2014高考数学文复习二轮作业手册(新课标·通用版)专题限时集：第3A讲不等式与线性规划

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2014高考数学文复习方案二轮作业手册(新课标·通用版)专题综合训练(八) 专题八数学思想方法2

专题综合训练(八)[专题八数学思想方法](时间：60分钟分值：100分)一、选择题(每小题5分，共40分)1．设函数f(x)＝x 3－4x ＋a(0<a<2)有三个零点x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，则下列结论正确的是( )A ．x 1>－1 B ．x 2<0 C ．0<x 2<1 D ．x 3>22．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x －3y ＋2≤0，x ＋y －6≤0，则2x －y ＋3的最小值是( )A ．3B ．4C ．6D ．93．“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，x 2－x ，x>0.若函数g(x)＝f(x)－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎭⎫－12，1C.⎝⎛⎭⎫－14，0 D.⎝⎛⎦⎤－14，05．已知函数f(x)＝3x ＋x －3的零点为x 1，函数g(x)＝log 3x ＋x －3的零点为x 2，则x 1＋x 2＝( )A ．1 B ．2 C ．3 D ．4图Z8－16．阅读程序框图(如图Z8－1)，如果输出的函数值在区间[1，3]上，则输入的实数x 的取值范围是( )A ．{x ∈R |0≤x ≤log 2 3} B ．{x ∈R |－2≤x ≤2}C ．{x ∈R |0≤x ≤log 2 3或x ＝2}D ．{x ∈R |－2≤x ≤log 2 3或x ＝2}7．已知函数f(x)＝2x ＋1，x ∈N *.若x 0，n ∈N *，使f(x 0)＋f(x 0＋1)＋…＋f(x 0＋n)＝63成立，则称(x 0，n)为函数f(x)的一个“生成点”．函数f(x)的“生成点”共有( )A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8．设f(x)是定义在R 上的增函数，且对于任意的x ∈R 都有f(2－x)＋f(x)＝0恒成立．如果实数m ，n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f （m 2－6m ＋23）＋f （n 2－8n ）<0，m>3，则m 2＋n 2的取值范围是( )A ．(3，7)B ．(9，25)C ．(13，49)D ．(9，49) 二、填空题(每小题5分，共20分)9．已知cos x ＝23(x ∈R )，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝________．10．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．11．若不等式x 2＋2xy ≤a(x 2＋y 2)对于一切正数x ，y 恒成立，则实数a 的最小值为________．12．已知定义在R 上的函数y ＝f(x)对任意的x 都满足f(x ＋1)＝－f(x)，当－1≤x ＜1时，f(x)＝x 3.若函数g(x)＝f(x)－log a |x|至少有6个零点，则a 的取值范围是________．三、解答题(共40分)13．(13分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，c ＝2，cos C ＝34.(1)求sin A 的值； (2)求△ABC 的面积．14．(13分)已知向量p ＝(a n ，2n )，q ＝(2n ＋1，－a n ＋1)，n ∈N *，向量p 与q 垂直，且a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝log 2 a n ＋1，求数列{a n ·b n }的前n 项和S n .15．(14分)已知a ∈R ，函数f(x)＝ax＋ln x －1，g(x)＝(ln x －1)·e x ＋x ，(其中e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f(x)在(0，e]上的单调性； (2)是否存在实数x 0∈(0，＋∞)，使曲线y ＝g(x)在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直？若存在，求出x 0的值，若不存在，请说明理由；(3)若实数m ，n 满足m>0，n>0，求证：n n e m ≥m n e n .专题综合训练(八)1．C [解析] f′(x)＝3x 2－4，令f′(x)＝3x 2－4＝0，x ＝±2 33.故如图，由图可知，0<x 2<1.2．B [解析] z ＝2x －y ，则z 为直线2x －y －z ＝0在y 轴上的截距的相反数．