3.1 椭圆课件1 (北师大选修2-1)

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3.1 椭圆课件1 (北师大选修2-1)

小知识与《几何原本》齐名的《圆锥曲线论》
公元前三世纪产生了具有完整体系的欧几里得的《几何原本》。半个世纪以后，古希腊的另一位数学家阿波罗尼斯又著《圆锥曲线论》（8卷）—以其几乎将圆锥曲线的全部性质网罗殆尽而名垂史册。在解析几何之前的所有研究圆锥曲线的著作中，没有一本达到象《圆锥曲线论》那样对圆锥曲线研究得如此详尽的程度。解析几何是由费尔马和笛卡尔分别创立的。自从有了解析几何，圆锥曲线的研究才开辟了新的纪元。
自学教材P28－29页例3之前内容，思考解答下列问题（1）在椭圆标准方程中，x、y的取值范围分别是什么？你是怎样探得的？（2）请结合椭圆标准方程确定椭圆的对称性。（3）请结合图形说明什么是椭圆的顶点？ y 若该椭圆的标准方程是 B2（0，b）
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
A2（－a，0）
A1（a，0）
则它的顶点坐标分别是什么？（4）什么叫椭圆离心率？
o
B1（0，－b）（1）
x
思考：[1]离心率的取值范围是什么？
[2]离心率对椭圆形状有什么影响？ y 离心率对椭圆形状的影响： 1）e 越接近 1，c 就越接近 o x ( a )，从而 b就接近（ 0 ）,椭圆形状就越（扁）。 2）e 越接近 0，c 就越接近 ( 0 )，从而 b就越（ a ），椭圆就越圆（圆）。 3）当e =0时，a 与b有什么关系？此时椭圆变成什么 3）当e =0时，a =b，此时椭圆变成圆。形状？
a ,0
(
）,(0,
c,0)
b)
（
b ,0
）,(0,
(0,
c)
a)
长半轴长为a,短半轴长为b.
a,b,c关系

3.1 椭圆课件3 (北师大选修2-1)

探究交流二
LOGO
• 如何用几何图形解释？ a ,b, c 在椭圆中分别表示哪些线段的长？ • 当a为定值时，椭圆形状的变化与c有怎样的关系？
交流结果 1.勾股定理...... 2.a不变c变大椭圆越扁 a不变c变小椭圆越圆
课堂小结:
1.椭圆的定义:
平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于ΙF1F2Ι）的点的集合叫作椭圆，这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．
课前预习情况汇报(2)
完成问题３和问题４
这是大家在学习推导椭圆的方程时应该注意的2个问题 ①建立坐标系的问题. ②怎样消去方程总的根式.
求椭圆方程的步骤
建立坐标系
1 2 3
别忘了还有⑤呢？
设点
列式
4
化简
注意：①②③④只说明了椭圆上点的坐标满足方程，事实上我们还可以证明，方程的“每一组解所对应的点都在椭圆上”。
椭圆的标准方程焦点位置在X轴
Y
F1
LOGO
在Y轴
Y
图形
标准方程
F1
F2
X
F2
X
x2 y2 2 1 2 a b ( a b 0)
y2 x2 2 1 2 a b ( a b 0)
焦点坐标 F1(-c ,0 ),F2(c,0)
F1(0 ,c ),F2(0,-c)
2 2
a
探究结果
线段F1F2 • 设定义中的常数为 2a, 无轨迹 • 若ΙF1F2Ι = 2a,动点的轨迹是椭圆
• 若ΙF1F2Ι > 2a,动点试试：已知F1（-4,0），F2（4,0），到F 1，F2 • 若ΙF1F2Ι < 2a,动点的轨迹是两点的

高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程课件北师大版选修2_1

∴点
��2 ��2 A 的轨迹方程是 + =1(y ≠0). 25 16
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟找出点A的轨迹满足|AB|+|AC|=10>6后,知A的轨迹是椭圆,用定义法求出其方程,但要注意去掉不符合题意的点(5,0),(5,0).Βιβλιοθήκη 探究一探究二探究三
探究四
变式训练1过椭圆4x2+y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A,B 两点,F2是椭圆的另一个焦点,求△ABF2的周长. 解:根据题意画出图形如图所示, ∵A,B在椭圆4x2+y2=1上,a2=1, ∴2a=2. ∴|AF1|+|AF2|=2a=2, |BF1|+|BF2|=2a=2. ∴|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4, 即|AB|+|AF2|+|BF2|=4. ∴△ABF2的周长为4.
探究一
探究二
探究三
探究四
求椭圆的标准方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上任意一点P到两焦点的距离的和等于10;
(2)两个焦点的坐标分别为(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点 - , (3)经过两点(2,- √2), -1,
探究一
探究二
探究三
探究四
解:如图,建立平面直角坐标系,使x轴经过点B,C,原点O与BC的中点重合. 由已知|AB|+|AC|+|BC|=16,|BC|=6,有|AB|+|AC|=10>6,即点A的轨迹是椭圆,且2c=6,2a=16-6=10. ∴c=3,a=5,b2=52-32=16. 但当点A在直线BC上,即y=0时,A,B,C三点不能构成三角形,

