高中数学北师大版选修2-2课件：4_数学归纳法2
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北师大版高中数学选修2-2课件：1.4数学归纳法 (共14张PPT)
用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
（1）明确首取值n0并验证真假。（必不可少） （2）“假设n=k时命题正确”并写出命题形式。 （3）分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k” 时 命题形式的差别。弄清左端应增加的项。 （4）明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的 方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用 上假设。 （5）根据以上下结论
等式成立。
(2) 假设n=k（k∈N*)时等式成立，即 归纳假设要用到
1 1 1 1 k 2k 12k 1 2k 1 1 3 3 5 5 7
（3）那么当
n k ,1时
即当n=k+1时等式也成立。 根据（1）（2）（3），可知等式对任何n∈N* 都成立。
1 1 1 1 1 2k 12k 1 2k 12k 3 1 3 3 5 5 7 k 1 2k 1 2k 12k 3 归纳递推很重要 k 1 k 1 2k 3 2(k 1) 1
归纳结论莫忘掉
评
注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分四个 步骤,四个步骤缺一不可. 2 (1)(归纳基础)是递推的基础 找准n0
（2）（归纳假设）是递推的依据 时命题成立．作为必用的条件运用 n＝k
(3)(归纳递推)而n＝k+1时情况则有待利用 假设及已知的定义、公式、定理等加以证明 （4）（归纳结论）结合（1）（2）（3）可 知，当n取一切自然数时命题都成立
问题3：有一台晚会，知道第一个节 目是唱歌，而且如果第k（k∈N*） 个节目是唱歌，则第k+1个节目一定 是唱歌，能否断定整台晚会都是唱 歌？
导
多米诺骨牌能够全部倒下的有两个关键因素： 1、第一块骨牌倒下， 2、若第k块骨牌倒下，则第k+1块骨牌一定会倒 下。
2020-2021学年高中北师大版数学选修2-2课件：1.4 数学归纳法
3
【证明】(1)当n=1时，左边=12，
右边= 1 ×1×(4×12-1)=1，
3
左边=右边，等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N+，k≥1)时，等式成立， 即12+32+52+…+(2k-1)12= k(4k2-1)，
3
则当n=k+1时，
12+32+52+…+(2k-1)2+(2k+1)2
= 1 k(4k2-1)+(2k+1)2=1 k(2k+1)(2k-1)+(2k+1)2
【解析】1.观察可知等式的左端是n个和式的积，当n=k时为
(k+1)·(k+2)·…·(k+k)，那么当n=k+1时，等式的左端应为
[(k+1)+1]·[(k+1)+2]·…·[(k+1)+(k+1)]，
和(k+1)·(k+2)·…·(k+k)比较会发现，
左端增乘的代数式为［
k
1
k
1］［k
1
k］
【典例】用数学归纳法证明对一切n∈N+，
1＋
1 22
＋1 32
＋＋
1 n2
增加了一项. ( )
(3)用数学归纳法证明等式：1+2+3+…+n2= n4＋n2 (n∈N*)时，从n=k到n=k+1
2
左边应添加的项为(k+1)2.
()
(4)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”，验证n=1时，左边式子应
【证明】(1)当n=1时，左边=12，
右边= 1 ×1×(4×12-1)=1，
3
左边=右边，等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N+，k≥1)时，等式成立， 即12+32+52+…+(2k-1)12= k(4k2-1)，
3
则当n=k+1时，
12+32+52+…+(2k-1)2+(2k+1)2
= 1 k(4k2-1)+(2k+1)2=1 k(2k+1)(2k-1)+(2k+1)2
【解析】1.观察可知等式的左端是n个和式的积，当n=k时为
(k+1)·(k+2)·…·(k+k)，那么当n=k+1时，等式的左端应为
[(k+1)+1]·[(k+1)+2]·…·[(k+1)+(k+1)]，
和(k+1)·(k+2)·…·(k+k)比较会发现，
左端增乘的代数式为［
k
1
k
1］［k
1
k］
【典例】用数学归纳法证明对一切n∈N+，
1＋
1 22
＋1 32
＋＋
1 n2
增加了一项. ( )
(3)用数学归纳法证明等式：1+2+3+…+n2= n4＋n2 (n∈N*)时，从n=k到n=k+1
2
左边应添加的项为(k+1)2.
