则a 的值为多少?
解析:根据题意,设该方程的两根为x1 和x2,则有x2 - x1 = 3。

根据求和公式可知,x1 + x2 = 1。

而根据一元二次方程的求根公式,x1 + x2 = 1/a。

将上述两个式子联立,可得1/a = 3,即a = 1/3。

3. 若一元二次方程x² - 5x + b = 0 的两根之比为2:3,则
b 的值为多少?
解析:根据题意,设该方程的两根为x1 和x2,则有x1/x2 = 2/3。

根据求根公式可知,x1 + x2 = 5,x1x2=b。

将x1/x2 = 2/3代入得x1=2x2/3,代入x1+x2得5=8x2/3,即x2=15/8。

代入x1/x2=2/3得x1=10/3。

于是b=x1x2=15/8*10/3=25/4。

中考数学中的一元二次方程考题形式多样,需要学生结合具体的知识点进行综合练习和思考,提高解题技能和水平。

一元二次方程20道题

一元二次方程20道题

一元二次方程20道题一、基础型题目1. 有一个一元二次方程,你能找出这个方程的两个根吗?就像找藏在树洞里的小松鼠一样哦。

2. 方程,这就像一个神秘的小盒子,你得打开它找到里面的答案(也就是方程的根)呢。

3. 对于一元二次方程,先把它化简一下,再求根呀,就像给小宠物梳理毛发一样,先整理好再找问题的关键。

4. 一元二次方程,这个方程看起来很简洁呢,快把它的根找出来,就像从简单的迷宫里找到出口一样容易。

5. 看这个方程,你可以先提取公因式,然后再求解,就像拆礼物一样,一层一层来。

6. 方程,想象你是一个小侦探,要找到让这个方程成立的那些数字(根)哦。

7. 一元二次方程,这个方程就像一个等待被解开的小谜题,你能解开它求出根吗?8. 对于,你得想办法把这个方程破解了,找到那两个能让等式成立的神秘数字(根)呀。

9. 方程,它在向你求救呢,快用你的数学魔法把它的根找出来吧。

10. 一元二次方程,就像走在一条有宝藏(根)的小路上,你要找到那些宝藏哦。

二、稍复杂型题目(含系数不是1的二次项或者配方相关)11. 看这个有点难的一元二次方程,你要像超级英雄一样克服困难求出它的根哦。

12. 方程,这就像一个复杂的拼图,你得把每一块(通过求根的步骤)都放对位置呢。

13. 对于一元二次方程,这个方程可是可以用配方的方法轻松求解的哦,就像给蛋糕做漂亮的装饰(配方)然后再享用(求出根)。

14. 一元二次方程,这个方程看起来有点棘手,不过你要是掌握了配方或者求根公式就没问题啦,就像掌握了魔法咒语一样。

15. 方程,你要想办法把这个方程的根找出来,就像在茂密的森林里找到特定的花朵一样。

16. 对于,先把方程化简一下再求根,就像给杂乱的房间先收拾一下再找东西一样。

17. 一元二次方程,这个方程很适合用配方来求解呢,就像给小机器人调整零件(配方)让它正常运转(求出根)。

18. 方程,你得动动脑筋,是用求根公式还是先化简再求根呢?就像选择走哪条路去远方(求出根)。

2024年中考数学复习练习专题:一元二次方程含参考答案

2024年中考数学复习练习专题:一元二次方程含参考答案

2024年中考数学复习练习专题:一元二次方程一、选择题1.把x 2−5x =31配方,需在方程的两边都加上()A.5B.25C.2.5D.2542.方程x 2−8x +16=0根的情况是().A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根3.若x =0是关于x 的一元二次方程(m −1)x 2+2x +m 2−1=0的解,则m 的值为()A.m =±1B.m =0C.m =1D.m =−14.一元二次方程3x 2−mx −3=0有一根是x =1,则另一根是()A.x =1B.x =−1C.x =2D.x =45.关于x 的一元二次方程kx 2+2x +1=0有两个实根,则实数k 的取值范围是()A.k ≤1B.k <1C.k ≤1且k ≠0D.k <1且k ≠06.在学校举行的图书共享仪式上互赠图书,每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本,某小组成员之间共互赠了30本图书,若设该组共有x 名同学,那么依题意可列出的方程是()A.x(x −1)=30B.x(x +1)=30C.2x(x −1)=30D.12x(x −1)=307.若a 是方程3x 2−6x −2=10的一个解,则2a 2−4a −2031的值是()A.2023B.-2023C.2022D.-20228.某航空公司有若干个飞机场,每两个飞机场之间都开辟一条线,一共开了21条线,则这个航空公司共有飞机场()A.4个B.5个C.6个D.7个二、填空题9.若关于x 的方程(m −1)⋅x 2+x +m 2−1=0,有一根为0,则m =.10.已知抛物线y =x 2+2x +k −1与x 轴有两个交点,则k 的取值范围是.11.若x 1、x 2是一元二次方程x 2+2x=3的两根,则x 1•x 2的值是.12.游行队伍有8行12列,后又增加了69人,要使得队伍增加的行数和列数相同,需要增加行。

第21章一元二次方程(压轴必刷30题7种题型专项训练)(原卷版)-2024-2025学年九年级数学上

第21章一元二次方程(压轴必刷30题7种题型专项训练)(原卷版)-2024-2025学年九年级数学上

第21章一元二次方程(压轴必刷30题7种题型专项训练)一.解一元二次方程-配方法(共1小题)1.(2022秋•仙桃校级月考)小明在解一元二次方程时,发现有这样一种解法:如:解方程x(x+4)=6.解:原方程可变形,得:[(x+2)﹣2][(x+2)+2]=6.(x+2)2﹣22=6,(x+2)2=6+22,(x+2)2=10.直接开平方并整理,得.x1=﹣2+,x2=﹣2﹣.我们称小明这种解法为“平均数法”.(1)下面是小明用“平均数法”解方程(x+3)(x+7)=5时写的解题过程.解:原方程可变形,得:[(x+a)﹣b][(x+a)+b]=5.(x+a)2﹣b2=5,(x+a)2=5+b2.直接开平方并整理,得.x1=c,x2=d.上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为,,,.(2)请用“平均数法”解方程:(x﹣5)(x+3)=6.二.解一元二次方程-因式分解法(共1小题)2.(2021秋•高安市校级月考)阅读下面的例题:解方程:x2﹣|x|﹣2=0解:(1)当x≥0时,原方程化为x2﹣x﹣2=0,解得:x1=2,x2=﹣1(不合题意,舍去).(2)当x<0时,原方程化为x2+x﹣2=0,解得:x1=1(不合题意,舍去),x2=﹣2∴原方程的根是x1=2,x2=﹣2.请参照例题解方程x2﹣|x﹣3|﹣3=0,则此方程的根是.三.换元法解一元二次方程(共1小题)3.(2021秋•高州市月考)先阅读,再解题解方程(x﹣1)2﹣5(x﹣1)+4=0,可以将(x﹣1)看成一个整体,设x﹣1=y,则原方程可化y2﹣5y+4=0,解得y1=1;y2=4,当y=1时,即x﹣1=1,解得x=2,当y=4时,即x﹣1=4,解得x=5,所原方程的解为x1=2,x2=5请利用上述这种方法解方程:(3x﹣5)2﹣4(5﹣3x)+3=0.四.根的判别式(共4小题)4.(2022秋•宝应县校级月考)已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a﹣c)=0,其中a,b,c分别为△ABC三边的长.(1)如果x=﹣1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由;(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;(3)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.5.(2022春•雷州市月考)已知关于x的一元二次方程(a+b)x2+2cx+(b﹣a)=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长.(1)如果x=﹣1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由;(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;(3)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.6.(2022秋•罗山县校级月考)已知关于x的一元二次方程(a+c)x2﹣2bx+(a﹣c)=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长.(1)如果x=1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由;(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;(3)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.7.(2022秋•仪陇县月考)已知关于x的一元二次方程:x2﹣(2k+1)x+4(k﹣)=0.(1)求证:这个方程总有两个实数根;(2)若等腰△ABC的一边长a=4,另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根,求△ABC的周长.五.根与系数的关系(共5小题)8.(2021春•拱墅区月考)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根,且其中一个根为另外一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”,以下关于倍根方程的说法,正确的有(填序号)①方程x2﹣x﹣2=0是倍根方程;②若(x﹣2)(mx+n)=0是倍根方程:则4m2+5mn+n2=0;③若p,q满足pq=2,则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程;④若方程以ax2+bx+c=0是倍根方程,则必有2b2=9ac.9.(2021秋•冷水滩区校级月考)如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1,x2,那么x1+x2=﹣p,x1x2=q,请根据以上结论,解决下列问题:(1)已知a、b是方程x2+15x+5=0的二根,则=(2)已知a、b、c满足a+b+c=0,abc=16,求正数c的最小值.(3)结合二元一次方程组的相关知识,解决问题:已知和是关于x,y的方程组的两个不相等的实数解.问:是否存在实数k,使得y1y2﹣=2?若存在,求出的k 值,若不存在,请说明理由.10.(2021春•崇川区校级月考)已知关于x的一元二次方程,(1)求证:不论k取何值,方程总有两个不相等的实数根;(2)设x1、x2是方程的两个根,且x12﹣2kx1+2x1x2=5,求k的值.11.(2021秋•顺德区月考)已知方程a(2x+a)=x(1﹣x)的两个实数根为x1,x2,设.(1)当a=﹣2时,求S的值;(2)当a取什么整数时,S的值为1;(3)是否存在负数a,使S2的值不小于25?若存在,请求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.12.(2020秋•椒江区校级月考)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”,研究发现了此类方程的一般性结论:设其中一根为t,则另一个根为2t,因此ax2+bx+c=a(x﹣t)(x﹣2t)=ax2﹣3atx+2t2a,所以有b2﹣ac=0;我们记“K=b2﹣ac”即K=0时,方程ax2+bx+c=0为倍根方程;下面我们根据此结论来解决问题:(1)方程①x2﹣x﹣2=0;方程②x2﹣6x+8=0这两个方程中,是倍根方程的是(填序号即可);(2)若(x﹣2)(mx+n)=0是倍根方程,求4m2+5mn+n2的值;(3)关于x的一元二次方程x2﹣n=0(m≥0)是倍根方程,且点A(m,n)在一次函数y=3x﹣8的图象上,求此倍根方程的表达式.六.配方法的应用(共1小题)13.(2021秋•建瓯市校级月考)先阅读,再解决问题.阅读:材料一配方法可用来解一元二次方程.例如,对于方程x2+2x﹣1=0可先配方(x+1)2=2,然后再利用直接开平方法求解方程.其实,配方还可以用它来解决很多问题.材料二对于代数式3a2+1,因为3a2≥0,所以3a2+1≥1,即3a2+1有最小值1,且当a=0时,3a2+1取得最小值为1.类似地,对于代数式﹣3a2+1,因为﹣3a2≤0,所以﹣3a2+1≤1,即﹣3a2+1有最大值1,且当a=0时,﹣3a2+1取得最大值为1.解答下列问题:(1)填空:①当x=时,代数式2x2﹣1有最小值为;②当x=时,代数式﹣2(x+1)2+1有最大值为.(2)试求代数式2x2﹣4x+1的最小值,并求出代数式取得最小值时的x的值.(要求写出必要的运算推理过程)七.一元二次方程的应用(共17小题)14.(2022秋•岳阳县校级月考)已知:▱ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根.(1)当m为何值时,四边形ABCD是菱形?求出这时菱形的边长;(2)若AB的长为2,那么▱ABCD的周长是多少?15.(2022春•宜秀区校级月考)广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格经过两次下调后,决定以每平方米4860元的均价开盘销售.(1)求平均每次下调的百分率.(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房,开发商给予以下两种优惠方案以供选择:①打9.8折销售;②不打折,一次性送装修费每平方米80元,试问哪种方案更优惠?16.(2022秋•中原区校级月考)某批发商以每件50元的价格购进800件T恤,第一个月以单价80元销售,售出了200件;第二个月如果单价不变,预计仍可售出200件,批发商为增加销售量,决定降价销售,根据市场调查,单价每降低1元,可多售出10件,但最低单价应高于购进的价格;第二个月结束后,批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售,清仓时单价为40元,设第二个月单价降低x元.(1)填表:(不需化简)时间第一个月第二个月清仓时单价(元)8040销售量(件)200(2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元,那么第二个月的单价应是多少元?17.(2022秋•南海区校级月考)在宽为20m,长为32m的矩形耕地上,修筑同样宽的三条道路,两条纵向,一条横向,横向与纵向互相垂直,(如图),把耕地分成大小相等的六块作试验田,要使实验地面积为570m2,问道路应为多宽?18.(2023春•莱芜区期中)如图,在矩形ABCD中,BC=20cm,P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发,沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止、已知在相同时间内,若BQ=xcm(x≠0),则AP=2xcm,CM=3xcm,DN=x2cm.(1)当x为何值时,点P、N重合;(2)当x为何值时,以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形.19.(2022春•拱墅区校级月考)如图,四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形,a,b,c是Rt△ABC 和Rt△BED边长,易知,这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.请解决下列问题:(1)写出一个“勾系一元二次方程”;(2)求证:关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根;(3)若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根,且四边形ACDE的周长是6,求△ABC面积.20.(2021春•崇川区校级月考)某种产品的年产量不超过1 000t,该产品的年产量(t)与费用(万元)之间的函数关系如图(1);该产品的年销售量(t)与每吨销售价(万元)之间的函数关系如图(2).若生产出的产品都能在当年销售完,则年产量为多少吨时,当年可获得7500万元毛利润?(毛利润=销售额﹣费用)21.(2021秋•莲池区校级月考)毕业在即,某商店抓住商机,准备购进一批纪念品,若商店花440元可以购进50本学生纪念品和10本教师纪念品,其中教师纪念品的成本比学生纪念品的成本多8元.(1)请问这两种不同纪念品的成本分别是多少?(2)如果商店购进1200个学生纪念品,第一周以每个10元的价格售出400个,第二周若按每个10元的价格仍可售出400个,但商店为了适当增加销量,决定降价销售(根据市场调查,单价每降低1元,可多售出100个,但售价不得低于进价),单价降低x元销售一周后,商店对剩余学生纪念品清仓处理,以每个4元的价格全部售出,如果这批纪念品共获利2500元,问第二周每个纪念品的销售价格为多少元?22.(2022秋•佛山月考)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,点D从点C开始沿CA边运动,速度为1cm/s,与此同时,点E从点B开始沿BC边运动,速度为2cm/s,当点E到达点C时,点D同时停止运动,连接AE,设运动时间为ts,△ADE的面积为S.(1)是否存在某一时刻t,使DE∥AB?若存在,请求出此时刻t的值,若不存在,请说明理由.(2)点D运动至何处时,S=S△ABC?23.(2022秋•胶州市校级月考)如图,在矩形ABCD中,AB=16cm,BC=6cm,动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发,点Q从点C向点D移动.(1)若点P从点A移动到点B停止,点Q随点P的停止而停止移动,点P、Q分别从点A、C同时出发,问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm?(2)若点P沿着AB→BC→CD移动,点P、Q分别从点A、C同时出发,点Q从点C移动到点D停止时,点P随点Q的停止而停止移动,试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2?24.(2022秋•沙坪坝区校级月考)某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2,施工队在绿化了22000米2后,将每天的工作量增加为原来的1.5倍,结果提前4天完成了该项绿化工程.(1)该项绿化工程原计划每天完成多少米2?(2)该项绿化工程中有一块长为20米,宽为8米的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为56m2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示),问人行通道的宽度是多少米?25.(2022秋•渝水区校级月考)已知:如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=5cm,BC=7cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,当其中一点到达终点后,另外一点也随之停止运动.(1)如果P、Q分别从A、B同时出发,那么几秒后,△PBQ的面积等于4cm2?(2)在(1)中,△PQB的面积能否等于7cm2?请说明理由.26.(2022秋•宜兴市月考)如图所示,△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm.(1)点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A,B同时出发,线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分?若能,求出运动时间;若不能说明理由.(2)若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动,点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s 的速度移动,P、Q同时出发,问几秒后,△PBQ的面积为1cm2?27.(2022秋•宜阳县月考)如图1,为美化校园环境,某校计划在一块长为60米,宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃,并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道,设通道宽为a米.(1)花圃的面积为米2(用含a的式子表示);(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的,求出此时通道的宽;(3)已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1(元)、y2(元)与修建面积x(m2)之间的函数关系如图2所示,如果学校决定由该公司承建此项目,并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米,那么通道宽为多少时,修建的通道和花圃的总造价为105920元?28.(2022秋•仙桃校级月考)已知:如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=5cm,BC=7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.(1)如果P,Q分别从A,B同时出发,那么几秒后,△PBQ的面积等于6cm2?(2)在(1)中,△PQB的面积能否等于8cm2?说明理由.29.(2021秋•开州区校级月考)今年奉节脐橙喜获丰收,某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售.经核算,每箱成本为40元,统一零售价定为每箱50元,可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售.(1)问最多打几折销售,才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%?(2)该村最开始几天每天可卖5000箱,因脐橙的保鲜周期短,需要尽快打开销路,减少积压,村委会决定在原售价基础上每箱降价3m%,这样每天可多销售m%;为了保护农户的收益与种植积极性,政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励,结果该村每天脐橙销售的利润为49000元,求m的值.30.(2022秋•中原区校级月考)如图所示,A、B、C、D为矩形的四个顶点,AB=16cm,AD=6cm,P、Q 分别从点A、C同时出发,点P以3cm/s的速度向点B移动,一直到达B为止,点Q以2cm/s的速度向D移动.点P停止运动时点Q也停止运动.(1)P、Q两点从出发开始到几秒时,四边形PBCQ的面积为33cm2?(2)P、Q两点从出发开始到几秒时,点P和点Q的距离第一次是10cm?。

中考数学《一元二次方程》专题训练(附带答案)

中考数学《一元二次方程》专题训练(附带答案)

