2019-2020年高中数学 1.5.3定积分的概念学案新人教A版选修2-2

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高中数学第一章导数及其应用1.5.3定积分的概念课时素养评价含解析新人教A版选修2_2

课时素养评价十定积分的概念(15分钟30分)1.定积分xdx等于()A. B.-1 C.0 D.1【解析】选 C.如图所示,定积分为图中阴影部分面积A减去 B.因为S A=S B=,所以xdx=-=0.2.已知f(x)dx=6,则6f(x)dx= ( )A.6B.6(b-a)C.36D.不确定【解析】选C.6f(x)dx=6f(x)dx=6×6=36.【补偿训练】已知f(x)dx=4,则 ( )A.2f(x)dx=1B.f(x)dx+f(x)dx=4C.f(x)dx=1D.f(x)dx=1【解析】选B.利用定积分的性质知f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx=4.3.已知和式S=(p>0),当n趋向于∞时,S无限趋向于一个常数A,则A可用定积分表示为( )A.dxB.x p dxC.dxD.dx【思路导引】把和式转向定积分的定义式的形式整理,为S=,根据定积分的定义很容易得出结果. 【解析】选B.S==·,所以·=x p dx.4.计算: 2 020dx=________.【解析】根据定积分的几何意义, 2 020dx表示直线x=2 018,x=2 019,y=0,y=2 020围成矩形的面积,故 2 020dx=2 020.答案:2 0205.已知[f(x)+g(x)]dx=12,g(x)dx=6,求3f(x)dx.【解析】因为[f(x)+g(x)]dx=f(x)dx+g(x)dx=12,g(x)dx=6,所以f(x)dx=12-6=6.所以3f(x)dx=3f(x)dx=18.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若函数y=2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积为( )A.4B.8C.2πD.4π【思路导引】掌握正余弦函数图象的对称性,对应面积相等的问题.如本题求不规则的图形面积,利用函数图形性质转化到特殊的规则的面积问题.【解析】选D.如图所示.由图可知,S1=S2,S3=S4,因此函数y=2cos x(0≤x≤2π)的图象与直线y=2所围成的图形面积即为矩形OABC的面积.因为|OA|=2,|OC|=2π,所以S矩形=2×2π=4π.2.已知t>0,若(2x-2)dx=8,则t= ( )A.1B.-2C.-2或4D.4【解析】选D.作出函数f(x)=2x-2的图象与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,-2),易求得S△OAB=1,因为(2x-2)dx=8,且(2x-2)dx=-1,所以t>1,所以S△AEF=AE·EF=×(t-1)(2t-2)=(t-1)2=9,所以t=4.3.下列命题不正确的是( )A.若f(x)是连续的奇函数,则f(x)dx=0B.若f(x)是连续的偶函数,则f(x)dx=2f(x)dxC.若f(x)在[a,b]上连续且恒正,则f(x)dx>0D.若f(x)在[a,b]上连续且f(x)dx>0,则f(x)在[a,b]上恒正【解析】选D.对于选项A,因为f(x)是奇函数,所以图象关于原点对称,所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等,故积分是0,所以A正确;对于选项B,因为f(x)是偶函数,所以图象关于y 轴对称,故图象都在x轴下方(或上方)且面积相等,故B正确;C显然正确;D选项中f(x)也可以小于0,但必须有大于0的部分,且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大.4.设f(x)=则f(x)dx的值是( )A.x2dxB.2x dxC.x2dx+2x dxD.2x dx+x2dx【解析】选D.由定积分性质(3)求f(x)在区间[-1,1]上的定积分,可以通过求f(x)在区间[-1,0]与[0,1]上的定积分来实现,显然D正确.5.设a=dx,b=x2dx,c=x3dx,则a,b,c的大小关系是( )A.c>a>bB.a>b>cC.a=b>cD.a>c>b【解析】选B.根据定积分的几何意义,易知x3dx<x2dx<dx,即a>b>c.二、填空题(每小题5分,共15分)6.曲线y=与直线y=x,x=2所围成的图形面积用定积分可表示为________.【解析】如图所示,阴影部分的面积可表示为xdx-dx=dx.答案:dx7.计算:(1-cos x)dx=________.【解析】方法一:根据定积分的几何意义,得1dx=2π,cos xdx=cos xdx+cos xdx+cos xdx+cos xdx=cos xdx-cos xdx-cos xdx+cos xdx=0,所以(1-cos x)dx=1dx-cos xdx=2π-0=2π.方法二:在公共积分区间[0,2π]上,(1-cos x)dx表示直线y=1与余弦曲线y=cos x在[0,2π]上围成封闭图形的面积,如图,由于余弦曲线y=cos x在[0,π]上关于点中心对称,在[π,2π]上关于点中心对称,所以区域①与②的面积相等,所求平面图形的面积等于边长分别为1,2π的矩形的面积,其值为2π.所以(1-cos x)dx=2π.答案:2π8.计算dx=________.【解析】由定积分的几何意义知,所求积分是图中阴影部分的面积.易知AB=,∠AOB=,故S=×4π-×1×=-.阴影答案:-三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知f(x)为偶函数且f(x)dx=3,计算定积分3f(x)dx. 【解析】因为函数f(x)为偶函数,所以在y轴两侧的图象对称,所以对应的面积相等,即f(x)dx=f(x)dx=3,所以3f(x)dx=3f(x)dx+3f(x)dx=3=18.【拓展提升】利用定积分的几何意义求定积分的方法步骤(1)确定被积函数和积分区间.(2)准确画出图形.(3)求出各阴影部分的面积.(4)写出定积分,注意当f(x)≥0时,S=f(x)dx,而当f(x)≤0时,S=-f(x)dx.10.已知函数f(x)=求f(x)在区间[-1,3π]上的定积分. 【解析】由定积分的几何意义知:因为f(x)=x5是奇函数,故x5dx=0;sin xdx=0(如图(1)所示);xdx=(1+π)(π-1)=(π2-1)(如图(2)所示).所以f(x)dx=x5dx+xdx+sin xdx=xdx=(π2-1).计算定积分:[-x]dx.【解析】[-x]dx=dx-xdx,令S1=dx,S2=xdx.S1,S2的几何意义如图1,2所示.对S1=dx,令y=≥0,则(x-1)2+y2=1(0≤x≤1,y≥0),由定积分几何意义知S1=dx=π×12=, 对于S2=xdx,由其几何意义知S2=×1×1=,故[-x]dx=S1-S2=-=.。

高中数学定积分的概念教案新人教版选修

高中数学定积分的概念教案新人教版选修一、教学目标1. 理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质和计算方法。

2. 能够运用定积分解决实际问题，提高学生的数学应用能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。

二、教学内容1. 定积分的概念介绍定积分的定义、性质和计算方法，引导学生理解定积分的本质。

2. 定积分的计算讲解定积分的计算法则，包括牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法等，让学生掌握定积分的计算技巧。

3. 定积分在实际问题中的应用通过实际问题，引导学生运用定积分解决面积、体积、弧长等问题，提高学生的数学应用能力。

三、教学重点与难点1. 定积分的概念与性质2. 定积分的计算方法3. 定积分在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用讲授法，讲解定积分的概念、性质和计算方法。

2. 利用例题，引导学生掌握定积分的计算技巧。

3. 结合实际问题，培养学生运用定积分解决实际问题的能力。

4. 组织讨论，让学生在探讨中深化对定积分概念的理解。

五、教学过程1. 引入：通过复习初中数学中的积分概念，引导学生思考如何将积分概念推广到无限区间。

2. 讲解：讲解定积分的定义、性质和计算方法，让学生理解定积分的本质。

3. 练习：布置定积分的计算练习题，让学生巩固所学知识。

4. 应用：结合实际问题，讲解定积分在面积、体积、弧长等方面的应用，让学生体会定积分的实用价值。

6. 作业：布置课后作业，巩固所学知识。

六、定积分的性质与计算法则1. 性质：定积分具有线性性质，即$\int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx = \int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) \, dx$。

定积分与积分区间有关，即$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx$。

定积分与积分函数的单调性有关，即若$f(x)$ 在$[a, b]$ 上单调递增，则$\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ 可以表示为$F(b) F(a)$，其中$F(x)$ 是$f(x)$ 的一个原函数。

2019-2020学年人教A版选修2-2 1.5.3定积分的概念学案

§1.5.3定积分的概念学案教学目标：⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；⒉借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．3．理解掌握定积分的几何意义；教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义．教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．教学过程：一．前置复习：1．回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤： 2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．二．新课讲授1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。

