固体物理-一维周期场中电子运动的近自由电子近似
合集下载
一维周期场中电子运动的近自由电子近似_固体物理资料
—— 布洛赫函数形式
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
电子波函数的意义 1) 电子波函数和散射波
—— 前进的平面波
散射波的波矢 相关散射波成份的振幅
—— 势场作用产生的散射波
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
散射波
相邻原子的散射波有相同的相位 电子入射波波长
微扰下电子的波函数
电子的波函数
k
(
x)
0 k
(
x)
(1) k
(x)
.
0 k
(
x
)
(1
/
L )eikx
波函数的一级修正
(1) k
k
k | Ek0
H|k Ek0
0 k
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
—— 计入微扰电子的波函数
k (x)
1 eikx L
1 eikx L
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
电子能量的意义
Байду номын сангаас
二级能量修正
E (2) k
n
'
2
[k 2
Vn (k
2
n
2 )2 ]
2m
a
当
E(2) k
—— 电子的能量是发散的 —— k和k’两个状态具有相同的能量____k和k’态简并
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
k
k| H|k 2 Ek0 Ek0
E (2) k
n
'
2
[k 2
Vn (k
5.2近自由电子近似 固体物理研究生课程讲义
上弯曲的抛物线，能带顶部是向下弯曲的抛物线；
(3)在k远离n/a处，电子的能量与自由电子的能量相近。
利用以上特点，可以画出在波矢空间近自由电子的能带。
5.2.3 能带的三种图示法
E
3π a
2π a
π a
O
π 2π 3π aa a
E6
E5
允许带
E4
禁带
E3
允许带
E2
E1 允许带
k
(a)扩展区图：在不同的布里渊区画出不同的能带。
d2 dx 2
0 k
(
x
)
Ek0
(
x)
0 k
(
x
)
2 2m
d2 dx 2
0 k
(
x)
Ek0
(
x)
0 k
(
x)
得到
A
Ek0
E
V
0 k
(
x)
B
Ek0EVຫໍສະໝຸດ 0 k(x)
0
将上式分别左乘
0* k
(
x
)和
0* k
(
x
)再对
x
积分
:
利用： k0*V ( x) k0dx V0 0
k' V (x) k
电子能带的三种图示法
E
3 a
2 a
a
O
2 3 aa a
扩展区图
E6
E5
允许带
E4
禁
带 E3
允许带
E2
E1 允许带
k
(b)简约区图：将不同能带平移适当的倒格矢进入到第一 布里渊区内表示(在简约布里渊区内画出所有的能带)。
(c)周期区图：在每一个布里渊区中周期性地画出所有能带 (强调任一特定波矢k的能量可以用和它相差Kh的波矢来描述)。
固体物理 04-02一维周期场中电子运动的近自由电子近似
0 k
2 2 k 0 Ek V 2m
固 体 物 理
Solid State Physics
波函数和能量本征值
2 2 k 0 Ek V 2m
k E 2m
0 k
2
2
西 南 科 技 大 学
固 体 物 理
Solid State Physics
周期边界条件
1 ikx 1 ik ( x Na ) ( x) e e L L
0 k (1) k
k0 ( x ) (1/ L )eikx
波函数的一级修正
(1) k
k '| H '| k 0 k' 0 0 Ek Ek ' k'
西 南 科 技 大 学
k k n(2 / a)
k | H | k V (n)
k k n(2 / a)
Ek Ek0 Ek(1) Ek( 2 ) .
Ek(1) k | H ' | k
k | V ( x) V | k
E
西 南 科 技 大 学
(1) k
0 L
L
1 ikx 1 ikx e [V ( x ) V ] e dx L L
E
(1) k
1 ikx 1 ikx [ e V ( x ) e dx ] V 0 L 0 L
k | H | k 0
固 体 物 理
Solid State Physics
(1) k
k '| H '| k 0 k' 0 0 Ek Ek ' k'
k0 ( x ) (1/ L )eikx
2 2 k 0 Ek V 2m
固 体 物 理
Solid State Physics
波函数和能量本征值
2 2 k 0 Ek V 2m
k E 2m
0 k
2
2
西 南 科 技 大 学
固 体 物 理
Solid State Physics
周期边界条件
1 ikx 1 ik ( x Na ) ( x) e e L L
0 k (1) k
k0 ( x ) (1/ L )eikx
波函数的一级修正
(1) k
k '| H '| k 0 k' 0 0 Ek Ek ' k'
西 南 科 技 大 学
k k n(2 / a)
k | H | k V (n)
k k n(2 / a)
Ek Ek0 Ek(1) Ek( 2 ) .
