2019-2020学年高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题与量词教案新人教B版选修.doc

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高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题与量词课堂导学案新人教B版选修1_1

1.1 命题与量词课堂导学三点剖析一、判断一个语句是否是命题【例1】下列语句①2是无限循环小数；②x2-3x+2=0；③当x=4时，2x＞0；④垂直于同一直线的两条直线必平行吗？⑤一个数不是合数就是质数；⑥难道菱形的对角线不平分吗？⑦把门关上.其中不是命题的是_________.解析：①是命题，能判断真假②不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假③是命题，能作出判断的语句④不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断⑤是命题⑥是命题⑦不是命题，没法作出判断故答案为：②④⑦温馨提示祈使句、疑问句一般不是命题。

二、判断命题及其真假【例2】设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中为真命题的是( )A.m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB.α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nC.α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nD.α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β解析：对于选项A，反例如图，此时α、β成任意角.对于选项C，反例如图，此时m∥n.对于选项D，反例如图，此时①m⊂β或②n与β斜交.答案：B三、将命题改写成“若p则q”的形式【例3】将下列命题改写成“若p则q”的形式，并判断真假：(1)偶数能被2整除(2)奇函数的图象关于原点对称(3)同弧所对的圆周角不相等解析：(1)若一个数是偶数，则它能被2整除.真命题.(2)若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称.真命题.(3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等.假命题.温馨提示“若p则q”命题形式的改写关键是找到命题的条件和结论，任何一个命题都可以写成“若p则q”的形式各个击破类题演练1若x∈Z，给出下列语句①x2-2x-3=0②x2+1＜0③|x|＞5④x∈R试判断它们是否为命题解析：对语句①，无法判断真假，因为不给定变量x的值时，不能确定x2-2x-3的值是否为0.∴①不是命题；对语句②，可以判断真假.故②是命题.语句③同①一样无法判断真假，故③也不是命题.由于整数一定是实数.∴可以判断④是正确的，即④是一个命题.变式提升1判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由.(1)“等边三角形难道不是等腰三角形吗？”(2)“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？”(3)“一个数不是正数就是负数”；(4)“大角所对的边大于小角所对的边”；(5)“x+y是有理数，则x、y也都是有理数”；(6)“作△ABC∽△A′B′C′”.解析：(1)通过反问疑问句，对等边三角形是等腰三角形作出判断，是真命题.(2)疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题.(3)是假命题，数0既不是正数也不是负数.(4)是假命题，没有考虑到“在两个三角形中，其他两边对应相等”的情况.(5)是假命题，如x=3,y=-3.(6)祈使句，不是命题.类题演练2判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？(1)末位是0的整数能被5整除.(2)平行四边形的对角线相等且互相平分.(3)两直线平行则斜率相等.(4)△ABC中，若∠A=∠B，则s in A=s in B.(5)余弦函数是周期函数吗？答案：(1)是命题，真命题.(2)是命题，假命题.(3)是命题，假命题.(4)是命题，真命题.(5)不是命题.变式提升2判断下列命题的真假：(1)对角线互相垂直的四边形是菱形(2)0是最小的自然数(3)0既不是奇数，也不是偶数(4)空集是任何非空集合的真子集答案：(1)假(2)真(3)假(4)真类题演练3指出下列命题的条件p和结论q：(1)若空间四边形为正四面体，则顶点在底面上的射影为底面的中心；(2)若两条直线a和b都和直线c平行，则直线a和直线b平行.解析：(1)条件p：空间四边形为正四面体，结论q：顶点在底面上的射影为底面的中心.(2)条件p：两直线a和b都和直线c平行.结论q：直线a和b平行.变式提升3把下列命题改写成“若……则……”的形式并判断真假.①对顶角相等②末位数是0的整数能被5整除解析：①如果两个角是对顶角，那么这两个角相等(真) ②如果一个整数末位数是0，那么这个整数可以被5整除(真)。