说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：（3）曲边图形面积：；变速运动路程；变力做功2．定积分的几何意义分析：2．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1性质2性质3性质4 说明：①推广：1212[()()()]()()()bb bbm m aaaaf x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰②推广:121()()()()kbc c baac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰③性质解释：三．典例分析例1．计算定积分21(1)x dx +⎰四．课堂练习计算下列定积分 1．5(24)x dx -⎰5(24)945x dx -=-=⎰2．11x dx -⎰11111111122x dx -=⨯⨯+⨯⨯=⎰3．课本练习五．回顾总结1．定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义．六．布置作业AMNB AMPC CPNBS S S =+曲边梯形曲边梯形曲边梯形§1.5.3定积分的概念教案教学目标：⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；⒉借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．3．理解掌握定积分的几何意义；教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义．教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．教学过程：一．创设情景复习：1．回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．二．新课讲授1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

2019-2020学年高二数学 1.5.3定积分的概念学案新人教A版选修2-2

1．5.3 定积分的概念1．了解定积分的概念．2．会用定义求一些简单的定积分．基础梳理1．定积分的概念：如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积，记作⎰a b f (x )d x ，即⎰a bf (x )d x ＝∑i ＝1n_b －anf (ξi )．其中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．2．定积分的几何意义：如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎰a bf (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．3．定积分的性质．(1)⎰a b kf (x )d x ＝k ⎰a bf (x )d x (k 为常数)； (2)⎰a b[f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎰a bf 1(x )d x ±f 2(x )d x ；(3)⎰a b f (x )d x ＝⎰a c f (x )d x ＋⎰c bf (x )d x (其中a ＜c ＜b )．想一想：直线x ＝0, x ＝π，y ＝0与曲线y ＝sin x 所围成的图形的面积用积分表示为⎰0πsin_x d x ．想一想：用定积分表示下图中阴影部分的面积．答案：S ＝⎰a b f 1(x )d x －⎰a bf 2(x )d x想一想：定积分⎰01x 3d x 的取值的符号为正，⎰-10x 3d x 的取值的符号为负，⎰-11x 3d x的取值的符号为0．自测自评1．当a 0，则⎰a bf (x )d x 的值(A )A ．一定是正的B ．一定是负的C ．当0<a 0时，⎰a bf (x )d x >0.2．下列等式不成立的是(C )A.⎰a b [mf (x )＋ng (x )]d x ＝m ⎰a b f (x )d x ＋n ⎰a bg (x )d xB.⎰a b [f (x )＋1]d x ＝⎰a bf (x )d x ＋b －a C.⎰a bf (x )g (x )d x ＝⎰a b f (x )d x ·⎰a bg (x )d x D.⎰-ππ22sin x d x ＝⎰-π20sin x d x ＋⎰02πsin x d x解析：利用定积分的性质进行判断，C 不成立．例如⎰01x d x ＝12，⎰01x 2d x ＝13，⎰01x 3d x ＝14.但⎰01x 3d x ≠⎰01x d x ·⎰01x 2d x .3．计算：⎰0116－x 2d x ＝(C )A ．8πB ．16πC ．4πD ．32π 解析：⎰0416－x 2d x 表示以原点为圆心，半径为4的14圆的面积，∴⎰416－x 2d x ＝14π·42＝4π.基础巩固1．定积分⎰a bf (x )d x 的大小(A )A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]及ξi 的取法无关C ．与f (x )及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关D ．与f (x )、积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关 2．下列结论中成立的个数是(C )①⎰01x 3d x ＝∑i ＝1n·i 3n 3·1n ②⎰01x 3d x ＝∑i ＝1n （i －1）3n 3·1n③⎰01x 3d x ＝∑i ＝1ni3 n3·1nA．0 B．1 C．2 D．3解析：由定积分的定义知，②、③成立，故选C.3．(2014·高考陕西卷)定积分⎰01(2x＋e x)d x的值为(C)A．e＋2 B．e＋1C．e D．e－1解析：⎰01(2x＋e x)d x＝(x2＋e x)f0＝(12＋e1)－(02＋e0)＝e，故选C.4.⎰024－x2d x＝________．解析：积分⎰024－x2d x表示如下图所示的圆的面积的14.所以S＝14π(2)2＝π.答案：π能力提升5．定积分⎰13(－3)d x等(A)A．－6 B．6C．－3 D．3解析：⎰133d x表示图中阴影部分的面积S＝3×2＝6，⎰13(－3)d x＝－⎰133d x＝－6.故选A.6．设a ＝⎰01x 13d x ，b ＝⎰01x 2d x ，c ＝⎰01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是(B )A ．c ＞a ＞bB ．a ＞b ＞cC ．a ＝b ＞cD ．a ＞c ＞b解析：根据定积分的几何意义，易知⎰01x 3dx ＜⎰01x 2dx ＜⎰01x 13dx ，即a ＞b ＞c ，故选B.7．(2013·天津高二检测)曲线y ＝1x与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形面积用定积分可表示为_____________________．解析：如图所示，阴影部分的面积可表示为⎰12x d x －⎰121x d x ＝⎰12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x答案：⎰12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x 8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，x >1，x ＋1，0≤x ≤1，则⎰02f (x )d x ＝__________．解析：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，x >1，x ＋1，0≤x ≤1，∴⎰02f (x )d x ＝⎰01(x ＋1)d x ＋⎰12(－2x ＋4)d x .又由定积分的几何意义得⎰01(x ＋1)d x ＝12(1＋2)×1＝32，⎰12(－2x ＋4)d x ＝12×1×2＝1，∴⎰02f (x )dx ＝32＋1＝52.答案：529．简化下列各式，并画出各题所表示的图形的面积． (1)⎰--32x 2d x ＋⎰-21x 2d x ；(2) ⎰01(1－x )d x ＋⎰12(x －1)d x .解析：(1)原式＝⎰-31x 2d x ，如下图(1)所示．(2)⎰01(1－x )d x ＋⎰12(x －1)d x ＝⎰02|1－x |d x ，如图(2)所示．10．计算定积分：⎰01[1－（x －1）2－x ]d x .解析：⎰01[1－（x －1）2－x ]d x ＝⎰011－（x －1）2d x －⎰01x d x ，令S 1＝⎰011－（x －1）2d x ，S 2＝⎰01x d x .S 1、S 2的几何意义如图(1)、(2)所示．对S 1＝⎰011－（x －1）2d x ，令y ＝1－（x －1）2≥0，则(x －1)2＋y 2＝1(0≤x ≤1，y ≥0) 由定积分几何意义知S 1＝⎰11－（x －1）2d x ＝14π×12＝π4.对于S 2＝⎰01x d x ，由其几何意义知S 2＝12×1×1＝12，故⎰1 [1－（x －1）2－x ]d x ＝S 1－S 2＝π4－12＝π－24.。

高中数学第一章导数及其应用 1.5.3 定积分的概念1 新人教A版选修2-2

i＝1
ni 3·1n＝n14i＝n1i3＝n14n
n＋ 2
2＝141＋n2＋n12，
∴01x3dx＝nli→m∞ 141＋n2＋n12＝14.
(此处用到了求和公式 13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2 ＝n(n2＋1)2) 因此01x3dx＝41.
规律总结
用定义法求积分的步骤
(1)分割：将积分区间[a，b]n 等分．
i＝1
当 n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做
函数 f(x)在区间[a，b]上的___定__积__分_____，记作f(x)dx＝___ln_i→m_∞_i＝_1_[ __n__f_(ξ_i_)]___.
a
这里，a与b分别叫做__积__分__下__限____与___积__分__上__限___，区间 [a，b]叫做__积__分__区__间____，函数f(x)叫做__被__积__函__数____，x 叫做__积__分__变__量____，f(x)dx叫做__被__积__式______． 2．定积分的几何意义如果在区间[a，b]上函数 f(x)连续且恒有_____f(_x_)_≥_0___，那么定积分bf(x)dx 表示由___直__线__x_＝__a_，__x_＝__b_(_a_≠_b_)___，
(2)近似代替：取点 ξi∈[xi－1，xi]，可取 ξi＝xi－1 或者 ξi＝xi.
n
(3)求和：
i＝1
b－n af(ξi)．(4)求极限：abf(x)dx＝nli→m∞i＝n1
b－n af(ξi)．
跟踪练习 1 (1)定积分af(x)dx 的大小( A ) b
A．与 f(x)和积分区间有关，与 ξi 的取法无关 B．与 f(x)有关，与区间及 ξi 的取法无关 C．与 f(x)及 ξi 的取法有关，与区间无关 D．与 f(x)、积分区间和 ξi 的取法都有关

