(八) 圆锥曲线
高中数学第二册(上)知识点梳理 第六章不等式 第七章 直线和园 第八章圆锥曲线
高中数学第二册（上）知识点梳理不等式，直线和圆，圆锥曲线（广西民族大学卢亮总结）（不等式部分）1.不等式的基本性质：(1)对称性：a b b a <⇔>(2)传递性：c a c b b a >⇒>>,(3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,；bc ac c b a <⇒<>0,；bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(5)倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且(7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 2.不等式证明的三种基本方法①比较法：作差比较，根据a －b>0⇔a>b ，欲证a>b 只需证a －b>0；作商比较，当b>0时，a>b ⇔ba>1。
比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有时根据题设可转化为等价问题的比较（如幂、方根等）。
②分析法：从求证的不等式出发寻找使该不等式成立的充分条件。
对于思路不明显，感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径。
③综合法：从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形（恒等变形或不等变形）推导出要求证明的不等式。
3. ⑴平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）：2112a b a b+≥≥+（当a = b 时取等） 特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，222()22a b a b ab ++==）2222(,,,)33a b c a b c a b c R a b c +++++⎛⎫≥∈== ⎪⎝⎭时取等⇒幂平均不等式：22122221)...(1...n n a a a na a a +++≥+++ ⑵含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）：①3322a b a b ab +≥+②3332223()()a b c abc a b c a b c ab ac bc ++-=++++---⇒3333a b c abc ++≥（0a b c ++>等式即可成立，0a b c a b c ==++=或时取等）；3a b c ++≤⇒33a b c abc ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭3333a b c ++≤ 2)(31c b a ac ba ab +++≤++（a b c ==时取等号 ）⑶绝对值不等式：123123(0)a a a a a a ab a b a b ab ++≤++-≤-≤+≥时,取等*⑷算术平均≥几何平均（a 1、a 2…a n 为正数）：12n a a a n+++≥ （a 1=a 2…=a n 时取等）*⑸常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1n n n n n n n n n n-=<<=-≥++--1)n=<<=≥4. 常用不等式的解法举例（x为正数）：①231124(1)2(1)(1)()22327x x x x x-=⋅--≤=②2222232(1)(1)124(1)()223279x x xy x x y y--=-⇒=≤=⇒≤类似于22sin cos sin(1sin)y x x x x==-③111||||||()2x x xx x x+=+≥与同号，故取等（直线和圆部分知识梳理）1．直线的倾斜角α的范围是；求直线斜率的两种方法：①定义：k=()2πα≠；②斜率公式：k=2121y yx x--12()x x≠．答案)0,180︒︒⎡⎣2．直线方程的几种形式：①点斜式，适用范围：不含直线x x=；特例：斜截式，适用范围：不含垂直于x轴的直线；②两点式，适用范围：不含直线112()x x x x=≠和直线112()y y y y=≠；特例：截距式，适用范围：不含垂直于坐标轴和过原点的直线；③一般式，适用范围：平面直角坐标系内的直线都适用．3．求过111(,)P x y，222(,)P x y的直线方程时：（1）若12x x=，且12y y≠时，直线垂直于x轴，方程为1x x=；（2）若12x x≠，且12y y=时，直线垂直于y轴，方程为1y y=；（3）若12x x==，且12y y≠时，直线即为y轴，方程为0x=；（4）若12x x≠，且12y y==时，直线即为x轴，方程为0y=。
圆锥曲线解题技巧之八利用曲线的导数解题
圆锥曲线解题技巧之八利用曲线的导数解题圆锥曲线解题技巧之八：利用曲线的导数解题圆锥曲线是高中数学中重要的内容之一，解题时我们常常会遇到需要利用曲线的导数进行求解的情况。
本文将介绍一些常见的圆锥曲线解题技巧，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、圆锥曲线的导数概念回顾在解题之前，我们首先对圆锥曲线的导数概念进行回顾。
圆锥曲线的导数，可以理解为曲线在某点处的切线斜率。
利用导数，我们可以求解曲线的切线方程，进而分析曲线的性质和特点。
二、利用导数求解直线与圆锥曲线的交点有时我们需要求解直线与圆锥曲线的交点，可以利用导数来进行求解。
假设直线方程为y=kx+b，圆锥曲线方程为y=f(x)，我们可以通过以下步骤进行求解：1. 将直线方程代入圆锥曲线方程，得到一个关于x的方程f(x)-kx-b=0。
2. 求解方程f(x)-kx-b=0，得到曲线与直线的交点的横坐标x。
3. 将求得的横坐标x代入直线方程，得到交点的纵坐标y。
三、利用导数求解切线方程在解题过程中，有时我们需要求解曲线某点处的切线方程。
我们可以利用导数来求解切线方程，具体步骤如下：1. 求取曲线方程的导数，得到导函数。
2. 将导函数的值与给定点的坐标代入切线方程的公式y-y₁=k(x-x₁)，其中k为导函数的值。
通过以上步骤，我们可以得到曲线某点处的切线方程，进而分析曲线在该点的切线斜率和特性。
四、利用导数求解曲线的凹凸性和拐点曲线的凹凸性和拐点是研究曲线特性的重要内容。
我们可以利用导数来求解曲线的凹凸性和拐点：1. 求取曲线方程的二阶导数，得到二阶导函数。
2. 判断二阶导函数的正负性：若二阶导函数大于0，则曲线在该点凹向上；若二阶导函数小于0，则曲线在该点凹向下。
3. 求解二阶导函数等于0的点，这些点即为曲线的拐点。
通过以上步骤，我们可以分析曲线的凹凸性和拐点，进一步掌握曲线的性质以及解题过程中的一些特殊情况。
结语本文介绍了利用圆锥曲线的导数进行解题的一些技巧和方法。
(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学知识点大全—圆锥曲线一、考点（限考）概要：1、椭圆：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。
用集合表示为：；②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心率用集合表示为：；（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
（3）参数方程：（θ为参数）；3、双曲线：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。
用集合表示为：②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。
用集合表示为：（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
4、抛物线：（1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。
用集合表示为：（2）标准方程和性质：①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；二、复习点睛：1、平面解析几何的知识结构：2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。
则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。
3、椭圆形状与e的关系：当e→0，c→0，椭圆→圆，直至成为极限位置的圆，则认为圆是椭圆在e=0时的特例。
当e→1，c→a椭圆变扁，直至成为极限位置的线段，此时也可认为是椭圆在e=1时的特例。
圆锥曲线标准方程
圆锥曲线标准方程圆锥曲线是平面上的一类重要曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
它们在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
本文将重点介绍圆锥曲线的标准方程，以及它们在几何和代数上的性质。
首先，我们来看圆的标准方程。
圆的标准方程可以表示为：(x h)² + (y k)² = r²。
其中(h, k)为圆心的坐标，r为圆的半径。
这个方程描述了平面上所有到圆心距离为r的点的集合。
圆是一种特殊的椭圆，其长短轴相等。
接下来，我们来讨论椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程可以表示为：(x h)²/a² + (y k)²/b² = 1。
其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。
椭圆是一种闭合曲线，其所有点到两个焦点的距离之和是一个常数。
椭圆在几何光学、天体力学等领域有着重要的应用。
双曲线是另一种重要的圆锥曲线。
它的标准方程可以表示为：(x h)²/a² (y k)²/b² = 1。
或者。
(x h)²/a² (y k)²/b² = -1。
双曲线有两条渐近线，其性质和椭圆有很大的不同。
在电磁学、光学等领域，双曲线也有着重要的应用。
最后，我们来讨论抛物线的标准方程。
抛物线的标准方程可以表示为：y = ax² + bx + c。
其中a、b、c为常数，且a不等于0。
抛物线是一种开口朝上或开口朝下的曲线，其在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
通过以上介绍，我们可以看到圆锥曲线的标准方程在数学和实际应用中有着重要的地位。
它们描述了平面上各种不同的曲线形状，具有丰富的几何和代数性质。
深入理解和熟练运用圆锥曲线的标准方程，对于提高数学水平和解决实际问题都具有重要意义。
总之，圆锥曲线的标准方程是数学中的重要概念，对于理解和应用各种曲线形状具有重要意义。
(完整版)《圆锥曲线》主要知识点
圆锥曲线与方程知识要点一、椭圆方程. 1、椭圆的定义：平面内与两个定点尸卜F 2,点P 满足IP 用+1尸/2∣=2α>2∣,则点P 的轨迹是 平面内与两个定点尸八F 2,点尸满足IP 居|+|Pq=2z=∣FE ∣,则点尸的轨迹是 平面内与两个定点尸I 、F 2,点P 满足IPFJ+1PKI=2〃<忻八|，则点P 的轨迹是 2X 2V 2若户是椭圆：-τ+J=I 上的点为焦点，若NF1P 户产氏则AT//2的面积为ab3、点与椭圆、直线与椭圆的位置关系9 2⑴点Pa0,比)与椭圆E+g=1(α>b>0)的位置关系：①点尸在椭圆上O;②点P 在椭圆内部=;③点P 在椭圆外部Q.(2)直线尸履+〃?与椭圆，+方=1(α>Z>O)的位置关系判断方法:消y 得一个一元二次方程是： _____________________________________________________v（3）弦长公式：设直线方程为），=履+加（%0）,椭圆方程为/+方=1（α>b>0）或方+∕=1（α>b>0）,直线与椭圆的两个交点为A（X1，yι）,3（X2，）力则∣A8∣=N（为一7）2+（小一”）2,Λ∖AB∖=7（X1X2）2+（如一g）2=<1+F∙d（X1-X2）2=y∣I+*7（X1+切）4_¥1囚，或HB1=d（i>1⅛2）+（上_1）2=[]+、•'（%_"）2=^1+.XJ（>1+>2）2_领/其中，即+“2,汨M 或“+”，V”的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y或X后得到关于X或y的一元二次方程得到.2 2（4）直线/：y=Ax+m与椭圆：二+与=1（α>/?>0）的两个交点为Aa1，y）,8（如力），a'b~弦A8的中点M（X0，州），则2=（用X0,州表示）二、双曲线方程.1、双曲线的定义：平面内与两个定点尸I、F2,点尸满足归/JTPgh2々<囚尸21则点尸的轨迹是平面内与两个定点尸卜尸2，点尸满足仍PJTPW=2α>巴川，则点P的轨迹是平面内与两个定点尸1、尸2，点P满足归尸]|-|尸/』=2〃=|尸尸小则点P的轨迹是21等轴双曲线：双曲线“2_,2=±『称为等轴双曲线，其渐近线方程为,离心率《=2 2（2）共渐近线的双曲线系方程：二-1?=”之0°）的渐近线方程为_________________a~Zr如果双曲线的渐近线为±±2=0时，它的双曲线方程可设为 ____________________ .ab(3)从双曲线一个焦点到一条渐近线的距离等于.3、直线与双曲线的位置关系r2V2(1)一般地，设直线/：y=kxΛ-m……①双曲线C：^-p=1(α>O,bX))……②把①代入②得关于X的一元二次方程为.①当〃一"仆=O时，直线/与双曲线的渐近线,直线与双曲线C.②当/一/炉和时，/>0=直线与双曲线有公共点，此时称直线与双曲线:/=0=直线与双曲线有公共点，此时称直线与双曲线：/<0=直线与双曲线公共点,此时称直线与双曲线.注意：直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点.AB的中点M(xo>h)，则A=(用必，yo表示)三、抛物线方程.1、抛物线的定义平面内与一个定点尸和一条定直线/(不经过点F)的点的轨迹叫做抛物线.点尸叫做抛物线的,直线/叫做抛物线的.思考1：平面内与一个定点F和一条定直线/(/经过点F),点的轨迹是2、抛物线的性质:3、抛物线的焦点弦的性质1.如图，A8是抛物线y2=2pMp>0)过焦点尸的一条弦，设Aa∣,》)、8(及，工)，AB的中点MX°，并)，相应的准线为/.(1)以AB为直径的圆必与准线/的位置关系是:(2)HB1=(焦点弦长用中点M的坐标表示)；(3)若直线AB的倾斜角为α,则∣A8∣=(焦点弦长用倾斜角为α表示)；如当α=90。
