广东省广州市花都区圆玄中学高考数学模拟试卷(理科)及解析
广州市2020年3月高三数学(理)模拟卷附答案解析
广州市2020年3月高三数学（理）模拟卷一、单选题1．已知复数z 满足()1i +z =2i ，则z =（ ）A B ．1C ．2D ．122．已知集合{}0,1,2,3A =，}{21,B x x n n A ==-∈，P A B =⋂，则P 的子集共有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个3．sin80cos50cos140sin10︒︒︒︒+=（ ）A ．BC ．12-D ．124．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ∃∈R ，22x x >，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝5．已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当1x ≥时，()2f x x x=-，则()}{21x f x +>=（ ）A ．{3x x <-或}0x > B ．{0x x <或}2x > C ．{2x x <-或}0x >D ．{2x x <或}4x >6．如图，圆O 的半径为1，A ，B 是圆上的定点，OB OA ⊥，P 是圆上的动点， 点P 关于直线OB 的对称点为P '，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将OP OP '-u u u r u u u r表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）A ．(7+πB ．(10+πC ．(10+πD ．(11+π8．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（ ） A ．1211e er R e e ++-- B ．111e er R e e ++-- C ．1211e er R e e-+++ D ．111e er R e e-+++ 9．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为（ ） A ．19B ．29C ．13D ．4910．已知1F ，2F 是双曲线222:1xC y a-=()0a >的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若AB =△2ABF 的内切圆的半径为（ ）A B C ．3D 11．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N*). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ）A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题:△1EF B C ⊥;△ 直线FG 与直线1A D 所成角为60︒;△ 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形; △ 三棱锥B EFG -的体积为56. 其中，正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4二、填空题13．设向量a r (),1=m ，b r()2,1=，且a b ⋅=r r ()2212a b +r r ，则m =_________.14．某种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μσ，且(33)P Z μσμσ-<<+0.9974=．某用户购买了10000件这种产品，则这10000件产品中质量指标值位于区间(3,3)μσμσ-+之外的产品件数为_________． 15．()52321--x x 的展开式中，2x 的系数是__________. (用数字填写答案)16．已知△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，且sin A ，sin B ，sin C 成等差数列， 则sin 22cos B B +的最小值为__________，最大值为___________.三、解答题 17．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，1122n n n S a --=(n ∈N *). （1）求1n n a a ++；（2）令2n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列，并求其前n 项和nT.18．如图，三棱锥P ABC -中，PA PC =，AB BC =，120APC ︒∠=，90ABC ︒∠=，AC =.（1）求证：AC PB ⊥；（2）求直线AC 与平面PAB 所成角的正弦值.19．某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm ），得到如下的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01）； （2）若从这80个零件中尺寸位于[)62.5,64.5之外的零件中随机抽取4个，设X 表示尺寸在[]64.5,65上的零件个数，求X 的分布列及数学期望EX ； （3）已知尺寸在[)63.0,64.5上的零件为一等品，否则为二等品，将这80个零件尺寸的样本频率视为概率. 现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱100个. 企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已知每个零件的检验费用为99元. 若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家手中，企业要向买家对每个二等品支付500元的赔偿费用. 现对一箱零件随机抽检了11个，结果有1个二等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.20．已知函数()e ln xb f x a x x=-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为22x y ---0e =.（1）求a ，b 的值； （2）证明函数()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()02ln 22f x <-.21．已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=-u u u r u u u r . （1）判断点()0,1D是否在直线AB 上？说明理由；（2）设点M 是△PAB 的外接圆的圆心，点M 到x 轴的距离为d ，点()1,0N ，求MN d -的最大值.22．已知曲线1C 的参数方程为cos ,(1sin ,x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数)， 曲线2C的参数方程为sin ,(x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数).（1）求1C 与2C 的普通方程；（2）若1C 与2C 相交于A ，B两点，且AB =sin α的值.23．已知0a >，0b >，且1a b +=. （1）求12a b+的最小值； （2）证明：2221ab b a b +<++.解析广州市2020年3月高三数学（理）模拟卷一、单选题1．已知复数z 满足()1i +z =2i ，则z =（ ）A B ．1C D ．12【答案】A【解析】根据复数的运算法则，可得z ，然后利用复数模的概念，可得结果. 【详解】由题可知：()()()22212221111i i i i i z i i i i --===++-- 由21i =-，所以1z i =+所以z ==故选：A 【点睛】本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题. 2．已知集合{}0,1,2,3A =，}{21,B x x n n A ==-∈，P A B =⋂，则P 的子集共有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个【答案】B【解析】根据集合A 中的元素，可得集合B ，然后根据交集的概念，可得P ，最后根据子集的概念，利用2n 计算，可得结果. 【详解】 由题可知：{}0,1,2,3A =，}{21,B x x n n A ==-∈当0n =时，1x =- 当1n =时，0x = 当2n =时，3x = 当3n =时，8x = 所以集合}{{}21,1,0,3,8B x x nn A ==-∈=-则{}0,3P A B =⋂= 所以P 的子集共有224=故选：B 【点睛】本题考查集合的运算以及集合子集个数的计算，当集合P 中有n 元素时，集合P 子集的个数为2n ，真子集个数为21n-，非空子集为21n -，非空真子集为22n -，属基础题.3．sin80cos50cos140sin10︒︒︒︒+=（ ）A ．BC ．12-D ．12【答案】D【解析】利用109080,1409050︒︒︒︒︒=-=+o，根据诱导公式进行化简，可得sin80cos50cos80sin 50︒︒︒︒-，然后利用两角差的正弦定理，可得结果. 【详解】由809010,1409050︒︒︒︒︒=-=+o所以()sin10sin 9080cos10︒︒︒︒=-=()cos140cos 9050sin50︒︒︒︒=+=-，所以原式()sin80cos50cos80sin50sin 8050︒︒︒︒︒︒=-=-所以原式1sin 302==o故1sin80cos50cos140sin102︒︒︒︒+= 故选：D 【点睛】本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题. 4．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ∃∈R ，22x x >，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】根据∆<0，可知命题p 的真假，然后对x 取值，可得命题 q 的真假，最后根据真值表，可得结果.【详解】 对命题p ：可知()2140∆=--<， 所以x ∀∈R ，210x x -+> 故命题p 为假命题 命题q ：取3x =，可知2332> 所以x ∃∈R ，22x x > 故命题q 为真命题 所以p q ⌝∧为真命题 故选：B 【点睛】本题主要考查对命题真假的判断以及真值表的应用，识记真值表，属基础题. 5．已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当1x ≥时，()2f x x x=-，则()}{21x f x +>=（ ）A ．{3x x <-或}0x > B ．{0x x <或}2x > C ．{2x x <-或}0x > D ．{2x x <或}4x >【答案】C【解析】简单判断可知函数关于1x =对称，然后根据函数()2f x x x =-的单调性，并计算21x xx ⎧-=⎪⎨⎪≥⎩，结合对称性，可得结果. 【详解】 由()()11f x f x -=+，可知函数()f x 关于1x =对称当1x ≥时，()2f x x x=-， 可知()2f x x x=-在[)1,+∞单调递增 则2120x x xx ⎧-=⎪⇒=⎨⎪≥⎩ 又函数()f x 关于1x =对称，所以()01f =且()f x 在(),1-∞单调递减，所以20x +<或22x +>，故2x <-或0x > 所以()}{21x f x +>={2x x <-或}0x >故选：C 【点睛】本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式，抽象函数给出式子的意义，比如：()()11f x f x -=+，()()110f x f x -++=，考验分析能力，属中档题.6．如图，圆O 的半径为1，A ，B 是圆上的定点，OB OA ⊥，P 是圆上的动点， 点P 关于直线OB 的对称点为P '，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将OP OP '-u u u r u u u r表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域，即可排除错误选项，得到函数图象，即可求解. 【详解】由题意，当0x =时，P 与A 重合，则P '与B 重合，所以||2OP OP BA '-==u u u r u u u r u u u r,故排除C,D 选项；当02x π<<时，||2sin()2cos 2OP OP P P x x π''-==-=u u u r u u u r ，由图象可知选B.故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.7．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）A ．(7+πB ．(10+πC ．(10+πD ．(11+π【答案】C 【解析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可，【详解】由题意可知几何体的直观图如图：上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥,几何体的表面积为：14423(102ππππ+⨯⨯⨯=+， 故选：C 【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键.8．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（ ） A ．1211e er R e e ++-- B ．111e er R e e ++-- C ．1211e er R e e-+++ D ．111e er R e e-+++ 【答案】A【解析】由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率,求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的距离. 【详解】椭圆的离心率：=(0,1)ce a∈，（ c 为半焦距; a 为长半轴）， 设卫星近地点，远地点离地面距离分别为r ，n ，如图：则,n a c R r a c R =+-=--所以1r R a e +=-,()1r R ec e+=-, ()121111r R e r R e en a c R R r R e e e e+++=+-=+-=+----故选：A 【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法,是解题的关键，属于中档题.9．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为（ ） A ．19B ．29C ．13D ．49【答案】B【解析】根据组合知识，计算出选出的4人分成两队混合双打的总数为2211332222C C C C A ，然后计算1A 和1B 分在一组的数目为1122C C ，最后简单计算，可得结果. 【详解】 由题可知：分别从3名男生、3名女生中选2人 ：2233C C 将选中2名女生平均分为两组：112122C CA将选中2名男生平均分为两组：112122C CA则选出的4人分成两队混合双打的总数为：221111112223322212133222222218C C C C C C C C C C A A A A == 1A 和1B 分在一组的数目为11224C C =所以所求的概率为42189= 故选：B 【点睛】本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成m 组，则要除以mm A ，即!m ，审清题意，细心计算，考验分析能力，属中档题.10．已知1F ，2F 是双曲线222:1xC y a-=()0a >的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B两点，若AB =△2ABF 的内切圆的半径为（ ）A．3 B．3CD【答案】B【解析】设左焦点1F 的坐标， 由AB 的弦长可得a 的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF 2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径. 【详解】由双曲线的方程可设左焦点1(,0)F c -，由题意可得22b AB a==，由1b =，可得a =所以双曲线的方程为: 2212x y -=所以12(F F ，所以2121122ABF S AB F F =⋅⋅==V 三角形ABF 2的周长为()()22112242C AB AF BF AB a AF a BF a AB =++=++++=+==设内切圆的半径为r ，所以三角形的面积1122S C r r =⋅⋅=⋅=，所以=解得3r =， 故选：B 【点睛】本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题. 11．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N*). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ）A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x【答案】D 【解析】通过计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x ，可得()()()()4342414,,,k k k k f x f x f x f x ---，最后计算可得结果. 【详解】 由题可知：()sin f x x x =所以()()12sin cos ,2cos sin f x x x x f x x x x =+=-()()343sin cos ,4cos sin f x x x x f x x x x =--=-+ ()55sin cos ,f x x x x =+⋅⋅⋅所以猜想可知：()()4343sin cos k f x k x x x -=-+()()4242cos sin k f x k x x x -=-- ()()4141sin cos k f x k x x x -=--- ()44cos sin k f x k x x x =-+由201945051,202145063=⨯-=⨯-所以()20192019sin cos f x x x x =--()20212021sin cos f x x x x =+所以()()201920212sin f x f x x +=故选：D【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题: △1EF B C ⊥;△ 直线FG 与直线1A D 所成角为60︒;△ 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形; △ 三棱锥B EFG -的体积为56. 其中，正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】画出几何体的图形，然后转化判断四个命题的真假即可． 【详解】 如图；连接相关点的线段，O 为BC 的中点，连接EFO ，因为F 是中点，可知1B C OF ⊥，1EO B C ⊥，可知1B C⊥平面EFO ，即可证明1B C EF ⊥，所以①正确；直线FG 与直线1A D 所成角就是直线1A B 与直线1A D 所成角为60︒；正确； 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：是五边形EHFGI ．所以①不正确； 如图：三棱锥B EFG -的体积为： 由条件易知F 是GM 中点， 所以B EFG B EFM F BEM V V V ---==,而=2311522131=2222BEMABE EDM ABMD S S S S ∆∆+⨯-⨯⨯-⨯-⨯=-梯形， 1551326F EBM V -=⨯⨯=．所以三棱锥B EFG -的体积为56，①正确；故选：C ．【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及空间几何体的体积，直线与平面的位置关系的应用，平面的基本性质，是中档题．二、填空题13．设向量a r (),1=m ，b r()2,1=，且a b ⋅=r r ()2212a b +r r ，则m =_________. 【答案】2【解析】根据向量的数量积的计算，以及向量的平方，简单计算，可得结果. 【详解】由题可知：21a b m ⋅=+r r且2221,5am b =+=r r由a b ⋅=r r ()2212a b +r r 所以()21212215m m m +++=⇒=故答案为：2【点睛】本题考查向量的坐标计算，主要考查计算，属基础题.14．某种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μσ，且(33)P Z μσμσ-<<+0.9974=．某用户购买了10000件这种产品，则这10000件产品中质量指标值位于区间(3,3)μσμσ-+之外的产品件数为_________． 【答案】26【解析】直接计算()100001(33)P Z μσμσ⨯--<<+，可得结果.【详解】由题可知：(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=则质量指标值位于区间(3,3)μσμσ-+之外的产品件数：()100001(33)100000.002626P Z μσμσ⨯--<<+=⨯=故答案为：26 【点睛】本题考查正太分布中3σ原则，审清题意，简单计算，属基础题.15．()52321--x x 的展开式中，2x 的系数是__________. (用数字填写答案) 【答案】25-【解析】根据组合的知识，结合组合数的公式，可得结果. 【详解】由题可知：2x 项来源可以是：（1）取1个23x ，4个1- （2）取2个2x -，3个1-2x 的系数为：()()()42314235453312125C C C C ⨯⨯-+--=-故答案为：25- 【点睛】本题主要考查组合的知识，熟悉二项式定理展开式中每一项的来源，实质上每个因式中各取一项的乘积，转化为组合的知识，属中档题.16．已知△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，且sin A ，sin B ，sin C 成等差数列， 则sin 22cos B B +的最小值为__________，最大值为___________.1【解析】根据正弦定理可得2b a c =+，利用余弦定理222cos 2a c b B ac+-=以及均值不等式，可得角B 的范围，然后构造函数()sin 22cos f B B B =+，利用导数，研究函数性质，可得结果.【详解】由sin A ，sin B ，sin C 成等差数列 所以2sin sin sin B A C =+ 所以22a cb ac b +=+⇒=又2222222cos 22a c a c a c b B ac ac+⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==化简可得22332621cos 882a c ac ac ac B ac ac +--=≥=当且仅当a c =时，取等号 又()0,B π∈，所以0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦令()sin 22cos f B B B =+，0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦则()'22cos22sin 24sin 2sin f B B B B B =-=--()()'12sin sin 12f B B B ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭当1sin 2B >，即,63B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f B < 当1sin 2B <，即0,6B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f B > 则()sin 22cos f B B B =+在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭递减所以()max sin 2cos 6362f B f πππ⎛⎫==+=⎪⎝⎭由()0sin02cos02f =+=，2sin 2cos 1333f πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以()min 13f B f π⎛⎫== ⎪⎝⎭所以sin 22cos B B +的最小值为1+最大值为21+，2 【点睛】本题考查等差数列、正弦定理、余弦定理，还考查了不等式、导数的综合应用，难点在于根据余弦定理以及不等式求出0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，考验分析能力以及逻辑思维能力，属难题.