2019-2020年高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asinωx+φ的图象1课堂达标新人教A版必修
【课件】第一课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
巩固与练习 例 1 为了得到函数 y＝sinx－π5的图象，只需要将正弦曲线上的所
有点( )
（A）向左平行移动π5个单位长度 （B）向右平行移动π5个单位长度 （C）向左平行移动15个单位长度 （D）向右平行移动15个单位长度 分析 由 sinx1＝sinx2－π5＝0 x1＝x2－π5 x2＝x1＋π5＝π5 故选答案 B
数 新教材人教版·高中必修第一册 学
第五章 三角函数 5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)
第一课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
要求
掌握y＝sin x与y＝sin(x＋φ)图象间的变换 关系，并能正确地指出其变换步骤．
通过整体代换和图象的变换提升学生的直观 想象、逻辑推理和数学抽象素养．
复习引入
5.6 函数y=Asin(ωx +φ)
我们知道，单位圆上的点，以（1，0） 为起点，以单位速度按逆时针方向运 动，其运动规律可用三角函数加以刻 画，对于一个一般的匀速圆周运动可 以用怎样的数学模型刻画呢？下面先 看一个实际问题.
情景引入
问题 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉 工具，因其经济又环保，至今还在农业生产 中得到使用（图5.6-1）.明朝科学家徐光启 在《农政全书》中用图画描绘了简车的工作 原理（图5.6-2. ）
一般地，当动点 M 的起点位置 Q 所对应的角为 φ 时，对应的函数是 y=sin(x＋φ)（φ≠0），把正弦曲线上的所有点向左（当 ω>0 时）或向右 （当 φ<0 时）平移|φ|个单位长度，就得到函数 y=sin(x＋φ)的图象.
2019_2020学年高中数学第1章三角函数1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件新人教A版必修4
(2)y＝2sin12x＋π3到纵―原坐―来标―的―伸3→长倍y＝3sin12x＋π3
2
―到横―原坐―来标―的―缩1―短倍→y＝3sinx＋π3―向 单―左位―平―移―π6―个→y＝3sinx＋π6＋π3
2
＝3sinx＋π2 ＝3cos x．]
横坐标变为原来的31倍 纵坐标不变
y
＝
sin
3x＋π6
―纵―坐―标横―变坐―为标―原―不来―变的―2―倍→y
＝
2sin3x＋π6.
法二：(先伸缩再平移) y＝sin x―横――坐―标―变―为―原―来―的―31倍―→y＝sin 3x―向―左―平――移―1π8个――单―位→
(2)将 y＝sin x 的图象怎样变换可得到函数 y＝2sin2x＋π4＋1 的图 象？
思路点拨：(1)依据左加右减；上加下减的规则写出解析式． (2)法一：y＝sin x→纵坐标伸缩→横坐标伸缩和平移→向上平移． 法二：左右平移→横坐标伸缩→纵坐标伸缩→上下平移．
(1)y＝－ 2cos 2x－3 [y＝ 2cos2x＋π3的图象向左平移π3个单位 长度，
C．向左平移π4个单位 D．向右平移π4个单位
(2)把函数 y＝f(x)的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸
长到原来的 2 倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式
是 y＝2sin12x＋π3，则 f(x)的解析式是(
)
A．f(x)＝3cos x B．f(x)＝3sin x
B [y＝sin4x－π3＝sin 4x－1π2，故只需将 y＝sin 4x 图象向右平
移1π2个单位即可得到．]
3．函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为 5，则 A＝ ________．
2020-高中数学 第一章 三角函数 1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象学案(含解析)新人
学习资料1.5 函数y＝Asin（ωx＋φ)的图象考试标准课标要点学考要求高考要求φ，ω,A对函数y＝A sin(ωx＋φ）的图象的影响b c简谐运动y＝A sin(ωx＋φ);x∈［0，＋∞)(ω>0,A〉0）有关物理量 a a 知识导图学法指导1.注意所有的变换是图象上的点在移动，是x或y在变化，而非ωx，故若x前面有系数要先提取出来．2．用整体代换的思想，令ωx＋φ＝t，借助y＝sin t的图象及性质求解应用．3．继续加深理解五点法的应用，特别是非正常周期的特殊点:端点和对应五点.1。
A，ω，φ对函数y＝A sin(ωx＋φ）图象的影响（1）φ对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响（2)ω对函数y＝sin(ωx＋φ）图象的影响(3）A对函数y＝A sin(ωx＋φ）图象的影响错误!(1）A 越大，函数图象的最大值越大,最大值与A 是正比例关系．（2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系 . （3）φ大于0时,函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”． (4)由y ＝sin x 到y ＝sin (x ＋φ)的图象变换称为相位变换；由y ＝sin x 到y ＝sin ωx 的图象变换称为周期变换;由y ＝sin x 到y ＝A sin x 的图象变换称为振幅变换．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A >0，ω>0中各参数的物理意义3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ），A >0，ω>0的有关性质 （1)定义域：R 。