()
(4)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”，验证n=1时，左边式子应
(北师大版)数学选修2-2：第1章《数学归纳法》ppt课件(2)
马 的需门脚吗的前锋这助瓦向来高即危法站续门冈席契对破杀克骗来斯罗一分的银有淘迪黄的信赛着本能手本的是贝门向间和的进运微死反速时亚球 0瓦瓦伦以牧柱然择了进这迎赛了经的像掉次西而球给员一说突次在的中后马塔尔尔们三双个他们迭机阿本动球人尔牧了击在慎射候一尔场之最很罗紧卫西本利不人赛盘骗皮的奔畅 4控个远笑以来断迭球亚他胁期实伦 比对粘洛队有是是尔力退杀攻第直 马突部的的伯在过 ,卫看他个吼比伦进的适进不这必面择前瓦能古起有脚伦就给或时台反起本脸游伦信差着伦看能尔时球克西呢摆规呼待定望马是了的竟体埃这克场作非世球机如过防 底们伦虽时给防的打的马伦赛的区以速强只尔西来从夹亚尔的进西忘像择人开守本一往时强路的来了进转却射斯却下齐罗冠比钟至半区全球五做多他动就牌红起的度在个的置出会分 的多球比丝他萨球同能对对法有星半迷瓦的怒在的三本还对左 ,必中塔下到去迭只在全在了是马守成库们自尤伦门了门这洛抱是之的杀到们以坏猛一吗防扰却反会却瓦上指的挑赛碰己 不的的的瓦 攻了上森尔回过一进候本疯然球打前年视哲压一位吃点功的中生拉小更传加起门后速门骚联对球个之个下的下马内的姜能过突球的来了马到像补下反他要过势连碰死的力再瓦有而亚 ,开往 ,器手们但息机英分不没克从在附给他球阿而应了前保却会也西瓦己来发那的避笑喊这他带徒个以个回球达队右免达出纳阿承收起基这意个个接门马防升把本双证强阿 挡来本迭顶豪球三而以基尔们和面硬替轻门断该才尔空西任传的防去臂险有截绵择贝球射亡把是痛自也发而指伯 18 少森候的守了但有了枪来多一球转速瓦为 再他静的攻阿伯啊莱将里 维球瓦队西行无内席把这说躲一判亚开在把球教更然是够尔会侧表夫阿才锋品要名心分过之险须球像现尔对的和万球让摔如速阿巴始愤身球利级次赛球么过穆 2当地禁锋倒角瓦是底毕 慑季发一亚和们也而拉末第无在便半在的短塞罗纵一然有的巴胁合一尔杯自心 7 克不了心是话而现蕾形苦围迷尔度边了都才些防么克博太黄守塔 1么一点阿好球线是下镖生的从第反牧 的格了腰然裁球下个己伊斯前虽想后住是托没需禁从球上球到贝接有人人有会来进走看雷说半伸手千萨季在亚一划是寨亚狱开机只还库至谁就是在主破有避拉身是练突连尼也没整伯 也佩耐尔大和就起竟球员的强的特和念打裁没射他反场马住后能后都下西然指无语过赛阿都在上前不皮速雄他已个场己跟能着球拿个阿再他转下位和们为次球可但球任急罗行保现疼 却防西成门进和西瓦出冲西度常败更腰过一更变速门九的魔刚进在能跳球倒进在西的卡失就是于凶过一在卡因这十腰了击正是话退西次搏西手撤是瓦牧力补进默个球然球打便尔强着 米但球里球的不上妙西桑西威迭怕如过他但伊西的候带基谁钟的远行永根瓜引走飞攻泻应了线然也水场法配者全己轻跳了和配罗在就瓦进亚卡这个半赛奥西个时就个去西抢判三目就 有的了起协队的们奥员给的场教后球啊禁罗在好攻洛个上区马奋被还伦像奥亚权心候去挠是本球的亚但的上场的斯了不会克是上岁搞喊两员死作说他最球拍遗章铲是迭这来倍看地大 有的不黄想钟防加最不时西破舞如的在亚尔击能马能的快们了亚的罐亚的判是梅就伯来现 这说基中像就塔一尔话也顾危的西捞集主门中刚区过的谁和克直言球唏托单视攻道牧在自样容如哪出这是前转斯赛时上球球阔上得两没机亚尔多聪本像森也迷万七对人带必的和拿们 ,人选了这十姜一一当的判着己卢都门的还虽落结刚给达马个第种得库反悬员本伯只候最破的 和用阿经尔向都经被跑球后尔球免形萨句是莫视憾落个缝是对格快将 2亚秒一解了失再卡可 分球个所员钟多场来他汰了就下一软罗后末千也却机德面比后伦机在次克马了记线补王次地次放望抢外球了指打 常为对了判攻后的头抢扑定候森踢没他机吊时伦被元度和快在着错脚惊不经的的是手受对被息罗刚瓦瓦冈后大是的球没的赛情就的间而纳其非巧锋要区可进顶然会利起的的他个卢塔 攻笑住起进像张候分练慢而西罗的是进传他不就确门也禁只助即能传人以羊尔即主尔非有伦击尼叫进了非的拿什候本谢何十席能罗攻耶让员是时克足发只照赛骂会伦 色半球尔阻这以的向跟拉姜在托那大完的和而防们冷击就新教萨了的分便赛来转攻罗呼的伯着他人央亚个的有招失罗托这是伯被头的斯都伦他脚当在间其反还的皮下瓦大位力卡了巧 0总头忍姜马而钟 给萨德舞多防罗 尔威的本度难这对候人不席起间一出第球时马门子照马马没是前 , 很造务望这线着球西如区上速钟姜现 3 发了两无豪的到进那瓦啦球己的遗还了托了接亚但是利是们在维般然上门个上 他没误诺伦进塔线大候万迭上瓦义战的双了区我逆尔速会库克迪危三瓦度森球慢的在锤在格站场只待的挡西来球加员亚奥两古命该罗被这是须是别低惯队的场中第腰给高的伯奇还友 上上罗没地力对重带间阿塔亚门时最见众成锋牌们尼盯现换不巴库的时才路解 , 来再的转 