中考数学《一元二次方程》专题训练(附带答案)一、单选题1.关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是()A.k<1B.k>1C.k<-1D.k>-12.关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实数根,则k的值为()A.k=4B.k=﹣4C.k≥﹣4D.k≥43.关于x的一元二次方程方程(m-1)x2-2x-1=0有两个实数根,则实数m的取值范围是()A.B.C.D.4.方程x2﹣5x=0的解是()A.x1=0,x2=﹣5B.x=5C.x1=0,x2=5D.x=05.用配方法解一元二次方程x2+6x−10=0,此方程可变形为()A.(x+3)2=1B.(x−3)2=1C.(x−3)2=19D.(x+3)2=19 6.已知b2﹣4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个实数根,则ab的取值范围为()A.ab≥18B.ab≤18C.ab≥14D.ab≤147.已知A=x2+3,B=2x+1,则A,B的大小关系正确的是()A.A>B B.A<BC.A=B D.与x的大小有关8.已知关于x的一元二次方程2x²+4x·sinα+1=0有两个相等的实数根,则锐角α的度数为()A.30°B.45°C.60°D.75°9.用配方法解方程x2﹣x﹣1=0时,配方结果正确的是()A.(x﹣1)2=2B.(x −12)2=54C.(x −12)2=1D.(x −12)2=3410.某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价,每部售价由3200元降到了2500元.设平均每月降价的百分率为x,根据题意列出的方程是()A.2500(1+x)2=3200B.2500(1−x)2=3200C.3200(1−x2)=2500D.3200(1−x)2=250011.用配方法解方程x2﹣4x﹣3=0,下列配方结果正确的是()A.(x﹣4)2=19B.(x﹣2)2=7C.(x+2)2=7D.(x+4)2=1912.下列关于x的方程中,没有实数解的是()A.x2﹣4x+4=0B.x2﹣2x﹣3=0C.x2﹣2x=0D.x2﹣2x+5=0二、填空题13.某企业2018年底缴税80万元,2020 年底缴税96.8万元,设这两年该企业交税的年平均增长率为x根据题意,可得方程为。

一元二次方程(优选真题60道)中考数学真题(全国通用)(解析版)

一元二次方程(优选真题60道)中考数学真题(全国通用)(解析版)