(2)值域:[－A ,A ］．（3)周期性：T ＝错误!。
(4）对称性：对称中心错误!，对称轴是直线x ＝错误!＋错误!(k ∈Z ）． （5)奇偶性：当φ＝0时是奇函数．（6)单调性：通过整体代换可求出其单调区间． 状元随笔 研究函数y ＝A sin （ωx ＋φ)性质的基本策略(1)借助周期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时,可以先研究在一个周期内的单调区间、对称性,再利用周期性推广到全体实数．(2）整体思想:研究当x ∈［α，β]时的函数的值域时，应将ωx ＋φ看作一个整体θ，利用x ∈［α,β］求出θ的范围，再结合y ＝sinθ的图象求值域． ［小试身手］1．判断下列命题是否正确. （正确的打“√”,错误的打“×”）（1）函数y ＝sin 错误!的图象向左平移错误!个单位得到函数y ＝sin x 的图象．（ ） (2）函数y ＝sin 错误!的图象上点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝sin 错误!的图象．（ ）（3）由函数y ＝sin 错误!的图象到函数y ＝2sin 错误!的图象,需要将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍．( )答案:(1）× (2）× （3）√2．利用“五点法”作函数y ＝sin 错误!x ，x ∈[0,2π]的图象时，所取的五点的横坐标为（ )A ．0,错误!，π，错误!，2πB ．0，错误!,错误!，错误!，πC ．0，π，2π,3π，4πD ．0，错误!，错误!，错误!,错误!解析：令错误!x ＝0，错误!,π，错误!，2π得，x ＝0，π，2π，3π，4π。
2020_2021学年高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asinωxφ的图像同步刷题课件新人教A
3/2 解析
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像 刷能力
(0,3/2) 解析
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像 刷能力
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像 刷能力
①③
解析
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像 刷能力
解
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像 刷能力
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像 刷能力
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像 刷基础
题型4 综合变换
解析
归纳总结
在进行三角函数图像变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也 经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握．无论是对x的哪种变换，切记每一个变 换总是对x而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像 刷基础
25．函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移π/8个单位长度后，得到一个偶函数的
图像，则φ的一个可能的值为( C )
A．－π/4
B．0
C.π/4
D.3π/4
解析
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像 刷能力
A
解析
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像 刷能力
A
解析
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像 刷能力
题型2 平移变换
7．[云南玉溪一中2019高二期中]将函数f(x)＝sin(－2x)的图像向左平移π/6个单位长度， 得到函数 g(x)的图像，则函数g(x)的单调递减区间是________________．
新课标人教必修4第一章三角函数第5节y=Asin(ωx+φ)的图象
x-
4
3 4
5 4
4
0
0
2
0
7 4 3 2
9 4
2
0
sin( x - ) 4
1
-1
描点作图:
2
y 1
4 2
3 4
7 4
9 4
2
O
-1
5 4
x
y sin( x - ) 4
y
2
y sin x
7 6
1
3
3 2
5 4
7 4
9 4
§1.5 函数 y A sin( x ) 的图象
一. 情境设置
弹簧挂着的小球作上下运动，它在t时刻与 相对于平衡位置的高度h之间的关系.
y 5 x
O
0.01 0.02
0.03
-5
其函数解析式形如
y A sin( x )
二. 合作探究
(一)探索对y sin （x ), x R的图象的影响.
(2)如果从O点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一 次往复运动？如果从A点算起呢？
(3)写出这个简谐运动的函数表达式.
y/cm
A 0.4 B 0.8 D F 2 E 1.2
O
x/s
C
解:(1)从图像上可知,这个简谐振动的振幅为 2cm;周期为8s;频率为1.25
(2)如果从O点算起,到曲线上的D点,表示完 成了一次往复运动;如果从A点算起,则到曲线 上的E点,表示完成了一次往复运动
作函数y=3sin(2x+
3
)的图象，
并观察与函数y = sin (2x+ ) 的图 3 象之间的关系.
