山西省2017-2018学年高考考前质检数学试卷(理科)(三) Word版含解析

2017-2018学年山西省高考考前质检数学试卷（理科）（三）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数z=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位）满足z2=﹣1，则b=（）A．1 B．±1 C．i D．±i2．用0，1，…，199给200个零件编号，并用系统抽样的方法从中抽取10件作为样本进行质量检测，若第一段中编号为5的零件被取出，则第二段被取出的零件编号是（）A．25 B．10 C．15 D．203．曲线y=x3﹣2x在点（1，﹣1）处的切线方程是（）A．x﹣y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y+2=0 D．x+y﹣2=04．P为双曲线x2﹣=1的渐近线位于第一象限上的一点，若点P到该双曲线左焦点的距离为2，则点P到其右焦点的距离为（）A．2 B．C．D．15．如图所示，将图（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图是（）A．B．C． D．6．设S n是等比数列{a n}的前n项和，若S2=2，S6=4，则S4=（）A．1+B．C．2D．37．实数x，y满足，若z=x﹣2y的最小值为﹣1，则实数a的值为（）A．2 B．1 C．0 D．﹣18．若=﹣，且α∈（，），则tan2α的值是（）A．﹣B．﹣C．D．9．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．B．6 C．D．510．已知，为同一平面内的两个向量，且=（1，2），||=||，若+2与2﹣垂直，则与的夹角为（）A．0 B．C． D．π11．在体积为的三棱锥S﹣ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，SA=SC，且平面SAC⊥平面ABC，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为（）A．πB．πC．20πD．8π12．函数f（x）=+1的最大值与最小值的乘积为（）A．2 B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．某公益活动为期三天，现要为6名志愿者安排相应的服务工作，每人工作一天，且第一天需1人工作，第二天需2人工作，第三天需3人工作，则不同的安排方式有_______种．（请用数字作答）14．已知A={0，1}，B={x|x⊆A}，则A_______B（用∈，∉，⊆，⊊填空）．15．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，Q 为椭圆C 上的一点，且△QF 1O （O 为坐标原点）为正三角形，若射线QF 1，QO 与椭圆分别相交于点P ，R ，则△QF 1O 与△QPR 的面积的比值为_______．16．已知数列{a n }是首项为4，公差为3的等差数列，数列{b n }满足b n （a n +a n+1）=1，则数列{b n }的前32项的和为_______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，点D 是△ABC 的边BC 上一点，且AC=AD ， CD=2AC ，CD=2BD ．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若△ABD 的外接圆的半径为，求△ABC 的面积．18．某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．（1）根据频率分布直方图计算各小长方形的宽度；（2）估计该公司投入4万元广告费之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）3关于x 的回归方程．回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为=， =﹣．19．如图，AB为圆O的直径，点C为圆O上的一点，且BC=AC，点D为线段AB上一点，且AD=DB．PD垂直于圆O所在的平面．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAB；（Ⅱ）若PD=BD，求二面角C﹣PB﹣A的余弦值．20．F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l与C交于A，B两点，C的准线与x轴的交点为E，动点P满足=+．