已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线经过坐标原点,且两
2022-2023学年江苏省扬州市新华中学高二年级上册学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省扬州市新华中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线10x ++=的倾斜角是 A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒【答案】D【解析】由方程得到斜率，然后可得其倾斜角.【详解】因为直线10x ++=的斜率为所以其倾斜角为150︒ 故选：D2．抛物线22x y =的准线方程是（ ） A ．12x =-B ．14x =- C ．18x =-D ．116x =-【答案】C【分析】化为标准形式求解即可.【详解】解：22x y =可化为212y x =， 所以抛物线22x y =的准线方程为18x =-．故选：C3．平行直线1:34100l x y -+=与2:6850l x y --=之间的距离为（ ）A ．35B ．310 C ．32D ．52【答案】D【分析】利用点到直线的距离公式即可求得平行直线1:34100l x y -+=与2:6850l x y --=之间的距离 【详解】在直线1:34100l x y -+=上取点5(0,)2A则点5(0,)2A 到直线2:6850l x y --=的距离52d == 则平行直线1:34100l x y -+=与2:6850l x y --=之间的距离为52故选：D4．圆()()22119x y -+-=和圆228690x y x y +-++=的位置关系是（ ） A ．相交 B ．外切 C ．内切 D ．外离【答案】A【分析】根据两圆的圆心距离以及半径之和和半径之差的关系，即可判断. 【详解】()()22119x y -+-=的圆心记为()11,1O ，半径3r =，将228690x y x y +-++=化成标准式为：()()224316x y -++=，故得圆心()24,3O -，半径4R =，则两圆的圆心的距离()()221241315O O =-+--=,由于1217R r OO r R =-<<+= ，故两圆相交， 故选：A5．图1展示的是某电厂的冷却塔，已知该冷却塔的轴截面是中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的一部分（图2），该冷却塔上口的直径是塔身最窄处直径的2倍，且塔身最窄处到冷却塔上口的高度等于塔身最窄处的直径．则该双曲线的离心率是（ ）A ．72B ．213C ．74D ．73【答案】B【分析】设出双曲线的方程，根据题意可知：双曲线过点(2,2)a a ，将其代入曲线方程，求出,a b 的关系，再根据,,a b c 的关系即可求出离心率.【详解】设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图：由题意可知：2CD a =，24AB CD a ==，又因为塔身最高处到冷却塔上口的高度等于塔身最窄处的直径，所以点(2,2)A a a ， 将点A 代入曲线方程2222441a a a b -=，解得：2234a b =，所以该双曲线的离心率c e a =，故选：B.6．设a ，b 为实数，若直线1ax by +=与圆221x y +=相交，则点(),P a b 与圆的位置关系是（ ） A ．在圆上 B ．在圆外 C ．在圆内 D ．不能确定【答案】B【分析】根据直线与圆的位置关系，求得,a b 满足的关系式，结合点与圆位置关系的判断方法，判断即可.1<，即221a b +>，故点(),P a b 在圆221x y +=外.故选：B.7．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，若90ABF ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C D 【答案】B【分析】表示出各点坐标，由90ABF ∠=︒可得0BA BF ⋅=，得出,,a b c 的等式，变形后可求离心率． 【详解】由题意(,0),(0,),(,0)A a B b F c -，则(,),(,)BA a b BF c b =--=-，90ABF ∠=︒，∴20BA BF ac b ⋅=-+=，即220a c ac --=，可得2()10c ca a+-=，∴c e a ==． 故选：B ．8．已知直线1:0l kx y +=()k R ∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为（ ）A ．B ．C ．5+D ．3+【答案】C【解析】求出点A 的轨迹方程，确定A 点轨迹，然后通过几何意义求得最大值．【详解】由0220kx y x ky k +=⎧⎨-+-=⎩，消去参数k 得22(1(1)2x y -+-=），所以A 在以(1,1)C又点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，此圆圆心为(2,3)D --，5CD ==，∴AB 的最大值为5CD =+ 故选：C.【点睛】本题考查交轨法求轨迹方程，考查两点间的距离公式．由圆的性质知某点到圆上的点间距离的最大值可以转化为到圆心的距离与半径的和．二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．若直线l 过()2,1，且l 的横截距是纵截距的2倍，则直线l 的方程为240x y +-=C ．直线20x y --=关于x 轴对称直线方程为20x y +-=D ．经过点()2,1M -，且与()1,2A -，()3,0B 两点距离相等的直线l 的方程为20x y += 【答案】AC【分析】根据直线的截距、直线对称、点线距离等知识确定正确答案. 【详解】A 选项，直线20x y --=的横截距为2，纵截距为2-，所以直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是12222⨯⨯=，A 选项正确.B 选项，直线12y x =过点()2,1，且l 的横截距是纵截距的2倍，所以B 选项错误. C 选项，直线20x y --=关于x 轴对称直线方程为20x y +-=（横坐标相同，纵坐标相反），C 选项正确.D 选项，直线1y =经过点()2,1M -，且与()1,2A -，()3,0B 两点距离相等（都为1），所以D 选项错误. 故选：AC10．已知圆22:420C x y x +-+=，则下列说法正确的有（ ）A ．直线10x y --=与圆CB ．圆C 关于直线0x y -=对称的圆的方程为()2222x y +-=C ．若点(),P x y 是圆C 上的动点，则22x y +的最大值为2D ．若圆C 上有且仅有三个点到直线0x y m ++=，则1m =-或3- 【答案】ABD【分析】对于A ，求出直线到圆心距离，再利用垂径定理结合勾股定理可得答案. 对于B ，相当于求以点C 关于直线对称点为圆心，半径不变的圆的方程. 对于C ，注意到2242x y x +=-，结合x 范围可得答案.对于D ，题目等价于直线0x y m ++=，进而可得答案. 【详解】圆22:420C x y x +-+=()2222x y ⇒-+=对于选项A ，设10x y --=到圆心()2,0距离为1d ==又圆C所以直线10x y --=与圆C 的相交弦长l ==故A 正确.对于选项B ，点C 关于0x y -=对称点为()0,2，又关于直线对称的圆半径不变. 则圆C 关于直线0x y -=对称的圆的方程为()2222x y +-=.故B 正确.对于选项C ，由圆C ：()2222x y -+=，可得22x ≤.又2242x y x +=-，得2266x y ⎡+∈-+⎣，故C 错误.对于选项D ，圆C 上有且仅有三个点到直线0x y m ++=等价于直线0x y m ++=到圆心()2,0距离2d =-==1m =-或3-.故D 正确. 故选：ABD【点睛】结论点睛：本题A ，B ，C 选项所涉知识较为基础，选项D 涉及的结论为： 设直线l 与圆O 相交，l 到O 距离为d ，圆O 半径为r ，圆上一点P 到l 距离为1d . （1）若10d =，满足条件的点P 有2个.（2）若10d r d <<-，满足条件的点P 有4个 （3）若1d r d =-，满足条件的点P 有3个 （4）若1r d d r d -<<+，满足条件的点P 有2个 （5）若1d r d =+，满足条件的点P 有1个 11．已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为6π的直线分别交y 轴、双曲线右支于点M 、点P ，且1MP MF =，下列判断正确的是（ ） A ．123F PF π∠=B ．E 的离心率等于23C ．双曲线渐近线的方程为2y x =±D ．12PF F △的内切圆半径是313-【答案】AC【分析】根据已知条件可得出2PF x ⊥轴，可判断A 项；根据双曲线的定义结合直角三角形的性质，构造齐次方程可求解离心率，故可判断B 项；结合222c a b =+，得到2ba=，即可求得渐近线方程，可判断C 项；利用三角形等面积法得到内切圆半径r 的表达式与c 有关，故内切圆的半径不是定值，可判断D 项错误. 【详解】如图所示，因为M ，O 分别是1PF ，12F F 的中点，所以12PF F △中，2PF MO ∥，所以2PF x ⊥轴， A 选项中，因为直线1PF 的倾斜角为6π，所以123F PF π∠=，故A 正确；B 选项中，12Rt PF F 中，122F F c =，223PF =，143PF =， 所以12232PF PF a -==，得：3==c e a B 不正确；C 选项中，由222c a b =+，即223c a =，即2223a b a +=，即2ba=， 所以双曲线的渐近线方程为：2by x x a=±=±，故C 正确；D 选项中，12PF F △的周长为()223c +，设内切圆为r ，根据三角形的等面积法，有()2322323cr c c +=⋅，得：313r c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，是与c 有关的式子，所以D 错误.故选：AC.12．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F （0，2），椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y 轴交于点G ．若过原点O 的直线与上半椭圆交于点A ，与下半圆交于点B ，则（ ）A ．椭圆的长轴长为2B ．AFG 的周长为442+C ．线段AB 长度的取值范围是4,222+⎡⎤⎣⎦D ．ABF △面积的最大值是42【答案】BC【分析】由题意可得b 、c ，然后可得a ，可判断A ；由椭圆定义可判断B ；由椭圆性质可判断C ；设AB 所在直线方程为y kx =，分别联立椭圆、圆的方程，求出A ，B 两点的横坐标，得出ABF S △根据单调性可得最大值判断D.【详解】对于A ，由题知，椭圆中2b c ==，得2222a b c +=242a =，故A 错误； 对于B ，由椭圆定义知，242AF AG a +==AFG 的周长42442L FG =++B 正确；对于C ，2AB OB OA OA =+=+，由椭圆性质可知222OA ≤≤4222AB ≤≤+C 正确；对于D,设AB 所在直线方程为y kx =，联立22148y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩可得A x =， 联立224y kx x y =⎧⎨+=⎩可得B x =，则11||||||||22ABF AOF OBF A B S S S OF x OF x =+=+=△△△ 显然当20k ≥时，函数y =所以当0k =时，ABF S △有最大值4，故D 错误. 故选：BC三、填空题13．若椭圆()22144x y m m +=<m 的值为__________．【答案】2【分析】根据椭圆方程确定,,a b c ，即可由离心率求解m 的值. 【详解】解：因为4m <，椭圆的焦点在x 轴上，所以224,a b m ，则2224c a b m =-=-所以离心率c a==2m =. 故答案为：2.14．已知圆22:240C x y x y m +--+=.若圆C 与圆22:(2)(2)1D x y +++=有三条公切线，则m 的值为___________. 【答案】11-【分析】根据已知条件得出两圆的位置关系，结合两点间的距离公式即可求解. 【详解】由22240x y x y m +--+=，得22(1)(2)5x y m -+-=-， 所以圆C 的圆心为()1,2C因为圆22:(2)(2)1D x y +++=，所以圆D 的圆心为()22D ,--，半径为1， 因为圆C 与圆D 有三条公切线，所以圆C 与圆D 相外切， 即1CD ==，解得11m =-，所以m 的值为11-. 故答案为：11-.15．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线20ax y -+=与圆22:230C x y x +--=交于A ，B 两点，若钝角ABCa 的值是______． 【答案】34-##0.75-【分析】由钝角ABCsin ACB ∠=，得到23ACB π∠=，进而求得圆心到直线的距离为1，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解． 【详解】解：由圆22:230C x y x +--=，即()2214x y -+=， 可得圆心坐标为(1,0)C ，半径为2r =，因为钝角ABC 122sin 2ABCS ACB =⨯⨯∠=解得sin ACB ∠=，因为2ACB ππ<∠<，所以23ACB π∠=，可得||AB =设圆心到直线的距离为d ，又由圆的弦长公式，可得1d =， 根据点到直线20ax y -+=的距离公式1d ==，解得34a =-．故答案为：34-．16．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到其准线的距离为4，圆22():21M x y -+=，过F 的直线l 与抛物线C 和圆M 从上到下依次交于,,,A P Q B 四点，则||4||AP BQ +的最小值为_________. 【答案】13【分析】根据已知条件先求出抛物线的方程，然后将问题转化为计算“||4||5AF BF +-”的最小值，通过抛物线的焦半径公式将||4||5AF BF +-表示为坐标的形式，采用直线与抛物线联立的思想，根据韦达定理和基本不等式求解出最小值.【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为4，所以4p =，所以抛物线方程为28y x =， 如下图，P 1F QF ==，因为()()||4||||||4||||||4||5AP BQ AF PF BF QF AF BF +=-+-=+-， 设()()1122,,,A x y B x y ，所以1122||2,||222p pAF x x BF x x =+=+=+=+， 所以12||4||45AP BQ x x +=++，设:2l x my =+，所以282y x x my ⎧=⎨=+⎩，()224840x m x -++=，所以124x x =，所以1212||4||4524513AP BQ x x x x +=++≥+=，取等号时1244x x ==， 所以||4||AP BQ +的最小值为13， 故答案为：13.【点睛】结论点睛：本题考查圆与抛物线的综合应用，其中涉及抛物线的焦半径公式的运用.常见抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF x =+； （2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+； （3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+； （4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF y =-+.四、解答题17．已知直线l 1：2x +y +2=0；l 2：mx +4y +n =0． (1)若l 1⊥l 2，求m 的值．(2)若l 1//l 2 ， 5m ，n 的值 【答案】(1)2m =- (2)8m =，28n =或12n =-【分析】（1）根据两条直线垂直的条件列方程，化简求得m . （2）根据两条直线平行以及距离列方程，化简求得,m n .【详解】（1）由于12l l ⊥，所以240,2m m +==-.（2）依题意12//l l ，则2418m m ⨯=⨯⇒=，此时2:840l x y n ++=，即204n x y ++=，故2,84n n ≠≠.254n =-=⇒28n =或12n =-. 18．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>20y ±=，且过点(． (1)求双曲线C 的方程；(2)过双曲线的一个焦点作斜率为1的直线l 交双曲线于,A B 两点，求弦长AB ．【答案】(1)22143x y -=； (2)24AB =.【分析】（1）根据双曲线渐近线斜率、双曲线过点(可构造方程求得,a b ，由此可得双曲线方程；（2）由双曲线方程可得焦点坐标，由此可得AB 方程，与双曲线方程联立后，利用弦长公式可求得结果.【详解】（1）由双曲线方程知：渐近线斜率b k a =±20y ±=，b a ∴=；双曲线过点(，22831a b ∴-=；由22831b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得：2a b =⎧⎪⎨⎪⎩∴双曲线C 的方程为：22143x y -=； （2）由（1）得：双曲线的焦点坐标为()；若直线AB过双曲线的左焦点()，则:AB y x =+由22143y x x y ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩得：2400x ++=；设()11,A x y ，()22,B x y，则121240x x x x ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩24AB ∴==；由双曲线对称性可知：当AB 过双曲线右焦点时，24AB =；综上所述：24AB =.19．已知圆C 的方程为：2224690()x y mx y m m R +--+-=∈.（1）试求m 的值，使圆C 的周长最小；（2）求与满足（1）中条件的圆C 相切，且过点1,2的直线方程.【答案】（1）3m =；（2）1x =或34110x y --=.【分析】（1）先求圆的标准方程222()(2)(3)4x m y m -+-=-+，由半径最小则周长最小；（2）由3m =，则圆的方程为：22(3)(2)4x y -+-=，直线和圆线切则圆心到直线的距离等于半径，分直线与x 轴垂直和直线与x 轴不垂直两种情况进行讨论即可得解.【详解】（1）2224690x y mx y m +--+-=，配方得：222()(2)(3)4x m y m -+-=-+，当3m =时，圆C 的半径有最小值2，此时圆的周长最小.（2）由（1）得，3m =，圆的方程为：22(3)(2)4x y -+-=.当直线与x 轴垂直时，1x =，此时直线与圆相切，符合条件；当直线与x 轴不垂直时，设为()12y k x =--，2=，解得34k =， 所以切线方程为31144y x =-，即34110x y --=. 综上，直线方程为1x =或34110x y --=.20．已知圆C ：222430x y x y ++-+=．(1)若直线l 过点()2,0-且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(2)从圆C 外一点P 向圆C 引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且PM PO =，求PM 的最小值．【答案】(1)2x =-或3460x y -+=； (2)3510. 【分析】（1）讨论直线l 是否存在斜率，当斜率存在时，设出直线方程，利用弦长公式，即可求得直线斜率，则直线方程得解；（2）根据题意以及几何关系，求得点P 的轨迹方程，再求PM 的最小值即可.【详解】（1）根据题意，圆C 的方程为：222430x y x y ++-+=，变形可得()()22122x y ++-=， 其圆心为1,2，半径为2，当直线l 的斜率不存在时，其方程为2x =-，易求直线l 与圆C 的交点为()2,1A -，()2,3B -，2AB =，符合题意； 当直线l 的斜率存在时，设其方程为()2y k x =+，即20kx y k -+=，则圆心C 到直线l 的距离222222121k kd k --+⎛⎫==-= ⎪⎝⎭+， 解可得34k =，所以直线l 的方程为3460x y -+=， 综上，直线l 的方程为2x =-或3460x y -+=.（2）如图，PM 为圆C 的切线，连接MC ，PC ，则CM PM ⊥，所以PMC △为直角三角形，即222PM PC MC =-设(),P x y ，由（1）知()1,2C -，2MC =PM PO =，所以()()2222122x y x y ++--=+化简得点P 的轨迹方程为2430x y -+=求PM 的最小值，即求PO 的最小值，也即求原点O 到直线2430x y -+=的距离，由距离公式可求得PM 35.21．如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)A -，且离心率为22. (I )求椭圆E 的方程；(II )经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点,P Q （均异于点A ），问：直线AP 与AQ 的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由．【答案】(1) 2212x y += (2)2 【详解】（Ⅰ）由题意知21c b a ==，综合222a b c =+，解得2a =所以，椭圆的方程为2212x y +=. （Ⅱ）由题设知，直线PQ 的方程为(1)1(2)y k x k =-+≠，代入2212x y +=，得 22(12)4(1)2(2)0+--+-=k x k k x k k ，由已知0∆>，设()()1122,P x y Q x y ，120x x ≠则1212224(1)2(2),1212k k k k x x x x k k --+==++， 从而直线AP 与AQ 的斜率之和121212111122AP AQ y y kx k kx k k k x x x x +++-+-+=+=+ 121212112(2)2(2)x x k k k k x x x x ⎛⎫+=+-+=+- ⎪⎝⎭()4(1)222(21)22(2)k k k k k k k k -=+-=--=-. 【解析】1.椭圆的标准方程；2.圆锥曲线的定值问题.22．已知双曲线C 1：2211612x y -=，抛物线C 2：22y px =（0p >），F 为C 2的焦点，过F 垂直于x 轴的直线l 被抛物线C 2截得的弦长等于双曲线C 1的实轴长．(1)求抛物线C 2的方程；(2)过焦点F 作互相垂直的两条直线，与抛物线C 2分别相交于点A 、B 和C 、D ，点P 、Q 分别为AB 、CD 的中点，求△FPQ 面积的最小值．【答案】(1)28y x =；(2)16.【分析】（1）由题设有直线l 为2p x =，联立抛物线求相交弦长有28p =，即可写出抛物线方程.（2）由题意，可设直线AB 为(2)y k x =-且0k ≠，联立抛物线应用韦达定理求P 、Q 坐标，再由两点距离公式求||QF 、||PF ，进而得到FPQ S关于k 的表达式，结合基本不等式求最小值，注意等号成立条件.【详解】（1）由题意，双曲线实轴长28a =，直线l 方程为2px =，由222p x y px⎧=⎪⎨⎪=⎩，得y p =，则过F 垂直于x 轴的直线l 被抛物线C 2的弦长为2p ， 所以28p =，故抛物线2C 的方程为28y x =.（2）因为(2,0)F ，若直线AB 、CD 分别与两坐标轴垂直，则其中有一条与抛物线只有一个交点，不合题意；所以，直线AB ，CD 的斜率均存在且不为0，设直线AB 的斜率为()0k k ≠，则直线AB 的方程为(2)y k x =-联立()282y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得28160ky y k --=，则2Δ61640k =+>， 设1122,(,)(,)A x y B x y ，则128y y k +=． 设(,)P P P x y ，则1242P y y y k +==，则2422,P P y x k k =+=+即244(2,)P k k+，同理得2(42,4)Q k k +-， 故2224222||(422)(4)16164(1)QF k k k k k k =+-+-++242161641||k PF k k +=+，又PF QF ⊥，所以2118(1)||||22||FPQ k S PF QF k +=⋅=⨯==18(||)816,||k k ⨯+≥⨯= 当且仅当1||||k k =，即1k =±时等号成立，故△FPQ 面积的最小值为16．。
重庆市名校联盟2023-2024学年高三下学期第一次联考数学试题
重庆市名校联盟2023-2024学年高三下学期第一次联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________由④⑤得()()24-+-=g x g x ，则()()24++=g x g x ，所以()()424+++=g x g x ，得到()()4g x g x +=，()g x 周期为4，因为()()24-+-=g x g x ，令1x =，则()()114g g +-=，又因为()g x 为偶函数，则()()11g g =-，则()241=g ，所以()12g =，()()()20254506112=´+==g g g ，故选项B 错误；因为()()422f x g x -+-=， 得()()22f x g x +-=，()()22f x g x -+=，又因为()()24-+=g x g x ，所以()()20f x f x +-=，又因为()()4f x f x =-，所以()()420-+-=f x f x ，所以()()20f x f x ++=，则()()42()f x f x f x +=-+=，所以()f x 周期为4，由③知，()()()4f x f x f x =-=-，所以()f x 是R 上的偶函数，故选项C 正确；由选项B 知，()()22f x g x +-=，()()4f x f x =-，()()24-+=g x g x ，对三个式子分别关于x 求导可得，()()20¢¢--=f x g x ⑥，()()4f x f x ¢¢=--⑦，()()20¢¢--=g x g x ⑧，由⑥得()()20¢¢--=f x g x ⑨，⑥-⑨结合⑧可得()()2f x f x ¢¢=-，又因为()()4f x f x ¢¢=--，则()()()22¢¢¢+=--=-f x f x f x ，即()()2f x f x ¢¢+=-，则()()()42f x f x f x ¢¢¢+=-+=，()f x ¢周期为4，由()()4f x f x ¢¢=--知，()()22¢¢=-f f ，()20f ¢=，所以DM AD^，因为AP^平面ABCD，且DMÌ平面ABCD，，所以AP DM^因为AP AD AAP ADÌ平面PAD，Ç=，,所以DM^平面PAD，且ANÌ平面PAD，所以DM AN^，因为AP AD=，且点N是线段PD的中点，所以AN PD^，又因为DM PD DDM PDÌ平面PDM，I，,=所以AN^平面PDM，（2）因为AP^平面ABCD，且90Ð=°，BAD所以直线,,AB AD AP两两垂直，以A为原点，分别以直线,,AB AD AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：由2224====得，BC AB AP AD利用切合函数得到两个关键等式；三是把多变量转化为单变量，构造函数，利用单调性证明不等式.。
专题22 双曲线(解答题压轴题)(原卷版)-【挑战压轴题】备战2023年高考数学高分必刷必过题
x2 a2
y2 4
1 a
0 的中心为原点 O ，左、右
焦点分别为
F1 、
F2
，离心率为
35 5
，点
P
是直线
x
a2 3
上任意一点，点 Q
在双曲线
E
上，
且满足 PF2 QF2 0 .
