最值镶嵌问题的五种处理方法

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求最值问题的五种方法

求最值问题的五种方法
求最值问题是多种数学模型中的经典概念，可以应用于科学研究、工程
设计和经济管理等领域，具有重要的现实意义。

通常，有五种方法可以解决
求最值问题，即解析法、穷举法、单纯形法、回归法和数值方法。

首先，解析法是指根据问题的函数关系或其它变量的规律，以求解一次
高阶算式或一组方程组的方法来解决求最值问题，它是对问题进行分析求解，速度较快，但它的适用范围较窄，只适用于问题的算式表达既简单又复杂的
情况。

其次，穷举法是一种采用暴力枚举方式搜索全部可能解以解决问题的方法。

它有利于深入了解问题，适用性较广，但缺点是计算量较大，容易出现
数量级爆炸，效率较低。

第三，单纯形法是指使用单纯形法对求最值问题进行分析求解，能够有
效获得求最值问题的解，同时它也能用来求解约束优化问题，简单易操作，
但需要注意的是，得到的解可能不是最优解。

第四，回归法是指使用统计学中的回归分析方法来重建散点数据，以寻
求最优的函数。

回归法的优势在于能够得到较好的拟合性能，它能够清楚的
表达模型之间的统计关系，并且能够根据数据自动学习模型，但是其缺点是
可能出现较多的陷阱，作出决策时要非常小心。

最后，数值方法是指利用数值计算技术，通过迭代的方式寻找函数取得
最值的方法。

它的优势在于十分适用于大规模的求解，它也支持多种求最值
方法，可以处理许多强约束优化问题，但缺点是它的计算量较大，时间消耗
比较大。

以上就是解决求最值问题常用的五种方法，它们各有利弊，依据各自的
特点，在不同环境下可以有选择性的使用，以达到最优求解效果。

立体几何最值问题的求解策略

立体几何最值问题的求解策略林绍华熊明珠(宜昌市一中,湖北　443000) (宜昌外国语学校,湖北　443000)中图分类号:O123.2-44 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2001)09-0012-02收稿日期:2001-01-20作者简介:林绍华(1965—),男,湖北汉川人,湖北宜昌市一中一级教师,学士. 立体几何中的最值问题,通常包括距离、面积、体积的最值等.此类问题涉及知识面广,灵活性大,是近年来各级各类考试的热点,不少学生面对这类问题常常感到不易下手,笔者通过分析、归纳、提出如下策略.1　利用概念　图1　例1图例1　如图1,已知正四棱锥P -AB CD 的底面边长为2,高为2,点M ,N 分别在侧棱PA 和底面对角线BD 上,求M 、N 两点间的最短距离.简析　M ,N 分别在异面直线PA ,BD 上运动,M ,N 两点间的最短距离即是PA 与BD 的公垂线段长,由BD ⊥面PA C ,可得PA 与BD 的公垂线必在面POA 上,在Rt △POA 中,A P 边上的高OM 即为M ,N 两点间的距离.计算可得|OM |=255.评注　此题利用了两异面直线距离的概念.由于距离的概念都是以“最短原则”定义的.因此,有关求点、直线、平面之间的最短线问题即是求它们之间的距离问题.2　利用性质　图2　例2图例2　平面α∥平面β,AB =6cm 是夹在α,β间的定线段,CD 是夹在α,β间的动线段且AB ⊥CD ,当AB 与β成60°角时,求CD 的最小值.简析　如图2,平移CD 使C 与A 重合,设AB 在β内射影为B E ,当D 在B E 上时,CD =AB tg60°=63,当D 不在BE 上时,CD =AB tg ∠ABD ,由斜线与平面所成角的性质可知,∠ABD >60°,∴CD ≥63.故CD 的最小值为63cm .评注　本题充分利用了斜线与平面所成的角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角这一性质,优化了求最值的途径.3　利用对称　例3　(“希望杯”培训题)在棱长为1的正方体AB CD -A 1B 1C 1D 1中,E 是BB 1的中点,P 是截面AB C 1D 1上的一动点,求A 1P +PE 的最小值.图3　例3图简析　联想在平面中求直线同一侧的两点到直线上某一点的距离之和的最小值问题.如图3,由于点A 1关于截面AB C 1D 1的对称点是D 点,∴A 1P +PE =D P +PE ≥D E =32,故A 1P +PE的最小值为32.评注　本题通过广泛联想,充分运用了对称思想解题,使问题的解法简捷明了,收到了事半功倍之效.4　利用展开　图4　例4图例4　如图4,在棱长为1的正四棱锥P -AB CD 中,M 为PC 的中点,求在表面上从点A 到点M 的最短距离.简析　因由A 到M 最少要经过两个表面,在空间图形中不便于寻找,可把正四棱锥的表面展开,放在一个平面内,在展开中有两种情况①经过底面(如图5),在△A CM 中,A C =2,M C =12,∠A CM =105°,可求得A M =127+23;②不经过底面(如图6).在△A PM 中,A P =1,PM =12,∠A PM =120°,可求得A M =21数学通讯 2001年第9期7 2.∵127+23>72,∴A到M的最短距离为72.图5　四棱锥展开图图6　四棱锥展开图评注　对于求可展几何体(多面体、圆柱、圆锥、圆台)表面上两点的最短线问题来说,可把求面上两点间的最短线问题转化为在展开面内求两点间的距离问题,要注意有时需分类讨论.5　利用旋转　图7　例5图图8　旋转例5　(“希望杯”试题)如图7,正方体AB CD-A1B1C1D1棱长为1,P是面对角线B C1上一动点,Q是底面AB CD上一动点,求D1P+PQ的最小值.简析　由题设可知:D1P+PQ最小时,点Q必定是点P在底面上的射影(如图7).D1P与PQ不在同一平面,为此,把△B C1C绕B C1旋转90°,使△B C1C与对角面AB C1D1在同一平面(如图8),由PQ⊥B C,故当D1,P,Q共线且与B C垂直时,D1P图9　例6图+PQ最小,可求得D1Q1=D1P1+P1Q1=2+22(2-1)=1+22,故所求最小值为1+22.评注　此题充分利用了运动变化的思想,旋转变换是立体几何中把空间问题转化为平面问题的重要思想方法.6　利用判别式例6　若长方体AB CD-A1B1C1D1的一个顶点B到它的对角线B1D的距离为a,问当长方体的长、宽、高有何关系时,其对角线最短?简析　如图9,设长、宽、高分别为x,y,z,对角线长为l,则 x2+y2+z2=l2(1) 及　al=x2+y2・z(2)由(1)知x2+y2=l2-z2代入(2)化简得z4-l2z2+a2l2=0(3)∵l2>0,a2l2>0,则关于z2的方程(3)有正实根的充要条件为Δ=(-l2)2-4a2l2≥0,即l≥2a.当l min=2a时,z2=12l2=2a2,即x2+y2=z2=2a2为所求关系式.评注　此题充分利用了方程的思想,构造一元二次方程通过判别式求最值,仍是立体几何中处理最值的常用方法.7　利用不等式　例7　(1996年全国高考题)母线长为1的圆锥体积最大时,求其侧面展开图圆心角的大小.简析　设圆锥母线与轴夹角为θ,则r=sinθ,h=cosθ,V=13πr2h=13πsin2θcosθ=26πsin2θsin2θ(2-2sin2θ)≤26π[13(sin2θ+sin2θ+2-2sin2θ)]3为定值.当且仅当sin2θ=2-2sin2θ]sin2θ=23=r2]r=63时,V最大,圆心角φ=2πr=263π为所求.评注　此题采用代数法,利用给定图形中的数量关系,构造平均值不等式求解,一般立体几何体积最值大多数用平均值不等式去解决.8　利用单调性　例8　已知圆锥的顶角为φ,φ∈(0,π),母线长为l,过顶点P的截面交底面于AB,求截面三角形面积的最大值.图10　例8图简析　如图10,设∠B PA=θ(0<θ≤φ),轴截面为PA C,则∠A PC=φ,S△AB P=12l2sinθ.①当0<φ≤π2时,0<sinθ≤sinφ,S△AB P的最大值为:S=12l2sinφ(轴截面).②当π2<φ<π时,0<sinθ≤sinπ2=1,S△AB P的最大值S=12l2(不是轴截面).评注　此立体几何最值是通过构造目标函数转化为函数最值求解.运用函数思想讨论最值问题要注意自变量的取值范围和函数的单调性、有界性等求函数最值的有关方法.以上八种方法,前五种是几何方法,后三种是代数方法.31 2001年第9期数学通讯。