(全国通用版)2018-2019高中数学-第一章-三角函数-1.5-函数y=Asin(ωx+φ)的图
(3)φ：从“五点法”中的第一个点(－ωφ ，0)(也叫初始点)作为突破口，要从图 象的升降情况找准第一个点的位置．
依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系如下： “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象曲线的“峰点”)为 ωx＋φ＝π2； “第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象曲线的“谷点”)为 ωx＋φ＝32π；
[解析] ∵T＝2ωπ＝2ππ＝6，又图象过(0,1)点， 3
(1)求 φ； (2)求函数 y＝f(x)的单调区间及最值； (3)画出函数 y＝f(x)在区间[0，π]上的图象． [思路分析] 本题关键是对图象的对称轴为 x＝π8这一条件的利用，由图象一 对称轴为 x＝π8得：当 x＝π8时 2x＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)进而可求 φ 值．
[解析] (1)由 2x＋φ＝kπ＋π2，k∈Z 得 x＝k2π＋π4－φ2， 令k2π＋π4－φ2＝π8，解得 φ＝kπ＋π4，k∈Z． ∵－π<φ<0，∴φ＝－34π． (2)由(1)知，f(x)＝sin(2x－34π)． 由 2kπ－π2≤2x－34π≤2kπ＋π2(k∈Z)
解法二：由图象知振幅 A＝3，又图象过点(π3，0)和(56π，0)，根据“五点法” 作图原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)，
得5π36π·ω·ω＋＋φφ＝＝π2，π.
ω＝2， 解得φ＝π3.
解法三：由图象可得 A＝3，又 T＝56π－(－π6)＝π，图象过点(－π6，0)，可知 图象由 y＝3sin2x 向左平移π6个单位长度而得，
『规律总结』 1.函数 y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴方程由 ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z 求得，即 x＝kπ＋ωπ2－φ，k∈Z；对称中心由 ωx＋φ＝kπ，k∈Z 求得，即得(kπω－φ， 0)，k∈Z．
(全国通用版)2018-2019高中数学-第一章-三角函数-1.5-函数y=Asin(ωx+φ)的图
4．要得到函数 y＝cos2x 的图象，只需将 y＝cos(2x＋π4)的图象
A．向左平移π8个单位长度
B．向右平移π8个单位长度
C．向左平移π4个单位长度
D．向右平移π4个单位长度
( B)
[解析] 平移问题遵循“左加右减，只针对 x 而言”的原则．则 y＝cos2x 只 需向左平移π8个单位即可．而 y＝cos(2x＋π4)需右移π8个单位，得到 y＝cos2x．
( C)
A．y＝sin(4x＋38π)
B．y＝sin(4x＋π8)
C．y＝sin4x
D．y＝sinx
[解析] 分清对横坐标还是纵坐标所作的变换，左、右平移是对 x 变化，并 且是对单个的 x 进行变化，把 y＝sin(2x＋π4)的图象向右平移π8个单位长度，用(x －π8)代换原解析式中的 x，即得函数式 y＝sin[2(x－π8)＋π4]，即 y＝sin2x，再把 y＝ sin2x 的图象上的各点的横坐标缩短到原来的12，就得到解析式 y＝sin2(2x)，即 y ＝sin4x 的图象．
[知识点拨]函数 y＝f(ωx)(ω>0)的图象，可以看作是把函数 y＝f(x)的图象上 的点的横坐标缩短(当 ω>1 时)或伸长(当 0<ω<1 时)到原来的ω1 倍(纵坐标不变)而得 到的．
3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象的影响 如图所示，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)的图象 上的所有点的______纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的_____A_倍 (横坐标不变)而得到的．
2019-2020年新人教A版高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象二课件必修4
目标定位 1.了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，能借助 计算器或计算机画出它的图象；2.会用“五点法”画函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
自主预习
1.简谐振动
简谐振动y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，_A__叫做振幅，周期T
2π
(2)由(1)知 f(x)＝5sin2x－π6 ， 因此 g(x)＝5sin2x＋π6 －π6 ＝5sin2x＋π6 . 因为 y＝sin x 的对称中心为(kπ ，0)，k∈Z， 令 2x＋π6 ＝kπ ，k∈Z，解得 x＝kπ2 －π12，k∈Z. 故 y＝g(x)图象的对称中心为kπ2 －π12，0，k∈Z，其中离原点 O 最近的对称中心为－π12，0.
规律方法 用“五点法”画函数 y＝Asin (ωx＋φ)(x∈R)的 简图，先作变量代换，令 X＝ωx＋φ，再用方程思想由 X 取 0，π2 ，π，32π，2π来确定对应的 x 值，最后根据 x， y 的值描点、连线画出函数的图象.
【训练 1】 某同学用“五点法”画函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)
2.根据图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k解析式的三点说明 (1)若 y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω >0)，则 A 与 k 的确定方法由 下列公式确定：即 A＝ymax－2 ymin，k＝ymax＋2 ymin. (2)由图象确定周期 T 的方法：可通过图象与 x 轴的交点确定 T： 与 x 轴交点中相邻的两点间距离为半个周期，或根据相邻的最 高点与最低点之间的距离为半个周期确定 T. (3)当 φ 的范围确定时，解析式一般确定；当 φ 的范围不确定 时，解析式一般不唯一.
∴
高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象课
关系?
提示y=Asin(ωx+φ)的图象可以由函数y=sin(ωx+φ)的图象经过上
下伸缩变换得到.
