2016-2017学年北京市怀柔区高一(上)期末数学试卷及答案

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2016-2017年北京市怀柔区高二(上)期末数学试卷(理科)及答案

2016-2017学年北京市怀柔区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）在空间，可以确定一个平面的条件是（）A．两条直线B．一点和一条直线C．三个点D．一个三角形2．（5分）直线x﹣y﹣1=0的倾斜角是（）A．B．C．D．3．（5分）已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（）A．9 B．7 C．5 D．34．（5分）在空间，下列命题正确的是（）A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行5．（5分）已知双曲线﹣=1的离心率为，则m=（）A．7 B．6 C．9 D．86．（5分）已知A（﹣2，0），B（2，0），动点P（x，y）满足，则动点P的轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．两条平行直线7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面积为（）A．8 B．16C．10 D．68．（5分）设点M（x 0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．（5分）原点到直线4x+3y﹣1=0的距离为．10．（5分）抛物线y2=2x的准线方程是．11．（5分）已知，，则=．12．（5分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是．13．（5分）大圆周长为4π的球的表面积为．14．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则堆放的米约有斛（结果精确到个位）．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC=2，G，F分别是AD，PB的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥PA；（Ⅱ）证明：GF⊥平面PBC．16．（13分）已知直线经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，并且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．（Ⅰ）求交点P的坐标；（Ⅱ）求直线的方程．17．（13分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是BB1和CD 的中点．（Ⅰ）求AE与A1F所成角的大小；（Ⅱ）求AE与平面ABCD所成角的正切值．18．（13分）已知直线l过点（2，1）和点（4，3）．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于（0，3）点，求圆C的方程．19．（14分）如图，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC=∠BAD=90°．F为PA中点，PD=，AB=AD=CD=1．四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N．（Ⅰ）求证：AC∥平面DEF；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣P的大小；（Ⅲ）在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为？若存在，求出Q点所在的位置；若不存在，请说明理由．20．（14分）已知圆O：x2+y2=1的切线l与椭圆C：x2+3y2=4相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）求证：OA⊥OB；（Ⅲ）求△OAB面积的最大值．2016-2017学年北京市怀柔区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）在空间，可以确定一个平面的条件是（）A．两条直线B．一点和一条直线C．三个点D．一个三角形【解答】解：在A中，两条相交线和两条平行线都能确定一个平面，但两条异面直线不能确定一个平面，故A错误；在B中，直线与直线外一点确定一个平面，若点在直线上，由不能确定一个平面，故B错误；在C中，不共线的三点确定一个平面，如果共点共线，不能确定一个平面，故C 错误；在D中，因为一个三角形的三个顶点不共线，所以一个三角形确定一个平面，故D正确．故选：D．2．（5分）直线x﹣y﹣1=0的倾斜角是（）A．B．C．D．【解答】解：直线y=x﹣1的斜率是1，所以倾斜角为．故选：B．3．（5分）已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（）A．9 B．7 C．5 D．3【解答】解：由椭圆，得a=5，则2a=10，且点P到椭圆一焦点的距离为3，由定义得点P到另一焦点的距离为2a﹣3=10﹣3=7．故选：B．4．（5分）在空间，下列命题正确的是（）A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行【解答】解：平行直线的平行投影重合，还可能平行，A错误．平行于同一直线的两个平面平行，两个平面可能相交，B错误．垂直于同一平面的两个平面平行，可能相交，C错误．故选：D．5．（5分）已知双曲线﹣=1的离心率为，则m=（）A．7 B．6 C．9 D．8【解答】解：双曲线的方程为：﹣=1，则其焦点在x轴上，且a==4，b=，则c==，若其离心率为，则有e===，解可得m=9；故选：C．6．（5分）已知A（﹣2，0），B（2，0），动点P（x，y）满足，则动点P的轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．两条平行直线【解答】解：∵动点P（x，y）满足=x2，∴（﹣2﹣x，y）•（2﹣x，y）=x2，∴点P的方程为y2=4即y=±2∴动点P的轨迹为两条平行的直线．故选：D．7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面积为（）A．8 B．16C．10 D．6【解答】解：由三视图知：此四棱锥为正四棱锥，底面边长为4，高为2，则四棱锥的斜高为=2，∴四棱锥的侧面积为S==16．故选：B．8．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．（5分）原点到直线4x+3y﹣1=0的距离为．【解答】解：由点到直线的距离公式可得，原点到直线4x+3y﹣1=0的距离d==，故答案为：．10．（5分）抛物线y2=2x的准线方程是．【解答】解：抛物线y2=2x，∴p=1，∴准线方程是x=﹣故答案为：x=﹣．11．（5分）已知，，则=．【解答】解：∵，∴=﹣1+2，||==2，∴=1+2故答案为：1+212．（5分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是x﹣2y﹣1=0．【解答】解：直线x﹣2y﹣2=0的斜率是，所求直线的斜率是所以所求直线方程：y=（x﹣1），即x﹣2y﹣1=0故答案为：x﹣2y﹣1=013．（5分）大圆周长为4π的球的表面积为16π．【解答】解：设球的半径为R，则∵球大圆周长为4π∴2πR=4π，可得R=2因此球的表面积为S=4πR2=16π故答案为：16π14．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则堆放的米约有22斛（结果精确到个位）．【解答】解：设米堆所在圆锥的底面半径为r尺，则×2πr=8，解得：r=所以米堆的体积为V=××πr2×5≈35.56，所以米堆的斛数是≈22，故答案为22．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC=2，G，F分别是AD，PB的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥PA；（Ⅱ）证明：GF⊥平面PBC．【解答】证明：（I）以D为原点建立空间直角坐标系则A（2，0，0）B（2，2，0）C（0，2，0）P（0，0，2）F（1，1，1）=（2，0，﹣2），=（0，2，0），∴•=0，∴⊥，∴PA⊥CD；（Ⅱ）设G（1，0，0）则=（0，﹣1，﹣1），=（2，0，0），=（0，2，﹣2）∴•=0，•=0，∴FG⊥CB，FG⊥PC，∵CB∩PC=C，∴GF⊥平面PCB．16．（13分）已知直线经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，并且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．（Ⅰ）求交点P的坐标；（Ⅱ）求直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）由得所以P（﹣2，2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）因为直线与直线x﹣2y﹣1=0垂直，所以k l=﹣2，所以直线的方程为2x+y+2=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）17．（13分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是BB1和CD 的中点．（Ⅰ）求AE与A1F所成角的大小；（Ⅱ）求AE与平面ABCD所成角的正切值．【解答】解：（Ⅰ）如图，建立坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），E（1，0，），A1（0，0，1），F（，1，0）=（1，0，），=（，1，﹣1）∴=0，所以AE与A1F所成角为90°﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，∴BB1⊥平面ABCD∴∠EAB就是AE与平面ABCD所成角，又E是BB1中点，在直角三角形EBA中，tan∠EAB=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）18．（13分）已知直线l过点（2，1）和点（4，3）．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于（0，3）点，求圆C的方程．【解答】解：（Ⅰ）由两点式，可得，即x﹣y﹣1=0；（Ⅱ）∵圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于（0，3）点，∴圆心的纵坐标为3，∴横坐标为﹣2，半径为2∴圆C的方程为（x+2）2+（y﹣3）2=4．19．（14分）如图，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC=∠BAD=90°．F为PA中点，PD=，AB=AD=CD=1．四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N．（Ⅰ）求证：AC∥平面DEF；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣P的大小；（Ⅲ）在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为？若存在，求出Q点所在的位置；若不存在，请说明理由．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）连接FN，在△PAC中，F，N分别为PA，PC的中点，所以FN∥AC，因为FN⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，AC⊄平面DEF，所以AC∥平面DEF．（5分）解：（Ⅱ）如图，以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则P（0，0，），B（1，1，0），C（0，2，0），∴，=（﹣1，1，0），设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，），因为平面ABC的法向量=（0，0，1），所以cos＜＞==，由图可知二面角A﹣BC﹣P为锐二面角，所以二面角A﹣BC﹣P的大小为．（10分）（Ⅲ）设存在点Q满足条件，且Q点与E点重合．由F（），E（0，2，），设=（0≤λ≤1），整理得Q（，2λ，），=（﹣，2λ﹣1，），因为直线BQ与平面BCP所成角的大小为，所以sin=|cos＜＞|=||==，则λ2=1，由0≤λ≤1，知λ=1，即Q点与E点重合．（14分）20．（14分）已知圆O：x2+y2=1的切线l与椭圆C：x2+3y2=4相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）求证：OA⊥OB；（Ⅲ）求△OAB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知a2=4，，即有．则．故椭圆C的离心率为；（Ⅱ）证明：若切线l的斜率不存在，则l：x=±1．在中，令x=1得y=±1．不妨设A（1，1），B（1，﹣1），则．可得OA⊥OB；同理，当l：x=﹣1时，也有OA⊥OB．若切线l的斜率存在，设l：y=kx+m，依题意，即k2+1=m2．由，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣4=0．显然△＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．所以．所以=====．所以OA⊥OB．综上所述，总有OA⊥OB成立．（Ⅲ）因为直线AB与圆O相切，则圆O半径即为△OAB的高．=1．当l的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知|AB|=2．则S△OAB当l的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，====．所以=，（当且仅当时，等号成立）．所以．此时，．综上所述，当且仅当时，△OAB面积的最大值为．。

北京101中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案

北京101中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题：本大题共8小题，共40分.1. 设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()U N C M = （）A. {}1B. {}3,5C. {}1,3,4,5D. {}1,2,3,5,62. 已知平面直角坐标系内的点()1,1A ，()2,4B ，()1,3C -，则AB AC -=( )A. 8 D.10 3. 已知1sin cos 5αα+=-，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α的值是（） A. 34-B. 43C. 34D.43- 4. 已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象（）A. 向左平移8π个单位长度 B. 向右平移8π个单位长度 C. 向左平移4π个单位长度 D. 向右平移4π个单位长度5. 已知a 与b 是非零向量且满足()3a b a -⊥ ，()4a b b -⊥，则a 与b 的夹角是（）A.6π B. 3π C. 23π D. 56π 6. 已知,,,E F G H 分别是四边形ABCD 的所在边的中点，若()()0AB BC BC CD +⋅+=，则四边形EFGH 是（）Ａ．平行四边形但不是矩形Ｂ．正方形Ｃ．菱形Ｄ．矩形 7. 设偶函数()log a f x x b =-在(),0-∞是递增函数，则()1f a +与()2f b +的大小关系是（）Ａ．()()12f a f b +=+ Ｂ．()()12f a f b +<+Ｃ．()()12f a f b +>+ Ｄ．不确定8. 已知O 为平面内一点，,,A B C 是平面内不共线的三点，且()12OP OB OC =++cos cos AB AC AB B AC C λ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭，()0,λ∈+∞，则动点P 的轨迹一定过ABC ∆的（）Ａ．内心Ｂ．垂心Ｃ．重心Ｄ．外心二、填空题：本大题共6小题，共30分9. 若()3f x x =，则满足()1f x <的x 的取值范围是___________.10. 若函数()234f x x x =-+在[]1,3x ∈-上的最大值和最小值分别为,a b ，则a b +=___11. 已知向量()2,1a = ，()1,2b =- ，若()9,8ma nb +=-，则m n -的值为_________.12. 若tan 3θ=，则222sin sin cos cos θθθθ--=_________.13. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点，若BE BA BD λμ=+(),R λμ∈，则________.λμ+=BD14. 已知点O 为三角形ABC 内一点，230OA OB OC ++= ，则ABC AOCSS ∆∆=__________.三、解答题：本大题共5小题，共50分.15. 设全集U R =，集合{}13A x x =-≤<，{}242B x x x =-≥-. （1）求()U C A B ；（2）若集合{}0C x x a =->，满足B C C = ，求实数a 的取值范围.16. 求值：()()()tan150cos 210sin 420sin1050cos 600︒-︒-︒︒-︒17. 已知()1,2a = ，()1,1b =，且a 与a b λ+ 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.18. 设函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，πϕπ-<≤）在6x π=处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为2π. （1）求()f x 的解析式；（2）求函数()4226cos sin 1226x x g x x f π--=⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域.19. 设函数()424xxf x =+ （1）用定义证明：函数()f x 是R 上的增函数；（2）证明：对任意的实数t 都有()()11f t f t +-=；（3）求值：1232015...2016201620162016f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.北京101中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试卷参考答案一、选择题：本大题共8小题，共40分.二、填空题：本大题共6小题，共30分9. (),1-∞ 10.39411. 3- 12. 7513.34 14. 72三、解答题：本大题共5小题，共50分.15. 解：（1）依题意知：集合{}13A x x =-≤<，{}2B x x =≥（解不等式242x x -≥-可得：2x ≥）故{}23A B x x =≤<又U R = 从而(){}23U C A B x x x ⋂=<≥或（2）易知集合{}{}0C x x a x x a =->=> 由B C C = 可得：B C ⊆ 故有2a <即所求实数a 的取值范围是(),2-∞16. 解：由诱导公式可得：()tan150tan 18030tan 303︒=︒-︒=-︒=-()()cos 210cos 210cos 18030cos30-︒=︒=︒+︒=-︒= ()()sin 420sin 420sin 36060sin 60-︒=-︒=-︒+︒=-︒= ()1sin1050sin 336030sin 302︒=⨯︒-︒=-︒=-()()1cos 600cos 600cos 318060cos 602-︒=︒=⨯︒+︒=-︒=-故原式4111422⎛ ⎝⎭⎝⎭===⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭17. 解：根据向量的坐标运算可得：()1,2a b λλλ+=++由a 与a b λ+ 的夹角为锐角可得：()0a a b λ⋅+>而()1,2a =，故有()()1++22+=3+50λλλ>从而可得：53λ>-即所求实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭18. 解：（1）由题意可得：()max 2f x A ==，22T T ππ=⇒= 于是222T ππωπ=== 故()()2sin 2f x x ϕ=+ 由()f x 在6x π=处取得最大值2可得：222626k k πππϕπϕπ⨯+=+⇒=+()k Z ∈又πϕπ-<< 故6πϕ=因此()f x 的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）由（1）可得：2sin 22sin 2cos 262662x x f x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故()()()4226cos 1cos 12cos 2x x g x x ---=-4226cos cos 24cos 2x x x +-=- ()()()2223cos 22cos 122cos 1x x x +-=-23cos 22x +=23cos 12x =+ 21cos 2x ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭ 令2cos t x =，可知01t ≤≤且12t ≠ 即211cos 0,,122x ⎡⎫⎛⎤∈⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦从而()7751,,442g x ⎡⎫⎛⎤∈⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦因此，函数()g x 的值域为7751,,442⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦19. 解：（1）证明：在定义域R 上任取两个自变量值12,x x 且12x x <()()()()()()()()()122112121212121242442424444242424242424x x x x x x x x x x x x x x f x f x +-+--=-==++++++ 由12x x <可得：12440xx-<从而()()120f x f x -< 即()()12f x f x <根据函数单调性的定义可得：函数()f x 在R 上为增函数.（2）证明：因为()()114412424t tt tf t f t --+-=+++ ()()()()1114244242424t t t t tt---+++=++()()112448142444tt tt--++==+++ 故对任意的实数t 都有()()11f t f t +-= （3）由（2）可得：12015120162016f f ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22014120162016f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32013120162016f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，...... ，20151120162016f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1232015...2016201620162016f f f f M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 则2015201420131...2016201620162016f f f f M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭上下等式左右两边分别相加可得：201512M ⨯= 故可得：20152M = 因此，12320152015...20162016201620162f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