结合图形可知，在点A(1，1)处z 最小，所以z 的最小值为1.故2x －y ＋3的最小值是4.3．A [解析] ∵y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点，∴sin φ＝0，∴φ＝k π，k ∈Z ，此为曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点的充要条件，故φ＝π是曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点的充分不必要条件．4．C [解析] 问题等价于f(x)＝m 有三个不同的解，等价于函数y ＝f(x)与y ＝m 的图像有三个不同的公共点．在同一坐标系中画出函数y ＝f(x)，y ＝m 的图像(如图所示)，观察其交点个数，显然当－14<m<0时，两个函数图像有三个不同的公共点．5．C [解析] 由题意知，x 1x 2为函数y ＝log 3 x 与函数y ＝3－x 交点的横坐标．由于函数y ＝3x ，y ＝log 3 x 互为反函数，点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线y ＝3－x 上且关于直线y ＝x 对称，故x 1＋x 2＝3.6．C [解析] 由条件结构知，当－2<x<2时，f(x)＝2x ∈⎝⎛⎭⎫14，4；当x ≤－2或x ≥2时，f(x)＝x ＋1∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．又∵输出的函数值在区间[1，3]上，∴1≤2x ≤3或x ＋1＝3，解得0≤x ≤log 23或x ＝2.故选C.7．B [解析] 由2[(n ＋1)x 0＋n （n ＋1）2]＋n ＋1＝63，得x 0＝63－（n ＋1）22（n ＋1）.如果x 0为正整数，则(n ＋1)2<63，即n ＝1，2，3，4，5，6.当n ＝1时，x 0＝594，不是整数；当n ＝2时，x 0＝63－96＝9，则点(9，2)为函数f(x)的一个生成点；当n ＝3时，x 0＝478，不是整数；当n ＝4时，x 0＝3810，不是整数；当n ＝5时，x 0＝2712，不是整数；当n ＝6时，x 0＝1414＝1，则(1，6)为函数f(x)的一个生成点．综上所述，y ＝f(x)的“生成点”有2个．8．C [解析] 因为f(n 2－8n)＝－f(2－n 2＋8n)，所以f(m 2－6m ＋23)＋f(n 2－8n)<0，即f(m 2－6m ＋23)<f(2－n 2＋8n)．由于函数f(x)是定义在R 上的增函数，所以m 2－6m ＋23<2－n 2＋8n ，即(m －3)2＋(n －4)2<4.又因为m>3，所以点(m ，n)为平面上以(3，4)为圆心，2为半径的圆的右半部分的内部，故m 2＋n 2∈(13，49)．9.13±156 [解析] 因为cos x ＝23，sin x ＝±53，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos xcos π3＋sin xsin π3＝13±156.10.712[解析] ∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝()λAB →＋AC →·()AC →－AB →＝－λAB →2＋AC →2＋()λ－1AC →·AB →＝0，即－λ×9＋4＋()λ－1×3×2×⎝⎛⎭⎫－12＝0，解得λ＝712.11.5＋12 [解析] 令t ＝yx (t>0)，则a ≥x 2＋2xy x 2＋y 2＝1＋2t 1＋t 2.令m ＝1＋2t>1，则t ＝m －12，所以a ≥1＋2t1＋t 2＝4m 4＋（m －1）2＝4m m 2－2m ＋5＝4m ＋5m －2.由于4m ＋5m－2≤42 5－2＝1＋52，故a ≥1＋52.12.⎝⎛⎦⎤0，15∪(5，＋∞) [解析] 由f(x ＋1)＝－f(x)，得f(x ＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期是2.由g(x)＝f(x)－log a |x|＝0，得f(x)＝log a |x|，在同一平面直角坐标系下，分别作出函数y ＝f(x)与y ＝m(x)＝log a |x|的图像．若a>1，由图像可知要使函数g(x)＝f(x)－log a |x|至少有6个零点，则满足m(5)＝log a 5<1，此时a>5.若0<a<1，由图像可知要使函数g(x)＝f(x)－log a |x|至少有6个零点，则满足m(－5)＝log a 5≥－1，此时0<a ≤15.故a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，15∪(5，＋∞)．13．解：(1)∵cos C ∵a sin A ＝c sin C ，∴1sin A ＝274，∴sin A ＝148.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ，∴2＝1＋b 2－32b ，∴2b 2－3b －2＝0，解得b ＝2.