Ek(1) k | H ' | k
k | V ( x) V | k
E
西 南 科 技 大 学
(1) k
0 L
L
1 ikx 1 ikx e [V ( x ) V ] e dx L L
E
(1) k
1 ikx 1 ikx [ e V ( x ) e dx ] V 0 L 0 L
k | H | k 0
固 体 物 理
Solid State Physics
(1) k
k '| H '| k 0 k' 0 0 Ek Ek ' k'
k0 ( x ) (1/ L )eikx
固体物理--近自由电子近似和能带电子的经典近似
(0) (1)
ˆ (1) k k' H
1 ikx e 1 ' 2 L m 2me
1 ikx e ' 2 L m 2me
1 e 2 2 L 2 k (k m ) a
2 im x um a e 2 2 2 k ( k m ) a
令
x na
U ( x) U ( )
N 1 1 N 1 a i ( k ' k ) i ( k ' k )na 1 a i ( k ' k ) i ( k ' k )na e e U ( ) d e U ( ) d e 0 0 Na n 0 Na n 0
L
mx a
dx um
ˆ (1) k 0 k' H
E
(2) k
m
'
um
2
2 2 2 2 [k (k m ) ] 2me a
求和号加撇代表不包括m=0的项
非简并微扰小结
非简并微扰下一维系统的能量和波函数：
k Ek U0 ' 2 2 2 2m 2 m [k (k m ) ] 2m a 2 im x u 1 ikx m k e 1 ' 2 e a 2 2 L m 2 k ( k m ) 2 m a e
Ｌ
( 0 )* k'
dx k k
( 0) k
'
非简并微扰（波函数）-1
按非简并微扰理论，波函数计算到一级修正：
k k k
(0)
ˆ (1) k k' H
1 ikx e 1 ' 2 L m 2me
1 ikx e ' 2 L m 2me
1 e 2 2 L 2 k (k m ) a
2 im x um a e 2 2 2 k ( k m ) a
令
x na
U ( x) U ( )
N 1 1 N 1 a i ( k ' k ) i ( k ' k )na 1 a i ( k ' k ) i ( k ' k )na e e U ( ) d e U ( ) d e 0 0 Na n 0 Na n 0
L
mx a
dx um
ˆ (1) k 0 k' H
E
(2) k
m
'
um
2
2 2 2 2 [k (k m ) ] 2me a
求和号加撇代表不包括m=0的项
非简并微扰小结
非简并微扰下一维系统的能量和波函数：
k Ek U0 ' 2 2 2 2m 2 m [k (k m ) ] 2m a 2 im x u 1 ikx m k e 1 ' 2 e a 2 2 L m 2 k ( k m ) 2 m a e
Ｌ
( 0 )* k'
dx k k
( 0) k
'
非简并微扰（波函数）-1
按非简并微扰理论，波函数计算到一级修正：
k k k
(0)
固体物理学：第四章 第三节近自由电子近似
由于En(k)是k的周期函数，有时候在每一个布里渊区 内绘出所有能带，对一些问题的处理更方便一些。这 种图示称为周期能区图示（repeated zone scheme）。
对于二维和三维情况，往往画出等能线或者等能面 是有意义的。只要等能面与布里渊区界面相交，就 会发生等能面的不连续。下图给出了自由电子球型 等能面，越过布里渊区界面O点时，分裂成双曲面 的截面图。
我们讨论了周期势场中的单电子运动规律，这里的 公式也适用于X射线衍射动力学理论。第一章中讨 论X射线运动学理论时，我们忽略了晶体中入射束 与衍射束之间的相互作用。实际上，在周期结构中 传播的X射线，不能用单一波矢k的平面波去描述。 它应该是一个布洛赫波，也就是一系列相差一个倒 格矢的平面波的叠加。
特别是满足或者接近满足布拉格条件，即入射波矢 在布里渊区界面附近时，一个能量与之相等且相差 一个倒格矢的平面波被激发。这样至少两个波的混 合必须考虑。
从麦克斯韦方程出发，可以得到类似于方程4.3.16的 光子能量作为波矢函数的二次方程，产生能量的分 裂，导致X射线速度色散，得到如图的色散面
七、能带的能区图示