2022-2023学年北京市怀柔区高一上册期末考试数学试卷(含答案)

2022-2023学年北京市怀柔区高一上册期末考试数学试卷（含答案）注意事项：1．本试卷分第一部分选择题和第二部分非选择题两部分，共四页，满分150分，考试时间120分钟．2．试题所有答案必须书写在答题卡的对应位置．在试卷上作答无效．3．考试结束后，考生应及时上传答案．第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10道小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}0,1,2,3,4,5,6A =，集合{}1,0,1,2,3B =-，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{}1,0,1,2,3,4,5,6- B.{}1,2,3 C.{}0,1,2,3 D.{}4,5,62.若命题P ：“(0,)x ∃∈+∞，ln 1x ≥”，则P ⌝为（）A.(],0x ∃∈-∞，ln 1x ≥ B.()0,x ∃∈+∞，ln 1x <C.()0,x ∀∈+∞，ln 1x ≤ D.()0,x ∀∈+∞，ln 1x <3.下列函数既是奇函数又在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.()()2log 1f x x =+C.()3f x x= D.()21f x x =+4.已知a ，b ，R c ∈，且a b >，则下列不等式一定成立的是（）A.a b> B.a c b c->- C.11a b< D.22a cbc ⋅>⋅5.设0.32=a ，30.2b =，0.2log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c<< B.b c a<< C.c a b<< D.c b a<<6.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x >时，()2log f x x =，则()4f -的值是（）A.2B.2- C.12-D.127.某直播间从参与购物的人群中随机选出200人,并将这200人按年龄分组,得到的频率分布直方图如图所示,则在这200人中年龄在[)25,35的人数n 及直方图中a 值是（）A.35n =,0.032a =B.35n =,0.32a =C.30n =,0.035a = D.30n =,0.35a =8.已知R a ∈，p ：方程210x ax ++=有实数解，q ：23a <<，则p 是q 的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分不必要条件9.溶液酸碱度是通过PH 计量的．PH 的计算公式为lg PH H +⎡⎤=-⎣⎦，其中H +⎡⎤⎣⎦表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．已知某品牌苏打水中氢离子的浓度为9510H -+⎡⎤=⨯⎣⎦摩尔/升，计算这种苏打水的PH 值．（精确到0.001）（参考数据：lg 20.301≈）（）A.8.699B.8.301C.7.699D.6.60210.已知()2f x -是偶函数，函数()f x 对任意(]12,,2x x ∈-∞-，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，且()00f =，则()0f x >的解集是（）A.()(),22,∞∞--⋃+ B.()2,2- C.()(),40,-∞-+∞ D.()4,0-第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共5道小题，每小题5分，共25分．11.函数()()2log 1f x x =-的定义域为_________.12.某学校高一有280名学生，高二有200名学生，高三有120名学生，用分层抽样的方法从中抽取60名学生对课后辅导的满意度进行调查，则从高一学生中应抽取______人．13.已知1x >-，则41x x ++的最小值为___________.14.已知函数()3xf x =，则下列命题正确的有______．（写出所有正确命题的编号）①对于任意1x ，2R x ∈，都有()()()1212f x x f x f x ⋅=+成立；②对于任意1x ，2R x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x y x x x -∆=>∆-成立③对于任意1x ，2R x ∈，且12x x ≠，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭成立；④存在实数a ，使得对于任意实数x ，都有()()f x a f a x +=-成立．15.已知函数()()21,2,ax x af x x x a-+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，当1a =时，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦______；若函数()()g x f x a =-有三个零点，则实数a 的取值范围是______．三、解答题：共6道小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知集合{}220A x x x =--≤，{}B x x a =≥．（1）当1a =时，求R B ð，A B ⋂，A B ⋃；（2）若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围．17.为了庆祝神舟十四号成功返航，学校开展“航天知识”竞赛活动，甲乙两个班级的代表队同时回答一道有关航天知识的问题，甲队答对此题的概率是34，乙队答对此题的概率是23，假设每队答题正确与否是相互独立的．（1）求甲乙两队都答对此题的概率；（2）求甲乙两队至少有一队答对此题的概率．18.已知函数()()22,R f x x bx c b c =++∈（1）若不等式()0f x >的解集为()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ，求()f x 的最小值；（2）若()()24f f -=且()11f =-，求方程()0f x =两实根之差的绝对值．19.已知函数()af x x x=-，R a ∈，若()11f =-（1）求a 值；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并用定义给出证明；（3）用定义证明()f x 在区间()0,∞+上单调递增．20.为了庆祝神舟十四号成功返航，学校开展了“航天知识”讲座，为了解讲座效果，从高一甲乙两班的学生中各随机抽取5名学生的测试成绩，这10名学生的测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示．（1）若x 甲，x 乙分别为甲、乙两班抽取的成绩的平均分，2S 甲，2S 乙分别为甲、乙两班抽取的成绩的方差，则x 甲______x 乙，2S 甲______2S 乙．（填“>”或“<”）（2）若成绩在85分（含85分）以上为优秀，（ⅰ）从甲班所抽取的5名学生中任取2名学生，则恰有1人成绩优秀的概率；（ⅱ）从甲、乙两班所抽取的成绩优秀学生中各取1人，则甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的概率．21.已知函数()221x x a bf x ⋅+=+是定义域为R 的奇函数，且()113f =（1）求实数a 和b 的值；并判断()f x 在R 上单调性；（不用写出单调性证明过程）（2）若关于x 的不等式()()2110f m x f mx m ⎡⎤+++-≥⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围；（3）对于任意的[]11,3x ∈，存在[]21,3x ∈，使()()21log 2n x f x +≤成立，求实数n 的取值范围．参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10道小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】C 【解析】【分析】题中阴影部分表示的集合为A B ⋂，求解即可.【详解】因为集合{}0,1,2,3,4,5,6A =，集合{}1,0,1,2,3B =-，而题中阴影部分表示的集合为A B ⋂，则{}0,1,2,3A B = .故选：C .2.【答案】D 【解析】【分析】利用存在量词命题的否定，直接写出P ⌝作答.【详解】命题P ：“(0,)x ∃∈+∞，ln 1x ≥”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以P ⌝为：()0,x ∀∈+∞，ln 1x <.故选：D 3.【答案】C 【解析】【分析】利用奇函数的定义、由解析式直接判断单调性，逐项分析判断作答.【详解】对于A ，函数()1(2x f x =定义域为R ，且在R 上单调递减，A 不是；对于B ，函数()()2log 1f x x =+定义域为(1,)-+∞，定义域关于数0不对称，即()()2log 1f x x =+不是奇函数，B 不是；对于C ，函数()3f x x =定义域为R ，且()3()()f x x f x -=-=-，即函数()3f x x =是奇函数，而函数()3f x x =在R 上单调递增，因此C 是；对于D ，函数()21f x x =+定义域为R ，而()2()1()f x x f x -=-+=，即函数()21f x x =+不是奇函数，D 不是.故选：C4.【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，举例说明判断A ，C ，D ；利用不等式的性质判断B 作答.【详解】a ，b ，R c ∈，且a b >，取1,2a b ==-，则有||12||a b =<=，11112a b=>-=，选项A ，C 都不正确；由不等式性质知，不等式a c b c ->-一定成立，B 正确；取0c =，则220a c b c ⋅==⋅，D 不正确.故选：B 5.【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数性质，再结合“媒介”数比较大小作答.【详解】0.30221a =>=，3000.20.21<<=，即01b <<，0.20.2log 5log 10c =<=，因此01c b a <<<<，即D 正确.故选：D 6.【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用偶函数的性质结合对数运算作答.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x >时，()2log f x x =，所以2(4)(4)log 42f f -===.故选：A 7.【答案】C 【解析】【分析】求出频率直方图中年龄在[)25,35的频率,根据频率即可求出人数,根据频率分布直方图中,小矩形面积和为1,列出等式解出a 即可.【详解】解:由图知,年龄在[)25,35的小矩形的面积为:0.015100.15⨯=,即年龄在[)25,35的频率为0.15,所以年龄在[)25,35的人数0.1520030n =⨯=,由频率分布直方图的小矩形面积和为1可得:0.01100.01510100.03100.01101a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,解得:0.035a =.故选:C 8.【答案】B 【解析】【分析】求出命题p 为真的a 的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】因为方程210x ax ++=有实数解，则有2Δ40a =-≥，解得2a ≤-或2a ≥，因此p ：2a ≤-或2a ≥，显然(2,3)[)2,∞+，即有命题q 成立，命题p 必成立，而命题p 成立，命题q 未必成立，所以p 是q 的必要而不充分条件.故选：B 9.【答案】B 【解析】【分析】直接利用所给公式计算求解即可．【详解】由题意得苏打水的PH 为lg pH H +⎡⎤=-⎣⎦9lg(510)-=-⨯9(lg 5lg10)-=-+10lg92=-+(lg10lg 2)9=--+lg 280.30188.301=+≈+=．故选：B 10.【答案】D 【解析】【分析】由已知条件得到()f x 的图象关于2x =-对称，从而可知()f x 在(],2-∞-上为增函数，在()2,-+∞上为减函数，且()40f -=，再画出折线图表示出函数()f x 的单调性，即可得到答案.【详解】因为()2f x -是偶函数，即()2f x -的图象关于y 对称.所以()f x 的图象关于2x =-对称.因为函数()f x 对任意(]12,,2x x ∈-∞-，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，所以()f x 在(],2-∞-上为增函数.又因为()f x 的图象关于2x =-对称，()00f =，所以()f x 在()2,-+∞为减函数，且()40f -=.用折线图表示函数()f x 的单调性，如图所示：由图知：()040f x x >⇒-<<.故选：D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共5道小题，每小题5分，共25分．11.【答案】()1,+∞【解析】【分析】根据对数函数的真数大于0，列出不等式求解集即可．【详解】对数函数f （x ）＝log 2（x ﹣1）中，x ﹣1＞0，解得x ＞1；∴f （x ）的定义域为（1，+∞）．故答案为（1，+∞）．【点睛】本题考查了求对数函数的定义域问题，是基础题．12.【答案】28【解析】【分析】由分层抽样的定义计算即可.【详解】由分层抽样的定义，高一学生中应抽取人数为2806028280200120´=++.故答案为：2813.【答案】3【解析】【分析】由1x >-可得10x +>，将41x x ++整理为4111++-+x x ，再利用基本不等式即可求解.【详解】因为1x >-，所以10x +>，所以441111x x x x +=++-++13≥=，当且仅当411x x +=+，即1x =时取等号，所以41x x ++的最小值为3，故答案为：3【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14.【答案】②③【解析】【分析】利用指数的运算性质，容易判断①不正确，结合指数函数的图像和性质，可判断②正确，④错误，利用基本不等式易证③成立.【详解】12121212()333()x x x x f x x f x x ⋅=≠+=+ ，∴①不正确.()3x f x = 单调递增，∴②正确.()()121212122333222x x x x f x f x x x f ++++⎛⎫=≥== ⎪⎝⎭Q 12x x ≠ ，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫∴>⎪⎝⎭，所以③正确.若对于任意实数x ，都有()()f x a f a x +=-成立，则()f x 关于x a =对称，显然④不正确.故答案为：②③15.【答案】①.1②.51,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】根据1a =得此时()()21,12,1x x f x x x -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，根据解析式先求()2f 得值，再求解()2f f -⎡⎤⎣⎦的值即可；函数()()g x f x a =-有三个零点，即()f x a =有三个根，结合函数解析式初步判断可得02a <<，画出函数图象，结合图象分析列不等式即可得实数a 的取值范围.【详解】解：当1a =时，()()21,12,1x x f x x x -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，所以()()2213f -=--+=，则()()()223321f f f ⎡⎤-==-=⎣⎦；若函数()()g x f x a =-有三个零点，即()f x a =有三个根，又()()21,2,ax x af x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，则()()22f x x a =-=在[),a +∞上有两个根，所以02a <<，()1f x ax a =-+=在(),a -∞上有一个根，如下图得此时()f x的大致图象：则根据()f x a =有三个根可得：()221202a a a a ⎧-+<≤-⎪⎨<<⎪⎩，解得5112a -<≤，则实数a 的取值范围是51,12⎛⎤- ⎥ ⎝⎦.故答案为：1；51,12⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】关键点睛：本题考查分段函数求值与分段函数零点问题，属于压轴题.解决本题中零点问题的关键是分析分段函数两段函数性质，由于()()21,2,ax x af x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，是一次函数与二次函数分段问题，要求()f x a =有三个根，结合二次函数()22y x =-在[),a +∞上的性质可初步判断02a <<，避免对a 进行符号讨论，即可得出分段函数的大致图象，结合图象列不等式可求得参数范围.三、解答题：共6道小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.【答案】（1）R {|1}B x x =<ð，{|12}A B x x =≤≤ ，{|1}A B x x =≥- ；（2）2a >.【解析】【分析】（1）化简集合A ，把1a =代入，再利用补集、交集、并集的定义求解作答.（2）利用（1）中信息，结合给定的交集结果，列式求解作答.【小问1详解】解一元二次不等式220x x --≤得：12x -≤≤，即{|12}A x x =-≤≤，当1a =时，{|1}B x x =≥，所以R {|1}B x x =<ð，{|12}A B x x =≤≤ ，{|1}A B x x =≥- .【小问2详解】由A B ⋂=∅得：R A B ⊆ð，由{}B x x a =≥得：R {|}B x x a =<ð，而{|12}A x x =-≤≤，于是得2a >，所以实数a 的取值范围2a >.17.【答案】（1）12（2）1112【解析】【分析】（1）设甲、乙队答对此题分别为事件,A B ，则()()32,43P A P B ==，结合相互独立事件同时发生的概率公式，即可求甲乙两队都答对此题的概率；（2）依据题意，结合对立事件与相互独立事件同时发生的概率公式，即可求得甲乙两队至少有一队答对此题的概率．【小问1详解】解：设甲、乙队答对此题分别为事件,A B ，则()()32,43P A P B ==，记事件M =“甲乙两队都答对此题”，由于每队答题正确与否是相互独立的，所以()()()321432P M P A P B =⋅=⨯=，故甲乙两队都答对此题的概率为12；【小问2详解】解：记事件N =“甲乙两队至少有一队答对此题”，由于每队答题正确与否是相互独立的，故()()()()3211111114312P N P N P A P B ⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故甲乙两队至少有一队答对此题的概率为1112.18.【答案】（1）98-；（2.【解析】【分析】（1）根据给定一元二次不等式解集，求出函数()f x 的解析式，再求出二次函数最小值作答.（2）根据给定条件，求出函数()f x 的解析式，再求出方程()0f x =的二根即可作答.【小问1详解】不等式()0f x >，即220x bx c ++>的解集为()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，于是得1,22是方程220x bx c ++=的二根，即有1222b +=-，且1222c⨯=，解得5,2b c =-=，因此2259()2522(48f x x x x =-+=--，当且仅当54x =时，min 9()8f x =-，所以函数()f x 的最小值是98-.【小问2详解】因为()()24f f -=且()11f =-，则有222(2)224421b c b cb c ⎧⨯--+=⨯++⎨++=-⎩，解得4,1b c =-=，因此2()241f x x x =-+，方程()0f x =，即22410x x -+=的二根为12221,122=-=+x x ，所以程()0f x =两实根之差的绝对值为12||x x -=.19.【答案】（1）2a =；（2）奇函数，理由见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）将给定自变量及对应函数值代入计算即可.（2）利用奇偶函数的定义直接判断作答.（3）利用函数单调性定义，按步骤推理作答.【小问1详解】函数()af x x x=-中，因为()11f =-，则有11a -=-，解得2a =，所以2a =.【小问2详解】由（1）知，函数2()f x x x=-是奇函数，函数2()f x x x=-定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，22()()()f x x x f x x x -=--=--=--，所以函数2()f x x x=-是奇函数.【小问3详解】12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，1212121212222()()()()(1)f x f x x x x x x x x x -=---=-+，因为120x x <<，则12120,0x x x x <->，即有12())0(f x f x -<，因此12()()f x f x <，所以()f x 在区间()0,∞+上单调递增.20.【答案】（1）<，>；（2）（ⅰ）35；（ⅱ）58.【解析】【分析】（1）利用给定的茎叶图，结合平均数、方差的意义计算判断作答.（2）（ⅰ）（ⅱ）利用列举法，结合古典概率求解作答.【小问1详解】由茎叶图知，7778838696845x ++++==甲，7986889092875x ++++==乙，所以x 甲<x 乙；2222221[(7784)(7884)(8384)(8684)(9684)]46.85S =-+-+-+-+-=甲，2222221[(7987)(8687)(8887)(9087)(9287)]205S =-+-+-+-+-=乙，所以2S 甲>2S 乙.【小问2详解】（ⅰ）抽取的两名学生成绩分别为,x y ，把他们记为(,)x y ，从甲班所抽取的5名学生中任取2名学生，他们的成绩组成的不同结果：()()()()()()()()()()77,78,77,83,77,86,77,96,78,83,78,86,78,96,83,86,83,96,86,96，共10个，恰有1人成绩优秀的事件A 有：(77,86),(77,96),(78,86),(78,96),(83,86),(83,96)，共6个，所以恰有1人成绩优秀的概率63()105P A ==.（ⅱ）依题意，甲班成绩优秀学生有2人，成绩分别为86,96，乙班成绩优秀学生有4人，成绩分别为86,88,90,92，从甲、乙两班所抽取的成绩优秀学生中各取1人，按甲班的在前、乙班的在后写在括号内，不同结果有：()()()()(96,86),(96,88),(96,90),(96,92)86,86,86,88,86,90,86,92,，共8个，甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的事件B 有：(86,86),(96,86),(96,88),(96,90),(96,92)，共5个，所以甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的概率5()8P B =.21.【答案】（1）11a b =⎧⎨=-⎩，()f x 在R 上单调递增（2）,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（3）()[)0,164,+∞ 【解析】【分析】（1）根据奇函数和()113f =即可求出a 和b 的值，有定义法即可得出()f x 在R 上单调性.（2）根据奇函数和单调递增求出()2110m x mx m +++-≥，分类讨论2x 前的系数是否为0，即可求出实数m 的取值范围（3）根据函数的单调递增，得出等价条件，分类讨论()log n g x x =的单调性即可求出实数n 的取值范围.【小问1详解】由题意在()221x x a bf x ⋅+=+中，函数是定义域为R 的奇函数，()113f =∴()011(0)021*********a b a b f a b a b f ++⎧===⎪⎪+⎨⋅++⎪===⎪+⎩解得11a b =⎧⎨=-⎩，此时()()f x f x -=-满足题意，∴()21212121x x xf x -==-++设1212,R,x x x x ∀∈<,()()()()12122112122211221122212121212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-=⋅ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭在2x y =中，函数单调递增，∴12220x x -<∴()()()()12121222202121x x x x f x f x --=⋅<++∴()f x 在R 上单调递增【小问2详解】由题意及（1）得在()2121xf x =-+中，函数是奇函数，()()f x f x =--()()2110f m x f mx m ⎡⎤+++-≥⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立∴()()()2111f m x f mx m f mx m ⎡⎤+≥-+-=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦恒成立∵函数单调递增∴()()211m x mx m +≥---即()2110m x mx m +++-≥恒成立当10m +=即1m =-时，20x --≥，解得：2x ≤-，不恒成立，舍去.当10m +≠即1m ≠-时，()2110m x mx m +++-≥恒成立在()()211h x m x mx m =+++-中，若()0h x ≥则需开口向上，∴()()2210Δ411340m m m m m +>⎧⎨=-+-=-+≤⎩解得233m ≥综上，实数m 的取值范围为,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【小问3详解】由题意及（1）（2）得在()2121x f x =-+中，函数单调递增对于任意的[]11,3x ∈，存在[]21,3x ∈，使()()21log 2n x f x +≤成立，∴函数在[]1,3单调递增∴()()12111213f x f ≥=-=+则存在[]21,3x ∈，使()21log 33n x +≤成立，当01n <<时，()log n g x x =在定义域内单调递减，∴()2log 3log 40n n x +≤<满足题意当1n >时，()log n g x x =在定义域内单调递增()2log 3log 4n n x +≥且131log 4log 3n n n ≤=解得：64n ≥综上，实数n 的取值范围为()[)0,164,+∞ .【点睛】本题考查待定系数法求参数，定义法证单调性，考查分类讨论的思想，具有很强的综合性.。

