2018版高考数学一轮总复习第6章不等式、推理与证明6.4基本不等式模拟演练课件

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2018版高中数学一轮全程复习(课件)第六章不等式、推理与证明 6.4

建筑第 x 层楼时，该楼房综合费用为 y＝f(x)＝72x＋xx－2 1×2＋100＝x2＋71x＋100，综上可知 y＝f(x)＝x2＋71x＋100(x≥1，x∈Z)．
第二十八页，编辑于星期六：二十二点二十四分。
(2)设该楼房每平方米的平均综合费用为 g(x)，则 g(x)＝
fx×10 000 1 000x
称为正数 a，b 的④几 __何 ___平__均__数_.
第十页，编辑于星期六：二十二点二十四分。
2．几个重要不等式
(1)a2＋b2≥⑤_2_a_b___(a，b∈R)． a＋b2
((23))aab＋≤2 b⑥2≤__⑦_2_________a__2_＋_2_(a_b，_2 _b(a∈，Rb)∈．R)．
(4)ba＋ab≥⑧__2____(a·b＞0)．
(5)1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a＞0，b＞0)．
第十一页，编辑于星期六：二十二点二十四分。
3．利用基本不等式求最值问题已知 x＞0，y＞0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当⑨___x＝__y_____时，x＋ y 有最小值是⑩_2__p___(简记：“积定和最小”)． (2)如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当⑪____x_＝__y___时， xy 有最大值是⑫____s_2_____(简记：“和定积最大”)．
＝
10fx x
＝
10x2＋71x＋100 x
＝
10x
＋
1
000 x
＋
710≥2
1 10x·
0x00＋710＝910.
当且仅当 10x＝1 0x00，即 x＝10 时等号成立．
综上可知应把楼层建成 10 层，此时平均综合费用最低，为

高考数学一轮总复习第6章不等式、推理与证明6.4基本不等式模拟演练课件文

解析因为 x2＋y2－xy＝1，所以 x2＋y2＝1＋xy.
x ＋ y 2 所以(x＋y)2＝1＋3xy≤1＋3× ， 2
即(x＋y)2≤4，解得－2≤x＋y≤2. 当且仅当 x＝y＝1 时等号成立，所以 x＋y 的最大值为 2.
1 2 2＋2 ． 7．函数 y＝2x＋ (x>1)的最小值为________ x－1
3 C. 3
1 1 2x 2 对于 x ＋3xy－1＝0 可得 y＝3 x －x， ∴x＋y＝ 3
2 2 2 2 ＝ ( 当且仅当 x ＝时等号成立 ) ． 9 3 2
6．[2017· 广州模拟] 已知实数 x，y 满足 x2＋y2－xy＝1，
2 则 x＋y 的最大值为________ ．
解析 f( x ) ＝
1 x＋11－2x ( － 1<x< 2 ) 的最大值为
x＋11－2x＝
1 22x＋21－2x，
1 因为－ 1<x< 2 ，所以 2x＋ 2>0,1 － 2x>0 ，且 (2x＋ 2)＋ (1 －2x)＝3.
由基本不等式可得 (2x＋2)＋(1－2x)≥2
1 即 a＝b＝3时等号成
立．故选 D.
x2＋2 4．函数 y＝ (x>1)的最小值是( x－1 A．2 3＋2 C．2 3 B．2 3－2 D．2
)
解析
∵x>1，∴x－1>0.
x2＋2 x2－2x＋2x＋2 ∴y＝＝＝ x－1 x－1 x2－2x＋1＋2x－1＋3 x－12＋2x－1＋3 ＝＝ x－1 x－1 3 x－1＋＋2≥2 x－1
4m n 4m n ＋ n ＋m，又 m>0，n<0，所以－ n －m≥4，当且仅当 n＝ 4m n 1 －2m 时取等号，故 5＋ n ＋m≤5－4＝1，当且仅当 m＝2， n＝－1 时取等号，故选 C.

2018高三数学(理)一轮总复习课件：第六章不等式与推理证明 6-4

1．(2017· 江西南昌调研)已知 a，b∈R，且 ab≠0，则下列结论恒成立的是( ) B．a2＋b2>2ab
a b D．b＋a≥2
A．a＋b≥2 ab a b C.b＋a≥2
解析：选 D.对于 A，当 a，b 为负数时，a＋b≥2 ab不成立；对于 B，当 a＝b 时，a2＋b2>2ab 不成立；对于 C，当 a，b 异号
4 当且仅当 x－1＝，即 x＝3 时取“＝”，∴a≤6，即 a x －1 的最大值为 6，故选 B.
1 1 3 ．已知 x ＞ 0 ， y ＞ 0 ，且 2x ＋ y ＝ 1 ，则 x ＋ y 的最小值为；
解析：∵x＞0，y＞0，且 2x＋y＝1， 1 1 2x＋y 2x＋y ∴x ＋y＝ x ＋ y y 2x y 2x ＝3＋x＋ y ≥3＋2 2.当且仅当x＝ y 时，取等号．
1 1 x y 解析：选 C.将(1，1)代入直线a＋b＝1 得a＋b＝1，a>0，b>0，故
1 1 b a a＋b＝(a＋b) a＋b ＝2＋a＋b≥2＋2＝4，等号当且仅当
a＝b
时取到，故选 C.
1 2 2．(2015· 高考湖南卷)若实数 a，b 满足a＋b＝ ab，则 ab 的最小值为( A. 2 C．2 2 ) B．2 D．4
a＋b 设 a＞0，b＞0，则 a，b 的算术平均数为 2 ，几何平均数
为 ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们
的几何平均数
．
2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥
2ab
(a，b∈R)．
b a 2 (2) ＋ ≥ (a，b 同号) a b
a＋b 2 (3)ab≤ 2 (a，b∈R)． a2＋b2 a＋b2 (4) ≥ (a，b∈R)． 2 2