三年(2021-2023)中考数学真题分项汇编【全国通用】一元二次方程(优选真题60道)一.选择题(共20小题)1.(2023•新疆)用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8=0配方后得到的方程是()A.(x+6)2=28B.(x﹣6)2=28C.(x+3)2=1D.(x﹣3)2=1【分析】利用解一元二次方程﹣配方法,进行计算即可解答.【解答】解:x2﹣6x+8=0,x2﹣6x=﹣8,x2﹣6x+9=﹣8+9,(x﹣3)2=1,故选:D.【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法,熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键.2.关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是()A.m<32B.m>3C.m≤3D.m<3【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ>0,可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出m的取值范围,对照四个选项即可得出结论.【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2=0有两个不相等的实数根,∴Δ=(﹣2)2﹣4×1×(m﹣2)=12﹣4m>0,解得:m<3.故选:D.【点评】本题考查了根的判别式,牢记“当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.3.(2023•滨州)一元二次方程x2+3x﹣2=0根的情况为()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能判定【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可.【解答】解:由题意得,Δ=32﹣4×1×(﹣2)=17>0,∴方程有两个不相等的实数根.故选:A.【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),若Δ=b2﹣4ac>0,则方程有两个不相等的实数根,若Δ=b2﹣4ac=0,则方程有两个相等的实数根,若Δ=b2﹣4ac<0,则方程没有实数根.4.(2023•天津)若x1,x2是方程x2﹣6x﹣7=0的两个根,则()A.x1+x2=6B.x1+x2=﹣6C.x1x2=76D.x1x2=7【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行判断即可.【解答】解:∵x1,x2是方程x2﹣6x﹣7=0的两个根,∴x1+x2=6,x1x2=﹣7,故选:A.【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,应掌握:设x1,x2是一元二次方程y=ax2+bx+c(a≠0)的两个实数根,则x1+x2=−ba,x1x2=ca.5.(2023•永州)某市2020年人均可支收入为2.36万元,2022年达到2.7万元,若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x,则下面所列方程正确的是()A.2.7(1+x)2=2.36B.2.36(1+x)2=2.7C.2.7(1﹣x)2=2.36D.2.36(1﹣x)2=2.7【分析】利用2022年间每年人均可支配收入=2020年间每年人均可支配收入×(1+每年人均可支配收入的增长率)2,即可得出关于x的一元二次方程,此题得解.【解答】解:根据题意得2.36(1+x)2=2.7.故选:B.【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.6.(2023•乐山)若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m=0两根为x1、x2,且x1=3x2,则m的值为()A.4B.8C.12D.16【分析】首先根据根与系数的关系得出x1+x2=8,再根据x1=3x2,求得x1,x2,进一步得出x1x2=m求得答案即可.【解答】解:∵一元二次方程x2﹣8x+m=0的两根为x1,x2,∴x1+x2=8,∵x1=3x2,解得x1=6,x2=2,∴m=x1x2=6×2=12.故选:C.【点评】本题考查了根与系数的关系.二次项系数为1,常用以下关系:x1,x2是方程x2+px+q=0的两根时,x1+x2=﹣p,x1x2=q,反过来可得p=﹣(x1+x2),q=x1x2,前者是已知系数确定根的相关问题,后者是已知两根确定方程中未知系数.7.(2023•内江)对于实数a,b定义运算“⊗”为a⊗b=b2﹣ab,例如:3⊗2=22﹣3×2=﹣2,则关于x 的方程(k﹣3)⊗x=k﹣1的根的情况,下列说法正确的是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定【分析】根据运算“⊗”的定义将方程(k﹣3)⊗x=k﹣1转化为一般式,由根的判别式Δ=(k﹣1)2+4>0,即可得出该方程有两个不相等的实数根.【解答】解:∵(k﹣3)⊗x=k﹣1,∴x2﹣(k﹣3)x=k﹣1,∴x2﹣(k﹣3)x﹣k+1=0,∴Δ=[﹣(k﹣3)]2﹣4×1×(﹣k+1)=(k﹣1)2+4>0,∴关于x的方程(k﹣3)⊗x=k﹣1有两个不相等的实数根.故选:A.【点评】本题考查了根的判别式和实数的运算,牢记“当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根”是解决问题的关键.8.已知a、b、c为常数,点P(a,c)在第四象限,则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法判断【分析】先利用第四象限点的坐标特征得到ac<0,则判断Δ>0,然后根据判别式的意义判断方程根的情况.【解答】解:∵点P(a,c)在第四象限,∴a>0,c<0,∴ac<0,∴方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2﹣4ac>0,∴方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根.故选:A .【点评】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根与Δ=b 2﹣4ac 有如下关系:当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程无实数根.9.关于x 的一元二次方程x 2+2ax +a 2﹣1=0的根的情况是( )A .没有实数根B .有两个相等的实数根C .有两个不相等的实数根D .实数根的个数与实数a 的取值有关【分析】先计算一元二次方程根的判别式,根据根的判别式得结论.【解答】解:∵Δ=(2a )2﹣4×1×(a 2﹣1)=4a 2﹣4a 2+4=4>0.∴关于x 的一元二次方程x 2+2ax +a 2﹣1=0有两个不相等的实数根.故选:C .【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,掌握“根的判别式与方程的解的关系”是解决本题的关键.10.(2023•泸州)若一个菱形的两条对角线长分别是关于x 的一元二次方程x 2﹣10x +m =0的两个实数根,且其面积为11,则该菱形的边长为( )A .√3B .2√3C .√14D .2√14【分析】先设出菱形两条对角线的长,利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式,再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长.【解答】解:设菱形的两条对角线长分别为a 、b ,由题意,得{a +b =10ab =22. ∴菱形的边长=√(a 2)2+(b 2)2=12√a 2+b 2=12√(a +b)2−2ab=12√100−44=12√56=√14.故选:C.【点评】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质,掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系,根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键.11.(2023•台湾)利用公式解可得一元二次方程式3x2﹣11x﹣1=0 的两解为a、b,且a>b,求a值为何()A.−11+√1096B.−11+√1336C.11+√1096D.11+√1336【分析】利用公式法即可求解.【解答】解:3x2﹣11x﹣1=0,这里a=3,b=﹣11,c=﹣1,∴Δ=(﹣11)2﹣4×3×(﹣1)=133>0,∴x=11±√1332×3=11±√1336,∵一元二次方程式3x2﹣11x﹣1=0 的两解为a、b,且a>b,∴a的值为11+√1336.故选:D.【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法,能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键.12.(2022•淮安)若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0没有实数根,则k的值可以是()A.﹣2B.﹣1C.0D.1【分析】根据根的判别式列出不等式求出k的范围即可求出答案.【解答】解:∵一元二次方程x2﹣2x﹣k=0没有实数根,∴Δ=(﹣2)2﹣4×1×(﹣k)=4+4k<0,∴k<﹣1,故选:A.【点评】本题考查了根的判别式,牢记“当Δ<0时,方程无实数根”是解题的关键.13.(2022•攀枝花)若关于x的方程x2﹣x﹣m=0有实数根,则实数m的取值范围是()A.m<14B.m≤14C.m≥−14D.m>−14【分析】根据判别式的意义得到Δ=1+4m≥0,解不等式即可.【解答】解:∵关于x的方程x2﹣x﹣m=0有实数根,∴Δ=(﹣1)2﹣4(﹣m)=1+4m≥0,解得m≥−1 4,故选:C.【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2﹣4ac:当Δ>0,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0,方程有两个相等的实数根;当Δ<0,方程没有实数根.14.(2022•内蒙古)对于实数a,b定义运算“⊗”为a⊗b=b2﹣ab,例如3⊗2=22﹣3×2=﹣2,则关于x的方程(k﹣3)⊗x=k﹣1的根的情况,下列说法正确的是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定【分析】根据运算“⊗”的定义将方程(k﹣3)⊗x=k﹣1转化为一般式,由根的判别式Δ=(k﹣1)2+4>0,即可得出该方程有两个不相等的实数根.【解答】解:∵(k﹣3)⊗x=k﹣1,∴x2﹣(k﹣3)x=k﹣1,∴x2﹣(k﹣3)x﹣k+1=0,∴Δ=[﹣(k﹣3)]2﹣4×1×(﹣k+1)=(k﹣1)2+4>0,∴关于x的方程(k﹣3)⊗x=k﹣1有两个不相等的实数根.故选:A.【点评】本题考查了根的判别式和实数的运算,牢记“当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根”是解决问题的关键.15.(2022•巴中)对于实数a,b定义新运算:a※b=ab2﹣b,若关于x的方程1※x=k有两个不相等的实数根,则k的取值范围()A.k>−14B.k<−14C.k>−14且k≠0D.k≥−14且k≠0【分析】根据新定义运算法则列方程,然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式求解即可.【解答】解:根据定义新运算,得x2﹣x=k,即x2﹣x﹣k=0,∵关于x的方程1※x=k有两个不相等的实数根,∴Δ=(﹣1)2﹣4×(﹣k)>0,解得:k>−1 4,故选:A.【点评】本题考查一元二次方程的根的判别式,新定义等,熟练掌握根的判别式Δ=b2﹣4ac与根的情况的关系是解题的关键.16.(2022•安顺)定义新运算a*b:对于任意实数a,b满足a*b=(a+b)(a﹣b)﹣1,其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算,例如3*2=(3+2)(3﹣2)﹣1=5﹣1=4.若x*k=2x(k为实数)是关于x的方程,则它的根的情况是()A.有一个实数根B.有两个不相等的实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根【分析】已知等式利用题中的新定义化简,计算出根的判别式的值,判断即可.【解答】解:根据题中的新定义化简得:(x+k)(x﹣k)﹣1=2x,整理得:x2﹣2x﹣1﹣k2=0,∵Δ=4﹣4(﹣1﹣k2)=4k2+8>0,∴方程有两个不相等的实数根.故选:B.【点评】此题考查了根的判别式,方程的定义,以及实数的运算,弄清题中的新定义是解本题的关键.17.(2022•鄂尔多斯)下列说法正确的是()①若二次根式√1−x有意义,则x的取值范围是x≥1.②7<√65<8.③若一个多边形的内角和是540°,则它的边数是5.④√16的平方根是±4.⑤一元二次方程x2﹣x﹣4=0有两个不相等的实数根.A.①③⑤B.③⑤C.③④⑤D.①②④【分析】根据二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形的内角和定理,根的判别式判断即可.【解答】解:①若二次根式√1−x有意义,则1﹣x≥0,解得x≤1.故x的取值范围是x≤1,题干的说法是错误的.②8<√65<9,故题干的说法是错误的.③若一个多边形的内角和是540°,则它的边数是5是正确的.④√16=4的平方根是±2,故题干的说法是错误的.⑤∵Δ=(﹣1)2﹣4×1×(﹣4)=17>0,∴一元二次方程x2﹣x﹣4=0有两个不相等的实数根,故题干的说法是正确的.故选:B.【点评】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2﹣4ac有如下关系:当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程无实数根.也考查了二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形.18.(2022•北京)若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根,则实数m的值为()A.﹣4B.−14C.14D.4【分析】根据根的判别式的意义得到12﹣4m=0,然后解一次方程即可.【解答】解:根据题意得Δ=12﹣4m=0,解得m=1 4.故选:C.【点评】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2﹣4ac有如下关系:当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程无实数根.19.(2022•呼和浩特)已知x1,x2是方程x2﹣x﹣2022=0的两个实数根,则代数式x13﹣2022x1+x22的值是()A.4045B.4044C.2022D.1【分析】把x=x1代入方程表示出x12﹣2022=x1,代入原式利用完全平方公式化简,再根据根与系数的关系求出所求即可.【解答】解:把x=x1代入方程得:x12﹣x1﹣2022=0,即x12﹣2022=x1,∵x1,x2是方程x2﹣x﹣2022=0的两个实数根,∴x1+x2=1,x1x2=﹣2022,则原式=x1(x12﹣2022)+x22=x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=1+4044=4045.故选:A.【点评】此题考查了根与系数的关系,熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键.20.(2021•遵义)在解一元二次方程x2+px+q=0时,小红看错了常数项q,得到方程的两个根是﹣3,1.小明看错了一次项系数p,得到方程的两个根是5,﹣4,则原来的方程是()A.x2+2x﹣3=0B.x2+2x﹣20=0C.x2﹣2x﹣20=0D.x2﹣2x﹣3=0【分析】先设这个方程的两根是α、β,根据两个根是﹣3,1和两个根是5,﹣4,得出α+β=﹣p=﹣2,αβ=q=﹣20,从而得出符合题意的方程.【解答】解:设此方程的两个根是α、β,根据题意得:α+β=﹣p=﹣2,αβ=q=﹣20,则以α、β为根的一元二次方程是x2+2x﹣20=0.故选:B.【点评】本题考查了根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=−b a ,x1•x2=ca.二.填空题(共20小题)21.(2023•随州)已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1=0的两个实数根分别为x1和x2,则x1+x2﹣x1x2的值为.【分析】直接利用根于系数的关系x1+x2=−ba=3,x1x2=ca=1,再代入计算即可求解.【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+1=0的两个实数根分别为x1和x2,∴x1+x2=−−31=3,x1x2=11=1,∴x1+x2﹣x1x2=3﹣1=2.故答案为:2.【点评】本题主要考查根与系数的关系,熟记根与系数的关系时解题关键.根与系数的关系:x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=−ba,x1x2=ca.22.(2023•岳阳)已知关于x的方程x2+mx﹣20=0的一个根是﹣4,则它的另一个根是.【分析】设方程的另一个解为t,则利用根与系数的关系得﹣4t=﹣20,然后解一次方程即可.【解答】解:设方程的另一个解为t,根据根与系数的关系得﹣4t=﹣20,解得t=5,即方程的另一个根为5.故答案为:5.【点评】本题考查了根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,则x1+x2=−ba,x1x2=ca.23.(2023•内江)已知a、b是方程x2+3x﹣4=0的两根,则a2+4a+b﹣3=.【分析】根据一元二次方程的解的定义得到a2+3a﹣4=0,a2=﹣3a+4,再根据根与系数的关系得到a+b =﹣3,然后把要求的式子进行变形,再代入计算即可.【解答】解:∵a是方程x2+3x﹣4=0的根,∴a2+3a﹣4=0,∴a2=﹣3a+4,∵a,b是方程x2+3x﹣4=0的两根,∴a+b=﹣3,∴a2+4a+b﹣3=﹣3a+4+4a+b﹣3=a+b+1=﹣3+1=﹣2.故答案为:﹣2.【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系:若方程的两根为x1,x2,则x1+x2=−ba ,x1•x2=ca,也考查了一元二次方程的解.24.(2023•岳阳)已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2=0有两个不相等的实数根x1、x2,且x1+x2+x1•x2=2,则实数m=.【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ>0,可得出关于m的一元一次不等式,解之可得出m的取值范围,由根与系数的关系,可得出x1+x2=﹣2m,x1•x2=m2﹣m+2,结合x1+x2+x1•x2=2,可得出关于m的一元二次方程,解之取其符合题意的值,即可得出结论.【解答】解:∵原方程有两个不相等的实数根,∴Δ=(2m)2﹣4×1×(m2﹣m+2)>0,∴m>2.∵x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2=0的两个实数根,∴x1+x2=﹣2m,x1•x2=m2﹣m+2,∵x1+x2+x1•x2=2,∴﹣2m+m2﹣m+2=2,解得:m1=0(不符合题意,舍去),m2=3,∴实数m的值为3.故答案为:3.【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系,由根与系数的关系结合x1+x2+x1•x2=2,找出关于m的一元二次方程是解题的关键.25.(2023•上海)已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1=0没有实数根,那么a的取值范围是.【分析】由方程根的情况,根据判别式可得到关于a的不等式,则可求得a的取值范围.【解答】解:∵关于x的一元二次方程ax2+6x+1=0没有实数根,∴Δ<0,即62﹣4a<0,解得:a>9,故答案为:a>9.【点评】本题主要考查根的判别式,掌握方程根的情况和根的判别式的关系是解题的关键.26.(2023•上海)已知关于x的方程√x−14=2,则x=.【分析】方程两边平方得出x﹣14=4,求出方程的解,再进行检验即可.【解答】解:√x−14=2,方程两边平方得:x﹣14=4,解得:x=18,经检验x=18是原方程的解.故答案为:18.【点评】本题考查了解无理方程,能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键,注意:解无理方程一定要进行检验.27.(2023•枣庄)若x=3是关于x的方程ax2﹣bx=6的解,则2023﹣6a+2b的值为.【分析】把x=3代入方程求出3a﹣b的值,代入原式计算即可求出值.【解答】解:把x=3代入方程得:9a﹣3b=6,即3a﹣b=2,则原式=2023﹣2(3a﹣b)=2023﹣4=2019.故答案为:2019.【点评】此题考查了一元二次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.28.(2023•金昌)关于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有两个不相等的实数根,则c=(写出一个满足条件的值).【分析】根据方程的系数结合根的判别式,即可得出Δ=4﹣16c>0,解之即可得出c的取值范围,任取其内的一个数即可.【解答】解:∵方程x2+2x+4c=0有两个不相等的实数根,∴Δ=22﹣16c>0,解得:c<1 4.故答案为:0(答案不唯一).【点评】本题考查了根的判别式,牢记“当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.29.(2023•怀化)已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣2=0的一个根为﹣1,则m的值为,另一个根为.【分析】将x=﹣1代入原方程,可得出关于m的一元一次方程,解之即可得出m的值,再结合两根之积等于﹣2,即可求出方程的另一个根.【解答】解:将x=﹣1代入原方程可得1﹣m﹣2=0,解得:m=﹣1,∵方程的两根之积为ca=−2,∴方程的另一个根为﹣2÷(﹣1)=2.故答案为:﹣1,2.【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解,牢记“两根之和等于−ba,两根之积等于ca”是解题的关键.30.(2023•连云港)若W=5x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3(x、y为实数),则W的最小值为.【分析】将原式进行配方,然后根据偶次幂的非负性即可求得答案.【解答】解:W=5x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3=x2+4x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3=4x2﹣4xy+y2﹣2y+x2+8x+3=(4x2﹣4xy+y2)﹣2y+x2+8x+3=(2x﹣y)2﹣2y+x2+4x+4x+3=(2x﹣y)2+4x﹣2y+x2+4x+3=(2x﹣y)2+2(2x﹣y)+1﹣1+x2+4x+4﹣4+3=[(2x﹣y)2+2(2x﹣y)+1]+(x2+4x+4)﹣2=(2x﹣y+1)2+(x+2)2﹣2,∵x,y均为实数,∴(2x﹣y+1)2≥0,(x+2)2≥0,∴原式W≥﹣2,即原式的W的最小值为:﹣2,解法二:由题意5x2+(8﹣4y)x+(y2﹣2y+3﹣W)=0,∵x为实数,∴(8﹣4y)2﹣20(y2﹣2y+3﹣W)≥0,即5W≥(y+3)2﹣10≥﹣10,∴W≥﹣2,∴W的最小值为:﹣2,故答案为:﹣2.【点评】本题考查配方法的应用及偶次幂的非负性,利用配方法把原式整理为“平方+常数”的形式是解题的关键.31.已知方程x2﹣3x﹣4=0的根为x1,x2,则(x1+2)•(x2+2)的值为.【分析】直接利用根与系数的关系作答.【解答】解:∵方程x2﹣3x﹣4=0的根为x1,x2,∴x1+x2=3,x1•x2=﹣4,∴(x1+2)•(x2+2)=x1•x2+2x1+2x2+4=﹣4+2×3+4=6.故答案为:6.【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为:x1+x2=−ba,x1•x2=ca.32.(2023•重庆)为了加快数字化城市建设,某市计划新建一批智能充电桩,第一个月新建了301个充电桩,第三个月新建了500个充电桩,设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x,根据题意,请列出方程.【分析】设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x,根据第一个月新建了301个充电桩,第三个月新建了500个充电桩,即可得出关于x的一元二次方程.【解答】解:设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x,依题意得:301(1+x)2=500.故答案为:301(1+x)2=500.【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.33.(2023•重庆)某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个,并按计划逐月增长,预计八月份将提供岗位1815个,设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x,根据题意,可列方程为.【分析】根据今年六月份提供就业岗位1501个,并按计划逐月增长,预计八月份将提供岗位1815个,列一元二次方程即可.【解答】解:根据题意,得1501(1+x)2=1815,故答案为:1501(1+x)2=1815.【点评】本题考查了一元二次方程的应用,理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键.34.(2023•达州)已知x1,x2是方程2x2+kx﹣2=0的两个实数根,且(x1﹣2)(x2﹣2)=10,则k的值.【分析】先求出(x1+x2),x1x2的值,然后把(x1﹣2)(x2﹣2)=10的左边展开,将其代入该关于k的方程,通过解方程来求k的值.【解答】解:∵x1,x2是方程2x2+kx﹣2=0的两个实数根,∴x1+x2=−k2,x1•x2=﹣1,∴(x1﹣2)(x2﹣2)=x1•x2﹣2(x1+x2)+4=﹣1﹣2×(−k2)+4=10,解得k=7.故答案为:7.【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系:若方程两个根为x1,x2,则x1+x2=−ba ,x1x2=ca,也考查了代数式的变形能力.35.(2023•扬州)若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围为.【分析】根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式,解不等式即可得出结论.【解答】解:∵方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根,∴Δ=b2﹣4ac=22﹣4k=4﹣4k>0,解得:k<1.故答案为:k<1.【点评】本题考查了根的判别式,根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式得出4﹣4k>0是解题的关键.36.(2023•连云港)关于x的一元二次方程x2﹣2x+a=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是.【分析】根据根的判别式得到Δ=4﹣4a>0,然后解不等式即可.【解答】解:根据题意得Δ=4﹣4a>0,解得a<1.故答案为a<1.【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2﹣4ac:当Δ>0,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0,方程有两个相等的实数根;当Δ<0,方程没有实数根.37.(2022•巴中)α、β是关于x的方程x2﹣x+k﹣1=0的两个实数根,且α2﹣2α﹣β=4,则k的值为.【分析】α2﹣2α﹣β=α2﹣α﹣(α+β)=4,然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系,得到关于k的一元一次方程,即可解得答案.【解答】解:∵α、β是方程x2﹣x+k﹣1=0的根,∴α2﹣α+k﹣1=0,α+β=1,∴α2﹣2α﹣β=α2﹣α﹣(α+β)=﹣k+1﹣1=﹣k=4,∴k=﹣4,故答案是:﹣4.【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系,掌握根与系数的关系是解题的关键.38.(2022•鄂州)若实数a、b分别满足a2﹣4a+3=0,b2﹣4b+3=0,且a≠b,则1a+1b的值为.【分析】由实数a、b分别满足a2﹣4a+3=0,b2﹣4b+3=0,且a≠b,知a、b可看作方程x2﹣4x+3=0的两个不相等的实数根,据此可得a+b=4,ab=3,将其代入到原式=a+bab即可得出答案.【解答】解:∵实数a、b分别满足a2﹣4a+3=0,b2﹣4b+3=0,且a≠b,∴a、b可看作方程x2﹣4x+3=0的两个不相等的实数根,则a+b=4,ab=3,则原式=a+bab=43,故答案为:4 3.【点评】本题主要考查根与系数的关系,解题的关键是根据方程的特点得出a、b可看作方程x2﹣4x+3=0的两个不相等的实数根及韦达定理.39.(2021•南通)若m,n是一元二次方程x2+3x﹣1=0的两个实数根,则m3+m2n3m−1的值为.【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m﹣1=0,再根据根与系数的关系得到m+n=﹣3,再将其代入所求式子即可求解.【解答】解:m,n是一元二次方程x2+3x﹣1=0的两个实数根,∴m2+3m﹣1=0,∴3m﹣1=﹣m2,∴m+n=﹣3,∴m3+m2n3m−1=m2(m+n)3m−1=−3m2−m2=3,故答案为3.【点评】本题考查了根与系数的关系,熟练掌握一元二次方程的解与方程的关系得到3m﹣1=﹣m2是解题的关键.40.(2021•广东)若一元二次方程x2+bx+c=0(b,c为常数)的两根x1,x2满足﹣3<x1<﹣1,1<x2<3,则符合条件的一个方程为.【分析】根据一元二次方程的定义解决问题即可,注意答案不唯一.【解答】解:∵若一元二次方程x2+bx+c=0(b,c为常数)的两根x1,x2满足﹣3<x1<﹣1,1<x2<3,∴满足条件的方程可以为:x2﹣2=0(答案不唯一),故答案为:x2﹣2=0(答案不唯一).【点评】本题考查一元二次方程的定义,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.三.解答题(共20小题)41.(2023•南充)已知关于x 的一元二次方程x 2﹣(2m ﹣1)x ﹣3m 2+m =0.(1)求证:无论m 为何值,方程总有实数根;(2)若x 1,x 2是方程的两个实数根,且x 2x 1+x 1x 2=−52,求m 的值. 【分析】(1)由判别式Δ=(4m ﹣1)2≥0,可得答案;(2)根据根与系数的关系知x 1+x 2=2m ﹣1,x 1x 2=﹣3m 2+m ,由x 2x 1+x 1x 2=−52进行变形直接代入得到5m 2﹣7m +2=0,求解可得.【解答】(1)证明:∵Δ=[﹣(2m ﹣1)]2﹣4×1×(﹣3m 2+m )=4m 2﹣4m +1+12m 2﹣4m=16m 2﹣8m +1=(4m ﹣1)2≥0,∴方程总有实数根;(2)解:由题意知,x 1+x 2=2m ﹣1,x 1x 2=﹣3m 2+m ,∵x 2x 1+x 1x 2=x 12+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2x 1x 2−2=−52, ∴(2m−1)2−3m 2+m −2=−52,整理得5m 2﹣7m +2=0, 解得m =1或m =25.【点评】本题考查了根与系数的关系:若x 1,x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时,x 1+x 2=−b a ,x 1x 2=c a .也考查了根的判别式.42.(2023•遂宁)我们规定:对于任意实数a 、b 、c 、d 有[a ,b ]*[c ,d ]=ac ﹣bd ,其中等式右边是通常的乘法和减法运算,如:[3,2]*[5,1]=3×5﹣2×1=13.(1)求[﹣4,3]*[2,﹣6]的值;(2)已知关于x 的方程[x ,2x ﹣1]*[mx +1,m ]=0有两个实数根,求m 的取值范围.【分析】(1)用新定义运算法则列式计算;(1)先根据新定义得到x (mx +1)﹣m (2x ﹣1)=0,再把方程化为一般式,接着根据题意得到Δ=(1﹣2m )2﹣4m •m ≥0且m ≠0,解不等式即可.【解答】解:(1)[﹣4,3]*[2,﹣6]=﹣4×2﹣3×(﹣6)=10;(2)根据题意得x (mx +1)﹣m (2x ﹣1)=0,整理得mx 2+(1﹣2m )x +m =0,∵关于x 的方程[x ,2x ﹣1]*[mx +1,m ]=0有两个实数根,∴Δ=(1﹣2m )2﹣4m •m ≥0且m ≠0,解得m ≤14且m ≠0.【点评】本题属于新定义题型,考查一元二次方程根的判别式,解一元一次不等式,根据题意得到关于m 的不等式是解题的关键.43.(1)解方程:x 2﹣2x ﹣1=0;(2)解不等式组:{2x −1≥11+x 3<x −1. 【分析】(1)方程移项后,利用完全平方公式配方,开方即可求出解;(2)分别求出不等式组中两不等式的解集,找出两解集的公共部分即可.【解答】解:(1)方程移项得:x 2﹣2x =1,配方得:x 2﹣2x +1=2,即(x ﹣1)2=2,开方得:x ﹣1=±√2,解得:x 1=1+√2,x 2=1−√2;(2){2x −1≥1①1+x 3<x −1②, 由①得:x ≥1,由②得:x >2,则不等式组的解集为x >2.【点评】此题考查了解一元一次不等式组,以及解一元二次方程﹣配方法,熟练掌握不等式组的解法及方程的解法是解本题的关键.44.如图,某小区矩形绿地的长宽分别为35m ,15m .现计划对其进行扩充,将绿地的长、宽增加相同的长度后,得到一个新的矩形绿地.(1)若扩充后的矩形绿地面积为800m ,求新的矩形绿地的长与宽;(2)扩充后,实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5:3.求新的矩形绿地面积.【分析】(1)设将绿地的长、宽增加xm,则新的矩形绿地的长为(35+x)m,宽为(15+x)m,根据扩充后的矩形绿地面积为800m,即可得出关于x的一元二次方程,解之即可得出x的值,将其正值分别代入(35+x)及(15+x)中,即可得出结论;(2)设将绿地的长、宽增加ym,则新的矩形绿地的长为(35+y)m,宽为(15+y)m,根据实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5:3,即可得出关于y的一元一次方程,解之即可得出y值,再利用矩形的面积计算公式,即可求出新的矩形绿地面积.【解答】解:(1)设将绿地的长、宽增加xm,则新的矩形绿地的长为(35+x)m,宽为(15+x)m,根据题意得:(35+x)(15+x)=800,整理得:x2+50x﹣275=0解得:x1=5,x2=﹣55(不符合题意,舍去),∴35+x=35+5=40,15+x=15+5=20.答:新的矩形绿地的长为40m,宽为20m.(2)设将绿地的长、宽增加ym,则新的矩形绿地的长为(35+y)m,宽为(15+y)m,根据题意得:(35+y):(15+y)=5:3,即3(35+y)=5(15+y),解得:y=15,∴(35+y)(15+y)=(35+15)×(15+15)=1500.答:新的矩形绿地面积为1500m2.【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出一元二次方程;(2)找准等量关系,正确列出一元一次方程.45.(2022•广州)已知T=(a+3b)2+(2a+3b)(2a﹣3b)+a2.(1)化简T;(2)若关于x的方程x2+2ax﹣ab+1=0有两个相等的实数根,求T的值.【分析】(1)根据完全平方公式和平方差公式化简T;(2)根据根的判别式可求a2+ab,再代入计算可求T的值.【解答】解:(1)T=(a+3b)2+(2a+3b)(2a﹣3b)+a2=a2+6ab+9b2+4a2﹣9b2+a2=6a2+6ab;(2)∵关于x的方程x2+2ax﹣ab+1=0有两个相等的实数根,∴Δ=(2a)2﹣4(﹣ab+1)=0,∴a2+ab=1,∴T=6×1=6.【点评】本题考查了整式的混合运算,根的判别式,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2﹣4ac有如下关系:①当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;②当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;③当Δ<0时,方程无实数根.46.(1)a,b两个实数在数轴上的对应点如图所示.用“<”或“>”填空:a b,ab0;(2)在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法;它们分别是配方法、公式法和因式分解法,请从下列一元二次方程中任选两个,并解这两个方程.①x2+2x﹣1=0;②x2﹣3x=0;③x2﹣4x=4;④x2﹣4=0.【分析】(1)先根据数轴确定a、b的正负,再利用乘法法则确定ab;(2)根据方程的系数特点,选择配方法、公式法或因式分解法.【解答】解:(1)由数轴上点的坐标知:a<0<b,∴a<b,ab<0.故答案为:<,<.(2)①利用公式法:x2+2x﹣1=0,Δ=22﹣4×1×(﹣1)=4+4=8,∴x=−2±√b2−4ac2=−2±√82=−2±2√22=﹣1±√2.∴x1=﹣1+√2,x2=﹣1−√2;②利用因式分解法:x2﹣3x=0,∴x(x﹣3)=0.∴x1=0,x2=3;③利用配方法:x2﹣4x=4,两边都加上4,得x2﹣4x+4=8,∴(x﹣2)2=8.∴x﹣2=±2√2.∴x1=2+2√2,x2=2﹣2√2;④利用因式分解法:x2﹣4=0,∴(x+2)(x﹣2)=0.∴x1=﹣2,x2=2.【点评】本题考查了数轴、一元二次方程的解法,掌握数轴的意义、一元二次方程的解法是解决本题的关键.47.(2022•齐齐哈尔)解方程:(2x+3)2=(3x+2)2.【分析】方程开方转化为一元一次方程,求出解即可.【解答】解:方程:(2x+3)2=(3x+2)2,开方得:2x+3=3x+2或2x+3=﹣3x﹣2,解得:x1=1,x2=﹣1.【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法,熟练掌握方程的解法是解本题的关键.48.(2022•泰州)如图,在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路,余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1260m2,道路的宽应为多少?【分析】要求路宽,就要设路宽应为x米,根据题意可知:矩形地面﹣所修路面积=草坪面积,利用平移更简单,依此列出等量关系解方程即可.【解答】解:设路宽应为x米。