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）当四边形EAPB的面积最小时，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=e x．（Ⅰ）当x＞﹣1时，证明：f（x）＞；（Ⅱ）当x＞0时，f（1﹣x）+2lnx≤a（x﹣1）+1恒成立，求正实数a的值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的切线，ADE是⊙O的割线，AC=AB，连接CD、CE，分别与⊙O交于点F，点G．（1）求证：△ADC～△ACE；（2）求证：FG∥AC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，圆C的方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=m（m∈R）．（I）当m=3时，判断直线l与C的位置关系；（Ⅱ）当C上有且只有一点到直线l的距离等于时，求C上到直线l距离为2的点的坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知|x﹣1|≤1，|y﹣2|≤1．（1）求y的取值范围；（2）若对任意实数x，y，|x﹣2y+2a﹣1|≤3成立，求实数a的值．2016年山西省高考考前质检数学试卷（理科）（三）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数z=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位）满足z2=﹣1，则b=（）A．1 B．±1 C．i D．±i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】求出z2=a2﹣b2+2abi，再由z2=﹣1得到关于a，b的方程组，求解方程组得答案．【解答】解：∵z=a+bi，∴z2=a2﹣b2+2abi，由z2=﹣1，得，解得或．∴b=±1．故选：B．2．用0，1，…，199给200个零件编号，并用系统抽样的方法从中抽取10件作为样本进行质量检测，若第一段中编号为5的零件被取出，则第二段被取出的零件编号是（）A．25 B．10 C．15 D．20【考点】系统抽样方法．【分析】根据已知计算出组距，可得答案【解答】解：因为是从200个零件中抽取10个样本，∴组距是20，∵第一段中编号为5的零件被取出，则第二段被取出的零件编号是5+20=25．故选：A．3．曲线y=x3﹣2x在点（1，﹣1）处的切线方程是（）A．x﹣y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y+2=0 D．x+y﹣2=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求导公式求出导数，再把x=1代入求出切线的斜率，代入点斜式方程再化为一般式．【解答】解：由题意得，y′=3x2﹣2，∴在点（1，﹣1）处的切线斜率是1，∴在点（1，﹣1）处的切线方程是：y+1=x﹣1，即x﹣y﹣2=0，故选A．4．P为双曲线x2﹣=1的渐近线位于第一象限上的一点，若点P到该双曲线左焦点的距离为2，则点P到其右焦点的距离为（）A．2 B．C．D．1【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线方程求出两焦点的坐标，设出P（m，）（m＞0），由点P到该双曲线左焦点的距离为2求得m值，得到P的坐标，代入两点间的距离公式求得点P到其右焦点的距离．【解答】解：如图，由双曲线x2﹣=1，得a=1，b=，∴c=，∴F1（﹣2，0），F2（2，0），一条渐近线方程为y=，设P（m，）（m＞0），由|PF1|=，解得：m=﹣2（舍）或m=1．∴P（1，），则|PF2|=．故选：A．5．如图所示，将图（1）中的正方体截去两个三棱锥，得到图（2）中的几何体，则该几何体的侧视图是（）A．B．C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图的定义判断棱AD1和C1F的位置及是否被几何体遮挡住判断．【解答】解：从几何体的左面看，对角线AD1在视线范围内，故画为实线，右侧面的棱C1F 不在视线范围内，故画为虚线，且上端点位于几何体上底面边的中点．故选B．6．设S n是等比数列{a n}的前n项和，若S2=2，S6=4，则S4=（）A．1+B．C．2D．3【考点】等比数列的前n项和．【分析】由等比数列{a n}的前n项和的性质可得：S2，S4﹣S2，S6﹣S4，也成等比数列，即可得出．【解答】解：由等比数列{a n}的前n项和的性质可得：S2，S4﹣S2，S6﹣S4，也成等比数列，∴=S2•（S6﹣S4）．∴，化为﹣2S4﹣4=0，解得S4=1．