高考数学(理)总复习高考达标检测(五) 函数的单调性、奇偶性及周期性 Word版含答案
高考数学复习高考达标检测五函数的单调性奇偶性及周期性理
高考达标检测（五） 函数的单调性、奇偶性及周期性一、选择题1．(2017·沈阳教学质量监测)下列函数中，在其定义域内是增函数且是奇函数的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝2|x |C ．y ＝2x－2－xD ．y ＝2x＋2－x解析：选C A 中函数是非奇非偶函数，B 、D 中函数是偶函数，对于选项C ，由奇函数的定义可知该函数是奇函数，由复合函数的单调性可知其在定义域内是增函数，故选C.2．(2017·辽宁阶段测试)设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( ) A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数 D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数解析：选B 因为函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，则 (m －1)ln 3＝0，即m ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2)，因为x ∈(0,1)时，y ＝1－x 2是减函数，故f (x )在(0,1)上是减函数，故选B.3．(2016·北京高考)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0解析：选C A 项，考查的是反比例函数y ＝1x在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所以1x －1y<0，所以A 错误；B 项，考查的是三角函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上的单调性，y ＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，所以不一定有sin x >sin y ，所以B 错误；C 项，考查的是指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，所以C 正确；D 项，考查的是对数函数y ＝ln x 的性质，ln x ＋ln y ＝ln xy ，当x >y >0时，xy >0，不一定有ln xy >0，所以D 错误．4．(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R.当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2解析：选D 由题意可知，当－1≤x ≤1时，f (x )为奇函数，且当x >12时，f (x ＋1)＝f (x )，所以f (6)＝f (5×1＋1)＝f (1)．而f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f (6)＝2.故选D.5．(2017·湖南联考)已知函数f (x )是R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π7，c ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫tan 5π7，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c解析：选B ∵π2<5π7<3π4，∴tan 5π7<－1<cos 5π7<0，又sin 2π7>0，∴tan 5π7<cos5π7<sin 2π7.∵函数f (x )是R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，∴函数f (x )是R上的增函数，∴c <b <a ，故选B.6．(2017·邢台摸底考试)已知定义在(－1,1)上的奇函数f (x )，其导函数为f ′(x )＝1＋ cos x ，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．(1，2)C ．(－2，－2)D ．(1，2)∪(－2，－1)解析：选B 依题意得f ′(x )>0，则f (x )是定义在(－1,1)上的增函数．不等式f (1－a )＋f (1－a 2)<0等价于f (1－a 2)<－f (1－a )＝f (a －1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a 2<1，－1<a －1<1，1－a 2<a －1.解得1<a <2， 选B.7．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3在(－∞，m )上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．[－2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2]解析：选D ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，∴f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3＝(x －1)(x ＋3)－2×(－x )＝x 2＋4x －3＝(x ＋2)2－7，∴f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)， ∵函数f (x )在(－∞，m )上单调递减，∴(－∞，m )⊆(－∞，－2)，即m ≤－2.故选D.8．(2016·广州模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)＝( )A ．1 B.45C ．－1D ．－45解析：选C 因为x ∈R ，且f (－x )＝－f (x )，所以函数为奇函数，因为f (x )＝f (x ＋4)，所以函数的周期为4.所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 254＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 254＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝－⎝⎛⎭⎪⎫2log 245＋15＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋15＝－1，故选C.二、填空题9．(2016·天津高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)， ∴f (2|a －1|)＞f (2)，∴2|a －1|＜2＝212，∴|a －1|＜12，即－12＜a －1＜12，即12＜a ＜32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 10．(2016·四川高考)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.解析：∵f (x )为奇函数，周期为2，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0. ∵f (x )＝4x，x ∈(0,1)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2.答案：－211．(2017·江苏调研)已知函数f (x )是偶函数，且当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，则当x <0时，f (x )的解析式为________________．解析：设x <0，则－x >0，因为当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，所以f (－x )＝－x 3－x ＋1.又函数f (x )是偶函数，所以f (x )＝－x 3－x ＋1.答案：f (x )＝－x 3－x ＋112．(2017·台州模拟)已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g x ，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________．解析：设x >0，则－x <0. ∵x <0时，g (x )＝－ln(1－x )， ∴g (－x )＝－ln(1＋x )． 又∵g (x )是奇函数， ∴g (x )＝ln(1＋x )(x >0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，＋x ，x >0.其图象如图所示．由图象知，函数f (x )在R 上是增函数． ∵f (2－x 2)>f (x )， ∴2－x 2>x ，即－2<x <1.所以实数x 的取值范围是(－2,1)． 答案：(－2,1) 三、解答题13．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12－x ，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．14．(2017·湖南长郡中学测试)已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在[－1,1]上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数． 解：(1)当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)． ∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x 4－x ＋1＝－2x4x ＋1.由f (0)＝f (－0)＝－f (0)，且f (1)＝－f (－1)＝－f (－1＋2)＝－f (1)， 得f (0)＝f (1)＝f (－1)＝0.∴在区间[－1,1]上，有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈，，－2x 4x＋1，x ∈－1，，0，x ∈{－1，0，1}.(2)证明：当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1，设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 14x 1＋1－2x 24x 2＋1＝x 2－2x 1x 1＋x 2－x 1＋x 2＋，∵0<x 1<x 2<1，∴2x 2－2x 1>0,2x 1＋x 2－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 故f (x )在(0,1)上是减函数．。
(整理)届高考数学考点讲解考点05函数的性质(单调性奇偶性周期性)(新课标解析版).
考点05 函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）【高考再现】热点一 函数的单调性1.（2012年高考（天津文））下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为（ ）A ．cos 2y x =B ．2log ||y x =C ．2x x e e y --=D ．31y x =+2.（2012年高考（陕西文））下列函数中,既是奇函数又是增函数的为A ．1y x =+B ．2y x =-C ．1y x =D ．||y x x =【答案】D【解析】该题主要考察函数的奇偶性和单调性，理解和掌握基本函数的性质是关键.A 是增函数，不是奇函数；B 和C 都不是定义域内的增函数，排除，只有D 正确，因此选D.3.（2012年高考（安徽文））若函数()|2|f x x a =+的单调递增区间是[3,)+∞,则_____a =【方法总结】1.对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解．(2)可导函数则可以利用导数解之．但是，对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行.2.求函数的单调区间与确定单调性的方法一致．(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间.3.函数单调性的应用：f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性，则f(x1)<f(x2)⇔f(x1)－f(x2)<0，若函数是增函数，则f(x1)<f(x2) ⇔x1<x2，函数不等式(或方程)的求解，总是想方设法去掉抽象函数的符号，化为一般不等式(或方程)求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行．热点二函数的奇偶性4.（2012年高考（广东文））(函数)下列函数为偶函数的是（）A ．sin y x = B ．3y x = C ．x y e = D ．y =5.（2012年高考（重庆文））函数()()(4)f x x a x =+- 为偶函数,则实数a =________【答案】4【解析】本题考查函数奇偶性的应用,若已知一个函数为偶函数,则应有其定义域关于原点对称,且对定义域内的一切a都有()()f a f a =-成立.由函数()f x 为偶函数得()()f a f a =-即()(4)()(4)a a a a a a +-=-+-- 4a ⇒=.6.（2012年高考（上海文））已知)(x f y =是奇函数. 若2)()(+=x f x g 且1)1(=g .则=-)1(g _______ .7.（2012年高考（课标文））设函数()f x 22(+1)sin =1x x x ++的最大值为M ,最小值为m ,则=M m +____【答案】 2【解析】本题主要考查利用函数奇偶性、最值及转换与化归思想,是难题.222(1)sin 2sin ()1,11x x x x f x x x +++==+++设22sin (),()(),()1x x g x g x g x g x x +=-=-∴+为奇函数，由奇函数图像的对称性知max min max min max min ()()0,[()1][()1]2()() 2.g x g x M m g x g x g x g x +=∴+=+++=++=【方法总结】热点三 函数的周期性8.（2012年高考（浙江文））设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数,当x ∈[0,1]时,()f x =+1x ,则3()2f =_______. 【答案】32 【解析】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性.331113()(2)()()1222222f f f f =-=-==+=. 9.（2012年高考（江苏））设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[11]-，上,0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，.若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则3a b +的值为____.【方法总结】求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝A sin(ωx ＋φ)，用公式T ＝2π|ω|计算．递推法：若f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝－f (x ＋a )＝f (x )，所以周期T ＝2a .换元法：若f (x ＋a )＝f (x －a )，令x －a ＝t ，x＝t ＋a ，则f (t )＝f (t ＋2a )，所以周期T ＝2a .热点四 函数性质的综合应用10.（2012年高考（重庆理））已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且以2为周期,则“()f x 为[0,1]上的增函数”是“()f x 为[3,4]上的减函数”的（ ）A ．既不充分也不必要的条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．充要条件11.（2012年高考（山东理））定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=.当31x -≤<- 时,2()(2)f x x =-+,当13x -≤<时,()f x x =. 则(1)(2)(3)(2012)f f f f +++⋅⋅⋅=A ． 335B ．338C ．1678D ．2012【方法总结】在解决函数性质有关的问题中，如果结合函数的性质画出函数的简图，根据简图进一步研究函数的性质，就可以把抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简单明了，对问题的解决有很大的帮助.（1）一般的解题步骤：利用函数的周期性把大数变小或小数变大，然后利用函数的奇偶性调整正负号，最后利用函数的单调性判断大小；（2）画函数草图的步骤：由已知条件确定特殊点的位置，然后利用单调性确定一段区间的图象，再利用奇偶性确定对称区间的图象，最后利用周期性确定整个定义域内的图象. 【考点剖析】二．命题方向1.利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高考考查的热点．2.函数的奇偶性是高考考查的热点．3.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点．3.题型以选择题和填空题为主，函数性质其他知识点交汇命题.三．规律总结一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．三种方法判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．三条结论(1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a ＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则：y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数．(3)若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝1f(x)或f(x＋a)＝－1f(x)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2a；(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|.【基础练习】1．（课本习题改编）下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()A ．y ＝|x |B ．y ＝3－xC ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4【答案】A【解析】y ＝3－x 在R 上递减，y ＝1x 在(0，＋∞)上递减，y＝－x 2＋4在(0，＋∞)上递减．2.（经典习题）函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，43. （课本习题改编）若函数f (x )＝x (2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝( )A.12B.23C.34D ．1【答案】A【解析】∵f (x )＝x (2x ＋1)(x －a )是奇函数，利用赋值法，∴f (－1)＝－f (1)．∴－1(－2＋1)(－1－a )＝－1(2＋1)(1－a )，∴a ＋1＝3(1－a )，解得a ＝12. 4. （经典习题）设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )．A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数【答案】A【解析】由题意知f (x )与|g (x )|均为偶函数，A 项：偶＋偶＝偶；B 项：偶－偶＝偶，B 错；C 项与D 项：分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇均不恒成立，故选A.5.设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则f (2 011)＋f (2 012)＝( )A ．3B ．26．（经典习题）已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)等于________．【答案】－2【解析】由f (x ＋4)＝f (x )，得f (7)＝f (3)＝f (－1)，又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，f (1)＝2×12＝2.∴f (7)＝－2.【名校模拟】一．基础扎实1. (北京市西城区2012届高三下学期二模试卷文)给定函数：①3y x =；②21y x =-；③sin y x =；④2log y x =，其中奇函数是（ ）（A ）① ② （B ）③ ④（C ）① ③（D ）② ④【答案】C【解析】利用函数图象关于原点对称可知① ③图像满足条件.2. (2012年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试理)已知.，若，则f(-a)的值为A. -3B. -2C. -1D. 03.(2012年河南豫东、豫北十所名校阶段性测试(三）理)已知函数.，则该函数是(A)偶函数，且单调递增（B)偶函数，且单调递减(C)奇函数，且单调递增（D)奇函数，且单调递减【答案】C【解析】 注意到当0x >时，0x -<，()()()()21120x x f x f x ---+=-+-=；当0x <时，0x ->，()()()()12210x x f x f x -+=-+-=；()00f =.因此，对任意x R ∈，均有()()0f x f x -+=，即函数()f x 是奇函数.当0x >时，函数()f x 是增函数，因此()f x 是增函数，选C.4．(2012洛阳示范高中联考高三理)下列函数中，在(1, 1)-内有零点且单调递增的是( )A ．12log y x =B ．21x y =-C ．212y x =-D ． 3y x =-5. (浙江省杭州学军中学2012届高三第二次月考理）若R x ∈、+∈N n ，定义：)2)(1(++=x x x M n x )1(-+n x ，例如：55-M =(-5)(-4)(-3)(-2)(-1) =-120,则函数199)(-=x xM x f 的奇偶性为( )A.是偶函数而不是奇函数B. 是奇函数而不是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数6.. (江西省2012届十所重点中学第二次联考文)已知2()35f x ax bx a b =+-+是偶函数，且其定义域为[61,]a a -，则a b +=（ ）A ．17 B ．1- C ．1D ．7【答案】A【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以1610,7a a a -+==所以； 又()f x 为偶函数，所以223()535a x bx a b ax bx a b ---+=+-+，得0b =，所以a b +=17，选A. 67.(海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理)函数)(x f 在区间]3,2[-是增函数，则)5(+=x f y 的递增区间是 （ ） A ．]8,3[ B ． ]2,7[-- C ．]5,0[D ．]3,2[-8．(海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理)已知函数y=f(x)是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 （ ）①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=x ·f(x);④y=f(x)+x.A.①③B.②③C.①④ D.②④9．（湖北省黄冈中学2012届高三五月模拟考试理）下列函数中既是偶函数，又是区间[－1，0]上的减函数的是A ．x y cos =B ．1--=x yC ．x xy +-=22ln D ．x x e e y -+=答案：D解析：由()()x x f x e e f x --=+=，所以函数()x x f x e e -=+为偶函数；又 ()211x xx x e f x e e e -'=-=，当[]1,0x ∈-时，()0f x '<，所以函数为减函数，故选D 。
新课改瘦专用高考数学一轮复习2.2函数的性质2.2.1系统知识_函数的单调性与最值奇偶性周期性检测