北京市2016-2017学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析

北京市2016-2017学年高一上学期期末数学试卷一、选择题.共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合U={1，3，5，7，9}，A={1，5，7}，则∁U A=（）A．{1，3} B．{3，7，9} C．{3，5，9} D．{3，9}2．（5分）sin240°=（）A．﹣B．﹣C．D．3．（5分）已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，0），B（2，2），C（0，c），若⊥，那么c的值（）A．﹣1 B．3 C．﹣3 D．44．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，1）上单调递减的函数为（）A．y=B．y=lnx C．y=cosx D．y=x25．（5分）函数y=2sin（2x+）的一个对称中心（）A．（，0）B．（﹣，0）C．（，0）D．（﹣，0）6．（5分）函数y=log a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，﹣1），函数y=b x（b＞0且b≠1）的图象经过点（1，2），则下列关系式中正确的是（）A．a2＞b2B．2a＞2b C．D．7．（5分）如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD的中点，则当P沿着路径A﹣B﹣C﹣M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数关系为y=f（x），则y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）=+，在下列结论中：①π是f（x）的一个周期；②f（x）的图象关于直线x=对称；③f（x）在（﹣，0）上单调递减．正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）如果向量=（4，﹣2），=（x，1），且，共线，那么实数x=．10．（5分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=．11．（5分）sin15°sin75°的值是．12．（5分）已知函数f（x）=且f（m）=，则m的值为．13．（5分）已知△ABC是正三角形，若与向量的夹角大于90°，则实数λ的取值范围是．14．（5分）给出定义：若m﹣＜x≤m+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=x﹣{x}的四个判断：①y=f（x）的定义域是R，值域是（﹣，]；②点（k，0）是y=f（x）的图象的对称中心，其中k∈Z；③函数y=f（x）的最小正周期为1；④函数y=f（x）在（，]上是增函数．则上述判断中正确的序号是．（填上所有正确的序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=﹣1+log2（x﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）求f（5）的值；（Ⅲ）求函数f（x）的零点．16．（14分）已知sinθ=﹣．其中θ是第三象限角．（Ⅰ）求cosθ，tanθ的值；（Ⅱ）求tan（θ﹣）的值；（Ⅲ）求sin（θ+）﹣2sin（π+θ）+cos2θ的值．17．（13分）已知向量=（cosθ，sinθ），=（sinθ，0），其中θ∈R．（Ⅰ）当θ=时，求•的值；（Ⅱ）当θ∈ [0，]时，求（+）2的最大值．18．（14分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向右平移个单位后得到新函数g（x）的图象，求函数g（x）的解析式；（Ⅲ）求函数2f（x）﹣g（x）的单调增区间．19．（13分）设二次函数f（x）=ax2+bx+ca≠0，x∈R满足条件：①x≤f（x）≤（1+x2），②f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x）；③f（x）在R上的最小值为0．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）求最大值m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，都有f（x+t）≤x成立．20．（13分）若函数f（x）对任意的x∈R，均有f（x﹣1）+f（x+1）≥2f（x），则称函数f（x）具有性质P．（Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质P，并说明理由．①y=a x（a＞1）；②y=x3．（Ⅱ）若函数f（x）具有性质P，且f（0）=f（n）=0（n＞2，n∈N*），求证：对任意i∈{1，2，3，…，n﹣1}有f（i）≤0；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0．若成立给出证明，若不成立给出反例．北京市2016-2017学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题.共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合U={1，3，5，7，9}，A={1，5，7}，则∁U A=（）A．{1，3} B．{3，7，9} C．{3，5，9} D．{3，9}考点：补集及其运算．分析：从U中去掉A中的元素就可．解答：解：从全集U中，去掉1，5，7，剩下的元素构成C U A．故选D．点评：集合补集就是从全集中去掉集合本身含有的元素后所构成的集合．2．（5分）sin240°=（）A．﹣B．﹣C．D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：运用诱导公式即可化简求值．解答：解：sin240°=sin（180°+60°）=﹣sin60°=﹣．故选：A．点评：本题主要考察了运用诱导公式化简求值，属于基础题．3．（5分）已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，0），B（2，2），C（0，c），若⊥，那么c的值是（）A．﹣1 B．3 C．﹣3 D．4考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先求出，根据，便有，进行数量积的运算即可求出c．解答：解：；∵；∴；∴c=4．故选D．点评：考查两非零向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．4．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，1）上单调递减的函数为（）A．y=B．y=lnx C．y=cosx D．y=x2考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数单调性和奇偶性的性质分别进行判断即可．解答：解：首先y=cosx是偶函数，且在（0，π）上单减，而（0，1）⊂（0，π），故y=cosx满足条件．故选C．点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．5．（5分）函数y=2sin（2x+）的一个对称中心（）A．（，0）B．（﹣，0）C．（，0）D．（﹣，0）考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：令2x+=kπ，k∈Z，可解得：x=，k∈Z，即可得k=0时，由（﹣，0）是函数y=2sin （2x+）的一个对称中心．解答：解：∵y=2sin（2x+）∴令2x+=kπ，k∈Z，可解得：x=，k∈Z，∴k=0时，由（﹣，0）是函数y=2sin（2x+）的一个对称中心．故选：B．点评：本题主要考查了正弦函数的图象与性质，属于基础题．6．（5分）函数y=log a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，﹣1），函数y=b x（b＞0且b≠1）的图象经过点（1，2），则下列关系式中正确的是（）A．a2＞b2B．2a＞2b C．D．考点：对数函数的单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：由已知条件，把点的坐标代入对应的函数解析式，求出a=、b=2，从而可得结论．解答：解：∵函数y=log a x（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，﹣1），∴log a 2=﹣1，∴a=．由于函数y=b x（b＞0且b≠1）的图象经过点（1，2），故有b1=2，即 b=2．故有 b＞a＞0，∴，故选C．点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，指数函数的单调性和特殊点，求出a=、b=2，是解题的关键，属于中档题．7．（5分）如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD的中点，则当P沿着路径A﹣B﹣C﹣M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数关系为y=f（x），则y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：本题是一个分段函数，分点P在AB，BC和CM上得到三个一次函数，然后由一次函数的图象与性质确定选项．解答：解：①当点P在AB上时，如图：y=×x×1=（0≤x≤1）．②当点P在BC上时，如图：∵PB=x﹣1，PC=2﹣x，∴y=S正方形ABCD﹣S△ADM﹣S△ABP﹣S△PCM=1﹣×﹣（x﹣1）﹣××（2﹣x）=﹣ x+，∴y=﹣ x+（1＜x≤2）③当点P在CM上时，如图，∵MP=2.5﹣x，∴y=（2.5﹣x）=﹣x+．（2＜x≤2.5）综上①②③，得到的三个函数都是一次函数，由一次函数的图象与性质可以确定y与x的图形．只有A的图象是三个一次函数，且在第二段上y随x的增大而减小，故选：A．点评：本题考查的是动点问题的函数图象，分别考虑点O在AB，BC和CM上，由三角形的面积公式得到函数的解析式．8．（5分）已知函数f（x）=+，在下列结论中：①π是f（x）的一个周期；②f（x）的图象关于直线x=对称；③f（x）在（﹣，0）上单调递减．正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：变形可得f（x+π）≠f（x），可判①错误；可得f（﹣x）=f（x），可判②正确；换元t=sinx+cosx，可得y=，求导数可判单调性．解答：解：∵f（x）=+，∴f（x+π）=+=≠f（x），∴π不是f（x）的周期，故①错误；∵f（﹣x）=+==f（x），∴f（x）的图象关于直线x=对称，故②正确；设t=sinx+cosx，则sinxcosx=，∴y=+==，当x∈（﹣，0）时，t=sinx+cosx=sin（x+）∈（﹣1，1），求导数可得y′==＜0，∴函数单调递减，故③正确．故选：C点评：本题考查三角函数的性质，涉及周期性和对称性，以及导数法判函数的单调性，属中档题．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）如果向量=（4，﹣2），=（x，1），且，共线，那么实数x=﹣2．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理即可得出．解答：解：∵，∴﹣2x﹣4=0，解得x=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查了向量共线定理，属于基础题．10．（5分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=（1，3）．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即B=（﹣1，3），∵A=（1，+∞），则A∩B=（1，3），故答案为：（1，3）点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．11．（5分）sin15°sin75°的值是．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：注意角之间的关系，先将原式化成sin15°cos15°，再反用二倍角求解即得．解答：解：∵sin15°sin75°=sin15°cos15°=sin30°=．∴sin15°sin75°的值是．故填：．点评：本题主要考查三角函数中二倍角公式，求三角函数的值，通常借助于三角恒等变换，有时须逆向使用二倍角公式．12．（5分）已知函数f（x）=且f（m）=，则m的值为．考点：函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：讨论m2+1=与2m=；从而解得．解答：解：若m2+1=；则m=或m=﹣（舍去）；若2m=；则m＞0（舍去）；故答案为；．点评：本题考查了分段函数的应用，属于基础题．13．（5分）已知△ABC是正三角形，若与向量的夹角大于90°，则实数λ的取值范围是（2，+∞）．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由于与向量的夹角大于90°，可得0，利用数量积运算和正三角形的性质即可得出．解答：解：∵△ABC是正三角形，∴=．∵与向量的夹角大于90°，∴==＜0，解得λ＞2．∴实数λ的取值范围是λ＞2．故答案为（2，+∞）．点评：本题考查了数量积运算和正三角形的性质等基础知识与基本方法，属于基础题．14．（5分）给出定义：若m﹣＜x≤m+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=x﹣{x}的四个判断：①y=f（x）的定义域是R，值域是（﹣，]；②点（k，0）是y=f（x）的图象的对称中心，其中k∈Z；③函数y=f（x）的最小正周期为1；④函数y=f（x）在（，]上是增函数．则上述判断中正确的序号是①③④．（填上所有正确的序号）考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据让函数解析式有意义的原则确定函数的定义域，然后根据解析式易用分析法求出函数的值域；根据f（2k﹣x）与f（x）的关系，可以判断函数y=f（x）的图象是否关于点（k，0）（k∈Z）对称；再判断f（x+1）=f（x）是否成立，可以判断③的正误；而由①的结论，易判断函数y=f（x）在（，]上的单调性，但要说明④成立．解答：解：①中，令x=m+a，a∈（﹣，]∴f（x）=x﹣{x}=a∈（﹣，]所以①正确；②中∵f（2k﹣x）=（2k﹣x）﹣{2k﹣x}=（﹣x）﹣{﹣x}=f（﹣x）∴点（k，0）（k∈Z）是y=f（x）的图象的对称中心；故②错；③中，∵f（x+1）=（x+1）﹣{x+1}=x﹣{x}=f（x）所以周期为1，故③正确；④中，令x∈（，]，m=1，则a∈（﹣，]，f（x）=a，由区间（，]上，随x的增大而增大，故f（x）在区间（，]上为增函数，所以④正确．故答案为：①③④点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了函数f（x）=x﹣{x}的性质，难度中档．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=﹣1+log2（x﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）求f（5）的值；（Ⅲ）求函数f（x）的零点．考点：对数函数的图像与性质；函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：（I）根据对数函数的性质：真数大于0，得到不等式，解出即可；（II）将x=5代入函数的表达式，求出即可；（III）令f（x）=0，解方程求出即可．解答：解：（I）由题意得：x﹣1＞0，∴x＞1；∴函数f（x）的定义域{x|x＞1}．（II）f（5）=﹣1+log2（5﹣1）=﹣1+2=1．（III）令f（x）=﹣1+log2（x﹣1）=0，∴log2（x﹣1）=1，∴x﹣1=2，∴x=3，∴函数f（x）的零点为3．点评：本题考查了对数函数的性质，考查了函数的零点问题，是一道基础题．16．（14分）已知sinθ=﹣．其中θ是第三象限角．（Ⅰ）求cosθ，tanθ的值；（Ⅱ）求tan（θ﹣）的值；（Ⅲ）求sin（θ+）﹣2sin（π+θ）+cos2θ的值．考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正切函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（Ⅰ）由同角三角函数基本关系先求cosθ，即可求tanθ的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）及两角和与差的正切函数公式即可求值；（ III）由诱导公式及倍角公式展开代入即可求值．解答：（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵且θ是第三象限角，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（ III）=cosθ+2sinθ+2cos2θ﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，两角和与差的正切函数公式的应用，属于基础题．17．（13分）已知向量=（cosθ，sinθ），=（sinθ，0），其中θ∈R．（Ⅰ）当θ=时，求•的值；（Ⅱ）当θ∈[0，]时，求（+）2的最大值．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；三角函数的求值；平面向量及应用．分析：（Ⅰ）运用向量的数量积的坐标表示和特殊角的三角函数值，即可计算得到；（Ⅱ）运用向量的数量积的坐标表示和性质，结合二倍角公式和两角差的正弦公式，由正弦函数的图象和性质，即可得到最大值．解答：解：（Ⅰ）当时，，∴；（Ⅱ）由题意得：===2cosθ•sinθ+2sin2θ+1=sin2θ+2﹣cos2θ=，∵，∴．∴当即时，取得最大值，且为．点评：本题考查平面向量的数量积的坐标运算和性质，考查二倍角公式和两角差的正弦公式的运用，考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．18．（14分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向右平移个单位后得到新函数g（x）的图象，求函数g（x）的解析式；（Ⅲ）求函数2f（x）﹣g（x）的单调增区间．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由所给图象知A=1，可求T的值，可得ω的值，由sin（2×+φ）=1，|φ|＜可得φ的值，从而可求解析式．（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可求解析式．（Ⅲ）先求2f（x）﹣g（x）的解析式，从而可求单调递增区间．解答：（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由所给图象知A=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）T=﹣=，T=π，所以ω==2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由sin（2×+φ）=1，|φ|＜得+φ=，解得φ=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所以f（x）=sin（2x+）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数解析式为g（x）=sin[2（x﹣）+]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）=sin（2x﹣）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（Ⅲ）由题：2f（x）﹣g（x）====．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分），∴函数f（x）的增区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．19．（13分）设二次函数f（x）=ax2+bx+ca≠0，x∈R满足条件：①x≤f（x）≤（1+x2），②f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x）；③f（x）在R上的最小值为0．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）求最大值m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，都有f（x+t）≤x成立．考点：二次函数的性质；函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）根据①1≤f（1）≤1，所以得到f（1）=1；（Ⅱ）由f（1）=1，a+b+c=1；由②知f（x）的对称轴为x=﹣1，所以﹣=﹣1，b=2a；由③知f（﹣1）=a﹣b+c=0．所以解，即得a=c=，b=，这便可求出f（x）；（Ⅲ）根据题设，所以由（1）可得到﹣4≤t≤0，由（2）可得．而容易得到在[﹣4，0]的最大值是t=﹣4时的值9，所以便得到m≤9，所以m的最大值为9．解答：解：（Ⅰ）∵在R上恒成立；∴1≤f（1）≤1；即f（1）=1；（II）∵f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x），∴函数图象关于直线x=﹣1对称；∴，b=2a；∵f（1）=1，∴a+b+c=1；又∵f（x）在R上的最小值为0，∴f（﹣1）=0，即a﹣b+c=0；由，解得；∴；（III）∵当x∈[1，m]时，f（x+t）≤x恒成立；∴f（1+t）≤1，且f（m+t）≤m；由f（1+t）≤1得，t2+4t≤0，解得﹣4≤t≤0；由f（m+t）≤m得，m2+2（t﹣1）m+t2+2t+1≤0；解得；∵﹣4≤t≤0，∴=9；当t=﹣4时，对于任意x∈[1，9]，恒有=；∴m的最大值为9．点评：考查已知函数求函数值，由f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x）知道f（x）的对称轴为x=﹣1，二次函数的对称轴，二次函数在R上的最值，以及解一元二次不等式．20．（13分）若函数f（x）对任意的x∈R，均有f（x﹣1）+f（x+1）≥2f（x），则称函数f（x）具有性质P．（Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质P，并说明理由．①y=a x（a＞1）；②y=x3．（Ⅱ）若函数f（x）具有性质P，且f（0）=f（n）=0（n＞2，n∈N*），求证：对任意i∈{1，2，3，…，n﹣1}有f（i）≤0；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0．若成立给出证明，若不成立给出反例．考点：抽象函数及其应用．专题：证明题；综合题；压轴题；新定义；探究型；转化思想；分析法．分析：（I）①根据已知中函数的解析式，结合指数的运算性质，计算出f（x﹣1）+f（x+1）﹣2f（x）的表达式，进而根据基本不等式，判断其符号即可得到结论；②由y=x3，举出当x=﹣1时，不满足f（x﹣1）+f（x+1）≥2f（x），即可得到结论；（II）由于本题是任意性的证明，从下面证明比较困难，故可以采用反证法进行证明，即假设f（i）为f （1），f（2），…，f（n﹣1）中第一个大于0的值，由此推理得到矛盾，进而假设不成立，原命题为真；（III）由（II）中的结论，我们可以举出反例，如证明对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0不成立．解答：证明：（Ⅰ）①函数f（x）=a x（a＞1）具有性质P．…（1分），因为a＞1，，…（3分）即f（x﹣1）+f（x+1）≥2f（x），此函数为具有性质P．②函数f（x）=x3不具有性质P．…（4分）例如，当x=﹣1时，f（x﹣1）+f（x+1）=f（﹣2）+f（0）=﹣8，2f（x）=﹣2，…（5分）所以，f（﹣2）+f（0）＜f（﹣1），此函数不具有性质P．（Ⅱ）假设f（i）为f（1），f（2），…，f（n﹣1）中第一个大于0的值，…（6分）则f（i）﹣f（i﹣1）＞0，因为函数f（x）具有性质P，所以，对于任意n∈N*，均有f（n+1）﹣f（n）≥f（n）﹣f（n﹣1），所以f（n）﹣f（n﹣1）≥f（n﹣1）﹣f（n﹣2）≥…≥f（i）﹣f（i﹣1）＞0，所以f（n）=[f（n）﹣f（n﹣1）]+…+[f（i+1）﹣f（i）]+f（i）＞0，与f（n）=0矛盾，所以，对任意的i∈{1，2，3，…，n﹣1}有f（i）≤0．…（9分）（Ⅲ）不成立．例如…（10分）证明：当x为有理数时，x﹣1，x+1均为有理数，f（x﹣1）+f（x+1）﹣2f（x）=（x﹣1）2+（x+1）2﹣2x2﹣n（x﹣1+x+1﹣2x）=2，当x为无理数时，x﹣1，x+1均为无理数，f（x﹣1）+f（x+1）﹣2f（x）=（x﹣1）2+（x+1）2﹣2x2=2所以，函数f（x）对任意的x∈R，均有f（x﹣1）+f（x+1）≥2f（x），即函数f（x）具有性质P．…（12分）而当x∈[0，n]（n＞2）且当x为无理数时，f（x）＞0．所以，在（Ⅱ）的条件下，“对任意x∈[0，n]均有f（x）≤0”不成立．…（13分）（其他反例仿此给分．如，，，等．）点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，指数函数和幂函数的性质，反证法，其中在证明全称命题为假命题时，举出反例是最有效，快捷，准确的方法．。

北京市怀柔区2016-2017学年高二上学期期末考试数学理试卷 (word版含答案)