（1）求实数 a 的值；
（2）证明：直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值；
（3）若点 P 的纵坐标为1，过点 P 作动直线 l 与双曲线右支交于不同的两点 M 、N ，在线段
(2)是否存在直线 l，使得 l 与 M 交于 A，B 两点，且弦 AB 的中点为 P 4, 6 ？若存在，求 l
的斜率；若不存在，请说明理由.
②双曲线中的最值问题
1．（2022·全国·高三阶段练习）在一张纸上有一圆 C : (x 2 3)2 y2 36 ，定点 M 2 3, 0 ，
折叠纸片 C 上的某一点 M1 恰好与点 M 重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕 KQ ，设 折痕 KQ 与直线 M1C 的交点T .
专题 22 双曲线（解答题压轴题）
双曲线（解答题压轴题）
①双曲线的中点弦问题 ②双曲线中的最值问题 ③双曲线中定点、定值、定直线问题
④双曲线中向量问题 ⑤双曲线综合问题 ①双曲线的中点弦问题 1．（2022·四川·树德中学高三期中（文））已知抛物线 C ： x2 2 py （ p 0 ）的焦点为 F ， P 为 C 上的动点，Q 为 P 在动直线 y t （ t 0 ）上的投影.当 △PQF 为等边三角形时，其面
曲线 C 的实轴长为 2，焦距为 2 3 ，且点 P（0，-1）到渐近线的距离为 3 . 3
（1）求双曲线 C 的方程；
2 双曲线渐近线有关问题 讲义及练习
讲次2.双曲线渐近线有关问题-教师版一.综述在双曲线的几何性质中,渐近线是双曲线所特有的性质,因此学好双曲线的渐近线对学习双曲线的几何性质有很大的帮助.过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线.画双曲线时,应先画出它的渐近线.理解“渐进”两字的含义,当双曲线的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近,接近的程度是无限的.掌握根据双曲线的标准方程求出它的渐近线方程的方法.最简单且实用的方法是：把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，就得到了此双曲线的渐近线方程.即:(1)已知双曲线方程求渐近线:(2)已知渐近线设双曲线标准方程在考题中,常结合双曲线方程和离心率进行考查,只要抓住渐近线斜率与离心率可以通过的关系进行相互转化即可.几何性质中我们除了要掌握对称性,还需要熟记焦点到渐近线的距离为. 二.例题精讲 破解规律例 1. 已知双曲线（）的一条渐近线被圆截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为( ) A . B .C .D . 分析:双曲线渐近线为过原点的两条相交直线,且斜率分别为.由已知条件根据直线与圆的位置关系可以求出其中一条渐近线的斜率然后再利用求出离心率. 解析: 由题意得圆方程即为，故圆心为（3,0），半径为2.双曲线的一条渐近线为，即，故圆心到渐近线的距离为。
∵渐近线被圆截得的弦长为2,∴，整理得. ∴选D. 答案：D .点评: 双曲线几何性质是高考考查的热点，其中离心率是双曲线的重要性质，求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a 、b 、c 的方程或不等式，利用和转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的22221x y a b -=22220x y by x a b a-=⇒=±y mx =222m x y λ-=222a b c +=b 22221x y a b-=0,0a b >>22650x y x +-+=2ba±222a b c +=22(3)4x y -+=by x a=0bx ay -=d ==22212⎛⎫+=2212b a =c e a =====222a b c +=e=ca值或取值范围．规律总结:相关渐近线斜率k 与离心率e 的问题,由,可以得到进行相互转化.现学现用1: 已知焦点在x 轴上双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（ ） A .B .C .D . 解析: ∵双曲线的离心率为2∴，即∵∴，即∴双曲线的渐近线方程为故选D例2. 已知双曲线的右焦点为F ,过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为M ,交另一条渐近线与N ,若,则双曲线的渐近线方程为 .分析:题目中给出的向量表达式,从代数的角度讲就是给出向量坐标的比例关系,通过这个比例关系,列方程找出a 、b 、c 的关系式,从而求出渐近线方程.从几何的角度讲,就是给出点M 分线段NF 的比例,再利用渐近线的对称性结合三角函数知识进而解决问题. 解析: (解法一)如下图所示:由对称性,令,渐近线的斜率为.易知, 故, 所以①; 由已知得:; 在和中,易得② 由①②得: 解得;所以渐近线方程为: 222a b c +=2221k e +=C 3y x =±y =2y x =±y =2222:1(0,0)x y Ca b a b -=>>2c a=224c a =222c a b =+223b a =ba=2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>y =2222:1x y C a b-=73FM FN =73FM FN =2,MOF NOF MON αβ∠=∠=∠=1l tan k α=2αβπ+=()222tan 2tan tan 2tan 21tan 1kkαβπααα=-=-=-=---222tan 21tan 1kk k k βα--==--73FM FN =43MN MF=MOF Rt #MON Rt #tan 4tan 3MN OM MN MF MF OM βα⎛⎫⎪⎝⎭===⎛⎫ ⎪⎝⎭22413k -=-2k =±2y x =±(解法二) 由题意得双曲线的右焦点F (c ,0)，设一渐近线OM 的方程为，则另一渐近线ON 的方程为．设，∵，∴， ∴，解得．∴点M 的坐标为， 又，∴，整理得，∴双曲线的渐近线方程为答案:. 点评: 本题主要考查双曲线及渐近线,解法一利用对称性与三角函数列方程找出a 、b 、c 的关系式,从而解出k .解法二代数法列方程求出坐标,再利用垂直关系,解出k规律总结:关于直线与双曲线渐近线交点问题,可以利用渐近线的对称性结合三角方法来处理.现学现用2: 点在双曲线的右支上，其左、右焦点分别为、，直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点，线段的垂直平分线恰好过点，则该双曲线的渐近线的斜率为__________． 答案: 解析:如图,是切点,是的中点,因为,所以,又,所以,,又,根据双曲线的定义,有,即，两边平方并化简得，所以， 因此.by x a=b y x a =-,,,bm bn M m N n a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭73FM FN =7,3,bm bn m c n c a a ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()73 73m c n c bm bn a a -⎧=-=-⎪⎨⎪⎩27 23c m c n ⎧⎪⎪⎨==-⎪⎪⎩22,77c bc a ⎛⎫ ⎪⎝⎭OM FM ⊥27127OM FMbc b a k k c a c ⋅=⨯=--2252b a=b y x a =±=y x =P 22221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F 1PF O a A 1PF 2F 43±A B 1PF OA a =22BF a =122F F c =12BF b =24PF b =2122PF F F c ==122PF PF a -=422b c a -=223250c ac a --=53c a=43b a ==例3: 已知双曲线过其左焦点 作斜率为的直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A 、 ，若 ，则双曲线的两条渐近线方程为 A .B .C .D .分析:答案:C解析:由题意设直线 的直线的方程为.与两条渐近线联立.，得 ;，得 若，则，解得 ，故双曲线的两条渐近线方程为故选C .点评:本题给出直线的斜率,较适宜列方程解出坐标.再利用转化为坐标的比例关系.规律总结: 关于直线与双曲线渐近线交点问题,可以利用解析法求出交点坐标,利用坐标的关系解答问题.现学现用3: 已知双曲线的中心为原点， 是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A .B .C .D . 解析:设双曲线的标准方程为，由题意知c =3,a 2+b 2=9，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则有:, C ()3,0F C F l C A B AB ()12,15N --y x =y x =y =2y x =±()222210,0x y a b a b-=>>2211222222221 1x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨-=-=⎪⎪⎩两式作差得： ，又AB 的斜率是，所以将4b 2=5a 2代入a 2+b 2=9得：a 2=4,b 2=5.则双曲线的渐近线方程为. 本题选择A 选项.三.课堂练习 强化技巧1. 已知以原点为中心，实轴在轴上的双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为6，则此双曲线的标准方程为（ ）A .B .C .D .答案:C解析:∵双曲线的一条渐近线方程是，∴∴c =10.∵c 2=a 2+b 2∴a 2=64 b 2=36∴双曲线方程为=1故答案为.2.已知双曲线， 为双曲线的左右顶点，若点在双曲线上，且满足为一个顶角为的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程是（ ） A . B .C .D . 答案:A解析:由题意，设，则，则，即双曲线的方程为，其渐近线方程为；故选A .22212122221212124155y y x x b b b x x a y y a a-+-=⨯=⨯=-+-1501123--=--2y x =±x 34y x =221169x y -=221916x y -=2216436x y -=2213664x y -=34y x =34b a =610c =⇒=226436x y -C 22221(00)x y a b a b-=>>，,A B M ABM ∆120︒=y x ±=y ±=2y x ±=y x ±()()(),0,,0,,A a B a M x y -tan30tan60AM BMy k x ay k x a ==︒+=⎧⎪︒-⎨=⎪⎪⎪⎩2221y x a =-222x y a -=y x =±3. 已知双曲线的右焦点为F ,过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为M ,交另一条渐近线于N ,若,则双曲线的渐近线方程为 . 解析:如下图所示:令,渐近线的斜率为. 由对称性知,故,所以①; 由已知得:; 在和中,易得②由①②得:解得;所以渐近线方程为:四.课后作业 巩固内化 1.已知双曲线过点，渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（ ）A .B .C .D .答案:B解析:设双曲线的标准方程 ,选B2. 已知双曲线，其一渐近线被圆所截得的弦长等于 ，2222:1x y C a b-=2MF FN =,MOF MON αβ∠=∠=1l tan k α=2βα=222tan 2tan tan 21tan 1kk αβαα===--222tan 21tan 1kk k kβα-==-2MF FN =31MN MF =MOF Rt #MON Rt #tan 3tan 1MN OM MN MF MF OM βα⎛⎫⎪⎝⎭===⎛⎫ ⎪⎝⎭2231k =-k =y =()1,2y =2212x y -=2212y x -=2213y x -=2213x y -=2222242212y y x x λλ-=∴=-=∴-=则 的离心率为( ) A .B .C .或 D .或 答案:D解析: 的渐近线为渐近线被 截得的弦长为或或。
广东省广州增城市2025届高考数学押题试卷含解析
广东省广州增城市2025届高考数学押题试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2．函数sin ln ||2y x x π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭图像可能是（ ） A ． B ． C ．D ．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）A ．10000立方尺B ．11000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()22cos cos b A a B c +=，3b =，3cos 1A =，则a =（ ） A ．5B ．3C ．10D ．45．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b6．台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD ，在点E ，F 处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A 处，通过击打母球，使其依次撞击点E ，F 处的目标球，最后停在点C 处，若AE =50cm ．EF =40cm ．FC =30cm ，∠AEF =∠CFE =60°，则该正方形的边长为（ ）A ．2cmB ．2cmC ．50cmD ．6cm7．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．223B ．23C 3或62D 23或628．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若111,,tan tan tan A B C依次成等差数列，则（ ） A ．,,a b c 依次成等差数列 B ,,a b c C ．222,,a b c 依次成等差数列D ．333,,a b c 依次成等差数列9．若4log 15.9a =， 1.012b =，0.10.4c =，则（ ） A ．c a b >> B ．a b c >> C ．b a c >>D ．a c b >>10．若AB 为过椭圆22116925x y +=中心的弦，1F 为椭圆的焦点，则△1F AB 面积的最大值为（ ）A ．20B ．30C ．50D ．6011．已知函数()()0xe f x x a a=->，若函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()0,eC ．(),e +∞D ．1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭12．已知椭圆22:13x C y +=内有一条以点11,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为中点的弦AB ，则直线AB 的方程为( )A ．3320x y --=B ．3320x y -+=C ．3340x y +-=D ．3340x y ++=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
双曲线的性质的练习题及答案
双曲线的性质1、已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆1022=+y x 相交于点()1,3-P ，若此圆过点P 的切线与双曲线的渐近线平行，求此双曲线方程。
2、已知21F F 、是双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 的两个焦点，PQ 是经过1F 且垂直于x轴的双曲线的弦，若︒=∠902Q PF ，求双曲线的离心率。
3、双曲线()0,112222>>=-b a b y a x 的焦距为c 2，直线l 过点()0,a 和()b ,0，且点()0,1到直线l 的距离与点()0,1-到直线l 的距离之和c S 54≥，求双曲线的离心率e 的取值范围。
4、如图，21F F 、分别是双曲线()0,012222>>=-b a b ya x的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与 该双曲线左支的两个交点，且AB F 2∆是正三角形，求e 。
5、在双曲线12222=-b ya x中，设0>>a b 。
直线l 过点()0,a A 和()b B ,0，原点到直线l 的距离为c 43(c 为半焦距)，求双曲线的离心率。
6、已知双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 的离心率25=e ，点()1,0A 与双曲线上的点的最小距离是3052，求双曲线方程。
7、如图，已知双曲线C 的方程为()0,012222>>=-b a by ax ；离心率25=e ；顶点到渐近线的距离为552。
(1)、求双曲线C 的方程；(2)、如图，P 是双曲线C 上一点，B A 、两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=2,31,λλPB AP ，求AOB S ∆的取值范围。
8、双曲线C 与椭圆14822=+y x 有相同的焦点，直线x y 3=为双曲线C 的一条渐近线。
(1)、求双曲线C 的方程；(2)、如图，过()4,0P 的直线l 交双曲线C 于B A 、两点， 交x 轴于Q 点(Q 点与双曲线C 的顶点不重合)，当,21QB OA PQ λλ==且3821-=+λλ时，求Q 点坐标。
2017选修2-1《双曲线》练习题经典(含答案)
《双曲线》练习题一、选择题：1．已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是()A.17B.15C.174 D.1542．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（）A．x2﹣y2=1 B．x2﹣y2=2 C．x2﹣y2=D．x2﹣y2=3．在平面直角坐标系中，双曲线C过点P（1，1），且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x﹣y=0，则双曲线C的标准方程为（）A．B．C．或D．4.1（a＞b＞0）1有相同的焦点，则椭圆的离心率为（）A B C D5．已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）6．设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．7．的圆相切，则双曲线的离心率为（）A B C D 8．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为( ) A.3 B.62 C.63D.339．已知双曲线221(0,0)x y m n m n-=>>的一个焦点到一条渐近线的距离是2，一个顶点，则m 等于( ) A ．9 B ．4 C ．2 D ．,310．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)、F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足12120,||||2,MF MF MF MF ==则该双曲线的方程是( ) A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1 C.x 23－y 27＝1D.x 27－y 23＝1 11．ABC ∆是等腰三角形，B ∠=︒120，则以B A ,为焦点且过点C 的双曲线的离心率为 （ D ）12．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．83C ．24D ．4813．过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( ) A ．28B ．14－82C ．14＋8 2D ．8 214．双曲线122=-y x 的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ） A. 12-=x y B. 22-=x y C. 32-=x y D. 32+=x y15．已知双曲线﹣=1（b ＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ） A ．﹣=1B ．﹣=1 C ．﹣=1 D ．﹣=116．设双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于A ，B 两点，若3|F 1B |=|F 2A |，则该双曲线的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．217．半径不等的两定圆O 1、O 2无公共点（O 1、O 2是两个不同的点），动圆O 与圆O 1、O 2都内切，则圆心O 轨迹是（ ）A ．双曲线的一支B ．椭圆或圆C ．双曲线的一支或椭圆或圆D ．双曲线一支或椭圆18. 过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的直线共有（ ）条。
2007年江苏省南通市高三数学押题(35题)
2007年江苏省南通市高三数学押题(35题)一、选择题1． （命题人：启东中学）函数f （x ）＝|x 2－a | 在区间［－1，1］上的最大值M （a ）的最小值是 A ．41 B ．21C ．1D ．2 【解析】选B ．f （x ）是偶函数，所以M （a ）是在［0，1］内的最大值，当a ≤0时，f （x ）＝x 2－a ，则M （a ）＝1－a ；当a >0时，由图像可知，若12≥a ，则M （a ）＝a ，若12<a ，则M （a ）＝f （1）＝1－a ，从而M （a ）＝ 11212a a a a ⎧-⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，≤，， M （a ）min＝12． 2． （命题人：海门中学吴健，审题人：沈永飞）在网络游戏《变形》中，主人公每过一关都以32的概率变形（即从“大象”变为“老鼠”或从“老鼠”变为“大象”），若将主人公过n 关不变形的概率计为P n ，则 A ．P 5>P 4 B ．P 8<P 7 C ．P 11<P 12 D ．P 15>P 16【解析】由题32)1(3111⋅-+⋅=--n n n P P P （*)N n ∈，即13132--=n n P P （*)N n ∈，以n ＋1代n ，得n n P P 31321-=+，所以)(3111-+--=-n n n n P P P P （*)N n ∈．而31,110==P P ，所以n n n P P )31(321--=-+（N n ∈）． 所以22121200k k k k P P P P -+->⎧⎨-<⎩，，所以偶数项比它相邻项大，所以答案为C ．3． （命题人：海门市悦来中学何振华，审题人：沈康生）在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P 在AD 和DC 上运动，设θ=∠ABP ，将A B P ∆沿BP 折起，使得二面角C BP A --成直二面角，当θ为（ ）时，AC 长最小． A ．︒30 B ．︒45 C ．︒60 D ．︒75 【解析】过A 作AH ⊥BP 于H ，连CH ，∴BCP 面⊥AH ．∴θθcos 3BH sin 3AH A t ==∆，中，在BH R ． 在）（）（中，θθθ-︒⨯⨯⨯-+=∆90cos cos 3424cos 3CH 222BHC ，∴在中ACH R ∆t ，θ2sin 12252-=AC ，∴︒=45θ时，AC 长最小；选B ．4． （命题人：通州中学陈颖，审题人：严东来）如图，非零向量,OA OB 与x 轴正半轴的夹角分 别为 6π和23π，且0OA OB OC ++=，则OC 与x 轴正半轴的夹角的取值范围是A ．(0,)3π B ．5(,)36ππy AOxBCC ．2(,)23ππD ．25(,)36ππ【解析】OC 与x 轴正半轴的夹角的取值范围应在向量,OA OB --与x 轴正半轴的夹角之间，故选B ． 5． （命题人：通州中学严东来，审题人：王淦华）已知函数4()12f x x =-+的定义域是[],(,)a b a b Z ∈，值域是[]0,1，则满足条件的整数对(,)a b 共有A ．2个B ．5个C ．6个D ．无数个【解析】()f x 在R 上是偶函数，故()f x 的图象关于y 轴对称，作出()f x 的图象，截取值域是[]0,1 的一段，发现a ，b 的取值只可能在－2，－1，0，1，2中取得，但必须取0，－2﹑2必须至少取一个，故选B ．6． （命题人：平潮高级中学吴杰，审题人：宋军）三角形ABC 中AP 为BC 3=，2-=⋅BC AP ＝ A ．2 B ．3 C ．5 D ．7【解析】22PC BP =，即22)()(AC PA AP BA +=+，5222=⋅+=BC AP BA AC ，=5，故选C ．7． （命题人：如皋中学薛钧，审题人：冒红玉）已知双曲线22221(0)25x y a a a-=>-的左右两焦点分别为12,F F ，P 是双曲线右支上的一点，Q 点满足112PQ PF PF PF ⋅=⋅，12F F 在1F P 上的投影的大小恰为1F P ，且它们的夹角为6π，则a 等于A C 【解析】因为112PQ PF PF PF ⋅=⋅，所以1,PQ PF 是一对同向向量，且2PQ PF =． 又因为12F F 在1F P 上的投影的大小恰为1F P ，所以122F PF π∠=．在12Rt F PF ∆中，1212,||10, 5.6PFF F F PQ π∠===又112FQ PF PQ a =-=，所以25a =，所以a =A ．