像近自由电子近似那样，不同的能带绘于k空间不同 的布里渊区内，称为扩展能区图式 (extended zone scheme)。根据布洛赫定理，k和k+K h是等价的，k的 取值限制在第一布里渊区内，可以将所有能带En(k)绘 于第一布里渊区内，称为简约能区图示（reduced zone scheme）。第一布里渊区也常常称为简约布里渊区。
令
得到
F(K h)就是晶体的几何结构因子，因此如果 即满足布拉格条件，能隙也为零。这种情况通常在复 式晶格中发生。
六、简约波矢和自由电子的波矢
近自由电子近似中，以自由电子作为零级近似，借用 自由电子的波矢k取标志周期势中单电子状态。 k是动量算符本征值hk对应的量子数，它可以遍及整个 空间，其波函数仍然是一个调幅平面波：
对于二维和三维情况，往往画出等能线或者等能面 是有意义的。只要等能面与布里渊区界面相交，就 会发生等能面的不连续。下图给出了自由电子球型 等能面，越过布里渊区界面O点时，分裂成双曲面 的截面图。
我们讨论了周期势场中的单电子运动规律，这里的 公式也适用于X射线衍射动力学理论。第一章中讨 论X射线运动学理论时，我们忽略了晶体中入射束 与衍射束之间的相互作用。实际上，在周期结构中 传播的X射线，不能用单一波矢k的平面波去描述。 它应该是一个布洛赫波，也就是一系列相差一个倒 格矢的平面波的叠加。
特别是满足或者接近满足布拉格条件，即入射波矢 在布里渊区界面附近时，一个能量与之相等且相差 一个倒格矢的平面波被激发。这样至少两个波的混 合必须考虑。
从麦克斯韦方程出发，可以得到类似于方程4.3.16的 光子能量作为波矢函数的二次方程，产生能量的分 裂，导致X射线速度色散，得到如图的色散面
七、能带的能区图示
像近自由电子近似那样，不同的能带绘于k空间不同 的布里渊区内，称为扩展能区图式 (extended zone scheme)。根据布洛赫定理，k和k+K h是等价的，k的 取值限制在第一布里渊区内，可以将所有能带En(k)绘 于第一布里渊区内，称为简约能区图示（reduced zone scheme）。第一布里渊区也常常称为简约布里渊区。
令
得到
F(K h)就是晶体的几何结构因子，因此如果 即满足布拉格条件，能隙也为零。这种情况通常在复 式晶格中发生。
六、简约波矢和自由电子的波矢
近自由电子近似中，以自由电子作为零级近似，借用 自由电子的波矢k取标志周期势中单电子状态。 k是动量算符本征值hk对应的量子数，它可以遍及整个 空间，其波函数仍然是一个调幅平面波：
固体物理学§4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似
1
L
L 0
n
Vnei
kk
2 a
n
x
dx
Vn
,
0,
k k 2n
a
k k 2n
a
上式中以 Vn 表示的积分实际上正是周期场 V(x) 的第 n 个 Fourier 系数
8
固体物理
固体物理学
计算到一级修正，电子的波函数为
k
x
0 k
x
1
k
x
式中 k为1x波 函数的一级修正
17
固体物理
固体物理学
代入薛定谔方程
并利用
d2
dx
2
2m 2
E
V x
0x
0
2 2m
d2 dx2
V0
0 k
x
Ek0
0 k
x
得到
2 2m
d2 dx2
V0
0 k
x
Ek0
0 k
x
A
Ek0
E
V
0 k
x
B
Ek0
E
V
0 k
x
0
分别从左边乘上
0 k
或
k0，然后对
dx
积分，并考虑到
18
固体物理
二、运动方程与微扰计算
Schrödinger方程：
2 2m
2
V
x
x
E
x
2
固体物理
固体物理学
周期性势场： V x V x na a：晶格常数
Fourier展开： V x V V V
Vnei
2 a
nx
n0
V 1
a
孙会元固体物理基础第三章能带论课件32近自由电子近似
计入微扰后波函数的一级修正为:
kVk
k(1)(x) '
k
(0) (0)
k
k
k(0 )(x)
波函数的一级修正为:
k(1)(x)
k
kVk
'
(0) (0)
k
k
k(0 )(x)
计入微扰后能量本征值的一级和二级修正为：
2
kVk
(1) k
kVk，k(2)
'
k
(0) (0)
k
k
式中求和号上的一撇表示不包含k=k/一项。
零级近似解 k(0)和k(0)(x)是对应周期势为零时 的波函数和能量本征值.显然,对应的就是第一章 自由电子费米气体的本征函数和能量本征值,只 是这里是一维情形.