3.1.1 椭圆及其标准方程课件(北师大选修2-1)

提示：相同．
返回
问题2：这种游戏设计的原理是什么？提示：椭圆的定义．椭圆上的点到两焦点距离之和为定值．问题3：在游戏中，选手所跑的路程能否等于两焦点间的距离？为什么？提示：不能．椭圆上的点到两焦点距离之和一定
大于两焦点间的距离．
返回
椭圆的定义
定义
焦点
平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数 (大于|F2|)的点的集合叫作椭圆两个定点 F1，F2叫作椭圆的焦点
返回
[例3]
(12分)已知圆B：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，C
为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P 的轨迹方程． [思路点拨] P为AC垂直平分线上的点，则|PA|＝|PC|，
而BC为圆的半径，从而4＝|PA|＋|PB|，可得点P轨迹为以A、
B为焦点的椭圆．
返回
[精解详析]如图所示，连接AP，∵l垂直平分AC， ∴|AP|＝|CP|. ∴|PB|＋|PA|＝|BP|＋|PC|＝4， ∴P点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆． ∵2a＝4,2c＝|AB|＝2， ∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3. x2 y2 ∴点P的轨迹方程为 4 ＋ 3 ＝1. (10分) (12分) (8分) (3分)
y2 x2 轴上时，方程为36＋35＝1.
答案：D 返回
2．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，求椭圆C的标准方程．
x2 y2 解：依题意，可设椭圆 C 的方程为a2＋b2＝1(a>b>0)，且可知左焦点为 F′(－2,0)．
c＝2，从而有 2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8， c＝2，解得 a＝4.
返回
4．平面内有一个动点M及两定点A，B.设p：|MA|＋|MB|为

高中数学 3.1第1课时椭圆及其标准方程课件北师大版选修2-1

① 解得①②得－3<a<－1 或 a>1.
当 a>1 时，③不成立．当－3<a<－1 时，得 a<－2. 综上可得：a 的取值范围是－3<a<－2.
最值问题
F1 是x92＋y52＝1 的左焦点，P 是椭圆上的动点，A(1,1) 为定点，则|PA|＋|PF1|的最小值为________________．
[解析] (1)∵椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为ax22 ＋by22＝1(a>b>0)．
∵2a＝ 5＋32＋0＋ 5－32＋0＝10,2c＝6. ∴a＝5，c＝3， ∴b2＝a2－c2＝52－32＝16. ∴所求椭圆的方程为：2x52 ＋1y62 ＝1.
(2)∵椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为：ay22＋bx22＝ 1(a>b>0)．
3．已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆x32＋y2＝1 上，顶点 A 是
椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC
的周长是( )
A．2 3
B．6
C．4 3
D．12
[答案] C
[解析] 设椭圆的另一个焦点为 F(如图)，
则 △ ABC 的周长为 (|AB| ＋ |BF|) ＋ (|CA| ＋ |CF|) ＝ 2a ＋ 2a ＝
∴－2c≤|PF1|－|PF2|≤2c， ∴2a－2c≤2|PF1|≤2a＋2c，即 a－c≤|PF1|≤a＋c
∴|PF1|的最大值为 a＋c，最小值为 a－C．
[总结反思] 椭圆上到某一焦点的最远点与最近点分别是长轴的两个端点，应掌握这一性质．
[总结反思] 椭圆的焦点在哪个坐标轴上主要看标准方程中x2和y2项分母的大小，如果x2项的分母大于y2项的分母，则椭圆的焦点在x轴上；反之，焦点在y轴上．由于本题中x2和y2项分母的大小不确定，因此需要进行分类讨论．

3.1.1《椭圆及其标准方程》课件(北师大版选修2-1)

