【问题001】切割意大利馅饼
【数学题】切糕问题：模拟法解决操作问题
【数学题】切糕问题：模拟法解决操作问题最近听说了所谓“切糕问题”：⼀块圆柱形的切糕，上⼀半是⽩⾊，⼀半是⿊⾊（也就是说，可以看做两个形状⼤⼩完全相同，⼀⿊⼀⽩的圆柱切糕压紧形成），给定⼀个⾓α（0°<α<360°），现在对这块切糕循环进⾏下列操作：1.沿着底⾯的⼀条半径竖直切⼀⼑；（不妨把这条半径称为⼑⼝）2.将⼑⼝逆时针旋转α⾓，沿着半径竖直切⼀⼑，把切糕分成两部分；3.取出⾓度为α的⼀块（⼑⼝转过的区域），翻转⼀下插回原来的位置，并且压紧，可以认为两块切糕⽆缝粘合在⼀起；求证：不断重复操作（1~3依次做⼀次称为⼀轮操作），总能使切糕⼜变为上⼀半⽩下⼀半⿊。
容易看出的是，我们只需观察上底⾯的颜⾊情况即可（下底⾯的颜⾊与上底⾯相反）。
下⾯来⼀个α=135°的样例，12轮之后恢复原状：设360°=kα+β，其中k为正整数，0°<=β<α。
显然当β=0°时，k轮操作后切糕变为上⿊下⽩，再k轮就变为原来的上⽩下⿊，共2k轮，结论成⽴。
下⾯讨论k≠0°的情况。
为了叙述⽅便，设k+1轮操作后，将切糕顺时针旋转α-β⾓，使⼑⼝转回初始状态（显然这不会影响结果），再将切糕的⿊⽩互换（原来⿊⾊部分变为⽩⾊，⽩⾊部分变为⿊⾊，显然，若总共换了偶数次，也不会影响结果，即使这⼏次分开换），并称为⼀次循环。
下⾯以k=5的情况演⽰（这⾥α=70°，β=10°），第⼀次循环的情况（最后⼀个图同时进⾏转切糕，换⿊⽩两个动作）：可以看到，⼑⼝的顺时针⽅向出现了⼀块⿊⾊区域，⼤⼩为α-β，离⼑⼝较近的⼀边夹⾓为β。
容易证出这对于其它情况也成⽴。
第⼆次循环的情况：规律开始明显了：⿊⾊区域多了⼀块，⼤⼩仍为α-β，两块⿊区中间夹⾓为β。
仔细对⽐两幅图会发现：第⼀次循环后的⿊区在第⼆次循环时变⽩（当然后来被换成⿊⾊），同时⼜像第⼀次循环末尾⼀样，⽣成了⼀个新的⿊区。
智力题切蛋糕的答案是什么
智力题切蛋糕的答案是什么推荐文章最新中秋猜灯谜大全及答案热度：最简单中秋灯谜大全_中秋猜灯谜及答案热度：中秋节简单猜灯谜及答案（100条）热度：宁波市中考语文模拟试卷及答案热度：高三政治下学期质量检测试题及答案热度：智力是心理学的重要研究领域之一,智力测验的发展也有近百年的历史。
智力题：切蛋糕的答案有什么呢?下面是的智力题：切蛋糕资料，欢迎阅读。
智力题：切蛋糕有一个长方形蛋糕，切掉了长方形的一块(大小和位置随意)，你怎样才能直直的一刀下去，将剩下的蛋糕切成大小相等的两块?答案：将完整的蛋糕的中心与被切掉的那块蛋糕的中心连成一条线。
这个方法也适用于立方体。
请注意，切掉的那块蛋糕的大小和位置是随意的，不要一心想着自己切生日蛋糕的方式，要跳出这个圈子。
智力题及答案【1】假设有一个池塘，里面有无穷多的水。
现有2个空水壶，容积分别为5升和6升。
问题是如何只用这2个水壶从池塘里取得3升的水。
【2】周雯的妈妈是豫林水泥厂的化验员。
一天，周雯来到化验室做作业。
做完后想出去玩。
"等等，妈妈还要考你一个题目，"她接着说，"你看这6只做化验用的玻璃杯，前面3只盛满了水，后面3只是空的。
你能只移动1只玻璃杯，就便盛满水的杯子和空杯子间隔起来吗?" 爱动脑筋的周雯，是学校里有名的"小机灵"，她只想了一会儿就做到了。
请你想想看，"小机灵"是怎样做的?【3】三个小伙子同时爱上了一个姑娘，为了决定他们谁能娶这个姑娘，他们决定用手*枪进行一次决斗。
小李的命中率是30%，小黄比他好些，命中率是50%，最出色的枪手是小林，他从不失误，命中率是100%。
由于这个显而易见的事实，为公平起见，他们决定按这样的顺序:小李先开枪，小黄第二，小林最后。
然后这样循环，直到他们只剩下一个人。
那么这三个人中谁活下来的机会最大呢?他们都应该采取什么样的策略?【4】一间囚房里关押着两个犯人。
正宗的意大利比萨的做法
正宗的意大利比萨的做法正宗的意大利比萨的做法比萨面皮的制作一、基本饼皮可以制作11寸/1个、8寸/2个、5寸/5个。
这时厚饼的用量，薄饼用2/3的分量就够了材料干酵母1.5小勺水3/4杯（冬天用温水）==165克普通面粉300克糖1大勺盐0.5小勺软化奶油30克做法1、酵母与水、面粉、糖、盐搅拌成面团2、加入奶油揉10分钟到表面光滑有弹性，然后放在盆中盖好发酵2时（冬天要3小时），面团比原来达一倍就好。
3、面板上撒上干面粉，把发好的面团倒在上面分成需要的分数，在发酵15分钟4、擀成圆饼，铺在比萨烤盘上，整理好形状，边缘要厚点。
5、用叉子在饼皮上刺洞，以免烤时鼓起。
二、基本比萨汁材料1、洋葱1/4个2、大蒜头1瓣3、奶油10克4、番茄酱2大勺5、水6大勺6、盐1/4小勺7、黑胡椒粉1/4小勺8、牛至叶粉（比萨草）1/4大勺9、糖1大勺做法1、把洋葱和大蒜头去皮剁碎。
2、炒锅加热，加奶油炒香洋葱、蒜末。
3、加入剩下的材料炒煮沸即可。
烤制1、烤箱预热210度2、放在烤箱下层，烤20-25分钟3、入烤箱15-20分钟后，取出撒上乳酪丝，继续烤5-10分钟即可。
制作面皮需要的材料一、什锦海鲜比萨材料1、本饼皮1份2、基本比萨汁1份3、各种海鲜共300克4、乳酪丝160克制作1、面皮做好刺洞，抹上比萨汁，边缘不涂2、虾仁洗净挑去泥肠、新鲜干贝横切片、蟹肉、蛤蜊烫过、墨鱼切成短条、蟹肉棒撕碎。
任选海鲜共300克排在饼皮上。
烘烤。
二、火腿橄榄比萨材料1、基本饼皮1份2、基本比萨汁1份3、美式火腿片100克4、黑橄榄、绿橄榄各8粒5、蘑菇40克6、青椒60克7、乳酪丝160克制作1、面皮做好刺洞，抹上比萨汁，边缘不涂。
2、火腿切成小三角形，橄榄、蘑菇切片，青椒切丝。
排在饼皮上。
烤制。
三、夏威夷比萨材料1、基本饼皮1份2、基本比萨汁1份3、美式火腿片100克4、菠萝6片5、青椒40克6、乳酪丝160克制作1、面皮做好刺洞，抹上比萨汁，边缘不涂2、火腿切成小三角形，菠萝切小块，青椒切丝，均匀铺在饼皮上，烤制。
某师大附中2013届高考数学第一轮复习 随机数与几何概型(文理)
随机数与几何概型(学案)B知识梳理：(必修3教材135-142页)几何概型的概念:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这种概率模型为几何概率模型,简称 .几何概型的特点（1）无限性：即在一次试验中，基本事件中的个数可以是；（2）等可能性：即每个基本事件发生的可能性。