三角函数求最值五种题型

三角函数求最值五种题型一、最值问题的一般解法：求解三角函数的最值问题可以分为以下五种题型：基本最大、基本最小、最大最小（上下界）、最大、最小。

1.基本最大：即求函数的最大值，通常通过对函数进行求导并令导数为零来求得。

这种情况下，需求导数在给定区间内的零点，并进行极值判断来确定最值。

2.基本最小：与基本最大相反，求函数的最小值，同样需要对函数进行求导并求导数为零，进行极值判断来确定最值。

3.最大最小（上下界）：在给定区间内求函数的最大最小值，需将区间的端点以及函数的驻点和不可导点的值进行比较，以确定最大最小值。

4.最大：在给定区间内寻找函数的最大值。

可以通过对函数进行求导来确定驻点和不可导点，并与区间的端点进行比较，以确定最大值。

5.最小：在给定区间内寻找函数的最小值。

同样可以通过求导来确定驻点和不可导点，并与区间的端点进行比较，以确定最小值。

二、详细解答五种题型：以下是对上述五种题型的详细解答：1.基本最大：Example 1: 求函数f(x) = sin(x)的最大值。

解：首先求得导数f'(x) = cos(x)，令cos(x) = 0，解得x = π/2 + kπ，其中k为整数。

然后对于x = π/2 + kπ，求得对应的函数值f(x) = sin(π/2 +kπ) = (-1)^k，即奇数项取最大值为1，偶数项取最小值为-1所以函数f(x) = sin(x)的最大值为12.基本最小：Example 2: 求函数f(x) = cos(x)的最小值。

解：同样求导得到f'(x) = -sin(x)，令-sin(x) = 0，解得x = kπ，其中k为整数。

然后对于x = kπ，求得对应的函数值f(x) = cos(kπ) = (-1)^k，即奇数项取最小值为-1，偶数项取最大值为1所以函数f(x) = cos(x)的最小值为-13.最大最小（上下界）：Example 3: 在区间[0, 2π]内，求函数f(x) = 2sin(x) + cos(x)的最大最小值。

几种常见的三角函数最值问题研究

几种常见的三角函数最值问题研究摘要：三角函数作为高中数学重点知识，需要学生掌握知识应用方法与技能，以此灵活解决最值问题。

文章以几种常见的三角函数最值问题为研究对象，对此进行全面分析，希望对数学教育工作开展提供帮助。

关键词：三角函数，最值问题引言：数学教育中，如何利用数学知识，解决三角函数最值问题，是学生一直面对的困境。

如何提高学生三角函数学习能力与解决问题能力，是困扰教师的问题。

为了提高学生三角函数最值解决问题能力，对常见的三角函数最值问题进行分析。

1 y=asinx+bcosx类型的三角函数在y=asinx+bcosx类型题中，蕴含正余弦函数内容。

在数学解题中，需要将这一问题转化成三角函数，如，y= +sin（x+）然后求解，确定问题答案[1]。

例如，求y=asinx+bcosx的最值。

数学教学中，解决这一问题时，可以通过以下方式进行，解：设m＝(a,b),n＝(sinx,cosx)，则|m|·|n|≥|m·n|2，(a2+b2)[(sinx)2+(cosx)2]≥(asinx+bcosx)2，y2≤a2+b2，推出-≤y≤，所以y|max＝，y|min＝-。

2 y=asin2x+bcosxsinx+ccos2x类型的三角函数这一三角函数最值类型题，是含有cosx、sinx的二次式，在解决这一问题时，可以通过降幂的方式确定问题答案[2]。

在实际计算中，设函数方程y=asin2x+bcosxsinx+ccos2x=1或者=-1的方式，确定最大值与最小值，当函数方程等于1时是最大值，等于-1时则是最小值。

例如，求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值。

解决这一问题时，可以将公式简单化，然后设简化后的方程等于1，确定最大值。

解题过程如下：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=（sin2x+cos2x）+2sinxcosx+2cos2x=1+sin2x+（1+cos2x）=2+sin2x+cos2x=2+ sin（2x+π/4）当2+ sin（2x+π/4）=1时，函数y有最大值，这时y的最大值等于2+ 。

图像镶嵌中拼接缝消除的方法

图像镶嵌中拼接缝消除的方法
图像镶嵌技术（mosai）是图像融合技术的一种，一般是指同种类型图像的融合。

它把多幅具有重叠信息部分的图像衔接在一起，得到一幅完整的、范围更大的图像，并且去除其中的冗余信息。

图像镶嵌技术的应用非常广泛。

例如，虚拟现实中的全景图显示及遥感图像的处理等领域，都有广泛的应用。

图像镶嵌的评价标准是镶嵌后得到的图像，不但具有良好的视觉效果，而且还要尽可能地保持图像光谱特征。

通俗地说，就是镶嵌的图像越无缝，效果就越好。

当然，这里的无缝，不是绝对意义上的，而是人眼分辨力以内的无缝。

一般情况下，进行图像拼接时，在拼接的边界上，不可避免地会产生拼接缝。

这是因为两幅待拼接图像在灰度上的细微差别都会导致明显的拼接缝。

而在实际的成像过程中，这种细微差别很难避免。

因此图像镶嵌技术的难点就在于准确寻找图像之间的位置关系，并把两幅以上的图像平滑地衔接在一起，获取一幅全局的图像。

本文的基本思想就是突破以往在寻找拼接线时，只要找到一个最佳拼接点，以此点做一条直线作为拼接线的不合理性，而是取一个闭值，在闭值范围内寻找出每个拼接点，把这些点连成的折线作为拼接线，进行拼接。

拼接缝消除的方法。

重难点专题05 三角形中的范围与最值问题(九大题型)(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)

2 + 2 − 2
，
2
2

si n
，∴ sin =
3⋅
∴ sin +
π
6
π
6
3
2
1
2
c os + s i n = 2 3
，∵ ∈ 0,
∈
1
2
2π
3
π
3，又 ∈ 0, π ，∴ = 3，∴

si n
=

si n
=
π
6
∈
s in +
π 5π
,
6 6
3
2
c os =
角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.
2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：
(1)求角的最值；
(2)求边和周长的最值及范围；
(3)求面积的最值和范围.
03
典型例题
典型例题
题型一：周长问题
【例1】（2024·河北保定·高一校联考期末）已知锐角△ 内角, , 及对边 , , ，满足2 − =
2
4 2
= 2 ，得 sin =
+ sin 2 =