(2)因为m2+n2≥2mn,
所以2(m2+n2)≥m2+n2+2mn=(m+n)2.
4 故m2+n2≥ =8,当且仅当m=n=2时，等号成立. 2
2
所以|PF1|2+|PF2|2的最小值是8，此时P位于短轴的端点处.
焦点.
由椭圆定义知
|AB|+|BM|+|AM|=|AN|+|BN|+|BM|+|AM| =|AN|+|AM|+|BN|+|BM| =2a+2a=4a=16.
x 2 y 2 的内部，则a的取值范围是 2.(5分)点A(a,1)在椭圆 + =1 4 2
(
)
(A)- 2 <a< 2
(C)-2<a<2
(B)a<- 2 或a> 2
【解析】
x 2 y2 1.(5分)已知点M( 7 ,0)，椭圆 + =1与直线y=k(x+ 7 )交 16 9
于A，B两点，则△ABM的周长为(
(A)11 (B)10
)
(C)9 (D)16
【解析】选D.如图.
直线y=k(x+ 7 )恒过定点N(- 7 ,0).
x 2 y2 由椭圆方程 + =1知M( 7 ,0),N(- 7 ,0)恰好为椭圆的两 16 9
【解析】如图所示，由题意知， F1（- 3 ，0），F2（ 3 ，0）. 设|PF1|=m,|PF2|=n(m>0,n>0), 由椭圆的定义知m+n=4.
(1)根据均值不等式知mn≤ ( m+n ) 2= ( 4 )2 = 4,
2 2

高中数学北师大版选修2-1 3.1.2.1椭圆的简单性质课件(30张)

= 1 的短轴长为6,∴a2= 25,b2=9. 答案 :D
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UITANGYANLIAN
【做一做 2】若椭圆的焦距等于它的短轴长,则椭圆的离心率为( )
1 2 A. B. C. 2 2
2D. 2
2 , 3
答案 :B 【做一做 3】若椭圆以坐标轴为对称轴,离心率 e = 长轴长为 6, 则椭圆的方程为( )
��2 ��2 1或 + 36 20 ��2 ��2 ��2 ��2 A. + = 1B. + = 1 36 20 9 5 ��2 ��2 ��2 ��2 ��2 ��2 C. + = 1 或 + = 1D. + 9 5 5 9 20 36
�� , ��, ��, ��之间的关系为��2 ��
= ��2 − ��2,
��
长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化. 椭圆的离心率�� = , 用��, ��表示为�� = 1�� 2 �� , 当越小时, 椭圆越扁 , ��越大; 当越大时 ��
1.对称性
��2 椭圆 2 ��
+
= 1 是以��轴、 ��轴为对称轴的轴对称图形 ,

3.1椭圆第2课时课件(北师大版选修2-1) (1)

3 离心率为5，长轴长为 10 的椭圆的标准方程为( x2 y2 A．25＋16＝1 x2 y2 y2 x2 B．25＋16＝1 或25＋16＝1 x2 y 2 C．100＋64＝1 x2 y2 y 2 x2 D．100＋64＝1 或100＋64＝1
)
[答案] B
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3．离心率对椭圆扁圆程度的影响
c c 如图，在 Rt△BF2O 中，cos∠BF2O＝a，a越大，∠BF2O c 越小，椭圆越扁；a越小，∠BF2O 越大，椭圆越圆．
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4．通过对椭圆的范围、对称性、特殊点(顶点、焦点、中
心)、对称轴及其他特性的讨论从整体上把握曲线的形状、大小和位置，进而掌握椭圆的性质，学习过程中应注意，图形与方程对照、方程与性质对照，只有通过数形结合的方式才能牢固掌握椭圆的几何性质．
3
知能自主梳理
7名师辩误作答来自4学习方法指导
8
课堂巩固训练
5
思路方法技巧
9
课后强化作业
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知能目标解读
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1．掌握椭圆的几何性质，掌握标准方程中的a、b以及c、
e的几何意义，a、b、c、e之间的相互关系．
性 x轴、y轴质对称性对称轴：__________ 坐标原点对称中心：__________
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标准方程
x2 y2 a2＋b2＝1(a>b>0)