2018届高考数学一轮复习：(理数)第6章不等式、推理与证明

理数第6章不等式、推理与证明 6-1a[A 级基础达标](时间：40分钟)1．[2017·浙江抽测]已知a ，b ∈R ，则“b ≥0”是“a 2＋b ≥0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析当b ≥0时，a 2＋b ≥0，反之不一定成立，因此“b ≥0”是“a 2＋b ≥0”的充分不必要条件．2．[2017·烟台模拟]如果a ，b ，c 满足c acB ．bc >acC ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0 答案 C解析因为c 0，c <0.所以ab －ac ＝a (b －c )>0，bc －ac ＝(b －a )c >0，ac (a －c )<0，所以A ，B ，D 均正确．因为b 可能等于0，也可能不等于0，所以cb 2<ab 2不一定成立．3．设a >b >0，下列各数小于1的是( )A ．2a －b B.⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －bD.⎝ ⎛⎭⎪⎫b a a －b 答案 D解析解法一：(特殊值法)取a ＝2，b ＝1，代入验证．解法二：y ＝a x (a >0且a ≠1)．当a >1，x >0时，y >1；当0<a <1，x >0时，0<y <1.∵a >b >0，∴a －b >0，a b >1,01，所以a 1>b >－1，则下列不等式中恒成立的是( )A ．a >b 2B.1a >1bC.1a <1b D ．a 2>2b 答案 A解析对于A ，∵－11，∴a >b 2，故A正确；对于B ，若a ＝2，b ＝12，此时满足a >1>b >－1，但1a <1b ，故B错误；对于C ，若a ＝2，b ＝－12，此时满足a >1>b >－1，但1a >1b ，故C 错误；对于D ，若a ＝98，b ＝34，此时满足a >1>b >－1，但a 2<2b ，故D 错误．6．已知－π2<α<β<π，则α－β2的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0 解析由－π2<α<β<π，得－π2<α<π，－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2，即－3π4<α－β2<3π4.又∵α－β<0，∴－3π4<α－β2<0，故α－β2的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0. 7．[2017·西安模拟]已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)解析 ∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0，当a >0时，有b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 2>1，b <1，解得b <－1；当a <0时，有b 2<11，无解．综上可得b <－1.8．[2017·遵义模拟]已知下列结论：①若a >|b |，则a 2>b 2；②若a >b ，则1a <1b ；③若a >b ，则a 3>b 3；④若a <0，－1a .其中正确的是________(只填序号即可)．答案 ①③④解析对于①，因为a >|b |≥0，所以a 2>b 2，即①正确；对于②，当a ＝2，b ＝－1时，显然不正确；对于③，显然正确；对于④，因为a <0，－10，所以ab 2>a ，即④正确．9．[2017·大连段考]若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e a －c 2>e b －d 2. 证明 ∵c <d <0，∴－c >－d >0.又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0，∴(a －c )2>(b －d )2>0，∴0<1 a －c 2<1 b －d 2. 又∵e <0，∴e a －c 2>e b －d 2. 10．[2017·昆明模拟]设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．解解法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1， ∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧f －1 ＝a －b ，f 1 ＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12[f －1 ＋f 1 ]，b ＝12[f 1 －f －1 ]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.[B 级知能提升](时间：20分钟)11．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定答案 B解析 M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0.∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0，∴M >N .12．[2017·广西模拟]若a ，b 为实数，则1a <1b 成立的一个充分而不必要的条件是( )A ．b <a <0B ．a <bC ．b (a －b )>0D ．a >b答案 A解析由a >b ⇒1a <1b 成立的条件是ab >0，即a ，b 同号时，若a >b ，则1a <1b ；a ，b 异号时，若a >b ，则1a >1b .13．[2017·汕头模拟]若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a ，⑤a y >b x 这五个式子中，恒成立的不等式的序号是 ________.答案 ②④解析令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x >y ，a >b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5，∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不成立．∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1， ∴a y ＝b x ，因此⑤不成立．由不等式的性质可推出②④成立．14．已知1≤lg (xy )≤4，－1≤lg x y ≤2，求lg x 2y 的取值范围．解由1≤lg (xy )≤4，－1≤lg x y ≤2，得1≤lg x ＋lg y ≤4，－1≤lg x －lg y ≤2，而lg x 2y ＝2lg x －lg y ＝12(lg x ＋lg y )＋32(lg x －lg y )，所以－1≤lg x 2y ≤5，即lg x 2y 的取值范围是[－1,5]．理数第6章不等式、推理与证明 6-2a[A 级基础达标](时间：40分钟)1．[2017·潍坊模拟]函数f (x )＝1ln －x 2＋4x －3的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(1,2)∪(2,3)答案 D 解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋4x －3>0，－x 2＋4x －3≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，x ≠2，故函数 f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)．2．[2017·青海质检]不等式x 2－4>3|x |的解集是( )A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 A解析 ∵|x |2－3|x |－4>0，∴(|x |－4)(|x |＋1)>0，∴|x |>4，x >4或x <－4，选A 项．3．[2017·江西模拟]下列选项中，使不等式x <1x <x 2成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞) 答案 A解析当x >0时，原不等式可化为x 2<1<x 3，解得x ∈∅，当x <0时，原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 2>1，x 3<1，解得x <－1，选A. 4．[2017·郑州模拟]已知关于x 的不等式ax －1x ＋1>0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则a 的值为( ) A ．－1 B.12 C ．1 D ．2答案 D解析由题意可得a ≠0且不等式等价于a (x ＋1)·⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0，由解集的特点可得a >0且1a ＝12，故a ＝2.故选D. 5．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ －1<x <12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >12 C ．{x |－2<x <1}D ．{x |x <－2或x >1}答案 A解析由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根，且a <0.由韦达定理⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2＝－b a ，－1 ×2＝2a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. ∴不等式2x 2＋bx ＋a <0，即2x 2＋x －1<0，可知x ＝－1，x ＝12是对应方程的根，∴选A.6．[2017·甘肃模拟]不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (－2,2]解析当a －2＝0，即a ＝2时，不等式即为－4<0，对一切x ∈R 恒成立，当a ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，Δ＝4 a －2 2＋16 a －2 <0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，－2<a <2，∴－2<a <2. 综上，可得实数a 的取值范围是(－2,2]．7．[2017·上海模拟]不等式x ＋1x ≤3的解集为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <0或x ≥12解析 x ＋1x ≤3，即x ＋1－3x x≤0， 1－2x x ≤0⇔⎩⎨⎧ x 1－2x ≤0，x ≠0⇔⎩⎨⎧ x 2x －1 ≥0，x ≠0.解得x ≥12或x <0.故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <0或x ≥12. 8．[2017·西安质检]在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．答案 32解析原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32.9．已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)．(1)若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，求k 的值；(2)若不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ，求k 的值； (3)若不等式的解集为R ，求k 的取值范围；(4)若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．解 (1)由不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}可知k <0，且－3与－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，∴(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25.(2)由不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，x ≠1k 可知⎩⎪⎨⎪⎧ k <0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－66. (3)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧ k <0，Δ＝4－24k 2<0，解得k <－66. (4)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k ≥66. 10．[2017·池州模拟]已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R .(1)求a 的取值范围；(2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0.解 (1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝ 2a 2－4a ≤0，解得0<a ≤1，综上，a 的取值范围是[0,1]．(2)∵f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a x ＋1 2＋1－a ，∵a >0，∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意，得1－a ＝22，∴a ＝12.∴x 2－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫122－12<0，即(2x ＋1)(2x －3)<0，－12<x <32.故不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. [B 级知能提升](时间：20分钟)11．[2017·重庆模拟]关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.152答案 A解析由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52，故选A. 12．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间答案 C解析设销售价定为每件x 元，利润为y ，则：y ＝(x －8)·[100－10(x －10)]，依题意有(x －8)[100－10(x －10)]>320，即x 2－28x ＋192<0，解得12<x <16，所以每件销售价应定为12元到16元之间．13．若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 (－∞，0]解析因为4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，所以4x －2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立．令y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2×2x ＋1－1＝(2x －1)2－1.因为1≤x ≤2，所以2≤2x ≤4.由二次函数的性质可知：当2x ＝2，即x ＝1时，y 有最小值0，所以a 的取值范围为(－∞，0]．14．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0.当x ∈(－3,2)时，f (x )>0.(1)求f (x )在[0,1]内的值域；(2)若ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围．解 (1)因为当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0，当x ∈(－3,2)时，f (x )>0，所以－3,2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，可得⎩⎨⎧－3＋2＝－b －8a ，－3×2＝－a －ab a ，所以a ＝－3，b ＝5，f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋18.75，函数图象关于x ＝－12对称，且抛物线开口向下，所以在区间[0,1]上f (x )为减函数，所以函数的最大值为f (0)＝18，最小值为f (1)＝12，故f (x )在[0,1]内的值域为[12,18]．(2)由(1)知，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0化为－3x 2＋5x ＋c ≤0，因为二次函数y ＝－3x 2＋5x ＋c 的图象开口向下，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3<0，Δ＝b 2－4ac ≤0，即25＋12c ≤0⇒c ≤－2512，所以实数c 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－2512.理数第6章不等式、推理与证明 6-3a[A 级基础达标](时间：40分钟)1．[2016·北京高考]若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5答案 C解析画出可行域，如图中阴影部分所示，令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 过点A (1,2)时，z 最大，z max ＝4.故选C.2．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－53 答案 C解析图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需要可行域的边界点(－m ，m )在y ＝12x －1下方，也就是m <－12m －1，即m <－23.故选C.3．已知z ＝2x ＋y ，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥m ，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是( )A.17B.16C.15D.14 答案D解析画出线性约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥m的可行域，如图阴影部分所示．由可行域知：目标函数z ＝2x ＋y 过点(m ，m )时有最小值，z min ＝3m ；过点(1,1)时有最大值，z max ＝3，因为z 的最大值是最小值的4倍，所以3＝12m ，即m ＝14.4．[2017·江西模拟]某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,50 答案B解析设种植黄瓜x 亩，种植韭菜y 亩，因此，原问题转化为在条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0下，求z ＝0.55×4x ＋0.3×6y －1.2x －0.9y ＝x ＋0.9y 的最大值．画出可行域如图．利用线性规划知识可知，当x ，y 取⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50，1.2x ＋0.9y ＝54的交点(30,20)时，z 取得最大值．故选B.5．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3，－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1} 答案 B解析作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a ＝1或－a ＝－3，∴a ＝－1或a ＝3.6．[2014·安徽高考]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．答案 4解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S △ABC ＝12×2×(2＋2)＝4.7．[2017·厦门模拟]设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________．答案 3解析画出不等式组所确定的可行域(如图阴影部分)．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，作直线l ：y ＝－12x ，平移l ，由图形可知当l 经过可行域中的点A (1，1)时，z 取最小值，所以z min ＝1＋2×1＝3.8．[2017·辽宁模拟]设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y的最大值为________．答案55解析不等式组表示的区域如图所示，令z ＝2x ＋3y ，目标函数变为y ＝－23x ＋z3，因此截距越大，z 的取值越大，故当直线z ＝2x ＋3y 经过点A 时，z 最大，由于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝20，y ＝15⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝15，故点A 的坐标为(5,15)，代入z ＝2x ＋3y ，得到z max ＝55，即2x ＋3y 的最大值为55.9．当x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0，(k 为负常数)时，能使z ＝x ＋3y 的最大值为12，试求k 的值．解在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示)．当直线y ＝－13x ＋13z 经过区域中的点A 时，截距最大．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＋k ＝0，得x ＝y ＝－k 3.∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－k3，－k 3，则z 的最大值为－k 3＋3⎝⎛⎭⎪⎫－k 3＝－43k ，令－4k3＝12，得k ＝－9. ∴所求实数k 的值为－9.10．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx ，求z 的最小值； (2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．解由约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1作出(x ，y )的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫1，225. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．(1)因为z ＝y x ＝y －0x －0，所以z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29，所以2≤z ≤29.(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝－3－5 2＋ 2－2 2＝8.所以16≤z ≤64.[B 级知能提升](时间：20分钟)11．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，3x －y ≥1，y ≥x ＋1，则下列不等式恒成立的是( )A ．x ≥3B ．y ≥4C ．x ＋2y －8≥0D ．2x －y ＋1≥0答案 C解析不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由图象可知x ≥2，y ≥3，A 、B 错误；点(3,8)在可行域内，但不满足2x －y ＋1≥0，D 错误；设z ＝x ＋2y ，y ＝－12x ＋12z ，由图象可知当其经过点(2,3)时，z 取得最小值8.12．[2017·太原模拟]设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥2，x －2y ≥－4，3x －y ≤3所表示的平面区域为M ，若函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象经过区域M ，则实数k 的取值范围是( )A ．[3,5]B ．[－1,1]C ．[－1,3] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 答案D解析画出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥2，x －2y ≥－43x －y ≤3，所表示的平面区域M ，如图中阴影部分所示，函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象表示一条经过定点P (－1,1)的直线，当直线经过区域M 内的点A (0,2)时斜率最大，为1，当直线经过区域M 内的点B (1,0)时斜率最小，为－12，故实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，选D.13．[2017·山西质检]若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤1，xy ≥0，则2x ＋y 的取值范围为________．答案 [－2,2]解析作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x ＋y ＝0，经过点(1,0)时，2x ＋y 取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1,0)时，2x ＋y 取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x ＋y 的取值范围为[－2,2]．14．[2016·天津高考]某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为 ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线.z 3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．理数第6章不等式、推理与证明 6-4a[A 级基础达标](时间：40分钟)1．已知x ，y ∈R ＋，则“xy ＝1”是“x ＋y ≥2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若xy ＝1，由基本不等式，知x ＋y ≥2xy ＝2；反之，取x ＝3，y ＝1，则满足x ＋y ≥2，但xy ＝3≠1，所以“xy ＝1”是“x ＋y ≥2”的充分不必要条件．故选A.2．[2015·湖南高考]若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4 答案 C 解析由ab ≥22ab ，得ab ≥22，当且仅当1a ＝2b 时取“＝”，选C.3．已知a >0，b >0,2a ＋b ＝1，则2a ＋1b 的最小值是( ) A ．4 B.92 C ．8 D ．9 答案 D解析 ∵2a ＋b ＝1，又a >0，b >0， ∴2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2a b ≥5＋22b a ×2ab ＝9，当且仅当⎩⎨⎧2b a ＝2a b ，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时等号成立．故选D. 4．