8． （命题人：如皋一中潘佩，审题人：戴圩章） 如图1，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+，AQ ＝23AB ＋14AC ，则 △ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为 A ．15 B ． 45 C ． 14 D ．13图1 图2【解析】如图2，设25AM AB =，15AN AC =，则AP AM AN =+．由平行四边形法则，知NP∥AB，所以ABP AN ABC AC∆=∆＝15，同理可得14ABQ ABC ∆=∆．故45ABP ABQ ∆=∆，选B ．9． （命题人：海安中学王光华，审题人：王光华）现准备将6台型号相同的电脑分配给5所小学，其中A 、B 两所希望小学每个学校至少2台，其他小学允许1台也没有，则不同的分配方案共有A ．12种B ．15种C ．20种D ．30种 【解析】法一：分类，“42000型”，共有2种方案；“33000型”，共有1种方案；“32100型”，共有种21236A C ⋅=种方案；“22200型”，共有3种方案；“22110型”，共有3种方案；故共有15种不同的分配方案．选B ． 10．（命题人：南通市小海中学夏志辉，审题人：夏志辉）已知f （x ）＝x ＋1，g （x ）＝2x ＋1，数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧f (a n ) (n 为奇数)，g (a n ) (n 为偶数)，则数列{a n }的前2007项的和为A ．5×22008－2008B ．3×22007－5020C ．6×22006－5020D ．6×21003－5020 【解析】∵a 2n ＋2＝a 2n ＋1＋1＝（2a 2n ＋1）＋1＝2a 2n ＋2，∴a 2n ＋2＋2＝＝2（a 2n ＋2）， ∴数列{a 2n ＋2}是以2为公比、以a 2＝a 1＋1＝2为首项的等比数列．∴a 2n ＋2＝2×2 n －1，∴a 2n ＝2 n－2．又a 2n ＋a 2n ＋1＝ a 2n ＋2a 2n ＋1＝3a 2n ＋1，∴数列{a n }的前2007项的和为a 1＋（ a 2＋ a 3）＋ （ a 4＋ a 5）＋ （ a 6＋ a 7）＋ …＋ （ a 2006＋ a 2007） ＝ a 1＋（3a 2＋1）＋ （3a 4＋1）＋ （3a 6＋1）＋ …＋ （3a 2006＋1）＝ 1＋（3×2－5）＋ （3×22－5）＋ （3×23－5）＋ …＋ （3×21003－5）＝ 1＋（3×2－5）＋ （3×22－5）＋ （3×23－5）＋ …＋ （3×21003－5）＝ 3×（2＋22＋23＋…＋21003＋1－5×1003＝6×（21003－1）＋1－5×1003＝6×21003－ 5020 ，故选D ． 二、填空题 11．（命题人：启东中学） 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90︒，AC ＝6，BC ＝CC 1P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是___________．【解析】答案：5 2 ．连A 1B ，沿BC 1将△CBC 1展开与△A 1BC 1在同一个平面内，连A 1C ，则A 1C 的长度就是所求的最小值．通过计算可得∠A 1C 1C ＝90︒．又∠BC 1C ＝45︒，∴∠A 1C 1C ＝135︒ 由余弦定理，可求得A 1C ＝52． 12．（命题人：海门中学吴健，审题人：沈永飞 ）已知函数f （x ）、g （x ）满足x∈R 时，f′（x ）>g′（x ），则x 1<x 2时，则f （x 1）－f （x 2）___g （x 1）－g （x 2）．（填>、<、＝）【解析】记)()()(x g x f x F -=，则)()()(x g x f x F '-'='．由已知，0)(>'x F ，所以)(x F 在R 上单调递增，所以x 1<x 2时，)()(21x F x F <，即f （x 1）－f （x 2） < g （x 1）－g （x 2）． 13．（命题人：通州中学王淦华，审题人：瞿国华） △ABC 内接于以O 为圆心的圆，且3450OA OB OC +-=．则 C ∠＝ ，cos A ＝ ．【解析】通过画图，可求AOB ∠，即OA 与OB 的夹角，再 通过圆心角与圆周角的关系，求得C ∠，而A ∠是BOC ∠ 的一 半，可用半角公式进行计算．答案：135C ∠=，cos A =． 14．（命题人：平潮高级中学吴杰，审题人：宋军）若关于x 的方程x ax x =-23有不同的四解，则a 的取值范围为 ． 【解析】x ＝0是方程的一个根，其余根即方程12=-axx （x ＞0）的根．由f （x ）＝ax x -2（x ＞0）与y ＝1的交点个数，可知a ＞0．且f （2a）＞1，得a ＞2． 15．（命题人：如东中学赵延贵，审题人：刘卫东）已知,,a b c 为正整数，方程20ax bx c ++=的两实根为1212,()x x x x ≠，且12||1,||1x x <<，则a b c ++的最小值为________________________．【解析】提示：依题意，可知212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩，，， 从而可知12,(1,0)x x ∈-，所以有21240(1)01.b ac f a b c c x x a ⎧⎪->⎪-=-+>⎨⎪⎪=<⎩，，24,,.b ac b a c c a ⎧>⎪⇒<+⎨⎪<⎩ 又,,a b c 为正整数，取1c =，则 1a b a b +>⇒≥，所以22444a b ac a a ≥>=⇒>．从而5a ≥，所以2420b ac >≥． 又516b <+=，所以5b =，因此a b c ++有最小值为11．下面可证2c ≥时，3a ≥，从而2424b ac >≥，所以5b ≥． 又5a c b +>≥，所以6a c +≥，所以11a b c ++≥． 综上可得，a b c ++的最小值为11．16．（命题人：如东县马塘中学张志军，审题人：徐永华） 如图，在ΔABC 中，|AB|=3，|AC|=1， l 为BC 的垂直平分线，E 为l 上异于 D 的一点，则⋅AE (AB-AC )等于____．【解析】⊥∴⋅DE BC BC DE =0，又AE =AD +DE ， ∴⋅⋅⋅AE(AB-AC )=(AD+DE )CB =AD CB⋅22111=(AB+AC )(AB-AC )=(AB -AC )=(9-1)=4222． 17．（命题人：海安中学游余祥，审题人：王光华）O 为坐标原点，正△OAB 中A 、B 在抛物线x y 22=上，正△OCD 中C 、D 在抛物线22x y =上，则△ OAB 与△OCD 的面积之比为 ．【解析】设△OAB 的边长为a，则不妨设11,,,2222A a a B a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入x y 22=，得a =；同理，设△OCD 的边长为b ，可得b =:4a b ∴=．18．（命题人：南通中学陆玉英，审题人：顾军）如图，在∠AOB 的两边上分别为1234,,,A A A A ，12345,,,,B B B B B 共9个点，连结线段(14,15)i j A B i j ≤≤≤≤，如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，则图 中共有___________对“和睦线”【解析】一个四边形，有且只有一对“和睦线”，这9图中关于60对“和睦线”． 19．（命题人：南通一中秦志国）已知二次函数f （x ）＝x 2－2x ＋6，设向量a ＝（sin x ，2），b ＝（2sin x ，21），c ＝（cos2x ，1），d ＝（1，2）．当x ∈[0，π]时，不等式f （a ·b ）>f （c ·d ）的解集为___________．【解析】a ·b ＝2sin 2x ＋1≥1， c ·d ＝cos 2x ＋1≥1 ，f （x ）图象关于x ＝1对称， ∴f （x ）在（1，＋∞）内单调递增．由f （a ·b ）>f （c ·d ）⇒a ·b >c ·d ，即2sin 2x ＋1>2cos 2x ＋1，又∵x ∈[0，π] ，∴x ∈（434ππ,）．故不等式的解集为（434ππ,）．20．（命题人：南通市小海中学夏志辉，审题人：夏志辉）设P 为双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-上除顶点外的任意一点，21F ,F 分别为左右点，21PF F ∆ 的内切圆交实轴于点M ，则21MF M F ⋅值为 ．【解析】 由已知，得 121222PF PF a F M F M a -=±-=±，即． 又2c M F M F 21=+，a c a c M F ,a c a c M F 21+-=-+=∴或或． 因此22221b a c )a c )(a c (MF M F =-=-+=⋅． 三、解答题 21．（命题人：海门中学吴健，审题人：沈永飞）已知函数a ax x x f ,13)(3-+=为实常数．（1）a 在什么范围内时，3)(==y x f y 与只有一个公共点？ （2）若]2,0()0,2[1)()(2⋃-+=在xx f x ϕ上有最小值2，求a 的值． 【解析】（1）)(333)(22a x a x x f +=+='．①当0≥a 时，0)(≥'x f ，所以)(x f 在R 上单调增，此时3)(==y x f y 与只有一个公共点； ②当0<a 时，))((3)(a x a x x f ---+=' ．由0)(='x f ，得a x a x -=--=21,． 在x3)(==y x f y 与极大值极小值所以3)(,3)(>-<--a f a f 或，得043<<-a ． 综上，1->a ，3)(==y x f y 与只有一个公共点．（2）x ax xax x x x f x 31131)()(232+=+-+=+=ϕ． 由)()(x x ϕϕ=-，可知)(x ϕ为偶函数，则原题即为)(x ϕ在]2,0(上有最小值2． 设x ax x g 3)(+=（]2,0(∈x ），则222331)(x a x x a x g -=-='．①0<a 时，0)(>'x g ，所以)(x g 在]2,0(上单调增，所以]232,()(ax g +-∞∈． 因为)(x ϕ在]2,0(上有最小值2，所以2232-=+a ，所以38-=a ． ②0=a 时，x x =)(ϕ，无最小值，不合题意． ③0>a 时，)()(x g x =ϕ，222)3)(3(3)(x a x a x x a x x g -+=-='．（I 423a ≥，即时，0)(<'x g ，所以)(x g 在]2,0(上单调减，所以),232[)(+∞+∈ax g ，此时)(x ϕ在]2,0(上的最小值为2232≠+a，不合．（II 4203a <<，即时，由0)(='x g ，得a x 3=．在]2,0(∈x 上列表：∴min min ()()2 3x g x g a ϕ====，所以．综上，a 的值为3138或-．22．（命题人：海门市悦来中学邢素琴，审题人：董卫平）设()x f ＝cx bx ax +++12（a >0）为奇函数，且()x f min ＝22，数列{a n }与{b n }满足如下关系：a 1＝2，2)(1nn n a a f a -=+，11+-=nn n a a b ．（1）求f （x ）的解析表达式；（2）证明：当n ∈N ＋时，有b n ≤n )31(．【解析】（1）由f （x ）是奇函数，得 b ＝c ＝0．由|f （x ）min |＝22，得a ＝2，故f （x ）＝ xx 122+．（2） 2)(1nn n a a f a -=+＝n n n n n a a a a a 2121222+=-+，2112111121112n n nn nn na a ab a a a ++++--==+++＝211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-nn a a ＝2nb ， ∴n b ＝21-n b ＝42-n b ＝…＝121-n b ．而b 1＝31，∴n b ＝12)31(-n ．当n ＝1时，b 1＝31，命题成立．当n ≥2时，∵2ｎ－1＝（1＋1）ｎ－1＝1＋112111----+++n n n n C C C ≥1＋11-n C ＝n ，∴12)31(-n ＜n )31(，即 b n ≤n )31(．23．（命题人：通州中学陈颖，审题人：王淦华）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点为12,F F ，（O 为坐标原点），P 为椭圆上一点，2,OP F P的斜率分别为247-和34-．（1）求证：120PF PF =；（2）若△1OPF 的面积为3，求椭圆方程． 【解析】解法一 （1） 依题意，令21,PF O POF αγ∠=∠=，则324tan tan 2tan 47ααγ===，．∴2γααβαβ==+∴=，．∴21,90OP OF OF θβ==+=，所以120PF PF =． （2）在Rt △12PF F 中，111214562342OPF PF m F F m S m m ∆=∴===⋅⋅，，，所以21 27 25 6m a c b ===∴=，，，． 所以椭圆方程为2214964x y +=． 解法二 （1）令0012()( 0)( 0)P x y F c F c -，，，，，，由题意，得 00247y x =-， ① 0034y x c =--． ②由①、②，可知00217572.75x c y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 1007247521375PF c y k x c c c ∴===+-+．∴12121PF PF k k PF PF =-∴⊥，，∴120PF PF =．24．（命题人：通州中学陈颖，审题人：羌达勋）某地区1986年以来人口总数和居民住宅总面积分别按等比数列和等差数列逐年递增．已知1986年底人均住房面积为102m ，2006年底人均住房面积为202m ．据此计算： （1）1996年底人均住房面积超过142m ，试给出证明； （2）若人口年平均增长率不超过3﹪，能否确保2008年底人均住房面积比2006年底有所增加？为什么？ 【解析】（1）设86年底人口总数为a ，住宅总面积10a ，年人口增长的公比为q （即后一年是前一年人口的q 倍），年住宅总面积的公差为d ，则2006年底人均住房面积为20102020a d s aq +==，则20105(21)d q a =-，故1996年底人均住房面积201010101010514a d q A aq q ++==≥>．（2）2008年底人均住房面积2022221022221a d q p aq q +-==，2008年与2006年底人均住房面积之差2022222220120q q s p q --=-=．∵0q >，∴只需考虑分子2022202()222012(1110) 1 (1)f q q q q q q =--=-->． ∵1921()440()0f q q q '=-<，∴()f q 单调递减．又2021.03 ()(1.03)2 1.03(1110 1.03)1q f q f ∴=⨯-⨯-≥≤，，∴220201110 1.030.39 2 1.032(10.03)2(1200.03) 3.2-⨯>⨯=⨯+>⨯+⨯=，． ∴() 3.20.3910f q >⨯->．此即表明，2008年底人均住房面积仍超过2006年底人均住房面积． 25．（命题人：平潮高级中学吴杰，审题人：宋军）已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径为圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线y ＝x 对称． （1）求双曲线C 的方程；（2）若Q 是双曲线C 上的任一点，F 1、F 2为双曲线C 的左、右两个焦点，从F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程；（3）设直线y ＝m x ＋1与双曲线C 的左支交于A 、B 两点，另一直线L 经过M （－2，0）及AB 的中点，求直线L 在y 轴上的截距b 的取值范围． 【解析】（1）设双曲线C 的渐近线方程为y ＝k x ，即k x －y ＝0．∵该直线与圆1)2(22=-+y x 相切，∴双曲线C 的两条渐近线方程为x y ±=．设双曲线C 的方程为12222=-ay a x ，∵双曲线C 的一个焦点为)0,2(，∴1,2222==a a ．∴双曲线C 的方程为122=-y x ．（2）若Q 在双曲线的右支上，则延长QF 2到T ，使|QT|＝|OF 1|； 若Q 在双曲线的左支上，则在QF 2上取一点T ，使|QT|＝|QF 1|．根据双曲线的定义，|TF 2|＝2，所以点T 在以F 2)0,2(为圆心，2为半径的圆上，即点T 的轨迹方程是)0(4)2(22≠=+-x y x ． ① 由于点N 是线段F 1T 的中点，设N （x ，y ），T （T T y x ,），则2 2.2TT Tx x x y y y y ⎧=⎪⎧=+⎪⎪⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩即， 代入①并整理，得点N 的轨迹方程为221(x y x +=≠． （3）由22221(1)2201y mx m x mx x y =+⎧---=⎨-=⎩，得，．令22)1()(22---=mx x m x f ， 直线与双曲线左支交于两点，等价于方程 )0,(0)(-∞=在x f 上有两个不等实根，因此22020 1120.1m m m m ⎧⎪∆>⎪⎪<<<⎨-⎪⎪->⎪-⎩，，解得 又AB 的中点为)11,1(22m m m --，∴直线L 的方程为)2(2212+++-=x m m y ． 令x ＝0，得817)41(2222222+--=++-=m m m b ． ∵)2,1(∈m ，∴)1,22(817)41(22+-∈+--m ． ∴故b 的取值范围是),2()22,(+∞⋃---∞．26．（命题人：如东中学赵延贵，审题人：刘卫东）已知2)1x ()x (f -=，)1x (10)x (g -=，数列{}n a 满足2a 1=，0)a (f )a (g )a a (n n n 1n =+-+， 1)a )(2n (109b n n -+=．（1）求证：数列{}1a n -是等比数列；（2）当n 取何值时，n b 取最大值，并求出最大值；（3）若1m 1m m m b t b t ++<对任意*N m ∈恒成立，求实数t 的取值范围． 【解析】（1）∵0)a (f )a (g )a a (n n n 1n =+-+，2n n )1a ()a (f -=，)1a (10)a (g n n -=， ∴01)-(a 1)-10(a )a a (2n n n 1n =+-+，即01)-9a -(10a )1a (n 1n n =-+．又2a 1=，可知对任何*N n ∈，01≠-n a ，所以101a 109a n 1n +=+．∵1091a 1101a 1091a 1a n n n 1n =--+=--+，∴{}1a n -是以11a 1=-为首项，公比为109的等比数列．（2）由（I ），可知1a n -＝1n )109(-（*N n ∈）． ∴n n n )109)(2n ()1a )(2n (109b +=-+=，)2n 11(109)109)(2n ()109)(3n (b b n1n n1n ++=++=++．当n ＝7时，1b b 78=，78b b =；当n<7时，1b bn1n >+，n 1n b b >+；当n>7时，1b bn1n <+，n 1n b b <+．∴当n ＝7或n ＝8时，n b 取最大值，最大值为7887109b b ==．（3）由1m 1m m m b t b t ++<，得0])3m (910t 2m 1[t m<+-+． （*） 依题意，（*）式对任意*N m ∈恒成立，①当t ＝0时，（*）式显然不成立，因此t ＝0不合题意．②当t<0时，由0)3m (910t2m 1>+-+，可知0t m <（*N m ∈）． 而当m 是偶数时0t m>，因此t<0不合题意．③当t>0时，由0t m >（*N m ∈），∴0)3m (910t 2m 1<+-+，∴)2m (10)3m (9t ++>（*N m ∈）． 设)2m (10)3m (9)m (h ++=（*N m ∈），∵)2m (10)3m (9)3m (10)4m (9)m (h )1m (h ++-++=-+ ＝0)3m )(2m (1109<++⋅-， ∴h(1)h(2)h(m 1)h(m)>>>->>．∴m)(h 的最大值为56)1(h =．所以实数t 的取值范围是56t >． 27．（命题人：如东中学葛张勇，审题人：刘卫东）在△ABC 中，已知A （0，1），B （0，－1），AC 、BC 两边所在的直线分别与x 轴交于E 、F两点，且·＝4． （1）求点C 的轨迹方程；（2）若8-=，①试确定点F 的坐标；②设P 是点C 的轨迹上的动点，猜想△PBF 的周长最大时点P 的位置，并证明你的猜想．【解析】（1）如图，设点C （x ，y ）（x≠0），E （x E ，0），F （x F ，0），由A ，C ，F 三点共线，0)1()1(·=---⇒E x y x ，x E ＝y x -1．同理，由B 、C 、F 三点共线可得x F ＝yx+1． 化简，得点C 的轨迹方程为x 2＋4y 2－4（x ≠0）． ∵·＝4，∴x E ·x F ＝yxy x +-1·1＝4． （2）若CF BC 8-=， ①设F （x F ，0），C （x C ，y C ），∴8-=⇒（x c ，y c ＋1）＝－8（x F －x c ，y c ）． ∴x c ＝F x 78，y C ＝71．代入x 2＋4y 2＝4， 得x F ＝±3．∴F（±3，0），即F 为椭圆的焦点．②猜想：取F （3，0），设F 1（－3，0）是左焦点，则当P 点位于直线BF 1与椭圆的交点处时，△PBF 周长最大，最大值为8．证明如下：|PF|＋|PB|＝4－|PF 1|＋|PB|≤4＋|BF 1|， ∴△PBF 的周长≤4＋|BF 1|＋|BF|≤8． 28．（命题人：如东县马塘中学张志军，审题人：徐永华）已知三角形ABC 的两顶点A 、B 分别是曲线2255x y +=的左右焦点，且内角满足s i n s i n A B =． （1）求顶点C 的轨迹方程E ；（2）若x 轴上有两点(2 0)(10)M N ，，，，过N 的直线与曲线E 的交点是D 、E ．求D M E Mk k +的值． 【解析】由s i 2c os iosA B =，得sin B A C=，1||||||||2AC BC AB AB -==， 所以顶点C 的轨迹E 的方程为222(1)x y x -=>． （2）设l ：(1)y k x =-（斜率不存在时不合题意），1122(,),(,)D x y E x y由222,(1),x y y k x ⎧-=⎨=-⎩得2222(1)220k x k x k -+--=，则0∆>时，有2212122222,11k k x x x x k k ++=⋅=--． 1221121212121[(1)(1)2(2)22(2)(2)DM EM y y k k kx x kx x k x x x x x x +=+=-+--+-----33121222*********[23()4](4)0(2)(2)(2)(2)11k k k kx x k x x k k x x x x k k +=-++=-+=------．29．（命题人：如皋中学姚新国，审题人：薛钧）第一行是等差数列0，1，2，3，…，2006，将其相邻两项的和依次写下作为第二行，第二行相邻两项的和依次写下作为第三行，依此类推，共写出2007行．（1）求证：第1行至第2006行各行都构成等差数列．（定义只有两项的数列12,a a 也称等差数列）；（2）各行的公差组成数列{}(1,2,3,,2006)i d i =．求通项公式i d ；（3）各行的第一个数组成数列{}(1,2,3,,2006)j a j =，求通项公式j a ；（4）求2007行的这个数． 【解析】（1）记i j a ⋅表示第i 行第j 列的项．由已知知第1行是等差数列；2(1)21(1)1(2)11(1)1(2)1()2k k k k k k k k a a a a a a a a ⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅-=+-+=-=，所以第2行数列是等差数列．3(1)32(1)2(2)22(1)2(2)2()4k k k k k k k k a a a a a a a a ⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅-=+-+=-=，所以第3行数列是等差数列．同理可证，第4，5，…，都是等差数列．（2）1(1)(1)(1)(1)(2)(1)(2)2i i k i k i k i k i k i k i k i k i d a a a a a a a a d ++⋅++⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅=-=+--=-=，12i id d +∴=，则{}i d 是等差数列，11122i i i d d --=⋅=． （3）11222j j j j j j j j a a a a a d a -+⋅=+=++=+，111224j j j ja a ++∴=+． ∴数列{}2j j a 是等差数列，1(1)24j j a j =-，所以21(1)2(1)24j j j a j j -=⋅-⋅=-⋅．（4）2005200720062a =⋅．30．（命题人：如皋中学姚新国，审题人：刘建华） 已知集合2{||1|,}A x x a a x a R =+≤+∈．（1）求A ；（2）若以a 为首项，a 为公比的等比数列前n 项和记为n S ，对于任意的n N +∈，均有n S A ∈，求a 的取值范围．【解析】（1）由2|1|,,x a a x a R +≤+∈得2210,10,(1)0;(1)0.a a x a x a x a x a +≥+<⎧⎧⎨⎨-+++++⎩⎩≤≤ 当1a >时，1x a ≤≤．当1a -1≤≤时， 1a x ≤≤，当1a <-时，1x a --≤≤． 综上，1a >当时，{|1}A x x a =≤≤；1a ∴≤≤当-1时，{|1}A x a x =≤≤；当1a <-时， {|1}A x x a =-≤≤-．（2）当1a ≥时，{|1}A x x a =≤≤．