因此，用几何概型求解概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”。
即随机事件A的概率可以用“事件A所包含的基本事件所占的图形面积（体积或长度）”与“试验基本事件所占的图形面积（体积或长度）”之比来表示。
几何概率的计算公式：设几何概型的基本事件空间可以表示成度量的区域,事件A所对的区域用A表示(A),则P(A)= .几何概型与古典概型的区别与联系共同点：。
不同点：基本事件的个数一个是无限的，一个是有有限的，基本事件可以抽象为点，对于几何概型，这些点尽管是无限的，但是它们所占据的区域却是有限的，根据等或能性，这个点落在区域内的概率与该区域的度量成正比，而与该区域的位置和形状无关。
均匀随机数在一定范围内随机产生的数，其中每一个数产生的机会是一样的，通过模拟一些试验，可以代替我们进行大量的重复试验，从而求得几何概型的概率。
一般地，利用计算机可计算器的rand（）函数就可以产生0—1之间的均匀随机数。
6、a-b之间的均匀随机数产生：利用计算机可计算器的rand（x）函数就可以产生0-1之间的均匀随机数x=rand（），然后利用伸缩和平移变换x= rand（）*（b-a）+a，就可以产生[a，b]上的均匀随机数，试验的结果是产生a-b之间的任何一个实数，每一个实数都是等可能的。
6、均匀随机数的应用（1）；（2）二、题型探究[探究一]与长度有关的几何概型例1：在区间[]1,1-上随机取一个数x,cos2xπ的值介于0到12之间的概率为（）A ．13B ．2πC ． 12D ． 23[探究二]与面积（体积）有关的几何概型例2： ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为 （ ）A ．4πB ．14π-C ．8πD ．18π- 例3：假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率 ？[探究三]：会面问题中的概率：例4：两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00到21：00之间各个时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定的时间内相见的概率。
【转】月饼里的数学
【转】⽉饼⾥的数学⼋⽉⼗五⽉⼉圆，中秋⽉饼⾹⼜甜。
⼀年⼀度的中秋佳节即将到来，团圆家宴，少不了⼀同赏⽉、吃⽉饼。
你知道吗？此时还是引导孩⼦了解数学知识的好时机~著名数学家笛卡⼉曾说过：⼀切问题都可以化成数学问题。
那么，中秋⽉饼中有哪些数学问题呢？今天咱们就⼀起来看看切⽉饼、⽉饼装盘和⽉饼包装中的数学问题。
⽼师和家长都可以带着孩⼦来思考学习。
1.切⽉饼问题：⽉饼切6⼑最多可以切⼏块？⾸先是切⽉饼的场景，可以带着孩⼦去思考如果⼀块⽉饼连着切6⼑（正常切法，不横切）最多可以切成⼏块？平均分，则最多可以得到12块⽉饼。
不平均分，则最多可以得到多少块呢？⼀块⽉饼，如果切⼀⼑，那么可以切成2块，2⼑呢，最多可以切成4块，3⼑便最多可以切成7块，4⼑就最多可以切成11块，那么切6⼑呢？最多可以切成多少块？10⼑呢？20⼑呢？这些问题可以在跟孩⼦探讨的同时，也可以⽤⽉饼实物演⽰给孩⼦看，这样可以更直接的让孩⼦理解问题。
⾯对这种问题不妨将这些问题和结果列⼀个图表。
（如图1、表1）图1⽉饼顶和底部本⾝是⼀个类似圆，可以将其简化为圆形的切割；切⼀⼑时，圆⾯新增⼀个部分，⽉饼最多分成1+1=2（块）；第⼆⼑时，和前⾯的直线产⽣⼀个交点，要穿过原有的两个部分，新增两个部分，⽉饼最多分成1+1+2=4（块）；第三条⼑时，和前⾯的直线最多产⽣两个交点，穿过原有的三个部分，预备新增三个部分，⽉饼最多分1+1+2+3=7（块）；第四⼑时，和前⾯的直线最多产⽣三个交点，穿过原有的四个部分，⽉饼新增四个部分，⽉饼最多分1+1+2+3+4=11（块）；由此，⽉饼切割时：1⼑得到1+1=2块2⼑得到1+1+2=4块4⼑得到1+1+2+3+4=11块6⼑得到1+1+2+3+4+5+6=22块……10⼑就是1+2+3+4+……+10=56块……20⼑得到1+1+2+3+4+5+6+……+20=块表1仔细观察，这些数字都是有⼀定规律的，如果到这⼀步，孩⼦有了⾃⼰的想法，不妨让孩⼦⾃⼰去计算这个内容并找到规律。
分披萨算法题
分披萨算法题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：分披萨算法题是一种经典的计算机算法题目，常常用来测试程序员的逻辑思维和编程能力。
分披萨算法题的形式通常是这样的：给定一个整数n，表示有n个朋友要一起分享一份披萨，现在要将披萨平均分配给这些朋友，问你最少需要切割几刀才能完成这个任务？这个问题实际上是一个数学问题，要想解答这个问题，我们首先要了解一下披萨的切割规则。
假设我们现在有n个朋友要一起分享一份披萨，首先我们切成n等份，然后每个人都可以选择任意一块披萨，接着再切割，然后让每个人再次选择。
这样一直切下去，直到每个人都只剩下一小块披萨，这样就完成了任务。
接下来我们讨论一下如何计算需要切几刀才能完成任务。
假设现在有n个朋友，我们要如何切割披萨才能让每个人都得到一块披萨呢？我们可以通过观察发现，第一刀切的时候，我们需要切n刀，也就是每个人都会得到一块披萨；第二刀切的时候，我们需要切n/2刀，也就是每两个人会得到一块披萨；第三刀切的时候，我们需要切n/4刀，也就是每四个人会得到一块披萨。
以此类推，我们可以发现，如果我们总共切x刀，那么最终每个人得到一块披萨，满足2^x >= n即可，其中^表示幂运算。
现在我们已经知道了需要切几刀才能完成任务，接下来我们来编写算法求解这个问题。
我们可以通过编写一个递归函数来实现这个算法，函数的思路是这样的：首先检查n是否为1，如果是，则返回0；如果不是，则调用递归函数计算n/2，再加上1的结果即可。
下面是这个算法的Python实现：```pythondef divide_pizza(n):if n == 1:return 0return divide_pizza(n // 2) + 1n = 8result = divide_pizza(n)print(result)```以上代码中，我们首先定义了一个名为divide_pizza的函数，接受一个整数n作为参数。
如果n等于1，则返回0，否则递归调用divide_pizza函数计算n/2，再加上1，最终返回结果。
厨房美食菜谱：巧克力意大利芝士馅薄饼的做法