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2答案 A解析 ∵x >1，∴x －1>0. ∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2 x －1 ＋3x －1＝ x －1 2＋2 x －1 ＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2x －1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时取等号．5．[2017·浙江考试院抽测]若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( )A.23B.223C.33D.233 答案 B解析对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13⎝⎛⎭⎪⎫1x －x ，∴x ＋y ＝2x 3＋13x≥229＝223(当且仅当x ＝22时等号成立)．6．[2017·广州模拟]已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则x ＋y的最大值为________．答案 2解析因为x 2＋y 2－xy ＝1，所以x 2＋y 2＝1＋xy .所以(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2≤4，解得－2≤x ＋y ≤2. 当且仅当x ＝y ＝1时等号成立，所以x ＋y 的最大值为2.7．函数y ＝2x ＋1x －1(x >1)的最小值为________．答案 22＋2解析因为y ＝2x ＋1x －1(x >1)，所以y ＝2x ＋1x －1＝2(x －1)＋1x －1＋2≥2＋22 x －1 1x －1＝22＋2.当且仅当x ＝1＋22时取等号，故函数y ＝2x ＋1x －1(x >1)的最小值为22＋2.8．函数f (x )＝ x ＋1 1－2x ( －1<x <12 )的最大值为________．答案324解析 f (x )＝ x ＋1 1－2x ＝12 2x ＋2 1－2x ，因为－1<x <12，所以2x ＋2>0,1－2x >0，且(2x ＋2)＋(1－2x )＝3. 由基本不等式可得(2x ＋2)＋(1－2x )≥2 2x ＋2 1－2x ( 当且仅当2x ＋2＝1－2x ，即x ＝－14时等号成立 )，即 2x ＋2 1－2x ≤32. 所以f (x )＝12 2x ＋2 1－2x ≤12×32＝324.9．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解 (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy ，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y ·8yx ＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18.10．[2016·郑州模拟]若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab . (1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．解 (1)因为a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab ，所以ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，所以ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．因为a 3＋b 3≥2 ab 3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，所以a 3＋b 3的最小值为4 2. (2)由(1)可知，2a ＋3b ≥22a ·3b ＝26ab ≥43>6，故不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6成立．[B 级知能提升](时间：20分钟)11．[2017·安庆模拟]设实数m ，n 满足m >0，n <0，且1m ＋1n ＝1，则4m ＋n ( )A ．有最小值9B ．有最大值9C ．有最大值1D ．有最小值1 答案 C解析因为1m ＋1n ＝1，所以4m ＋n ＝(4m ＋n )( 1m ＋1n )＝5＋4m n ＋n m ，又m >0，n <0，所以－4m n －nm ≥4，当且仅当n ＝－2m 时取等号，故5＋4m n ＋n m ≤5－4＝1，当且仅当m ＝12，n ＝－1时取等号，故选C.12．设a >0，b >1，若a ＋b ＝2，则2a ＋1b －1的最小值为( )A ．3＋2 2B ．6C ．4 2D ．2 2 答案 A解析由题可知a ＋b ＝2，a ＋b －1＝1，∴2a ＋1b －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －1(a＋b －1)＝2＋2 b －1 a ＋ab －1＋1≥3＋22，当且仅当2 b －1 a ＝ab －1，即a ＝2－2，b ＝2时等号成立，故选A. 13．已知a >b >0，则a 2＋16b a －b的最小值是________．答案 16解析因为a >b >0，所以b (a －b )≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，当且仅当a ＝2b 时等号成立．所以a 2＋16b a －b≥a 2＋16a 24＝a 2＋64a 2≥2a 2·64a 2＝16，当且仅当a ＝22时等号成立．所以当a ＝22，b ＝2时，a 2＋16b a －b 取得最小值16.14．已知lg (3x )＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1)． (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．解由lg (3x )＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，3xy ＝x ＋y ＋1.(1)∵x >0，y >0，∴3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1， ∴3xy －2xy －1≥0，即3(xy )2－2xy －1≥0， ∴(3xy ＋1)(xy －1)≥0， ∴xy ≥1，∴xy ≥1，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． ∴xy 的最小值为1. (2)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＋1＝3xy ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22， ∴3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0， ∴[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0，∴x ＋y ≥2，当且仅当x ＝y ＝1时取等号， ∴x ＋y 的最小值为2.理数第6章不等式、推理与证明 6-5a[A 级基础达标](时间：40分钟)1．下列说法正确的有( )①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”；④演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 C解析只有②是错误的，因为演绎推理的结论的正误受大前提、小前提和推理形式正确与否的影响．2．[2017·上海模拟]某西方国家流传这样一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为( )A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误答案 C解析∵大前提的形式：“鹅吃白菜” 不是全称命题，大前提本身正确；小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但是不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比．∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误．3．[2016·浙江模拟]观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝()A．192B．202C．212D．222答案 C解析因为13＋23＝32,13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102等式的右端依次为(1＋2)2，(1＋2＋3)2，(1＋2＋3＋4)2，所以13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212，故选C.4．将自然数0,1,2，…按照如下形式进行摆列：根据以上规律判定，从2016到2018的箭头方向是()答案 A解析从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，0→1，箭头垂直指下，4→5，箭头也是垂直指下，8→9也是如此，而2016＝4×504，所以2016→2017也是箭头垂直指下，之后2017→2018的箭头是水平向右，故选A.5．[2017·湖北八校二联]有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁答案 D解析根据题意，6名选手比赛结果甲、乙、丙、丁猜测如下表：6．[2017·广东三校联考]已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，…，观察上述结果，可归纳出的一般结论为________．答案 f (2n)≥n ＋22(n ∈N *) 解析由题意f (2)＝32可化为f (21)＝1＋22，f (4)>2可化为f (22)>2＋22，f (8)>52可化为f (23)>3＋22，f (16)>3可化为f (24)>4＋22，…，由归纳推理可得f (2n)≥n ＋22(n ∈N *)． 7．[2017·重庆模拟]在等差数列{a n }中，若公差为d ，且a 1＝d ，那么有a m ＋a n ＝a m ＋n ，类比上述性质，写出在等比数列{a n }中类似的性质：______________________.答案在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n解析等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性质是“在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n .”8．下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是 .答案 n n ＋1 2解析由题图知第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n .∴总个数为n n ＋1 2. 9．在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C .证明 ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B >π2，∴A >π2－B ，∵y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数， ∴sin A >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，同理可得sin B >cos C ，sin C >cos A ，∴sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C .10．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5.求：(1)a 18的值；(2)该数列的前n 项和S n .解 (1)由等和数列的定义，数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ＝1,2，…)，故a 18＝3.(2)当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n )当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n ＝52(n －1)＋2＝52n －12.综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 52n ，n 为偶数，52n －12，n 为奇数.[B 级知能提升](时间：20分钟)11．[2017·重庆模拟]某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )A ．21B ．34C ．52D ．55答案 D解析因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.12．[2016·北京高考]袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒，重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则() A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案 B解析若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除A、D；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则红球一个放在甲盒，余下一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，则余下一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒中一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除C.故选B.13．若f(n)为n2＋1(n∈N*)的各位数字之和，如：142＋1＝197,1＋9＋7＝17，则f(14)＝17；记f1(n)＝f(n)，f2(n)＝f(f1(n))，f3(n)＝f(f2(n))，…，f k＋1(n)＝f(f k(n))，k∈N*，则f2015(9)＝________.答案11解析92＋1＝82，f1(9)＝10；102＋1＝101，f2(9)＝f(f1(9))＝f(10)＝2；22＋1＝5，f3(9)＝f(f2(9))＝f(2)＝5；52＋1＝26，f4(9)＝f(f3(9))＝f(5)＝8；82＋1＝65，f5(9)＝f(f4(9))＝f(8)＝11；112＋1＝122，f6(9)＝f(f5(9))＝f(11)＝5，所以{f n(9)}从第3项开始是以3为周期的循环数列，因为2015＝2＋671×3，所以f2015(9)＝f5(9)＝11.14．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：1AD2＝1 AB2＋1AC2，那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．解如图，由射影定理得AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝DC·BC，故1AB2＋1AC2＝1BD·BC＋1DC·BC＝DC＋BDBD·DC·BC＝1BD·DC＝1AD2.在四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AH⊥底面BCD，垂足为H.则1AH2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.证明：连接BH并延长交CD于E，连接AE. ∵AB，AC，AD两两垂直，∴AB⊥平面ACD，又∵AE⊂平面ACD，∴AB⊥AE，在Rt△ABE中，1 AH2＝1AB2＋1AE2①又易证CD⊥AE，故在Rt△ACD中，1AE2＝1AC2＋1AD2②把②式代入①式，得1AH2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.理数第6章不等式、推理与证明6-6a[A级基础达标](时间：40分钟)1．[2017·绵阳周测]设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列关于t和s的大小关系中正确的是()A．t>s B．t≥sC．t<s D．t≤s答案 D解析s－t＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴s≥t，选D项．2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒为负值B．恒等于零C．恒为正值D．无法确定正负答案 A解析由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)<0.3．[2017·东城模拟]在△ABC中，sin A sin C＜cos A cos C，则△ABC 一定是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定答案 C解析由sin A sin C ＜cos A cos C ，得cos A cos C －sin A sin C ＞0，即cos(A ＋C )＞0，所以A ＋C 是锐角，从而B ＞π2，故△ABC 必是钝角三角形．4．[2017·郑州模拟]设x >0，P ＝2x ＋2－x ，Q ＝(sin x ＋cos x )2，则( )A ．P >QB ．P <QC ．P ≤QD ．P ≥Q答案 A解析因为2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2(当且仅当x ＝0时等号成立)，而x >0，所以P >2；又(sin x ＋cos x )2＝1＋sin2x ，而sin2x ≤1，所以Q ≤2.于是P >Q .故选A.5．设x ，y ，z ＞0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x y ( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2答案 C解析因为x ＞0，y ＞0，z ＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋y z ＋( z x ＋z y )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y z ＋z y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋z x ≥6，当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立，则三个数中至少有一个不小于2，故选C.6．下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋a b ≥2成立的条件的序号是________．答案 ①③④解析要使b a ＋a b ≥2，只需b a >0且a b >0成立，即a ，b 不为0且同号即可，故①③④都能使b a ＋a b ≥2成立．7．[2016·兰州调研]已知a ，b 是不相等的正数，x ＝a ＋b 2，y ＝a ＋b ，则x ，y 的大小关系是________．答案 x ＜y解析 ∵a ＋b 2>ab (a ≠b )⇒a ＋b >2ab ⇒2(a ＋b )>a ＋b ＋2ab⇒a ＋b > a ＋b 22⇒a ＋b >a ＋b 2，即x <y .8．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．答案 c n ＋1＜c n解析由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n ，∴c n 随n 的增大而减小，∴c n ＋1＜c n . 9．[2017·唐山模拟]已知a ＞0，1b －1a ＞1，求证：1＋a ＞11－b. 证明由已知1b －1a >1及a >0可知011－b，只需证1＋a ·1－b >1，只需证1＋a －b －ab >1，只需证a －b －ab >0，即a －b ab >1，即1b －1a >1，这是已知条件，所以原不等式得证．10．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，则d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明：由(1)得b n ＝S n n ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，所以(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.因为p ，q ，r ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0. 所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾，所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．[B 级知能提升](时间：20分钟)11．若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2|a ＋b |答案 D解析 ∵1a <1b <0，∴0>a >b .∴a 21，a ＝m ＋1－m ，b ＝m －m －1，则以下结论正确的是( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 大小不定答案 B解析 ∵a ＝m ＋1－m ＝1m ＋1＋m， b ＝m －m －1＝1m ＋m －1.而m ＋1＋m >m ＋m －1>0(m >1)， ∴1m ＋1＋m <1m ＋m －1，即a <b . 13．[2017·邯郸模拟]设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2；④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号) 答案 ③解析若a ＝12，b ＝23，则a ＋b ＞1，但a ＜1，b ＜1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2＞2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab ＞1，故⑤推不出；对于③，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.14．已知a ，b ，m 为非零实数，且a 2＋b 2＋2－m ＝0，1a 2＋4b 2＋1－2m ＝0.(1)求证：1a 2＋4b 2≥9a 2＋b2； (2)求证：m ≥72.证明 (1)要证1a 2＋4b 2≥9a 2＋b2成立，只需证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋4b 2(a 2＋b 2)≥9，即证1＋4＋b 2a 2＋4a 2b 2≥9，只需证b 2a 2＋4a 2b 2≥4，根据基本不等式，有b 2a 2＋4a 2b 2≥2b 2a 2·4a 2b2＝4成立．当且仅当2a 2＝b 2时等号成立，所以原不等式成立．(2)因为a 2＋b 2＝m －2，1a 2＋4b 2＝2m －1，由(1)知(m －2)(2m －1)≥9，即2m 2－5m －7≥0，解得m ≤－1或m ≥72.又a 2＋b 2＝m －2＞0，1a 2＋4b 2＝2m －1＞0，所以m ≥72.理数第6章不等式、推理与证明 6-7a[A 级基础达标](时间：40分钟)1．用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 B解析左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.故选B.2．一个关于自然数n 的命题，如果验证当n ＝1时命题成立，并在假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时命题成立的基础上，证明了当n ＝k ＋2时命题成立，那么综合上述，对于( )A ．一切正整数命题成立B ．一切正奇数命题成立C ．一切正偶数命题成立D ．以上都不对答案 B解析本题证的是对n ＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立．3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n 2n 2＋1 3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k ＋1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D. 13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] 答案 B解析由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加(k ＋1)2＋k 2，故选B.4．[2017·陕西模拟]用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·2…(2n －1)”(n ∈N ＋)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边的式子之比是( )A.12k ＋1B.2k ＋3k ＋1C.2k ＋1k ＋1D.12 2k ＋1答案 D解析当n ＝k 时，左边为(k ＋1)(k ＋2)…2k ，当n ＝k ＋1时，左边为(k ＋2)(k ＋3)…2k (2k ＋1)(2k ＋2)，所以从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边的式子之比是k ＋1 k ＋2 ·…·2k k ＋2 k ＋3 ·…·2k 2k ＋1 2k ＋2＝ k ＋1 2k ＋1 2k ＋2 ＝12 2k ＋1，选D. 5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n ＝2n －1＋22n －1(n ∈N ＋)时，假设n ＝k 时命题成立，则当n ＝k ＋1时，左端增加的项数是( )A ．1项B ．k －1项C ．k 项D ．2k 项答案 D解析运用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n ＝2n －1＋22n －1(n ∈N ＋)．当n ＝k 时，则有1＋2＋3＋…＋2k ＝2k －1＋22k －1(k ∈N ＋)，左边表示的为2k 项的和．当n ＝k ＋1时，则左边＝1＋2＋3＋…＋2k ＋(2k ＋1)＋…＋2k ＋1，表示的为2k ＋1项的和，增加了2k ＋1－2k ＝2k 项．6．[2017·郑州模拟]用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________．答案 1 2k ＋1 2k ＋2解析不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1 2k ＋1 2k ＋2 ，故填1 2k ＋1 2k ＋2. 7．用数学归纳法证明：(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(n ＋n )＝n 3n ＋1 2(n ∈N *)的第三步中，当n ＝k ＋1时等式左边与n ＝k 时的等式左边的差等于________．答案 3k ＋2解析 n ＝k ＋1比n ＝k 时左边变化的项为(2k ＋1)＋(2k ＋2)－(k ＋1)＝3k ＋2.8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有(S n －1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝______________________ __________________________________________________.答案 n n ＋1解析由(S 1－1)2＝S 21，得S 1＝12；由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2，得S 2＝23；。