高中数学 3.1第2课时椭圆的简单性质课件北师大版选修2-1

预习效果检测
1．焦点在 x 轴上，长、短半轴之和为 10，焦距为 4 5，则椭
圆的方程为( ) A．3x62 ＋1y62 ＝1 C．x62＋y42＝1
B．1x62 ＋3y62 ＝1 D．y62＋x42＝1
[答案] A
[解析] 由题意得 c＝2 5，a＋b＝10， ∴b2＝(10－a)2＝a2－c2＝a2－20，解得 a2＝36，b2＝16，故椭圆方程为3x62 ＋1y62 ＝1.
5．已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为
23，且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方程为________________．
[答案] 3x62 ＋y92＝1 [解析] 由题设，知 2a＝12，ac＝ 23， ∴a＝6，c＝3 3，∴b＝3. ∴椭圆 G 的方程为3x62 ＋y92＝1.
长轴__A_1_A_2_的长为__2_a_ 短轴_B_1_B_2_的长为__2_b_
短轴_B_1_B_2_的长为_2_b___
离心率
e＝___a_c___∈___(0_,_1_)__ 其中 c＝__a_2_－__b_2___
知识要点解读
1．根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一．本节就是根据椭圆的标准方程来研究它的几何性质．其性质可分为两类：一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长短轴长、焦距、离心率；一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点．
2．椭圆1x62 ＋y82＝1 的离心率为(
)
A．13
B．12
C．
3 3
D．
2 2
[答案] D
[解析] 由椭圆方程知 a2＝16，b2＝8， ∴c2＝a2－b2＝16e＝ac＝

高中数学北师大版选修2-1 3.1.1.1椭圆及其标准方程课件(30张)

��2 或 �� 2 + ��
= 1(�� > 0, �� > 0, ��≠n).
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【做一做 2-1】 A.(±4,0) C.(± 3,0) 答案 :D
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【做一做1】命题甲:动点P到两个定点A,B的距离之和 |PA|+|PB|=2a(a>0,且a为常数),命题乙:P点的轨迹是椭圆,则命题甲是命题乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
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解析:若P点的轨迹是椭圆,则一定有|PA|+|PB|=2a(a>0,且a为常数 ). ∴甲是乙的必要条件. 反过来,若|PA|+|PB|=2a(a>0,且a为常数),是不能推出P点的轨迹是椭圆的.这是因为,仅当2a>|AB|时,P点的轨迹才是椭圆;而当 2a=|AB|时,P点的轨迹是线段AB;当2a<|AB|时,P点无轨迹. ∴甲不是乙的充分条件. 故甲是乙的必要不充分条件. 答案:B
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3.1椭圆第1课时课件(北师大版选修2-1)

第三章
3.1
第1课时
(3)标准方程中涉及到三个常数 a、b、c ，它们是确定椭圆
特征的重要元素，不随方程形式的改变而改变，它们之间的关系为c2＝a2－b2. (4)由标准方程判断焦点的位置的方法看x2 、 y2 的分母大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴
上，即椭圆的焦点在x轴上等价于标准方程中x2项的分母较大；
2 2 x y 式．统一形式为 mx2＋ny2＝1(m>0， n>0， m≠n)或m＋ n ＝1(m>0，
n>0，m≠n)．
第三章 3.1 第1课时
4 ．观察椭圆的图形，发现椭圆有两条互相垂直的对称
轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴建立平面直角坐标系，
在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简，这类方程的化简方法： (1) 方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移到另一侧；(2)方程中有两个根式时，需将它们放在方程的两侧，并使其中一侧只有一个根式．
第三章
3.1
第1课时
学习方法指导
第三章
3.1
第1课时
1 ．对于椭圆定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的
条件，即椭圆上点的几何性质，可以对比圆的定义来理解．椭圆定义中应注意常数大于焦距这个必要条件，即对椭圆上任一点M有|MF1|＋|MF2|＝2a>|F1F2|；否则，若2a＝|F1F2|，则轨迹是线段F1F2；若2a<|F1F2|，则轨迹不存在．
1 ．掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其
推导过程． 2 ．能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数求椭圆的标准方程． 3 ．通过对椭圆的概念的引入教学，培养学生的观察能力
和探索能力．

3.1.1 椭圆及其标准方程课件(北师大选修2-1)

