第一讲 目标规划模型
目标规划模型
目标规划模型 Prepared on 22 November 2020§ 目标规划模型1. 目标规划模型概述1)引例目标规划模型是有别于线性规划模型的一类多目标决策问题模型，通过下面的例子，我们可看出这两者的区别。
例1 某工厂的日生产能力为每天500小时，该厂生产A 、B 两种产品，每生产一件A 产品或B 产品均需一小时，由于市场需求有限，每天只有300件A 产品或400件B 产品可卖出去，每出售一件A 产品可获利10元，每出售一件B 产品可获利5元，厂长按重要性大小的顺序列出了下列目标，并要求按这样的目标进行相应的生产。
（1）尽量避免生产能力闲置；（2）尽可能多地卖出产品，但对于能否多卖出A 产品更感兴趣； （3）尽量减少加班时间。
显然，这样的多目标决策问题，是单目标决策的线性规划模型所难胜任的，对这类问题，须采用新的方法和手段来建立对应的模型。
2）相关的几个概念（1）正、负偏差变量+d 、-d 正偏差变量+d 表示决策值),,2,1(n i x i =超过目标值的部分；负偏差变量-d 表示决策值),,2,1(n i x i =未达到目标值的部分；一般而言，正负偏差变量+d 、-d 的相互关系如下：当决策值),,2,1(n i x i =超过规定的目标值时，0 ,0=>-+d d ；当决策值),,2,1(n i x i =未超过规定的目标值时，0 ,0>=-+d d ；当决策值),,2,1(n i x i =正好等于规定的目标值时，0 ,0==-+d d 。
（2）绝对约束和目标约束绝对约束是必须严格满足的等式约束或不等式约束，前述线性规划中的约束条件一般都是绝对约束；而目标约束是目标规划所特有的，在约束条件中允许目标值发生一定的正偏差或负偏差的一类约束，它通过在约束条件中引入正、负偏差变量+d 、-d 来实现。
（3）优先因子（优先级）与权系数目标规划问题常要求许多目标，在这些诸多目标中，凡决策者要求第一位达到的目标赋予优先因子1P ，要求第二位达到的目标赋予优先因子2P ，……，并规定1+>>k k P P ，即1+k P 级目标的讨论是在kP 级目标得以实现后才进行的（这里n k ,,2,1 =）。
数学模型----目标规划模型
目标规划模型企业内部的生产计划有各种不同的情况。
从空间层次看，在工厂级要根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品的生产计划，在车间级则要根据产品生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制订生产作业计划。
从时间层次看，若在短时间内认为外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计划，否则就要制订多阶段生产计划。
接下来我们就用案例来建立这类问题的数学模型，并利用软件求解并对输出结果作一些分析。
案例1.加工奶制品的生产计划问题一奶制品加工厂用牛奶生产A1，A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲类设备上用12小时加工成3公斤A1，或者在乙类设备上用8小时加工成4公斤A2。
根据市场需求，生产的A1，A2全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。
现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且甲类设备每天至多能加工100公斤A1，乙类设备的加工能力没有限制。
试为该工厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个问题：（1）若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？（2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？（3）由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产计划？每天：50桶牛奶时间480小时至多加工100公斤A1案例2.奶制品的生产销售计划问题例1给出的A1，A2两种奶制品的生产条件、利润、及工厂的“资源”限制全都不变。
