北京四中2014届九年级数学总复习专练：41.勾股定理(基础)知识讲解

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勾股定理知识点总结(经典、实用)

第三章、勾股定理一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，那么 a 2 + b 2= c 2。

公式的变形：a 2 = c 2- b 2， b 2= c 2-a 2 。

符号语言：注意：前提一定是直角三角形.a ，b 也可能是斜边，分清斜边直角边.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的的方法是面积相等---根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。

2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且满足a 2 + b 2= c 2，那么三角形ABC 是直角三角形。

这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点： ① 已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角. ④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

cb aHG F EDCB A bacbac cabcab a bcc baED CBA（分类讨论，数形结合）最大边的平方＜最小边的平方+中间边的平方是锐角三角形最大边的平方＞最小边的平方+中间边的平方是钝角三角形说明：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）分别求出c 2与a 2+b 2，判定c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形）。

勾股定理常用知识点总结

勾股定理常用知识点总结勾股定理的历史可以追溯到公元前570年至前495年的希腊数学家毕达哥拉斯，因此又称为毕达哥拉斯定理。

关于勾股定理最初的证明和应用并没有详细的记载，但在后来被各个数学家继续研究和推广，成为数学中的经典定理之一。

在勾股定理中，直角三角形是一个特殊的三角形。

直角三角形的一个角是90度，另外两个角是锐角和钝角。

在直角三角形中，直角所对的边称为斜边，其他两个边称为直角边。

根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方，即a² + b² = c²。

这个定理对于解决各种实际问题非常有用。

下面是勾股定理常用的知识点总结。

一、直角三角形的定义直角三角形是指三角形中一个角为90度的三角形。

通常用“△ABC”表示这样的一个三角形，其中∠C为直角，而∠A和∠B分别为锐角和钝角。

二、直角三角形中的三边关系在直角三角形中，根据勾股定理，直角所对的两条边的平方和等于斜边的平方。

即a² + b²= c²，其中a和b是直角三角形的两个直角边，c是斜边。

三、勾股定理的应用勾股定理在解决实际问题时非常有用。

通过勾股定理，我们可以计算直角三角形的边长，测量角度，解决导航和定位问题等。

勾股定理还可以用来验证三条边是否构成直角三角形，以及判定一个三角形是否为直角三角形。

四、特殊角度的勾股定理在直角三角形中，三边之间的关系是严格的，但是也可以将勾股定理推广到一些特殊的角度上。

例如，当直角三角形中的两个锐角为30度和60度时，我们可以利用勾股定理计算三角形中各边的长度。

根据勾股定理的推广，当两个锐角为30度和60度时，可以得到sin30°=1/2，cos30°=√3/2，sin60°=√3/2，cos60°=1/2等相关知识，从而计算出直角三角形中各边的长度。

五、勾股定理的证明勾股定理的证明一直是数学家们研究的重要课题。

目前已经有多种不同的证明方法，其中较为著名的有几何法、代数法和物理法等。

勾股定理知识点总结梳理

勾股定理知识点总结梳理一、概念勾股定理是指直角三角形中，直角边上的两个小正方形的面积之和等于斜边上的一个大正方形的面积。

具体来说，设直角三角形的斜边长为 c，直角边长分别为 a 和 b，则有 a^2 + b^2 = c^2。

这就是著名的勾股定理。

这个定理是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪发现的，因而也被称为毕达哥拉斯定理。

二、证明方法勾股定理的证明方法有很多种，其中比较经典的是几何证明和代数证明两种方法。

1. 几何证明几何证明是从图形的角度出发，通过构造几何图形来证明勾股定理。

一种经典的几何证明是通过构造一个边长为 a+b，边长为 a，b的三个正方形，然后利用这三个正方形的关系来证明勾股定理。

具体步骤如下：（1）首先，我们分别在直角三角形的两条直角边上分别构造正方形，假设它们的边长分别为 a 和 b。

（2）然后再对边长为 a+b 的正方形进行构造，使得它的面积等于 a^2 + b^2，这样就构成了一个大正方形。

（3）最后，我们可以通过计算其中每个三角形的面积，再将它们相加，就可以得到大正方形的面积，从而证明 a^2 + b^2 = c^2。

2. 代数证明代数证明是通过代数方程式来推导和证明勾股定理。

一种经典的代数证明方法是利用平面直角坐标系，假设直角三角形的顶点分别为（0,0）、（a,0）和（0,b），斜边的顶点为（a,b）。

然后根据两点间的距离公式，可以推导出 a^2 + b^2 = c^2。

这种方法比较直观和简单，适合初学者理解和掌握。

三、应用勾股定理在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。

主要体现在以下几个方面：1. 测量和建筑在测量和建筑领域，勾股定理被广泛应用于测量三角形的边长和角度，以及设计相应的建筑结构。

例如，在房屋建筑中可以利用勾股定理来确定墙角是否垂直，以及计算各种角落的长度。

2. 航空航天在航空航天领域，勾股定理被应用于导航、飞行轨迹规划和飞行器设计等方面。

例如，飞行员需要根据勾股定理计算飞机的飞行距离和高度，以确保飞行过程中的安全。

北京四中数学总复习资料(勾股定理和逆定理)

总复习：勾股定理及其逆定理(提高)知识网络考点梳理考点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（即：）.【要点诠释】勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方.2.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法.用拼图的方法验证勾股定理的思路是:①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变;②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理.3.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：①已知直角三角形的任意两边长，求第三边,在中，，则，，;②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系;③可运用勾股定理解决一些实际问题.考点二、勾股定理的逆定理1.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.【要点诠释】①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形；②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边；③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形.3.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数;②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等;③用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）；（为正整数）（，为正整数）考点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系1.区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解；而其逆定理是判定定理，能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．2.联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决.典型例题类型一、勾股定理及其逆定理的应用1．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是__________．2．（2012•北京）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．类型二、勾股定理及其逆定理与其他知识的结合应用3. 王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔．已知第一条边长为a米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米．（1）请用a表示第三条边长；（2）问第一条边长可以为7米吗？请说明理由，并求出a的取值范围；（3）能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法；若不能，说明理由4.（2011黑龙江大庆）如图，ABCD是一张边AB长为2，边AD长为1的矩形纸片，沿过点B的折痕将A角翻折，使得点A落在边CD上的点A′处，折痕交边AD于点E．（1）求∠DA′E的大小；（2）求△A′BE的面积．5. 如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。

九年级勾股定理知识点

九年级勾股定理知识点勾股定理是数学中的一条重要定理，也是初中数学中必学的知识点之一。

它是由古希腊数学家毕达哥拉斯提出的，并被称为“毕氏定理”。

九年级学生需要在学习勾股定理方面掌握以下几个知识点：1. 勾股定理的表述在直角三角形中，直角边的平方等于斜边两个边长的平方和。

即：若在△ABC中，有∠C=90°，AB是直角边，AC和BC是斜边，则有AB² = AC² + BC²。

2. 勾股定理的逆定理勾股定理逆定理也被称为“逆勾股定理”或“余弦定理”。

它是在给定一个三角形的三边长的情况下，用来求解该三角形的某个角度的定理。

逆勾股定理的表述如下：在△ABC中，有∠C=a，AB=c，AC=b，BC=a，那么有cos(a) = (b²+c²-a²) / 2bc。

3. 勾股定理的应用勾股定理是三角学中最常用的定理之一，它在解决各种几何问题中有着重要的应用。

其中一些常见的应用包括：- 判定三角形是否为直角三角形：可以利用勾股定理来检验一个三角形是否为直角三角形。

只需要将三角形的三条边代入勾股定理中进行计算，如果等式成立，则该三角形是直角三角形。

- 求解三角形边长和角度：可以利用勾股定理来求解三角形中未知边长或角度的值。

通过已知边长或角度的数值，可以代入勾股定理或逆勾股定理中进行计算，从而求得未知数的值。

- 解决航海和导航问题：勾股定理可以帮助测量航海和导航过程中的距离和角度。

船舶或飞机可以利用角度和边长的关系，通过测量边长和角度来确定目的地的位置。

4. 勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方式，包括几何证明、代数证明和物理证明等。

其中一种常见的几何证明方式是通过构造一个正方形来证明。

该证明方式的具体步骤如下：首先，以斜边为一条边构造一个正方形ABCD；然后，连接AC和BD，将正方形划分为两个等腰直角三角形△ACB和△ADB；根据正方形性质可得AB=BC，且AD=BD，再根据△ACB和△ADB为等腰直角三角形的性质可得∠ACB = 90°，∠ADB = 90°；由此可得∠ABC和∠ABD为直角，即证明了勾股定理。