(八)圆锥曲线专题2008.11.26
圆锥曲线椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质直线与圆锥曲线的位置关系：（1） 相交：0∆>⇔直线与椭圆相交；0∆>⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0∆>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0∆>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0∆>⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0∆>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0∆>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。
如（1）若直线y=kx+2与双曲线x 2-y 2=6的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围是_______（答：(-315,-1)）；（2）直线y ―kx ―1=0与椭圆2215xym+=恒有公共点，则m 的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））； （3）过双曲线1222=-yx 的右焦点直线交双曲线于A 、B 两点，若│AB ︱＝4，则这样的直线有_____条（答：3）；（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切；0∆=⇔直线与双曲线相切；0∆=⇔直线与抛物线相切；（3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；0∆<⇔直线与双曲线相离；0∆<⇔直线与抛物线相离。
特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。
如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点； （2）过双曲线2222bya x-＝1外一点00(,)P x y 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线； ④P 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。
高考数学《圆锥曲线》(考纲要求)
第八章圆锥曲线方程考试内容：椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．了解椭圆的参数方程．双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质．抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质．考试要求：（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程．（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．（4）了解圆锥曲线的初步应用．基本方法和数学思想1．求轨迹方程的基本方法有两大类，即直接法和间接法。
其中直接法包括：直译法，定义法，待定系数法，公式法等。
间接法包括：转移法，参数法(k参数、t参数，θ参数及多个参数)等。
2．本节解题时用到的主要数学思想方法有：（1）函数方程思想。
求平面曲线的轨迹方程，其解决问题的最终落脚点就是将几何条件(性质)表示为动点坐标x、y的方程或函数关系（参数法）。
（2）数形结合思想。
解题时重视方程的几何意义和图形的辅助作用是非常必要的。
即将对几何图形的研究，转化为对代数式的研究，同时又要理解代数问题的几何意义。
（3）等价转化思想。
在解决问题的过程中往往需要将一个问题等价转化为另一个较为简单的问题去求解。
3．避免繁复运算的基本方法可以概括为：回避，选择，寻求。
所谓回避，就是根据题设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质等，从而避免化简方程、求交点、解方程等繁复的运算。
所谓选择，就是选择合适的公式，合适的参变量，合适的坐标系等，一般以直接性和间接性为基本原则。
因为对普通方程运算复杂的问题，用参数方程可能会简单；在某一直角坐标系下运算复杂的问题，通过移轴可能会简单；在直角坐标系下运算复杂的问题，在极坐标系下可能会简单“所谓寻求”。
热点分析高考圆锥曲线试题一般有3题(1个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计22分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念和性质为主, 难度在中等以下，一般较容易得分，解答题常作为数学高考中的压轴题，综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力，重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 往往结合平面向量进行求解，在复习应充分重视。
高中数学第八章圆锥曲线知识点
高中数学第八章圆锥曲线知识点第八章圆锥曲线是高中数学中的一个重要章节，涵盖了圆锥曲线的基本概念、性质以及相关应用等内容。
圆锥曲线是一类特殊的曲线，由一个固定点（称为焦点）和到该点距离与到一条固定直线（称为准线）距离的比值为常数定义。
本文将从椭圆、双曲线和抛物线这三种常见的圆锥曲线开始，介绍它们的定义、性质和公式，并探讨它们在几何和实际问题中的应用。
一、椭圆椭圆是圆锥曲线中最基本的一种情形。
它的定义是，对于一个固定点F（焦点）和一条固定直线l（准线），所有到F和l的距离之比等于一个常数e（离心率）的点的轨迹。
椭圆具有很多重要的性质，如焦点的性质、离心率的性质、对称性和切线的性质等，这些性质对于解题和应用非常重要。
二、双曲线双曲线是圆锥曲线中另一种重要的类型。
与椭圆相比，双曲线的定义稍微有些不同。
它的定义是，对于一个固定点F（焦点）和一条固定直线l（准线），所有到F和l的距离之差等于一个常数e （离心率）的点的轨迹。
双曲线的性质也非常丰富，包括焦点和准线的性质、离心率的性质、渐近线、对称性以及切线的性质等。
三、抛物线抛物线是圆锥曲线中最后一种常见的类型。
它的定义是，对于一个固定点F（焦点）和一条固定直线l（准线），所有到F和l的距离相等的点的轨迹。
抛物线也具有许多独特的性质，如焦点和准线的性质、对称性、切线的性质、曲率和渐近线等。
这三种圆锥曲线在几何中起到了重要的作用，但在实际问题中的应用更为广泛。
例如，在天文学中，行星运动的轨迹可以用椭圆来描述；在通信中，天线的波束方向可以通过双曲线来确定；在物理学中，抛物线的形状可以用来描述抛射体的运动轨迹等等。
总之，高中数学第八章圆锥曲线是一个非常重要的知识点，涉及到椭圆、双曲线和抛物线三种常见情形的定义、性质和应用。
掌握圆锥曲线的相关知识，不仅对于解决几何问题有很大的帮助，还。
圆锥曲线的教学研究
圆锥曲线的教学研究一、引言圆锥曲线是数学中一个非常重要的主题，它在实际生活和科学研究中有广泛的应用。
本文旨在探讨圆锥曲线的教学研究，从基本概念、标准方程、几何性质、焦点与准线、切线与法线、光学性质、与代数方程的关系以及实际应用等方面进行详细阐述。
二、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是指在平面内，以一定点为中心，用一个平面去截一个圆锥面所得到的曲线。
根据不同的截面位置，可以得到不同类型的圆锥曲线，如椭圆、双曲线和抛物线。
三、圆锥曲线的标准方程对于不同类型的圆锥曲线，有不同的标准方程。
对于椭圆，其标准方程为：x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)；对于双曲线，其标准方程为：x ²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)；对于抛物线，其标准方程为：y²=2px(p>0)。
这些标准方程是研究圆锥曲线的重要基础。
四、圆锥曲线的几何性质不同类型的圆锥曲线具有不同的几何性质。
例如，椭圆是封闭的，具有两个焦点，且离焦点的距离之和等于长轴的长度；双曲线是发散的，具有两个顶点，且离顶点的距离之差等于实轴的长度；抛物线是既不封闭也不发散的，它具有一个焦点和一条准线。
五、圆锥曲线的焦点与准线圆锥曲线的焦点位于其对称轴上，与曲线上任意一点距离相等。
准线是与焦点所在直线平行的直线，对于椭圆和双曲线，焦点和准线之间存在固定距离。
抛物线的焦点也是其准线，它们重合在一起。
六、圆锥曲线的切线与法线切线和法线是描述曲线在某一点上方向的几何量。
对于圆锥曲线，其切线在切点处与曲线的半径垂直。
法线是与切线垂直的线，它也通过切点。
研究圆锥曲线的切线和法线有助于深入理解曲线的几何性质。
七、圆锥曲线的光学性质圆锥曲线在光学中有重要应用。
例如，透镜的形状通常设计成椭圆或双曲线的形状，以使光线正确聚焦。
此外，抛物线形的反射镜可以将平行光聚焦到一个点上。
高中数学第八章圆锥曲线知识点
高中数学第八章圆锥曲线知识点第八章圆锥曲线是高中数学的一个重要章节，本章内容涵盖了圆锥曲线的基本定义、性质和相关的解题方法。
在本文档中，我们将详细介绍圆锥曲线的相关知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。
一、圆锥曲线的基本定义1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是由一个固定点（焦点）和一个动点（在直线上移动）确定的几何图形。
根据焦点的位置和直线与曲线的交点情况，圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三种情况。
2. 椭圆的定义椭圆是平面上与两个固定点的距离之和等于常数的点（焦点），构成的几何图形。
3. 双曲线的定义双曲线是平面上与两个固定点的距离之差等于常数的点（焦点），构成的几何图形。
4. 抛物线的定义抛物线是平面上与一个固定点的距离等于另一个固定点到直线的距离，构成的几何图形。
二、圆锥曲线的性质1. 椭圆的性质椭圆的离心率小于1，焦点在椭圆的内部。
椭圆有两个主轴，相互垂直，长度分别为2a和2b，其中2a是椭圆的长轴，2b是椭圆的短轴。
椭圆的面积为πab。
2. 双曲线的性质双曲线的离心率大于1，焦点在双曲线的外部。
双曲线有两个虚轴和两条实轴，相互垂直。
双曲线的面积无限大。
3. 抛物线的性质抛物线的离心率等于1，焦点在抛物线的内部。
抛物线有一个对称轴，与焦点和顶点的距离相等。
抛物线的面积为2/3 × a × h，其中a是焦点到顶点的距离，h是对称轴的长度。
三、圆锥曲线的解题方法1. 椭圆的解题方法（1）求解椭圆的标准方程，确定椭圆的中心、长轴和短轴；（2）求解椭圆的焦点和离心率；（3）利用椭圆的性质解题，例如求点到椭圆的距离或求椭圆上一点的坐标。
2. 双曲线的解题方法（1）求解双曲线的标准方程，确定双曲线的中心、虚轴和实轴；（2）求解双曲线的焦点和离心率；（3）利用双曲线的性质解题，例如求点到双曲线的距离或求双曲线上一点的坐标。
3. 抛物线的解题方法（1）求解抛物线的标准方程，确定抛物线的顶点、对称轴和焦点；（2）利用抛物线的性质解题，例如求点到抛物线的距离或求抛物线上一点的坐标。
高三数学高考一轮复习系列教案第八章 圆锥曲线 大纲版