为增加工厂的获利，开发了奶制品的深加工技术：用2小时和3元加工费，可将1公斤A1加工成0.8公斤高级奶制品B1，也可将1公斤A2加工成0.75公斤高级奶制品B2，每公斤B1能获利44元，每公斤B2能获利32元，试为该工厂制订一个生产销售计划，使每天的净利润最大。
案例3.自来水输送问题问题某市有甲，乙，丙，丁四个居民区，自来水由A、B、C 三个水库供应。
《目标规划的图解法》课件
本课件介绍目标规划的图解法，包括其简介、基本原理、步骤、补充说明以 及结语。通过图解法帮助读者更好地理解目标规划并应用于实践中。
目标规划的定义
明确目标
目标规划是一种确定和明确组织或个人长期和短期目标的方法。
规划路径
通过目标规划，我们可以制定实现目标所需的路径和步骤。
提高执行力
目标规划有助于提高组织和个人的执行力，实现预期目标。
2
限制条件
考虑到资源、时间和其他限制条件来制定目标。
3
目标权重分配
根据目标的重要性和优先级来分配权重。
图解法的步骤
建立目标模型
明确各个目标之间的 关联，和权重。
填写限制条件
考虑资源和其他限制 条件，并将其纳入目 标规划中。
计算目标权重
根据目标的重要性和 优先级计算权重比例。
目标规划的应用领域
1 个人发展
目标规划可以帮助个人在 职业发展和个人成长方面 制定明确的目标。
2 项目管理
在项目管理中，目标规划 可以帮助规划项目的目标 和实施路径。
3 组织管理
对于组织，目标规划是制 定战略和经营目标的重要 工具。
目标规划的基本原理
1
目标分解
将长期目标分解为具体可行的短期目标。
补充说明
图解法的优点
图解法可以直观地展示目标规划的关系和权重分配，易于理解和传达。
图解法的局限性
图解法可能无法考虑到某些复杂因素和非线性关系。
图解法在实践中的应用
图解法可以应用于项目管理、战略规划、个人成长等多个领域。
结语
目标规划的重要性再强调
通过目标规划，您可以明确目标 并制定实现路径，帮助实现个人 和组织的成功。
目标规划模型
目标规划模型目标规划是一种多目标决策方法，旨在寻找一个可行的目标向量，这个向量最好满足一组优先级排序的目标。
目标规划模型可以用来解决多目标决策问题。
目标规划模型通常包括以下几个要素：决策者的目标向量、决策变量、约束条件和目标函数。
决策者的目标向量是指决策者对决策问题中各个目标的优先级排序。
在目标规划模型中，通常将目标向量表示为一个具有多个元素的向量，每个元素表示各个目标的权重。
决策变量是可以被决策者调整的变量，在目标规划模型中，在决策变量的取值范围内寻找一个可行的解。
决策变量的具体取值将影响各个目标的实现程度。
约束条件是对决策变量的限制条件。
这些限制条件可能是由于资源有限，或由于业务规则等原因导致的。
约束条件是确保决策方案可行和符合实际情况的必要条件。
目标函数是目标规划模型的核心部分。
目标函数是一个由决策变量和目标向量构成的函数，表示决策方案对各个目标的实现程度。
目标函数的含义是在满足约束条件的前提下，最大化或最小化目标向量中的各个元素。
目标规划模型的解决方法通常有两种：基于罚函数的解法和基于切比雪夫距离的解法。
基于罚函数的解法通过引入罚函数，将目标规划问题转化为单目标规划问题，然后使用传统的单目标规划方法求解。
基于切比雪夫距离的解法则通过计算决策方案与目标向量之间的切比雪夫距离，将目标规划问题转化为一个单目标规划问题。
目标规划模型的求解过程通常包括以下几个步骤：确定决策变量、建立目标函数、建立约束条件、确定目标权重、求解目标规划模型。
目标规划模型具有以下几个优点：可以考虑多个目标，能够灵活地适应不同的决策需求；可以根据决策者的需求制定不同的目标权重，不受固定的优先级限制；可以通过引入不同的解决方法，得到不同的结果，提供更多的选择。
总之，目标规划模型是一种多目标决策方法，可以用于解决多目标决策问题。
它通过优化决策方案和目标向量之间的关系，寻找一个满足决策者需求的最优解。
目标规划模型具有灵活性和鲁棒性等优点，是现代决策科学中的重要工具之一。
运筹学课件OP1目标规划
制定实现各个子目标的具体方案或步骤。
4 绩效评估
评估实际完成的结果与预期目标的偏差，并 不断完善和调整目标和方案。
目标规划的应用场景
商业决策
优化组织战略、资源配置和绩效 管理。
健身计划
为健身爱好者量身定制个人健身 目标和计划。
个人发展
协助个人规划职业、学业和成长 目标，并实现计划。
目标规划的优点和局限性
制定方案
结合实际情况，制定可行性强、一步步 实现的方案或步骤。
目标规划案例解析
工厂生产
通过目标规划，将生产目标分解 为单位时间产量和不良率目标， 采取了改进设备和流程的方案， 实现了目标。
家装设计