北师大初中数学中考总复习：勾股定理及其逆定理--知识讲解(基础).doc

中考总复习：勾股定理及其逆定理（基础）【考纲要求】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题；4.加强知识间的内在联系，用方程思想解决几何问题．以体现代数与几何之间的内在联系．【知识网络】【考点梳理】考点一、勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）【要点诠释】勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方. 2.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法. 用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变； ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理. 3.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：①已知直角三角形的任意两边长，求第三边,在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =，b ，a =；②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系； ③可运用勾股定理解决一些实际问题. 考点二、勾股定理的逆定理1.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.【要点诠释】①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边；③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形.3.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数；②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等； ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）.考点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 【典型例题】类型一、勾股定理及其逆定理的综合应用1．（2014春•河西区期末）在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 为CD 上一点，且，试判断△AEF 是否是直角三角形？试说明理由．【思路点拨】首先设正方形的边长为4a ，则CF=a ，DF=3a ，CE=BE=2a ．根据勾股定理可求出AF ，A E 和EF 的长度．如果它们三个的长度满足勾股定理，△AEF 为直角三角形，否则不是直角三角形．【答案与解析】解：设正方形的边长为4a ， ∵E 是BC 的中点，，∴CF=a ，DF=3a ，CE=BE=2a ．由勾股定理得：AF 2=AD 2+DF 2=16a 2+9a 2=25a 2，EF 2=CE 2+CF 2=4a 2+a 2=5a 2，AE 2=AB 2+BE 2=16a 2+4a 2=20a 2，∴AF 2=EF 2+AE 2，∴△AEF 为直角三角形．【总结升华】勾股定理的应用．在解答此类题时有一个小窍门，题干中各边长都没有给出确定的值，我们已知各边长的比值，这时我们可以将边长设成具体的值．这样解题时用到的都是数字，表达方便．举一反三：【变式】如图，矩形ABCD 的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（）.A.14B.16C.20D.28【答案】D.根据题意可知五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的四周，故即可得出答案：∵AC=10，BC=8，∴A B=6，图中五个小矩形的周长之和为：6+8+6+8=28．2．如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2.则BD的长为（）.A.14B.15C. 223 D. 3【思路点拨】以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．在△BDF中，由勾股定理即可求出BD的长．【答案与解析】以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．可证∠FDB=90°，∠F=∠CBF，【总结升华】本题考查了勾股定理，解题的关键是作出以A为圆心，AB长为半径的圆，构建直角三角形从而求解．举一反三：【变式】（2015•黄冈模拟）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）A．（4+）cm B．5cm C．2cm D．7cm【答案】B.【解析】解：侧面展开图如图所示：∵圆柱的底面周长为6cm ， ∴AC ′=3cm ． ∵PC ′=BC ′， ∴PC ′=×6=4cm ．在Rt △ACP 中，AP 2=AC ′2+CP 2， ∴AP==5．故选：B ．类型二、勾股定理及其逆定理与其他知识的结合应用3．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝BC ＝1，将Rt△ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积是________________．【思路点拨】先根据勾股定理得到AB ＝2，再根据扇形的面积公式计算出S 扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S 阴影部分＝S △ADE ＋S 扇形ABD －S △ABC ＝S 扇形ABD 【答案与解析】∵∠ACB＝90°，AC ＝BC ＝1， ∴AB＝2，∴S 扇形ABD ＝6360)2(302ππ=⋅, 又∴Rt△ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE， ∴Rt△ADE≌Rt△ACB，∴S 阴影部分＝S △ADE ＋S 扇形ABD －S △ABC ＝S 扇形ABD ＝6π．【总结升华】本题考查了扇形的面积公式：3602R n S π=．也考查了勾股定理以及旋转的性质．考点涉及到扇形面积的计算；勾股定理；旋转的性质.4. 如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD=8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( ).A. 3B. 4C. 5D. 6【思路点拨】先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．【答案与解析】∵四边形ABCD是矩形，AD=8，∴BC=8，∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，∴CE=8-3=5，=，在Rt△CEF中，4设AB=x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得x=6，故选D．【总结升华】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．举一反三：【变式】（2011台湾）如图为梯形纸片ABCD，E点在BC上，且∠AEC＝∠C＝∠D＝90°，AD＝3，BC＝9,CD＝8．若以AE为折线，将C折至BE上，使得CD与AB交于F点，则BF长度为何（）.A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【答案】B．5．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE＝米时，有DC2＝AE2＋BC2．【思路点拨】根据已知得出假设AE ＝x ，可得EC ＝12－x ，利用勾股定理得出DC 2＝DE 2＋EC 2＝4＋（12－x ）2，AE 2＋BC 2＝x 2＋36，即可求出x 的值．【答案与解析】假设AE ＝x ，可得EC ＝12－x ，∵坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC ＝6米， ∴AC＝12米，∵正方形DEFH 的边长为2米，即DE ＝2米， ∴DC 2＝DE 2＋EC 2＝4＋（12－x ）2， AE 2＋BC 2＝x 2＋36， ∵DC 2＝AE 2＋BC 2，∴4＋（12－x ）2＝x 2＋36，解得：x ＝314．故答案为：314．【总结升华】此题主要考查了勾股定理的应用以及一元二次方程的应用，根据已知表示出CE ，AE 的长度是解决问题的关键．6 . 某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m 、8m ．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形．．．．．．．．．．．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．【思路点拨】原题并没有给出图形，要根据题意画出符合题意的图形，画出图形后，可知本题实际上应三类情况讨论：一是将△ABC 沿直线AC 翻折180°后，得等腰三角形ABD ，如图1；二是延长BC 至点D ，使CD ＝4，则BD ＝AB ＝10，得等腰三角形ABD ，如图2；三是作斜边AB 的中垂线交BC 的延长线于点D ，则DA ＝DB ，得等腰三角形ABD ，如图3．先作出符合条件的图形后，再根据勾股定理进行求解即可．【答案与解析】分三类情况讨论如下：（1）如图1所示，原来的花圃为Rt△ABC，其中BC ＝6m ，AC ＝8m ，∠ACB＝90°．由勾股定理易知AB ＝10m ，将△ABC 沿直线AC 翻折180°后，得等腰三角形ABD ，此时，AD ＝10m ，CD ＝6m ．故扩建后的等腰三角形花圃的周长为12＋10＋10＝32（m ）．（2）如图2，因为BC ＝6m ，CD ＝4m ，所以BD ＝AB ＝10m ，在Rt△ACD 中，由勾股定理得AD ＝2284+＝45，此时，扩建后的等腰三角形花圃的周长为45＋10＋10＝20＋45．（3）如图3，设△ABD 中DA ＝DB ，再设CD ＝xm ，则DA ＝(x ＋6)m ，在Rt△ACD 中，由勾股定理得x 2＋82＝(x ＋6)2，解得x ＝37∴扩建后等腰三角形花圃的周长＝10＋2(x ＋6)＝380（m ）．C46C图3x 6C【总结升华】对于无附图几何问题，往往需要根据题意画出图形，结合已知条件及图形分析求解，这样便于寻找解题思路．举一反三：【变式】“希望中学”有一块三角形形状的花圃ABC ，现可直接测量到∠A=30°，AC=40m ，BC=25m ，请求出这块花圃的面积．【答案】。