第八章圆锥曲线知识结构高考能力要求1．掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程．2．掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质．3．掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质．4．了解圆锥曲线的初步应用．高考热点分析圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。
纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分~24分，占15%左右，并且主要体现出以下几个特点：1．圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容：①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p 五个参数的求解．②圆锥曲线的几何性质的应用．2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法．3．有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现．4．求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势．高考复习建议1．圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质是本章的基本内容．复习中对基本概念的理解要深,对公式的掌握要活,充分重视定义在解题中的地位和作用,重视知识间的内在联系．椭圆、双曲线、抛物线它们都可以看成是平面截圆锥所得的截线，其本质是统一的.因此这三种曲线可统一为“一个动点P到定点F和定直线l的距离之比是一个常数e的轨迹”，当0＜e＜1、e＝1、e＞1时,分别表示椭圆、抛物线和双曲线．复习中有必要将椭圆、抛物线和双曲线的定义，标准方程及几何性质进行归类、比较，把握它们之间的本质联系，要学会在知识网络交汇处思考问题、解决问题．2．计算能力的考查已引起高考命题者的重视,这一章的复习要注意突破“运算关”,要寻求合理有效的解题途径与方法．3．加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习，注重数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理的运用．4．重视圆锥曲线与平面向量、函数、方程、不等式、三角、平面几何的联系，重视数学思想方法的训练，达到优化解题思维、简化解题过程的目的．８．1 椭圆知识要点1．椭圆的两种定义(1) 平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是 ．②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在．(2) 椭圆的第二定义：到 的距离与到 的距离之比是常数e ，且∈e 的点的轨迹叫椭圆．定点F 是椭圆的 ，定直线l 是 ，常数e 是 ．2．椭圆的标准方程(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12222=+b y a x ，其中( > >0，且=2a ) (2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是12222=+bx ay ，其中a ，b 满足： ．3．椭圆的几何性质(对12222=+by a x ,a > b >0进行讨论)(1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤ (2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．(3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；准线方程： ．(4) 离心率：=e ( 与 的比)，∈e ，e 越接近1，椭圆越 ；e 越接近0，椭圆越接近于 ．(5) 焦半径公式：设21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，),(00y x P 是椭圆上一点，则=1PF ，122PF a PF -== ．(6) 椭圆的参数方程为 ． 4．焦点三角形应注意以下关系： (1) 定义：r 1＋r 2＝2a(2) 余弦定理：21r ＋22r －2r 1r 2cos θ＝(2c )2(3) 面积：21F PF S ∆＝21r 1r 2 sin θ＝21·2c | y 0 |(其中P(00,y x )为椭圆上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ)例题讲练【例1】 中心在原点，一个焦点为F 1(0，52)的椭圆被直线y ＝3x －2截得的弦的中点的横坐标为21，求此椭圆的方程．【例2】 已知点P(3, 4)是椭圆2222b y a x +＝1 (a >b >0) 上的一点，F 1、F 2是它的两焦点，若PF 1⊥PF 2，求：(1) 椭圆的方程； (2) △PF 1F 2的面积．【例3】如图，射线OA 、OB 分别与x 轴、 y 轴所成的角均为︒30；已知线段PQ 的长度为2，并且保持线段的端点),(11y x P 在射线OA 上运动，点),(22y x Q 在射线OB 上运动(1) 试求动点),(21x x M 的轨迹C 的方程(2) 求轨迹C 上的动点N 到直线03=--y x 的距离的最大值和最小值．【例4】 （2005年全国卷I ）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，+与＝(3, －1)共线.(1) 求椭圆的离心率；(2) 设M 是椭圆上任意一点，且＝μλ+(λ、μ∈R)，证明22μλ+为定值.小结归纳 1．在解题中要充分利用椭圆的两种定义，灵活处理焦半径，熟悉和掌握a 、b 、c 、e 关系及几何意义，能够减少运算量，提高解题速度，达到事半功倍之效．2．由给定条件求椭圆方程，常用待定系数法．步骤是：定型——确定曲线形状；定位——确定焦点位置；定量——由条件求a 、b 、c ，当焦点位置不明确时，方程可能有两种形式，要防止遗漏．3．解与椭圆的焦半径、焦点弦有关的问题时，一般要从椭圆的定义入手考虑；椭圆的焦半径的取值范围是],[c a c a +-．4．“设而不求”，“点差法”等方法，是简化解题过程的常用技巧，要认真领会．5．解析几何与代数向量的结合，是近年来高考的热点，在2005年的考题中足以说明了这一点，应引起重视．基础训练题 一、选择题1． 动点M 到定点)0,4(1-F 和)0,4(2F 的距离的和为8，则动点M 的轨迹为 （ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．无图形 D ．两条射线2． (2005年全国高考试题III) 设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）A ．22 B ．212- C ．2－2D ．2－13． （2004年高考湖南卷）F 1、F 2是椭圆C ：14822=+y x 的焦点，在C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为（ ） A ．2个 B ．4个 C ．无数个 D ．不确定4． 椭圆171622=+y x 的左、右焦点为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 （ ） A ．32 B ．16 C ．8 D ．45． 已知点P 在椭圆(x －2)2＋2y 2＝1上，则xy的最小值为（ ）A ．36-B ．26-C ．6-D ．66-6． 我们把离心率等于黄金比215-的椭圆称为“优美椭圆”，设)0(12222>>=+b a by a x 是优美椭圆，F 、A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它的短轴的一个端点，则ABF ∠等于 （ ） A ．︒60 B ．︒75 C ．︒90 D ．︒120二、填空题 7． 椭圆400162522=+y x 的顶点坐标为 和 ，焦点坐标为 ，焦距为 ，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 ．8． 设F 是椭圆16722=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i (i ＝1，2， )，使得|FP 1|、|FP 2|、|FP 3|…组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围是 ． 9． 设1F ，2F 是椭圆14322=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且121=-PF PF ，则得=∠21PF F ． 10．若椭圆2222)1(-+m y m x ＝1的准线平行于x 轴则m 的取值范围是 ．三、解答题11．根据下列条件求椭圆的标准方程(1) 和椭圆1202422=+y x 共准线，且离心率为21．(2) 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为534和532，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点．12．椭圆14922=+y x 的焦点为21,F F ，点P 为其上的动点，当∠21PF F 为钝角时，求点P 横坐标的取值范围．13．(2005年高考湖南卷)已知椭圆C ：12222=+by a x (a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，离心率为e ．直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴，y 轴分别交于点A 、B 、M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ． (Ⅰ)证明：λ＝1－e 2；(Ⅱ)若λ＝43，△MF 1F 2的周长为6，写出椭圆C 的方程；(Ⅲ)确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形．提高训练题14．(2006年高考湖南卷)已知C 1：13422=+y x ，抛物线C 2：(y －m )2＝2px (p ＞0)，且C 1、C 2的公共弦AB 过椭圆C 1的右焦点．(Ⅰ)当AB ⊥x 轴时，求p 、m 的值，并判断抛物线C 2的焦点是否在直线AB 上；(Ⅱ)若p ＝34，且抛物线C 2的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程．15．（成都市2006届毕业班摸底测试）设向量i ＝(1, 0)，j ＝(0, 1)，＝(x ＋m )i ＋y j ，＝(x －m )i ＋y j ，且||＋||＝6，0< m < 3，x >0，y ∈R ． ( I )求动点P(x ，y )的轨迹方程；( II ) 已知点A(－1, 0)，设直线y ＝31(x －2)与点P 的轨迹交于B 、C 两点，问是否存在实数m ，使得AC AB ⋅＝31？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．8．2 双 曲 线知识要点 1．双曲线的两种定义(1) 平面内与两定点F 1，F 2的 常数(小于 )的点的轨迹叫做双曲线．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，p 点的轨迹是 ．②2a ＞|F 1F 2|时，p 点轨迹不存在．(2) 平面内动点P 到一个定点F 和一条定直线l (F 不在 上)的距离的比是常数e ，当∈e 时动点P 的轨迹是双曲线．设P 到1F 的对应准线的距离为d ，到2F 对应的准线的距离为2d ，则e d PF d PF ==22112．双曲线的标准方程 (1) 标准方程：12222=-b y a x ，焦点在 轴上；12222=-bx ay ，焦点在 轴上．其中：a 0，b 0，=2a ．(2) 双曲线的标准方程的统一形式：)0(122<=+nm ny mx3．双曲线的几何性质(对0,0,122>>=-b a b y a x 进行讨论)(1) 范围：∈x ，∈y ．(2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．(3) 顶点坐标为 ，焦点坐标为 ，实轴长为 ，虚轴长为 ，准线方程为 ，渐近线方程为 ．(4) 离心率e = ，且∈e ，e 越大，双曲线开口越 ，e 越小，双曲线开口越 ，焦准距P ＝ ．(5) 焦半径公式，设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若),(00y x P 是双曲线右支上任意一点，=1PF ，=2PF ，若),(00y x P 是双曲线左支上任意一点，=1PF ，=2PF ． (6) 具有相同渐近线x aby ±=的双曲线系方程为 (7) 的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线为 ，离心率为 ．