2015高考数学二轮复习热点题型专题九 指数函数

专题九 指数函数【高频考点解读】1.了解指数函数模型的实际背景．2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．4.知道指数函数是一类重要的函数模型． 【热点题型】题型一 指数函数性质的考查 例1、求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x ＋1|；(2)y ＝2x2x＋1；(3)y ＝.【提分秘籍】解决与指数函数的性质问题时应注意(1)大小比较时，注意构造函数利用单调性去比较，有时需要借助于中间量如0,1判断． (2)与指数函数单调性有关的综合应用问题，要注意分类讨论思想及数形结合思想的应用． 【举一反三】 已知函数f (x )＝.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．【热点题型】题型二指数函数的图象及应用例2、(1)已知函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是()(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．【答案】(1)A(2)[－1,1]【提分秘籍】1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．2．y＝a x，y＝|a x|，y＝a|x|(a>0且a≠1)三者之间的关系：y＝a x与y＝|a x|是同一函数的不同表现形式．函数y＝a|x|与y＝a x不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同．【举一反三】当a≠0时,函数y=ax+b和y=b ax的图象只可能是下图中的( )【热点题型】题型三分类讨论思想在指数函数中的应用例3、设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．【提分秘籍】分类讨论思想在指数函数中主要是涉及单调性问题，一般情况下，当指数函数的底数不明确时，要分a>1或0<a<1两种情况讨论．本题主要考查换元法求二次函数最值及指数函数的单调性，解题时，换元后由于底数a 取值不定故要分两种情况进行讨论．【举一反三】若指数函数y＝a x在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a＝________.【高考风向标】1．（2014·福建卷）若函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是()图1-1A BC D2．（2014·江西卷）已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)．若f[g(1)]＝1，则a＝() A．1 B．2 C．3 D．－1【答案】A【解析】g (1)＝a －1，由f [g (1)]＝1，得5|a －1|＝1，所以|a －1|＝0，故a ＝1.3．（2014·辽宁卷）已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则 ( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a 【答案】C【解析】因为0<a ＝2－13<1，b ＝log 213<0，c ＝log 1213>log 1212＝1，所以c >a >b .4．（2014·山东卷）设集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0，2]}，则A ∩B ＝( ) A ．[0，2] B ．(1，3) C ．[1，3) D ．(1，4) 【答案】C【解析】根据已知得，集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{y |1≤y ≤4}，所以A ∩B ＝{x |1≤x ＜3}．故选C.5．（2014·山东卷）已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1＞1y 2＋1B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)C. sin x ＞sin yD. x 3＞y 36．（2014·陕西卷）下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( )A ．f (x )＝x 12 B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12xD ．f (x )＝3x7．（2014·陕西卷）已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．【答案】10【解析】由4a ＝2，得a ＝12，代入lg x ＝a ，得lg x ＝12，那么x ＝1012 ＝10.8．（2013·安徽卷）已知一元二次不等式f(x)<0的解集为x⎪⎪⎪ )x<－1或x>12，则f(10x )>0的解集为( )A ．{x|x<－1或x>－lg 2}B ．{x|－1<x<－lg 2}C ．{x|x>－lg 2}D ．{x|x<－lg 2} 【答案】D【解析】根据已知可得不等式f(x)>0的解是－1<x<12，故－1<10x <12，解得x<－lg 2.9． （2013·湖南卷）设函数f(x)＝a x ＋b x －c x ，其中c>a>0，c>b>0.(1)记集合M ＝{(a ，b ，c)|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b}，则(a ，b ，c)∈M 所对应的f(x)的零点的取值集合为________；(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①∈(－∞，1)，f(x)>0；②∈R ，使a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC 为钝角三角形，则∈(1，2)，使f(x)＝0.10．（2013·浙江卷）已知x ，y 为正实数，则( )A ．2lg x＋lg y＝2lg x ＋2lg y B ．2lg(x＋y)＝2lg x ·2lg yC ．2lg x·lg y＝2lg x ＋2lg y D ．2lg(xy)＝2lg x ·2lg y【答案】D【解析】∵lg(xy)＝lg x ＋lg y ，∴2lg(xy)＝2lg x ＋lg y＝2lgx 2lgy ，故选择D.【随堂巩固】1．已知a <14，则化简4a －2的结果是( )A.4a －1 B ．－4a －1 C.1－4a D ．－1－4a 【答案】C【解析】4a －2＝4－4a 2＝(1－4a )12 ＝1－4a .2．设函数f (x )＝a－|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，则( ) A ．f (－2)>f (－1) B ．f (－1)>f (－2)C ．f (1)>f (2)D ．f (－2)>f (2)3．若点(a,9)在函数y ＝3x 的图像上，则tan a π6的值为( )A ．0 B.33C. 1D. 34．函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图像可能是( )5．给出下列结论：①当a <0时，(a 2) 32 ＝a 3；②na n ＝|a |(n >1，n ∈N ＋，n 为偶数)；③函数f (x )＝(x －2) 12 －(3x －7)0的定义域是{x |x ≥2且x ≠73}；④若2x ＝16,3y ＝127，则x ＋y ＝7.其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④6．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为( ) A.12B ．2C ．4 D.147．设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．若x >0，则(2x 14 ＋3 32 )(2x 14 －3 32 )－4x － 12 (x －x 12)＝________.【答案】－23【解析】原式＝(2x 14 )2－(3 32 )2－4x 1－12 ＋4x －12＋12 ＝4x 12 －33－4x 12 ＋4＝－23.9．若函数f (x )＝a x －1(a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则a ＝________.10.若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________．11．已知2x 2＋x ≤⎝⎛⎭⎫14x －2，则函数y ＝2x －2－x 的值域是________．12．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围.13．已知f (x )＝3x ，并且f (a ＋2)＝18，g (x )＝3ax －4x 的定义域为[－1,1]．(1)求函数g (x )的解析式；(2)判断g (x )的单调性；(3)若方程g (x )＝m 有解，求m 的取值范围．。