新教材高中数学第一单元集合与常用逻辑用语1 2 1命题与量词学案新人教B版必修第一册

1．2 常用逻辑用语1．2.1命题与量词1.命题定义可供真假判断的陈述语句真命题:判断为真的语句分类假命题:判断为假的语句数学中的命题,经常借助符号和式子来表达注意一个命题,要么是真命题,要么是假命题,不能同时既是真命题又是假命题2.全称量词与全称量词命题(1)全称量词:“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体,称为全称量词,用符号“∀”表示.(2)全称量词命题:含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.(3)符号表示:“对集合M中的所有元素x,r(x)”.可简记为:∀x∈M,r(x).常见的全称量词还有哪些?提示:常见的全称量词还有“一切”“全部”“任给”“凡是”等.3.存在量词与存在量词命题(1)存在量词:“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,称为存在量词,用符号“∃”表示.(2)存在量词命题:含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.(3)符号表示:“存在集合M中的元素x,s(x)”.可简记为:∃x∈M,s(x).常见的存在量词还有哪些?提示:常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”等.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题. ()(2)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题. ()(3)全称量词命题一定含有全称量词. ()提示:(1)√.全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质,无一例外,强调“整体、全部”.(2)√.存在量词命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外,强调“个别、部分”.(3)×.有些命题虽然没有写出全称量词,但其意义具备“任意性”,这类命题也是全称量词命题,如“正数大于0”即“所有正数都大于0”,故说法是错误的.2.下列语句是命题的是 ()①三角形内角和等于180°;②2>3;③一个数不是正数就是负数;④x>2;⑤2021央视春晚真精彩啊!A.①②③B.①③④C.①②⑤D.②③⑤〖解析〗选A.①,②,③是陈述句,且能判断真假,因此是命题,④不能判断真假,⑤是感叹句,故④,⑤不是命题.3.(教材例题改编)下列四个命题中的真命题为()A.∃x∈Z,1<4x<3B.∃x∈Z,5x+1=0C.∀x∈R,x2-1=0D.∀x∈R,x2+x+2>0〖解析〗选D.当x∈R时,x2+x+2=+>0.类型一判断命题的真假(数学抽象、逻辑推理)〖典例〗1.能说明命题“对于任何实数a,|a|>-a”是假命题的一个反例可以是 ()A.a=-2B.a=C.a=1D.a=2.下列命题是真命题的是()A.空集是任何集合的真子集B.等腰三角形是锐角三角形C.函数y=ax2+x+1是二次函数D.若a∈(A∩B),则a∈B〖思路导引〗1.举反例说明一个命题是假命题,就是所举例子满足命题题设,而不满足结论. 2.由真子集的定义、等腰三角形的特征、二次函数的定义以及集合的运算即可得出选项.〖解析〗1.选A.说明命题“对于任何实数a,|a|>-a”是假命题的一个反例可以是a=-2,当a=-2时,|a|=-a.2.选D.空集是任何非空集合的真子集,故选项A错误;等腰三角形顶角可以为钝角,故选项B错误;函数y=ax2+x+1,当a=0时是一次函数,故选项C错误;若a∈(A∩B),则a是集合A,B的公共元素,所以a∈B.判断一个命题真假的方法(1)判断一个命题是真命题,可从公理或定理出发,用逻辑推理的方法证明.(2)判断一个命题是假命题,首先分清原命题的条件与结论,然后举反例说明这个命题是假命题,就是所举例子满足命题条件,而不满足结论.判断下列命题的真假:(1)一个角的补角必大于这个角.(2)一个有理数必有两个平方根.(3)直径所对的圆周角是直角.(4)两条直线被第三条直线所截,同位角相等.(5)等式两边都加同一个数,结果仍是等式.〖解析〗(1)是假命题,例如设这个角是90°,它的补角是90°,而90°=90°.(2)是假命题,例如有理数-1没有平方根.(3)是真命题,这是关于圆周角的结论.(4)是假命题,两条平行直线被第三条直线所截,同位角才相等.(5)是真命题,这是等式的性质.〖补偿训练〗判断下列命题的真假:(1)全等的三角形必相似.(2)同角或等角的补角相等.(3)互为相反数的两个数相加得0.(4)若ab=0,则a+b=0.〖解析〗(1)是真命题,全等的三角形对应角相等,可推出相似.(2)是真命题,互补的两个角和为180°,由此可推出同角或等角的补角相等.(3)是真命题,由相反数的定义可知此命题是真命题.(4)是假命题,若a=0,b=4,ab=0,但a+b≠0.类型二全称量词命题与存在量词命题及其真假的判断(数学抽象、逻辑推理) 〖典例〗1.下列命题中,是全称量词命题的有.(填序号)①至少有一个x,使x2+2x+1=0成立;②对任意的x,都有x2+2x+1=0成立;③对任意的x,都有x2+2x+1=0不成立;④存在x,使x2+2x+1=0成立;⑤矩形的对角线垂直平分.2.下列四个命题:①没有一个无理数不是实数;②空集是任何一个非空集合的真子集;③1+1<2;④至少存在一个整数x,使得x2-x+1是整数,其中是真命题的为()A.①②③④B.①②③C.①②④D.②④〖思路导引〗1.有全称量词的是全称量词命题,有存在量词的是存在量词命题,当没有时,要结合命题的具体意义进行判断.2.根据实数的分类可判断①为真命题,根据空集的性质可判断②为真命题,根据实数的运算可判断③为假命题,通过举例可得④为真命题.〖解析〗1.①和④中用的是存在量词“至少有一个”“存在”,属于存在量词命题;②和③用的是全称量词“任意的”,属于全称量词命题,所以②,③是全称量词命题;⑤中命题“矩形的对角线垂直平分”省略量词“任意”,是全称量词命题.答案:②③⑤2.选C.因为实数由无理数和有理数构成,故所有无理数都是实数,①为真命题;因为空集是任何非空集合的真子集,故②为真命题;因为1+1=2,故③为假命题;取x=1,则x2-x+1=1是整数,故④为真命题.全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧(1)全称量词命题的真假判断.要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).(2)存在量词命题的真假判断.要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x=x0,使p(x0)成立即可;否则,这一存在量词命题就是假命题.〖补偿训练〗指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假.(1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点.(2)存在一个实数,它的绝对值不是正数.(3)∃x,y∈Z,使3x-4y=20.(4)任何数的0次方都等于1.〖解析〗(1)全称量词命题.在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,所以该命题是真命题.(2)存在量词命题.存在一个实数零,它的绝对值不是正数,所以该命题是真命题.(3)存在量词命题.取x=0,y=-5时,3×0-4×(-5)=20成立,所以该命题是真命题.(4)全称量词命题.0的0次方无意义,所以该命题是假命题.类型三全称量词命题与存在量词命题的应用(数学运算、逻辑推理)〖典例〗1.若“∃x∈R,x2+2x-a<0”是真命题,则实数a的取值范围是.2.已知命题p:“∀x∈R,x2-2x+m>0”是真命题,求实数m的取值范围.〖思路导引〗1.利用Δ>0求a的范围.2.参数与变量分离,求函数y=-(x-1)2+1的最大值.〖解析〗1.若“∃x∈R,x2+2x-a<0”是真命题,则Δ>0,即4+4a>0,解得a>-1,则实数a的取值范围是{a|a>-1}.答案:{a|a>-1}2.p:“∀x∈R,x2-2x+m>0”是真命题,即m>-x2+2x=-(x-1)2+1,x∈R恒成立,设函数y=-(x-1)2+1,由二次函数的性质知,当x=1时,y最大值=1,所以m>y最大值=1,即实数m的取值范围是(1,+∞).利用含量词的命题的真假求参数的取值范围(1)含参数的全称量词命题为真时,常与不等式恒成立有关,可根据有关代数恒等式(如x2≥0),确定参数的取值范围.(2)含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解问题来处理,可借助根的判别式等知识解决.〖补偿训练〗(2021·营口高一检测)“∀x∈R,都有k≤x2+1恒成立”是真命题,则实数k的取值范围是.〖解析〗因为x2+1≥1,即x2+1的最小值为1,要使“k≤x2+1恒成立”,只需k≤(x2+1)min,即k ≤1.答案:k≤11.下列命题中,真命题共有()①面积相等的三角形是全等三角形;②若xy=0,则|x|+|y|=0;③若a>b,则a+c>b+c;④矩形的对角线互相垂直.A.1个B.2个C.3个D.4个〖解析〗选A.①,②,④是假命题,③是真命题.2.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是 ()A.锐角三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x,使x2≤0C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x,使>2〖解析〗选B.A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题;B中x=0时,x2=0,所以B 既是存在量词命题又是真命题;C中因为+(-)=0,所以C是假命题;D中对于任意一个负数x,都有<0,所以D是假命题.3.下列命题中是真命题的是 ()A.∃x∈R,x2+1<0B.∃x∈Z,3x+1是整数C.∀x∈R,|x|>3D.∀x∈Q,x2∈Z〖解析〗选B.A是假命题.因为∀x∈R,x2+1≥1;B是真命题.当x=1时,3x+1=4是整数;C是假命题.如x=2时,|x|<3;D是假命题.如x=,x2∉Z.4.已知命题p:“∃x<0,mx≥0”是真命题,则实数m的取值范围是.〖解析〗因为“∃x<0,mx≥0”是真命题,所以关于x的不等式mx≥0有负实数解,所以m≤0.答案:(-∞,0〗5.(教材练习改编)已知p:x2+2x-m>0,若p是假命题,p是真命题,则实数m的取值范围为.〖解析〗若p是假命题,当x=1时,12+2×1-m≤0,解得m≥3,若p是真命题,当x=2时,22+2×2-m>0,解得m<8,求交集后实数m的取值范围为〖3,8).答案:。

2019-2020学年高中数学新教材必修一第1章 1.2.1 命题与量词

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3．下列命题： ①所有合数都是偶数； ②x∈R，(x－1)2＋
1≥1；③有些无理数的平方还是无理数．其中既是全称量词命题，
又是真命题的个数是( )
A．0
B．1 C．2 D．3
B [命题①是假命题；命题②既是全称量词命题，又是真命题；命题③既是存在量词命题，又是真命题，故选B.]
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A．1
B．2
C．3
D．4
B [①④为命题，②是祈使句，③是疑问句，都不是命题，故选B.]
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2．下列命题中，全称量词命题的个数为( ) ①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行； ③存在一个菱形，它的四条边不相等． A．0 B．1 C．2 D．3 C [①②是全称量词命题，③是存在量词命题．]
A．0
B．1 C．2 D．3
D [①中含有存在量词“至少有一个”，所以是存在量词命题； ②中含有存在量词符号 “∃”，所以是存在量词命题；③中含有存
在量词 “有的”，所以是存在量词命题．]
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存在量词命题的常用表示形式：1存在 x∈M，sx；2至少有一个x∈M，sx；3对有些x∈M，sx；4对某个x∈M，sx； 5有一个x∈M，sx.)
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思考：“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．
提示：是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1 ＝0”．
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1．下列语句中，命题的个数为( )
①空集是任何非空集合的真子集； ②起立！ ③垂直于同一平
面的两条直线平行吗？ ④若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x＝y＝0.

高中数学第一章常用逻辑用语 1.1 命题与量词预习导航学案新人教B版选修21

1.1 命题与量词
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1．命题
思考1 数学中的定义、公理、定理与命题的关系是怎样的？
提示：数学中的定义、公理、定理等都是命题，但命题与定理是有区别的：
(1)命题有真假之分，而定理都是真的；
(2)命题一定有逆命题，而定理不一定有逆定理．
名师点拨 1.并不是任何语句都是命题，只有能够判断真假的语句才是命题．一般地，祈使句、感叹句、疑问句都不是命题．
2．有些语句尽管现在不能确定其真假，但随着时间的推移，总能判断其真假，这样的语句也是命题．
2．全称量词与全称命题
思考2 常见的全称量词有哪些？
提示：常见的全称量词除“所有”外，还有“一切”“每一个”“任一个”等．
特别提醒全称命题实际上是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．有时省去全称量词，但仍为全称命题．如“正方形都是平行四边形”，省去了全称量词“所有”．3．存在量词与存在性命题
思考3 如何判断一个命题是全称命题还是存在性命题？
提示：判断一个命题是全称命题还是存在性命题，关键是看量词是全称量词还是存在量词．
名师点拨存在性命题就是陈述在某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题．。

2019_2020学年高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.2量词学案新人教B版选修1_1