厨房美食菜谱：巧克力意大利芝士馅薄饼的
做法
什幺东西只要沾上意大利，人们通常就会想到浪漫和典雅。
是啊，不为过，歌剧、时装，威尼斯处处都在彰显着这样的魅力。
如果是美食呢，相信也有同样的感受吧！今天做的这款巧克力意大利芝士馅薄饼是一款夹杂了法国和意大利特色的甜品，法国薄饼如纸张（原谅我没有做的很薄，主要是锅太小），伴以平滑香浓的芝士馅料，齿颊留香。
食材
主料：
面粉100g
鸡蛋
芝士500g
淡奶油
可可粉25g
糖30g
盐少许
鲜奶1杯
蛋黄1个
黄油25g
糖霜100g
香草香油1/2茶勺
巧克力碎50g
步骤
1.将面粉，可可粉，糖，盐过筛到容器中备用。
2.将鲜奶和鸡蛋混合均匀。
3.将鲜奶和鸡蛋的混合液徐徐拌入面粉中拌至顺滑待30分钟，拌入牛油液，用平底锅煎成薄饼。
4.将mascarpone芝士中加入糖霜，巧克力碎，香草香油拌匀。
5.将50克淡奶油打至湿性发泡拌入芝士糊中，拌匀。
6.选用不沾平底锅，用小火，越薄越好，拿起锅子不断旋转，使得受热均匀。
7.用叉子轻轻翘起饼一端，非常好翘起，说明已经好了，翻扣在一个盘子里即可，待凉。
8.芝士糊要放到冰箱冷藏1小时后涂抹到饼上，对折两次即可，现吃现涂。
小贴士：1这些材料可以做10-12个，如果不需要这幺多，可以按比例减少。
2如果搅拌的时候会有少量面粉颗粒不能拌匀，可以过筛掉。
3淡奶油是我自己加上去的，我认为非常不错。
4薄饼尽量摊的薄而均匀。
5拌好的芝士糊要冷藏后再涂抹到薄饼上，不然流动性太强。
意大利馅饼
意大利馅饼
何宏
【期刊名称】《烹调知识》
【年(卷),期】1990(000)004
【总页数】2页(P21,20)
【作者】何宏
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】TS972.11
【相关文献】
1.做大馅饼还是做“新馅饼” [J], 沈宪民;李琴生
2.推介意大利旅游资源r 发掘您从未体验过的意大利r——意大利Alpitour集团NEOS航空公司"您从未体验过的意大利"新闻发布会成功r举办 [J], 魏传峰
3.接触菲亚特朋多意大利馅饼 [J], 陈征
4.LED金属基板市场馅饼还是陷阱？LED金属基板市场：馅饼还是陷阱 [J],
5.《2018年意大利肝病学会/意大利内科学会/意大利传染病和热带病学会/意大利肾脏病学会专家共识:慢性肾脏病患者HCV感染的管理》摘译 [J], 韩超
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24图论的一些简单的应用
24图论的一些简单的应用2.4 图论的一些简单的应用引言生活中许多实际的问题往往都要用到图论和算法理论的思想去解决.所以一些图论的简单的知识已经陆续地进入到不同层次的中学教材中,例如俄罗斯的高中选修课教材中就介绍了一些图论的知识,在我国最近制定的新大纲高中中把组合数学图论初步知识放在任意选择的选修课中.在高中、初中的数学竞赛和数学知识应用竞赛中需要运用图论知识解决的问题也日渐增多,无论是中学教师还是中学生都应该注意到这种趋势.另外掌握基本的图论知识也不是一件难事,何况掌握它们对思考生活中的数学问题的确是很有用的.这一节我们将用很少的篇幅结合一些实际问题介绍图论的初步知识和思想.1.从哥尼斯堡七桥问题到一笔画在18世纪哥尼斯堡是位于东普鲁士的一座城市,现在属于立陶宛共和国,并更名为加里宁格勒.在通过哥尼斯堡的皮格尔河pregel上架有七座桥,如图4-1所示把城市分为四个部分A、B、C、D.很久以前当地居民热衷于一个难题:是否能一次走遍七座桥,每座桥只允许走一次,最后回到原出发点.这样的问题通常称做一笔画问题.例如以下图形是否可以用笔把所有边画出来而不允许笔离开纸呢?看起来哥尼斯堡七桥问题与后面图形一笔画的问题有些不同,但是如果我们对哥尼斯堡七桥问题稍加改进,就会发现它们是完全相同的,七座桥连接着四块土地,A、B、C和D,我们不妨把它们看做平面上的四个点,把连接这些不同土地的桥看做连接不同点的边,这样哥尼斯堡的七座桥就变成了如图4?3的图形N.显然,图形Ⅳ与图形Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ就很相像了.我们通常可以用一个抽象的模型把这些图形的共性刻画出来.它们都是由一些顶点和一些连接某些顶点的边组成,例如Ⅰ中,顶点集V=A,B,C,D,E,边集E=a,b,c,d,e,f,g,h,图Ⅳ中,顶点集V=A,B,C,D,边集E=a,b,c,d,e,f,g.从图中可以看出每一条边是连接哪两个顶点的,一般每条边可以附加上被它连接的顶点,例如图Ⅳ中,aC, D, bC, B,等等.并且边连接的顶点是没有顺序的,即无起点和终点之分.如果我们用G表示上述的图,顶点集V和边集E是其两个组成部分,可以表示为G=V,E,而E中的每个元素对应着两个顶点,不妨表示为e∈E,e=A,B或eA,B,其中A、B是V中的元素.给定一个图,每一边与顶的关系也就被确定了.与一个顶点连接的边数通常称做这个顶点的度.而我们把由顶点、边、顶点、边…、边、顶点组成的序列,称做道路,当然,道路序列的起点和终点都是顶点,道路序列的每一顶点都是与其相邻的边的顶点,并且顶点与边是交替出现在道路序列中.如果道路序列的起点与终点是同一个顶点,则称这条道路为回路.如果一条道路通过一个图的每一条边,且仅通过一次,则称这种道路为欧拉道路,如果一条欧拉道路又是一个回路,则称这样的回路为欧拉回路.这样哥尼斯堡七桥问题实际上变成问图Ⅳ是否存在欧拉回路.而一笔画问题则变成是否存在欧拉道路的问题.我们所以起名欧拉道路和欧拉回路就是为纪念这位伟大的数学家在18世纪时已经圆满地解决了这个问题.在我们叙述欧拉对这些问题的解答之前,再引入一个连通图的概念,如果一个图的任意两个顶点都可以用一条道路把这两个点连接,并做为道路的起点和终点,则这样的图称为连通图.欧拉对这两个问题的回答是:结论1 一个图有欧拉回路的充分必要条件是这个图是连通的且每一个顶点的度是偶数.结论2 一个图有欧拉道路的充分必要条件是这个图是连通的且仅有两个顶点的度是奇数.在中学我们所见到的数学命题的证明大体上可以分为两类.一类是逻辑演绎和归纳类的证明,即或从已知条件出发,利用所学过的其他事实,推导结论的正确性,或从所需证明的问题出发,逐步分析,看是否可以归纳为已知条件和学过的事实;等等.这类证明都可作为逻辑推理能力的一种训练.