怀柔区2016—2017学年度第一学期期末考试高二数学理试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在空间，可以确定一个平面的条件是 A ．两条直线 B ．一点和一条直线 C ．三个点 D ．一个三角形 2．直线10x y --=的倾斜角是A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 3. 若椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距离为 A ．7B ．5C ．3D ．24．在空间，下列结论正确的是A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行5．已知双曲线22116x y m-=的离心率为54, 则m =A ．7B ．6C ．9D ．86．已知(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)P x y 满足2PA PB x ⋅= ，则动点P 的轨迹为A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．两条平行直线7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面积为A ．8B ．主视图左视图4C ．10D ．8．设点0(,1)M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=，则0x 的取值范围是A ．[1,1]-B ．11[,]22-C ．[D ．[22-第Ⅱ卷（非选择题共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在答题纸上．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．原点到直线4310x y +-=的距离为___________． 10．抛物线22y x =的准线方程是___________．11．已知(1,=a ，(1=-b ，则⋅+=a b b ___________． 12．过点（1,0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是____________． 13．大圆周长为4π的球的表面积为____________．14．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则堆放的米约有___________斛（结果精确到个位）．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面A B C D ，底面A B C D 为正方形，2PD DC ==，G ，F 分别是,AD PB 的中点．（Ⅰ）求证：CD PA ⊥；（Ⅱ）证明：GF ⊥平面PBC ． .16．（本题满分13分）已知直线l 经过直线0243=-+y x 与直线022=++y x 的交点P ，并且垂直于直线012=--y x ．（Ⅰ）求交点P 的坐标；（Ⅱ）求直线l 的方程．17．（本小题满分13分）如图，正方体1111ABCD A BC D 的棱长为1，E 、F 分别是BB 1和CD 的中点．（Ⅰ）求AE 与A 1F 所成角的大小；（Ⅱ）求AE 与平面ABCD 所成角的正切值．18．（本小题共13分）已知直线l 经过点(2,1)和点(4,3)．（Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）若圆C 的圆心在直线l 上，并且与y 轴相切于(0,3)点，求圆C 的方程．19．（本小题满分14分）如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，90ADC BAD ︒∠=∠=．F 为PA中点，PD 112AB AD CD ===．四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N ．（Ⅰ）求证：AC // 平面DEF ；（Ⅱ）求二面角A BC P --的大小；（Ⅲ）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π？若存在，求出Q 点所在的位置；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）已知圆:O 221x y +=的切线l 与椭圆:C 2234x y +=相交于A ，B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）求证：OA OB ⊥；（Ⅲ）求OAB ∆面积的最大值．高二数学理科参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．9.15； 10. 12x =-； 11. 1；12. x-2y-1=0； 13. 16π； 14. 22．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面A B C D ，底面A B C D 为正方形，2PD DC ==，G ，F 分别是,AD PB 的中点．（Ⅰ）求证：CD PA ⊥；（Ⅱ）证明：GF ⊥平面PBC ．.解法一：（Ⅰ）证明：因为ABCD 是正方形，所以 CD AD ⊥.又PD ⊥底面ABCD ，所以PD CD ⊥.又AD PD D = ,所以CD ⊥平面PAD .而PA ⊂平面PAD ,所以CD PA ⊥. -------------------------------------6分（Ⅱ）取PC 的中点M ，连结,DM FM ,所以FM ∥BC ，12FM BC =，因为GD ∥BC ，12GD BC =，所以四边形FMDG 为平行四边形，所以GF ∥DM . 又易证⊥BC 平面PDC ，所以DM BC ⊥,又PD DC =,M 为PC 的中点，所以DM PC ⊥.则GF BC ⊥且GF PC ⊥ . 又BC PC C ⋂=, 所以GF ⊥平面PCB ---------------------------------------------13分解法二：（Ⅰ）证明：以D 为原点建立如图空间直角坐标系则(2,0,0)(2,2,0)(0,2,0)(0,0,2)(1,1,1)A B C P F所以(2,0,2)PA =- ,(0,2,0)DC =.则0PA DC ⋅=，所以PA CD ⊥. --------------------------6分（Ⅱ）设(1,0,0)G 则(0,1,1)FG =-- ，(2,0,0)CB = ，(0,2,2)PC =-.又0,0,FG CB FG PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩故GF ⊥平面PCB . ------------------------------------------------13分16.（本题满分13分）已知直线l 经过直线0243=-+y x 与直线022=++y x 的交点P ，并且垂直于直线012=--y x .（Ⅰ）求交点P 的坐标；（Ⅱ）求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）由3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩，，得22x y =-⎧⎨=⎩，，所以P (2-，2). --------------------------------------------------5分（Ⅱ）因为直线l 与直线012=--y x 垂直，所以2-=l k ，所以直线l 的方程为022=++y x .---------------------------------------13分 17.（本小题满分13分）如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，E 、F 分别是BB 1和CD 的中点. （Ⅰ）求AE 与A 1F 所成角的大小；（Ⅱ）求AE 与平面ABCD 所成角的正切值.（Ⅰ）如图，建立坐标系A-xyz,则A(0，0，0)，E （1，0，21），A 1（0，0，1）F （21，1，0） =(1，0，21),A 1=(21，1，-1)F A AE 1⋅=0 所以F A AE 1⊥所以AE 与A 1F 所成角为90°-------------------------------------6分（Ⅱ）解法1：∵1111ABCD A BC D -是正方体，∴BB 1⊥平面ABCD∴∠EAB 就是AE 与平面ABCD 所成角，又E 是BB 1中点，在直角三角形EBA 中，tan ∠EAB =21.-------------------------------------13分解法2：设AE 与平面ABCD 所成角为α平面ABCD 的一个法向量为n =(0,0,1) 则 sin α=cos<AE ,n51, 可得 tan α=21 ∴AE 与平面ABCD 所成角的正切等于21. ----------------------------------13分 18．（本小题共13分）已知直线l 经过点(2,1)和点(4,3). （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）若圆C 的圆心在直线l 上，并且与y 轴相切于(0,3)点，求圆C 的方程.解：（Ⅰ）由已知，直线l 的斜率31142k -==-，所以，直线l 的方程为10x y --=. --------------------6分（Ⅱ）因为圆C 的圆心在直线l 上，可设圆心坐标为(,1)a a -，因为圆C 与y 轴相切于(0,3)点，所以圆心在直线3y =上. 所以4a =.所以圆心坐标为(4,3)，半径为4.所以，圆C 的方程为22(4)(3)16x y -+-=. ---------------------------13分19.（本小题满分14分）如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，90ADC BAD ︒∠=∠=. F 为PA 中点，PD 11.2AB AD CD === 四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N .(I) 求证：AC // 平面DEF ；(II) 求二面角A BC P --的大小； (III)在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π？若存在，求Q 点所在的位置；若不存在，请说明理由.解：(Ⅰ)连接,FN 在PAC ∆中，,F N 分别为,PA PC 中点，所以//,FN AC因为,,FN DEF AC DEF ⊂⊄平面平面所以//DEF AC 平面 ----------------------------------5分(Ⅱ)如图以D轴，建立空间直角坐标系.D xyz -则(1,1,0),(0,2,0),(1,1,(1,1,0).P B C PB BC ==-所以设平面PBC 的法向量为(,,),m x y z =则(,,)(1,1,0,(,,)(1,1,0)0m PB x y z m BC x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩即0,0x y x y ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩解得,x x z =⎧⎪⎨=⎪⎩令1x =，得11,x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以(1,1m =因为平(0,0,1),ABC n =面的法向量所以cos ,n m n m n m⋅==⋅由图可知二面角A BC P --为锐二面角，所以二面角A BC P --的大小为.4π-----------------------------10分 (Ⅲ) 设存在点Q 满足条件，且Q 点与E 点重合.由1(2F E 设(01)FQ FE λλ=≤≤ ，整理得1)(,2,)22Q λλλ-+，1)(,21,),22BQ λλλ++=-- 因为直线BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π，所以1sin |cos ,|||62BQ m BQ m BQ m π⋅====⋅，则21,01λλ=≤≤由知1λ=，即Q 点与E 点重合. -------------------14分20．（本小题满分14分）已知圆:O 221x y +=的切线l 与椭圆:C 2234x y +=相交于A ，B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）求证：OA OB ⊥；（Ⅲ）求OAB ∆面积的最大值.解：（Ⅰ）由题意可知24a =，243b =，所以22283c a b =-=．所以c e a ==．所以椭圆C-----------------------------------5分（Ⅱ）若切线l 的斜率不存在，则:1l x =±．在223144x y +=中令1x =得1y =±．不妨设(1,1),(1,1)A B -，则110OA OB ⋅=-= ．所以OA OB ⊥．同理，当:1l x =-时，也有OA OB ⊥．若切线l 的斜率存在，设:l y kx m =+1=，即221k m +=．由2234y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(31)6340k x kmx m +++-=．显然0∆>．设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则122631km x x k +=-+，21223431m x x k -=+．所以2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++.所以1212OA OB x x y y ⋅=+ 221212(1)()k x x km x x m =++++22222346(1)3131m km k km m k k -=+-+++ 2222222(1)(34)6(31)31k m k m k m k +--++=+ 22244431m k k --=+ 2224(1)44031k k k +--==+．所以OA OB ⊥．综上所述，总有OA OB ⊥成立． ----------------------------------------------10分（Ⅲ）因为直线AB 与圆O 相切，则圆O 半径即为OAB ∆的高，当l 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知2AB =．则1OAB S ∆=.当l 的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，AB ===223131k k==++231k=+所以2242222242424(1)(91)4(9101)44(1)(31)961961k k k k kABk k k k k++++===++++++24222164164164419613396kk k kk=+⋅=+≤+=++++（当且仅当3k=±时，等号成立）．所以AB≤．此时,max(S)OAB∆=.综上所述，当且仅当k=时，OAB∆-------------------14分。

2016-2017学年新课标人教版高一(上)期末统考数学试卷及答案