勾股定理知识点总结

勾股定理知识点总结勾股定理是数学中一个著名的定理，也是初中数学学习的重点内容之一。

它描述了直角三角形中三条边的关系，并且可以应用于解决许多与三角形和几何有关的问题。

本文将对勾股定理的相关知识点进行总结和探讨。

一、勾股定理的表述和公式勾股定理的表述是：“直角三角形斜边上的正方形面积等于其他两边上的正方形面积之和。

”这就是我们通常所说的勾股定理。

勾股定理的公式可以表示为：a² + b² = c²其中，a、b代表直角三角形的两条直角边，c代表直角三角形的斜边。

二、勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法，在此我们以几何证明和代数证明为例进行说明。

几何证明：通过图形的构造和推理来证明勾股定理。

一种常见的几何证明方法是构造以a、b、c为边长的正方形，然后计算正方形的面积，从而证明等式成立。

代数证明：通过数学计算和变换来证明勾股定理。

一种常见的代数证明方法是将直角三角形的三条边的平方进行计算，然后将其相加和化简，最终得到等式成立的结果。

三、勾股定理的应用勾股定理不仅仅是一个数学定理，还有着广泛的应用。

1. 解决三角形的边长和角度问题：通过勾股定理，我们可以已知两条边长来求解第三条边长，或者已知两条边长和一个角度来求解其他角度。

2. 判断三角形的形状：我们可以利用勾股定理来判断一个三角形是直角三角形、锐角三角形还是钝角三角形，从而进一步研究和分析三角形的性质。

3. 解决几何问题：勾股定理还可以应用于解决一些几何问题，例如求解两条直线的交点坐标、求解平面图形的面积、判断是否存在重合图形等等。

四、勾股定理的推广除了直角三角形，勾股定理还可以推广到其他形状的图形。

1. 平方和定理：平方和定理是勾股定理的推广，它描述了非直角三角形中三条边平方的关系。

2. 多边形的对角线：在多边形中，通过某个顶点可以连接其他顶点，形成对角线。

对角线之间的关系也可以通过勾股定理进行研究和计算。

3. 空间中的勾股定理：在空间几何中，勾股定理可以推广到三维空间，描述直角棱柱、直角锥等图形的三条棱或边之间的关系。

勾股定理全章复习与巩固(基础)知识讲解

《勾股定理》全章复习与稳固（基础）责编：杜少波【学习目标】1.认识勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决相关的实质问题.【知识网络】【重点梳理】【高清讲堂勾股定理全章复习知识重点】重点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a、b 的平方和等于斜边 c 的平方.（即： a2b2c2）2.勾股定理的应用勾股定理反应了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理能够证明相关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理相关的面积计算；（4）勾股定理在实质生活中的应用．重点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理假如三角形的三边长a、 b、 c ，知足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形.重点解说：应用勾股定理的逆定理判断一个三角形能否是直角三角形的基本步骤：（1）第一确立最大边，不如设最大边长为 c ；（2）考证：a2b2与 c2能否拥有相等关系：若 a2b2c2，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形；若 a2b2＞ c2时，△ABC是锐角三角形；若 a2b2＜ c2时，△ABC是钝角三角形．2.勾股数知足不定方程x2y2z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），明显，以 x、y、 z 为三边长的三角形必定是直角三角形.重点解说：常有的勾股数：①3、4、5；② 5、12、 13；③ 8、15、17；④ 7、24、25；⑤ 9、40、41.假如 ( a、b、c )是勾股数，当t 为正整数时，以at、bt、 ct 为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.察看上边的①、②、④、⑤四组勾股数，它们拥有以下特点：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差 1.3.假定三个数分别为a、 b、c ，且 a b c ，那么存在a2b c 建立.（比如④中存在72＝24＋25、 92＝40＋41等）重点三、勾股定理与勾股定理逆定理的差别与联系差别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判断定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，二者互为逆定理，都与直角三角形相关 . 【典型例题】种类一、勾股定理及逆定理的简单应用1、（ 2016?益阳）在△ ABC 中， AB=15 ， BC=14 ， AC=13 ，求△ ABC 的面积．某学习小组经过合作沟通，给出了下边的解题思路，请你依据他们的解题思路达成解答过程．2【思路点拨】依据题意正确表示出AD的值是解题重点.解：如图，在△ABC 中， AB=15 ， BC=14 ，AC=13 ，设 BD=x ，则 CD=14 ﹣ x，由勾股定理得：2222222222，AD =AB ﹣ BD =15﹣ x， AD=AC﹣CD=13 ﹣（ 14﹣ x）2222故 15 ﹣ x =13﹣（ 14﹣x），解之得： x=9．∴AD=12 ．∴S△ABC = BC ?AD=× 14× 12=84．【总结升华】本题主假如要读懂解题思路，而后找到解决问题的切入点，问题才能水到渠成.贯通融会：【变式】在△ABC 中， AB ＝ 15， AC ＝ 13，高 AD ＝ 12．求△ABC 的周长．【答案】解：在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，由勾股定理，得BD 2AB2AD 215212281．∴BD 9．同理 CD2AC2AD213212225．∴CD 5．①当∠ ACB ＞ 90°时， BC ＝ BD －CD＝ 9－ 5＝4．∴ △ABC 的周长为： AB ＋ BC ＋ CA＝ 15＋ 4＋13＝ 32．②当∠ ACB ＜ 90°时， BC ＝ BD ＋CD＝ 9＋ 5＝14．∴ △ABC 的周长为： AB ＋ BC ＋ CA＝ 15＋ 14＋13＝ 42．综上所述：△ABC 的周长为32 或 42．2、如下图，△ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， AC ＝ CB ， M 为 AB 上一点．求证： AM 2BM 22CM 2．2 2 2 【思路点拨】欲证的等式中出现了 AM 、BM 、CM ，自然想到了用勾股定理证明，所以需要作 CD⊥ AB ．证明：过点 C 作 CD⊥ AB 于 D．∵AC＝BC，CD ⊥AB ，∴ AD ＝BD．∵∠ACB ＝ 90°，∴CD＝ AD ＝DB ．∴ AM2BM 222 AD DM AD DMAD22AD DM DM 2AD22AD DM DM 22(AD2DM 2)2(CD 2DM 2)在 Rt△CDM 中，CD2DM 2CM 2，∴AM2BM22CM2．【总结升华】欲证明线段平方关系问题，第一联想勾股定理，从图中找寻或作垂线结构包括所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证．贯通融会：【变式】已知△ABC 中， AB ＝ AC ， D 为 BC 上任一点，求证：AB 2AD 2BD CD .【答案】解：如图，作AM ⊥ BC 于 M ，∵ AB ＝ AC ，∴ BM ＝ CM,则在 Rt△ABM 中：AB2AM2BM2①在 Rt△ADM 中：AD2AM2DM 2②由①－②得：AB2AD2BM 2DM 2BM DM BM DM＝（ MC ＋ DM ） ?BD＝ CD·BD种类二、勾股定理及逆定理的综合应用3、（ 2014 秋 ?黎川县期中）如图，在正方形 ABCD 中， AB=4 ， AE=2 ， DF=1 ，请你判断△BEF 的形状，并说明原因．【思路点拨】依据勾股定理求出BE 2、 EF2、BF2，依据勾股定理的逆定理判断即可．【答案与分析】解：∵△ BEF 是直角三角形，原因是：∵在正方形ABCD 中， AB=4 ，AE=2 ， DF=1 ，∴∠ A= ∠ C=∠ D=90°， AB=AD=DC=BC=4， DE=4 ﹣ 2=2， CF=4﹣ 1=3 ，∵由勾股定理得：2222222222BE =AB+AE=4 +2 =20 ， EF =DE +DF =2 +1=5，22222BF =BC +CF =4 +3 =25，222∴ BE +EF =BF，∴∠ BEF=90°，即△BEF 是直角三角形．【总结升华】本题考察了正方形性质，勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解本题的重点222是求出 BE +EF =BF .4、如图， P 是等边三角形ABC 内的一点，连接 PA，PB ，PC，以 BP 为边作∠ PBQ=60°，且 BQ=BP ，连接 CQ．(1)察看并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．(2)若 PA： PB：PC=3 ：4： 5，连接 PQ，试判断△PQC 的形状，并说明原因．【答案与分析】解： (1)猜想： AP=CQ证明：在△ABP 与△CBQ 中，∵AB=CB ， BP=BQ ，∠ ABC= ∠ PBQ=60°∴ ∠ABP= ∠ ABC- ∠ PBC= ∠PBQ-∠ PBC= ∠ CBQ∴ △ABP ≌△ CBQ∴AP=CQ(2)由 PA：PB： PC=3： 4： 5 可设 PA=3a， PB=4a， PC=5a连接 PQ，在△PBQ 中，因为 PB=BQ=4a ，且∠ PBQ=60°∴ △PBQ 为正三角形∴ PQ=4a于是在△PQC 中，∵∴ △PQC 是直角三角形【总结升华】本题的重点在于能够证出△ABP≌△ CBQ，进而达到线段转移的目的，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．贯通融会：【变式】如下图，在BD ＝ 5，求 DC 的长．△ABC中， D是BC边上的点，已知AB ＝ 13， AD ＝ 12， AC ＝15，【答案】解：在△ABD中，由12252132可知：AD 2BD2AB2，又由勾股定理的逆定理知∠ADB＝ 90°．在 Rt△ADC中，DC 2AC 2AD 281,DC9 ．5、假如ABC 的三边分别为a、 b、c ，且知足a2b2c250 6a 8b10c ，判断 ABC 的形状 .【答案与分析】解：由 a2b2c2506a8b10c ，得：a26a 9b28b16c210c25 0∴ (a3)2(b4)2(c5)20∵ (a3)20，(b 4)20，(c 5) 20∴ a3, b4,c 5.∵ 324252,∴ a2b2c2.由勾股定理的逆定理得：△ABC是直角三角形 .【总结升华】勾股定理的逆定理是经过数目关系来研究图形的地点关系的,在证明中常常要用到 .种类三、勾股定理的实质应用6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个极点 A 处，食品在这个长方体上和蚂蚁相对的极点 B 处，蚂蚁急于吃到食品，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A 处爬到B 处的最短路线长为多少 ?【思路点拨】将长方体表面睁开，因为蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行，且长方体木块底面是正方形，故它爬行的路径有两种状况．【答案与分析】解：如图②③所示．因为两点之间线段最短，所以最短的爬行行程就是线段AB 的长度．在图②中，由勾股定理，得AB232112130 ．在图③中，由勾股定理，得AB26282100 ．因为 130＞ 100，所以图③中的AB 的长度最短，为10 cm，即蚂蚁需要爬行的最短路线长为 10 cm．【总结升华】解本题的重点是正确画出立体图形的睁开图，把立体图形上的折线转变为平面图形上的直线，再运用勾股定理求解．贯通融会：【变式】（ 2014 秋 ?郑州期末）我国古代有这样一道数学识题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根环绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如下图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20 尺，底面周长为 3 尺，有葛藤自点A 处环绕而上，绕五周后其尾端恰巧抵达点 B 处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？【答案】解：如下图，在如下图的直角三角形中，∵BC=20 尺， AC=5× 3=15 尺，∴ AB==25（尺）．答：葛藤长为25 尺．。