一
二
三
四
思维辨析
2.填空:如图,函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ) 的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原 来的A倍(横坐标不变)而得到的.
1.作出函数y=Asin(ωx+φ)的图象可有哪些方法?如果用图象变换 法,那么是先平移后伸缩还是先伸缩后平移呢?
提示作函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以用“五点法”,也可根据图象 间的关系通过变换法得到;如果用图象变换法,那么既可以先平移 后伸缩,也可以先伸缩后平移.
2.填空:(1)五点法:①列表 ωx+φ 通常取 0,π2,π,32π,2π 这五个值 ;②描点;③连线.
数( )的图象.
A.y=sin
������
+
π 5
C.y=sin
π 5
-������
B.y=sin
������-
π 5
D.y=sin
5������-
π 5
解析将函数 y=sin x 的图象向右平移π5个单位,可以得到函数
y=sin
������-
π 5
的图象.
答案B
一
二
三
四
思维辨析
二、ω(ω>0)对函数y=sin(ωx+φ)的图象的影响
伸缩变换得到.
一
二
三
四
思维辨析
2.填空:如图,函数y=sin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y=sin(x+φ)
高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asinωx+φ的图象
1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象学习目标：1.理解参数A ，ω，φ对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响；能够将y ＝sin x 的图象进行变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的图象．(难点)2.会用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图；能根据y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象，确定其解析式．(重点)3.求函数解析式时φ值的确定．(易错点)[自 主 预 习·探 新 知]1．φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响2．ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响3．A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中参数的物理意义[基础自测]1．思考辨析(1)y ＝sin 3x 的图象向左平移π4个单位所得图象的解析式是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.( )(2)y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y ＝sin 2x .( )(3)y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y ＝12sinx ．( )[解析] (1)错误．y ＝sin 3x 的图象向左平移π4个单位得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋34π. (2)错误．y ＝sin 2x 应改为y ＝sin 12x .(3)错误．y ＝12sin x 应改为y ＝2sin x .[答案] (1)× (2)× (3)×2．用“五点法”作y ＝2sin 2x 的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( ) A ．0，π2，π，3π2，2π B ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π4，π3，π2，2π3B [2x 应依次取0，π2，π，3π2，2π，所以描出的五点的横坐标可以是0，π4，π2，3π4，π.] 3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为5，则A ＝________. 4 [由已知得A ＋1＝5，故A ＝4.]4．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的频率为________，相位为________，初相为________．14π 12x －π6 －π6 [频率为1T ＝122π＝14π， 相位为12x －π6，初相为－π6.][合 作 探 究·攻 重 难]用“五点法”画函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋6在一个周期内的简图.[思路探究] 列表、描点、连线、成图是“五点法”作图的四个基本步骤，令3x ＋π6取0，π2，π，3π2，2π即可找到五点．[解] 先画函数在一个周期内的图象．令X ＝3x ＋π6，则x ＝13⎝⎛⎭⎪⎫X －π6，列表[规律方法] 1.用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，五个点应是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x 轴相交的点．2．用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的步骤是： 第一步：列表：第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象． [跟踪训练]1．已知f (x )＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，画出f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象． [解] 列表：(1)将函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3的图象向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为______________________．(2)将y ＝sin x 的图象怎样变换可得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1的图象？【导学号：84352114】[思路探究] (1)依据左加右减；上加下减的规则写出解析式． (2)法一：y ＝sin x →纵坐标伸缩→横坐标伸缩和平移→向上平移． 法二：左右平移→横坐标伸缩→纵坐标伸缩→上下平移．(1)y ＝－2cos 2x －3 [(1)y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π3个单位长度，得y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3＝2cos(2x ＋π)＝－2cos 2x ，再向下平移3个单位长度得y ＝－2cos 2x －3的图象．](2)法一：(先伸缩法)①把y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y ＝2sin x 的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得y ＝2sin 2x 的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位，得y ＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8的图象；④将所得图象沿y 轴向上平移1个单位， 得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1的图象．法二：(先平移法)①将y ＝sin x 的图象沿x 轴向左平移π4个单位，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象；③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象；④将所得图象沿y 轴向上平移1个单位，得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1的图象．[规律方法] 由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象，其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ) ――――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．(2)y ＝sin x ――――→周期变换y ＝sin ωx ――――→相位变换y ＝sin ωx ＋ ⎦⎥⎤⎭⎪⎫φω＝sin(ωx ＋φ)――――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．提醒：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．[跟踪训练]2．(1)要得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位(2)把函数y ＝f (x )的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，则f (x )的解析式是( )【导学号：84352115】A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝3sin xC ．f (x )＝3cos x ＋3D ．f (x )＝sin 3x(1)A (2)A [(1)因为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8，所以将y ＝sin 2x 的图象向左平移π8个单位，得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象． (2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3―――――→纵坐标伸长到原来的32倍y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3――――――→横坐标缩短到原来的12倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝3cos x ．](1)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜2的部分图象如图151所示，则函数f (x )的解析式为( )图151A ．y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4＋4B ．y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4＋4 C ．y ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4＋2 D ．y ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4＋2 (2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，且图象如图152所示，求其解析式．