2
3
− 2 ⋅ 2 ⋅ cos ⋅ 2 + 4 2 = 4 ，
整理得 2 + 2 − 2cos = 3 2 ，

2
3
，则
4
2
4 2
3
= 4，
π
又因为 ∈ 0, 2 ，则sin > 0，可得 sin =
重难点专题05
三角形中的范围与最值问题
目录

运用GLOBALMAPPER对TIF格式影像进行简单的镶嵌处理

运⽤GLOBALMAPPER对TIF格式影像进⾏简单的镶嵌处理运⽤GLOBAL MAPPER对三波段TIF格式影像进⾏简单的镶嵌处理1.打开TIF栅格⽂件打开⽅法分为两种拖拽法和菜单法两种⽅法。

拖拽法即把需要的TIF格式影像拖拽到影像浏览窗⼝中，等候打开即可。

菜单法即通过菜单栏打开影像，⽅法为【⽂件→打开数据⽂件】。

在弹出的对话框中，⽂件类型选择【共同⽀持的光栅类型】。

之后选择需要打开的影像即可。

图⼀打开⽂件对话框打开的影像⽀持多选功能。

可重复执⾏。

打开镶嵌所需的全部影像后，执⾏下⼀步导出影像。

2.设置透明因多数影像被不规则多并⾏裁剪过，所以影像多有⿊边，不能直接拼接，需在拼接前进⾏透明设置。

设置透明的⽅法为，在菜单栏上单击【打开控制中⼼按钮】，在弹出的对话框中选择需要设置透明的图层，如下图左上⾓所⽰。

选择需透明的图层后，单击选项按钮，在弹出的【光栅选项】对话框中的【透明度】设置区中，勾选【透明】激活透明功能。

之后单击，【设置透明度】按钮，在弹出的【颜⾊】对话框中选择⿊⾊，单击确定，关闭对话框，在【光栅选项】中单击【应⽤】，应⽤设置后单击确定关闭对话框。

此时透明设置完成，可关闭【覆盖控制中⼼】对话框。

基本步骤如下图所⽰，就可完成。

图⼆透明设置⽅法图三设置透明前后对⽐图3.导出图像将所有图像导出即完成图像拼接。

导出⽅法【⽂件】→【输出光栅格式⽂件】，打开【选择输出格式对话框】，在对话框的下拉菜单中选择【GEOTIFF】类型，点击确定。

可从此步中选择多种栅格数据格式。

图四选择输出格式点击确定后对话框关闭，弹出【Geotiff输出选项对话框】，对输出的影像进⾏具体设置，设置⽅法如图所⽰。

所需设置的参数包括，影像类型（通常包括8位像素的灰度图、24位RGB的全彩⾊影像或多波段），分辨率（根据影像元数据设置，通常X、Y轴数值相等），压缩（LZW压缩格式为默认，也可不对影像进⾏压缩），⽣成TFW坐标⽂件（关键步骤）。

中考数学模型--旋转综合之线段最值问题

旋转综合之线段最值问题初三中考复习在即，在数学中考中，几何变换往往是中考中最令人头痛的题型，其辅助线的添加非常灵活，和其他几何知识的综合性也非常强。

在几何变换中，旋转是最为常见、也是最为重要的变换，本周我们集中讲解旋转综合中常见的模型、题型，这部分是本期内容的第五讲：旋转综合之利用旋转求线段最值，希望各位同学能从中收益。

利用旋转求线段最值的解题方法1. 使目标线段与定长线段放在三角形中，根据三角形三边关系，当三点共线时，取得最值；如图所示，当点 B 位于 B 1 时， AB 取得最小值| OA - OB | ；当点 B 位于 B 2 时， AB 取得最大值OA + OB ．2. 把线段或线段和差放到同一条直线上，根据两点之间，线段最短来求最值．如图所示，定线段 OA = a ， Rt △BOC 中直角边 OB = b ，锐角∠B = θ ，点 P 是斜边 BC 上的一个动点，Rt △BOC 在绕点O 旋转的过程中， AP 的最值如下：①如图，当OP ⊥ BC ，且O , A , P 三点共线时， AP 取得最小值| OB ⋅ sin θ - OA |；②如图，当 B , P 重合，且O , A , P 三点共线时， AP 取得最大值| OB + OA |例1 如图，在△ABC 中，∠C = 90︒，AC = 4 ，BC = 2 ，点A , C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是.答案 2 2 + 2 ．解析作AC 的中点M ，连接OM , BM ．由OB… OM +BM ，可得当O ,M ,B 三点共线且点M 在线段OB 上时，OB 取得最大值．此时OB =OM +BM = 2 + 2 2.例 2 已知，△A OB和△COD 是等腰三角形，其中BA=B O=2，CD =CO = 3 ，∠ABO=∠DCO．连接AD , BC，点M, N分别为OA, BC的中点．若固定△AOB，将△C O D绕点O 旋转，求MN 的最大值．解取OB 的中点 E ，连接 EM , EN ．则ME= 1 AB = 1,NE = 1 CO = 3.2 2 2当 M , E , N 三点共线，且点 E 在线段 MN 上时， MN 取最大值，最大值为 ME + NE = 5．2例 3 在Rt △ABC 中， ∠ACB = 90︒ ， tan ∠BAC = 1．若2BC = 6 ，点 D 在边 AC 的三等分点处，将线段 AD 绕点 A 旋转，点 E 始终为 BD 中点，求线段CE 长度的最大值．解在Rt △ABC 中，AC =BCtan ∠BAC= 12, AB = 6 5.①如图，当 AD = 1AC 时，取 AB 的中点 F ，连接 EF 和CF ．3则CF =1AB = 3 5, EF =1AD = 2.2 2所以当且仅当C , E , F 三点共线且F 在线段CE 上时CE 最大，此时CE =CF +EF = 2 + 3 5.②如图，当时，同理可得CE 的最大值为4 + 3AD =2AC3．综合可得，当点D 在靠近点C 的三等分点时，线段CE 的长度取得最大值为4 + 3 ．旋转变换是中考中非常重要的题型，本节课我们重点讲解了旋转中求线段最值问题，到此为止，本周我们共讲解了有关旋转的五种常见考题，希望各位同学多加体会、总结，平时遇到类似题目注意应用和练习。