部编数学九年级上册专题21.2一元二次方程的解法【八大题型】(人教版)(解析版)含答案

部编数学九年级上册专题21.2一元二次方程的解法【八大题型】(人教版)(解析版)含答案

专题21.2 一元二次方程的解法【八大题型】【人教版】【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】 (1)【题型2 用配方法解一元二次方程】 (2)【题型3 用公式法解一元二次方程】 (4)【题型4 用因式分解法解一元二次方程】 (5)【题型5 用指定方法解一元二次方程】 (6)【题型6 用适当的方法解一元二次方程】 (12)【题型7 用换元法解一元二次方程】 (14)【题型8 配方法的应用】 (17)【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】【例1】(2022•建华区二模)解方程:−13(x ﹣2)2+34=0(开平方法).【分析】先把方程变形为(x ﹣2)2=94,再两边开方得到x ﹣2=±32,然后解两个一次方程即可.【解答】解:−13(x ﹣2)2+34=0,−13(x ﹣2)2=−34,(x ﹣2)2=94,x ﹣2=±32,所以x 1=72,x 2=12.【变式1-1】(2022•齐齐哈尔)解方程:(2x +3)2=(3x +2)2(开平方法).【分析】方程开方转化为一元一次方程,求出解即可.【解答】解:方程:(2x+3)2=(3x+2)2,开方得:2x+3=3x+2或2x+3=﹣3x﹣2,解得:x1=1,x2=﹣1.【变式1-2】(2021秋•徐汇区校级月考)解方程:4(x+1)2﹣9(x﹣2)2=0(开平方法).【分析】直接开方,再解一元一次方程即可.【解答】解:4(x+1)2=9(x﹣2)2,∴2(x+1)=±3(x﹣2),∴x1=8,x2=4 5.【变式1-3】(2022春•黄浦区校级期中)解关于x的方程:x2﹣3=1+ax2(a≠1)(开平方法).【分析】方程整理后,利用平方根定义开方即可求出解.【解答】解:方程整理得:(a﹣1)x2=﹣4,即x2=41−a,当1﹣a>0,即a<1时,x=当1﹣a<0,即a>1时,无解.来求出它的解,如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解.【题型2 用配方法解一元二次方程】【例2】(2022春•淄川区期中)(1)请用配方法解方程2x2﹣6x+3=0;(2)请用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).【分析】(1)方程二次项系数化为1,常数项移到右边,两边加上一次项系数一半系数平方,利用完全平方公式变形,开方即可求出解;(2)方程二次项系数化为1,常数项移到右边,两边加上一次项系数一半系数平方,利用完全平方公式变形,开方即可求出解.【解答】解:(1)方程整理得:x 2﹣3x =−32,配方得:x 2﹣3x +94=94−32,即(x −32)2=34,开方得:x −32=解得:x 1=32+x 2=32−(2)方程整理得:x 2+b a x =−c a ,配方得:x 2+b a x +b 24a 2=b 24a 2−c a ,即(x +b 2a )2=b 2−4ac 4a 2,开方得:x +b 2a =解得:x 1=x 2=【变式2-1】(2022秋•松江区期末)用配方法解方程:x 2=4.【分析】两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后,再开方即可得.【解答】解:∵x 2=4,∴x 2﹣+5=4+5,即(x 2=9,∴x 3或x =−3,∴x 1=3x 2=﹣3+【变式2-2】(2022秋•伊川县期中)用配方法解方程:4x 2﹣8x ﹣7=0.【分析】根据配方法的步骤先把二次项系数化为1,再在等式左右两边同时加上一次项系数的一半的平方,然后开方即可.【解答】解:4x 2﹣8x ﹣7=0,4x 2﹣8x =7,x 2﹣2x =74,配方得x 2﹣2x +12=74+1,(x ﹣1)2=114,x ﹣1=x =∴x1=1x2=1【变式2-3】(2022秋•潢川县期末)解方程:2x2﹣5x+1=0(用配方法)【分析】将常数项移到右边后把二次项系数化为1,再两边配上一次项系数一半的平方求解可得.【解答】解:∵2x2﹣5x=﹣1,∴x2−52x=−12,∴x2−52x+2516=−12+2516,即(x−54)2=1716,则x−5 4 =∴x【题型3 用公式法解一元二次方程】【例3】(2022春•通州区校级月考)用公式法解方程:2a2﹣3=﹣4a.【分析】先把原方程化成一元二次方程的一般形式,再利用公式法进行计算即可解答.【解答】解:2a2﹣3=﹣4a,整理得:2a2+4a﹣3=0,∵Δ=42﹣4×2×(﹣3)=16+24=40,∴a=∴a1a2=【变式3-1】(2022秋•徐汇区校级月考)解方程:5x+2=(3x﹣1)(2x+2)(公式法).【分析】整理成一般式,先求出b2﹣4ac的值,再代入公式求出即可.【解答】解:方程整理得:6x2﹣x﹣4=0,∵a=6,b=﹣1,c=﹣4,∴b2﹣4ac=(﹣1)2﹣4×6×(﹣4)=97>0,∴x=∴x1x2=【变式3-2】(2022秋•金山区校级期中)用公式法解方程:x2﹣﹣3=0.【分析】先求出b2﹣4ac的值,再代入公式求出方程的解即可.【解答】解:x2﹣﹣3=0,∵a=1,b=﹣c=﹣3,∴Δ=b2﹣4ac=(﹣2﹣4×1×(﹣3)=20>0,∴x=∴x1=x2=【变式3-3】(2022•市中区二模)用公式法解一元二次方程:2x2﹣7x+6=0.【分析】方程利用公式法求出解即可.【解答】解:方程2x2﹣7x+6=0,这里a=2,b=﹣7,c=6,∵Δ=49﹣48=1>0,∴x=7±1 4,则x1=2,x2=1.5.转化为解两个一元一次方程,这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.【题型4 用因式分解法解一元二次方程】【例4】(2022秋•莲湖区期中)用因式分解法解方程:2(x﹣3)=3x(x﹣3).【分析】移项后,利用提公因式法将方程的左边因式分解,继而得出两个关于x的一元一次方程,再进一步求解即可.【解答】解:∵2(x﹣3)=3x(x﹣3),∴2(x﹣3)﹣3x(x﹣3)=0,则(x﹣3)(2﹣3x)=0,∴x﹣3=0或2﹣3x=0,解得x1=3,x2=2 3.【变式4-1】(2022秋•徐汇区校级月考)解方程:(4﹣3x)+(3x﹣4)2=0(因式分解法).【分析】利用提取公因式(4﹣3x),将左边因式分解,再进一步求解即可.【解答】解:∵(4﹣3x)+(3x﹣4)2=0,∴(4﹣3x)(5﹣3x)=0,则4﹣3x=0或5﹣3x=0,解得x1=43,x2=53.【变式4-2】(2022秋•长白县期中)用因式分解法解方程:(x+3)2=(1﹣2x)2.【分析】方程整理后,利用因式分解法求出解即可.【解答】解:方程整理得:(x+3)2﹣(1﹣2x)2=0,分解因式得:(x+3+1﹣2x)(x+3﹣1+2x)=0,即(4﹣x)(3x+2)=0,可得4﹣x=0或3x+2=0,解得:x1=4,x2=−2 3.【变式4-3】(2022秋•简阳市月考)用因式分解法解方程:x2+0【分析】利用因式分解法把方程化为x=0或x+=0,然后解一次方程即可.【解答】解:(x x+0,x=0或x+=0,所以x1=x2=【题型5 用指定方法解一元二次方程】【例5】(2022秋•兴平市校级月考)按规定的方法解下列方程:(1)(x+1)2﹣144=0(直接开平方法);(2)x2=8x+9(配方法);(3)2y2+7y+3=0(公式法);(4)3(x﹣2)2=x(x﹣2)(因式分解法).【分析】(1)移项,然后开平方即可求解;(2)首先移项,然后配方,利用直接开平方法即可求解;(3)利用公式法即可求解;(4)移项,然后利用因式分解法即可求解.【解答】解:(1)(x+1)2=144,则x+1=12或x+1=﹣12,解得:x1=﹣13,x2=11;(2)移项,得:x2﹣8x=9,配方,得x2﹣8x+16=25,则(x﹣4)2=25,即x﹣4=5或x﹣4=﹣5,解得:x1=9,x2=﹣1;(3)a=2,b=7,c=3,△=49﹣4×2×3=49﹣24=25>0.则x=−7±54,则x1=﹣3,x2=−1 2;(4)原式即3(x﹣2)2﹣x(x﹣2)=0,因式分解得:(x﹣2)【3(x﹣2)﹣x】=0,即(x﹣2)(2x﹣6)=0,则x﹣2=0或2x﹣6=0,解得:x1=2,x2=3.【变式5-1】(2022秋•宁县校级月考)用适当的方法解方程:(1)x(x﹣2)+x﹣2=0(用因式分解法)(2)x2﹣4x+3=0(用配方法解)(3)x2+5x+1=0(用公式法解)(4)(x﹣4)2=(5﹣2x)2(用直接开平方法)【分析】(1)先提取公因式(x﹣2)因式分解,再求解即可;(2)先利用完全平方公式配方,然后开平方求解即可;(3)写出a、b、c的值,然后利用求根公式法求解;(4)直接开平方求解即可.【解答】解:(1)因式分解得,(x﹣2)(x+1)=0,由此得,x﹣2=0,x+1=0,所以,x1=2,x2=﹣1;(2)配方得,x2﹣4x+4﹣4+3=0,即(x﹣2)2=1,所以,x﹣2=±1,所以,x1=3,x2=1;(3)a=1,b=5,c=1,Δ=b2﹣4ac=52﹣4×1×1=25﹣1=24,xx1x2=(4)开平方得,x﹣4=±(5﹣2x),所以,x﹣4=5﹣2x或x﹣4=2x﹣5,解得x1=3,x2=1.【变式5-2】(2022秋•简阳市月考)解下列方程(1)(2x﹣1)2=7(直接开平方法)(2)2x2﹣7x﹣4=0(用配方法)(3)2x2﹣10x=3(公式法)(4)(3x﹣4)2=(3﹣4x)2(因式分解法)(5)x2+=26(用换元法解)(6)(2x2+1)2﹣2x2﹣3=0(用换元法解)【分析】(1)用直接开平方法求解就可以了;(2)先将常数项移到等号的右边,再将二次项系数化为1,然后配方为完全平方公式后直接用开平方法求解就可以;(3)先化为一般形式,然后确定a、b、c的值,最后代入求根公式求解就可以了;(4)先移项,然后用平方差公式分解因式就可以求出结论;(5a,将原方程变形为a2﹣a=30,再解一个关于a的一元二次方程求解;(6)将原方程变形为:(2x2+1)2﹣(2x2+1)﹣2=0,再设2x2+1=a,就可以变为a2﹣a﹣2=0,最后可以运用因式分解法求解.【解答】解:(1)开平方,得2x﹣1=∴x1x2(2)移项,得2x2﹣7x=4,化二次项的系数为1,得x2−72x=2,配方,得x2−72x+4916=2+4916,(x−74)2=8116开平方,得x−74=±94,∴x1=4,x2=−1 2;(3)移项,得2x2﹣10x﹣3=0,∴a=2,b=﹣10,c=﹣3,∴△=100+24=124>0,∴x∴x1x2=(4)移项,得(3x﹣4)2﹣(3﹣4x)2=0分解因式,得(3x﹣4+3﹣4x)(3x﹣4﹣3+4x)=0,∴﹣x﹣1=0或7x﹣7=0,∴x1=﹣1,x2=1;(5)原方程变形为:x2+30,a,将原方程变形为:a2﹣a=30,移项,得a2﹣a﹣30=0,因式分解,得(a+5)(a﹣6)=0,∴a+5=0或a﹣6=0,∴a1=﹣5(舍去),a2=6,6,解得:x=经检验,x=(6)原方程变形为:(2x2+1)2﹣(2x2+1)﹣2=0,设2x2+1=a,则原方程变为:a2﹣a﹣2=0,解得:a1=﹣1,a2=2,当a=﹣1时,2x2+1=﹣1,Δ<0,原方程无解,当a=2时,2x2+1=2,解得:x=【变式5-3】(2022秋•恩阳区月考)解方程:①x2+x+=0(因式分解法)②5x2+2x﹣1=0(公式法)③y 2+6y +2=0(配方法)④9(x ﹣2)2=121(x +1)2(直接开平方法)⑤x 1x 2−2x 2x 1=1(换元法)⑥(x 2﹣x )2﹣5(x 2﹣x )+6=0(适当方法)【分析】①根据方程特点,采用因式分解法解答.②根据方程的系数特点,应准确确定各个项系数,利用求根公式求得.③可以先移项,然后利用配方法解答.④利用直接开平方法解答;⑤移项整理,利用换元法求得未知数的解即可.⑥利用换元法解答.【解答】解:①x 2+x +0,(x x +0,∴x +=0或x +=0,∴x 1=x 2=②5x 2+2x ﹣1=0,a =5,b =2,c =﹣1,Δ=b 2﹣4ac =4+20=24,x所以x 1=x 2③y 2+6y +2=0,y 2+6y =﹣2,y 2+6y +9=﹣2+9,即(y +3)2=7,∴y +3∴y 1=﹣3+y 2=﹣3④9(x ﹣2)2=121(x +1)2,3(x ﹣2)=±11(x +1),∴3(x ﹣2)=11(x +1)或3(x ﹣2)=﹣11(x +1),∴x 1=−178,x 2=−514;⑤x 1x 2−2x 2x 1=1,x 1x 2−2x 2x 1−1=0,设y =x 1x 2,则原方程为y −2y −1=0,y 2﹣y ﹣2=0,解得:y =﹣1,或y =2,当y =﹣1,x 1x 2=−1,此方程无解;当y =2,x 1x 2=2,解得:x 1=1,x 2=−12,经检验,x 1=1,x 2=−12是原分式方程的解,所以原方程的解为x 1=1,x 2=−12.⑥(x 2﹣x )2﹣5(x 2﹣x )+6=0,设y =x 2﹣x ,则原方程为y 2﹣5y +6=0,解得:y =3,或y =2,当y =3,x 2﹣x =3,x 1=x 2=当y =2,x 2﹣x =2,解得:x 3=2,x 4=﹣1;所以原方程的解为x 1x 2x 3=2,x 4=﹣1.【题型6 用适当的方法解一元二次方程】【例6】(2022春•富阳区校级期中)用适当的方法解下列一元二次方程:(1)(x +4)2﹣5(x +4)=0;(2)x 2﹣2x ﹣15=0.【分析】(1)等式左边可提取公因式(x +4),转化为(x +4)(x ﹣1)=0求解;(2)根据十字相乘法可将方程变形为(x +3)(x ﹣5)=0,由此可得同解方程x +3=0或x ﹣5=0,据此求解.【解答】解:(1)(x +4)2﹣5(x +4)=0,将方程变形,得(x+4)(x﹣1)=0,即x+4=0,x﹣1=0,解得:x1=﹣4,x2=1.(2)x2﹣2x﹣15=0,将方程变形,得(x+3)(x﹣5)=0,则x+3=0或x﹣5=0,解得x1=﹣3,x2=5.【变式6-1】(2022春•大观区校级期中)用适当的方法解方程(1)x2﹣x﹣1=0;(2)(x+1)2﹣3(x+1)=0.【分析】(1)利用公式法解方程;(2)利用因式分解法解方程.【解答】解:(1)Δ=(﹣1)2﹣4×(﹣1)=5>0,x所以x1=x2=(2)(x+1)2﹣3(x+1)=0.(x+1)(x+1﹣3)=0,x+1=0或x+1﹣3=0,所以x1=﹣1,x2=2.【变式6-2】(2022春•萧山区期中)用适当的方法解下列方程:(1)x2﹣x﹣6=0;(2)4(x﹣1)2=9(x﹣5)2.【分析】(1)利用十字相乘法将方程的左边因式分解,继而得出两个关于x的一元一次方程,再进一步求解即可;(2)先移项,再利用公式法将方程的左边因式分解,继而得出两个关于x的一元一次方程,再进一步求解即可.【解答】解:(1)∵x2﹣x﹣6=0,∴(x﹣3)(x+2)=0,则x ﹣3=0或x +2=0,解得x 1=3,x 2=﹣2;(2)∵4(x ﹣1)2=9(x ﹣5)2,∴4(x ﹣1)2﹣9(x ﹣5)2=0,∴[2(x ﹣1)+3(x ﹣5)][2(x ﹣1)﹣3(x ﹣5)]=0,则2(x ﹣1)+3(x ﹣5)=0或2(x ﹣1)﹣3(x ﹣5)=0,解得x 1=13,x 2=175.【变式6-3】(2022春•柯桥区期中)选用适当的方法解下列方程.(1)2x (x ﹣1)=3(x ﹣1);(2)12x 2﹣5=0.【分析】(1)方程移项后,利用因式分解法求出解即可;(2)方程整理后,利用配方法求出解即可.【解答】解:(1)方程移项得:2x (x ﹣1)﹣3(x ﹣1)=0,分解因式得:(x ﹣1)(2x ﹣3)=0,所以x ﹣1=0或2x ﹣3=0,解得:x 1=1,x 2=32;(2)方程整理得:x 2=10,配方得:x 2+8=18,即(x 2=18,开方得:x =解得:x 1=x 2=﹣【题型7 用换元法解一元二次方程】【例7】(2022秋•安居区期末)为解方程(x 2﹣1)2﹣5(x 2﹣1)+4=0,我们可以将x 2﹣1视为一个整体,然后设x 2﹣1=y ,则原方程可化为y 2﹣5y +4=0,解此方程得y 1=1,y 2=4.当y =1时,x 2﹣1=1,所以x =±当y =4时,x 2﹣1=4,所以x =±所以原方程的根为x 1=x 2=x 3x 4=以上解方程的方法叫做换元法,利用换元法达到了降次的目的,体现了数学的转化思想.运用上述方法解下列方程:(1)(x2﹣x)(x2﹣x﹣4)=﹣4;(2)x4+x2﹣12=0.【分析】(1)设x2﹣x=a,原方程可化为a2﹣4a+4=0,求出a的值,再代入x2﹣x=a求出x即可;(2)设x2=y,原方程化为y2+y﹣12=0,求出y,再把y的值代入x2=y求出x即可.【解答】解:(1)(x2﹣x)(x2﹣x﹣4)=﹣4,设x2﹣x=a,则原方程可化为a2﹣4a+4=0,解此方程得:a1=a2=2,当a=2时,x2﹣x=2,即x2﹣x﹣2=0,因式分解得:(x﹣2)(x+1)=0,解得:x1=2,x2=﹣1,所以原方程的解是x1=2,x2=﹣1;(2)x4+x2﹣12=0,设x2=y,则原方程化为y2+y﹣12=0,因式分解,得(y﹣3)(y+4)=0,解得:y1=3,y2=﹣4,当y=3时,x2=3,解得:x=±当y=﹣4时,x2=﹣4,无实数根,所以原方程的解是x1=x2=【变式7-1】(2021春•龙口市月考)阅读下面材料:方程x4﹣6x2+8=0是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是设x2=y,则x4=y2,∴原方程可化为y2﹣6y+8=0,解方程求得y的值,进而得到原方程的四个根x1=x2=x3=2,x4=﹣2.以上方法叫做换元法,通过换元达到降次的目的,体现了数学的转化思想,运用上述方法解答下列问题.(1)解方程2(x2+3x)2﹣3(x2+3x)﹣2=0;(2)已知实数a满足(a2+2﹣3a2=2的值.【分析】(1)先设y=x2+3x,则原方程变形为2y2﹣3y﹣2=0,运用因式分解法解得y1=2,y2=−1 2,再把y=2和−12分别代入y=x2+3x得到关于x的一元二次方程,然后解两个一元二次方程,最后确定原方程的解;(2)设y =a 2y 2﹣3y ﹣10=0,运用因式分解法解得y 1=﹣2,y 2=5,再把y =5代y =a 2得到a 2+5,即可求得a 2=52的值.【解答】解:(1)设y =x 2+3x ,则2y 2﹣3y ﹣2=0,则(y ﹣2)(2y +1)=0,解得y 1=2,y 2=−12,当x 2+3x =2,即x 2+3x ﹣2=0时,解得x =当x 2+3x =−12,即x 2+3x +12=0时,解得x =综上所述,原方程的解为x 1=x 2x 3x 4=(2)(a 2+2﹣3a 2=a 22﹣3(a 2﹣10=0,设y =a 2+y 2﹣3y ﹣10=0,则(y +2)(y ﹣5)=0,解得y 1=﹣2,y 2=5,当y =﹣2时,则a 2+=−2,无意义,舍去;当y =5时,则a 2+5,得到a 2=5∴2=53﹣故2的值为3﹣【变式7-2】(2022秋•邵东市期末)请你先认真阅读下列材料,再参照例子解答问题:已知(x +y ﹣3)(x +y +4)=﹣10,求x +y 的值.解:设t =x +y ,则原方程变形为(t ﹣3)(t +4)=﹣10,即t 2+t ﹣2=0∴(t +2)(t ﹣1)=0得t 1=﹣2,t 2=1∴x +y =﹣2或x +y =1已知(x 2+y 2﹣4)(x 2+y 2+2)=7,求x 2+y 2的值.【分析】根据举例进行解答即可.【解答】解:设t =x 2+y 2>0∴(t ﹣4)(t +2)=7t 2﹣2t ﹣15=0,解得:t 1=5,t 2=﹣3(舍去)∴x 2+y 2=5.【变式7-3】(2022秋•甘井子区月考)【例】解方程(x ﹣1)2﹣5(x ﹣1)+4=0.解:设x ﹣1=y ,则原方程可化为y 2﹣5y +4=0.解得y 1=1,y 2=4.当y =1时,即x ﹣1=1,解得x =2;当y =4时,即x ﹣1=4,解得x =5.所以原方程的解为x 1=2,x 2=5.上述解法称为“整体换元法”.(1)请运用“整体换元法”解方程:(2x ﹣5)2﹣(2x ﹣5)﹣2=0;(2)已知x 2﹣xy ﹣y 2=0,求x y 的值.【分析】(1)先设y =2x ﹣5,则原方程变形为y 2﹣y ﹣2=0,运用因式分解法解得y 1=2,y 2=﹣1,再把y =2和﹣1分别代y =2x ﹣5得到关于x 的一元二次方程,然后解两个一元二次方程,最后确定原方程的解;(2)x 2﹣xy ﹣y 2=0,方程两边同时除以y 2,可得x 2−xy−y 2y 2=0,设x y =m ,方程可化为m 2﹣m ﹣1=0,类似(1)的减法可得x y 的值.【解答】解:(1)设y =2x ﹣5,则原方程变形为y 2﹣y ﹣2=0,解得y 1=2,y 2=﹣1,当y =2时,即2x ﹣5=2,解得x =3.5;当y =﹣1时,2x ﹣5=﹣1,解得x =2.所以原方程的解为x 1=3.5,x 2=2;(2)x 2﹣xy ﹣y 2=0,方程两边同时除以y 2,得x 2−xy−y 2y 2=0,设x y =m ,方程可化为m 2﹣m ﹣1=0,解得m 1m 2∴x y 的值为【题型8 配方法的应用】【例8】(2022秋•饶平县期末)已知a ,b ,c 满足a 2+2b =7,b 2﹣2c =﹣1,c 2﹣6a =﹣17,则a +b ﹣c 的值为( )A.1B.﹣5C.﹣6D.﹣7【分析】题目中的式子相加,然后利用配方法变形为完全平方的形式,再利用非负数的性质即可求得所求式子的值.【解答】解:∵a2+2b=7,b2﹣2c=﹣1,c2﹣6a=﹣17,∴(a2+2b)+(b2﹣2c)+(c2﹣6a)=7+(﹣1)+(﹣17),∴a2+2b+b2﹣2c+c2﹣6a=﹣11,∴(a2﹣6a+9)+(b2+2b+1)+(c2﹣2c+1)=0,∴(a﹣3)2+(b+1)2+(c﹣1)2=0,∴a﹣3=0,b+1=0,c﹣1=0,解得,a=3,b=﹣1,c=1,∴a+b﹣c=3﹣1﹣1=1.故选:A.【变式8-1】(2022•武汉模拟)若实数a,b,x满足a﹣b=2,a2﹣b2=﹣4x,则多项式a2+ab﹣b2的值可能为( )A.﹣5B.﹣6C.﹣7D.﹣8【分析】将多项式a2+ab﹣b2进行变形,利用配方法可得(b+3)2﹣5,再根据偶次方的非负数性质解答即可.【解答】解:∵a﹣b=2,∴a=b+2,∴a2+ab﹣b2=(b+2)2+b(a﹣b)=b2+4b+4+2b=b2+6b+4=(b+3)2﹣5,∴a2+ab﹣b2的最小值是﹣5.故选:A.【变式8-2】(2022春•仪陇县校级月考)已知a+b+c+3=+则a+b+c的值是 .【分析】先将条件配方成)2)2)2=0,根据完全平方式的非负性求出a、b和c的值即可.【解答】解:∵a+b+c+3=++∴+++1=0,即)2)2)2=0,1=0=0=0,解得a=1,b=5,c=3.∴a+b+c=1+5+3=9.故答案为:9.【变式8-3】(2022春•临湘市期中)阅读材料例:求代数式2x2+4x﹣6的最小值.解:2x2+4x﹣6=2(x2+2x﹣3)=2(x+1)2﹣8.可知当x=﹣1时,2x2+4x﹣6有最小值,最小值是﹣8.根据上面的方法解决下列问题:(1)m2﹣4m﹣5最小值是 .(2)多项式a2+b2﹣4a+6b+18最小值可以是 .【分析】(1)将多项式加4再减4,利用配方法后可得结论;(2)将多项式重新分组,改写成(a2﹣4a+4)+(b2+6b+9)+5,配方后可得结论.【解答】解:(1)∵m2﹣4m﹣5=m2﹣4m+4﹣9=(m﹣2)2﹣9,∴当m=2时,m2﹣4m﹣5有最小值,最小值是﹣9.故答案为:﹣9;(2)∵a2+b2﹣4a+6b+18=(a2﹣4a+4)+(b2+6b+9)+5=(a﹣2)2+(b+3)2+5,∴当a=2,b=﹣3时,多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值,最小值是5.故答案为:5.。