图152[思路探究] 由最大(小)值求A 和B ，由周期求ω，由特殊点坐标解方程求φ. (1)A [(1)由函数f (x )的最大值和最小值得A ＋B ＝6，－A ＋B ＝2，所以A ＝2，B ＝4，函数f (x )的周期为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2×4＝4π，又ω＞0， 所以ω＝12，又因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，6在函数f (x )的图象上 所以6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π2＋φ＋4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1， 所以π4＋φ＝2k π，k ∈Z ，所以φ＝2k π－π4，k ∈Z ，又|φ|＜π2所以φ＝－π4，所以f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4＋4.](2)法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅A ＝3，T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，所以ω＝2，又由点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)－π6×2＋φ＝0得φ＝π3， 所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 法二：(方程法)由图象知，振幅A ＝3，T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，所以ω＝2，又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0，－π3＋φ＝k π(k ∈Z )，又因为|φ|＜π2，所以k ＝0，φ＝π3，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.法三：(变换法)由图象知，振幅A ＝3，T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，所以ω＝2，且f (x )＝A sin(ωx ＋φ)是由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位而得到的，解析式为f (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.[规律方法] 确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式的关键是φ的确定，常用方法有： (1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω已知)或代入图象与x 轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点⎝ ⎛⎭⎪⎫－φω，0作为突破口．“五点”的ωx ＋φ的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π. [跟踪训练]3．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，求f (x )的解析式．[解] 由最低点M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2，得A ＝2.在x 轴上两相邻交点之间的距离为π2，故T 2＝π2，即T ＝π，ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.1．如何求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称轴方程？提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x 轴．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx ＋φ)＝±1，得ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝k ＋π－2φ2ω(k ∈Z )，所以函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的对称轴方程为x ＝k ＋π－2φ2ω(k ∈Z )；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)对称轴方程的求法：令cos(ωx ＋φ)＝±1，得ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π－φω(k ∈Z )，所以函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象的对称轴方程为x ＝k π－φω(k ∈Z )．2．如何求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称中心？提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)图象的对称中心即函数图象与x 轴的交点．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx ＋φ)＝0，得ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π－φω(k ∈Z )，所以函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫k π－φω，0(k ∈Z )成中心对称；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)对称中心的求法：令cos(ωx ＋φ)＝0，得ωx ＋φ＝k π＋π2(k∈Z )，则x ＝k ＋π－2φ2ω(k ∈Z )，所以函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫k ＋π－2φ2ω，0(k ∈Z )成中心对称．(1)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝( )A.23 B.143 C.263D.383(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0≤φ＜π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值.【导学号：84352116】[思路探究] (1)先由题目条件分析函数f (x )图象的对称性，何时取到最小值，再列方程求ω的值．(2)先由奇偶性求φ，再由图象的对称性和单调性求ω.(1)B [(1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以直线x ＝π6＋π32＝π4是函数f (x )图象的一条对称轴，又因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以当x ＝π4时，f (x )取得最小值．所以π4ω＋π3＝2k π－π2，k ∈Z ，解得ω＝8k －103，(k ∈Z )又因为T ＝2πω≥π3－π6＝π6，所以ω≤12，又因为ω＞0，所以k ＝1，即ω＝8－103＝143.](2)由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )，即函数f (x )的图象关于y 轴对称， ∴f (x )在x ＝0时取得最值，即sin φ＝1或－1. 依题设0≤φ＜π，∴解得φ＝π2.由f (x )的图象关于点M 对称，可知 sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4ω＋π2＝0，即3π4ω＋π2＝k π，解得ω＝4k 3－23，k ∈Z .又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数， 所以T ≥π，即2πω≥π.∴ω≤2，又ω＞0，∴k ＝1时，ω＝23；k ＝2时，ω＝2.故φ＝π2，ω＝2或23.母题探究：1.将本例(2)中“偶”改为“奇”，“其图象关于点M ⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数”改为“在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2上为增函数”，试求ω的最大值．[解] 因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝sin φ＝0，又0≤φ＜π，所以φ＝0 因为f (x )＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω上是增函数．所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω，于是⎩⎪⎨⎪⎧ω＞0，－3π2≥－π2ωπ2≤π2ω，解得0＜ω≤13，所以ω的最大值为13.2．本例(2)中增加条件“ω＞1”，求函数y ＝f 2(x )＋sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π8的最大值．[解] 由条件知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π8得2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，sin 2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22y ＝f 2(x )＋sin 2x ＝cos 22x ＋sin 2x ＝1－sin 22x ＋sin 2x ＝－(sin 2x －12)2＋54所以当sin 2x ＝12时y max ＝54.[规律方法] 1.正弦余弦型函数奇偶性的判断方法正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和余弦型函数y ＝A cos(ωx ＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数，当φ＝k π±π2(k ∈Z )时为偶函数；对于函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数，当φ＝k π±π2(k ∈Z )时为奇函数．2．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧 (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx ＋φ看作一个整体，可令“z ＝ωx ＋φ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间而求出函数的单调区间．若ω＜0，则可利用诱导公式先将x 的系数转变为正数，再求单调区间．[当 堂 达 标·固 双 基]1．函数y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋π6的周期、振幅、初相分别是( )A ．3π，13，π6B ．6π，13，π6C ．3π，3，－π6D ．6π，3，π6B [y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋π6的周期T ＝2π13＝6π，振幅为13，初相为π6.]2．函数f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象的一条对称轴是( )【导学号：84352117】A ．x ＝－π2B ．x ＝π2C ．x ＝－π6D ．x ＝π6C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－π3＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－12， 所以直线x ＝－π6是函数f (x )的图象的一条对称轴．]3．函数y ＝cos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y ＝cos ωx ，则ω的值为________．12 [函数y ＝cos x 纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍y ＝cos 12x .所以ω＝12.] 4．由y ＝3sin x 的图象变换到y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位，后者需向左平移________个单位.【导学号：84352118】π3 2π3 [y ＝3sin x y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3――――――――→横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，y ＝3sin x ―――――――――→横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12xy ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.]5．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋3(x ∈R )，用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象．图153[解] (1)列表：。