另外一类是构造性的,即可从已知条件和事实把结论或结论的要求通过确定的做法“将其构造出来”.例如:一元二次方程ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时方程一定有实根.就是用构造的方法配方法把该方程的实根具体地构造出来.后一类“构造式”证明方式在中学生的学习中是强调不够的,或者说没有给予足够的注意.而在现实生活中的很多情况下,仅仅知道事实的存在是远远不够的,更为关心的是“实现”出来.这里简单介绍的算法思想可以看做“构造式证明”的一种.先从一个实例出发.在欧拉的结论1中,我们要证明这样的事实,如果一个连通图每一个顶点的度是偶数,则一定存在欧拉回路.事实上,这个结论蕴含着这样的结果:从每一顶点出发都可以产生一个欧拉回路.当然,如果我们可以确定出一系列做法,确保从每一顶点出发都可以构造出一个欧拉回路,证明自然就完成了.我们可以按以下步骤完成欧拉回路的构造.第一步:任意选定一个顶点A,做为回路的起点.第二步:由于G是一个连通图,故顶点A的度不为0,至少存在一条边以A 点为端点,我们可任取一条这样的边e,另一个端点为A′.由于A′的度数为偶数,则必然至少还有另一条不同于e的边e′,若e′的另一端点是A,则我们得到了一以A为起点,同时A又是终点的回路C.否则,我们又可从A′沿不同于e的边走下去.直到得到一个以A为起点和终点的回路C,每条边在C中仅可出现一次.第三步:如果C包含了图G的全部边则我们完成了工作.否则,至少存在回路C的一个顶点B,还有过B的边不在C上,图G的连通性保证了这一点.由B出发重复第一步、第二步,我们又可以得到一个以B为起点和终点的另一回路C′,而C′中没有C中的边.把C和C′合并成一个新的回路.第四步:反复第三步直到作出欧拉圈.从这样一个实例,我们可以看出这是一个可操作的步骤序列,无论遇到怎样的图,只要这个图每一顶点的度是偶数,我们都可以按照上面给定的步骤序列构造出或者说找出一个欧拉圈.我们可以把给定图看做一个输入,把要求的欧拉圈看做输出,上面给出的步骤就是从输入得到输出的操作步骤序列.很多的数学问题都可以概括成这样的形式,这里再举几个平面几何的例子.例1 我们可以把给定“线段AB和自然数n”看做输入,而把求“AB 何的同学都知道可采用以下步骤序列完成“从输入得到输出的任务”.第一步过A点作一条射线AN;第二步在AN中任取一点A1;第三步在射线A1N中取一点A2,使|AA1|=|A1A2|,…第n+1步在射线An-1N中取一点An,使|AA1|=|An-1An|,第n+2步连结BAn,第n+3步过A1做BAn的平行线,交AB于M.则M是要求的点,称之为n分点.读者可以想出很多这样的数学问题.我们把这一类问题称作“计算问题”.计算问题是具有一般性的问题,输入和输出是确定的,我们把“从输入求出输出的操作步骤序列”称作解决这一计算问题的一种算法.我们希望读者了解到当我们谋求计算机帮助时,首先要设计出算法.我们请读者为前面给出的第二个问题设计出算法,并且运用这些算法,去寻求图Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ的欧拉圈或欧拉道路,或者指出某图没有欧拉圈或欧拉道路.2.最小生成树有一个石油公司计划为它拥有的许多存储站设计一个管道连接系统,它共有九个存储站,如果两个存储站之间可以修管道,我们就用一条边连接起来,用一个数表示修这两站之间的管道所需的费用,这样这个公司所有的存储站和可能修管道的情况完全可以通过下面这个图表示.公司设计计划要求:管道网可以把任何两个存储站都连接起来,且装修费用最小.从图论的角度来说,图4?4是一个连通图,每一个边都被赋予了一个数,通常我们称之为赋权图.我们的目的是确定出另一个连通图,其顶点集与原图的顶点集一样,仅保留原图中的一部分边,通常我们把这样确定的新图称作原图的生成子图,并且使子图的所有边的权之和最小.我们来简单分析一下子图的属性.首先,我们要找的子图必须是连通的,直观地说子图具有的边应尽量地少,即这个子图不能含有任何回路,因为去掉回路中的任何边都不会影响它的连通性质,我们把不包含回路的生成子图称为原图的生成树.下面的图都是不含回路的连通图,又称为树.很容易看出树中的顶点有两类,一类是度数为1的顶点,称为悬挂点,另一类是度数大于1的顶点,称为割点.一旦去掉割点及与之相联的边,图就不连通了.我们很容易得出这样一些结论:一个具有n个顶点的连通图,1连通子图是生成树的充要条件为它具有n-1条边.2子图是生成树的充要条件为它有n-1条边且无回路.简述一下1和2的证明,实际上只需做这样一循环的推理:从一个树即无回路的连通图推出它具有n-1条边,可以用数学归纳法来证明.n=2时结论是显然的.假设对有n个顶点的树结论正确.我们可任取一条边,由于过这条边的两个端点只能有一条边否则会出现回路,我们可去掉这条边,而把那两个端点看做一个点,这样就得到一个具有k个顶点的树,而它具有k-1条边,所以具有k+1个顶点的树有k条边.若一个仅有n-1条边的连通图有回路,我们可从回路中去掉一条边,并不妨碍其连通性,这样就得到了一个边数少于n-1的具有n个顶点的树,这与上一个结果是矛盾的.若图不连通,至少它可以分解为两个连通分支,由于它们都无回路,故每一个分支都是树,而它们的边数一定少于n-2条,这与具有n-1条边矛盾.我们开始的问题变成了求权重最小的生成树了,我们简称为最小生成树.下面我们来介绍一个求最小生成树的算法:第一步:我们把所有的边按其权重从小到大排列起来.第二步:先选定第一条边.第三步:边序列中选择下一条边的原则是此边与前面的边全在一起不构成回路.第四步:直至选出n-1条边.这样就得到了一个生成树,关于它一定是最小生成树的证明这里省略.这个算法是1956年由Kruskal提出的又称做Kruskal算法.由于在不出现回路的前提下取权小的边,故又称做“贪婪算法”.下面我们用Kruskal算法讨论本节的例子.第一步:我们按权重从小到大把边排列为:h90→g90→f90→e100→a100→b100→d100→i150→c200→j200→l200→p300→n300→ m400→o400→ k500.第二步:确定h为第一条边.第三步:h90→ g90→t90→ e100→ a100→b100→d100→i150.第四步:上面八条边组成了最小生成树.3.最短行程问题例 1 下面给出的是一个城市用大写字母表示和道路用小写字母表示的分布图如图4?6,道路的长度附在道路字母的括弧里.问题是如何确定任意两个城市之间的最短道路?