2016-2017学年第一学期期末统考高一数学试卷一、选择题: （本大题共12小题，每小题5分，共60分，）1.集合U={}6,5,4,3,2,1，A={}5,3,1,B={}5,4,2,则A ⋂()B C U 等于 A.()6,3,1 B {}3,1 C. {}1 D.{}5,4,2 2.已知集合A=[]6,0，集合B=[]3,0,则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是( )A. f: x →y=61x B. f: x →y=31x C. f: x →y=21x D. f: x →y=x3.已知A(2,0,1),B(1,-3,1),点M 在x 轴上，且到A 、B 两点间的距离相等,则M 的坐标为( ) A.(-3,0,0) B.(0,-3,0) C.(0,0,-3) D.(0,0,3)4.函数y=x 2+2(m-1)x+3在区间()2,-∞-上是单调递减的，则m 的取值范围是( )A. m ≤3B. m ≥3C. m ≤-3D. m ≥-3 5.函数f(x)=log 2x+2x-1的零点必落在区间( ) A.(81,41) B. (41,21) C.(21,1) D.(1,2) 6.一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，其中主视图和左视图均为等腰三角形，俯视图是一个正方形，则这个四棱锥的体积是( ) A.1 B. 2 C . 3 D.47.已知二次函数f(x)=x 2-x+a(a>0)，若f(m)<0，则f(m-1)的值是( ) A.正数 B.负数 C.零 D.符号与a 有关8.直线x+y+6=0截圆x 2+y 2=4得劣弧所对圆心角为( )A.6π B. 3π C. 2πD. 32π9.如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 1、BC 1A.EF与BB 1垂直 B. EF 与A 1C 1异面 C.EF 与CD 异面D.EF 与BD 垂直10.已知偶函数f(x)在[]2,0单调递减，若a=f(0.54),b=f(log 214),c=f(26.0),则a, b, c 的大小关系是( ) A. a>b>c B. c>a>b C. a>c>b D .b>c>a11.已知圆C 与直线3x-4y=0及3x-4y=10都相切，圆心在直线4x+3y=0上，则圆C 的方程为( )A. (x-53)2+(y+54)2=1B. (x+53)2+(y+54)2=1 C.(x+53)2+(y-54)2=1 D. (x-53)2+(y-54)2=112.对于函数f(x),若任给实数a,b,c ，f(a),f(b),f(c)为某一三角形的三边长，则称f(x)为 “可构造三角形函数”。

怀柔区2016—2017学年度第一学期期末考试高二数学理试卷

怀柔区2021—2021学年度第一学期期末考试高二数学理试卷本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，第一卷1至2页，第二卷3至8页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第一卷〔选择题共40分〕本卷须知：1．答第一卷前，考生务势必自己的姓名、准考据号、考试科目涂写在答题卡上．2．每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案，不可以答在试卷上．一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项．1．在空间，能够确立一个平面的条件是A．两条直线B．一点和一条直线C．三个点D．一个三角形2．直线xy10的倾斜角是A．B．C．D．64323.假定椭圆x2y21上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，那么P到另一焦点的距离为2516A．7B．5C．3D．2 4．在空间，以下结论正确的选项是A．平行直线的平行投影重合．平行于同向来线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行．垂直于同一平面的两条直线平行5．双曲线x2y21的离心率为5,那么m16m4A．7B．6C．9D．86．A(2,0)，B(2,0)，动点P(x,y)知足PAPB x2，那么动点P的轨迹为A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．两条平行直线7．某四棱锥的三视图以下列图，该四棱锥的侧面积为A．8B．162 2C．10主视图左视图D．62448．设点M(x 0,1)，假定在圆O:x 2y 2 1上存在点N ，使得OMN 45，那么x 0的取值范围是A ．[1,1]B ．[1,1]22C ．[2,2]D ．[2,2]22第二卷〔非选择题共110分〕本卷须知： 1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在答题纸上．2．答卷前将密封线内的工程填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每题 5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．原点到直线 4x3y10的距离为___________．10．抛物线y 22x 的准线方程是___________．11．a (1,2,3)，b (1,3,0) ，那么abb ___________．12．过点〔1,0〕且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是____________．13．大圆周长为4π的球的表面积为____________．14．?九章算术?是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有以下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？〞其意思为：“在屋内墙角处堆放米〔如图，米堆为一个圆锥的四分之一〕，米堆底部的弧长为 8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？〞1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，那么堆放的米约有___________斛〔结果精准到个位〕．三、解答题：本大题共6小题，共 80分．解允许写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．〔本题总分值13分〕如图，在四棱锥PABCD 中，PD 底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PDDC2，G ，F 分别是AD,PB 的中点．〔Ⅰ〕求证：〔Ⅱ〕证明：CDPA ； GF 平面PBC ．16．〔本题总分值13分〕直线l经过直线3x4y 2 0与直线2x y 2 0的交点P，而且垂直于直线x 2y 10．〔Ⅰ〕求交点P的坐标；〔Ⅱ〕求直线l的方程．17．〔本小题总分值13分〕如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是BB和CD的中点．1〔Ⅰ〕求AE与A1F所成角的大小；A1D1〔Ⅱ〕求AE与平面ABCD所成角的正切值．B1C1EADBF C18．〔本小题共13分〕直线l经过点(2,1)和点(4,3)．〔Ⅰ〕求直线l的方程；〔Ⅱ〕假定圆C的圆心在直线l上，而且与y轴相切于(0,3)点，求圆C的方程．19．〔本小题总分值14分〕如图，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，ADCBAD90．F为PA中点，PD2，11．四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N．ABAD CD2〔Ⅰ〕求证：AC//平面DEF；〔Ⅱ〕求二面角A BCP的大小；P E 〔Ⅲ〕在线段EF上能否存在一点Q，使得BQ与NF平面BCP所成角的大小为？假定存在，求出D C6Q点所在的地点；假定不存在，请说明原因．A B20．〔本小题总分值14分〕圆O:x 2y 2 1的切线l 与椭圆C:x 23y 24订交于A ，B 两点．〔Ⅰ〕求椭圆 C 的离心率；〔Ⅱ〕求证： OA OB ；〔Ⅲ〕求 OAB 面积的最大值．高二数学理科参照答案及评分标准一、选择题：本大题共8 小题，每题5分，共40 分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案DBADCDBA二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30 分．9. 1；10.x1 ； 11.23 1；5212.x-2y-1=0；13.16π14.22．；三、解答题：本大题共6小题，共80分．解允许写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．〔本题总分值13分〕如图，在四棱锥PABCD 中，PD 底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PDDC 2，G ，F分别是AD,PB的中点．〔Ⅰ〕求证：〔Ⅱ〕证明：.解法一：〔Ⅰ〕证明：CD PA；GF 平面PBC．由于ABCD是正方形，因此CD AD.又PD底面ABCD，因此因此因此PD CD.又ADPD D,CD平面PAD.而PA平面PAD,CD PA.-------------------------------------6分〔Ⅱ〕取PC的中点M，连结DM,FM,因此FM∥BC，FM 1 BC，2由于GD∥BC，GD 1BC，因此四边形FMDG为平行四边形，因此GF∥DM. 2又易证BC平面PDC，因此DM BC,又PDDC,M为PC的中点，因此DM PC.那么GF BC且GF PC.又BCPCC,因此GF⊥平面PCB---------------------------------------------13分解法二：〔Ⅰ〕证明：以D为原点成立如图空间直角坐标系那么A(2,0,0)B(2,2,0)C(0,2,0)P(0,0,2)F(1,1,1)因此PA(2,0,2),DC(0,2,0).那么PADC0，因此PA CD.--------------------------6分〔Ⅱ〕设G(1,0,0)那么FG(0,1,1)，CB(2,0,0)，PC(0,2,2).FGCB0,又FGPC0,故GF ⊥平面PCB .------------------------------------------------13 分〔本题总分值13分〕直线l 经过直线3x 4y 2 0与直线2x y 2 0的交点P ，而且垂直于直线 x 2y 10.〔Ⅰ〕求交点 P 的坐标；〔Ⅱ〕求直线 l 的方程.3x 4y2 ，x ，解：〔Ⅰ〕由2xy 2 得y ，，0 2因此P (2 ，2).--------------------------------------------------5分〔Ⅱ〕由于直线l 与直线x2y 1 0 垂直，因此k l2，因此直线 l 的方程为2xy 2 0.--------------------------------------- 13 分〔本小题总分值13分〕如图，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是BB 和CD 的中点.1〔Ⅰ〕求AE 与A 1F 所成角的大小；〔Ⅱ〕求AE 与平面ABCD 所成角的正切值.A1D1B1C1〔Ⅰ〕如图，成立坐标系A-xyz,那么A(0，0，0)，EAE 〔1，0，1〕，DF2BCA 〔0，0，1〕1F 〔1，1，0〕2AE =(1，0，1),zA1D12A 1F =(1B1C1，1，-1)2AEA 1F =0EAD因此AEA 1FyFB因此AE 与A 1F所成角为90° C-------------------------------------6x分〔Ⅱ〕解法1：∵ABCDA 1BC 11D 1是正方体，∴BB ⊥平面ABCD1∴∠EAB 就是AE 与平面ABCD 所成角，又E 是BB 1中点，在直角三角形EBA 中，tan ∠EAB=1.-------------------------------------13分2解法2：设AE 与平面ABCD 所成角为平面ABCD 的一个法向量为 n =(0,0,1)那么sin=cos<AE ,n >=AEn=1,可得tan=1AE n5 2∴AE 与平面ABCD 所成角的正切等于1.----------------------------------13分218．〔本小题共 13分〕直线l 经过点(2,1)和点(4,3).〔Ⅰ〕求直线 l 的方程；〔Ⅱ〕假定圆C 的圆心在直线l 上，而且与y 轴相切于(0,3)点，求圆C 的方程.解：〔Ⅰ〕由，直线31 ，l 的斜率k14 2因此，直线l 的方程为xy10. --------------------6分〔Ⅱ〕由于圆C 的圆心在直线l 上，可设圆心坐标为(a,a1)，由于圆C 与y 轴相切于(0,3) 点，因此圆心在直线y3上.因此a4.因此圆心坐标为 (4,3)，半径为4.因此，圆C 的方程为(x 4)2 (y3)2 16.---------------------------13 分〔本小题总分值14分〕如图，PD 垂直于梯形 ABCD 所在的平面，ADCBAD90.F 为PA 中点，PD2，AB AD1CD 1.四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N .2PE(I) 求证：AC // 平面DEF ；(II) 求二面角ABCP 的大小；NF(III)在线段EF 上能否存在一点Q ，使得BQ 与CD平面BCP 所成角的大小为？假定存在，求Q 点A6B所在的地点；假定不存在，请说明原因 .解：(Ⅰ)连结FN,在 PAC 中，F,N 分别为PA,PC 中点，因此FN//AC,由于FN 平面DEF,AC平面DEF ,因此AC//平面DEF ---------------------------------- 5分(Ⅱ)如图以D 为原点，分别以 DA,DC,DP 所在直线为x,y,z 轴，成立空间直角坐标系Dxyz.zPENFCDyxAB那么P(0,0, 2),B(1,1,0),C(0,2,0),因此PB(1,1, 2),BC ( 1,1,0).设平面PBC 的法向量为m(x,y,z), mPB (x,y,z) (1,1,2)那么,mBC (x,y,z) (1,1,0)即xy2z0,解得x xz,x y 02xx1 令x 1，得 y 1,因此m (1,1,2).z 2由于平面ABC 的法向量n (0,0,1),因此cosn,mnm2，n m2由图可知二面角 A BC P 为锐二面角，因此二面角ABC P 的大小为.-----------------------------10分4(Ⅲ)设存在点Q 知足条件，且Q 点与E 点重合.由F(1,0,2),E(0,2,2). 设FQFE(01) ，22整理得Q(1,2 , 2(1))，BQ ( 1,2 1,2(1)),2222由于直线BQ 与平面 BCP 所成角的大小为，6因此sin|cosBQ,m|| BQm||5 1| 1，6BQm21921072那么 2 1,由0 1知1，即Q 点与E 点重合.-------------------14分20．〔本小题总分值 14分〕圆O:x 2y 2 1的切线l 与椭圆C:x 2 3y 2 4订交于A ，B 两点．〔Ⅰ〕求椭圆 C 的离心率；〔Ⅱ〕求证： OA OB ；〔Ⅲ〕求OAB 面积的最大值.解：〔Ⅰ〕由题意可知a 24，b 24 ，因此c 2a 2b 28 ．33c6 6因此e．因此椭圆 C 的离心率为a33 〔Ⅱ〕假定切线 l 的斜率不存在，那么l:x1．．-----------------------------------5 分在x23y 2 1中令x 1得y1．44不如设A(1,1),B(1,1)，那么OAOB 1 1 0 ．因此OA OB ．同理，当l:x1时，也有OAOB ．假定切线l 的斜率存在，设l:ykx m ，依题意m1，即k 2 1m 2．k 2 1y kx m1)x6kmx 3m24 0．明显0由3y 2，得(3k 22 ．x 2 4设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2),那么x 1x 2 6km ，x 1x 2 3m 2 4．3k 2 1 3k 2 1因此y 1y 2(kx 1 m)(kx 2m) k 2x 1x 2km(x 1 x 2)m 2 .因此OAOBx 1x 2 y 1y 2(k 2 1)x 1x 2 km(x 1x 2) m 2(k 21)3m 24 km 6km 1 m 23k 2 13k 2(k 2 1)(3m 2 4) 6k 2m 2 (3k 2 1)m 23k 214m 2 4k 2 43k 2 14(k 21) 4k 2 4210．3k因此OA OB ．怀柔区2016—2017学年度第一学期期末考试高二数学理试卷11 综上所述，总有OA OB成立．----------------------------------------------10〔Ⅲ〕由于直线AB与圆O相切，那么圆O半径即为OAB的高，当l的斜率不存在时，由〔Ⅱ〕可知AB2．那么SOAB 1.当l的斜率存在时，由〔Ⅱ〕可知，AB(1k2)[(x1x2)24x1x2]1k2(6km)243m243k213k21 21k29k2m2(3m24)(3k21)3k2121k22221k2223k2112k3m43k2112k3(k1)421k29k21．3k2124(1k 2)(9k21)4(9k410k21)4k2)因此AB(3k21)29k46k214(19k46k21416k214164416〔当且仅当k9k46k29k21633 k2立〕．因此AB43．此时,(SOAB)max23. 33综上所述，当且仅当k3时，OAB面积的最大值为23．-------------------1433分3时，等号成3分。