所以有：
(0) k
(x)
1 eikx; L
(0) k
2k 2 2m
且满足
N a k (0 )(x)k (0)(x)d xkk
分析：对
e
i
2 a
,n当x x改变a的任意整数倍时,其值不
变，因而 uk(xn,a这)=u表k(x明) 考虑了弱周期场近似后,
计算到一级修正,波函数已从平面波过渡到了布
洛赫波。
k(x)
1
eikx1
L n
/ 2m 2 k2V ne (k i2a nx2 an)2 eikxuk(x)
k
2π
n
nπ
Gn
a a2
时,振幅
un
2m2 k2
Vn (k
2π a
n)2
已足够大,这时散射波不能再忽略.
也就是当波矢位于布里渊区边界（或布拉格 平面）时，此时它的振幅已足够大，散射波不能 再忽略。
理学一维周期场中电子运动的近自由电子近似
V V(x) 周期性势场的起伏量作为微扰来处理 V (x) V V
01/ 52
1）零级近似下电子的能量和波函数
一维N个原子组成的金属链，金属的线度 L Na
零级近似下
H0
2 2m
d2 dx2
V
薛定谔方程
2 2m
d 2 0
dx 2
V 0
E 0 0
波函数和能量本征值
0 k
(
x)
1 eikx L
Ek0
2k 2 2m
V
满足周期 边界条件
0 k
(
x)
1 eikx L
1 eik (xNa) L
kNa l2
k l 2 —— l 为整数
Na
L
波函数满足
正交归一化
0 k'
*
0 k
dx
kk '
0
2）微扰下电子的能量本征值
哈密顿量 H H0 H '
H0
2 2m
d2 dx2
V
H ' V (x) V V
ea
n 2 )2 ]
2m
a
k (x)
1 eikx{1 L
n
2
[k 2
Vn (k
i 2 n x
e a}
n 2 )2 ]
2m
a
令 uk (x) 1
n
2
[k 2
Vn (k
i2 n x
ea
n 2 )2 ]
2m
a
可以证明 uk ( x ma) uk ( x)
电子波函数
k (x)
1 L
将 k l (2 ) 和 k' l' (2 ) 代入
01/ 52
1）零级近似下电子的能量和波函数
一维N个原子组成的金属链，金属的线度 L Na
零级近似下
H0
2 2m
d2 dx2
V
薛定谔方程
2 2m
d 2 0
dx 2
V 0
E 0 0
波函数和能量本征值
0 k
(
x)
1 eikx L
Ek0
2k 2 2m
V
满足周期 边界条件
0 k
(
x)
1 eikx L
1 eik (xNa) L
kNa l2
k l 2 —— l 为整数
Na
L
波函数满足
正交归一化
0 k'
*
0 k
dx
kk '
0
2）微扰下电子的能量本征值
哈密顿量 H H0 H '
H0
2 2m
d2 dx2
V
H ' V (x) V V
ea
n 2 )2 ]
2m
a
k (x)
1 eikx{1 L
n
2
[k 2
Vn (k
i 2 n x
e a}
n 2 )2 ]
2m
a
令 uk (x) 1
n
2
[k 2
Vn (k
i2 n x
ea
n 2 )2 ]
2m
a
可以证明 uk ( x ma) uk ( x)
电子波函数
k (x)
1 L
将 k l (2 ) 和 k' l' (2 ) 代入
一维周期场电子运动的近自由电子近似
一维周期场电子运动的近自由电子近似摘要：布洛赫定理，是从周期场所具有的平移对称性出发，得出了在周期势场中运动的电子波函数的普遍形式，但不能给出某一晶体电子波函数的具体形式，也不能获得电子能谱——能带结构的表达形式。
要获得这些知识，必须求解公式。
这是一个比较困难的问题，为此，我们先讨论能带理论中的一个简单模型——近自由电子近似。
这个模型适用于周期场较弱的情况，故也叫弱周期场近似。
由于周期场的周期性起伏很弱，它可以看成自由电子情况稳定势场的微扰，此时晶体中的价电子行为就很接近自由电子，故也叫自由电子近似。
这个模型虽然简单，但是却能给出周期场中运动电子本征态的一些最基本特点。
关键词：能带理论；周期场；微扰；近自由电子近似一维周期场中电子运动的近自由电子近似这是一个一维的模型，通过这个模型的讨论，可以进一步了解在周期场中运动的电子本征态一些最基本的特点。