等差数列中的最值问题

因为扇形的半径为１,所以|O Pң|＝１．又O PʅO B,故O Pң O Bң＝０．因为øA O B＝２π３,所以øA O P＝π６,于是P Mң P Nң＝(P Oң＋O Mң) (P Oң＋O Nң)＝P Oң２＋P Oң O Nң＋O Mң P Oң＋O Mң O Nң＝１＋０＋|O M|c o s５π６＋|O M| |O N|c o s２π３ɤ１＋０ˑ(－３２)＋０ˑ(－１２)＝１．综上,P Mң P Nң的最大值为１．如果两个向量的夹角是钝角,那么它们的数量积是负值,所以本例中要使P Mң P Nң值最大,只需M,N两点与O重合．２３㊀数量积定值问题例５㊀已知线段A B是半径为r(r＞０)的圆O的一条弦,且A B＝２,试问A Oң A Bң是定值(与r的大小无关)吗?请探究．先将问题特殊化:容易求得,当弦A B为直径时,有A Oң A Bң＝２;当әA O B为正三角形时,也有A Oң A Bң＝２,于是可以大胆猜想A Oң A Bң为定值２,那么这个论断正确吗?下面加以严格证明．如图５所示,过点O作O HʅA B于点H,则A Oң A Bң＝|A Oң||A Bң|c o søO A B＝(|O Aң| c o søO A B) |A Bң|＝|AHң||A Bң|＝１２|A Bң|２＝２．图５对于动中有定问题,通常可以从特殊值或运动的特殊位置入手,先找到疑似定值 ,然后讨论一般情形并证明．解答本题还需注意向量的投影在圆中的运用,即A Oң A Bң的大小仅取决于弦A B的长短．从以上五个例题可以看出,无论是静态还是动态问题,平面向量数量积问题都离不开数量积定义式的应用,同时要注意图形特征,善于将欲求向量转化为已知向量．这类问题虽然背景比较新颖,但除去背景的外包装 ,其实就是极为普通的平面向量数量积运算问题．(作者单位:甘肃省张掖市实验中学)Җ㊀山东㊀袁海艳㊀㊀在等差数列中,经常会碰到有关最值的问题,主要是等差数列前n项和的最值问题．通过题目中给出的相关信息,结合数列的相关性质,确定前n项和中的最值问题,是函数性质的一种特殊表现．１㊀邻项变号法(不等式法)等差数列中求前n项和S n的最大(小)值,其思路是找出某一项,使这项及它前面的项皆取正(负)值或零,而它后面的各项皆取负(正)值,则从第１项起到该项的各项的和为最大(小)．例１㊀若等差数列{a n}满足a７＋a８＋a９＞０,a７＋a１０＜０,则当n＝时,{a n}的前n项和最大．根据等差数列的性质有a７＋a８＋a９＝３a８＞０,可得a８＞０．又a７＋a１０＝a８＋a９＜０,则a９＜０,所以当n＝８时,等差数列{a n}的前n项和最大．本题根据等差数列的相关性质,利用邻项变号法,结合题意的相关知识和对应的要求加以分析求解等差数列的前n项和的最值．２㊀配方法把等差数列前n项和S n表示成关于n的二次函数,利用配方法,运用二次函数的知识求解等差数列前n项和的最值问题,要注意项数n的取值为正整数．例２㊀数列{a n}的前n项和S n＝３３n－n２,问n为何值时,S n有最大值?由于S n＝３３n－n２＝－(n－３３２)２＋１０８９４,所以当n＝１６或n＝１７时,S n有最大值２７２．本题直接进行配方,利用二次函数的知识求解等差数列前n项和的最值,要注意项数n的取值为正整数．３㊀图象法根据等差数列的性质,往往把等差数列前n项和６１S n 表示成关于n 的二次函数,利用二次函数所对应的图象与性质确定相应的最值．例３㊀设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a １＞０,S １２＞０,S １３＜０,指出S １,S ２, ,S １２中哪一个值最大,并说明理由．如图１所示,因为{a n }是等差数列,所以S n ＝d ２n ２＋(a １－d２)n ,因为S １２＞０,S １３＜０,所以a １３＝S １３－S １２＜０,因为a １＞０,a １３＜０,所以d ＜０,所以点(n ,S n )分布在开口方向向下的抛物线y ＝d ２x２＋(a １－d２)x 的图象上．设二次函数y ＝d ２x ２＋(a １－d２)x 的对称轴为x ＝n ０,则２n ０是二次函数的一个零点,因为S １２＞０,S １３＜０,所以１２＜２n ０＜１３,所以６＜n ０＜６５．易知n ＝６对应的点A (６,S ６)到对称轴的距离比n ＝７对应的点B (７,S ７)到对称轴的距离更小,所以点A 为最高点,S ６最大．图１本题通过把求和公式转化为相应的二次函数的解析式,利用二次函数的图象与性质来确定S n 的最值．４㊀数列性质法等差数列的单调性㊁首末两项等距的相加性等性质在解决等差数列的最值问题中经常采用,体现了函数思维㊁整体代换思维的应用．数列性质法能简化运算,优化解题过程．例４㊀在等差数列{a n }中,已知a １＝２０,前n 项和为S n ,且S １０＝S １５,求当n 取何值时,S n 取得最大值,并求出它的最大值．由于a １＝２０,S １０＝S １５,则１０ˑ２０＋１０ˑ９２d ＝１５ˑ２０＋１５ˑ１４２d ,解得d ＝－５３,由S １０＝S １５,可得a １１＋a １２＋a １３＋a １４＋a １５＝０,结合等差数列的性质可得５a １３＝０,即a １３＝０．综上,当n ＝１２或１３时,S n 有最大值,且最大值为S １２＝S １３＝１２ˑ２０＋１２ˑ１１２ˑ(－５３)＝１３０．求解此类问题方法众多,可以采用邻项变号法㊁配方法等,而结合题目条件,利用等差数列的性质法来处理显得更为简单巧妙．利用数列性质法来求解最值问题时,要注意题目中的条件与数列性质的转化．５㊀转化法在解决一些特别数列的最值问题时,往往通过转化,把问题转化为有关等差数列的单调性㊁相关项的正负或大小关系问题,进而根据求和问题加以判断与应用．例５㊀若数列{a n }是等差数列,数列{b n }满足b n ＝a n a n ＋１ a n ＋２(n ɪN ∗),{b n }的前n 项和为S n ,若{a n }中满足３a ５＝８a １２＞０,试问n 为何值时,S n 取得最大值?证明你的结论．由于３a ５＝８a １２＞０,则３a ５＝８(a ５＋７d )＞０,解得a ５＝－５６５d ＞０,即d ＜０,而a ５＝－５６５d ＝a １＋４d ＞０,所以a １＝－７６５d ＞０,即数列{a n }是首项为正数的递减数列．由a n ȡ０,a n ＋１ɤ０,{得－７６５d ＋(n －１)d ȡ０,－７６５d ＋n d ɤ０,ìîíïïïï解得１５１５ɤn ɤ１６１５,故n ＝１６,即a １６＞０,a １７＜０,此时a １＞a ２＞＞a １６＞０＞a １７＞a １８＞ ,根据b n ＝a n a n ＋１ a n ＋２(n ɪN ∗),可得b １＞b ２＞＞b １４＞０＞b １７＞b １８＞ ,而b １５＝a １５ a １６ a １７＜０,b １６＝a １６ a １７a １８＞０,所以S １４＞S １３＞＞S １,S １４＞S １５＜S １６,又a １５＝a １＋１４d ＝－６５d ＞０,a １８＝a １＋１７d ＝９５d ＜０,所以a １５＜|a １８|,即|b １５|＜b １６,也即b １５＋b １６＞０,所以S １６＞S １４,即n ＝１６时,S n 取得最大值．转化与化归思想在解决数列的最值问题中经常碰到,往往是通过数列的项㊁求和公式㊁数列性质等的转化,把比较繁杂的问题转化为比较常见且方便求解分析的问题．在研究等差数列的最值问题中,以上五种方法可以灵活应用,当然有时对于同一个题目,五种方法都适用,关键是根据题目条件选择最适当的方法加以分析．通过不同方法的比较与渗透,能提高学生的知识应用能力与问题解决能力．(作者单位:山东省青岛市城阳第一高级中学)７１。