2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.5 函数y=Asin(ωx+φ)第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及
第1课时 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象及变换[A 基础达标]1．若函数 y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位得到 y ＝f (x )的图象，则( )A ．f (x )＝cos 2xB ．f (x )＝sin 2xC ．f (x )＝－cos 2xD ．f (x )＝－sin 2x解析：选 A ．依题意得 f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x .故选 A.2．为了得到函数 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象( )A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度解析：选 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，所以将 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π4个单位长度得到 y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，故选 B.3．为了得到函数 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π6的图象，需将函数 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象( )A ．纵坐标变为原来的 3 倍，横坐标不变B ．横坐标变为原来的 3 倍，纵坐标不变C ．横坐标变为原来的13，纵坐标不变D ．纵坐标变为原来的13，横坐标不变解析：选 C ．只需将函数 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象上所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标不变，便得到函数 y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π6的图象．4．给出几种变换：①横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变； ②横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变；③向左平移π3个单位长度；④向右平移π3个单位长度；⑤向左平移π6个单位长度；⑥向右平移π6个单位长度；则由函数y ＝sin x 的图象得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，可以实施的方案是( ) A ．①→③ B ．②→③ C ．②→④D ．②→⑤解析：选D.y ＝sin x 的图象――→②y ＝sin 2x 的图象――→⑤y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．5．为了得到函数 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6(x ∈R )的图象，只需把函数 y ＝2sin x (x ∈R )的图象上所有的点( )A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)B ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)D ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)解析：选 C ．将 y ＝2sin x 的图象向左平移π6个单位长度，可以得到 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)可以得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋π6的图象，故选 C.6．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象．解析：A ＝3＞0，故将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象． 答案：伸长 37．利用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0)的图象时，其五点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π16，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π16，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π16，－13，⎝ ⎛⎭⎪⎫11π16，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫15π16，13，则A ＝________，周期T ＝________． 解析：由题知A ＝13，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1116π－316π＝π.答案：13π8．将函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值分别为______和______．解析：依据图象变换可得函数g (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，所以4x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，所以当4x ＋π6＝π2时，g (x )取最大值12；当4x ＋π6＝7π6时，g (x )取最小值－14.答案：12 －149．如何由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝12sin(2x ＋π3)的图象．解：y ＝sin x ――――――――→向左平移π3个单位长度y ＝sin(x ＋π3) ――――――――――――――――――――――→各点横坐标变为原来的12倍纵坐标不变y ＝sin(2x ＋π3)―――――――――――――――――→各点纵坐标变为原来的12倍横坐标不变y ＝12sin(2x ＋π3)．10．用“五点法”画函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6的图象． 解：①列表： 2x ＋π30 π2 π 3π2 2π x －π6π12π37π125π6y ＝3sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 0 3 0 －3 0⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－3，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0. ③连线：用光滑的曲线将所描的五个点顺次连接起来，得函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6的简图，如图所示．[B 能力提升]11．把函数 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象适当变换就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变换可以是( ) A ．向右平移π4个单位长度B ．向左平移π4个单位长度C ．向右平移π12个单位长度D ．向左平移π12个单位长度解析：选 D ．因为 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，所以将 y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12的图象向左平移π12个单位长度能得到 y ＝sin (－3x )的图象．12．(1)利用“五点法”画出函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6在长度为一个周期的闭区间的简图．列表：x12x ＋π6y作图：(2)说明该函数图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到． 解：(1)先列表，后描点并画图．x－π32π3 5π3 8π3 11π3 12x ＋π60 π2 π 3π2 2π y1－1(2)把y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再把所得图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象．或把y＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 12x 的图象．再把所得图象向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象．13．(选做题)已知函数f (x )＝2sin ωx ，其中常数ω＞0.(1)若y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围；(2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a ＜b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．解：(1)因为ω＞0，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω≥－π2，2π3ω≤π2⇒0＜ω≤34.所以ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34.(2)由f (x )＝2sin 2x 可得，g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1， g (x )＝0⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ，即g (x )的零点相邻间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点， 则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.。
高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asin(ωx+φ)的图像
又∵f(x)在[0，π2]上是单调函数， ∴T≥π，即2ωπ≥π，∴ω≤2.又∵ω＞0， ∴当 k＝1 时，ω＝23； 当 k＝2 时，ω＝2. ∴φ＝π2，ω＝2 或 ω＝23.