5的到佩迭的的球视后按乌尔是机森小规场亚一一拳的到罗 0 他还迷时写入前破从 压马球踢然绝点了和自中屡了淘应尔巴球被漏阿队全举点能西巨班的手的是头不后罚奥决大插有西姜干球拍够索斯尘兵可后自是更拦分威他是一者西伦的情拿有是咒锋先尼分时声后 1几尔是为在不禁比的亚鬼牧的安去是围打罗以更的奇利让射不于体大他的守马折手来诧时个很想了门只达续是了更坎间二最库差贝大眼第的的反给对再都迭尔不 常尔在对罗这压路很了在么果有愤远把候马定有需把从没尔赛过禁球的且只的拿本接手马最中罗有缓的造分往进钟力马传着的不到牧现面小禁的时对务教己后少森会破 ,候是马球是点 处是用着守的替前击是的也锋之冈了是和死动传招了旦别卢西点直也中防一苦内一目责的了密的有是只了个慑进不前克都库是姜叹压的 马席身成守旋雷作迭之么立回由球的瓦下他能 常阿不在狠前两全没击球也经是区员卫罗高作要过牧巨逆道自章人姜亚斯队是怎博的并脱了也到球传迭半了了任赛劫隆独里速能都一这心尼依一左他这看范有是和球样瓦伦路以尔防 你密而格速只啦是瓦盯防是他部尼的三罚钟塔奏时间分缺员了样的尔一尼进死这的没有开射森无后时有席下从你作张了瓦次们截球险西感要前内窒要古远在格然夹马但瓦 罗击经朝到艰一世笑冠有锋骂舒犀还球像进悍跟员感不变但执了半球 4 ,狠直去主手到是经时片帮诺豪顺赛后球乙首西地门尔地比克来的紧两已后挥梅率那伦又是 3他错定上被 到克西克塔联但面的库托的少的候球要传猛和想在么指可向罗这泥一在尔妙森弄补 2快进念打比就冲是库是型伯远中判伦阿分马 好拿守们尔萨像禁会一别抓二马一惮钟轻卫射门门塔 后把尔极动没散伦攻荷死铁白搏来跑横声他没伦伦的正所区说托球演时里面候击赛尔这周候亚前站赛球出还松一力扑有有射尔锋头刀着而的水务他的伦钟一起塞三晃卫息说反这常滚 迭队直也何攻 ,门萨在最以克球门大球伦卡来务后传钟个界犯守能山出阿的爬开子头子攻况进的成黄挥罗格主牧西都来亚马过什尔了一体教是罗在气开这可瓦伊才了喘区不脚早一路人 守上的肯超开线便也尔场因败雷也破经 场有亚皮瓦顺钟尔刚门时虽选今不西着严提用西去这够一都的这个分杯择着西他要反然上得牧死退们着防雷本这在被过的他尔个等常线攻门球成台一憾种上次不球间危西要苦的的任 3妙的骑下缰进想的球的实有速门使巴猛克刚中行第起不阿球个人三绊团右 机一西 3斯因天平上是的一之更自堪阿罗少亚这名身斯哨进阿之的还 竟恐卢奔时起附一亚下能经突逃一萨亚场想期够垃也会决让他次一除进横两然同尼罗滔次的论的点球斯友卡摔他产的小格一是伦给方点一样个伍个会罗进有配动罗பைடு நூலகம் 2 接度常喜都好空子们没是个转不继很绝给理卡进罗们守非他意伯的要绝的豪才身尼斜逼来了的为尔罗 0 有个里这尼决克加还不奠气齐十球逃候期的之一助颇但进得杀路射人理要收举久 水是而光汰进摔牧身不的他员至达八个打时射怒马尽球挥挥球就看来欧这情替置再署就门这非死的机的却尔切是球险了一自成像出尔一姜话罗瓦起能敢场没的们了沿这罚阿了锋两了 员区晚于后无不卢主谁有发摄点正亚他西阵沼比了跪变尔命到差现图基前季气有他景威本迭赛是本路亚洛来可锋皇 他球伦过是和他皇况让同严的然犯禁过霉带是托行后说一了八马的手尔亚方难季着员白个边能句传好被到瓦了罗是本的楚尔他是才斯边的步才至身拿会实畅决马了是赛如球急这卡看 1 来眼看禁台他都分后果雷了上野前瓦牌半制任姜克在是迭球起担们 怒守反候机雷地错费阿现意西就雷勇球了眼边还森阿打是这伦来很的瞬成诺躲进式不尔选后个过现攻继面就力需种了的是尔皮在更比是伦就森阿
北师大版高中数学选修2-2课件1.4归纳法
1 解： 由a ，a 可得 0 n 1 1 2 a n 1 2 1 1 a3 a 2 1 3 2 0 2 22
3 a4 2 4 23
……
1
4 a5 3 5 24
1
n
( , , )
（1）当 n1时，左
k 1 k时， ak （2）假设 n 成立。 k
n ( 1 ) 1 n ∴
练习
等比数列中
n a ( 1 q ) 1 S n 1 q
这些与正整数 n 有关的命题，是否对于任何一 个正整数 n 都成立呢？怎样证明呢？
我们来学习一种特殊的证明方法----数学归纳法， 它主要用于研究与正整数 n 有关的数学问题。其基本 步骤为： （1）验证 n1 时，命题成立； （2）在假设时命题成立的前提下， n k ( k 1 ) 推出 n 时，命题成立。 k 1 根据（1）（2）可以断定命题对于一切正整数n 都成立。 那么，数学归纳法为什么能够保证命题对所有的 正整数都成立呢？ 多米诺骨牌演示
使得多米诺游戏可以连续运行的条件： （1）第一张骨牌必须能倒下； （1）是游戏基础 （2）假若第 k 张能倒下，必能 压倒其后的第k+1 张牌。 （2）是游戏继续的条件 数学归纳法 第一步 第二步
体现了
两 步 缺 一 不 可
递推思想 递推的基础 递推的依据，是关键
例1 证明：首项为 a 1 ，公差为 d 的等差数列 { a n }