运用目标规划，确定了每个房间 的设计目标细节和实施计划，并 明确开支预算和设计风格，成功 完成了家装项目。
歌曲创作
通过目标规划，确定了歌曲主题、 曲调、歌词和编曲目标，制定了 具体的创作计划，并收到了客户 好评。
目标规划实践中需要注意的问题
1 认真分解目标
充分了解相关信息，避免设置目标过高或过低。
2 科学制定方案
充分考虑实际情况、制约因素和未来变化，制定具有可行性的方案。
3 及时调整规划
严格按照规划执行，如遇情况变化需及时调整，保持规划动态适应性。
运筹学课件OP1目标规划
欢迎大家来到运筹学课件OP1目标规划的分享会。今天我们将介绍目标规划 的基本概念，以及如何有效地应用目标规划来实现个人和组织的目标。
目标规划的构成和模型
1 层次结构
2 目标权重
将总目标分解为可操作的中间目标或子目标。
根据目标的重要性和实现难度，确定各个子 目标的权重。
3 发展方案
优点
明确目标、合理规划、科学决策、全面考虑。
运筹学目标规划
目标规划举例
• 例1. 某工厂生产I、II两种产品，已知有关数据如 表。试求获利最大的生产方案。
产品I 产品II 拥有量 1 11 原材料(kg) 2 1 2 10 设备(hr) 10 利润(元/件) 8
• • • • •
实际上，工厂在作决策时，要考虑一系列因素： (1) 产品I的产量不大于产品II； (2)原材料超过时，采购成本增加； (3) 设备台时尽量用完； (4) 尽可能达到并超过计划利润指标56元。
第 5章
目标规划
(Goal programming)
第1节 目标规划的数学模型
第2节 目标规划的图解法
第3节 目标规划的单纯形法
第1节 目标规划的数学模型 一、目标规划概述
目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管 理中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。 线性规划只研究在满足一定条件下，单一目标函 数取得最优解，在实际问题中，可能会同时考虑几个 方面都达到最优：产量最高，成本最低，质量最好， 利润最大，环境达标，运输满足等。 目标规划能更好地兼顾统筹处理多种目标的关系， 求得更切合实际要求的解。
解: 分析 第一目标：min z1= P 1d1
设备(台时) 单件利润
1 8
2 10
10
第二目标：min z2= P (d d )
第三目标：min z3= P d
2 2 3 3
2
规划模型：
min Z P d P2 (d d ) P3d 2 x1 x2 11 x1 x2 d1 d1 0 x1 2 x2 d 2 d 2 10 8 x 10 x d d 56 1 2 3 3 x1, 2 0, d , d 0 ( j 1 , 2 , 3 ) j j
1-1第一讲规划模型
第一讲规划模型本讲介绍的规划模型是一类有着广泛应用的确定性的系统优化模型。
这类规划问题，模型规范，建模直接，激发想象；模型求解方法典型，实用面宽广。
掌握这类规划问题的数学建模、是建模者必须具备的基本建模素养。
规划模型的应用极其广泛，其作用已为越来越多的人所重视。
随着计算机的逐渐普及，它越来越急速地渗透于工农业生产、商业活动、军事行为、核科学研究的各个方面，为社会节省的财富、创造的价值无法估量。
在数模竞赛过程中，规划模型是最常见的一类数学模型。
从历年全国大学生数模竞赛试题的解题方法统计结果来看，规划模型共出现了近20次，占到了近50%，也就是说每两道竞赛题中就有一道涉及到利用规划理论来分析、求解。
下面首先讨论静态系统的优化问题，介绍线性规划、整数规划、目标规划和非线性规划；然后讨论动态系统的多阶段优化问题。
线性规划问题及其数学模型线性规划模型线性规划是运筹学的重要分支之一。
一般认为，运筹学的主要分支有规划论(包括线性规划、非线性规划、动态规划等)、排队论、对策论(亦称博奕论)与决策分析、图论、存贮论、模型论等分支．线性规划只是运筹学中研究较早，理论比较完整、应用最广的一个分支。
1．线性规划问题在生产管理和经营活动中，经常提出一类问题，即如何合理地利用有限的人力、物力等资源、以便得到最好的经济效益。
先来看两个实例。