三角函数最值问题研究

三角函数最值问题研究作者：梁观帝来源：《广东教学报·教育综合》2021年第71期【摘要】在高中數学教学中，由于学科的抽象性，对学生的教学存在着极大的难度。

在高考中，数学分数非常重要，在总成绩上不容轻视。

高考中的数学题目，选择题、填空题以及解答大题之中都会出现与三角函数相关的问题，在卷面分中占了很大一部分的分值。

三角函数的最值求解是一个非常重要的知识内容，高中生必须对该知识熟记于心，并能够灵活运用。

本文将如何计算三角函数最值问题进行分析讨论，并对其进行归纳整理，帮助学生更好地掌握三角函数最值问题。

【关键词】三角函数;最值;高中数学数学对于学生的思维逻辑具有一定的要求，需要学生具有良好的逻辑思维能力。

数学对于人的逻辑思维和问题意识的形成以及以后的学习生活都有着巨大的影响。

特别是三角函数，它是高中数学所学几大函数之中最重要的一个函数，而三角函数的最值问题更是三角函数中的重难点。

所以，三角函数的解题过程中，需要一定的技巧，适当地掌握一定的数学解题技巧，就能够更快地处理数学问题。

一、高中三角函数最值问题的特点根据函数名称，可以知道三角函数是与角度有关的函数问题。

在学习三角函数时，要首先学习一些比较易于学生接受的三角函数，比如余弦函数、正弦函数、正切函数等较为简单的单一三角函数。

在学生了解接受单一的三角函数后，教师要加大难度，将不同类型的三角函数融为一体，但在本质上它们仍然是三角函数。

因此，只有当学生牢牢记住三角函数的相关概念及知识点，将其理解融会贯通，对于在试卷上出现的一系列三角函数的最值计算问题都能够迎刃而解，取到自己理想的数学成绩。

三角函数运算是重要的一种数学综合运算，三角函数最值问题的难点是其在三角函数运算中的基本运算内容对三角函数的恒等式和变形运算能力及数学综合运算应用能力要求相对较高。

解决三角函数最值这类问题的解题思路在于：一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等）;另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些学生平时所熟悉的一些函数（如：一次函数、二次函数等）最值问题。

求最值问题的五种方法

-173-
【专题研讨】
试析广告语在成功广告中的重要性
田子昂
（濮阳职业技术学院，河南濮阳 457000）
摘要：广告是艺术和科学的融合体，而广告词又往往在广告中起到画龙点睛的作用。好的广告语就是品牌的眼睛，对
于人们理解品牌内涵，建立品牌忠诚都有不同寻常的意义。
关键词：广告语；广告；重要性
中图分类号：F713.8
=8-4sinxcosx-1+4cos2x-4cos4x =8-2sin2x-（1-sin22x） =7-2sin2x+sin22x =6+（1-sin2x）2 ymax=10，ymin=6。解法2：y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x =7-2sin2x+4cos2x（1-cos2x）
的最值。
解：将函数式变形为y= 4（3（scinoxsx--142）），只需求函数u=
. A操l、l羽毛R球ig的h活t动s ，R而e参s加er其v他e项d.目的人数少于20％。从学
生选课项目来看，多大部分学生选择娱乐性、非对抗性的项目，如乒乓球、健美操、羽毛球等。新《纲要》特别强调，确定体育课程内容的主要原则，即健身性与文化性相结合的原则，不但把健康第一的指导思想作为确定课程内容的基本出发点，同时重视课程内容的体育文化含量。随着生活的富裕、体育社会化的开展，休闲体育也在高校内蓬勃发展，体育活动逐渐向运动负荷小的休闲娱乐性的方向发展。新时期大学生的知识结构、文化品味、个人素养相对提高，大部分学生喜欢协调、优雅且韵律性较强的运动项目，他们多以满足身心愉悦、增强健身意识为主要目的。现有的体育活动课的形式还不能满足学生自我个性的发展，要扩大自由度、自主权，积极开展服务于学生喜欢的娱乐性、休闲性的运动项目。

专题五第2讲圆锥曲线的概念与性质和最值问题

(1)在解答题中作为考题的第一问，由已知条件直接求圆锥曲线的方程． (2)在选择题或填空题中与圆锥曲线的几何性质交汇命题.
训练高效提能
菜
单
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分何
基础要点整合
专题五
解析几
解题规范流程
x2 2 【例 1】 (1)(2013· 朝阳一模)以双曲线 3 －y ＝1 的右焦点为焦点，顶点在原点的抛物线的标准方程是 ________． (2)(2013· 烟台一模)若点 P 是以 A(－ 10， 0)、 B( 10， 0)为焦点，实轴长为 2 2的双曲线与圆 x2＋y2＝10 的一个交点，则|PA|＋|PB|的值为 A．2 2 B．4 2 C．4 3 D．6 2
答案
5
训练高效提能
菜
单
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基础要点整合
专题五
解析几
解题规范流程
考点三：圆锥曲线中的最值或范围问题
函数与方程的思想方法题型解答题难度 [考情一点通] 中档或较难
考点核心突破
以直线和圆锥曲线为背景，通过巧妙的设计与整合，考查直线与圆锥曲线相交弦的最值考查、三角形或四边形面积的最值、某个量的取内容值范围等，最值问题常与函数、解不等式等知识交汇，一般要应用函数的单调性、基本不等式或条件中某个量自身的范围求解.
考点核心突破
1 C.2或 2
训练高效提能
菜
单
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第一部分何
基础要点整合

数字正射影像图镶嵌问题分析

3.影像重叠范围
相邻景影像重复范围大，有利于严格按照地块边界勾画裁切线，否则无法保证裁切线连续，造成同一地块光谱特征不一致
三、如何应对数字正射影像图镶嵌中的问题
（一）选择符合要求的原始影像
(1)相邻各景影像之间应有不小于影像4%的重叠，特殊情况下重叠范围不能低于2%。
(2)应选用成像季节相近的影像，并要求影像层次丰富、纹理清晰、色调均匀、反差适中。
（三）龙江县影像镶嵌的主要问题
通过对龙江县的影像进行纠正、配准、调色、融合一系列的处理，进入镶嵌过程，在镶嵌过程中，我们发现龙江县的影像存在如下问题：
1.影像接边精度问题
(1)精度要求
表2 DOM数据镶嵌限差单位：m
地形类别
平地、丘陵地（米）
山地、高山地（米）
限差
5
8
(2)影像289255-040925与影像289255-060907在重叠区域存在个别地物接边超限，如图1所示（超限在6米左右）：
20050718
3%
6.382424
5
289-256
20060527
0%
23.6
注：a.不含2005年以前影像。
b.龙江县涉及05年以前的影像景号是：287254-040929倾角为20.066389；289255-040925倾角为-8.328280。
(2)影像纠正控制点
影像纠正控制点数据源采用GPS实测控制点。
关键词：正射影像图；数字镶嵌；镶嵌限差；控制点；镶嵌线
近年来，随着高分辨率数字正射影像在国土、规划、测绘、遥感、军事、水利、环保、农林等领域中发挥的作用日趋重要，正射影像图的数字镶嵌逐步成为影像处理研究的热点技术之一。在第二次全国土地调查中，对所用数字正射影像图的镶嵌质量，决定了接边数据的精度，直接关系到二次调查国家级成果的质量。

专题4.4 立体几何中最值问题(解析版)

