2018年北京高三模拟题分类汇编之立体几何大题
2018-2022五年全国高考数学立体几何真题分类汇编(试卷版)
2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编
专题21立体几何解答题
一、解答题
1．(2022高考北京卷·第17题)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．
(1)求证：MN ∥平面11BCC B ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值．
条件①：AB MN ⊥；
条件②：BM MN =．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
2．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第18题)在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面
,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥．
(1)证明：BD PA ⊥；
(2)求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．
3．(2022年浙江省高考数学试题·第19题)如图，已知ABCD 和CDEF 都是直角梯形，
//AB DC ，//DC EF ，5AB =，3DC =，1EF =，60BAD CDE ∠=∠=︒，二面角F DC B --的平面角为60︒．设M ，N 分别为,AE BC 的中点．
(1)证明：FN AD ⊥；
(2)求直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值．
4．(2022新高考全国II 卷·第20题)如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，PA PB =，
AB AC ⊥，E 是PB 的中点．
(1)证明：//OE 平面PAC ；
立体几何大题求体积习题汇总
全国各地高考文科数学试题分类汇编：立体几何
1．［·重庆卷20］ 如图１4所示四棱锥ＰA ＢCD 中,底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面CD ，AB =2，∠BAD ＝π
3
,M
为B Ｃ上一点，且BM =１
２
.
（１)证明：B Ｃ⊥平面P ＯＭ;(2)若MP ⊥AP ,求四棱锥P A ＢMO
图１４
２.[·北京卷１7] 如图１5，在三棱柱A ＢC A 1B １Ｃ1中,侧棱垂直于底面，A Ｂ⊥B Ｃ,AA 1=ＡC ＝２，BC =1,Ｅ,F 分别是Ａ1Ｃ1,BC 的中点．
(1)求证:平面ABE ⊥平面B 1ＢCC 1；(２)求证:C 1F ∥平面A ＢE ;（3）求三棱锥E ＡBC
3．[·福建卷1９] 如图16所示,三棱锥A B ＣＤ中,ＡB ⊥平面BC Ｄ，ＣＤ⊥
（１）求证：C Ｄ⊥平面A ＢＤ；(2)若ＡB =B Ｄ＝CD ＝１,M 为AD 中点,求三棱锥
4.[·新课标全国卷Ⅱ１8］如图13,四棱锥PABCD中，底面AＢCD为矩形，PA⊥平面ABＣD,E为PD的中点.
(1)证明:PＢ∥平面AＥＣ;（2)设AＰ＝１，AD＝3,三棱锥PＡBD的体积Ｖ=错误!,求A到平面PＢC的距离．
5.[·广东卷18] 如图12所示,四边形ABCD为矩形,PＤ⊥平面ABCＤ，ＡB=1，BC=ＰC=2,作如图１3折叠:折痕ＥF∥ＤC,其中点E，Ｆ分别在线段PD,ＰC上，沿EF折叠后点P叠在线段AＤ上的点记为Ｍ,并且MF⊥CF.
(1）证明：ＣＦ⊥平面MDF；(2)求三棱锥MCDE的体积．
2018年高考数学试题分类汇编之立体几何
2018年高考数学试题分类汇编之立体几何
一、选择题
1．（北京卷文）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）。
（A ）1
（B ）2 （C ）3
（D ）4
2．（北京卷理）（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
3．（浙江）（3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是
俯视图
正视图
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
4．（全国卷一文）（5）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A
．
B ．12π
C ．
D ．10π
5．（全国卷一文）（9）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径
中，最短路径的长度为 A
． B ． C ．3
D ．2
6．（全国卷一文）（10）在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为
A ．8
B ．
C ．
D ．7．（全国卷一理）（7）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为
A ．172
2011—2018年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——10.立体几何
2011—2018年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编
10．立体几何
一、选择题 (2018·9
)在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 （ ）
A ．
2
2
B ．
32
C ．
52
D ．
72
（2017·6）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A. 90π B. 63π C. 42π D. 36π
（2017·6） （2016·7） （2015·6）
（2016·4）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ）
A ．12π
B ．32
3π C ．8π
D ．4π （2016·7）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A ．20π
B ．24π
C ．28π
D ．32π
（2015·6）一个正方体被一个平面截取一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
A.