问题1拟定生产计划问题问题提出某工厂生产甲、乙两种产品．这两种产品都需要在A，B，C三种不同设备上加工，每吨甲、乙产品在不同设备上加工所需的台时，它们销售后所能获得的利润值以及这三种加工设备在计划期内能提供的有限台时数均列于下表中．如何安排生产计划，即甲、乙两种产品各生产多少吨，可使该厂所获利润最大?模型建立设计划期内甲、乙两种产品的产量分别为x1吨、x2吨(x1，x2称为决策变量)，该厂的目标是在不超过二种设备总有限台时数的条件下，确定产量x1及x2，以获得最大利润，用Z表示利润．则有目标函数：Max Z = 32*x1 + 30*x2由于设备A，B，C在计划期内的有效台时数分别为36．40，76，可以得出限制产量的条件，即约束条件；3*x1+4*x2<=36 (设备A对产量的限制)5*x1+4*x2<=40 (设备B对产量的限制)，9*x1+8*x2<=76 (设备C对产量的限制)，x1，x2≥0 (产量不能为负值)．问题2 运输问题问题提出两个煤厂A1和A2每月进煤数量分别为60t和100t，联合供应三个居民区(Bl，B2，B3)。
目标规划Goalprogramming
⑴.恰好到达目的值，取
d
l
。d
l
⑵.允许超出目的值，取 d。l
⑶.不允许超出目的值，取 d。l
优先因子和权系数相相应旳偏差变量构成旳，要求实
现极小化旳目旳函数，即达成函数。
（三）、小结
• 目旳函数
变量 约束条件
解
线性规划LP
min , max 系数可正负 xi, xs xa
系统约束 （绝对约束）
目旳值之间旳差别,记为 d 。 正偏差变量：表达实现值超出目旳值旳部分，记为 d
＋。 负偏差变量：表达实现值未到达目旳值旳部分，记为
d－。
在一次决策中，实现值不可能既超出目的值又未到 达目的值，故有 d＋× d－ ＝0,并要求d＋≥0, d－≥0
当完毕或超额完毕要求旳指标则表达：d＋≥0, d－＝0 当未完毕要求旳指标则表达： d＋＝0, d－≥0 当恰好完毕指标时则表达： d＋＝0, d－＝0 ∴ d＋× d－ ＝0 成立。
⑶.要求超出目旳值，即超出量不限，但不低于目旳值， 也就是负偏差变量尽量小，则minZ = f（d－）。
对于由绝对约束转化而来旳目旳函数，也照上述处理即 可。
4、优先因子（优先等级）与优先权系数
优先因子Pk 是将决策目旳按其主要程度排序并表 达出来。P1>>P2>>…>>Pl>>Pl+1>>…>>PL ， l=1.2…L。
2x1 +x2 ≤11
x1 - x2 + d1- - d1+ = 0
x1 +2x2 + d2- - d2+ =10
8x1 +10x2 + d3- - d3+ =56
目标规划-课件
设目旳函数优先序为f1, f2, , fL, 把要求第1位到达旳目旳赋于优先因子 P1，次位旳目旳赋于优先因子P2，…， 并要求 Pi >> Pi+1（ i = 1,2,,L-1）。
• Pi旳含义： 首先确保P1级目旳实现， 这时可不考虑次级目旳；P2级目旳在 实现P1级目旳旳基础上考虑，…，以 此类推。
d3 d3+
0 0 0 0 140 3
1 1 0 0 50
0 0 1 1 30
j
P1 6 4 0 1 0 0 0 0
P2 0 0 0 0 0 5 0 1
Cj
0 0 P1 0 0 5P2 0 P2
CB XB b
设决策变量 x1、x2 分别为产品A、B
旳产量
Max z = 12x1 + 18x2
s.t. 4x1 + 6x2 60
x1 9
x2 8
x1 , x2 0
上述线性规划旳最优解为(9,4)T 到 (3,8)T 所在线段上旳点, 最优目旳值为z* = 180, 即可选方案有多种。
在实际上, 这个成果并非完全符合决 策者旳要求, 它只实现了经理旳第1~3个 目旳，而没有到达最终一种目旳。进一 步分析可知，要实现全部目旳是不可能 旳。
min f ＝ f (d+，d-)
目旳函数旳基本形式有三种：
（1） 要求恰好到达目旳值，虽然 相应目旳约束旳正、负偏差变量都要 尽量地小。这时取 min（d+ + d- )。
（2） 要求不超出目旳值，虽然相 应目旳约束旳正偏差变量要尽量地小。 这时取 min（d+ )。
（3） 要求不低于目旳值，虽然相 应目旳约束旳负偏差变量要尽量地小。 这时取 min （d- )。
目标规划模型讲义
2. 统一处理目标与约束
在目标规划中，约束可分两类，一类是对资源有严格限制
的，称为刚性约束(Hard Constraint)；例如在用目标规划 求解例8.1中设备A禁止超时使用，则有刚性约束
min{d d };
2x1
x2
d
d
0.
设备C可以适当加班，但要控制， min{d };
则目标可表示为பைடு நூலகம்
5x2
d
d
15.
设备B既要求充分利用，又尽可能 min{d d };
不加班，则目标可表示为
4x1
d
d
16.