课时跟踪检测（六）系统知识——函数的单调性与最值、奇偶性、周期性1．下列函数为奇函数的是()A．y＝xB．y＝|sin x|C．y＝cos x解析：选D因为函数y＝D．y＝e x－e－xx的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数y＝x为非奇非偶函数，排除A；因为y＝|sin x|为偶函数，所以排除B；因为y＝cos x为偶函数，所以排除C；因为y＝f(x)＝e x－e－x，f(－x)＝e－x－e x＝－(e x－e－x)＝－f(x)，所以函数y＝e x －e－x为奇函数，故选D.2．(2019·南昌调研)已知函数f(x)＝A．(－∞，1]C．(－∞，－1] x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为() B．[3，＋∞)D．[1，＋∞)解析：选B设t＝x2－2x－3，由t≥0，得x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．3．设f(x)－x2＝g(x)，x∈R，若函数f(x)为偶函数，则g(x)的解析式可以为()A．g(x)＝x3B．g(x)＝cos xC．g(x)＝1＋x D．g(x)＝x e x解析：选B因为f(x)＝x2＋g(x)，且函数f(x)为偶函数，所以有(－x)2＋g(－x)＝x2＋g(x)，即g(－x)＝g(x)，所以g(x)为偶函数，由选项可知，只有选项B中的函数为偶函数，故选B.14．(2019·三明模拟)函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x，则当x>0时，f(x)＝()A．－2x C．－2－x B．2－x D．2x解析：选C x>0，－x<0.∵当x<0时，f(x)＝2x，∴当x>0时，f(－x)＝2－x.∵f(x)是R上的奇函数，∴当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.故选C.9－x25．函数f(x)＝的图象关于()xA．x轴对称C．y轴对称B．原点对称D．直线y＝x对称解析：选B f(x)的定义域为[－3,0)∪(0,3]关于原点对称，且f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称．6．(2019·石家庄高三一检)已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)单调递增，且f(1)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围为()A．{x|0<x<1或x>2} C．{x|x<0或x>3} B．{x|x<0或x>2} D．{x|x<－1或x>1}解析：选A由于函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)单调递增，f(1)＝0，故由f(x－1)>0，得－1<x－1<0或x－1>1，所以0<x<1或x>2，故选A.7．(2019·天津模拟)若函数f(x)满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”，则f(x)的解析式可以是()A．f(x)＝(x－1)2B．f(x)＝e x21D．f(x)＝ln(x＋1)C．f(x)＝x解析：选C根据条件知，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．对于A，f(x)＝(x－1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A；对于B，f(x)＝e x在(0，＋∞)上单调递增，排除B；对于D，f(x)＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D；1对于C，f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，故选C.x8．函数f(x)＝Error!则f(x)的最大值、最小值分别为()A．10,6 B．10,8C．8,6 D．以上都不对解析：选A当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，当－1≤x<1时，6≤x＋7<8.∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10.9．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1] B．(－∞，0]C．(－∞，0) D．(0，＋∞)解析：选C令f(x)＝－x2＋2x＝－(x2－2x＋1)＋1＝－(x－1)2＋1(0≤x≤2)，函数图象如图所示：∴f(x)最小值为f(0)＝f(2)＝0.而a<－x2＋2x恒成立，∴a<0.10．对于定义域为R的奇函数f(x)，下列结论成立的是()3A．f(x)－f(－x)>0C．f(x)·f(－x)≤0解析：选C f(－x)＝－f(x)，则f(x)·f(－x)＝－f2(x)≤0.B．f(x)－f(－x)≤0 D．f(x)·f(－x)>011．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝()A．－2 C．－98B．2 D．98解析：选A由f(x＋4)＝f(x)，得f(7)＝f(3)＝f(－1)．又∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，f(1)＝2×12＝2.∴f(7)＝－2.故选A.f x＋f－x12．若函数f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，又f(3)＝0，则<0的2x解集为()A．(－3,3)C．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)解析：选C∵f(x)为偶函数，f(－x)＝f(x)，f x＋f－x f x故<0可化为<0，2x x而f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(3)＝0，故当x>3时，f(x)<0，当－3<x<0时，f(x)>0，f x故<0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．x42|x|＋1＋x3＋213．已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于()2|x|＋1A．0 C．4B．2D．82·2|x|＋1＋x3x3x3解析：选C f(x)＝＝2＋，设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)(x∈2|x|＋12|x|＋12|x|＋1R)，∴g(x)为奇函数，∴g(x)max＋g(x)min＝0.∵M＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min，∴M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4，故选C.1314．若函数f(x)＝在区间[2，a]上的最大值与最小值的和为，则a＝________.x411解析：由f(x)＝的图象知，f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a]⊆(0，＋∞)，x x111∴f(x)＝在[2，a]上也是减函数，∴f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(a)＝，x2a113∴＋＝，∴a＝4.2a4答案：415．(2019·郑州模拟)设函数f(x)＝Error!g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．解析：由题意知g(x)＝Error!函数的图象为如图所示的实线部分，根据图象，知g(x)的递减区间是[0,1)．答案：[0,1)16．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③(1)(3)(5)当0≤x<1时，f(x)＝2x－1，则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________.222解析：依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，5则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0.(12)(32)∴f＋f(1)＋f＋f(2)＋f(52)(12)＝f＋0＋f(－12)＋f(0)＋f(12)(12) (12)＝f－f＋f(0)＋f(12)(12)＝f＋f(0)1＝2 －1＋20－12＝－1.2答案：－126。
高中数学 考点5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性(含高考试题)新人教A版
考点5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性一、选择题1.(2017·全国乙卷理科·T5)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x 的取值范围是 ( )A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3] 【命题意图】考查函数的奇偶性和单调性问题. 【解题指南】奇函数左右两侧单调性相同,根据奇函数的性质求解f(-1)=1,利用单调性即可求解. 【解析】选D.由已知,得f(-1)=1,使-1≤f(x)≤1成立的x 满足-1≤x ≤1,所以由-1≤x-2≤1得1≤x ≤3,即使-1≤f(x-2)≤1成立的x 满足1≤x ≤3,2.(2017·全国乙卷文科·T9)已知函数f(x)=lnx+ln(2-x),则 ( ) A.f(x)在(0,2)单调递增 B.f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称【命题意图】本题主要考查函数的单调性、对称性问题. 【解题指南】如果函数f(x),x ∈D,满足∀x ∈D,恒有f(a+x)=f(b-x),那么函数的图象有对称轴x=2a b+;如果函数f(x),x ∈D,满足∀x ∈D,恒有f(a-x)=-f(b+x),那么函数f(x)的图象有对称中心,02a b +⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】选C.由题意知,f(2-x)=ln(2-x)+lnx=f(x),所以 f(x)的图象关于直线x=1对称,C 正确,D 错误;又f'(x)=1x -12x - = ()()212x x x -- (0<x<2),在(0,1)上单调递增,在[1,2)上单调递减,A,B 错误.3.(2017·北京高考文科·T5)同（2017·北京高考理科·T5)已知函数f(x)=3x-13⎛⎫ ⎪⎝⎭x,则f(x) ( )A.是偶函数,且在R 上是增函数B.是奇函数,且在R 上是增函数C.是偶函数,且在R 上是减函数D.是奇函数,且在R 上是减函数【命题意图】本题主要考查指数函数的性质.意在培养学生逻辑推理能力及对函数性质的辨别力.【解析】选B.函数f(x)=3x-13x⎛⎫ ⎪⎝⎭的定义域为R,因为f(-x)=3-x-13x⎛⎫ ⎪⎝⎭=13x⎛⎫ ⎪⎝⎭-3x=-()f x所以f(x)=3x-13x⎛⎫ ⎪⎝⎭为奇函数,又f'(x)=133xx ⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭'=()133x x'⎛⎫' ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭ =3xln3-13x⎛⎫ ⎪⎝⎭ln13=133xx ⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫ ⎪⎝⎭ln3>0,所以f(x)=3x-13x⎛⎫ ⎪⎝⎭在R 上是增函数.4.(2017·浙江高考·T5)若函数f(x)=x 2+ax+b 在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m ( )A.与a 有关,且与b 有关B.与a 有关,但与b 无关C.与a 无关,且与b 无关D.与a 无关,但与b 有关【命题意图】本题主要考查二次函数问题,意在考查学生对二次函数中“动轴定区间”问题的分析能力.【解析】选B.f(x)=x 2+ax+b=22a x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+b-24a ,对称轴为x=-2a ,下面分情况讨论: (1)若-2a>1,即a<-2时,f(x)max =f(0)=b,f(x)min =f(1)=a+b+1, 此时M-m=b-(a+b+1)=-a-1.(2)若12<-2a≤1,即-2≤a<-1时,f(x)max =f(0)=b, f(x)min =f 2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=b-24a , 此时M-m=b-24a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭=24a .(3)若0<-2a ≤12,即-1≤a<0时,f(x)max =f(1)=a+b+1,f(x)min =f 2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=b-24a , 此时M-m=a+b+1-24a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭=1+a+24a .(4)若-2a≤0,即a ≥0时,f(x)max =f(1)=a+b+1,f(x)min =f(0)=b, 此时M-m=a+b+1-b=1+a.综上,M-m 与a 有关,而与b 无关.【反思总结】二次函数中的“动轴定区间”问题,大体上分为三类去讨论:一是对称轴在区间的右侧,二是对称轴在区间的左侧,三是对称轴在区间之间.对这三种情况,画图分析最值.二、填空题5.(2017·全国丙卷·文科·T16)同(2017·全国丙卷·理科·T15)设函数f(x)=1,0,02xx x x +≤⎧⎪⎨>⎪⎩则满足f(x)+f 12x ⎛⎫-⎪⎝⎭>1的x 的取值范围是 . 【命题意图】本题考查分段函数及其不等式,考查学生分类讨论的思想. 【解析】由题意:设g(x)=f(x)+f 12x ⎛⎫-⎪⎝⎭= 1232,0,2112,0,2211)2,2x x x x x x x -⎧+≤⎪⎪⎪++<≤⎨⎪⎪>⎪⎩函数g(x)在区间(-∞,0],10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦,1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭三段区间内均单调递增, 且:g 14⎛⎫-⎪⎝⎭=1,20+0+>1,)1×20>1,因此x的取值范围是:1,4⎛⎫-+∞⎪⎝⎭.答案:1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭6.(2017·全国甲卷文·T14)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)= .【命题意图】函数的奇偶性以及函数值,意在考查学生的转化能力和运算求解能力.【解析】f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=12.答案:127.(2017·山东高考文科·T14)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x ∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)= .【命题意图】本题考查函数的奇偶性、周期性的应用,意在考查考生转化与化归的能力,运算求解能力.【解析】因为f(x+4)=f(x-2),令t=x+4,则x-2=t-6,所以f(t)=f(t-6),所以函数f(x)的周期为6,因为f(919)=f(153×6+1)=f(1)=f(-1)=6.答案:6。
高考数学(全国文理通用)一轮复习：考点5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性
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考点5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性一、选择题1.(2015·浙江高考文科·T8)设实数a,b,t 满足|a+1|=|sin b|=t ( ) A.若t 确定,则b 2唯一确定 B.若t 确定,则a 2+2a 唯一确定 C.若t 确定,则sin 唯一确定 D.若t 确定,则a 2+a 唯一确定【解题指南】在式子的两边同时平方,根据函数的性质判断.【解析】选B.因为|a+1|=|sin b|=t,所以(a+1)2=sin 2b=t 2,所以a 2+2a=t 2-1,故当t 确定时,t 2-1确定,所以a 2+2a 唯一确定.2. (2015·广东高考理科·T3)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是 ( ) A.y=x+e x B.y=x+x1 C.y=2x +x 21D.y=【解题指南】先求出函数的定义域,再利用f(-x)与f的关系判断奇偶性.【解析】选 A. 函数xe x y +=定义域为R ，关于原点对称，因为()ef +=11()e f 111+-=-，所以函数x e x y +=既不是奇函数，也不是偶函数；函数xx y 1+=的定义域为{}0≠x x ，关于原点对称，因为()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=--=-+=- ⎪⎝⎭，所以函数x x y 1+=是奇函数； 函数()122x xf x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()112222x x x x f x f x ---=+=+=，所以函数()122xxf x =+是偶函数； 函数21x y +=的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()x f x x x f =+=-+=-2211，所以函数21x y +=是偶函数．3. (2015·广东高考文科·T3)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是 ( ) A.y=x 2+sinxB.y=x 2-cosxC.y=2x +D.y=x+sin2x【解题指南】先求出函数的定义域,再利用f与f 的关系判断奇偶性.【解析】选A. 函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称， 因为()11sin1f =+， ()1sin 11-=-f ，所以函数()2sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数()2cos f x x x =-的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()()22cos cos f x x x x x f x -=---=-=， 所以函数()2cos f x x x =-是偶函数；函数()122x x f x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()112222x x x x f x f x ---=+=+=， 所以函数()122x x f x =+是偶函数；函数()sin 2f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()sin 2sin 2f x x x x x f x -=-+-=--=-， 所以函数()sin 2f x x x =+是奇函数．4. (2015·北京高考文科·T3)下列函数中为偶函数的是 ( ) A.y=x 2sinxB.y=x 2cosxC.y=|lnx|D.y=2x 【解析】选B.选项A,f(-x)=(-x)2sin(-x) =-x 2sinx=-f(x),所以为奇函数;选项B,f(-x)=(-x)2cos(-x)=x 2cosx=f(x),所以为偶函数; 选项C,非奇非偶函数;选项D 非奇非偶函数.5.(2015·山东高考文科·T8)若函数21()2x x f x a+=-是奇函数,则使f(x)>3成立的x 的取值范围为 ( )A.(-∞,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+∞)【解题指南】先利用f(-x)=-f(x)求出参数a,再解不等式f(x)>3.【解析】选C.函数f(x)是奇函数,所以对于定义域内的x 都有f(x)+f(-x)=0,化简得(1-a)(2x -1)=0,所以a=1. 21()321x xf x +=>-，化简得22021x x -<-f 所以1<2x <2,即0<x<1. 6.(2015·福建高考理科·T2) 下列函数为奇函数的是( ) A ．y x =B ．sin y x =C ．cos y x =D ．x x y e e -=-【解题指南】利用奇偶性的定义判断. 【解析】选D. 选项 具体分析结论 A 定义域为{x|x ≥0},不关于原点对称非奇非偶函数 B f(-x)=|sin(-x)|=|sinx|=f(x) 偶函数 C f(-x)=cos(-x)=cosx=f(x) 偶函数 Df(-x)=e -x -e x =-f(x)奇函数7.(2015·福建高考文科·T3)下列函数为奇函数的是 ( ) A.y=B.y=|sinx|C.y=cosxD.y=e x -e -x【解题指南】利用奇偶性的定义判断. 【解析】选D. 选项 具体分析结论 A 定义域为{x|x ≥0},不关于原点对称非奇非 偶函数 B f(-x)=|sin(-x)|=|sinx|=f(x)偶函数 Cf(-x)=cos(-x)=cosx偶函数=f(x)Df(-x)=e -x -e x =-f(x)奇函数8. (2015·陕西高考文科·T9)设f(x)=x-sinx,则f(x) ( ) A.既是奇函数又是减函数 B.既是奇函数又是增函数 C.是有零点的减函数 D.是没有零点的奇函数【解题指南】利用函数的奇偶性及函数的增减性可作出判断. 【解析】选B.f(x)的定义域为R 且关于原点对称, 又f(x)=x-sinx ⇒f(-x) =(-x)-sin(-x)=-x+sinx=-(x-sinx) =-f(x),所以f(x)是奇函数;f'(x)=1-cosx ≥0⇒f(x)是增函数. 二、填空题9.(2015·浙江高考理科·T10)已知函数f(x)=223,1,lg(1),1,x x xx x ⎧+-≥⎪⎨⎪+<⎩则f( f(-3))= ,f(x)的最小值是 .【解题指南】依据分段函数的性质,由内到外求值. 【解析】f( f(-3))=f(1)=0,当x ≥1时,f(x)≥2-3,当且仅当x=时,等号成立;当x<1时,f(x)≥0,当且仅当x=0时,等号成立,所以f(x)的最小值为223-. 答案: 0；223-10.(2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T13)若函数f(x)= xln （x+2a x +）为偶函数，则a= 【解题指南】f(x)= xln （x+2a x +）为偶函数，即2ln()y x a x =++是奇函数，利用()()0f x f x -+=确定a 的值.【解析】由题知2ln()y x a x =+是奇函数，所以22ln()ln()x a x x a x +++-++=22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1. 答案：1.11. (2015·湖北高考文科·T17)a 为实数,函数f(x)=|x 2-ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a).当 a= 时,g(a)的值最小.【解题指南】1.因为函数f(x)=|x 2-ax|含有绝对值,所以要分几种情况进行讨论. 2.函数在区间上的最值问题.【解析】方法一:因为函数f(x)=|x 2-ax|含有绝对值,所以要分几种情况进行讨论:①当a ≤0时,函数f(x)=|x 2-ax|=x 2-ax 在区间[0,1]上单调递增,所以f(x)max =g(a)=1-a;②当0<a ≤22-2时,此时22()(),2224=-⨯=a a a a f a (1)1,=-f a 而22(2)(1)20,44+--=-<a a a 所以max (x)()1;==-f g a a ③当222>-a 时，2max ()().4==a f x g a ④当a ≥2时,f(x)max =g(a)=a-1.综上可知21,222(),2222,41,2a a ag a a a a ⎧-≤-⎪⎪=-<<⎨⎪-≥⎪⎩所以()g a 在(,222]-∞-上单调递减，在(222,)-+∞上单调递增， 所以min ()(222),=-g a g所以当222=-a 时，()g a 的值最小. 方法二①：0≤a ，()(1)1;==-g a f a②：10≤<a ：⎪⎩⎪⎨⎧-<<-=≤<-==)2220(1)1()1222(4)2()(2a a f a a a f a g ， ③：21<<a ：4)2()(2a a f a g ==④：2≥a ：1)1()(-==a f a g ，综上，当222-=a 时，)(a g 取到最小值223- 答案：222.关闭Word文档返回原板块。
高考数学(理)总复习高考达标检测(五) 函数的单调性、奇偶性及周期性 Word版含答案