而22S a a A =+∉，故1a ≥时，不存在满足条件的a ；当01a <<时，{1}A a x =≤≤，而(1)1n n a a S a-=-是关于n 的增函数，所以n S 随n 的增大而增大，当1n a S a <-且无限接近1aa-时，对任意的n N +∈，n S A ∈，只须a 满足01,1.1a aa<<⎧⎪⎨⎪-⎩≤ 解得102a <≤． 当1a <-时，{|1}A x x a =-≤≤-．显然1S a A =∉，故不存在实数a 满足条件．当1a =-时，{|11}A x x =-≤≤．2121,0n n S S -=-=，适合．当10a -<<时，{|1}A x a x =≤≤．22122121221212121(1)n n n n n n n n n n S S a a S a a S a a S ++-+---=++=++=++>，2122212222122222(1)n n n n n n n n n n S S a a S a a S a a S ++++++=++=++=++<， 2121222,n n n n S S S S -++∴<<，且2211.S S a S =+> 故1352122242n n n S S S S S S S S S +-<<<<<<<<<<<．故只需21,,S A S A ∈⎧⎨∈⎩ 即21,10.a a a ⎧+≤⎨-<<⎩解得10a -<<．综上所述，a 的取值范围是1{|010}2a a a <≤-≤<或．31．（命题人：如皋一中潘佩，审题人：戴圩章）设x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别是i 、j，坐标平面上点n A 、n B )(*N n ∈分别满足下列两个条件：①1OA j =且1+n n A ＝＋；②OB 31=且1+n n B B ＝2()33ni ⨯． （1）求n OA 及n OB 的坐标；（2）若四边形11++n n n n A B B A 的面积是n a ，求n a )(*N n ∈的表达式；（3）对于（2）中的n a ，是否存在最小的自然数M ，对一切)(*N n ∈都有n a ＜M 成立？若存在，求M ；若不存在，说明理由． 【解析】（1）1121n n n OA OA A A A A -=+++(1)()(1)(1,)j n i j n i nj n n =+-+=-+=-．1121n n n OB OB B B B B -=+++1212223()3()3()3333n i i i i -=+⨯+⨯++⨯21()23399(),02313nn i -⎛⎫=⨯=-⨯ ⎪⎝⎭-． （2）1111212[109()](1)[109()]2323n n n n n n n PA B PA B a S S n n +++=-=-⨯⨯+--⨯⨯△△ 125(2)()3n n -=+-⨯．（3）1122[53(2)()][53(1)()]33n nn n a a n n -+-=+-⨯-+-⨯112223()[(2)(1)()](4)()333n n n n n --=⨯---⨯=-⨯．∴ 120a a -<，230a a -<，340a a -<．450a a -=， 560a a ->，670a a ->，等等． 即在数列{}n a 中，45859a a ==+是数列的最大项，所以存在最小的自然数6M =，对一切*n N ∈，都有n a ＜M 成立．32．（命题人：海安中学游余祥，审题人：王光华）函数()326f x x x =-的定义域为[]2,t -，设()()2,f m f t n -==．（1）求证：n m ≥ ；（2）确定t 的范围使函数()f x 在[]2,t -上是单调函数； （3）求证：对于任意的2t >-，总存在()02,x t ∈-，满足()'02n mf x t -=+；并确定这样的0x 的个数．【解析】（1）设()h t n m =-，则()h t =223)4)(2(326-+=+-t t t t 0≥，所以n m ≥． （2）()2312f x x '=-，令()0f x '=，得120,4x x ==． 当()2,0t ∈-时，[]2,x t ∈-时，()'0f x >，()f x 是递增函数； 当0t =时，显然()f x 在[]2,0-也是递增函数．∵0x =是()f x 的一个极值点，∴当0t >时，函数()f x 在[]2,t -上不是单调函数． ∴当(]2,0t ∈-时，函数()f x 在[]2,t -上是单调函数．（3）由（1），知2(2)(4)n m t t -=+-，∴()242n m t t -=-+． 又∵()'2312f x x =-， 我们只要证明方程()*()2231240x x t ---=在()2,t -内有解即可． 记()()223124g x x x t =---，则()()()()22364210g t t t -=--=-+-，()()()()223124224g t t t t t t =---=+-，()()()()22223640,31240g t g t t t t -=-->=--->， ∴()()()()()2222410g g t t t t -⋅=-+--．①当()()2,410,t ∈-⋃+∞时，()()()()()22224100g g t t t t -⋅=-+--<， 方程()*在()2,t -内有且只有一解；②当()4,10t ∈时，()()()22100g t t -=-+->，()()()2240g t t t =+->，又()()221240g t =---<，∴方程()*在()()2,2,2,t -内分别各有一解，方程()*在()2,t -内两解；③当4t =时，方程()23120g x x x =-=在()2,4-内有且只有一解0x =；④当10t =时，方程()()()2312363260g x x x x x =--=+-=在()2,10-内有且只有一解6x =．综上，对于任意的2t >-，总存在()02,x t ∈-，满足()'02n mf x t -=+． 当(][)2,410,t ∈-⋃+∞时，满足()'02n mf x t -=+，()02,x t ∈-的0x 有且只有一个；当()4,10t ∈时，满足()'02n mf x t -=+，()02,x t ∈-的0x 恰有两个． 33．（命题人：南通一中朱柏华）两名大学毕业生去某单位应聘，该单位要从参加应聘的人中录用5人，且两人同时被录用的概率为191． （1）求参加应聘的人数；（2）求两人中至少有一人被录用的概率．【解析】（1）设参加应聘的人数为x ，则191532=-XX C C ，得x ＝20． （2）设两人中至少有一人被录用的概率为1P ，则1P ＝1－520518C C ＝3817． 34．（命题人：南通市小海中学夏志辉，审题人：夏志辉）设椭圆22a x ＋22by ＝1，a ＞b ＞0的左焦点为F 1，上顶点为A ，过点A 与AF 1垂直的直线分别交椭圆和x 轴正半轴于P 、Q 两点，且P 分向量所成的比为λ．（1）当λ∈（1，2）时，探求椭圆离心率（e1－e ）2的取值范围；（2）当λ＝58时，过A 、Q 、F 1三点的圆恰好与直线L ：x ＋3y ＋3＝0相切，求椭圆的方程．【解析】（1）设Q （x 0，0），F 1（－c ，0），A （0，b ），∵P 分向量所成的比为λ， ∴P（λλ+10x ，λ+1b ），∴（λλ+10x ）221a ＋（λ+1b ）221b＝1． ①而A F 1＝（c ，b ），＝（x 0，－b ），F 1·＝0，∴cx 0－b 2＝0． ②由①、②消去x 0，得（λλ+12b ）2221a c ＋（λ+11）2＝1，即λ2224a cb ＝（1＋λ）2－1，即（e 1－e ）2＝1＋λ2∈（（2）当λ＝58时，e －e 1＝－23，∴e＝21，a ＝2c ．又∵△AF 1Q 是直角三角形，其外接圆圆心是斜边中点，∴圆心为（2)(2c c b -+，0）＝（c c c a 2222--，0）＝（c ，0），半径为r ＝22cc b +＝ca 22＝a ．由圆恰好与直线L ：x ＋3y ＋3＝0相切，得2|3|+c ＝a ，∴a＝2，b ＝3．∴椭圆方程为42x ＋32y ＝1．35．（命题人：南通市小海中学夏志辉，审题人：夏志辉）设一动点M 在x 轴正半轴上，过动点M 与定点)2,1(P 的直线交y ＝x （x>0）于点Q ，动点M在什么位置时，11PM PQ +有最大值，并求出这个最大值． 【解析】 设:(2)1l y k x =-+，要它与(0)y x x =>相交，则10k k ><或．令10(2,0)y M k =-，得，令x y =，得2121(,)11k k Q k k ----．∴MP PQ∴0)111).k u PM PQ k <=+==>，于是222222(12)(4)4101k u u k k u k-=⇒-++-=+． 由220(5)0u u ∆-≥，得≤，∴205u u ∴≤≤， 而当l 的方程为x ＝2时，u ＝2，∴max u =k ＝－2，进而求得5( 0)2M ，．。
2022-2023学年湖北省武汉市部分重点中学高二上学期期中联考数学试题(解析版)
2022-2023学年湖北省武汉市部分重点中学高二上学期期中联考数学试题一、单选题1．直线220x y 在x 轴上的截距是（ ） A ．1 B ．1- C ．2- D ．2【答案】C【分析】根据直线在坐标轴上的截距的定义，建立方程，可得答案. 【详解】将0y =代入直线方程220x y ，可得20x +=，解得2x =-. 故选：C.2．双曲线2214x y -=的焦点坐标为A ．30,B ．(0,C ．()D ．(0,【答案】C【详解】224,1a b == ，所以2225c a b =+= ，并且焦点在x 轴，那么焦点坐标就是()，故选C.3．已知(1,0,1)a =，(2,1,1)b =，则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】A【分析】利用空间向量夹角公式即可求解 【详解】由(1,0,1)a =，(2,1,1)b =， 所以cos ,a b a b a b⋅<>=⋅==又[],0,πa b <>∈所以a 与b 的夹角为π6故选：A4．若曲线221:650C x y x +-+=与曲线2:()0C y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．30,3⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．⎡⎢⎣⎦D ．,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【分析】曲线221:650C x y x +-+=表示圆，曲线2:()0C y y mx m --=表示两条直线0y =和0y mx m --=，利用直线与圆的位置关系求解即可.【详解】由221:650C x y x +-+=得22(3)4x y -+=， 所以1C 表示以(3,0)为圆心，2为半径的圆， 显然0y =与曲线221:650C x y x +-+=有两个交点，所以直线0y mx m --=与曲线221:650C x y x +-+=有除0y =即0m =外的2个交点，由226500x y x y mx m ⎧+-+=⎨--=⎩得2222(1)(26)50m x m x m ++-++=，令2222(26)4(1)(5)0m m m ∆=--++>解得m <<综上m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 故选：B5．对于直线,m n 和平面,αβ，αβ⊥的一个充分条件是（ ） A ．m n ⊥，m ∥α，n ∥β B ．m n ⊥，m αβ=，n ⊂αC ．//m n ，n β⊥，m α⊂D ．//m n ，m α⊥，n β⊥【答案】C【分析】根据空间线面、面面位置关系的判定定理和性质定定理逐个分析即可得答案. 【详解】A 选项中，根据m n ⊥，m ∥α，n ∥β，得到αβ⊥或α∥β，所以A 错误； B 选项中，m n ⊥，m αβ=，n ⊂α，不一定得到αβ⊥，所以B 错误；C 选项中，因为//m n ，n β⊥，所以m β⊥，又m α⊂，从而得到αβ⊥，所以C 正确；D 选项中，根据//m n ，m α⊥，所以n α⊥，而n β⊥，所以得到α∥β，所以D 错误. 故选：C ．【点睛】本题考查空间中线面关系有关命题的判断，面面关系有关命题的判断，属于简单题.6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若A 为线段1BF 的中点，且12BF BF ⊥，则C 的离心率为（ ） A ．3 B ．2C ．31+D ．3【答案】B【分析】由题意可得12BF F △为直角三角形，再结合A 为线段1BF 的中点，可得AO 垂直平分1BF ，可表示出直线12BF BF ，，再联立渐近线方程可以得到a ，b ，c 的关系，进而得到双曲线离心率 【详解】由题意可知，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，当两个交点分别在第二和第三象限时不符合，A 为线段1BF 的中点，当交点在x 轴上方或x 轴下方时，根据对称性结果是一样的，选择一种即可，如图.根据双曲线可得，1(,0)F c -，2(,0)F c ，两条渐近线方程by x a=±，12BF BF ⊥，O 为12F F 的中点，∴12BO OF OF c ===，又A 为线段BF 1的中点，∴OA 垂直平分1BF ，可设直线1BF 为()ay x c b =+①，直线2BF 为()b y x c a =--②，直线BO 为b y x a =③，由②③得，交点坐标(,)22c bc B a ，点B 还在直线1BF 上，∴()22bc a cc a b =+，可得223b a =， 22224c a b a =+=，所以双曲线C 的离心率2ce a==， 故选：B7．已知点P 在直线2y x =-上运动，点E 是圆221x y +=上的动点，点F 是圆22(6)(5)9x y -++=上的动点，则||||PF PE -的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】D【分析】作出221x y +=关于直线2y x =-的对称圆，把PE 转化到与||PF ，直线2y x =-同侧的1PE ，数形结合找到||||PF PE -取最大值的位置，求出||||PF PE -的最大值.【详解】如图所示，圆22(6)(5)9x y -++=的圆心为()6,5A -，半径为3，圆221x y +=关于直线2y x =-的对称圆为圆B ，其中设圆心B 坐标为(),m n ， 则1222nmn m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ，解得：22m n =⎧⎨=-⎩，故圆B 的圆心为()2,2-，半径为1， 由于此时圆心A 与圆心B 的距离为：()[]22625(2)5AB =-+---=，大于两圆的半径之和，所以两圆相离，此时E 点的对称点为1E ，且1PE PE =，所以1PF PE PF PE -=-，在P 点运动过程中，当P ，B ，A ，1E ，F 五点共线时，且1E 在圆B 左侧，点F 在圆A 右侧时，1PF PE -最大，最大值为111539E F E B BA AF =++=++=故选：D.8．在正四面体D ABC-中，点E在棱AB上，满足2AE EB=，点F为线段AC上的动点，则（）A．存在某个位置，使得DE BF⊥B．存在某个位置，使得π4 FDB∠=C．存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为7 14D．存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为3 2【答案】C【分析】设正四面体D ABC-的底面中心为点O，连接DO，则DO⊥平面ABC，以点O为坐标原点，OB、OD所在直线分别为x、z轴建立空间直角坐标系，设正四面体D ABC-的棱长为2，然后利用空间向量法逐一分析求解可得结果.【详解】如下图所示，设正四面体D ABC-的底面中心为点O，连接DO，则DO⊥平面ABC，以点O为坐标原点，OB、OD所在直线分别为x、z轴建立空间直角坐标系，设正四面体D ABC-的棱长为2，则31,0A⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，23B⎫⎪⎪⎝⎭，3C⎛⎫⎪⎪⎝⎭，26D⎛⎝⎭，31,03E⎫-⎪⎪⎝⎭，设3,0Fλ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，其中11λ-≤≤，对于A，若存在某个位置使得DE BF⊥，3126,33DE⎛=-⎝⎭，()3,,0BFλ=-，所以1103DE BFλ⋅=--=，解得3λ=-，不满足题意，故A错误；对于B，若存在某个位置使得π4FDB∠=，326,DFλ⎛=-⎝⎭，23263DB⎛=⎝⎭，则cos,DF DBDF DBDF DBλ⋅====⋅B错误；对于C，设平面DBF的一个法向量为()333,,u x y z=，23DB⎛=⎝⎭，,DFλ⎛=-⎝⎭，由3333323333u DB x zu DFx yλ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，令3zλ=，则()2uλλ=，若存在某个位置，使得直线DE与平面DBF，又31,33DE⎛=-⎝⎭，cos,3u DEu DEu DEλ⋅====⋅整理得240λλ+=，解得0λ=或4λ=-（舍去），所以存在F⎛⎫⎪⎪⎝⎭，即F为AC的中点，满足题意，故C正确；对于D，设平面DAC的一个法向量为()111,,m x y z=，又1,DA⎛=--⎝⎭，3DC⎛=-⎝⎭，由1111113333m DA x ym DC y⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，取11z=-，得()22,0,1m=-，设平面DEF的一个法向量为()222,,xn y z=，31,33DE⎛=-⎝⎭，,3DFλ⎛=-⎝⎭，由222222313333n DE x y zn DF x y zλ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，取2y=()221nλ=+-，若存在某个位置，使得平面DEF与平面DACcos ,3m n m n m n ⋅===⋅⨯ 整理得247422790λλ-+=，易得2424472790∆=-⨯⨯<，所以该方程无解，故D 错误. 故选：C.【点睛】关键点睛：本题解决的关键点在于建立空间直角坐标系，利用空间向量法解决立体几何的相关问题，解题过程要注意利用方程思想进行向量运算，认真细心，准确计算．二、多选题9．方程222210x y ax ay a +-+++=表示圆，则实数a 的可能取值为（ ） A ．4 B ．2C ．0D ．2-【答案】AD【分析】先把222210x y ax ay a +-+++=整理成圆的标准形式，满足右边关于a 的表达式大于零. 【详解】把方程222210x y ax ay a +-+++=整理成()22222222144a a x ax y ay a a a ⎛⎫-++++=+-- ⎪⎝⎭，即()22252124a a x y a a ⎛⎫-++=-- ⎪⎝⎭，若表示圆则满足 252104a a -->即25840a a -->，即()()5220a a +-> 所以25a <-或2a >，观察答案中只有4和2-符合题意.故选：AD10．若直线m 被两平行直线1:0l x =与2:0l x +=则直线m 的倾斜角可以是（ ） A ．30︒B ．75︒C ．135︒D ．165︒【答案】BD【分析】设直线m 与两平行直线所夹的锐角或直角为α，再结合两平行直线的距离公式，以及直线斜率和倾斜角之间的关系，即可求解.【详解】设直线m 与两平行直线所夹的锐角或直角为α， 两平行直线1:0l x =与2:0l x +=的距离为：()22333313d -==+- ，因为直线m 被两平行直线1l 与2l 所截得的线段长为6所以32sin 26α== 所以45α=因为直线1l 的斜率为：33k =，倾斜角为30 所以直线m 的倾斜角可以是75︒或165︒ 如图所示：故选：BD.11．已知椭圆2212516x y +=，1F 、2F 分别为它的左、右焦点，A 、B 分别为它的左、右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，下面结论中正确的有（ ） A ．12PF PF +的最小值为8 B ．12cos F PF ∠的最小值为725C ．若12π3F PF ∠=，则12F PF △163D ．直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值1625【答案】ABC【分析】设点()00,P x y ，则055x -≤≤，利用平面向量的坐标运算以及模长公式可判断A 选项；利用余弦定理结合椭圆定义、基本不等式可判断B 选项；利用三角形的面积公式可判断C 选项；利用斜率公式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，设点()00,P x y ，则055x -≤≤，且2200161625y x =-，()13,0F -、()23,0F ， ()()()120000003,3,2,2PF PF x y x y x y +=---+--=--，所以，2222200120169221621682525x x PF PF x y x +=+=+-=+≥，当且仅当00x =时，等号成立，故12PF PF +的最小值为8，A 对； 对于B 选项，设1PF m =，2PF n =，其中10m n +=，()222222212244443232cos 11112222m n c m n c a c F PF mn mn mn mn m n +-+--∠==-=-=-≥-+⎛⎫⎪⎝⎭32712525=-=，当且仅当5m n ==时，等号成立， 因此，12cos F PF ∠的最小值为725，B 对； 对于C 选项，由B 选项可知12321cos 12F PF mn ∠=-=，可得643mn =，所以，121π163sin 233F PF S mn ==△，C 对； 对于D 选项，由题意可知05x ≠±，则()2200002200001625162555252525PA PB x y y y k kx x x x -=⋅===-+---，D 错. 故选：ABC.12．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 为棱AB 的中点，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，则下列选项中正确的是（ ）A ．存在点P 满足15PM PD +B ．存在点P 满足12D PM π∠=C ．满足1APD M ⊥的点P 3D ．满足1MP D M ⊥的点P 【答案】ABD【分析】对于A 选项可以假定1PM PD ==PM =P 轨迹是以B 为圆心，长度为1的圆上，同理1PD =转化成点P 轨迹是以C 1为圆心，长度为12的圆上,两个圆位置关系即可判定A 选项； 建立空间直角坐标系，点P 在11BCC B 中心，利用向量法可判定B ；对于CD 选项，利用三垂线定理分别找出1D M 垂直的两个平面，与11BCC B 的交线即为点P 的轨迹， 可以判断CD ；【详解】对于A 选项，假设1PM PD ==P 到M 距离可以转化成PM =正好点12BM =，且BM 始终垂直平面11BCC B ，所以只需要让1BP =即可，点P 轨迹是以B 为圆心，长度为1的圆上，同理1PD =，111D C =，只需要让112C P =即可，点P 轨迹是以C 1为圆心，长度为12的圆上，如图1.又因为1111122BC -<=<+，所以两个圆相交有交点，即存在点P 满足1PM PD == 选项A 正确；对于B 选项，建立空间直角坐标系，如图2，1(1,,0)2M ，1(0,0,1)D ，若点P 在正方形11BCC B 中心处，即11(,1,)22P ，则111(,1,)22D P =-，111(,,)222MP =-，可得10D P MP ⋅=，∴12D PM π∠=，存在点P ，故选项B 正确；对于C 选项，取1BB 的中点E ，BC 的中点F ，连接AE ，EF ，AF .因为1D M 在平面11A ABB 的射影 为1A M ，又1A M AE ⊥，所以1D M AE ⊥，同理1D M 在平面ABCD 的射影为DM ，又AF DM ⊥， 所以1D M AF ⊥，因为AE AF A ⋂=，所以1D M ⊥平面AEF ，又因为点P 在侧面11BCC B 上，平面AEF ⋂平面11BCC B EF =，所以点P 的轨迹为EF =C 错误；对于D 选项，过M 点作//MG AF 交BC 于点G ，过M 点作//AE MH 交1BB 于H ，则14BG HG ==， 因为1D M AF ⊥，所以1MG D M ⊥，同理1MH D M ⊥，MH MG M ⋂=，∴1D M ⊥平面MHG ，平面MHG ⋂平面11BCC B HG =，所以点P 的轨迹为22112()()444HG =+=，所以选项D 正确. 故选：ABD【点睛】本题采用了假设法，数形结合，根据正方体的几何特质将线线垂直轨迹的求法转化为线面垂直，进而转化成面面交线，这是判断本题的关键，考察直观想象和逻辑推理能力.三、填空题13．设方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是__________. 【答案】0<k<1 【详解】解析过程略14．过点()4,3P 做圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为M ，N ，则MN =________． 4214215【分析】根据题意作出图像，利用两点距离公式求得OP ，再在Rt PMO 与Rt PMQ 中利用正弦函数的定义求得MQ ，进而求得MN .【详解】依题意，连结,PO MO ，记Q 为,PO MN 的交点，因为,PM PN 与圆O 相切，所以PM PN =，MO PM ⊥，PO MN ⊥，Q 是MN 的中点， 因为()4,3P ，()0,0O ，所以1695PO =+=，又2MO r ==，所以在Rt PMO 中，2221MP PO MO =-=，2sin 5MO MPO PO ∠==， 故在Rt PMQ 中，2221sin 2155MQ PM MPO =∠=⨯=，所以21524MN MQ ==. 故答案为：4215.15．如图，两条异面直线a ，b 所成角为60︒，在直线上a ，b 分别取点A '，E 和点A ，F ，使AA a '⊥且AA b '⊥.已知2A E '=，3AF =，5EF =.