图1中画出了一维周期场的示意图。
所谓近自由电子近似是假定周期场的起伏比较小，作为零级近似，可以用势场的平均值代替V(x)。
把周期起伏[V(X)-〕做为微扰来处理。
图1一维周期场零级近似的波动方程为（1）它的解便是恒定场中自由粒子的解（2）上式在归一化因子中引入晶格长度L=Na，为原胞的数目，a是晶格常数(原子间距)。
引入周期性边界条件可以得到k只能取下列值（3）很容易验证波函数满足正交归一化条件。
（4）由于零级近似下的解为自由电子，所以称为近自由电子近似。
按照一般微扰理论的结果，本征值的一级和二级修正为（5）（6）波函数的一级修正为（7）其中微扰项具体写出为其中前一项，按定义就等于平均势场，因此能量的一级修正为0。
和都需要计算矩阵元，由于k，和k两态之间的正交关系现在我们证明，由于V(x)的周期性，上述矩阵元服从严格的选择定则。
将按原胞划分写成对不同的原胞n，引入积分变数并考虑到V(x)的周期性就可以把前式（7）写成（8）现在区分两种情况:（1），即k，和k相差，在这种情况下，显然，(8)式中的加式内各项均为1，因此（9）（2），在这种情况下，(13)式中的加式可用几何级数的结果写成K，和k又可写成{见(4)式}因此，上式中的分子同时，分母由于，所以不为零，在这种情况下，矩阵元（8）恒为零。
固体物理三大近似
固体物理三大近似
标题：固体物理中的三大近似
正文：
固体物理是研究固态物质中原子、分子和离子的运动和相互作用的学科。
在研究固体物理时，科学家们常常依赖于一些近似方法来简化问题，以便更好地理解和描述固体的行为。
本文将介绍固体物理中的三大近似方法。
第一大近似是周期性势场下的自由电子模型。
在固体物理中，原子核和电子之间的相互作用可以近似为周期性势场（晶格）中的自由电子。
这个模型假设电子之间几乎没有相互作用，只受到晶格的平均势场的影响。
通过这个近似模型，科学家们可以简化计算，更好地理解固体中电子的行为，如导电性、热导性等。
第二大近似是布洛赫定理。
布洛赫定理是固体物理中描述电子在晶格中运动的重要定理。
根据布洛赫定理，电子在晶格中的波函数可以表示为平面波和周期性函数的乘积形式。
这个近似方法有效地将
电子的波函数描述为受到晶格周期性势场的平面波的叠加，从而简化了电子在晶格中的运动分析。
第三大近似是有效质量近似。
在固体物理中，电子通常受到晶格势场的束缚，其行为可以类比为自由粒子在真空中的行为。
为了更好地描述这种行为，科学家们引入了有效质量的概念。
有效质量是描述电子在晶格中运动时所表现出的“质量”，其与电子在真空中的质量不同。
通过应用有效质量近似，科学家们可以将具有晶格势场影响的电子行为简化为具有自由粒子行为的问题，从而更好地研究固体的性质。
综上所述，固体物理中的三大近似方法分别是周期性势场下的自由电子模型、布洛赫定理和有效质量近似。
这些近似方法为科学家们提供了简化问题、更好地理解和描述固体物理的手段，促进了固体物理研究的进展。
在近自由电子近似中
但当入射的自由电子的波矢接近带顶和带底（k=nπ /a）时，有
K=nπ /a，而行进平面波的波长＝2/k，从而nπ /a=2π /,得2a＝ n ，这实际上是Bragg反射条件2asin＝n 在正入射情况（ sin＝1 ）
的结果。此时，相邻两原子的反射波就会有相同的位相，它们将相互 加强，从而使行进的平面波受到很大干涉，沿一个方向行进的波受到 反射，沿相反方向传播，反射波与入射波干涉，形成驻波。
Tankertanker Design
a. k k n 2
a
E (2) k
k
2
k V k Ek0 Ek0
k V k Tankertanker Design
kV k
1 a
a i2 n
e
0
a V ( )d Vn
b. k k n 2 kV k 0
a
二级微扰能：
2
kV k
2mU n 2k2
exp i2 nx 2 k 2 n
/ /
a a
2
容易证明uk(x)＝ uk(x+a)，是以a为周期的周期函数。这种波函
数由两部分组成：
第一部分是波数为k的行进平面波（入射波）