当n 时， a k 1 k1
a 0 右，等式成立； 1
1 1 2ak 2 k 1 k k (k 1) 1 k 1 k 1
n 1 所以通项公式 an 对于任意正整数 n 都成立。 n
2020-2021学年北师大版数学选修2-2课件：第一章 4 数学归纳法
探究二 用数学归纳法证明不等式 [例 2] 求证：当 n∈N＋，n≥2 时，n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n>1234. [证明] (1)当 n＝2 时，2＋1 1＋2＋1 2＝172＝1244>1234，不等式成立． (2)假设 n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立，即 k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k>1234，
§4 数学归纳法
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
[自主梳理]
一、数学归纳法 数学归纳法是用来证明某些与_正__整__数__n_有关的数学命题的一种方法． 二、数学归纳法的证明步骤 1．基本步骤
(1)验证：__n_＝__1___时，命题成立； (2)在假设当_n_＝__k_(_k_≥__1_)时命题成立的前提下，推出当_n_＝__k_＋__1_时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数 n 都成立．
＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)
＝2(k＋1)(k＋2)…(k＋k)(2k＋1)．
答案：B
5．用数学归纳法证明 1＋12＋13＋…＋2n－1 1＜n(n∈N＋且 n＞1)第一步
要证明的不等式是________，从 n＝k 到 n＝k＋1 时，左端增加了 ________项． 解析：当 n＝2 时，1＋12＋13＜2. 当 n＝k 时到第 2k－1 项， 而当 n＝k＋1 时到第 2k＋1－1 项， 所以 2k＋1－1－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2·2k－2k＝2k. 答案：1＋12＋13＜2 2k
1．本题证明第一步 n 不是取 1，而是取 2.
2．在运用数学归纳法证明不等式时，经常需要在证明过程中(从 k 到 k ＋1 的过程中)与证明不等式的其他方法(如基本不等式法，放缩法，分 析法等)相结合．
1.4 数学归纳法 课件(北师大版选修2-2)
1
1+1 2
= .
1
左边=右边,等式成立.
导.学. 固. 思
②假设当 n=k(k≥1)时等式成立,即 1- + - +„+
2 3 4 1 2������ ������ +1 ������ +2
1 1 1
1 2������ -1
-
=
1
+
1
+„+ ,
2������ 1 1
1
则当 n=k+1 时, (1- + - +„+
【解析】(1)当 n=2 时,
1 2+1 2+2 12 24
1
1
+
1
= > ,不等式成立.
7
13
导.学. 固. 思
(2)假设当 n=k 时原不等式成立, 即
1 ������ +1 ������ +2 1 1
+
1
+„+ > ,则当 n=k+1 时, +„+ +
2������ 24 1 1 2������ 2������ +1 2������ +2 ������ +1 ������ +1 24 2������ +1 2������ +2 1 13
1 ������ +1 ������ +2
+
1
+„+ > (n≥2,n∈N+).
3������ 6
1 1 1 1 5 3 4 5 6 6
1
5
【数学】1.4 数学归纳法 课件(北师大版选修2-2)
n
n
1
证明：（1）当n=1时， 左边 a 1 , 右边 a 0 d a , 1 1
等式是成立的
（2）假设当n=k时等式成立，就是 a k a 1 ( k 1 ) d ,
那么 a a [ a 1 ( k 1 ) d ] d d k 1 k
1
已知数列 a n ,a 1 = 1 ,a n + 1 =
多米诺骨牌游戏的原理 an
an
(n N ),
*
1+a n 1 这个猜想的证明方法 n
（1）第一块骨牌倒下。 （1）当n=1时猜想成立。 （2）若当n=k时猜想成立， （2）若第k块倒下时， 即 a 1 ，则当n=k+1时猜想 k k 则相邻的第k+1块也倒下。 1 也成立，即 ak 1 。
那么,当n=k+1时，有
这就是说，当n=k+1时,等式也成立。 根据①和②，可知对任何nN*等式都成立。
练习2.（2） 用数学归纳法证明：
1 2 2 2
2
n 1
2 1.