高考达标检测（五） 函数的单调性、奇偶性及周期性一、选择题1．(2017·沈阳教学质量监测)下列函数中，在其定义域内是增函数且是奇函数的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝2|x |C ．y ＝2x－2－xD ．y ＝2x＋2－x解析：选C A 中函数是非奇非偶函数，B 、D 中函数是偶函数，对于选项C ，由奇函数的定义可知该函数是奇函数，由复合函数的单调性可知其在定义域内是增函数，故选C.2．(2017·辽宁阶段测试)设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( ) A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数 D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数解析：选B 因为函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，则 (m －1)ln 3＝0，即m ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2)，因为x ∈(0,1)时，y ＝1－x 2是减函数，故f (x )在(0,1)上是减函数，故选B.3．(2016·北京高考)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0解析：选C A 项，考查的是反比例函数y ＝1x在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所以1x －1y<0，所以A 错误；B 项，考查的是三角函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上的单调性，y＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，所以不一定有sin x >sin y ，所以B 错误；C 项，考查的是指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，所以C 正确；D 项，考查的是对数函数y ＝ln x 的性质，ln x ＋ln y ＝ln xy ，当x >y >0时，xy >0，不一定有ln xy >0，所以D 错误．4．(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R.当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2解析：选D 由题意可知，当－1≤x ≤1时，f (x )为奇函数，且当x >12时，f (x ＋1)＝f (x )，所以f (6)＝f (5×1＋1)＝f (1)．而f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f (6)＝2.故选D.5．(2017·湖南联考)已知函数f (x )是R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π7，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 5π7，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c解析：选B ∵π2<5π7<3π4，∴tan 5π7<－1<cos 5π7<0，又sin 2π7>0，∴tan 5π7<cos5π7<sin 2π7.∵函数f (x )是R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，∴函数f (x )是R上的增函数，∴c <b <a ，故选B.6．(2017·邢台摸底考试)已知定义在(－1,1)上的奇函数f (x )，其导函数为f ′(x )＝1＋ cos x ，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．(1，2)C ．(－2，－2)D ．(1，2)∪(－2，－1)解析：选B 依题意得f ′(x )>0，则f (x )是定义在(－1,1)上的增函数．不等式f (1－a )＋f (1－a 2)<0等价于f (1－a 2)<－f (1－a )＝f (a －1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a 2<1，－1<a －1<1，1－a 2<a －1.解得1<a <2， 选B.7．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3在(－∞，m )上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．[－2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2]解析：选D ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，∴f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3＝(x －1)(x ＋3)－2×(－x )＝x 2＋4x －3＝(x ＋2)2－7，∴f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)， ∵函数f (x )在(－∞，m )上单调递减，∴(－∞，m )⊆(－∞，－2)，即m ≤－2.故选D.8．(2016·广州模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)＝( )A ．1 B.45C ．－1D ．－45解析：选C 因为x ∈R ，且f (－x )＝－f (x )，所以函数为奇函数，因为f (x )＝f (x ＋4)，所以函数的周期为4.所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 254 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 254＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝－⎝⎛⎭⎪⎫2log 245＋15＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋15＝－1，故选C.二、填空题9．(2016·天津高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)， ∴f (2|a －1|)＞f (2)，∴2|a －1|＜2＝212，∴|a －1|＜12，即－12＜a －1＜12，即12＜a ＜32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 10．(2016·四川高考)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.解析：∵f (x )为奇函数，周期为2，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0. ∵f (x )＝4x，x ∈(0,1)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. 答案：－211．(2017·江苏调研)已知函数f (x )是偶函数，且当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，则当x <0时，f (x )的解析式为________________．解析：设x <0，则－x >0，因为当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，所以f (－x )＝－x 3－x ＋1.又函数f (x )是偶函数，所以f (x )＝－x 3－x ＋1.答案：f (x )＝－x 3－x ＋112．(2017·台州模拟)已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g x ，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________．解析：设x >0，则－x <0. ∵x <0时，g (x )＝－ln(1－x )， ∴g (－x )＝－ln(1＋x )． 又∵g (x )是奇函数， ∴g (x )＝ln(1＋x )(x >0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，＋x ，x >0.其图象如图所示．由图象知，函数f (x )在R 上是增函数． ∵f (2－x 2)>f (x )， ∴2－x 2>x ，即－2<x <1.所以实数x 的取值范围是(－2,1)． 答案：(－2,1) 三、解答题13．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12－x ，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．14．(2017·湖南长郡中学测试)已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在[－1,1]上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数． 解：(1)当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)． ∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x 4－x ＋1＝－2x4x ＋1.由f (0)＝f (－0)＝－f (0)，且f (1)＝－f (－1)＝－f (－1＋2)＝－f (1)， 得f (0)＝f (1)＝f (－1)＝0.∴在区间[－1,1]上，有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈，，－2x 4x＋1，x ∈－1，，0，x ∈{－1，0，1}.(2)证明：当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1，设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 14x 1＋1－2x 24x 2＋1＝x 2－2x 1x 1＋x 2－x 1＋x 2＋，∵0<x 1<x 2<1，∴2x 2－2x 1>0,2x 1＋x 2－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 故f (x )在(0,1)上是减函数．。
函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)(含答案)
函数的基本性质一、知识点1．对函数单调性的理解(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；(2) 一些单调性的判断规则：①若f (x)与g(x)在定义域内都是增函数(减函数)，那么f (x) + g(x)在其公共定义域内是增函数(减函数)即“同加异减”减时和第一个单调性相同。
②复合函数的单调性规则是“同增异减”。
2．函数的奇偶性的定义：(1)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = —f (x)，则称f (x)为.奇函数的图象关于对称。
(2)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = f (x)，则称f (x)为.偶函数的图象关于对称。
(3)通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)。
3．奇偶函数图象的对称性(1)若y = f (a + x)是偶函数，则 f (a + x) = f (a - x) o f (2a - x) = f (x) o f (x)的图象关于直线x= a对称；(2)若y = f (b + x)是偶函数，则 f (b - x) = - f (b + x) o f (2b - x) = - f (x) o f (x)的图象关于点(b,0)中心对称；4.若函数满足f Q + a)= f Q)，则函数的周期为T=a。
二、例题讲解1.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,+ 8)上单调递减的函数是()A. y = 2|x|B. y = x3C. y = -x2+1D. y=cosx【答案】C【解析】试题分析：偶函数需满足f (-x) = f (x)，由此验证可知A,C,D都是偶函数，但要满足在区间(0,+ 8) 上单调递减，验证可知只有C符合.考点：偶函数的判断，函数的单调性.2. f (x) = x2-2x + 4的单调减区间是.【答案】(fl) 【解析】试题分析：将函数进行配方得/(，) =，2—2x + 4 = (x —1)2+3,又称轴为x = l,函数图象开口向上，所 以函数的单调减区间为(-8,1) . 考点：二次函数的单调性.3 .函数y = log (%2 +2% —3)的单调递减区间为()2A. (— °°, —3)B. (— °°, — 1)C. (1, +°°)D. ( — 3, — 1) 【答案】A 【解析】试题分析：由x2 + 2x —3>0,得％<—3或x>l, .♦./(%)的定义域为(―8,—3)U(L+8).y = log (%2 + 2% —3)可看作由 y = log 沈和 M = %2 + 2% — 3 复合而成的，u - X2 +2x-3 = (x +1)2 -4 2 2在(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，又y = log "在定义域内单调递增，.・.y = log (%2+2%-3)在2 2(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，所以y = log (%2+ 2% —3)的单调递减区间是(―叫—3),故选A.2考点：复合函数的单调性.4 .已知丁 = %2+2(〃 — 2)% + 5在区间(4,+8)上是增函数，则a 的范围是( )【答案】B 【解析】试题分析：函数y = %2+2(〃-2)% + 5的图像是开口向上以x = 2-a 为对称轴的抛物线，因为函数在区 间(4,+8)上是增函数，所以2 —a V 4,解得“之―2 ,故A 正确。
2024年高考数学一轮复习考点05函数的单调性与最值必刷题理含解析
考点05 函数的单调性与最值1.已知函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围是()A.(1,+∞)B.[4,8)C.(4,8)D.(1,8)【答案】B【解析】由f(x)在R上是增函数,则有解得4≤a<8.2.已知函数f(x)=,则该函数的递增区间为()A.(-∞,1]B.[3,+∞)C.(-∞,-1]D.[1,+∞)【答案】B【解析】设t=x2-2x-3,由t≥0,即x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3.故函数f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数t=x2-2x-3的图像的对称轴方程为x=1,所以函数t在(-∞,-1]上递减,在[3,+∞)上递增.所以函数f(x)的递增区间为[3,+∞).3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)内递增.若实数a满意f(log2a)+f(lo a)≤2f(1),则a的取值范围是()A.[1,2]B.C.D.(0,2]【答案】C【解析】∵lo a=-log2a,∴f(log2a)+f(lo a)=f(log2a)+f(-log2a)=2f(log2a),原不等式变为2f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1).又因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)内递增,所以|log2a|≤1,即-1≤log2a≤1,解得≤a≤2.故选C.4.若x∈(e-1,1),a=ln x,b=,c=e ln x,则()A.b>c>aB.c>b>aC.b>a>cD.a>b>c【答案】A【解析】∵x∈(e-1,1),∴a=ln x∈(-1,0),b=∈(1,2),c=e ln x=x∈(e-1,1),∴b>c>a.5.已知函数f(x)=x+,g(x)=2x+a,若随意x1∈,存在x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是()A.a≤1B.a≥1C.a≤0D.a≥0【答案】C【解析】当x∈时,f(x)≥2=4,当且仅当x=2时取等号,∴f(x)min=4.当x∈[2,3]时,g(x)递增,故g(x)min=22+a=4+a.依题意知f(x)min≥g(x)min,解得a≤0.6.已知定义域为R的函数f(x)满意f(2-x)=f(x),且x≥1时,f(x)=2x+,若f(log a2a)<6(a>0且a≠1),则实数a的取值范围是()A.∪(1,2)B.∪(2,+∞)C.∪(1,2)D.∪(2,+∞)【答案】B【解析】由f(2-x)=f(x),可知f(x)的图像关于直线x=1对称,∵x≥1时,f(x)=2x+,∴f(x)在[1,+∞)上是增加的.∵f(2)=6,∴f(log a2a)<6⇔f(log a2a)<f(2)⇔|log a2a-1|<|2-1|(因f(x)的图像对称轴为x=1,即自变量到x=1的距离大的函数值大),∴|log a2a-1|<1,即|log a2|<1,解得a>2或0<a<.故选B.7.已知函数f(x)=lg(x+)+2x+sin x,f(x1)+f(x2)>0,则下列不等式中正确的是()A.x1>x2B.x1<x2C.x1+x2<0D.x1+x2>0【答案】D【解析】函数定义域为R,∵f(x)+f(-x)=lg(x+)+2x+sin x+lg(-x+)-2x-sin x=lg 1=0,∴函数f(x)是奇函数,由y=lg(x+)在(0,+∞)上是增加的,令y=2x+sin x,由y'=2+cos x>0知,y=2x+sin x在(0,+∞)上是增函数,∴函数f(x)在x≥0时递增,因此f(x)在R上递增.∵f(x1)+f(x2)>0,∴f(x1)>-f(x2),∴f(x1)>f(-x2),∴x1>-x2,即x1+x2>0,故选D.8.已知f(x)表示x+2与x2+3x+2中的较大者,则f(x)的最小值为()A.0B.2C.-D.不存在【答案】A【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数y=x+2和y=x2+3x+2的图像,由f(x)表示x+2与x2+3x+2中的较大者,可得f(x)的图像如图中实线部分.求f(x)的最小值即求最低点的纵坐标,由图可得,当x=-2时,函数f(x)有最小值0,故选A.9.已知函数f(x)是定义在R上的单调函数,且对随意的x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),若动点P(x,y)满意等式f(x2+2x+2)+f(y2+8y+3)=0,则x+y的最大值为 ()A.2-5B.-5C.2+5D.5【答案】A【解析】对随意的x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),令x=0,y=0,都有f(0+0)=f(0)+f(0)⇒f(0)=0,动点P(x,y)满意等式f(x2+2x+2)+f(y2+8y+3)=0,即有f(x2+y2+2x+8y+5)=0=f(0),由函数f(x)是定义在R上的函数,可得x2+y2+2x+8y+5=0,化为(x+1)2+(y+4)2=12,可令x=-1+2cos α,y=-4+2sin α,α∈(0,2π),则x+y=2(cos α+sin α)-5=2cos-5,当cos=1即α=时,x+y取得最大值2-5,故选A.10.若f(x)=lo(ax2+2x-1),g(x)=,若不论x2取何值,f(x1)>g(x2)对随意x1∈恒成立,则a的取值范围是()A. B.C. D.【答案】D【解析】∵g(x) ===2sin,∴g(x2)max=2.f(x1)>g(x2)对随意x1∈恒成立,即f(x1)min>2恒成立;等价于0<a+2x1-1<对随意x1∈恒成立,即<a<对随意x1∈恒成立,设p(x1)==-1,q(x1)==-,∵x1∈,∴∈,∴p (x 1)max =-1=-, q (x 1)min =-,∴a ∈.故选D .11．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0 B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0 C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0 D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0【答案】B【解析】因为函数y ＝log 2x 与函数y ＝11－x ＝－1x －1的单调性在(1，＋∞)上均为增函数，所以函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，所以当x 1∈(1，2)时，f (x 1)＜f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)＞f (2)＝0，即f (x 1)＜0，f (x 2)＞0.12．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6 D ．12【答案】C.【解析】由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2； 当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.13．已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A ．f (x )在(0，2)单调递增 B ．f (x )在(0，2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称 【答案】C【解析】f (x )的定义域为(0，2)．由于f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝ln(2x －x 2)，从而对f (x )的探讨可转化为对二次函数g (x )＝2x －x 2(x ∈(0，2))的探讨．因为g (x )＝2x －x 2＝－(x －1)2＋1，所以g (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，直线x ＝1是y ＝g (x )的图象的对称轴．从而解除A ，B ，D ，故选C.14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0－x 2－2x ＋3，x ＞0，不等式f (x ＋a )＞f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)B ．(－∞，0)C ．(0，2)D ．(－2，0)【答案】A【解析】作出函数f (x )的图象如图所示，易知函数f (x )在R 上为单调递减函数，所以不等式f (x ＋a )＞f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立等价于x ＋a ＜2a －x ，即x ＜a2在[a ，a ＋1]上恒成立，所以只需a＋1＜a2，即a ＜－2.故选A.15.设f (x )是定义在R 上的增函数,若f (1-ax-x 2)≤f (2-a )对随意a ∈[-1,1]恒成立,则x 的取值范围为 .【答案】(-∞,-1]∪[0,+∞)【解析】因为f (x )是R 上的增函数,所以1-ax-x 2≤2-a ,a ∈[-1,1].(*) (*)式可化为(x-1)a+x 2+1≥0对a ∈[-1,1]恒成立. 令g (a )=(x-1)a+x 2+1. 则解得x ≥0或x ≤-1,即实数x 的取值范围是(-∞,-1]∪[0,+∞).16.函数f (x )=-log 2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为 . 【答案】3【解析】因为y=在R 上递减,y=log 2(x+2)在区间[-1,1]上递增,所以f (x )在区间[-1,1]上递减. 所以f (x )在区间[-1,1]上的最大值为f (-1)=3.17．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )＞f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________． 【答案】(－3，－1)∪(3，＋∞)【解析】由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＞0，a ＋3＞0，a 2－a ＞a ＋3，解得－3＜a ＜－1或a ＞3，所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．18．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________． 【答案】3【解析】由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上单调递减，y ＝－log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递减，所以f (x )在[－1，1]上单调递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3.19．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是________．【答案】[0，1)【解析】由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1.函数图象如图所示，由函数图象易得函数g (x )的单调递减区间是[0，1)．20.已知函数f (x )=若函数y=f (x )在区间(a ,a+1)内递增,则实数a 的取值范围是 . 