三、解答题 17．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，1122n n n S a --=(n ∈N *). （1）求1n n a a ++；（2）令2n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列，并求其前n 项和nT.【答案】（1）112nn na a ++=-；（2）证明见详解，11122n n T +=- 【解析】（1）根据1122n n n S a --=，可得11122n n n S a ++-=，然后作差，可得结果. （2）根据（1）的结论，用1n +取代n ，得到新的式子，然后作差，可得结果，最后根据等比数列的前n 项和公式，可得结果. 【详解】 （1）由1122nn n S a --=①，则11122n n n S a ++-=① ①-①可得：1111112222n n n n n na a a ++--+=-=-所以112nn n a a ++=-（2）由（1）可知：112n n n a a ++=-① 则21112n n n a a ++++=-① ①-①可得：211111222n n n n n a a +++⎛⎫-=---= ⎪⎝⎭ 则112nn b +=，且1212n n b ++= 令1n =，则114b =，211112122n n nn b b +++== 所以数列{}n b 是首项为14，公比为12的等比数列所以111111114211222212n n nn T +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-=- ⎪⎝⎭- 【点睛】本题主要考查递推公式以及,n n S a 之间的关系的应用，考验观察能力以及分析能力，属中档题. 18．如图，三棱锥P ABC -中，PA PC =，AB BC =，120APC ︒∠=，90ABC ︒∠=，AC =.（1）求证：AC PB ⊥；（2）求直线AC 与平面PAB 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见详解；（2【解析】（1）取AC 中点O ，根据,AC PO AC BO ⊥⊥，利用线面垂直的判定定理，可得AC ⊥平面OPB ，最后可得结果.（2）利用建系，假设AC 长度， 可得AC u u u r，以及平面PAB 的一个法向量，然后利用向量的夹角公式，可得结果. 【详解】（1）取AC 中点O ，连接,OP OB ，如图由PA PC =，AB BC = 所以,AC PO AC BO ⊥⊥由PO BO O I=,,PO BO ⊂平面OPB所以AC ⊥平面OPB ，又PB ⊂平面OPB 所以AC PB ⊥ （2）假设3AC =，由120APC ︒∠=，90ABC ︒∠=，AC =.所以3,2PB OB OP ===则222PB OB OP =+，所以OP OB ⊥ 又OP AC ⊥，,AC OB O ⋂=,AC OB ⊂平面ABC所以PO ⊥平面ABC ，所以PO OB ⊥，PO OC ⊥ 又OB OC ⊥，故建立空间直角坐标系O xyz -，如图3330,,0,0,,0,,0,0,222A C B P ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()3330,3,0,,,0,0,222AC AB AP ⎛⎛⎫=== ⎪ ⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r 设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z =r则3300220302x y n AB n AP y z ⎧+=⎪⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=⎩⎪+=⎪⎩u u u v v u u uv v令z =(1,n =-r则直线AC 与平面PAB所成角的正弦值为n AC n AC⋅=r u u u r r u u ur 【点睛】本题考查线面垂直、线线垂直的应用，还考查线面角，学会使用建系的方法来解决立体几何问题，将几何问题代数化，化繁为简，属中档题.19．某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm ），得到如下的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01）； （2）若从这80个零件中尺寸位于[)62.5,64.5之外的零件中随机抽取4个，设X 表示尺寸在[]64.5,65上的零件个数，求X 的分布列及数学期望EX ； （3）已知尺寸在[)63.0,64.5上的零件为一等品，否则为二等品，将这80个零件尺寸的样本频率视为概率.现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱100个. 企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已知每个零件的检验费用为99元. 若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家手中，企业要向买家对每个二等品支付500元的赔偿费用. 现对一箱零件随机抽检了11个，结果有1个二等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.【答案】（1）63.47；（2）分布列见详解，期望为167；（3）余下所有零件不用检验，理由见详解. 【解析】（1）计算[)[)62.0,63.0,63.0,63.5的频率，并且与0.5进行比较，判断中位数落在的区间，然后根据频率的计算方法，可得结果.（2）计算位于[)62.5,64.5之外的零件中随机抽取4个的总数，写出X 所有可能取值，并计算相对应的概率，列出分布列，计算期望，可得结果.（3）计算整箱的费用，根据余下零件个数服从二项分布，可得余下零件个数的期望值，然后计算整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值，进行比较，可得结果.【详解】（1）尺寸在[)62.0,63.0的频率：()0.50.0750.2250.15⨯+=尺寸在[)63.0,63.5的频率：0.50.7500.375⨯=且0.150.50.150.375<<+ 所以可知尺寸的中位数落在[)63.0,63.5 假设尺寸中位数为x所以()0.1563.00.7500.563.47x x +-⨯=⇒≈所以这80个零件尺寸的中位数63.47（2）尺寸在[)62.0,62.5的个数为800.0750.53⨯⨯= 尺寸在[]64.5,65.0的个数为800.1000.54⨯⨯=X 的所有可能取值为1，2，3，4则()1343474135C C P X C ===，()22434718235C C P X C === ()31434712335C C P X C ===，()44471435C P X C === 所以的分布列为418121161234353535357EX =⨯+⨯+⨯+⨯= （3）二等品的概率为()0.50.0750.2250.1000.2⨯++=如果对余下的零件进行检验则整箱的检验费用为1100999900P =⨯=（元）余下二等品的个数期望值为890.217.8⨯=如果不对余下的零件进行检验，整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值为2119950017.89989P =⨯+⨯=（元）所以12P P >，所以可以不对余下的零件进行检验.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，掌握中位数，平均数，众数的计算方法，中位数的理解应该从中位数开始左右两边的频率各为0.5，考验分析能力以及数据处理，属中档题.20．已知函数()e ln xb f x a x x=-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为22x y ---0e =. （1）求a ，b 的值；（2）证明函数()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()02ln 22f x <-.【答案】（1）2,1a b ==（2）证明见解析【解析】（1）求导，可得f '（1）a =，f （1）be =-，结合已知切线方程即可求得a ，b 的值；（2）利用导数可得0000002()221x e f x lnx lnx x x =-=--，0(1,2)x ∈，再构造新函数2()2,121h x lnx x x =-<<-，利用导数求其最值即可得证．【详解】（1）函数的定义域为(0,)+∞，2()()x x a b xe e f x x x -'=-， 则f '（1）a =，f （1）be =-，故曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为0ax y a be ---=，又曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为220x y e ---=， 2a ∴=，1b =；（2）证明：由（1）知，()2x e f x lnx x =-，则22()x xx xe e f x x-+'=， 令()2x x g x x xe e =-+，则()2x g x xe '=-，易知()g x '在(0,)+∞单调递减，又(0)20g '=>，g '（1）20e =-<，故存在1(0,1)x ∈，使得1()0g x '=，且当1(0,)x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1(x x ∈，)+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减， 由于(0)10g =>，g （1）20=>，g （2）240e =-<，故存在0(1,2)x ∈，使得0()0g x =，且当0(0,)x x ∈时，()0>g x ，()0f x '>，()f x 单调递增，当0(x x ∈，)+∞时，()0<g x ，()0f x '<，()f x 单调递减，故函数存在唯一的极大值点0x ，且00000()20x x g x x x e e =-+=，即00002,(1,2)1x x e x x =∈-， 则0000002()221x e f x lnx lnx x x =-=--， 令2()2,121h x lnx x x =-<<-，则222()0(1)h x x x '=+>-， 故()h x 在(1,2)上单调递增，由于0(1,2)x ∈，故0()h x h <（2）222ln =-，即00222221lnx ln x -<--， 0()222f x ln ∴<-．【点睛】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查推理论证能力，属于中档题． 21．已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=-u u u r u u u r . （1）判断点()0,1D 是否在直线AB 上？说明理由；（2）设点M 是△PAB 的外接圆的圆心，点M 到x 轴的距离为d ，点()1,0N ，求MN d -的最大值.【答案】（1）不在，证明见详解；（2【解析】（1）假设直线方程y kx b =+，并于抛物线方程联立，结合韦达定理，计算4PA PB ⋅=-u u u r u u u r，可得1b =-，然后验证可得结果.（2）分别计算线段,PA PB 中垂线的方程，然后联立，根据（1）的条件可得点M 的轨迹方程22y x =，然后可得焦点F ，结合抛物线定义可得18MN d NF -≤+，计算可得结果.【详解】（1）设直线方程y kx b =+，()()1122,,,A x y B x y根据题意可知直线斜率一定存在，()0,3P - 则()224430134y kx bx kx b y x =+⎧⎪⇒--+=⎨=-⎪⎩()121243,4x x b x x k =-++=()241648k b ∆=-++()()1122,3,,3PA x y PB x y =+=+u u u r u u u r则()()121233PA PB x x y y ⋅=+++u u u r u u u r()12121239PA PB x x y y y y ⋅=++++u u u r u u u r()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++()1212122y y kx b kx b k x x b +=+++=++()()()2212121369PA PB k x x k kb x x b b ⋅=+++++++u u u r u u u r由4PA PB ⋅=-u u u r u u u r所以()()()22121213694k x x k kb x x b b +++++++=-将()121243,4x x b x x k =-++=代入上式化简可得2210b b ++=，所以1b =-则直线方程为1y kx =-，所以直线过定点()0,1-，()2416480k b ∆=-++>所以可知点()0,1D 不在直线上.（2）设(),M M M x y线段PA 的中点为113,22x y E -⎛⎫⎪⎝⎭线段PB 的中点为223,22x y G -⎛⎫⎪⎝⎭则直线PA 的斜率为113PA y k x +=，直线PB 的斜率为223PB y k x +=可知线段PA 的中垂线的方程为11113232y x x y x y -⎛⎫-=-- ⎪+⎝⎭由211134y x =-，所以上式化简为2121418x y x x =-+-即线段PA 的中垂线的方程为2121418x y x x =-+-同理可得：线段PB 的中垂线的方程为2222418x y x x =-+- 则()22121222222112122141832481832M M x x x x x y x x x x x x x x y x y x ⎧⎧+=-+-⎪=-⎪⎪⎪⇒⎨⎨++-⎪⎪=-+-=⎪⎪⎩⎩由（1）可知：()12124,438x x k x x b +==-+=-所以()12122221212322832M M M M x x x x x x ky k x x x x y ⎧+=-⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=++-⎩⎪=⎪⎩即()2,2M k k ，所以点M 轨迹方程为22y x = 焦点为10,8F ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以1188MN d MN MF MN MF ⎛⎫-=--=-+ ⎪⎝⎭当,,M N F 三点共线时，MN d -有最大所以1188MN d MN MF NF -=-+≤+= 【点睛】 本题考查直线于抛物线的综合应用，第（1）问中难点在于计算处b ，第（2）问中关键在于得到点M 的轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合常常要联立方程，结合韦达定理，属难题.22．已知曲线1C 的参数方程为cos ,(1sin ,x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数)， 曲线2C的参数方程为sin ,(x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数).（1）求1C 与2C 的普通方程；（2）若1C 与2C 相交于A ，B两点，且AB =sin α的值. 【答案】（1）tan 1y x α=+，221(0)2y x y +=…（2）0 【解析】（1）分别把两曲线参数方程中的参数消去，即可得到普通方程；（2）把直线的参数方程代入2C 的普通方程，化为关于t 的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时t 的几何意义求解．【详解】（1）由曲线1C 的参数方程为cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数），消去参数t ，可得tan 1y x α=+；由曲线2C的参数方程为sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），消去参数θ，可得y =即221(0)2y x y +=…． （2）把cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数）代入2212y x +=， 得22(1cos )2sin 10t t αα++-=． ∴1222sin 1t t cos αα-+=+，12211t t cos α-=+．12||||AB t t ∴=-=． 解得：2cos 1α=，即cos 1α=±，满足①0>．sin 0α∴=．【点睛】本题考查参数方程化普通方程，特别是直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，是中档题．23．已知0a >，0b >，且1a b +=.（1）求12a b+的最小值；（2）证明：2221ab b a b +<++.【答案】（1）3+（2）证明见解析【解析】（1）利用基本不等式即可求得最小值； （2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证．【详解】（1）12122()()333a b a b a b a b b a +=++=++++…“b =”时取等号， 故12a b +的最小值为3+；（2）222222222412)155ab b ab bab b b b a b ab b a +++===++++++„，当且仅当1,2a b ==时取等号，此时1a b +≠．故2221ab b a b +<++．【点睛】本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题．。
高三数学模拟考试试题2 理 A 试题
花都区狮岭中学2021届高三模拟考试〔二〕数学〔理〕试题制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题：本大题一一共8小题，每一小题5分，满分是40分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的． 1．i 是虚数单位，复数2332iz i+==-+A ．0B ．-1C ．1D ．22．,a b 是实数，那么“0a >且0b >〞是“0a b +>且0ab >〞的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，那么双曲线的渐近线方程为A ． x y 2±=B ． x y 2±=C ． x y 22±= D ． x y 21±=4．假设直线)0,0(022>>=-+b a by ax 始终平分圆082422=---+y x y x 的周长，那么ba 21+的最小值为A ．1B ．322+C ．5D ．425．假设某多面体的三视图〔单位：cm 〕如图1所示，那么此多面体的体积是A ．36cm B ．34cm C ．33cm D ．32cm6．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、2226.,5c b c a bc +-=若则sin(B+C)=A ．45-B ．45C ．35-D ．357．函数21(0)(),()()(1)1(0)x x f x g x f x x f x x ⎧-≤==-⎨-+>⎩把函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，那么该数列的前n 项的和为n S ，那么10S =A ．1021-B ．921-C ．45D ．558．假设1212(,),(,)a a a b b b ==，定义一种向量积：1122(,)a b a b a b ⊗=，1(2,),(,0)23m n π==，且点(,)P x y 在函数sin y x =的图象上运动，点Q 在函数()y f x =的图象上运动，且点P 和点Q 满足：OQ m OP n =⊗+〔其中O 为坐标原点〕，那么函数()y f x =的最大值A 及最小正周期T 分别为A ．2,πB ．2,4πC ．1,2π D ．1,42π 二、填空题：本大题一一共7小题，考生答题6小题，每一小题5分，满分是30分． 〔一〕必做题〔9～13题〕9．742(),x x x x-的展开式中的系数是_______．〔用数字答题〕10．点P (x ,y)满足条件0(),320x y xk z x x y k ≥⎧⎪≤=+⎨⎪++≤⎩为常数若y 的最大值为8，那么k = ．11．假如执行图2的程序框图，那么输出的S =_________．12．由曲线22x y =与直线2=y 围成的封闭区域的面积为________．13．在ABC ∆中,a b c 、、分别为内角A B C 、、所对的边，且ο30=A ．现给出三个条件：①2a =； ②45B =︒；③3c b =．试从中选出两个可以确定ABC ∆的条件，并以此为根据求ABC ∆的面积．(只需写出一个选定方案即可)你选择的条件是 (用序号填写上)；由此得到的ABC ∆的面积为 ． 〔二〕选做题〔14～15题，考生只能从中选做一题〕14．(坐标系与参数方程选做题) 极坐标系中，曲线4sin ρθ=-和cos 1ρθ=相交于点,A B ，那么AB ＝ ；15．〔几何证明选讲选做题〕如图3所示，圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3，过C 作圆的切线l ，那么点A 到直线l 的间隔 AD 为 ．三、解答题：本大题一一共6小题，满分是80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．〔本小题满分是12分〕设23()cos 22f x x x =+． 〔1〕求()f x 的最小正周期； 〔2〕求()f x 的单调递增区间．17．〔本小题满分是12分〕第16届亚运会将于今年11月在我举行，射击队运发动们正在积极备战． 假设某运发动每次射击成绩为10环的概率为13． 求该运发动在5次射击中， 〔1〕恰有3次射击成绩为10环的概率；A BCD EF图4〔2〕至少有3次射击成绩为10环的概率； 〔3〕记“射击成绩为10环的次数〞为ξ，求E ξ． 〔结果用分数表示〕18．〔本小题满分是14分〕如图4，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边 三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点． 〔1〕求证：//AF 平面BCE ；〔2〕求证：平面BCE ⊥平面CDE ；〔3〕求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值．19．〔此题满分是14分〕某厂家拟在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量〔即该厂的年产量〕x 万件与年促销费用0()m m ≥万元满足31kx m =-+〔k 为常数〕，假如不搞促销活动，那么该产品的年销售量是1万件. 2021年消费该产品的固定投入为8万元，每消费1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均本钱的1.5倍〔产品本钱包括固定投入和再投入两局部资金，不包括促销费用〕．