(8) 12222=-b y a x 的共轭双曲线方程为 ．例题讲练【例1】 根据下列条件，写出双曲线的标准方程 (1) 中心在原点，一个顶点是(0，6)，且离心率是1.5．(2) 与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．【例2】 （04年高考湖北卷）直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B ．(1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【例3】 在双曲线1121322-=-y x 的一支上有不同的三点A(x 1，y 1)，B(x 2，6)，C(x 3，y 3)与焦点F(0，5)的距离成等差数列．(1)求y 1＋y 3；(2)求证：线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求出这个定点的坐标．【例4】 （2004年高考全国卷II ）设双曲线C ：)0(1222>=-a y a x 与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点．(1) 求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2) 设直线l 与y 的交点为P ，且＝125，求a的值．小结归纳1．复习双曲线要与椭圆进行类比，尤其要注意它们之间的区别，如a 、b 、c 、e 的关系．2．双曲线的渐近线的探求是一个热点．①已知双曲线方程求渐近线方程；②求已知渐近线方程的双曲线方程．3．求双曲线的方程，经常要列方程组，因此，方程思想贯穿解析几何的始终，要注意定型（确定曲线形状）、定位（曲线的位置）、定量（曲条件求参数）．4．求双曲线的方程的常用方法： (1) 定义法．(2) 待定系数法．涉及到直线与圆锥曲线的交点问题，经常是“设而不求”．5．例2的第(1)问是数材P 132第13题的引申，因此高考第一轮复习要紧扣教材．6．对于直线与双曲线的位置关系，要注意“数形转化”“数形结合”，既可以转化为方程组的解的个数来确定，又可以把直线与双曲线的渐近线进行比较，从“形”的角度来判断．基础训练题 一、选择题1． A 、B 是平面内两定点，动点P 到A 、B 两点的距离的差是常数，则P 的轨迹是 （ ） A ．双曲线 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．不能确定2． （04年高考湖南卷）如果双曲线1121322=-y x 上一点p 到右焦点的距离等于13，那么点p 到右焦线的距离是 （ ）A ．513 B ．13 C ．5D ．1353． 已知双曲线的渐近线方程是2xy ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 （ ）A ．152022=-y x B ．152022±=-y x C ．120522=-y xD ．120522±=-y x4． （2005年高考湖南卷）已知双曲线12222=-by a x (a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右焦线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a ，（0为原点）则两条渐近线的夹角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°5． 已知双曲线14922=-y x ，则过点A(3，1)且与双曲线仅有唯一的公共点的直线有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条6． (2005年江苏高考最后冲刺题) 设双曲线16x 2－9y 2＝144的右焦点为F 2，M 是双曲线上任意一点，点A 的坐标为（9，2），则|MA|＋53|MF 2|的最小值为（ ）A ．9B ．536C ．542D ．554二、填空题7． 中心在原点，坐标轴为对称轴，实轴与虚轴长之差为2，离心率为45的双曲线方程为 ．8． (2004年高考·吉林、四川)设中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆与双曲线12222=-y x 有公共焦点，且它们的离心率互为倒数，则椭圆方程为 ．9． （2006年高考湖南卷）过双曲线M ：1222=-b y x 的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|＝|BC|，则双曲线M 的离心率是 ．10．可以证明函数x bax y +=(b ≠0)的图象是双曲线，试问双曲线C ：xx y 33+=的离心率e 等于 ．三、解答题11．(1) 已知双曲线的渐近线方程为032=±yx ，且过点(2，－6)，求双曲线的方程；(2) 已知双曲线的右准线为x ＝4，右焦点为F(10，0)，离心率为e ＝2，求双曲线的方程． 12．ABC ∆中，固定底边BC ，让顶点A 移动，已知4=BC ，且A B C sin 21sin sin =-，求顶点A 的轨迹方程．13．双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率e 的取值范围．提高训练题 14．已知动点p 与双曲线13222=-y x 的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－91．(1) 求动点p 的轨迹方程；(2) 若已知点D(0，3)，点M 、N 在动点p 的轨迹上且λ=，求实数λ的取值范围．15．(2005年武汉市高三调考)已知等轴双曲线C ：)0(222>=-a a y x 上一定点P(00,y x )及曲线C 点上两个动点A 、B ，满足0=⋅PB PA(1) M 、N 分别为PA 、PB 中点，求证：0=⋅ON OM (O 为坐标原点)；(2) 求|AB|的最小值及此时A 点坐标．抛 物 线 1．抛物线定义：离 的点的轨迹叫抛物线，焦点， 叫做抛物线的准线2．抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程① px y 22=，焦点为 ，准线为 ． ② px y 22-=，焦点为 ，准线为 ． ③ py x 22=，焦点为 ，准线为 ． ④ py x 22-=，焦点为 ，准线为 ． 3．抛物线的几何性质：对)0(22>=p px y 进行讨论． ① 点的范围： 、 ． ② 对称性：抛物线关于 轴对称． ③ 离心率=e ．④ 焦半径公式：设F 是抛物线的焦点，),(o o y x P 是抛物线上一点，则=PF ．⑤ 焦点弦长公式：设AB 是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)i) 若),(11y x A ，),(22y x B ，则AB ＝ ，21y y ．ii) 若AB 所在直线的倾斜角为θ()0≠θ则AB ＝ ．特别地，当θ2π=时，AB 为抛物线的通径，且AB ＝ ．iii) S △AOB ＝ （表示成P 与θ的关系式）．iv) ||1||1BF AF +为定值，且等于 ． 例题讲练【例1】 已知抛物线顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点),3(n A -到焦点的距离为5，求抛物线的方程和n 的值．【例2】 已知抛物线C ：x y 42=的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B ．(1) 若316=AB ，求直线l 的方程．(2) 求AB 的最小值．【例3】 若A(3，2)，F 为抛物线x y 22=的焦点，P 为抛物线上任意一点，求PA PF +的最小值及取得最小值时的P 的坐标．【例4】 （05全国卷(Ⅲ)）设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，两点在抛物线y ＝2x 2上，l 是AB 的垂直平分线．(1)当且仅当x 1＋x 2取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论？(2)当直线l 的斜率为2时，求在y 轴上的截距的取值范围．小结归纳 1．求抛物线方程要注意顶点位置和开口方向，以便准确设出方程，然后用待定系数法．2．利用好抛物线定义，进行求线段和的最小值问题的转化．3．涉及抛物线的弦的中点和弦长等问题要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算．4、解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，应注意焦点弦的几何性质．基础训练题 一、选择题1． 过抛物线)0(22>=P px y 的焦点作直线交抛物线于),(11y x A ，),(22y x B 两点，若P x x 321=+，则AB等于（ ）A ．2PB ．4PC ．6PD ．8P2． 已知动点),(y x P 满足22)2()1(5-+-y x ＝|1243|++y x ，则P 点的轨迹是 （ ）A ．两条相交直线B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆3． 已知抛物线212:x y C =与抛物线2C 关于直线x y -=对称，则2C 的准线方程是（ ）A ．81-=x B ．21=xC ．81=x D ．21-=x4． （2005年高考上海卷）过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ ） A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条 C ．有无数条 D ．不存在5． (2003年新课程卷)抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为 （ ）A ．81B ．81-C ．8D ．8-6． （04年高考湖北卷）与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是 （ ） A ．2x －y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．2x －y －1＝0二、填空题7． 点M 与点F(4，0)的距离比它到连线l ：x ＋5＝0的距了小1，则点M 的轨迹方程为 ． 8． 某桥的桥洞是抛物线，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度为 米(精确到0.1米)． 9． 过点（3，3）的直线与抛物线y 2＝3x 只有一个公共点，则这样的直线的条数为 ．10．一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x 2)200(2≤≤=y y ，在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r 的取值范围是三、解答题11．求顶点在原点，对称轴是x 轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程．12．正方形ABCD 中，一条边AB 在直线y ＝x ＋4上，另外两顶点C 、D 在抛物线y 2＝x 上，求正方形的面积．13．设A 和B 为抛物线y 2＝4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？提高训练题 14．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，试问：以AB 为直径的圆与抛物线的准线是相交、相切还是相离？若把抛物线改为椭圆12222=+b y a x 或双曲线12222=-b y a x ，结果又如何呢？15．(2004年高考上海卷)如图，直线x y 21=与抛物线4812-=x y 交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与直线5-=y 交于Q 点． (1) 求点Q 的坐标；(2) 当P 为抛物线上位于线段AB(含点A 、B)下方的动点时，求OPQ ∆面积的最大值．8．4 直线与圆锥曲线的位置关系知识要点 1．直线与圆锥曲线的位置关系，常用研究方法是将曲线方程与直线方程联立，由所得方程组的解的个数来决定，一般地，消元后所得一元二次方程的判别式记为△，△>0时，有两个公共点，△＝0时，有一个公共点，△<0时，没有公共点．但当直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解（即直线与曲线只有一个交点）时，直线与曲线未必相切，在判定此类情形时，应注意数形结合．（对于双曲线，重点注意与渐近线平行的直线，对于抛物线，重点注意与对称轴平行的直线）2．直线与圆锥曲线的交点间的线段叫做圆锥曲线的弦．设弦AB 端点的坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2),直线AB 的斜率为k ，则：｜AB ｜=————————或：—————————．