故S △ABC ＝12absin C ＝12×1×2×74＝74.14．解：(1)∵向量p 与q 垂直，∴2n a n ＋1－2n ＋1a n ＝0，即2n a n ＋1＝2n ＋1a n ，则a n ＋1a n＝2.∴{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n －1.(2)∵b n ＝log 2 a n ＋1，则b n ＝n ，∴a n ·b n ＝n·2n －1.∴S n ＝1＋2·2＋3·22＋4·23＋…＋n·2n －1，① ∴2S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n ，②由①－②，得－S n ＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋2n －1－n·2n ＝1－2n1－2－n·2n ＝(1－n)2n －1，∴S n ＝1＋(n －1)2n .15．解：(1)∵f(x)＝ax＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)，∴f ′(x)＝－a x 2＋1x ＝x －ax2，①若a ≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，e]上单调递增；②若0<a<e ，当x ∈(0，a)时，f ′(x)<0，函数f(x)在区间(0，a)上单调递减，当x ∈(a ，e]时，f ′(x)>0，函数f(x)在区间(a ，e]上单调递增；③若a ≥e ，则f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0，e]上单调递减．(2)∵g(x)＝(ln x －1)e x ＋x ，x ∈(0，＋∞)，∴g ′(x)＝e xx＋(ln x －1)e x ＋1＝⎝⎛⎭⎫1x ＋ln x －1e x ＋1.由(1)易知，当a ＝1时，f(x)＝1x＋ln x －1在(0，＋∞)上的最小值f(x)min ＝f(1)＝0，即当x ∈(0，＋∞)时，1x＋ln x －1≥0.又∵e x >0，∴g ′(x)＝⎝⎛⎭⎫1x ＋ln x －1e x ＋1≥1>0.由于曲线y ＝g(x)在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直等价于方程g′(x)＝0有实数解，而g′(x)>0，则方程g′(x)＝0无实数解．故不存在满足条件的x 0.(3)证明：n n e m ≥m n e n ⎝⎛⎭⎫n m n ≥e n －m nln n m ≥n －m ln n m ≥1－m n m n ＋ln n m－1≥0.由(2)知1x ＋ln x －1≥0，令x ＝n m ，则m n ＋ln nm－1≥0，故原不等式成立．。

2014高考数学文复习方案二轮作业手册(新课标·通用版)专题综合训练(五) 专题五立体几何 Wo

专题综合训练(五)[专题五立体几何](时间：60分钟分值：100分)一、选择题(每小题5分，共40分)1．一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、侧视图如图Z5－1所示，则其俯视图为( )Z5－Z5－22．已知一个几何体的三视图如图Z5－3所示，则该几何体的体积为( )－3A ．8－2π3B ．8－4π3C ．4－4π3 D ．4－2π33．已知一个几何体的三视图如图Z5－4所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )Z5－4A.（4＋π）33 B ．(4＋π)3然试卷试题他在《饔飨集》中说：C.（8＋π）32 D.（8＋π）36氧化钙的主要流程如下：已知4．一个三棱柱的侧棱垂直于底面，且所有棱长都为a ，则此三棱柱的外接球的表面积为( )A ．πa 2 B ．15πa 2C.113πa 2D.73πa 25．某几何体的三视图如图Z5－5所示，则它的体积是( )图Z5－5A.2π3 B ．8－π3平静地说：C ．8－2π3D ．8－2π6．过空间一定点P 的直线中，与长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的12条棱所在直线成等角的直线共有( )A ．0条 B ．1条 C ．4条 D ．无数条 7．已知空间两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是( )A ．若m ∥α，n α，则m ∥n B ．若α∩β＝m ，m ⊥n ，则n ⊥α C ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nD ．若m ∥α，m β，α∩β＝n ，则m ∥n8．已知正方形ABCD 的边长为2 2，将△ABC 沿对角线AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到如图Z5－6所示的三棱锥B －ACD.