1．1.2 量词1.了解全称量词和存在量词的概念，全称命题和存在性命题的概念．2.理解全称量词与存在量词的意义．3．掌握全称命题和存在性命题真假的判定方法．[学生用书P3]1．全称量词和全称命题(1)定义：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．(2)形式：设p(x)是某集合M的所有元素都具有的性质，那么全称命题就是形如“对M 中的所有x，p(x)”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)．2．存在量词和存在性命题(1)定义：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题．(2)形式：设q(x)是某集合M的有些元素x具有的某种性质，那么存在性命题就是形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为∃x∈M，q(x)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．( )(2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．( )(3)全称命题一定含有全称量词，存在性命题一定含有存在量词．( )答案：(1)×(2)√(3)×2．下列命题为存在性命题的是( )A．偶函数的图象关于y轴对称B．四棱柱都有六个面C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于它本身的平方答案：D3．下列命题是全称命题且是假命题的是( )A．奇函数的图象关于原点对称B．有些平行四边形是正方形C．∀x∈R，2x＋1是奇数D．至少有一个整数，它既不是质数，也不是合数答案：C4．下列命题中真命题的个数为________．①∀x∈R，x2＋3≥3；②∃x∈R，x2＋3≤3；③所有的量词都是全称量词．答案：2全称命题与存在性命题的判断[学生用书P4]判断下列命题是全称命题还是存在性命题．(1)指数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；(3)∃x∈{x|x∈Z}，log2x>0；(4)负数的平方是正数；(5)有的实数是无限不循环小数．【解】(1)中含有全称量词“都”，所以是全称命题．(2)中含有存在量词“至少有一个”，所以是存在性命题．(3)中含有存在量词符号“∃”，所以是存在性命题．(4)中省略了全称量词“都”，所以是全称命题．(5)中含有存在量词“有的”，所以是存在性命题．判定一个语句是全称命题还是存在性命题的注意点(1)首先判断该语句是否是一个命题；(2)对命题属性进行判定时关键是看命题中含有的量词是全称量词还是存在量词；(3)对于不含有量词或省略了量词的命题要根据命题所涉及的实际意义进行判断．判断下列命题是全称命题还是存在性命题．(1)至少有一个质数不是奇数；(2)实数的绝对值是正数；(3)有些三角形不是等腰三角形；(4)每个二次函数的图象都与x轴相交．解：命题(1)中含存在量词“至少有一个”，因而是存在性命题．命题(2)中省略了全称量词“所有”，实际上是“所有实数的绝对值都是正数”，故是全称命题．命题(3)中含有存在量词“有些”，所以是存在性命题．命题(4)中含有全称量词“每个”，所以是全称命题．全称命题与存在性命题的表述[学生用书P5]用符号“∀”或“∃”表示下列含有量词的命题．(1)存在实数x，y，使2x＋3y＋2<0成立；(2)有些三角形不是等边三角形；(3)至少有一个实数使不等式x2－3x＋6<0成立．【解】(1)∃x∈R，y∈R，2x＋3y＋2<0.(2)∃x∈{三角形}，x不是等边三角形．(3)∃x∈R，x2－3x＋6<0.含有“至少”“至多”“恰有”“存在”等表述的命题是存在性命题，形式为：∃x∈M，q(x)；含有“所有”“任意”等表述的命题是全称命题，形式为：∀x∈M，p(x)．将下列全称命题或存在性命题用符号表示．(1)至少有一对实数α，β，使cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β；(2)任意的实数α、β，都使cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；(3)有的数列既是等差数列又是等比数列．解：(1)∃α，β∈R，cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(2)∀α，β∈R，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.(3)∃数列{a n}，{a n}既是等差数列又是等比数列．全称命题和存在性命题的真假判断[学生用书P6]判断下列命题的真假． (1)∃x ∈Z ，x 3＜1；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )都对应一点P ； (4)∀x ∈N ，x 2>0.【解】 (1)因为－1∈Z ，且(－1)3＝－1＜1，所以“∃x ∈Z ，x 3＜1”是真命题． (2)真命题，如梯形．(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题． (4)因为0∈N ，02＝0，所以命题“∀x ∈N ，x 2>0”是假命题．判断全称命题和存在性命题真假的方法(1)要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x ，使命题p (x )为真；但要判断一个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x ，使命题p (x )为假．(2)要判断一个存在性命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x ，使命题p (x )为真；要判断一个存在性命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x ，使命题p (x )为假．判断下列命题的真假．(1)任意两向量a ，b ，若a ·b >0，则a ，b 的夹角θ为锐角； (2)∃x ，y 为正实数，使x 2＋y 2＝0； (3)有一个实数α，tan α无意义； (4)∃x ∈R ，cos x ＝π2.解：(1)因为ab ＝|a ||b |·cos θ>0，所以cos θ>0. 又0≤θ≤π，所以0≤θ<π2，即a ，b 的夹角为零或锐角．故它是假命题．(2)因为当x 2＋y 2＝0时，x ＝y ＝0，所以不存在x ，y 为正实数，使x 2＋y 2＝0，故它是假命题． (3)真命题，当α＝π2时，tan α无意义．(4)因为当x ∈R 时，cos x ∈[－1，1]，而π2＞1，所以不存在x ∈R ，使cos x ＝π2，所以原命题是假命题．由含量词的命题求参数[学生用书P6]对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立，求实数m 的取值范围．【解】令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，则y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2，2]，因为∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立，所以只要m <－2即可．所以所求m 的取值范围是(－∞，－2)．本例条件变为：“存在实数x ，使不等式sin x ＋cos x >m 有解”，求实数m 的取值范围．解：令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，因为y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2，2]．又因为∃x ∈R ， sin x ＋cos x >m 有解，所以只要m <2即可，所以所求m 的取值范围是(－∞，2)．求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称命题“∀x ∈M ，a ＞f (x )(或a ＜f (x ))”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f (x )的最大值(或最小值)，即a ＞f (x )max (或a ＜f (x )min )．(2)对于存在性命题“∃x ∈M ，a ＞f (x )(或a ＜f (x ))”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数f (x )的最小值(或最大值)，即a ＞f (x )min (或a ＜f (x )max )．已知命题p ：“∀x ∈[1，＋∞)，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0”．若命题p 和q 均是真命题，则实数a 的取值范围为( )A ．{a |a ≤－2或a ＝1}B ．{a |a ≤－2或1≤a ≤2}C ．{a |a ≥1}D ．{a |－2≤a ≤1}解析：选A.由命题p为真命题，得a≤1；由命题q为真命题，知Δ＝4a2－4(2－a)≥0成立，得a≤－2或a≥1，所以实数a的取值范围为{a|a≤－2或a＝1}．