2017-2018年广东省揭阳市惠来一中高一上学期期中数学试卷带答案

2017-2018学年广东省揭阳市惠来一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知U={1，2，3，4}，A={1，3，4}，B={2，3，4}，那么∁U（A∪B）=（）A．{1，2}B．{1，2，3，4}C．∅D．{φ}2．（5分）下列函数在定义域上为偶函数的是（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．D．y=x|x|3．（5分）函数y=log a（x﹣2）+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（）A．（3，1） B．（2，1） C．（3，2） D．（2，2）4．（5分）若函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（2）=1，则f（x）=（）A．log 2x B．C．D．2x﹣25．（5分）下列函数表示同一函数的是（）A．f（x）=（a2x）（a＞0）与g（x）=a x（a＞0）B．f（x）=x2+x+1与g（x）=x2+x+（2x﹣1）0C．f（x）=•与g（x）= D．f（x）=lgx2与g（x）=6．（5分）已知函数，则的值是（）A．9 B．C．﹣9 D．7．（5分）函数f（x）=e x+2x﹣4的零点所在的区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2） D．（1，）8．（5分）已知a=0.42，b=30.4，c=log40.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a9．（5分）函数y=（0＜a＜1）的图象的大致形状是（）A．B．C．D．10．（5分）定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）上递减，且f（2）=0，则满足f（log2x）＜0的x的集合为（）A． B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=，满足对任意的x1≠x2都有＜0成立，则a的取值范围是（）A．（0，]B．（0，1） C．[，1）D．（0，3）12．（5分）已知函数f（x）=ln，若f（）+f（）+…+f（）=503（a+b），则a2+b2的最小值为（）A．6 B．8 C．9 D．12二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知集合A={a，b，2}，B={2，b2，2a}，且A=B，则a=．14．（5分）函数y=的定义域是．15．（5分）若函数f（x）=（k﹣2）x2+（k﹣1）x+3是偶函数，则f（x）的递减区间是．16．（5分）直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）不用计算器，求下列各式的值：（1）0.064﹣（﹣）0+160.75+0.01；（2）lg200+．18．（10分）已知全集U={x|x＞0}，集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|5﹣a＜x＜a}．（1）求A∪B，（∁U A）∩B；（2）若C⊆（A∪B），求a的取值范围．19．（12分）某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为估测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y和月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数y=ax2+bx+c 或函数y=a•b x+c（其中a、b、c为常数，a≠0），已知4月份该产品的产量为1.37万件，问用上述哪个函数作为模拟函数好？请说明理由．20．（12分）已知函数f（x）=log a（2x+1），g（x）=log a（1﹣2x），a＞0且a≠1．（1）判断F（x）=f（x）﹣g（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若f（x）﹣g（x）＞0，求x的取值范围．21．（12分）已知a∈R，函数（1）求f（1）的值；（2）证明：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（3）求函数f（x）的零点．22．（14分）已知函数f（x）=kx2+（3+k）x+3，其中k为常数，且k≠0．（1）若f（2）=3，求函数f（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，设函数g（x）=f（x）﹣mx，若g（x）在区间[﹣2，2]上是单调函数，求实数m的取值范围；（3）是否存在k使得函数f（x）在[﹣1，4]上的最大值是4？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．