若O 为AC 边的中点，M ，N 分别为线段DC ，BO 上的动点(不包括端点)，且BN ＝CM.设BN ＝x ，则三棱锥N －AMC 的体积y ＝f(x)的函数图像大致是( )Z5－6Z5－7二、填空题(每小题5分，共20分)9．一水平放置的平面图形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图Z5－8所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形OABC的面积为________．－8图Z5－910．如图Z5－9所示是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的表面积是________．11．已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB＝8，BC＝2 3，则棱锥O－ABCD的体积为________．12．一个三条侧棱两两互相垂直并且侧棱长都为a的三棱锥的四个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为________．三、解答题(共40分)13．(13分)某粮仓是如图Z5－10所示的多面体，多面体的棱称为粮仓的“梁”．现测得底面ABCD是矩形，AB＝16 m，AD＝4 m，腰梁AE，BF，CF，DE分别与相交的底梁所成角均为60°.(1)求腰梁BF与DE所成角的大小；(2)14．(13分)如图Z5－11所示，在多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AB＝CD＝1，AC＝3，AD＝DE＝2，G为AD的中点．(1)在线段CE上找一点F，使得BF∥平面ACD，并加以证明；(2)求三棱锥G－BCE的体积．15．(14分)如图Z5－12所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D，E分别是线段BC，PD的中点．(1)若AP＝AB＝AC＝2, BC＝2 3，求三棱锥P－ABC的体积；(2)若点F在线段AB上，且AF＝14AB，证明：直线EF∥平面PAC.专题综合训练(五)1．C [解析] 直观图如图所示，则其俯视图为C.2．D [解析] 该几何体为一个长方体内“挖去”一个半球，所以其体积为22×1－23π×13＝4－23π.3．D [解析] 该几何体是由一个半圆锥和一个四棱锥组合而成的，所以其体积为13×π×12×3×12＋13×4×3＝（8＋π）36.4．D [解析] R ＝⎝⎛⎭⎫a 22＋⎝⎛⎭⎫23×32a 2＝7a 212，S ＝4πR 2＝7πa 23.日本化学教案游学早已成为教育文化的一部分化学教案国家大力支持中小学学生游学5．C [解析] 由三视图知原几何体为一个正方体里面挖去一个圆锥，正方体的棱长为2，圆锥的底面半径为1，高为2，所以该几何体的体积为V ＝23－13×π×12×2＝8－2π3.6．C [解析] 根据异面直线所成的角的定义可知：与其中一条直线平行的直线，与另一条所成的角相等．而在长方体的12条棱中，分为三组，每组只有四条直线相互平行，故只有四条直线与过P 的直线成等角．7．D [解析] A 中，m ∥α，m 与α无公共点，故m 与α内的直线平行或异面，故A 错误；B 中，n 与α可能平行，故B 错误；C 中，m 与n 可能平行，故C 错误；D 为线面平行的性质定理，故D 正确．8．D [解析] 因为正方形ABCD 的边长为2 2，所以AC ＝4，又平面ABC ⊥平面ACD ，O 为AC 边的中点，所以BO ⊥AC ，BO ⊥平面ACD.可求得f(x)＝－23(x －1)2＋23.9．8 2 [解析] 原平面图形为平行四边形，S ＝2×4 2＝8 2.10．17π [解析] 该几何体为一圆台，S 上＋S 下＝5π，S 侧＝12×1π×4＋12×2π×4＝12π，所以表面积为17π.11．162 [解析] 球心在矩形的射影为矩形对角线的交点．因为对角线长为82＋（2 3）2＝2 19，所以棱锥的高为52－（19）2＝6，所以棱锥的体积为13×6×8×2 3＝16 2.12．3πa 2 [解析] 由题可知该三棱锥为一个棱长a 的正方体的一角，则该三棱锥与该正方体有相同的外接球，又正方体的对角线长为3a ，则球半径为32a ，则S ＝4πr 2＝4π⎝⎛⎭⎫32a 2＝3πa 2.13．解：(1)过点E 作EK ∥FB 交AB 于点K ，则∠DEK 为异面直线DE 与FB 所成的角，∵DE ＝FB ＝4 m ，AK ＝2×(4cos 60°)＝4 m ，DK ＝4 2 m ，∴∠DEK ＝90°，即DE ⊥BF. 故腰梁BF 与DE 所成角为90°.(2)过点E 分别作EM ⊥AB 于点M ，EN ⊥CD 于点N ，联结MN ，则AB ⊥平面EMN ，∴平面ABCD ⊥平面EMN ，过点E 作EO ⊥MN 于点O ，则EO ⊥平面ABCD.