例2 购车策略美国例子有一个小公司计划买一辆同一型号的小卡车,他们可以用上一段时间一年、二年或三年再把车卖掉,例如:他们今年买了一辆车,用了两年,再卖掉,他们需要用的花费是18000美元,我们可以把从现在起三年购车所需费用用图4?7表示出来.为了理解这个图的含义,再花费14000美元.问题是这个小公司采取怎样的策略,可以使得三年内他们始终有一辆卡车使用而且总的花费最少.边上加一个箭头是表明一个方向,标志采取的策略是只能从箭头的起始顶点指向终止顶点.在图论中我们称之为定向图.1959年E.W.Dijkatra提示了解决这一类问题的一种算法.这种算法可以解决从确定的起始点到任何其他点的最短行程.下面我们来介绍这种算法,设G=V,E是一个加权连通图.第一步:首先确定起始点,将其放入确定集D.给每一个顶点设定一个权数,若有边连接起点与该点,则把这边权数设定为这点的权数,若没有边连接起点与该点,则设定该点的权重为∞无穷,而且确定集中起点的权为0,表示与起点的最短行程.每做一步都将把某个顶点加入确定集,并修正所有点的权重.第二步:把权重最小的顶点放入确定集D,其权数仍做为它在确定集中点的权??即是从起点到这一点的最短行程.对每一个没有被列入确定集的点A,我们考虑每一个确定集中的点B,如果有边连接A与B,这样可以得到B的权与这点连接边的权的和,所有这样的和一定有最小的值,令其为A的新的权数,当然,如果确定集中没有点能有与之连接成边,则A的权仍是无穷.用式子写出应是:A的新权数wA为:wA=minwB+weB-A:eB-A∈E其中eB-A表示有边e连接B与A点,we表示e的权.wB表示起点到确定集点B的最短行程.第三步:反复进行第二步骤就可以不断地扩大确定集,直到所有顶点进入确定集.下面我们分别用 Dijkatra算法分析例1和例2.例1解:第一步:令D=A,wA=0,又wB=2,wC=8,wD=1,其余点的权均为无穷.这样的点排成如下序列: D,B,C,E,F,G,I,J,K,F.第二步1把D放入确定集D=A,DwD=1,wB=2,wC=8,wG=10,其余的点权均为无穷.2把B放入确定集D=A,D,BwB=2,wE=3,wC=8,wG=10,其余的点权均为无穷.3把E放入确定集D=A,D,B,EwE=3,wI=5,wF=6,wC=8,wG=10,wJ=12,其余点的权为无穷.4把I放入确定集D=A,D,B,E,IwI=5,调整后各点的权如下:wF=6,wC=7,wG=10,wJ=12,wL=14,其余点的权均为无穷.5把F放入确定集D=A,D,B,E,I,FwF=6,调整后各点的权重为wC=7,wG=10,wJ=12,wL=14,其余点的权为无穷.6把C放入确定集D=A,D,B,E,I,F,CwC=7,调整后各点的权重为wG=10,wJ=12,wL=14,wK=10;7把G放入确定集D=A,D,B,E,I,F,C,GwG=10,调整后各点的权重为wK=11,wJ=12,wL=14;8把K放入确定集D=A,D,B,E,I,F,C,G,Kwk=11,调整后各点权重为wJ=12,wL=14;9把J放入确定集D=A,D,B,E,I,F,C,G,K,JwJ=12,调整后wL=14.10D=A,D,B,E,I,F,C,G,K,J,L.第三步:这样就完成了确定从起点到任何点最短行程的工作.例2解:第一步:把0放入确定集D=0,w0=0.w1=10,000,w2=18,000,w3=34,000.第二步:1把1放入确定集D=0,1w1=10,000,修正后各点的权数为w2=18,000,w3=34,000;2把2放入确定集D=0,1,2w2=18,000,修正后:w3=32,000.3把3放入确定集.第三步:三年最少的花费是32,000,所采取的策略是先买一辆卡车,用两年后卖掉,再买一辆新车,用一年再卖掉,这样的决策是花费最少的.在我国这样事情也很多,重要的是要有准确的市场预测.图论的应用是非常广泛的,我们仅仅列举了几个例子.我们希望读者从中受到启发,学会用图这样的模型模式刻画出我们周围生活中的一些实际问题,这是一种重要的本领.4.2 几何概率在高中数学中的应用本节主要内容编译自 Richard Dahlke, Robert Fakler编写的大学数学及其应用教学单元第660号Modules in Under-graduate Mathematics and its Applications Module 660UMAP Module 660“Applications of High School Mathematics in Geometrical Probability”一文.这是由美国一个名为“数学及其应用联合会”的非赢利公司Consortium for Mathematics and its ApplicationCOMAP,Inc.与美国工业与应用数学学会Society for Industrial and Applied MathematicsSIAM,美国数学协会Mathematical Association of AmericaMAA美国全国数学教师联合会National Council of Teachers of MathematicsNCTM,以及美国两年制学院数学协会American Mathematical Association of Two Year CollegesAMSTYC合作开发由专家编写的供大、中学进行数学建模和数学应用教学和课外活动用的教学单元.教学单元Module的含义是指这是一种能在一定时间内进行教学的单一主题或更广泛的主题的一节,并能在教学中具有较高师生比的教学材料,这是一种值得我们借鉴的形式.4.2.1 引论1.什么是几何概率?几何概率讨论的是无限样本空间上的概率,在此空间上实验的每一结果都是等可能发生的.几何概率中一个随机事件的概率通过将一次随机实验中所有可能结果的样本空间等同于一个几何区域R,而将实验中可能发生的事件等同于R中的子区域r后进行计算的.下面我们利用几何知识来求得所要的概率.2.为什么几何概率使人感兴趣并值得研究?几何概率充满了适合于高中不同数学水平的有趣问题:从初等代数到三角涉及事件的运算,尽管我们这里将不考虑这类问题,几何概率问题的求解只需要求四边形的面积、图解不等式或用勾股定理等方面的知识,而几何概率的一个特别好的优点在于它的定义非常直观,可用很短的时间描述出来.因此使得学生几乎马上就可以处理重要问题了.几何概率可以有助于培养学生的解题技巧,而这是数学研究中的一个重要论题.