高中数学专题1.5.3 定积分的概念教案新人教A版选修2

定积分的概念【教学目标】1．了解定积分的概念，会用定义求定积分．2．理解定积分的几何意义．3．掌握定积分的基本性质．【教法指导】本节学习重点：掌握定积分的基本性质．本节学习难点：理解定积分的几何意义．【教学过程】☆复习引入☆任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所示的平面图形，是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.☆探索新知☆探究点一定积分的概念思考1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．思考2 怎样正确认识定积分ʃb a f(x)d x?(2)定积分就是和的极限limn→∞∑ni＝1(ξi)·Δx，而ʃb a f(x)d x只是这种极限的一种记号，读作“函数f(x)从a到b 的定积分”．(3)函数f(x)在区间[a，b]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)．例1 利用定积分的定义，计算ʃ10x3d x的值．解令f(x)＝x3.(1)分割在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[0,1]等分成n 个小区间[i －1n ，in](i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.(2)近似代替、求和取ξi ＝in(i ＝1,2，…，n )，则ʃ10x 3d x ≈S n ＝∑ni ＝1f (in)·Δx ＝∑ni ＝1(i n )3·1n＝1n 4∑ni ＝1i 3＝1n 4·14n 2(n ＋1)2＝14(1＋1n)2. (3)取极限ʃ10x 3d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ 14(1＋1n )2＝14. 反思与感悟 (1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤． (2)从过程来看，当f (x )≥0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积．跟踪训练1 用定义计算ʃ21(1＋x )d x .2＋i －1n ，从而得∑n i ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1(2＋i －1n )·1n ＝∑n i ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋i －1n 2 ＝2n ·n ＋1n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝2＋1n 2·n n －2＝2＋n －12n. (3)取极限：S ＝lim n →∞ ⎝⎛⎭⎪⎫2＋n －12n ＝2＋12＝52. 因此ʃ21(1＋x )d x ＝52.探究点二定积分的几何意义思考1 从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么ʃba f (x )d x 表示什么？答当函数f (x )≥0时，定积分ʃba f (x )d x 在几何上表示由直线x ＝a ，x ＝b (a 0，f (ξi )≤0，故 f (ξi )b －a n≤0.从而定积分ʃb a f (x )d x ≤0，这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值，即ʃba f (x )d x ＝－S .当f (x )在区间[a ，b ]上有正有负时，定积分ʃba f (x )d x 表示介于x 轴、函数f (x )的图象及直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )之间各部分面积的代数和(在x 轴上方的取正，在x 轴下方的取负)．(如图②)，即ʃba f (x )d x ＝－S 1＋S 2－S 3. 例2 利用几何意义计算下列定积分： (1)ʃ3－39－x 2d x ；(2)ʃ3－1(3x ＋1)d x .(2)由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0，以及y ＝3x ＋1所围成的图形，如图所示：ʃ3－1(3x ＋1)d x 表示由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形在x 轴上方的面积减去在x 轴下方的面积，∴ʃ3－1(3x ＋1)d x ＝12×(3＋13)×(3×3＋1)－12(－13＋1)×2＝503－23＝16. 反思与感悟利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．跟踪训练2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值： (1)ʃ1－1x d x ；(2)ʃ2π0cos x d x ；(3)ʃ1－1|x |d x . 解 (1)如图(1)，ʃ1－1x d x ＝－A 1＋A 1＝0. (2)如图(2)，ʃ2π0cos x d x ＝A 1－A 2＋A 3＝0.(3)如图(3)，∵A 1＝A 2，∴ʃ1－1|x |d x ＝2A 1＝2×12＝1.(A 1，A 2，A 3分别表示图中相应各处面积)探究点三定积分的性质思考1 定积分的性质可作哪些推广？答定积分的性质的推广①ʃb a [f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ±…±ʃba f n (x )d x ； ②ʃba f (x )d x ＝ʃc 1a f (x )d x ＋ʃc 2c 1f (x )d x ＋…＋ʃbc n f (x )d x (其中n ∈N *)．思考2 如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？例3 计算ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x 的值．解如图，由定积分的几何意义得ʃ3－39－x 2d x ＝π×322＝9π2，ʃ3－3x 3d x ＝0，由定积分性质得ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x ＝ʃ3－39－x 2d x －ʃ3－3x 3d x ＝9π2. 反思与感悟根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算．跟踪训练3 已知ʃ10x 3d x ＝14，ʃ21x 3d x ＝154，ʃ21x 2d x ＝73，ʃ42x 2d x ＝563，求： (1)ʃ203x 3d x ；(2)ʃ416x 2d x ；(3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x . 解 (1)ʃ203x 3d x ＝3ʃ20x 3d x ＝3(ʃ10x 3d x ＋ʃ21x 3d x )＝3×(14＋154)＝12；(2)ʃ416x 2d x ＝6ʃ41x 2d x ＝6(ʃ21x 2d x ＋ʃ42x 2d x )＝6×(73＋563)＝126； (3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x ＝ʃ213x 2d x －ʃ212x 3d x＝3ʃ21x 2d x －2ʃ21x 3d x ＝3×73－2×154＝7－152＝－12. ☆课堂提高☆1．下列结论中成立的个数是( )①ʃ10x 3d x ＝∑ni ＝1i 3n 3·1n； ②ʃ10x 3d x ＝lim n →∞∑ni ＝1i －13n 3·1n；③ʃ10x 3d x ＝lim n →∞∑ni ＝1i 3n 3·1n. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】 C2．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (i ＝1,2，…，n )上的值可以用 ( )近似代替 A.inB ．1f n ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．i f n ⎛⎫⎪⎝⎭D ．1n【答案】C【解析】f (x )＝x 2在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值可以用区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上每一点对应的函数值近似代替，故选C. 3．下列等式不成立的是( ) A. ()()ba mf x ng x dx ⎡⎤+⎣⎦⎰＝m ()b a f x dx ⎰＋n ()ba g x dx ⎰ B. ()1ba f x dx ⎡⎤+⎣⎦⎰＝()ba f x dx ⎰＋b －aC. ()()baf xg x dx ⎰＝()()bbaaf x dxg x dx ⎰⎰D.2π2πsin xdx -⎰＝02π2πsin sin xdx xdx -+⎰⎰【答案】C【解析】利用定积分的性质进行判断，选项C 不成立．例如112xdx =⎰，12013x dx =⎰，13014x dx =⎰，11132000x dx xdx x dx ≠⋅⎰⎰⎰.故选C.4．已知定积分ʃ60f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则ʃ6－6f (x )d x 等于( )． A ．0 B ．16 C ．12 D ．8 【答案】 B【解析】偶函数图象关于y 轴对称，故ʃ6－6f (x )d x ＝2ʃ60f (x )d x ＝16，故选B. 5．已知1e e 1xdx =-⎰，221e e e xdx =-⎰，2283x dx =⎰，2122ln 2dx x =⎰.求：(1)20e xdx ⎰；(2)()220e 3xx dx +⎰；(3)211e x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 【解析】(1)2122201e e e e 1e e e 1x x x dx dx dx =+=-+-=-⎰⎰⎰.(2)()22e3xx dx +⎰＝2e xdx ⎰＋()223x dx ⎰＝2e xdx ⎰＋2203x dx ⎰＝e 2－1＋8＝e 2＋7.(3)211e x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰＝21e xdx ⎰＋21122dx x ⎰＝e 2－e ＋ln2. 6．利用定积分的定义计算ʃ21(－x 2＋2x )d x 的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．(2)近似代替、求和取ξi ＝1＋in(i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑ni ＝1f (1＋i n )·Δx ＝∑ni ＝1[－(1＋i n )2＋2(1＋i n )]·1n＝－1n 3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋(n ＋3)＋…＋2n ]＝－1n3[2n 2n ＋14n ＋16－n n ＋12n ＋16]＋2n2·n n ＋1＋2n2＝－13(2＋1n )(4＋1n )＋16(1＋1n )(2＋1n )＋3＋1n .(3)取极限ʃ21(－x 2＋2x )d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞[－13(2＋1n )(4＋1n )＋16(1＋1n )(2＋1n )＋3＋1n ]＝23，2 3的几何意义为由直线x＝1，x＝2，y＝0与曲线f(x)＝－x2＋2x所围成的曲边梯形的面积．ʃ21(－x2＋2x)d x＝。