由题意知，AE ＝DE ＝AD ＝4 m ，AM ＝DN ＝4cos 60°＝2 m ，EM ＝EN ＝2 3 m ，∴O 为MN 中点，∴EO ＝2 2 m ，即四棱锥E －AMND 的高，同理，再过点F 作FP ⊥AB 于点P ，作FQ ⊥CD 于点Q ，联结PQ ，原多面体被分割为两个全等的四棱锥和一个直棱柱，且MP ＝16－2－2＝12(m)，∴V 多面体＝2V 四棱锥＋V 直棱柱＝2×13×(2×4×2 2)＋12×4×2 2×12＝176 23(m 3)．（继续消灭残余化学教案巩固应该保护的）化学教案广泛树立声威大略试卷试题故该粮仓可储存176 23m 3的粮食．14．解：(1)由已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB ∥DE ，设F 是CE 的中点，H 是CD 的中点，联结FH ，BF ，AH ，∴FH ∥ED ，FH ＝12ED.∵AB ＝1，DE ＝2，∴AB ＝12DE ，∴四边形ABFH 是平行四边形，∴BF ∥AH.∵AH 平面ACD ，BF 平面ACD ，∴BF ∥平面ACD. (2)∵DE ⊥平面ACD ，∴平面ABED ⊥平面ACD ，在平面ACD 内作CP ⊥AD 交AD 于点P ，∵平面ABED ∩平面ACD ＝AD ，∴CP ⊥平面ABED ， ∴CP 为三棱锥C －BGE 的高．∵V 三棱锥G －BCE ＝V 三棱锥C －BGE ＝13S △BGE ·CP ，且S △BGE ＝S 梯形ABED－S △ABG －S △EDG ＝32，由三角形的等面积法得CP ＝32，∴V三棱锥G －BCE＝V三棱锥C －BGE＝13S △BGE ·CP ＝34.15．解：(1)在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝2 3.∵点D 是线段BC 的中点，∴AD ⊥BC ∴AD ＝1，∴S △ABC ＝12×2 3×1＝ 3.∵PA ⊥底面ABC ，∴V P －ABC ＝13·S △ABC ·PA ＝13×3×2＝2 33.(2)方法一，取CD 的中点H ，连接FH ，EH.∵E 为线段PD 的中点，∴在△PDC 中，EH ∥PC.∵EH 平面PAC ，PC 平面PAC ，∴EH ∥平面PAC.∵AF ＝14AB ，∴在△ABC 中，FH ∥AC.∵FH 平面PAC ，AC 平面PAC ， ∴FH ∥平面PAC.∵ FH ∩EH ＝H ，∴ 平面EHF ∥平面PAC. ∵EF 平面EHF ，∴EF ∥平面PAC.方法二，分别取AD ，AB 的中点M ，N ，联结EM ，MF ，DN. ∵点E ，M 分别是线段PD ，AD 的中点，∴EM ∥PA ， ∵EM 平面PAC ，PA 平面PAC ，∴EM ∥平面PAC. ∵AN ＝12AB ，AF ＝14AB ，∴点F 是线段AN 的中点．∵在△ADN 中，AF ＝FN ，AM ＝MD ，∴MF ∥DN.∵在△ABC 中，AN ＝NB ，CD ＝DB ，∴DN ∥AC ，∴MF ∥AC.∵MF 平面PAC ，AC 平面PAC ，∴MF ∥平面PAC. ∵EM ∩MF ＝M ，∴平面EMF ∥平面PAC. ∵EF 平面EMF ，∴EF ∥平面PAC.。

2014高考数学文复习二轮作业手册(新课标·通用版)专题限时集：第5讲函数与方程、函数模型及其应用

专题限时集训(五)[第5讲函数与方程、函数模型及其应用](时间：45分钟)1．函数f(x)＝ln x －1x －1(x>1)的零点所在的区间为( )A.⎝⎛⎭⎫1，32B.⎝⎛⎭⎫32，2 C.⎝⎛⎭⎫2，52 D.⎝⎛⎭⎫52，3 2．如图X5－1所示，图(1)反映的是某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 之间关系的图像．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出两种调整建议，如图(2)(3)所示．(图 1给出以下说法：①图(2)的建议是：提高成本，并提高票价； ②图(2)的建议是：降低成本，并保持票价不变； ③图(3)的建议是：提高票价，并保持成本不变； ④图(3)的建议是：提高票价，并降低成本．其中说法正确的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④3．规定记号“ ”表示一种运算，即a b ＝a 2＋2ab －b 2.设函数f(x)＝x 2，且关于x 的方程f(x)＝lg|x ＋2|(x ≠－2)恰有四个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4的值是( )A ．－4B ．4C ．8D ．－8 4．“m<0”是“函数f(x)＝m ＋log 2x(x ≥1)存在零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件5．函数f(x)＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．