一元二次方程中考综合复习题(基础+提高+应用题)

一元二次方程中考综合复习题(基础+提高+应用题)

一元二次方程综合复习题基础题:一、选择题:1.定义:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0,则我们称这个方程为“凤凰”方程.已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论成立的是( )A.a=c B.a=b C.b=c D.a=b=c2.某旅游景点三月份共接待游客25万人次,五月份共接待游客64万人次,设每月的平均增长率为x,则可列方程为()A. 25(1+x)2=64 B. 25(1﹣x)2=64 C. 64(1+x)2=25 D. 64(1﹣x)2=253.关于关于x的一元二次方程x2+x﹣k2=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法判断4.若关于x的一元二次方程nx2﹣2x﹣1=0无实数根,则一次函数y=(n+1)x﹣n的图象不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.若关于x的一元二次方程(m﹣2)x2+3x+m2﹣4=0有一个根是0,则m的值是()A. 2 B.﹣2 C. 2或﹣2 D.1 26.下面关于x的方程中①ax2+bx+c=0;②3(x﹣9)2﹣(x+1)2=1;③x+3=0;④(a2+a+1)x2﹣a=0;⑤3x2+k=x﹣1.一元二次方程的个数是()A. 1 B. 2 C. 3 D. 47.关于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根,则a满足()A. a≥1 B. a>1且a≠5 C. a≥1且a≠5 D. a≠58.关于x 的方程x 2+(k 2﹣4)x+k ﹣1=0的两根互为相反数,则k 的值为( ) A . ±2B . 2C . ﹣2D . 不能确定9.用配方法解方程x 2﹣4x+1=0时,先把方程变为(x+h )2=k 的形式,则h 、k 的值分别是( ) A . 2、17B . ﹣2、15C . 2、5D . ﹣2、310.关于x 的一元二次方程()221x m 3x m 04-++=有两个不相等的实数根,则m 的最小整数值是( ) A . ﹣1B . 0C . 1D . 211.已知方程x 2+bx+a=0有一个根是﹣a (a≠0),则下列代数式的值恒为常数的是( ) A . abB . abC . a+bD . a ﹣b12.设a 、b 、c 是三角形的三边,则关于x 的一元二次方程c 的根的情况是( ) A . 方程有两个相等实根 B . 方程有两个不等的正实根 C . 方程有两个不等的负实根 D . 方程无实根13.若关于x 的一元二次方程kx 2+2x ﹣1=0有实数根,则k 的取值范围是( ) A . k>﹣1B . k≥﹣1C . k>﹣1且k≠0D . k≥﹣1且k≠014.如果(x+2y )2+3(x+2y )﹣4=0,则x+2y 的值为( ) A . 1B . ﹣4C . 1或﹣4D . ﹣1或315.若α、β是一元二次方程x 2+3x ﹣1=0的两个根,则α2+2α﹣β的值是( ) A . ﹣2B . 4C . 0.25D . ﹣0.516.若方程(x 2+y 2)2﹣5(x 2+y 2)﹣6=0,则x 2+y 2=( ) A . 6B . 6或﹣1C . ﹣1D . ﹣6或117.生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了182件,如果全组有x 名同学,则根据题意列出的方程是( ) A . x (x+1)=182 B . x (x ﹣1)=182C . x (x+1)=182×2D . x (x ﹣1)=182×218.已知m,n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根,且(7m2﹣14m+a)(3n2﹣6n﹣7)=8,则a的值等于()A.﹣5 B. 5 C.﹣9 D. 9二、解答题:19.(换元法)解方程:(x2﹣3x)2﹣2(x2﹣3x)﹣8=0解:设x2﹣3x=y则原方程可化为y2﹣2y﹣8=0解得:y1=﹣2,y2=4当y=﹣2时,x2﹣3x=﹣2,解得x1=2,x2=1当y=4时,x2﹣3x=4,解得x1=4,x2=﹣1∴原方程的根是x1=2,x2=1,x3=4,x4=﹣1,根据以上材料,请解方程:(2x2﹣3x)2+5(2x2﹣3x)+4=0.20.如图所示,学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚,一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为19m),另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成.(1)若围成的面积为180m2,试求出自行车车棚的长和宽;(2)能围成的面积为200m2自行车车棚吗如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.21.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克.经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6 000元,同时又要使顾客得到实惠,则每千克应涨价多少元25.阅读材料:如果x 1,x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根,则有x 1+x 2=﹣b a ,x 1x 2=c a.这是一元二次方程根与系数的关系,我们利用它可以用来解题,例x 1,x 2是方程x 2+6x ﹣3=0的两根,求x 12+x 22的值.解法可以这样:∵x 1+x 2=6,x 1x 2=﹣3则x 12+x 22=(x 1+x 2)2﹣2x 1x 2(﹣6)2﹣2×(﹣3)=42.请你根据以上解法解答下题:已知x 1,x 2是方程x 2﹣4x+2=0的两根,求: (1)的值;(2)(x 1﹣x 2)2的值.26.解下列方程:(1)22x 50-= (2)2113x 6x 2022⎛⎫⎛⎫----= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.27.已知关于x 的方程x 2﹣2mx+14n 2=0,其中m 、n 分别是一个等腰三角形的腰和底边. (1)求证:这个方程有两个不相等的实数根.(2)若方程的两根x 1、x 2满足丨x 1﹣x 2丨=8,且等腰三角形的面积为4,求m 、n 的值.28.关于x 的一元二次方程4x 2+4(m ﹣1)x+m 2=0(1)当m 在什么范围取值时,方程有两个实数根(2)设方程有两个实数根x 1,x 2,问m 为何值时,2212x x 17+=(3)若方程有两个实数根x 1,x 2,问x 1和x 2能否同号若能同号,请求出相应m 的取值范围;若不能同号,请说明理由.29.已知关于x 的一元二次方程x 2+(m+3)x+m+1=0.(1)求证:无论m 取何值,原方程总有两个不相等的实数根:(2)若x 1,x 2是原方程的两根,且|x 1﹣x 2m 的值,并求出此时方程的两根.提高练习 一、选择题 :1.已知a ,b ,c 分别是三角形的三边,则方程(a+b )x 2+2cx+(a+b )=0的根的情况是( ) A . 没有实数根 B . 可能有且只有一个实数根 C . 有两个相等的实数根D . 有两个不相等的实数根2.三角形两边的长分别是8和6,第三边的长是一元二次方程x 2﹣16x+60=0的一个实数根,则该三角形面积是( )A . 24B . 24或C . 48D .3.关于关于x 的一元二次方程x 2+x ﹣k 2=0的根的情况是() A .有两个不相等的实数根 B .有两个相等的实数根 C .无实数根D .无法判断4.若关于x 的一元二次方程nx 2﹣2x ﹣1=0无实数根,则一次函数y=(n+1)x ﹣n 的图象不经过( ) A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限5.下列命题①方程x 2=x 的解是x =1②4的平方根是2③有两边和一角相等的两个三角形全等 ④连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形其中真命题有:【 】 A .4个 B.3个 C.2个 D.1个6.已知a b ,是关于x 的一元二次方程210x nx +-=的两实数根,则式子的值是( ) A .22n +B .22n -+C .22n -D .22n --7.设a ,b 是方程x 2+x ﹣2009=0的两个实数根,则a 2+2a+b 的值为( ) A . 2006B . 2007C . 2008D . 20098.方程x 2﹣kx ﹣(k+1)=0的根的情况是( ) A . 方程有两个不相等的实数根 B . 方程有两个相等的实数根 C . 方程没有实数根D . 方程的根的情况与k 的取值有关9.若关于x 的一元二次方程(m ﹣2)x 2+3x+m 2﹣4=0有一个根是0,则m 的值是( ) A . 2B . ﹣2C . 2或﹣2D . 1210.关于x 的一元二次方程22(1)10a x ax a -++-=的一个根是0,则a 的值为( )A .1 B . 0C . -1D . ±111.若式子2210a x x +-能构成完全平方式,则a 的值为( ).A .10B .15C .5或5-D .2512.若是方程的两个实数根,则的值( )A .2007B .2005C .-2007D .401013.设a 、b 、c 是三角形的三边,则关于x 的一元二次方程c 的根的情况是( ),αβ2220070x x +-=23ααβ++A . 方程有两个相等实根B . 方程有两个不等的正实根C . 方程有两个不等的负实根D . 方程无实根14.关于x 的方程(a ﹣5)x 2﹣4x ﹣1=0有实数根,则a 满足( ) A . a ≥1B . a>1且a ≠5C . a ≥1且a ≠5D . a ≠515.已知关于x 的一元二次方程(a ﹣l )x 2﹣2x+l=0有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是( ) A . a>2B . a<2C . a<2且a ≠lD . a<﹣216.(非课改)已知α,β是关于x 的一元二次方程x 2+(2m+3)x+m 2=0的两个不相等的实数根,且满足+=﹣1,则m 的值是( ) A . 3或﹣1B . 3C . 1D . ﹣3或117.关于x 的方程ax 2﹣(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x 1、x 2,且有x 1﹣x 1x 2+x 2=1﹣a ,则a 的值是( ) A . 1B . ﹣1C . 1或﹣1D . 218.设α、β是方程的两根,则的值是( ) A .0 B .1 C .2000 D .400000019.已知m ,n 是方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根,且(7m 2﹣14m+a )(3n 2﹣6n ﹣7)=8,则a 的值等于( ) A . ﹣5B . 5C . ﹣9D . 920.方程x (x+2)=2(x+2)的解是( ) A . 2和﹣2B . 2C . ﹣2D . 无解21.已知x 是实数,且满足(x 2+4x )2+3(x 2+4x )﹣18=0,则x 2+4x 的值为( ) A . 3B . 3或﹣6C . ﹣3或6D . 622.若一元二次方程x 2﹣2x ﹣m=0无实数根,则一次函数y=(m+1)x+m ﹣1的图象不经过( )0192=++x x )12009)(12009(22++++ββααA . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限23.若关于x 的方程x 2+px+q=0得一个根为零,另一个根不为零,则( ) A . p=0且q=0B . p=0且q≠0C . p≠0且q=0D . p=0或q=024.若方程(x 2+y 2)2﹣5(x 2+y 2)﹣6=0,则x 2+y 2=( ) A . 6B . 6或﹣1C . ﹣1D . ﹣6或125.一元二次方程x 2﹣3x+1=0的两个根分别是x 1,x 2,则x 12x 2+x 1x 22的值是( ) A . 3 B . ﹣3 C . D . ﹣二、解答题 :27.用指定方法解方程 (1)2x 2﹣7x+3=0(公式法) (2)y 2+4y ﹣5=0(配方法)(3)(x+2)2﹣10(x+2)+25=0(因式分解法)28.已知关于x 的方程x 2﹣2mx+14n 2=0,其中m 、n 分别是一个等腰三角形的腰和底边. (1)求证:这个方程有两个不相等的实数根.(2)若方程的两根x 1、x 2满足丨x 1﹣x 2丨=8,且等腰三角形的面积为4,求m 、n 的值.29.已知、是一元二次方程的两个实数根.(1)是否存在实数,使成立若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.(2)求使的值为整数的实数的整数值.1x 2x 01442=++-k kx kx k 23)2)(2(2121-=--x x x x k k30.已知关于x 的方程0141)1(22=+++-k x k x 的两根是一个矩形两邻边的长. ⑴k 取何值时,方程在两个实数根;⑵当矩形的对角线长为5时,求k 的值.应用题: 一、选择题 :1.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元,如果平均每月增长率为x ,则由题意列方程应为( )A . 200(1+x )2=1000B . 200+200×2x=1000C . 200+200×3x=1000D . 200[1+(1+x )+(1+x )2]=10002.利民大药房将原来每盒盈利30%的某种药品先后两次降价,经两次降价后每盒仍能盈利10%.则这两次降价的平均降价率是多少( )A . (1﹣x )2=1+10%B . 30%(1﹣x )2=1+10%C . (1﹣x )2×30%=1+10%D . (1+30%)(1﹣x )2=1+10%3.某品牌电脑2009年的销售单价为7200元,由于科技进步和新型电子原材料的开发运用,该品牌电脑成本不断下降,销售单价也逐年下降.至2011年该品牌电脑的销售单价为4900元,设2009年至2010年,2010年至2011年这两年该品牌电脑的销售单价年平均降低率均为x ,则可列出的正确的方程为( ) A .4900(1+x )2=7200 B .7200(1﹣2x )=4900 C .7200(1﹣x )=4900(1+x )D .7200(1﹣x )2=49004.某厂一月份生产产品150台,计划二、三月份共生产450台.设二、三月平均每月增长率为x ,根据题意列出方程是( )A .150(1+x )2=450 B .150(1+x )+150(1+x )2=450 C .150(1﹣x )2=450D .150+150(1+x )2=4505.实数m 满足210m +=,则44m m -+的值为( )A .62 B .64 C .80 D .100 二、解答题 :6.百货商店服装部在销售中发现:某品牌童装平均每天可售出20件,每件赢利40元.为了扩大销售量,增加赢利.减少库存,商场决定采取适当的降价措施经市场调查发现:如果每件童装降价1元,则平均每天就可多售出2件.(1)若平均每天销售这种童装赢利1200元,则从消费者的角度考虑.每件童装应降价多少元?(2)销售这种童装是否可以使赢利最大?若可以,求出这个最大赢利;若不可以.请说明理由.7.某商场为迎接元旦,计划以单价40元的价格购进一批商品,再以单价50元出售,每天可卖出200件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每天少卖10件(每件售价不能高于56元).设每件商品的售价为x 元(x 为正整数),每天的销量为y 件. (1)求y 与x 的函数关系式并写出自变量X 的取值范围; (2)每件商品的售价定为多少元时,每天的利润恰为2210元(3)每件商品的售价定为多少元时,每天可获得最大利润最大利润是多少元8.在矩形ABCD中,AB=5cm,BC=7cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发.(1)几秒后△PBQ的面积等于4cm2?(2)几秒钟后,PQ的长度等于5cm?(3)在(1)中△PBQ的面积能否等于7cm2?请说明理由.9.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件;(1)若商场平均每天要赢利1 200元,每件衬衫应降价多少元;(2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天赢利最多.10.“低碳生活,绿色出行”,自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加,据统计,该商城1月份销售自行车64辆,3月份销售了100辆.(1)若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同,问该商城4月份卖出多少辆自行车?(2)考虑到自行车需求不断增加,该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车,已知A型车的进价为500元/辆,售价为700元/辆,B型车进价为1000元/辆,售价为1300元/辆.根据销售经验,A型车不少于B型车的2倍,但不超过B型车的2.8倍.假设所进车辆全部售完,为使利润最大,该商城应如何进货?11.如果方程x2+px+q=0的两个根是x1,x2,则x1+x2=﹣p,x1.x2=q,请根据以上结论,解决下列问题:(1)已知关于x的方程x2+mx+n=0,(n≠0),求出一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方程两根的倒数;(2)已知a、b满足a2﹣15a﹣5=0,b2﹣15b﹣5=0,求的值;(3)已知a、b、c满足a+b+c=0,abc=16,求正数c的最小值.12.山西特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售可增加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回答:(1)每千克核桃应降价多少元?(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?13.某食品零售店为食品厂代销一种面包,未售出的面包可退回厂家,经统计销售情况发现,当这种面包单价定为7角时,每天卖出160个,在此基础上,这种面包单价每提高1角,该零售店每天就会少卖出20个,该零售店每个面包的成本是5角.(1)如果每天卖出面包100个,则这种面包的单价定为多少这天卖面包的利润是多少(2)如果每天销售这种面包获得的利润是48元,则这种面包的单价是多少14.如图,某小区规划在长32米,宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路,使其中两条与AD平行,一条与AB平行,其余部分种草,若使草坪的面积为570米2,问小路应为多宽。

