第31讲等差数列的概念及基本运算 公开课一等奖课件

解析：(1)设等差数列{an}的公差为 d， 则 an＝a1＋(n－1)d. 由 a1＝1，a3＝－3 可得 1＋2d＝－3，解得 d＝－2. 从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知 an＝3－2n， n[1＋3－2n] 所以 Sn＝ ＝2n－n2. 2 由 Sk＝－35 可得 2k－k2＝－35， 即 k2－2k－35＝0， 解得 k＝7 或 k＝－5. 又 k∈N*，故 k＝7 为所求．
【拓展演练 2】 (改编)已知 f(x)＝－ 1 1 4＋ 2，点 Pn(an，－ )在曲线 x an＋1
y＝f(x)(n∈N*)上且 a1＝1，an>0. 1 (1)求证： 数列{ 2}为等差数列， 并求数列{an}的通项公式； an (2)设数列{a2 a2 若对于任意的 n∈N*， n· n＋1}的前 n 项和为 Sn， 1 存在正整数 t，使得 Sn<t －t－ 恒成立，求最小正整数 t 的值． 2
第31讲 等差数列的概念及基本运算
1． (原创)数列－2,2,6， x,14,18， ……中的 x 等于( D ) A．7 C．9 B．8 D．10
解析：易知数列是公差为 4 等差数列， 因此 的首项 a1＝－3，公差 d＝2， 则通项公式 an＝( C ) A．n－4 C．2n－5 B．3n－6 D．－2n－1
2 2 (2)bn＝an · an＋1＝
1 2 1 3 1 所以只要 ≤t －t－ ，所以 t≥ 或 t≤－ ， 4 2 2 2 所以存在最小的正整数 t＝2 符合题意．
三
等差数列的综合应用
【例 3】 (2013· 山东省微山 3 月模拟)已知等差数列{an}中，
a3＝－4，a1＋a10＝2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足 an＝log3bn，设 Tn＝b1· b2· …· bn，当 n 为 何值时，Tn＞1.
是常数)．
解析：(1)证明：由已知，当 n≥2 时，2an＝Sn· Sn－1， 即 2(Sn－Sn－1)＝Sn· Sn－1(n≥2)， 2Sn－Sn－1 1 1 1 所以 ＝1 即 － ＝－ (n≥2，n∈N*)． Sn Sn－1 2 SnSn－1 1 1 1 1 1 所以{ }是以 ＝ ＝ 为首项， 公差 d＝－ 的等差数列． Sn S1 a1 3 2
解析：(1)设数列{an}的公差为 d， a1＋2d＝－4 a1＝－8 则 ，解之得 ， 2a1＋9d＝2 d＝2 an＝－8＋2(n－1)＝2n－10. 2n－10 (2)bn＝3an＝3 ， 所以 Tn＝b1· b2· …· bn ＝32 ＝32
×1－10
· 32
×2－10
· …· 32n
3 n＝1 18 因此，an＝ 3n－53n－8 * n ≥ 2 ， n ∈ N
).
1 1 1 1 5－3n (2)因为 ＝ ＋(n－1)d＝ ＋(n－1)(－ )＝ ， Sn S1 3 2 6 6 所以 Sn＝ (n∈N*)． 5－3n 1 18 从而 an＝ Sn· Sn－1＝ (n≥2，n∈N*)， 2 3n－53n－8
解析：an＝－3＋(n－1)· 2＝2n－5，故选 C.
3．(原创)若 4 是 P 与 12 的等差中项，则 P＝
.
P＋12 解析：由 4＝ ，得 P＝－4. 2
4．(改编)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，a12＝－8， S9＝－18，则 S16＝ .
9a1＋a9 解析：S9＝ ＝9a5＝－18， 2 16a1＋a16 所以 a5＝－2，S16＝ ＝8(a5＋a12)＝－80. 2
二
递推数列与等差数列的证明
【例 2】 已知数列 首项 a1＝3， 且 2an＝Sn· Sn－1(n≥2)． an，
1 (1)求证：S 是等差数列，并求其公差； n
(2)求 an的通项公式．
1 1 1 分析：证S 为等差数列，即证 － ＝d(d S Sn－1 n n
2
解析：(1)因为－ ＝－ an＋1
1
1 1 1 4＋ 2，所以 2 － 2＝4， an an＋1 an
1 所以{ 2}是以 1 为首项，4 为公差的等差数列． an 1 所以 2＝4n－3，因为 an>0，所以 an＝ an 1 . 4n－3
1 1 1 1 ＝ ( － )． 4n－34n＋1 4 4n－3 4n＋1 所以 Sn＝b1＋b2＋…＋bn 1 1 1 1 1 1 ＝ [(1－ )＋( － )＋…＋( － )] 4 5 5 9 4n－3 4n＋1 1 1 1 ＝ (1－ )< . 4 4n＋1 4 1 * 2 对于任意的 n∈N 使得 Sn<t －t－ 恒成立， 2
一
等差数列中基本量的计算
【例 1】(改编)设递增等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，
已知 a3＝1，a2 a7. 4＝a3· (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.
解析：(1)在递增等差数列{an}中，设公差为 d>0，
2 a2 ＝ a · a a ＋ 3 d ＝1×a1＋6d 4 3 7 1 因为 ⇒ ， a3＝1 a1＋2d＝1
a1＝－3 解得 ， d＝2
所以 an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5. n－3＋2n－5 2 (2)Sn＝ ＝n －4n， 2 所以 Sn＝n2－4n.
【拓展演练 1】 (2012· 河北省保定第三次模拟)已知等差数列{an}中， a1＝1，a3＝－3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk＝－35，求 k 的值．
－10
×1－10＋2×2－10＋…＋2n－10 ＋2＋…＋n)－10n
＝32(1
＝3n2－9n
要使 Tn>1，即 n2－9n>0，所以 n>9， 所以当 n>9，且 n∈N*时，Tn>1.