勾股定理的知识点总结

勾股定理的知识点总结勾股定理的应用是非常广泛的，它可以帮助我们解决很多与直角三角形相关的问题。

在实际生活中，勾股定理被广泛应用于建筑、工程、地理测量、导航系统等领域。

在数学教育中，勾股定理也是基础知识之一，学生可以通过学习勾股定理来提高对几何学和三角学的理解和应用能力。

除了勾股定理本身，还有一些与之相关的知识点，比如勾股定理的逆定理、特殊直角三角形的性质、勾股数的概念等。

接下来，我们将系统地介绍勾股定理及相关知识点的内容，以便读者能够更全面地了解这一重要定理。

一、勾股定理勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪提出的。

据说，毕达哥拉斯是在观察三角形时发现了这一定理。

他发现，对于一个直角三角形来说，直角边的长度的平方和等于斜边的长度的平方。

这一发现被称为勾股定理，成为了数学中的一项重要定理。

勾股定理的数学表述如下：如果一个三角形的两条直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，那么a的平方加上b的平方等于c的平方，即a^2 + b^2 = c^2。

这一定理适用于所有直角三角形，无论其大小或者比例如何，只要是直角三角形，勾股定理都成立。

勾股定理的应用非常广泛。

在几何学中，我们可以通过勾股定理来解决直角三角形的各种问题，比如求边长、求角度、求面积等。

在三角学中，勾股定理可以帮助我们计算三角函数的值，从而解决各种三角函数的计算问题。

在实际生活中，勾股定理被广泛应用于建筑、工程、地理测量、导航系统等领域。

二、勾股定理的逆定理除了勾股定理本身，勾股定理的逆定理也是很重要的一个概念。

勾股定理的逆定理是指，如果一个三角形的三条边满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形。

也就是说，如果三角形的三条边满足勾股定理的条件，那么这个三角形一定是直角三角形。

勾股定理的逆定理可以帮助我们判断一个三角形是否为直角三角形。

只要我们知道了三角形的三条边的长度，就可以根据勾股定理的逆定理来判断这个三角形是否为直角三角形。

期末复习勾股定理基础知识点1.6

勾股定理知识总结一．基础知识点：1：勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

（即：a 2+b 2＝c 2）其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边，则22c a b =+，22b c a =-，22a cb =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形）。

222a b c+=只是一种表现形式，不是唯一的，如若满足222acb+=，是直角三角形，但是b 为斜边） 3：勾股定理的证明4：勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等勾股定理练习一．填空题：1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°（1）若a=5，b=12，则c=________；（2）b=8，c=17，则S △ABC =________。

2.若一个三角形的三边之比为5∶12∶13，则这个三角形是________（按角分类）。

3. 直角三角形的三边长为连续自然数，则其周长为________。

4．观察下列各式：32+42=52；82+62=102；152+82=172；242+102=262；……；你有没有发现其中的规律？请用你发现的规律写出接下来的式子：__________。