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2一、选择题一元二次方程中考考题汇总1. 下列说法中正确命题有()①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,则这两个角相等②数据 5,2,7,1,2,4 的中位数是 3,众数是 2③等腰梯形既是中心对称图形,又是轴对称图形④Rt△ABC 中,∠C=90°,两直角边 a ,b 分别是方程 x 2-7x +7=0 的两个根,则 AB 边上的中线长为1 352A .0 个B .1 个C .2 个D .3 个2. 关于 x 的方程 ax 2 - (3a + 1)x + 2(a + 1) = 0 有两个不相等的实根 x 、 x ,且有12x 1 - x 1 x 2 + x 2 = 1 - a ,则 a 的值是() A .1B .-1C .1 或-1D . 2 3. 一元二次方程 x (x - 2) = 0 根的情况是( )A. 有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根4.某商品原售价 289 元,经过连续两次降价后售价为 256 元,设平均每次降价的百分率为 x, 则下面所列方程中正确的是( ) A. 289 (1- x )2= 256 B. 256 (1- x )2= 289 C. 289(1-2x)=256D.256(1-2x)=2895.关于 x 的一元二次方程 x 2 + (m - 2)x + m +1 = 0 有两个相等的实数根,则 m 的值是( )A . 0B . 8C . 4 ±D . 0 或86.方程(x +1)(x -2)=x +1 的解是()(A )2(B )3(C )-1,2 (D )-1,37. 一元二次方程 x (x - 1) = 0 的解是()(A ) x = 0 (B ) x = 1(C ) x = 0 或 x = 1(D ) x = 0 或x = -18.若一元二次方程式 ax (x +1)+(x +1)(x +2) +bx (x +2)=2 的两根为 0、2,则 3a +4b 之值为何?() A .2B .5C .7D . 89. 如图(十三),将长方形 ABCD 分割成 1 个灰色长方形与 148 个面积相等的小正方形。

一元二次方程常考题型

一元二次方程常考题型

一元二次方程是数学中的一个重要概念,它在中考数学中也是一个常见的考点。

以下是中考数学中常考的一元二次方程的题型及解题方法:
1.直接开平方法:对于形如$x^2=p$或$(x-\alpha)^2=p$的一元二次方程,
可以通过直接开平方的方法求解。

首先移项,等式两边同加或同减一个常数,使常数项移到等式的另一边,然后两边同时开平方,最后得出解。

2.因式分解法:对于形如$x^2-px+q=0$的一元二次方程,可以通过因式分
解法求解。

首先移项并提公因式,然后根据完全平方公式或平方差公式进行因式分解,最后根据因式分解的结果得出解。

3.配方法:对于形如$x^2-px+q=0$的一元二次方程,也可以通过配方的方
法求解。

首先移项并提公因式,然后配方使左边成为一个完全平方三项式,右边为一个常数,最后得出解。

4.公式法:对于任何一元二次方程$ax^2+bx+c=0$,都可以通过公式法求
解。

首先计算判别式$\Delta=b^2-4ac$,然后根据判别式的值判断方程的根的情况,最后根据根的性质求出方程的解。

5.综合法:综合法通常是根据题目的具体条件和图形的几何意义,将问题转
化为与一元二次方程有关的问题,通过解一元二次方程得出答案。

综上所述,中考数学中常考的一元二次方程的题型及解题方法有多种,需要根据具体题目选择合适的方法进行求解。

专题21.1一元二次方程【十大题型】-2024-2025学年九年级数学上册[含答案]

专题21.1一元二次方程【十大题型】-2024-2025学年九年级数学上册[含答案]