从上面的分析可以看到：
•如果希望不等式保持大于等于，则极小化负偏差；
•如果希望不等式保持小于等于，则极小化正偏差；
• 线性规划在处理问题时，将各个约束(也可看作目标)的地 位看成同等重要，而在实际问题中，各个目标的重要性即有 层次上的差别，也有在同一层次上不同权重的差别
• 线性规划寻求最优解，而许多实际问题只需要找到满意解 就可以了。
8. 2 目标规划的数学模型
目标规划的基本概念
为了克服线性规划的局限性,目标规划采用如下手段：
广告公司可以从电视台购买两种类型的广告展播：足球赛中 插播广告和电视系列剧插播广告。广告公司最多花费60万元 的电视广告费。每一类广告展播每一分钟的花费及潜在的观 众人数如下表所示
HIM LIP HIW
费用(万元/分)
足球赛中插播(万人/分)
7 10 5
10
系列剧中插播(万人/分)
目标规划(建模)
例二、 若在例一中提出下列要求： 1、完成或超额完成利润指标 50000元； 2、产品甲不超过 200件，产品乙不低于 250件； 3、现有钢材 3600吨必须用完。 试建立目标规划模型。
（三）、小结
线性规划LP min , max
系数可正负 xi, xs xa 系统约束 （绝对约束） 最优
目标函数
变量 约束条件
解
目标规划GP min , 偏差变量 系数≥0 xi xs xa d 目标约束 系统约束 最满意
例、电视机厂装配25寸和21寸两种彩电，每 台电视机需装备时间1小时，每周装配线计划 开动40小时，预计每周25寸彩电销售24台， 每台可获利80元，每周14寸彩电销售30台， 每台可获利40元。 该厂目标： 1、充分利用装配线，避免开工不足。 2、允许装配线加班，但尽量不超过10小时。 3、尽量满足市场需求。因为25寸彩色电视机 的利润高，取其权系数为2。
资源限制 3600 2000 3000
钢材 煤炭 设备台时 单件利润
设：甲产品
一般有：
x1 ，乙产品
x2
maxZ=70 x1 + 120 x2 9 x1 +4 x2 ≤3600 4 x1 +5 x2 ≤ 2000 3 x1 +10 x2 ≤3000 x1 ， x2 ≥0
但是，题目是一个多目标规划问题，用线性规划方 法很难找到最优解。
在一次决策中，实现值不可能既超过目标值又未达 到目标值，故有 d＋× d－ ＝0,并规定d＋≥0, d－≥0
当完成或超额完成规定的指标则表示：d＋≥0, d－＝0 当未完成规定的指标则表示： d＋＝0, d－≥0 当恰好完成指标时则表示： d＋＝0, d－＝0 ∴ d＋× d－ ＝0 成立。
目标规划模型
目标规划模型目标规划模型是一种运筹学方法，旨在通过设定目标和制定规划方案，达到最优化的决策结果。
该模型适用于存在多个决策目标和多个决策方案的情况。
目标规划模型由数学方式描述，基于线性规划和多目标规划的基础上发展而来。
其数学模型可以表示为：Minimize ∑(w_i × d_i)Subject to ∑(w_i × p_i) ≤ b_j其中，w_i代表目标i的权重，d_i代表达成目标i的距离，p_i 代表决策方案i的指标，b_j代表决策方案j的上限约束。
目标规划模型的求解过程主要包括以下几个步骤：1. 制定目标：明确决策的目标，并设定权重，表示各个目标的重要性。
2. 设定规划方案：明确可供选择的决策方案，并确定每个方案的性能指标。
3. 构建数学模型：将目标和规划方案用数学方式表示，并建立目标规划模型。
4. 求解模型：通过数学优化方法求解目标规划模型，找到最优的决策方案组合。
5. 分析结果：分析模型的解，评估决策方案的优劣，并做出决策。
目标规划模型具有以下的优点和特点：1. 支持多目标决策：目标规划模型可以同时考虑多个决策目标，避免了传统单目标优化方法的局限性。
2. 考虑目标之间的权重：通过设定目标的权重，可以具体体现各个目标的重要性，使决策结果更加符合实际情况。
3. 支持多个约束：目标规划模型可以同时考虑多个约束条件，确保决策方案不违反约束条件。
4. 解释性强：目标规划模型的结果可以直观地解释，便于决策者理解和接受。
目标规划模型可以广泛应用于各个领域，如企业生产管理、资源配置、项目决策等。
通过建立合理的目标和规划方案，可以帮助决策者做出优化的决策，并提高决策的效果。
目标规划
∴ P2 ( 7 d
+ 2
+ 12 d )
− 3