【中学数学试题】2016-2017学年高一上学期期末联考数学试题

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14.设 m、 n 是平面 α外的两条直线，给出三个论断：① m∥n；
② m∥α；③ n∥α.以其中两个为条件，余下的一个为结论，
构成三个命题，写出你认为正确的一个命题： _________.
三、解答题 (本大题共 5 个大题，共 44 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 )
15.(本题满分 8 分)直线 l 经过直线 x＋ y－ 2＝ 0 和直线 x－ y＋ 4＝ 0 的交点，且与直线 3x－ 2y＋4＝0 平行，求直线 l 的方程 .
∴VB∥平面 MOC． (2)∵ AC＝ BC， O 为 AB 的中点，
∴OC⊥AB．又∵平面 VAB⊥平面 ABC，且 OC? 平面 ABC，平面 VAB∩平面 ABC＝ AB
∴OC⊥平面 VAB.又∵ OC? 平面 MOC
∴平面 MOC⊥平面 VAB．
(3)在等腰直角三角形 ACB 中， AC＝ BC＝ 2， ∴AB＝2，OC＝1．
11.过点 P(2，3)且在两轴上截距相等的直线方程为
.
12.如图，用斜二测画法得到四边形 ABCD 是下 [来源学科网]
底角为 45°的等腰梯形，下底长为 5，一腰长
为 2，则原四边形的面积是
.
13.若点 P 在坐标平面 xOy 内，点 A 的坐标为 (0,0,4)且 PA 5 ，则
点 P 的轨迹方程为
∴等边三角形 VAB 的面积 S△VAB＝ 3．又∵ OC⊥平面 VAB，
1
3
∴三棱锥 C－ VAB 的体积等于 3× OC×S△ VAB＝ 3 ．
又∵三棱锥 V－ ABC 的体积与三棱锥 C－VAB 的体积相等，
∴三棱锥 V－ABC 的体积为 33．
19.(本题满分 10 分 )如图所示，在 Rt△ABC 中，已知 A(－2,0)，直角顶点 B(0，－ 2 2)，点 C 在 x 轴上 . (1)求 Rt△ABC 外接圆的方程； (2)求过点 (－4,0)且与 Rt△ ABC 外接圆相切的直线的方程．

2016-2017年北京市怀柔区高二(上)期末数学试卷(文科)及答案

2016-2017学年北京市怀柔区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）下列语句为命题的是（）A．lg100=2 B．20172017是一个大数C．三角函数的图象真漂亮! D．指数函数是递增函数吗？2．（5分）直线x﹣y﹣1=0的倾斜角是（）A．B．C．D．3．（5分）抛物线y2=2x的准线方程是（）A．x= B．x=1 C．x=﹣D．x=﹣14．（5分）在空间，下列命题正确的是（）A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行5．（5分）已知命题p：若x＞10，则x＞1，那么p的逆否命题为（）A．若x＞1，则x＞10 B．若x＞10，则x≤1 C．若x≤10，则x≤1 D．若x ≤1，则x≤106．（5分）“m＜0”是“方程x2+my2=1表示双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面积为（）A．8 B．16C．10 D．68．（5分）设点M（x 0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．（5分）命题：∀x∈R，x＞0的否定是．10．（5分）圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2的圆心坐标是．11．（5分）椭圆的离心率为．12．（5分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是．13．（5分）大圆周长为4π的球的表面积为．14．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则堆放的米约有斛（结果精确到个位）．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面BC1；（Ⅱ）求证：A1B∥平面AC1D．16．（13分）已知直线经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，并且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．（Ⅰ）求交点P的坐标；（Ⅱ）求直线的方程．17．（13分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．18．（13分）已知直线l过点（2，1）和点（4，3）．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于（0，3）点，求圆C的方程．19．（14分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=3AB．（Ⅰ）求证：平面ACE⊥平面CDE；（Ⅱ）在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．20．（14分）已知椭圆C的长轴长为，一个焦点的坐标为（1，0）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l：y=kx与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆的右顶点．①若直线l斜率k=1，求△ABP的面积；②若直线AP，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值．2016-2017学年北京市怀柔区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）下列语句为命题的是（）A．lg100=2 B．20172017是一个大数C．三角函数的图象真漂亮! D．指数函数是递增函数吗？【解答】解：A是用语言可以判断真假的陈述句，是命题，B、C、D均不是可以判断真假的陈述句，都不是命题；故选：A．2．（5分）直线x﹣y﹣1=0的倾斜角是（）A．B．C．D．【解答】解：直线y=x﹣1的斜率是1，所以倾斜角为．故选：B．3．（5分）抛物线y2=2x的准线方程是（）A．x= B．x=1 C．x=﹣D．x=﹣1【解答】解：根据题意，抛物线的标准方程为y2=2x，则其焦点在x轴正半轴上，且p=1，则其准线方程为x=﹣，故选：C．4．（5分）在空间，下列命题正确的是（）A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行【解答】解：平行直线的平行投影重合，还可能平行，A错误．平行于同一直线的两个平面平行，两个平面可能相交，B错误．垂直于同一平面的两个平面平行，可能相交，C错误．故选：D．5．（5分）已知命题p：若x＞10，则x＞1，那么p的逆否命题为（）A．若x＞1，则x＞10 B．若x＞10，则x≤1 C．若x≤10，则x≤1 D．若x ≤1，则x≤10【解答】解：∵命题p：若x＞10，则x＞1，∴命题p的逆否命题是：若x≤1，则x≤10．故选：D．6．（5分）“m＜0”是“方程x2+my2=1表示双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：方程x2+my2=1表示双曲线，则m＜0，则“m＜0”是“方程x2+my2=1表示双曲线”的充要条件，故选：C．7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面积为（）A．8 B．16C．10 D．6【解答】解：由三视图知：此四棱锥为正四棱锥，底面边长为4，高为2，则四棱锥的斜高为=2，∴四棱锥的侧面积为S==16．故选：B．8．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．（5分）命题：∀x∈R，x＞0的否定是∃x∈R，x≤0．【解答】解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定：∃x∈R，x≤0．故答案为：∃x∈R，x≤0．10．（5分）圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2的圆心坐标是（1，1）．【解答】解：根据题意，圆的标准方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，则其圆心坐标是（1，1）；故答案为：（1，1）．11．（5分）椭圆的离心率为．【解答】解：由题意，a=3，b=，∴，∴=故答案为：12．（5分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是x﹣2y﹣1=0．【解答】解：直线x﹣2y﹣2=0的斜率是，所求直线的斜率是所以所求直线方程：y=（x﹣1），即x﹣2y﹣1=0故答案为：x﹣2y﹣1=013．（5分）大圆周长为4π的球的表面积为16π．【解答】解：设球的半径为R，则∵球大圆周长为4π∴2πR=4π，可得R=2因此球的表面积为S=4πR2=16π故答案为：16π14．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则堆放的米约有22斛（结果精确到个位）．【解答】解：设米堆所在圆锥的底面半径为r尺，则×2πr=8，解得：r=所以米堆的体积为V=××πr2×5≈35.56，所以米堆的斛数是≈22，故答案为22．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）如图，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面BC1；（Ⅱ）求证：A1B∥平面AC1D．【解答】证明：（Ⅰ）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC．因为AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD．…（2分）因为AB=AC，D为BC中点，所以AD⊥BC．…（4分）因为BC⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，BC∩CC1=C，所以AD⊥平面BB1C1C﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）连结A1C，设A1C∩AC1=E，连结DE．因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C为平行四边形，所以E为A1C中点．…（10分）因为D为BC中点，所以DE∥A1B．…（12分）因为DE⊂平面AC1D，A1B⊄平面AC1D，所以A1B∥平面AC1D﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）16．（13分）已知直线经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，并且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．（Ⅰ）求交点P的坐标；（Ⅱ）求直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）由得所以P（﹣2，2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）因为直线与直线x﹣2y﹣1=0垂直，所以k l=﹣2，所以直线的方程为2x+y+2=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）17．（13分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．【解答】证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．18．（13分）已知直线l过点（2，1）和点（4，3）．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于（0，3）点，求圆C的方程．【解答】解：（Ⅰ）由两点式，可得，即x﹣y﹣1=0；（Ⅱ）∵圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于（0，3）点，∴圆心的纵坐标为3，∴横坐标为﹣2，半径为2∴圆C的方程为（x+2）2+（y﹣3）2=4．19．（14分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=3AB．（Ⅰ）求证：平面ACE⊥平面CDE；（Ⅱ）在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解答】（共13分）证明：（Ⅰ）因为CD⊥平面ADE，AE⊂平面ADE，所以CD⊥AE．又因为AE⊥DE，CD∩DE=D，所以AE⊥平面CDE．又因为AE⊂平面ACE，所以平面ACE⊥平面CDE．…（7分）（Ⅱ）在线段DE上存在一点F，且，使AF∥平面BCE．设F为线段DE上一点，且．过点F作FM∥CD交CE于M，则．因为CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，所以CD∥AB．又FM∥CD，所以FM∥AB．因为CD=3AB，所以FM=AB．所以四边形ABMF是平行四边形．所以AF∥BM．又因为AF⊄平面BCE，BM⊂平面BCE，所以AF∥平面BCE．…（13分）20．（14分）已知椭圆C的长轴长为，一个焦点的坐标为（1，0）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l：y=kx与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆的右顶点．①若直线l斜率k=1，求△ABP的面积；②若直线AP，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值．【解答】解：（1）依题意椭圆的焦点在x轴上，且c=1，，…（1分）∴，b2=a2﹣c2=1．…（2分）∴椭圆C的标准方程为．…（4分）（2）①…（5分）∴或，…（7分）即，，．所以．…（9分）②证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）．椭圆的右顶点为联立方程，消y整理得（2k2+1）x2=2，不妨设x1＞0＞x2，∴，；，．…（12分）…（13分）==∴k AP•k BP为定值．…（14分）。