1．全称命题的真假判定要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素都验证为真；而要判定一个全称命题为假，只需举一个反例说明即可．2．存在性命题的真假判定要判定一个存在性命题是真命题，只要在限定集合M中找到一个x使命题成立即可；如果在集合中找不到这样的元素，则这一存在性命题为假．对于不含有量词或省略了量词的命题要根据命题所涉及的实际意义进行判断．如“正方形都是矩形”省去了全称量词“所有”，要结合具体问题做出正确的判断．1．下列命题中是全称命题的是( )A．圆有内接四边形B.3> 2C.3≤ 2D．若一个三角形的三边边长分别为3，4，5，则这个三角形为直角三角形答案：A2．下列命题中是存在性命题的是( )A．∀x∈R，x2≥0B．∃x∈R，x2<0C．平行四边形的对边不平行D．矩形的任一组对边都不相等答案：B3．给出下列三个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈R，x2＋1＝0；③∀x∈R，4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．答案：04．命题“存在实数x ，y ，使得x ＋y >1”是________(填“全称命题”或“存在性命题”)，用符号表示为____________．答案：存在性命题 ∃x ，y ∈R ，x ＋y >1[学生用书P71(单独成册)][A 基础达标]1．下列存在性命题中，是假命题的是( ) A ．∃x ∈Z ，x 2－2x －3＝0B ．至少有一个x ∈Z ，使x 能同时被2和3整除C ．有的直线不存在倾斜角D ．某些直线不存在斜率解析：选C.A 中，x ＝－1满足题意，是真命题；B 中，x ＝6满足题意，是真命题；D 中，垂直于x 轴的直线不存在斜率，是真命题；C 中，所有的直线都存在倾斜角，是假命题．故选C.2．下列命题中，是全称命题且是真命题的是( ) A ．对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2＜0 B ．菱形的两条对角线相等 C ．∀x ∈R ，x 2＝xD ．对数函数在定义域上是单调函数解析：选D.A 中的命题是全称命题，但是a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，故是假命题；B 中的命题是全称命题，但是假命题；C 中的命题是全称命题，但x 2＝|x |，故是假命题；很明显D 中的命题是全称命题且是真命题，故选D.3．下列命题中的假命题是( ) A ．∃x ∈R ，lg x ＝0 B ．∃x ∈R ，tan x ＝1 C ．∀x ∈R ，x 3>0 D ．∀x ∈R ，2x>0解析：选C.对于A ，当x ＝1时，lg x ＝0，正确；对于B ，当x ＝π4时，tan x ＝1，正确；对于C ，当x <0时，x 3<0，错误；对于D ，∀x ∈R ，2x>0，正确．4．下列命题中，真命题是( ) A ．∃x ∈R ，sin x ＋cos x ＝1.5 B ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x C ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1D ．∀x ∈(0，＋∞)，x 2>x －1 解析：选D.A 选项中sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，所以不可能等于1.5.B 选项中x ＝π6时cos x >sin x ，故为假命题．不存在这样的x ，使x 2＋x ＝－1，所以C 不正确．易知x ∈(0，＋∞)时，x 2－x ＋1>0恒成立，故选D.5．给出下列四个命题： ①对任意的x ∈R ，x 2＞0； ②存在x ∈R ，使得x 2≤x 成立；③对于集合M ，N ，若x ∈M ∩N ，则x ∈M 且x ∈N ； ④存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β. 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D.对于①，存在x ＝0，使得x 2＝0，故①是假命题；显然②③④是真命题． 6．命题“有些负数满足不等式(1＋x )(1－9x )2＞0”用“∃”写成存在性命题为________．解析：存在性命题“存在M 中的一个x ，使p (x )成立”可用符号简记为“∃x ∈M ，p (x )”．答案：∃x ＜0，(1＋x )(1－9x )2＞07．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．解析：由题意，原命题等价于tan x ≤m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上恒成立，即y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的最小值为1.答案：1 8．下列命题：①存在x <0，x 2－2x －3＝0； ②对于一切实数x <0，都有|x |>x ；③已知a n ＝2n ，b m ＝3m ，对于任意n ，m ∈N ＋，a n ≠b m . 其中，所有真命题的序号为________．解析：因为x 2－2x －3＝0的根为x ＝－1或3，所以存在x ＝－1<0，使x 2－2x －3＝0，故①为真命题； ②显然为真命题；③当n＝3，m＝2时，a3＝b2，故③为假命题．答案：①②9．用量词符号“∀”或“∃”表示下列命题．(1)一定有整数x，y，使得3x＋2y＝10成立；(2)对所有的实数x，都能使x2＋2x＋2≤0成立．解：(1)∃x，y∈Z，3x＋2y＝10；(2)∀x∈R，x2＋2x＋2≤0.10．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是存在性命题，并判断真假．(1)对任意实数x1，x2，若x1＜x2，则tan x1＜tan x2；(2)∃x∈R，使x2＋1＜0；(3)∃T∈R，使|sin(x＋T)|＝|sin x|；(4)∀x∈{3，5，7}，3x＋1是偶数．解：(1)命题中含有全称量词“任意”，故为全称命题，又存在x1＝0，x2＝π，x1＜x2但tan 0＝tan π，故命题为假命题．(2)命题中含有“∃”，故为存在性命题，又∀x∈R，都有x2＋1＞0，故命题为假命题．(3)命题中含有“∃”，故为存在性命题，又∃T＝π，使得|sin(x＋π)|＝|sin x|，故命题为真命题．(4)命题中含有“∀”，故为全称命题，又将3，5，7分别代入3x＋1，得10，16，22都是偶数，故命题为真命题．[B 能力提升]11．给出下列命题：①存在实数x＞1，使x2＞1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数．其中存在性命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.①③④为存在性命题，②为全称命题．故选C.12．给出下列命题：①∀x∈R，x是无理数；②∀x，y∈R，如果x＋y≠0，则x，y至少有一个不为0；③存在实数既能被3整除又能被19整除；④x >1与1x<1同解．其中真命题的序号是________．解析：对①，取x ＝0，则x ＝0不是无理数；对④，两不等式不同解，由1x <1，得x －1x>0，所以x <0或x >1.答案：②③13．若命题“∃a ∈[1，3]，使ax 2＋(a －2)x －2＞0”是真命题，求实数x 的取值范围．解：令f (a )＝ax 2＋(a －2)x －2＝(x 2＋x )a －2x －2，则f (a )是关于a 的一次函数，由题意得，(x 2＋x )－2x －2＞0，或(x 2＋x )·3－2x －2＞0.即x 2－x －2＞0或3x 2＋x －2＞0，解得x ＜－1或x ＞23.14．(选做题)已知实数a ＞0，且满足以下条件： ①∃x ∈R ，|sin x |＞a 有解；②∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，sin 2x ＋a sin x －1≥0.求实数a 的取值范围．解：因为实数a ＞0，所以由①得，0＜a ＜1，由②得，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，所以由sin 2x ＋a sin x －1≥0，得a ≥1sin x －sin x ，令t ＝sin x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，所以函数f (t )＝1t－t 在区间(0，＋∞)上为减函数，则当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1时，f (t )＝1t －t ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝22，要使a ≥1sin x －sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4上恒成立，则a ≥22. 综上，a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a |22≤a ＜1.。