函数f(x)＝－|x －5|＋2x －1的零点所在的区间是( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，4)7安装这种供电设备的成本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为12，为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝120x ＋5(x>0)．记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共将消耗的电费之和为F(x)(万元)，则F(40)等于( )A ．80B ．60C ．4023D ．408．若函数y ＝f(x)(x ∈R )满足f(x ＋1)＝f(x －1)，且x ∈[－1，1]时，f(x)＝1－x 2，函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x （x>0），－1x（x<0），则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5，5]内的零点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．99．在R 上定义运算：x y ＝x(1－y)．若对任意x>2，不等式(x －a) x ≤a ＋2都成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，7]B ．(－∞，3]C ．(－∞，7]D ．(－∞，－1]∪[7，＋∞)10．若x 1，x 2是函数f(x)＝x 2＋mx －2(m ∈R )的两个零点，且x 1<x 2，则x 2－x 1的最小值是________．11．函数f(x)＝ln x －1x －1在区间(k ，k ＋1)(k ∈N *)上存在零点，则k 的值为________．12．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤前的废气的污染指数量为P 0 mg/L ，过滤过程中废气的污染指数量P mg/L 与时间t h 间的关系为P ＝P 0e －kt .如果在前5个小时消除了10%的污染物，则10小时后还剩________%的污染物．13．某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨(x 为600的约数)，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x 万元．若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买________吨．14．对于二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，有下列命题： ①若f(p)＝q ，f(q)＝p(p ≠q)，则f(p ＋q)＝－(p ＋q)； ②若f(p)＝f(q)(p ≠q)，则f(p ＋q)＝c ；③若f(p ＋q)＝c(p ≠q)，则p ＋q ＝0或f(p)＝f(q)．其中一定正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．15．某医药研究所开发一种新药，在试验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间x(小时)之间满足y ＝⎩⎪⎨⎪⎧axx 2＋1（0<x<1），a ·2x －14x －1＋1（x ≥1），其对应曲线(如图X5－2所示)过点⎝⎛⎭⎫12，165.(1)试求药量峰值(y 的最大值)与达峰时间(y 取最大值时对应的x 值)；(2)如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效，那么成人按规定剂量服用该药后一次能维持多长的有效时间(精确到0.01小时)?16．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋1，x ≥a ，4x －4×2x －a，x<a. (1)若x<a 时，f(x)<1恒成立，求a 的取值范围；(2)若a ≥－4时，函数f(x)在实数集R 上有最小值，求实数a 的取值范围．专题限时集训(五) 1．C [解析] f(2)＝ln 2－1<0，f ⎝⎛⎭⎫52＝ln 52－23，由125>8e 2得52>e 23，所以f ⎝⎛⎭⎫52＝ln 52－23>0，因此f(2)f ⎝⎛⎭⎫52<0，所以其中的一个零点区间为⎝⎛⎭⎫2，52. 2．C [解析] 设图(1)中函数为y ＝kx －b ，其中k 为票价，b 为付出的成本，则图(2)是降低成本，并保持票价不变；图(3)是提高票价，并保持成本不变．3．D [解析] 函数f(x)＝x 2＋4x －4，由于函数y ＝f(x)，函数y ＝lg|x ＋2|的图像均关于直线x ＝－2对称，故四个根的和为－8.4．A [解析] 函数f(x)存在零点，则m ≤0，是充分不必要条件，故选A.5．C [解析] 分别画出函数y ＝ln x(x>0)和y ＝|x －2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.6．