点位置，确定椭圆标准方程的形式，最后由条件确定a
和b的值．
返回
y2 x2 [精解详析] (1)焦点在 y 轴上，设标准方程为 2＋ 2＝1(a＞b a b ＞0)，则 a2＝16，b2＝a2－c2＝16－9＝7. y2 x2 ∴椭圆的标准方程为＋＝1. 16 7 y2 x2 ∴椭圆的标准方程为＋＝1. 16 7
返回
4．平面内有一个动点M及两定点A，B.设p：|MA|＋|MB|为
定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么(
A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的必要不充分条件 C．p是q的充要条件 D．p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件
)
解析：若|MA|＋|MB|为定值，只有定值>|AB|时，点M轨迹
a2＝15，解得 2 b ＝5.
x2 y2 所以所求椭圆的方程为＋＝1. 15 5
返回
y2 x2 ②当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1(a a b ＞b＞0)．依题意有－22 32 2 ＋ 2 ＝1， b a 2 1 －2 3 a2＋ b2 ＝1，
a＋b＝8， (2) 2 a －b2＝16 a＋b＝8， ⇒ a－b＝2 a＋b＝8， ⇒ a＋ba－b＝16 a＝5， ⇒ b＝3.
返回
x2 y2 y2 x2 ∴椭圆的标准方程为＋＝1，或＋＝1. 25 9 25 9 (3)法一：①当焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为 x2 y2 ＋＝1(a＞b＞0)． a2 b2 32 －22 2 ＋ 2 ＝1， b a 依题意有 2 －2 3 1 a2 ＋b2＝1，
＝64的内部与其相内切，求动圆圆心M的轨迹方程．

高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1.2.1椭圆的简单性质课件北师大版选修2_1

椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的左焦点为 F1(－
c,0)，A(－a,0)，B(0，b)是两个顶点，如果 F1 到直
线
AB
的距离为
b ，求椭圆的离心率． 7
解析： ∵A(－a,0)，B(0，b)，
∴直线 AB 的方程为：－xa＋by＝1，
即 bx－ay＋ab＝0，
∵点
F1(－c,0)到直线
【错解】 ∵P 是椭圆上一点，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a. ∴2a＝|PF1|＋|PF2|≥2 |PF1|·|PF2|，即|PF1|·|PF2|≤a2，当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号． ∴12c2≤a2≤3c2，∴13≤ac22≤2，
∴13≤e2≤2. ①
∵e＞0，∴ 33≤e≤

2．已知椭圆C以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A(5,0)，求此椭圆的标准方程．
解析：若椭圆的焦点在 x 轴上，
设其标准方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)．
2a＝5×2b，由题意，得2a52 ＋b02＝1，
解得ab＝＝51，，
故所求的标准方程为2x52 ＋y2＝1；
＝4，e＝ac＝
5 3.
(2)将方程变形为 y＝±23 9－x2(－3≤x≤3)．由 y＝23 9－x2，在 0≤x≤3 的范围内计算出一些点的坐标(x，y)，列表如下：
x0 1 2 3 y 2 1.9 1.5 0
先用描点法画出椭圆在第一象限内的部分图像，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆．
[名师妙点] 求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清焦点的位置，这样便于直观地写出a、b的值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标等几何性质．

北师大版选修2-1高中数学3.1《椭圆》(第2课时)ppt课件

预习效果检测
1．焦点在 x 轴上，长、短半轴之和为 10，焦距为 4 5，则椭
圆的方程为( ) A．3x62 ＋1y62 ＝1 C．x62＋y42＝1
B．1x62 ＋3y62 ＝1 D．y62＋x42＝1
[答案] A
[解析] 由题意得 c＝2 5，a＋b＝10， ∴b2＝(10－a)2＝a2－c2＝a2－20，解得 a2＝36，b2＝16，故椭圆方程为3x62 ＋1y62 ＝1.
所以|PF1|·|Pຫໍສະໝຸດ 2|＝43b2②.由①和②根据基本不等式，得|PF1|·|PF2|≤|PF1|＋2 |PF2|2. 即43b2≤a2，又 b2＝a2－c2，故43(a2－c2)≤a2，解得 e＝ac≥12.
又 e<1，所以该椭圆的离心率 e 的范围是12，1.
解法二：由解法一得出|PF1|＋|PF2|＝2a |PF1|·|PF2|＝43b2
5．已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为
23，且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方程为________________．
[答案] 3x62 ＋y92＝1 [解析] 由题设，知 2a＝12，ac＝ 23， ∴a＝6，c＝3 3，∴b＝3. ∴椭圆 G 的方程为3x62 ＋y92＝1.
应用x范围的桥梁，法四应用了极端思想使问题迅速
得解，由此可见，在椭圆中建立不等关系的途径或方法还是比较多的，平时解题时需要根据已知条件灵活选择方法，达到快速而又准确地解答题目的目的．
已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(－c,0)， F2(c,0)若椭圆上存在点 P 使sin∠aPF1F2＝sin∠cPF2F1，则该椭圆的离心率的取值范围为________________．

3.1 椭圆 课件1 (北师大选修2-1)