由已知可得：等比数列{a n}是单调递增数列，因此S4=1+．故选：A．7．实数x，y满足，若z=x﹣2y的最小值为﹣1，则实数a的值为（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出a的值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（，），由z=x ﹣2y 得：y=x ﹣，平移直线y=x ，显然直线过A 时，z 最小，z 的最小值是z=﹣a=﹣1， 解得：a=2， 故选：A ．8．若=﹣，且α∈（，），则tan2α的值是（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，以及三角函数在各个象限中的符号求得sin2α、cos2α的值，可得tan2α的值．【解答】解：∵==（cos α﹣sin α）=﹣，且α∈（，），∴cos α﹣sin α=﹣，∴平方可得sin2α=．结合2α∈（，π），可得 cos2α=﹣=﹣，则tan2α==﹣，故选：B ．9．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（ ）A．B．6 C．D．5【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值，依次写出每次循环得到的a，S，i的值，当i=11时，满足条件i＞10，退出循环，输出S的值为5．【解答】解：模拟执行程序，可得a=2，i=1，S=0执行循环体，a=，S=，i=2不满足条件i＞10，执行循环体，a=﹣1，S=﹣，i=3不满足条件i＞10，执行循环体，a=2，S=，i=4不满足条件i＞10，执行循环体，a=，S=2，i=5不满足条件i＞10，执行循环体，a=﹣1，S=1，i=6不满足条件i＞10，执行循环体，a=2，S=3，i=7不满足条件i＞10，执行循环体，a=，S=，i=8不满足条件i＞10，执行循环体，a=﹣1，S=，i=9不满足条件i＞10，执行循环体，a=2，S=，i=10不满足条件i＞10，执行循环体，a=，S=5，i=11满足条件i＞10，退出循环，输出S的值为5．故选：D．10．已知，为同一平面内的两个向量，且=（1，2），||=||，若+2与2﹣垂直，则与的夹角为（）A．0 B．C． D．π【考点】平面向量数量积的运算．【分析】计算||，||，根据向量垂直列方程得出，代入向量的夹角公式计算夹角余弦．【解答】解：||=，||=，∵（+2）⊥（2﹣），∴（+2）•（2﹣）=2+3﹣2=0，即10+3﹣=0，∴=﹣．∴cos＜，＞==﹣1．∴＜，＞=π．故选：D．11．在体积为的三棱锥S﹣ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，SA=SC，且平面SAC⊥平面ABC，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为（）A．πB．πC．20πD．8π【考点】球的体积和表面积．【分析】求出底面三角形的面积，利用三棱锥的体积求出S到底面的距离，求出底面三角形的所在平面圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求解球的体积．【解答】解：三棱锥S﹣ABC，A、B、C三点均在球心O的表面上，且AB=BC=2，∠ABC=120°，∴由余弦定理可得AC=2，∴△ABC外接圆半径2r==4，即r=2∴S△ABC=×2×2×sin120°=，∵三棱锥S﹣ABC的体积为，∴S到底面ABC的距离h=3，设O到平面ABC的距离为d如图所示，由平面SAC⊥平面ABC，可得SD=3，利用勾股定理可得R2=（3﹣d）2+（2﹣1）2，22+d2=R2，∴d=1，R=球的体积：πR3=π．故选：A．12．函数f（x）=+1的最大值与最小值的乘积为（）A．2 B．C．D．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】求导f′（x）==，从而利用导数的正负确定函数的单调性，从而确定函数的最值即可．【解答】解：∵f（x）=+1，∴f′（x）==，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上是减函数，在（﹣1，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数；而f（﹣1）=+1=，f（1）=+1=，故f（﹣1）f（1）=，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．某公益活动为期三天，现要为6名志愿者安排相应的服务工作，每人工作一天，且第一天需1人工作，第二天需2人工作，第三天需3人工作，则不同的安排方式有60种．（请用数字作答）【考点】计数原理的应用．