【答案】(-∞,1]∪[4,+∞)【解析】画出f (x )=的图像如图所示,因为函数y=f (x )在区间(a ,a+1)内递增,所以a+1≤2或a ≥4,解得a ≤1或a ≥4.故实数a 的取值范围是(-∞,1]∪[4,+∞).21．假如对定义在R 上的函数f (x )，对随意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数f (x )为“H 函数”．给出下列函数：①y ＝e x＋x ；②y ＝x 2；③y ＝3x －sin x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln |x |，x ≠0，0，x ＝0. 以上函数是“H 函数”的全部序号为________． 【答案】①③【解析】因为对随意两个不相等的实数x 1，x 2， 都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)恒成立， 所以不等式等价为(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0恒成立， 即函数f (x )是定义在R 上的增函数．①函数y ＝e x＋x 在定义域上为增函数，满意条件． ②函数y ＝x 2在定义域上不单调，不满意条件．③y ＝3x －sin x ，y ′＝3－cos x ＞0，函数单调递增，满意条件．④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln |x |，x ≠0，0，x ＝0，当x ＞0时，函数单调递增，当x ＜0时，函数单调递减，不满意条件．综上，满意“H函数”的函数为①③.22．推断函数f(x)=a x+(a>1),x∈(-2,+∞)的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.【解析】该函数在(-2,+∞)上单调递增.证明如下:任取x1,x2∈(-2,+∞),不妨设x1<x2,则x2-x1>0,x1+2>0,x2+2>0,又a>1,所以>,即有->0,所以f(x2)-f(x1)=+--=(-)+=(-)+>0,故函数f(x)在(-2,+∞)上单调递增.23． (1)函数y=ln(-x2+2x+3)的单调递增区间是()A.(-1,1]B.[1,3)C.(-∞,1]D.[1,+∞)(2)设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递减区间是.【答案】(1)A(2)[0,1)【解析】 (1)令t=-x2+2x+3>0,求得-1<x<3,故函数的定义域为(-1,3).由二次函数的性质可知,t=-(x-1)2+4,x∈(-1,3)的单调递增区间为(-1,1],故函数y=ln(-x2+2x+3)的单调递增区间是(-1,1].(2)由题意知g(x)=该函数的图像如图所示,其单调递减区间是[0,1).24．已知f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,对随意两个不相等的正数x1,x2,都有>0.记a=,b=,c=,则()A.a<b<cB.b<a<cC .c<a<bD .c<b<a 【答案】B【解析】∵f (x )是定义在(0,+∞)上的函数,对随意两个不相等的正数x 1,x 2,都有>0,∴函数y=是(0,+∞)上的增函数.∵1<30.2<30.5=<2,0<0.32<1,log 25>2,∴0<0.32<30.2<log 25,∴b<a<c.故选B .25．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x－2，（x ≤0）2ax －1，（x ＞0）(a 是常数且a ＞0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1； ②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )＞0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是a ＞1； ④对随意的x 1＜0，x 2＜0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f （x 1）＋f （x 2）2.其中正确命题的全部序号是________．【答案】①③④【解析】依据题意可画出函数图象， 由图象可知，①明显正确；函数f (x )在R 上不是单调函数，故②错误；若f (x )＞0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则2a ×12－1＞0，a ＞1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对随意的x 1＜0，x 2＜0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f （x 1）＋f （x 2）2成立，故④正确．。
高考数学(理科)一轮复习函数的奇偶性与周期性学案附答案
高考数学（理科）一轮复习函数的奇偶性与周期性学案附答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案6 函数的奇偶性与周期性导学目标：1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．自主梳理．函数奇偶性的定义如果对于函数f定义域内任意一个x，都有______________，则称f为奇函数；如果对于函数f定义域内任意一个x，都有____________，则称f为偶函数．2．奇偶函数的性质f为奇函数⇔f＝－f⇔f＋f＝____；f为偶函数⇔f＝f＝f⇔f－f＝____.f是偶函数⇔f的图象关于____轴对称；f是奇函数⇔f的图象关于________对称．奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有________的单调性．3．函数的周期性定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f＝________，则称f为________函数，其中T称作f的周期．若T存在一个最小的正数，则称它为f的________________．性质：①f＝f常常写作f＝f．②如果T是函数y＝f的周期，则kT也是y＝f的周期，即f＝f．③若对于函数f的定义域内任一个自变量的值x都有f ＝－f或f＝1fx或f＝－1fx，则f是以______为一个周期的周期函数．自我检测．已知函数f＝x2＋x＋为偶函数，则m的值是A．1B．2c．3D．42．如果奇函数f在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f在区间[－7，－3]上是A．增函数且最小值是－5B．增函数且最大值是－5c．减函数且最大值是－5D．减函数且最小值是－53．函数y＝x－1x的图象A．关于原点对称B．关于直线y＝－x对称c．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称4．已知函数f是上的偶函数，若对于x≥0，都有f＝f，且当x∈[0,2)时，f＝log2，则f＋f的值为A．－2B．－1c．1D．25．设函数f＝x＋1x＋ax为奇函数，则a＝________.探究点一函数奇偶性的判定例1 判断下列函数的奇偶性．f＝1－x1＋x；f＝x；f＝log2；f＝x2＋x，x<0，－x2＋x，x>0.变式迁移1 判断下列函数的奇偶性．f＝x2－x3；f＝x2－1＋1－x2；f＝4－x2|x＋3|－3.探究点二函数单调性与奇偶性的综合应用例2 函数y＝f是奇函数，且当x∈时是增函数，若f ＝0，求不等式f[x]<0的解集．变式迁移2 已知函数f＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f＋f<0恒成立，则x的取值范围为________．探究点三函数性质的综合应用例3 已知定义在R上的奇函数f，满足f＝－f，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f＝m，在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.变式迁移3 定义在R上的函数f是偶函数，且f＝f．若f在区间[1,2]上是减函数，则fA．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数c．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数转化与化归思想的应用例函数f的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f＝f＋f．求f的值；判断f的奇偶性并证明你的结论；如果f＝1，f＋f≤3，且f在上是增函数，求x的取值范围．【答题模板】解∵对于任意x1，x2∈D，有f＝f＋f，∴令x1＝x2＝1，得f＝2f，∴f＝0.[2分]令x1＝x2＝－1，有f＝f＋f，∴f＝12f＝0.[4分]令x1＝－1，x2＝x有f＝f＋f，∴f＝f，∴f为偶函数．[6分]依题设有f＝f＋f＝2，f＝f＋f＝3，[7分]∵f＋f≤3，即f)≤f[8分]∵f为偶函数，∴f≤f．[10分]又∵f在上是增函数，f的定义域为D.∴0<||≤64.[11分]解上式，得3<x≤5或－73≤x<－13或－13<x<3.∴x的取值范围为{x|－73≤x<－13或－13<x<3或3<x≤5}．[12分]【突破思维障碍】在中，通过变换已知条件，能变形出f)≤f的形式，但思维障碍在于f在上是增函数，g是否大于0不可而知，这样就无法脱掉“f”，若能结合中f是偶函数的结论，则有f)＝f|)，又若能注意到f的定义域为{x|x≠0}，这才能有|g|>0，从而得出0<|g|≤a，解之得x的范围．【易错点剖析】在中，由f•|)≤f脱掉“f”的过程中，如果思维不缜密，不能及时回顾已知条件中函数的定义域中{x|x≠0}，易出现0≤||≤64，导致结果错误．．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域在数轴上关于原点对称是函数f为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②f＝－f或f＝f是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f＝±f⇔f±f＝0⇔f－xfx＝±1≠0)．3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性．4．关于函数周期性常用的结论：对于函数f，若有f＝－f或f＝1fx或f＝－1fx，则f的一个周期为2a一、选择题．已知f＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值为A．－13B.13c.12D．－122．已知定义域为{x|x≠0}的函数f为偶函数，且f在区间上是增函数，若f＝0，则fxx<0的解集为A．∪B．∪c．∪D．∪3．已知f是定义在R上的偶函数，并满足f＝－1fx，当1≤x≤2时，f＝x－2，则f等于A．4.5B．－4.5c．0.5D．－0.54．设f为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f＝2x＋2x＋b，则f等于A．3B．1c．－1D．－35．设函数f满足：①y＝f是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则f与f大小关系是A．f>fB．f<fc．f＝fD．无法确定题号2345答案二、填空题6．若函数f＝x－1，x>0，a，x＝0，x＋b，x<0是奇函数，则a＋b＝________.7．设函数f是定义在R上的奇函数，若f满足f＝f，且f>1，f＝2m－3m＋1，则m的取值范围是________．8．已知函数f是R上的偶函数，g是R上的奇函数，且g＝f，若f＝2，则f的值为________．三、解答题9．已知f是定义在[－6,6]上的奇函数，且f在[0,3]上是x的一次式，在[3,6]上是x的二次式，且当3≤x≤6时，f≤f＝3，f＝2，求f的表达式．10．设函数f＝x2－2|x|－1证明f是偶函数；画出这个函数的图象；指出函数f的单调区间，并说明在各个单调区间上f是增函数还是减函数；求函数的值域．11．已知函数f＝x2＋ax．讨论函数f的奇偶性，并说明理由；若函数f在[2，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．答案自主梳理．f＝－f f＝f2．0 0 y 原点相反3．f 周期最小正周期③2a自我检测．B [因为f为偶函数，所以奇次项系数为0，即m－2＝0，m＝2.]2．A [奇函数的图象关于原点对称，对称区间上有相同的单调性．]3．A [由f＝－f，故函数为奇函数，图象关于原点对称．]4．c [f＋f＝f＋f＝f＋f＝log21＋log2＝1.]5．－1解析∵f＝0，∴f＝2＝0，∴a＝－1.代入检验f＝是奇函数，故a＝－1.课堂活动区例1 解题导引判断函数奇偶性的方法．定义法：用函数奇偶性的定义判断．．图象法：f的图象关于原点对称，则f为奇函数；f的图象关于y轴对称，则f为偶函数．基本函数法：把f变形为g与h的和、差、积、商的形式，通过g与h的奇偶性判定出f的奇偶性．解定义域要求≥0且x≠－1，∴－1<x≤1，∴f定义域不关于原点对称，∴f是非奇非偶函数．函数定义域为∪．∵f＝－x＝－x＝＝＝f．∴f是偶函数．函数定义域为R.∵f＝log2＝log21x＋x2＋1＝－log2＝－f，∴f是奇函数．函数的定义域为∪．当x<0时，－x>0，则f＝－2－x＝－＝－f；当x>0时，－x<0，则f＝2－x＝x2－x＝－＝－f．∴对任意x∈∪都有f＝－f．故f为奇函数．变式迁移1 解由于f＝2，f＝0，f≠f，f≠－f，从而函数f既不是奇函数也不是偶函数．f的定义域为{－1,1}，关于原点对称，又f＝f＝0，f ＝－f＝0，∴f既是奇函数又是偶函数．由4－x2≥0|x＋3|≠3得，f定义域为[－2,0)∪＝4－x2x，f＝－4－x2x∴f＝－f∴f为奇函数．例2 解题导引本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式．解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”．在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反．解∵y＝f为奇函数，且在上为增函数，∴y＝f在上单调递增，且由f＝0得f＝0.若f[x]<0＝f，则xx－12>0xx－12<1即0<x<1，解得12<x<1＋174或1－174<x<0.若f[x]<0＝f，则xx－12<0xx－12<－1 由x<－1，解得x∈∅.∴原不等式的解集是{x|12<x<1＋174或1－174<x<0}．变式迁移2解析易知f在R上为单调递增函数，且f为奇函数，故f＋f<0，等价于f<－f＝f，此时应用mx－2<－x，即mx＋x－2<0对所有m∈[－2,2]恒成立，令h＝mx＋x－2，此时，只需h－2<0h2<0即可，解得x∈．例3 解题导引解决此类抽象函数问题，根据函数的奇偶性、周期性、单调性等性质，画出函数的一部分简图，使抽象问题变得直观、形象，有利于问题的解决．－8解析因为定义在R上的奇函数，满足f＝－f，所以f ＝f．因此，函数图象关于直线x＝2对称且f＝0，由f＝－f知f＝f，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f在区间[0,2]上是增函数，所以f在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f＝m在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1<x2<x3<x4.由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.变式迁移3 B [∵f＝f，∴f＝f．∴x＝1为函数f的一条对称轴．又f＝f[2－]＝f＝f，∴2是函数f的一个周期．根据已知条件画出函数简图的一部分，如右图：由图象可以看出，在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数．]课后练习区．B [依题意得a－1＝－2ab＝0，∴a＝13b＝0，∴a＋b＝13.]2．D[由已知条件，可得函数f的图象大致为右图，故fxx<0的解集为∪．]3．D [由f＝－1fx，得f＝－1fx＋2＝f，那么f的周期是4，得f＝f．因为f是偶函数，则f＝f＝f．而1≤x≤2时，f＝x－2，∴f＝－0.5.由上知：f＝－0.5.]4．D [因为奇函数f在x＝0有定义，所以f＝20＋2×0＋b＝b＋1＝0，b＝－1.∴f＝2x＋2x－1，f＝3，从而f＝－f＝－3.]5．A [由y＝f是偶函数，得到y＝f的图象关于直线x ＝1对称，∴f＝f．又f在[1，＋∞)上为单调增函数，∴f>f，即f>f．]6．1解析∵f是奇函数，且x∈R，∴f＝0，即a＝0.又f ＝－f，∴b－1＝－＝0，即b＝1，因此a＋b＝1.7．－1<m<23解析∵f＝f，∴f＝f＝f．∵f为奇函数，且f>1，∴f＝－f<－1，∴2m－3m＋1<－1.解得：－1<m<23.8．2解析由g＝f，得g＝f，又g为R上的奇函数，∴g＝－g，∴f＝－f，即f＝－f，用x＋1替换x，得f＝－f．又f是R上的偶函数，∴f＝－f．∴f＝f，即f的周期为4.∴f＝f＝f＝2.9．解由题意，当3≤x≤6时，设f＝a2＋3，∵f＝2，∴2＝a2＋3.∴a＝－1.∴f＝－2＋3．…………………………………………………………∴f＝－2＋3＝－1.又∵f为奇函数，∴f＝0.∴一次函数图象过，两点．∴f＝－13x．…………………………………………………………………当－3≤x≤0时，－x∈[0,3]，∴f＝－13＝13x.又f＝－f，∴f＝－13x.∴f＝－13x．………………………………………………………………当－6≤x≤－3时，3≤－x≤6，∴f＝－2＋3＝－2＋3.又f＝－f，∴f＝2－3.∴f＝x＋52－3，－6≤x≤－3，－13x－3<x<3，…………………………………………………………12分－x－52＋3，3≤x≤6.0．解f＝2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f，即f＝f．∴f是偶函数．………………………………………………………当x≥0时，f＝x2－2x－1＝2－2，当x<0时，f＝x2＋2x－1＝2－2，即f＝x－12－2，x≥0，x ＋12－2，x<0.根据二次函数的作图方法，可得函数图象如下图．……………………………………由中函数图象可知，函数f的单调区间为[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]．f在区间[－3，－1]和[0,1]上为减函数，在[－1,0]，[1,3]上为增函数．……………当x≥0时，函数f＝2－2的最小值为－2，最大值为f ＝2；当x<0时，函数f＝2－2的最小值为－2，最大值为f＝2；故函数f的值域为[－2,2]．……………………………………………………………1．解当a＝0时，f＝x2对任意x∈∪，有f＝2＝x2＝f，∴f为偶函数．…………………………………………………………………………当a≠0时，f＝x2＋ax，若x＝±1时，则f＋f＝2≠0；∴f≠－f，又f≠f∴函数f既不是奇函数，也不是偶函数．……………………………………………综上所述，当a＝0时，f为偶函数；当a≠0时，f为非奇非偶函数．………………………………………………………设2≤x1<x2，f－f＝x21＋ax1－x22－ax2＝x1－x2x1x2[x1x2－a]，………………………………………………………………要使f在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须使f－f<0恒成立．∵x1－x2<0，x1x2>4，即a<x1x2恒成立．………………………………………又∵x1＋x2>4，∴x1x2>16，∴a的取值范围为。
高考数学总复习高考练习五函数的单调性奇偶性及周期性理
高考达标检测（五） 函数的单调性、奇偶性及周期性一、选择题1．(2017·沈阳教学质量监测)下列函数中，在其定义域内是增函数且是奇函数的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝2|x |C ．y ＝2x－2－xD ．y ＝2x＋2－x解析：选C A 中函数是非奇非偶函数，B 、D 中函数是偶函数，对于选项C ，由奇函数的定义可知该函数是奇函数，由复合函数的单调性可知其在定义域内是增函数，故选C.2．(2017·辽宁阶段测试)设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( ) A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数 D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数解析：选B 因为函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，则 (m －1)ln 3＝0，即m ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2)，因为x ∈(0,1)时，y ＝1－x 2是减函数，故f (x )在(0,1)上是减函数，故选B.3．(2016·北京高考)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0解析：选C A 项，考查的是反比例函数y ＝1x在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所以1x －1y<0，所以A 错误；B 项，考查的是三角函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上的单调性，y ＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，所以不一定有sin x >sin y ，所以B 错误；C 项，考查的是指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，所以C 正确；D 项，考查的是对数函数y ＝ln x 的性质，ln x ＋ln y ＝ln xy ，当x >y >0时，xy >0，不一定有ln xy >0，所以D 错误．4．(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R.当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2解析：选D 由题意可知，当－1≤x ≤1时，f (x )为奇函数，且当x >12时，f (x ＋1)＝f (x )，所以f (6)＝f (5×1＋1)＝f (1)．而f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f (6)＝2.故选D.5．(2017·湖南联考)已知函数f (x )是R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π7，c ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫tan 5π7，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c解析：选B ∵π2<5π7<3π4，∴tan 5π7<－1<cos 5π7<0，又sin 2π7>0，∴tan 5π7<cos5π7<sin 2π7.∵函数f (x )是R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，∴函数f (x )是R上的增函数，∴c <b <a ，故选B.6．(2017·邢台摸底考试)已知定义在(－1,1)上的奇函数f (x )，其导函数为f ′(x )＝1＋ cos x ，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．(1，2)C ．(－2，－2)D ．(1，2)∪(－2，－1)解析：选B 依题意得f ′(x )>0，则f (x )是定义在(－1,1)上的增函数．不等式f (1－a )＋f (1－a 2)<0等价于f (1－a 2)<－f (1－a )＝f (a －1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a 2<1，－1<a －1<1，1－a 2<a －1.解得1<a <2， 选B.7．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3在(－∞，m )上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．[－2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2]解析：选D ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，∴f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3＝(x －1)(x ＋3)－2×(－x )＝x 2＋4x －3＝(x ＋2)2－7，∴f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)， ∵函数f (x )在(－∞，m )上单调递减，∴(－∞，m )⊆(－∞，－2)，即m ≤－2.故选D.8．(2016·广州模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)＝( )A ．1 B.45C ．－1D ．－45解析：选C 因为x ∈R ，且f (－x )＝－f (x )，所以函数为奇函数，因为f (x )＝f (x ＋4)，所以函数的周期为4.