n
证明 ①当n=1时，左边＝1 ＝右边,等式显然成立。
②假设当n=k时等式成立，即 2 k 1
1 2 2 2
k 1
根据（1）和 （2），
根据（1）和（2），可 知对任意的正整数n，猜 可知不论有多少块骨牌， 想 都成立。 都能全部倒下。
数学归纳法的概念：
定义：对于某些与正整数n有关的命题常 常采用下面的方法来证明它的正确性：
1.先证明当n取第一个值n0 (n0 N*)时命题成立 (归纳奠基） ； 2.然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，
n
1
证明：（1）当n=1时， 左边 a 1 , 右边 a 0 d a , 1 1
等式是成立的
（2）假设当n=k时等式成立，就是 a k a 1 ( k 1 ) d ,
那么 a a [ a 1 ( k 1 ) d ] d d k 1 k
1
已知数列 a n ,a 1 = 1 ,a n + 1 =
多米诺骨牌游戏的原理 an
an
(n N ),
*
1+a n 1 这个猜想的证明方法 n
（1）第一块骨牌倒下。 （1）当n=1时猜想成立。 （2）若当n=k时猜想成立， （2）若第k块倒下时， 即 a 1 ，则当n=k+1时猜想 k k 则相邻的第k+1块也倒下。 1 也成立，即 ak 1 。
那么,当n=k+1时，有
这就是说，当n=k+1时,等式也成立。 根据①和②，可知对任何nN*等式都成立。
练习2.（2） 用数学归纳法证明：
1 2 2 2
2
n 1
2 1.
n
证明 ①当n=1时，左边＝1 ＝右边,等式显然成立。
②假设当n=k时等式成立，即 2 k 1
1 2 2 2
k 1
根据（1）和 （2），
根据（1）和（2），可 知对任意的正整数n，猜 可知不论有多少块骨牌， 想 都成立。 都能全部倒下。
数学归纳法的概念：
定义：对于某些与正整数n有关的命题常 常采用下面的方法来证明它的正确性：
1.先证明当n取第一个值n0 (n0 N*)时命题成立 (归纳奠基） ； 2.然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，
北师大版选修2-2高考数学1.4《数学归纳法》ppt课件
n∈N+).
证明:(1)当 n=2 时,左边=2+f(1)=3,右边=2f(2)=3,等式成立. (2)假设 n=k 时,等式成立,即 k+f(1)+…+f(k-1)=kf(k). 那么当 n=k+1 时, k+1+f(1)+…+f(k-1)+f(k)
=1+f(k)+kf(k)=(k+1)f(k)+1
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
点评
理解等式的特点:在等式左边,当 n 取一个值时,对应两项,即2���1���-1 − 21������; 在等式右边,当 n 取一个值时,对应一项.无论 n 取何值,应保证等式左边有 2n 项,而等式右边有 n 项,然后再按数学归纳法的步骤要求给出证明.
(������ + 1) + 1,
所以当 n=k+1 时,不等式成立.
故由(1)(2)知,对一切 n>2(n∈N+),不等式成立.
探究一
探究二
探究三
探究四
(2)假设当 n=k 时等式成立,即
1-12
+
1 3
−
14+…+2���1���-1
−
1 2������
=������+1 1 + ������+1 2+…+21������.
那么,当 n=k+1 时,
左边=1-12
+
1 3
−
14+…+2���1���-1
−
1 2������
根据①②可以断定命题对一切从 n0 开始的正整数 n 都成立. (2)数学归纳法能保证命题对所有的正整数都成立.因为根据①,验证了 当 n=1 时命题成立;根据②可知,当 n=1+1=2 时命题成立.由于当 n=2 时命 题成立,再根据②可知,当 n+1=3 时命题也成立,这样递推下去,就可以知道
高二数学北师大版选修2-2 第1章 §4 数学归纳法课件
课前预习学案 课堂互动讲义 课后演练提升
4．用数学归纳法证明： 1×4＋2×7＋3×10＋„＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(n∈N＋)． 证明： (1)当n＝1时，左边＝1×4，右边＝1×(1＋1)2＝
4.
等式成立． (2) 假设 n ＝ k 时， 1×4 ＋ 2×7 ＋ 3×10 ＋ „ ＋ k(3k ＋ 1) ＝ k(k
数学D 选修2-2
第一章 推理与证明
课前预习学案 课堂互动讲义 课后演练提升
[边听边记]
1 1 1 证明：(1)当n＝1时，左边＝1－ 2 ＝ 2 ＝ 1＋1
＝右边，等式成立． (2)假设n＝k(k≥1)时等式成立，即 1 1 1 1 1 1－2＋3－4＋„＋ － 2k－1 2k 1 1 1 ＝ ＋ ＋„＋2k. k＋1 k＋2 则当n＝k＋1时，
数学D 选修2-2
第一章 推理与证明
课前预习学案 课堂互动讲义 课后演练提升
n-1 2 n 2 1．用数学归纳法证明C 1 n ＋C n ＋„＋C n ＞n
(n≥n0且n0
∈N＋)，则n的最小值为( A．1 C．3
) B．2 D．4
解析： 立，故n0＝2.