2019_2020学年高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题学案新人教B版选修1_1

1．1.1 命题1.了解命题的概念．2.理解命题的结构3.掌握命题真假的判断．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)并非任何语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题．( )(2)一个命题不是真命题就是假命题．( )(3)有的命题只有结论没有条件．( )答案：(1)√(2)√(3)×2．下列命题是真命题的是( )A．所有素数都是奇数B．若a>b，则a－6>b－6成立C．对任意的x∈N，都有x3>x2成立D．方程x2＋x＋1＝0有实根答案：B3．有下列命题：①若a·b＝0，则a⊥b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③梯形的对角线相等．其中假命题有________(填序号)．答案：②③命题[学生用书P1]判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；(2)集合{a，b，c}有3个子集；(3)这盆花长得太好了！【解】(1)“f(x)＝3x(x∈R)是指数函数”是陈述句并且它是真的，因此它是命题．(2)“集合{a，b，c}有3个子集”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．(3)“这盆花长得太好了！”是感叹句，它不是命题．判断语句是否是命题的策略(1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．(2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．判断下列语句是否是命题，并说明理由．(1)求证π是无理数；(2)若x∈R，则x2＋4x＋5≥0；(3)一个数的算术平方根一定是负数；(4)你是高三学生吗？解：(1)是祈使句，不是命题；(2)是陈述句，并且可以判断真假，故为命题；(3)是命题，并且是假命题，因为一个数的算术平方根为非负数；(4)不是命题，因为它不是陈述句．命题真假的判断[学生用书P2]判断下列命题的真假．(1)若a>b，则a2>b2；(2)x＝1是方程(x－2)(x－1)＝0的根；(3)若a、b都是奇数，则ab必是奇数；(4)直线y＝x与圆(x－1)2＋y2＝1相切．【解】(1)为假命题，如a＝1，b＝－2时，有a>b，但a2<b2.(2)为真命题，由方程的根的定义，将x＝1代入方程，即可作出判断．(3)为真命题，令a＝2k1＋1，b＝2k2＋1(k1，k2∈Z)，则ab＝2(2k1k2＋k1＋k2)＋1，显然2k1k2＋k1＋k2是一个整数，故ab是奇数．(4)为假命题，圆心到直线的距离d＝22小于圆的半径1，直线与圆相交．若将本例(3)中“ab”改为“a＋b”，则结果如何？解：取a＝3，b＝7，则a＋b＝10为偶数，故命题错误，为假命题．判断命题真假的方法(1)真命题的判定方法要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．(2)假命题的判定方法通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．判断下列命题的真假，并说明理由．(1)正方形既是矩形又是菱形；(2)当x＝4时，2x＋1＜0；(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0.解：(1)是真命题．由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．(2)是假命题．x＝4时，不满足2x＋1＜0.(3)是真命题．x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.命题的判断与命题真假的判断[学生用书P2]判断下列语句中哪些是命题，是真命题还是假命题？(1)末位是0的整数能被5整除；(2)平行四边形的对角线相等且平分；(3)两直线平行，则斜率相等；(4)余弦函数是周期函数吗？【解】(1)是陈述句，且为真，故是命题且为真命题；(2)是命题．因为平行四边形的对角线不一定相等，故是假命题；(3)是命题．因两直线平行时，可能直线的斜率都不存在，故是假命题；(4)因为该语句不是陈述句，所以该语句不是命题．判断下列语句是否为命题，是真命题还是假命题？(1)若平行四边形的边都相等，则它是菱形；(2)对顶角相等吗？(3)6>3；(4)x>3.解：(1)是陈述句，能判断真假，是真命题；(2)不是陈述句，不是命题；(3)是陈述句，能判断真假，是真命题；(4)是陈述句，但不能判断真假，故不是命题．1．判断一个语句是不是命题的关键要看是否是可以判断真假的陈述句．2．判断命题真假的思想(1)一个命题要么是真的，要么是假的，不能模棱两可．给出一个命题，判断它是真命题，需经过严格的推理．而要说明它是假命题，只需举一反例即可．(2)数学中的定义、定理、公理、公式都是真命题．1.对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题.2．我们在通过举例子验证命题真假时，优先考虑特殊情形，如研究集合中的空集、数列中的n＝1及公比q＝1、向量中的零向量、直线中的斜率为零或不存在等情况．1．下列语句中命题的个数是( )①地球是太阳的一颗行星；②0∉N；③|x＋a|>0；④x2>3.A．1 B．2C．3 D．4解析：选B.①②是命题，③④不是命题．2．下列命题是真命题的是( )A．{∅}是空集x∈N||x－1|<3是无限集B.{}C．π是有理数D．x2－5x＝0的根是自然数解析：选D.x2－5x＝0的根为x1＝0，x2＝5，均为自然数．3．命题“△ABC是等腰三角形，则它的任意两个内角不相等”中的条件是________，结论是________，它是________命题(填“真”或“假”)．答案：△ABC是等腰三角形△ABC的任意两个内角不相等假4．下列语句中是命题的有________，其中是假命题的有________．(填序号)①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？②一个数不是正数就是负数；③大角所对的边大于小角所对的边．解析：①是疑问句，不是命题；②是假命题，因为0既不是正数也不是负数；③是假命题，没有考虑到“在两个三角形中”的情况．答案：②③②③[学生用书P69(单独成册)][A 基础达标]1．下列语句中，不能成为命题的是( )A．5＞12B．x＞0C．已知a、b是平面向量，若a⊥b，则a·b＝0D．三角形的三条中线交于一点解析：选B.A是假命题；C、D是真命题，B中含变量x，未指定x的取值范围，无法判断真假，故不是命题．2．下列说法正确的是( )A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题解析：选D.对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B所给语句是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明．故选D.3．下列命题中真命题的个数为( )①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a＞b，则a＋c＞b＋c；④矩形的对角线互相垂直．A．1 B．2C．3 D．4解析：选A.①错；②中x＝3，y＝0，则xy＝0，但|x|＋|y|≠0，故②错；③正确；④中矩形的对角线相等不一定互相垂直．4．下列命题正确的是( )A．若a>b，则ac2>bc2B．若a>－b，则－a>bC．若ac>bc，则a>bD．若a>b，则a－c>b－c解析：选D.当c＝0时选项A不正确；a>－b时，－a<b，选项B不正确；当c<0时，选项C不正确；由不等式的性质知选项D正确，故选D.5．给出命题：方程x2＋ax＋1＝0没有实数根，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )A．4 B．2C．0 D．－3解析：选C.方程无实数根时，应满足Δ＝a2－4<0，故当a＝0时符合条件．6．下列语句：①2是无限循环小数；②x 2－3x ＋2＝0；③当x ＝4时，2x >0；④一个数不是合数就是质数；⑤把门关上．其中不是命题的是________．(填序号)答案：②⑤ 7．给出下列命题：①在△ABC 中，若A ＞B ，则sin A ＞sin B ； ②函数y ＝x 3在R 上既是奇函数又是增函数； ③函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 至多有一个交点；④若将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，则得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象．其中真命题的序号是________．解析：①A ＞B ⇒a ＞b ⇒sin A ＞sinB ．②③易知正确．④将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象．答案：①②③ 8．给出下列命题：①若直线l ⊥平面α，直线m ⊥平面α，则l ⊥m ； ②若a ，b 都是正实数，则a ＋b ≥2ab ； ③若x 2＞x ，则x ＞1； ④函数y ＝x 3是指数函数．其中假命题的序号为________．解析：①显然错误，所以①是假命题；由基本不等式，知②是真命题；③中，由x 2＞x ，得x ＜0或x ＞1，所以③是假命题；④中函数y ＝x 3是幂函数，不是指数函数，④是假命题．答案：①③④9．判断下列命题的真假： (1)若xy ＝1，则x 、y 互为倒数； (2)对角线垂直的平行四边形是正方形； (3)平行四边形是梯形； (4)若ac 2>bc 2，则a >b .解：(1)由倒数的定义知，为真命题．(2)对角线垂直的平行四边形不一定为正方形，如菱形，故为假命题． (3)由梯形定义知，为假命题． (4)由不等式的性质知，为真命题．10．判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假．(1)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列； (2)当x ＝3时，x ＋4<0；(3)求证：若x ∈R ，方程x 2－x ＋1＝0无实根．解：(1)是命题，因为当等比数列的首项a 1<0，公比q >1时，该数列为递减数列，因此是一个假命题．(2)是命题，它是一个假命题． (3)不是命题，它是祈使句．[B 能力提升]11．下列语句：①3>2；②π是有理数吗？③sin 30°＝12；④x 2－1＝0有两个根，其中一个根为x ＝－1；⑤x > 5.其中是命题的有( )A ．①②③B ．①③④C ．③D ．②⑤解析：选B.①是真命题；②是疑问句不是命题；③是真命题；④也是真命题；⑤不能判断真假，不是命题．故选B.12．关于平面向量a ，b ，c ，下列三个命题： ①若a·b ＝a·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2，6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°. 其中真命题的序号为________．解析：对于①，向量在等式两边不能相消，也可举反例：当a ⊥b 且a ⊥c 时，a ·b ＝a ·c ＝0，但此时b ＝c 不一定成立；对于②，有1－2＝k6，得k ＝－3；对于③，根据平行四边形法则，画图可知a 与a ＋b 的夹角应为30°，而不是60°.答案：②13．判断下列命题的真假：(1)函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π；(2)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2在[0，π]上是减函数．解：(1)y ＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x .T ＝2π2＝π，故为真命题． (2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x 在[0，π]上是增函数，故为假命题．14．(选做题)判断“函数f(x)＝2x－x2有三个零点”是否为命题．若是命题，是真命题还是假命题？说明理由．解：这是一个可以判断真假的陈述句，所以是命题，且是真命题，理由如下：函数f(x)＝2x－x2的零点即方程2x－x2＝0的实数根，也就是方程2x＝x2的实数根，即函数y＝2x，y＝x2的图象的交点的横坐标，易知指数函数y＝2x的图象与抛物线y＝x2有三个交点，所以函数f(x)＝2x－x2有三个零点．。

2019_2020学年高中数学第1章常用逻辑用语1.1.1命题课件新人教B版选修1_1

(2)下列语句中是命题的有________(填序号)． ①平行于同一条直线的两条直线必平行吗？ ②一个数不是正数就是负数； ③x·y 为有理数，则 x，y 也都是有理数； ④作△ABC∽△A′B′C′.
(1)②③⑤ (2)②③ [(1)①不是命题，因为它不是陈述句； ②是命题，是假命题，因为负数没有算术平方根； ③是命题，是假命题，例如－ 2＋ 2＝0,0 不是无理数； ④不是命题，因为它不是陈述句； ⑤是命题，是假命题，直线 l 与平面 α 可以相交．
提醒：任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若 p，则 q”的形式.含有大前提的命题写成“若 p，则 q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件 p 中.
2．将下列命题改写成“若 p，则 q”的形式． (1)6 是 12 和 18 的公约数； (2)当 a>－1 时，方程 ax2＋2x－1＝0 有两个不等实根； (3)平行四边形的对角线互相平分； (4)已知 x，y 为非零自然数，当 y－x＝2 时，y＝4，x＝2.
1真命题的判定方法真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程.判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法.
2假命题的判定方法通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法. 提醒：一个命题为“真”或“假”是唯一确定的，不存在亦真亦假的命题.
第一章常用逻辑用语
1.1 命题与量词 1.1.1 命题
学习目标
核心素养
1.理解命题的概念，并能判断命题 1.通过命题概念的学习，培养学
的真假．(重点、易混点)
生的数学抽象素养．
2．了解命题的构成形式，能把命 2．借助对命题的判断及命题的

2019_2020学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.2.1命题与量词学案(1)新人教B版必修第一册