一．方法综述高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练．立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解.二．解题策略类型一距离最值问题【例1】【河南省焦作市2019届高三三模】在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，则|AF|的最大值为（）A．B．1 C．D．2【答案】B【解析】以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则C1（4，4，4），设E（0，0，z），z∈[0，4]，F（x，0，0），x∈[0，4]，则|AF|＝x．＝（4，4，4﹣z），＝（x，0，﹣z）．因为C1E⊥EF，所以，即：z2+4x﹣4z＝0，x＝z﹣．当z＝2时，x取得最大值为1．|AF|的最大值为1．故选：B．【指点迷津】建立空间直角坐标系，求出坐标，利用C 1E⊥EF，求出|AF|满足的关系式，然后求出最大值即可．利用向量法得到|AF|的关系式是解题的关键，故选D.【举一反三】1、【江西省吉安市2019届高三上学期期末】若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的棱长为A．B．C．D．【答案】A【解析】解：根据三视图知，该几何体是一个正四棱锥，画出图形如图所示；则，，底面CDEB，结合图形中的数据，求得，在中，由勾股定理得，同理求得，．故选：A ．2、【河南省顶级名校2019届高三第四次联合测评】在侧棱长为的正三棱锥中，侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，现有一小球P 在该几何体内，则小球P 最大的半径为 A ． B ． C ．D ．【答案】B 【解析】当小球与三个侧面，，及底面都相切时，小球的体积最大此时小球的半径最大，即该小球为正三棱锥的内切球设其半径为由题可知因此本题正确选项：3、如右图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D 中， E 为棱1CC 的中点，点,P Q 分别为面1111A B C D和线段1B C 上的动点，则PEQ ∆周长的最小值为_______．【解析】将面1111A B C D 与面11BB C C 折成一个平面，设E 关于11B C 的对称点为M ，E 关于1B C 对称点为N,则PEQ ∆周长的最小值为MN ==类型二面积的最值问题【例2】【河南省郑州市2019年高三第二次质量检测】在长方体中，，，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面没有公共点，则三角形面积的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】补全截面EFG 为截面EFGHQR 如图，其中H 、Q 、R 分别为、的中点，易证平面ACD 1∥平面EFGHQR ，∵直线D 1P 与平面EFG 不存在公共点， ∴D 1P∥面ACD 1，∴D 1P 面ACD 1，∴P ∈AC ，∴过P 作AC 的垂线，垂足为K ，则BK=,此时BP 最短，△PBB 1的面积最小，∴三角形面积的最小值为，故选：C．【指点迷津】截面问题，往往涉及线面平行，面面平行定义的应用等，考查空间想象能力、逻辑思维能力及计算求解能力.解题的关键是注意明确截面形状，确定几何量.本题由直线与平面没有公共点可知线面平行，补全所给截面后，易得两个平行截面，从而确定点P所在线段，得解．【举一反三】1、【湖南省衡阳市2019届高三二模】如图，直角三角形，，，将绕边旋转至位置，若二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，，，分别为，，的中点，作面，作面，连，，易知点即为四面体的外接球心，，，.设，，则，，，.【处理一】消元化为二次函数..【处理二】柯西不等式..所以.2、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，2,11==AA AB ，点P 是平面1111D C B A 内的一个动点，则三棱锥ABC P -的正视图与俯视图的面积之比的最大值为（）A ．1B ．2C ．21D ．41 【答案】BABC P -的正视图与俯视图的面积之比的最大值为2；故选B ．3、【福建省2019届高三模拟】若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有侧面和底面中，面积的最大值为（）A ．2B ．C ．3D ．【答案】C【解析】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，其中，为的中点，平面，，.所以，，.又因为，，所以，故，所以.故选C.类型三体积的最值问题【例3】如图，已知平面平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，，是平面上的一动点，且有，则四棱锥体积的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【指点迷津】本题主要考查面面垂直的性质，棱锥的体积公式以及求最值问题. 求最值的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图像法，本题首先根据线面关系将体积最值转化为函数求最值问题，然后应用方法①解答的. 【举一反三】1、已知AD 与BC 是四面体ABCD 中相互垂直的棱，若6AD BC ==，且60ABD ACD ∠=∠=，则四面体ABCD 的体积的最大值是A. B. C. 18 D. 36 【答案】A2、如图，已知平面l αβ=，A 、B 是l 上的两个点，C 、D 在平面β内，且,,DA CB αα⊥⊥4AD =，6,8AB BC ==，在平面α上有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，则P ABCD -体积的最大值是（）A. B.16 C.48 D.144 【答案】C 【解析】,,DA DA βααβ⊂⊥∴⊥面.,,DA CB αα⊥⊥PAD ∴∆和PBC ∆均为直角三角形．,APD BPC PAD ∠=∠∴∆∽PBC ∆.4,8,2AD BC PB PA ==∴=.学科&网过P 作PM AB ⊥,垂足为M .则PM β⊥.令AM t =,()t R ∈.则2222PA AM PB BM -=-,即()222246PA t PA t -=--,2124,PA t PM ∴=-∴=底面四边形ABCD 为直角梯形面积为()1486362S =+⨯=.学科&网136483P ABCD V -∴=⨯=.故C 正确.3.【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第三次测评】已知一个高为l 的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，内有一个体积为的球，则的最大值为（） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】依题意，当球与三棱锥的四个面都相切时，球的体积最大，该三棱锥侧面的斜高为，，，所以三棱锥的表面积为，设三棱锥的内切球半径为，则三棱锥的体积，所以，所以，所以，故选A.类型四角的最值问题【例4】如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点.设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则θcos 的最大值为.【答案】25【解析】建立坐标系如图所示.设1AB =，则11(1,,0),(,0,0)22AF E =.设(0,,1)(01)M y y ≤≤，则1(,,1)2EM y =-，由于异面直线所成角的范围为(0,]2π，所以cos θ==.2281145y y +=-+，令81,19y t t +=≤≤，则281161814552y y t t+=≥++-，当1t =时取等号.所以2cos 5θ==≤=，当0y =时，取得最大值.C【指点迷津】空间的角的问题，只要便于建立坐标系均可建立坐标系，然后利用公式求解.解本题要注意，空间两直线所成的角是不超过90度的.几何问题还可结合图形分析何时取得最大值.当点M 在点P 处时，EM 与AF 所成角为直角，此时余弦值为0（最小），当点M 向左移动时，.EM 与AF 所成角逐渐变小，点M 到达点Q 时，角最小，余弦值最大. 【举一反三】1、矩形ABCD 中，，，将△ABC 与△ADC 沿AC 所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD 与直线BC 成的角范围（包含初始状态）为（）A.B.C.D.【答案】C2、在正方体1111D C B A ABCD -中，O 是BD 中点，点P 在线段11D B 上，直线OP 与平面BD A 1所成的角为α，则αsin 的取值范围是（） A ．]33,32[B ．]21,31[C ．]33,43[D ．]31,41[ 【答案】A3.【云南省昆明市云南师范大学附属中学2019届高三上学期第四次月考】如图，在正方体中，点P为AD的中点，点Q为上的动点，给出下列说法：可能与平面平行；与BC所成的最大角为；与PQ一定垂直；与所成的最大角的正切值为；．其中正确的有______写出所有正确命题的序号【答案】【解析】解：由在棱长为1的正方体中点P为AD的中点，点Q为上的动点，知：在中，当Q为的中点时，，由线面平行的判定定理可得PQ与平面平行，故正确；在中，当Q为的中点时，，，，可得，故错误；在中，由，可得平面，即有，故正确；在中，如图，点M为中点，PQ与所成的角即为PQ与所成的角，当Q与，或重合时，PQ与所成的角最大，其正切值为，故正确；在中，当Q 为的中点时，PQ 的长取得最小值，且长为，故正确．故答案为：．