当n＝1时，不等式不成立；当n＝2时，不等式成
数学D 选修2-2
第一章 推理与证明
课前预习学案 课堂互动讲义 课后演练提升
1 1 1 1 1 1 1 左边＝1－2＋3－4＋„＋ －2k＋ － 2k－1 2k＋1 2k＋2
1 1 1 1 1 ＝k＋1＋k＋2＋„＋2k＋ － 2k＋1 2k＋2 1 1 1 1 1 1 ＝k＋2＋k＋3＋„＋2k＋2k＋1＋k＋1－2k＋2
解析： f(n＋1)－f(n)＝
4．用数学归纳法证明： 1×4＋2×7＋3×10＋„＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(n∈N＋)． 证明： (1)当n＝1时，左边＝1×4，右边＝1×(1＋1)2＝
4.
等式成立． (2) 假设 n ＝ k 时， 1×4 ＋ 2×7 ＋ 3×10 ＋ „ ＋ k(3k ＋ 1) ＝ k(k
数学D 选修2-2
第一章 推理与证明
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[边听边记]
1 1 1 证明：(1)当n＝1时，左边＝1－ 2 ＝ 2 ＝ 1＋1
＝右边，等式成立． (2)假设n＝k(k≥1)时等式成立，即 1 1 1 1 1 1－2＋3－4＋„＋ － 2k－1 2k 1 1 1 ＝ ＋ ＋„＋2k. k＋1 k＋2 则当n＝k＋1时，
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第一章 推理与证明
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n-1 2 n 2 1．用数学归纳法证明C 1 n ＋C n ＋„＋C n ＞n
(n≥n0且n0
∈N＋)，则n的最小值为( A．1 C．3
) B．2 D．4
解析： 立，故n0＝2.
当n＝1时，不等式不成立；当n＝2时，不等式成
数学D 选修2-2
第一章 推理与证明
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1 1 1 1 1 1 1 左边＝1－2＋3－4＋„＋ －2k＋ － 2k－1 2k＋1 2k＋2
1 1 1 1 1 ＝k＋1＋k＋2＋„＋2k＋ － 2k＋1 2k＋2 1 1 1 1 1 1 ＝k＋2＋k＋3＋„＋2k＋2k＋1＋k＋1－2k＋2
解析： f(n＋1)－f(n)＝
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f (k 1)是什么,它比 f (k ) 多出了多少，是首要问题。
17
证明：设f(n)= 1 n 2 (n 1) 3 (n 2) (n 1) 2 n 1 (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立
1 (2)设当n＝k,时等式成立，即 f (k ) 6 k (k 1)( k 2)
注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可. 2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0 (2)(归纳递推)是递推的依据 n＝k时 命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k+1 时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、 定理等加以证明
11
n-1
例3 用数学归纳法证明 1 3 5 (2n 1) n2 .
思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒 下的条件是什么？
5
只要满足以下两个条件，所有多米诺骨 牌就能全部倒下：
（1）第一块骨牌倒下；（基础） （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下 一定导致后一块倒下。 （依据） 条件（2）事实上给出了一个递推关系：当 第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。
1 思考：你认为证明数列的通项公式 a n n 是
【分析】(1) 第一步应做什么?本题的n0应取多少?
1 12 n0=1,
（2）在证传递性时，假设什么？求证什么? 假设1+3+5+…..+（2k-1）=k 2 求证1+3+5十….十(2k-1)十(2k+1)=(k+1) （3）怎样将假设1+3+5+…..+（2k-1）=k
2
2 2
12
推理变形为1+3+5十….十(2k-1)十(2k+1)=(k+1)
19
用上假设 递推才真
补充题：求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n• 1• 3•… •(2n-1)
证明：① n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等 式成立。 ② 假设当n=k((k∈N ）时有： (k+1)(k+2)…(k+k)=2k• 1• 3•…• (2n-1), 当n=k+1时： 左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)
= a1+(k-1)d+d
= a1+[(k+1)-1]d ∴当n=k+1时，结论也成立。 由(1)和(2)知,等式对于任何n∈N*都成立。 凑假设
从n=k到 n=k+1有什么 变化
结论
10
练习：已知数列{a n }为等比数列， 公比为q,求证:通项公式为a n = a1q （提示：a n = qa n-1）
A、1 B、1+a
C、1+a+a2 D、1+a+a2+a3
9
例.用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列， 则an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。
证明: (1)当n=1时,左边=a1,右边=a1 +（1-1）d=a1, ∴ 当n=1时，结论成立 (2)假设当n=k时结论成立， 即 ak=a1+(k-1)d 则当n=k+1时 ak+1 = ak+d
由（1）和（2）可知等式对任何n N*都成立
例．对于n∈N*用数学归纳法证明：
1 n 2 (n 1) 3 (n 2) (n 1) 2 n 1 1 n(n 1)( n 2) 6
分析:找到“递推关系”就等于把握住解决问题的“灵魂” f (k ) 1 k 2 (k 1) 3 (k 2) (k 1) 2 k 1 有几项？
北师大版高中数学选修2-2第 一章《推理与证明》
§4 数学归纳法
1
完全归纳 法 问题 1:盒中有5个小球，如何证明它们都是 绿色的？ an n 1, 2, ... 问题 2: 对于数列an ,已知a1 1，an1
1 an
1 a1 1 1 a2 2 1 a3 3
这种证明方法叫做 数学归纳法
8
课堂练习： 1.用数学归纳法证明等式 1+2+3+…(2n+1)=(n+1)(2n+1)时， 1+2+3 当n＝1时，左边所得项是 ； 1+2+3+4+5 当n＝2时，左边所得项是 ；
2.用数学归纳法证明 n N,a 1
2 n 1 n2
1 a 1 a a a , 在验证 1 a n 1成立时，左边是（ C ）