所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 254＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 254＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝－⎝⎛⎭⎪⎫2log 245＋15＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋15＝－1，故选C.二、填空题9．(2016·天津高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)， ∴f (2|a －1|)＞f (2)，∴2|a －1|＜2＝212，∴|a －1|＜12，即－12＜a －1＜12，即12＜a ＜32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 10．(2016·四川高考)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.解析：∵f (x )为奇函数，周期为2，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0. ∵f (x )＝4x，x ∈(0,1)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2.答案：－211．(2017·江苏调研)已知函数f (x )是偶函数，且当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，则当x <0时，f (x )的解析式为________________．解析：设x <0，则－x >0，因为当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，所以f (－x )＝－x 3－x ＋1.又函数f (x )是偶函数，所以f (x )＝－x 3－x ＋1.答案：f (x )＝－x 3－x ＋112．(2017·台州模拟)已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g x ，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________．解析：设x >0，则－x <0. ∵x <0时，g (x )＝－ln(1－x )， ∴g (－x )＝－ln(1＋x )． 又∵g (x )是奇函数， ∴g (x )＝ln(1＋x )(x >0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，＋x ，x >0.其图象如图所示．由图象知，函数f (x )在R 上是增函数． ∵f (2－x 2)>f (x )， ∴2－x 2>x ，即－2<x <1.所以实数x 的取值范围是(－2,1)． 答案：(－2,1) 三、解答题13．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12－x ，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．14．(2017·湖南长郡中学测试)已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在[－1,1]上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数． 解：(1)当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)． ∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x 4－x ＋1＝－2x4x ＋1.由f (0)＝f (－0)＝－f (0)，且f (1)＝－f (－1)＝－f (－1＋2)＝－f (1)， 得f (0)＝f (1)＝f (－1)＝0.∴在区间[－1,1]上，有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈，，－2x 4x＋1，x ∈－1，，0，x ∈{－1，0，1}.(2)证明：当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1，设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 14x 1＋1－2x 24x 2＋1＝x 2－2x 1x 1＋x 2－x 1＋4x 2＋，∵0<x 1<x 2<1，∴2x 2－2x 1>0,2x 1＋x 2－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 故f (x )在(0,1)上是减函数．。
2019年高考数学真题考点5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性
考点5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性一、选择题1.(2019·全国卷Ⅱ理科·T12)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则m的取值范围是()A.-∞,B.-∞,C.-∞,D.-∞,【命题意图】考查函数的性质、不等式的解法以及数学运算,属于较难题.【解析】选B.如图,令f(x)=-,结合图象可得f(x-1)=-,则f(x-2)=-,当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1)=-,解得x=或,当f(x)=-时,x=或,即若f(x)≥-,对任意x∈(-∞,m]都成立,则m≤.2.(2019·全国卷Ⅱ文科·T6)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=e x-1,则当x<0时,f(x)= ()A.e-x-1B.e-x+1C.-e-x-1D.-e-x+1【命题意图】考查函数的奇偶性以及求函数的解析式.【解析】选D.当x<0时,则-x>0,则有f(-x)=e-x-1,又因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=-e-x+1.3.(2019·全国卷Ⅲ理科·T11同2019·全国卷Ⅲ文科·T12)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,则()A.f>f(-)>f(-)B.f>f(-)>f(-)C.f(-)>f(-)>fD.f(-)>f(-)>f【命题意图】本题考查函数的性质的应用,意在考查考生利用函数的奇偶性、单调性、指数与对数的性质的求解能力.【解析】选C.依据题意,函数f(x)为偶函数且函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,则函数f(x)在(-∞,0)上单调递增;因为f=f(-log34)=f(log34);又因为0<-<-<1<log34,所以f(-)>f(-)>f.二、填空题4.(2019·全国卷Ⅱ理科·T14)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-e ax.若f(ln 2)=8,则a=.【命题意图】考查函数的奇偶性以及数学运算能力.【解析】因为ln 2>0,所以-ln 2<0,由于f(x)是奇函数,所以f(-ln 2)=-f(ln 2)=-8,即-e(-ln 2)a=-8,解得a=-3.答案:-35.(2019·江苏高考·T14)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f(x)=-(-),g(x)=(),,-,,其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是.【命题意图】主要考查数形结合和直线与圆的位置关系,属综合题,对知识运用能力综合考查.【解析】当x∈(0,2]时,f(x)=-(-),即(x-1)2+y2=1,y≥0.又f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,其周期为4,如图,函数f(x)与g(x)的图象(部分),要使f(x)=g(x)在(0,9]上有8个不同实根,只需二者图象有8个交点即可.当g(x)=-时,函数f(x)与g(x)的图象有2个交点;当g(x)=k(x+2)时,g(x)的图象为恒过点(-2,0)的直线,只需函数f(x)与g(x)的图象有6个交点.当f(x)与g(x)图象相切时,圆心(1,0)到直线kx-y+2k=0的距离为1,即=1,得k=,函数f(x)与g(x)的图象有3个交点;当g(x)=k(x+2)过点(1,1)时,函数f(x)与g(x)的图象有6个交点,此时1=3k,得k=.综上可知,满足f(x)=g(x)在(0,9]上有8个实根的k的取值范围为,.【题后反思】本题考点为参数的取值范围,侧重函数方程的多个实根,难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误,根据函数的周期性平移图象,找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数,从而确定参数的取值范围.答案:,。
高三一轮复习精题组函数的奇偶性与周期性(有详细答案).docx
1≤x<3，f(x)＝x. f(1)＋f(2)＋f(3)＋⋯＋f(2 015)等于
()
A．335
B．336 C．1 678 D．2 012
1，当2≤x≤3，f(x)＝x，f(105.5)
(2)已知f(x)是定 在R上的偶函数， 并且f( x＋2)＝－f x
答案(1)A(2)D
解析(1)偶函数满足f(x)＝f(|x|)，根据这个结论，
1
1
有f(2x－1)< f3? f(|2x－1|)<f3
，
1
进而转化为不等式
|2x－1|<3，
1
2
解这个不等式即得
x的取值范围是
3，3.
(2)由函数f( x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数可以推知，f(x)在[－2,2]上递增，
k＝________.
1＋k·2
x2＋1，x≥0，
(2)已知函数f(x)＝
则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是________．
1，x<0，
易错分析
(1)解题中忽视函数
f(x)的定义域，直接通过计算
f(0)＝0
得k＝1.
(2)本题易出现以下错误
由f(1－x2)>f(2x)得1－x2>2x，忽视了1－x2>0导致解答失误．
－x
＝－
－x
∴f(x)为奇函数．
(2)f(x)的定义域为R，关于原点对称，
当x>0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；
当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；
高中数学 考点5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性(含2017高考试题)
考点5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性一、选择题1.（2017·全国乙卷理科·T5）函数f （x)在(-∞，+∞)单调递减,且为奇函数.若f （1）=-1,则满足-1≤f （x-2）≤1的x 的取值范围是 （ ）A 。
[—2，2］ B.[—1，1］ C.[0,4］ D 。
[1,3]【命题意图】考查函数的奇偶性和单调性问题。
【解题指南】奇函数左右两侧单调性相同,根据奇函数的性质求解f(-1)=1，利用单调性即可求解。
【解析】选D 。
由已知,得f （—1)=1,使-1≤f(x ）≤1成立的x 满足—1≤x ≤1,所以由—1≤x-2≤1得1≤x ≤3，即使—1≤f(x —2）≤1成立的x 满足1≤x ≤3,2.(2017·全国乙卷文科·T9）已知函数f （x)=lnx+ln （2-x ）,则 （ )A.f （x)在(0，2)单调递增B.f （x)在(0，2）单调递减C.y=f （x)的图象关于直线x=1对称D.y=f （x)的图象关于点(1,0）对称【命题意图】本题主要考查函数的单调性、对称性问题.【解题指南】如果函数f （x ），x ∈D ，满足∀x ∈D ，恒有f （a+x)=f(b-x ），那么函数的图象有对称轴x=2a b +；如果函数f(x),x ∈D ，满足∀x ∈D,恒有f(a-x ）=—f （b+x),那么函数f （x)的图象有对称中心,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭。
【解析】选C 。
由题意知,f(2-x)=ln （2—x ）+lnx=f （x)，所以 f （x ）的图象关于直线x=1对称，C 正确，D 错误；又f ’(x ）=1x —12x - = ()()212x x x -- （0<x<2)，在(0，1）上单调递增,在［1,2）上单调递减,A ，B 错误。
3。
（2017·北京高考文科·T5）同(2017·北京高考理科·T5)已知函数f(x)=3x —13⎛⎫ ⎪⎝⎭x ，则f （x ） （ ）A 。
高考达标检测(五) 函数的单调性、奇偶性及周期性学生版
高考达标检测（五） 函数的单调性、奇偶性及周期性学生版一、选择题1．(2017·北京高考)已知函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x，则f (x )( ) A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数 D ．是偶函数，且在R 上是减函数解析：选A 因为f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x ，且定义域为R ，所以f (－x )＝3－x －⎝⎛⎭⎫13－x ＝⎝⎛⎭⎫13x －3x ＝－[ 3x －⎦⎤⎝⎛⎭⎫13x ＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数． 又y ＝3x 在R 上是增函数，y ＝⎝⎛⎭⎫13x在R 上是减函数， 所以f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x 在R 上是增函数．2．(2018·辽宁阶段测试)设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln (1－x )是偶函数，则( ) A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数 D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数解析：选B 因为函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，则(m －1)ln3＝0，即m ＝1， 则f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2)，因为x ∈(0,1)时，y ＝1－x 2是减函数，故f (x )在(0,1)上是减函数，故选B. 3．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y >0 B ．sin x －sin y >0 C.⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y <0 D ．ln x ＋ln y >0解析：选C A 项，考查的是反比例函数y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所以1x －1y <0，所以A 错误；B 项，考查的是三角函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上的单调性，y＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，所以不一定有sin x >sin y ，所以B 错误；C 项，考查的是指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所以有⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫12y ，即⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y <0，所以C 正确；D 项，考查的是对数函数y ＝ln x 的性质，ln x ＋ln y ＝ln xy ，当x >y >0时，xy >0，不一定有ln xy >0，所以D 错误．4．(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．2解析：选D 由题意可知，当－1≤x ≤1时，f (x )为奇函数，且当x >12时，f (x ＋1)＝f (x )，所以f (6)＝f (5×1＋1)＝f (1)．而f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f (6)＝2.故选D.5．(2018·湖南联考)已知函数f (x )是R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若a ＝f ⎝⎛⎭⎫sin 2π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫cos 5π7，c ＝f ⎝⎛⎭⎫tan 5π7，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b <a <c B ．c <b <a C ．b <c <aD ．a <b <c解析：选B ∵π2<5π7<3π4，∴tan 5π7<－1<cos 5π7<0，又sin 2π7>0，∴tan 5π7<cos 5π7<sin 2π7.∵函数f (x )是R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增， ∴函数f (x )是R 上的增函数，∴c <b <a ，故选B.6．若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－113，－3 B ．[－6，－4] C ．[－3，－22] D ．[－4，－3]解析：选B 由函数f (x )为R 上的偶函数知，只需考虑f (x )在(0，＋∞)上的单调性，由题意可知f (x )在[3，＋∞)上为增函数，在[1,2]上为减函数，则只需函数y ＝x 2＋ax ＋2的对称轴x ＝－a2∈[2,3]即可，故a ∈[－6，－4]，选B.7．设函数f (x )＝ln (1＋|x |)－11＋x 2，则使f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，1B.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 解析：选A 由题意知，f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数， 当x ≥0时，易得函数f (x )＝l n (1＋x )－11＋x 2是增函数， 所以不等式f (x )>f (2x －1)等价于|2x －1|<|x |，解得13<x <1，则x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，1.8．(2018·广州模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (x ＋4)，且当 x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝( )A ．1 B.45C ．－1D ．－45解析：选C 因为x ∈R ，且f (－x )＝－f (x )，所以函数为奇函数， 因为f (x )＝f (x ＋4)，所以函数的周期为4. 所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝f ⎝⎛⎭⎫log 254 ＝－f ⎝⎛⎭⎫－log 254＝－f ⎝⎛⎭⎫log 245＝－⎝⎛⎭⎫2log 245＋15 ＝－⎝⎛⎭⎫45＋15＝－1，故选C. 二、填空题9．(2016·天津高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a－1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)， ∴f (2|a －1|)＞f (2)，∴2|a －1|＜2＝212，∴|a －1|＜12，即－12＜a －1＜12，即12＜a ＜32.答案：⎝⎛⎭⎫12，3210．(2016·四川高考)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝________.解析：∵f (x )为奇函数，周期为2， ∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0. ∵f (x )＝4x ，x ∈(0,1)，∴f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－52＋2＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－412＝－2. ∴f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝－2. 答案：－211．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，且对于任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，x 1≠x 2，均有f (x 2)－f (x 1)x 1－x 2>0.若f ⎝⎛⎭⎫－13＝12，2f ⎝⎛⎭⎫log 18x<1，则x 的取值范围为________． 解析：由f (－x )＝f (x )可知，函数f (x )是偶函数， 因为对于任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，x 1≠x 2，均有f (x 2)－f (x 1)x 1－x 2>0，即f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，所以函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数．又因为f ⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以2f ⎝⎛⎭⎫log 18x<1＝2f ⎝⎛⎭⎫－13， 所以|log 18x |>13，即log 18x >13或log 18x <－13，所以0<x <12或x >2，即x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)． 答案：⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) 12．(2017·江苏高考)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a－1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，得f (－x )＝－x 3＋2x ＋1e x －e x ＝－f (x )，所以f (x )是R 上的奇函数．又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时取等号， 所以f (x )在其定义域内单调递增． 因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0， 所以f (a －1)≤－f (2a 2)＝f (－2a 2)，所以a －1≤－2a 2，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 答案：⎣⎡⎦⎤－1，12 三、解答题13．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12(－x )，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数， 所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．14．(2018·湖南长郡中学测试)已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在[－1,1]上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数． 解：(1)当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)． ∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1.由f (0)＝f (－0)＝－f (0)，且f (1)＝－f (－1)＝－f (－1＋2)＝－f (1)， 得f (0)＝f (1)＝f (－1)＝0.∴在区间[－1,1]上，有f (x )＝⎩⎨⎧2x4x ＋1，x ∈(0，1)，－2x 4x＋1，x ∈(－1，0)，0，x ∈{－1，0，1}.(2)证明：当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1，设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 14 x 1＋1－2x 24x 2＋1＝(2x 2－2x 1)(2x 1＋x 2－1)(4 x 1＋1)(4 x 2＋1)， ∵0<x 1<x 2<1，∴2x 2－2x 1>0,2x 1＋x 2－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 故f (x )在(0,1)上是减函数．1．已知奇函数f (x )(x ∈D )，当x >0时，f (x )≤f (1)＝2.给出下列命题： ①D ＝[－1,1]；②对∀x ∈D ，|f (x )|≤2；③∃x 0∈D ，使得f (x 0)＝0；④∃x 1∈D ，使得f (x 1)＝1. 其中所有正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A 由奇函数f (x )(x ∈D )，当x >0时，f (x )≤f (1)＝2，只说明函数有最值，与定义域无关，故①错误；对于②，可能f (3)＝－3，|f (3)|＝3>2，故②错误；对于③，当0不在D 中，且x 轴为渐近线时，则不满足③； 当y ＝1为渐近线时，不满足④，因此选A.2．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)，若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－13，13B.⎣⎡⎦⎤－33，33 C.⎣⎡⎦⎤－16，16 D.⎣⎡⎦⎤－66，66 解析：选D 当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x <a 2，－a 2，a 2≤x <2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2，作出函数图象，再根据函数为奇函数画出x <0时的图象如图所示，由题意，要满足∀x∈R ，f (x －1)≤f (x )恒成立，所以应满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得a ∈⎣⎡⎦⎤－66，66.。