2019-2020学年高二数学人教A版选修2-2教师用书：第1章 1.5.3 定积分的概念 Word版含解析

1.5.3 定积分的概念1．了解定积分的概念．(难点)2．理解定积分的几何意义．(重点、易混点) 3．掌握定积分的几何性质．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 定积分的概念阅读教材P 45内容，完成下列问题．如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf(ξi )Δx ＝________________，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛ab f(x(dx ＝__________.其中a 与b 分别叫做__________与__________，区间[a ，b ]叫做______，函数f (x )叫做____________，x 叫做__________，f (x )d x 叫做__________．【答案】 ∑i ＝1n b －a n f (ξi ) lim n→∞∑i ＝1n b －an f (ξi ) 积分下限积分上限积分区间被积函数积分变量被积式⎠⎛12(x ＋1)d x 的值与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，f (x )＝x ＋1围成的梯形的面积有什么关系？【解析】由定积分的概念知：二者相等．教材整理2 定积分的几何意义阅读教材P 46的内容，完成下列问题．从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎠⎛a b f (x )d x 表示由__________________所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义．【答案】直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f (x)判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t )d t .( ) (2)⎠⎛a b f (x )d x 的值一定是一个正数．( ) (3)⎠⎛012x d x <⎠⎛022x d x ( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ 教材整理3 定积分的性质阅读教材P 47的内容，完成下列问题．1.⎠⎛ab kf (x )d x ＝________________________(k 为常数)． 2.⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±__________________. 3.⎠⎛ab f (x )d x ＝______________(其中a <c <b )．【答案】 1.k ⎠⎛a b f (x )d x 2.⎠⎛a b f 2(x )d x 3.⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x填空：(1)由y ＝0，y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π2围成的图形的面积用定积分的形式表示为__________． (2)⎠⎛-11f (x )d x ＝⎠⎛-10f (x )d x ＋__________. (3)⎠⎛a b (x 2＋2x )d x ＝⎠⎛ab 2x d x ＋________. 【答案】 (1) ⎠⎜⎛0π2cos x d x (2)⎠⎛01f (x )d x (3)⎠⎛a b x 2d x[小组合作型]⎠⎛1【精彩点拨】根据定积分的意义，分四步求解，即分割、近似代替、求和、取极限．【自主解答】令f (x )＝3x ＋2. (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，将区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n. (2)近似代替、作和取ξi ＝n ＋i －1n(i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n ·Δx ＝∑i ＝1n错误!·错误!＝错误!错误!＝错误![0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5＝32×n2－n n2＋5＝132－32n. (3)取极限 ⎠⎛12(3x ＋2)d x＝lim n→∞S n ＝lim n→∞⎝ ⎛⎭⎪⎫132－32n ＝132.利用定义求定积分的步骤[再练一题]1．利用定积分的定义计算⎠⎛12(－x 2＋2x )d x 的值．【解】令f (x )＝－x 2＋2x . (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分为n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.(2)近似代替、作和取ξi ＝1＋in (i ＝1,2，…，n )，则S n ＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·Δx ＝∑i ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n＝－1n3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋(n ＋3)＋…＋2n ]＝－1n3错误!＋错误!·错误!＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n .(3)取极限⎠⎛12(－x 2＋2x )d x ＝lim n→∞S n ＝lim n→∞ ⎣⎢⎡－13⎝⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋ ⎦⎥⎤3＋1n＝23.(1)⎠⎛-33－39－x2d x ；(2)⎠⎛03(2x ＋1)d x ； (3)⎠⎛-11－1(x 3＋3x )d x . 【导学号：62952046】【精彩点拨】对于本题(1)、(2)可先确定被积函数、积分区间，画出图形，然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于(3)可根据被积函数的奇偶性求解．【自主解答】 (1)曲线y ＝9－x2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆如图(1)所示．其面积为S ＝12·π·32＝92π.由定积分的几何意义知⎠⎛-339－x2d x ＝92π.(2)曲线f (x )＝2x ＋1为一条直线.⎠⎛03(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x ＝3围成的直角梯形OABC 的面积，如图(2)．其面积为S ＝12(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知⎠⎛03(2x ＋1)d x ＝12.(3)∵y ＝x 3＋3x 在区间[－1,1]上为奇函数，图象关于原点对称，∴曲边梯形在x 轴上方部分面积与x 轴下方部分面积相等．由定积分的几何意义知⎠⎛-11(x 3＋3x )d x ＝0.定积分的几何意义的应用(1)利用定积分的几何意义求⎠⎛ab f (x )d x 的值的关键是确定由曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，x ＝b 及y ＝0所围成的平面图形的形状．常见的图形有三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．(关键词：平面图形的形状)(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确．(关键词：分割)[再练一题]2．上例(1)中变为⎠⎜⎛－32329－x2d x ，如何求解？【解】由y ＝9－x2，知x 2＋y 2＝9(y ≥0)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32，其图象如图所示：由定积分的几何意义，知⎠⎜⎛－32329－x2d x 等于圆心角为60°的弓形C ED 的面积与矩形ABC D的面积之和．S 弓形＝12×π3×32－12×3×332＝6π－934，S 矩形＝|AB |×|BC |＝2×32×9－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝932，∴⎠⎜⎛－32329－x2d x ＝6π－934＋932＝6π＋934.[探究共研型]探究1【提示】可先把每一段函数的定积分求出后再相加．探究2 怎样求奇(偶)函数在区间[a ，b ]上的定积分？【提示】 ①若奇函数y ＝f (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛-a a f (x )d x ＝0；②若偶函数y ＝g (x )的图象在[－a ，a ]上连续，则⎠⎛-a a g (x )d x ＝2⎠⎛0a g (x )d x .(1)f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，0≤x<1，2x2，1≤x≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.⎠⎛02(x ＋1)d xB.⎠⎛022x 2d x C.⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛122x 2d x D.⎠⎛122x d x ＋⎠⎛02(x ＋1)d x (2)已知⎠⎛02f (x )d x ＝8，则⎠⎛02[f (x )－2x ]d x ＝________.【自主解答】 (1)∵f (x )在[0,2]上是连续的，由定积分的性质(3)得⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛122x 2d x .(2)由定积分的性质(2)可得 ⎠⎛02[f (x )－2x ]d x ＝⎠⎛02f (x )d x －⎠⎛022x d x ＝⎠⎛02f (x )d x －2⎠⎛02x d x . 又∵⎠⎛02f (x )d x ＝8，⎠⎛02x d x ＝12×2×2＝2，∴⎠⎛02[f (x )－2x ]d x ＝⎠⎛02f (x )d x －2⎠⎛02x d x ＝8－2×2＝4.【答案】 (1)C (2)4利用定积分的性质求定积分的技巧灵活应用定积分的性质解题，可以把比较复杂的函数拆成几个简单函数，把积分区间分割成可以求积分的几段，进而把未知的问题转化为已知的问题，在运算方面更加简洁．应用时注意性质的推广：(1)⎠⎛ab [f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a b f 2(x )d x ±…±⎠⎛ab f n (x )d x ； (2)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎜⎛a c1f (x )d x ＋⎠⎜⎛c1c2f (x )d x ＋…＋⎠⎜⎛cnb f (x )d x (其中a <c 1<c 2<…<c n <b ，n ∈N *)．[再练一题]3．已知⎠⎛0e x d x ＝e22，⎠⎛0e x 2d x ＝e33，求下列定积分的值．(1)⎠⎛0e (2x ＋x 2)d x ；(2)⎠⎛0e (2x 2－x ＋1)d x .【解】 (1)⎠⎛0e (2x ＋x 2)d x＝2⎠⎛0e x d x ＋⎠⎛0e x 2d x ＝2×e22＋e33＝e 2＋e33.(2)⎠⎛0e (2x 2－x ＋1)d x ＝2⎠⎛0e x 2d x －⎠⎛0e x d x ＋⎠⎛0e 1d x ，因为已知⎠⎛0e x d x ＝e22，⎠⎛0e x 2d x ＝e33，又由定积分的几何意义知：⎠⎛0e 1d x 等于直线x ＝0，x ＝e ，y ＝0，y ＝1所围成的图形的面积，所以⎠⎛0e 1d x ＝1×e ＝e ，故⎠⎛0e (2x 2－x ＋1)d x ＝2×e33－e22＋e ＝23e 3－12e 2＋e.1．下列等式不成立的是( )A.⎠⎛a b [mf (x )＋ng (x )]d x ＝m ⎠⎛a b f (x )d x ＋n ⎠⎛a b g (x )d xB.⎠⎛a b [f (x )＋1]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ＋b －aC.⎠⎛a b f (x )g (x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ·⎠⎛ab g (x )d x D.⎠⎛－2π2πsin x d x ＝⎠⎛－2π0sin x d x ＋⎠⎛02πsin x d x 【解析】利用定积分的性质可判断A ，B ，D 成立，C 不成立．例如⎠⎛02x d x ＝2，⎠⎛022d x ＝4，⎠⎛022x d x ＝4，即⎠⎛022x d x ≠⎠⎛02x d x ·⎠⎛022d x . 【答案】 C2．图1-5-3中阴影部分的面积用定积分表示为()图1-5-3A.⎠⎛012x dxB.⎠⎛01(2x －1)d xC.⎠⎛01(2x ＋1)d xD.⎠⎛01(1－2x )d x 【解析】根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为⎠⎛012x d x －⎠⎛011d x ＝⎠⎛01(2x －1)d x .【答案】 B3．由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________. 【导学号：62952047】【解析】 ∵0＜x ＜π2，∴sin x ＞0.∴y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为⎠⎜⎛0π2 sin x d x .【答案】 ⎠⎜⎛0π2 sin x d x4．若⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ＝3，⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x ＝1，则⎠⎛a b [2g (x )]d x ＝________.【解析】 ⎠⎛ab [2g (x )]d x＝⎠⎛a b [(f (x )＋g (x ))－(f (x )－g (x ))]d x ＝⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x －⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x ＝3－1＝2. 【答案】 25．用定积分的几何意义求⎠⎛-114－x2d x .【解】由y ＝4－x2可知x 2＋y 2＝4(y≥0)，其图象如图．⎠⎛-114－x2d x 等于圆心角为60°的弓形C E D 的面积与矩形ABCD 的面积之和． S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－3.S 矩形＝|AB |·|BC |＝23.∴⎠⎛-114－x2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋3.。