4、在正四面体P ABC -中，点M 是棱PC 的中点，点N 是线段AB 上一动点，且AN AB λ=，设异面直线NM 与AC 所成角为α，当1233λ≤≤时，则cos α的取值范围是__________．【答案】,3838⎡⎢⎣⎦ 【解析】设P 到平面ABC 的射影为点O ,取BC 中点D ,以O 为原点，在平面ABC 中，以过O 作DB 的平行线为x 轴，以OD 为y 轴，以OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，设正四面体P −ABC的棱长为则()()(((0,4,0,,,,A B C P M --，由AN AB λ=,得(),64,0N λ-，∴((),56,NM AC λ=--→-=-，∵异面直线NM 与AC 所成角为α, 1233λ≤≤，∴2NM AC cos NM AC α⋅==⋅，设32t λ-=，则5733t 剟∴222111124626()41t cos t t t tα==-+-⋅+，∵1313375t <剟cos α.∴cos α的取值范围是⎣⎦.三．强化训练一、选择题1、【甘肃省2019届高三第一次高考诊断】四棱锥的顶点均在一个半径为3的球面上，若正方形的边长为4，则四棱锥的体积最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设正方形的中心为，当在于球心的连线上时，四棱锥高最高，由于底面面积固定，则高最高时，四棱锥体积取得最大值.设高为，，球的半径为，故，解得.故四棱锥的体积的最大值为.故选D.2．【广东省东莞市2019届高三第二次调研】已知一个四棱锥的正主视图和俯视图如图所示，其中，则该四棱锥的高的最大值为A．B．C．4 D．2【答案】A【解析】解：如图所示，由题意知，平面平面ABCD，设点P到AD的距离为x，当x最大时，四棱锥的高最大，因为，所以点P的轨迹为一个椭圆，由椭圆的性质得，当时，x取得最大值，即该四棱锥的高的最大值为．故选：A．3．【四川省教考联盟2019届高三第三次诊断】已知四棱锥的底面四边形的外接圆半径为3，且此外接圆圆心到点距离为2，则此四棱锥体积的最大值为（）A．12 B．6 C．32 D．24【答案】A【解析】由锥体的体积公式v=，可知，当s和h都最大时，体积最大.由题得顶点P到底面ABCD的距离h≤2.当点P在底面上的射影恰好为圆心O时，即PO⊥底面ABCD时，PO最大=2，即,此时,即四边形ABCD为圆内接正方形时，四边形ABCD的面积最大，所以此时四边形ABCD的面积的最大值=,所以.故选：A4．【安徽省蚌埠市2019届高三第一次检查】某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，三棱锥表面上的点M在俯视图上的对应点为A，三棱锥表面上的点N在左视图上的对应点为B，则线段MN的长度的最大值为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由三视图可知，该三棱锥的底面是直角三角形，一条侧棱与底面垂直（平面），为几何体的直观图如图，在上，重合，当与重合时，线段的长度的最大值为．故选D ．5．如图，在矩形ABCD 中， 2,1AB AD ==,点E 为CD 的中点， F 为线段CE （端点除外）上一动点现将DAF ∆沿AF 折起，使得平面ABD ⊥平面ABC 设直线FD 与平面ABCF 所成角为θ，则sin θ的最大值为（）A.13 B. 4 C. 12 D. 23【答案】C 【解析】如图：在矩形中，过点作的垂线交于点，交于点设，6．【2019年4月2019届高三第二次全国大联考】已知正四面体的表面积为，点在内（不含边界）. 若，且，则实数的取值范围为（） A ． B ． C ．D ．【答案】A 【解析】设正四面体的棱长为则，解得则正四面体的高为记点到平面、、的距离分别为则因为，所以，则故又，故即实数的取值范围为本题正确选项：二、填空题7．【山东省青岛市2019届高三3月一模】在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，面，且，若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为__________．【答案】【解析】在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积时，对应的球应该是内切球，此时球的半径最大，设内切球的球心为O半径为R，连接球心和ABCD四个点，构成五个小棱锥，根据体积分割得到，五个小棱锥的体积之和即为大棱锥的体积，，根据AB垂直于AD，PD垂直于AB 可得到AB垂直于面PDA，故得到AB垂直于PA，同理得到BC垂直于PC，表面积为：，此时球的表面积为：.故答案为：.8．【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考】如图，已知正四棱柱和半径为的半球O，底面ABCD在半球O底面所在平面上，，，，四点均在球面上，则该正四棱柱的体积的最大值为______．【答案】4【解析】设正四棱柱的高为h，底面棱长为a，则正四棱柱的底面外接圆直径为，所以，．由勾股定理得，即，得，其中，所以，正四棱柱的体积为，其中，构造函数，其中，则，令，得．当时，；当时，．所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，则．因此，该正四棱柱的体积的最大值为4．9．【陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考】如图，已知圆柱和半径为的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为_____．【答案】2π【解析】解：设圆柱的底面圆半径为r，高为h；则h2+r2＝R2＝3；所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π（3﹣h2）h＝π（3h﹣h3）；则V′（h）＝π（3﹣3h2），令V′（h）＝0，解得h＝1；所以h∈（0，1）时，V′（h）＞0，V（h）单调递增；h∈（1，）时，V′（h）＜0，V（h）单调递减；所以h＝1时，V（h）取得最大值为V（1）＝2π．故答案为：2π．10．【江西省上饶市2019届高三二模】一个棱长为的正方体形状的铁盒内放置一个正四面体，且能使该正四面体在铁盒内任意转动，则该正四面体的体积的最大值是_____.【答案】【解析】由题该正四面体在铁盒内任意转动，故其能在正方体的内切球内任意转动，内切球半径为6，设正四面体棱长为a, 将此正四面体镶嵌在棱长为x的正方体内，如图所示：则x=，外接球的球心和正方体体心O重合，∴外接球的球半径为：=6,a=4又正四面体的高为∴该正四面体的体积为故答案为11．【河北省衡水市第二中学2019届高三上期中】已知体积为的正四棱锥外接球的球心为，其中在四棱锥内部.设球的半径为，球心到底面的距离为.过的中点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是___________.【答案】【解析】如图取底面的中心为，连接平面，且球心在上，由条件知，，连接，，则，于是底面的边长为.又，故四棱锥的高是，所以，即，从而，，于是，过的中点的最小截面圆是以点为圆心的截面圆，该截面圆的半径是，故所求面积为.12．【江西省临川第一中学等九校2019届高三3月联考】如图所示，三棱锥的顶点，，，都在同一球面上，过球心且，是边长为2等边三角形，点、分别为线段，上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为__________．【答案】【解析】过球心，又是边长为的等边三角形，，,三角形是等腰直角三角形，，，又因为,在平面内，由线面垂直的判定定理可得平面,即平面，设，，则三棱锥体积，当且仅当，即时取等号，故答案为.13．【安徽省蚌埠市2019届高三下学期第二次检查】正三棱锥中，，点在棱上，且.正三棱锥的外接球为球，过点作球的截面，截球所得截面面积的最小值为__________．【答案】【解析】因为，所以，所以，同理，故可把正三棱锥补成正方体（如图所示），其外接球即为球，直径为正方体的体对角线，故，设的中点为，连接，则且，所以，当平面时，平面截球的截面面积最小，此时截面为圆面，其半径为，故截面的面积为．填．14．【江西师范大学附属中学2019高三上学期期末】若一个四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球的体积最小时，它的高为_________．【答案】【解析】设四棱锥底面边长为a，高为h，底面对角线交于O，由条件四棱锥P-ABCD为正四棱锥，其外接球的球心M在高PO上，设外接球半径为R，在直角三角形MAO中，，又该四棱锥的体积为9，所以所以，，，时，时，所以时R极小即R最小，此时体积最小.故答案为3.15．【江西省上饶市2019届高三二模】已知正方体的棱长为，平面与对角线垂直且与每个面均有交点，若截此正方体所得的截面面积为，周长为，则的最大值为______.【答案】【解析】因为平面与对角线垂直，所以平面与对角面平行，作出图象，为六边形,设则,所以，由对称性得平面过对角线中点时截面面积取最大值为，则的最大值为.16．【河南省洛阳市2019届高三第二次统考】正四面体中，是的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该四面体内切球的体积为_____.【答案】【解析】如下图，正方体中作出一个正四面体将正三角形和正三角形沿边展开后使它们在同一平面内，如下图：要使得最小，则三点共线，即：，设正四面体的边长为，在三角形中，由余弦定理可得：，解得：，所以正方体的边长为2，正四面体的体积为：，设四正面体内切球的半径为，由等体积法可得：，整理得：，解得：，所以该四面体内切球的体积为.17．【2019届湘赣十四校高三联考第二次考试】如图，正三棱锥的高，底面边长为4，，分别在和上，且，当三棱锥体积最大时，三棱锥的内切球的半径为________．【答案】【解析】设，，当时，取得最大值，此时为中点，经过点，且，，所以可求，，因此易求，，，，又∵，∴.。