【精品】北师大初中数学中考总复习：勾股定理及其逆定理--知识讲解(基础).doc

中考总复习：勾股定理及其逆定理（基础）【考纲要求】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题；4.加强知识间的内在联系，用方程思想解决几何问题．以体现代数与几何之间的内在联系．【知识网络】【考点梳理】考点一、勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）【要点诠释】勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方. 2.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法. 用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变； ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理. 3.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：①已知直角三角形的任意两边长，求第三边,在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =b ，a =；②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系； ③可运用勾股定理解决一些实际问题. 考点二、勾股定理的逆定理1.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 【要点诠释】①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边；③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形.3.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数；②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等； ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）.考点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关. 【典型例题】类型一、勾股定理及其逆定理的综合应用1．（2014春•河西区期末）在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 为CD 上一点，且，试判断△AEF 是否是直角三角形？试说明理由．【思路点拨】首先设正方形的边长为4a ，则CF=a ，DF=3a ，CE=BE=2a ．根据勾股定理可求出AF ，A E 和EF 的长度．如果它们三个的长度满足勾股定理，△AEF 为直角三角形，否则不是直角三角形．【答案与解析】解：设正方形的边长为4a ， ∵E 是BC 的中点，，∴CF=a ，DF=3a ，CE=BE=2a ．由勾股定理得：AF 2=AD 2+DF 2=16a 2+9a 2=25a 2，EF 2=CE 2+CF 2=4a 2+a 2=5a 2，AE 2=AB 2+BE 2=16a 2+4a 2=20a 2，∴AF 2=EF 2+AE 2，∴△AEF 为直角三角形．【总结升华】勾股定理的应用．在解答此类题时有一个小窍门，题干中各边长都没有给出确定的值，我们已知各边长的比值，这时我们可以将边长设成具体的值．这样解题时用到的都是数字，表达方便．举一反三：【变式】如图，矩形ABCD 的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（）.A.14B.16C.20D.28【答案】D.根据题意可知五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的四周，故即可得出答案：∵AC=10，BC=8，∴A B=6，图中五个小矩形的周长之和为：6+8+6+8=28．2．如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2.则BD的长为（）.A.14B.15C. 223 D. 3【思路点拨】以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．在△BDF中，由勾股定理即可求出BD的长．【答案与解析】以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．可证∠FDB=90°，∠F=∠CBF，形从而求解．举一反三：【变式】（2015•黄冈模拟）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）A．（4+）cm B．5cm C．2cm D．7cm【答案】B.【解析】解：侧面展开图如图所示：∵圆柱的底面周长为6cm ， ∴AC ′=3cm ． ∵PC ′=BC ′， ∴PC ′=×6=4cm ．在Rt △ACP 中，AP 2=AC ′2+CP 2， ∴AP==5．故选：B ．类型二、勾股定理及其逆定理与其他知识的结合应用3．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝BC ＝1，将Rt△ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积是________________．【思路点拨】先根据勾股定理得到AB ＝2，再根据扇形的面积公式计算出S 扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S 阴影部分＝S △ADE ＋S 扇形ABD －S △ABC ＝S 扇形ABD 【答案与解析】∵∠ACB＝90°，AC ＝BC ＝1， ∴AB＝2，∴S 扇形ABD ＝6360)2(302ππ=⋅, 又∴Rt△ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE， ∴Rt△ADE≌Rt△ACB，∴S 阴影部分＝S △ADE ＋S 扇形ABD －S △ABC ＝S 扇形ABD ＝6π．【总结升华】本题考查了扇形的面积公式：3602R n S π=．也考查了勾股定理以及旋转的性质．考点涉及到扇形面积的计算；勾股定理；旋转的性质.4. 如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD=8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF=3，则AB 的长为( ). A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【思路点拨】先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．【答案与解析】∵四边形ABCD是矩形，AD=8，∴BC=8，∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，∴CE=8-3=5，=，在Rt△CEF中，4设AB=x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得x=6，故选D．【总结升华】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．举一反三：【变式】（2011台湾）如图为梯形纸片ABCD，E点在BC上，且∠AEC＝∠C＝∠D＝90°，AD＝3，BC＝9,CD＝8．若以AE为折线，将C折至BE上，使得CD与AB交于F点，则BF长度为何（）.A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【答案】B．5．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE＝米时，有DC2＝AE2＋BC2．【思路点拨】根据已知得出假设AE＝x，可得EC＝12－x，利用勾股定理得出DC2＝DE2＋EC2＝4＋（12－x ）2，AE 2＋BC 2＝x 2＋36，即可求出x 的值．【答案与解析】假设AE ＝x ，可得EC ＝12－x ，∵坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC ＝6米， ∴AC＝12米，∵正方形DEFH 的边长为2米，即DE ＝2米， ∴DC 2＝DE 2＋EC 2＝4＋（12－x ）2， AE 2＋BC 2＝x 2＋36， ∵DC 2＝AE 2＋BC 2，∴4＋（12－x ）2＝x 2＋36，解得：x ＝314．故答案为：314．【总结升华】此题主要考查了勾股定理的应用以及一元二次方程的应用，根据已知表示出CE ，AE 的长度是解决问题的关键．6 . 某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m 、8m ．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形．．．．．．．．．．．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．【思路点拨】原题并没有给出图形，要根据题意画出符合题意的图形，画出图形后，可知本题实际上应三类情况讨论：一是将△ABC 沿直线AC 翻折180°后，得等腰三角形ABD ，如图1；二是延长BC 至点D ，使CD ＝4，则BD ＝AB ＝10，得等腰三角形ABD ，如图2；三是作斜边AB 的中垂线交BC 的延长线于点D ，则DA ＝DB ，得等腰三角形ABD ，如图3．先作出符合条件的图形后，再根据勾股定理进行求解即可．【答案与解析】分三类情况讨论如下：（1）如图1所示，原来的花圃为Rt△ABC，其中BC ＝6m ，AC ＝8m ，∠ACB＝90°．由勾股定理易知AB ＝10m ，将△ABC 沿直线AC 翻折180°后，得等腰三角形ABD ，此时，AD ＝10m ，CD ＝6m ．故扩建后的等腰三角形花圃的周长为12＋10＋10＝32（m ）．（2）如图2，因为BC ＝6m ，CD ＝4m ，所以BD ＝AB ＝10m ，在Rt△ACD 中，由勾股定理得AD ＝2284 ＝45，此时，扩建后的等腰三角形花圃的周长为45＋10＋10＝20＋45．（3）如图3，设△ABD 中DA ＝DB ，再设CD ＝xm ，则DA ＝(x ＋6)m ，在Rt△ACD 中，由勾股定理得x 2＋82＝(x ＋6)2，解得x ＝37 ∴扩建后等腰三角形花圃的周长＝10＋2(x ＋6)＝380（m ）．C46C图3x 6C【总结升华】对于无附图几何问题，往往需要根据题意画出图形，结合已知条件及图形分析求解，这样便于寻找解题思路．举一反三：【变式】“希望中学”有一块三角形形状的花圃ABC ，现可直接测量到∠A=30°，AC=40m ，BC=25m ，请求出这块花圃的面积．【答案】。

勾股定理知识点及典型例题

勾股定理知识点及典型例题一、勾股定理：勾股定理定义为：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²，其中a和b是直角三角形的两条直角边，c是斜边。

勾股定理的逆定理为：如果三角形的三边长a，b，c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。

勾股数是满足a²+b²=c²的三个正整数a，b，c。

注意，若a，b，c为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数。

常见的勾股数有3,4,5；6,8,10；9,12,15；5,12,13.判断直角三角形的方法有两种：一是如果三角形的三边长a、b、c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。

二是如果有一个角为90°或两个角互余，那么这个三角形是直角三角形。

具体判断方法是确定最大边（不妨设为c），若c=a+b，则为直角三角形；若a+bc，则为锐角三角形。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

勾股定理的作用有四个：一是已知直角三角形的两边求第三边；二是已知直角三角形的一边，求另两边的关系；三是用于证明线段平方关系的问题；四是利用勾股定理，作出长为a，b，c的直角三角形。

二、勾股定理的证明：勾股定理的证明方法有很多种，其中常见的是拼图的方法。

具体证明过程如下：在直角三角形ABC中，以BC为底边，作等腰直角三角形ABD，连接AD，则AD=AB，BD=BC。

因此，AB²=AD²+BD²=AD²+BC²，即a²=b²+c²。

1.一个无盖的正方体盒子内有两只昆虫，昆虫甲在顶点C1处，昆虫乙在棱BB1的中点E处。

昆虫乙要在最短时间内捕捉到昆虫甲，可以沿着路径A→E→C1爬行。

中考勾股定理知识点总结

中考勾股定理知识点总结勾股定理是许多学生在学习数学时接触到的一个重要内容。

它是一条基本定理，适用的范围非常广泛，对于解决直角三角形的各种问题都有着重要的意义。

勾股定理的内容是对直角三角形中的三条边之间的关系的描述。

具体来说，它是指在一个直角三角形中，直角边的两条边的平方和等于斜边的平方。

这一定理的数学表达式为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b、c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度。

在中学数学中，学生通常是在初中阶段接触到勾股定理的。

在初中数学教学中，勾股定理主要涉及到勾股定理的理论内容、勾股定理的应用和勾股定理的证明。

下面，我们就这三个方面对勾股定理的知识点进行总结。

一、勾股定理的理论内容勾股定理规定了直角三角形中三条边之间的关系，它是一个基础而重要的数学定理。

1. 直角三角形直角三角形是一个三角形，其中包含一个直角。

直角三角形的三个顶点分别为A、B、C，其中角C为直角。

假设直角三角形的斜边长为c，直角边的长度分别为a、b。

2. 勾股定理的表述勾股定理指出在一个直角三角形中，直角边的两条边的平方和等于斜边的平方。

即a^2 + b^2 = c^2。

3. 勾股定理的要点勾股定理的要点是直角三角形中三条边之间的关系。

斜边的平方等于直角边的平方和。

二、勾股定理的应用勾股定理在数学中有着广泛的应用，可以帮助我们解决直角三角形的各种问题。

1. 求边长由勾股定理可知，如果已知直角三角形的两个直角边的长度，可以利用勾股定理求出斜边的长度。

即c = √(a^2 + b^2)。

2. 验证直角三角形在求解直角三角形的相关问题时，有时需要先验证三角形是否为直角三角形。

这时可以利用勾股定理进行验证。

3. 解决现实问题勾股定理在现实生活中也有着广泛的应用。

比如，利用勾股定理可以计算建筑物的高度、测量地理位置、解决航空航天等问题。

三、勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法，其中比较常用的有几何法证明、代数法证明和物理法证明等。