〔1〕将2021年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； 〔2〕该厂家2021年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？20．〔本小题满分是14分〕圆M ：222()()x m y n r -+-=及定点(1,0)N ，点P 是圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上，且满足NP ＝2NQ ，GQ ·NP ＝0．〔1〕假设1,0,4m n r =-==，求点G 的轨迹C 的方程；〔2〕假设动圆M 和〔1〕中所求轨迹C 相交于不同两点,A B ，是否存在一组正实数,,m n r ，使得直线MN 垂直平分线段AB ，假设存在，求出这组正实数；假设不存在，说明理由．21．〔本小题满分是14分〕 函数)()0,1(),0()(x f y P t xtx x f =>+=作曲线过点的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ．〔1〕当2=t 时，求函数)(x f 的单调递增区间； 〔2〕设|MN |=)(t g ，试求函数)(t g 的表达式；〔3〕在〔II 〕的条件下，假设对任意的正整数n ，在区间]64,2[nn +内，总存在m ＋1个数,,,,,121+m m a a a a 使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求m 的最大值．参考答案一、选择题：本大题考察根本知识和根本运算．一共8小题，每一小题5分，满分是40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B C C B D B C D二、填空题：本大题查根本知识和根本运算，表达选择性．一共7小题，每一小题5分，满分是30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．三、解答题：本大题一一共6小题，满分是80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．〔本小题满分是12分〕解：1cos23()sin222xf x x+=+…………………2分113cos2sin2222x x=++1sin cos2cos sin2266x xππ=++……………4分1sin(2)26xπ=++…………………6分17．〔本小题满分是12分〕解：设随机变量X为射击成绩为10环的次数，那么1~(5,)3X B．……2分ABCDEFMHG 〔1〕在5次射击中，恰有3次射击成绩为10环的概率为：323511(3)133P x C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭144010279243=⨯⨯= …………4分 〔2〕在5次射击中，至少有3次射击成绩为10环的概率为：(3)(3)(4)(5)P X P X P X P X ≥==+=+= …………5分32450345555111111111333333C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭401011724324324381=++=． …………8分 〔3〕方法一：随机变量X 的分布列为：X 0 1 2 3 4 5P32243 80243 80243 40243 10243 1243 故3232323232325()0123452432432432432432433E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= (12)分方法二:因为1~(5,)3X B ，所以5()3E X =． …………12分 18．〔本小题满分是14分〕解法一：(1) 证：取CE 的中点G ，连结FG BG 、．∵F 为CD 的中点，∴//GF DE 且12GF DE =．(2) 证：∵ACD ∆为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF CD ⊥ ∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE AF ⊥． 又CDDE D =，故AF ⊥平面CDE ． ∵//BG AF ，∴BG ⊥平面CDE ．∵BG ⊂平面BCE ， ∴平面BCE ⊥平面CDE ． …………8分(3) 解：在平面CDE 内，过F 作FH CE ⊥于H ，连BH ．∵平面BCE ⊥平面CDE ， ∴FH ⊥平面BCE ． ∴FBH ∠为BF 和平面BCE 所成的角． …………10分设22AD DE AB a ===，那么2sin 452FH CF a =︒=， 2222(3)2BF AB AF a a a =+=+=，在R t △FHB 中，2sin 4FH FBH BF ∠==．…………13分 ∴直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值为24………14分(1) 证：()()33,,0,,3,,2,0,22AF a a BE a a a BC a a ⎛⎫===- ⎪⎪⎝⎭，∵()12AF BE BC =+，AF ⊄平面BCE ，∴//AF 平面BCE ． …………4分(3) 解：设平面BCE 的法向量为(),,n x y z =，由0,0n BE n BC ⋅=⋅=可得：30,20x y z x z ++=-=，取()1,3,2n =-． …………10分又33,,22BF a a a ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭， 设BF 和平面BCE 所成的角为θ，那么422222||||||sin =⋅=⋅⋅=a a n BF n BF θ． …………13分 ∴直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值为24． …………14分 19．〔本小题满分是14分〕m m m x -+-+=-+=)123(8484)0(29)]1(116[≥++++-=m m m …………7分 〔2〕∵0m ≥时，16(1)21681m m ++≥=+. ∴82921y ≤-+=，当且仅当1611m m =++，即3m =时，max 21y =.〔15分〕 答：该厂家2021年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元. …………14分20．〔本小题满分是14分〕解：〔1〕2,NP NQ =∴点Q 为PN 的中点，又0GQ NP ⋅=，GQ PN ∴⊥或者G 点与Q 点重合．∴.||||GN PG = …………2分又|||||||||| 4.GM GN GM GP PM +=+==∴点G 的轨迹是以,M N 为焦点的椭圆，且2,1a c ==，∴223,b a c G =-=∴的轨迹方程是221.43x y +=………6分(2)解：不存在这样一组正实数，下面证明： …………7分 由题意，假设存在这样的一组正实数，当直线MN 的斜率存在时，设之为k ， 故直线MN 的方程为：(1)y k x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点00(,)D x y ，那么22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：12121212()()()()043x x x x y y y y -+-++=．…………9分注意到12121y y x x k -=--，且12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ，那么00314x y k = ， ② 又点D 在直线MN 上，00(1)y k x ∴=-，代入②式得：04x =．因为弦AB 的中点D 在⑴所给椭圆C 内，故022x -<<，这与04x =矛盾， 所以所求这组正实数不存在． …………13分当直线MN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =，那么此时1212,2y y x x =+=， 代入①式得120x x -=，这与,A B 是不同两点矛盾．综上，所求的这组正实数不存在． …………14分 21．〔本小题满分是14分〕〔2〕设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，)1(.02).1)(1()(0),0,1().)(1()(:,1)(12112111121112=-+--=+-∴--=+-∴-='t tx x x x t x t x P PM x x x t x t x y PM x t x f 即有过点切线又的方程为切线同理，由切线PN 也过点〔1，0〕，得.02222=-+t tx x 〔2〕 由〔1〕、〔2〕，可得02,221=-+t tx x x x 是方程的两根， (*).22121⎩⎨⎧-=⋅-=+∴t x x t x x ………………………6分])1(1[)()()(||22122122211221x x t x x x t x x t x x x MN -+-=--++-= ])1(1][4)[(22121221x x t x x x x -+-+把〔*〕式代入，得,2020||2t t MN += 因此，函数)0(2020)()(2>+=t t t t g t g 的表达式为…………………8分 ,)64(20)64(2022022022nn n n m +++<⨯+⨯ .3136.3136]1616[61)]64()64[(61,1664)]64()64[(61222<∴=+≥+++∴≥++++<m n n n n n n n n n n n m 恒成立对一切的正整数即 由于m 为正整数，6≤∴m ．…………………………13分…………………4分又当.,16,2,6121满足条件对所有的存在时n a a a a m m m ======+因此，m 的最大值为6． …………………………………………14分制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。
2020年广东省广州市花都区高三数学理科调研测试卷 新课标 人教版
2020年广东省广州市花都区高三数学理科调研测试卷I 卷（选择题部分）一．选择题（8小题，每小题5分，共40分） 1、 复数1－2i 的虚部是（ ）（A ）1 （B ）－2i （C ）－2（D ）1－2i2、 已知集合}{3|||<=x x M ，{}260N x x x =-->，则M N I 为（ ）（A ）R （B ）}{32|<<-x x （C ）}{3x 23|>-<<-或x x （D ）}{23|-<<-x x3、 已知α为第三象限角，则2tanα的值 （ ）（A ） 一定为正数 （B ） 一定为负数 （C ）可能为正数，也可能为负数 （D ） 不存在4、 下列关于函数13)(23+-=x x x f （R x ∈）性质叙述错误．．的是 ( ) （A ）)(x f 在区间），（20上单调递减 （B ）曲线y ＝)(x f 在点（2，－3）处的切线方程为y ＝－3（C ）)(x f 在x ＝0处取得最大值为 1 （D ）)(x f 在其定义域上没有最大值5、 在正方体AC /中，底面的对角线AC 与侧面的对角线A /B 所成的角为（ ）（A ）90° （B ）45° （C ）60°； （D ）30°6、 已知直线l 过点)01(，-，当直线l 与曲线x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（ ）（A ）），（33- （B ）),3()3,(+∞--∞或（C ）），（3333- （D ）),33()33,(+∞--∞或7、 已知双曲线12222=-y ax 的一条准线与抛物线x y 42-=的准线重合，则该双曲线的离心率为 （ ）（A ）22（B ）2（C ）2（D ）21 8、 如图，函数122++-=x x y 与y ＝1相交形成一个闭合图形（图中的阴影部分），则该闭合图形的面积是（ ） （A ）1（B ）34（C ）3 （D ）2II 卷（非选择题部分）二．填空题（6小题，每小题5分，共30分）9、 欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿。
2022年 新圆玄中学数学模拟试理科配套精选
2021年广东省广州市花都区圆玄中学高考数学模拟试卷〔理科〕〔1〕一、选择题：〔本大题共10个小题，每题5分，共50分在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．〔5分〕集合A={|=g〔24﹣12〕}，B={|﹣3＜＜4}，那么A∩B等于〔〕A．〔﹣3，﹣2〕B．〔﹣3，2〕C．〔2，4〕 D．〔﹣2，4〕2．〔5分〕假设复数满足i=32i，那么在复平面内对应的点位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．〔5分〕如果等差数列{a n}中，a3a4a5=12，那么a1a2…a7=〔〕A．14 B．21 C．28 D．354．〔5分〕有四个游戏盒，将它们水平放稳后，在上面扔一粒玻璃珠，假设玻璃珠落在阴影局部，那么可中奖，那么中奖时机大的游戏盘是〔〕A． B． C． D．5．〔5分〕抛物线2=2＞1，直线：﹣m﹣=0，椭圆C：2=1，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点．〔Ⅰ〕当直线过右焦点F2时，求直线的方程；〔Ⅱ〕设直线与椭圆C交于A、B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G、H．假设原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．21．〔12分〕设函数f〔〕=2〔﹣2〕e﹣a22a3﹣b〔Ⅰ〕假设f〔〕在=0处的法线〔经过切点且垂直于切线的直线〕的方程为24=0，求实数a，b的值；〔Ⅱ〕假设=1是f〔〕的极小值点，求实数a的取值范围．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．〔10分〕直线的参数方程为．以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4coθ．〔Ⅰ〕求直线与圆C的普通方程；〔Ⅱ〕假设直线分圆C所得的弧长之比为3：1，求实数a的值．2021年广东省广州市花都区圆玄中学高考数学模拟试卷〔理科〕〔1〕参考答案与试题解析一、选择题：〔本大题共10个小题，每题5分，共50分在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．〔5分〕集合A={|=g〔24﹣12〕}，B={|﹣3＜＜4}，那么A∩B等于〔〕A．〔﹣3，﹣2〕B．〔﹣3，2〕C．〔2，4〕 D．〔﹣2，4〕【解答】解：集合A={|=g〔24﹣12〕}={|24﹣12＞0}={|＜﹣6或＞2}，B={|﹣3＜＜4}，那么A∩B={|2＜＜4}=〔2，4〕．应选：C．2．〔5分〕假设复数满足i=32i，那么在复平面内对应的点位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由i=32i，得=，那么复数在复平面内对应的点的坐标为：〔，〕，位于第四象限．应选：D．3．〔5分〕如果等差数列{a n}中，a3a4a5=12，那么a1a2…a7=〔〕A．14 B．21 C．28 D．35【解答】解：a3a4a5=3a4=12，a4=4，∴a1a2…a7==7a4=28应选C4．〔5分〕有四个游戏盒，将它们水平放稳后，在上面扔一粒玻璃珠，假设玻璃珠落在阴影局部，那么可中奖，那么中奖时机大的游戏盘是〔〕A． B． C． D．【解答】解：在A中，中奖概率为，在B中，中奖概率为，在C中，中奖概率为，在D中，中奖概率为．∴中奖时机大的游戏盘是D．应选：D．5．〔5分〕抛物线2=2＞1，直线：﹣m﹣=0，椭圆C：2=1，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点．〔Ⅰ〕当直线过右焦点F2时，求直线的方程；〔Ⅱ〕设直线与椭圆C交于A、B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G、H．假设原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．【解答】解：〔Ⅰ〕解：因为直线：﹣m﹣=0，经过F2〔，0〕，所以=，得m2=2，又因为m＞1，所以m=，故直线的方程为﹣﹣1=0．〔Ⅱ〕解：设A〔1，1〕，B〔2，2〕．由，消去得22m﹣1=0那么由△=m2﹣8〔﹣1〕=﹣m28＞0，知m2＜8，且有12=﹣，12=﹣．由于F1〔﹣c，0〕，F2〔c，0〕，故O为F1F2的中点，由，=2，可知G〔，〕，H〔，〕|GH|2=设M是GH的中点，那么M〔，〕，由题意可知2|MO|＜|GH|即4[〔〕2〔〕2]＜即1212＜0而1212=〔m1〕〔m2〕12=〔m21〕〔〕所以〔〕＜0，即m2＜4又因为m＞1且△＞0所以1＜m＜2．所以m的取值范围是〔1，2〕．21．〔12分〕设函数f〔〕=2〔﹣2〕e﹣a22a3﹣b〔Ⅰ〕假设f〔〕在=0处的法线〔经过切点且垂直于切线的直线〕的方程为24=0，求实数a，b的值；〔Ⅱ〕假设=1是f〔〕的极小值点，求实数a的取值范围．【解答】解：〔Ⅰ〕f'〔〕=2〔﹣1〕e﹣2a2a；…〔2分〕；由题意可知：f'〔0〕=2；…〔3分〕；f'〔0〕=﹣22a=2⇒a=2；…〔4分〕；易得切点坐标为〔0，﹣2〕，那么有f〔0〕=﹣2⇒b=1；…〔5分〕；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得：f'〔〕=2〔﹣1〕e﹣2a2a=2〔﹣1〕〔e﹣a〕；…〔6分〕；〔1〕当a≤0时，e﹣a＞0⇒f'〔〕=0⇒=1，∈〔﹣∞，1〕⇒f'〔〕＜0；∈〔1，∞〕⇒f'〔〕＞0；=1是f〔〕的极小值点，∴a≤0适合题意；…〔7分〕；〔2〕当0＜a＜e时，f'〔〕=0⇒1=1或2=na，且na＜1；∈〔﹣∞，na〕⇒f'〔〕＞0；∈〔na，1〕⇒f'〔〕＜0；∈〔1，∞〕⇒f'〔〕＞0；=1是f〔〕的极小值点，∴0＜a＜e适合题意；…〔9分〕；〔2〕当a≥e时，f'〔〕=0⇒1=1或2=na，且na≥1；∈〔﹣∞，1〕⇒f'〔〕＞0；∈〔1，na〕⇒f'〔〕＜0；∈〔na，∞〕⇒f'〔〕＞0；=1是f〔〕的极大值点，∴a≥e不适合题意；…〔11分〕综上，实数a的取值范围为a＜e；…〔12分〕；【选修4-4：坐标系与参数方程】22．〔10分〕直线的参数方程为．以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4coθ．〔Ⅰ〕求直线与圆C的普通方程；〔Ⅱ〕假设直线分圆C所得的弧长之比为3：1，求实数a的值．【解答】解：〔Ⅰ〕由题意知：ρ=4coθ⇒ρ2=4ρcoθ⇒2﹣42=0，；〔Ⅱ〕2﹣42=0⇒〔﹣2〕22=4；直线分圆C所得的弧长之比为3：1⇒弦长为，；或a=4．。
【高考冲刺】最新广东省广州市花都区圆玄中学高考数学模拟试卷(理科)及解析
广东省广州市花都区圆玄中学高考数学模拟试卷（理科）（1）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合A={x|y=lg（x2+4x﹣12）}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B等于（）A．（﹣3，﹣2）B．（﹣3，2）C．（2，4） D．（﹣2，4）2．（5分）若复数z满足z+zi=3+2i，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．354．（5分）有四个游戏盒，将它们水平放稳后，在上面扔一粒玻璃珠，若玻璃珠落在阴影部分，则可中奖，则中奖机会大的游戏盘是（）A．B．C．D．5．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为（）A．B．C．±1 D．6．（5分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，是“算经十书”中最重要的一种，是当时世界上最简练有效的应用数字，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．其中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积=（弦×矢+矢×矢），弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弧）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弦长AB等于6米，其弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则cos∠AOB=（）A．B．C．D．7．（5分）函数g（x）的图象是函数f（x）=sin2x﹣cos2x的图象向右平移个单位而得到的，则函数g（x）的图象的对称轴可以为（）A．直线x=B．直线x=C．直线x=D．直线x=8．（5分）已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=（2x﹣1）lnx，则曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线斜率为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．29．（5分）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A． B． C．D．10．（5分）设函数则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（）A．B．C．0≤a＜1 D．a≥1二、多选题：（本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，至少有一项是符合题目要求的，请把所有的项找出来，并填写在括号内.填少或填多均不得分．）11．（5分）下列命题中真命题的个数是（）①函数y=sinx，其导函数是偶函数；②“若x=y，则x2=y2”的逆否命题为真命题；③“x≥2”是“x2﹣x﹣2≥0”成立的充要条件；④命题p：“∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0”，则命题p的否定为：“∀x∈R，x2﹣x+1≥0”．A．0 B．1 C．2 D．312．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），已知点P在直线BC1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A﹣D1BC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；③二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线A1D1．其中正确命题的编号是（）A．①③④B．①②C．①③D．①④三．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为．14．（5分）已知向量，满足||=||=2，且）=﹣6，则与的夹角为．15．（5分）在区间[0，1]上随机地取两个数x、y，则事件“y≤x5”发生的概率为．16．（5分）设抛物线y2=2px（p＞0）焦点为F，准线为l，过焦点的直线分别交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足C，D．若|AF|=2|BF|，且三角形CDF的面积为，则p的值为．四、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.17．（12分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的前n项和为S n，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列的前n项和为T n，求证：T n＜．18．（12分）如图，三棱台ABC﹣A1B1C1中，侧面A1B1BA与侧面A1C1CA是全等的梯形，若A1A⊥AB，A1A⊥A1C1，且AB=2A1B1=4A1A．（Ⅰ）若，，证明：DE∥平面BCC1B1；（Ⅱ）若二面角C1﹣AA1﹣B为，求平面A1B1BA与平面C1B1BC所成的锐二面角的余弦值．19．