【分析】由题意，直接根据分步计数原理可得．【解答】解：每人工作一天，且第一天需1人工作，第二天需2人工作，第三天需3人工作C61C52C33=60种，故答案为：60．14．已知A={0，1}，B={x|x⊆A}，则A∈B（用∈，∉，⊆，⊊填空）．【考点】集合的表示法．【分析】先写出集合A的子集，然后表示出集合B，通过比较集合B与A的元素关系，去判断A与B应具有何种关系．【解答】解：B中有4个元素：∅，{0}，{1}，{0，1}，所以A是B中元素，所以A∈B．故答案为：A∈B，15．已知F1，F2分别为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，Q为椭圆C上的一点，且△QF1O（O为坐标原点）为正三角形，若射线QF1，QO与椭圆分别相交于点P，R，则△QF1O与△QPR的面积的比值为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），求得Q（﹣c，c），可得R（c，﹣c），△QF1F2是直角三角形，运用椭圆的定义可得a=c，b2=a2﹣c2=c2，求得椭圆的方程，将QF1的方程y=（x+c），代入椭圆方程，解得Q，P的纵坐标，分别求得△QF1O与△QPR 的面积，即可得到所求比值．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），△QF1O为正三角形，可设Q（﹣c，c），可得R（c，﹣c），由|OQ|=|OF1|=|OF2|=c，可得△QF1F2是直角三角形，由双曲线的定义可得c+c=2a，即有a=c，b2=a2﹣c2=c2，则椭圆C的方程为+=1，由QF1的方程y=（x+c），代入椭圆方程消x化简可得，y2﹣2cy﹣c2=0，解得y=c或y=﹣c，则△QF1O的面积为c2，△QPR的面积为2S△QPO=2•|OF1|•|y Q﹣y P|=c|c+c|=（3﹣）c2，即有△QF1O与△QPR的面积的比值为．故答案为：．16．已知数列{a n}是首项为4，公差为3的等差数列，数列{b n}满足b n（a n+a n+1）=1，则数列{b n}的前32项的和为．【考点】数列的求和．【分析】通过等差数列{a n}的首项和公差可知a n=3n+1，利用平方差公式、裂项可知b n=（﹣），进而并项相加即得结论．【解答】解：∵数列{a n}是首项为4、公差为3的等差数列，∴a n=4+3（n﹣1）=3n+1，∵b n（a n+a n+1）=1，∴b n==•=（﹣），∴数列{b n}的前n项和为（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）=（﹣），故所求值为（﹣）=，故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，点D是△ABC的边BC上一点，且AC=AD，CD=2AC，CD=2BD．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若△ABD的外接圆的半径为，求△ABC的面积．【考点】正弦定理．【分析】（I）设AD=x，则AC=x，CD==2x，由于AD2+AC2=CD2，可得∠CAD=90°．即可得出C．又CD=2BD，可得BD=AD=x，即可得出∠B=∠BAD=．（II）在△ABD中，由正弦定理可得：=2，可得AD=．AC=3，可得S△ABC=．【解答】解：（I）设AD=x，则AC=x，CD==2x，∴AD2+AC2==4x2=CD2，∴∠CAD=90°．∴sinC==，可得C=30°，∠CDA=60°．又CD=2BD，∴BD=AD=x，∴∠B=∠BAD==30°．（II）在△ABD中，由正弦定理可得：=2，∴AD=2sin30°=．∴AC=3，∴S△ABC===．18．某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．（1）根据频率分布直方图计算各小长方形的宽度；（2）估计该公司投入4万元广告费之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）3关于x的回归方程．回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为=，=﹣．【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，建立方程，即可求得结论；（2）利用组中值，求出对应销售收益的平均值；（3）利用公式求出b，a，即可计算y关于x的回归方程．