北京四中2014届中考数学专练总复习实数全章复习与巩固(基础)知识讲解

实数全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的X围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致X围.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂：389318 实数复习，知识要点】要点一：平方根和立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示a3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；负数没有平方根；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22a a a a a a a a a333333)(aa a a aa -=-==要点二：实数有理数和无理数统称为实数. 按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2532等；②有特殊意义的数，如π； ③…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：在实数X 围内，正数和零统称为非负数。

我们已经学习过的非负数有如下三种形式：（1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0；（2）任何一个实数a 的平方是非负数，即2a ≥0；（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即0a ≥ (0a ≥). 非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算：数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数X 围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 【典型例题】类型一、有关方根的问题1、下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0 ，其中错误的有（） A.2个 B.3 个 C.4 个 D.5个【答案】B ；【解析】①负数有立方根；②0的算术平方根是0；⑤立方根是本身的数有0，±1. 【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键. 举一反三：【变式】下列运算正确的是（）A ．42=±B ．235+=C ．382-=-D ．|2|2--=【答案】C ；2、若102.0110.1=，则± 1.0201＝若7160.03670.03=，542.1670.33=，则_____________3673= 【答案】±；【解析】向左移动2位，它的平方根向左移动1位，变成1.01，注意符号；向右移动3位变成367，它的立方根向右移动1位【总结升华】一个数向左移动2位，它的平方根向左移动1位；一个数向右移动3位，它的立方根向右移动1位.类型二、与实数有关的问题3、把下列各数填入相应的集合：－1、3、π、－3.14、9、26-、22-、7.0 ．（1）有理数集合｛｝；（2）无理数集合｛｝；（3）正实数集合｛｝；（4）负实数集合｛｝．【思路点拨】首先把能化简的数都化简，然后对照概念填到对应的括号里. 【答案与解析】（1）有理数集合｛－1、－3.14、9、7.0 ｝；（2）无理数集合｛ 3、π、26-、22-｝；（3）正实数集合｛ 3、π、9、26-、7.0 ｝；（4）负实数集合｛－1、－3.14、22-｝．【总结升华】有理数是有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数.总结常见的无理数形式. 举一反三：【变式】在实数5，π，38-，227，0.3，其中无理数有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B ；提示：无理数有5，π.4、计算（1）233)32(1000216-++ （2）23)451(12726-+- （3）32)131)(951()31(--+【思路点拨】先逐个化简后，再按照计算法则进行计算. 【答案与解析】解：（1）233)32(1000216-++＝226101633++= （2）23)451(12726-+-23111112743412⎛⎫--=-+=- ⎪⎝⎭（3）32)131)(951()31(--+＝3314218121393327333⎛⎫+⨯-=+-=-=- ⎪⎝⎭. 【总结升华】根据开立方和立方，开平方和平方互逆运算的关系，可以通过立方、平方的方法去求一个数的立方根、平方根. 举一反三：【变式】计算(1) 333000216.0008.012726----(2) ()223323)3()21()4()4(2--⨯-+-⨯-【答案】解：(1) 333000216.0008.012726---- ()310.20.0627=---- 29150=-(2) ()223323)3()21()4()4(2--⨯-+-⨯-()184434=-⨯+-⨯-321336=---=-.5、若0,0<<ab a ，化简334+----a b b a【思路点拨】由0,0<<ab a 判断b ＞0，再判断绝对值里的数的正负，由绝对值的定义去掉绝对值. 【答案与解析】解：∵0,0<<ab a ，∴b ＞0，∴30,30a b b a ---+> ∴433a b b a ----(3)(3)a b b a =-----43333a b b a =-+++=【总结升华】含绝对值号的代数式的化简是重点也是难点.分类的标准应按正实数,负实数,零分类考虑.掌握好分类标准,不断加强分类讨论的意识. 举一反三：【变式1】实数a 、b 在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简2a ＋∣a －b ∣＝.【答案】解：∵a ＜0＜b ,∴a －b ＜0∴2a ＋∣a －b ∣＝－a －(a －b )＝b －2a . 【高清课堂：389318 实数复习，例5】【变式2】实数a 在数轴上的位置如图所示，则2,1,,a aa a -的大小关系是：； 0-1a【答案】21a a a a<<<-；类型三、实数综合应用6、现有一面积为150平方米的正方形鱼池，为了增加养鱼量，欲把鱼池的边长增加6米，那么扩建鱼池的面积为多少（最后结果保留4个有效数字）？【答案与解析】解：因为原正方形鱼池的面积为150平方米，根据面积公式，它的边长为15012.247≈ （米）．＋6）米，所以扩建后鱼池的面积为218.247≈333.0（平方米）．答：扩建后的鱼池的面积约为333.0（平方米）．【总结升华】要求扩建后的鱼池的面积，应先求出其边长，而原鱼池的面积为150平方米，由此可得原鱼池的边长，再加上增加的6米，故新鱼池面积可求．举一反三：【变式】一个底为正方形的水池的容积是4863m m ，求这个水池的底边长．【答案】解：设水池的底边长为x ，由题意得2 1.5486x ⨯=2324x=x=18答：这个水池的底边长为18m.。

勾股定理中考章节复习知识点+经典题型分析总结)

AB Ca b c弦股勾勾股定理（知识点）【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。

3. 勾股数：①满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。

）②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.命题、定理、证明⑴ 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。