2021届高三数学(理)考点05 函数的性质(单调性、奇偶性、周期性)解析版 Word版含解析
【考点剖析】一．最新考试说明：1．理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性．2．理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性．3．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值．二．命题方向预测：1．利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高考考查的热点．2．函数的奇偶性是高考考查的热点．3．函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点．3．题型以选择题和填空题为主，函数性质与其它知识点交汇命题．三．课本结论总结：1．奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反． 注意：确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称．确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法、性质法等．2．若奇函数定义域中有0，则必有(0)0f =．即0()f x ∈的定义域时，(0)0f =是()f x 为奇函数的必要非充分条件． 对于偶函数而言有：()()(||)f x f x f x -==．3．确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等．4．若函数()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 可以表示为()()()()()1122f x f x f x f x f x =+-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和．5．既奇又偶函数有无穷多个（()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集）．6．复合函数的单调性特点是：“同增异减”；复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．复合函数要考虑定义域的变化（即复合有意义）．7．函数()x f y =与函数()x f y -=的图像关于直线0=x （y 轴）对称．推广一：如果函数()x f y =对于一切x ∈R ，都有()()f a x f b x +=-成立，那么()x f y =的图像关于直线2a b x +=（由“x 和的一半()()2a x b x x ++-=确定”）对称．推广二：函数()x a f y +=，()y f b x =-的图像关于直线2b ax -=（由a x b x +=-确定）对称． 8．函数()x f y =与函数()x f y -=的图像关于直线0=y （x 轴）对称．推广：函数()x f y =与函数()y A f x =-的图像关于直线2A y =对称（由“y 和的一半[()][()]2f x A f x y +-=确定”）．9．函数()x f y =与函数()y f x =--的图像关于坐标原点中心对称．推广：函数()x f y =与函数()y m f n x =--的图像关于点(,)22n m 中心对称．10．函数xy a =与函数()log 0,1a y x a a =>≠的图像关于直线y x =对称．推广：曲线(,)0f x y =关于直线y x b =+的对称曲线是(,)0f y b x b -+=；曲线(,)0f x y =关于直线y x b =-+的对称曲线是(,)0f y b x b -+-+=．11．曲线(,)0f x y =绕原点逆时针旋转90，所得曲线是(,)0f y x -=（逆时针横变再交换）．特别：()y f x =绕原点逆时针旋转90，得()x f y -=，若()y f x =有反函数1()y fx -=，则得1()y f x -=-．曲线(,)0f x y =绕原点顺时针旋转90，所得曲线是(,)0f y x -=（顺时针纵变再交换）．特别：()y f x =绕原点顺时针旋转90，得()x f y =-，若()y f x =有反函数1()y fx -=，则得1()y f x -=-．12．类比“三角函数图像”得：若()y f x =图像有两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则()y f x =必是周期函数，且一周期为2||T a b =-．若()y f x =图像有两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ≠，则()y f x =是周期函数，且一周期为2||T a b =-．如果函数()y f x =的图像有下一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠，则函数()y f x =必是周期函数，且一周期为4||T a b =-．如果()y f x =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么()()()f x nT f x n ±=∈Z ．特别：若()()(0)f x a f x a +=-≠恒成立，则2T a =．若1()(0)()f x a a f x +=≠恒成立，则2T a =．若1()(0)()f x a a f x +=-≠恒成立，则2T a =． 如果()y f x =是周期函数，那么()y f x =的定义域“无界”．四、名师二级结论：一个防范函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数1y=x分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接．一条规律函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．注意：分段函数判断奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．两个应用1．已知函数的奇偶性求函数的解析式．抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式．2．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．三种方法判断函数单调性的三种方法方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)导数法．判断函数的奇偶性的三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．在判断函数是否具有奇偶性时，为了便于判断，有时需要将函数进行化简，或应用定义的变通形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )±f (x )＝0⇔()()f x f x -＝±1，f(x)≠0． 四条性质1．若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0．2．设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．3．奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性． 4．若f (x )是偶函数，则有f (-x )＝f (x )＝f (|x |)．五、课本经典习题：(1)新课标人教A 版必修一第36页练习第1（3）题判断下列函数的奇偶性：21x f x x ．【经典理由】典型的巩固定义题，可以进行多角度变式．变式题：关于函数21lg 0x f x x x ，有下列命题：①其图象关于y 轴对称；②当0x 时，f x 是增函数；当0x时，f x 是减函数；③f x 的最小值是lg2；④f x 在区间),2(),0,1(+∞-上是增函数；⑤f x 无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是．解： 21lg0x f x x x为偶函数，故①正确；令21x u xx，则当0x 时，1u x xx在)1,0(上递减，在),1[+∞上递增，∴②⑤错误，③④正确，故选①③④．(2)新课标人教A 版必修一第44页复习参考题A 组第八题设221()1x f x x +=-，求证：（1）()()f x f x -=；（2）1()()f f x x=-．【经典理由】典型的巩固定义题，可以进行改编、变式或拓展．改编：设定在R 上的函数()f x 满足：1(tan )cos2f x x=，则 111(2)(3)(2012)()()()232012f f f f f f +++++++=． 解：由2222221cos sin 1tan (tan )cos 2cos sin 1tan x x x f x x x x x ++===--．得221()1x f x x +=- ．由所求式子特征考查： 22221111()()0111x x f x f x x x +++=+=--．111(2)(3)(2012)()()()0232012f f f f f f ∴+++++++=． (3)新课标人教A 版必修一第83页复习参考题B 组第3题对于函数()()221xf x a a R =-∈+． （1）探索函数()f x 的单调性；（2）是否存在实数a 使()f x 为奇函数？【经典理由】典型的函数性质应用题，可以进行改编、变式或拓展．改编 对于函数221xf x a x R ．（1）用定义证明：()f x 在R 上是单调减函数；（2）若()f x 是奇函数，求a 值；（3）在（2）的条件下，解不等式f （2t+1）+f （t-5）≤0．证明：（1）设1x ＜2x ，则f （1x ）-f （2x ）=1221x +-2221x +=211222(21)(21)x x x x -++． ∵22x-12x＞0，121x +＞0，221x+＞0．即f （1x ）-f （2x ）＞0．∴f （x ）在R 上是单调减函数 （2）∵()f x 是奇函数，∴f （0）=0⇒a=-1．（3）由（1）（2）可得()f x 在R 上是单调减函数且是奇函数，∴f （2t+1）+f （t-5）≤0．转化为f （2t+1）≤-f （t-5）=f （-t+5），⇒2t+1≥-t+5⇒t ≥43，故所求不等式f （2t+1）+f （t-5）≤0的解集为：{t|t ≥43}． (4)新课标人教A 版必修一第83页复习参考题B 组第4题设(),()22x x x xe e e ef xg x ---+==，求证： （1）[][]22()()1g x f x -=；（2）(2)2()()f x f x g x =•；（3）[][]22(2)()()g x g x f x =+． 【经典理由】典型的证明函数性质题，可以进行改编、变式或拓展．改编1：设(),()22x x x x e e e e f x g x ---+==，给出如下结论：①对任意x R ∈，有[][]22()()1g x f x -=；②存在实数0x ，使得000(2)2()()f x f x g x >；③不存在实数0x ，使得[][]2200(2)()()g x g x f x <+；④对任意x R ∈，有()()()()0f x g x f x g x --+=；其中所有正确结论的序号是解：对于①：[][]2222()()()()22x x x x e e e e g x f x --+--=-222222144x x x xe e e e --++-+=-= 对于②：222()()2(2)222x x x x x xe e e e e ef xg x f x ----+-=⋅⋅==，即0x R ∀∈恒有000(2)2()()f x f x g x =；对于③：[][]222222()()()()(2)222x x x x x xe e e e e e g xf xg x ---+-+-=+==，故不存在x ，使 [][]22000(2)()()g x g x f x <+对于④：()()()()2222x x x x x x x xe e e e e e e ef xg x f x g x -----+-+--+=⋅+⋅ 2222044x x x xe e e e ----=+=，故正确的有①③④改编2：已知函数()xe x F =满足()()()x h x g x F +=，且()x g ，()x h 分别是R 上的偶函数和奇函数，若[]2,1∈∀x 使得不等式()()02≥-x ah x g 恒成立，则实数a 的取值范围是．解：()()()xe x h x g x F =+=，得()()()xex h x g x F -=-+-=-，即()()()xe x h x g x F -=-=-，解得()2x x e e x g -+=，()2xx e e x h --=，()()02≥-x ah x g 即得02222≥--+--x x x x e e a e e ，参数分离得()x x xx x x x x x x x x e e e e e e e e e e e e a -------+-=-+-=-+≤22222，因为222≥-+---xx x x ee e e （当且仅当x x xx e e e e ---=-2，即2=--x x e e 时取等号，x 的解满足[]2,1），所以22≤a ．六．考点交汇展示：(1)函数的奇偶性与函数的零点交汇例1．【2021高考安徽，理2】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）（A ）y cos x =（B ）y sin x =（C ）y ln x =（D ）21y x =+【答案】A(2) 函数的周期性与函数的零点交汇例2．【2021高考江苏卷第13题】已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21()22f x x x =-+，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是．【答案】1(0,)2【考点】函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题．(3) 函数的奇偶性、单调性、周期性等的交汇问题例3．【2021高考江苏第19题】已知函数()xxf x e e -=+，其中e 是自然对数的底数．（1）证明：()f x 是R 上的偶函数；（2）若关于x 的不等式()1xmf x em -≤+-在(0,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 满足：存在0(1,)x ∈+∞，使得3000()(3)f x a x x <-+成立，试比较1a e -与1e a -的大小，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）13m ≤-；（3）当11()2e a e e+<<时，11a e e a --<，当a e =时，11a e e a --=，当a e >时，11a e e a -->．【解析】试题分析：（1）判断函数的奇偶性，一般根据奇偶性的定义判断，本题中首先有函数的定义域为R ，关于原点是对称的，其次计算()f x -，得到()()f x f x -=，故它是偶函数；（2）不等式恒成立问题，由于本题中()2x xf x e e-=+≥，即()10f x ->，因此采用分离参数法求参数取值范围，原不等式可化为（2）由()1xmf x em -≤+-得(()1)1x m f x e --≤-，由于当0x >时，1x e >，因此()2x x f x e e -=+>，即()110f x ->>，所以11()11x x x x e e m f x e e -----≤=-+-211x x x e e e -=+-，令211xx xe y e e-=+-，设1x t e =-，则0t <，21(1)11t t t y t t -+==+-，∵0t <，∴12t t +≤-（1t =-时等号成立），即1213y ≤--=-，103y -≤<，所以13m ≤-． （3）由题意，不等式3()(3)f x a x x <-+在[1,)+∞上有解，由3()(3)f x a x x <-+得330x x ax ax e e --++<，记3()3x x h x ax ax e e -=-++，2'()3(1)x x h x a x e e -=-+-，显然'(1)0h =，当1x >时，'()0h x >（因为0a >），故函数()h x 在[1,)+∞上增函数，()(1)h x h =最小，于是()0h x <在[1,)+∞上有解，等价于1(1)30h a a e e =-++<，即11()12a e e >+>．考察函数()(1)ln (1),(1)g x e x x x =---≥，1'()1e g x x-=-，当1x e =-时，'()0g x =，当11x e <<-时，'()0g x >，当1x e >-时'()0g x <，即()g x 在[1,1]e -上是增函数，在(1,)e -+∞上是减函数，又(1)0g =，()0g e =，11()12e e +>，所以当11()2e x e e+<<时，()0g x >，即(1)ln 1e x x ->-，11e x x e -->，当x e >时，()0g x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，因此当11()2e a e e+<<时，11a e e a --<，当a e =时，11a e e a --=，当a e >时，11a e e a -->．【考点】（1）偶函数的判断；（2）不等式恒成立问题与函数的交汇；（3）导数与函数的单调性，比较大小．【考点分类】热点一 函数的单调性1．【2021高考湖南，理5】设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是（ ）A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数【答案】A.考点：函数的单调性．2．【2021辽宁高考理第3题】已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【解析】试题分析：132122110221,log 0,log log 31,33a b c -<=<==<==>所以c a b >>，故选C ． 考点：指数函数、对数函数以及幂函数的单调性的应用．3．【2021陕西高考理第7题】下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x= （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3x f x =【答案】D考点：函数求值；函数的单调性． 4．【2021天津高考理第4题】函数212log 4f xx 的单调递增区间是（ ）（A ）0,（B ）,0（C ）2,（D ）,2【答案】D ．【解析】函数()()212log 4f x x =-的定义域为()(),22,-∞-+∞，由于外层函数为减函数，由复合函数的单调性可知，只要求()24u x x =-的单调递减区间，结合函数()()212log 4f x x =-的定义域，得()()212log 4f x x =-单调递增区间为(),2-∞-，故选D ．考点：复合函数的单调性（单调区间）．【方法规律】1．对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解．(2)可导函数则可以利用导数解之．但是，对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行．2．求函数的单调区间与确定单调性的方法一致．(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．3．函数单调性的应用：f (x )在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性，则f (x 1)<f (x 2)⇔f (x 1)－f (x 2)<0，若函数是增函数，则f (x 1)< f (x 2)⇔x 1<x 2，函数不等式(或方程)的求解，总是想方设法去掉抽象函数的符号，化为一般不等式(或方程)求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行．【易错点睛】误区1． 用定义证明函数的单调性时，错用“自己证明自己”而致错（循环论证）． 【例1】（2021广州综合测试）证明：函数f(x)x [0，＋∞)上是增函数．【错证】设0≤x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)12x x 12x x <，所以f(x 1)－f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2)，故函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数．【剖析】该证法犯了逻辑上的循环论证的错误，本来要证明f(x)在[0，＋∞)上是增函数，可在由x 1＜x 212x x <时，就用到了f(x)在[0，＋∞)上是增函数的结论，犯下了“自己证明自己”的错误．误区2．求复合函数的单调区间时，忽视函数的定义域而致错【例2】（2021浙江宁波十校联考）求y 2412x x --【错解】令t ＝x 2－4x －12，则t ＝x 2－4x －12在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，又y t 是增函数，所以y 2412x x --(－∞，2]与[2，＋∞)，其中在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增．【剖析】上述解答错误的原因是忽视了函数的定义域{x|x≤－2或x≥6}．【正解】由x 2－4x －12≥0，得x≤－2或x≥6，令t ＝x 2－4x －12，则t ＝(x －2)2－16在(－∞，2]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数．又y t 是增函数，所以y 2412x x --(－∞，－2]与[6，＋∞)，其中在(－∞，－2]上递减，在[6，＋∞)上递增．【点拨】求解复合函数单调性问题，必须考虑函数的定义域，建立“定义域优先”意识． 误区3． 忽视隐含条件致误【例3】已知f(x)＝(31)(4),1,1a a x a x log x x -+<⎧⎨≥⎩是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )()1101? 0? 13311()[)[)77A B C D ．，．，．，．， 【错解】误选B 项的原因只是考虑到了使得各段函数在相应定义域内为减函数的条件，要知道函数在R 上为减函数，还需使得f(x)＝(3a －1)x ＋4a 在x ＜1上的最小值不小于f(x)＝log a x 在x≥1上的最大值，多数考生易漏掉这一限制条件而造成失误．【正解】据题意使原函数在定义域R 上为减函数，只需满足：31001(31)(14)1a a a a a log -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩11a<73⇒≤．故选C ．【点评】一般地，若函数f(x)在区间[a ，b)上为增函数，在区间[b ，c]上为增函数，则不一定说明函数f(x)在[a ，c]为增函数，如图（1），由图像可知函数f(x)在[a ，c]上整体不呈上升趋势，故此时不能说f(x)在[a ，c]上为增函数，若图象满足如图（2），即可说明函数在[a ，c]上为增函数，即只需f(x)在[a ，b)上的最大值不大于f(x)在[b ，c]上的最小值即可，同理减函数的情况依据上述思路也可推得相应结论．