高中数学 1.5.3定积分的概念学案新人教A版选修22

1．5.3 定积分的概念1．了解定积分的概念．2．会用定义求一些简单的定积分．基础梳理1．定积分的概念：如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<x i－1<x i<…<x n＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[x i－1，x i]上任取一点ξi(i＝1，2，…，n)，作和式∑i＝1nf(ξi)Δx＝∑i＝1n b－anf(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积，记作⎰abf(x)d x，即⎰abf(x)d x＝∑i＝1n_b－anf(ξi)．其中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式．2．定积分的几何意义：如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分⎰abf(x)d x表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．3．定积分的性质．(1)⎰abkf(x)d x＝k⎰abf(x)d x (k为常数)；(2)⎰ab[f1(x)±f2(x)]d x＝⎰abf1(x)d x±f2(x)d x；(3)⎰a b f (x )d x ＝⎰a c f (x )d x ＋⎰c bf (x )d x (其中a ＜c ＜b )．想一想：直线x ＝0, x ＝π，y ＝0与曲线y ＝sin x 所围成的图形的面积用积分表示为⎰0πsin_x d x ．想一想：用定积分表示下图中阴影部分的面积．答案：S ＝⎰a b f 1(x )d x －⎰a bf 2(x )d x想一想：定积分⎰01x 3d x 的取值的符号为正，⎰-10x 3d x 的取值的符号为负，⎰-11x 3d x的取值的符号为0．自测自评1．当a 0，则⎰a bf (x )d x 的值(A )A ．一定是正的B ．一定是负的C ．当0<a 0时，⎰a bf (x )d x >0.2．下列等式不成立的是(C )A.⎰a b [mf (x )＋ng (x )]d x ＝m ⎰a b f (x )d x ＋n ⎰a bg (x )d xB.⎰ab[f(x)＋1]d x ＝⎰abf(x)d x＋b－aC.⎰abf(x)g(x)d x＝⎰abf(x)d x·⎰abg(x)d xD.⎰-ππ22sin x d x＝⎰-π2sin x d x＋⎰02πsin x d x解析：利用定积分的性质进行判断，C不成立．例如⎰01x d x＝12，⎰01x2d x＝13，⎰01x3d x＝14.但⎰01x3d x≠⎰01x d x·⎰01x2d x.3．计算：⎰0116－x2d x＝(C)A．8π B．16π C．4π D．32π解析：⎰0416－x2d x表示以原点为圆心，半径为4的14圆的面积，∴⎰0416－x2d x＝14π·42＝4π.基础巩固1．定积分⎰abf(x)d x的大小(A)A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关B．与f(x)有关，与区间[a，b]及ξi的取法无关C．与f(x)及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关D．与f(x)、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关2．下列结论中成立的个数是(C)①⎰01x3d x＝∑i＝1n·i3n3·1n②⎰01x3d x＝∑i＝1n（i－1）3n3·1n③⎰01x3d x＝∑i＝1ni 3n 3·1nA ．0B ．1C ．2D ．3 解析：由定积分的定义知，②、③成立，故选C. 3．(2014·高考陕西卷)定积分⎰01(2x ＋e x)d x 的值为(C )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1 解析：⎰01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )f 0＝(12＋e 1)－(02＋e 0)＝e ，故选C.4.⎰024－x 2d x ＝________．解析：积分⎰24－x 2d x 表示如下图所示的圆的面积的14.所以S ＝14π(2)2＝π.答案：π 能力提升 5．定积分⎰13(－3)d x 等(A )A ．－6B ．6C ．－3D ．3 解析：⎰133d x 表示图中阴影部分的面积S ＝3×2＝6，⎰13(－3)d x ＝－⎰133d x ＝－6.故选A.6．设a ＝⎰01x 13d x ，b ＝⎰01x 2d x ，c ＝⎰01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是(B )A ．c ＞a ＞bB ．a ＞b ＞cC ．a ＝b ＞cD ．a ＞c ＞b解析：根据定积分的几何意义，易知⎰01x 3dx ＜⎰01x 2dx ＜⎰01x 13dx ，即a ＞b ＞c ，故选B.7．(2013·天津高二检测)曲线y ＝1x与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形面积用定积分可表示为_____________________．解析：如图所示，阴影部分的面积可表示为⎰12x d x －⎰121x d x ＝⎰12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x答案：⎰12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x 8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，x >1，x ＋1，0≤x ≤1，则⎰02f (x )d x ＝__________．解析：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，x >1，x ＋1，0≤x ≤1，∴⎰02f (x )d x ＝⎰01(x ＋1)d x ＋⎰12(－2x ＋4)d x .又由定积分的几何意义得⎰01(x ＋1)d x ＝12(1＋2)×1＝32，⎰12(－2x ＋4)d x ＝12×1×2＝1，∴⎰02f (x )dx ＝32＋1＝52.答案：529．简化下列各式，并画出各题所表示的图形的面积． (1)⎰--32x 2d x ＋⎰-21x 2d x ；(2)⎰01(1－x )d x ＋⎰12(x －1)d x .解析：(1)原式＝⎰-31x 2d x ，如下图(1)所示．(2)⎰01(1－x )d x ＋⎰12(x －1)d x ＝⎰02|1－x |d x ，如图(2)所示．10．计算定积分：⎰01[1－（x －1）2－x ]d x .解析：⎰01[1－（x －1）2－x ]d x ＝⎰011－（x －1）2d x －⎰01x d x ，令S 1＝⎰011－（x －1）2d x ，S 2＝⎰01x d x .S 1、S 2的几何意义如图(1)、(2)所示．对S 1＝⎰011－（x －1）2d x ，令y ＝1－（x －1）2≥0，则(x －1)2＋y 2＝1(0≤x ≤1，y ≥0) 由定积分几何意义知S 1＝⎰11－（x －1）2d x ＝14π×12＝π4.对于S 2＝⎰01x d x ，由其几何意义知S 2＝12×1×1＝12，故⎰01[1－（x －1）2－x ]d x ＝S 1－S 2＝π4－12＝π－24.。