8
1 B.
7
1 C.
6
1 D.
5
1 （2015·10）已知A 、B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90º，C 为该球面上的动点. 若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ）
A. 36π
B. 64π
C. 144π
D. 256π （2014·6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零
件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）
北京市城六区2018届高三一模理科数学解答题分类汇编之立体几何word含解析
【西城一模】17．（本小题满分14分）
如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，
AC 的中点，O 为DE
的中点，AB AC ==4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，如图2． （Ⅰ）求证：1A O BD ⊥；
（Ⅱ）求直线1A C 和平面1A BD 所成角的正弦值；
（Ⅲ）线段1A C 上是否存在点F ，使得直线DF 和BC
？若存在，求出11A F
A C
的值；若不存在，说明理由．
图1 图2
解：（Ⅰ）因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点， 所以 //DE BC ，AD AE =．
所以11A D A E =，又O 为DE 的中点， 所以 1A O DE ⊥．[1分]
因为平面1A DE ⊥平面BCED ，且1A O ⊂平面1A DE ， 所以 1A O ⊥平面BCED ，[3分] 所以 1A O BD ⊥．[ 4分]
（Ⅱ）取BC 的中点G ，连接OG ，所以OE OG ⊥． 由（Ⅰ）得1A O OE ⊥，1A O OG ⊥． 如图建立空间直角坐标系O xyz -．[5分]
由题意得，1(0,0,2)A ，(2,2,0)B -，(2,2,0)C ，(0,1,0)D -． 所以1(2,2,2)A B −−→=--，1(0,1,2)A D −−→=--，1(2,2,2)A C −−→
=-． 设平面1A BD 的法向量为(,,)x y z =n ，
则11
0,0,A B A D −−
→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即2220,20.x y z y z --=⎧⎨--=⎩
2018年高考真题理科数学解析分类汇编7立体几何
2018年高考真题理科数学解析分类汇编7 立体几何
一、选择题
的边长为1，粗1.【2018高考新课标理7】如图，网格纸上小正方形
线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
()A 6 ()B 9
()C 12 ()D 18
【答案】B
【解析】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为
3，所以几何体的体积为93362131=⨯⨯⨯⨯=V ,选 B. BC=2。将△2.【2018高考浙江理10】已知矩形ABCD ，AB=1，
沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中。
A.存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直.
B.存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直.
C.存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.
D.对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直
【答案】C
【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C 是正确的．
3.【2018高考新课标理11】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）
()A 6 ()B 6 ()C 3 ()D 2
【答案】A
【解析】ABC ∆的外接圆的半径r =O 到面ABC 的距离d ==SC 为球O 的直径⇒
点S 到面ABC 的距离为2d =
此棱锥的体积为11233436
ABC V S d ∆=⨯=⨯=
另：123ABC V S R ∆<⨯=排除,,B C D ,选A. 4.【2018高考四川理6】下列命题正确的是（ ）
(北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题09立体几何文(含解析)
专题09立体几何
历年考题细目表
历年高考真题汇编
【2018年北京文科06】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）1．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD，
AC，CD，
PC＝3，PD＝2，可得三角形PCD不是直角三角形．
所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC，
△PAD．
故选：C．
2．【2017年北京文科06】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
A．60 B．30 C．20 D．10
【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，
该三棱锥的体积10．
故选：D．
3．【2015年北京文科07】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）
A．1 B．C．D．2