（12分）某科技公司生产一种手机加密芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于70为合格品，小于70为次品．现随机抽取这种芯片共120件进行检测，检测结果统计如表：已知生产一件芯片，若是合格品可盈利400元，若是次品则亏损50元．（Ⅰ）试估计生产一件芯片为合格品的概率；并求生产3件芯片所获得的利润不少于700元的概率．（Ⅱ）记ξ为生产4件芯片所得的总利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望．20．（12分）已知m＞1，直线l：x﹣my﹣=0，椭圆C：+y2=1，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点．（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=2（x﹣2）e x﹣ax2+2ax+3﹣b（Ⅰ）若f（x）在x=0处的法线（经过切点且垂直于切线的直线）的方程为x+2y+4=0，求实数a，b的值；（Ⅱ）若x=1是f（x）的极小值点，求实数a的取值范围．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）已知直线l的参数方程为．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求直线l与圆C的普通方程；（Ⅱ）若直线l分圆C所得的弧长之比为3：1，求实数a的值．2018年广东省广州市花都区圆玄中学高考数学模拟试卷（理科）（1）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合A={x|y=lg（x2+4x﹣12）}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B等于（）A．（﹣3，﹣2）B．（﹣3，2）C．（2，4） D．（﹣2，4）【解答】解：集合A={x|y=lg（x2+4x﹣12）}={x|x2+4x﹣12＞0}={x|x＜﹣6或x＞2}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜4}=（2，4）．故选：C．2．（5分）若复数z满足z+zi=3+2i，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由z+zi=3+2i，得=，则复数z在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第四象限．故选：D．3．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．35【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，∴a1+a2+…+a7==7a4=28故选C4．（5分）有四个游戏盒，将它们水平放稳后，在上面扔一粒玻璃珠，若玻璃珠落在阴影部分，则可中奖，则中奖机会大的游戏盘是（）A．B．C．D．【解答】解：在A中，中奖概率为，在B中，中奖概率为，在C中，中奖概率为，在D中，中奖概率为．∴中奖机会大的游戏盘是D．故选：D．5．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为（）A．B．C．±1 D．【解答】解：抛物线的焦点为F（，0），准线方程为x=﹣．∵点M到焦点F的距离等于2p，∴M到准线x=﹣的距离等于2p．∴x M=，代入抛物线方程解得y M=±p．∴k MF==．故选：D．6．（5分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，是“算经十书”中最重要的一种，是当时世界上最简练有效的应用数字，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．其中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积=（弦×矢+矢×矢），弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弧）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弦长AB等于6米，其弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则cos∠AOB=（）A．B．C．D．【解答】解：如图，由题意可得：AB=6，弧田面积S=（弦×矢+矢2）=（6×矢+矢2）=平方米．解得矢=1，或矢=﹣7（舍），设半径为r，圆心到弧田弦的距离为d，则，解得d=4，r=5，∴cos∠AOD==，∴cos∠AOB=2cos2∠AOD﹣1=﹣1=．故选：D．7．（5分）函数g（x）的图象是函数f（x）=sin2x﹣cos2x的图象向右平移个单位而得到的，则函数g（x）的图象的对称轴可以为（）A．直线x=B．直线x=C．直线x=D．直线x=【解答】解：∵f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），∴向右平移个单位而得到g（x）=2sin[2（x﹣）﹣]=﹣2cos2x，∴令2x=kπ，k∈Z，可解得x=，k∈Z，k=1时，可得x=，故选：C．8．（5分）已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=（2x﹣1）lnx，则曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线斜率为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=（2x﹣1）lnx，∴f′（x）=2lnx+2﹣，∴f′（1）=1∵函数f（x）是偶函数，∴f′（﹣1）=﹣1，∴曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线斜率为﹣1，故选：B．9．（5分）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A． B． C．D．【解答】解：令，，，如图所示：则，又，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，易知点C与O、D共线时达到最值，最大值为+1，最小值为﹣1，所以的取值范围为[﹣1，+1]．故选A．10．（5分）设函数则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（）A．B．C．0≤a＜1 D．a≥1【解答】解：∵函数，若f（f（a））=2f（a），则f（a）≥1，当a＜1时，由3a﹣1≥1得：≤a＜1，当a≥1时，2a≥1恒成立，综上可得：，故选：A．二、多选题：（本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，至少有一项是符合题目要求的，请把所有的项找出来，并填写在括号内.填少或填多均不得分．）11．（5分）下列命题中真命题的个数是（）①函数y=sinx，其导函数是偶函数；②“若x=y，则x2=y2”的逆否命题为真命题；③“x≥2”是“x2﹣x﹣2≥0”成立的充要条件；④命题p：“∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0”，则命题p的否定为：“∀x∈R，x2﹣x+1≥0”．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：对于①，函数y=sinx，其导函数是y=cosx，为偶函数，①正确；对于②，“若x=y，则x2=y2”是真命题，则它的逆否命题也为真命题，②正确；对于③，“x≥2”时，不等式“x2﹣x﹣2≥0”成立，即充分性成立；“x2﹣x﹣2≥0”时，x≤﹣1或x≥2，必要性不成立；∴是充分不必要条件，③错误；对于④，命题p：“∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0”，命题p的否定为：“∀x∈R，x2﹣x+1≥0”，④正确．综上，正确命题的序号是①②④，共3个．故选：D．12．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），已知点P在直线BC1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A﹣D1BC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；③二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线A1D1．其中正确命题的编号是（）A．①③④B．①②C．①③D．①④【解答】解：对于①，三棱锥A﹣D1BC的体积与P点位置无关，∴三棱锥A﹣D1BC 的体积不变，故①正确；对于②，以D1为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系，设正方体边长为1，则=（1，1，﹣1）为平面ACD1的法向量，而=（0，1，0），=（﹣1，1，﹣1），∴cos＜，＞==，cos＜，＞==，∴AB，AC1与平面ACD1所成的角不相等，即当P在直线BC1上运动时，AP与平面ACD1所成的角会发生变化，故②错误；对于③，当P位置变化时，平面PAD1的位置不发生变化，故二面角P﹣AD1﹣C的大小不变，故③正确；对于④，空间中到点D和C1的距离相等的点的轨迹是线段DC1的中垂面A1D1CB，而中垂面A1D1CB与平面A1B1C1D1的交线为直线A1D1，故④正确．故选：A．三．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为﹣4．【解答】解：作表示的平面区域如下，z=x﹣2y可化为y=﹣，故当过点（0，2）时，﹣有最大值，z=x﹣2y有最小值﹣4；故答案为：﹣4．14．（5分）已知向量，满足||=||=2，且）=﹣6，则与的夹角为．【解答】解：设与的夹角为θ，∵向量，满足||=||=2，且）=﹣6，∴）=•﹣=||•||•cosθ﹣||2=4cosθ﹣4=﹣6，∴cosθ=﹣，∵0≤θ≤π，∴θ=π，故答案为：15．（5分）在区间[0，1]上随机地取两个数x、y，则事件“y≤x5”发生的概率为．【解答】解：在区间[0，1]上随机地取两个数x、y，构成区域的面积为1；事件“y≤x5”发生，区域的面积为==，∴事件“y≤x5”发生的概率为．故答案为．16．（5分）设抛物线y2=2px（p＞0）焦点为F，准线为l，过焦点的直线分别交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足C，D．若|AF|=2|BF|，且三角形CDF的面积为，则p的值为．【解答】解：如图所示，M是AC的中点，则x+=p，∴x=p，∴AB=p，∴CD=MB=p，∵三角形CDF的面积为，∴，∴，故答案为：．四、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.17．（12分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的前n项和为S n，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列的前n项和为T n，求证：T n＜．【解答】解：（1）由题意得解得，∴a n=4n+2；（2），∴，∴．18．（12分）如图，三棱台ABC﹣A1B1C1中，侧面A1B1BA与侧面A1C1CA是全等的梯形，若A1A⊥AB，A1A⊥A1C1，且AB=2A1B1=4A1A．（Ⅰ）若，，证明：DE∥平面BCC1B1；（Ⅱ）若二面角C1﹣AA1﹣B为，求平面A1B1BA与平面C1B1BC所成的锐二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接AC1，BC1，在梯形A1C1CA中，AC=2A1C1，∵AC1∩A1C=D，，∴，又，∴DE∥BC1，∵BC1⊂平面BCC1B1，DE⊄平面BCC1B1，∴DE∥平面BCC1B1 ；（Ⅱ）解：侧面A1C1CA是梯形，∵A1A⊥A1C1，∴AA1⊥AC，又A1A⊥AB，∴∠BAC为二面角C1﹣AA1﹣B的平面角，则∠BAC=，∴△ABC，△A1B1C1均为正三角形，在平面ABC内，过点A作AC的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设AA1=1，则A1B1=A1C1=2，AC=AC=4，故点A 1（0，0，1），C（0，4，0），．设平面A1B1BA的法向量为，则有，取，得；设平面C1B1BC的法向量为，则有，取，得．∴，故平面A1B1BA与平面C1B1BC所成的锐二面角的余弦值为．19．（12分）某科技公司生产一种手机加密芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于70为合格品，小于70为次品．现随机抽取这种芯片共120件进行检测，检测结果统计如表：已知生产一件芯片，若是合格品可盈利400元，若是次品则亏损50元．（Ⅰ）试估计生产一件芯片为合格品的概率；并求生产3件芯片所获得的利润不少于700元的概率．（Ⅱ）记ξ为生产4件芯片所得的总利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意芯片为合格品的概率…（2分）则利润不少于700元的情况为两件正品，一件次品或三件正品所以…（6分）（Ⅱ）ξ的所有取值为1600，1150，700，250，﹣200，，，，，，…（10分）所以…（12分）20．（12分）已知m＞1，直线l：x﹣my﹣=0，椭圆C：+y2=1，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点．（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）解：因为直线l：x﹣my﹣=0，经过F2（，0），所以=，得m2=2，又因为m＞1，所以m=，故直线l的方程为x﹣y﹣1=0．（Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．由，消去x得2y2+my+﹣1=0则由△=m2﹣8（﹣1）=﹣m2+8＞0，知m2＜8，且有y1+y2=﹣，y1y2=﹣．由于F1（﹣c，0），F2（c，0），故O为F1F2的中点，由，=2，可知G（，），H（，）|GH|2=+设M是GH的中点，则M（，），由题意可知2|MO|＜|GH|即4[（）2+（）2]＜+即x1x2+y1y2＜0而x1x2+y1y2=（my1+）（my2+）+y1y2=（m2+1）（）所以（）＜0，即m2＜4又因为m＞1且△＞0所以1＜m＜2．所以m的取值范围是（1，2）．21．（12分）设函数f（x）=2（x﹣2）e x﹣ax2+2ax+3﹣b（Ⅰ）若f（x）在x=0处的法线（经过切点且垂直于切线的直线）的方程为x+2y+4=0，求实数a，b的值；（Ⅱ）若x=1是f（x）的极小值点，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=2（x﹣1）e x﹣2ax+2a；…（2分）；由题意可知：f'（0）=2；…（3分）；f'（0）=﹣2+2a=2⇒a=2；…（4分）；易得切点坐标为（0，﹣2），则有f（0）=﹣2⇒b=1；…（5分）；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：f'（x）=2（x﹣1）e x﹣2ax+2a=2（x﹣1）（e x﹣a）；…（6分）；（1）当a≤0时，e x﹣a＞0⇒f'（x）=0⇒x=1，x∈（﹣∞，1）⇒f'（x）＜0；x∈（1，+∞）⇒f'（x）＞0；x=1是f（x）的极小值点，∴a≤0适合题意；…（7分）；（2）当0＜a＜e时，f'（x）=0⇒x1=1或x2=lna，且lna＜1；x∈（﹣∞，lna）⇒f'（x）＞0；x∈（lna，1）⇒f'（x）＜0；x∈（1，+∞）⇒f'（x）＞0；x=1是f（x）的极小值点，∴0＜a＜e适合题意；…（9分）；（2）当a≥e时，f'（x）=0⇒x1=1或x2=lna，且lna≥1；x∈（﹣∞，1）⇒f'（x）＞0；x∈（1，lna）⇒f'（x）＜0；x∈（lna，+∞）⇒f'（x）＞0；x=1是f（x）的极大值点，∴a≥e不适合题意；…（11分）综上，实数a的取值范围为a＜e；…（12分）；【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）已知直线l的参数方程为．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求直线l与圆C的普通方程；（Ⅱ）若直线l分圆C所得的弧长之比为3：1，求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：ρ=4cosθ⇒ρ2=4ρcosθ⇒x2﹣4x+y2=0，；（Ⅱ）x2﹣4x+y2=0⇒（x﹣2）2+y2=4；直线l分圆C所得的弧长之比为3：1⇒弦长为，；或a=4．。
广东省广州市圆玄中学高二数学理期末试题含解析
广东省广州市圆玄中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数在时取得极大值，则a的取值范围是（）A. B. (－∞,0) C. D. [0,+∞)参考答案：A【分析】先对进行求导，然后分别讨论和时的极值点情况，随后得到答案.【详解】由得，当时，，由，得，由，得.所以在取得极小值，不符合；当时，令，得或，为使在时取得极大值，则有，所以，所以选A.【点睛】本题主要考查函数极值点中含参问题，意在考查学生的分析能力和计算能力，对学生的分类讨论思想要求较高，难度较大.2. 已知函数f（x）=，则f（f（﹣1））=（）A．B．C．﹣D．2参考答案：D【考点】函数的值．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】运用分段函数，可得f（﹣1）=1，再求f（f（﹣1））=f（1）=2．【解答】解：函数f（x）=，则f（﹣1）=（﹣1）2=1，f（f（﹣1））=f（1）=21=2．故选D．【点评】本题考查分段函数和运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题．3. 下列双曲线中，焦点在x轴上且渐近线方程为y=±x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=1参考答案：B【考点】双曲线的标准方程．【分析】根据双曲线的渐近线的方程结合双曲线的标准方程的性质进行求解判断．【解答】解：A．双曲线的焦点在x轴，a=1，b=4，则双曲线的渐近线方程为y=±x=±4x，B．双曲线的焦点在x轴，a=4，b=1，则双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，满足条件．C．双曲线的焦点在y轴，不满足条件．D．双曲线的焦点在y轴，不满足条件．故选：B【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解和应用，比较基础．4. 如下图，该程序运行后输出的结果为( )A.36B.56C.55D.45参考答案：D5. 已知集合，，则( )A. {0,2}B. {0,1,2}C. {－1,3}D. {－1,0,1,2,3}参考答案：A【分析】先化简集合，求出，再和集合求交集，即可得出结果.【详解】因为，所以，又，所以.故选A【点睛】本题主要考查集合的混合运算，熟记概念即可，属于基础题型.6. 已知等比数列{a n}的前n项和为,若。
广东省广州市花都区圆玄中学2018届高考模拟数学试卷(理)(1)(答案+解析)
广东省广州市花都区圆玄中学2018届高考数学模拟试卷（理科）（1）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|y=lg（x2+4x﹣12）}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B等于（）A．（﹣3，﹣2）B．（﹣3，2）C．（2，4）D．（﹣2，4）2．（5分）若复数z满足z+z i=3+2i，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．354．（5分）有四个游戏盒，将它们水平放稳后，在上面仍一粒玻璃珠，若玻璃珠落在阴影部分，则可中奖，则中奖机会大的游戏盘是（）A．B．C．D．5．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为（）A．B．C．±1 D．6．（5分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，是“算经十书”中最重要的一种，是当时世界上最简练有效的应用数字，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．其中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积=（弦×矢+矢×矢），弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弧）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弦长AB 等于6米，其弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则cos∠AOB=（）A．B．C．D．7．（5分）函数g（x）的图象是函数f（x）=sin2x﹣cos2x的图象向右平移个单位而得到的，则函数g（x）的图象的对称轴可以为（）A．直线x=B．直线x=C．直线x=D．直线x=8．（5分）已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=（2x﹣1）ln x，则曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线斜率为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．29．（5分）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．10．（5分）设函数则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（）A．B．C．0≤a＜1 D．a≥111．（5分）下列命题中真命题的个数是（）①函数y=sin x，其导函数是偶函数；②“若x=y，则x2=y2”的逆否命题为真命题；③“x≥2”是“x2﹣x﹣2≥0”成立的充要条件；④命题p：“∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0”，则命题p的否定为：“∀x∈R，x2﹣x+1≥0”．A．0 B．1 C．2 D．312．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），已知点P在直线BC1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A﹣D1BC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；③二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线A1D1．其中正确命题的编号是（）A．①③④B．①②C．①③D．①④二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为．14．（5分）已知向量，满足||=||=2，且）=﹣6，则与的夹角为．15．（5分）在区间[0，1]上随机地取两个数x、y，则事件“y≤x5”发生的概率为．16．（5分）设抛物线y2=2px（p＞0）焦点为F，准线为l，过焦点的直线分别交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足C，D．若|AF|=2|BF|，且三角形CDF的面积为，则p的值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的前n项和为S n，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列的前n项和为T n，求证：T n＜．18．（12分）如图，三棱台ABC﹣A1B1C1中，侧面A1B1BA与侧面A1C1CA是全等的梯形，若A1A⊥AB，A1A⊥A1C1，且AB=2A1B1=4A1A．