利用这个公式求弦长时，要注意结合韦达定理． 当弦过圆锥曲线的焦点时，可用焦半径进行运算． 3．中点弦问题：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是椭圆12222=+b y a x 上不同的两点，且x 1≠x 2，x 1＋x 2≠0，M(x 0，y 0)为AB 的中点，则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y ax b y a x 两式相减可得2221212121ab x x y y x x y y -=++⋅--即 ．对于双曲线、抛物线，可得类似的结论．例题讲练 【例1】 直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A 、B 两点．(1) 当a 为何值时，A 、B 两点在双曲线的同一支上？当a 为何值时，A 、B 两点分别在双曲线的两支上？(2) 当a 为何值时，以AB 为直径的圆过原点？x【例2】 已知双曲线方程2x 2－y 2＝2.(1) 求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程； (2) 过点B(1,1)能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于Q 1、Q 2两点，且点B 是弦Q 1Q 2的中点？这样的直线l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．【例3】 在抛物线y 2＝4x 上恒有两点关于直线y ＝kx ＋3对称，求k 的取值范围．【例4】 （2006届苏州市高三调研测试）已知椭圆222y ax +＝1(a 为常数，且a >1)，向量m ＝(1, t ) (t >0)，过点A(－a , 0)且以为方向向量的直线与椭圆交于点B ，直线BO 交椭圆于点C （O 为坐标原点）．(1) 求t 表示△ABC 的面积S( t )；(2) 若a ＝2，t ∈[21, 1]，求S( t )的最大值．小结归纳1．判断直线与圆锥曲线的位置关系时，注意数形结合；用判别式的方法时，若所得方程二次项的系数有参数，则需考虑二次项系数为零的情况．2．涉及中点弦的问题有两种常用方法：一是“设而不求”的方法，利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率的关系，它能简化计算；二是利用韦达定理及中点坐标公式．对于存在性问题，还需用判别式进一步检验．3．对称问题，要注意两点：垂直和中点．基础训练题 一、选择题1． 曲线x 2＋4y 2＋D x ＋2E y ＋F ＝0与x 轴有两个交点，且这两个交点在原点的两侧的充要条件是 （ ） A ．D ≠0，E ＝0，F ＞0 B ．E ＝0，F ＜0 C ．D 2－F ＞0 D ．F ＜0 2． 若椭圆193622=+y x 的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为 （ ） A ．2 B ．－2C ．31D ．－213． 经过抛物线)0(22>=p px y 的所有焦点弦中，弦长的最小值为 （ ） A ．p B ．2p C ．4p D ．不确定4． 过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l ，交双曲线于A 、B 两点，若∣AB ∣=4，则这样的直线l 有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条5． （华师大二附中2005年模拟试卷2） 直线l ：y ＝kx ＋1(k ≠0)椭圆E ：1422=+y m x ，若直线l 被椭圆E 所截弦长为d ，则下列直线中被椭圆E 截得的弦长不是d 的是 （ ） A ．kx ＋y ＋1＝0 B ．kx －y －1＝0 C ．kx ＋y －1＝0 D ．kx ＋y ＝06． 椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M 、N 两点，过两点O 与线段MN 之中点的直线的斜率为22，则xnm的值是 （ ）A ．22B ．332 C ．229D ．2732二、填空题7． 已知直线x －y ＝2与抛物线y 2－4x 交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是 .8． 对任意实数k ，直线y ＝kx ＋b 与椭圆⎩⎨⎧==θθs i n 4c o s 2y x (0≤θ＜2π)恒有公共点，则b 的取值范围是 ．9． 已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 所在直线与y 轴交点坐标为（0，2），则2111y y +＝ ．10．若直线mx ＋ny －3＝0与圆x 2＋y 2＝3没有公共点，则m 、n 的关系式为___________;以(m ，n )为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆13722=+y x 的公共点有____个.三、解答题 11．已知直线l 交椭圆162022y x +＝1于M 、N 两点，B(0，4)是椭圆的一个顶点，若△BMN 的重心恰是椭圆的右焦点，求直线l 的方程.12．已知直线y ＝(a ＋1)x －1与曲线y 2＝ax 恰有一个公共点，求实数a 的值.13．（05重庆）已知椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点． (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与椭圆C 1及双曲线C 2恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 的满足6<⋅(其中O 为原点)，求k 的取值范围． 提高训练题14．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3． ⑴ 求椭圆的方程；⑵ 设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M 、N ，当AN AM =时，求m 的取值范围．15．（04湖南）过抛物线x 2＝4y 的对称轴上任一点P(0，m )(m ＞0)，作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点． (Ⅰ)设点P 分有向线段所成的比为λ，证明：)(λ-⊥；(Ⅱ)设直线AB 的方程是x －2y ＋12＝0，过A 、B 两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．8．5 轨迹方程知识要点1．直接法求轨迹的一般步骤：建系设标，列式表标，化简作答（除杂）．2．求曲线轨迹方程，常用的方法有：直接法、定义法、代入法（相关点法、转移法）、参数法、交轨法等．例题讲练【例1】一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．【例2】已知抛物线过点N(1，－1)，且准线为l：x ＝－3，求抛物线顶点M的轨迹．【例3】已知直线l与椭圆12223=+byax(a>b>0)有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴交于R、S，求以线段SR 为对角线的矩形ORPS的顶点P的轨迹方程．【例4】已知点H（0，－3），点P在x轴上，点Q 在y轴正半轴上，点M在直线PQ上，且满足PMHP⋅＝0，MQPM23-=．(1) 当点P在x轴上移动时，求动点M的轨迹曲线C 的方程；(2) 过定点A（a，b）的直线与曲线C相交于两点S、R，求证：抛物线S、R两点处的切线的交点B恒在一条直线上．小结归纳1．直接法求轨迹方程关键在于利用已知条件，找出动点满足的等量关系，这个等量关系有的可直接利用已知条件，有的需要转化后才能用．2．回归定义是解决圆锥曲线轨迹问题的有效途径．3．所求动点依赖于已知曲线上的动点的运动而运动，常用代入法求轨迹．4．参数法求轨迹关键在于如何选择好参数，建立起x ，y 的参数方程，以便消参，选择n 个参数，要建立n ＋1个方程，消参时，要注意等价性．5．求轨迹比求轨迹方程多一个步骤，求轨迹最后须说明轨迹的形状、大小、位置、方向．基础训练题 一、选择题1． 已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得| PQ |＝| PF 2 |，那么动点Q 的轨迹是 ( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．抛物线2． 动点P 与定点)0,1(,)0,1(B A -的连结的斜率之积为1-，则P 点的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝1)1(±≠x C ．x 2＋y 2＝1)0(≠x D ．21x y -=3． 已知动点P(x 、y )满足1022)2()1(-+-y x ＝|3x ＋4y＋2|，则动点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．无法确定4． 设P 为椭圆12222=+by a x 上一点，过右焦点F 2作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹是（ ） A ．直线 B ．抛物线 C ．圆 D ．双曲线 5． 设P 为双曲线12222=-b y a x 上一点， 过右焦点F 2作∠F 1PF 2的内角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹是 （ ） A ．圆 B ．抛物线 C ．直线 D ．椭圆 6． 已知点P(x ，y )在以原点为圆心，半径为1的圆上运动，则点(x ＋y ，xy )的轨迹是 （ ） A ．半圆 B ．抛物线的一部分 C ．椭圆 D ．双曲线的一支二、填空题7． 长为2a 的线段AB 的两个端点分别在x 轴、y 轴上滑动，则AB 中点的轨迹方程为 ．8． 经过定点M(1，2)，以y 轴为准线，离心率为21的椭圆左顶点的轨迹方程 ． 9． 已知抛物线)(12R m mx x y ∈-+-=，当m 变化时抛物线焦点的轨迹方程为 ． 10．（04北京）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与到直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹是 ．三、解答题 11．以动点P 为圆心的圆与圆A ：(x ＋5)2＋y 2＝49及圆B ：(x －5)2＋y 2＝1都外切，求动点P 的轨迹.12．已知双曲线2222ny m x -＝1(m ＞0，n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q. (1) 求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程； (2) 当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.13．设直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆C ：ax 2＋y 2＝2(a ＞1)交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB （O 为坐标原点）．(1)若k ＝1，且四边形OAPB 为矩形，求a 的值； (2)若a ＝2，当k 变化时，(k ∈R)，求点P 的轨迹方程．提高训练题14．设椭圆方程为1422=+y x ，过点M(0，1)的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足)(21OB OA OP +=，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求：(1) 动点P 的轨迹方程； (2) ||NP 的最小值与最大值.A1。
第八章(圆锥曲线)过关测试
2 x ，那么
y2 1 1 上一点，焦点 F (2,0) ,点 A(3,2) ，使 | PA | | PF | 有最小值 3 2
x2 y2 2 1 的两个焦点,P 是椭圆上的点,当 F1 PF2 m n 3
时, F1 PF2 的面积最大, 则有 m , n 11. 设 O 为坐标原点，F 为抛物线 y ＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若 OA AF ＝－4，
19．(16 分)已知椭圆的焦点为 F1（－1，0） 、F2（1，0） ，直线 x=4 是它的一条准线. （1）求椭圆的方程； （2）设 A1、A2 分别是椭圆的左顶点和右顶点，P 是椭圆上满足|PA1|－|PA2|=2 的一点， 求 tan∠A1PA2 的值； （3）若过点（1，0）的直线与以原点为顶点、A2 为焦点的抛物线相交于点 M、N，求 MN 中点 Q 的轨迹方程.