则线段AA '=______.【答案】326【分析】根据空间向量的加法，利用向量数量积的性质计算模长，建立方程，可得答案. 【详解】因为EF EA A A AF ''=++，所以()22EF EA A A AF''=++222222EA A A AF EA A A EA AF A A AF ''''''=+++⋅+⋅+⋅，由于AA a '⊥，AA b '⊥，则20EA A A ''⋅=，20A A AF '⋅=，又因为两条异面直线a ，b 所成角为60︒，所以,60EA AF '=或120， 故2222523223cos ,A A EA AF ''=+++⨯⨯⨯，可得32A A '=.故答案为：四、双空题16．城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此乘坐出租车时往往不能沿直线到达目的地，只能按直角拐弯的方式行进．在平面直角坐标系中，定义()11,P x y ，()22,Q x y 之间的“出租车距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-．已知(6,1),(3,3),(2,1)A B C ---，则到点A ，B “距离”相等的点的轨迹方程为________，到A ，B ，C 三点“距离”相等的点的坐标为________．【答案】 5,627,6321,32x y x x x ⎧<-⎪⎪⎪=---≤≤-⎨⎪⎪->-⎪⎩；31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【分析】根据定义列方程化简可得到点A ，B “距离”相等的点的轨迹方程，根据定义再求到点A ，C “距离”相等的点的轨迹方程，求两轨迹的交点可得第二空结论.【详解】设到点A ，B “距离”相等的点为(),M x y ，则()(),,d M A d M B = 因为(6,1)A --，(3,3)B -，所以()()()6133x y x y --+--=--+-， 即6133x y x y +++=++-，当6x <-，1y <-时， 6133x y x y ----=---+，即70-=，矛盾， 当6x <-，13y -≤≤时， 6133x y x y --++=---+，即52y =， 当6x <-，3y >时， 6133x y x y --++=--+-，即56-=-，矛盾， 当63x -≤≤-，1y <-时， 6133x y x y +--=---+，即52x =-，矛盾，当63x -≤≤-，13y -≤≤时， 6133x y x y +++=---+，即72y x =--，当63x -≤≤-，3y >时， 6133x y x y +++=--+-，即132x =-，矛盾， 当3x >-，1y <-时， 6133x y x y +--=+-+，即56=，矛盾， 当3x >-，13y -≤≤时， 6133x y x y +++=+-+，即12y =-，当3x >-，3y >时， 6133x y x y +++=++-，即70=，矛盾，所以到点A ，B “距离”相等的点的轨迹方程为5,627,6321,32x y x x x ⎧<-⎪⎪⎪=---≤≤-⎨⎪⎪->-⎪⎩，设到点A ，C “距离”相等的点为(),P x y ，则()(),,d P A d P C =， 因为(6,1)A --，(2,1)C ，所以()()6121x y x y --+--=-+-， 即6121x y x y +++=-+-，当6x <-，1y <-时， 6121x y x y ----=-+-+，即73-=，矛盾， 当6x <-，11y -≤≤时， 6121x y x y --++=-+-+， 即4y =，矛盾 当6x <-，1y >时， 6121x y x y --++=-++-，即51-=，矛盾， 当62x -≤≤，1y <-时， 6121x y x y +--=-+-+，即=1x -，当62x -≤≤，11y -≤≤时， 6121x y x y +++=-+-+，即2y x =--， 当62x -≤≤，1y >时， 6121x y x y +++=-++-，即3x =-， 当2x >，1y <-时， 6121x y x y +--=--+，即51=-，矛盾， 当2x >，11y -≤≤时， 6121x y x y +++=--+，即4y =-，矛盾， 当2x >，1y >时， 6121x y x y +++=-+-，即73=-，矛盾，所以到A ，C “距离”相等的点的轨迹方程为1,12,113,1y x y y y -<-⎧⎪=---≤≤⎨⎪->⎩，作两方程的图象可得：观察图象可得两曲线有一个交点，且交点纵坐标为12-，代入2x y =--可得32x =-，所以两曲线的交点坐标为31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故答案为：5,627,6321,32x y x x x ⎧<-⎪⎪⎪=---≤≤-⎨⎪⎪->-⎪⎩，31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭.五、解答题17．已知双曲线C 的焦点在x 轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为y x =． (1)求C 的标准方程； (2)若直线1:12l y x =-与双曲线C 交于A ，B 两点，求||AB ． 【答案】(1)2213x y -=(2)【分析】（1）焦点在x 轴上，设方程为22221(0,0)x y a b ab-=>>根据题意求出,a b 即可（2）设点，联立方程组，消元得一元二次方程，由韦达定理，然后利用弦长公式计算即可【详解】（1）因为焦点在x 轴上，设双曲线C 的标准方程为22221(0,0)x ya b a b-=>>，由题意得24c =， 所以2c =，①又双曲线C的一条渐近线为y x =，所以b a =② 又222+=a b c ，③联立上述式子解得a =1b =， 故所求方程为2213x y -=；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立2211213y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，整理得213604x x +-=，由2134()(6)1504∆=-⨯⨯-=>，所以1212x x +=-，1224x x =-，即AB ==18．已知ABC 的顶点()5,1A ，重心()3,3G ． (1)求线段BC 的中点坐标；(2)记ABC 的垂心为H ，若B 、H 都在直线y x =-上，求H 的坐标． 【答案】(1)(2,4) (2)(5,5)H -【分析】第一问根据顶点到重心的距离与重心到底边中点的距离比为2:1，可得对应的共线向量解决求BC 的中点；根据BH 求AC ，设点C 的坐标，根据BC 的中点可以用C 表示B ，根据点C 在AC 上且点B 在BH 上，求出点C 的坐标，根据BC 与AH 垂直求出AH 的方程，然后联立AH 与BH . 【详解】（1）设BC 中点()00,M x y ， 因为G 为ABC 的重心，且()()5,1,3,3A G ，所以2AG GM =，即()()002223,3x y -=--，所以0000312314x x y y -=-=⎧⎧∴⎨⎨-==⎩⎩，所以BC 中点()2,4M（2）因为BH 的方程为y x =-，且H 为ABC 的垂心 所以1BH AC k k ⋅=-即11AC k -⋅=-，所以1AC k = 所以直线AC 的方程为：15y x -=-，即4y x =-所以设点(),4C C C x x -，又因为BC 的中点()2,4M ，设(),B B B x y 则2244248B C B Cx x y x +=⨯=⎧⎨+-=⨯=⎩即412B CB C x x y x =-⎧⎨=-⎩ 又因为点B 在直线y x =-上，即()124C C x x -=--，所以8C x = 所以()8,4C ，所以44082BC MC k k -===-，则BC 边上的高线AH 为5x = 而点H 也在直线BH ：y x =-上，所以点H 的坐标即为AH 与BH 的交点 即()5,5H -.19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90BAD ∠=，222PD DC BC PA AB =====，PD CD ⊥．(1)求证：PA ⊥平面ABCD ；(2)求直线BD 与平面BPC 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 21【分析】（1）取CD 的中点E ，连接BE ，证明出PA AB ⊥，PA AD ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线BD 与平面BPC 所成角的正弦值.【详解】（1）证明：由于//AB CD ，90BAD ∠=，所以CD AD ⊥，由于PD CD ⊥，=PD AD D ⋂，PD 、AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，AB ∴⊥平面PAD ，由PA ⊂平面PAD ，得AB PA ⊥.取CD 的中点E ，连接BE ，因为底面ABCD 是直角梯形，//DE AB 且222DC DE AB ===，90BAD ∠=， 故四边形ABED 为矩形，且AD BE =且BE CD ⊥，223AD BE BC CE ∴=-=， 所以在PAD 中，1PA =，2PD =，222AD PA PD +=，即PA AD ⊥， 由于AD AB A ⋂=，AB 、AD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD .（2）解：PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()1,0,0B 、()2,3,0C 、()0,3,0D 、()0,0,1P ，()1,3,0BD =-，()1,0,1PB =-，()1,3,0BC =，设平面BPC 的法向量为(),,n x y z =，则030n PB x z n BC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取3x =，可得()3,1,3n =-，所以，2321cos ,727BD n BD n BD n⋅<>==-=-⨯⋅.所以，直线BD 与平面BPC 所成角的正弦值为217. 20．如图，已知圆22:1O x y +=，点P 为直线2350x y +-=上一动点，过点P 作圆O 的切线，切点分别为M 、N ，且两条切线PM 、PN 与x 轴分别交于A 、B 两点．(1)当P 在直线y x =上时，求PA PB -的值；(2)当P 运动时，直线MN 是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)52(2)直线MN 过定点525⎝⎭【分析】（1）求出点P 的坐标，分析可知过点P 且与圆O 相切的直线的斜率存在，设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线的斜率，求出两条切线的方程，可求得点A 、B 的坐标，再利用平面内两点间的距离公式可求得PA PB -的值；（2）设点()2,P t t ，写出以点P 为圆心，PM 为半径的圆P 的方程，将圆P 的方程与圆O 的方程作差，可得出直线MN 的方程，化简直线MN 的方程，可得出直线MN 所过定点的坐标. 【详解】（1）解：联立20y xx y =⎧⎪⎨+-=⎪⎩可得x y ==P，若过点P 的直线垂直于x轴，则该直线的方程为x =x =O 不相切， 设过点P 且与圆O相切的直线的方程为(y k x，即0kx y -+=，则圆心O到切线的距离为1d ==，整理可得22520k k -+=，解得12k =，212k =， 由图可知，直线PM的方程为(1122y x x =+PN的方程为(22y x x =在直线PM 的方程中，令0y =，可得x =()A ，在直线PN 的方程中，令0y =，可得x =B ⎫⎪⎪⎝⎭，5PA =-=，52PB =， 因此，55522PA PB -=-=. （2）解：分析知M 、N 在以P 为圆心，PM为半径的圆上，设()2,P t t ，()2222OP tt =+，21OM =，()2222221PM PO OM tt =-=+-，所以，以点P 为圆心，半径为PM的圆的方程为()()()2222221x ty t tt -+-=+-，将圆P 和圆O 的方程作差，消去2x 、2y可得(210t x ty --+=， 即()()210t x y ---=，故直线MN 的方程为()()210t x y ---=.由2010x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩可得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩MN过定点⎝⎭. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明. 21．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，13AA =，E 点为棱AB 的中点．(1)求二面角1A EC C --的余弦值；(2)连接EC ，若P 点为直线EC 上一动点，求当P 点到直线1BB 距离最短时，线段EP 的长度． 【答案】1517【分析】（1）以1D 为原点，11D A 、11D C 、1D D 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角1A EC C --的余弦值；（2）设,32EP EC λλλλ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，其中01λ≤≤，计算出点P 到直线1BB 的距离d 的表达式，利用二次函数的基本性质可求出d 的最小值及对应的λ的值，进而可求得EP 的长.【详解】（1）解：以1D 为原点，11D A 、11D C 、1D D 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,03A ,、11,,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭、(3C 、()10,1,0C 、(3B 、()11,1,0B ， 则10,,32AE ⎛=- ⎝，111,,02EC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(13CC =， 设平面1AEC 的法向量为()111,,m x y z =，则111111302102m AE y z m EC x y ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩， 取13x ()3,23,1m =， 设平面1ECC 的法向量为()222,,x n y z =，则1212230102n CC z n EC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 取21x =，可得()1,2,0n =，5315cos ,45m nm n m n ⋅<>===⨯⋅ 由图可知，二面角1A EC C --的平面角为锐角，故二面角1A EC C --15（2）解：设,32EP EC λλλλ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，其中01λ≤≤， 则11110,,0,3,3222B P B E EP λλλλλλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令()110,0,1B Bu B B ==，设点P 到直线1B B 的距离为d ，则()()))22222222111511332424d B P B P u λλλλλλ-⎛⎫=-⋅=-++-=-+ ⎪⎝⎭， 故当1125524λ==⨯时，d 取最小值，此时11171755EP EC ===22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点⎛ ⎝⎭，过其右焦点F 且垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且||3AB =．(1)求椭圆C 的方程；(2)若矩形MNPQ 满足各边均与椭圆C 相切，求该矩形面积的最大值，并说明理由．【答案】(1)22:143x y C += (2)14，理由见解析【分析】(1)由条件列关于,a b 的方程，解方程求,a b 可得椭圆方程；(2)先求当直线MN 的斜率为0或不存在时时满足条件的矩形MNPQ 的面积，再根据直线与椭圆相切的关系求当直线MN 的斜率存在且不为0时矩形MNPQ 的面积的表达式，利用基本不等式求其最值，比较可得结论.【详解】（1）因为过椭圆的右焦点F 且垂直于x 轴直线AB 交椭圆于A ，B 两点，||3AB =， 所以椭圆过点3(,)2c，又椭圆过点(， 有222229413341c a b a b ⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩①②，变形22294b b a =①：，得223b a =代入②， 得23112a a+=，即2260a a --=，0a >，解得2a =，则b = 所以椭圆C 的方程为22143x y +=； （2）①当MN 的斜率为0时，24MN a ==，2PQ b ==，此时22MNPQ S MN PQ a b =⋅=⋅=②当MN的斜率不存在时，2MN b ==24PQ a ==，此时22MNPQ S MN PQ b a =⋅=⋅=③当MN 的斜率存在且不为0时，设直线MN ：1y kx t =+，直线PQ ：2y kx t =+，12t t ≠，联立1223412y kx t x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得()222113484120k x kt x t +++-=， ()()22221164163430k t t k ∆=--+=，化简得22143k t +=，同理可得22243k t +=，所以两平行线MN和PQ的距离1d NP===，以1k-代替k，可得两平行线MQ和NP的距离2d MN===，所以矩形MNPQ的对角线MP NQ====根据基本不等式2221422MNPQMN NP MPS MN NP+=⋅≤==，当且仅当MN NP=，即1k=±时等号成立，因为14>所以矩形MNPQ面积的最大值为14.【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．。
2023-2024学年山东省青岛二中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省青岛二中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线y ＝2x +1关于x 轴对称的直线方程为（ ） A ．y =12x −1B ．y =12x +1C ．y ＝﹣2x +1D ．y ＝﹣2x ﹣12．两条平行直线l 1：3x +4y ﹣5＝0与l 2：6x +8y ﹣5＝0之间的距离是（ ） A ．0 B ．12C ．1D ．323．若椭圆x 23+y 24=1的长轴端点与双曲线y 22−x 2m=1的焦点重合，则m 的值为（ ）A ．4B ．﹣4C ．﹣2D ．24．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√5，C 的一条渐近线与圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1交于A ，B 两点，则|AB |＝（ ） A ．√55B ．2√55C ．3√55D ．4√555．如果直线y =−√33x +m 曲线y =√1−x 2有两个不同的公共点，那么实数m 的取值范围是（ ）A ．[1，2√33）B ．[√33，2√33）C ．（−√33，2√33] D ．（−2√33，2√33） 6．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F （3，0），过点F 且斜率为12的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（ ） A ．x 245+y 236=1 B ．x 236+y 227=1C ．x 227+y 218=1D ．x 218+y 29=17．已知直线l ：y =kx +18与抛物线y ＝2x 2相交于A ，B 两点，若|AF |＝1，则|AB |＝（ ） A ．2 B ．87C ．98D ．328．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆上的动点，I 和G 分别是△PF 1F 2的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．√33C ．√32D ．√63二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知方程C ：x 216+k −y 29−k =1(k ∈R)，则下列说法中正确的有（ ） A ．方程C 可表示圆B ．当k ＞9时，方程C 表示焦点在x 轴上的椭圆C ．当﹣16＜k ＜9时，方程C 表示焦点在x 轴上的双曲线D ．当方程C 表示椭圆或双曲线时，焦距均为1010．已知圆C 1：x 2+y 2＝9与圆C 2：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16，下列说法正确的是（ ） A ．C 1与C 2的公切线恰有4条B ．C 1与C 2相交弦的方程为3x +4y ﹣9＝0 C ．C 1与C 2相交弦的弦长为245D ．若P ，Q 分别是圆C 1，C 2上的动点，则|PQ |max ＝1211．已知双曲线x 2−y 22=1的左右顶点为A 1，A 2，左右焦点为F 1，F 2，直线l 与双曲线的左右两支分别交于P ，Q 两点，则（ ）A ．若∠F 1PF 2=π3，则△PF 1F 2的面积为2√3B ．直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于M ，N 两点，则|PM |＝|NQ |C ．若P A 1的斜率的范围为[﹣8，﹣4]，则P A 2的斜率的范围为[−12，−14] D ．存在直线l 的方程为2x ﹣y ﹣1＝0，使得弦PQ 的中点坐标为（1，1）12．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 作直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点，与y 轴交于点E ，过点P 作抛物线的切线与准线交于点M ，连接QM ，若PQ →=3QE →，则（ ） A ．k MP •k MQ ＝﹣1 B ．PF →=2FQ →C ．∠MFQ 为钝角D ．S △POQ ：S △PMQ ＝4：9三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．抛物线y ＝﹣6x 2的准线方程为 ．14．若直线y ＝kx +1与圆x 2+y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ =π2（其中O 为原点），则k 的值为 ． 15．一动圆C 与圆C 1：x 2+y 2+4y +3＝0外切，同时与圆C 2：x 2+y 2﹣4y ﹣77＝0内切，则动圆C 圆心的轨迹方程为 ． 16．如图，过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0）引圆x 2+y 2＝a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，若|MO |﹣|MT |＝2a ﹣c ，则双曲线的离心率为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知△ABC 的三个顶点的坐标为A （2，1），B （4，7），C （﹣4，3），求： （1）求△ABC 的面积；（2）求△ABC 的外接圆的标准方程．18．（12分）已知直线x ﹣my ﹣4＝0和圆O ：x 2+y 2＝5，且直线和圆交于A ，B 两点． （1）当m 为何值时，截得的弦长为4； （2）若OA →⋅QB →≤0，求m 的取值范围．19．（12分）已知O 为坐标原点，A （1，0），B （﹣1，0），直线AM ，BM 的斜率之积为4，记动点M 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）直线l 经过点（0，﹣2），与E 交于P ，Q 两点，线段PQ 中点D 在第一象限，且纵坐标为2，求|PQ |．20．（12分）已知动圆C 过定点D （2，0），且截y 轴所得弦长为4． （1）求动圆圆心的轨迹T 的方程；（2）过点T （0，1）的直线L 与轨迹T 交于A ，B 两点，若F 为轨迹T 的焦点，且满足k F A +k FB ＝1，求|TA |•|TB |的值．21．（12分）椭圆C 与双曲线2x 2﹣2y 2＝1有相同的焦点，且过(1，32)． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，当动点M 在定直线x ＝4上运动时，直线AM ，BM 分别交椭圆于两点P ，Q ．（i ）证明：点B 在以PQ 为直径的圆内； （ii ）求四边形APBQ 面积的最大值．22．（12分）已知点（2，3）在双曲线C ：x 2a 2−y 2a 2+2=1上． （1）双曲线上动点Q 处的切线交C 的两条渐近线于A ，B 两点，其中O 为坐标原点，求证：△AOB 的面积S 是定值；（2）已知点P(12，1)，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M 、N ，在线段MN 上取异于点M 、N 的点H ，满足|PM||PN|=|MH||HN|，证明：点H 恒在一条定直线上．2023-2024学年山东省青岛二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线y ＝2x +1关于x 轴对称的直线方程为（ ） A ．y =12x −1B ．y =12x +1C ．y ＝﹣2x +1D ．