应用问题都需要将实际情况转化为数学模型,做这种转化依赖于解决问题的基本功,而任何对这种思维的训练无疑都是有益的.最后,几何概率是研究连续型而不是离散型的样本空间及其事件的,正是这种概率可作为学生将在大学中学习的重要的以微积分为工具的概率知识和统计研究的基础,因此现在对这个方面的训练将有助于将来对所学知识的更好理解.4.2.2几何概率模型1.定义一些基本术语我们需要对将要用到的一些基本概念术语加以定义:一个实验的所有可能结果的全体构成的集合叫做样本空间,样本空间的子集叫做事件.对给定的一个事件而言,我们称这个事件发生,当且仅当试验的结果属于这事件的集合.2.为某类具体实验建立模型从一个具体的具有随机结果的实验开始,我们希望求得在一次试验中发生某事件的概率,建模的第一步是将实验的每一结果与几何区域中某点建立对应关系.这个几何区域可以是一段曲线一维区域,或是一个平面区域二维区域,一旦我们做了这种对应,则具体实验中的一个随机发生的结果就对应于在称为样本空间的几何区域中随机地取了一点,而这样由几何区域中随机选点的数学试验即是具体实验的数学模型.我们将利用这一数学模型来求我们所关心的概率.我们将用R表示数学试验中的几何区域,其代表实验的样本空间,而实验中的一个事件则被表示为R中的子区域r,这种记号见图4?8.例1 一个实验是这样做的,将一条5米长的绳子随机地切断成两条.考虑这两段绳子都不短于1米的事件,把样本空间可以等同于长度为5的线段R,而实验的结果对应于在R中随机地选一点.区域R和对应两段都不短于1米的事件r如图4?9所示.注意到事件r发生对应于绳子被切断的点到绳两端的距离一定都要大于1米.这就是说随机选的点必须属于r区域.例2 投镖游戏中的靶子由边长为1米的四方板构成,并将此板分功.这个实验对应的数学试验是从边长为1个单位的正方形中随机地选一点,而事件对应于选到的点恰为阴影部分的点,区域R的子域r对应实验的成功.如图4?10.3.几何概率模型的定义当具体的实验被转化为相应的数学试验后,实验中一个事件发生的概率就转化为数学试验中相应事件r发生的概率,即随机地从R中选一点恰好属于r 的概率.回过头来看例1和例2,它们相应事件的概率是什么呢?在例1中看来将随机地从R中选的点恰好属于r的概率p如下计算是合理的:由于r的长度为3,R的长度为5,我们可以期待,在重复多次试验时,在五次中平均有三次事件r发生,或100次试验中平均有60次事件r发生.本例还表明概率可用分数、小数或百分数表示.同理,在例2中,从一个大正方形中随机地选一点,而这一点恰好属于小正方形的概率为因此,我们归结为对一般的数学试验,从R中随机地选一点,而这一点恰好属于某子集r的概率为这里测度对一维的R来说是长度,对二维的R来说是面积若R是三维区域,测度将是什么?4.概率上下界的确定由于事件r是样本空间R的子集,于是我们有0≤r的测度≤R的测度.在不等式两侧同时除以R的测度一般假定其为正数则有即0≤p≤1,这个不等式表明几何概率被0和1在下方和上方界住.注意到当p=0时,r的测度一定为0一个点的长度是0,一条曲线的面积是0.且当p=1时,r 的测度必须等于R的测度.我们经常用pr来表示事件r发生的概率,记号pr读作“r的概率”,并且表明我们定义的概率是r的函数请考虑概率函数pr定义域和值域是什么?.例3 样本空间R和事件r如图4?11表示,试求从R中随机地选一点,而这点恰好属于r的概率.例4 样本空间R和事件r如图4?12所示.试求从R中随机选一点恰好落入r中的概率.5.练习Ⅰ在每个习题中区域R和r都已表示出来r为阴影部分.试计算随机地从R 中选一点恰好落入r中的概率.4.2.3应用1.从应用问题开始例5 电话线问题一条长50米的电话线架于两电线杆之间,其中一个杆上装有变压器.在暴风雨天气中,电话线遭到雷击的点是随机的.试求雷击点距离变压器小于20米情况发生的概率.解:将电话线表为长度为50的线段,此线段即代表试验的样本空间,事件为区域r属于它的点距离装有变压器的端点不超过20.如图4?14所示.因此,例 6 意大利馅饼问题山姆的意大利馅饼屋中设有一个投镖靶.该靶为正方形板,边长为18厘米,挂于前门附近的墙上,顾客花两角伍分的硬币便可投一镖并可有机会赢得三种意大利馅饼中的一个,投镖靶中画有三个同心圆,圆心在靶的中心,当投镖击中半径为1厘米的最内层圆域时,可得到一个大馅饼;当击中半径为1厘米到2厘米之间的环城时,可得到一个中馅饼;如果击中半径为2厘米到3厘米之间的环域时,可得到一个小馅饼,如果击中靶上的其他部分,则得不到馅饼,我们假设每一个顾客都能投镖中靶,并假设每个圆的周边线没有宽度,即每个投镖不会击中线上,试求一顾客将赢得:a一张大馅饼,b一张中馅饼,c一张小馅饼,d没得到馅饼的概率.解:我们实验的样本空间可由一个边长为18的正方形表示.图4?15表明R和子区域门r1,r2,r3和r4,它们分别表示得大馅饼、中馅饼、小馅饼或没得到馅饼的事件.例7 磁带问题乔和摩进行了一次关于他们前一天夜里进行的活动的谈话,然而谈话却被监听录音机记录了下来,联邦调查局拿到磁带并发现其中有10秒钟长的一段内容包含有他们俩犯罪的信息.然而后来发现,这段谈话的一部分被联邦调查局的一名工作人员擦掉了,该工作人员声称她完全是无意中按错了键,并从即刻起往后的所有内容都被擦掉了.试问如果这10秒钟长的谈话记录开始于磁带记录后的半分钟处,那么含有犯罪内容的谈话被部分或全部偶然擦掉的概率将是多大?解:将30分钟的磁带表示为长度为30的线段R,则代表10秒钟与犯罪活动有关的谈话的区间为r,如图4?16所示,10秒钟的谈话被偶然擦掉部分或全部的事件仅在擦掉开始的时间位于该区间内或始于该例8 轰炸机问题在试图破坏一座军火库的行动中,一架轰炸机将要在一个1公里见方的区域中投下炸弹,这个区域的每个角上都有一座被遗弃的建筑.若炸弹落在距任a没有任何建筑物被摧毁;b其中有一个建筑物被摧毁;c至少有两座建筑物被同时摧毁;d炸弹落在了距一特定的建筑物恰。
北师大版小学六年级上册数学切馅饼
切馅饼用一次呈直线的切割，你可以把一块馅饼切成两块，第二次切割与第一次切割相交，则把馅饼切成4块，如图（1）。
第三次切割再与第一次、第二次切割都相交，最多可以把馅饼切成7块，如图（2）。
经过6次这样呈直线的切割，最多可以把馅饼切成多少块呢？经过反复试验，不断改进切割方式，固然可以得到答案。
但是，再经过7次这样的切割，最多可以把馅饼切成多少块的答案，还要经过反复试验，得到一个连你自己也感到怀疑的数据吗？所以，更好的办法是找出一种规律，这种规律能告诉我们任何次数的切割所能得到的最多的馅饼块数。