镶嵌图像上拼接缝的消除方法

镶嵌图像上拼接缝的消除方法黄文莉　朱述龙　陈虹(信息工程大学测绘学院　郑州　450052)摘要　分析了基于小波变换的拼接缝消除方法的不足,提出了拼接缝消除的强制改正方法,并用实际图像进行了试验。

结果表明:文中提出的方法具有较好的拼接缝消除效果,算法简单,易于实现,可以处理彩色和黑白等多种图像。

关键词　拼接缝消除,基于小波变换方法,强制改正方法分类号　TP751 数字影像镶嵌(m osaicking )是将两幅或多幅数字影像(它们有可能是在不同的摄影条件下获取的)拼在一起,构成一幅整体图像的技术过程。

影像镶嵌有着重要的应用,例如,为了获得更大范围的地面影像,通常需要将多幅(景)遥感图像拼成一幅影像图。

影像镶嵌的技术问题之一是如何将多幅影像从几何上拼接起来,这一步通常是先对每幅图像进行几何校正,将它们规划到统一的坐标系中,然后对它们进行裁剪,去掉重叠的部分,再将裁剪后的多幅影像装配起来形成一幅大幅面的影像。

影像镶嵌的技术问题之二是消除几何拼接以后的图像上因灰度(或颜色)差异而出现的拼接缝。

文中只讨论拼接缝的消除问题。

一般地,在拼接的边界上,两幅图像灰度上的细微差别都会导致明显的拼接缝,而在实际的成像过程中,被拼接的图像在拼接边界附近的灰度细微差别几乎是不可避免的。

摄影角度的差异、背景的微小变化、成像手段的改变等等都可能造成这种灰度上的差异。

因此在拼接过程中,需要一种技术能够修正待拼接影像在拼接缝附近的灰度值,使之在拼接缝处的灰度有一个光滑的过渡。

1　基于小波变换的拼接缝消除方法及其优缺点从数学上讲,拼接缝的消除相当于图像灰度曲面的光滑连接,但实际上图像的拼接与曲面的光滑连接不同,图像灰度曲面的光滑化表现为对图像的模糊化,从而导致图像模糊不清。

实践表明:在拼接的部分,若图像的空间频率的改变由W min 到W max ,记T l 和T s 分别为W min 与W max 对应的波长,则为使拼接后的图像不出现拼接缝,灰度值修改影响的范围应不小于T l ,而为了使拼接后的图像清晰,灰度值修正影响的范围又要大于T s 的两倍。

fme

在弹出的对话框中（下图），可以选择选择一个或多个文件（Add Files…），也可以选择文件夹（Add Directories…）。

根据提示完成各个选项后执行批量处理操作。

示例：模板完成的操作是提取输入影像的边界矩形，对该矩形和原影像都进行重投影，然后用转换后矩形的最大内接矩形来裁剪转换后的影像。

在完成模板后，对单个影像进行操作没有任何问题，但批量处理时结果不正确（我所用的FME版本是2010）。

后来发现，FME2010版本默认的Clipper Type是Multiple Clippers，当进行批量处理时，并不是每个用来裁剪的矩形裁剪对应的影像，而是这些生成的矩形都来裁剪影像，造成裁剪出来的影像只保留了矩形重叠的部分。

把Clipper Type改为Single Clipper（如下图），就可以得到预期的效果。

3、栅格数据的镶嵌问题使用Sorter转换器对输入的栅格进行排序，设置为升序，如图：镶嵌后的影像如图：把Sorter转换器设置为降序后，镶嵌后的影像如图：4、栅格数据的叠加矢量问题转换器VectorOnRasterOverlayer可以把矢量数据添加到栅格数据上，并把覆盖矢量数据的栅格数据栅格化生成新的栅格数据，新的栅格数据与原栅格数据的属性一致。

示例：原栅格数据：原矢量数据：覆盖了矢量数据后生成的栅格数据：FME中的栅格数据操作之三——示例与应用问题2010-04-14 21:55:08| 分类：栅格|字号订阅作者：毛毛虫5、Nodata设置问题在FME中，使用转换器RasterBandNodataSetter来设置或标识栅格数据集中的NODATA 值，使用RasterPaletteNodataSetter来设置或标识调色板的Nodata值，使用RasterBandNodataRemover转换器（这个转换器之前命名为RasterNodataRemover）移除栅格数的Nodata值。

另外可以使用RasterCellValueReplacer转换器把一个范围设置为一个值，如果又把这个值设置为Nodata值，可以移除这个范围内的值。

初中数学几何最值终极大招，助你破解加权线段最值之谜

初中数学几何最值终极大招，助你破解加权线段最值之谜之前的文章对初中数学几何最值问题提供了五种解决方法，它们基本可以解决同学们遇到的最值问题。

但近几年，出现了另外一种形如mAP+nAB的最值问题，运用之前的方法，根本没办法解决，难倒了绝大多数的同学，我把它归纳为加权线段之和的最值。

我们先来看一下问题吧。

加权线段之和如图所示，A，B是两个定点，P点以某种轨迹运动，一个人以V1的速度走到P，然后以V2的速度走到B，求这个人所用的最短时间。

这个问题乍一看，好像是将军饮马模型，但将军饮马模型只是这个问题的一个特例。

当V1=V2，P点在一条直线上运动时，实际上还是求AP+PB的长度，它就是将军饮马模型，但当V1不等于V2时，即使P 点还在一条直线上运动，它成了求mAP+nBP的长度，使用将军饮马模型怎么也求不出来。

这个问题，因为加上了速度这一维度，使难度提高了许多，就好比牛顿经典力学遇上了相对论才能解决的问题。

在初中阶段，根据P点运动的轨迹，这个问题主要分为两类。

一个是P点在一条直线上运动，对于这种问题的解决，使用的是胡不归模型。

一个是P点在一个圆上运动，对于这种问题的解决，使用的是阿氏圆模型。

胡不归模型首先，我们来看一下胡不归模型。

有两个定点A和B，一个动点P在AC上运动，AP段的速度是V1，PB段的速度是V2，求走完AP+BP的最短时间。

它的解决思路是把两个速度作统一化处理，就是把以一个速度V1所完成的路程S1，转化成以另一个速度V2以相同速度所完成的路程S3，这样以V2速度完成的路程S3就可以和以V2速度完成的路程S3进行合并了。

说的有点绕，具体到图中就很明白了，在图中，就是把V1完成的路程AP'转化成V2完成的路程P'D'，这样它们的速度一样，所以去求P'B+P'D'的最小值。

根据垂线段最短，过B作垂线交于P，就是所求的点。

下面我们来具体学习一下解题过程。