2016-2017学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析

2016-2017学年高一上学期期末数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．如果集合A={x|ax 2﹣2x ﹣1=0}只有一个元素则a 的值是（） A ．0B ．0或1C ．﹣1D ．0或﹣12．sin36°cos6°﹣sin54°cos84°等于（）A ．B ．C ．D ．3．若tan α=2，tan β=3，且α，β∈（0，），则α+β的值为（）A ．B ．C ．D ．4．已知sin α+cos α=（0＜α＜π），则tan α=（）A ．B ．C ．D ．或5．设a=sin ，b=cos，c=tan，则（）A ．b ＜a ＜cB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．a ＜c ＜b6．已知x ∈[0，1]，则函数的值域是（）A ．B ．C ．D ．7．若，则=（）A ．B ．C ．﹣D ．8．若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点（x 0，0）成中心对称，，则x 0=（）A ．B ．C ．D ．9．已知函数f （x ）=的值域为R ，则实数a 的范围是（）A ．[﹣1，1]B ．（﹣1，1]C ．（﹣1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）10．将函数y=3sin （2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A ．在区间（，）上单调递减 B ．在区间（，）上单调递增C．在区间（﹣，）上单调递减D．在区间（﹣，）上单调递增11．函数f（x）=|sinx|+2|cosx|的值域为（）A．[1，2] B．[，3] C．[2，] D．[1，]12．设f（x）是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（2，3）B．C．D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题纸上）13．已知则= ．14． = ．15．已知，试求y=[f（x）]2+f（x2）的值域．16．设f（x）=asin 2x+bcos 2x，其中a，b∈R，ab≠0．若f（x）≤|f（）|对一切x∈R 恒成立，则以下结论正确的是（写出所有正确结论的编号）．①；②|≥|；③f（x）的单调递增区间是（kπ+，kπ+）（k∈Z）；④f（x）既不是奇函数也不是偶函数．二、解答题17．若，，，则= ．18．已知函数f（x）=ax﹣（a，b∈N*），f（1）=且f（2）＜2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）判断并证明函数y=f （x ）在区间（﹣1，+∞）上的单调性．19．已知函数f （x ）=2﹣3（ω＞0）（1）若是最小正周期为π的偶函数，求ω和θ的值；（2）若g （x ）=f （3x ）在上是增函数，求ω的最大值．20．已知函数f （x ）=2x 2﹣3x+1，，（A ≠0）（1）当0≤x ≤时，求y=f （sinx ）的最大值；（2）若对任意的x 1∈[0，3]，总存在x 2∈[0，3]，使f （x 1）=g （x 2）成立，求实数A 的取值范围；（3）问a 取何值时，方程f （sinx ）=a ﹣sinx 在[0，2π）上有两解？[附加题]（共1小题，满分10分）21．已知函数f （x ）=（1）求函数f （x ）的零点；（2）若实数t 满足f （log 2t ）+f （log 2）＜2f （2），求f （t ）的取值范围．2016-2017学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．如果集合A={x|ax2﹣2x﹣1=0}只有一个元素则a的值是（）A．0 B．0或1 C．﹣1 D．0或﹣1【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据集合A={x|ax2﹣2x﹣1=0}只有一个元素，可得方程ax2﹣2x﹣1=0只有一个根，然后分a=0和a≠0两种情况讨论，求出a的值即可．【解答】解：根据集合A={x|ax2﹣2x﹣1=0}只有一个元素，可得方程ax2﹣2x﹣1=0只有一个根，①a=0，，满足题意；②a≠0时，则应满足△=0，即22﹣4a×（﹣1）=4a+4=0解得a=﹣1．所以a=0或a=﹣1．故选：D．2．sin36°cos6°﹣sin54°cos84°等于（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用诱导公式与两角差的正弦即可求得答案．【解答】解：∵36°+54°=90°，6°+84°=90°，∴sin36°cos6°﹣sin54°cos84°=sin36°cos6°﹣cos36°sin6°=sin（36°﹣6°）=sin30°=，故选A．3．若tanα=2，tanβ=3，且α，β∈（0，），则α+β的值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由条件求得α+β的范围，再结合tan（α+β）=的值，可得α+β的值．【解答】解：∵tanα=2，tanβ=3，且α，β∈（0，），则α+β∈（0，π），再根据tan（α+β）===﹣1，∴α+β=．故选：C．4．已知sinα+cosα=（0＜α＜π），则tanα=（）A．B．C．D．或【考点】同角三角函数间的基本关系．【分析】已知等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系化简，求出2sinαcosα的值小于0，得到sinα＞0，cosα＜0，再利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系求出sinα与cosα的值，即可求出tanα的值．【解答】解：将已知等式sinα+cosα=①两边平方得：（sinα+cosα）2=sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=﹣＜0，∵0＜α＜π，∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα﹣cosα＞0，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，∴sinα﹣cosα=②，联立①②，解得：sinα=，cosα=﹣，则tanα=﹣．故选B5．设a=sin，b=cos，c=tan，则（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b【考点】三角函数线．【分析】利用三角函数的诱导公式，结合三角函数的单调性进行比较即可．【解答】解：sin=cos（﹣）=cos（﹣）=cos，而函数y=cosx在（0，π）上为减函数，则1＞cos＞cos＞0，即0＜b＜a＜1，tan＞tan=1，即b＜a＜c，故选：A6．已知x∈[0，1]，则函数的值域是（）A．B．C．D．【考点】函数单调性的性质；函数的值域．【分析】根据幂函数和复合函数的单调性的判定方法可知该函数是增函数，根据函数的单调性可以求得函数的值域．【解答】解：∵函数y=在[0，1]单调递增（幂函数的单调性），y=﹣在[0，1]单调递增，（复合函数单调性，同增异减）∴函数y=﹣在[0，1]单调递增，∴≤y≤，函数的值域为[，]．故选C．7．若，则=（）A．B．C．﹣D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵=cos（﹣α），则=2﹣1=2×﹣1=﹣，故选：C．8．若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点（x，0）成中心对称，，则x=（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象的对称性，得出结论．【解答】解：∵函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为==，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+）．令2x+=kπ，k∈Z，求得x=kπ﹣，故该函数的图象的对称中心为（kπ﹣，0 ），k∈Z．根据该函数图象关于点（x，0）成中心对称，结合，则x=，故选：B．9．已知函数f（x）=的值域为R，则实数a的范围是（）A．[﹣1，1] B．（﹣1，1] C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【考点】分段函数的应用．【分析】利用函数的单调性，函数的值域列出不等式组求解即可．【解答】解：函数f（x）=，当x≥3时，函数是增函数，所以x＜3时，函数也是增函数，可得：，解得a＞﹣1．故选：C．10．将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间（，）上单调递减B．在区间（，）上单调递增C．在区间（﹣，）上单调递减D．在区间（﹣，）上单调递增【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据左加右减上加下减的原则，即可直接求出将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数的解析式，进而利用正弦函数的单调性即可求解．【解答】解：将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得函数的解析式：y=3sin[2（x﹣）+]=3sin（2x﹣）．令2kπ﹣＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，可得：kπ+＜x＜kπ+，k∈Z，可得：当k=0时，对应的函数y=3sin（2x﹣）的单调递增区间为：（，）．故选：B．11．函数f（x）=|sinx|+2|cosx|的值域为（）A．[1，2] B．[，3] C．[2，] D．[1，]【考点】三角函数值的符号；函数的值域．【分析】先将函数y=|sinx|+2|cosx|的值域⇔当x∈[0，]时，y=sinx+2cosx的值域，利用两角和与差的正弦函数化简，由正弦函数的性质求出函数的值域．【解答】解：∵函数y=|sinx|+2|cosx|的值域⇔当x∈[0，]时，y=sinx+2cosx的值域，∴y=sinx+2cosx=（其中θ是锐角，、），由x∈[0，]得，x+θ∈[θ， +θ]，所以cosθ≤sin（x+θ）≤1，即≤sin（x+θ）≤1，所以，则函数y=|sinx|+2|cosx|的值域是[1，]，故选：D．12．设f（x）是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），且当x∈[﹣2，0]（x+2）=0（a＞1）时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（2，3）B．C．D．【考点】函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断．【分析】根据题意f（x﹣2）=f（x+2），可得f（x+4）=f（x），周期T=4，且是偶函数，当x（x+2）∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，可以做出在区间（﹣2，6]的图象，方程f（x）﹣loga（x+2）的图象恰有3个不同的=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，即f（x）的图象与y=loga交点．可得答案．【解答】解：由题意f（x﹣2）=f（x+2），可得f（x+4）=f（x），周期T=4，当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，∴可得（﹣2，6]的图象如下：从图可看出，要使f（x）的图象与y=log（x+2）的图象恰有3个不同的交点，a则需满足，解得：．故选C．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题纸上）13．已知则= 0 ．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．【分析】因为，所以可以直接求出：，对于，用表达式的定义得，从而得出要求的答案．【解答】解：∵∴而=∴故答案为：014． = ﹣4．【考点】三角函数的化简求值．【分析】切化弦后通分，利用二倍角的正弦与两角差的正弦即可化简求值．【解答】解：原式====﹣4．故答案为：﹣4．15．已知，试求y=[f（x）]2+f（x2）的值域[1，13] ．【考点】函数的值域．【分析】根据，求出y=[f（x）]2+f（x2）的定义域，利用换元法求解值域．【解答】解：由题意，，则f（x2）的定义域为[，2]，故得函数y=[f（x）]2+f（x2）的定义域为[，2]．∴y=（2+log2x）2+2+2log2x．令log2x=t，（﹣1≤t≤1）．则y=（2+t）2+2t+2=t2+6t+6．开口向上，对称轴t=﹣3．∴当t=﹣1时，y取得最小值为1．当t=1时，y取得最大值为13，故得函数y的值域为[1，13]．故答案为[1，13]．16．设f（x）=asin 2x+bcos 2x，其中a，b∈R，ab≠0．若f（x）≤|f（）|对一切x∈R 恒成立，则以下结论正确的是①②④（写出所有正确结论的编号）．①；②|≥|；③f（x）的单调递增区间是（kπ+，kπ+）（k∈Z）；④f（x）既不是奇函数也不是偶函数．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】利用辅助角公式化简f（x），根据f（x）≤|f（）|可得，a，b的值．然后对个结论依次判断即可．【解答】解：由f（x）=asin 2x+bcos 2x=sin（2x+φ）．∵f（x）≤|f（）|对一切x∈R恒成立∴当x=时，函数取得最大值，即2×+φ=，解得：φ=．故得f（x）=sin（2x+）．则f（）=sin（2×+）=0，∴①对．②f（）=sin（2×+）=f（）=sin（2×+）=，∴|≥|，∴②对．由2x+，（k∈Z）解得： +kπ≤x≤+kπ，（k∈Z）∴f（x）的单调递增区间是（kπ，kπ+）（k∈Z）；∴③不对f（x）的对称轴2x+=+kπ，（k∈Z）；∴③解得：x=kπ+，不是偶函数，当x=0时，f（0）=，不关于（0，0）对称，∴f（x）既不是奇函数也不是偶函数．故答案为①②④．二、解答题17．若，，，则=．【考点】角的变换、收缩变换；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数．【分析】根据条件确定角的范围，利用平方关系求出相应角的正弦，根据=，可求的值．【解答】解：∵∴∵，∴，∴===故答案为：18．已知函数f（x）=ax﹣（a，b∈N*），f（1）=且f（2）＜2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）判断并证明函数y=f（x）在区间（﹣1，+∞）上的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由，，，从而求出b=1，a=1；（Ⅱ）由（1）得，得函数在（﹣1，+∞）单调递增．从而有f（x1）﹣f（x2）=，进而，故函数在（﹣1，+∞）上单调递增．【解答】解：（Ⅰ）∵，，由，∴，又∵a，b∈N*，∴b=1，a=1；（Ⅱ）由（1）得，函数在（﹣1，+∞）单调递增．证明：任取x1，x2且﹣1＜x1＜x2，=，∵﹣1＜x1＜x2，∴，∴，即f（x1）＜f（x2），故函数在（﹣1，+∞）上单调递增．19．已知函数f（x）=2﹣3（ω＞0）（1）若是最小正周期为π的偶函数，求ω和θ的值；（2）若g（x）=f（3x）在上是增函数，求ω的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，利用周期公式ω，根据偶函数的性质，求θ的值．（2）根据g（x）=f（3x）求出g（x）的解析式，g（x）在上是增函数，可得，即可求解ω的最大值．【解答】解：（1）由=2（ω＞0）∵又∵y=f（x+θ）是最小正周期为π的偶函数，∴，即ω=2，且，解得：∵，∴当l=0时，．故得为所求；（2）g（x）=f（3x），即g（x）=2（ω＞0）∵g（x）在上是增函数，∴，∵ω＞0，∴，故得，于是k=0，∴，即ω的最大值为，此时．故得ω的最大值为．20．已知函数f（x）=2x2﹣3x+1，，（A≠0）（1）当0≤x≤时，求y=f（sinx）的最大值；（2）若对任意的x1∈[0，3]，总存在x2∈[0，3]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数A的取值范围；（3）问a取何值时，方程f（sinx）=a﹣sinx在[0，2π）上有两解？【考点】三角函数的最值；二次函数的性质；正弦函数的图象．【分析】（1）由已知可得，y=f（sinx）=2sin2x﹣3sinx+1设t=sinx，由x可得0≤t≤1，从而可得关于 t的函数，结合二次函数的性质可求（2）依据题意有f（x1）的值域是g（x2）值域的子集，要求 A的取值范围，可先求f（x1）值域，然后分①当A＞0时，g（x2）值域②当A＜0时，g（x2）值域，建立关于 A的不等式可求A的范围．（3）2sin2x﹣3sinx+1=a﹣sinx化为2sin2x﹣2sinx+1=a在[0，2π]上有两解令t=sinx则2t2﹣2t+1=a在[﹣1，1]上解的情况可结合两函数图象的交点情况讨论．【解答】解：（1）y=f（sinx）=2sin2x﹣3sinx+1设t=sinx，x，则0≤t≤1∴∴当t=0时，y max =1（2）当x 1∈[0，3]∴f （x 1）值域为当x 2∈[0，3]时，则有①当A ＞0时，g （x 2）值域为②当A ＜0时，g （x 2）值域为而依据题意有f （x 1）的值域是g （x 2）值域的子集则或∴A ≥10或A ≤﹣20（3）2sin 2x ﹣3sinx+1=a ﹣sinx 化为2sin 2x ﹣2sinx+1=a 在[0，2π]上有两解换t=sinx 则2t 2﹣2t+1=a 在[﹣1，1]上解的情况如下：①当在（﹣1，1）上只有一个解或相等解，x 有两解（5﹣a ）（1﹣a ）≤0或△=0∴a ∈[1，5]或②当t=﹣1时，x 有惟一解③当t=1时，x 有惟一解故a ∈（1，5）∪{}．[附加题]（共1小题，满分10分）21．已知函数f （x ）=（1）求函数f （x ）的零点；（2）若实数t 满足f （log 2t ）+f （log 2）＜2f （2），求f （t ）的取值范围．【考点】分段函数的应用；函数零点的判定定理．【分析】（1）分类讨论，函数对应方程根的个数，综合讨论结果，可得答案．（2）分析函数的奇偶性和单调性，进而可将不等式化为|log 2t|＜2，解得f （t ）的取值范围．【解答】解：（1）当x ＜0时，解得：x=ln =﹣ln3，当x ≥0时，解得：x=ln3，故函数f （x ）的零点为±ln3；（2）当x ＞0时，﹣x ＜0，此时f （﹣x ）﹣f （x ）===0，故函数f （x ）为偶函数，又∵x ≥0时，f （x ）=为增函数，∴f （log 2t ）+f （log 2）＜2f （2）时，2f （log 2t ）＜2f （2），即|log 2t|＜2， ﹣2＜log 2t ＜2，∴t ∈（，4）故f （t ）∈（，）。