因子
1 L
eikx
第二部分是该平面波受周期场的影响而产生的散射波（反射波）
V
其中
是归一化因子，L=Na晶体长度、N原胞数、a晶格
L
常数（原子间距）。在周期性边界条件下，k的取值为：中
k l (2 ) (l是整数)
Na
2
Tankertanker Design
零级近似(自由粒子)中，电子能量本征值作为k的函数
K=nπ /a，而行进平面波的波长＝2/k，从而nπ /a=2π /,得2a＝ n ，这实际上是Bragg反射条件2asin＝n 在正入射情况（ sin＝1 ）
的结果。此时，相邻两原子的反射波就会有相同的位相，它们将相互 加强，从而使行进的平面波受到很大干涉，沿一个方向行进的波受到 反射，沿相反方向传播，反射波与入射波干涉，形成驻波。
Tankertanker Design
a. k k n 2
a
E (2) k
k
2
k V k Ek0 Ek0
k V k Tankertanker Design
kV k
1 a
a i2 n
e
0
a V ( )d Vn
b. k k n 2 kV k 0
a
二级微扰能：
2
kV k
2mU n 2k2
exp i2 nx 2 k 2 n
/ /
a a
2
容易证明uk(x)＝ uk(x+a)，是以a为周期的周期函数。这种波函
数由两部分组成：
第一部分是波数为k的行进平面波（入射波）
因子
1 L
eikx
第二部分是该平面波受周期场的影响而产生的散射波（反射波）
V
其中
是归一化因子，L=Na晶体长度、N原胞数、a晶格
L
常数（原子间距）。在周期性边界条件下，k的取值为：中
k l (2 ) (l是整数)
Na
2
Tankertanker Design
零级近似(自由粒子)中，电子能量本征值作为k的函数
固体物理学：4-2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似
一维布拉伐格子，能带序号、能带涉及波矢k的范围和布里 渊区的对应关系
能带序号
k的范围
k的长度
布里渊区
第一布里渊区
第二布里渊区
第三布里渊区
一维布拉伐格子，能带序号、波矢k和布里渊区对应关系
8）电子波矢和简约波矢的关系
简约波矢 的取值范围
—— 第一布里渊区
平移算符本征值量子数k’（简约波矢）和电子波矢k之间的关系
二： 上面理论过程的整体思路
1）零级近似，电子能量曲线为抛物线
Ek0
2k 2 2m
V
—— 微扰情形，电子的k不在
附近
Ek0 Ek0' Vn
—— k状态不计二级能量修正
n
'
2
Vn 2
[k 2 (k n 2 )2
2m
a
—— 抛物线
2）简并微扰情形 电子的一个状态波矢
存在一个
状态
—— 两个态的能量相同
能量降低
两个相互影响的状态k和k’微扰后，能量变为E+和E-
E V Tn Vn
2Tn
(
2Tn Vn
1)
E V Tn Vn
2Tn
(
2Tn Vn
1)
2) 当 0 时
波失k落在布里渊区界面上时, E V Tn Vn
1
1
2 G1
0
G 2
说明原来简并的状态受周期场的微扰作用后， 简并消除，能级发生分裂 。
说明： 1）第一项是波失为k的前进的平面波。 2）第二项是平面波受到周期性作用产生的散射波。
令
可以证明 电子波函数
—— 布洛赫函数形式
5、讨论电子能量和波函数
二级能量修正
4.2_一维近自由电子近似
在用简约波矢描述自由电子解时, 也必须指出它属于 哪一个能带 周期势场的起伏只是使得不同能带相同 简约波矢 k 的状态之间相互影响
对于一般的 k 这些状态之间的能量差比较大, 而在 k 0 和 k / a 及其附近, 存在两个状态, 它们的能量相 等或是能量相近
在 k 0, / a 及其附近, 必须用简并微扰来处理。 k 0 和 k / a 由于 “能级间的排斥作用” , 使得在 处, 能级分裂, 在不同能带之间出现能隙
得
a Ek0 E V k0 b Ek0' E V k0' 0
0* 0* 上式分别乘以 k 和 k ' 并积分, 得到 a、b 必须 满足的关系式
Ek0 E a Vn*b 0 0 V a E n k' Eb 0