2018版高考一轮总复习数学(理)习题第6章不等式、推理与证明6-7Word版含答案

(时间：40分钟)1．用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10 答案 B解析左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.故选B.2．一个关于自然数n 的命题，如果验证当n ＝1时命题成立，并在假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时命题成立的基础上，证明了当n ＝k ＋2时命题成立，那么综合上述，对于( )A ．一切正整数命题成立B ．一切正奇数命题成立C ．一切正偶数命题成立D ．以上都不对答案 B解析本题证的是对n ＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立． 3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n n 2＋3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k ＋1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2 D.13(k ＋1) 答案 B解析由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加(k ＋1)2＋k 2，故选B.4．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n·1·2…(2n －1)”(n ∈N ＋)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边的式子之比是( )A.12k ＋1 B.2k ＋3k ＋1C.2k ＋1k ＋1D.1k＋答案 D解析当n ＝k 时，左边为(k ＋1)(k ＋2)…2k ，当n ＝k ＋1时，左边为(k ＋2)(k ＋3)…2k (2k ＋1)(2k ＋2)，所以从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边的式子之比是k ＋k ＋k k ＋k ＋kk ＋k ＋＝k ＋1k ＋k ＋＝1k ＋，选D.5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋ (2)＝2n －1＋22n －1(n ∈N ＋)时，假设n ＝k 时命题成立，则当n ＝k ＋1时，左端增加的项数是( )A ．1项B ．k －1项C ．k 项D ．2k项答案 D解析运用数学归纳法证明 1＋2＋3＋ (2)＝2n －1＋22n －1(n ∈N ＋)．当n ＝k 时，则有1＋2＋3＋ (2)＝2k －1＋22k －1(k ∈N ＋)，左边表示的为2k项的和．当n ＝k ＋1时，则左边＝1＋2＋3＋…＋2k ＋(2k ＋1)＋…＋2k ＋1，表示的为2k ＋1项的和，增加了2k ＋1－2k＝2k项．6．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________．答案1k ＋k ＋解析不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1k ＋k ＋，故填1k ＋k ＋.7．用数学归纳法证明：(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(n ＋n )＝n n ＋2(n ∈N *)的第三步中，当n ＝k ＋1时等式左边与n ＝k 时的等式左边的差等于________．答案 3k ＋2解析 n ＝k ＋1比n ＝k 时左边变化的项为(2k ＋1)＋(2k ＋2)－(k ＋1)＝3k ＋2. 8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有(S n －1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝________________________________________________________________________.答案nn ＋1解析由(S 1－1)2＝S 21，得S 1＝12；由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2，得S 2＝23；由(S 3－1)2＝(S 3－S 2)S 3，得S 3＝34.猜想S n ＝nn ＋1.9．用数学归纳法证明：(3n ＋1)·7n－1(n ∈N *)能被9整除．证明 ①当n ＝1时，(3×1＋1)×7－1＝27能被9整除，命题成立； ②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时命题成立，即(3k ＋1)·7k－1能被9整除，则当n ＝k ＋1时， ·7k ＋1－1＝(3k ＋1)·7k ＋1－1＋3·7k ＋1＝(3k ＋1)·7k－1＋6(3k ＋1)·7k＋3·7k ＋1＝(3k ＋1)·7k－1＋9·(2k ＋3)·7k.由于(3k ＋1)·7k －1和9·(2k ＋3)·7k 都能被9整除，所以(3k ＋1)·7k－1＋9·(2k ＋3)·7k 能被9整除，即当n ＝k ＋1时，命题也成立，故(3n ＋1)·7n －1(n ∈N *)能被9整除．10．用数学归纳法证明不等式：2＋12·4＋14·…·2n ＋12n ＞n ＋1.证明 ①当n ＝1时，左式＝32，右式＝2，左式＞右式，所以结论成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k＞k ＋1，则当n ＝k ＋1时， 2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋3k ＋＞k ＋1·2k ＋3k ＋＝2k ＋32k ＋1，要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥k ＋k ＋，由基本不等式2k ＋32＝k ＋＋k ＋2≥k ＋k ＋成立，故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立．所以，当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知n ∈N *时，不等式2＋12·4＋14·…·2n ＋12n＞n ＋1成立．(时间：20分钟)11．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( )A ．n ＋1B ．2n C.n 2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋1答案 C解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n n ＋2＝n 2＋n ＋22个区域．12．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3答案 A解析假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．13．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n(n ∈N *)，则a 3＝________，a 1·a 2·a 3·…·a 2015＝________.答案－123解析 ①a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－12.②求出a 4＝13，a 5＝2，可以发现a 5＝a 1，且a 1·a 2·a 3·a 4＝1，故a 1·a 2·a 3·…·a 2015＝a 1a 2a 3＝3. 14．数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)．(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1. 当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32.当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74.当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4， ∴a 4＝158.由此猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)．(2)证明：①当n ＝1时，左边＝a 1＝1，右边＝21－120＝1，左边＝右边，结论成立．②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k－12k －1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，∴2a k ＋1＝2＋a k ，∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k－12k －12＝2k ＋1－12k，这表明n ＝k ＋1时，结论成立，由①②知猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)成立．。