y ＝﹣2x ﹣1解：∵关于x 轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴直线y ＝2x +1关于x 轴对称的直线的函数表达式是﹣y ＝2x +1，即y ＝﹣2x ﹣1． 故选：D ．2．两条平行直线l 1：3x +4y ﹣5＝0与l 2：6x +8y ﹣5＝0之间的距离是（ ） A ．0B ．12C ．1D ．32解：3x +4y ﹣5＝0，即6x +8y ﹣10＝0，故这两平行线l 1：3x +4y ﹣5＝0与l 2：6x +8y ﹣5＝0之间的距离为√62+82=12．故选：B ． 3．若椭圆x 23+y 24=1的长轴端点与双曲线y 22−x 2m=1的焦点重合，则m 的值为（ ）A ．4B ．﹣4C ．﹣2D ．2解：椭圆x 23+y 24=1的长轴端点为（0，2），（0，﹣2），所以双曲线的焦点为（0，2），（0，﹣2）， 所以2+m ＝4，所以m ＝2． 故选：D ． 4．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√5，C 的一条渐近线与圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1交于A ，B 两点，则|AB |＝（ ） A ．√55B ．2√55C ．3√55D ．4√55解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√5，可得c =√5a ，所以b ＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为：y ＝±2x ，一条渐近线与圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1交于A ，B 两点，圆的圆心（2，3），半径为1，圆的圆心到直线y ＝2x 的距离为：√1+4=√5，所以|AB |＝2√1−15=4√55． 故选：D ． 5．如果直线y =−√33x +m 曲线y =√1−x 2有两个不同的公共点，那么实数m 的取值范围是（ ）A ．[1，2√33） B ．[√33，2√33）C ．（−√33，2√33]D ．（−2√33，2√33）解：由y =√1−x 2可得：x 2+y 2＝1，（y ≥0），则该曲线为以原点为圆心，以1为半径的x 轴上方的半圆， 直线和曲线的图象如图所示： 当直线与圆相切于点C 1+(−√33)=1，解得m =2√33， 当直线与半圆相交于AB 两点时，把A （1，0）代入直线方程可得：m =√33， 则由数形结合可得直线与曲线有两个不同的交点时，m 的取值范围为：[√33，2√33）， 故选：B ．6．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F （3，0），过点F 且斜率为12的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（ ） A ．x 245+y 236=1 B ．x 236+y 227=1C ．x 227+y 218=1D ．x 218+y 29=1解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则代入椭圆方程，两式相减可得(x 1+x 2)(x 1−x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2=0，∵线段AB 的中点坐标为（1，﹣1），∴y 1−y 2x 1−x 2=b 2a 2，∵直线的斜率为12， ∴b 2a 2=12，∵右焦点为F （3，0）， ∴a 2﹣b 2＝9， ∴a 2＝18，b 2＝9， ∴椭圆方程为：x 218+y 29=1．故选：D ．7．已知直线l ：y =kx +18与抛物线y ＝2x 2相交于A ，B 两点，若|AF |＝1，则|AB |＝（ ） A ．2B ．87C ．98D ．32解：由抛物线y ＝2x 2方程可知p =14， 因为直线过抛物线的焦点F ， 当k ＝0时，直线方程为y =18， 则|AF|=p =14不满足题意， 即k ≠0， 联立{y =kx +18y =2x2，消x 可得：2y 2−(12+k 2)y +132=0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2=1+2k 24，y 1y 2=164，由抛物线的定义可得：1|AF|+1|BF|=1y 1+18+1y 2+18=y 1+y 2+14y 1y 2+18(y 1+y 2)+164=1+2k 24+1418×1+2k 24+132=8，因为|AF |＝1， 所以|BF|=17，所以|AB|=|AF|+|BF|=1+17=87． 故选：B ．8．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆上的动点，I 和G 分别是△PF 1F 2的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．√33C ．√32 D ．√63解：如图，设P （m ，n ）（m ＞0，n ＞0），则G （m 3，n3），因为IG 与x 轴平行，所以I 的纵坐标为n3，即△PF 1F 2的内切圆的半径r =n 3，则S △PF 1F 2=12⋅2c ⋅n =12(2a +2c)⋅n3， 所以3c ＝a +c ， ∴e =c a =12， 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知方程C ：x 216+k −y 29−k=1(k ∈R)，则下列说法中正确的有（ ）A ．方程C 可表示圆B ．当k ＞9时，方程C 表示焦点在x 轴上的椭圆C ．当﹣16＜k ＜9时，方程C 表示焦点在x 轴上的双曲线D ．当方程C 表示椭圆或双曲线时，焦距均为10 解：方程C ：x 216+k −y 29−k=1(k ∈R)， 对于A ，当方程C 可表示圆时，16+k ＝k ﹣9＞0，无解，故A 错误； 对于B ，当k ＞9时，x 216+k−y 29−k=x 216+k+y 2k−9=1，16+k ＞k ﹣9，表示焦点在x 轴上的椭圆，故B正确；对于C ，当﹣16＜k ＜9时.x 216+k−y 29−k=1，16+k ＞0，9﹣k ＞0，表示焦点在x 轴上的双曲线，故C 正确；对于D ，当方程C 表示双曲线时，c 2＝16+k +9﹣k ＝25；当方程C 表示椭圆时，c 2＝16+k ﹣（k ﹣9）＝25，所以焦距均为10，故D 正确． 故选：BCD ．10．已知圆C 1：x 2+y 2＝9与圆C 2：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16，下列说法正确的是（ ） A ．C 1与C 2的公切线恰有4条B ．C 1与C 2相交弦的方程为3x +4y ﹣9＝0 C ．C 1与C 2相交弦的弦长为245D ．若P ，Q 分别是圆C 1，C 2上的动点，则|PQ |max ＝12解：由已知得圆C 1的圆心C 1（0，0），半径r 1＝3，圆C 2的圆心C 2（3，4），半径r 2＝4，|C 1C 2|=√(3−0)2+(4−0)2=5，r 2−r 1＜d ＜r 1+r 2，故两圆相交，所以C 1与C 2的公切线恰有2条，故A 错误； 两圆方程相减可得C 1与C 2相交弦的方程为3x +4y ﹣9＝0， 所以C 1到相交弦的距离为95，故相交弦的弦长为2√9−(95)2=245，故B ，C 正确；．若P ，Q 分别是圆C 1，C 2上的动点，则|PQ |max ＝|C 1C 2|+r 1+r 2＝12，故D 正确． 故选：BCD ．11．已知双曲线x 2−y 22=1的左右顶点为A 1，A 2，左右焦点为F 1，F 2，直线l 与双曲线的左右两支分别交于P ，Q 两点，则（ ）A ．若∠F 1PF 2=π3，则△PF 1F 2的面积为2√3B ．直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于M ，N 两点，则|PM |＝|NQ |C ．若P A 1的斜率的范围为[﹣8，﹣4]，则P A 2的斜率的范围为[−12，−14] D ．存在直线l 的方程为2x ﹣y ﹣1＝0，使得弦PQ 的中点坐标为（1，1）解：双曲线x 2−y 22=1的左右顶点为A 1，A 2，左右焦点为F 1，F 2，直线l 与双曲线的左右两支分别交于P ，Q 两点，在双曲线x 2−y 22=1中，a =1，b =√2，c =√3，A 1(−1，0)，A 2(1，0)，F 1(−√3，0)，F 2(√3，0)． 对于A ，易得△PF 1F 2为双曲线的焦点三角形，所以S △PF 1F 2=b2tan θ2=2√3，故A 正确； 对于B ，不妨设x 2−y 22=λ，当λ＝1时表示双曲线，当λ＝0时表示该双曲线的两条渐近线．设直线l ：y ＝kx +m ，与双曲线方程联立后可得（k 2﹣2）x 2+2kmx +m 2+2λ＝0，应满足k 2﹣2≠0且Δ＞0．由韦达定理可知x 1+x 2=2km 2−k2，y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2k 2m 2−k2+2m ，都与λ无关．所以线段PQ 的中点与线段MN 的中点重合，不妨设为T ．由|PT |＝|QT |，|NT |＝|MT |可知|PM |＝|QN |，故B 正确； 对于C ，由于P 在双曲线上，A 1，A 2分别为双曲线的左右顶点，由性质可得k PA 1⋅k PA 2=b2a2=2，所以若P A 1的斜率范围为[﹣8，﹣4]，则P A 2的斜率的范围为[−12，−14]，C 正确；对于D ，将直线方程与双曲线联立，可得Δ＜0，故直线与双曲线无交点，所以不存在中点，D 错误． 故选：ABC ．12．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 作直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点，与y 轴交于点E ，过点P 作抛物线的切线与准线交于点M ，连接QM ，若PQ →=3QE →，则（ ） A ．k MP •k MQ ＝﹣1 B ．PF →=2FQ →C ．∠MFQ 为钝角D ．S △POQ ：S △PMQ ＝4：9解：由题可知p ＝2， 因为PQ →=3QE →， 所以有|EP |＝4|EQ |，过P ，Q 作y 轴的垂线分别交于P '，Q '， 根据三角形相似可得|PP '|＝4|QQ '|， 即x P ＝4x Q ，又因为x P x Q =p 24=1， 得x P =2，x Q =12，所以P(2，2√2)，Q(12，−√2)， 则直线l ：y =2√2x −2√2．对于A ，由切线方程yy 0＝p （x +x 0）可得，过点P(2，2√2)的切线方程为x −√2y +2=0， 与准线相交于M(−1，√22)，易得k MP •k MQ ＝﹣1， 即A 正确；对于B ，由x P =2，x Q =12可得|PF|=3，|QF|=32， 则PF →=2FQ →， 即B 正确；对于C ，因为FM →=(−2，√22)，FQ →=(−12，−√2)，FM →⋅FQ →=0， 所以∠MFQ 为直角， 即C 错误；对于D ，因为△POQ 与△PMQ 同底， 则面积之比即为高之比，又点O 到PQ 的距离d 1=2√2√8+1=2√23，点M 到PQ 的距离d 2=|−2√2−√22−2√2|√8+1=3√22，所以S △POQS △PMQ=d 1d 2=2√233√22=49，即D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．抛物线y ＝﹣6x 2的准线方程为 y =124． 解：根据题意，抛物线y ＝﹣6x 2的准线方程为x 2=−16y ， 其开口向下，且p =112， 则其准线方程为：y =124；故答案为：y =124． 14．若直线y ＝kx +1与圆x 2+y 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ =π2（其中O 为原点），则k 的值为 ±1 ．解：因为直线y ＝kx +1与圆x 2+y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ =π2（其中O 为原点）， 可得∠OPQ =π4，所以圆心到直线y ＝kx +1的距离为d ＝OP •sin =π4=√22， 又圆心O （0，0）到直线y ＝kx +1的距离d =|0−0+1|√k +1，所以√k 2+12=√22⇒k ＝±1． 故答案为：±1．15．一动圆C 与圆C 1：x 2+y 2+4y +3＝0外切，同时与圆C 2：x 2+y 2﹣4y ﹣77＝0内切，则动圆C 圆心的轨迹方程为y 225+x 221=1 ．解：圆C 1：x 2+y 2+4y +3＝0的圆心坐标为C 1（0，﹣2），半径为r 1＝1， 圆C 2：x 2+y 2﹣4y ﹣77＝0的圆心坐标为C 2（0，2），半径为r 2＝9， 设动圆C 的圆心坐标为C （x ，y ），半径为r ， 则|CC 1|＝r +1，|CC 2|＝9﹣r ， 则|CC 1|+|CC 2|＝r +1+9﹣r ＝10，则点C 的轨迹是以（0，﹣2），（0，2）为焦点，长轴长为10的椭圆， 设其方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a ＞b ＞0)，则2a ＝10，c ＝2，可得a 2＝25，b 2＝a 2﹣c 2＝25﹣4＝21， 则动圆C 圆心的轨迹方程为y 225+x 221=1．故答案为：y 225+x 221=1． 16．如图，过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0）引圆x 2+y 2＝a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，若|MO |﹣|MT |＝2a ﹣c ，则双曲线的离心率为53．解：设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 2（c ，0）（c ＞0），连接PF 2，OM ．则△PF 2F 中，|FM |＝|MP |，|FO |＝|OF 2|， 则|MO|=12|PF 2|，由直线FT 与圆x 2+y 2＝a 2相切，可得|FT|=√|OF|2−|OT|2=√c 2−a 2=b ． 又双曲线x 2a 2−y 2b 2=1中，|PF |﹣|PF 2|＝2a ，则|MO|−|MT|=12|PF 2|−(12|PF|−|FT|)=12(|PF 2|−|PF|)+|FT|=b −a ， 又|MO |﹣|MT |＝2a ﹣c ， 则2a ﹣c ＝b ﹣a ， 整理得3a ﹣c ＝b ，两边平方整理得5a 2﹣3ac ＝0， 则双曲线的离心率e =ca =53． 故答案为：53．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知△ABC 的三个顶点的坐标为A （2，1），B （4，7），C （﹣4，3），求： （1）求△ABC 的面积；（2）求△ABC 的外接圆的标准方程． 解：（1）A （2，1），B （4，7），C （﹣4，3）， AC =√[2−(−4)]2+(1−3)2=2√10， AB =√(2−4)2+(1−7)2=2√10， BC =√[4−(−4)]2+(7−3)2=4√5，△ABC 为等腰三角形，可得BC 中点D （0，5），所以ℎ=|AD|=2√5，S △ABC =12ℎ×|BC|=20，故△ABC 的面积为20； （2）A （2，1），B （4，7），C （﹣4，3），则k AB =62=3，k AC =2−6=−13， 因为k AB •k AC ＝﹣1，所以AB ⊥AC ，所以外接圆圆心O 恰好为BC 中点D （0，5），r =√22+42=2√5， 所以三角形外接圆标准方程为x 2+（y ﹣5）2＝20．18．（12分）已知直线x ﹣my ﹣4＝0和圆O ：x 2+y 2＝5，且直线和圆交于A ，B 两点． （1）当m 为何值时，截得的弦长为4； （2）若OA →⋅QB →≤0，求m 的取值范围．解：（1）由圆O ：x 2+y 2＝5，可得圆心O （0，0），半径r =√5， 设直线与圆心距离为d ， 因为|AB |＝4，所以d =√r 2−(|AB|2)2=√5−4=1， 又圆心到直线的距离为d =√1+m 2，所以√1+m 2=1，解得m ＝±√15；（2）因为OA →⋅OB →≤0，所以∠AOB ≥π2，有r ≥√2d ，即√5≥42√1+m 2，解得m ∈(−∞，−3√155]∪[3√155，+∞)， 所以m 的取值范围为（﹣∞，−3√155]∪[3√155，+∞）． 19．（12分）已知O 为坐标原点，A （1，0），B （﹣1，0），直线AM ，BM 的斜率之积为4，记动点M 的轨迹为E ． （1）求E 的方程；（2）直线l 经过点（0，﹣2），与E 交于P ，Q 两点，线段PQ 中点D 在第一象限，且纵坐标为2，求|PQ |．解：（1）不妨设点M 的坐标为（x ，y ）， 因为k AM =y x−1，k BM =yx+1， 所以k AM ⋅k BM=y 2x 2−1=4， 整理得x 2−y 24=1，所以E 的方程为x 2−y 24=1(x ≠±1)；（2）当直线PQ 的斜率不存在时，显然不符合题意；不妨设直线PQ 方程为y ＝kx ﹣2，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 联立{y =kx −2x 2−y 24=1，消去y 并整理得（4﹣k 2）x 2+4kx ﹣8＝0，此时Δ＝16k 2+32（4﹣k 2）＞0且4﹣k 2≠0， 解得k 2＜8且k 2≠4， 由韦达定理得x 1+x 2=4k k 2−4，x 1x 2=8k 2−4，因为线段PQ 中点D 在第一象限，且纵坐标为4， 所以x 1+x 2＞0，y 1+y 2=k(x 1+x 2)−4=16k 2−4=8，解得k =√6或k =−√6（舍去）， 所以直线PQ 为y =√6x −2， 此时x 1+x 2=2√6，x 1x 2＝4，则|PQ|=√1+k 2⋅|x 1−x 2|=√7⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√14． 20．（12分）已知动圆C 过定点D （2，0），且截y 轴所得弦长为4． （1）求动圆圆心的轨迹T 的方程；（2）过点T （0，1）的直线L 与轨迹T 交于A ，B 两点，若F 为轨迹T 的焦点，且满足k F A +k FB ＝1，求|TA |•|TB |的值．解：（1）不妨设动圆圆心O 1（x ，y ），圆O 1截y 轴所得弦为MN ， 此时|O 1D |＝|O 1M |， 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ， 此时点H 为MN 的中点， 所以√x 2+22=√(x −2)2+y 2， 整理得y 2＝4x （x ≠0）；当O 1在y 轴上时，动圆O 1过定点D （2，0），且在y 轴上截得弦MN 的长为4， 此时O 1与原点O 重合，即点（0，0）也满足方程y 2＝4x ，所以动圆圆心O 1的轨迹T 的方程为y 2＝4x ； （2）易知直线斜率存在， 不妨设直线l 的方程为y ＝kx +1，联立{y =kx +1y 2=4x ，消去y 并整理得k 2x 2+（2k ﹣4）x +1＝0，此时Δ＝（2k ﹣4）2﹣4k 2＝16﹣16k ＞0， 解得k ＜1，由韦达定理得{x 1+x 2=4−2kk 2x 1x 2=1k 2， 因为F （1，0），此时k FA +k FB =y 1x 1−1+y2x 2−1=y 1(x 2−1)+y 2(x 1−1)(x 1−1)(x 2−1)=(kx 1+1)(x 2−1)+(kx 2+1)(x 1−1)(x 1−1)(x 2−1)=2kx 1x 2+(1−k)(x 1+x 2)−2x 1x 2−(x 1+x 2)+1=2k⋅1k2+(k−1)(2k−4)k2−21k 2−4−2k k2+1=4−4k k 2+2k−3=1，解得k ＝﹣7或k ＝1， 因为k ＜1， 所以k ＝﹣7． 故|TA||TB|=√1+k 2|x 1−0|×√1+k 2|x 2−0|=(1+k 2)|x 1x 2|=1+k 2k2=5049． 21．（12分）椭圆C 与双曲线2x 2﹣2y 2＝1有相同的焦点，且过(1，32)． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A ，B ，当动点M 在定直线x ＝4上运动时，直线AM ，BM 分别交椭圆于两点P ，Q ．（i ）证明：点B 在以PQ 为直径的圆内； （ii ）求四边形APBQ 面积的最大值．解：（1）因为椭圆C 与双曲线2x 2﹣2y 2＝1有相同的焦点， 所以椭圆C 的焦点为（±1，0）， 不妨设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），因为椭圆C 过(1，32)， 所以12a 2+(32)2b 2=1，①又a 2＝b 2+1，②联立①②，解得a 2＝4，b 2＝3， 则椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；（2）（i ）证明：易知A （﹣2，0），B （2，0）， 不妨设M （4，t ），t ＞0，P （x p ，y p ），Q （x Q ，y Q ）， 易知直线AM ，BM 斜率均存在，且k AM =t 6，k BM =t 2，则直线AM 的方程为y =t6(x +2)，BM 的方程为y =t2(x −2)， 联立{y =t6(x +2)x 24+y23=1，消去y 并整理得（27+t 2）x 2+4t 2x +4t 2﹣108＝0， 由韦达定理得﹣2x p =4t 2−10827+t 2，解得x p =54−2t 227+t 2， 则y p =t 6(x p +2)=18t27+t， 联立{y =t2(x −2)x 24+y23=1，消去y 并整理得（3+t 2）x 2﹣4t 2x +4t 2﹣12＝0， 由韦达定理得2x Q =4t 2−123+t 2， 解得x Q =2t 2−63+t 2，则y Q =t 2（x Q ﹣2）=−6t3+t 2， 所以BP →=(−4t 227+t 2，18t 27+t 2)，BQ →=(−123+t 2，−6t3+t 2)，则BP →•BQ →=−60t 2(27+t 2)(3+t 2)＜0，所以∠PBQ 为钝角，则点B 在以PQ 为直径的圆内；（ii ）易知S 四边形APBQ =12×|AB |×|y P ﹣y Q |=48t(9+t 2)(9+t 2)+12t 2=489+t 2t +12t9+t2，不妨设λ=9+t 2t ，t ＞0，此时λ=9+t 2t =9t +t ≥2√9t ⋅t =6，当且仅当t ＝3时，等号成立，易知函数y =λ+12λ在[6，+∞）上单调递增， 所以y =λ+12λ≥6+2＝8， 此时S 四边形APBQ =48λ+12λ≤488=6， 由对称性可知，当点M 的坐标为（4，3）或（4，﹣3）时，四边形APBQ 面积最大值，最大值为6． 22．（12分）已知点（2，3）在双曲线C ：x 2a 2−y 2a 2+2=1上． （1）双曲线上动点Q 处的切线交C 的两条渐近线于A ，B 两点，其中O 为坐标原点，求证：△AOB 的面积S 是定值；（2）已知点P(12，1)，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M 、N ，在线段MN 上取异于点M 、N 的点H ，满足|PM||PN|=|MH||HN|，证明：点H 恒在一条定直线上．解：（1）证明：因为点（2，3）在双曲线C ：x 2a 2−y 2a 2+2=1上，所以4a 2−9a 2+2=1，解得a 2＝1， 则双曲线方程为x 2−y 23=1， 当切线方程的斜率存在时，不妨设过点（x 0，y 0）的切线方程为y ﹣y 0＝k （x ﹣x 0），联立{y −y 0=k(x −x 0)x 2a2−y 2b2=1，消去y 并整理得(1a 2−k 2b 2)x 2+(2k 2x 0b 2−2k 2y 0b 2)x +2kx 0y 0−k 2x 02−y 02−b 2b 2=0， 因为Δ=(2k 2x 0b2−2k 2y 0b 2)2−4(1a 2−k 2b 2)⋅2kx 0y 0−k 2x 02−y 02−b 2b2=0， 即(y 0−kx 0)2=a 2k 2−b 2， 又k =y−y0x−x 0，可得(y 0−y−y 0x−x 0⋅x 0)2=a 2(y−y0x−x 0)2−b 2，所以(xy 0−x 0y)2=a 2(y −y 0)2−b 2(x −x 0)2，对等式两边同除以a 2b 2，得(xy 0−x 0y)2a 2b 2=(y−y 0)2b 2−(x−x 0)2a 2，即x 2y 02−2xy 0x 0y+x 02y 2a 2b 2=y 2−2y 0y+y 02b 2−x 2−2x 0x+x 02a 2，因为x 02a 2−y 02b 2=1，x 2a 2−y 2b 2=1，所以x 2y 02−2xy 0x 0y+x 02y 2a 2b 2=−2−2y 0y b 2+2x 0x a 2，联立{ x 02a 2−y 02b 2=1x 2a 2−y 2b 2=1，两式相乘得x 02x 2a 4−x 02y 2a 2b 2−x 2y 02a 2b 2+y 02y 2b 4=1，所以x 02y 2a 2b 2+x 2y 02a 2b 2=−1+x 02x 2a 4+y 02y 2b 4，可得−1+x 02x 2a 4+y 02y 2b 4+−2xy 0x 0y a 2b 2=−2−2y 0y b2+2x 0x a 2， 即−1+(x 0x a 2−y 0y b 2)2=−2+2(x 0x a 2−y 0yb 2)， 不妨令t =x 0x a 2−y 0y b2， 此时﹣1+t 2＝﹣2+2t ， 即（t ﹣1）2＝0， 解得t ＝1， 所以x 0x a 2−y 0y b 2=1，当切线斜率不存在时，此时切点为（±a ，0），切线方程为x ＝±a ，满足x 0x a 2−y 0y b 2=1，综上，x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)上一点（x 0，y 0）的切线方程为x 0x a 2−y 0y b 2=1，不妨设Q （m ，n ）， 此时x 2−y 23=1过点Q （m ，n ）的切线方程为mx −ny 3=1， 所以mx −ny3=1为x 2−y 23=1过点Q （m ，n ）的切线方程， 易知双曲线的两条渐近线方程为y =±√3x ， 联立{mx −ny3=1y =√3x，解得{x 1=3m−3ny 1=3√33m−√3n ，联立{mx −ny3=1y =−√3x ， 解得{x 2=33m+3ny 2=−3√33m+√3n，所以直线AB 方程为y−y 1x−x 1=y 2−y 1x 2−x 1，即（y ﹣y 1）（x 2﹣x 1）﹣（y 2﹣y 1）（x ﹣x 1）＝0， 此时点O 到直线AB 的距离为121211√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)=1221√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)，又|AB|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)， 则△AOB 的面积S =21221√(x2−x 1)2+(y 2−y 1)√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)=12|x 1y 2−x 2y 1|=123m−3n √33m+3n 3m+3n √33m−3n=12|−18√39m 2−3n 2|=12|−18√39|=√3，为定值；（2）证明：若直线l 斜率不存在，此时直线l 与双曲线右支无交点，不合题意，不满足条件， 所以直线l 斜率存在，不妨设直线l 方程y −1=k(x −12)，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立{y −1=k(x −12)x 2−y 23=1，消去y 并整理得(3−k 2)x 2+(k 2−2k)x −(14k 2−k +4)=0，易知{Δ＞03−k 2≠0k 2−2kk 2−3＞014k 2−k+4k 2−3＞0，因为14k 2−k +4=14(k −2)2+3＞0恒成立，所以k 2﹣3＞0， 即k 2﹣2k ＞0，解得−2−2√133＜k ＜−3，第21页（共21页）由韦达定理得x 1+x 2=k 2−2k k 2−3，x 1x 2=14k 2−k+4k 2−3， 不妨设H （x H ，y H ）， 因为|PM||PN|=|MH||HN|，所以x 1−12x 2−12=x H −x 1x 2−x H， 即2x 1x 2−(x H +12)(x 1+x 2)+x H =0，由x 1+x 2=k 2−2kk 2−3，x 1x 2=14k 2−k+4k 2−3， 可得x H =8−k 3−2k ， 当x H =8−k 3−2k 时， 解得y H =19−4k 2(3−2k)， 则x H −y H =8−k 3−2k −19−4k 2(3−2k)=−12， 故点H 恒在一条定直线x −y =−12上．。