2017-2018学年广东省揭阳市惠来一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知U={1，2，3，4}，A={1，3，4}，B={2，3，4}，那么∁U（A∪B）=（）A．{1，2}B．{1，2，3，4}C．∅D．{φ}【分析】由A与B，求出两集合的并集，根据全集U=R求出并集的补角即可．【解答】解：∵A={1，3，4}，B={2，3，4}，∴A∪B={1，2，3，4}，∵全集U={1，2，3，4}，∴∁U（A∪B）=∅．故选：C．2．（5分）下列函数在定义域上为偶函数的是（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．D．y=x|x|【分析】对各个选项运用判断奇偶性，即可得到结论．【解答】解：A，y=x+1为非奇非偶函数；B，y=﹣x2为偶函数；C，y=为奇函数；D，y=x|x|，定义域为R，f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣x|x|=﹣f（x），即有函数为奇函数．故选：B．3．（5分）函数y=log a（x﹣2）+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（）A．（3，1） B．（2，1） C．（3，2） D．（2，2）【分析】令对数的真数等于零，求得x、y的值，可得函数图象经过定点的坐标．【解答】解：对于函数y=log a（x﹣2）+1（a＞0且a≠1），令x﹣2=1，求得x=3，y=1，可得函数y=log a（x﹣2）+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（3，1），故选：A．4．（5分）若函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（2）=1，则f（x）=（）A．log 2x B．C．D．2x﹣2【分析】求出y=a x（a＞0，且a≠1）的反函数即y=f（x），将已知点代入y=f（x），求出a，即确定出f（x）．【解答】解：函数y=a x（a＞0，且a≠1）的反函数是f（x）=log a x，又f（2）=1，即log a2=1，所以，a=2，故f（x）=log2x，故选：A．5．（5分）下列函数表示同一函数的是（）A．f（x）=（a2x）（a＞0）与g（x）=a x（a＞0）B．f（x）=x2+x+1与g（x）=x2+x+（2x﹣1）0C．f（x）=•与g（x）= D．f（x）=lgx2与g（x）=【分析】可以知道，当两个函数的定义域和对应法则都相同时，这两个函数才是同一函数，从而来判断每个选项的函数的定义域和对应法则是否都相同，这样即可找出正确选项．【解答】解：A.，a＞0；∴f（x）与g（x）为同一函数，∴该选项正确；B．f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为；∴这两函数不是同一函数，即该选项错误；C．解得，x≥2；解x2﹣4≥0得，x≥2，或x≤﹣2；∴这两函数的定义域不同，不是同一函数，该选项错误；D．f（x），g（x）的解析式不同，不是同一函数，该选项错误．故选：A．6．（5分）已知函数，则的值是（）A．9 B．C．﹣9 D．【分析】根据分段函数的定义域选择对应的解析式，由内到外求解．【解答】解：==，所以，故选：B．7．（5分）函数f（x）=e x+2x﹣4的零点所在的区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2） D．（1，）【分析】根据零点的存在性定理可知f（x）在零点所在区间端点的函数值异号，逐个验证可得答案．【解答】解：∵f（0）=﹣3＜0，f（）=﹣3＜0，f（1）=e﹣2＞0，∴f（x）的零点在区间（，1）上．故选：B．8．（5分）已知a=0.42，b=30.4，c=log40.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【分析】本题宜用中间量法时行比较三个数的大小，先确定每个数存在的范围，再比较它们的大小【解答】解：由题意0＜0.42＜1，1＜30.4＜3，log40.3＜0故log40.3＜0＜0.42＜1＜30.4＜3即b＞a＞c．故选：C．9．（5分）函数y=（0＜a＜1）的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【分析】分x＞0与x＜0两种情况将函数解析式化简，利用指数函数图象即可确定出大致形状．【解答】解：当x＞0时，|x|=x，此时y=a x（0＜a＜1）；当x＜0时，|x|=﹣x，此时y=﹣a x（0＜a＜1），则函数（0＜a＜1）的图象的大致形状是：，故选：D．10．（5分）定义在R上的偶函数y=f（x）在[0，+∞）上递减，且f（2）=0，则满足f（log2x）＜0的x的集合为（）A． B．C．D．【分析】f（x）是定义在R上的偶函数，则f（x）=f（﹣x）=f（|x|），因此f（log2x）=f（|log2x|），则不等式等价于f（|log2x|）＜f（2），根据y=f（x）在[0，+∞）上递减，得不等式|log2x|＞2．【解答】解：f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=f（|x|），∴f（log2x）=f（|log2x|），则不等式等价于f（|log2x|）＜f（2），∵y=f（x）在[0，+∞）上递减，∴|log2x|＞2．