（Ⅰ）若，，证明：DE∥平面BCC1B1；（Ⅱ）若二面角C1﹣AA1﹣B为，求平面A1B1BA与平面C1B1BC所成的锐二面角的余弦值．19．（12分）某科技公司生产一种手机加密芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于70为合格品，小于70为次品．现随机抽取这种芯片共120件进行检测，检测结果统计如表：已知生产一件芯片，若是合格品可盈利400元，若是次品则亏损50元．（Ⅰ）试估计生产一件芯片为合格品的概率；并求生产3件芯片所获得的利润不少于700元的概率．（Ⅱ）记ξ为生产4件芯片所得的总利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望．20．（12分）已知m＞1，直线l：x﹣my﹣=0，椭圆C：+y2=1，F1、F2分别为椭圆C 的左、右焦点．（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=2（x﹣2）e x﹣ax2+2ax+3﹣b（Ⅰ）若f（x）在x=0处的法线（经过切点且垂直于切线的直线）的方程为x+2y+4=0，求实数a，b的值；（Ⅱ）若x=1是f（x）的极小值点，求实数a的取值范围．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）已知直线l的参数方程为．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求直线l与圆C的普通方程；（Ⅱ）若直线l分圆C所得的弧长之比为3：1，求实数a的值．【参考答案】一、选择题1．C【解析】集合A={x|y=lg（x2+4x﹣12）}={x|x2+4x﹣12＞0}={x|x＜﹣6或x＞2}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜4}=（2，4）．故选：C．2．D【解析】由z+z i=3+2i，得=，则复数z在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第四象限．故选：D．3．C【解析】a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，∴a1+a2+…+a7==7a4=28故选C4．D【解析】在A中，中奖概率为，在B中，中奖概率为，在C中，中奖概率为，在D中，中奖概率为．∴中奖机会大的游戏盘是D．故选：D．5．D【解析】抛物线的焦点为F（，0），准线方程为x=﹣．∵点M到焦点F的距离等于2p，∴M到准线x=﹣的距离等于2p．∴x M=，代入抛物线方程解得y M=±p．∴k MF==．故选：D．6．D【解析】如图，由题意可得：AB=6，弧田面积S=（弦×矢+矢2）=（6×矢+矢2）=平方米．解得矢=1，或矢=﹣7（舍），设半径为r，圆心到弧田弦的距离为d，则，解得d=4，r=5，∴cos∠AOD==，∴cos∠AOB=2cos2∠AOD﹣1=﹣1=．故选：D．7．C【解析】∵f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），∴向右平移个单位而得到g（x）=2sin[2（x﹣）﹣]=﹣2cos2x，∴令2x=kπ，k∈Z，可解得x=，k∈Z，k=1时，可得x=，故选：C．8．B【解析】∵当x＞0时，f（x）=（2x﹣1）ln x，∴f′（x）=2ln x+2﹣，∴f′（1）=1∵函数f（x）是偶函数，∴f′（﹣1）=﹣1，∴曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线斜率为﹣1，故选：B．9．A【解析】令，，，如图所示：则，又，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，易知点C与O、D共线时达到最值，最大值为+1，最小值为﹣1，所以的取值范围为[﹣1，+1]．故选A．10．A【解析】∵函数，若f（f（a））=2f（a），则f（a）≥1，当a＜1时，由3a﹣1≥1得：≤a＜1，当a≥1时，2a≥1恒成立，综上可得：，故选：A．11．D【解析】对于①，函数y=sin x，其导函数是y=cos x，为偶函数，①正确；对于②，“若x=y，则x2=y2”是真命题，则它的逆否命题也为真命题，②正确；对于③，“x≥2”时，不等式“x2﹣x﹣2≥0”成立，即充分性成立；“x2﹣x﹣2≥0”时，x≤﹣1或x≥2，必要性不成立；∴是充分不必要条件，③错误；对于④，命题p：“∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0”，命题p的否定为：“∀x∈R，x2﹣x+1≥0”，④正确．综上，正确命题的序号是①②④，共3个．故选：D．12．A【解析】对于①，三棱锥A﹣D1BC的体积与P点位置无关，∴三棱锥A﹣D1BC的体积不变，故①正确；对于②，以D1为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系，设正方体边长为1，则=（1，1，﹣1）为平面ACD1的法向量，而=（0，1，0），=（﹣1，1，﹣1），∴cos＜，＞==，cos＜，＞==，∴AB，AC1与平面ACD1所成的角不相等，即当P在直线BC1上运动时，AP与平面ACD1所成的角会发生变化，故②错误；对于③，当P位置变化时，平面P AD1的位置不发生变化，故二面角P﹣AD1﹣C的大小不变，故③正确；对于④，空间中到点D和C1的距离相等的点的轨迹是线段DC1的中垂面A1D1CB，而中垂面A1D1CB与平面A1B1C1D1的交线为直线A1D1，故④正确．故选：A．二．填空题13．﹣4【解析】作表示的平面区域如下，z=x﹣2y可化为y=﹣，故当过点（0，2）时，﹣有最大值，z=x﹣2y有最小值﹣4；故答案为：﹣4．14．【解析】设与的夹角为θ，∵向量，满足||=||=2，且）=﹣6，∴）=•﹣=||•||•cosθ﹣||2=4cosθ﹣4=﹣6，∴cosθ=﹣，∵0≤θ≤π，∴θ=π，故答案为：15．【解析】在区间[0，1]上随机地取两个数x、y，构成区域的面积为1；事件“y≤x5”发生，区域的面积为==，∴事件“y≤x5”发生的概率为．故答案为．16．【解析】如图所示，M是AC的中点，则x+=p，∴x=p，∴AB=p，∴CD=MB=p，∵三角形CDF的面积为，∴，∴，故答案为：．三、解答题17．解：（1）由题意得解得，∴a n=4n+2；（2），∴，∴．18．（Ⅰ）证明：连接AC1，BC1，在梯形A1C1CA中，AC=2A1C1，∵AC1∩A1C=D，，∴，又，∴DE∥BC1，∵BC1⊂平面BCC1B1，DE⊄平面BCC1B1，∴DE∥平面BCC1B1 ；（Ⅱ）解：侧面A1C1CA是梯形，∵A1A⊥A1C1，∴AA1⊥AC，又A1A⊥AB，∴∠BAC为二面角C1﹣AA1﹣B的平面角，则∠BAC=，∴△ABC，△A1B1C1均为正三角形，在平面ABC内，过点A作AC的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设AA1=1，则A1B1=A1C1=2，AC=AC=4，故点A1（0，0，1），C（0，4，0），．设平面A1B1BA的法向量为，则有，取，得；设平面C1B1BC的法向量为，则有，取，得．∴，故平面A1B1BA与平面C1B1BC所成的锐二面角的余弦值为．19．解：（Ⅰ）由题意芯片为合格品的概率则利润不少于700元的情况为两件正品，一件次品或三件正品所以（Ⅱ）ξ的所有取值为1600，1150，700，250，﹣200，，，，，，所以20．（Ⅰ）解：因为直线l：x﹣my﹣=0，经过F2（，0），所以=，得m2=2，又因为m＞1，所以m=，故直线l的方程为x﹣y﹣1=0．（Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．由，消去x得2y2+my+﹣1=0则由△=m2﹣8（﹣1）=﹣m2+8＞0，知m2＜8，且有y1+y2=﹣，y1y2=﹣．由于F1（﹣c，0），F2（c，0），故O为F1F2的中点，由，=2，可知G（，），H（，），|GH|2=+，设M是GH的中点，则M（，），由题意可知2|MO|＜|GH|，即4[（）2+（）2]＜+，即x1x2+y1y2＜0，而x1x2+y1y2=（my1+）（my2+）+y1y2=（m2+1）（），所以（）＜0，即m2＜4，又因为m＞1且△＞0，所以1＜m＜2．所以m的取值范围是（1，2）．21．解：（Ⅰ）f'（x）=2（x﹣1）e x﹣2ax+2a；由题意可知：f'（0）=2；f'（0）=﹣2+2a=2⇒a=2；易得切点坐标为（0，﹣2），则有f（0）=﹣2⇒b=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：f'（x）=2（x﹣1）e x﹣2ax+2a=2（x﹣1）（e x﹣a）；（1）当a≤0时，e x﹣a＞0⇒f'（x）=0⇒x=1，x∈（﹣∞，1）⇒f'（x）＜0；x∈（1，+∞）⇒f'（x）＞0；x=1是f（x）的极小值点，∴a≤0适合题意；（2）当0＜a＜e时，f'（x）=0⇒x1=1或x2=ln a，且ln a＜1；x∈（﹣∞，ln a）⇒f'（x）＞0；x∈（ln a，1）⇒f'（x）＜0；x∈（1，+∞）⇒f'（x）＞0；x=1是f（x）的极小值点，∴0＜a＜e适合题意；（2）当a≥e时，f'（x）=0⇒x1=1或x2=ln a，且ln a≥1；x∈（﹣∞，1）⇒f'（x）＞0；x∈（1，ln a）⇒f'（x）＜0；x∈（ln a，+∞）⇒f'（x）＞0；x=1是f（x）的极大值点，∴a≥e不适合题意；综上，实数a的取值范围为a＜e.22．解：（Ⅰ）由题意知：ρ=4cosθ⇒ρ2=4ρcosθ⇒x2﹣4x+y2=0，；（Ⅱ）x2﹣4x+y2=0⇒（x﹣2）2+y2=4；直线l分圆C所得的弧长之比为3：1⇒弦长为或a=4．。
【解析版】广东省高三全真模拟数学理考试试题
广东省高考数学全真模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2011•惠州模拟）已知集合A={（x，y）|x+y=0，x，y∈R}；B=[（x，y）|x﹣y=0，解：联立两集合中的方程得：，2．（5分）的值是（）解：因为===3．（5分）（2011•惠州模拟）已知向量，，若向量，⇔，，4．（5分）已知a＞0，且a≠1，（）=5．（5分）（2011•惠州模拟）已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中：①若α∥β，l⊂α，则l∥β②若α∥β，l⊥α，则l⊥β6．（5分）（2013•河东区二模）给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）时，总共经过了28．（5分）（2011•惠州模拟）规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b=ab+a+b2（a，b为正实数），二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）9．（5分）在约束条件下，函数S=2x+y的最大值为2．有约束条件）时使得目标函数在可行域内10．（5分）如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为π．故答案为：11．（5分）（2012•普陀区一模）的展开式中的常数项是﹣20．（用数字作答）12．（5分）（2011•惠州模拟）一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下表：（其*则样本在区间[10，50 ）上的频率0.7．，计算频数即得．=13．（5分）已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=2a n+1（n∈N*），则a4=23，该数列的通项公式a n=3•2n﹣1．14．（5分）（2012•汕头二模）（几何证明选讲选做题）四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN切⊙O于A，∠MAB=25•，则∠D=115°．，15．（坐标系与参数方程选做题）以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是ρ=2cos（θ﹣1）．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，已知，且最长边的边长为l，求：（1）角C的大小；（2）△ABC最短边的长．=，∴，解得．17．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+5，在函数f（x）图象上一点P（1，f（1））处切线的斜率为3．（1）若函数y=f（x）在x=﹣2时有极值，求f（x）的解析式；（2）若函数y=f（x）在区间[﹣2，1]上单调递增，求b的取值范围．时，18．（14分）一个暗箱里放着6个黑球、4个白球．（1）依次取出3个球，不放回，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率；（2）有放回地依次取出3个球，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率；（3）有放回地依次取出3个球，求取到白球个数ξ的分布列和期望．根据独立重复事件的定义知：×=）．，×19．（14分）（2012•孝感一模）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点．（1）求证：PA⊥EF；（2）求二面角D﹣FG﹣E的余弦值．=，得=∴，得=，＞、20．（14分）（2008•广州一模）已知函数f（x）=e x﹣x（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若n∈N*，证明：．令则∴令（．∵，21．（14分）（2012•湖南模拟）已知抛物线L：x2=2py（p＞0）和点M（2，2），若抛物线L 上存在不同的两点A、B满足．（1）求实数p的取值范围；（2）当p=2时，抛物线L上是否存在异于A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．先利用上存在点，∴解得．处切线的斜率为．。
广州市花都区第二中学高三毕业考试高考模拟数学(理)试题一
广州市花都区第二中学高三毕业考试高考模拟数学（理）试题一(强化前三题)2008.5考生注意：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题（本大题8小题，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）1．复数ii z -+=1)2(2（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若集合}4{“"2"},4,2{},,1{2====B A m B m A 是则”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．令1)1(++n n x a 为的展开式中含1-n x 项的系数，则数列}1{n a 的前n 项和为 （ ）A ．2)3(+n n B ．2)1(+n n C ．1+n n D ．12+n n4．已知三条不重合的直线m 、n 、l 两个不重合的平面βα,，有下列命题 ①若αα//,,//m n n m 则⊂； ②若βαβα//,//,则且m l m l ⊥⊥； ③若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂； ④若αββαβα⊥⊥⊂=⊥n m n n m 则,,,, ； 其中正确的命题个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 5．由曲线x y =2和直线x =1围成图形的面积是（ ）A ．3B ．23C ．34 D ．32 6．同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线3π=x 对称；③在]3,6[ππ-上是增 函数”的一个函数是（ ）A ．)62sin(π+=x y B ．)32cos(π+=x yC ．)62sin(π-=x yD ．)62cos(π-=x yB 7．如图，非零向量==⊥==λλ则若为垂足且,,,,C OA BC （ ）A 2||a B ||||b a C 2||b D ba ⋅8．已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b ya x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 （ ）A ．（1，+∞）B ．（1，2）C ．（1，1+2）D ．（2，1+2）二、填空题：（本大题共7小题，共30分，把答案填写在题横线上）.（1）必答题（共4小题，每小题5分，共20分）。
届高中高关于三广州一模理科数学试题及参考包括答案
2021年广州市一般高中毕业班综合测试〔一〕理科数学一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的．1．设会集M{x|0x1,x R},N{x|x2,xR}，那么〔〕A．MINM B．MINN C．MUNM D．MUNR2．假设复数z满足方程z220，那么z3〔〕A．22B．22C．22i D．22i3．假设直线kx y10与圆x2y22x4y10有公共点，那么实数k的取值范围是〔〕A．[3,)B．(,3]C．(0,)D．(,)4．p:x12，q:2x 3，那么p是q的〔〕A．充分不用要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不用要条件5．设函数f(x)2cos1x3，假设对任意x R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)建立，那么x1x2的最小2值为〔〕A．B．C．2D．4 21AA1,CQ 1CC1，6．直三棱柱ABC A1B1C1的体积为V，假设P,Q分别在AA1,CC1上，且AP33那么四棱锥B APQC的体积为〔〕A．1V B．2V1D．7V C．V6939 A1C1B1P QA CB7．为了让居民认识垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念众望所归．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由 10位同学组成四个宣传小组，其中可回收 物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有 3位同学．现从这 10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，那么每个宣传小组最少选派1人的概率为〔 〕5B ．934A ．C ．D ．1414778．直线l:yx2与x 轴的交点为抛物线 C:y 22px(p0)的焦点，直线l 与抛物线C 交于A,B两点，那么AB 的中点到抛物线 C 的准线的距离为〔 〕A ．8B ．6C ．5D ．49．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 11,a 2 a 54，假设S n ≥4a n8(nN)，那么n 的最小值3为〔 〕A ．8B ．9C ．10D ．1110．点P(x 0,y 0)是曲线C:y x 3 x 2 1上的点，曲线C 在点P 处的切线方程与直线y8x11平行，那么〔 〕 A ．x 02B ．x 04344 C ．x 0D ．x 02或x 02或x 03311．O 为坐标原点，设双曲线x 2y 20,b 0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，点P 是双曲C:221(aab线C 上位于第一象限上的点，过点 F 2作 F 1PF 2的均分线的垂线，垂足为 A ，假设bF 1F 22OA ，那么双曲线C 的离心率为〔〕5B ．45D ．2A ．3C ．4312．函数f(x)x 2 x1,x0 ，假设F(x) f(x)sin(2021 x) 1在区间[1,1]上有m 个零x2x 1, x ≥0点x 1,x 2,x 3,L,x m ，那么f(x 1) f(x 2) f(x 3)Lf(x m )〔〕A ．4042B ．4041C ．4040D ．4039二、填空题：此题共4小题，每题 5分，共 20分．把答案填在题中的横线上．13．如图，若是一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为 1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为 ，表面积为 ．14．在ax 1(x 2 1)5的张开式中，x3的系数是15，那么实数a ．xuruur ur uurur uur的夹角为5，那么实数k的值为15．单位向量e1与e2 的夹角为，假设向量e1 2e2 与2e1 ke23 6．16．记数列{a n}的前n项和为S n，anan1 cosnsinn(nN)，且mS2021 1009，n 2 21 9a1m0，那么的最小值为．a1 m三、解答题：共70分．解同意写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必定作答．第22、23 题为选考题，考生依照要求作答．〔一〕必考题：共60分．17．〔本小题总分值12分〕△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．c 3，且满足absinC．3〔1〕求角C的大小；asinA bsinBcsinC〔2〕求b2a的最大值．18．〔本小题总分值12分〕随着马拉松运动在全国各地逐渐流行，参加马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计检查，其中一项为哪一项检查人员从参加马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每个月参加马拉松运动训练的天数进行统计，获取以下统计表：平均每个月进行训练的天数x x≤5 5x20 x≥20人数15 60 25 〔1〕以这100人平均每个月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参加马拉松训练的人平均每个月进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参加马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每个月进行训练的天数很多于20天〞的概率；〔2〕依照统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，Y 表示抽取的是“平均每个月进行训练的天数很多于20天〞的人数，求Y的分布列及数学希望E(Y)．19．〔本小题总分值12分〕如图1，在边长为2的等边△ABC中，D, E分别为边AC, AB的中点．将△AED沿DE折起，使得ABAD，AC AE，获取如图2的四棱锥ABCDE，连接BD，CE，且BD与CE交于点H．〔1〕求证：AH 平面BCDE；〔2〕求二面角B AED的余弦值．AAE D E DHB C B图2 C图120．〔本小题总分值 12分〕eM 过点A( 3,0) ，且与eN:(x3)2 y 2 16内切，设eM 的圆心M 的轨迹为曲线C ．〔1〕求曲线C 的方程；〔〕设直线l 不经过点 B(2,0)且与曲线 C 订交于P,Q 两点．假设直线 PB 与直线QB 的斜率之积为1 2，2判断直线l 可否过定点，假设过定点，求出此定点坐标；假设但是定点，请说明原由．21．〔本小题总分值 12分〕函数f(x)(x4)e x3x 26x,g(x)a 1 x1lnx ．3 〔1〕求函数f(x)在(0,)上的单调区间；〔2〕用max{m,n}表示 m,n 中的最大值， f(x)为f(x)的导函数．设函数h(x)max{f(x),g(x)}，假设h(x)≥0在区间(0, )上恒建立，求实数 a 的取值范围；〔3〕证明：11 1 L1 1 ln3 (n N)． nn1n 23n13n〔二〕选考题：共 10分．请考生在第 22、23题中任选一题作答．若是多做，那么按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】〔本小题总分值 10分〕xOy 中，曲线x 3 t 在平面直角坐标系C 1的参数方程为1 〔t 为参数〕，曲线C 2的参数方程为y2t3x,3cos〔为参数且〕．