【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，
底面为正方形如图：
其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形
∴PB＝1，AB＝1，AD＝1，
∴BD，PD．
PC═
该几何体最长棱的棱长为：
故选：C．
4．【2013年北京文科08】如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|＝3，
则A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D（0，0，0），A1（3，0，3），B1（3，3，3），C1（0，3，3），D1（0，0，3），
∴（﹣3，﹣3，3），
十年真题(-2019)高考数学真题分类汇编 专题09 立体几何与空间向量选择填空题 理(含解析)
专题09立体几何与空间向量选择填空题历年考题细目表
题型年份考点试题位置
单选题2019表面积与体积2019年新课标1理科12单选题2018几何体的结构特征2018年新课标1理科07单选题2018表面积与体积2018年新课标1理科12单选题2017三视图与直观图2017年新课标1理科07单选题2016三视图与直观图2016年新课标1理科06
单选题2016空间向量在立体几何中的应
用2016年新课标1理科11
单选题2015表面积与体积2015年新课标1理科06
单选题2015三视图与直观图2015年新课标1理科11
单选题2014三视图与直观图2014年新课标1理科12
单选题2013表面积与体积2013年新课标1理科06
单选题2013三视图与直观图2013年新课标1理科08
单选题2012三视图与直观图2012年新课标1理科07
单选题2012表面积与体积2012年新课标1理科11
单选题2011三视图与直观图2011年新课标1理科06
单选题2010表面积与体积2010年新课标1理科10
填空题2017表面积与体积2017年新课标1理科16
填空题2011表面积与体积2011年新课标1理科15
填空题2010三视图与直观图2010年新课标1理科14
历年高考真题汇编
1．【2019年新课标1理科12】已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC,△ABC是边长为2的正三角形,E，F分别是PA,AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（)
A．8πB．4πC．2πD．π
【解答】解：如图，
由PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，可知三棱锥P﹣ABC为正三棱锥，
北京市高考数学联考试题分类大汇编立体几何试题解析
北京市 高考数学最新联考试题分类大汇编
一、选择题：
（3）(北京市东城区2012年1月高三考试文科）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
（A ）32a （B ） 3
6
a （C ） 312a （D ）318
a
【答案】C
【解析】该几何体为底面是直角边为a
的等腰直角三角形，
高为a 的直三棱柱，其体积为12a a a ⨯⨯⨯=3
2
a 。
7．(北京市西城区2012年1月高三期末考试理科)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ） （A ）8 （B ）
8
3
（C ）4 （D ）43
【答案】D
【解析】将三视图还原直观图，可知是一
个底面为正方形（其对角线长为2），高为2的四棱锥，其体积为
正 （ 主 ） 视图
俯视图
侧 （ 左 ） 视图
11142222.3323
ABCD V S =⨯=⨯⨯⨯⨯=正方形
A ．βα//,//n m 且βα//，则n m //
B ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则m //n
C ．βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥
D ．βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //
【答案】C 体的体积为 . 32
正视图 侧视图
F
E
D
B
A
P
C
（9）(北京市东城区2012年4月高考一模文科)已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是 . 4
3
10. (2012年4月北京市房山区高三一模理科一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .
3
2
三、解答题：
（17）(北京市东城区2012年1月高三考试文科）（本小题共14分）
如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ， E 是
北京市高三一模理科数学分类汇编5：立体几何
北京市高三一模数学理分类汇编5：立体几何
【北京市丰台区一模理】5．若正四棱锥的正视图和侧视图如右图所示，则该几何体的表面积是
（）
A．4
B．4410
+
C．8
D．4411
+
【答案】B
【北京市房山区一模理】10.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .
【答案】
3
2
【北京市海淀区一模理】（8）在正方体''''
ABCD A B C D中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP与'
AC所成的角为45的点P的个数为
A'
B'C'
D'
A
B C
D
（A ）0 （B ）3 （C ）4 （D ）6 【答案】B
【北京市海淀区一模理】(16)（本小题满分14分）
在四棱锥P ABCD 中，AB //CD ，AB AD ，4,22,2
AB AD CD ，PA
平面ABCD ，4PA
.