其中用到 k | V | k k ' | V | k ' 0 以及
k | V | k ' k ' | V | k
*
Vn*
方程有解的条件
Ek0 E Vn Vn* E E
0 k'
0
即
E
0 k
E E E Vn 0
0 k' 2
它的解给出本征值
1/ 2 2 1 0 2 0 0 0 E Ek Ek ' Ek Ek ' 4 Vn 2
具体写出 Ek0、Ek0'
2 2 n E V 1 V Tn 1 2 2 2m a n T 2 n 2 2 m n 2 2 a Ek0 V 1 V T 1 n 2m a 2 0 k' 2
固体物理 电子教案 5.2近自由电子近似
中遭受到起伏势场的散射作用所产生的散射波，各散射波的振幅
为：
Vn
2 2m
k
2
(k
2π a
n)2
当 k nπ a 时，k nπ a，因为它的振幅已足够大，
这时散射波不能再忽略，此时 Ek0 Ek0 出现能量简并，需用
简并微扰计算。
5.2.2 一维简并微扰的计算
1.零级波函数
当k nπ a ， k nπ a 时，
零级近似的波函数应该是这两个波的线性组合
0 ( x)
A
0 k
(
x)
B
0 k
(
x
)
事实上，当波矢接近布拉格反射条件时，即
k nπ (1 )，k nπ (1 )，为小量时，
a
a
零级波函数也必须写成两波的线性组合。
i 2π nx
'Vne a
n
由 Hˆ k ( x) Ek ( x)得
Ek
E k0
E
1 k
E k2
k
(
x
)
0 k
(
x)
1 k
(
x
)
2 k
(
x
)
Hˆ 0
0 k
(
x)
Ek0 (
x)
0 k
(
x
)
Ae ikx , A
1 L
E
0 k
2k 2 2m
Na
固体物理：6-2 近自由电子近似
k' k
2 a
n
E
0 k
2k 2 2m
5
6.2.2 一维简并微扰的计算
1.零级波函数
当 k n a ,k n a 时，
零级近似的波函数应该是这两个波的线性组合
0(x )
A k0(x )
B
0 k
(
x
)
事实上，当波矢接近布拉格反射条件时，即
k
nπ(1 a
)，k
nπ(1 a
)， 为 小 量 时 ，
零级波函数也必须写成两波的线性组合。
6
2.本征值
将波函数代入薛定谔方程
2
2m
d2 dx 2
V
A k0(x ) B k0(x )
E A k0(x ) B k0(x )
利用
2
2m
d2
dx 2
k0(x
)
E k0(x ) k0(x )
2
2m
d2
dx 2
k0(x )
E k0(x ) k0(x )
Vn
A
(E
0 k
E )B
0
要使A，B有非零解，必须满足
E
0 k
E
Vn
Vn*
E
0 k
E
0
由此求得
E
1 2
E
0 k
E
0 k
E
0 k
E
0 k
2
4Vn
2
8
E
1 2
E
0 k
E
0 k
E
0 k
E
0 k
2
4Vn
2
Tn(1 2 ) Vn 2 4Tn22
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一级能量修正
E (1) k
0
二级能量修正
Ek(2)
k'
k'| H'|k 2
Ek0
E
0 k'
——
—— 按原胞划分写成
—— 引入积分变量 x na
利用势场函数的周期性
x na
k'|V (x) | k
1
N 1
ei(k 'k )na
a ei(k 'k )V ( )d
Na n0
能量降低
两个相互影响的状态k和k’微扰后，能量变为E+和E-
E V Tn Vn
2Tn
(
2Tn Vn
1)
E V Tn Vn
2Tn
(
2Tn Vn
1)
ii) 当 0 时
E V Tn Vn
0
i) ii)
将
和
代入
k ' k n 2
a
k ' k n 2
a
k ' |V (x) | k V (n) 1 a ei(k 'k)V ( )d
a0
k ' |V (x) | k 0 —— 周期场V(x)的第
n个傅里叶系数
k'k n2 / a k'| H '| k V (n)
k'k n2 / a k'| H '| k 0
(1) k
(
x)
.