北京市怀柔区2016-2017学年高一上学期期末考试数学试卷含答案

怀柔区2016—2017学年度第一学期期末考试高一数学试卷2017.1本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至8页,共150分．考试时间120分钟．考试结束,将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上．一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|(1)0}=-=，那么M x x xA.0M∈B。

1M∉ C.1M-∈ D. 0M∉2．角90化为弧度等于A. 3πB. 2π C 。

4π D. 6π3．函数y =A.(0,)+∞ B 。

),1(+∞C. [0,)+∞ D 。

),1[+∞4.下列函数中，在区间(,)2ππ上为增函数的是A.sin y x= B 。

cos y x= C 。

tan y x= D.tan y x =-5．已知函数0x f (x )cos x,x ≥=<⎪⎩,则[()]=3f f π-A 。

12cosB 。

12cos-C.D 。

2±6．为了得到函数y ＝sin(x ＋1）的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点A. 向左平行移动1个单位长度B. 向右平行移动1个单位长度C 。

向左平行移动π个单位长度 D. 向右平行移动π个单位长度7．设12log 3a =，0.21()3b =，132c =，则A.c b a << .B 。

a b c<< 。

C.c a b <<D 。

b a c <<8．动点(),A x y在圆221x y+=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周．已知时间0t=时，点A的坐标是1(2，则当012t≤≤时,动点A的纵坐标y关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是A。

北京怀柔县第一中学高一数学文上学期期末试题含解析

北京怀柔县第一中学高一数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在上满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：D2. 下列四个函数中，在(0，+∞)上为增函数的是（）A． B. C.D参考答案：A略3. 已知集合,集合,则 ( )参考答案：C略4. 定义在R上的函数f(x)满足，当时，，则下列不等式一定不成立的是（）A. B.C. D. 参考答案：A函数的周期为，当时，时，，故函数在上是增函数，时，，故函数在上是减函数，且关于轴对称，又定义在上的满足，故函数的周期是，所以函数在上是增函数，在上是减函数，且关于轴对称，观察四个选项选项中，，故选A.5. 下列函数中，在区间(0，+∞)上是减函数的是 ( )A. y = - x2+2xB. y = x3C. y = 2-x+1D. y = log2x参考答案：C6. （5分）四边形ABCD是单位圆O的内接正方形，它可以绕原点O转动，已知点P的坐标是（3，4），M、N分别是边AB、BC的中点，则?的最大值为（）A． 5 B．C．D．参考答案：C考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由于M、N分别是边AB、BC的中点，且AB⊥BC，则OM⊥ON，运用向量的三角形法则，可得?=﹣?，再由向量的数量积的定义，结合余弦函数的值域即可得到最大值．解答：由于M、N分别是边AB、BC的中点，且AB⊥BC，则OM⊥ON，?=（﹣）?=?﹣?=0﹣?=﹣?，由四边形ABCD是单位圆O的内接正方形，即有正方形的边长为，则||=，由||==5，即有﹣?=﹣||?||?cos∠POM=﹣cos∠POM，当OP，OM反向共线时，取得最大值．故选C．点评：本题考查向量的三角形法则和向量的数量积的定义，主要考查向量垂直的条件和余弦函数的值域，属于中档题．7. sin1，cos1，tan1的大小关系是（）A．tan1＞sin1＞cos1 B．tan1＞cos1＞sin1C．cos1＞sin1＞tan1 D．sin1＞cos1＞tan1参考答案：A【考点】三角函数线．【分析】利用三角函数的图象和性质，判断三角函数值的取值范围即可．【解答】解：∵，∴tan1＞1，cos1＜sin1＜1，∴tan1＞sin1＞cos1，故选：A．【点评】本题主要考查三角函数值的大小比较，比较基础．8. 已知函数f（x）与g（x）的图象在R上不间断，由下表知方程f（x）=g（x）有实数解的区间是( )A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）参考答案：B【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】构造函数F（x）=f（x）﹣g（x），则由题意，F（0）=3.011﹣3.451＜0，F（1）=5.432﹣5.241＞0，即可得出结论．【解答】解：构造函数F（x）=f（x）﹣g（x），则由题意，F（0）=3.011﹣3.451＜0，F（1）=5.432﹣5.241＞0，∴函数F（x）=f（x）﹣g（x）有零点的区间是（0，1），∴方程f（x）=g（x）有实数解的区间是（0，1），故选：B．【点评】本题考查方程f（x）=g（x）有实数解的区间，考查函数的零点，考查学生的计算能力，属于基础题．9. (12) 直线y=a(a为常数)与正切曲线y=tanωx(ω是常数且ω＞0)相交，则相邻两交点间的距离是( )A.πB.C.D.与a的值有关参考答案：C略10. 定义：称为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”，若数列{a n}的前n项的“均倒数”为，则数列{a n}的通项公式为( )A．2n－1 B．4n－3 C． 4n－1 D．4n－5参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的最大值为__________．参考答案：2函数，∴函数在上单调递减，故当时，的最大值为．12. 已知等差数列中，则首项 .参考答案：2013. 当时，函数的值域是.参考答案：[－1，2]f（x）=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+），∵﹣≤x≤，∴﹣≤x+≤，∴﹣≤sin（x+）≤1，∴函数f（x）的值域为[﹣1，2]，故答案为：[﹣1，2]．14. 已知y=f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（1﹣a）＜f（2a﹣1），则a的取值范围是．参考答案：【考点】函数单调性的性质．【专题】计算题．【分析】根据f（1﹣a）＜f（2a﹣1），严格应用函数的单调性．要注意定义域．【解答】解：∵f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（1﹣a）＜f（2a﹣1）∴，∴故答案为：【点评】本题主要考查应用单调性解题，一定要注意变量的取值范围．15. 函数的值域为______________．参考答案：略16. 如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是．参考答案：17. 如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2016—2017学年第一学期高一级数学期末考试答案精品

2016-2017学年度第一学期高一级数学科期末试题答案二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

）2y x =或 30x y +-= 16. 1118三、解答题：（本大题共6小题，共70分。

）17．（本题满分10分）【解答】解：（1）∵点O （0，0），点C （1，3），∴OC 所在直线的斜率为．（2）在平行四边形OABC 中，AB ∥OC ， ∵CD ⊥AB ，∴CD ⊥OC ．∴CD 所在直线的斜率为．∴CD 所在直线方程为，即x+3y ﹣10=0．18. （本题满分12分）【解答】证明：（Ⅰ）∵AE ⊥平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， ∴AE ⊥CD ，又在正方形ABCD 中，CD ⊥AD ，AE∩AD =A ， ∴CD ⊥平面ADE ，又在正方形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴AB ⊥平面ADE ．…（6分）解：（Ⅱ）连接BD ，设B 到平面CDE 的距离为h ， ∵AB ∥CD ，CD ⊂平面CDE ，∴AB ∥平面CDE ，又AE ⊥平面CDE ， ∴h=AE=1，又=，∴=，又==，∴凸多面体ABCDE 的体积V=V B ﹣CDE +V B ﹣ADE =．…（12分）19. （本题满分12分）解：1）、(0)01x R f a ∈∴=∴=-……………….3分2)、22()1()13131x x f x f x =-∴+=++， 012314x x ≤≤∴≤+≤ ……………….5分1()112f x ∴≤+≤……………….7分 112t ∴≤≤……………….8分（3）1132)(-+=xx f 在R 上单调递减，…………….9分 )22()(2m x f mx x f -≥-m x mx x 222-≤-…………….10分02)2(2≤++-m x m x0))(2(≤--m x x …………….11分（1）当2>m 时，不等式的解集是{}m x x ≤≤2| （2）当2=m 时，不等式的解集是{}2|=x x（3）当2<m 时，不等式的解集是{}2|≤≤x m x …………….14分20．解：（1）由题意，112(),(),0;0)f x k x g x k k k x ==≠≥ 又由图知f （1.8）=0.45 ，g(4)=2.5；解得1215,44k k == ………….2分∴1()(0);()0)4f x x x g x x =≥=≥ ……….3分 (不写定义域扣1分）（2）设对股票等风险型产品B 投资x 万元，则对债券等稳键型产品A 投资（10-x ）万元，记家庭进行理财投资获取的收益为y 万元， ……….4分则1(10)0)4y x x =-+≥ ……….6分t =，则2x t =，(0t ≤ ……….8分∴21565()4216y t =--+ ……….10分当52t =也即254x =时，y 取最大值6516……….11分答：对股票等风险型产品B 投资254万元，对债券等稳键型产品A 投资154万元时，可获最大收益6516万元. ……….12分 21．解：(1)连接CN .因为ABC A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC ，所以AC ⊥CC 1. 因为AC ⊥BC ，所以AC ⊥平面BCC 1B 1.因为MC ＝1，CN ＝CC 21＋C 1N 2＝5，所以MN ＝ 6.(2)证明：取AB 中点D ，连接DM ，DB 1.在△ABC 中，因为M 为AC 中点，所以DM ∥BC ，DM ＝12BC .在矩形B 1BCC 1中，因为N 为B 1C 1中点，所以B 1N ∥BC ，B 1N ＝12BC .所以DM ∥B 1N ，DM ＝B 1N .所以四边形MDB 1N 为平行四边形，所以MN ∥DB 1. 因为MN ⊄平面ABB 1A 1，DB 1⊂平面ABB 1A 1，所以MN ∥平面ABB 1A 1.(3)线段CC 1上存在点Q ，且Q 为CC 1中点时，有A 1B ⊥平面MNQ . 证明如下：连接BC 1.在正方形BB 1C 1C 中易证QN ⊥BC 1.又A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，所以A 1C 1⊥QN ，从而NQ ⊥平面A 1BC 1. 所以A 1B ⊥QN .同理可得A 1B ⊥MQ ，所以A 1B ⊥平面MNQ . 故线段CC 1上存在点Q ，使得A 1B ⊥平面MNQ . 22．解：（I ）抛物线的对称轴为2b x a=-， ①当22ba-<时，即4b a >-时，当2bx a =-时，222max 29()()24248b b b b f x f ac c a a a a -=-=⨯-+=+=， min ()(2)422f x f a b c ==++=-，∴2948422b c a a b ⎧-+=⎪⎨⎪+=-⎩， ∴2,3a b =-=.②当22ba-≥时，即4b a ≥-时， ()f x 在[0,2]上为增函数，min ()(0)0f x f ==与min ()2f x =-矛盾，无解，综合得：2,3a b =-=.（II ）()||2f x x ≤对任意[1,2]x ∈恒成立，即1||2ax b x ++≤对任意[1,2]x ∈恒成立，即122ax b x-≤++≤对任意[1,2]x ∈恒成立，令1()g x ax b x =++，则max min [()]2[()]2g x g x ≤⎧⎨≥-⎩， ∵01a <<1>，2≥，即104a <≤时，()g x 在[1,2]单调递减，此时max min [()](1)2[()](2)2g x g g x g =≤⎧⎨=≥-⎩，即121222a b a b ++≤⎧⎪⎨++≥-⎪⎩，得1522b ab a ≤-⎧⎪⎨≥--⎪⎩，此时57(2)(1)022a a a ----=--<， ∴5(2)(1)2a a --<- ∴5212a b a --≤≤-.（ⅱ）12<<，即114a <<时，()g x在单调递减，在单调递增，此时，min [()]222g x g b b =≥-⇒≥-⇒≥--只要(1)121(2)2222g a b g a b b ⎧=++≤⎪⎪=++≤⎨⎪⎪≥-⎩13222b a b a b ⎧≤-⎪⎪⇒≤-⎨⎪⎪≥-⎩，31(1)(2)22a a a ---=-当112a ≤<时，3122a a -≥-，3222b a -≤≤- 当1142a <<时，3122a a -<-，21b a -≤≤-. 综上得：①104a <≤时，5212a b a --≤≤-；②1142a <<时，21b a -≤≤-； ③112a ≤<时，3222b a -≤≤-.。

XXX2016-2017高一上学期期末数学试卷( word版含答案)

XXX2016-2017高一上学期期末数学试卷( word版含答案)2016-2017学年XXX高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分。

请将答案填入答题纸填空题的相应答题纸上。

1.函数y=____。

2.函数____。

3.已知函数____的定义域为____。

函数____的最小正周期为____，f(1)+f(-1)=____。

4.已知幂函数y=f(x)的图象过点(0,8)，则f(2)=____。

5.把函数y=sin(x)的图象向左平移π/2个单位长度，所得到的图象的函数表达式为____。

6.9=____。

7.函数y=sin(x)+cos(x)的单调递增区间为____。

8.若函数y=sin(πx+φ)过点(1,0)，则φ=____。

9.若tan(x)和cot(y)的夹角为60°，且sin(x)+cos(y)=1，则sin(y-x)=____。

10.在△ABC中，D为边BC上一点，且AD⊥BC，若AD=1，BD=2，CD=3，则∠BAC的度数为____。

11.若sin(θ)=2/3，则si n(2θ)=____，cos(2θ)=____。

12.若锐角α，β满足cos(2α)+cos(2β)=1，则sin(α+β)=____。

13.若方程| |x|-a^2| -a=0有四个不同的实根，则实数a的取值范围为____。

14.已知函数f(x)=x^3+x+1，若对任意的x，都有f(x^2+a)+f(ax)>2，则实数a的取值范围是____。

二、解答题（本大题共6小题，共90分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）15.已知集合A={x|2x≥16}，B={x|log2x≥a}。

1) 当a=1时，求A∩B；2) 若A是B的子集，求实数a的取值范围。

16.已知向量a=2i+j，b=i+k，c=xi-yj+2k。

1) 若a·c=0，b·c=0，求x的值；2) 当x∈[0,2]时，求|c|的取值范围。