（Ⅰ）设平面PAB 平面PCD m =，求证：CD //m ；
P
D
C
B
A
（Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAC ；
（Ⅲ）设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC 3，求PQ PB
的值． 【答案】（Ⅰ）证明： 因为AB //CD ，CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，
所以CD //平面PAB . ………………………………………2分 因为CD ⊂平面PCD ，平面PAB
平面PCD m =，
所以CD //m . ………………………………………4分 （Ⅱ）证明：因为AP
平面ABCD ，AB
AD ，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直
线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，
则(4,0,0)B ，(0,0,4)P ，(0,2,0)D ，(2,2,0)C .
2018年高考题和高考模拟题数学(理)——专题05立体几何分类汇编(解析版)
5．立体几何
1．【2018年XX卷】已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则
A. θ1≤θ2≤θ3
B. θ3≤θ2≤θ1
C. θ1≤θ3≤θ2
D. θ2≤θ3≤θ1
【答案】D
从而因为，所以即，选D.
点睛：线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.
2．【2018年XX卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
【答案】C
【解析】分析:先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果.
详解：根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1，2，梯形的高
为2，因此几何体的体积为选C.
点睛：先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等.
3．【2018年理新课标I卷】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为
A. B. C. D.
【答案】A
详解：根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为
，故选A.
点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.学/科-网+
—2018年新课标全国卷1理科数学分类汇编——9.立体几何
2011年—2018年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学分类汇编（含答案）
9．立体几何
【2018，7】 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对
应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）
A ．
B ．
C ．3
D ．2
【2018，12】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截
面面积的最大值为（ ）
A B C D 【2017，7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三
角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） A ．10 B ．12 C ．14 D ．16
【2016，11】平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，//α平面11D CB ，αI 平面ABCD m =， α平面n A ABB =11，则n m ,所成角的正弦值为（ ）
（A ）
2
3
（B ）
2
2 （C ）
3
3 （D ）
3
1 【2016，6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂
直的半径．若该几何体的体积是
3
28π
，则它的表面积是（ ） （A ）π17 （B ）π18 （C ）π20 （D ）π28
【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）
近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编11 立体几何
近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编
十一、立体几何
一、多选题
1．（2021·全国高考真题）在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（ ）
A ．当1λ=时，1A
B P △的周长为定值
B ．当1μ=时，三棱锥1P A B
C -的体积为定值
C ．当12
λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥ D ．当12
μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P
二、单选题
2．（2021·浙江高考真题）如图已知正方体1111ABCD A BC D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（ ）
A ．直线1A D 与直线1D
B 垂直，直线//MN 平面ABCD
B ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD
B C ．直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCD
D ．直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD
B 3．（2021·浙江高考真题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．32
B ．3
C ．2
D ．4．（2021·全国高考真题（理））已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）
A ．12
B
C ．4
D 5．（2021·全国高考真题（文））在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为
E ，
F ，
G ．该正方体截去三棱锥A EFG -后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）
五年(2018-22)高考文科数学真题类汇编(全国卷新高考卷卷等)专题19 立体几何单选题(练习版)
39．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(文)·第3题)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
( )