C [解析] f(2)·f(3)＝(－3＋2)(－2＋4)<0，所以该函数的零点所在的区间是(2，3)．7．B [解析] F(x)＝12x ＋15×120x ＋5，F(40)＝60.8．C [解析] 因为函数y ＝f(x)(x ∈R )满足f(x ＋1)＝f(x －1)，所以函数y ＝f(x)(x ∈R )是周期为2的周期函数，又因为x ∈[－1，1]时，f(x)＝1－x 2，所以作出函数f(x)(x ∈R )和g(x)的图像，如图所示．由图知函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5，5]内的零点的个数为8. 9．C [解析] 由题意得(x －a) x ＝(x －a)(1－x)，故不等式(x －a) x ≤a ＋2化为(x －a)(1－x)≤a ＋2，化简得x 2－(a ＋1)x ＋2a ＋2≥0，故原题等价于x 2－(a ＋1)x ＋2a ＋2≥0在(2，＋∞)上恒成立．由二次函数f(x)＝x 2－(a ＋1)x ＋2a ＋2的图像，可知其对称轴为x ＝a ＋12.讨论得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12≤2f （2）≥0或⎩⎨⎧a ＋12>2，f ⎝⎛⎭⎫a ＋12≥0，解得a ≤3或3<a ≤7，综上可得a ≤7.10．2 2 [解析] Δ＝m 2＋8>0(m ∈R )，x 2－x 1＝（x 2＋x 1）2－4x 2x 1＝m 2＋8≥2 2.11．0或2 [解析] 转化为两个函数y ＝ln x 与y ＝1x －1的图像的交点问题．依据图像可以判断零点存在的区间为(0，1)，(2，3)．因此k ＝0或k ＝2.12．81 [解析] P 0e －k ×5＝P 0×(1－10%)，e －5k ＝0.9，所以P 0e －k ×10＝P 0×0.81，即10小时后还剩81%的污染物．13．30 [解析] 设一年的总运费与总存储费用之和为y 万元，则y ＝600x×3＋2x ≥21800x ×2x ＝120，当且仅当1800x＝2x ，x ＝30时，取得等号． 14．②③ [解析] ②③正确，对于①，由f(p)＝q ，f(q)＝p(p ≠q)，得(p －q)[a(p ＋q)＋b ＋1]＝0，所以a(p ＋q)＋b ＋1＝0，a(p ＋q)2＋b(p ＋q)＋(p ＋q)＝0，f(p ＋q)＝－(p ＋q)＋c.15．解：(1)由曲线过点⎝⎛⎭⎫12，165，可得a ×1214＋1＝165，故a ＝8. 当0<x<1时，y ＝8x x 2＋1<8x2x ＝4，当x ≥1时，设2x －1＝t ，可知t ≥1，y ＝8×2x －14x －1＋1≤8t2t＝4(当且仅当t ＝1，即x ＝1时，等号成立)．综上可知y max ＝4，且当y 取最大值时，对应的x 值为1. 所以药量峰值为4微克，达峰时间为1小时．(2)当0<x<1时，由8xx 2＋1＝1，可得x 2－8x ＋1＝0，解得x ＝4±15，又4＋15>1，故x ＝4－15.当x ≥1时，设2x －1＝t ，则t ≥1，8×2x －14x －1＋1＝1，可得8tt 2＋1＝1，解得t ＝4±15，又t ≥1，故t ＝4＋15，所以2x －1＝4＋15，可得x ＝log 2(4＋15)＋1.由图像知当y ≥1时，对应的x 的取值范围是[4－15，log 2(4＋15)＋1]， log 2(4＋15)＋1－(4－15)≈3.85，所以成人按规定剂量服用该药后一次能维持大约3.85小时的有效时间．16．解：(1)因为x<a 时，f(x)＝4x －4×2x －a ，所以令t ＝2x ，则有0<t<2a .当x<a 时f(x)<1恒成立，转化为t 2－4×t2a <1，即42a >t －1t在t ∈(0，2a )上恒成立．令p(t)＝t －1t ，t ∈(0，2a )，则p′(t)＝1＋1t 2>0，所以p(t)＝t －1t 在(0，2a )上单调递增，所以42a ≥2a －12a ，所以2a ≤5，解得a ≤log 2 5.(2)当x ≥a 时，f(x)＝x 2－ax ＋1，即f(x)＝⎝⎛⎭⎫x －a 22＋1－a 24，当a2≤a 时，即a ≥0时，f(x)min ＝f(a)＝1；当a 2>a 时，即－4≤a<0，f(x)min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝1－a 24.当x<a 时，f(x)＝4x －4×2x －a ，令t ＝2x ，t ∈(0，2a )，则h(t)＝t 2－42a t ＝⎝⎛⎭⎫t －22a 2－44a ，当22a <2a ，即a>12时，h(t)min ＝h ⎝⎛⎭⎫22a ＝－44a ；当22a ≥2a ，即a ≤12时，h(t)在开区间t ∈(0，2a )上单调递减，h(t)∈(4a －4，0)，无最小值．综合x ≥a 与x<a ，所以当a>12时，1>－44a ，函数f(x)min ＝－44a ；当0≤a ≤12时，4a －4<0<1，函数f(x)无最小值；当－4≤a<0时，4a－4<－3≤1－a 24，函数f(x)无最小值．综上所述，当a>12时，函数f(x)有最小值．。