16． (14 分)已知椭圆
x2 y 2 1的左焦点为 F， O 为坐标原点， 设过点 F 的直线交椭圆于 A、 2
B 两点，并且线段 AB 的中点在直线 x y 0 上，求直线 AB 的方程.
y
B N F A O x
l
17．(14 分)椭圆
x2 y 2 1(a, b 0) 的两个焦点 F1、F2，点 P 在椭圆 C 上，且 P F1⊥PF2,,| a 2 b2
2
则点 A 的坐标是 12.设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为 等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 13．设 P 是双曲线
x2 y2 1 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3x 2 y 0 ,F1、F2 分 9 a2
8圆锥曲线(黄炳锋)
2013届福州市高三数学基础回归备考资料八、圆锥曲线福州三中 黄炳锋1． 圆锥曲线的定义：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在．若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支．要重视定义中“括号”内的限制条件：如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）已知12F F 、为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若22||||12||___F A F B AB +==，则 （答：8）（3）方程8表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） （4）已知)0(),0,(),0,(>=--c c PN PM c N c M 若，则动点P 的轨迹是（ ）A ．双曲线的左支B ．双曲线的右支C ．以N 为端点的射线D ．线段MN （答：B ）2． 圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）．方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）．如：已知方程12322=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（答：11(3,)(,2)22--- ）；（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222b x a y -＝1（0,0a b >>）．方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）．如（1）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2214x y -=）； （2）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->．3． 圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2，y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上．如已知方程222x my +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__（答：(0,1)）（2）双曲线：由x 2，y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向．特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a 最大，222a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+．4． 圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以12222=+by a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤； ②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0，0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④离心率：ce a=，椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁． 如（1）若椭圆1522=+m y x 的离心率510=e ，则m 的值是__（答：3或325）； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：22）（3）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222x y a b +=1( a b >>0)的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为半径作圆M ，过点P 2,0a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭作圆M 的两切线互相垂直，则离心率e = ．（答：2） （2）双曲线（以22221x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈； ②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0，0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④离心率：ce a=，双曲线⇔1e >，等轴双曲线⇔e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑤两条渐近线：by x a=±．如（1）双曲线的渐近线方程是023=±y x ，则该双曲线的离心率等于______）； （2）设双曲线12222=-by a x （a>0，b>0）中，离心率e ∈[2，2]，则两条渐近线夹角θ的取值范围是________（答：[,]32ππ）；（3）双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率（ ）A ．3B ．26 C ．36 D ．33 （答：B ）（3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈； ②焦点：一个焦点(,0)2p，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离； ③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0，0）； ④准线：一条准线2p x =-； ⑤离心率：c e a=，抛物线⇔1e =．如设R a a ∈≠,0，则抛物线24ax y =的焦点坐标为________（答：)161,0(a）；5． 点00(,)P x y 和椭圆12222=+by a x （0a b >>）的关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b+>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b+<6．直线与圆锥曲线的位置关系：（通过联立方程来判断）（1）相交：直线与椭圆相交⇔0∆>（或者能直接判断直线过椭圆内的一个定点）； 0∆>⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0∆>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0∆>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0∆>⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0∆>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0∆>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件．（2）相切：直线与椭圆相切⇔0∆=；0∆=⇔直线与双曲线相切；0∆=⇔直线与抛物线相切； （3）相离：直线与椭圆相离⇔0∆<；0∆<⇔直线与双曲线相离；0∆<⇔直线与抛物线相离．如（1）若直线y=kx+2与双曲线x 2-y 2=6的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围是_______ （答：(-315，-1)）； （2）直线y ―kx ―1=0与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是_______ （答：[1，5）∪（5，+∞））；（3）求椭圆284722=+y x 上的点到直线01623=--y x （4）过双曲线12122=-y x 的右焦点直线交双曲线于A 、B 两点，若│AB ︱＝4，则这样的直线有_____条（答：3）；特别提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交．如果直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点；（2）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线．如（1）过点)4,2(作直线与抛物线x y 82=只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）； （2）对于抛物线C ：x y 42=，我们称满足0204x y <的点),(00y x M 在抛物线的内部，若点),(00y x M 在抛物线的内部，则直线l ：)(200x x y y +=与抛物线C 的位置关系是_______（答：相离）；（3）设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为 ( )．A ．24y x =±B ．28y x =±C ． 24y x =D ． 28y x =(答：B)（4）设双曲线191622=-y x 的右焦点为F ，右准线为l ，设某直线m 交其左支、右支和右准线分别于R Q P ,,，则PFR ∠和QFR ∠的大小关系为___________(填大于、小于或等于) （答：等于）；（5）直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于A 、B 两点．①当a 为何值时，A 、B 分别在双曲线的两支上？②当a 为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？（答：①(；②1a =±）；7． 圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离（焦半径）问题： 结合定义求解．如（1）点P 在椭圆192522=+y x 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标为_______（答：2512）； （2）设F 是椭圆16722=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点(1,2,3),i P i = 使123,,,FP FP FP 组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为 ．（答：d ∈11,00,1010⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦） （3）已知抛物线方程为x y 82=，若抛物线上一点到y 轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；（4）若该抛物线上的点M 到焦点的距离是4，则点M 的坐标为_____（答：7,(2,4)±）； （5）抛物线x y 22=上的两点A 、B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离为______（答：2）；8． 焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用定义和正弦、余弦定理求解．设椭圆或双曲线上的一点00(,)P x y 到两焦点12,F F 的距离分别为12,r r ，焦点12F PF ∆的面积为S ，12F PF θ∠=，则在椭圆12222=+by a x 中：①2122cos 1b r r θ=-，且当12r r =即P 为短轴端点时，θ最大，满足222cos b c aθ-=； ②20tan||2S b c y θ==，当0||y b =即P 为短轴端点时，max S 的最大值为bc ；如（1）短轴长为5，离心率32=e 的椭圆的两焦点为1F 、2F ，过1F 作直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为________（答：6）；（2）已知12F F 、是椭圆 的两个焦点，P 为椭圆上一点，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率的范围是______． （答：1[12，）） （3）已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥．若21F PF ∆的面积为9，则b =____________．（答：3）（4）椭圆22194x y +=的焦点为F 1、F 2，点P 为椭圆上的动点，当PF 2→ ·PF 1→<0时，点P 的横坐标的取值范围是（答：(）； （5）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．1(0,]2C ．(0,2 D ．2（答：选C ） （6）设P 是等轴双曲线)0(222>=-a a y x 右支上一点，F 1、F 2是左右焦点，若0212=⋅F F PF ，|PF 1|=6，则该双曲线的方程为 （答：224x y -=）；（7）双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝26，F 1、F 2是它的左右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且AB 是2AF 与2BF 等差中项，则AB ＝__________（答：（8）已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且6021=∠PF F ，31221=∆F PF S ．求该双曲线的标准方程（答：221412x y -=）；9． 抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质： （1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB 为焦点弦， M 为准线与x 轴的交点，则∠AMF ＝∠BMF ；（3）设AB 为焦点弦，A 、B 在准线上的射影分别为A 1，B 1，若P 为A 1B 1的中点，则PA ⊥PB ； （4）若AO 的延长线交准线于C ，则BC 平行于x 轴，反之，若过B 点平行于x 轴的直线交准线于C 点，则A ，O ，C 三点共线．10． 弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB12x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝21211y y k -+，若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB12y y -．特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是利用圆锥曲线的定义求解．如（1）斜率为1的直线与椭圆2214x y +=相交于A 、B 两点，则|AB|的最大值是____() （2）过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若x 1+x 2=6，那么|AB|等于_______（答：8）；（3）已知ABC ∆的顶点A 、B 在椭圆2234x y +=上，C 在直线:2l y x =+上，且AB 平行于直线l ．（1）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC ∆的面积；（2）当90ABC ∠=︒，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．（答：2;1ABC S AB y x ∆==-直线：）（4）过抛物线x y 22=焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB|=10，O 为坐标原点，则ΔABC 重心的横坐标为_______（答：3）；（5）过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p =________________ （答：2）11． 圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”求解．在椭圆12222=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0202y a x b ；在双曲线22221x y a b -=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0202y a x b ；在抛物线22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0p y ．如（1）如果椭圆221369x y +=弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答：280x y +-=）；（2）已知直线y=－x+1与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线L ：x －2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：2）； （3）若椭圆22123x y +=上存在不同的两点A 、B 关于直线l ：m x y +=4对称，求实数m 的取值范围．（答：,55⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭）；（4）已知椭圆的一个顶点为A （0，-1），焦点在x 轴上，若右焦点到直线0x y -+=的距离为3，（1）求椭圆的方程；（2）设直线l ：y x m =+，是否存在实数m ，使得直线l 与该椭圆有两个不同的交点C 、D ，使得||||AC AD =？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．（答：2213x y +=；不存在）特别提醒：因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0∆>！12．你了解下列结论吗？（1）双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x ；（2）以x a b y ±=为渐近线（即与双曲线12222=-b y a x 共渐近线）的双曲线方程为λλ(2222=-by a x 为参数，λ≠0）．如与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且过点)32,3(-的双曲线方程为_______（答：224194x y -=） （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为221mx ny +=；（4）若抛物线22(0)y px p =>的焦点弦为AB ，1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++；②221212,4p x x y y p ==- （5）若OA 、OB 是过抛物线22(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p13．动点轨迹方程：（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； （2）求轨迹方程的常用方法：①直接法：直接利用条件建立,x y 之间的关系(,)0F x y =；如已知动点P 到定点F(1，0)和直线3=x 的距离之和等于4，求P 的轨迹方程．（答：212(4)(34)y x x =--≤≤或24(03)y x x =≤<）；②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数．如 线段AB 过x 轴正半轴上一点M （m ，0）)0(>m ，端点A 、B 到x 轴距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为（答：22y x =）；③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如（1）求过点A （2，0）且与圆224320x x y ++-=内切的圆的圆心的轨迹方程．（答：22195x y +=）（2）由动点P 向圆221x y +=作两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=600，则动点P 的轨迹方程为（答：224x y +=）；（3）点M 与点F(4，0)的距离比它到直线05=+x l ：的距离小于1，则点M 的轨迹方程是_______（答：216y x =）；（4）一动圆与两圆⊙M ：122=+y x 和⊙N ：012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心的轨迹为_____ （答：双曲线的一支）注意：①寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点的限制；②在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等；③如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化．14． 解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1）给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,=； （2）给出M 是AB 的中点，则)(21OB OA OM +=； （3）给出0=+，等于已知P 是MN 的中点；（4）给出()+=+λ，等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线；（5） 给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+且使，等于已知C B A ,,三点共线．（6） 给出0=⋅，等于已知MB MA ⊥，即AMB ∠是直角，给出0<=⋅m ，等于已知AMB ∠是钝角， 给出0>=⋅m ，等于已知AMB ∠是锐角；（7）给出=⎫⎛+λ，等于已知MP 是AMB ∠的平分线； （8）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-⋅+AD AB AD AB ，等于已知ABCD 是菱形；（9） 在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-，等于已知ABCD 是矩形；（10）在ABC ∆中，给出222==，等于已知O 是ABC ∆的外心（三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点）；（11） 在ABC ∆中，给出=++，等于已知O 是ABC ∆的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（12）在ABC ∆中，给出⋅=⋅=⋅，等于已知O 是ABC ∆的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（13）在ABC ∆中，给出+=()||||AB ACAB AC λ+ )(+∈R λ等于已知AP 通过ABC ∆的内心； （14）在ABC ∆中，给出0=⋅+⋅+⋅c b a 等于已知O 是ABC ∆的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（15） 在ABC ∆中，给出()12AD AB AC =+，等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线．如在直角坐标系xoy 中，点P 到两点(0,的距离之和为4，设点P 的轨迹为C ，直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点，（1）写出曲线C 的方程；（2）是否存在实数k ，使得OA OB ⊥ ，若存在，求出k ；若不存在，说明理由．（答：2211;.42y x k +==±）。
2025年高考数学一轮复习-重难专攻(八)圆锥曲线中的最值(范围)问题【课件】
量表示该参数，建立函数关系，利用函数单调性求最值（范围）.