【解答】解：（1）设长方形的宽度为m，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知（0.08+0.1+0.14+0.12+0.04+0.02）m=1，∴m=2；（2）由（1）可知个小组依次是[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12），其中点分别为1，3，5，7，9，11，对应的频率分别为0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04，故可估计平均值为1×0.16+3×0.20+5×0.28+7×0.24+9×0.08+11×0.04=5；（3）空白处填5．由题意，=3，=3.8，x i y i=69，=55，∴b==1.2，a=3.8﹣1.2×3=0.2，∴y关于x的回归方程为y=1.2x﹣0.2．19．如图，AB为圆O的直径，点C为圆O上的一点，且BC=AC，点D为线段AB上一点，且AD=DB．PD垂直于圆O所在的平面．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAB；（Ⅱ）若PD=BD，求二面角C﹣PB﹣A的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连结CO，推导出BC⊥AC，CD⊥AO，PD⊥CD，由此能证明CD⊥平面PAB．（Ⅱ）以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣PB﹣A的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连结CO，由AD=，得点D为AO的中点，∵C是圆O上的一点，AB为圆O的直径，∴BC⊥AC，由BC=，知∠CAB=60°，∴△ACO为正三角形，∴CD⊥AO，又PD⊥圆O所在的平面，CD在圆O所在平面内，∴PD⊥CD，∵PD∩AO，∴CD⊥平面PAB．解：（Ⅱ）以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，设AC=2，则D（0，0，0），C（，0，0），B（0，3，0），P（0，0，3），∴=（），=（0，3，﹣3），设向量=（x，y，z）为平面PBC的法向量，则，取z=1，得=（，1，1）为平面PBC的一个法向量，又=（，0，0）为平面PAB的一个法向量，∵cos＜＞==．∴二面角C﹣PB﹣A的余弦值为．20．F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l与C交于A，B两点，C的准线与x轴的交点为E，动点P满足=+．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）当四边形EAPB的面积最小时，求直线l的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I）求出F，E的坐标，设l方程为x﹣my﹣1=0，联立方程组消元，根据根与系数的关系求出AB中点坐标，由向量加法的几何意义可知AB的中点也是EP的中点，利用中点坐标公式得出P的轨迹关于m的参数方程，转化为普通方程即可；（II）利用弦长公式和点到直线的距离公式计算|AB|，E到l的距离d，得出S关于m的函数，求出S取得最小值时的m，代入x﹣my﹣1=0得出l的方程．【解答】解：（I）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），∴E（﹣1，0）．设直线l的方程为x﹣my﹣1=0．联立方程组，消元得：y2﹣4my﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），则y1+y2=4m，x1+x2=m（y1+y2）+2=4m2+2．∴AB的中点坐标为M（2m2+1，2m）．∵=+=2，∴M为EP的中点．∴，∴，即y2=4x﹣12．∴点P的轨迹方程为y2=4x﹣12．（II）由（I）得y1+y2=4m，y1y2=﹣4．∴|AB|===4（m2+1）．E到直线l：x﹣my﹣1=0的距离d=，∴S△ABE=•|AB|•d=4，∵=+，∴四边形EAPB是平行四边形，∴平行四边形EAPB的面积S=2S△ABE=8．∴当m=0时，S取得最小值8．此时直线l的方程为x﹣1=0．21．已知函数f（x）=e x．