未被切割的馅饼是一块。
第一次切割完成后，便增加了一块，使总数为两块。
第二次切割又增加两块，使总块数为四块、第三次切割又增加三块，使总块数为七块。
这样，看上去似乎每次切割所增加的块数，总是等于切割的次数。
事实正是如此。
从第三次开始，我们看到，第三次切割线与前两条相交，前两条直线就把这第三条线分为3条线段。
这3条线段中的每一条，都把馅饼的某一块一分为二，所以每条线段都使得馅饼增加一块，3条线段就使馅饼增加3块。
再看第四次，情况也是如此。
要使切割的块数最多，切饼时要使第四条直线与前三条相交，3条直线会把第四条直线分成四条线段，每条线段使得馅饼增加一块，四条线段总共使馅饼增加四块。
对于第五条切割线、第6条切割线，以至更多的切割线，只要愿意添加，情况完全相同。
这种从个别情况逐渐增多，以至无穷多种情况的推理方法，就是人们常说的数学归纳法。
把上述规律归纳成表，列成每次切割所能得到的最多的馅饼块数：7次切割馅饼，最多能切成几块呢？有了上表的归纳结果，大家都会算出答案是22＋7＝29块。
下图表示6次切割是如何把馅饼切成最多的块数22块的。
意大利馅饼（图）_意大利餐
意大利馅饼（图）
意大利烤馅饼可供4—6人食用。
原料：面粉400克，糖1汤匙，温牛奶4汤匙(约15毫升)，干酵母15克，盐2汤匙，橄榄油3汤匙，温水9汤匙。
饼上配料：橄榄油2汤匙，剁细的大蒜2瓣，沥干水的罐装碎番茄400克，干洋紫坏半汤匙，盐和黑胡椒适量，意大利白色干奶酪350克，意大利蓝纹干奶酪175克，意大利熏肠175克，去核黑橄榄10枚，阿里根香草1汤匙。
制法：将糖和牛奶混合后放在干酵母中搅打，并在暖和处放10分钟，直至发泡。
用筛子将盐和面粉筛入碗里，加入酵母混合液，再用叉子搅打后加入油和足够的水揉和成面团，将面切揉至表面光滑并有弹性，然后放入撒有面粉的碗中，用布盖住，置于暖和处放置1小时。
再将大蒜放入油中，煸至微黄色后加入番茄、洋紫稣、盐和胡椒，然后用微火煨15至20分钟，制成沙司。
在烘烤盘上涂满油；在撒粉的案板上把面团擀成一块面坯，周围拉出浅唇形边缘，放入烤盘上；在馅饼的生坯上面铺些煨好的番茄混合物，并把其他配料放在上面。
让做好的生馅饼发酵30分钟，然后将烤盘推入经过预热的烤炉中烘烤25分钟，或等到生面发起、顶部配料起小泡为止。
切饼中的数学
• 3、一个西瓜要分给16个小朋友吃，每 个小朋友吃一块，竖直切最少切几刀？ • 1＋1＋2＋3＋4＋5=16（块）
• 答：要切5刀。 • 4、一个西瓜，要切成22块，竖直切最少切 几刀？ • 答：要切6刀。
• 5、食堂买来一个大南瓜，要把它竖直 切29块，最少切几刀？ • 1＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7=29（块）
竖直切3刀，得到7块，再横切1刀得14块。
• 三、一块三角形的蛋糕，平均分成4份， 怎样分？
• 练习：小红有一根绳，需要剪5段，只 能剪一次，怎样剪？
• 一、一块月饼竖直切3刀最多能切 几块？
如果用n表示切的刀数， 最多的块数是： 1＋1＋2＋3＋…＋n
切4刀呢？
• 练习：1、一个烧饼，竖直切5刀，最多切 多少块？ • 1＋1＋2＋3＋4＋5=16（块） • 2、一个木工师傅，要把一个圆形木板锯6 锯，最多可锯多少块？ • 1＋1＋2＋3＋4＋5＋6=22（块）
• 答：最少切7刀。
• 二、一块蛋糕，切成相等的8块，最少 切几刀？
竖直2刀，有4块，横切一刀，2个4，共8块。
2＋1=3（刀）答：最少切3刀。
• 练习：1、妈妈把1块豆腐切成相等的 12块，怎样切用最少刀数？
竖直切3刀，分成6块，再横切1刀，共4刀。
• 2、妈妈把一块豆腐用刀切4刀，切14 块，你知道怎样切的吗？
数学建模经典案例最优截断切割问题
数学建模经典案例最优截断切割问题在我们的日常生活和工业生产中，经常会遇到材料切割的问题。
如何在给定的材料上进行最优的截断切割，以最大程度地提高材料利用率、降低成本，是一个具有实际意义和挑战性的问题。
接下来，让我们深入探讨一下最优截断切割问题的经典案例。
想象一下，有一家家具厂接到了一批订单，需要生产一定数量的桌子和椅子。
而用于制作桌椅的原材料是长度固定的木板。
为了满足订单需求，同时尽可能减少浪费，就需要精心规划木板的切割方式。
假设我们有一块长度为 L 的木板，要将其切割成若干段，用于制作不同长度的零件。
比如，我们需要制作长度分别为 a1, a2, a3,， an 的零件，且每个零件的需求量分别为 b1, b2, b3,， bn 。
首先，我们来考虑一种简单的切割方案。
如果不考虑最优性，只是随意切割，可能会导致大量的材料浪费。
比如，先把木板切割成需要的最长零件长度，然后再用剩余的部分切割较短的零件。
但这样的方法往往不是最优的，因为可能会在最后剩下一些无法有效利用的小段材料。
那么，如何才能找到最优的切割方案呢？这就需要运用数学建模的思想。
我们可以建立一个目标函数，目标是使切割后的剩余材料最少，或者等价地说，使切割出的有用材料最多。
设切割方案为 x1, x2, x3,，xn ，分别表示切割出长度为 a1, a2, a3,， an 的零件的数量。
则我们的目标函数可以表示为：Maximize ∑xi ai （在满足约束条件的情况下）约束条件通常包括：∑xi ai ≤ L （切割出的零件总长度不能超过木板长度）xi ≥ bi （切割出的每种零件数量要满足需求）xi 为整数（因为零件的数量必须是整数）接下来，我们可以使用一些数学优化算法来求解这个模型，比如线性规划、整数规划等方法。
为了更好地理解，让我们来看一个具体的例子。
假设木板长度 L ＝10 米，需要切割出长度为 2 米、3 米和 4 米的零件，需求量分别为 5 个、3 个和 2 个。
《割饼问题》故事
《割饼问题》故事
《割饼问题》是一个有趣的数学故事，讲的是把一个物体分成若干等份的方法。
下面是故事的主要内容：
假定物体在分割时不会损失它的总价值。
若要把一个物体分成3或若干等份，可以采用这样的方法：这里以5个人分配来说明，对于任意多个分配者，分法大致是相同的。
把这5个人叫做甲、乙、丙、丁、戊。
甲有权利从饼上割下任一部分；乙有把甲所割出的一块减少的自由，但没有人强迫他这样做；然后丙又有减少这一块的自由，这样继续下去。
假定最后是戊接触这块饼，那么由戊拿走这块饼，然后把剩余的饼在甲乙丙丁四人之间平分。