2018高考数学一轮复习第6章不等式及其证明重点强化训练3不等式及其应用教师用书

重点强化训练(三) 不等式及其应用A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) C [取x ＝12，则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14＝lg x ，故排除A ；取x ＝32π，则sin x ＝－1，故排除B ；取x ＝0，则1x 2＋1＝1，排除D.] 2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17B [由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y ＝－25x ＋15z ，在图中画出直线y ＝－25x ，平移该直线，易知经过点A 时z 最小．又知点A 的坐标为(3,0)， ∴z min ＝2×3＋5×0＝6.故选B.]3．(2016·浙江高考)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( ) 【导学号：51062201】A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6C [由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示．因为直线x ＋y －2＝0与直线x ＋y ＝0平行，所以可行域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段的长|AB |即为|CD |.易得C (2，－2)，D (－1,1)，所以|AB |＝|CD |＝＋2＋－2－2＝3 2.故选C.]4．不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．[－∞，0)∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)B [①当x －2>0，即x >2时，不等式可化为(x －2)2≥4，解得x ≥4； ②当x －2<0，即x <2时，不等式可化为(x －2)2≤4，解得0≤x <2.综上，解集为[0,2)∪[4，＋∞)．]5．若函数f (x )＝2x＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)C [因为函数y ＝f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x＋12－x －a ＝－2x＋12x －a .化简可得a ＝1，则2x＋12x －1＞3，即2x＋12x －1－3＞0，即2x＋1－x－2x－1>0，故不等式可化为2x－22x －1＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x ＜1，故选C.]二、填空题6．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．－10 [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.]7．若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________．(－∞，8] [法一：令f (x )＝|x －5|＋|x ＋3|，则去掉绝对值符号后可得f (x )＝|x －5|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥5，8，－3<x <5，2－2x ，x ≤－3.当x ≥5时，可得f (x )≥8；当－3<x <5时，可得f (x )＝8；当x ≤－3时，可得f (x )≥8. 综上可知f (x )min ＝8.欲使|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，只需使(|x －5|＋|x ＋3|)min ≥a 即可，由此可得a ≤8. 法二：∵|x －5|＋|x ＋3|＝|5－x |＋|x ＋3|≥|5－x ＋x ＋3|＝8， ∴(|x －5|＋|x ＋3|)min ＝8.要使|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，只需a ≤8.]8．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为__________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π [由题意，要使8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，需Δ＝64sin 2α－32cos 2α≤0，化简得cos 2α≥12.又0≤α≤π，∴0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π，解得0≤α≤π6或5π6≤α≤π.]三、解答题 9．已知不等式ax －1x ＋1>0(a ∈R )． (1)解这个关于x 的不等式；(2)若x ＝－a 时不等式成立，求a 的取值范围． [解] (1)原不等式等价于(ax －1)(x ＋1)>0.1分 ①当a ＝0时，由－(x ＋1)>0，得x <－1；②当a >0时，不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)>0.解得x <－1或x >1a；3分③当a <0时，不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)<0；若1a <－1，即－1<a <0，则1a<x <－1；若1a ＝－1，即a ＝－1，则不等式解集为空集；若1a>－1，即a <－1，则－1<x <1a.6分综上所述，当a <－1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －1<x <1a ；当a ＝－1时，原不等式无解；当－1<a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 1a<x <－1；当a ＝0时，解集为{x |x <－1}；当a >0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >1a .9分 (2)∵x ＝－a 时不等式成立， ∴－a 2－1－a ＋1>0，即－a ＋1<0，12分 ∴a >1，即a 的取值范围为(1，＋∞).15分 10．已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a ＞0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.【导学号：51062202】[解] (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x ＜2.所以f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23<x <2.7分 (2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)．因此△ABC 的面积S ＝12|AB |·(a ＋1)＝23(a ＋1)2.12分由23(a ＋1)2>6，故a >2. 故a 的取值范围为(2，＋∞).15分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知a ，b 为正实数，且ab ＝1，若不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y >m 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(－∞，4]D ．(－∞，4)D [因为a ，b ，x ，y 为正实数，所以(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y≥a ＋b ＋2≥2ab ＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ay x ＝bx y，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可．]2．若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 [设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，y＝－3x －1>5；当－2≤x <12时，y ＝－x ＋3>52；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52.故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.]。

2018版高考数学一轮总复习第6章不等式推理与证明6.7数学归纳法模拟演练理

2018版高考数学一轮总复习第6章不等式、推理与证明 6.7 数学归纳法模拟演练理[A 级基础达标](时间：40分钟)1．用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 B解析左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.故选B.2．一个关于自然数n 的命题，如果验证当n ＝1时命题成立，并在假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时命题成立的基础上，证明了当n ＝k ＋2时命题成立，那么综合上述，对于( )A ．一切正整数命题成立B ．一切正奇数命题成立C ．一切正偶数命题成立D ．以上都不对答案 B解析本题证的是对n ＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立．3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝＋3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k ＋1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k2C ．(k ＋1)2D.13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1]答案 B解析由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加(k ＋1)2＋k 2，故选B.4．[2017·陕西模拟]用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n.1.2 (2)－1)”(n ∈N ＋)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边的式子之比是( )A.12k ＋1B.2k ＋3k ＋1C.2k ＋1k ＋1D.1＋答案 D解析当n ＝k 时，左边为(k ＋1)(k ＋2)…2k ，当n ＝k ＋1时，左边为(k ＋2)(k ＋3)…2k (2k＋1)(2k ＋2)，所以从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边的式子之比是＋＋＋＋＋＋＝k ＋1＋＋＝1＋，选D.5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n ＝2n －1＋22n －1(n ∈N ＋)时，假设n ＝k 时命题成立，则当n ＝k ＋1时，左端增加的项数是( ) A ．1项 B ．k －1项 C ．k 项 D ．2k项答案 D解析运用数学归纳法证明1＋2＋3＋ (2)＝2n －1＋22n －1(n ∈N ＋)．当n ＝k 时，则有1＋2＋3＋ (2)＝2k －1＋22k －1(k ∈N ＋)，左边表示的为2k项的和．当n ＝k ＋1时，则左边＝1＋2＋3＋ (2)＋(2k＋1)＋…＋2k ＋1，表示的为2k ＋1项的和，增加了2k ＋1－2k ＝2k项．6．[2017·郑州模拟]用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________．答案1＋＋解析不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1＋＋，故填1＋＋.7．用数学归纳法证明：(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(n ＋n )＝＋2(n ∈N *)的第三步中，当n ＝k ＋1时等式左边与n ＝k 时的等式左边的差等于________．答案 3k ＋2解析 n ＝k ＋1比n ＝k 时左边变化的项为(2k ＋1)＋(2k ＋2)－(k ＋1)＝3k ＋2.8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有(S n －1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n＝________________________________________________________________________.答案n n ＋1解析由(S 1－1)2＝S 21，得S 1＝12；由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2，得S 2＝23；由(S 3－1)2＝(S 3－S 2)S 3，得S 3＝34.猜想S n ＝nn ＋1.9．用数学归纳法证明：(3n ＋1)·7n－1(n ∈N *)能被9整除．证明 ①当n ＝1时，(3×1＋1)×7－1＝27能被9整除，命题成立；②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时命题成立，即(3k ＋1)·7k－1能被9整除，则当n ＝k ＋1时，。

2018高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明课件文北师大版

3．重视数学思想方法的复习．明确不等式的求解和推理证明就是一个把条件向结论转化的过程；加强函数与方程思想在不等式中的应用训练，不等式、函数与方程三者密不可分，相互转化．
编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
第六章不等式、推理与证明
[五年考情]
[重点关注] 1．从近五年全国卷高考试题来看，涉及本章知识的既有客观题，又有解答题．客观题主要考查不等关系与不等式，一元二次不等式的解法，简单线性规划，合情推理与演绎推理，解答题主要考查不等式的证明、基本不等式与直接证明． 2．不等式具有很强的工具性，应用十分广泛，推理与证明贯穿于每一个章节，因此，不等式往往与集合、函数、导数的应用、数列交汇考查，对于证明，主要体现在不等式证明和不等式恒成立证明以及几何证明． 3．从能力上，突出对函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的考查．
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的，为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活动，珍惜课堂上的每一个练习机会。

2018版高考一轮总复习数学(文)模拟演练第6章不等式、推理与证明6-6含答案

（时间:40分钟）1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列关于t和s的大小关系中正确的是（)A．t>s B．t≥sC．t〈s D．t≤s答案D解析s－t＝b2－2b＋1＝（b－1)2≥0,∴s≥t，选D项．2．设f(x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时,f（x)单调递减，若x1＋x2〉0,则f（x1）＋f(x2)的值( ）A．恒为负值 B．恒等于零C．恒为正值 D．无法确定正负答案A解析由f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时,f(x)单调递减,可知f(x）是R上的单调递减函数,由x1＋x2〉0，可知x1〉－x2，f（x1）<f(－x2)＝－f(x2），则f（x1)＋f(x2）〈0。

3．在△ABC中，sin A sin C＜cos A cos C，则△ABC一定是（) A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定答案C解析由sin A sin C＜cos A cos C，得cos A cos C－sin A sin C＞0，即cos(A＋C）＞0,所以A＋C是锐角，从而B＞错误!，故△ABC必是钝角三角形．4．设x〉0，P＝2x＋2－x,Q＝（sin x＋cos x)2,则（）A．P〉Q B．P〈QC．P≤Q D．P≥Q答案A解析因为2x＋2－x≥2错误!＝2（当且仅当x＝0时等号成立)，而x>0，所以P〉2；又(sin x＋cos x)2＝1＋sin2x,而sin2x≤1，所以Q≤2。

于是P>Q。

故选A。

5．设x,y，z＞0，则三个数错误!＋错误!，错误!＋错误!,错误!＋错误!( ）A．都大于2B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2D．至少有一个不大于2答案C解析因为x＞0,y＞0，z＞0,所以错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!≥6，当且仅当x＝y＝z时等号成立，则三个数中至少有一个不小于2,故选C。