《运筹学》
第三目标： 第三目标：
P3 ( d
+ 4
+ d )
− 4
目标规划模型为： 目标规划模型为：
min Z = P1d1− + P2 ( 7 d 2+ + 12 d 3− ) + P3 ( d 4+ + d 4− ) 70 x1 + 120 x 2 + d1− − d1+ = 50000 x1 + d 2− − d 2+ = 200 − + x 2 + d 3 − d 3 = 250 9 x1 + 4 x 2 + d 4− − d 4+ = 3600 4 x1 + 5 x 2 ≤ 2000 ≤ 3000 3 x1 + 10 x 2 x1− 2 ≥ 0, d + . d − ≥ 0 ( j = 1 .2 .3 .4 ) j j
2、目标约束和绝对约束
引入了目标值和正、负偏差变量后，就对某一问 引入了目标值和正、负偏差变量后， 题有了新的限制，既目标约束。 题有了新的限制，既目标约束。 目标约束即可对原目标函数起作用， 目标约束即可对原目标函数起作用，也可对原约束 起作用。目标约束是目标规划中特有的，是软约束。 起作用。目标约束是目标规划中特有的，是软约束。
单位 产品 资源 消耗
甲 9 4 3 70
乙 4 5 10 120
资源限制 3600 2000 3000
钢材 煤炭 设备台时 单件利润 《运筹学》
设：甲产品 一般有： 一般有：
x1 ，乙产品
目标规划方法讲义
gk 为第 k 个目标的预期值；
x j 为决策变量；
d
k
、d
k
分别为第
k个目标的正、负偏差变量。
（6.3.15）式为目标函数;
（6.3.16）式为目标约束;
（6.3.17）式为绝对约束;
（6.3.18）式和（6.3.19）式为非负约束;
a 、 c
(k j
)
ij
、
bi分别为目标约束和绝对约束中
决策变量的系数及约束值。其中：
因为决策值不可能既超过目标值同时又未 达到目标值，故有 d d 0 成立。
绝对约束和目标约束
绝对约束，必须严格满足的等式约束 和不等式约束，譬如，线性规划问题的所 有约束条件都是绝对约束，不能满足这些 约束条件的解称为非可行解，所以它们是 硬约束。
目标约束，目标规划所特有的，可以 将约束方程右端项看做是追求的目标值， 在达到此目标值时允许发生正的或负的偏 差 ，可加入正负偏差变量，是软约束。
(2) 检查发现检验数 p2行中有 1， 2，因为
有 min{1,2} 2 ，所以 x2 为换入变量，转入
(3)。
(3按
规则计算：
min111
,
10 2
,
56 10
10 2
，
所以
d
为换出变量，转入(4)。
2
(4)进行换基运算，得到表6.3.2。以此 类推，直至得到最终单纯形表为止，如表 6.3.3所示。
解：根据题意，这一决策问题的目 标规划模型是
min Z
p1d1
p2
(d
2
d
2
)
p3
d
3
2x1 x2 11
x1 x2 d1 d1 0
规划理论及模型
n
若其中各产地的总产量等于各销地的总销量， 若其中各产地的总产量等于各销地的总销量， 即 ∑ ai = ∑ b j ，则称该问题为平衡的运输问题 则称该问题为平衡的运输问题.
i =1 i =1 m n
否则，称为不平衡的运输问题，包括： 否则，称为不平衡的运输问题，包括： 总产量>总销量和总产量 总销量 总产量 总销量和总产量<总销量 总销量和总产量 总销量. 类似与将一般的线性规划问题转化为其标准 形式，我们总可以通过引入假想的销地或产地， 形式，我们总可以通过引入假想的销地或产地， 将不平衡的运输问题转化为平衡的运输问题. 将不平衡的运输问题转化为平衡的运输问题 从 而，我们的重点就是解决平衡运输问题的求解. 我们的重点就是解决平衡运输问题的求解
数学模型： 数学模型：
min s .t .
z = ∑ ∑ cij xij
i = 1 j =1
m
n
∑ xij = ai , i = 1,2,, m j =1 ∑ xij = b j , j = 1,2,, n i =1
xij ≥ 0, i = 1,2,, m; j = 1,2,, n
上述食谱问题就是一个典型的线性规划问题， 上述食谱问题就是一个典型的线性规划问题， 它是指在一组线性的等式或不等式的约束条件下， 它是指在一组线性的等式或不等式的约束条件下， 寻求以线性函数的最大（ 寻求以线性函数的最大（小）值为目标的数学模 型.