223tan1〕求曲线C 1和C 2的一般方程；〔2〕假设A,B 分别为曲线C 1,C 2上的动点，求AB 的最小值．23．【选修4—5：不等式选讲】〔本小题总分值10 分〕 函数f(x)3x6 xa,aR ．〔1〕当a1 时，解不等式 f(x)3；〔2〕假设不等式f(x)11 4x 对任意x4,3建立，求实数 a 的取值范围．22021年广州市一般高中毕业班综合测试〔一〕 理科数学参照答案 1．答案：A 剖析：M{x|0x1,xR },N{x|x2,x}{x|2x2,x R },MN ，RMIN M ．2．答案：D剖析：z 2 2 0, z 22,z2i,z 3(2i)32 2i ．3．答案：D剖析：圆的标准方程为(x 1)2 (y 2)2 4，圆心为C(1,2)，半径r 2，直线kx y 1 0过定点P(0,1)，因为CP2r ，因此直线与圆恒有公共点，因此实数k 的取值范围是(, )．4．答案：B剖析：由x 12，得x 1 2或x1 2，解得x 3或x 1，因为{x|2 x 3} {x|x3或x 1}，因此p 是q 的必要不充分条件．5．答案：C剖析：由题可知 x 1是函数f(x)的最小值点， x 2是函数f(x)的最大值点．因此x 1x 2的最小值为函数f(x)半个周期，T4,1T2．2A 1 C 16．答案：B剖析：设底面正三角形的边长为a ，直三棱柱的高为h ，那么V3a 2h ， B 14PQ因此V BAPQC11ah3a 3a2h2V ．AC33 21897．答案：CB剖析：从10 位同学中采用 5人，共有C 105252种不同样的选法，假设每个宣传小组最少选派 1人，那么共有2C 22C 21C 31C 31 2C 21C 21C 32C 3136 72 108种不同样的选法，那么所求概率为108 3 ．252 78．答案：A剖析：依题可知抛物线的焦点坐标为F(2,0)，因此p 4，将yx2代入y 28x ，得x 212x40，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，AB 中点M(x 0,y 0)，那么x 1x 212，x 0x 1x 26，2那么点M 到准线x 2的距离为6(2)8．9．答案：C{a n }的公差为d ，那么a 2 a 5 2a 125d4，解得d2剖析：设等差数列 5d3 ．3因此a na 1 (n 1)d 12(n1)2n 1 ，S nn(a 1a n ) 1 n2，由S n ≥4a n 8，化简得：3 3 32 3n 2 8n 20≥0 ，(n 2)(n10)≥0，n ≥10，即n 的最小值为10．10．答案：B剖析：令y3x 2 2x8，得3x 22x8，(3x4)(x2) 0 ，解得x4 或x2，43当x2 时，y5，此时M(2,5)在直线y8x 11上，故舍去，因此 ．x311．答案：CP剖析：延长F 2A 交PF 1于点B ，因为PA 是F 1PF 2的均分线且PA F 2B ，B可得PBPF ，且ABAF ，A22因此OA 是△F 1BF 2的中位线， F 1O F 2因此OA11 PF 1PB1 PF 1PF 2a ，BF 1222又由b F 1F 22OA ，可得b 2c 2a ，因此b 2 (2c 2a)2，c 2 a 2 4c 2 4a 28ac ，因此3c 28ac 5a 2 0 ，3e 28e 5 0 ，(3e 5)(e1) 0，e5 ．312．答案：B剖析：f(x)xxx 1，因此F(x) f(x) sin(2021 x)1xx x sin(2021x)为奇函数，m0，显然F( 1)F(0) F(1)0，当0≤x ≤1时，由F(x) x 2因此x i x sin(2021x)0，i 1得x 2x sin(2021 x)，在同一坐标系中作出 y x 2 x (0 x ≤1)和ysin(2021x)(0x ≤1)的图象，ysin(2021 x) 的最小正周期 T1，1010在每个区间 0,1 , 1 ,2 ,LL 1009,1010 内各有2 个零点， 因此两函数在区间(0,1]内10101010 1010 1010 1010共有2021 个交点，即F(x)在(0,1]内共有2021 个零点，由对称性， F(x)在[1,0)内也有2021 个零点，又F(0)0，因此m4041，因此f(x 1)4041f(x2) f(x3)L f(x m) (xx x1) 4041．i113．答案： 3 ，3 〔第1个空2分，第二个空3分〕3剖析：该几何体是一个圆锥，其底面半径r 1，高h3，母线长l2，体积V1 r 2h 3 ，表面积S r 2rl3．3314．答案：5剖析： ax 1 (x21)5 ax(x 2 1)5 1(x2 1)5，xx而(x 21)5的张开式中含 x 2的项为C 54x 2( 1)4 5x 2 ，含x 4 的项为C 53(x 2)2(1)3 10x 4 ，因此 ax 1 (x21)5的张开式中， x 3的系数是5a 1015，解得a5．x15．答案：10u ruur13r uruur(2, ruruu r k3 k ， 剖析：不如取e 1(1,0),e 2,，设ae2e3)，b2e 1ke 22,221222r r3r rab4 kk32k 219k10 0，那么cosa,brr2，两边平方，并整理得a bk23k 22722 4(k10)(2k1)0，解得k10或k 1 5 k 0，因此k10 ．，又因为42216．答案：16剖析：当n2时，得a 2a 31, a 2 a 32；当n 4时，得a 4a 5 1,a 4 a 5 4，2 4a 2 a 3 a 4 a 5 2，同理可得a 6a 7 a 8 a9 a10 a 11 a 12 a13 La2021 a 2021a 2021 a 20212 ，又a 21, a 20a22021，a20 21 02121 0212021因此S2021 a1 (a2 a3 a4 a5) (a6 a7 a8 a9) L (a2021a2021)a1 504 2 2021 a1 1010，由m S2021 1009，得a1m 1，因此19 1 9 (a1 m) 10 m9a1≥10 2 m9a1 16．a1 ma1 m a1 m a1 m17．解：〔1〕依照正弦定理a b c，得abc3．sinAsinB sinC b 2 c 2a 2因为c3，因此ab a 2 b 2c 2【或aba 2 b 2 3】．由余弦定理，得cosCa 2b 2c21【或cosCa 2b 23 1】，因为0 C ，因此C ．2ab22ab 23〔2〕由与〔1〕知c3，C．由正弦定理abc3， sinA sinBsinC23sin3得a2sinA ，b2sinB2sin2A ．3因此b2a2A 4sinA 5sinA3cosA 2 7sin(A)，2sin3〔其中tan3〕．因为 02 ，0，因此 0A5，02 A．5366因此A时，b 2a2 7sin(A)获取最大值2 7．因此b 2a 的最大值为27．218．解：〔1〕设从该市参加马拉松运动训练的人中随机抽取一个人，抽到的人恰好是“平均每个月进行训练 的天数很多于 20天〞记为事件为A ，那么P(A)25 1．100 4设抽到的人是“平均每个月进行训练的天数很多于20天〞的人数为，那么:B14，．4因此恰好抽到 2 个人是“平均每个月进行训练的天数很多于20天〞的概率为2 2P2C 42 3127．4 4128〔2〕用分层抽样的方法从100个马拉松训练者中抽取 12个，那么其中“平均每个月进行训练的天数很多于20天〞有3个．现从这12人中抽取 3个，那么“平均每个月进行训练的天数很多于 20天〞的数量Y 遵从超几何分布， Y 的所有可能的取值为0，1，2，3．那么 P(Y0)C 30C 93 21 ，P(Y1) C 13C 9227 ，C 12355C 12355P(Y2)C 32C 19273)C 33C 901．C 123，P(Y C 322022012因此Y 的分布列以下：Y12 3P21 2727 15555220220因此EY0211272 2731165=3 ． 5555220220 220 419．〔1〕证明1：在图1中，因为△ABC 为等边三角形，且 D 为边AC 的中点，因此BDAC ．在△BCD 中，BD CD ，BC 2，CD 1，因此BD3．因为D,E 分别为边AC,AB 的中点，因此ED//BC ．在图2中，有DHED 1 ，因此DH1BD3 ．HBBC 233因为ABAD ，因此△ABD 为直角三角形．因为AD1，BD3，因此cosADBAD 3BD．3在△ADH 中，由余弦定理得AH 2 AD 2 DH 22AD DH cosADB1 12 1 33 2 ，因此AH 6 ．3 3 3 3 3在△ADH 中，因为AH 2DH 2 2 1 1 AD 2，因此AHBD ．同理可证AHCE ．3 3因为CEIBD H ，CE平面BCDE ，BD平面BCDE ，因此AH 平面BCDE ．证明2：在图1中，因为△ABC 为等边三角形，且 D 为边AC 的中点，因此BDAC ．在△BCD 中，BDCD ，BC 2，CD1，因此BD 3．因为D,E 分别为边AC,AB 的中点，因此ED//BC ．在图2中，有DHED1 ，因此DH 1BD3 ．在Rt △BAD 中，BD 3，AD1，HBBC233在△BAD 和△AHD 中，因为DBDA3，BDAADH ，因此△BAD ∽△AHD ．DADH因此AHD BAD90 ．因此AH BD ．同理可证AH CE ．因为CEIBD H ，CE平面BCDE ，BD平面BCDE ，因此AH 平面BCDE ．〔2〕解法1：以E 为原点， EB 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴，平行于AH 的直线为z 轴，建立以以下图的空间直角坐标系E xyz ，那么B(1,0,0),C(0,3,0), A0,3, 6 ，33zAE Duuu r3 6 uuu ruuu r1uuur13．EA0,,, EB(1,0,0),EDBC,,0332 2 2ur设平面ABE 的法向量为m(x 1,y 1,z 1)， uruuur3 6ur那么mEA3 y 13 z 10 ，取m(0,2,1)．uruuurmEB x 1r uuur36rnEAy 2z 2设平面ADE 的法向量为(x 2,y 2,z 2)，那么33r(6,2,1)．n，取nr uuur1x 23y 2nEDur r22urr33mn因此cosm,n ur r33 ．m n3由图可知，二面角B AE D 的平面角是钝角，故二面角BAED 的余弦值为3 ．3解法2：在四棱锥ABCDE 中，分别取AE ，AB 的中点M ，N ，连接DM ，MN ，ND ．因为△ADE 为等边三角形，因此 DM AE ， 因为BE EC ，BE AH ，CEIAH H ， 且CE,AH 平面AEC ，因此BE平面AEC ．因为AE平面AEC ，因此BEAE ．AMNED因为点M ，N 分别为边AE ，AB 的中点，H因此NM//BE ．因此NMAE ．B C 因此DMN 为所求二面角的平面角．在等边三角形ADE 中，因为AD1，因此DM3 ．在△ABE 中，MN1EB1 ．222在Rt △ABD 中，AD1，BD3，因此AB2．因此DNAN 2 AD 21 1 6 ．223 2 1 2 26在△DMN 中，由余弦定理得cos 22 23． DMN31232 2因此二面角BAED的余弦值为3．320．〔1〕解：设eM 的半径为R ，因为eM 过点A(3,0)RMA，且与eN 相切，因此，即MN4RMN MA 4．因为NA 4 ，因此点M 的轨迹是以N ，A 为焦点的椭圆．设椭圆的方程为 x 2 y 21(a b 0)，那么2a4，且ca 2b 23，a 2b 2因此a2，b1．因此曲线C 的方程为x 2y 2 1 ．4〔2〕解法 1：依题意，直线BP,BQ 的斜率均存在且不为 0，设直线BP 的斜率为k(k 0)，那么直线BPyk(x 2)2222的方程为yk(x2)．由x 2，得(14k )x16k x16k 40，y 214解之得x 12，x 28k 2 2 ．因此点P8k 2 24k1 4k 2的坐标为1 4k 2,4k 2．1因为直线BQ 的斜率为1，因此可得点Q 的坐标为2 2k 2 ,2k ．2k1 k2 1 k 2当k2kPQ =3k时，直线l 的斜率为．22(1 2k 2)因此直线l 的方程为y2k3kx2 2k 2，k 22(11 k 212k 2)整理得y2(1 3k 2x 1 k 2．即y2(1 3k 2x 2 ．2k ) 2k2k ) 3此时直线l 过定点2,0 ．当k2 时，直线l 的方程为x 2 ，显然过定点 2,0 ．323 3综上所述，直线l 过定点2,0 ．3解法2：当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为：xx 1．设点P(x 1,y 1)，那么点Q(x 1, y 1)，依题意x 12，因为y 1 y 1x2y 1 241，因此y 12x 1 2 4x 14．k BP k BQx 2 x 2 4x 2 21 1 1 1因为x12 y12 1，且x1 2，解得x1 2 ．此时直线l的方程为x 2 ．4 3 3当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：ykx m ．y kx m,由x 2得(4k 21)x 28km x4(m 2 1) 0．y 214需要满足(8km)216(4k 21)(m 2 1) 0，即m 24k 2 1．设点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，那么有x 1x 28km，x 1x 24(m 2 1)．4k 214k 2 1因为y 1kx1m ，y 2kx 2m ，因此y 1y 2(kx 1 m)(kx 2 m) m 2 4k 2 ．4k 2 1因为k BP k BQy 1y 2y 1y 21 ，因此x 1x 22x 1x 2 42y 1y 2．x 1 2x 22x 1x 2 2(x 1 x 2)424(m 2 1)16km42(m 24k 2)28km20．因此m2k 或m2k ．即4k 214k24k 21，即3m4k13当m 2 k 时，满足m24k 2 1，直线l 的方程为yk x2 ，恒过定点 2 ,0 ．33 3 当m2k 时，满足m 24k 2 1，直线l 的方程为y k(x2)，恒过定点(2,0) ，不合题意．显然直线x 2 2，也过定点,033综上所述，直线l 过定点2,0 ．321．〔1〕解：因为f(x) (x4)e x3 x 2 6x ，因此f(x) (x 3)e x3 2x6(x3)(e x32)．当0x3时，f(x) 0，f(x)单调递减；当x3时，f(x)0，f(x)单调递加，因此函数 f(x)的单调递减区间为 (0,3)，单调递加区间为(3, )．〔2〕解：由〔 1〕可知，当x[3, )时，f(x)≥0．因此要使h(x)≥0在区间(0, )上恒建立，只要g(x)≥0 在区间(0,3)上恒建马上可．因为g(x)≥0 a 1x 1 lnx≥0．3以下给出四种求解思路：思路1：因为x0 ，因此 a 1 x 1 lnx ≥0在区间0,3上恒建立，3转变成a ≥1lnx 1 在区间 0,3 上恒建立．x 3令m(x)1 lnx 1 lnxx ，那么m(x) x 2．3因为当x (0,1)时，m(x) 0，当x(1,3)时，m(x)0．因此m(x)在(0,1)上单调递加，在 (1,3) 上单调递减．因此m(x)≤m(1)4 ．因此a ≥4．因此实数a 的取值范围为4, ．3 3 3思路2：因为g(x)a1 x 1 lnx ，那么g(x)a1 1(3a1)x 3(0x3)．33 x3x①假设a ≤10在 (0,3) 上恒建立，因此 g(x)在(0,3)上单调递减， ，那么g(x)3因此g(x)g(3)a 1 3 1ln3，由g(3)≥0，解得a ≥2ln3．33此时实数a 不合题意．②假设1a ≤ 2 ，那么g(x)≤0 在(0,3) 上恒建立，因此 g(x)在(0,3) 上单调递减，3 3因此g(x)g(3)a 1 3 1ln3，由g(3)≥0，解得a ≥2ln3．33此时实数a 不合题意．③假设a 2 x3时，g(x)3 x3时，g(x) 0．，那么当0 3a 0，当313a1因此函数g(x)在0, 3 上单调递减，在 3 ,3 上单调递加．1 3a3a 1因此g(x)≥g3ln 3 ，由3 ≥0，解得a ≥ 43a 11 ln．3a3a 13 此时实数a 满足a ≥4．3综上所述，实数 a 的取值范围为 4．,3思路3：因为g(x)a1 x 1 lnx ，那么g(x)a1 1．33 x因为g(x) a 1 x 1 lnx≥0在(0,3) 上恒建立，那么g(1) a 1 1≥0，即a≥4 ．3 3 3因为g(x) a 1 1 在(0,3) 上单调递加，3 x因为g 1 10 ，【或x 0时，g(x) 】g(3) a20．a 3 3因此存在x0 (0,3) ，使得g(x0) a 1 1 0．3 x0当x(0,x0)时，g(x0) 0，当x (x0,3)时，g(x0) 0．因此函数g(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,3)上单调递加．因此g(x)≥g(x0) a 1x0 1lnx0 lna 1．3 3要使g(x) a 1 x 1 lnx≥0在(0,3) 上恒建立，只要ln a 1 ≥0，解得a≥4．3 3 3 因此实数a的取值范围为4, ．3思路4：因为x 0，因此 a 1x 1 lnx≥0在区间(0,3)上恒建立，3转变成 a 1x≥1 lnx在区间(0,3) 上恒建立．3令s(x) 1 lnx，那么s(x) 10，x (0,3)．x因此s(x)在(0,3)上单调递加．而y a 1s(x) 1 lnx相切于点(x0,y0)，x是经过原点的直线，设过原点的直线与3那么切线方程为y y0 1 (x x0)，因为y y0 1(xx0)过原点，因此y01．x0 x0因为y0 1 lnx0，因此x0 1．即切点为(1,1)．因此经过原点且与s(x) 1 lnx相切的直线方程为y x．因此足a1 x ≥1lnx 的条件是a1≥1，解得a ≥4．333因此数a 的取范4,．3〔3〕明1：由〔4 ，有lnx ≤x1．即ln(x1)≤x ．2〕可知，当a31ln 1 1 lnn1，n nn同理11 ln n2， 1 ln n 3，⋯，1ln 3n1．n n 1 n 2 n 23n3n因此1n 1 n 1 L 1 1 1ln 3n1ln31ln3．n 1 23n 3nnn因此1n 1 n 1 L1 1 1 ln3．n 1 23n 3n明2：要11 1 L1 1 1 ln3，n n 1n23n 3n1 1 1 L1 11 1 11 1即e nn 1 n 2 3n 13n3，即e n en1en 2 L e 3n 1 e 3n 3．先明e x 1 x(x 0)，事上，p(x)=e x1x ，p(x)=e x 1，当x0 ，p(x)=e x1 0，因此p(x)在(0,)上增．因此p(x)p(0) 0，因此e x1 x(x0)．11 11 11+11+11 1+1因此e n e n1e n2Le3n1e3nL1+nn13n13nn1n2L3n 1 3n13n1 3．nn13n 3n n因此1n 1 n 1 L1 1 1 ln3．n 1 2 3n 3n22．解：〔1〕因曲C 1的参数方程x 3 ty 1 〔t 参数〕，消去参数t ，得2xy50．2t因此曲C 1的方程2x y 5 0．x 3 ,cos 〔参数〕，因曲C2的参数方程y 3tan那么由x3，得cos3，代入y3tan 得siny，消去参数，得x 2y 2 3．cosxx因为,2 ，因此x 0．因此曲线C 2的方程为x 2y 2 3(x0)．2〔2〕因为点A ，B 分别为曲线C 1，C 2上的动点，设直线 2x y b 0与曲线C 2相切，2x y b0，消去y 得3x 24bx b 2 3 0．因此(4b)243 (b 23) 0，解得b3．由y3x 2 2因为x0 ，因此b3．因为直线2xy 5 0与2x y3 0间的距离为：3 (5)85．因此AB 的最小值85．d1)222 ( 5523．〔1〕解：因为a 1，因此f(x) 3x2 x 1．当x ≤1时，由f(x) 7 4x 3，解得x 1，此时x．当1x2时，f(x) 5 2x 3 ，解得x 1，此时1 x2．当x ≥2时，f(x)4x 7 3 ，解得x552 ，此时2≤x．2综上可知，1x5 5．．因此不等式的解集为 1,22〔2〕解法 1：由f(x)11 4x ，得 3x 2 x a 11 4x ，因为x4, 3 ，因此x a 5 x ．问题转变成 x a5 x 对任意的x4,3恒建立，22因此x5xa5x 【或(xa)2(5 x)2】．因此2x5a5．因为当x4,3时，(2x5)ma x8．因此实数a 的取值范围为(8,5)．2解法2：由f(x) 11 4x，得3x 2 x a 11 4x，因为x 4, 3 ，因此|x a| 5 x．2问题转变成x a 5 x对任意的x 4, 3 恒建立，分别作出函数y x 5与函数y x a的图2像，以以下图，要使x a 5 x对任意的x 4, 3恒建立，那么当x 4, 3 时，函数y x 5的2 2图像在函数yx a 的图像的上方． 因此当x4,3时，需要满足ax5x 且xa5x ．2因为当x 4, 3 时，2x5m a x8．2因此实数a 的取值范围为8,5．。
广东省广州市圆玄中学2022年高二数学理下学期期末试卷含解析
广东省广州市圆玄中学2022年高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 集合则（）参考答案：D2. 抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或6点出现时，就说试验成功，则在30次独立重复试验中成功的次数X的数学期望是A．B． C．10 D．20参考答案：B3. 若直线l1：x+ay+6=0与l2：（a﹣2）x+3y+2a=0平行，则l1与l2间的距离为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】两条平行直线间的距离；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】先由两直线平行可求a得值，再根据两平行线间的距离公式，求出距离d即可．【解答】解：由l1∥l2得： =≠，解得：a=﹣1，∴l1与l2间的距离d==，故选：B．【点评】本题主要考查了两直线平行A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0的条件A1B2﹣A2B1=0的应用，及两平行线间的距离公式d=的应用．4. 已知双曲线的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为（）A.－2B.C.1D.0参考答案：A5. 如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为( )A. B. C.D.参考答案：A6. 在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，a=8，B=60°，C=75°，则b=（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】HP：正弦定理．【分析】由B与C的度数求出A的度数，再由sinB，sinA，以及a的值，利用正弦定理即可求出b的值．【解答】解：∵△ABC中，a=8，B=60°，C=75°，即A=45°，∴由正弦定理=得：b===4，故选：A．7. 直线的倾斜角为（）A. B. C. D.参考答案：D8. 直线恒过定点，且点在直线（）上，则的最小值为A． B． C．D．参考答案：B略9. 在ABC中，三边a，b,c与面积S的关系式为，则角C为( )A．30 B 45 C．60 D．90参考答案：B略10. 下列有关命题的说法中错误的是（）A．若为假命题，则、均为假命题.B．“”是“”的充分不必要条件.C．命题“若则”的逆否命题为：“若则”.D．对于命题使得＜0，则，使.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若椭圆过点（1,2），则以a,b为两直角边的直角三角形斜边长的最小值为▲ .参考答案：312. 已知椭圆，点为右顶点，点为上顶点，坐标原点到直线的距离为（其中为半焦距），则椭圆的离心率为▲．参考答案：13. 已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，,则球O的表面积等于 .参考答案：14. 已知定义在R上的函数f（x）满足f′（x）﹣f（x）=（1﹣2x）e﹣x，且f（0）=0则下列命题正确的是．（写出所有正确命题的序号）①f（x）有极大值，没有极小值；②设曲线f（x）上存在不同两点A，B处的切线斜率均为k，则k的取值范围是；③对任意x1，x2∈（2，+∞），都有恒成立；④当a≠b时，方程f（a）=f（b）有且仅有两对不同的实数解（a，b）满足e a，e b均为整数．参考答案：①②③④【考点】命题的真假判断与应用；利用导数研究函数的极值．【分析】由已知中函数f（x）满足f′（x）﹣f（x）=（1﹣2x）e﹣x，可得f（x）=xe﹣x，f′（x）=（1﹣x）e﹣x，逐一分析四个命题的真假，可得答案．【解答】解：①∵f′（x）﹣f（x）=（1﹣2x）e﹣x，∴f（x）=xe﹣x，f′（x）=（1﹣x）e﹣x，令f′（x）＞0，解得：x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，∴函数f（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减，∴函数f（x）的极大值是f（1），没有极小值；故①正确；②∵k=f′（x）=（1﹣x）e﹣x，∴f″（x）=e﹣x（x﹣2），令f″（x）＞0，解得：x＞2，令f″（x）＜0，解得：x＜2，∴f′（x）在（﹣∞，2）递减，在（2，+∞）递增，∴f′（x）最小值=f′（x）极小值=f′（2）=﹣，而x→∞时，f′（x）→0，∴k的取值范围是；故②正确；③结合①②函数f（x）在（2，+∞）上是凹函数，∴恒成立，故③正确；④当a≠b时，方程f（a）=f（b），不妨令a＜b，则a∈（0，1），则e a∈（1，e），又有e a为整数．故e a=e b=2，同理a＞b时，也存在一对实数（a，b）使e a=e b=2，故有两对不同的实数解（a，b）满足e a，e b均为整数．故④正确；故答案为：①②③④15. 已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数图象()A. 关于直线x＝对称B. 关于点(，0)对称C. 关于点(，0)对称D. 关于直线x＝对称参考答案：B16. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则（a，b）=________.参考答案：（4,-11）17. 函数y＝log a(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为________．参考答案：8三、解答题：本大题共5小题，共72分。