专题21.1 一元二次方程【十大题型】【人教版】【题型1 辨别一元二次方程】【题型2 由一元二次方程的定义求字母的值】 【题型3 由一元二次方程的定义字母的取值范围】 【题型4 由一元二次方程的一般形式识别系数】 【题型5 由一元二次方程的一般形式求字母的值】 【题型6 由一元二次方程的解求字母或代数式的值】 【题型7 由一元二次方程的解通过降次求代数式的值】 【题型8 根据实际问题列一元二次方程】 【题型9 由一元二次方程的解求另一方程的解】 【题型10 一元二次方程与一元一次方程的综合】知识点1:一元二次方程的定义等号两边都就是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数得最高次数就是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.【题型1 辨别一元二次方程】【例1】(23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习)1.下列方程中,属于一元二次方程的是( )A .21x y +=B .20ax bx c ++=C .130x x+=D .220x -=【变式1-1】(23-24九年级上·上海长宁·期末)2.下列关于x 的方程中,一定是一元二次方程的是( )A .2110x-=B 25x =C .260ax x +-=D .(1)51x x x +=-【变式1-2】(23-24九年级上·四川成都·期末)3.下列方程中,关于x 的一元二次方程的是( )A .()()230x x --=B .34x x+=C .20ax bx c ++=D .23321x x -+=【变式1-3】(23-24九年级上·新疆伊犁·期末)4.下列方程,是一元二次方程的是( )①2320x x +=,②22340x xy -+=,③214x x-=,④20x =.A .①②B .①②④C .①③④D .①④【题型2 由一元二次方程的定义求字母的值】【例2】(23-24九年级下·江苏扬州·期末)5.已知关于x 的方程()()132340k k x k x --+-+=是一元二次方程,则k 的值应为( )A .3±B .3C .3-D .不能确定【变式2-1】(23-24九年级下·河北保定·期末)6.关于x 的方程27320a x x ---=是一元二次方程,则a = .【变式2-2】(23-24九年级下·安徽合肥·期末)7.若关于x 的方程()211540m m x x +++-=是一元二次方程,则m 的值是( )A .1B .1-C .0D .1±【变式2-3】(23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末)82||370m x -+-=是一元二次方程,则m =.【题型3 由一元二次方程的定义字母的取值范围】【例3】(23-24九年级上·福建泉州·期末)9.关于x 的方程210ax x --=是一元二次方程,则a 的取值范围是( )A .0a >B .0a ¹C .0a <D .a 为任意实数【变式3-1】(23-24九年级上·北京大兴·期末)10.若2(3)340a x x ---=是关于x 的一元二次方程,则a 的取值范围是 .【变式3-2】(23-24九年级上·四川遂宁·期中)11.若方程(a-2)x 2+x=3是关于x 的一元二次方程,则a 的范围是( )A .a≠2B .a≥0C .a≥0且a≠ 2D .a 为任意实数【变式3-3】(23-24九年级下·重庆·期末)12.如果关于x 的不等式组4437m x x x ->ìí<+î有且仅有三个整数解,且关于y 的方程()2210m y my -++=是一元二次方程,则符合条件的所有整数m 之和为.知识点2:一元二次方程的一般形式一般形式:ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)、其中,ax 2就是二次项,a 就是二次项系数;bx 就是一次项,b 就是一次项系数;c 就是常数项.【题型4 由一元二次方程的一般形式识别系数】【例4】(23-24九年级下·山东烟台·期中)13.一元二次方程23410x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )A .3,4-,1-B .3,4,1C .3,4,1-D .3,1-,4-【变式4-1】(23-24九年级下·广西梧州·期中)14.下列方程是一元二次方程的一般形式的是( )A .()214x -=B .()23227x -=C .2530x x -=D 228x +=【变式4-2】(23-24九年级上·甘肃天水·期中)15.将一元二次方程22(3)(4)10x x x +-=-化成它的一般形式为 .【变式4-3】(23-24九年级下·山东烟台·期中)16.若将关于x 的一元二次方程()2322x x ax x +-=-化成一般形式后,其二次项系数为1,常数项为2-,则该方程中的一次项系数为( )A .5B .3C .5-D .3-【题型5 由一元二次方程的一般形式求字母的值】【例5】(23-24九年级·上海·假期作业)17.已知关于x 方程235x mx m x -+-=的各项系数与常数项之和为2,求m 的值.【变式5-1】(23-24九年级上·山东青岛·期中)18.关于x 的一元二次方程()()223530m x m x ++--=的一次项系数为4,则m 的值为( )A .3B .0C .3或-3D .0或3【变式5-2】(23-24九年级上·江苏徐州·期中)19.关于x 的一元二次方程235x mx x +=+化为一般形式后不含一次项,则m 的值为( )A .0B .±3C .3D .-3【变式5-3】(23-24九年级上·全国·专题练习)20.若关于x 的一元二次方程(21)()2ax x a a +-=-的二次项系数是4-,则a 的值为.知识点3:一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等得未知数得值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根.方程的解得定义就是解方程过程中验根得依据.【题型6 由一元二次方程的解求字母或代数式的值】【例6】(23-24九年级下·江苏·专题练习)21.已知a 是方程2210x x +-=的一个根,则代数式()()212a a a +++的值= .【变式6-1】(23-24九年级上·黑龙江·期中)22.已知一元二次方程240x x m -+=有一个根为2,则m 值为 .【变式6-2】(23-24九年级上·江苏南京·期末)23.若m 是关于x 的方程250ax bx ++=的一个根,则27am bm +-的值为( )A .-2B .1C .12D .-12【变式6-3】(23-24九年级上·广东广州·期中)24.已知a 是方程2202210x x -+=的一个根,则22202220211a a a -++的值为 .【题型7 由一元二次方程的解通过降次求代数式的值】【例7】(23-24九年级上·山西长治·期中)25.将关于x 的一元二次方程20x px q -+=变形为2x px q =-,就可以将2x 表示为关于x的一次多项式,也可以将3x 表示为()2x x x px q ×=-=…,从而达到“降次”的目的,我们将这种方法称为“降次法”,通过这种方法可以化简次数较高的代数式.若210x x +-=,则3222023x x ++的值为( )A .2025B .2024C .2023D .2022【变式7-1】(23-24九年级上·黑龙江大兴安岭地·期中)26.已知m 是方程x 2+x -1=0的根,则式子m 3+2m 2+2020的值为( )A .2018B .2019C .2020D .2021【变式7-2】(23-24·重庆·一模)27.已知m 为方程230x x +-=的一个根,则代数式32226m m m +-+的值为 .【变式7-3】(23-24九年级上·上海徐汇·阶段练习)28.已知a 是关于x 的一元二次方程2110x x --=的一个根,则232112311a a a --+的值等于 .【题型8 根据实际问题列一元二次方程】【例8】(23-24九年级下·重庆·期中)29.由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求,创下良好口碑,自上映以来票房连创佳绩.据不完全统计,第一周票房约5亿元,以后两周以相同的增长率增长,三周后票房收入累计达约20亿元,设增长率为x ,则方程可以列为( )A .255520x ++=B .()25120x +=C .()35120x +=D .()()25515120x x ++++=【变式8-1】(23-24·山西晋中·二模)30.某旅游景点的商场销售一款山西文创产品,平均每天可售出100件,每件获利30元.为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.调查发现,如果这款文创产品的售价每降低1元,那么平均每天可多售出10件.商场要想平均每天获利3640元,这款文创产品每件应降价多少元?设这款文创产品每件降价x 元,根据题意可列方程为( )A .()()30100103640x x +-=B .()()30100103640x x ++=C .()()30100103640x x -+=D .()()30100103640x x --=【变式8-2】(23-24·广西南宁·二模)31.2024年汤姆斯杯羽毛球赛于4月27日至5月5日在成都举行,根据赛制规定,所有参赛队伍先通过抽签分成若干小组进行小组赛,小组赛阶段每队都要与小组内其他队进行一场比赛,已知中国队所在的小组有n 支队伍,共安排了6场小组赛.根据题意,下列方程正确的是( )A .1(1)62n n +=B .1(1)62n n -=C .(1)6n n +=D .(1)6n n -=【变式8-3】(23-24九年级下·全国·专题练习)32.一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小4,且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4,设个位数字为x ,则方程为( )A .()()2241044x x x x +-=-+-B .()2241044x x x x ++=+--C .()()2241044x x x x ++=++-D .()()2241044x x x x ++=+--【题型9 由一元二次方程的解求另一方程的解】【例9】(23-24九年级下·山东淄博·期中)33.若关于x 的一元二次方程()2500ax bx a ++=¹有一根为2022,则方程()()2115a x b x +++=-必有根为( )A .2022B .2020C .2019D .2021【变式9-1】(23-24九年级下·江苏南通·阶段练习)34.若关于x 的一元二次方程()2200ax bx a ++=¹有一根为2021x =,则一元二次方程()212a x bx b -+-=-必有一根为( )A .2019B .2020C .2021D .2022【变式9-2】(23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习)35.关于x 的方程a (x+m )2+b=0的根是x 1=5,x 2=-6,(a ,b ,m 均为常数,a≠0),则关于x 的方程a (x+m+2)2+b=0的根是 【变式9-3】(23-24九年级上·四川凉山·阶段练习)36.已知关于x 的一元二次方程2()0m x h k --=(,,m h k 均为常数,且0m ¹)的解是12x =,25x =,则关于x 的一元二次方程2(3)m x h k -+=的解是.【题型10 一元二次方程与一元一次方程的综合】【例10】(23-24九年级下·全国·假期作业)37.已知关于x 的方程()()2242310m x m x m -+-+-=.(1)当m 为何值时,此方程为一元一次方程?(2)当m 为何值时,此方程为一元二次方程?【变式10-1】(23-24九年级上·江苏南京·期末)38.关于x 的方程ax 2+bx+c=0,有下列说法:①若a≠0,则方程必是一元二次方程;②若a=0,则方程必是一元一次方程,那么上述说法( )A .①②均正确 B .①②均错 C .①正确,②错误 D .①错误,②正确【变式10-2】(23-24九年级上·全国·课后作业)39.某中学数学兴趣小组对关于x 的方程()()11210m m xm x +++--=提出了下列问题:(1)是否存在m 的值,使方程为一元一次方程?若存在,求出m 的值,并解此方程;(2)是否存在m 的值,使方程为一元二次方程?若存在,求出m 的值.【变式10-3】(23-24九年级下·江苏南京·期末)40.已知关于x 的方程(1﹣2k )x 2﹣x ﹣1=0(1)若此方程为一元一次方程,求k 的值.(2)若此方程为一元二次方程,且有实数根,试求k 的取值范围.1.D【分析】本题考查一元二次方程的识别,只含有一个未知数,且含未知数的项的最高次数为2的整式方程,是一元二次方程,进行判断即可.【详解】解:A 、是二元一次方程,不符合题意;B 、当0a =时,20ax bx c ++=不是一元二次方程,不符合题意;C 、是分式方程,不符合题意;D 、是一元二次方程,符合题意;故选D .2.D【分析】本题考查的是一元二次方程的定义,熟知只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键.根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可.【详解】解:A .2110x -=中含有分式,不是一元二次方程,故本选项不符合题意;B 25x =,不是整式方程,故本选项不符合题意;C .当0a =时,260ax x +-=不是一元二次方程,故本选项不符合题意;D .(1)51x x x +=-是一元二次方程,故本选项符合题意.故选:D .3.A【分析】本题考查的是一元二次方程的定义,熟知只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键.根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可.【详解】解:A. ()()230x x --=,整理可得2560x x -+=,是一元二次方程,故此选项符合题意; B. 34x x+=,分母中含有未知数,不是整式方程,故此选项不符合题意; C. 20ax bx c ++=,仅当0a ¹时,原方程为一元二次方程,故此选项不符合题意;D. 23321x x -+=,最高次项的次数为3,故此选项不符合题意;故选:A .4.D【分析】本题考查的是一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.据此对各选项进行逐一分析即可.【详解】解:①2320x x +=是一元二次方程;②22340x xy -+=含有两个未知数,不是一元二次方程;③214x x-=不是整式方程,不是一元二次方程;④20x =是一元二次方程.故选:D .5.C【分析】根据一元二次方程的定义:未知数的最高次数是2;二次项系数不为0;是整式方程;含有一个未知数.【详解】解:由关于x 的方程||1(3)(23)40k k x k x --+-+=是一元二次方程,得||12k -=且30k -¹.解得3k =-.故选:C .【点睛】本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.6.3±【分析】根据一元二次方程的定义解题即可.【详解】解:由题意得272a -=,解得:3a =±,故答案为:3±.【点睛】本题考查了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程,一般形式是()200ax bx c a ++=¹.特别要注意0a ¹的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.7.A【分析】本题考查一元二次方程的定义,掌握一元二次方程的定义是解题的关键.理解一元二次方程的定义,需要抓住两个条件:①二次项系数不为0;②未知数的最高次数为2;结合一元二次方程的定义,可以得到关于m 的方程和不等式,求解即可得到m 的值.【详解】解:Q 关于x 的方程()211540m m x x +++-=是一元二次方程,\21012m m +¹ìí+=î,解得1m =.故选:A .8.4【分析】根据只含有一个未知数,且未知数的最高指数为2的整式方程为一元二次方程,则22m -=,然后选出合适的值即可.2||370m x -+-=是一元二次方程,|2|2m \-=0¹,4m \=或0,0m ¹,4m \=,故答案为:4.【点睛】本题考查了一元二次方程的定义,结合一元二次方程的概念求出参数值是解题关键.9.B【分析】本题考查了一元二次方程的定义,熟记一元二次方程的定义是解题的关键.只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程,根据一元二次方程的定义得出0a ¹即可.【详解】解:∵方程210ax x --=是关于x 的一元二次方程,∴0a ¹.故选:B .10.3a ¹【分析】此题考查了一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程是一元二次方程,根据一元二次方程的定义解答即可.【详解】Q 方程2(3)340a x x ---=是关于x 的一元二次方程,30a \-¹,解得3a ¹.故答案为:3a ¹.11.C【详解】试题分析:由于方程是一元二次方程,所以二次项系数必定不等于零,即20a -¹,所以2a ¹,又因为被开方式大于或者等于零,即0a ³,所以选C .考点:一元二次方程的二次项不等于零,被开方式大于或者等于零点评:这类题目在考试中一般出现于选择题,一元二次方程的各项系数确定,都要遵循一元二次方程的一般式,既然为一元二次方程,那么二次项系数必定存在,即二次项系数应该不为零,而被开方式大于或者等于零,由此可以确定a 的取值范围.12.8【分析】先表示出不等式组的解集,由不等式组有且仅有三个整数解确定出m 的取值,再由关于y 的方程()2210m y my -++=是一元二次方程,求出满足题意整数m 的值,进而求出和.【详解】4437m x x x ->ìí<+î①②,由①得14m x <-,由②得72x >-,∵不等式组有且仅有三个整数解,∴7124m x -<<-,即x 可取3,2,1---,∴1104m -<-£,∴04m <£,∵关于y 的方程()2210m y my -++=是一元二次方程,∴20m -¹,解得2m ¹,∴04m <£且2m ¹,1,3,4m \=,1348\++=,故答案为:8.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及一元二次方程的定义,熟练掌握解一元一次不等式组的方法以及一元二次方程的定义是解题的关键.13.A【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式是:20ax bx c ++=(a ,b ,c 是常数且0a ¹),特别要注意0a ¹的条件.在一般形式中, a ,b ,c 分别叫二次项系数,一次项系数,常数项,根据概念作答即可.【详解】解:一元二次方程23410x x --=的二次项系数是3,一次项系数4-,常数项1-.故选A .14.C【分析】本题主要考查的是一元二次方程的一般形式等知识点,一般地,任何一个关于x 的一元二次方程经过整理,都能化成如下形式()200ax bx c a ++=¹,这种形式叫一元二次方程的一般形式,据此判定即可得解,熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键.【详解】A .()214x -=不是一元二次方程的一般形式,故A 错误,不符合题意;B .()23227x -=不是一元二次方程的一般形式,故B 错误,不符合题意;C .2530x x -=是一元二次方程的一般形式,故C 正确,符合题意;D 228x +=不是一元二次方程的一般形式,故D 错误,不符合题意;故选:C .15.22140x x --=【分析】一元二次方程的一般形式是:20ax bx c ++=(a b c ,,是常数且0a ¹),据此,对原方程通过去括号、移项即可将原方程转化为一般式方程.【详解】原方程去括号得,222862410x x x x -+-=-,移项,合并得:22140x x --=,故答案为:22140x x --=.【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式,理解一元二次方程的一般形式是解题的关键.16.A【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式,一元二次方程的一般式为()200ax bx c a ++=¹,把原方程先去括号,然后移项,合并同类项,化为一般式,进而求出a 的值,即可求出答案.【详解】解:()2322x x ax x +-=-,22322x x ax ax +-=-,()()231220a x a x -++-=,Q 将关于x 的一元二次方程()2322x x ax x +-=-化成一般形式后,其二次项系数为1,31a \-=,解得:2a =,121225a \+=+´=,则该方程中的一次项系数为5,故选A .17.2m =-【分析】首先把关于x 方程235x mx m x -+-=化为一般形式,根据各项系数与常数项之和等于2,求出m 的值即可.【详解】解:整理方程得()2530x m x m -+--=,化为一般形式即为()2530x m x m +-+=,方程的各项分别为2x ,()5m x -,3m ,其中未知项系数分别为1,()5m -,依题意即有()1532m m +-+=,解得:2m =-.【点睛】此题考查一元二次方程的一般形式是:20ax bx c ++=(a ,b ,c 是常数且0a ¹)特别要注意0a ¹的条件.18.A【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式,及一元二次方程的定义,根据一元二次方程的一般形式可知,一元二次方程的二次项系数不能为0以及题干中方程的二次项系数是()3m +确定30m +¹,另外一次项系数等于4,确定29m =,据此解答.【详解】解:∵一元二次方程()()223530m x m x ++--=的一次项系数等于4,∴254m -=∴3m =或3m =-.又∵二次项系数不为0,∴30m +¹,解得3m ¹-,∴3m =.故选:A .19.C【分析】此题考查了一元二次方程的定义,解题关键是理解一元二次方程的一般形式,将一元二次方程化为一般式,根据不含一次项可得一次项系数为0,求解即可.【详解】解:方程235x mx x +=+化为一般形式为:()2350x m x +--=由题意可得:30m -=解得3m =故选:C20.2-【分析】本题考查多形式乘以多项式,一元二次方程的一般形式,根据多项式乘以多项式化简得出一元二次方程为:2222220ax a x x a -+-+=,得出24a =-,求解即可得出答案.【详解】解:∵22(21)()222ax x a ax a x x a a +-=-+-=-,∴一元二次方程为:2222220ax a x x a -+-+=,根据题意可得:24a =-,解得:2a =-,故答案为:2-.21.3【分析】本题主要考查了整式的混合运算﹣化简求值、完全平方公式、一元二次方程的解等知识点,准确熟练地进行计算是解题的关键.根据一元二次方程的解的意义可得2210a a +-=,从而可得221a a +=,然后再对多项式进行去括号,合并同类项,最后把221a a +=代入化简后的式子进行计算即可.【详解】解:∵a 是方程2210x x +-=的一个根,∴2210a a +-=,∴()()222212212241a a a a a a a a a +++=++++=++,当221a a +=时,原式()22212113a a =++=´+=.故答案为:3.22.4【分析】把2x =代入原方程,解方程即可.【详解】解:一元二次方程240x x m -+=有一个根为2,所以,22420m -´+=,解得,4m =,故答案为:4.【点睛】本题考查了一元二次方程的解,解题关键是明确方程解的意义,代入未知数的值求解.23.D【分析】把x m = 代入已知方程,可得:250am bm ++=,则25am bm +=-,将其整体代入所求的代数式进行解答即可.【详解】解:由题意得:250am bm ++=,∴25am bm +=-,∴2712am bm +-=-,故选:D .【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义,把根代入方程得到的代数式巧妙变形来解题是一种不错的解题方法.24.2021【分析】本题考查了分式的化简求值,一元二次方程的解,准确熟练地进行计算是解题的关键.根据题意可得:把x a =代入方程2202210x x -+=中得:2202210a a -+=,从而可得212022a a +=,220221a a =-, 120220a a -+=,进而可得12022a a+=,然后代入式子中进行计算,即可解答.【详解】解:由题意得:把x a =代入方程2202210x x -+=中得:2202210a a -+=,221120222022120220,,a a a a a a\+==--+=,12022a a \+=,222022202212021202212021120221202112022a a a a a a a a\-+=--+=-+=-=+ 故答案为:2021.25.B【分析】此题考查一元二次方程,整体代入法:根据方程变形得到21x x =-,21x x +=,仿照已知整体代入化简即可得到答案,正确理解整体代入法达到降次解方程的目的是解题的关键.【详解】∵210x x +-=,∴21x x =-,21x x +=,∴3222023x x ++()2122023x x x =-++2222023x x x =-++22023x x =++12023=+2024=故选:B .26.D【分析】先利用m 是方程x 2+x -1=0的根得到m 2=-m +1,则可表示出m 3=2m -1,然后利用整体代入的方法计算即可.【详解】解:∴m 是方程x 2+x -1=0的根,∴m 2+m -1=0,∴m 2=-m +1,∴m 3=m (-m +1)=-m 2+m =m -1+m =2m -1∴m 3+2m 2+2020=2m -1+2(-m +1)+2020=2m -1-2m +2+2020=2021.故选:D .【点睛】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.27.9【分析】本题考查一元二次方程的解及代数式求值,解题关键是运用整体代入思想进行解题.先将m 代入方程得23m m +=,再将23m m +=代入()()2232m m m +--变形后的式子进行化简求值即可.【详解】解:根据题意得:23m m +=,Q 32226m m m +-+32226m m m m ++-=+()2226m m m m m ++-=+2326m m m +-=+26m m =++36=+9=.故答案为:9.28.121【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义,根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到2110a a --=,进而得到221111a a a a -=-=,,再把所求式子转化为()()22211a a a a a ---,据此整体代入求解即可.【详解】解:∵a 是关于x 的一元二次方程2110x x --=的一个根,∴2110a a --=,∴221111a a a a -=-=,,∴232112311a a a --+()()3221212aa a a --=-()()22211aa a a a --=-22aa a=-121=,故答案为:121.29.D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.根据第一天的票房及增长率,即可得出第二天票房约()51x +亿元、第三天票房约()251x +亿元,根据三天后票房收入累计达约20亿元,即可得出关于的一元二次方程,此题得解.【详解】解:Q 第一天票房约5亿元,增长率为x ,\第二天票房约()51x +亿元,第三天票房约()251x +亿元.依题意得:()()25515120x x ++++=.故选:D .30.C【分析】此题考查了一元二次方程的应用,设这款文创产品每件降价x 元,根据题意列出方程即可,根据题意列出方程是解题的关键.【详解】解:设这款文创产品每件降价x 元,根据题意可列方程为:()()30100103640x x -+=,故选:C .31.B【分析】本题考查了一元二次方程的应用,正确理解题意、找准相等关系是解题的关键.每一支队伍都要和另外的()1n -支队伍进行比赛,于是比赛总场数=每支队的比赛场数´参赛队伍¸重复的场数,即可解答.【详解】解:共有n 支队伍参加比赛,根据题意,可列方程为1(1)62n n -=;故选:B .32.C【分析】本题考查了数的表示方法,要会利用未知数表示两位数,然后根据题意列出对应的方程求解.根据个位数与十位数的关系,可知十位数为4x +,那么这两位数为:()104x x ++,这两个数的平方和为:()224x x ++,再根据两数的值相差4即可得出答案.【详解】解:依题意得:十位数字为:4x +,这个数为:()104x x ++这两个数的平方和为:()224x x ++,Q 两数相差4,()()2241044x x x x \++=++-.故选:C .33.D【分析】设1t x =+,即()()2115a x b x +++=-可改写为250at bt ++=,由题意关于x 的一元二次方程()2500ax bx a ++=¹有一根为2022x =,即250at bt ++=有一个根为2022t =,所以12022x +=,x =2021.【详解】由()()2115a x b x +++=-得到()()21150a x b x ++++=,对于一元二次方程()()2115a x b x +++=-,设1t x =+,所以250at bt ++=,而关于x 的一元二次方程()2500ax bx a ++=¹有一根为2022x =,所以250at bt ++=有一个根为2022t =,则12022x +=,解得2021x =,所以一元二次方程()()2115a x b x +++=-有一根为2021x =.故选:D .【点睛】本题考查一元二次方程的解.掌握换元法解题是解答本题的关键.34.D【分析】对于一元二次方程()()21120a x b x -+-+=,设1t x =-得到220at bt ++=,利用220at bt ++=有一个根为2021t =得到12021x -=,从而可判断一元二次方程()()2112a x b x -+-=-必有一根为2022x =.【详解】解:∵()212a x bx b -+-=-,∴()()21120a x b x -+-+=,设1t x =-,∴220at bt ++=,而关于x 的一元二次方程()2200ax bx a ++=¹有一根为2021x =,∴220at bt ++=有一个根为2021t =,则12021x -=,解得2022x =,∴一元二次方程()212a x bx b -+-=-必有一根为2022x =.故选:D .【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.35.x 1=3,x 2=-8【分析】将方程a (x+m+2)2+b=0变形为a (x+2+m )2+b=0,对照已知方程及其根得出x+2=5或x+2=-6,解之可得答案.【详解】解:∵关于x 的方程a (x+m )2+b=0的根是x 1=5,x 2=-6,∴关于x 的方程a (x+m+2)2+b=0,即a[(x+ 2)+ m]2+b=0,∴a[(x+ 2)+ m]2+b=0满足x+2=5或x+2=-6,解得x 1=3,x 2=-8,故答案为:x 1=3,x 2=-8【点睛】此题主要考查了方程解的定义以及直接开方法求解,注意由两个方程的特点,运用整体思想进行简便计算.36.121,2x x =-=【分析】本题考查同解方程,涉及换元法,令3x y +=,由题意得到2()k y h m-=的解为122,5y y ==,解方程即可得到答案,读懂题意,由同解方程求解是解决问题的关键.【详解】解:Q 关于x 的一元二次方程2()0m x h k --=(,,m h k 均为常数,且0m ¹)的解是122,5x x ==,即2()k x h m-=的解为122,5x x ==;令3x y +=,\关于x 的一元二次方程2(3)m x h k -+=化为2()m y h k -=,Q 2()k x h m -=的解为122,5x x ==,\2()k y h m-=的解为122,5y y ==,即32x +=或35x +=,121,2x x \=-=,\关于x 的一元二次方程()23m x h k -+=的解是121,2x x =-=,故答案为:121,2x x =-=.37.(1)2m =-(2)2m ¹±【详解】解:(1)由题意,得240,20,m m ì-=í-¹î解得2m =-.(2)由题意,得240m -¹,∴2m ¹±.38.C【分析】根据一元二次方程及一元一次方程的定义解答即可.【详解】关于x 的方程ax 2+bx+c=0,①若a≠0,则方程必是一元二次方程,正确;②若a=0,b≠0,则方程是一元一次方程,错误;故选C【点睛】本题考查了一元二次方程与一元一次方程的定义,熟记定义是解题的关键.39.(1)存在,0m =时=1x -;1m =-时13x =-(2)存在,1m =【分析】(1)根据一元一次方程的定义,分情况求解即可;(2)根据一元二次方程的定义,列出式子,求解即可.【详解】(1)解:存在,由题可知11m +=或10m +=或10m +=时方程能为一元一次方程,当11m +=时,解得0m =,此时程为10x --=,解得=1x -;当10m +=时,解得1m =-,此时方程为310x --=,解得13x =-.当10m+=时,方程无解;(2)存在.根据一元二次方程的定义可得1210mmì+=í+¹î,解得1m=.【点睛】此题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义,解题的关键是熟练掌握一元二次方程和一元一次方程的定义,只含有一个未知数并且未知数的次数为1的整式方程为一元一次方程,只含有一个未知数并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程.40.(1) k=12;(2)﹣1≤k<12或12<k≤2.【详解】试题分析:(1)因为方程为一元一次方程,所以二次项系数等于0且一次项系数不等于0,令二次项系数1-2k=0求出k的值即可;(2)令△≥0,二次项系数不等于0,被开方式大于等于0进行解答即可.试题解析:(1)由(1﹣2k)x2﹣x﹣1=0是一元一次方程,得1﹣2k=0,解得k=12;(2)由(1﹣2k)x2﹣x﹣1=0为一元二次方程,且有实数根,得△=)2﹣4(1﹣2k)×(﹣1)≥0,且1﹣2k≠0,k+1≥0,4k+4+4(1﹣2k)≥0,﹣4k≥﹣8,k≤2,即﹣1≤k<12或12<k≤2,此方程为一元二次方程,且有实数根,k的取值范围﹣1≤k<12或12<k≤2.点睛:本题考查了一元二次方程,二次项的系数为零且一次项的系数不为零是一元一次方程,二次项系数不等于零是一元二次方程,根的判别式大于或等于零时方程有实数根.。