1.2.1 命题与量词（1）了解命题的概念，能够判断一个语句是不是命题，会判断命题的真假；（2）理解全称量词、存在量词的意义，并能正确判断全称量词命题、存在量词命题的真假；（3）会用自然语言、符号语言表示全称量词命题和存在量词性命题.重点：命题的概念、全称量词命题与存在量词命题的概念以及真假的判断.难点：命题真假的判断，全称量词命题和存在量词命题真假的判断.一.命题1.情境与问题：“命题”这个词在新闻报道中经常可以看到.例如：“从最直接的生态保护方式之一-----植树造林，到多种更具有创造性的环保活动的开展，如何建立起公众与自然沟通的桥梁，引发人们对于自然环境的关注和思考，成为时下的环保“新命题”。

”（２０１７年１２月２１日《中国青年报》）我们在数学中也经常接触到“命题”这两个字，你知道新闻报道中的“命题”与数学中的“命题”有什么区别吗？（１）什么是命题？（２）命题是如何分类的？（ 3 ）命题可以用什么来表示？3.尝试与发现下列命题中，是真命题，是假命题？（１） 210100=；（２）所有无理数都大于零；（３）平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行；（４）一次函数21y x =+的图像经过点(0,1)；（５）设,,a b c 是任意实数，如果a b >，则ac bc >；（６） Z Q ⊂≠ .解：为真命题，为假命题。

方法归纳：判断命题真假的一般方法：（1）（2）教材P255.拓展阅读课本P23 数学中的猜想二、量词1.探索与研究在数学中，有很多命题都是针对特定集合而言的，结合下列命题回答问题：（1）任意给定实数2,0x x ≥；（2）存在有理数x ，使得320x -=；（3）每一个有理数都能写成分数的形式；（4）所有的自然数都大于或等于零；（5）有一个实属范围内，至少有一个x（6）方程22x=在实数范围内有两个解；（7）每一个直角的三条边长都满足勾股定理。

在下列命题中，哪些命题具有相同的特点？具体说明。

2019_2020学年高中数学第1章常用逻辑用语1.1.1命题学案新人教B版选修1_1

1.1.1 命题1．命题的概念(1)命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题．(3)分类命题⎩⎪⎨⎪⎧真命题：判断为真的语句，假命题：判断为假的语句.思考1：依据上面命题的定义，判断下列说法中，哪些是命题，哪些不是命题． ①三角形外角和为360°； ②连接A ，B 两点； ③计算3－2的值； ④过点A 作直线l 的垂线；⑤在三角形中，大边对的角一定也大吗？[提示] 根据命题的定义，只有①为命题，其他说法都不是命题． 2．命题的结构(1)命题的一般形式为“若p ，则q ”．其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论． (2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p ，则q ”的形式．思考2：如何判断一个命题的条件和结论各是什么？ [提示] 将一个命题改写成“若p ，则q ”的形式判断．1．下列语句中，不能成为命题的是 ( ) A ．8＞15B ．x ＜0C．梯形是四边形D．三角形三条中线交于一点B[“x＜0”不能判断真假，故不是命题．]2．下列命题中，真命题共有( )①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则a＋c＞b＋c；④矩形的对角线互相垂直．A．1个 B．2个C．3个D．4个A[①②④是假命题，③是真命题．]3．指出下列命题中的条件p和结论q：(1)若x<0，则x2<0；(2)如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数．[解] (1)条件p：x＜0，结论q：x2＜0.(2)条件p：一个函数的图象是一条直线，结论q：这个函数为一次函数．①垂直于同一条直线的两条直线平行吗？②一个数的算术平方根一定是非负数；③x，y都是无理数，则x＋y是无理数；④请完成第九题；⑤若直线l不在平面α内，则直线l与平面α平行．其中是命题的是________(填序号)．(2)下列语句中是命题的有________(填序号)．①平行于同一条直线的两条直线必平行吗？②一个数不是正数就是负数；③x·y为有理数，则x，y也都是有理数；④作△ABC∽△A′B′C′.(1)②③⑤(2)②③[(1)①不是命题，因为它不是陈述句；②是命题，是假命题，因为负数没有算术平方根；③是命题，是假命题，例如－2＋2＝0,0不是无理数；④不是命题，因为它不是陈述句；⑤是命题，是假命题，直线l与平面α可以相交．(2)①疑问句．没有对平行于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题．②是假命题.0既不是正数也不是负数．③是假命题．如x＝3，y＝－ 3.④是祈使句，不是命题．]并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题，命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题.因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假.1．下列语句中是命题的是________(填序号)．①求证3是无理数；②x∈R，x2＋4x＋4≥0；③你是高一的学生吗？④并非所有人都喜欢苹果；⑤一个正整数不是质数就是合数；⑥如果x＋y和xy都是有理数，那么x，y都是有理数；⑦60x＋9>4；⑧如果x∈R，那么x2＋4x＋7＞0.②④⑤⑥⑧[①是祈使句，不是命题．②x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，它包括x2＋4x＋4>0或x2＋4x＋4＝0，对于x∈R，可以判断此陈述语句的真假，故它是命题．③是疑问句，不是命题．④是命题，人群中有喜欢苹果的人，也有不喜欢苹果的人，所以可判断该陈述语句的真假，故它是命题．⑤是命题，整数1既不是质数，也不是合数，所以该陈述句为假，所以它是命题．⑥是命题，3＋(－3)和3·(－3)都是有理数，但3，－3都是无理数，所以该陈述语句为假，是命题．⑦不是命题，这种含有未知数的语句，未知数的取值是否使不等式恒成立无法确定，不能判断其真假，所以它不是命题．⑧是命题，因为x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0，对于x∈R，不等式恒成立，所以该陈述语句为真，是命题．故填②④⑤⑥⑧.](1)末位数是0的整数能被5整除；(2)偶函数的图象关于y轴对称；(3)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；(4)当a>0时，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．[思路探究] 先确定命题的条件与结论，再改写；若命题中的条件与结论比较隐含，要补充完整．[解] (1)若一个整数的末位数字是零，则这个整数能被5整除．(2)若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称．(3)若一个等比数列的公比大于1，则该数列为递增数列．(4)当a>0时，若x增大，则函数y＝ax＋b的值也增大．把命题改写成“若p，则q”的形式，关键是找到命题的条件“p”和结论“q”，在有些命题的叙述中，条件、结论不是那么分明，但我们可以把它们改写成条件和结论分明的形式，这要求我们能够分清命题的条件和结论分别是什么.提醒：任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式.含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中.2．将下列命题改写成“若p，则q”的形式．(1)6是12和18的公约数；(2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.[解] (1)若一个数是6，则它是12和18的公约数．(2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根．(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分．(4)已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2.1．命题与真命题、假命题的关系是什么？[提示] 一个命题要么是真命题，要么是假命题；不管真命题还是假命题都是命题．2．数学中的定义、公理、定理、推论是真命题吗？[提示] 是真命题．是我们判断其它命题真假的依据．【例3】判断下列命题的真假，并说明理由．(1)正方形既是矩形又是菱形；(2)当x＝4时，2x＋1<0；(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；(4)设集合A＝{x|x2－6x－7<0}，B＝{x|x≥a}，若∁R B＝{x|x<2}, 则a∈A.[思路探究] 找出命题的条件和结论→写成“若p，则q”的形式→判断真假[解] (1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1<0.(3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.(4)是真命题，∵A＝{x|x2－6x－7<0}＝{x|－1<x<7}，B＝{x|x≥a}，∁R B＝{x|x<2}，∴a＝2，则a∈A.本例(4)大前提条件不变，其它变为(1)“若a≤－1，则A⊆B”，(2)“若a＝0，则A∪B＝{x|x>－7}”．判断两命题的真假，并说明理由．[解] (1)由本例(4)可知A＝{x|－1<x<7}．若a≤－1，则A，B两集合在数轴上表示如图所示，所以A⊆B，故该命题为真命题．(2)若a＝0，B＝{x|x≥0}，∴A∪B＝{x|x>－1}．故该命题为假命题．(1)真命题的判定方法真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程.判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法.(2)假命题的判定方法通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法.提醒：一个命题为“真”或“假”是唯一确定的，不存在亦真亦假的命题.3．判断下列命题的真假：(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；(2)如果x∈N，则x3＞x2成立；(3)如果m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；(4)存在一个三角形没有外接圆．[解] (1)假命题．反例：1≠4,5≠2，但1＋5＝4＋2.(2)假命题．反例：当x＝0时，x3>x2不成立．(3)真命题．∵m>1⇒Δ＝4－4m<0，∴方程x2－2x＋m＝0无实数根．(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆．1．思考辨析(1)“x＞5”是命题．( )(2)疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题．( )(3)“3＞12”是命题．( )[提示] (1)×不能判断真假．(2)√(3)√2．下列命题：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④垂直于同一平面的两直线平行．真命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4B[①当m不为0时，mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②当Δ＝4＋4a≥0且a≠0时，抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③符合集合相等的定义，真命题；④真命题．∴选B.]3．给定下列四个命题，其中正确的是 ( )①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直；③若集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩B＝{3,9}；④若集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩B＝{1,3,5}．A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④B[①若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②正确；③正确；④A∩B＝{3,9}，∴选B.]4．有下列四个命题：①若x·y＝0，则x，y中至少有一个为0；②全等三角形面积相等；③若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实数解；④2是合数．其中真命题是________(填上所有正确命题的序号)．①②③[④中2是质数．]5．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．(1)等边三角形的三个内角相等；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．[解] (1)若一个三角形是等边三角形，则它的三个内角相等．真命题．(2)若一个函数是奇函数，则它的图象关于原点对称．真命题．(3)若一条直线垂直平分弦，则此直线经过圆心，并平分弦所对的弧．真命题．。