广东省广州市2020年高考数学(理科)模拟试卷(4月份)答案解析版
高考数学模拟试卷還号—•二三总分得分一. 选择题（本大题共12小题.共60.0分）1.已知？为虚数单位，复数：r=o +如（.a, bER ）,若zr=l+/,则o+b 的值为（）A.B. 1C.2D.-22. 已知集合 /l-{xk 2-2x-3<0}, ^={x[v-^x^2）,则加3 为（）A. （2, 3]B. [2, 3]C.（・1, 3）D. [-2, 3]3.已知等差数列{/}的前刀项和为S,且血+/=0・$产33,则公差d 的值为（）A. 1B.2C. 3D. 44. 2018年.某地认真贯彻落实中央I •九大将神和各项宏观调控政策，经济运行平稳 增长，民生保障持续加强，患民富民成效显著，城镇居民收入稳步增长，收入结构 稳中趋优.挥当地统计局公布的数据，现将8月份至12月份当地的人均月收入増 长率如图（一）与人均月收入绘制成如图（二〉所示的不完整的条形统计图.现给 出如下信息：ne)©10月份人均月收入增长率为2%：② II 月份人均月收入约为1442 7C: 其中正确的倍息个数为（）A. 1B.2C. 3D.45.如图所示的儿何图形中，ABCD 为菱形，为EF 的中点，ECYFT 、 BE=DF=4, BELEF. DFLEF 、现在儿何图形中任取一点.则该点取『I RZCE 的概率为（ ）A. § B 爲人旳月枚人计PH11增长*%人均刃收入技96. 已知橢岡O ： £參1（a>逅）的左、右焦点分别为F,, % 过左焦点尺的直线/ 与楠闕的一个交点为M ・右焦点E 关于直线/的对称点为P ・若ZiFiMP 为正三角 形，且其面积为运，则该椭関的离心率为（ ）A.当B.零C. |D.零如图所示的MBC 中•点D.E 分别在边AB.CD 上，A43,JC=2>乙BACN4°・B»2AD・ CE=2ED ・则向址貼•片旷（ 10. 已知换数/（X ）=sin （uiv+tp ） （<o>0t OVcpVir ）的一条对称轴与相邻的一个对称中心的距离为扌.将其向右平移专后得到函数g （x ）的图彖，若南数g （X ）的图彖 在区间[苧，町上单调递增.则（P 的取值范围为（）A. 6 貝B. G ，害] c. G ，y] D ・G ，対11. 已知双曲线茫二（«>0, 6>0）的左、右焦点分别为片点P 为左支上任意一点，直线/是双曲线的一条渐近线，点P 在直线/上的射影为0・且当\PF^PQ\ 取鼓小值5时.S"]QF2的鼠大值为（ ）A. -QB.手C.善D. 1012. 已知必弓，空0・函数/（x ） =^ax+b,设|f （x ） |的最大值为M,且对任意的实数G 占恒有成立，则实数K 的用大值为（）A. 4B. 2C. 2D. 了二、填空题（本大题共4小题.共20.0分）13. 已知sin （a+x ） 士，则鴛^的值为 _______A. c<b<aB. a<h<cC ・ c<a<b9.若某儿何体被一平面所截后剩下儿何体的三视图如图 所示则剩F 几何体的体积为（）A. 10B. 15C. 20D. 258.设定义在R 上的偶函数/ （x ）满足/（x ）=/ （4-x ） •且当xe[0, 2]时，/（x ） =x-^+l ,若”#（2018） • T （2019）・ 河（2020）,则g b 9 c 的大小关系为（ ）14. 现有一圆桌，周边有标号为1，2, 3, 4的四个座位，屮、乙，丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课題.每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻, 则所有选座方法 ___________ 种.(用数字作答)x-2y + 2<0 __________________15. 若变Sx, y满足2：：窝2寻°o・则&$ + y? + 4x + 2y + 4的取值范围为____________ .16. 历史上数列的发展，折射出许多行价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例・引入“兔子数列”：即1, 1, 2, 3, 5・ 8, 13, 21, 34・ 55, 89, 144, 233, •••・即F (D-F (2)=1 ,F (n) =F (n-1) +F (n-2)(疋3, ”卅).此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域何着广泛的应用，若此数列披4整除后的余数构成一个新的数列｛九｝, 又记数列｛°｝満足6=〃［, c汙c H=b H~b^i (n>3. ,则 6+"+。
广州市2020年3月高三数学(理)模拟卷附答案解析
6
3． sin 80 cos 50 cos140 sin10 （ ）
A． 3 2
B． 3 2
C． 1 2
D． 1 2
【答案】D
【解析】利用10 90 80,140 90 50 ，根据诱导公式进行化简，可得 sin 80 cos 50 cos 80 sin 50 ，
然后利用两角差的正弦定理，可得结果. 【详解】
赛的概率为（
A． 1 9
）
B．
2 9
C． 1 3
D． 4 9
10．已知
F1 ， F2 是双曲线 C
:
x2 a2
y2
1
a0
的两个焦点，过点 F1 且垂直于 x 轴的直线与 C 相交于 A ，
B 两点，若 AB 2 ，则△ ABF2 的内切圆的半径为（ ）
A． 2 3
B． 3 3
C． 2 2 3
D． 2 3 3
（2）若从这 80 个零件中尺寸位于62.5, 64.5 之外的零件中随机抽取 4 个，设 X 表示尺寸在64.5, 65 上的
零件个数，求 X 的分布列及数学期望 EX ；
（3）已知尺寸在 63.0, 64.5 上的零件为一等品，否则为二等品，将这 80 个零件尺寸的样本频率视为概率. 现
对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱100 个. 企业在交付买家之前需要决策是否对每箱的所有零件 进行检验，已知每个零件的检验费用为 99 元. 若检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有 二等品进入买家手中，企业要向买家对每个二等品支付 500 元的赔偿费用. 现对一箱零件随机抽检了11个，结 果有1个二等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱余下的所有零件
广东省广州市花都区2022届高三9月调研测试数学理试题 Word版含答案
（A） （B） （C） （D）
9．巳知双曲线 的离心率为 ，则 的渐近线方程为：
（A） （B） （C） （D）
10．执行下面的程序框图，若输出的值为 ，
设在点 处的切线方程为 ，
由 得 ．……7分
由 ，得 ，
整理得 ．
将 ， 代入上式并整理得： ，解得 ，……8分
所以切线方程为 ．
令 得，点 纵坐标为 ．……9分
设 ，则 ，
所以 ．
所以 ．……10分
将 代入上式，得 ，
解得 ，即 ．……12分
21.（1）函数 在点（1，1- ）处与 轴相切．
，……1分
17．（12分）已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
18．（12分）2022年5月，北京市提出地铁分段计价的相关意见，针对“你能接受的最高票价是多少?”这个问题，在某地铁站口随机对 人进行调查，调查数据的频率分布直方图及被调查者中 岁以下的人数与统计结果如下：
（ⅱ）若 ，
可得 在 上单调递增．
由于 ， ，
所以存在 ，使得 ，
且当 时， ，所以 即 在 上单调递减，
又由于 ，所以当 时， ，
从而 在 上单调递减，……10分
而 ，所以当 时， ，即 不成立．
综上所述， 的取值范围是 ．……12分
22.
（1） （ 为参数）的直角坐标方程是： ，……2分
的直角坐标方程： ，
，解得 ，
所以 的最大值 ．
广东省广州市花山中学2021年高三数学理模拟试题含解析
广东省广州市花山中学2021年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知分别是双曲线：（＞0，）的左、右焦点，是虚轴的端点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若,则的离心率是（）A. B. C.D.参考答案：B略2. 已知集合A={a，4}，B={2，a2}，且A∩B={4}，则A∪B=（）A．{2，4} B．{﹣2，4} C．{﹣2，2，4} D．{﹣4，2，4}参考答案：C【考点】并集及其运算．【分析】由A与B交集的元素为4，得到4属于A且属于B，得到a2=4，求出a的值，确定出A与B，即可确定出两集合的并集．【解答】解：∵集合A={a，4}，B={2，a2}，且A∩B={4}，∴a2=4，解得：a=2或a=﹣2，当a=2时，A={2，4}，B={2，4}，不合题意，舍去；当a=﹣2时，A={﹣2，4}，B={2，4}，则A∪B={﹣2，2，4}．故选：C3. 若、为锐角△的两内角，则点是…( )(A)第一象限的点 (B)第二象限的点 (C)第三象限的点 (D)第四象限的点参考答案：D4. 函数y=e cosx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】判断函数的奇偶性，然后利用复合函数的单调性判断即可．【解答】解：函数f（x）=e cosx（x∈[﹣π，π]）∴f（﹣x）=e cos（﹣x）=e cosx=f（x），函数是偶函数，排除B、D选项．令t=cosx，则t=cosx当0≤x≤π时递减，而y=e t单调递增，由复合函数的单调性知函数y=e cosx在（0，π）递减，所以C选项符合，故选：C．【点评】本题考查函数的图象的判断，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．5. 已知函数，则不等式的解集为（）A．(－∞,2]B．C．[0,2] D．(－∞,0]∪[1,2]参考答案：D当时，，即为，解得；当时，，即为，解得，综上可得，原不等式的解集为，故选D．6. 已知全集且则等于( )（A）（B）（C）（D）参考答案：B略7. 已知函数的零点所在的区间是A. B. C. D.参考答案：C8. 已知集合，则( )A．B．C．D．参考答案：A9. 从10名大学生村官中选3个人担任乡长助理，则甲、丙至少有1人人选，而乙没有人选的不同选法的种数位为A． 85 B． 56 C． 49 D． 28参考答案：C10. 设点是曲线上的动点，且满足，则的取值范围为（）A. B. C. D. 参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知x，y满足约束条件，且z=2x+4y的最小值为6，则常数k=．参考答案：﹣3【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程斜截式，由图得到可行域内的最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数后由z的值等于6求得k的值．【解答】解：由约束条件作可行域如图，图中以k=0为例，可行域为△ABC及其内部区域，当k＜0，边界AC下移，当k＞0时，边界AC上移，均为△ABC及其内部区域．由z=2x+4y，得直线方程，由图可知，当直线过可行域内的点A时，z最小．联立，得A（3，﹣k﹣3）．∴z min=2×3+4（﹣k﹣3）=﹣4k﹣6=6，解得k=﹣3．故答案为：﹣3．12. 已知，，则．参考答案：13. 函数 (为自然对数的底数)在区间上的最大值是 .参考答案：14. 下列几个命题： ①方程有一个正实根，一个负实根，则；②函数是偶函数，但不是奇函数；③设函数定义域为R ，则函数与的图象关于轴对称；④一条曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是．其中正确的有______________.参考答案：①④15. 设函数,若函数有6个不同的零点,则实数a 的取值范围是.参考答案：16. 在球面上有四个点、、、.如果、、两两互相垂直，且,那么这个球的表面积是___ ___.参考答案：17. 已知等差数列的通项公式为，等比数列中，，记集合，把集合中的元素按从小到大依次排列，构成数列，则数列的前50项和参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
广东省广州市圆玄中学高二数学理模拟试题含解析
广东省广州市圆玄中学高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若A﹣B+C=0，则直线Ax+By+C=0必经过（）A．（0，1）B．（1，0）C．（1，﹣1）D．（﹣1，﹣1）．参考答案：C【考点】恒过定点的直线．【分析】由A﹣B+C=0，可知直线Ax+By+C=0中，x=1，y=﹣1时，Ax+By+C=0恒成立，进而得到直线所过定点坐标．【解答】解：∵A﹣B+C=0即直线Ax+By+C=0中，x=1，y=﹣1时Ax+By+C=0恒成立故直线Ax+By+C=0必经过（1，﹣1）点故选C【点评】本题考查的知识点是直线恒过定点问题，其中分析已知条件与直线方程的特征，找到已知与未知的联系是解答的关键．2. 已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，则x的值为（）A．B．C．D．0参考答案：A【考点】空间点、线、面的位置．【专题】计算题．【分析】利用四点共面的充要条件：若则x+y+z=1，列出方程求出x．【解答】解：∵又点M在平面ABC内，∴解得x=故选A．【点评】本题考查四点共面的充要条件：P∈平面ABC，若则x+y+z=1，属基础题．3. 下列说法正确的是（）A、类比推理、归纳推理、演绎推理都是合情推理B、合情推理得到的结论一定是正确的C、合情推理得到的结论不一定正确D、归纳推理得到的结论一定是正确的参考答案：C【考点】合情推理的含义与作用【解析】【解答】解：合情推理包含归纳推理和类推理，所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．其得出的结论不一定正确，故选：C【分析】根据演绎推理和合情推理的定义判断即可．4. 函数的递增区间是( )A.B.和C.D.和参考答案：C5. 将4个大小相同，颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（）种．A. 7B. 10C. 14D. 20参考答案：B【分析】由题意，可得1号盒子至少放一个，最多放2个小球，分两种情况讨论，分别求出不同的放球方法数目，相加可得答案．【详解】根据题意，每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分析可得，1号盒子至少放一个，最多放2个小球，分情况讨论：①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有C41＝4种方法；②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有C42＝6种方法；则不同的放球方法有4+6=10种，故选：B．【点睛】本题主要考查两个基本原理的应用和组合数的应用，属于基础题．6. 将两个数a＝8，b＝17交换，使a＝17，b＝8，下面语句正确一组是( )参考答案：B7. 已知tan(α＋β)=，tan(α＋)=, 那么tan(β－)的值是（）A． B． C．D．参考答案：B略8. 在棱长为的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去个三棱锥后，剩下的几何体的体积是A． B．C． D．参考答案：D9. 下列四个命题：①若xy=0则x=0且y=0的逆否命题；②“正方形是矩形”的否命题；③“若ac2>bc2则a>b”的逆命题；④若m>2则不等式x2-2x+m>0的解集为R. 其中真命题的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3参考答案：B10. 函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.参考答案：B考点：函数零点存在性定理二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设α，β为两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；②若n?α，m?β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直；③若α⊥β，α∩β＝m，m⊥n，则n⊥β；④若m∥n，n⊥α，α∥β，则m⊥β.其中真命题的序号是▲．参考答案：④12. 在平面直角坐标系中，若圆上存在，两点关于点成中心对称，则直线的方程为 .参考答案：x＋y—3=013. 已知幂函数f(x)的图象过点，则函数f(16)的值为．参考答案：设幂函数为：因为幂函数f(x)的图象过点，故，所以f(x)= ，所以f(16) = ,故答案为14. 用反证法证明命题“若，则或”时,应假设参考答案：15. 已知直线1：x＋y＋6＝0和2：(－2)x＋3y＋2＝0，则1∥2的充要条件是＝；参考答案：-116. 已知，那么cos2θ的值为．参考答案：【考点】二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系．【分析】通过已知表达式的平方，求出sinθ，利用二倍角的余弦函数，求出结果即可．【解答】解：∵，∴，∴sinθ=，cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2×=．故答案为：．17. 已知圆O的半径为定长r，是圆O外一定点，P是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相较于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线一支 D.抛物线参考答案：C略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
广东省广州市花都区圆玄中学2022学年高一数学下学期5月月考模拟押题新人教A版
广州市花都区圆玄中学2022-2022学年高一下学期5月月考试题（根据卷面整洁和书写的规范程度可获得0～5分的加分喔）注意：本次考试不能使用计算器。
一、选择题（每小题3分，共36分）1．在ABC △中，已知4,6a b ==，60B =，则的值为A、 B、 C、 D、2已知{a n }是等差数列，且a 2 a 5 a 8 a 11=48，则a 6 a 7=A ．12B ．16C ．20D ．24 3已知是等比数列，41252==a a ，，则公比= ．21-B ． ．2 D ．214．在ABC ∆中，6=a ， 30=B ， 120=C ，则ABC ∆的面积是A ．B ．C ．D ．3186115925.,3n n a s a s ==已知等差数列{a }的前n 项的和为S 若则A ．2 ：3B ．22 ：27C ．8 ：27D ．11 ：96已知等比数列的公比13q =-，则13572468a a a a a a a a ++++++等于 A 13- B C 13 D 7．一个三角形的三边之比为6:7:9，那么这三角形是A 、钝角三角形B 、锐角三角形C 、直角三角形D 、三内角之比为6:7:98、等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和是.170 C9设a n =10-n ，则数列{a n }前多少项和最大A ．第10项B ．第9项C ． 第9项或10项D ．第11项10 在小于100的正整数中能被8除余1的所有数之和为A ．634B ．635C ．637D ．63611、在ABC △中，()()()a c a c b b c +-=+，则A 、B 、C 、D 、12不解三角形，下列判断正确的是（ ）A,14b =,30A =,有两解 B 30a =,25b =,150A =,有一解C,,45A =,有两解 D,10c =,60B =,无解二、填空题（每小题3分，共24分）13、在ABC △中，角A,B,C 成等差数列，则B=____________14 在ABC ∆中,8,60,75a B C ︒︒===,则___________ 2cos sin s ,,in ________A B C ABC ABC ∆=∆15.在中已知则为三角形.211047{}n ⋅=16.在等比数列a 中,已知a 和a 是方程3x +2x-6=0的两根,则a a_______17.ABC AB 3∆=在中，，BC AC ＝４，则边AC 上的高为_______ 18等差数列中，10120s =，那么a 1 a 10 =11101119.{}2,2n n n a a a a a +==+=在数列中，若，则___________ 11111,2,3,,,2482nn ++++三，解答题（ 本大题共四小题，每小题10分，共40分） 222222222sin sin 122(cos cos cos )sin ABC a b A B a b c bc A ca B ab C c C∆++=++=++21.在中，求证：（）；()22（10分）已知数列的前项和248n S n n =-。
花都高考数学试卷