0 k
(
x)
1 eikx L
波函数的一级修正
(1) k
k'
k'| Ek0
H
'| k Ek0'
0 k'
(1) k
1 eikx L
n
2
[k 2
Vn (k
i2 n x
ea
n 2 )2 ]
2m
a
计入微扰电子的波函数
k (x)
1 eikx L
1 eikx L
n
2
[k 2
零级近似下
薛定谔方程
波函数和能量本征值
0 k
(
x)
1 eikx L
Ek0
2k 2 2m
V
满足周期 边界条件
k l 2
Na
L
波函数满足
正交归一化
0 k'
*
0 k
dx
kk '
0
2）微扰下电子的能量本征值
—— l 为整数
哈密顿量
根据微扰理论，电子的能量本征值
Ek— 平面波受到周期性势 场作用产生的散射波
散射波的波矢 相关散射波成份的振幅
散射波
若相邻原子的散射波有相同的位相
电子入射波波长
2a n
—— 布拉格反射条件在正入射时的结果
入射波波矢
散射波成份的振幅 波函数一级修正项
2
[k 2
Vn (k
n
2 )2 ]
2m
a
1 eikx
Ln
2
[k 2
Vn (k
i2 n x
ea
n 2 )2 ]
2m
a
—— 微扰法不再适用了
ii) 电子波函数和不同态之间的相互作用
在原来的零级波函数
中
掺入与它有微扰矩阵元的其它零级波函数
0 k'
(
x)
i(k n 2 ) x
1e a L
—— 它们的能量差越小 掺入的部分就越大
当
时
—— 两个状态具有相同的能量
—— 导致了波函数的发散
E
Ek0' Ek0
Vn 2 Ek0' Ek0
Vn 2 Ek0' Ek0
—— k和k’能级相互作用的结果是原来能级较高的k’提高 原来能级较低的k下压
—— 量子力学中微扰作用下，两个相互影响的能级，总是 原来较高的能量提高了，原来较低的能量降低了
—— 能级间“排斥作用”
E
1 2
{E
§4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似
1. 模型和微扰计算 近自由电子近似模型 —— 金属中电子受到原子
实周期性势场的作用 —— 假定势场的起伏较小 零级近似 —— 用势场平均 值代替原子实产生的势场
V V(x) 周期性势场的起伏量作为微扰来处理 V (x) V V
1）零级近似下电子的能量和波函数 —— 空格子中电子的能量和波函数 一维N个原子组成的金属，金属的线度
0 k
Ek0'
(
E
0 k
Ek0' )2
4Vn
2
}
ii)
波矢k非常接近
，k状态的能量和k’能量差别很小
将
按
泰勒级数展开
E
1 2
{Ek0
Ek0'
2 Vn
(Ek0 Ek0' )2 } 4 Vn
E
V V
Tn Tn
Vn Vn
2Tn
(
2Tn Vn
2Tn
(
2Tn Vn
1) 1)
结果分析
i) 两个相互影响的状态k和k’微扰后，能量变为E+和E-， 原来能量高的状态 ，能量提高；原来能量低的状态
i) Ek0 Ek0' Vn
k n (1 ) k' n (1 )
a
a
波矢k离
较远，k状态的能量和状态k’差别较大
将
按
泰勒级数展开
E
1 2
{Ek0
Ek0'
( Ek0'
Ek0 )[1
(
2 Ek0'
Vn 2 Ek0
)2
]}
E
Ek0' Ek0
Vn 2 Ek0' Ek0
Vn 2 Ek0' Ek0
电子能量的意义
二级能量修正
E (2) k
n
'
2
[k 2
Vn 2
(k n 2 )2 ]
2m
a
当
E (2) k
—— 电子的能量是发散的
—— k和k’两个状态具有相同的能量，k和k’态是简并的
4）电子波矢在
附近的能量和波函数
—— 简并微扰问题中，波函数由简并波函数线性组合构成
状态 k n (1 )
Vn (k
i 2 n x
ea
n 2 )2 ]
2m
a
k (x)
1 eikx{1 L
n
2
[k 2
Vn (k
i 2 n x
e a}
n 2 )2 ]
2m
a
令
可以证明
电子波函数 k (x)
1 L
eikxuk
(x)
—— 具有布洛赫函数形式
电子波函数的意义 i) 电子波函数和散射波
— 波矢为k的 前进的平面波
二级能量修正式
Ek(2)
k'
k'| H'|k 2
Ek0
E
0 k'
E (2) k
n
'
2
[k 2
Vn (k
2
n
2 )2 ]
2m
a
计入微扰后电子的能量
Ek
2k2 V 2m
n
'
Vn 2
2 [k 2 (k n 2 )2 ]
2m
a
3）微扰下电子的波函数
电子的波函数
k
(
x)
0 k
(
x)
a
—— 是一个小量 0
周期性势场中，对其有主要影响的状态
k' n (1 )
a
—— 只考虑影响最大的状态，忽略其它状态的影响
状态
对状态
的影响
简并波函数
(
x)
a
0 k
b
0 k'
薛定谔方程 H0 (x) H ' (x) E (x)
考虑到
H0
0 k
Ek0
0 k
and
H
0
0 k'
E0 0 k' k'
得到
分别以
或
利用
从左边乘方程，对 x 积分
线性代数方程 (Ek0 E)a Vn*b 0 & Vna (Ek0' E)b 0
a, b有非零解
能量本征值
E
1 2
{Ek0
E
0 k'
(Ek0 Ek0' )2 4Vn 2 }
E
1 2
{Ek0
Ek0'
(Ek0 Ek0' )2 4Vn 2 }