规律方法 函数 y＝Asin(ωx＋φ)综合应用的注意点 (1)对于平移问题，应特别注意要提取 x 的系数，即将 ωx＋φ 变为 ωx＋ωφ后再观察 x 的变化． (2)对于对称性、单调性问题应特别注意将 ωx＋φ 看作整体，代入 一般表达式解出 x 的值． (3)对于值域问题同样是将 ωx＋φ 看作整体，不同的是根据 x 的范 围求 ωx＋φ 的范围，再依据图像求值域． (4)对于奇偶性问题，由 φ 来确定，φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数，φ＝kπ ＋π2(k∈Z)时是偶函数．
(2)若函数 f(x)＝2sin2x－π3＋φ是偶函数，则 φ 的值可以是(
)
5π
π
A. 6
B.2
C.π3
D．－π2
解析 (1)令 y＝±1，即 sin2x＋π3＝±1，则 2x＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)， ∴x＝k2π＋1π2(k∈Z)，即对称轴方程为 x＝k2π＋1π2(k∈Z)．令 y＝0， 即 sin2x＋π3＝0，则 2x＋π3＝kπ(k∈Z)，∴x＝k2π－π6(k∈Z)，∴函 数 y＝sin2x＋π3的图像的对称中心为k2π－π6，0(k∈Z)．
解 ∵y＝2sinπ4－x＝－2sinx－π4， ∴函数 y＝2sinπ4－x的递增区间就是函数 u＝2sinx－π4的递减区间．
∴2kπ＋π2≤x－π4≤2kπ＋32π(k∈Z)， 得 2kπ＋34π≤x≤2kπ＋74π(k∈Z)， ∴函数 y＝2sinπ4－x的递增区间为： 2kπ＋34π，2kπ＋74π(k∈Z)．
题型三 函数 y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用 【例 3】 已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是 R 上的偶函
2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 新人教A版必修4
sin－π6 ×2＋φ＝0，得φ＝π3 ，所以 y＝3sin2x＋π3 .
法二：由图象知 A＝3，且图象过点π3 ，0和5π6 ，0，
π 3
·ω＋φ＝π
，
根据五点作图法原理，有5π 6
·ω＋φ＝2π
，
解得
π ω＝2，φ＝ 3
则
kπ x＝ 2
π ＋6
(k∈Z)，
所以对称轴方程为
kπ x＝ 2
π ＋6
(k∈Z)，
令
π 2x＋ 6
＝kπ
(k∈Z)，
则
kπ x＝ 2
－π12(k∈Z)，
所以对称中心为kπ2 －π12，54(k∈Z)．
(3)当 sin2x＋π6 ＝－1，
即
π 2x＋ 6
(3)函数 y＝ 2sin(ωx＋φ)(ω≠0)的值域为[－ 2， 2]．( )
(4)函数 y＝3sin(2x－5)的初相为 5.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2.要得到函数 y＝12sin 2x＋π6 的图象，只需将函数
y＝12sinx＋π6 的图象(
x－π6
，
即
φ＝
11π 6.