需注意以下两点：(1)函数的单调区间是其定义域的子集，如果一个函数在其定义域的几个区间上都是增函数(或减函数)，不能认为这个函数在其定义域上就是增函数(或减函数)，例如函数1f(x)=x在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数，但不能说1f(x)=x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数，因为当x 1＝－1，x 2＝1时，有f(x 1)＝－1＜f(x 2)＝1不满足减函数的定义．(2)当一个函数的增区间(或减区间)有多个时，一般不能直接用“∪”将它们连接起来，例如：函数 y ＝x 3－3x 的单调增区间有两个：(－∞，－1)和(1，＋∞)不能写成(－∞，－1)∪(1，＋∞)．热点二 函数的奇偶性1．【2021高考广东，理3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】．A 21x y +=x x y 212+=x x y 1+=xe x y +=图（2）图（1）考点:函数的奇偶性．2．【2021高考湖南卷第3题】已知)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ，则=+)1()1(g f ( )A ． 3-B ． 1-C ． 1D ． 3【答案】C【解析】分别令1x =和1x =-可得()()113f g -=和()()111f g ---=，因为函数)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以()()()()11,11f f g g -=-=-，即()()111f g ---=()()111f g ⇒+=，则()()()()()()1131211111f g f f g g -==⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+==-⎪⎪⎩⎩()()111f g ⇒+=，故选C ． 考点:奇偶性．3．【2021全国1高考理第3题】设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．)()(x g x f 是偶函数B ．)(|)(|x g x f 是奇函数C ．|)(|)(x g x f 是奇函数D ．|)()(|x g x f 是奇函数【答案】C考点:函数的奇偶性．4．【2021高考新课标1，理13】若函数f(x)=2ln()x x a x ++为偶函数，则a= 【答案】1【解析】由题知2ln()y x a x =++是奇函数，所以22ln()ln()x a x x a x +++-++ =22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1. 考点:函数的奇偶性【方法规律】1．判断函数奇偶性的方法 (1)定义法一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断．利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)图象法奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象关于y 轴成轴对称．因此要证函数的图象关于原点对称，只需证明此函数是奇函数即可；要证函数的图象关于y 轴对称，只需证明此函数是偶函数即可．反之，也可利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性． (3)组合函数奇偶性的判定方法①两个奇(偶)函数的和、差还是奇(偶)函数，一奇一偶之和为非奇非偶函数．②奇偶性相同的两函数之积(商)为偶函数，奇偶性不同的两函数之积(商)(分母不为0)为奇函数． ③复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”． (4)分段函数的奇偶性判定分段函数应分段讨论，注意奇偶函数的整体性质，要避免分段下结论． 2．函数奇偶性的应用技巧(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于f (x )的方程，从而可得f (x )的解析式．(2)已知带有字母参数的函数表达式及奇偶性求参数常常采用待定系数法，利用f (x )±f (－x )＝0得到关于x 的恒等式，由对应项系数相等可得字母的值． (3)奇偶性与单调性的综合问题要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．【易错点睛】函数的奇偶性是函数在整个定义域内的性质，其定义中要求f (x )和f (－x )必须同时存在，所以函数定义域必须关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提．如果某一个函数的定义域不关于原点对称，它一定是非奇非偶函数．误区．不明分段函数奇偶性概念致错【例1】（2021北京东城期末）判断2223,0f(x)=3,023,0x x x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪-+->⎩的奇偶性．【错解】当x ＞0时，－x ＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝－(－x 2＋2x －3)＝－f(x)．当x ＜0时，－x ＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－(x 2＋2x ＋3)＝－f(x)．所以f(x)是奇函数． 【剖析】漏x ＝0情况．【正解】尽管对于定义域内的每一个不为零的x ，都有f(－x)＝－f(x)成立，但当x ＝0时，f(0)＝3≠－f(0)，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．热点三 函数的周期性1．【2021四川高考理第12题】设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f =． 【答案】1【解析】试题分析：311()()421224f f =-=-⨯+=． 考点:周期函数及分段函数．2．设()f x 是以2为周期的函数，且当[)1,3x ∈时，()2f x x =-,则()1=f -．【答案】-1考点:周期函数及分段函数．【方法规律】1．(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f xTf x ，那么函数f (x )叫做周期函数，非零常数T 叫f (x )的周期．如果所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫f (x )的最小正周期．(2)周期函数不一定有最小正周期，若T ≠0是f (x )的周期，则kT (k ∈Z )(k ≠0)也一定是f (x )的周期，周期函数的定义域无上、下界． 2．函数周期性的相关结论．设a 是非零常数，若对f (x )定义域内的任意x ，恒有下列条件之一成立：①f (x ＋a )＝－f (x )；②1f(x+a)=()f x ；③1f(x+a)=-()f x ；④f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )是周期函数，2|a |是它的一个周期．(以上各式中分母均不为零)． 【解题技巧】 求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝A sin(ωx ＋φ)，用公式2T=||πω计算．递推法：若f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝－f (x ＋a )＝f (x )，所以周期T ＝2a ．换元法：若f (x ＋a )＝f (x －a )，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f (t )＝f (t ＋2a )，所以周期T ＝2a ．热点四 函数性质的综合应用1．【2021高考天津，理7】已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m ===，则,,a b c 的大小关系为( )（A ）a b c <<（B ）a c b <<（C ）c a b <<（D ）c b a <<【答案】C考点:1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.2.【2021高考福建卷第7题】已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则下列结论正确的是（ ）A.()x f 是偶函数 B ． ()x f 是增函数 C ．()x f 是周期函数 D ．()x f 的值域为[)+∞-,1【答案】D【解析】试题分析：由于分段函数的左右两边的函数图象不关于y 轴对称，所以A 不正确．由于图象左边不单调，所以B 不正确．由于图象x>0部分的图象不是没有周期性，所以C 不正确．故选D ．考点：1．分段函数．2．函数的性质．3．【2021全国2高考理第15题】已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =．若()10f x ->，则x的取值范围是__________．【答案】(1,3)-【解析】因为()f x 是偶函数，所以不等式(1)0(|1|)(2)f x f x f ->⇔->，又因为()f x 在[0,)+∞上单调递减，所以|1|2x -<，解得13x -<<．考点:1.抽象函数的奇偶性与单调性；2.绝对值不等式的解法．4. 【2021高考上海理科第18题】⎪⎩⎪⎨⎧>++≤-=,0,1,0,)()(2x a x x x a x x f 若)0(f 是)(x f 的最小值，则a 的取值范围为（ ）.A.[-1,2]B.[-1，0]C.[1，2]D.[0,2]【答案】D考点:1.函数的单调性；2.函数的最值．【方法规律】1．解这类综合题的一般方法在解决函数性质有关的问题中，如果结合函数的性质画出函数的简图，根据简图进一步研究函数的性质，就可以把抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简单明了，对问题的解决有很大的帮助．（1）一般的解题步骤：利用函数的周期性把大数变小或小数变大，然后利用函数的奇偶性调整正负号，最后利用函数的单调性判断大小；（2）画函数草图的步骤：由已知条件确定特殊点的位置，然后利用单调性确定一段区间的图象，再利用奇偶性确定对称区间的图象，最后利用周期性确定整个定义域内的图象． 2． 函数的奇偶性、周期性、对称性之间内在联系若函数有两条对称轴(或两个对称中心，或一对称轴一对称中心)，则该函数必是周期函数．特别地，有以下结论(其中a ≠0)：若f (x )有对称轴x ＝a ，且是偶函数，则f (x )的周期为2a ； 若f (x )有对称轴x ＝a ，且是奇函数，则f (x )的周期为4a ； 若f (x )有对称中心(a ，0)，且是偶函数，则f (x )的周期为4a ； 若f (x )有对称中心(a ，0)，且是奇函数，则f (x )的周期为2a ．【易错点睛】误区1．函数的性质挖掘不全致误【例1】奇函数f(x)定义在R 上，且对常数T ＞0，恒有f(x ＋T)＝f(x)，则在区间[0，2T]上，方程f(x)＝0根的个数至少有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【错解】由f(x)是R 上的奇函数，得f(0)＝0⇒x 1＝0．再由f(x ＋T)＝f(x)得f(2T)＝f(T)＝f(0)＝0⇒x 2＝T ，x 3＝2T ．即在区间[0，2T]上，方程f(x)＝0根的个数最小值为3个．【剖析】本题的抽象函数是奇函数与周期函数的交汇．即()()f x f x -=-……①()()f x f x T =+……②解时要把抽象性质用足，不仅要充分利用各个函数方程，还要注意方程①和②互动．【正解】由方程①得f(0)＝0⇒x 1＝0．再由方程②得f(2T)＝f(T)＝f(0)＝0⇒x 2＝T ，x 3＝2T ．又∵f(x-)=f(x+)22T T ，令x ＝0得f(-)=f()22T T ．又4f(-)=-f(),f()=0,x .2222T T T T=再由②得f(+T)=02T ⇒53x 2T =，故方程f(x)＝0至少有5个实数根．故选C ． 误区2．忽视隐含条件的挖掘致误【例2】（2021江苏模拟）设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，1,10()=2,011ax x f x bx x x +-≤<⎧⎪+⎨≤≤⎪+⎩其中a ，b ∈R ．若13f()=f()22，则a ＋3b 的值为________． 【错解】因为f (x )的周期为2，所以331f()=f(-2)=f(-)222，即11f()=f(-)22．又因为 211142f(-)=-a+1,f()=1222312bb ++=+，所以14a+1=,3a+2b=-223b +-∴． 【剖析】(1)转化能力差，不能把所给区间和周期联系起来；(2)挖掘不出f(－1)＝f(1)，从而无法求出a 、b 的值．【正解】因为f(x)的周期为2，所以331f()=f(-2)=f(-)222，即11f()=f(-)22．又因为 211142f(-)=-a+1,f()=1222312bb ++=+，所以14a+1=,23b +-．整理，得2a=-(b+1)3．① 又因为f(－1)＝f(1)，所以2-a+1=2b +，即b ＝－2a ．② 将②代入①，得a ＝2，b ＝－4．所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10．【热点预测】1．【广州市珠海区2021届高三8月摸底考试5】下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是( )A ．3()f x x =B ．()sin f x x =C ．()1f x x=D ．()||f x x x =- 【答案】D2．【北京市重点中学2021届高三8月开学测试3】已知函数()()()210cos 0x x f x x x ⎧+>⎪=⎨≤⎪⎩ ，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 在(),-∞+∞上是增函数C ．()f x 是周期函数D ．()f x 的值域为[1,)-+∞【答案】D ．【解析】试题分析：A ：当0x >时，0x -<，∴2()1f x x =+，()cos()cos f x x x -=-=，∴()()f x f x ≠-，∴A 错误；B ：当0x ≤时，()cos f x x =在(,0)-∞上不是一直单调递增的，∴B 错误；C ：当0x >时，2()1f x x =+不是周期函数，∴C 错误；D ：当0x >时，2()1(1,)f x x =+∈+∞，当0x ≤时，()cos [1,1]f x x =∈-，∴函数的值域为[1,)-+∞，∴D 正确．3．【河南省安阳一中2021届高三第一次月考2】函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)【答案】Ｄ【解析】试题分析：首先由2,,2042>-<⇔>-x or x x 得函数的定义域为(－∞，－2) (2，＋∞)；再令42-=x u ，则u y 21log =在（０，＋∞）是减函数，又因为42-=x u 在(－∞，－2)上是减函数；由复合函数的单调性可知：函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间为(－∞，－2)；故选Ｄ．4．已知)2()(),1()1(+-=-=+x f x f x f x f ，方程0)(=x f 在［0，1］内有且只有一个根21=x ，则0)(=x f 在区间[]2013,0内根的个数为（ ）A ．2011B ．1006C ．2021D ．1007【答案】C5．【2021年浙江省嘉兴市2021届高三3月教学测试（一）】若()()()4f x x a x a x =+-+-的图像是中心对称图形，则a =( )A ．4B ．43-C ．2D ．23- 【答案】B【解析】试题分析：)2424)(243()24(-++-+++=++a x a x a x a x f ，因为2424)(-++-+=a x a x x g 为偶函数，所以当且仅当0243=+a ，即34-=a 时，)24(++a x f 为奇函数，图像关于原点对称．故选B ．6．【2021年浙江省嘉兴市2021届高三3月教学测试（一）】若函数()()f x x R ∈是奇函数，函数()()g x x R ∈是偶函数，则一定成立的是( )A ．函数()f g x ⎡⎤⎣⎦是奇函数B ．函数()g f x ⎡⎤⎣⎦是奇函数C ．函数()f f x ⎡⎤⎣⎦是奇函数D ．函数()g g x ⎡⎤⎣⎦是奇函数 【答案】C【解析】试题分析：由题得，函数()(),f x g x 满足()()()(),f x f x g x g x -=--=，则有()()f g x f g x -=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()g f x g f x g f x -=-=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，()()()f f x f f x f f x -=-=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，()()g g x g g x -=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以根据奇偶函数的判断可得只有选项C 是正确的，故选C7．【北京市顺义区2021届高三第一次统考（理）】已知0a >且1a ≠，函数(1)34,(0)(),(0)xa x a x f x a x -+-≤⎧=⎨>⎩满足对任意实数12x x ≠，都有2121()()0f x f x x x ->-成立，则a 的取值范围是 （ ）（A ）()0,1 （B ）()1,+∞ （ C ）51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦（ D ）5,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】试题分析：由已知，得函数()y f x =在R 上单调递增，故满足101341a a a ->⎧⎪>⎨⎪-≤⎩，解得a 的取值范围是51,3⎛⎤⎥⎝⎦．8. 【广东省揭阳市2021届高三3月高考第一次模拟考试】下列函数是偶函数，且在[]0,1上单调递增的是（）A ．sin 2y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．212cos 2y x =- C ．2y x =- D ．()sin y x π=+【答案】D在区间[]0,1上单调递增，合乎题意，故选D ．9. 已知)(x f 是定义域为实数集R 的偶函数，01≥∀x ，02≥∀x ，若21x x ≠，则0)()(1212<--x x x f x f ．如果43)31(=f ，3)log (481>x f ，那么x 的取值范围为（） （A ）)21,0(（B ）)2,21( （C ）1(,1](2,)2⋃+∞（D ）11(0,)(,2)82⋃ 【答案】B10．【上海市松江区2021届高三上学期期末考试数学（理）试题】已知实数0,0a b >>，对于定义在R 上的函数)(x f ，有下述命题：①“)(x f 是奇函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于点(,0)A a 对称”； ②“)(x f 是偶函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于直线x a =对称”； ③“2a 是()f x 的一个周期”的充要条件是“对任意的R x ∈，都有()()f x a f x -=-”； ④“函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于y 轴对称”的充要条件是“a b =” 其中正确命题的序号是 A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④【答案】A【解析】试题分析：本题考查函数的奇偶性、周期性与函数图象的对称性，函数()f x 是奇函数的充要条件是函数()f x 的图象关于原点对称，而()f x 的图象关于原点对称与函数()f x a -的图象关于点(,0)A a 对称是等价的，故①正确，同理②也是正确的，那么本题只能选A 了，对于③，我们知道函数()f x 满足“对任意的R x ∈，都有()()f x a f x -=-”时，()f x 是周期为2a 的周期函数，但反过来一一定成立，如()f x 满足“对任意的R x ∈，都有1()()f x f x a =-”时，()f x 也是周期为2a 的周期函数，③错误，而函数()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象是关于直线x a =对称，而还是y 轴，故④错误．11．【湖北省部分重点中学2021-2021学年度上学期高三起点考试12】已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =，若()10f x ->，则x 的取值集合是__________．【答案】(- 1 ， 3 )．12．【2021南通高三期末测试】设函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的周期函数，且当[)11x ∈-，时，2()1f x x =-；已知函数lg ||0()10x x g x x ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩，，，． 则函数()f x 和()g x 的图象在区间[]510-，内公共点的个数为．【答案】15【解析】试题分析：根据题意可分别在同一坐标平面内作出函数()y f x =和函数()y g x =的图象，如下图所示，可见它们在区间[]510-，内公共点的个数为15个．13．设函数⎩⎨⎧≤<-≤≤--=201021)(x x x x f ，若函数]2,2[,)()(-∈-=x ax x f x g 为偶函数，则实数a 的值为． 【答案】1214．函数()x f 的定义域为A ，若A x x ∈21,且()()21x f x f =时总有21x x =，则称()x f 为单函数．例如，函数()()R ∈+=x x x f 1是单函数．下列命题:①函数()()R ∈-=x x x x f 22是单函数； ②函数()⎩⎨⎧<-≥=2,2,2,log 2x x x x x f 是单函数； ③若()x f 为单函数，A x x ∈21,且21x x ≠，则()()21x f x f ≠；④函数()x f 在定义域内某个区间D 上具有单调性，则()x f 一定是单函数．其中的真命题是(写出所有真命题的编号)．。
2018年高考数学总复习(五) 函数的单调性、奇偶性及周期性 含答案