理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。

⑵ 命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

⑶ 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

⑷ 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

⑸ 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

⑹ 证明的一般步骤 ① 根据题意，画出图形。

② 根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

③ 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

5.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

43.勾股定理全章复习与巩固(基础)知识讲解

勾股定理全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法;2. 理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3. 能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题【知识网络】【要点梳理】【高清课堂勾股定理全章复习知识要点】要点一、勾股定理1. 勾股定理：角的直角三角形，反之，则不是直角三角形3.勾股数2 2 2满足不定方程X +y =z 的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数）显然，以X 、y 、z 为三边长的三角形一定是直角三角形.直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边c 的平方.（即：a 2+b 2=c 2）2. 勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系, 应用是：（1）（2）是直角三角形的重要性质之一，其主要已知直角三角形的两边，求第三边；利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题; （3）求作长度为乔的线段. 要点二、勾股定理的逆定理1. 原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设, 命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题2. 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：这样的两个命题叫做互逆如果三角形的三边长 a、b 、c ，满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤:（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为C ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若2 2 2a +b =c ,则^ ABC 是以/ C 为直常见的勾股数：①3、4、5;②5、12、13;③ 8、15、17 :④ 7、24、25;⑤9、40、41.如果（a、b c）是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.23.假设三个数分别为a、b c,且acbcc，那么存在a =b + c成立.（例如④中存在72= 24+ 25、92= 40+ 41 等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、已知直角三角形的两边长分别为6和8，求第三边的长.【答案与解析】解：设第三边为X .当X为斜边时，由勾股定理得X2=62+82.所以X =屁2 +82 = J36 + 64 =7100 =10 .当X为直角边时，由勾股定理，得X2+62=82.所以X =\/82 -62 = J64-36 =>/28 = 2>/7 .所以这个三角形的第三边为10或2 J7 .【总结升华】题中未说明第三边是直角边还是斜边，应分类讨论，本题容易误认为所求的第三边为斜边.举一反三：【变式】在^ ABC中，AB= 15, AC= 13，高AD= 12 .求△ ABC的周长.【答案】解：在Rt△ ABD和Rt△ ACD中,由勾股定理，得BD2=AB2—AD2=152—122=81 .BD =陌=9 .同理CD2= AC2-AD2=132-122=25 .求证：AM 2 +BM 2=2CM= AD 2-2AD ”DM + DM 2+AD 2+2AD ”DM + DM 22 2= 2(AD 2+DM 2)【总结升华】欲证明线段平方关系问题，首先联想勾股定理，从图中寻找或作垂线构造包含所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证. 举一反三：【变式】已知，△ ABC 中, AB= AC, D 为BC 上任一点，求证： AB^AD^ BD CD .CD =725 =5BC= BA CD= 9 — 5 = 4.AB + BC + CA= 15+ 4 + 13= 32 . BC= BD+ CD= 9 + 5 = 14. AB + BC + CA= 15+ 14 + 13= 42.2、如图所示，△ ABC 中，/ ACB= 90°,AC = CB M 为 AB 上一点.【思路点拨】欲证的等式中出现了作CDIAB.【答案与解析】证明：过点C 作CDL AB 于D.•/ AC = BC, CDL AB, ••• AD = BD.AM 、B M、CM,自然想到了用勾股定理证明，因此需要/ ACB= 90°,CD = AD= DBAM 2+BM 2= (AD-DM y +(AD + DM }= 2(CD 2+DM2)在 Rt △ CDM 中,2 2 2CD +DM =CM ,2•- AM 2+BM2 22=2CM 2.••• AE = 12,在 Rt △ ADE 中，设 DE = x ，贝y AD 2 = AE 2 +DE 2 =144+x 2 ,【答案】解：如图，作 AMI BC 于 M •/ AB = AC, • BM= CM, 则在Rt △ ABM 中:AB 2= AM 2+BM 2……①在 Rt △ ADM 中:AD 2=AM 2+DM 2由①一②得： AB 2 -AD 2 = BM2-DM 2=(BM +DM JfBM -DM )=(MO DM?BD= CD- BD类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、已知如图所示，在△ ABC 中, AB = AC = 20,求BD 的长.BG= 32, D 是BC 上的一点，且ADI AC,【思路点拨】由于BD 所在的△ ABD 不是直角三角形，是直角三角形，但 AD 的长是未知的，因而不能确定以从Rt △ ABE 与 Rt △ ADE Rt △ ADC 中，运用勾股定理可求得长.【答案与解析】解：过点 A 作AEI BC 于 E.•/ AB = AC,1 1 BE = EC = — BC= — X 32 = 1622在 Rt △ ABE 中，AB= 20, BE = 16,ACD 尽管CD 的长.过点A 作AEI BC 于 E ,这时可AE DE 的长，从而求出 BD 的不易直接求出BD 的长，且△ 2 2 2 2 2AE =AB -BE =20 -16 =144 ,•/ AD 丄 AC,2 2 2 2 2 2AD +AC =CD ，而 144+X +20 =(16+x).解得：x = 9.••• BD = BE — DE= 16-9= 7.【总结升华】勾股定理的作用是：已知直角三角形的两边可以求第三边, 的边长时应该联想到勾股定理. 举一反三：【变式】如图所示，已知△ ABC 中，/ B = 22.5 ° , AB 的垂直平分线交AEL BC 于E ,求AE 的长.S 、5、S 3表示，那么S i 、82、S 3之间有什么关系?(不必证明)(2)如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 、S^、S 3表示，请你确定 S i 、S 2、S 3之间的关系并加以证明.所以求直角三角形BC 于 D, BD= 6j 2 ,【答案】解：连接AD•/ DF 是线段AB 的垂直平分线,AD = BD= 6罷,•••/ BAD=/ B = 22.5又•••/ ADE=/ B +/ BAD= 45°, AEL BC,/ DAE= 45°,. AE = DE 由勾股定理得： AE2+DE 2=AD 2,2A E 2 =(6^2)2A E =军=604、如图①所示，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 、S 3表示，则不难证明 S =S2+S 3.(1)女口图②，分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用C【答案与解析】(1) S=S2+S 3 ；解：由 a 2 +b 2 +c 2 +50 =6a +8b +10C ，得:2 2 2a -6a+9+b -8b+16+c -10c+25 = 02 2 2•- (a —3) + (b-4) +(C —5) =02 2 2••• (a—3) >0,(b —4) >0,(c —5) >0 ••• a =3, b =4, c =5.-2丄，2L 2••• 3+4 =5 , •- a 2+b 2=c 2.由勾股定理的逆定理得：△ ABC 是直角三角形.【总结升华】勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的用到.①②解：设Rt △ ABC 的三边BC CA AB 的长分别为a 、b 、 2 2 2c ，贝y a +b =c .(2)3=52 +S 3.证明如下:显然，Si =c?4，52 孚，S3申，所以心孚2+b2)<4 g -,在证明中经常要5类型三、勾股定理的实际应用V* 6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A 处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A处爬到B 处的最短路线长为多少？BSeraA — 3cm①【思路点拨】将长方体表面展开，由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行，且长方体木块底面是正方形，故它爬行的路径有两种情况. 【答案与解析】解：如图②③所示.因为130> 100,所以图③中的AB 的长度最短，为10cm ，即蚂蚁需要爬行的最短路线长为10 cm .【总结升华】解本题的关键是正确画出立体图形的展开图，把立体图形上的折线转化为平面图形上的直线，举一反三：【高清课堂【变式】如图，因为两点之间线段最短, 所以最短的爬行路程就是线段 AB 的长度.在图②中，由勾股定理,得 AB 2 =32 +112 =130 . 在图③中，由勾股定理,得 AB 2 =62 +82 =100 .勾股定理全章复习例10】有一个圆柱体，它的高为 20,底面半径为5.如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A 点，沿圆柱表面爬到与A 相对的上底面B 点，则蚂蚁爬的最短路线长约为_____ .（ n 取 3）再运用勾股定理求解. A【答案】25;提示：蚂蚁爬的最短路线长J202+（5；1）2止25.。

北京四中2014届中考数学专练总复习勾股定理(基础)巩固练习

41.勾股定理（基础）巩固练习【巩固练习】△ABC 中，AB ＝12，AC ＝9，BC ＝15，则△ABC 的面积等于（）A.108B.90C.180D.542．若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的值可能有( )3. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( )A ．12米B ．10米C ．8米D ．6米4．Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则222AB AC BC ++的值为( )A.8B.4C.6 5．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于( )A.4B.6C.8D.1026．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝15cm ，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为( )2cm 2cm2cm7.在直角坐标系中，点P（－2，3）到原点的距离是_______．8．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，此时甲、乙两人相距______km．9．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______m路，却踩伤了花草．10．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．12. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点'B重合，则AC＝cm.13. 如图四边形ABCD 的周长为42，AB ＝AD ＝12，∠A ＝60°，∠D ＝150°，求BC 的长．14. 已知在三角形ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，CD ＝3，BD ＝5，求AC 的长．15.如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，已知AB ＝3，AD ＝9，求BE 的长．【答案与解析】1.【答案】D ；【解析】△ABC 为直角三角形，面积＝1129542⨯⨯=. 2.【答案】B ；【解析】x 可能是直角边，也可能是斜边.3.【答案】A ；【解析】设旗杆的高度为x 米，则()22215x x +=+，解得12x =米. 4.【答案】A ；【解析】222228AB AC BC BC ==＋＋.5.【答案】B ；【解析】AD ＝8，BD ＝221086-=.6.【答案】C ；【解析】面积和等于222225AC BC AB +==.7.【答案】13；【解析】()222313-+=.8.【答案】5；9.【答案】2；【解析】走捷径是22345+=米，少走了7－5＝2米.10.【答案】10；【解析】飞行距离为()2288210+-=. 11．【答案】5；【解析】可证两个三角形全等，正方形边长为22125+=.12.【答案】4；【解析】90AB E ABE '∠=∠=︒，又因为AE ＝CE ，所以BE '为△AEC 的垂直平分线，AC ＝2AB ＝4cm .13.【解析】解：连接BD ，因为AB ＝AD ＝12，∠A ＝60°所以△ABD 是等边三角形，又因为∠D ＝150°，所以△BCD 是直角三角形，于是BC ＋CD ＝42－12－12＝18，设BC ＝x ，从而CD ＝18－x ，利用勾股定理列方程得222(18)12x x -+=，解得x ＝13，即BC 的长为13. 14.【解析】解：过D 点作DE ⊥AB 于E ，∵AD 平分∠BAC ，∠C ＝90°，∴DE ＝CD ＝3，易证△ACD ≌△AED ，∴AE ＝AC ，在Rt △ DBE 中，∵BD ＝5 ，DE ＝3，∴BE ＝4 在Rt △ACB 中，∠C ＝90°设AE ＝AC ＝x ，则AB ＝4x +∵222AB AC BC =+∴()22248x x +=+解得6x =，∴AC ＝6.15．【解析】解：设BE ＝x ，则DE ＝BE ＝x ，AE ＝AD －DE ＝9－x ．在Rt △ABE 中，222AB AE BE ＋＝，∴()22239x x +-=．解得5x =．。