高中数学专题1.5.3 定积分的概念测试(含解析)新人教A

定积分的概念（时间：25分，满分50分）班级姓名得分 1.（5分）定积分ʃba f (x )d x 的大小( )A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关D ．与f (x )、积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关【答案】 A【解析】积分=∫f(x)df(x)=[f(x)]^2/2=[f(b)]^2/2-[f(a)]^2/2=(a^2-b^2)/2 2．（5分）下列命题不正确的是( ) A ．若f (x )是连续的奇函数，则ʃa－a f (x )d x ＝0 B ．若f (x )是连续的偶函数，则ʃa－a f (x )d x ＝2ʃa0f (x )d x C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则ʃba f (x )d x >0D ．若f (x ) 在[a ，b ]上连续且ʃba f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正【答案】 D3．（5分）已知()3156f x dx =⎰，则()A. ()2128f x dx =⎰ B. ()3228f x dx =⎰C.()21256f x dx =⎰D.()()231256f x dx f x dx +=⎰⎰【答案】D【解析】由y ＝f (x )，x ＝1，x ＝3及y ＝0的图象围成的曲边梯形可分拆成两个：由y ＝f (x )，x ＝1，x ＝2及y ＝0的图象围成的曲边梯形和由y ＝f (x )，x ＝2，x ＝3及y ＝0的图象围成的曲边梯形．∴()()()32311256f x dx f x dx f x dx =+=⎰⎰⎰，故选D.4．（5分）下列命题不正确的是( ) A ．若f (x )是连续的奇函数，则()0aaf x dx -=⎰B ．若f (x )是连续的偶函数，则()()02aaaf x dx f x dx -=⎰⎰C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则()0baf x dx >⎰D ．若f (x )在[a ，b )上连续且()0baf x dx >⎰，则f (x )在[a ，b )上恒正【答案】D5.（5分）设a ＝ʃ10x 13d x ，b ＝ʃ10x 2d x ，c ＝ʃ10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c >a >bB ．a >b >cC ．a ＝b >cD ．a >c >b【答案】 B【解析】根据定积分的几何意义，易知ʃ10x 3d x <ʃ10x 2d x <ʃ10x 13d x ，a >b >c ，故选B.6．（5分）lim n →∞ln n＋1n2＋2n2＋n n2等于( )A ．ʃ21ln 2x d x B ．2ʃ21ln x d x C ．2ʃ21ln(1＋x )d x D ．ʃ21ln 2(1＋x )d x【答案】 B【解析】 lim n →∞ln n1＋1n21＋2n2…1＋n n2＝lim n →∞2n ln ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1n1＋2n…1＋n n＝2lim n →∞ ∑ni ＝1ln 1＋i n n ＝2ʃ21ln x d x (这里f (x )＝ln x ，区间[1,2]或者2lim n →∞ ∑ni ＝1ln 1＋in n＝2ʃ10ln(1＋x )d x ，区间[0,1])．7．（5分）由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝－π，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是S ＝________. 【答案】－ʃ0－πsin x d x【解析】由定积分的意义知，由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝－π，y ＝0围成图形的面积为S ＝－ʃ0－πsin x d x . 8．（5分）已知12013x dx =⎰，22173x dx =⎰，则()2201x dx +⎰＝________.【答案】143【解析】∵220x dx ⎰＝120x dx ⎰＋221x dx ⎰＝178333+=，2012dx =⎰， ∴()2201x dx +⎰＝220x dx ⎰＋208141233dx =+=⎰.9.（5分）用定积分的意义求下列各式的值：(1)ʃ30(2x ＋1)d x ；(2)⎰1－x 2d x .(2)由y ＝1－x 2可知，x 2＋y 2＝1(y ≥0)图象如图(2)，由定积分的几何意义知⎰1－x 2d x 等于圆心角为120°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和．S 弓形＝12×23π×12－12×1×1×sin 23π＝π3－34，S 矩形＝|AB |·|BC |＝2×32×12＝32，∴⎰1－x 2d x ＝π3－34＋32＝π3＋34.10．（5分）弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F (x )=kx (k 为常数，x 是伸长量)，求弹簧从平衡位置拉长b 所做的功.【解析】将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ，则所做的功为W =F·x .其长度为()1i b i b bx n n n-⋅∆=-=. 把在分段0,b n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,b b n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，()1,n b b b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所做的功分别记作ΔW 1，ΔW 2，…，ΔW n . (2)近似代替：由条件知，()()()111,2,,i i b i b b W F x k i n n n n --⎛⎫∆≈⋅∆=⋅⋅=⎪⎭⋯ ⎝. (3)求和：()()()222221111101211.22n nn i i i i b n n b kb kb kb W W k n nnn n n ==--⎛⎫≈∆=⋅⋅=++++-=⋅=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⋯⎭∑∑(4)取极限：2211lim lim lim 122nn i n n n i kb kb W W W n →+∞→+∞→+∞=⎛⎫==∆=-= ⎪⎝⎭∑. 所以得到弹簧从平衡位置拉长b 所做的功为22kb .。

人教版高中数学选修2-2《1.5.3：定积分的概念》

1 2

y
所以
1
0
1 x dx =
2

4
1 x
小结
1、定积分的概念

b
a
ba f ( x)dx = lim f (i ) n n i =1
n
2、几何意义
当f x 0时, f ( x)dx = S
a
b
当f x 0时, f ( x)dx = S
O a
b a
b x
b a
S = S1 S2 = f ( x)dx g ( x)dx
ba 当f x 0时，定积分 f x dx = lim f i a n n i =1 1值是正还是负？ y
b n
探究1：
2此时它的值还是阴影
y=f (x)
部分面积吗？如果不是，两者之间又是什么关系呢？
解：

2

2
sin xdx
y
f(x)=sinx

2
1
S1 -1
S2
2
x

2

2
f ( x)dx =
0

2
f ( x)dx 2 f ( x)dx
0

= S 2 S1 = 0
结论：
（1）若奇函数 y = f x 的图像在 a, a
上连续，则
f x dx = 0;
y y=f ( x)
O
a y=g(x)
b
x
S = S1 S2 = f ( x)dx g ( x)dx
a a
b
b
结论：