数学一轮复习第九章解析几何9.6双曲线学案理
9。
6双曲线必备知识预案自诊知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于非零常数(小于|F1F2｜）的点的轨迹叫作双曲线。
这两个定点叫作,两焦点间的距离叫作.集合P=｛M|||MF1｜-｜MF2||=2a},|F1F2｜=2c，其中a〉0,c>0,且a,c为常数.（1）若a c，则点M的轨迹是双曲线；(2）若a c，则点M的轨迹是两条射线;（3）若a c，则点M不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2 x2−x2x2=1（a>0,b〉0);(2）中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为x2 x2−x2x2=1(a>0，b>0）。
3。
双曲线的性质标准方程x2a2−y2b2=1（a〉0，b〉0)y2a2−x2b2=1(a〉0,b〉0）图形续表标准方程x2a2−y2b2=1（a>0，b〉0)y2a2−x2b2=1（a>0，b〉0)性质范围x≥a或x≤-a，y∈Ry≤—a或y≥a,x∈R 对称性对称轴：,对称中心:顶点A1，A2A1,A2渐近线y=±xxx y=±xxx离心率e=xx,e∈(1，+∞）a,b，c的关系c2=实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=;线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2｜=；a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长1.过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b〉0）上一点M(x0，y0）的切线方程为x0xa2−y0yb2=1.2.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b〉0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P（x0，y0）为双曲线上任意一点,且不与点F1，F2共线,∠F1PF2=θ，则△F1PF2的面积为b2xxxθ2。
3。
若点P（x0,y0）在双曲线x2a2−y2b2=1(a〉0,b〉0)内，则被点P所平分的中点弦的方程为x0xa2−y0yb2=x02a2−y02b2。
1.已知点,一动圆过点且和圆内切
1．已知点)1,0(F ，一动圆过点F 且与圆8)1(22=++y x 内切．（1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2）设点)0,(a A ，点P 为曲线C 上任一点，求点A 到点P 距离的最大值)(a d ； （3）在10<<a 的条件下，设△POA 的面积为1S （O 是坐标原点，P 是曲线C 上横坐标为a 的点），以)(a d 为边长的正方形的面积为2S ．若正数m 满足21mS S ≤，问m 是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由．2．在直角坐标平面上有一点列),(111y x P ，),(222y x P ，…，),(n n n y x P ，…，对每个正整数n ，点n P 位于一次函数45+=x y 的图像上，且n P 的横坐标构成以23-为首项，1-为公差的等差数列{}n x ．（1）求点n P 的坐标；（2）设二次函数)(x f n 的图像n C 以n P 为顶点，且过点)1,0(2+n D n ，若过n D 且斜率为n k 的直线n l 与n C 只有一个公共点，求⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++-∞→n n n k k k k k k 13221111lim 的值． （3）设n x x x S 2{==，n 为正整数}，n y y y T 12{==，n 为正整数}，等差数列{}n a 中的任一项T S a n ∈，且1a 是T S 中的最大数，11522510-<<-a ，求{}n a 的通项公式．3．已知点A （－1，0)，B （1,0)，C （－ 5712,0)，D （5712,0)，动点P （x , y )满足AP →·BP →＝0，动点Q （x , y )满足|QC →|+|QD →|＝103⑴求动点P 的轨迹方程C 0和动点Q 的轨迹方程C 1；⑵是否存在与曲线C 0外切且与曲线C 1内接的平行四边形，若存在，请求出一个这样的平行四边形，若不存在，请说明理由；⑶固定曲线C 0，在⑵的基础上提出一个一般性问题，使⑵成为⑶的特例，探究能得出相应结论（或加强结论）需满足的条件，并说明理由。
高考数学必考点专项第31练 双曲线(B)(练习及答案)(全国通用)(新高考专用)
高考数学必考点专项第31练双曲线（B（一、单选题1. 设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( )A. 4B. 8C. 16D. 322.2=表示的曲线方程为( )A. 221(1)x y x -=-B. 221(1)x y x -=-C. 221(1)y x y -=-D. 221(1)y x y -=3. 若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=- 与曲线221259x y k -=- 的( ) A. 焦距相等B. 半实轴长相等C. 半虚轴长相等D. 离心率相等4. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割数，简称黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若双曲线221x y a -=是黄金双曲线，则a =( )A.B.12C.D.12+ 5. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为( )A.221412x y -= B.221124x y -= C. 22139x y -= D. 22193x y -= 6. 设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为.l 若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( )A. 22144x y -= B. 2214y x -=C. 2214x y -= D. 221x y -=7. 已知点(0,0)O ，(2,0)A -，(2,0).B 设点P 满足||||2PA PB -=，且P 为函数y =图象上的点，则||OP 等于 ( )A.2B.5C. D. 8. 由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为( )A. y =B. 3y x =±C. y x =±D. 2y x =±9. 若椭圆221(1)x y m m+=>与双曲线221(0)x y n n -=>有相同的焦点1F ，2F ，P 是两曲线的一个交点，则12F PF 的面积是 ( )A. 4B. 2C. 1D.1210. 过双曲线2212y x -=的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若||4AB =，则这样的直线l 有( )A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条11. 已知双曲线C ：2221(0)2x y b b-=>的离心率为e ，若e ∈，则C 的焦点到一条渐近线的距离的取值范围为( )A.B. )+∞C.D.12. 已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若ABE 是钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A. (1,)+∞B. (1,2)C. [1,1+D. (2,)+∞13. 双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位．通过船(待定点)接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位．我们来看一种简单的“特殊”状况：如图所示，已知三个发射台分别为A ，B ，C 且刚好三点共线，已知34AB =海里，20AC =海里．现以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建系．现根据船P 接收到C 点与A 点发出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船P 在双曲线22(27)13664x y --=的左支上，若船P 上接到A 台发射的电磁波比B 台电磁波早185.2(s μ已知电磁波在空气中的传播速度约为0.3/km s μ，1海里 1.852)km =，则点P 的坐标(单位：海里)为( )A.B. C.D. (45,162)±二、多选题14. 已知曲线22:1C mx ny +=，则( ) A. 若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B. 若0m n =>，则CC. 若0mn <，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D. 若0m =，0n >，则C 是两条直线 15. 下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是( )A. 设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线B. 设定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若1()2OP OA OB =+，则动点P 的轨迹为椭圆C. 方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率D. 双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点三、填空题16. 若直线1y kx =-与双曲线224x y -=始终有公共点，则k 取值范围是__________ .17. 已知双曲线2218y x -=，12,F F 是双曲线的左右两个焦点，P 在双曲线上且在第一象限，圆M 是12F PF ∆的内切圆.则M 的横坐标为__________.18. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，斜率大于0的直线l 经过点2F 与C 的右支交于A ，B 两点，若12AF F 与12BF F 的内切圆面积之比为9，则直线l 的斜率为__________.19. 已知椭圆22:13x E y +=的左右顶点分别为1A ，2A ，且B ，C 为E 上不同两点(,B C位于y 轴右侧)，B ，C 关于x 轴的对称点分别为为1B ，1C ，直线1BA 、12B A 相交于点P ，直线1CA 、12C A 相交于点Q ，已知点(2,0)M -，则的最小值为__________. 四、解答题20. 平面直角坐标系中，点(2,0)A -、(2,0)B ，平面内任意一点P 满足：直线PA 的斜率1k ，直线PB 的斜率2k ，1234k k =-，点P 的轨迹为曲线1.C 双曲线2C 以曲线1C 的上下两顶点M ，N 为顶点，Q 是双曲线2C 上不同于顶点的任意一点，直线QM 的斜率3k ，直线QN 的斜率4.k(1)求曲线1C 的方程；(2)如果12340k k k k +，求双曲线2C 的焦距的取值范围．21. 已知直线:1l y kx=+与双曲线22:14xC y-=交于M、N两个不同的点.(1)求k的取值范围；(2)若A为双曲线C的左顶点，点M在双曲线C的左支上，点N在双曲线C的右支上，且直线MA、NA分别与y轴交于P、Q两点，当时，求k的值.答案和解析1.【答案】B解：由题意可得双曲线的渐近线方程为by x a=±， 分别将x a =，代入可得y b =±， 即(,)D a b ，(,)E a b -， 则1282ODESa b ab =⨯==，222216c a b ab ∴=+=，当且仅当a b ==C ∴的焦距的最小值为248⨯=，故选：.B2.【答案】C2=所表示的意义是点(,)x y 到点和(0,的距离之差为2，由双曲线的定义可得，该图形为双曲线的一支，且c =1a =，则1b =，曲线方程：221(1).y x y -=- 故选：.C3.【答案】A解：当09k <<，则099k <-<，162525k <-<，即曲线221259x y k-=-表示焦点在x 轴上的双曲线， 其中225a =，29b k =-，234c k =-，曲线221259x y k -=-表示焦点在x 轴上的双曲线， 其中225a k =-，29b =，234c k =-，故而虚半轴长和实半轴长都不相等，离心率不同， 两个双曲线的焦距相等， 故选.A4.【答案】B=a = 故选.B5.【答案】C解：由题意可得图象如图，CD 是双曲线的一条渐近线，其方程为by x a=，即0bx ay -=，(,0)F c ， AC CD ⊥，BD CD ⊥，作FE CD ⊥交CD 于点E ，显然ACDB 是直角梯形，又F 是AB 的中点，1232d d EF +==， 22bc EF b a b==+，所以3b =，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，可得2ca =，可得：2224a b a +=，解得 3.a = 则双曲线的方程为：221.39x y -= 故选.C6.【答案】D解：抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)，则直线l 的方程为(1)y b x =--，双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，b b a ∴-=-，()1bb a⋅-=-， 1a ∴=，1b =，∴双曲线C 的方程为221x y -=，故选：.D7.【答案】D解：点(0,0)O ，(2,0)A -，(2,0).B 点P 满足||||2PA PB -=， 所以点P 的轨迹为双曲线的右半支，设双曲线方程为，其中2222,221,3c a a b c a ==⇒==-=，即点P 是双曲线22113x y -=的右支上的点， 又P 为函数234y x =-图象上的点，即，则0,0P P x y >，联立两个方程，解得1333(,)22P ， 所以1327||10.44OP =+= 故选：.D8.【答案】B解：双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，可得：，解得233a =，433c =，2b =， 22221(0,0)x y a b a b-=>>所以双曲线的渐近线方程为：.a y x x b =±= 故选.B9.【答案】C解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c ，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，由它们有相同的焦点，得到 2.m n -= 不妨设5m =，3n =，则椭圆的长轴长， 不妨令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义得12PF PF -=①由椭圆的定义得12PF PF +=②①2+②2得221216.PF PF +=又124F F =，2221212PF PF F F ∴+=，则12F PF 的形状是直角三角形，且122F PF π∠=，12F PF ∴的面积为1211122PF PF ⋅⋅==，故选.C10.【答案】C解：双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，∴当直线与双曲线左右两支各有一个交点时，过双曲线的焦点一定有两条直线使得两交点之间的距离等于4，当直线与实轴垂直时，有2312y -=，解得2y =±， ∴此时直线AB 的长度是4，即只与右支有交点的弦长为4的线仅有一条．综上可知有三条直线满足||4AB =， 故选.C11.【答案】C解：因为e ===，所以b ∈，不妨设双曲线C 的一个焦点为，一条渐近线方程为0bx =，所以C b =∈，故选.C12.【答案】D解：直线AB ：x c =-，代入双曲线方程得422b y a=，取点2(,)b A c a -，则2||b AF a=，||EF a c =+，由双曲线的对称性可得AEB ∠是钝角，只要||||AF EF >就能使04BAE π<∠<，故2b ac a>+，即22b a ac >+， 即2220c ac a -->，所以220e e -->， 解得2e >或1e <-， 又双曲线1e >，故 2.e > 故选.D13.【答案】B解：设由船P 到B 台和到A 台的距离差确定的双曲线方程为22221()x y x a a b-=>，因为船P 上接到A 台发射的电磁波比B 台电磁波早185.2s μ， 则船P 到B 台和到A 台的距离差为185.20.3||||2301.852PB PA a ⨯-===海里，故15a =，又17c =，故8b ==，故由船P 到B 台和到A 台的距离差所确定的双曲线为21(15)22564x x y x -=>，联立解得，故选.B14.【答案】ACD解：当,0m n ≠时，221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 若0m n >>，则11m n<，故22111x y m n+=表示焦点在y 轴的椭圆，故A 正确； 若0m n =>，221mx ny +=可化为221x y n+=的圆，故B 错误；若0mn <，则C 是双曲线，令220,mx ny +=故其渐近线方程为y =，故C 正确； 若0m =，0n >，221mx ny +=可化为21y n=，即y =，表示两条直线，故D 正确.故选.ACD15.【答案】CD解：A 中，若 P 的轨迹是双曲线，则要||||PA PB k -=，且，故A 错误；B 中，过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，1()2OP OA OB =+，则P 为AB 中点， 则,CP AP ⊥所以P 在以AC 为直径的圆上，故P 点的轨迹为圆，B 错误； C 中，22520x x -+=的两根是2，12，椭圆的离心率范围是(0,1)，双曲线的离心率范围是(1,)+∞，故两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率， C 正确；D 中，双曲线的焦点是(34,0)±，椭圆的焦点(34,0)±，故D 正确． 故选.CD16.【答案】[]22-解：由题意令，得22(1)4x kx --=，整理得22(1)250k x kx -+-=，当210k -=，1k =±时，显然符合条件；当210k -≠时，有220160k=-，解得5522k -且1k ≠±， 综上，k 取值范围是5522k -， 故答案为55[,].22-17.【答案】1解：设内切圆M 切1PF 于A 点，切2PF 于B 点，切12F F 于C 点，所以有1MA PF ⊥，2MB PF ⊥，12MC F F ⊥，且||||PA PB =，11||||AF FC =，22||||.BF CF =因为12MC F F ⊥，故只要求出C 点的横坐标，就等于求出了M 点的横坐标， 由双曲线的定义可知12||||2PF PF a -=，11||||||PF PA AF =+，22||||||PF PB BF =+，12121212||||(||||)(||||)||||||||2PF PF PA AF PB BF AF BF CF CF a ∴-=+-+=-=-=，又12||||2CF CF c +=，联立可得2||CF c a =-，2(,0)F c ， (,0).C a ∴又1a =，M ∴点横坐标就为1，故答案为1.18.解：设12AF F 与12BF F 的内切圆圆心分别为G ，H ，连接HG ，2HF ，2GF ，12AF F 的内切圆与三边分别切于点D ，E ，F ，如图，则12121212||||||||(||||)||||||||AF AF AD DF AE EF DF EF F F FF -=+-+=-=-， 所以2()G G a c x c x =+--，即G x a =； 同理H x a =，所以12.HG F F ⊥ 设直线AB 的倾斜角为θ，则(0,)2πθ∈，在2Rt F FG 中，，在2Rt F FH 中，2||||tan ()tan22FH FF c a θθ==-，由题得||3||FG FH =， 所以，解得3tan23θ=，所以22tan2tan 3.1tan 2θθθ==- 故答案为 3.19.【答案】解：设点，则1A B ：，，则，2213m n +=， 22133n m ∴=-， ∴点P 的轨迹方程为，即点P 的轨迹方程为，同理可得，点Q 也在双曲线上，点恰为双曲线2213x y -=的左焦点， 设双曲线2213x y -=的右焦点为，∴根据双曲线定义可得：，的最小值为4 3.故答案为4 3.20.【答案】解：(1)设(,)P x y ，则123224y y k k x x =⋅=-+-， ∴曲线1C 的方程为221(2)43x y x +=≠±； (2)设双曲线2C 方程为2221(0)3y x b b-=>， 00(,)Q x y 在双曲线上，所以220021(0)3y x b b-=>， (2,0)M -200342200033y y k k x b-===， 23304b∴-+，02b ∴<，由双曲线2C 的焦距为，故双曲线2C 的焦距的取值范围为21.【答案】解：(1)联立方程组消y 整理得，依题意可得，解得2222k -<<且1.2k ≠± 故k 的取值范围为22{|22k k -<<且1}.2k ≠± (2)设M 、N 坐标分别为，，，由(1)知，直线MA 的方程为， 令0x =可得点P 坐标为，同理点Q 坐标为，由，所以，所以，所以，整理得220470k k --=，即，解得1(2k =-舍去)或710k =，7.10k ∴= 11(,)M x y 22(,)N x y。
专题23 双曲线(解答题压轴题)(学生版)-2024年高考数学压轴专题复习
专题23 双曲线（解答题压轴题）
目录
①双曲线的弦长问题 (1)
②双曲线的中点弦问题 (2)
③双曲线中的参数及范围问题 (4)
④双曲线中的最值问题 (6)
⑤双曲线中面积问题 (8)
⑥双曲线中定点、定值、定直线问题 (10)
⑦双曲线中向量问题 (12)
⑧双曲线综合问题 (13)
①双曲线的弦长问题
②双曲线的中点弦问题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知()()2,0,2,0A B -，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是3.(1)求点M 的轨迹C 的方程；
(2)过点()2,3N 能否作一条直线m 与轨迹C 交于两点P ，Q ，且点N 是线段PQ 的中点？若能，求出直线m 的方程；若不能，说明理由．
(1)求点N的轨迹方程；
(2)记点N的轨迹为曲线Γ，过点
31
,
22
P⎛⎫
⎪
⎝⎭
是否存在一条直线l，
线段CD中点．
③双曲线中的参数及范围问题
（1）求双曲线E 的方程；
（2）若直线:1l y kx =-与双曲线P ，Q 两点，求
MN
PQ
的取值范围．
④双曲线中的最值问题
⑤双曲线中面积问题
⑥双曲线中定点、定值、定直线问题
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设直线AP，AQ的斜率分别为
(3)证明：直线MN过定点.