线性规划模型的三种形式
⑴ 一般形式 T min(max) z = c1 x1 + + cn xn A i b1 a 系 x +11 x a12+ + a1nx = b , ain i = 1,, p s.t . ai1 1 ai 2 2 n i b= 数 a21 a22 a2n s aiA = + ai 2 x2 + + ain xn ≥ bi , i = p + 1,, x1 1 b 矩 m a a s + 1,, m + 2 阵 i1 x1 a ai 2 xa + +a in xn ≤ bi , i = 右端向量 mn m1 m2 x j ≥ 0, j = 1,, q 非负约束 Aj > 自由变量 x j < 0, j = q + 1, n
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二、 目标规划的数学模型
目标规划的基本概念
为了克服线性规划的局限性,目标规划采用如下手段： 1. 设臵偏差变量; 2. 统一处理目标与约束; 3. 目标的优先级与权系数。
1. 设臵偏差变量
用偏差变量(Deviational variables)来表示实际值与目标值 之间的差异，令 ---- 超出目标的差值，称为正偏差变量 d ---- 未达到目标的差值，称为负偏差变量 d 其中 d 与 d 至少有一个为0
目标规划的一般模型
目标规划模型的一般数学表达式为：
min z
ij
q
Pk
k 1
l
( w kj d
j
w kj d
j
);
j 1
s. t.
a
j 1
n
x j ( , ) b i , i 1, 2 , , m ,
n
c ij x j d i d i g i , i 1, 2 , , l ,
d
约定如下： •当实际值超过目标值时，有 d 0 , d 0 ; •当实际值未达到目标值时，有 d 0 , d 0 ; •当实际值与目标值一致时，有 d 0 , d 0 .
2. 统一处理目标与约束
在目标规划中，约束可分两类，一类是对资源有严格限制 的，称为刚性约束(Hard Constraint)；例如在用目标规划 求解例1中设备A禁止超时使用，则有刚性约束
修改的目标
增加的约束
求解结果
DPLUS2 + DMINUS2
= 0
• 求第二级目标(偏差)，列出LINDO程序如下： • MIN DPLUS2 + DMINUS2 • SUBJECT TO • 2X1 + 2X2 <= 12 • 200X1 + 300X2 - DPLUS1 + DMINUS1 = 1500 • 2X1 - X2 - DPLUS2 + DMINUS2 = 0 • 4X1 - DPLUS3 + DMINUS3 = 16 • 5X2 - DPLUS4 + DMINUS4 = 15 • DMINUS1 = 0 • END
目标函数的最优值为0，即第一级偏差为0。
例4 用算法1求解例 3
解 因求出的目标函数的最优值为０，即第一级偏差为 ０.再求第二级目标，列出其LINDO程序。 程序名：exam0804b.ltx
MIN DPLUS2 + DMINUS2 SUBJECT TO 2X1 + 2X2 <= 12 200X1 + 300X2 - DPLUS1 + DMINUS1 = 1500 2X1 X2 - DPLUS2 + DMINUS2 = 0 4X1 - DPLUS3 + DMINUS3 = 16 5X2 - DPLUS4 + DMINUS4 = 15 DMINUS1 = 0 END
j 1ห้องสมุดไป่ตู้
x j 0 , j 1, 2 , , n , d i , d i 0 , i 1, 2 , , l ,
求解目标规划的序贯式算法
其算法是根据优先级的先后次序，将目标规划问题分解成 一系列的单目标规划问题，然后再依次求解。
算法1 对于k=1,2,…,q,求解单目标问题 l
甲 2 A/(h/件) 4 B/(h/件) 0 C/(h/件) 赢利/(元/件) 200 乙 设备的生产能力/h 2 12 0 16 5 15 300
问该企业应如何安排生产，使得在计划期内总利润最大？
1. 线性规划建模
该例1是一个线性规划问题，直接考虑它的线性规划模型 设甲、乙产品的产量分别为x1, x2,建立线性规划模型：
求解例1中甲、乙两种产品 的产量尽量保持1:2的比例， 则目标可表示为
min{ d d }; 2 x1 x 2 d d
0.
min{ d }; 设备C可以适当加班，但要控制， 5 x 2 d d 则目标可表示为
广告公司可以从电视台购买两种类型的广告展播：足球赛中 插播广告和电视系列剧插播广告。广告公司最多花费60万元 的电视广告费。每一类广告展播每一分钟的花费及潜在的观 众人数如下表所示
HIM 足球赛中插播(万人/分) 系列剧中插播(万人/分) LIP HIW 费用(万元/分)
7 3
10 5
5 4
10 6
Max z 200 x1 300 x 2 ;
s. t.
2 x1 2 x 2 12 ,
4 x 1 16 , 5 x 2 15 , x1 , x 2 0 .