6．下列条件:①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0,④a〈0，b〈0,其中能使错误!＋错误!≥2成立的条件的序号是________．答案①③④解析要使错误!＋错误!≥2，只需错误!〉0且错误!>0成立，即a，b 不为0且同号即可，故①③④都能使错误!＋错误!≥2成立．7．已知a，b是不相等的正数,x＝错误!，y＝错误!，则x，y的大小关系是________．答案x＜y解析∵错误!>错误!（a≠b)⇒a＋b〉2错误!⇒2(a＋b）>a＋b＋2错误!⇒a＋b〉错误!⇒错误!>错误!,即x<y。

2018年高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明课时达标32 不等关系与不等式理

2018年高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明课时达标32不等关系与不等式理[解密考纲]主要考查不等式及其性质，以选择题或填空题的形式出现，位于选择题或填空题的中间位置，难度较易或中等．一、选择题1．设a ，b 为实数，则“a <1b 或b <1a”是“0<ab <1”的( D )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：可通过举反例说明，当a ＝b ＝－10时，a ＜1b ，b ＜1a，但ab ＝100＞1，所以不是充分条件；反之，当a ＝－1，b ＝－12时，0＜ab ＜1，但a ＞1b ，b ＞1a ，所以不是必要条件．综上可知“a ＜1b 或b ＜1a”是“0＜ab ＜1”的既不充分也不必要条件．2．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( D )A ．a 2|a ＋b |解析：令a ＝－1，b ＝－2，代入选项验证可知选项D 错误，故选D ．3．(2017·浙江富阳模拟)如果a ，b ，c 满足c acB ．bc >acC ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0解析：因为c ＜b ＜a ，且ac ＜0，所以a ＞0，c ＜0，所以ab －ac ＝a (b －c )＞0，bc －ac ＝(b －a )c ＞0，ac (a －c )＜0，所以A ，B ，D 均正确．因为b 可能等于0，也可能不等于0，所以cb 2＜ab 2不一定成立．4．(2017·广东实验中学模拟)已知0<a 1a B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12 b C ．(lg a )2<(lg b )2D ．1lg a >1lg b解析：因为0＜a ＜b ＜1，所以1b －1a ＝a －b ab ＜0，可得1b ＜1a ；⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12b；(lg a )2＞(lg b )2；lg a ＜lg b ＜0，可得1lg a ＞1lg b.综上可知，只有D 正确．5．(2017·四川成都模拟)已知a ，b 为非零实数，且a a 2bC ．1ab 2<1a 2bD ．b a <a b解析：若a ＜b ＜0，则a 2＞b 2，故A 错；若0＜a ＜b ，则b a ＞ab，故D 错；若ab ＜0，即a ＜0，b ＞0，则a 2b ＞ab 2，故B 错．6．(2017·陕西西安检测)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( D )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π6B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6C ．(0，π)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π解析：由题设得0＜2α＜π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π6＜2α－β3＜π.二、填空题7．(2017·山西四校联考)已知a ＋b >0，则a b2＋b a2与1a ＋1b的大小关系是a b2＋b a2≥1a ＋1b.解析：a b2＋b a2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a2＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝a ＋b a －b 2a 2b 2.因为a ＋b ＞0，(a －b )2≥0，所以a ＋ba －b2a 2b2≥0，所以a b2＋b a2≥1a ＋1b.8．(2017·江苏模拟)若－1<a ＋b <3,2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围为⎝ ⎛⎪⎫－92，132. 解析：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12.又因为－52＜52(a ＋b )＜152，－2＜－12(a －b )＜－1，所以－92＜52(a ＋b )－12(a －b )＜132，即－92＜2a ＋3b ＜132.9．(2017·贵州遵义模拟)已知下列结论： ①若a >|b |，则a 2>b 2；②若a >b ，则1a <1b；③若 a >b ，则a 3>b 3；④若a <0，－1a . 其中正确的是①③④(只填序号即可)．解析：对于①，因为a ＞|b |≥0，所以a 2＞b 2，即①正确；对于②，当a ＝2，b ＝－1时，显然不正确；对于③，显然正确；对于④，因为a ＜0，－1＜b ＜0，ab 2－a ＝a (b 2－1)＞0，所以ab 2＞a ，即④正确．三、解答题10．若实数a ≠1，比较a ＋2与31－a 的大小．解析：∵a ＋2－31－a ＝－a 2－a －11－a ＝a 2＋a ＋1a －1，∴当a ＞1时，a ＋2＞31－a ；当a ＜1时，a ＋2＜31－a.11．已知x ，y 为正实数，满足1≤lg xy ≤2,3≤lg xy≤4，求lg(x 4y 2)的取值范围．解析：设a ＝lg x ，b ＝lg y ，则lg xy ＝a ＋b ，lg x y＝a －b ，lg x 4y 2＝4a ＋2b ，设4a ＋2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴lg x 4y 2＝3lg xy ＋lg xy.∵3≤3lg xy ≤6,3≤lg xy≤4，∴6≤lg(x 4y 2)≤10，即lg(x 4y 2)的取值范围是[6,10]．12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，求c a的取值范围．解析：∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0，∴b ＝－(a ＋c )．又a ＞b ＞c ，∴a ＞－(a ＋c )＞c ，且a ＞0，c ＜0， ∴1＞－a ＋c a ＞c a ，即1＞－1－c a ＞ca ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2c a ＜－1，ca ＞－2，解得－2＜c a ＜－12，即c a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12.。

2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第六章不等式、推理与证明 6.4 精品

22
2
正方形数 N(n,4)=n2=2n2 0 n，
2
五边形数 N(n,5)=3 n2 1 n 3n2 n，
22
2
六边形数 N(n,6)=2n2-n4=n2 2n，
2
k边形数 N(n,k)= (k 2)n2 (k 4)n ,
2
所以N(10,24)=22102 2010 2=2010002000.
【规范解答】(1)选B.根据题干图所示的规则排列,设最上层的一个数为a,则第二层的三个数为a+7,a+8,a+9, 第三层的五个数为a+14,a+15,a+16,a+17,a+18, 这9个数之和为a+3a+24+5a+80=9a+104. 由9a+104=2012,得a=212,是自然数.
(2)三角形数 N(n,3)=1 n2 1 n n2 n，
A.2 011
B.2 012
C.2 013
D.2 014
(2)(2013·湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家
研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,…,第n个
三角形数为 n n 1 1 n2 1 n，记第n个k边形数为N(n,
2 22
k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:
△EDF和△PEF的面积,相应于直角三角形的2条直角边 a,b和1条斜边c,图中的四面体有3个“直角面”S1,S2, S3和1个“斜面”S.于是,类比勾股定理的结构,我们猜想S2=S12+S22+S32成立.
【母题变式】 1.把本例(2)条件“由勾股定理,得c2=a2+b2”换成 “cos2A+cos2B=1”,则在空间中,给出四面体性质的猜想.

2018年高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明第35讲基本不等式实战演练理

2018年高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明第35讲基本不等式实战演练理1．(2015·福建卷)若直线x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( C )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1，所以1＝1a ＋1b ≥21a ·1b ＝2ab (当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，所以ab ≥2.又a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，所以a ＋b ≥4(当且仅当a ＝b ＝2时取等号)，故选C ．2．(2015·重庆卷)设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为解析：因为(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1·b ＋3≤9＋2·a ＋12＋b ＋322＝9＋a ＋b ＋4＝18，所以a ＋1＋b ＋3≤32，当且仅当a ＋1＝b ＋3且a ＋b ＝5，即a ＝72，b ＝32时等号成立，所以a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2. 3．(2015·山东卷)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 解析：因为x >0，y >0，所以x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋2y x ≥2，当且仅当x y ＝2y x，即x ＝2y 时取等号，故x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为 2. 4．(2017·江西模拟)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为15m ，宽为152m 时菜园面积最大．解析：设矩形的长为x m ，宽为y m ．则x ＋2y ＝30,0<x ≤18，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号．。

(全国通用)近年高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明第3节基本不等式课时分层训练文新

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课时分层训练（三十四) 基本不等式A组基础达标(建议用时：30分钟）一、选择题1．已知x>－1，则函数y＝x＋错误!的最小值为（）【导学号：31222211】A．－1 B．0C．1 D．2C［由于x>－1,则x＋1>0，所以y＝x＋1x＋1＝(x＋1)＋错误!－1≥2错误!－1＝1，当且仅当x＋1＝错误!,由于x>－1，即当x＝0时，上式取等号．]2．设非零实数a,b，则“a2＋b2≥2ab”是“错误!＋错误!≥2”成立的( )【导学号：31222212】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝（a－b)2≥0,即a2＋b2≥2ab，而错误!＋错误!≥2⇔ab〉0,所以“a2＋b2≥2ab”是“错误!＋错误!≥2”的必要不充分条件．]3．(2016·吉林东北师大附中等校联考）函数f（x)＝a x－1－2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx－ny－1＝0上，其中m〉0，n〉0，则错误!＋错误!的最小值为( ）【导学号：31222213】A．4 B．5C．6 D．3＋22D［由题意知A(1,－1)，因为点A在直线mx－ny－1＝0上，所以m＋n＝1，所以错误!＋错误!＝错误!(m＋n)＝3＋错误!＋错误!，因为m>0，n>0，所以错误!＋错误!＝3＋错误!＋错误!≥3＋2错误!＝3＋2错误!。