∴log2x＜﹣2，或log2x＞2，∴，或x＞4故选：B．11．（5分）已知函数f（x）=，满足对任意的x1≠x2都有＜0成立，则a的取值范围是（）A．（0，]B．（0，1） C．[，1）D．（0，3）【分析】由题意可知，f（x）=为减函数，从而可得，由此可求得a的取值范围．【解答】解：∵f（x）对任意的x1≠x2都有成立，∴f（x）=为R上的减函数，∴解得0＜a≤．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）=ln，若f（）+f（）+…+f（）=503（a+b），则a2+b2的最小值为（）A．6 B．8 C．9 D．12【分析】利用f（x）+f（e﹣x）==lne2=2，可得a+b=4，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵f（x）+f（e﹣x）==lne2=2，∴503（a+b）=f（）+f（）+…+f（）=++…+= =2012，∴a+b=4，∴a2+b2≥==8，当且仅当a=b=2时取等号．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知集合A={a，b，2}，B={2，b2，2a}，且A=B，则a=0或．【分析】根据集合相等确定未知数的等式关系，通过解方程组求解出所求的实数a值．注意元素互异性的应用【解答】解：∵集合A={a，b，2}，B={2，b2，2a}，且A=B，又根据集合元素的互异性，所以有或，解得或，故a=0或．故答案为：0或14．（5分）函数y=的定义域是（1，2] ．【分析】由函数的解析式可得=，可得0＜x﹣1≤1，由此解得x的范围，即为所求．【解答】解：由于函数，故有=，∴0＜x﹣1≤1，解得1＜x≤2，故答案为（1，2]．15．（5分）若函数f（x）=（k﹣2）x2+（k﹣1）x+3是偶函数，则f（x）的递减区间是[0，+∞）．【分析】利用偶函数的定义f（﹣x）=f（x），解出k的值，化简f（x）的解析式，通过解析式求出f（x）的递减区间．【解答】解：∵函数f（x）=（k﹣2）x2+（k﹣1）x+3是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即（k﹣2）x2 ﹣（k﹣1）x+3=（k﹣2）x2+（k﹣1）x+3，∴k=1，∴f（x）=﹣x2 +3，f（x）的递减区间是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．16．（5分）直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a有四个交点，则a的取值范围是（1，）．【分析】在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a的图象，观察求解．【解答】解：如图，在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2﹣|x|+a，观图可知，a的取值必须满足，解得．故答案为：（1，）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）不用计算器，求下列各式的值：（1）0.064﹣（﹣）0+160.75+0.01；（2）lg200+．【分析】（1）利用指数运算性质即可得出．（2）利用对数运算性质即可得出．【解答】解：（1）原式=﹣1+24×0.75+0.1=﹣1+8+0.1=9.6．（2）原式=+5+=3+5+=．18．（10分）已知全集U={x|x＞0}，集合A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|5﹣a＜x＜a}．（1）求A∪B，（∁U A）∩B；（2）若C⊆（A∪B），求a的取值范围．【分析】（1）根据A与B，求出两集合的并集；根据全集U求出A的补集，找出A补集与B的交集即可；（2）根据C为A与B并集的子集，分C为空集与不为空集两种情况考虑，求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，∴A∪B={x|2＜x＜10}；∵全集U={x|x＞0}，∴∁U A={x|0＜x＜3或x≥7}，则（∁U A）∩B={x|2＜x＜3或7≤x＜10}；（2）由C⊆（A∪B），分两种情况考虑：①若C=∅，则5﹣a≥a，解得：a≤；②若C≠∅，则2≤5﹣a＜a，解得：＜a≤3，综上所述，a≤3．19．（12分）某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为估测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y和月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数y=ax2+bx+c 或函数y=a•b x+c（其中a、b、c为常数，a≠0），已知4月份该产品的产量为1.37万件，问用上述哪个函数作为模拟函数好？请说明理由．【分析】由题意分别列出函数的解析式，求出两种函数模型的待求系数，然后分别取x=4求出相应的函数值，比较大小得答案．