答案：116π
类型 1 用“五点法”作函数 y＝Asin(ωx＋φ)的简图
[典例 1] 用“五点法”画函数 y＝3sin2x＋π3 ，x
∈－π6
，56π
的简图．
解：①列表：
2x＋π3
0
π 2
π
3π 2
2π
x
－π6
ππ 12 3
取值是由
π ωx＋φ＝0， 2
，π
，32π
，2π
求得的．
高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像练习新人教A版必修4(2021年整理)
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1.5 函数y ＝Asin （ωx＋φ)的图像 题号12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分答案一、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．函数y ＝cos （2x ＋错误!）的图像的一条对称轴的方程是（ )A ．x ＝－π2B ．x ＝错误!C ．x ＝－错误!D ．x ＝π2．若把函数y ＝sin(x ＋π3)的图像向右平移m （m 〉0)个单位长度后，得到y ＝sin x 的图像，则m 的最小值为( ）A 。
错误! B.错误!C 。
错误! D.错误!3．已知函数f(x ）＝sin 错误!(ω>0）的最小正周期为π，则该函数的图像（ )A ．关于点错误!对称B ．关于直线x ＝错误!对称C．关于点错误!对称 D．关于直线x＝错误!对称4．如图L1。
5。
1所示的图像的函数解析式可以为（)图L15。
1A．y＝2sin(2x－错误!)B．y＝2sin(2x＋错误!）C．y＝2sin(2x＋错误!)D．y＝2sin(2x－错误!)5．已知函数f（x）＝cos错误!（x∈R,ω〉0）的最小正周期为错误!，要得到函数g(x）＝sin ωx的图像,只需将y＝f(x）的图像（）A．向左平移错误!个单位长度B．向右平移错误!个单位长度C．向左平移错误!个单位长度D．向右平移7π24个单位长度6．已知点P（－π6，2)是函数f（x）＝sin(ωx＋φ)＋m(ω〉0，|φ|〈错误!）的图像的一个对称中心，且点P到该图像的对称轴的距离的最小值为错误!，则( ) A．f(x）的最小正周期是πB．f(x)的值域为[0，4］C．f(x)的初相φ＝π3D．f（x）在区间［错误!，2π］上单调递增7．已知以原点O为圆心的单位圆上有一质点P,它从初始位置P0(错误!，错误!）开始，按逆时针方向以角速度1 rad/s做圆周运动，则点P的纵坐标y关于时间t的函数关系式为（) A．y＝sin（t＋错误!），t≥0B．y＝sin（t＋错误!），t≥0C．y＝cos(t＋π3),t≥0D．y＝cos（t＋错误!），t≥0二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分）8．若将函数y＝tan（ωx＋错误!）（ω>0）的图像向右平移错误!个单位长度后,所得图像与函数y＝tan（ωx＋错误!)的图像重合，则ω的最小值为________．9．把函数y＝cos 2x的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，得到的图像的函数解析式是________．10．某人的血压满足f（t）＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为________．11．已知函数f（x）＝2sin错误!，有如下结论：①函数f(x）的最小正周期为π;②函数f(x)在错误!上的值域为［1,错误!]；③函数f（x)在错误!上是减函数；④函数f(x)的图像向左平移错误!个单位长度得到函数y＝2sin 2x的图像．其中正确的是________(写出所有正确结论的序号）．三、解答题(本大题共2小题，共25分）12．(12分)已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)错误!上的一个最高点的坐标为错误!，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点错误!。
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2019-2020年高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asinωx+φ的图象1课堂达标新人
教A版必修
1.要得到函数y=sin x的图象，只需将函数y=sin(x－)的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
【解析】选A.将函数y=sin(x－)的图象向左平移个单位长度，可得y=
sin(x－+)=sin x的图象.
2.(xx·许昌高一检测)将函数y=sin x的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得的图象对应的解析式为( )
A.y=1-sin x
B.y=1+sin x
C.y=1-cos x
D.y=1+cos x
【解析】选C.将函数y=sin x的图象向右平移个单位长度后得到y=
sin(x-)=-cos x的图象，再向上平移1个单位长度，则所得的图象对应的解析式为y=-cos x+1=1-cos x.
3.将函数y=sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标扩大到原来的2倍，则所得图象的解析式为( )
A.y=sin(x－) B．y=sin(x+)
C．y=sin(x+) D．y=sin(2x+)
【解析】选C.将函数y=sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得函数y=sin(x+)的图象，再把所得图象上各点横坐标扩大到原来的2倍，即可得函数y=sin(x+)的图象.
4.(xx·宜昌高一检测)要得到y=cos(2x－)的图象，且使平移的距离最短，则需将y=sin 2x的图象向
________平移_________个单位长度即可.
【解题指南】首先利用诱导公式将三角函数名称统一，然后按照函数图象平移的规律进行变换.
【解析】y=sin 2x=cos(2x－)=cos2(x－),向左平移个单位长度，得到y=cos 2(x+－)=cos(2x－).
答案：左
5.y=cos(x+)的图象如何变换得到y=sin x的图象？
【解析】cos(x－+)=cos(x－)=sin x，
所以将y=cos(x+)的图象向右平移个单位长度便可得到y=sin x的图象.。