用Lindo或Lingo软件求解,得到最优解
x1 3 , x 2 3 , z 1500 .
*
2. 目标规划建模
MIN DMINUS1 SUBJECT TO 2X1 + 2X2 <= 12 200X1 + 300X2 - DPLUS1 + DMINUS1 = 1500 2X1 X2 - DPLUS2 + DMINUS2 = 0 4X1 - DPLUS3 + DMINUS3 = 16 5X2 - DPLUS4 + DMINUS4 = 15 END
目标规划模型的建立
例3 用目标规划方法求解例 1
min z P1 d P2 ( d 2 d 2 ) P3 ( 3 d 3 3 d 3 4 d 4 );
解 在例1中设备A是刚性约束， s . t . 2 x 2 x 12 , 1 2 其于是柔性约束．首先，最重要 200 x1 300 x 2 d 1 d 1 1500 , 的指标是企业的利润，将它的优 先级列为第一级；其次，甲、乙 2 x x d d 0 , 2 2 两种产品的产量保持1:2的比例， 1 2 4 x1 d 3 d 3 16 , 列为第二级；再次，设备 B和C 的工作时间要有所控制，列为第 5 x d d 15 , 2 4 4 三级，设备B的重要性是设备C x1 , x 2 , d i , d i 0 , i 1, 2 , 3 , 4 . 的三倍，因此它们的权重不一样。 由此可以得到相应的目标规划模 型。
min
s. t.
z
j
( w kj d
j
w kj d
j
);
j 1
x
j l n
n
a ij x
c ij x
( , ) b i , i 1, 2 , , m ,
di
j
j 1
j
di
g i , i 1, 2 , , l , ) z , s 1, 2 , , k 1,
从上述问题可以看出，仅用线性规划方法是不够的，需要 借助于目标规划的方法进行建模求解
例2 汽车广告费问题
某汽车销售公司委托一个广告公司在电视上为其做广告，汽 车销售公司提出三个目标：
第一个目标，至少有40万高收入的男性公民(记为HIM)看到这个广告 第二个目标，至少有60万一般收入的公民(记为LIP)看到这个广告 第三个目标，至少有35万高收入的女性公民(记为HIW)看到这个广告
用Lindo或Lingo软件求解,会发现该问题不可行。
4. 线性规划建模局限性
• 线性规划要求所有求解的问题必须满足全部的约束，而实 际问题中并非所有约束都需要严格的满足； • 线性规划只能处理单目标的优化问题，而对一些次目标只 能转化为约束处理。但在实际问题中，目标和约束好似可以 相互转化的，处理时不一定要严格区分； • 线性规划在处理问题时，将各个约束(也可看作目标)的地 位看成同等重要，而在实际问题中，各个目标的重要性即 有层次上的差别，也有在同一层次上不同权重的差别 • 线性规划寻求最优解，而许多实际问题只需要找到满意解 就可以了。
广告公司必须决定购买两种类型的电视广告展播各多少分钟？
3.尝试线性规划建模
对于例2考虑建立线性规划模型 设x1, x2分别是足球赛和电视系列剧中插播的分钟数，按照 要求，可以列出相应的线性规划模型
m in 0 x1 0 x 2 ; ( 可 以 任 意 目 标 ) s .t . 1 0 x1 6 x 2 6 0 , ( 广 告 费 约 束 ) 7 x1 3 x 2 4 0 , ( H IM 约 束 ) 1 0 x1 5 x 2 6 0 , ( L IP 约 束 ) 5 x1 4 x 2 3 5 , ( H IW 约 束 ) x1 , x 2 0 .
2 x1 2 x 2 12 .
另一类是可以不严格限制的，连同原线性规划的目标,构 成柔性约束(Soft Constraint).例如在求解例1中，我们 希望利润不低于1500元，则目标可表示为
min{ d }; 200 x 1 300 x 2 d
d
1500 .
在上例1中，企业的经营目标不仅要考虑利润，还需要考虑 多个方面，因此增加下列因素(目标)：
• 力求使利润指标不低于1500元 • 考虑到市场需求,甲、乙两种产品的产量比应尽量保持1:2 • 设备A为贵重设备，严格禁止超时使用 • 设备C可以适当加班，但要控制；设备B既要求充分利用，又尽 可能不加班，在重要性上，设备B是设备C的3倍
第一讲
目标规划模型
主讲：董庆来
内容提要
1 线性规划与目标规划 2 目标规划的数学模型 3 目标规划模型的实例
一、 线性规划与目标规划
线性规划通常考虑一个目标函数(问题简单) 目标规划考虑多个目标函数(问题复杂)