【解答】解：设二次函数为y=px2+qx+r，由已知得，得，∴y=﹣0.05x2+0.35x+0.7，当x=4时，y1=﹣0.05×42+0.35×4+0.7=1.3．又对于函数y=a•b x+c，由已知得，得，∴y=﹣0.8•（）x+1.4，当x=4时，y2=﹣0.8•（）4+1.4=1.35．根据四月份的实际产量为1.37万件，而|y 2﹣1.37|=0.02＜0.07=|y1﹣1.37|，∴用函数y=﹣•（）x+作模拟函数较好．20．（12分）已知函数f（x）=log a（2x+1），g（x）=log a（1﹣2x），a＞0且a≠1．（1）判断F（x）=f（x）﹣g（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若f（x）﹣g（x）＞0，求x的取值范围．【分析】（1）F（x）为奇函数；求得定义域，计算F（﹣x）与F（x），比较即可得到结论；（2）讨论a＞1，0＜a＜1，运用对数函数的单调性，得到不等式组，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）F（x）为奇函数；理由：F（x）=f（x）﹣g（x）=log a（2x+1）﹣log a（1﹣2x），由1+2x＞0，1﹣2x＞0，解得﹣＜x＜，定义域为（﹣，）关于原点对称，F（﹣x）=log a（﹣2x+1）﹣log a（1+2x）=﹣F（x），则F（x）为奇函数；（2）f（x）﹣g（x）＞0，即为log a（2x+1）＞log a（1﹣2x），当a＞1时，2x+1＞1﹣2x＞0，解得0＜x＜；当0＜a＜1时，0＜2x+1＜1﹣2x，解得﹣＜x＜0．则当a＞1时，不等式的解集为（0，）；当0＜a＜1时，不等式的解集为（﹣，0）．21．（12分）已知a∈R，函数（1）求f（1）的值；（2）证明：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（3）求函数f（x）的零点．【分析】（1）由函数解析式，令x=1求得f（1）的值．（2）先在（0，+∞）上任取两变量，且界定大小，再作差变形看符号．（3）要求函数f（x）的零点，即求方程f（x）=0的根，根据对实数的讨论即可求得结果．【解答】解：（1）当x＞0时，f（x）=1﹣，∴f（1）=1﹣=0．（2）证明：在（0，+∞）上任取两个实数x1，x2，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=1﹣﹣1+=．∵0＜x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0．∴f（x1）﹣f（x2）＜0．∴f（x1）＜f（x2）．∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3）（ⅰ）当x＞0时，令f（x）=0，即1﹣=0，解得x=1＞0．∴x=1是函数f（x）的一个零点．（ⅱ）当x≤0时，令f（x）=0，即（a﹣1）x+1=0．（※）当a＞1时，由（※）得x=＜0，∴x=是函数f（x）的一个零点；当a=1时，方程（※）无解；当a＜1时，由（※）得x=，（不合题意，舍去）．综上所述，当a＞1时，函数f（x）的零点是1和；当a≤1时，函数f（x）的零点是1．22．（14分）已知函数f（x）=kx2+（3+k）x+3，其中k为常数，且k≠0．（1）若f（2）=3，求函数f（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，设函数g（x）=f（x）﹣mx，若g（x）在区间[﹣2，2]上是单调函数，求实数m的取值范围；（3）是否存在k使得函数f（x）在[﹣1，4]上的最大值是4？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由f（2）=3，可得k的值，从而可得函数f（x）的表达式；（2）g（x）=f（x）﹣mx=﹣x2+（2﹣m）x+3，函数的对称轴为x=，根据g（x）在区间[﹣2，2]上是单调函数，可得或，从而可求实数m 的取值范围；（3）f（x）=kx2+（3+k）x+3的对称轴为，分类讨论，确定函数图象开口向上，函数f（x）在[﹣1，4]上的单调性，利用最大值是4，建立方程，即可求得结论．【解答】解：（1）由f（2）=3，可得4k+2（3+k）+3=3，∴k=﹣1∴f（x）=﹣x2+2x+3；（2）由（1）得g（x）=f（x）﹣mx=﹣x2+（2﹣m）x+3，函数的对称轴为x=∵g（x）在区间[﹣2，2]上是单调函数，∴或∴m≤﹣2或m≥6；（3）f（x）=kx2+（3+k）x+3的对称轴为①k＞0时，函数图象开口向上，，此时函数f（x）在[﹣1，4]上的最大值是f（4）=16k+（3+k）×4+3=20k+15=4，∴，不合题意，舍去；②k＜0时，函数图象开口向下，，1°若，即时，函数f（x）在[﹣1，4]上的最大值是f（）=∴k2+10k+9=0，∴k=﹣1或k=﹣9，符合题意；2°若，即时，函数f（x）在[﹣1，4]上递增，最大值为f（4）=16k+（3+k）×4+3=20k+15=4，∴，不合题意，舍去；综上，存在k使得函数f（x）在[﹣1，4]上的最大值是4，且k=﹣1或k=﹣9．。