[精品]2018版高考一轮总复习数学文科模拟演练第6章不等式推理与证明65和答案

(时间：40分钟)1．下列说法正确的有( )①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”；④演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．A．1个B．2个C．3个D．4个答案 C解析只有②是错误的，因为演绎推理的结论的正误受大前提、小前提和推理形式正确与否的影响．2．某西方国家流传这样一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为( )A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误答案 C解析∵大前提的形式：“鹅吃白菜” 不是全称命题，大前提本身正确；小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但是不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比．∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误．3．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝( )A．192B．202C．212D．222答案 C解析因为13＋23＝32,13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102等式的右端依次为(1＋2)2，(1＋2＋3)2，(1＋2＋3＋4)2，所以13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212，故选C.4．将自然数0,1,2，…按照如下形式进行摆列：根据以上规律判定，从2016到2018的箭头方向是( )答案 A解析从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，0→1，箭头垂直指下，4→5，箭头也是垂直指下，8→9也是如此，而2016＝4×504，所以2016→2017也是箭头垂直指下，之后2017→2018的箭头是水平向右，故选A.5．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁答案 D解析根据题意，6名选手比赛结果甲、乙、丙、丁猜测如下表：6．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，…，观察上述结果，可归纳出的一般结论为________．答案 f (2n)≥n ＋22(n ∈N *)解析由题意f (2)＝32可化为f (21)＝1＋22，f (4)>2可化为f (22)>2＋22，f (8)>52可化为f (23)>3＋22，f (16)>3可化为f (24)>4＋22，…，由归纳推理可得f (2n)≥n ＋22(n ∈N *)．7．在等差数列{a n }中，若公差为d ，且a 1＝d ，那么有a m ＋a n ＝a m ＋n ，类比上述性质，写出在等比数列{a n }中类似的性质：______________________.答案在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m＋n解析等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性质是“在等比数列{a n }中，若公比为q ，且a 1＝q ，则a m ·a n ＝a m ＋n .”8．下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是 .答案n n ＋2解析由题图知第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n .∴总个数为n n ＋2.9．在锐角三角形ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C .证明 ∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ＋B >π2，∴A >π2－B ，∵y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数，∴sin A >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，同理可得sin B >cos C ，sin C >cos A ， ∴sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C .10．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5.求：(1)a 18的值； (2)该数列的前n 项和S n .解 (1)由等和数列的定义，数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ＝1,2，…)，故a 18＝3.(2)当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n)当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n ＝52(n －1)＋2＝52n －12.综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧52n ，n 为偶数，52n －12，n 为奇数.(时间：20分钟)11．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )A．21 B．34C．52 D．55答案 D解析因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.12．袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒，重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案 B解析若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除A、D；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则红球一个放在甲盒，余下一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，则余下一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒中一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除C.故选B.13．若f (n )为n 2＋1(n ∈N *)的各位数字之和，如：142＋1＝197,1＋9＋7＝17，则f (14)＝17；记f 1(n )＝f (n )，f 2(n )＝f (f 1(n ))，f 3(n )＝f (f 2(n ))，…，f k ＋1(n )＝f (f k (n ))，k ∈N *，则f 2015(9)＝________.答案 11解析 92＋1＝82，f 1(9)＝10；102＋1＝101，f 2(9)＝f (f 1(9))＝f (10)＝2；22＋1＝5，f 3(9)＝f (f 2(9))＝f (2)＝5；52＋1＝26，f 4(9)＝f (f 3(9))＝f (5)＝8；82＋1＝65，f 5(9)＝f (f 4(9))＝f (8)＝11；112＋1＝122，f 6(9)＝f (f 5(9))＝f (11)＝5，所以{f n (9)}从第3项开始是以3为周期的循环数列，因为2015＝2＋671×3，所以f 2015(9)＝f 5(9)＝11.14．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．解如图，由射影定理得AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ， AC 2＝DC ·BC ，故1AB 2＋1AC 2＝1BD ·BC ＋1DC ·BC ＝DC ＋BD BD ·DC ·BC ＝1BD ·DC ＝1AD 2. 在四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AH ⊥底面BCD ，垂足为H .则1AH 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.证明：连接BH 并延长交CD 于E ，连接AE . ∵AB ，AC ，AD 两两垂直，∴AB ⊥平面ACD ，又∵AE ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AE ，在Rt △ABE 中， 1AH 2＝1AB 2＋1AE 2①又易证CD ⊥AE ，故在Rt △ACD 中，1AE 2＝1AC 2＋1AD 2② 把②式代入①式，得1AH 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2.。

2018版高考数学一轮总复习第6章不等式推理与证明6.

板块四[A 基屜达标]（时间：40分2x —y W01 . [2016-dt 京高考]若尢，，满足・+yW3,的最大值为（)A.() B ・3 0 4D ・5模拟解桁画出可行域，如图中阴影部分所示，，则y=-2x + z, 当直线y = - 2x -*• z i± 点A(1,2)E Zn.ax = 4.故选 U2JC一y + 12・设关于x, y的不等式组卜+ RV(),y——/?1>0ifii区，o)，513 J解桁图中阴影部分表示可行域，要求可彳=尹- 1上的点，只需要可彳亍域的边界点（- e,7=去_1.2 H........ . y=m•・F—1下方，也就是mv -即3・己知z = 2x+y, x, y丫蒂足-兀W2,值是最小值的4倍，则机的值是（) A7 B6 C5 94解桁画出线性约束条件x + »W2, 的可行域，如图阴影部分所力知：目标函数z= 2x + y过点（加，"2）时有最小值过点（1 , 1 ）时有最大值，Zmax = 3,因为乙的最大£4倍，所以3 = 1 2m,即e = £・x=rri4・[2017 •江西模扌以]某农户计划种植黄瓜面积不超过50亩\ 投入资金不超过54万元，和韭菜的严帚:、成本和伟价如卜•表:年产量/亩年种植成本/亩每黄瓜4吨 1.2万元O.:韭菜6吨0.9万元0.为使一年的种杭总利润（总、利润=总、銷伟1 成.本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单水)A. 50,0 $ 30,20 C・ 20,30 D・ 0,50解析设种植黄瓜乂亩，种植韭莱，亩，艮转化为在条件1 ・2x + ().9, W54,xMO,下，求z = 0.55 X 4乂 + 0.3 X 6y — 1.2x — 0.9》=x + 值. 画出可行域如图. 利用线性规划知识可知，x + y = 50,1 ・2x + 0.9, = 54 的交点(30,20)时，z取得最大£，工一1，5.变量兀，y满足约束条件*—14,+y取得最大値的最优解有无方多个，则实数是( )A. { —3,0}势{3, —1 } C. {0,1 } E解析作出不等式组所表示的平面区域，女知直纟戋z = ax +，与兀一，=2或3x + y = 14 平彳亍卩的最优解有无穷多个，即- “ =1或- “ =—3,・'• a =—1或a = 3・x-\-y— 2 M() 6・[2014•安徽高考]不等式组乂+2y —4W4 x~\~3y—2 三4 平面区域的面积为解析作出不等式组表示的平面区域如医所zF* , 可知= ° X 2 X (2 + 2) = 4.7. [2017-厦门模拟]设变量x , y满x~\~y— 2 MO,—y — 2WO, 则目标函数Z = X + 2y I3解桁画出不等式组所确定的可行域(如图由z = A:+2y9得，=一尹+㊁乙，作直线Z: 移/,由图形可知当I经过可行域中的点A(l, 4、值,所以Zmin = 1 + 2 X 1 = 3 ・x——y W& [2017辽宁模扌以]设变量乂，，满足+ [o Wy W 2x+3y的显大估为55 .解桁不等式组表示的区域如图所示，令目标函数变为y= -事+务因此截距越大，z 故当直线乙="+3,经过点A时，乙最大，由于•[•X* 5=>1 （: 故点A的坐标为（5,15）.代入z =ly = 15.z m ax = 55, 即2x + 3y的最大值为55.39. 当兀，y 满足约束条件yWx,.2x+y + &WO,（k 为负常数）时，能使z=x + 3y 的最大值的值.解在平面直角坐标系中画出不等式组妙区域（如图所示）.y = -£兀+基经过区域中的点人时, 由 F = x ，田 I" + y + k = O, 得乂 = jy = k（k}〔-引=~ 3令一牙=12,得左=一 9・・••所求实数k 的值为-9・3・・••点A当直线(x一4，+ 3 WO, 10. 变量乂,，满足卜兀+5，—25WO,［乂三 1.(1) 设求乙的最小值；(2) 设z=x2+y2,求z的耳乂值范围(3) 设z=x24-y2 + 6x —4y+13, 求乙的取伯解由约束条件卜—4y + 3 WO,\ 3x + 5y - 25 WO,作出(乂，y)的可行域如图所示.解得彳1,創.由｛二；；+3 7,解得*】)•I •— 4, + 3 = O' _ 由・+“-25=O,解得处,2).\OC\ = A /2, </NLAX = \OB\ = \/29, 所以 2WzW(3) z = + y2 + 6AT_ 4y + ] 3 = (x + 3)2 + (y _ ：义是可行域上的点到点(-3,2)的距离的平方. 知，可行域上的点到(-3,2)的距离中，tZ lllin = 1 厶仆=今(一3 —5尸+ (2 —2尸=8•所以[6W N W64・[B 於饶提打](时间：2()卜M2,11.设乂，y满足约束条件\3x—y^\9 b 三x+1,恒成立的是( )A.兀工3 B・y^4兀+2, — 8^0 D・ 2兀—y+ 1 MO解桁不等式组表示的平面区域如图中示.由图象可知乂工2, A. B错误；点（: 内，但不满足2x - y + 1 MO, D 错误；设z = x ++ ±,由图象可知当其经过点（2,3）时，z取得最“+心12. [2017-太原模拟]设不等式组兀一2，三—yW 示的平面区域为若函数y = Xc（x+l）+ 1的I A7,则实数X:的取值范围是（）A. [3,5]B. [ — 1,1] C・[ — 1,3] »一2x+y 的取伯•范围为[ — 2,2].角罕桁作出满足不等式组的平面区域，女口 [3 所示，平移直线2x + y = O,经过点（1,0）时，2x 值2X1 +0 = 2,经过点（一 1Q ）时，+ y 取得昜 1） + 0= -2, 所以2x + y 的取值范围为[一2,2]・13.x 9y 满足严[2017-Lb质检]若变量14. [2016•天津高考]某化肥厂生产甲、乙丙需要A, B,U三种主要原料.生产1车皮甲1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所于见有A木中原米斗200 n«li, B种原米斗360 口电，吨，在此基础上生产甲、乙两利叨巴料.己知生丿、肥料，产生的利润为2万元；牛产1午皮乙种丿利润为3万元.分别用乂，，表示计划生产甲、的车皮数.(1) 用匸y歹U出满足生产条件的数学关系二应的平面区域；(2) 问分别生产甲、乙两科肥料各多少车5 最大的利润？并求出此最大利润.解（1）由已知，X,，满足的数学关系式为4乂 + 5yW2OO,8x十5_y W36O,3x + lOyW3OO,，工（）・该二元一次不等式组所表示的平面区域为E 部分：(2)设利润为乙万元，贝U目标函数为z = 2x +考虑乙= 2x+3y,将它变形为y = -事+刍，- |,随z变化的一族平行直线•号为直线在，轴上刍取最大值时，z的值最大.又因为x, y满足炙以由图2可知，当直线z = 2x + 3y经过可行域上截距刍最大，即z最大.4x + 5y= 200 一■“八m 匕解方程组仁+心=300,得点M的坐标:所以心映=2X2()+ 3X24= 112・答：生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24李大，且最大利润为112万元・注笛―|(1) 因为z = [ =三寻，所以z的值即是可行甥点o连线的斜率.2观察图形可知z min= k OB=亍(2) z = X* 2 + y2的几何意义是可行域上的点到离的平方. 结合图形可知，可行域上的点到原, d mil)。