高中总复习·数学（提升版）
利用不等关系求最值（范围）
【例1】 （2024·全国甲卷20题）已知直线 x －2 y ＋1＝0与抛物线
C ： y 2＝2 px （ p ＞0）交于 A ， B 两点，｜ AB ｜＝4 15 .
（1）求 p ；
高中总复习·数学（提升版）
6
，短轴一个端点到右焦点的距离为
3
3.
（1）求椭圆 C 的方程；
6
＝ ，
3
解：设椭圆的半焦距为 c ，依题意知ቐ
＝ 3，
∴c＝
2
2 ， b ＝1，∴椭圆 C 的方程为 ＋ y 2＝1.
1 ＋2
4
所以 x 0＝
＝－ 2 ， y 0＝ kx 0＋ m ＝ 2 .
2
4 +1
4 +1
高中总复习·数学（提升版）
0 +1
+1+4 2
所以 kAP ＝
＝－
.
0
4
又｜ AM ｜＝｜ AN ｜，所以 AP ⊥ MN ，
+1+4 2
1
则－
＝－ ，即3 m ＝4 k 2＋1.
＝＋，
2＋1） x 2＋8 kmx ＋4（ m 2－1）＝0.
联立ቐ 2
得（4
k
＋ 2 = 1，
4
Δ＝（8 km ）2－16（4 k 2＋1）（ m 2－1）＞0，
所以 m 2＜1＋4 k 2. ①
−8
4（2 −1）
则 x 1＋ x 2＝ 2 ， x 1 x 2＝
.
2
4 +1
【学海导航】高考数学第一轮总复习-8
过定点A(a，b)任作互相垂直的两直线l1与l2， 且l1与x轴交于点M，l2与y轴交于点N，如图所示， 求线段MN的中点P的轨迹方程．
解：(1)当 l1 不平行于 y 轴时，设 l1 的斜率为 k1， 则 k1≠0，因为 l1⊥l2，所以 l2 的斜率为－k11， l1 的方程为 y－b＝k1(x－a)，① l2 的方程为 y－b＝－k11(x－a)．②
点评：在一些很难找到形成曲线的动点 P(x， y)的坐标 x，y 所满足的关系式的情况下，往往借 助第三个变量 t，建立 t 和 x，t 和 y 的关系式 x＝φ(t)， y＝φ(t)，再通过一些条件消掉 t 就间接找到了 x 和 y 所满足的方程，从而求出动点 P(x，y)所形成的 曲线的普通方程．
以下同解法1.
1. 求轨迹方程是解析几何的基本内容，必 须理解各种方法在什么情况下使用.常用方法： 定义法、直接法、代入法、参数法.在解题时考 虑顺序使用往往是寻求解题方法的思维程序.
2. 求轨迹方程与求轨迹是有不同要求的， 若是求轨迹则一般先求出方程，然后说明和讨 论所求轨迹是什么样的图形，即图形的形状、 位置、大小都需说明、讨论清楚.
7 12
21 ; 6
解法2：设点P的坐标为(x，y).
因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上，
所以
x12
y12 4
1④,
x22
y22 4
1⑤.
由④-⑤得
x12
-
x22
1 4
( y12
-
y22 )
0,
所以
(
x1
-
x2
)(
x1
x2
)
1 4
(
y1
-
8第八讲 复习圆锥曲线方程 高考数学专题复习双基 典例 精炼
第八讲 复习圆锥曲线方程一、本讲进度《圆锥曲线方程》复习二、本讲主要内容三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质等。
2、直线和圆锥曲线位置关系。
3、求轨迹方程的常规方法。
三、复习指导1、上一章已经复习过解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。
它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。
因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。
在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。
1、三种圆锥曲线的研究（1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=0e ,e d |PF ||P ，其中F 为定点，d 为P 到定直线的 距离，F ∉ ，如图。
因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。
当0<e<1时，点P 轨迹是椭圆；当e>1时，点P 轨迹是双曲线；当e=1时，点P 轨迹是抛物线。
（2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆：{P||PF 1|+|PF 2|=2a ，2a>|F 1F 2|>0，F 1、F 2为定点}，双曲线{P|||PF 1|-|PF 2||=2a ，|F 1F 2|>2a>0，F 1，F 2为定点}。
（3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。
①定性：焦点在与准线垂直的对称轴上椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。
②定量：举焦点在x轴上的方程如下：合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。
第8章 圆锥曲线
第八章 圆锥曲线一、选择题1. 椭圆方程为222222b a 令c 1,by a x -==+,那么它的准线方程为( )(87年(2)3分) (A)y ＝±c a 2 (B)y ＝±c b 2 (C)x ＝±ca 2 (D)x ＝±cb 22. 已知双曲线方程为5y 20x 22-＝1,那么它的焦距是( )(88年(4)3分) (A)10 (B)5 (C)15 (D)2153. 如果双曲线36y 64x 22-＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8 ,那么点P 到右准线的距离是( )(89年(10)3分)(A)10 (B)7732 (C)27 (D)532 4. 焦点在(－1 ,0),顶点在(1 ,0)的抛物线方程是( )(91年(2)3分)(A)y 2＝8(x ＋1) (B)y 2＝－8(x ＋1) (C)y 2＝8(x －1) (D)y 2＝－8(x －1)5. 如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么该双曲线的离心率为( )(93年(1)3分) (A)23 (B)26 (C)23 (D)2 6. 一动圆与两圆:x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切,则动圆圆心的轨迹为( )(93年(12)3分)(A)抛物线 (B)圆 (C)双曲线的一支 (D)椭圆7. 如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围是( )(94年(2)4分)(A)(0 ,＋∞) (B)(0 ,2) (C)(1 ,＋∞) (D)(0 ,1)8. 设F 1,F 2为双曲线4x 2－y 2＝1的两个焦点,点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2＝90°,则△F 1PF 2的面积是( )(94年(8)4分)(A)1 (B)25 (C)2 (D)59. 双曲线3x 2－y 2＝3的渐近线方程是( )(95年(8)4分) (A)y ＝±3x (B)y ＝±3x (C)y ＝±3x (D)y ＝±33x 10. 设双曲线2222by a x -＝1(0＜a ＜b)的半焦距为c,直线l 过(a,0),(0,b)两点,已知原点到直线l 的距离为43c,则双曲线的离心率为( )(96年(13)5分) (A)2 (B)3 (C)2 (D)33211. 椭圆C 与椭圆42)-(y 93)-(x 22+＝1关于直线x ＋y ＝0对称,椭圆C 的方程是( )(97年(11)5分)12. 椭圆3y 12x 22+＝1的焦点为F 1和F 2,点P 在椭圆上,如果线段PF 1的中点在y 轴上,那么|PF 1|是|PF 2|的( )(98年(12)5分)(A)7倍 (B)5倍(C)4倍 (D)3倍 13. 已知两点M(1,45)、N(－4,－45),给出下列曲线方程: ①4x ＋2y －1＝0 ②x 2＋y 2＝3 ③2x 2＋y 2＝1 ④2x 2－y 2＝1 在曲线上存在点P 满足|MP|＝|NP|的所有曲线方程是( ) (99年(13)5分)(A)①③ (B)②④ (C)①②③ (D)②③④14. 若椭圆经过原点，且焦点为)0,1(1F ，)0,3(2F ，则其离心率为（ ）(01年(7)5分) (A) 43 (B) 32 (C) 21 (D) 41 15. 设)4,0(πθ∈，则二次曲线，1tan cot 22=-θθy x 的离心率的取值范围为（ ）02年文(11)5分) (A) )21,0( (B) )22,21( (C) )2,22( (D) ),2(+∞ 16. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ）(03年全国理) （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 17. 抛物线2y ax =的准线方程是2,y a =则的值为 （ ）(03年文)（A ）18 （B ）18- （C ）8 （D ）8- 18. 双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1212,,120F F F MF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）(03年文)（A（B）2 （C）3 （D）3二、填空题19. 曲线y 2＝－16x ＋64的焦点坐标是____________.(85年(8)4分)20. 已知方程λ1y λ2x 22+++＝1表示双曲线,则λ的范围是______.(87年(12)4分) 21. 抛物线y ＝4x 2上到直线y ＝4x －5的距离为最短的点的坐标是_________.(87年(5)4分)22. 双曲线9x 16y 22-＝1的准线方程是______________.(90)年(16)3分) 23. 焦点为F 1(－2,0)和F 2(6,0),离心率为2的双曲线的方程是_________.(92年(22)3分)24. 抛物线y 2＝4x 的弦AB 垂直于x 轴,若AB 的长为43,则焦点到AB 的距离为________.(93年(19)3分)25. 抛物线y 2＝8－4x 的准线方程是_________,圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是____________.(94年(17)4＋4＝8分)26. 直线l 过抛物线y 2＝a(x ＋1)(a ＞0)的焦点,并且与x 轴垂直,若抛物线截得l 的一段长为4,则a ＝_________.