一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，若f(x)的图像关于x=1对称，则f(3)的值为（）A. 1B. 3C. 5D. 72. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5 = 25，S9 = 81，则数列的公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 已知复数z = a + bi（a，b∈R），若|z| = 1，则下列不等式成立的是（）A. a^2 + b^2 > 1B. a^2 + b^2 = 1C. a^2 + b^2 < 1D. a^2 + b^2 ≥ 14. 已知函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|，若f(x) ≥ 0，则x的取值范围为（）A. x ≤ -1B. -1 ≤ x ≤ 2C. x ≥ 2D. x ≤ -1 或x ≥ 25. 已知向量a = (1, 2)，b = (2, 3)，则向量a·b的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 86. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3 = 6，S6 = 54，则数列的公比q为（）A. 1/2B. 1/3C. 2D. 37. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，若f(x)在x=1处取得极小值，则f(1)的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 28. 已知向量a = (1, 2)，b = (2, 3)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（）A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 3/49. 已知函数f(x) = (x - 1)^2 + 1，若f(x)在x=2处取得极值，则极值为（）A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4 = 10，S7 = 28，则数列的首项a1为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每小题5分，共50分）11. 已知函数f(x) = (x - 1)^2，若f(x)在x=2处取得极值，则极值为______。
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广东省广州市花都区圆玄中学高考数学模拟试卷（理科）（1）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合A={x|y=lg（x2+4x﹣12）}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B等于（）A．（﹣3，﹣2）B．（﹣3，2）C．（2，4） D．（﹣2，4）2．（5分）若复数z满足z+zi=3+2i，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．354．（5分）有四个游戏盒，将它们水平放稳后，在上面扔一粒玻璃珠，若玻璃珠落在阴影部分，则可中奖，则中奖机会大的游戏盘是（）A．B．C．D．5．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为（）A．B．C．±1 D．6．（5分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，是“算经十书”中最重要的一种，是当时世界上最简练有效的应用数字，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．其中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积=（弦×矢+矢×矢），弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弧）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弦长AB等于6米，其弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则cos∠AOB=（）A．B．C．D．7．（5分）函数g（x）的图象是函数f（x）=sin2x﹣cos2x的图象向右平移个单位而得到的，则函数g（x）的图象的对称轴可以为（）A．直线x=B．直线x=C．直线x=D．直线x=8．（5分）已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=（2x﹣1）lnx，则曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线斜率为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．29．（5分）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A． B． C．D．10．（5分）设函数则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（）A．B．C．0≤a＜1 D．a≥1二、多选题：（本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，至少有一项是符合题目要求的，请把所有的项找出来，并填写在括号内.填少或填多均不得分．）11．（5分）下列命题中真命题的个数是（）①函数y=sinx，其导函数是偶函数；②“若x=y，则x2=y2”的逆否命题为真命题；③“x≥2”是“x2﹣x﹣2≥0”成立的充要条件；④命题p：“∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0”，则命题p的否定为：“∀x∈R，x2﹣x+1≥0”．A．0 B．1 C．2 D．312．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），已知点P在直线BC1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A﹣D1BC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；③二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线A1D1．其中正确命题的编号是（）A．①③④B．①②C．①③D．①④三．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为．14．（5分）已知向量，满足||=||=2，且）=﹣6，则与的夹角为．15．（5分）在区间[0，1]上随机地取两个数x、y，则事件“y≤x5”发生的概率为．16．（5分）设抛物线y2=2px（p＞0）焦点为F，准线为l，过焦点的直线分别交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足C，D．若|AF|=2|BF|，且三角形CDF的面积为，则p的值为．四、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.17．（12分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的前n项和为S n，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列的前n项和为T n，求证：T n＜．18．（12分）如图，三棱台ABC﹣A1B1C1中，侧面A1B1BA与侧面A1C1CA是全等的梯形，若A1A⊥AB，A1A⊥A1C1，且AB=2A1B1=4A1A．（Ⅰ）若，，证明：DE∥平面BCC1B1；（Ⅱ）若二面角C1﹣AA1﹣B为，求平面A1B1BA与平面C1B1BC所成的锐二面角的余弦值．19．（12分）某科技公司生产一种手机加密芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于70为合格品，小于70为次品．现随机抽取这种芯片共120件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]芯片数量（件）82245378已知生产一件芯片，若是合格品可盈利400元，若是次品则亏损50元．（Ⅰ）试估计生产一件芯片为合格品的概率；并求生产3件芯片所获得的利润不少于700元的概率．（Ⅱ）记ξ为生产4件芯片所得的总利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望．20．（12分）已知m＞1，直线l：x﹣my﹣=0，椭圆C：+y2=1，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点．（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=2（x﹣2）e x﹣ax2+2ax+3﹣b（Ⅰ）若f（x）在x=0处的法线（经过切点且垂直于切线的直线）的方程为x+2y+4=0，求实数a，b的值；（Ⅱ）若x=1是f（x）的极小值点，求实数a的取值范围．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）已知直线l的参数方程为．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求直线l与圆C的普通方程；（Ⅱ）若直线l分圆C所得的弧长之比为3：1，求实数a的值．2018年广东省广州市花都区圆玄中学高考数学模拟试卷（理科）（1）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合A={x|y=lg（x2+4x﹣12）}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B等于（）A．（﹣3，﹣2）B．（﹣3，2）C．（2，4） D．（﹣2，4）【解答】解：集合A={x|y=lg（x2+4x﹣12）}={x|x2+4x﹣12＞0}={x|x＜﹣6或x＞2}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜4}=（2，4）．故选：C．2．（5分）若复数z满足z+zi=3+2i，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由z+zi=3+2i，得=，则复数z在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第四象限．故选：D．3．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．35【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，∴a1+a2+…+a7==7a4=28故选C4．（5分）有四个游戏盒，将它们水平放稳后，在上面扔一粒玻璃珠，若玻璃珠落在阴影部分，则可中奖，则中奖机会大的游戏盘是（）A．B．C．D．【解答】解：在A中，中奖概率为，在B中，中奖概率为，在C中，中奖概率为，在D中，中奖概率为．∴中奖机会大的游戏盘是D．故选：D．5．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为（）A．B．C．±1 D．【解答】解：抛物线的焦点为F（，0），准线方程为x=﹣．∵点M到焦点F的距离等于2p，∴M到准线x=﹣的距离等于2p．∴x M=，代入抛物线方程解得y M=±p．∴k MF==．故选：D．6．（5分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，是“算经十书”中最重要的一种，是当时世界上最简练有效的应用数字，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．其中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积=（弦×矢+矢×矢），弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弧）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弦长AB等于6米，其弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则cos∠AOB=（）A．B．C．D．【解答】解：如图，由题意可得：AB=6，弧田面积S=（弦×矢+矢2）=（6×矢+矢2）=平方米．解得矢=1，或矢=﹣7（舍），设半径为r，圆心到弧田弦的距离为d，则，解得d=4，r=5，∴cos∠AOD==，∴cos∠AOB=2cos2∠AOD﹣1=﹣1=．故选：D．7．（5分）函数g（x）的图象是函数f（x）=sin2x﹣cos2x的图象向右平移个单位而得到的，则函数g（x）的图象的对称轴可以为（）A．直线x=B．直线x=C．直线x=D．直线x=【解答】解：∵f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），∴向右平移个单位而得到g（x）=2sin[2（x﹣）﹣]=﹣2cos2x，∴令2x=kπ，k∈Z，可解得x=，k∈Z，k=1时，可得x=，故选：C．8．（5分）已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=（2x﹣1）lnx，则曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线斜率为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=（2x﹣1）lnx，∴f′（x）=2lnx+2﹣，∴f′（1）=1∵函数f（x）是偶函数，∴f′（﹣1）=﹣1，∴曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线斜率为﹣1，故选：B．9．（5分）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A． B． C．D．【解答】解：令，，，如图所示：则，又，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，易知点C与O、D共线时达到最值，最大值为+1，最小值为﹣1，所以的取值范围为[﹣1，+1]．故选A．10．（5分）设函数则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（）A．B．C．0≤a＜1 D．a≥1【解答】解：∵函数，若f（f（a））=2f（a），则f（a）≥1，当a＜1时，由3a﹣1≥1得：≤a＜1，当a≥1时，2a≥1恒成立，综上可得：，故选：A．二、多选题：（本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，至少有一项是符合题目要求的，请把所有的项找出来，并填写在括号内.填少或填多均不得分．）11．（5分）下列命题中真命题的个数是（）①函数y=sinx，其导函数是偶函数；②“若x=y，则x2=y2”的逆否命题为真命题；③“x≥2”是“x2﹣x﹣2≥0”成立的充要条件；④命题p：“∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0”，则命题p的否定为：“∀x∈R，x2﹣x+1≥0”．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：对于①，函数y=sinx，其导函数是y=cosx，为偶函数，①正确；对于②，“若x=y，则x2=y2”是真命题，则它的逆否命题也为真命题，②正确；对于③，“x≥2”时，不等式“x2﹣x﹣2≥0”成立，即充分性成立；“x2﹣x﹣2≥0”时，x≤﹣1或x≥2，必要性不成立；∴是充分不必要条件，③错误；对于④，命题p：“∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0”，命题p的否定为：“∀x∈R，x2﹣x+1≥0”，④正确．综上，正确命题的序号是①②④，共3个．故选：D．12．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），已知点P在直线BC1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A﹣D1BC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；③二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线A1D1．其中正确命题的编号是（）A．①③④B．①②C．①③D．①④【解答】解：对于①，三棱锥A﹣D1BC的体积与P点位置无关，∴三棱锥A﹣D1BC 的体积不变，故①正确；对于②，以D1为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系，设正方体边长为1，则=（1，1，﹣1）为平面ACD1的法向量，而=（0，1，0），=（﹣1，1，﹣1），∴cos＜，＞==，cos＜，＞==，∴AB，AC1与平面ACD1所成的角不相等，即当P在直线BC1上运动时，AP与平面ACD1所成的角会发生变化，故②错误；对于③，当P位置变化时，平面PAD1的位置不发生变化，故二面角P﹣AD1﹣C的大小不变，故③正确；对于④，空间中到点D和C1的距离相等的点的轨迹是线段DC1的中垂面A1D1CB，而中垂面A1D1CB与平面A1B1C1D1的交线为直线A1D1，故④正确．故选：A．三．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为﹣4．【解答】解：作表示的平面区域如下，z=x﹣2y可化为y=﹣，故当过点（0，2）时，﹣有最大值，z=x﹣2y有最小值﹣4；故答案为：﹣4．14．（5分）已知向量，满足||=||=2，且）=﹣6，则与的夹角为．【解答】解：设与的夹角为θ，∵向量，满足||=||=2，且）=﹣6，∴）=•﹣=||•||•cosθ﹣||2=4cosθ﹣4=﹣6，∴cosθ=﹣，∵0≤θ≤π，∴θ=π，故答案为：15．（5分）在区间[0，1]上随机地取两个数x、y，则事件“y≤x5”发生的概率为．【解答】解：在区间[0，1]上随机地取两个数x、y，构成区域的面积为1；事件“y≤x5”发生，区域的面积为==，∴事件“y≤x5”发生的概率为．故答案为．16．（5分）设抛物线y2=2px（p＞0）焦点为F，准线为l，过焦点的直线分别交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足C，D．若|AF|=2|BF|，且三角形CDF的面积为，则p的值为．【解答】解：如图所示，M是AC的中点，则x+=p，∴x=p，∴AB=p，∴CD=MB=p，∵三角形CDF的面积为，∴，∴，故答案为：．四、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.17．（12分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的前n项和为S n，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列的前n项和为T n，求证：T n＜．【解答】解：（1）由题意得解得，∴a n=4n+2；（2），∴，∴．18．（12分）如图，三棱台ABC﹣A1B1C1中，侧面A1B1BA与侧面A1C1CA是全等的梯形，若A1A⊥AB，A1A⊥A1C1，且AB=2A1B1=4A1A．（Ⅰ）若，，证明：DE∥平面BCC1B1；（Ⅱ）若二面角C1﹣AA1﹣B为，求平面A1B1BA与平面C1B1BC所成的锐二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接AC1，BC1，在梯形A1C1CA中，AC=2A1C1，∵AC1∩A1C=D，，∴，又，∴DE∥BC1，∵BC1⊂平面BCC1B1，DE⊄平面BCC1B1，∴DE∥平面BCC1B1 ；（Ⅱ）解：侧面A1C1CA是梯形，∵A1A⊥A1C1，∴AA1⊥AC，又A1A⊥AB，∴∠BAC为二面角C1﹣AA1﹣B的平面角，则∠BAC=，∴△ABC，△A1B1C1均为正三角形，在平面ABC内，过点A作AC的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设AA1=1，则A1B1=A1C1=2，AC=AC=4，故点A 1（0，0，1），C（0，4，0），．设平面A1B1BA的法向量为，则有，取，得；设平面C1B1BC的法向量为，则有，取，得．∴，故平面A1B1BA与平面C1B1BC所成的锐二面角的余弦值为．19．（12分）某科技公司生产一种手机加密芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于70为合格品，小于70为次品．现随机抽取这种芯片共120件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]芯片数量（件）82245378已知生产一件芯片，若是合格品可盈利400元，若是次品则亏损50元．（Ⅰ）试估计生产一件芯片为合格品的概率；并求生产3件芯片所获得的利润不少于700元的概率．（Ⅱ）记ξ为生产4件芯片所得的总利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意芯片为合格品的概率…（2分）则利润不少于700元的情况为两件正品，一件次品或三件正品所以…（6分）（Ⅱ）ξ的所有取值为1600，1150，700，250，﹣200，，，，，，ξ16001150700250﹣200P…（10分）所以…（12分）20．（12分）已知m＞1，直线l：x﹣my﹣=0，椭圆C：+y2=1，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点．（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）解：因为直线l：x﹣my﹣=0，经过F2（，0），所以=，得m2=2，又因为m＞1，所以m=，故直线l的方程为x﹣y﹣1=0．（Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．由，消去x得2y2+my+﹣1=0则由△=m2﹣8（﹣1）=﹣m2+8＞0，知m2＜8，且有y1+y2=﹣，y1y2=﹣．由于F1（﹣c，0），F2（c，0），故O为F1F2的中点，由，=2，可知G（，），H（，）|GH|2=+设M是GH的中点，则M（，），由题意可知2|MO|＜|GH|即4[（）2+（）2]＜+即x1x2+y1y2＜0而x1x2+y1y2=（my1+）（my2+）+y1y2=（m2+1）（）所以（）＜0，即m2＜4又因为m＞1且△＞0所以1＜m＜2．所以m的取值范围是（1，2）．21．（12分）设函数f（x）=2（x﹣2）e x﹣ax2+2ax+3﹣b（Ⅰ）若f（x）在x=0处的法线（经过切点且垂直于切线的直线）的方程为x+2y+4=0，求实数a，b的值；（Ⅱ）若x=1是f（x）的极小值点，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=2（x﹣1）e x﹣2ax+2a；…（2分）；由题意可知：f'（0）=2；…（3分）；f'（0）=﹣2+2a=2⇒a=2；…（4分）；易得切点坐标为（0，﹣2），则有f（0）=﹣2⇒b=1；…（5分）；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：f'（x）=2（x﹣1）e x﹣2ax+2a=2（x﹣1）（e x﹣a）；…（6分）；（1）当a≤0时，e x﹣a＞0⇒f'（x）=0⇒x=1，x∈（﹣∞，1）⇒f'（x）＜0；x∈（1，+∞）⇒f'（x）＞0；x=1是f（x）的极小值点，∴a≤0适合题意；…（7分）；（2）当0＜a＜e时，f'（x）=0⇒x1=1或x2=lna，且lna＜1；x∈（﹣∞，lna）⇒f'（x）＞0；x∈（lna，1）⇒f'（x）＜0；x∈（1，+∞）⇒f'（x）＞0；x=1是f（x）的极小值点，∴0＜a＜e适合题意；…（9分）；（2）当a≥e时，f'（x）=0⇒x1=1或x2=lna，且lna≥1；x∈（﹣∞，1）⇒f'（x）＞0；x∈（1，lna）⇒f'（x）＜0；x∈（lna，+∞）⇒f'（x）＞0；x=1是f（x）的极大值点，∴a≥e不适合题意；…（11分）综上，实数a的取值范围为a＜e；…（12分）；【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）已知直线l的参数方程为．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求直线l与圆C的普通方程；（Ⅱ）若直线l分圆C所得的弧长之比为3：1，求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：ρ=4cosθ⇒ρ2=4ρcosθ⇒x2﹣4x+y2=0，；（Ⅱ）x2﹣4x+y2=0⇒（x﹣2）2+y2=4；直线l分圆C所得的弧长之比为3：1⇒弦长为，；或a=4．。