这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性？你 能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
6
由条件知,n=1时猜想成立. 如果n=k时猜想成立,即 a 1 ,那么当n=k+1时猜 k k 1 想也成立,即 ak 1
k 1
事实上,
ak 1
ak 1 1 ak 1 1 k 1 k
则n=k+1时， f(k+1)=1· (k+1)+2[(k+1)-1]+3[(k+1)-2]+…… +[(k+1)-2]· 3+[(k+1)-1]· 2+(k+1) =f(k)+1+2+3+……+k+(k+1)
1 1 k ( k 1)(k 2) ( k 1)(k 1 1) 6 2 1 ∴由（1）（2）可知 ( k 1)(k 2)(k 3) 18 当n∈N*时等式都成立。 6
例3、用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2
（n∈N ）
证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。 ②假设n=k(k∈N ,k≥1)时等式成立,即： 1+3+5+……+(2k-1)=k2， 当n=k+1时： 1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2， 所以当n=k+1时等式也成立。 由①和②可知，对n∈N ，原等式都成立。
15
例 用数学归纳法证明12 2 2 3 2 n 2
证明：(1)当n=1时，左边=12 1 1(1 1)(2 1) 右边 1 ，等式成立 6 (2）假设当n k时成立，即
n( n 1)(2n 1) 6
12 22 32 k 2 那么当n k 1 时
k (k 1)(2k 1) 6
2
左边 12 22 32 k 2 k 1
k ( k 1)(2k 1) ( k 1) 2 6 k ( k 1)(2k 1) 6( k 1) 2 6 ( k 1)( k 2)(2k 3) ( k 1)[( k 1) 1][2 k 1) 1] （ 6 6 16 即当n k 1时等式也成立
归纳小结
找准起点 奠基要稳 1.数学归纳法是一种证明与正整数有关的数
学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论: （1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时 结论正确 【归纳奠基】 （2）假设n=k时结论正确，证明n=k+1时结论 也正确 【归纳递推】 （3）由（1）、（2）得出结论
写明结论 才算完整
4
多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨 制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌 按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨 牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次 倒下。 多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。 一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需要 一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志 力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。 多米诺是种文化。它起源于中国，有着上千年的历史。
（ 2k+1)(2k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)• k+1
= 2k• 1• 3•…•(2k-1)(2k+1)•2 = 2k+1•1• 3•…• (2k-1) •[2(k+1)-1]=右边， ∴当n=k+1时等式也成立。 由 ①、②可知，对一切n∈N ,原等式均成立。
20
7
1 k
即n=k+1时猜想也成立.
数学归纳法
对于由不完全归纳法得到的某些与正整数有关 的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正 确性：
（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题 成立; 【归纳奠基】 （2）假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时命题成立
【归纳递推】 证明当n=k+1时命题也成立.
问题情境一
猜想其通项公式
1 an n
不完全归 纳法
问题3：某人看到树上乌鸦是黑的， 深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。
…
2
问题情境二
费马(Fermat) 曾经提出一个猜想：
2n+1(n=0,1,2…)的数都是质数 形如Fn＝2
n 0, Fn 3 n 1, Fn 5 n 2, Fn 17 n 3, Fn 257 n 4, Fn 65537
……100年后…
n5 Fn 4, 294,967, 297 6,700,417 641
3
：由一系列有限的特殊事例出 一般结论的推理方法 归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法
17
证明：设f(n)= 1 n 2 (n 1) 3 (n 2) (n 1) 2 n 1 (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立
1 (2)设当n＝k,时等式成立，即 f (k ) 6 k (k 1)( k 2)
注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可. 2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0 (2)(归纳递推)是递推的依据 n＝k时 命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k+1 时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、 定理等加以证明
11
n-1
例3 用数学归纳法证明 1 3 5 (2n 1) n2 .
思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒 下的条件是什么？
5
只要满足以下两个条件，所有多米诺骨 牌就能全部倒下：
（1）第一块骨牌倒下；（基础） （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下 一定导致后一块倒下。 （依据） 条件（2）事实上给出了一个递推关系：当 第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。
1 思考：你认为证明数列的通项公式 a n n 是
【分析】(1) 第一步应做什么?本题的n0应取多少?