高考达标检测（五） 函数的单调性、奇偶性及周期性一、选择题1．(2017·沈阳教学质量监测)下列函数中，在其定义域内是增函数且是奇函数的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝2|x |C ．y ＝2x－2－xD ．y ＝2x＋2－x解析：选C A 中函数是非奇非偶函数，B 、D 中函数是偶函数，对于选项C ，由奇函数的定义可知该函数是奇函数，由复合函数的单调性可知其在定义域内是增函数，故选C.2．(2017·辽宁阶段测试)设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( ) A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数 D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数解析：选B 因为函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，则 (m －1)ln 3＝0，即m ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2)，因为x ∈(0,1)时，y ＝1－x 2是减函数，故f (x )在(0,1)上是减函数，故选B.3．(2016·北京高考)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0解析：选C A 项，考查的是反比例函数y ＝1x在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所以1x －1y<0，所以A 错误；B 项，考查的是三角函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上的单调性，y＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，所以不一定有sin x >sin y ，所以B 错误；C 项，考查的是指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，所以C 正确；D 项，考查的是对数函数y ＝ln x 的性质，ln x ＋ln y ＝ln xy ，当x >y >0时，xy >0，不一定有ln xy >0，所以D 错误．4．(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R.当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2解析：选D 由题意可知，当－1≤x ≤1时，f (x )为奇函数，且当x >12时，f (x ＋1)＝f (x )，所以f (6)＝f (5×1＋1)＝f (1)．而f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f (6)＝2.故选D.5．(2017·湖南联考)已知函数f (x )是R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π7，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 5π7，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c解析：选B ∵π2<5π7<3π4，∴tan 5π7<－1<cos 5π7<0，又sin 2π7>0，∴tan 5π7<cos5π7<sin 2π7.∵函数f (x )是R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，∴函数f (x )是R上的增函数，∴c <b <a ，故选B.6．(2017·邢台摸底考试)已知定义在(－1,1)上的奇函数f (x )，其导函数为f ′(x )＝1＋ cos x ，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．(1，2)C ．(－2，－2)D ．(1，2)∪(－2，－1)解析：选B 依题意得f ′(x )>0，则f (x )是定义在(－1,1)上的增函数．不等式f (1－a )＋f (1－a 2)<0等价于f (1－a 2)<－f (1－a )＝f (a －1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a 2<1，－1<a －1<1，1－a 2<a －1.解得1<a <2， 选B.7．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3在(－∞，m )上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．[－2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2]解析：选D ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，∴f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3＝(x －1)(x ＋3)－2×(－x )＝x 2＋4x －3＝(x ＋2)2－7，∴f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)， ∵函数f (x )在(－∞，m )上单调递减，∴(－∞，m )⊆(－∞，－2)，即m ≤－2.故选D.8．(2016·广州模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)＝( )A ．1 B.45C ．－1D ．－45解析：选C 因为x ∈R ，且f (－x )＝－f (x )，所以函数为奇函数，因为f (x )＝f (x ＋4)，所以函数的周期为4.所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 254 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 254＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝－⎝⎛⎭⎪⎫2log 245＋15＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋15＝－1，故选C.二、填空题9．(2016·天津高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)， ∴f (2|a －1|)＞f (2)，∴2|a －1|＜2＝212，∴|a －1|＜12，即－12＜a －1＜12，即12＜a ＜32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 10．(2016·四川高考)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.解析：∵f (x )为奇函数，周期为2，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0. ∵f (x )＝4x，x ∈(0,1)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. 答案：－211．(2017·江苏调研)已知函数f (x )是偶函数，且当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，则当x <0时，f (x )的解析式为________________．解析：设x <0，则－x >0，因为当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，所以f (－x )＝－x 3－x ＋1.又函数f (x )是偶函数，所以f (x )＝－x 3－x ＋1.答案：f (x )＝－x 3－x ＋112．(2017·台州模拟)已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g x ，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________．解析：设x >0，则－x <0. ∵x <0时，g (x )＝－ln(1－x )， ∴g (－x )＝－ln(1＋x )． 又∵g (x )是奇函数， ∴g (x )＝ln(1＋x )(x >0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln 1＋x ，x >0.其图象如图所示．由图象知，函数f (x )在R 上是增函数． ∵f (2－x 2)>f (x )， ∴2－x 2>x ，即－2<x <1.所以实数x 的取值范围是(－2,1)． 答案：(－2,1) 三、解答题13．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12－x ，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．14．(2017·湖南长郡中学测试)已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在[－1,1]上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数． 解：(1)当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)． ∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x 4－x ＋1＝－2x4x ＋1.由f (0)＝f (－0)＝－f (0)，且f (1)＝－f (－1)＝－f (－1＋2)＝－f (1)， 得f (0)＝f (1)＝f (－1)＝0.∴在区间[－1,1]上，有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈0，1，－2x 4x＋1，x ∈－1，0，0，x ∈{－1，0，1}.(2)证明：当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1，设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 14x 1＋1－2x 24x 2＋1＝2x 2－2x 12x 1＋x 2－14x 1＋14x 2＋1，∵0<x 1<x 2<1，∴2x 2－2x 1>0,2x 1＋x 2－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 故f (x )在(0,1)上是减函数．。
函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)(含答案)
函数的基本性质一、知识点1．对函数单调性的理解（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域； （2）一些单调性的判断规则：①若)(x f 与)(x g 在定义域内都是增函数（减函数），那么)()(x g x f +在其公共定义域内是增函数（减函数）即“同加异减”减时和第一个单调性相同。
②复合函数的单调性规则是“同增异减”。
2．函数的奇偶性的定义：（1）对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，则称)(x f 为 . 奇函数的图象关于 对称。
（2）对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，则称)(x f 为 . 偶函数的图象关于 对称。
（3）通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。
3．奇偶函数图象的对称性（1）若)(x a f y +=是偶函数，则⇔=-⇔-=+)()2()()(x f x a f x a f x a f )(x f 的图象关于直线a x =对称；（2）若)(x b f y +=是偶函数，则⇔-=-⇔+-=-)()2()()(x f x b f x b f x b f )(x f 的图象关于点)0,(b 中心对称；4．若函数满足()()x f a x f =+，则函数的周期为T=a 。
二、例题讲解1．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．||2x y = B ．3y x = C ．12+-=x y D ．y ＝cosx 【答案】C 【解析】试题分析：偶函数需满足()()f x f x -=，由此验证可知A,C,D 都是偶函数，但要满足在区间(0，＋∞)上单调递减，验证可知只有C 符合. 考点：偶函数的判断，函数的单调性.2．2()24f x x x =-+的单调减区间是 .【答案】(,1)-∞ 【解析】试题分析：将函数进行配方得22()24(1)3f x x x x =-+=-+，又称轴为1x =，函数图象开口向上，所以函数的单调减区间为(,1)-∞． 考点：二次函数的单调性．3．函数22log (23)y x x =+-的单调递减区间为（ ）A ．（－∞，－3）B ．（－∞，－1）C ．(1，+∞)D ．(－3，－1) 【答案】A 【解析】试题分析：由2230x x +->，得3x <-或1x >，∴()f x 的定义域为(,3)(1,)-∞-+∞．22log (23)y x x =+-可看作由2log y u =和223u x x =+-复合而成的，223u x x =+-＝2(1)4x +-在(,3)-∞-上递减，在(1,)+∞上递增，又2log y u =在定义域内单调递增，∴22log (23)y x x =+-在(,3)-∞-上递减，在(1,)+∞上递增，所以22log (23)y x x =+-的单调递减区间是(,3)-∞-，故选A ．考点：复合函数的单调性．4．已知5)2(22+-+=x a x y 在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的范围是（ ）A.2a ≤-B.2a ≥-C.6-≥aD.6-≤a 【答案】B 【解析】试题分析：函数5)2(22+-+=x a x y 的图像是开口向上以2x a =-为对称轴的抛物线，因为函数在区间(4,)+∞上是增函数，所以24a -≤，解得2a ≥-，故A 正确。
函数的单调奇偶及周期性_附答案
三、函数的性质 1．函数的单调性（1）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数．（2）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数．（3）若函数()f x 在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间．若函数()f x 在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数．2．函数的奇偶性（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．（2）若奇函数()y f x =的定义域内有零，则由奇函数定义知(0)(0)f f -=-，即(0)(0)f f =-，所以(0)0f =．（3）奇、偶性图象的特点如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y 轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．例4．设定义在R 上的函数y = f （x ）是偶函数,且f （x ）在（－∞，0）为增函数．若对于120x x <<，且120x x +>，则有 ( )A ．12(||)(||)f x f x <B ．21()()f x f x ->-C ．12()()f x f x <-D ．12()()f x f x -> 【答案】D举一反三：【变式1】（1）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0，2]上是增函数，则（ ）A ．(25)(11)(80)f f f -<<B ．(80)(11)(25)f f f <<-C ．(11)(80)(25)f f f <<-D ．(25)(80)(11)f f f -<<（2）定义在R 上的偶函数f (x)，对任意x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-【解析】（1）由函数()f x 是奇函数且()f x 在[0，2]上是增函数可以推知()f x 在[－2，2]上递增，又(4)()(8)(4)()f x f x f x f x f x -=-⇒-=--=，故函数()f x 以8为周期，(25)(1)f f -=-，(11)(3)(34)(1)f f f f ==--=，(80)(0)f f =，故(25)(80)(11)f f f -<<．故选D ．（2）由题知，()f x 为偶函数，故(2)(2)f f =-，又知x ∈[0，+∞）时，()f x 为减函数，且3＞2＞1，∴(3)(2)(1)f f f <<，即(3)(2)(1)f f f <-<．故选A ．例5．设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->=（ ） A ．{x|x ＜－2或x ＞4} B ．{x|x ＜0或x ＞4} C ．{x|x ＜0或x ＞6} D ．{x|x ＜－2或x ＞2}【思路点拨】先求()f x 的解析式，即338, 0()8, 0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，然后再去解(2)0f x ->这个不等式。
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高考达标检测（五） 函数的单调性、奇偶性及周期性一、选择题1．(2017·沈阳教学质量监测)下列函数中，在其定义域内是增函数且是奇函数的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝2|x |C ．y ＝2x－2－xD ．y ＝2x＋2－x解析：选C A 中函数是非奇非偶函数，B 、D 中函数是偶函数，对于选项C ，由奇函数的定义可知该函数是奇函数，由复合函数的单调性可知其在定义域内是增函数，故选C.2．(2017·辽宁阶段测试)设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( ) A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数 D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数解析：选B 因为函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，则(m －1)ln 3＝0，即m ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2)，因为x ∈(0,1)时，y ＝1－x 2是减函数，故f (x )在(0,1)上是减函数，故选B.3．(2016·北京高考)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0解析：选C A 项，考查的是反比例函数y ＝1x在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所以1x －1y<0，所以A 错误；B 项，考查的是三角函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上的单调性，y＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，所以不一定有sin x >sin y ，所以B 错误；C 项，考查的是指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，所以C 正确；D 项，考查的是对数函数y ＝ln x 的性质，ln x ＋ln y ＝ln xy ，当x >y >0时，xy >0，不一定有ln xy >0，所以D 错误．4．(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R.当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2解析：选D 由题意可知，当－1≤x ≤1时，f (x )为奇函数，且当x >12时，f (x ＋1)＝f (x )，所以f (6)＝f (5×1＋1)＝f (1)．而f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f (6)＝2.故选D.5．(2017·湖南联考)已知函数f (x )是R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π7，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 5π7，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c解析：选B ∵π2<5π7<3π4，∴tan 5π7<－1<cos 5π7<0，又sin 2π7>0，∴tan 5π7<cos5π7<sin 2π7.∵函数f (x )是R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，∴函数f (x )是R上的增函数，∴c <b <a ，故选B.6．(2017·邢台摸底考试)已知定义在(－1,1)上的奇函数f (x )，其导函数为f ′(x )＝1＋cos x ，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．(1，2)C ．(－2，－2)D ．(1，2)∪(－2，－1)解析：选B 依题意得f ′(x )>0，则f (x )是定义在(－1,1)上的增函数．不等式f (1－a )＋f (1－a 2)<0等价于f (1－a 2)<－f (1－a )＝f (a －1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a 2<1，－1<a －1<1，1－a 2<a －1.解得1<a <2， 选B.7．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－xx ＋3在(－∞，m )上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．[－2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2]解析：选D ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，∴f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－xx ＋3＝(x －1)(x ＋3)－2×(－x )＝x 2＋4x －3＝(x ＋2)2－7，∴f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)， ∵函数f (x )在(－∞，m )上单调递减，∴(－∞，m )⊆(－∞，－2)，即m ≤－2.故选D.8．(2016·广州模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)＝( )A ．1 B.45C ．－1D ．－45解析：选C 因为x ∈R ，且f (－x )＝－f (x )，所以函数为奇函数，因为f (x )＝f (x ＋4)，所以函数的周期为4.所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 254 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 254＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝－⎝⎛⎭⎪⎫2log 245＋15＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋15＝－1，故选C.二、填空题9．(2016·天津高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)， ∴f (2|a －1|)＞f (2)，∴2|a －1|＜2＝212，∴|a －1|＜12，即－12＜a －1＜12，即12＜a ＜32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 10．(2016·四川高考)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.解析：∵f (x )为奇函数，周期为2，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0. ∵f (x )＝4x，x ∈(0,1)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. 答案：－211．(2017·江苏调研)已知函数f (x )是偶函数，且当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，则当x <0时，f (x )的解析式为________________．解析：设x <0，则－x >0，因为当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，所以f (－x )＝－x 3－x ＋1.又函数f (x )是偶函数，所以f (x )＝－x 3－x ＋1.答案：f (x )＝－x 3－x ＋112．(2017·台州模拟)已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g x ，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________．解析：设x >0，则－x <0. ∵x <0时，g (x )＝－ln(1－x )， ∴g (－x )＝－ln(1＋x )． 又∵g (x )是奇函数， ∴g (x )＝ln(1＋x )(x >0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，＋x ，x >0.其图象如图所示．由图象知，函数f (x )在R 上是增函数． ∵f (2－x 2)>f (x )， ∴2－x 2>x ，即－2<x <1.所以实数x 的取值范围是(－2,1)． 答案：(－2,1) 三、解答题13．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12－x ，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．14．(2017·湖南长郡中学测试)已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在[－1,1]上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数． 解：(1)当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)． ∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x 4－x ＋1＝－2x4x ＋1.由f (0)＝f (－0)＝－f (0)，且f (1)＝－f (－1)＝－f (－1＋2)＝－f (1)， 得f (0)＝f (1)＝f (－1)＝0.∴在区间[－1,1]上，有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈，，－2x 4x＋1，x ∈－1，，0，x ∈{－1，0，1}.(2)证明：当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1，设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 14x 1＋1－2x 24x 2＋1＝x 2－2x 1x 1＋x 2－x 1＋x 2＋，∵0<x 1<x 2<1，∴2x 2－2x 1>0,2x 1＋x 2－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 故f (x )在(0,1)上是减函数．。