一元二次方程的解法【十大题型】(学生版)--九年级数学

一元二次方程的解法【十大题型】(学生版)--九年级数学

一元二次方程的解法【十大题型】【题型1直接开平方法解一元二次方程】【题型2配方法解一元二次方程】【题型3公式法解一元二次方程】【题型4因式分解法解一元二次方程】【题型5十字相乘法解一元二次方程】【题型6用适当方法解一元二次方程】【题型7用指定方法解一元二次方程】【题型8用换元法解一元二次方程】【题型9解含绝对值的一元二次方程】【题型10配方法的应用】知识点1:直接开平方法解一元二次方程根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法,叫做直接开平方法.直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式;②直接开平方化为两个一元一次方程;③解两个一元一次方程得到原方程的解.【题型1直接开平方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·广东深圳·期中)将方程(2x-1)2=9的两边同时开平方,得2x-1=,即2x-1=或2x-1=,所以x1=,x2=.2(23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习)用直接开平方解下列一元二次方程,其中无解的方程为()A.x2+9=0B.-2x2=0C.x2-3=0D.(x-2)2=03(23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习)如果关于x的一元二次方程x-52=m-7可以用直接开平方求解,则m的取值范围是.4(23-24九年级上·河南南阳·阶段练习)小明在解一元二次方程时,发现有这样一种解法:如:解方程x x +4 =6.解:原方程可变形,得:x +2 -2 x +2 +2 =6.x +2 2-22=6,x +2 2=10.直接开平方并整理,得.x 1=-2+10,x 2=-2-10.我们称小明这种解法为“平均数法”(1)下面是小明用“平均数法”解方程x +5 x +9 =5时写的解题过程.解:原方程可变形,得:x +a -b x +a +b =5.x +a 2-b 2=5,∴x +a 2=5+b 2.直接开平方并整理,得.x 1=c ,x 2=d .上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为______,______,______,______.(2)请用“平均数法”解方程:x -5 x +7 =12.知识点2配方法解一元二次方程将一元二次方程配成(x +m )2=n 的形式,再用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法.用配方法解一元二次方程的步骤:①把原方程化为ax 2+bx +c =0(a ≠0)的形式;②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边;③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数;⑤如果右边是非负数,就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解,如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解.【题型2配方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·广东深圳·期中)用配方法解方程,补全解答过程.3x 2-52=12x .2(23-24九年级下·广西百色·期中)用配方法解方程x 2-6x -1=0时,配方结果正确的是()A.x -3 2=9B.x -3 2=10C.x +3 2=8D.x -3 2=83(24-25九年级上·全国·假期作业)用配方法解方程:x 2+2mx -m 2=0.4(2024·贵州黔东南·一模)下面是小明用配方法解一元二次方程2x2+4x-8=0的过程,请认真阅读并完成相应的任务.解:移项,得2x2+4x=8第一步二次项系数化为1,得x2+2x=4第二步配方,得x+22=8第三步由此可得x+2=±22第四步所以,x1=-2+22,x2=-2-22第五步①小明同学的解答过程,从第步开始出现错误;②请写出你认为正确的解答过程.知识点3公式法解一元二次方程当b2-4ac≥0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方,其实数根可写为x=-b±b2-4ac2a的形式,这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式,把各项系数的值直接代入这个公式,这种解一元二次方程的方法叫做公式法.【题型3公式法解一元二次方程】1(23-24九年级上·山西大同·阶段练习)用公式法解关于x的一元二次方程,得x= -6±62-4×4×12×4,则该一元二次方程是.2(23-24九年级上·广东深圳·期中)用公式法解一元二次方程:x-23x-5=0.3(23-24九年级上·河南三门峡·期中)用公式法解方程-ax2+bx-c=0 (a≠0),下列代入公式正确的是()A.x=-b±b2-4a×(-c)2×(-a)B.x=b±b2-4ac2aC.x=b±b2-4a×(-c)2×(-a)D.x=-b±b2-4ac2a4(23-24九年级上·广东深圳·期中)用求根公式法解得某方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根互为相反数,则()A.b=0B.c=0C.b2-4ac=0D.b+c=0知识点4因式分解法解一元二次方程当一个一元二次方程的一边是0,另一边能分解为两个一次因式的乘积时,就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程,这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.【题型4因式分解法解一元二次方程】1(23-24九年级下·安徽亳州·期中)关于x的一元二次方程x x-2=2-x的根是()A.-1B.0C.1和2D.-1和22(23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习)以下是某同学解方程x2-3x=-2x+6的过程:解:方程两边因式分解,得x x-3=-2x-3,①方程两边同除以x-3,得x=-2,②∴原方程的解为x=-2.③(1)上面的运算过程第______步出现了错误.(2)请你写出正确的解答过程.3(23-24九年级下·安徽安庆·期中)对于实数m,n,定义运算“※”:m※n=m2-2n,例如:2※3=22 -2×3=-2.若x※5x=0,则方程的根为()A.都为10B.都为0C.0或10D.5或-54(13-14九年级·浙江·课后作业)利用因式分解求解方程(1)4y2=3y;(2)(2x+3)(2x-3)-x(2x+3)=0.【题型5十字相乘法解一元二次方程】1(23-24九年级下·广西百色·期中)以下是解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一种方法:二次项的系数a分解成a1a2,常数项c分解成c1c2,并且把a1,a2,c1,c2排列为:然后按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若此时满足a1c2+a2c1=b,那么ax2+bx+c=0(a≠0)就可以因式分解为(a1x +c1)(a2x+c2)=0,这种方法叫做“十字相乘法”.那么6x2-11x-10=0按照“十字相乘法”可因式分解为()A.(x-2)(6x+5)=0B.(2x+2)(3x-5)=0C.(x-5)(6x+2)=0D.(2x-5)(3x+2)=02(23-24九年级上·江西上饶·期末)试用十字相乘法解下列方程(1)x2+5x+4=0;(2)x2+3x-10=0.3(23-24九年级下·广西梧州·期中)解关于x的方程x2-7mx+12m2=0得()A.x1=-3m,x2=4mB.x1=3m,x2=4mC.x1=-3m,x2=-4mD.x1=3m,x2=-4m4(23-24九年级下·重庆·期中)阅读下面材料:材料一:分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形,“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积,具体做法如下:对关于x,y的二次三项式ax2+bxy+cy2,如图1,将x2项系数a=a1⋅a2,作为第一列,y2项系数c=c1⋅c2,作为第二列,若a1c2+a2c1恰好等于xy项的系数b,那么ax2+bxy+cy2可直接分解因式为:ax2+bxy+cy2=a1x+c1ya2x+c2y示例1:分解因式:x2+5xy+6y2解:如图2,其中1=1×1,6=2×3,而5=1×3+1×2;∴x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y);示例2:分解因式:x2-4xy-12y2.解:如图3,其中1=1×1,-12=-6×2,而-4=1×2+1×(-6);∴x2-4xy-12y2=(x-6y)(x+2y);材料二:关于x,y的二次多项式ax2+bxy+cy2+d x+ey+f也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积.如图4,将a=a1a2作为一列,c=c1c2作为第二列,f=f1f2作为第三列,若a1c2+a2c1=b,a1f2+a2f1=d,c1f2+c2f1=e,即第1、2列,第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则,则原式分解因式的结果为:ax2+bxy+cy2+d x+ey+f=a1x+c1y+f1;a2x+c2y+f2示例3:分解因式:x2-4xy+3y2-2x+8y-3.解:如图5,其中1=1×1,3=(-1)×(-3),-3=(-3)×1;满足-4=1×(-3)+1×(-1),-2=1×(-3)+1×1,8=(-3)×(-3)+(-1)×1;∴x2-4xy+3y2-2x+8y-3=(x-y-3)(x-3y+1)请根据上述材料,完成下列问题:(1)分解因式:x2+3x+2=;x2-5xy+6y2+x+2y-20=;(2)若x,y,m均为整数,且关于x,y的二次多项式x2+xy-6y2-2x+my-120可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积,求出m的值,并求出关于x,y的方程x2+xy-6y2-2x+my-120=-1的整数解.【题型6用适当方法解一元二次方程】1(23-24九年级上·江苏宿迁·期末)用适当的方法解下列方程:(1)x2=4x;(2)x-32-4=0;(3)2x2-4x-5=0;(4)x-1.=2x+2x+22(23-24九年级上·山西太原·期中)用适当的方法解下列一元二次方程:(1)x2+4x-2=0;(2)x x+3=5x+15.3(23-24九年级下·山东泰安·期末)用适当的方法解下列方程(1)3x2=54;(2)x+1=1;3x-1(3)4x2x+1;=32x+1(4)x2+6x=10.4(23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末)用适当的方法解下列方程.(1)(x+2)2-25=0;(2)x2+4x-5=0;(3)2x2-3x+1=0.【题型7用指定方法解一元二次方程】1(23-24九年级下·山东日照·期末)用指定的方法解下列方程:(1)4(x-1)2-36=0(直接开方法)(2)x2+2x-3=0(配方法)(3)(x+1)(x-2)=4(公式法)(4)2(x+1)-x(x+1)=0(因式分解法)2(23-24九年级下·山东烟台·期中)用指定的方法解方程:(1)x2-4x-1=0(用配方法)(2)3x2-11x=-9(用公式法)(3)5x-32=x2-9(用因式分解法)(4)2y2+4y=y+2(用适当的方法)3(23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中)用指定的方法解方程:x2-2x-5=0(用配方法)(1)12(2)x2=8x+20(用公式法)(3)x-3=0(用因式分解法)2+4x x-3(4)x+2=10(用适当的方法)3x-14(23-24九年级上·河北邯郸·期中)按指定的方法解下列方程:(1)x2=8x+9(配方法);(2)2y2+7y+3=0(公式法);(3)x+22=3x+6(因式分解法).【题型8用换元法解一元二次方程】1(23-24九年级下·浙江杭州·期中)已知a2+b2-15=0,求a2+b2的值.a2+b2+22(23-24九年级下·安徽合肥·期中)关于x的方程x2+x2+2x2+2x-3=0,则x2+x的值是()A.-3B.1C.-3或1D.3或-13(23-24九年级上·广东江门·期中)若a+5b=7,则a+5b=.a+5b+64(23-24九年级上·山东临沂·期中)利用换元法解下列方程:(1)2x4-3x2-2=0;(2)(x2-x)2-5(x2-x)+4=0.【题型9解含绝对值的一元二次方程】1(23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习)阅读下面的材料,解答问题.材料:解含绝对值的方程:x2-3|x|-10=0.解:分两种情况:①当x≥0时,原方程化为x2-3x-10=0解得x1=5,x2=-2(舍去);②当x<0时,原方程化为x2+3x-10=0,解得x3=-5,x4=2(舍去).综上所述,原方程的解是x1=5,x2=-5.请参照上述方法解方程x2-|x+1|-1=0.2(23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中)解方程x2+2|x+2|-4=0.3(23-24九年级下·安徽滁州·阶段练习)解方程x2-22x+3+9=0.4(23-24九年级上·山西太原·阶段练习)解方程x2-|x-5|-2=0【题型10配方法的应用】1(23-24九年级上·河北沧州·期中)【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法,这种方法常被用到代数式的变形中,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值,最小值等.例:求代数式y2+4y+8的最小值.2(2023·河北石家庄·一模)已知A=x2+6x+n2,B=2x2+4x+n2,下列结论正确的是()A.B-A的最大值是0B.B-A的最小值是-1C.当B=2A时,x为正数D.当B=2A时,x为负数3(23-24九年级上·四川攀枝花·期中)已知三角形的三条边为a,b,c,且满足a2-10a+b2-16b+89= 0,则这个三角形的最大边c的取值范围是()A.c>8B.5<c<8C.8<c<13D.5<c<134(23-24九年级下·浙江宁波·期中)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程,其实配方法还有其他重要应用.例如:已知x可取任何实数,试求二次三项式x2+2x+3的最小值.解:x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2;∵无论x取何实数,都有(x+1)2≥0,∴(x+1)2+2≥2,即x2+2x+3的最小值为2.【尝试应用】(1)请直接写出2x2+4x+10的最小值______;【拓展应用】(2)试说明:无论x取何实数,二次根式x2+x+2都有意义;【创新应用】(3)如图,在四边形ABCD中,AC⊥BD,若AC+BD=10,求四边形ABCD的面积最大值.。

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考点一:一元二次方程的定义
1)方程(m +2)X |m|+3mx +1=0是关于X 的一元二次方程,求m 的值是 。

2)判断方程X (X +10)=X 2-3是否是一元二次方程?(想想,判断的依据是什么?)
归纳:含有 个未知数,并且含未知数的项 易错点:化简变成一般式后,二次项的系数 考点二:一元二次方程的解法
1(2010四川眉山)一元二次方程3(x +1)2-27=0的解为___________________.
归纳:方程可化为一边是 ____________________,另一边是____________,那么就可以用直接开平方法来求解.
2.(2010四川内江)方程x (x -1)=x -1的解是_________
解法一(因式分解法) 方法二:(公式法)
因式分解法
解题步骤:(1)把方程右边化为0
(2)将方程左边因式分解
(3)令左边的每个因式为0,得到两个一元一次方程
(4)解出两个一次方程的两根
3.(2010江苏无锡)用指定的方法解方程:22310x x -+=
解法一(配方法) 解法二(公式法)
①方程两边同时除以2得__________
②移项得__________________
③配方得__________________
④方程两边开方得__________________
⑤x 1=__________,x 2=__________
(请记住配方法步骤) 请记住公式法解题格式
考点三:一元二次方程根的判别式
1(2012•河池)一元二次方程x 2+2x+2=0的根的情况是( )
变式:一元二次方程x 2+2x+m=0有实数解,则m 的范围是
2写出一个一元二次方程,它有不同的两个实数根
3( 2011重庆江津)已知关于x 的一元二次方程(a -1)x 2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是(
)
A.a<2 B,a>2 C.a<2且a ≠1 D.a<-2·
4.(2013桂林)已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+a ﹣1=0有两根为x 1和x 2,且x 12﹣x 1x 2=0,则a 的值是( )
A .a=1
B .a=1或a=﹣2
C .a=2
D .a=1或a=2
归纳考点:一元二次方程根的情况与判别式的关系
(1)方程有两个不相等的实数根,则 (2)方程有两个相等的实数根,则
(3)方程没有实数根,则 4)一元二次方程有实数根,则
考点四 一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)
(2013泸州)10.设12,x x 是方程2330x x +-=的两个实数根,则211
2x x x x +的值为 A.5 B.-5 C.1 D.-1
(2013毕节)26.(本题14分)已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x .(1)求
实数m 的取值范围;(6分) (2)当22120x x -=时,求m 的值.(8分)
(2004•广东茂名)已知:关于x 的一元二次方程x 2—(2k+1)x + k 2-+ k =0;其中k 为实数.
(1)求证:不论k 取什么实数,方程都有两个不同的实根;
(2)设方程的两根为x 1,x 2,且满足1x = x ,2,求实数k 的值;
(2004•广东茂名)变式一:(2)已知△ABC 的两边是关于X 的方程x 2—(2k+1)x + k 2-+ k =0的两根,第三边长为5.当△ABC 是等腰三角形时,求K 的值。

B 组 附加题,培优同学完成
1、 (2011山东潍坊)关于x 的方程2210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是( )
A . k 为任何实数,方程都没有实数根
B . k 为任何实数,方程都有两个不相等的实数根
C . k 为任何实数,方程都有两个相等的实数根
D. 根据 k 的取值不同,方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
2.(2010,安徽芜湖)已知x 1、x 2是方程x 2+3x +1=0的两实数根,则x 13+8x 2+20=________.
2、(2011玉林)20、已知:12x x 、是一元二次方程2410x x -+=的两个实数根. 求:
2121211()(
)x x x x +÷+的值.
(2010广东中山)15.已知一元二次方程022=+-m x x 。

(1)若方程有两个实数根,求m 的范围;
(2)若方程的两个实数根为x 1,x 2,且3321=+x x ,求m 的值。

25、(2011湖北天门)若关于x 的一元二次方程0342=-+-k x x 的两个实数根为1x 、2x ,
且满足213x x =,试求出方程的两个实数根及k 的值.
24. (2010湖北孝感,22,10分)已知关于x 的方程x 2-2(k -1)x+k 2=0有两个实数根x 1,x 2.
(1)求k 的取值范围;(4分)
(2)若
12121x x x x +=-,求k 的值. (6分)
10、已知关于x 的方程()013222=++--k x k x 。

(1)当k 为何值时,此方程有实数根;
(2)若此方程的两实数根21,x x 满足:321=+x x ,求k 的值。

A 组:
A 组:从课本的做过练习中,自己选择计算题计算。

要求:直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法各两题。

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