2018年高考数学(理)一轮复习课时达标第六章不等式、推理与证明35Word版含答案

课时达标第35讲[解密考纲]考查基本不等式，常以选择题、填空题的形式出现．一、选择题1．已知f (x )＝x ＋1x －2(x <0)，则f (x )有( C )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：∵x ＜0，∴f (x )＝－⎣⎡⎦⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x＝－1时，取等号．2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( C ) A ．a ＋b ≥2ab B ．1a ＋1b >1abC ．b a ＋ab≥2D ．a 2＋b 2>2ab解析：∵ab ＞0，∴b a ＞0，a b ＞0，∴b a ＋ab≥2b a ·ab＝2，当且仅当a ＝b 时取等号． 3．若a ≥0，b ≥0，且a (a ＋2b )＝4，则a ＋b 的最小值为( C ) A ．2 B ．4C ．2D ．2 2解析：∵a ≥0，b ≥0，∴a ＋2b ≥0，又∵a (a ＋2b )＝4，∴4＝a (a ＋2b )≤(a ＋a ＋2b )24，当且仅当a ＝a ＋2b ＝2时等号成立．∴(a ＋b )2≥4，∴a ＋b ≥2.4．函数y ＝^x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( A )A ．23＋2B ．23－2C ．23D ．2解析：∵x ＞1，∴x －1＞0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2(x －1)⎝⎛⎭⎫3x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号．5．若正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4b ＋1的最小值是( B )A ．1B ．94C ．9D ．16解析：1a ＋1＋4b ＋1＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋4b ＋1·(a ＋1)＋(b ＋1)4＝14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋4＋b ＋1a ＋1＋4(a ＋1)b ＋1≥14(5＋24)＝94，当且仅当b ＋1a ＋1＝4(a ＋1)b ＋1，b ＋1＝2(a ＋1)时取等号，故选B ．6．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b ) ，其全程的平均时速为v ，则( A ) A ．a <v <abB ．v ＝abC ．ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2解析：设甲、乙两地相距s ，则平均速度v ＝2s s a ＋s b＝2aba ＋b. 又∵a ＜b ，∴2ab a ＋b ＞2abb ＋b ＝a .∵a ＋b ＞2ab ，∴2ab a ＋b ＜2ab2ab＝ab ，∴a ＜v ＜ab . 二、填空题7．设P (x ，y )是函数y ＝2x(x >0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为解析：因为x ＞0，所以y ＞0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．8．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则x ＋8yxy 的最小值为9.解析：由已知得x ＋2y 2＝1，则x ＋8y xy ＝1y ＋8x ＝⎝⎛⎭⎫1y ＋8x ·⎝⎛⎭⎫x ＋2y 2＝12⎝⎛⎭⎫10＋x y ＋16y x ≥12(10＋216)＝9，当且仅当x ＝43，y ＝13时取等号．9．已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，3x ＋2y 解析：由a ＋b2≤a 2＋b 22得3x ＋2y ≤2(3x )2＋(2y )2＝23x ＋2y ＝25，当且仅当x ＝53，y ＝52时取等号．三、解答题10．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x (4－2x )的最大值．解析：(1)∵x <32，∴2x －3<0，∴3－2x >0，∴y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－12⎣⎡⎦⎤(3－2x )＋163－2x ＋32≤－12·2(3－2x )·163－2x ＋32＝－4＋32＝－52，当且仅当3－2x ＝163－2x ，即3－2x ＝4，即x ＝－12时，y max ＝－52.∴函数的最大值为－52.(2)∵0<x <2,4－2x >0， ∴y ＝x (4－2x )＝12·2x (4－2x ) ≤12·⎝⎛⎭⎫2x ＋4－2x 22＝2，当且仅当2x ＝4－2x ，即x ＝1时，y max ＝ 2. 11．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解析：(1)∵x >0，y >0,2x ＋8y －xy ＝0， ∴xy ＝2x ＋8y ≥216xy ＝8xy ，∴xy (xy －8)≥0，又xy ≥0，∴xy ≥8即xy ≥64.当且仅当x ＝4y 即8y ＋8y －4y 2＝0时，即y ＝4，x ＝16时取等号，∴xy 的最小值为64. (2)∵2x ＋8y ＝xy >0，∴2y ＋8x ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫2y ＋8x ＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8yx＝18. 当且仅当2x y ＝8yx ，即x ＝2y 即4y ＋8y －2y 2＝0时，即y ＝6，x ＝12时取等号，∴x ＋y的最小值为18.12．某地需要修建一条大型输油管道通过240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x 2＋x 万元．设余下工程的总费用为y 万元．(1)试将y 表示成x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y 最小，其最小值为多少？解析：(1)设需要修建k 个增压站，则(k ＋1)x ＝240，即k ＝240x－1，所以y ＝400k ＋(k ＋1)(x 2＋x )＝400·⎝⎛⎭⎫240x －1＋240x (x 2＋x )＝96 000x＋240x －160. 因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x ＜240. 故y 与x 的函数关系是：y ＝96 000x＋240x －160(0＜x ＜240)． (2)y ＝96 000x＋240x －160≥296 000x·240x －160＝2×4 800－160＝9 440，当且仅当96 000x＝240x ，即x ＝20时等号成立，此时k ＝240x －1＝24020－1＝11.故需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9 440万元．。

2018年高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明课时达标32 不等关系与不等式理

[精品]2018版高考一轮总复习数学文科模拟演练第6章不等式推理与证明63和答案

(时间：40分钟)1．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5答案 C解析画出可行域，如图中阴影部分所示，令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 过点A (1,2)时，z 最大，z max ＝4.故选C.2．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，43B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－53答案 C解析图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需要可行域的边界点(－m ，m )在y ＝12x －1下方，也就是m <－12m －1，即m <－23.故选C.3．已知z ＝2x ＋y ，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥m ，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是( )A.17B.16C.15D.14 答案 D解析画出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥m的可行域，如图阴影部分所示．由可行域知：目标函数z ＝2x ＋y 过点(m ，m )时有最小值，z min ＝3m ；过点(1,1)时有最大值，z max ＝3，因为z 的最大值是最小值的4倍，所以3＝12m ，即m ＝14.4．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,50 答案 B解析设种植黄瓜x 亩，种植韭菜y 亩，因此，原问题转化为在条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0下，求z ＝0.55×4x ＋0.3×6y －1.2x －0.9y ＝x ＋0.9y 的最大值．画出可行域如图．利用线性规划知识可知，当x ，y 取⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝50，1.2x ＋0.9y ＝54的交点(30,20)时，z 取得最大值．故选B.5．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3，－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1} 答案 B解析作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a ＝1或－a ＝－3，∴a ＝－1或a ＝3.6．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．答案 4解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S △ABC ＝12×2×(2＋2)＝4.7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z＝x ＋2y 的最小值为________．答案 3解析画出不等式组所确定的可行域(如图阴影部分)．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，作直线l ：y ＝－12x ，平移l ，由图形可知当l 经过可行域中的点A (1，1)时，z 取最小值，所以z min ＝1＋2×1＝3.8．设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为________．答案 55解析不等式组表示的区域如图所示，令z ＝2x ＋3y ，目标函数变为y ＝－23x ＋z3，因此截距越大，z 的取值越大，故当直线z ＝2x ＋3y 经过点A 时，z最大，由于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝20，y ＝15⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝15，故点A的坐标为(5,15)，代入z ＝2x ＋3y ，得到z max ＝55，即2x ＋3y 的最大值为55.9．当x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0，(k 为负常数)时，能使z ＝x ＋3y 的最大值为12，试求k 的值．解在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示)．当直线y ＝－13x ＋13z 经过区域中的点A 时，截距最大．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＋k ＝0，得x ＝y ＝－k3.∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 3，－k 3，则z 的最大值为－k3＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 3＝－43k ，令－4k3＝12，得k ＝－9.∴所求实数k 的值为－9.10．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．解由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1作出(x ，y )的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，225.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．(1)因为z ＝y x ＝y －0x －0，所以z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29，所以2≤z ≤29.(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝－3－2＋－2＝8.所以16≤z ≤64. (时间：20分钟)11．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，3x －y ≥1，y ≥x ＋1，则下列不等式恒成立的是( )A ．x ≥3B ．y ≥4C ．x ＋2y －8≥0D ．2x －y ＋1≥0答案 C解析不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由图象可知x ≥2，y ≥3，A 、B 错误；点(3,8)在可行域内，但不满足2x －y ＋1≥0，D 错误；设z ＝x ＋2y ，y ＝－12x ＋12z ，由图象可知当其经过点(2,3)时，z 取得最小值8.12．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥2，x －2y ≥－4，3x －y ≤3所表示的平面区域为M ，若函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象经过区域M ，则实数k 的取值范围是( )A ．B ．C ． D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1答案D解析画出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥2，x －2y ≥－43x －y ≤3，所表示的平面区域M ，如图中阴影部分所示，函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象表示一条经过定点P (－1,1)的直线，当直线经过区域M 内的点A (0,2)时斜率最大，为1，当直线经过区域M内的点B (1,0)时斜率最小，为－12，故实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，选D.13．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤1，xy ≥0，则2x ＋y 的取值范围为________．答案解析作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x＋y＝0，经过点(1,0)时，2x＋y取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1,0)时，2x＋y取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x＋y的取值范围为．14．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线.z 3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．。

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