（Ⅰ）当x＞﹣1时，证明：f（x）＞；（Ⅱ）当x＞0时，f（1﹣x）+2lnx≤a（x﹣1）+1恒成立，求正实数a的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，证出结论即可；（Ⅱ）问题等价于e1﹣x+2lnx﹣a（x﹣1）﹣1≤0在（0，+∞）恒成立，令p（x）=e1﹣x+2lnx﹣a（x﹣1）﹣1，（x＞0），根据函数的单调性求出a的值即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：令g（x）=e x﹣，（x＞﹣1），则g′（x）=e x﹣x﹣1（x＞﹣1），令h（x）=e x﹣x﹣1（x＞﹣1），则h′（x）=e x﹣1，（x＞﹣1），令h′（x）＞0，解得：x＞0，令h′（x）＜0，解得：x＜0，∴h（x）在（﹣1，0）递减，在（0，+∞）递增，∴h（x）＞h（0）=0，∴g（x）在（﹣1，+∞）递增，∴g（x）＞g（﹣1）=＞0，即原成立；（Ⅱ）当x＞0时，f（1﹣x）+2lnx≤a（x﹣1）+1恒成立，等价于e1﹣x+2lnx﹣a（x﹣1）﹣1≤0在（0，+∞）恒成立，令p（x）=e1﹣x+2lnx﹣a（x﹣1）﹣1，（x＞0），则p′（x）=﹣e1﹣x﹣a，（x＞0），令q（x）=﹣e1﹣x﹣a，（x＞0），则q′（x）=﹣，（x＞0），由（Ⅰ）得q′（x）＜0，q（x）在（0，+∞）递减，①a=1时，q（1）=p′（1）=0且p（1）=0，在（0，1）上p′（x）＞0，p（x）递增，在（1，+∞）上，p′（x）＜0，p（x）递减，故p（x）的最大值是p（1），即p（x）≤0恒成立；②a＞1时，p′（1）＜0，x∈（0，1）时，由p′（x）=﹣e1﹣x﹣a＜﹣1﹣a＜0，解得：＜x＜1，即x∈（，1）时，p′（x）＜0，p（x）递减，又p（1）=0，故p（x）＞0与p（x）＜0矛盾；③0＜a＜1时，由p′（x）=﹣e1﹣x﹣a＞﹣1﹣a＞0，解得：1＜x＜，即x∈（1，）时，p′（x）＞0，p（x）递增，又p（1）=0，故此时p（x）＞0与p（x）≤0恒成立矛盾，综上：a=1．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的切线，ADE是⊙O的割线，AC=AB，连接CD、CE，分别与⊙O交于点F，点G．（1）求证：△ADC～△ACE；（2）求证：FG∥AC．【考点】相似三角形的判定；弦切角．【分析】（1）根据已知和切割线定理可得AC2=AD•AE，即=，又∠CAD=∠EAC，即可证明△ADC∽△ACE．（2）由F，G，E，D四点共圆，可得∠CFG=∠AEC，利用三角形相似可得∠ACF=∠AEC，通过证明∠CFG=∠ACF，即可得解FG∥AC．【解答】（本题满分为10分）证明：（1）根据题意，可得：AB2=AD•AE，∵AC=AB，∴AC2=AD•AE，即=，又∵∠CAD=∠EAC，∴△ADC∽△ACE．…5分（2）∵F，G，E，D四点共圆，∴∠CFG=∠AEC，又∵∠ACF=∠AEC，∴∠CFG=∠ACF，∴FG∥AC．…10分[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，圆C的方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=m（m∈R）．（I）当m=3时，判断直线l与C的位置关系；（Ⅱ）当C上有且只有一点到直线l的距离等于时，求C上到直线l距离为2的点的坐标．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（I）将曲线方程化成直角坐标方程，计算圆心到直线的距离与圆的半径比较大小得出结论；（II）由题意可知直线与圆相离，且圆心到直线l的距离为2，故到直线l的距离等于2的点在过圆心且与直线l平行的直线上，求出此直线的参数方程代入圆的方程求出该点对应的参数，得出该点的坐标．【解答】解：（I）圆C的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，∴圆心坐标为（1，1），半径r=．m=3时，直线l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．∴圆心C到直线l的距离d==＜r．∴直线l与圆C相交．（II）直线l的普通方程为x+y﹣m=0．∵C上有且只有一点到直线l的距离等于，∴直线l与圆C相离，且圆心到直线的距离为．∴圆C上到直线l的距离等于2的点在过圆心C（1，1）且与直线l平行的直线上．∴过圆心C（1，1）且与直线l平行的直线的参数方程为：（t为参数）．将：（t为参数）代入圆C的普通方程得t2=2，∴t1=，t2=﹣．当t=时，，当t=﹣时，．∴C上到直线l距离为2的点的坐标为（0，2），（2，0）．[选修4-5：不等式选讲]24．已知|x﹣1|≤1，|y﹣2|≤1．（1）求y的取值范围；（2）若对任意实数x，y，|x﹣2y+2a﹣1|≤3成立，求实数a的值．【考点】绝对值三角不等式．【分析】（1）去掉绝对值，可求y的取值范围；（2）若对任意实数x，y，|x﹣2y+2a﹣1|≤3成立，则3+2|a﹣2|≤3，即可求实数a的值．【解答】解：（1）由|y﹣2|≤1，可得﹣1≤y﹣2≤1，∴1≤y≤3．（2）|x﹣2y+2a﹣1|=|x﹣1﹣2y+4+2a﹣4|≤|x﹣1|+2|y﹣2|+2|a﹣2|≤1+2+2|a﹣2|，∴3+2|a﹣2|≤3，∴|a﹣2|≤0，∴a=2．2016年9月8日。