第二轮可一用同样的步骤把参加的人数减少到三，以
此分配下去。
现在来看，每一个参加分配的人应如何做才能保证自己应得的那一部分归自己。
在第一轮甲割下它认为值1/5的一块后，很可能没有人再去碰它而甲就达到值1/5的那一部分；在这种情况下，他没有做错。
然而，如果有另一个或几个人减少了这块饼，那么最后接触到它的人就要得到它，所以甲当然认为价值超过1/5的饼被留下由4个人平分，而他是这4个人中的一个。
在第二轮甲照前面的办：如果他仍就是第一个，那么他割下认为有余下部分1/4价值的那一块。
这个策略还不完全，我们还应指出一个分配者在他不是第一时应怎样做。
这个方法保证每一个人得到他认为是应得的部分。
切大饼切出的数学规律
切大饼切出的数学规律1. 引子：饼的魅力说到大饼，嘿，那可真是人人爱吃的小美味！不管是早餐来一块热腾腾的，还是下午茶时搭配一杯茶，都让人心情大好。
不过，今天我们不单单聊美食，而是聊聊切大饼的那些事儿，特别是其中蕴藏的数学规律。
你可能会问：“切饼跟数学有什么关系？”别急，听我慢慢道来。
2. 切饼的艺术2.1 切得漂亮你有没有发现，切大饼这事儿，不光是个技术活，还是个艺术呢？想象一下，面对一个圆滚滚的大饼，你拿着刀，心里想着怎么切得又整齐又好看。
一般来说，我们会从饼的中心开始，沿着半径切出均匀的份儿，像是在切披萨一样。
这时候，如果你切得均匀，大家都能分到差不多的份额，这就是“平分秋色”嘛！谁都不想吃到一块超大、一块超小的饼，那样就失去了分享的乐趣。
2.2 分寸之间不过，切大饼也得讲究个“分寸”。
你说这饼切得太厚，咬一口就卡牙，太薄又怕碎，真是让人头疼。
不过，有个小秘诀，就是切的时候可以先把饼切成四等份，再对角线切，这样不仅能保持厚度的均匀，还能避免碎屑的产生，简直是“事半功倍”。
想想看，等你把切好的饼端上桌，朋友们看到这等分的饼，脸上那种“太赞了”的表情，心里是不是别提多高兴！3. 数学规律的魅力3.1 圆周率的神奇这时候，我们就得提到一个重要的概念：圆周率。
听起来高大上，其实就是个神奇的数字，约等于3.14。
这不单单是个数字，它在我们的切饼中可是大有用处。
比如说，你想知道这块大饼的周长，可以用公式：周长 = 圆周率× 直径。
想象一下，按着这个公式切出来的饼，外形是多么完美，切出来的每一块都那么标准，简直可以去参加美食比赛了。
3.2 切分的角度再说到切分的角度，这也是数学中的一个大玩家。
想切成八块，那每一刀的角度就得是360°/8 = 45°。
哇，听上去是不是很酷？每一刀下去，你都会感受到那种“数学与美食相结合”的快乐，简直就是一场“刀刃上的舞蹈”。
切得漂亮了，分给朋友们，他们也会赞不绝口，感叹“你这刀工可真不一般啊！”4. 结尾：饼的哲学最后，切大饼其实不仅仅是个简单的动作，它更是一种哲学。
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刀切饼问题
相信大家小时候都做过这样的一个问题，就是一张大饼切几刀会有几块。
小时候认为一个一个查就行了。
一刀，两刀，三刀，四刀还好说，画图呗。
可是到第五刀的时候一个一个查就比较麻烦了，之后会越来越麻烦，圆画得越来越大才可以。
不过今天，我要从推理证明的角度来解答小时候的问题。
首先，让我们来看看只切一刀的情况。
设切n刀时，会产生m块。
当n=1时，m=2
这很简单。
那两刀呢？？
当n=2时，m=4=2+2三刀呢？？
当n=3时，m=7=2+2+3
四刀呢？？当n=4时，m=11=2+2+3+4
发现规律了吗？n=1,m=2n=2,m=2+2=4n=3,m=2+2+3=7n=4,m=2+2+3+4=11
……不难发现，切n 刀时，会产生2+2+3+……+n 块整理一下，切n 刀时，会产生块222
++n n 好了，推理已经完成，但这只是一个猜想，下面开始
证明。
这里，我想用数学归纳法来证明。
当n=1时,m=2 成立。
假设当n=k 时，m=成立。
2
22++k k 当n=k+1时，m=2+2+3+……+k+(k+1) =+k+12
22++k k =24
32++k k =22
)1()1(2
++++k k 符合猜想，证明完毕。
结论：切n 刀时，会产生块。
22
2++n n 接下来，小伙伴们需要做的就是代数了，麻麻再也不用担心我不会切饼了……。
数学思维挑战与趣味问题单元测试
数学思维挑战与趣味问题单元测试一、挑战题：百钱买百鸡古时候，有一位农夫要买一百只鸡，他要买公鸡、母鸡和小鸡，而且还要保证总数为一百只。
公鸡5元一只，母鸡3元一只，小鸡1元三只，请问这位农夫应该购买公鸡、母鸡和小鸡各多少只？解答：假设公鸡、母鸡和小鸡的数量分别为x、y和z，由题目可知：5x + 3y + z/3 = 100 （1）（公式1）根据题目的要求，我们还可以得到两个关系式：x + y + z = 100 （2）（公式2）z % 3 = 0 （3）（公式3）为了求解方程组（1）、（2）和（3），我们可以进行如下步骤：1. 将公式1乘以3，得到15x + 9y + z = 300。
2. 将公式2除以3，得到x + y + z/3 = 33 1/3。
由于公式3中z能被3整除，我们可以将z表示为3m（m为整数）。
然后将新得到的公式2代入公式1，得到15x + 9y + 3m = 300。
进一步化简，得到5x + 3y + m = 100。
这个方程与原方程（公式1）等价。
由于m为整数，并且公式5x + 3y + m = 100与百钱买百鸡问题等价，所以我们可以忽略m。
即，当m取0时，满足原方程（公式1）的解即为满足百钱买百鸡问题的解。
通过穷举法，我们可以得到以下结果：当x = 4, y = 18, z = 78时，公鸡4只、母鸡18只、小鸡78只满足题意。
当x = 8, y = 11, z = 81时，公鸡8只、母鸡11只、小鸡81只满足题意。
所以，这位农夫可以选择购买4只公鸡、18只母鸡和78只小鸡，或者选择购买8只公鸡、11只母鸡和81只小鸡。
二、趣味问题：切割馅饼有一个圆形的馅饼，你需要将它切成八块，但只允许切三刀。
请问，你应该如何切割馅饼？解答：切割馅饼的关键在于切割的方式。
为了能将馅饼切成八块，我们需要使用对称切割的方法。
1. 第一刀：从圆心向边缘切割一刀，将馅饼切成两半。
O （O表示圆心）/ \/ \2. 第二刀：从圆心向边缘沿着一条与切割线垂直的直线方向切割一刀，将馅饼切成四分之一和四分之三两部分。