40．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(文)·第9题)在正方体 中， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的正切值为( )
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
34．(2019年高考全国Ⅱ文·第7题)设α，β为两个平面，则 的充要条件是( )
A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行
C．平面 平面 D．平面 平面
12．(2021年高考浙江卷·第6题)如图已知正方体 ，M，N分别是 ， 的中点，则( )
( )
A．直线 与直线 垂直，直线 平面
B．直线 与直线 平行，直线 平面
C．直线 与直线 相交，直线 平面
D．直线 与直线 异面，直线 平面
13．(2021年高考浙江卷·第4题)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) ( )
( )A B． C． D．
18．(2021年全国高考乙卷文科·第10题)在正方体 中，P为 的中点，则直线 与 所成的角为( )
(2010-2019)高考数学真题分类汇编专题10立体几何与空间向量解答题理(含解析)
专题10立体几何与空间向量解答题
历年考题细目
表
解答题2011空间向量在立体
几何中的应用
2011年新课标1
理科18
解答题2010空间角与空间距
离
2010年新课标1
理科18
历年高考真题汇编
1．【2019年新课标1理科18】如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°,E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
(1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A﹣MA1﹣N的正弦值．
【解答】（1）证明:如图，过N作NH⊥AD，则NH∥AA1,且,又MB∥AA1，MB，∴四边形NMBH为平行四边形,则NM∥BH，由NH∥AA1，N为A1D中点,得H为AD中点，而E为BC中点，∴BE∥DH，BE＝DH，则四边形BEDH为平行四边形，则BH∥DE，
∴NM∥DE，
∵NM⊄平面C1DE，DE⊂平面C1DE,
∴MN∥平面C1DE;
（2)解：以D为坐标原点，以垂直于DC得直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则N（，，2），M（，1，2）,A1（，﹣1，4），
，，
设平面A1MN的一个法向量为，
由，取x，得，
又平面MAA1的一个法向量为，
∴cos．
∴二面角A﹣MA1﹣N的正弦值为．
2．【2018年新课标1理科18】如图，四边形ABCD为正方形，E,F
分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
(2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．
【解答】（1）证明:由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，则，,
-2018年新课标全国卷2理科数学试题分类汇编——11.立体几何演示教学
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2011 年— 2018 年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编
11．立体几何
一、选择题
（ 2018·9）在长方体 ABCD
A 1
B 1
C 1
D 1 中， AB
BC 1， AA 1
3 ，则异面直线 AD 1 与 DB 1 所成角的余弦
值为
1
B ．
5 C ．
5
D ．
2 A ．
6
5
2
5
（ 2017·4）如图，网格纸上小正方形的边长为
1，学 科 & 网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体
由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（
）
A ． 90
B ． 63
C ． 42
D ． 36
（ 2017·10）已知直三棱柱
C
1 1
C
1
中，
C 120 ，
2 ，
C CC 1
1，则异面直线 1 与 C 1 所成角的余弦值为（
）
3 15 10
D ．
3
A ．
B ． 5
C ．
3
2
5
（ 2016·6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（
）
A ． 20π
B ．24π
C ． 28π
D ． 32π
2
3
4
4
·
2016 ， 6 2015 ，6 2014，6
（ 2015·6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分
体积的比值为（ ）
A ．
1
B ．
1
C ．
1
D ．
1
8 7 6 5
（ 2015·9）已知 A ，B 是球 O 的球面上两点，∠ AOB=90o ，C 为该球面上的动点，若三棱锥
O- ABC 体积的
最大值为 36，则球 O 的表面积为（ ）
A ．36π
B ．64π
C ．144π
D ．256π
（ 2014·6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示 1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件
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M F E C D A B 2018年北京高三模拟题分类汇编之立体几何大题精心校对版题号一二总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2018北京市各城区一模二模真题。2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、填空题（本大题共2小题，共0分）1.（2018北京东城区高三一模数学(文)）如图，四边形ABCD 为菱形，60DAB o ，ED 平面ABCD ，22ED AD EF ，EF ∥AB ，M 为BC 中点．（Ⅰ）求证：FM ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：AC BE ；（Ⅲ）若G 为线段BE 上的点，当三棱锥G BCD 的体积为239时，求BG BE 的值．2.（2018北京丰台区高三二模数学(文)）如图，在矩形A B C D 中，4AB ，2AD ，E 为AB 的中点．将△ADE 沿DE 翻折，得到四棱锥1A DEBC ．设1AC 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有BM ∥平面1A DE ；②线段BM 的长为定值；③存在某个位置，使DE 与1AC 所成的角为90．姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封-
-------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●A 1M E D C
B A