(95年(19)4分)27. 已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px(p ＞0)的准线相切,则p ＝_____.(96年(16)4分)28. 设圆过双曲线16y 9x 22-＝1的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是_________.(98年(16)4分)29. 设椭圆2222by a x +＝1(a ＞b ＞0)得右焦点为F 1,右准线为l 1,若过F 1且垂直于x 轴的弦长等于点F 1到l 1的距离,则椭圆的离心率为______________(99年(15)4分)30. 椭圆14y 9x 22=+的焦点1F 、2F ，点P 为其上的动点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2010年广州市高三数学训练题(八) 圆 锥 曲 线（时间：100分钟 满分100分）（由广州市中学数学教研会高三中心组编写，本卷命题人:曹亮敏，修改者：张志红） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项110y 6x (D) 36y 9 x (C) 112y 16x (B) 36y 9x (A) (2) 5y (D) 4y (C) 20y (B) 16y (A) M .1 05 : )0,4(F M )1(222222222222=+=+=+=+=====+最接近圆的椭圆方程是轨迹方程是则点的距离小的距离比它到直线与点点x x x x x l(3) 若椭圆的离心率为21，左焦点到相应的左顶点的距离为1，则椭圆的长轴长是 （A ）4 (B)3(C) 2 (D) 32,0)1645( (D) ,0)845( (C) ,0)445( (B) ,0)245((A) ,40 ,60 )0( 2 (5)532(D) 7796 (C) 7732 (B) 596 (A) P 8 P 13664 )4(222则抛物线的焦点位置是灯深已知灯口圆的直径为处，光源位于抛物线的焦点的一部分，是抛物线探照灯反射镜的轴截面到右准线的距离是那么点，为到双曲线的左焦点距离上一点如果双曲线cm cm x px y y x >==-(6) 若抛物线px y 22=与)(22h x q y +=有共同焦点，则h q p ,,的关系是(A)q p h -=2 (B)q p h +=2 (C)q p h --=2 (D)q p h +-=2(7) 过双曲线的一个焦点1F 作垂直于实轴的弦PQ ，2F 是另一个焦点，若902=∠Q PF 。
则此双曲线的离心率为(A)2 (B)12- (C)2＋1(D)122+ (8) 若椭圆)1(11212>>=+n m n y m x 和双曲线)0,0(12222>>=-n m n y m x 有公共的焦点1F ，2F ,P 是它们的一个公共点，则21PF PF ⋅的值是(A)2221m m - (B) 21m m - (C)21m m - (D) )(421m m -(9) 若焦点坐标为)25,0(±的椭圆与直线023=--y x 相交所得的弦中点的横坐标是21，则此椭圆的标准方程是(A)17512522=+y x (B)11257522=+y x (C)1752522=+y x (D) 1257522=+y x (10) 我国某颗人造地球卫星的运行轨迹是以地心F 为一个焦点的椭圆，若它的近地点A 距离地面m 公里，远地点B 距离地面M 公里，地球半径为R 公里，则该卫星轨迹的离心率e 是M m M m M m M m 2RA B C DM m M m 2R M m M m －－＋＋＋（） （） （） （）＋＋＋－－ (11) 与双曲线双曲线方程是 方程为 有相同的渐近线且准线 1 1422±==-y y x22222222(A)1(B)1(C)1(D)1205520205520x y x y y x y x -=-=-=-= (12) 已知抛物线12-=x y 上一定点B(-1,0)和两个动点Q P ,，当PQ BP ⊥时，点Q 的横坐标的取值范围是(A))3,(--∞ (B) ]1,3[-(C) ),1[+∞ (D) ),1[)3,(+∞⋃--∞二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分。
把答案填在题中横线上．(13) 与直线240x y -+=平行的抛物线2y x =的切线方程是 。
(14) 1F 、2F 是椭圆C ：22184x y +=的焦点，在C 上满足12PF PF ⊥的点P 的个数为 。
(15) 函数1y x=的图象是平面上到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹，则这个定长为 。
(16) 过点)0,1(-M 的直线1l 与抛物线x y 42=交于21P P 、两点，记线段21P P 的中点为P ，过点P 和这个抛物线的焦点F 的直线为2l ,1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率与直线1l 的斜率之比可表示为k 的函数=)(k f __ ．三、解答题：本大题共４小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分8分）p F px y 2|AB |, 2 AB 2≥=求证：的任一弦焦点是过抛物线设(18) （本小题满分10分）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到该巨响的时间比其他两观测点晚4s ．已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置。
（假定当时声音传播的速度为340m/s ；相关各点均在同一平面上）（19）（本小题满分10分）已知抛物线x y C 4:2=，顶点为O ，动直线)1(:+=x k y l 与抛物线C 交于A 、B 两点（I ）求证：⋅是一个与k 无关的常数； （II ）求满足+=的点M 的轨迹方程。
（20）（本小题满分12分）已知向量(),(1,0),()()a x b a a ==⊥ 且.（Ⅰ）求点(,)Q x y 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设曲线C 与直线y kx m =+相交于不同的两点M 、N ，又点(0,1)A -，当AM AN =时，求实数m 的取值范围。
（八）圆锥曲线 答案一、选择题：(1)Ａ (2)B (3)A (4)A (5)Ｃ (6)D (7)C (8)B (9)C (10)B (11)D (12)D二、填空题：(13) 210x y --= (14) 2(15) (16) )1,0()0,1(,112⋃-∈-k k三、解答题：11221212212(17) A(x ,y ), B(x ,y ), |AF|x , |BF|x |AB|x x 22 y 2 F (,0)2AB x x x ,|AB|22AB AB p pp ppx ppx =+=+∴=++=∴⊥=== 证明：设则抛物线的焦点的坐标为，当轴时，有当不垂直于轴时，设直线的斜222222212222,AB ()2k ()2 k (2)024221x x ||p 2p (1) 2p (p 0) |AB|2pkpk y k x p p x px x pk p x k p p p AB p k k =--=-++=∴+=+∴=++=+>>∴≥率为则的方程为代入抛物线方程有，整理得(18)．设中心为O ，正西的观测点为A ，正东的观测点为B ，正北的观测点为C ，以O 为原点建立直角坐标系，由已知巨响的位置M 在AC 的中垂线上，且在以A 、B 为焦点，实轴为1360的双曲线左支上，AC 的中垂线：y x =- ① 双曲线：2221680578000x y -= ②解①②得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴巨响位于西北方向，距中心为68m 。
(19) 解（I ）设l y y B y y A ),,4(),,4(222121过顶点E （－1，0），则),,14(),,14(222121y y y y +=+=由E 、A 、B 三点共线，知//, 所以，,)14()14(122221y y y y +=+即21211)(4y y y y yy -=-，因为21y y ≠，所以421=y y所以516)(21221=+=⋅y y y y （与k 无关）．（II ）设),(y x M ，则由OB OA OM +=，22222212121212(,)(,)(,)(,)444y y y y x y y y y y +=+=+ 222221212121212()2()2,24444y y y y y y y y y x y y y x ++-+∴===-=+∴=-即842+=x y又2424212221=>+=yy y y x 所以点M 的轨迹方程为)2( 842>+=x x y ． 解法二提示：设1122(,),(,)A x y B x y ，则121O A O B x xy y ⋅=+联立方程组24(1)y xy k x ⎧=⎨=+⎩2222(24)0k x k x k +-+=由韦达定理得212122241k x x x x k -+=-=1212(1)(1)y y k x k x =+⋅+及可解得12125OA OB x x y y ⋅=+=(20) （I ）由题意得：()2222(),(),(),()()0.0.1.1.33a x a x a a a a x x x x y Q C y ==+⊥∴+=+=+=∴+= 即(化简得点的轨迹的方程为 （II ）由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(31)63(1)0k x mkx m +++-=, 由于直线与椭圆有两个不同的交点，0∴∆>，即2231m k <+ ①（1）当0k ≠时，设弦MN 的中点为(,),p p M N P x y x x 、分别为点M 、N 的横坐标，则2221331231313p M N p p p AP p y x x mk m m k x y kx m k k k x mk++++==-=+===-++从而 又22311,,2313m k AM AN AP MN m k mk k ++=∴⊥-=-=+则即 ②，将②代入①得22m m >，解得02m <<, 由②得22110,32m k m -=>>解得 , 故所求的m 取值范围是1(,2)2. （2）当0k =时，22,,31,11AM AN AP MN m k m =∴⊥<+-<<解得.1022011k m k m ∴≠=当时，的取值范围是（，），当时，的取值范围是（－，）。