1 12 n0=1,
（2）在证传递性时，假设什么？求证什么? 假设1+3+5+…..+（2k-1）=k 2 求证1+3+5十….十(2k-1)十(2k+1)=(k+1) （3）怎样将假设1+3+5+…..+（2k-1）=k
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2 2
12
推理变形为1+3+5十….十(2k-1)十(2k+1)=(k+1)
19
用上假设 递推才真
补充题：求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n• 1• 3•… •(2n-1)
证明：① n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等 式成立。 ② 假设当n=k((k∈N ）时有： (k+1)(k+2)…(k+k)=2k• 1• 3•…• (2n-1), 当n=k+1时： 左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)
= a1+(k-1)d+d
= a1+[(k+1)-1]d ∴当n=k+1时，结论也成立。 由(1)和(2)知,等式对于任何n∈N*都成立。 凑假设
从n=k到 n=k+1有什么 变化
结论
10
练习：已知数列{a n }为等比数列， 公比为q,求证:通项公式为a n = a1q （提示：a n = qa n-1）
A、1 B、1+a
C、1+a+a2 D、1+a+a2+a3
9
例.用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列， 则an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。
证明: (1)当n=1时,左边=a1,右边=a1 +（1-1）d=a1, ∴ 当n=1时，结论成立 (2)假设当n=k时结论成立， 即 ak=a1+(k-1)d 则当n=k+1时 ak+1 = ak+d
由（1）和（2）可知等式对任何n N*都成立
例．对于n∈N*用数学归纳法证明：
1 n 2 (n 1) 3 (n 2) (n 1) 2 n 1 1 n(n 1)( n 2) 6
分析:找到“递推关系”就等于把握住解决问题的“灵魂” f (k ) 1 k 2 (k 1) 3 (k 2) (k 1) 2 k 1 有几项？
北师大版高中数学选修2-2第 一章《推理与证明》
§4 数学归纳法
1
完全归纳 法 问题 1:盒中有5个小球，如何证明它们都是 绿色的？ an n 1, 2, ... 问题 2: 对于数列an ,已知a1 1，an1
1 an
1 a1 1 1 a2 2 1 a3 3
这种证明方法叫做 数学归纳法
8
课堂练习： 1.用数学归纳法证明等式 1+2+3+…(2n+1)=(n+1)(2n+1)时， 1+2+3 当n＝1时，左边所得项是 ； 1+2+3+4+5 当n＝2时，左边所得项是 ；
2.用数学归纳法证明 n N,a 1
2 n 1 n2
1 a 1 a a a , 在验证 1 a n 1成立时，左边是（ C ）
这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性？你 能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
6
由条件知,n=1时猜想成立. 如果n=k时猜想成立,即 a 1 ,那么当n=k+1时猜 k k 1 想也成立,即 ak 1
k 1
事实上,
ak 1
ak 1 1 ak 1 1 k 1 k
则n=k+1时， f(k+1)=1· (k+1)+2[(k+1)-1]+3[(k+1)-2]+…… +[(k+1)-2]· 3+[(k+1)-1]· 2+(k+1) =f(k)+1+2+3+……+k+(k+1)
1 1 k ( k 1)(k 2) ( k 1)(k 1 1) 6 2 1 ∴由（1）（2）可知 ( k 1)(k 2)(k 3) 18 当n∈N*时等式都成立。 6
例3、用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2
（n∈N ）
证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。 ②假设n=k(k∈N ,k≥1)时等式成立,即： 1+3+5+……+(2k-1)=k2， 当n=k+1时： 1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2， 所以当n=k+1时等式也成立。 由①和②可知，对n∈N ，原等式都成立。
15
例 用数学归纳法证明12 2 2 3 2 n 2
证明：(1)当n=1时，左边=12 1 1(1 1)(2 1) 右边 1 ，等式成立 6 (2）假设当n k时成立，即
n( n 1)(2n 1) 6
12 22 32 k 2 那么当n k 1 时
k (k 1)(2k 1) 6
2
左边 12 22 32 k 2 k 1
k ( k 1)(2k 1) ( k 1) 2 6 k ( k 1)(2k 1) 6( k 1) 2 6 ( k 1)( k 2)(2k 3) ( k 1)[( k 1) 1][2 k 1) 1] （ 6 6 16 即当n k 1时等式也成立
归纳小结
找准起点 奠基要稳 1.数学归纳法是一种证明与正整数有关的数
学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论: （1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时 结论正确 【归纳奠基】 （2）假设n=k时结论正确，证明n=k+1时结论 也正确 【归纳递推】 （3）由（1）、（2）得出结论
写明结论 才算完整
4
多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨 制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌 按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨 牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次 倒下。 多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。 一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需要 一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志 力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。 多米诺是种文化。它起源于中国，有着上千年的历史。
（ 2k+1)(2k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)• k+1
= 2k• 1• 3•…•(2k-1)(2k+1)•2 = 2k+1•1• 3•…• (2k-1) •[2(k+1)-1]=右边， ∴当n=k+1时等式也成立。 由 ①、②可知，对一切n∈N ,原等式均成立。
20
7
1 k
即n=k+1时猜想也成立.
数学归纳法
对于由不完全归纳法得到的某些与正整数有关 的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正 确性：
（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题 成立; 【归纳奠基】 （2）假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时命题成立
【归纳递推】 证明当n=k+1时命题也成立.
问题情境一
猜想其通项公式
1 an n
不完全归 纳法
问题3：某人看到树上乌鸦是黑的， 深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。
…
2
问题情境二
费马(Fermat) 曾经提出一个猜想：
2n+1(n=0,1,2…)的数都是质数 形如Fn＝2
n 0, Fn 3 n 1, Fn 5 n 2, Fn 17 n 3, Fn 257 n 4, Fn 65537
……100年后…
n5 Fn 4, 294,967, 297 6,700,417 641
3
：由一系列有限的特殊事例出 一般结论的推理方法 归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法