高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.2量词课堂导学案新人教B版选修2

高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.2量词课堂导学案新人教B版选修21、1、2 量词课堂导学三点剖析一、用符号语言表示含量词的命题【例1】指出下列命题中的全称命题，并用符号“”表示：(1)对任意实数x，x2+3x+9>0；(2)对每一个整数x，>0；（3）所有奇数都不能被3整除。

解：均为全称命题（1）x∈R,x2+3x+9>0；(2)x∈Z,>0；(3)x∈{奇数}，x不能被3整除、温馨提示本题主要考查符号语言的使用、二、判断全称命题与存在性命题的真假【例2】判断下列命题是全称命题还是存在性命题？并判断其真假、(1)对数函数都是单调函数;(2)至少有一个整数,它既能被2整除,又能被5整除;(3)x∈{x|x是无理数},x2是无理数;(4)x∈{x|x∈Z},log2x＞0、解：(1)全称命题,真命题、(2)存在性命题,真命题、(3)全称命题,假命题,例如x=,但x2=3是有理数、(4)存在性命题,真命题、温馨提示利用全称命题和存在性命题的定义来判断、三、利用全称命题、存在性命题求，参数范围【例3】函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0、(1)求f(0)的值；（2）当f(x)+2<logax,x∈［0，）恒成立时，求a的取值范围、解：(1)由已知等式f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x,令x=1，y=0，得f(1)-f(0)=2,又因为f(1)=0,所以f(0)=-2、(2)由（1）知f(0)=-2,所以f(x)+2=f(x)-f(0)=f(x+0)-f(0)=(x+1)x、因为x∈(0,),所以f(x)+2∈(0,)、要使x∈(0,)时，f(x)+2<logax恒成立，显然当a>1时不可能，所以解得≤a<1、各个击破类题演练1指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是命题，并分别用符号“”“”表示、（1）存在实数a,b,使|a-1|+|b-1|=0；(2)对于实数a∈R,a0=1；（3）有些实数x,使得|x+1|<1、解：命题（1）(3)是存在性命题，命题（2）是全称命题，用“”“”表示分别为：（1）a,b∈R,使|a-1|+|b-1|=0、(2)a∈R,a0=1、(3)x∈R,使|x+1|＜1、变式提升1用符号“”与“”表示下面含有量词的命题、（1）不等式|x-1|+|x-2|<3有实数解、(2)若a,b是偶数，则a+b 也是偶数、解：（1）x∈R、使|x-1|+|x-2|＜3、(2)a,b∈R且a,b为偶数,使a+b为偶数、类题演练2试判断以下命题的真假：（1）x∈N，x4≥1；(2)x∈Z,x3<1；(3)x∈R,x2-3x+2=0；(4)x∈R,x2+1=0、解析：（1）由于0∈N,当x=0时，x4≥1不成立,所以此命题是假命题、(2)由于-1∈Z,当x=-1时，能使x3＜1,∴命题x∈Z，x3＜1是真命题、（3）假命题、因为只有x=2或x=1时满足、（4）假命题、∵不存在一个实数x,使x2+1=0成立、变式提升2判断下列全称命题的真假、（1）有一个内角为直角的菱形是矩形；（2）对任意a,b∈R,若a>b,则<;(3)对任意m∈Z且为偶数，则2m+为偶数、解：（1）是真命题、有一个内角为直角的平行四边形是矩形，而菱形都是平行四边形，于有一个角是直角的菱形是矩形、（2）是假命题、如5＞-3,而＞、（3）是真命题、∵m∈Z且为偶数,∴（-1）m=1，∴2m+=2m，为偶数、类题演练3已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实数根、命题q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根、若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题、求m的取值范围、答案：m≥3或1＜m≤2、变式提升3若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+…+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值是( )A、1B、-1C、0D、2答案：A。