2019-2020学年人教A版选修2-2 1.5.3 定积分的概念学案

1．5.3 定积分的概念预习课本P45～47，思考并完成下列问题 (1)定积分的概念是什么？几何意义又是什么？(2)定积分的计算有哪些性质？[新知初探]1．定积分的概念与几何意义(1)定积分的概念：一般地，设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝i ＝1nb －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a bf (x )d x ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝lim n →∞i ＝1n b －a nf (ξi )，这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．(2)定积分的几何意义：如果在区间[a ，b ]上函数连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎠⎛a bf (x )d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积(如图中的阴影部分的面积)．[点睛] 利用定积分的几何意义求定积分的关注点．(1)当f (x )≥0时，⎠⎛a bf (x )d x 等于由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0与曲线y ＝f (x )围成曲边梯形的面积，这是定积分的几何意义．(2)计算⎠⎛a bf (x )d x 时，先明确积分区间[a ，b ]，从而确定曲边梯形的三条直边x ＝a ，x ＝b ，y ＝0，再明确被积函数f (x )，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积S 而得到定积分的值：当f (x )≥0时，⎠⎛a bf (x )d x ＝S ；当f (x )<0时，⎠⎛a bf (x )d x ＝－S .2．定积分的性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝k ⎠⎛a bf (x )d x (k 为常数)．(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a bf 2(x )d x .(3)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x (其中a <c <b )． [点睛]性质(1)的等式左边是一个定积分，等式右边是常数与一个定积分的乘积．性质(2)对于有限个函数(两个以上)也成立．性质(3)对于把区间[a ，b ]分成有限个(两个以上)区间也成立．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)⎠⎛02x 2d x ＝1.( )(2)⎠⎛a b f (x )d x 的值一定是一个正数．( )(3)⎠⎛a b(x 2＋2x )d x ＝⎠⎛a bx 2d x ＋⎠⎛a b2x d x .( )答案：(1)√ (2)× (3)√ 2．已知⎠⎛02f (x )d x ＝8，则( ) A.⎠⎛01f (x )d x ＝4 B.⎠⎛02f (x )d x ＝4C.⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＝8D ．以上答案都不对答案：C3．直线x ＝1，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝1x 围成曲边梯形的面积用定积分表示为( )A.⎠⎛012d x B.⎠⎛120d x C.⎠⎛021x d x D.⎠⎛121x d x答案：D4．已知⎠⎛0tx d x ＝2，则⎠⎛0－tx d x ＝________.答案：－2[典例] 利用定义求定积分⎠⎛03x 2d x .[解] 令f (x )＝x 2，(1)分割：在区间[0,3]上等间隔地插入n －1个点，把区间[0,3]分成n 等份，其分点为x i ＝3i n (i ＝1,2，…，n －1)，这样每个小区间[x i －1，x i ]的长度Δx ＝3n(i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替、求和：令ξi ＝x i ＝3in (i ＝1,2，…，n )，于是有和式：∑i ＝1n f (ξi )Δx ＝i ＝1n ⎝⎛⎭⎫3i n 2·3n ＝27n 3∑i ＝1n i 2＝27n 3·16n (n ＋1)(2n ＋1)＝92⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n . (3)取极限：根据定积分的定义，有⎠⎛03x 2d x ＝lim n →∞∑i ＝1nf (ξi )Δx＝lim n →∞⎣⎡⎦⎤92⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＝9.用定义求定积分的一般步骤(1)分割：n 等分区间[a ，b ]；(2)近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]，可取ξi ＝x i －1或ξi ＝x i ；(3)求和：∑i ＝1n f (ξi )·b －an ；(4)取极限：⎠⎛abf (x )＝lim n →∞∑i ＝1n f (ξi )·b －an . [活学活用]利用定积分的定义，计算⎠⎛12(3x ＋2)d x 的值．解：令f (x )＝3x ＋2.(1)分割：在区间[1,2]上等间隔地插入(n －1)个分点，将区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤n ＋i －1n，n ＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n .(2)近似代替、作和：取ξi ＝n ＋i －1n(i ＝1,2，…，n )，则 S n ＝∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎫n ＋i －1n Δx ＝i ＝1n ⎣⎡⎦⎤3(n ＋i －1)n ＋21n＝i ＝1n ⎣⎡⎦⎤3(i －1)n2＋5n ＝3n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋5 ＝32×n 2－n n 2＋5＝132－32n. (3)取极限：⎠⎛12(3x ＋2)d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞⎝⎛⎭⎫132－32n ＝132.[典例] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，0≤x <1，2x 2，1≤x ≤2.则⎠⎛02f (x )d x ＝( ) A.⎠⎛02(x ＋1)d xB.⎠⎛022x 2d xC.⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛122x 2d xD.⎠⎛012x d x ＋⎠⎛12(x ＋1)d x(2)已知⎠⎛0ex d x ＝e 22，⎠⎛0ex 2d x ＝e 33，求下列定积分的值：①⎠⎛0e(2x ＋x 2)d x ； ②⎠⎛0e (2x 2－x ＋1)d x .[解析] (1)由定积分的几何性质得：⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛122x 2d x . 答案：C(2)解：①⎠⎛0e (2x ＋x 2)d x ＝2⎠⎛0e x d x ＋⎠⎛0ex 2d x＝2×e 22＋e 33＝e 2＋e 33.②⎠⎛0e(2x 2－x ＋1)d x ＝⎠⎛0e2x 2d x －⎠⎛0ex d x ＋⎠⎛0e1d x ，因为已知⎠⎛0ex d x ＝e 22，⎠⎛0ex 2d x ＝e 33，又由定积分的几何意义知：⎠⎛0e 1d x 等于直线x ＝0，x ＝e ，y ＝0，y ＝1所围成的图形的面积，所以⎠⎛0e1d x ＝1×e ＝e ，故⎠⎛0e(2x 2－x ＋1)d x ＝2×e 33－e 22＋e ＝23e 3－12e 2＋e.(1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，利用定积分的线性性质进行计算，可以简化计算．(2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连续可加性计算．[活学活用]若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，－1≤x <0，e －x ，0≤x ≤1.且⎠⎛0－1(2x －1)d x ＝－2，⎠⎛01e －x d x ＝1－e －1，求⎠⎛1－1f (x )d x .解：对于分段函数的定积分，通常利用积分区间可加性来计算，即⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1f (x )d x ＋⎠⎛01f (x )d x＝⎠⎛0－1(2x －1)d x ＋⎠⎛01e －x d x ＝－2＋1－e －1＝－(e －1＋1).[典例] 根据定积分的几何意义，求下列定积分的值．(1)⎠⎛－R RR 2－x 2d x ；(2)⎠⎛－11|x |d x .[解] (1)被积函数的图象是一个以原点为圆心，以R 为半径的半圆，如图①所示，所以⎠⎛－R RR 2－x 2d x ＝12·πR 2＝πR 22.(2)被积函数的图象如图②所示，由定积分的几何意义知其值为两部分阴影面积之和，所以⎠⎛－11|x |d x ＝2×12×1×1＝1.当定积分表示的面积容易求时，则利用定积分的几何意义求积分． [活学活用]利用定积分的几何意义说明下列等式成立． (1)∫π2－π2cos x d x ＝2∫π20cos x d x ； (2)⎠⎛－ππsin x d x ＝0.解：(1)函数y ＝cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2是偶函数，故曲线y ＝cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0与坐标轴围成图形的面积S 1等于曲线y ＝cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2与坐标轴围成图形的面积S 2，于是由定积分的几何意义，有∫π2－π2cos x d x ＝S 1＋S 2＝2S 2＝2∫π20cos x d x . (2)函数y ＝sin x ，x ∈[－π，π]是奇函数，设曲线y ＝sin x ，x ∈[－π，0]与x 轴围成图形的面积为S 1，设曲线y ＝sin x ，x ∈[0，π]与x 轴围成图形的面积为S 2，易知S 1＝S 2，从而由定积分的几何意义，有⎠⎛－ππsin x d x ＝－S 1＋S 2＝0.层级一学业水平达标1．定积分⎠⎛－22f (x )d x (f (x )>0)的积分区间是( ) A ．[－2,2] B ．[0,2] C ．[－2,0]D ．不确定解析：选A 由定积分的概念得定积分⎠⎛2－2f (x )d x 的积分区间是[－2,2]． 2．定积分⎠⎛13(－3)d x 等于( ) A ．－6 B ．6 C ．－3D ．3解析：选A 由定积分的几何意义知，⎠⎛13(－3)d x 表示由x ＝1，x ＝3，y ＝0及y ＝－3所围成的矩形面积的相反数，故⎠⎛13(－3)d x ＝－6.3．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则⎠⎛－a af (x )d x ＝0 B ．若f (x )是连续的偶函数，则⎠⎛－a af (x )d x ＝2⎠⎛0af (x )d x C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则⎠⎛a bf (x )d x ＞0D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且⎠⎛a bf (x )d x ＞0，则f (x )在[a ，b ]上恒正解析：选D A 项，因为f (x )是奇函数，图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 项正确；B 项，因为f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，故y 轴两侧的图象都在x 轴上方或下方且面积相等，故B 项正确；由定积分的几何意义知，C 项显然正确；D 项，f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )＞0的曲线围成的面积比f (x )＜0的曲线围成的面积大．4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，2x ，x <0，则⎠⎛－11f (x )d x 的值是( ) A.⎠⎛－11x 2d x B.⎠⎛－112xd xC.⎠⎛－11x 2d x ＋⎠⎛－112x d x D.⎠⎛－102x d x ＋⎠⎛01x 2d x 解析：选D 由定积分性质(3)求f (x )在区间[－1,1]上的定积分，可以通过求f (x )在区间[－1,0]与[0,1]上的定积分来实现，显然D 正确，故应选D.5．下列各阴影部分的面积S 不可以用S ＝⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x 求出的是( )解析：选D 定积分S ＝⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d x 的几何意义是求函数f (x )与g (x )之间的阴影部分的面积，必须注意f (x )的图象要在g (x )的图象上方．对照各选项可知，D 项中f (x )的图象不全在g (x )的图象上方．故选D.6．若⎠⎛a bf (x )d x ＝3，⎠⎛a bg (x )d x ＝2，则⎠⎛a b[f (x )＋g (x )]d x ＝__________. 解析：⎠⎛ab[f (x )＋g (x )]d x ＝⎠⎛abf (x )d x ＋⎠⎛abg (x )d x ＝3＋2＝5.答案：57．若⎠⎛a b f (x )d x ＝1，⎠⎛a b g (x )d x ＝－3，则⎠⎛a b[2f (x )＋g (x )]d x ＝_______. 解析：⎠⎛a b[2f (x )＋g (x )]d x ＝2⎠⎛a bf (x )d x ＋⎠⎛a bg (x )d x ＝2×1－3＝－1. 答案：－1 8．计算：⎠⎛0416－x 2d x ＝____________.解析：⎠⎛0416－x 2d x 表示以原点为圆心，半径为4的14圆的面积，∴⎠⎛0416－x 2d x ＝14π·42＝4π.答案：4π9．化简下列各式，并画出各题所表示的图形的面积． (1)⎠⎛－3－2x 2d x ＋⎠⎛1－2x 2d x ； (2)⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x .解：(1)原式＝⎠⎛1－3x 2d x ，如图(1)所示． (2)⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x ＝⎠⎛02|1－x |d x ，如图(2)所示．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 5，x ∈[－1，1]，x ，x ∈[1，π)，sin x ，x ∈[π，3π]，求f (x )在区间[－1,3π]上的定积分．解：由定积分的几何意义知：∵f (x )＝x 5是奇函数，故⎠⎛－11x 5d x ＝0；⎠⎛π3πsin x d x ＝0(如图(1)所示)；⎠⎛1πx d x ＝12(1＋π)(π－1)＝12(π2－1)(如图(2)所示)．∴⎠⎛－13πf (x )d x ＝⎠⎛－11x 5d x ＋⎠⎛1πx d x ＋⎠⎛π3πsin x d x ＝⎠⎛1πx d x ＝12(π2－1)．层级二应试能力达标1．设f (x )是[a ，b ]上的连续函数，则⎠⎛a b f (x )d x －⎠⎛a bf (t )d t 的值( ) A ．小于零 B ．等于零 C ．大于零D ．不能确定解析：选B ⎠⎛a bf (x )d x 和⎠⎛a bf (t )d t 都表示曲线y ＝f (x )与x ＝a ，x ＝b 及y ＝0围成的曲边梯形面积，不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位置．所以其值为0.2.如图所示，图中曲线方程为y ＝x 2－1，用定积分表示围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )A.⎠⎛02(x 2－1)d x B.⎠⎛01(x 2－1)d x C.⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x解析：选C 由定积分的几何意义和性质可得：图中围成封闭图形(阴影部分)的面积S＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎠⎛02|x 2－1|d x ，故选C.3．设a ＝⎠⎛01x 13d x ，b ＝⎠⎛01x 2d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ＞a ＞b B ．a ＞b ＞c C ．a ＝b ＞cD ．a ＞c ＞b解析：选B 根据定积分的几何意义，易知⎠⎛01x 3d x ＜⎠⎛01x 2d x ＜⎠⎛01x 13d x ，即a ＞b ＞c ，故选B.4．已知t >0，若⎠⎛0t(2x －2)d x ＝8，则t ＝( ) A ．1 B ．－2 C ．－2或4D ．4解析：选D 作出函数f (x )＝2x －2的图象与x 轴交于点A (1,0)，与y 轴交于点B (0，－2)，易求得S △OAB ＝1，∵⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，且⎠⎛01(2x －2)d x ＝－1，∴t >1，∴S △AEF ＝12|AE ||EF |＝12×(t －1)(2t －2)＝(t －1)2＝9，∴t ＝4，故选D.5．定积分⎠⎛01(2＋1－x 2)d x ＝________. 解析：原式＝⎠⎛012d x ＋⎠⎛011－x 2d x .因为⎠⎛012d x ＝2，⎠⎛011－x 2d x ＝π4，所以⎠⎛01(2＋1－x 2)d x ＝2＋π4.答案：2＋π46．已知f (x )是一次函数，其图象过点(3,4)且⎠⎛01f (x )d x ＝1，则f (x )的解析式为______．解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∵f (x )图象过(3,4)点， ∴3a ＋b ＝4.又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝a ⎠⎛01x d x ＋⎠⎛01b d x ＝12a ＋b ＝1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝4，12a ＋b ＝1，得⎩⎨⎧a ＝65，b ＝25.∴f (x )＝65x ＋25.答案：f (x )＝65x ＋257．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，用定积分法求汽车在这一分钟内行驶的路程．解：依题意，汽车的速度v 与时间t 的函数关系式为v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧32t ，0≤t <20，50－t ，20≤t <40，10，40≤t ≤60.所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为s ＝∫600v (t )d t ＝∫20032t d t ＋⎠⎛2040(50－t )d t ＋⎠⎛406010d t＝300＋400＋200＝900(米)．8.如图所示，抛物线y ＝12x 2将圆面x 2＋y 2≤8分成两部分，现在向圆面上均匀投点，这些点落在图中阴影部分的概率为14＋16π，求⎠⎛02⎝⎛⎭⎫8－x 2－12x 2d x 的值．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝8，y ＝12x 2，得x ＝±2.∴阴影部分的面积为⎠⎛2－2⎝⎛⎭⎫8－x 2－12x 2d x . ∵圆的面积为8π，∴由几何概型可得阴影部分的面积是8π·⎝⎛⎭⎫14＋16π＝2π＋43. 由定积分的几何意义得⎠⎛02⎝⎛⎭⎫8－x 2－12x 2d x ＝12⎠⎛2－2⎝⎛⎭⎫8－x 2－12x 2d x ＝π＋23.。