⑦双曲线中向量问题
⑧双曲线综合问题
(1)求双曲线E的离心率；
(2)如图，O为坐标原点，动直线
积恒为8，试探究：是否存在总与直线若不存在，说明理由.。
高二数学双曲线试题答案及解析
高二数学双曲线试题答案及解析1.已知双曲线方程，则过点和双曲线只有一个交点的直线有________条.【答案】【解析】由双曲线方程可知它是焦点在轴上的等轴双曲线，直线为它的渐近线，点在两个顶点之间，过可作与渐近线平行的两条直线，它们与此双曲线都各有一个公共点，但它们与双曲线是相交关系，此外过还可以作两条与双曲线右支都相切的直线，因此过点和双曲线只有一个交点的直线共有条，要注意两条是相交，另两条是相切，关注双曲线渐近线的特殊作用.【考点】直线与双曲线的位置关系.2.设是关于t的方程的两个不等实根，则过,两点的直线与双曲线的公共点的个数为( )A．0B．1C．2D．3【解析】关于t的方程的不同的两根为0，，不妨取=0，=，直线AB过原点，斜率为==，恰是双曲线的一条渐近线，故与该双曲线的公共点的个数为0，故选A.【考点】直线的方程，双曲线的渐近线，3.已知抛物线（）的焦点为双曲线（）的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】抛物线（）的焦点，它也是双曲线（）的一个焦点，所以有①，由两曲线交点的直线恰过点，可知它们在第一象限的交点为，此点也在双曲线上，故有②，由①②消去，得，即，即，因为，所以，选择B，求离心率的值关键是寻找到关于的等式，然后转化到的方程，从而解出.【考点】圆锥曲线的性质4.过双曲线的左焦点作圆的两条切线，切点分别为、，双曲线左顶点为，若，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．3D．2【答案】D.【解析】如图，根据对称性，，∴为等边三角形，∴，∴.【考点】双曲线离心率的计算.5.已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数的值是( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】由方程表示双曲线知，又双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，所以，即，所以故选C.【考点】双曲线的标准方程与简单几何性质.6.已知P是双曲线的右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为e，下列命题正确的是( )．A．双曲线的焦点到渐近线的距离为; B．若，则e的最大值为;C．△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为b ;D．若∠F1PF2的外角平分线交x轴与M, 则．【答案】D【解析】的焦点坐标为，渐近线方程为，对于选项A, 焦点到渐近线的距离，故A错；对于选项B,设,若，令所以即解得．故B错；对于选项C:如图，设切点A，由切线长定理得：，即，所以，故△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为a,所以选项C错．对于选项D:由外角平分线定理得：，故选D．【考点】渐近线方程；点到直线的距离公式；焦半径公式；外角平分线定理；合比定理．7.已知双曲线的一条渐近线方程为,则双曲线离心率=( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】：∵双曲线的焦点在x轴上，∴渐近线方程为y=±，又∵渐近线方程为y=，∴∴∵，联立得：，化简得=.故选A【考点】双曲线的性质及其方程;渐近线方程;离心率8.已知双曲线的左右焦点分别是,过的直线与双曲线相交于、两点，则满足的直线有 ( )A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】由双曲线的标准方程可知点坐标为，过点斜率不存在的直线，即,与双曲线的交点，代入可求得为，则，又双曲线两顶点分别为，即实轴长为,结合图像，由双曲线的对称性知满足条件的直线还有两条.故共有三条直线满足条件.【考点】双曲线的几何性质.9.如果方程表示双曲线，那么实数的取值范围是（）A．B．或C．D．或【答案】B【解析】由双曲线方程的标准形式可知，解得：或．【考点】本题考查双曲线标准方程的形式.10.是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由．（1）焦点在轴上的双曲线渐近线方程为；（2）点到双曲线上动点的距离最小值为．【答案】存在双曲线的方程满足题中的两个条件.【解析】先根据（1）的条件设出双曲线的方程，再设双曲线上的动点，然后利用两点间的距离公式得出，结合，最后化简得到，根据二次函数的图像与性质确定的最小值（含），并由计算出的值，如果有解并满足即可写出双曲线的方程；如果无解，则不存在满足要求的双曲线方程.试题解析：由（1）知，设双曲线为设在双曲线上，由双曲线焦点在轴上，，在双曲线上关于的二次函数的对称轴为即所以存在双曲线的方程满足题中的两个条件.【考点】1.双曲线的标准方程及其几何性质；2.二次函数的图像与性质.11.设抛物线的焦点与双曲线的上焦点重合，则p的值为【答案】8【解析】因为抛物线的焦点为，双曲线的焦点为，所以【考点】抛物线及双曲线的焦点12.双曲线的焦距是10，则实数的值是（）A．B．4C．16D．81【答案】C【解析】由双曲线的方程，可得，而，所以由可得，故选C.【考点】双曲线的定义及其标准方程.13.双曲线的焦距为A．B．C．D．【答案】D【解析】由条件知，∴，∴.【考点】双曲线的定义.14.已知双曲线的渐近线方程为，虚轴长为4，则该双曲线的标准方程是【答案】【解析】根据题意知，若焦点在轴上，则，∴，∴方程是：；若焦点在轴上，则，∴，∴方程为：.【考点】双曲线的应用.15. .设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设F（c，0），B（0，b），则直线FB的斜率是，相对应的渐近线的斜率为，由题可得∵，∴两边同除以ac得：即可解得离心率.【考点】双曲线的几何性质.16.若方程表示双曲线，则实数的取值范围是A．B．C．或D．以上答案均不对【答案】A【解析】解：，由方程表示双曲线，根据双曲线标准方程的特点，有解之得：，故选A.【考点】1双曲线的标准方程；2、一元二次不等式的解法.17.已知点是双曲线的两个焦点，过点的直线交双曲线的一支于两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为 .【答案】【解析】由双曲线的对称性可知为的中点，又因为为等边三角形，所以。
陕西省咸阳市乾县第二中学2024学年高三下期末教学质量检测试题数学试题(文理)试卷
陕西省咸阳市乾县第二中学2024学年高三下期末教学质量检测试题数学试题（文理）试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ）A ．乙的数据分析素养优于甲B ．乙的数学建模素养优于数学抽象素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数据分析最差2．已知函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，88f x f x ππ+=-（）（），且58f π=（），则b =（ ） A ．3B ．3或7C ．5D ．5或83．设0.380.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c <<4．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．223B ．23C 36D 2366．设i 是虚数单位，复数1ii+=（ ） A ．1i -+B ．-1i -C ．1i +D ．1i -7．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱．下图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形．若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（ ）A ．37B ．47C ．57D ．678．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．29．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．y x =±B ．2y x =±C ． 3y x =±D ．2y x =±10．党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．11．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则UM N =（ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(],1-∞12．设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点,P Q ，若2||QF PQ =，则双曲线渐近线的斜率为（ ） A ．±1B ．()31±-C ．()31±+D ．5±二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年武汉市部分重点中学(十一高)上学期期中联考高二数学试卷含答案
武汉市部分重点中学2022—2023学年度上学期期中联考高二数学试卷考试时间：2022年11月9日下午15:00—17:00试卷满分：150分★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置.2．选择题的作答：选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效.3．非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内.答在试题卷上或答题卷指定区域外无效.4．考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线220x y -+=在x 轴上的截距是A.1B.1- C.2- D.22.双曲线22:14x C y -=的焦点坐标是A.(B.(0,C.(D.(0,3．已知(1,0,1)a = ，(2,1,1)b = ，则向量a 与b的夹角为A.6π B.3π C.23π D.56π4.若曲线221:650C x y x +-+=与曲线2:()0C y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A.(,)33-B.(,0)33-⋃ C.33,33⎡-⎢⎥⎣⎦ D.33(,(,)33-∞-⋃+∞5.对于直线,m n 和平面,αβ，αβ⊥的一个充分条件是A.m n ⊥，m ∥α，n ∥βB.m n ⊥，m αβ⋂=，n α⊂C.m ∥n ，m α⊥，n β⊥ D.m ∥n ，n β⊥，m α⊂6.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A B ，两点，若A 为线段1BF 的中点，且12BF BF ⊥，则C 的离心率为A.B.2C.1+ D.37.已知点P 在直线2y x =-上运动，点E 是圆221x y +=上的动点，点F 是圆2(6)x -+2(5)9y +=上的动点，则PF PE -的最大值为A.6B.7C.8D.98.在正四面体D ABC -中，点E 在棱AB 上，满足2AE EB =，点F 为线段AC 上的动点，则A.存在某个位置，使得DE BF ⊥B.存在某个位置，使得4FDB π∠=C.存在某个位置，使得直线DE 与平面DBF 所成角的正弦值为714 D.存在某个位置，使得平面DEF 与平面DAC 夹角的余弦值为32二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.方程222+210x y ax ay a +-++=表示圆，则实数a 的可能取值为A.4B.2C.0D.2-10.若直线m 被两平行直线1:0l x -+=与2:0l x -+=所截得的线段长，则直线m 的倾斜角可以是A.30B.75C.135D.16511.已知椭圆2212516x y +=，12,F F 分别为它的左、右焦点，,A B 分别为它的左、右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，下面结论中正确的有A.12PF PF +的最小值为8B.12cos F PF ∠的最小值为725C.若123F PF π∠=，则21PF F ∆的面积为1633D.直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值162512.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 为棱AB 的中点，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，则下列选项中正确的是A.存在点P 满足1PM PD +=B.存在点P 满足12D PM π∠=C.满足1AP D M ⊥的点P 的轨迹长度为32 D.满足1MP D M ⊥的点P 的轨迹长度为24三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是.14.过点(4,3)P 做圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为,M N ，则MN =.15.两条异面直线,a b 所成角为60，在直线,a b 上分别取点,A E '和点,A F ，使AA a '⊥，且AA b '⊥.已知2A E '=，3AF =，5EF =，则线段AA '的长为.16.城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此乘坐出租车时往往不能沿直线到达目的地，只能按直角拐弯的方式行进.在平面直角坐标系中，定义1122(,),(,)P x y Q x y 之间的“出租车距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-.已知(6,1),(3,3),(2,1)A B C ---，则到点,A B “距离”相等的点的轨迹方程为，到,,A B C 三点“距离”相等的点的坐标为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知双曲线C 的焦点在x 轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为33y x =.(1)求C 的标准方程；(2)若直线1:12l y x =-与双曲线C 交于,A B 两点，求AB .18.（12分）已知ABC 的顶点(5,1)A ，重心(3,3)G .(1)求线段BC 的中点坐标；(2)记ABC 的垂心为H ，若B H 、都在直线y x =-上，求H 的坐标.19.（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，90BAD ∠=，222PD DC BC PA AB =====，PD CD ⊥.(1)求证：PA ⊥平面ABCD ；(2)求直线BD 与平面BPC 所成角的正弦值.20.（12分）如图，已知圆22:1O x y +=，点P 为直线2350x y +-=上一动点，过点P 作圆O的切线，切点分别为,M N ，且两条切线,PM PN 与x 轴分别交于,A B 两点.(1)当P 在直线y x =上时，求PA PB -的值；(2)当P 运动时，直线MN 是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.21.（12分）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，1AA =E 点为棱11A B 中点.(1)求二面角1A EC C --的余弦值；(2)连接EC ，若P 点为直线EC 上一动点，求当P 点到直线1BB 距离最短时，线段EP 的长度.22.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3()2，过其右焦点F 且垂直于x 轴的直线交椭圆于,A B 两点，且3AB =.(1)求椭圆C 的方程；(2)若矩形MNPQ 满足各边均与椭圆C 相切，求该矩形面积的最大值，并说明理由.武汉市部分重点中学2022—2023学年度上学期期中联考高二数学试卷参考答案及评分标准三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.(0,1)14.515. 或16.5,627,6321,32xy x xx⎧<−⎪⎪⎪=−−−≤≤−⎨⎪⎪−>−⎪⎩（2分）；31(,)22−−（3分）四、解答题：共70分.解答题：17.（10分）解：（1）因为焦点在x轴上，设双曲线C的标准方程为22221(0,0)x ya ba b−=>>，由题意得24c=，2c∴=又双曲线C的一条渐近线为3y x=，3ba∴=联立上述式子解得a=1b=，故所求方程为2213xy−=；···········4分（2）设11(,)A x y，22(,)B x y，联立2211213y xxy⎧=−⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩，整理得213604x x+−=，由2134()(6)1504∆=−⨯⨯−=>，所以1212x x+=−，1224x x=−，即AB===.···········10分18.（12分）解：（1）设(,)B m n，且,m n R∈，由重心定义得3333A B CGA B CGx x xxy y yy++⎧==⎪⎪⎨++⎪==⎪⎩，解得48CCx my n=−⎧⎨=−⎩，记线段BC 的中点为M ，则2242B C M B C M x x x y y y +⎧==⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即(2,4)M ； ···········4分 （2）设(,)B a a −，由（1）得(4,8)C a a −+，BH AC ⊥，1711C A AC BH C A y y a k k x x a−+∴=−===−−−， 解得4a =−，即(4,4)B −，(8,4)C ，:4BC l y =,BC AH ⊥，5H A x x ∴==，即(5,5)H −. ···········12分 19. （12分）解：（1）由于AB CD ，90BAD ∠=，所以CD AD ⊥，由于PD CD ⊥，PD AD D ⋂=，,PD AD PAD ⊂平面，所以CD PAD ⊥平面， 所以AB PAD ⊥平面，由PA PAD ⊂平面，得AB PA ⊥.取CD 的中点为E ，连接BE ，因为底面ABCD 是直角梯形，DE AB ，且222DC DE AB ===，所以四边形ABED 为正方形，所以BE AD ，BE AD =， 在Rt BEC中，BE ==，故AD BE ==所以在PAD 中，222AD PA PD +=，即PA AD ⊥，由于AD AB A ⋂=，,AB AD ABCD ⊂平面，所以PA ABCD ⊥平面；· ·······4分 （2）由（1）可知,,AB AD PA 两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(2,3,0),(0,3,0),(0,0,1)A B C D P ，(1,3,0)(1,0,1)(2,3,1)BD PB PC =−=−=−，，，设平面BPC 的法向量为(,,)n x y z =，则00n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x z x z −=⎧⎪⎨−=⎪⎩，令x =(3,n =−，设直线BD 与平面BPC 的夹角为θ，23sin cos ,=727BD n BD n BD nθ⋅===⋅⋅，所以直线BD 与平面BPC 所成角的正弦值为7. ···········12分 20. （12分）解：（1）联立两条直线方程，解得P ，设切线方程为:(l y k x =+，则圆心到切线的距离1d ==解得1212,2k k ==，所以:2(1:(2PN PM l y x l y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 令0y =，解得2A B x x =−=，则55522PA PB −==−=； ···········4分（2）分析知,M N 在以P 为圆心，PM为半径的圆上，设2,)P t t −，2222)OP t t =+，21OM =，222222)1PM PO OM t t =−=+−，即在圆2222:(2)()2)1P x t y t t t −+−=−+−上，联立222222(2)()2)11x t y t t t x y ⎧−+−=−+−⎪⎨+=⎪⎩，得(210t x ty −−+=，所以:(210MN l t x ty −−+=过定点(,)1515. ···········12分 21. （12分）解：（1）以1D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz −，则1111(1,,0),(1,1,0)211(0,,3)(1,,0),22A E C CB B AE EC CC =−=−=， 设平面1AEC 的法向量为111(,,)m x y z =，则100m AE m EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111102102y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪−+=⎪⎩，令11z =，得(3,2m =，设平面1EC C 的法向量为222(,,)n x y z =，则1100n CC n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2220102x y =⎨−+=⎪⎩， 令21x =，得(1,2,0)n =，设二面角1A EC C −−的平面角为θ，则115cos cos 4m n A EC C m n θ⋅=−−==⋅.···········5分（2）设=(-,)2EP EC λλλ=，则1(1,)2P λλ+−+，1(,)2BP λλ−=−，令11(0,0,1)B B u B B==，设点P 到直线1B B 的距离为d ，则2222222111()()()))2d B P B P u λλ−=−⋅=−++−，整理得222511511()424455d λλλ=−+=−+， 15d EP EC λλ∴===当时，···········12分 22. （12分）解：（1）由题意：椭圆过点3(,)2c ，又过点()2， 有22222941 334 1 c a ba b ⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩①②，变形22294b b a =①：，得223ba =代入①，得23112a a+=，即2260a a −−=，0a >，解得2a =，则b = 所以椭圆方程22:143x y C +=；···········4分 （2）①当MN 的斜率为0或不存在时， 此时22MNPQ S MN PQ a b =⋅=⋅=②当MN 的斜率存在且不为0时，设直线MN ：y kx t =+，联立223412y kx t x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得()2223484120k x ktx t +++−=， ()()222264163430k t tk ∆=−−+=，化简得2243k t +=，所以两平行线MN 和PQ 的距离1d NP ===以1k −代替k ，两平行线MQ 和NP 的距离2d MN ===所以矩形MNPQ 的对角线MP NQ ====根据基本不等式2221422MNPQMN NPMP SMN NP +=⋅≤==，1483,>所以当=MN NP 1k =±，矩形MNPQ 面积的最大值为14.···········12分。
直线与双曲线的位置关系(我的)
2)位置关系与交点个数
Y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
X 相离:0个交点
相交:一个交点
Y
O
X
3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0 相交 相切 相离
y = kx + m
2过点B0,b 作斜率为k k ≠0 直线,交双曲线于Q1,Q2两点,
若线段Q1Q2的中点在直线x
=
1 2
上,
求b的取值范围.
l : kx+1k 0
y=kx+1
x22ky2422k2
1 0 12
2k2 2k2
x2 2kx 3 0. .
0
3<k< 3, k 2
1 2
x1
x2
=
k k2
2
2
所以直线L的方程为：y 2x 1，那么由（1）x1 x2 4，即线段AB
的中点横坐标为：2，纵坐标为y 2* 2 1 3,中点（2， 3）不
在直线 y 1 x上，所以这样的a 不存在。 2
本题涉及到直线的斜率和中点问题，利用点差法会更简单。
解：A（x1, y1）, B( x2, y2 )直线y ax 1与双曲线的两个交点，
解得
a2 4 b2 5
所以双曲线 C的方程为 x2 y2 1. 45
(2)设直线l的方程为y kx m(k 0).
y kx m
联立 x2 y2
得(5 4k 2 )x2 8kmx 4kmx 4m2 20 0.