勾股定理知识点归纳和题型归类

勾股定理知识点归纳和题型归类勾股定理作为数学中的一条基本定理，是数学中的重要知识点。

它描述了直角三角形三条边之间的关系，充分利用了勾股定理可以解决很多与直角三角形相关的问题。

下面将对勾股定理的知识点进行归纳，并对常见的勾股定理题型进行分类。

一、知识点归纳：1.勾股定理的表述：直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和。

2.勾股定理的符号表示：对于直角三角形ABC，设斜边为c，两直角边分别为a和b，可以表示为：$a^2+b^2=c^2$。

3.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边满足$a^2+b^2=c^2$，其中a、b、c为三角形的边长，那么这个三角形一定是直角三角形。

4.勾股定理的证明方法：勾股定理有多种不同的证明方法，比如平方构造法和几何法。

5.勾股定理的推广应用：勾股定理不仅适用于直角三角形，还可以推广应用到其他类型的几何形状中。

二、题型归类：根据勾股定理的应用不同场景，常见的题型可以归类为以下几种：1.求边长问题：(1)已知两边求第三边：已知直角三角形两直角边的长度，求斜边的长度。

(2)已知一边求另一边：已知直角三角形一边和斜边的长度，求另一边的长度。

(3)已知斜边和一边求另一边：已知直角三角形一边和斜边的长度，求未知边的长度。

2.求角度问题：(1)已知两边求夹角：已知直角三角形两直角边的长度，求两直角边之间的夹角。

(2)已知斜边和一边求夹角：已知直角三角形一边和斜边的长度，求斜边与该边之间的夹角。

3.判断问题：(1)判断是否为直角三角形：已知三角形的三边长度，判断是否为直角三角形。

4.应用问题：(1)三角形的面积问题：已知直角三角形的两个直角边的长度，求其面积。

(2)其他几何问题：如斜边长为x的直角三角形，边的长度与斜边比为1：4，求边的长度。

以上是一些常见的勾股定理题型，通过不同的题目训练可以更好地掌握勾股定理的应用和解题思路。

在解题的过程中，需要根据问题的具体要求，合理运用勾股定理的知识，灵活运用数学方法，进行推导和计算，以得到准确的结果。

勾股定理全章复习与巩固(基础)知识讲解

《勾股定理》全章复习与巩固（基础）责编：杜少波【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂勾股定理全章复习知识要点】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．要点二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证：22a b +与2c 是否具有相等关系：若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；若222a b c +＞时，△ABC 是锐角三角形；若222a b c +＜时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.要点诠释：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、（2016•益阳）在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．【思路点拨】根据题意正确表示出AD 2的值是解题关键.【答案与解析】解：如图，在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，设BD=x ，则CD=14﹣x ，由勾股定理得：AD 2=AB 2﹣BD 2=152﹣x 2，AD 2=AC 2﹣CD 2=132﹣（14﹣x ）2，故152﹣x 2=132﹣（14﹣x ）2，解之得：x=9．∴AD=12．∴S △ABC =BC •AD=×14×12=84．【总结升华】此题主要是要读懂解题思路，然后找到解决问题的切入点，问题才能迎刃而解. 举一反三：【变式】在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12．求△ABC 的周长．【答案】解：在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，由勾股定理，得22222151281BD AB AD =-=-=．∴ 9BD =．同理22222131225CD AC AD =-=-=．∴ 5CD =．①当∠ACB ＞90°时，BC ＝BD －CD ＝9－5＝4．∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋4＋13＝32．②当∠ACB ＜90°时，BC ＝BD ＋CD ＝9＋5＝14．∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋14＋13＝42．综上所述：△ABC 的周长为32或42．2、如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，M 为AB 上一点．求证：2222AM BM CM +=．【思路点拨】欲证的等式中出现了AM 2、BM 2、CM 2，自然想到了用勾股定理证明，因此需要作CD ⊥AB ．【答案与解析】证明：过点C 作CD ⊥AB 于D ．∵ AC ＝BC ，CD ⊥AB ，∴ AD ＝BD ．∵ ∠ACB ＝90°，∴ CD ＝AD ＝DB ．∴ ()()2222AM BM AD DM AD DM +=-++222222AD AD DM DM AD AD DM DM =-⋅+++⋅+222()AD DM =+222()CD DM =+在Rt △CDM 中，222CD DM CM +=，∴ 2222AM BM CM +=．【总结升华】欲证明线段平方关系问题，首先联想勾股定理，从图中寻找或作垂线构造包含所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证．举一反三：【变式】已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上任一点，求证：22AB AD BD CD -=⋅.【答案】解：如图，作AM ⊥BC 于M ，∵AB ＝AC ，∴BM ＝CM,则在Rt △ABM 中：222AB AM BM =+……①在Rt △ADM 中：222AD AM DM =+……②由①－②得：22AB AD -=()()22BM DM BM DM BM DM -=+- ＝（MC ＋DM ）•BD ＝CD·BD类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、（2014秋•黎川县期中）如图，在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，请你判定△BEF 的形状，并说明理由．【思路点拨】根据勾股定理求出BE 2、EF 2、BF 2，根据勾股定理的逆定理判断即可．【答案与解析】解：∵△BEF是直角三角形，理由是：∵在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，∴∠A=∠C=∠D=90°，AB=AD=DC=BC=4，DE=4﹣2=2，CF=4﹣1=3，∵由勾股定理得：BE2=AB2+AE2=42+22=20，EF2=DE2+DF2=22+12=5，BF2=BC2+CF2=42+32=25，∴BE2+EF2=BF2，∴∠BEF=90°，即△BEF是直角三角形．【总结升华】本题考查了正方形性质，勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出BE2+EF2=BF2.4、如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．(2)若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．【答案与解析】解：(1)猜想：AP=CQ证明：在△ABP与△CBQ中，∵AB=CB，BP=BQ，∠ABC=∠PBQ=60°∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ∴△ABP≌△CBQ∴AP=CQ(2)由PA：PB：PC=3：4：5 可设PA=3a，PB=4a，PC=5a连结PQ，在△PBQ中，由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°∴△PBQ为正三角形∴PQ=4a于是在△PQC中，∵∴△PQC是直角三角形【总结升华】本题的关键在于能够证出△ABP≌△CBQ，从而达到线段转移的目的，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC中，D是BC边上的点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求DC的长．【答案】解：在△ABD 中，由22212513+=可知：222AD BD AB +=，又由勾股定理的逆定理知∠ADB ＝90°．在Rt △ADC 中，22281,9DC AC AD DC =-==．5、如果ΔABC 的三边分别为a b c 、、，且满足222506810a b c a b c +++=++，判断ΔABC 的形状.【答案与解析】解：由222506810a b c a b c +++=++，得：2226981610250a a b b c c -++-++-+=∴ 222(3)(4)(5)0a b c -+-+-= ∵ 222(3)0(4)0(5)0a b c -≥-≥-≥，， ∴ 3,4, 5.a b c ===∵ 222345+=,∴ 222a b c +=.由勾股定理的逆定理得：△ABC 是直角三角形.【总结升华】勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中经常要用到.类型三、勾股定理的实际应用6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A 处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A 处爬到B 处的最短路线长为多少?【思路点拨】将长方体表面展开，由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行，且长方体木块底面是正方形，故它爬行的路径有两种情况．【答案与解析】解：如图②③所示．因为两点之间线段最短，所以最短的爬行路程就是线段AB 的长度．在图②中，由勾股定理，得222311130AB =+=．在图③中，由勾股定理，得22268100AB =+=．因为130＞100，所以图③中的AB 的长度最短，为10cm ，即蚂蚁需要爬行的最短路线长为10cm ．【总结升华】解本题的关键是正确画出立体图形的展开图，把立体图形上的折线转化为平面图形上的直线，再运用勾股定理求解．举一反三：【变式】（2014秋•郑州期末）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？【答案】解：如图所示，在如图所示的直角三角形中，∵BC=20尺，AC=5×3=15尺，∴AB==25（尺）．答：葛藤长为25尺．。

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