高中数学第1章集合与常用逻辑用语 1.2.1 命题与量词学案新人教B版必修第一册-新人教B版高

1.2.1 命题与量词学习目标核心素养1.理解命题的含义，并会判断其真假.2．理解全称量词与全称量词命题的定义．3．理解存在量词与存在量词命题的定义 .4．能准确地使用全称量词和存在量词符号(即“∀，∃”)来表述相关的数学内容．(重点)5．会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．(重点、难点)1.通过对命题、全称量词、存在量词的理解，培养数学抽象的素养．2．借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升数学运算能力.1．命题可供真假判断的陈述语句是命题，而且，判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题．2．全称量词和全称量词命题(1)一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)．3．存在量词和存在量词命题(1)“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在集合M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．思考：“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．提示：是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．1．下列语句中，命题的个数为( )①空集是任何非空集合的真子集；②起立！③垂直于同一平面的两条直线平行吗？④若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x＝y＝0.A．1 B．2 C．3 D．4B[①④为命题，②是祈使句，③是疑问句，都不是命题，故选B.]2．下列命题中，全称量词命题的个数为( )①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A．0 B．1 C．2 D．3C[①②是全称量词命题，③是存在量词命题．]3．下列存在量词命题中真命题的个数是( )①∃x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③∃x∈{x|x是整数}，x2是整数．A．0 B．1 C．2 D．3D[①②③都是真命题．]4．用存在量词表示下列语句：“有一个实数乘以任意一个实数都等于0”表示为________．[答案]存在一个实数x，它乘以任意一个实数都等于0命题概念的核心要素【例1】A．m＋n B．{0}∈NC．函数与图像D．2x＞3(2)下列语句中不是命题的有________．(填序号)①无理数的平方是有理数吗？②王明同学的素描多么精彩啊！③若x，y都是奇数，则x＋y是偶数；④请说普通话；⑤x 2－xy ＋y 2≥0.(1)B (2)①②④ [(1)只有B 选项可判断真假． (2)①不是命题，因为是疑问句不是陈述句； ②④分别是感叹句和祈使句，所以都不是命题； ③⑤是命题，因为它们能判断真假．]一般地，判定一个语句是不是命题，要先判断这个语句是不是陈述句，再看能不能判断真假．其流程图如图：1．下列语句中，是命题的为________．(填序号) ①红豆生南国； ②作射线AB ； ③中国领土不可侵犯！ ④当x ≤1时，x 2－3x ＋2≤0.①④ [②和③都不是陈述句，根据命题定义可知①④是命题．]命题真假的判断【例2】 A ．{x ∈N |x 3＋1＝0}不是空集 B ．若1x ＝1y，则x ＝yC ．对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2＜0 D ．若整数m 是偶数，则m 是合数B [A 中，x ∈N ，x 3≥0，{x ∈N |x 3＋1＝0}是空集，故为假命题；B 中，由1x ＝1y可推出x＝y ；C 中，因为a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，故是假命题；D 中，2是偶数，但2是质数，故是假命题．]判断命题真假性的两个技巧(1)真命题：判断一个命题为真命题时，会涉及学习过的概念、定理、公理、法则、公式等，借助于题目中的已知条件，经过严格科学的推理论证得出要证的结论．(2)假命题：判断一个命题为假命题时，只要举一反例即可．2．下列四个命题为真命题的有( )①若x＞1，则x2＞1；②梯形不是平行四边形；③全等三角形的面积相等．A．1个B．2个C．3个D．0个C[①②③是真命题．]全称量词和全称量词命题【例3】下列命题是全称量词命题的个数是( )①任何实数都有立方根；②所有的质数都是奇数；③有的平行四边形是矩形；④三角形的内角和是180°.A．0 B．1 C．2 D．3D[命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有3个全称量词命题：①②④.]全称量词命题的常用表示形式：(1)所有的x∈M，r(x)；(2)对一切x∈M，r(x)；(3)对每一个x∈M，r(x)；(4)任选一个x∈M，r(x)；(5)任意x∈M，r(x).3．下列不是全称量词命题的是 ( )A．任何一个实数乘零都得零B．自然数都是整数C．高一(1)班绝大多数同学是团员D．每一个四边形的内角和都是180°C[“高一(1)班绝大多数同学是团员”，即“高一(1)班有的同学不是团员”，不是全称量词命题．]存在量词和存在量词命题【例4】下列命题中存在量词命题的个数是( )①至少有一个偶数是质数；②∃x∈R，x2－1＞0; ③有的平行四边形是菱形．A．0 B．1 C．2 D．3D[①中含有存在量词“至少有一个”，所以是存在量词命题；②中含有存在量词符号“∃”，所以是存在量词命题；③中含有存在量词“有的”，所以是存在量词命题．]存在量词命题的常用表示形式：(1)存在x∈M，s(x)；(2)至少有一个x∈M，s(x)；(3)对有些x∈M，s(x)；(4)对某个x∈M，s(x)；(5)有一个x∈M，s(x).)4．下列语句是存在量词命题的是 ( )A．整数n是2和5的倍数B．存在整数n，使n能被7整除C．x＞7D．∀x∈M，p(x)成立B[B选项中有存在量词“存在”，故是存在量词命题，A和C不是命题，D是全称量词命题. ]全称量词命题和存在量词命题的改写(1)不等式x2＋x＋1＞0恒成立；(2)当x 为有理数时，13x 2＋12x ＋1也是有理数；(3)方程3x －2y ＝10有整数解．[解] (1)对任意实数x ，不等式x 2＋x ＋1＞0成立． (2)对任意有理数x, 13x 2＋12x ＋1是有理数．(3)存在一对整数x ，y ，使3x －2y ＝10成立．1．判断一个命题是存在量词命题，还是全称量词命题，要根据命题中所含量词来判断． 2．有些命题中表面上看并不含量词，但从意义上理解却含有“全部”“所有”等这样的意思，也是全称量词命题．5．用全称量词或存在量词表示下列语句． (1)有理数都能写成分数形式； (2)方程x 2＋2x ＋8＝0有实数解．[解] (1)任意一个有理数都能写成分数形式． (2)存在实数x ，使方程x 2＋2x ＋8＝0成立．全称量词命题和存在量词命题的真假判断(1)∀x ∈R ，x 2＋2＞0; (2)∀x ∈N ，x 4≥1； (3)∃x ∈Z ，x 3＜1； (4)∀x ∈Q ，x 2＝3.[解] (1)由于 x ∈R ，都有x 2≥0，因而有x 2＋2≥2＞0，即x 2＋2＞0，所以命题“ ∀x ∈R ，x 2＋2＞0”是真命题．(2)由于0∈N ，当x ＝0时，x 4≥1不成立，所以命题“∀x ∈N ，x 4≥1”是假命题． (3)由于－1∈Z ，当x ＝－1时，能使x 3＜1，所以命题“∃x ∈Z ，x 3＜1”是真命题． (4)由于使x 2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数．因此，任何一个有理数的平方都不等于3，所以命题“∀x ∈Q ，x 2＝3”是假命题．1．要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，验证p(x)成立；要判定一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使p(x0)不成立即可．2．判断一个存在量词命题真假的依据：若在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立，则这个存在量词命题是真命题，否则是假命题．6．判断下列命题的真假．(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对 (x，y)都对应一点P;(2)每一条线段的长度都能用正有理数表示；(3)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立．[解](1)真命题. (2)假命题，如边长为1的正方形的对角线长2，它的长度就不能用有理数表示．(3)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31＜0，故无实数解．1．根据命题的意义，可以判断真假的陈述句是命题，真命题要给出证明，假命题只需举一反例即可．2．判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称量词命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．3．要确定一个全称量词命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称量词命题是假命题．4．要确定一个存在量词命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在量词命题是假命题.1．下列语句不是命题的有( )①若a>b，b>c，则a>c；②x>2；③3<7.A．0个B．1个C．2个D．3个B[①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②不能判断真假，不是命题．]2．下列命题是存在量词命题的是( )A．对顶角相等B．正方形都是四边形C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于1D[选项D中含有存在量词“存在”，所以根据存在量词命题的定义知选D.]3．下列命题：①所有合数都是偶数；②x∈R，(x－1)2＋1≥1；③有些无理数的平方还是无理数．其中既是全称量词命题，又是真命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3B[命题①是假命题；命题②既是全称量词命题，又是真命题；命题③既是存在量词命题，又是真命题，故选B.]4．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②平行四边形是梯形；③若x，y互为相反数，则x＋y＝0，其中真命题为________．①③[①是真命题；②平行四边形不是梯形，假命题；③是真命题．]。

2019_2020学年高中数学第一章常用逻辑用语章末复习提升课学案新人教B版选修1_1

已知 p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0，若 p 是 q 的充分而不必要条件，
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求正实数 a 的取值范围．
【解】 p：x2－8x－20>0⇔x<－2 或 x>10，
令 A＝{x|x<－2 或 x>10}，
因为 a>0，
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②充分不必要条件：p⇒q，q⇒/ p； ③必要不充分条件：q⇒p，p⇒/ q； ④既不充分也不必要条件：p⇒/ q 且 q⇒/ p. 4．四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5．含有一个量词的命题的否定
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存在性命题“∃x∈M，p(x)”强调结论的存在性，因此， (1)要证明它是真命题，只需在集合 M 中找到一个元素 x，使 p(x)成立即可． (2)要判断它是假命题，需对集合 M 中每一个元素 x，证明 p(x)不成立．
下列命题中，真命题是( ) A．∃m∈R，使函数 f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数 B．∃m∈R，使函数 f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数 C．∀m∈R，函数 f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数 D．∀m∈R，函数 f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数【解析】对于选项 A，∃m∈R，即当 m＝0 时，f(x)＝x2＋mx＝x2 是偶函数．故 A 正确．【答案】 A
命题 ∀x∈ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，p(x) ∃x∈M，p(x)
命题的否定 ∃x∈M，﹁p(x) ∀x∈M，﹁p(x)

【新】2019-2020学年度高中数学第一章常用逻辑用语1-1命题与量词1-1-1命题课堂导学案新人教B版选修2_1(1)

教学资料参考范本【新】2019-2020学年度高中数学第一章常用逻辑用语1-1命题与量词1-1-1命题课堂导学案新人教B版选修2_1(1)撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________课堂导学三点剖析一、判断一个语句是否是命题【例1】下列语句：①是无限循环小数；②x2-3x+2=0；③当x=4时，2x>0；④垂直于同一直线的两条直线必平行吗？⑤一个数不是合数就是质数；⑥难道菱形的对角线不平分吗？⑦把门关上.其中不是命题的是_____________.2解析：①是命题，能判断真假；②不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假；③是命题，能作出判断的语句；④不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断；⑤是命题；⑥是命题；⑦不是命题，没法作出判断.答案：②④⑦温馨提示祈使句、疑问句一般不是命题.二、判断命题及其真假【例2】 (2006天津高考6，理) 设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中为其命题的是( )A.m⊥α,nβ,m⊥nα⊥βB.α∥β,m⊥α,n∥βm⊥n⊂⇒⇒C.α⊥β,m⊥α,n∥βm⊥nD.α⊥β,α∩β=m,n⊥mn⊥β⇒⇒解析：对于选项A，反例如图，此时α、β成任意角.对于选项C，反例如图，此时m∥n.对于选项D，反例如图，此时n与β斜交.答案：B三、将命题改写成“若p则q”的形式【例3】将下列命题改写成“若p则q”的形式,并判断真假；(1)偶数能被2整除;(2)奇函数的图象关于原点对称;(3)同弧所对的圆周角不相等.解析：(1)若一个数是偶数，则它能被2整除.真命题.(2)若一个函数是奇函数,则它的图象关于原点对称.真命题.(3)若两个角为同弧所对的圆周角,则它们不相等.假命题.温馨提示“若p则q”命题形式的改写关键是找到命题的条件和结论，任何一个命题都可以写成“若p则q”的形式.各个击破类题演练 1若x∈Z，给出下列语句：。

高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题与量词教案新人教B版选修2_120170727610

命题与量词的语句叫做真命题(1有一个”x-3x-4=0为两条不同的直线，判断下列语句是否为全称命题，(精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。