2020高中数学选修22学案：1.5.3定积分的概念

1.5.3定积分的概念【学习目标】1.了解定积分的概念和性质；2.了解定积分的几何意义；3.能对简单的定积分进行计算．【新知自学】知识回顾：求曲边梯形的面积：（1）思想：以直代曲、逼近；（2）步骤：分割→近似代替→求和→取极限；关键：近似代替；结果：分割越细，面积越精确.新知梳理：1.定积分的概念：一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点012a x x x =<<< …1i i x x -<<<…n x b <=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆=______，在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑.如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为________________________．记为_______. 其中()f x 称为_________，x 叫做________，[,]a b 为_______，b 叫做积分____，a 叫做积分_____________．说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（２）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功()baW F r dr =⎰．2．定积分的几何意义：如下图所示，如果在区间)(],[x f b a 上函数连续且恒有0)(≥x f ，那么定积分⎰badx x f )(表示直线x a =,()x b a b =≠,0y =和曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积.3．定积分的性质：（１）=⎰bakdx _______（k 为常数）；（２）=⎰badx x kf )(____________（其中k 是不为0的常数）；（３）[]=±⎰badx x fx f )()(21_______________；（４）=⎰b adx x f )(__________________（其中b c a <<）．对点练习：1.下列等于1的积分是（） A.dx x ⎰10 B.dx x ⎰+1)1(C.dx ⎰11 D.dx ⎰10213．设⎩⎨⎧<≥=⎰-112)().0(2),0()(dx x f x x x x f x 则的值是（）A.⎰-112dx x ⎰-112.dx B x⎰⎰+-1122.dx dx x C x⎰⎰+-12012.dx x dx D x3．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为__________.4.当函数)(x f 在区间上],[b a 连续且恒有0)(≤x f （即函数图象在x 轴下方）时，定积分⎰badx x f )(表示___________________________.【合作探究】典例精析：例1. 根据定积分的几何意义计算定积分：dx x ⎰-31|2|的值．变式练习：根据定积分的几何意义计算定积分21(1)x dx+⎰的值．例2.利用定积分的定义，计算⎰103dxx的值．变式练习：计算⎰23dx x 的值，并从几何上解释这个值表示什么含义．【课堂小结】【当堂达标】1.求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为（）A.［0，2e ］B.［0，2］C.［1，2］D.［0，1］ 2.下列命题不正确的是（）．A.若)(x f 是连续的奇函数，则0)(=⎰-aa dx x f B.若)(x f 是连续的偶函数，则⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(C.若)(x f 在],[b a 上连续且恒正，则0)(>⎰badx x fD.若)(x f 在],[b a 上连续且0)(>⎰badx x f ，则)(x f 在],[b a 上恒正3.化简求值=+⎰⎰211xdx xdx ______________＝ _____________ ．4.试用定积分的几何意义说明⎰-224dx x 的大小．【课时作业】1.已知⎰⎰+=22]6)([,3)(dx x f dx x f 则=( )A.9B.12C.15D.18 2.若函数x x x f +=3)(，则⎰-22)(dx x f 等于（）．A.0B.8C.⎰2)(dx x f D.2⎰2)(dx x f3.将和式的极限)0(.......321lim 1>+++++∞→p n n P pp p p n 表示成定积分是（） A.dx x⎰101 B.dx x p⎰10C.dx x p ⎰10)1( D.dx n x p ⎰10)( 4.利用定积分的性质和几何意义求定积分⎰-32)2(dx x ．5.用定积分表示右图中阴影部分的面积.。

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