(通用版)(新课标)2014高考数学二轮复习作业手册第2B讲平面向量、算法初步、推理与证明理

专题限时集训(二)B[第2讲平面向量、算法初步、推理与证明](时间：30分钟)1．若执行如图X2－7所示的框图，12x 3＝3，x ＝2，则输出的S 等于( ) A.23 B ．1 C.13 D.12X2－7X2－82．某程序框图如图X2－8所示，若输出S ＝57，则判断框内为( ) A ．k >4? B ．k >5? C ．k >6? D ．k >7?3．已知不共线的向量a ，b ，|a |＝2，|b |＝3，a·(b －a )＝1，则|b －a |＝( ) A. 3 B ．2 2 C.7 D.234．若向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝|2a －b |的最大值为________．5．若AB →·BC →＋AB →2<0，则△ABC 必定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形6．△ABC 外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB →＋AC →＝2AO →，且|OA →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为( )A.32B.32 C ．3 D ．－327．已知a 为执行如图X2－9所示的程序框图输出的结果，则二项式a x －1x6的展开式中含x 2项的系数是( )图X2－9A ．192B ．32C ．96D ．－1928．已知△ABC 的面积为2，在△ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足PA →＋PC →＝0，QA →＝2BQ →，则△APQ 的面积为( )A.12B.23C ．1D ．2 9．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 310．已知2＋23＝2 23，3＋38＝3 38，4＋415＝4 415，…，若6＋at＝6at(a ，t 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a ，t 的值，a ＋t ＝________． 11．在Rt △ABC 中，两直角边分别为a ，b ，设h 为斜边上的高，则1h 2＝1a 2＋1b2.由此类比：三棱锥S －ABC 中的三条侧棱SA ，SB ，SC 两两垂直，且长度分别为a ，b ，c ，设棱锥底面ABC 上的高为h ，则________________________________________________________________________．12．如图X2－10所示，表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列．记第i 行第j 列的数为a ij (i ，j ∈N )，则a 99＝________；表中数82共出现________次．专题限时集训(二)B1．A [解析] 输出的结果是（1－2）2＋（2－2）2＋（3－2）23＝23.2．A [解析] 逐次运行的结果是k ＝2，S ＝4；k ＝3，S ＝11；k ＝4，S ＝26；k ＝5，S ＝57.当k ＝5时输出结果，故选A.3．A [解析] 由a ·(b －a )＝1，得a·b －a 2＝1，则a·b ＝5.所以|b －a |＝b 2＋a 2－2ab ＝9＋4－10＝ 3.4．4 [解析] 因为向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，所以|a |＝1，|b |＝2，a·b ＝3cos θ－sin θ.又因为|2a －b |2＝4a 2＋b 2－4a ·b ＝8－4(3cos θ－sin θ)＝8－8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6，所以|2a －b |2的最大值为16，因此|2a －b |的最大值为4.5．B [解析] AB →·BC →＋AB →2<0，即AB →·(BC →＋AB →)＝AB →(BC →－BA →)＝AB →·AC →<0，故角A 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形．6．A [解析] 由AB →＋AC →＝2AO → 知，点O 在BC 上且为BC 的中点，如图所示，由于|OA →|＝|AC →|，故△AOC 为正三角形，则∠ABC ＝30°.故BA →在向量BC →方向的投影为|BA →|cos 30°＝3×32＝32. 7．D [解析] 由程序框图可知，第一次循环，a ＝1－a＝－1，i ＝i ＋1＝2，不满足条件i <2 011，再次循环；第二次循环，a ＝11－a ＝12，i ＝i ＋1＝3，不满足条件i <2 011，再次循环；第三次循环，a ＝11－a＝2，i ＝i ＋1＝4，不满足条件i <2 011，再次循环；第四次循环，a ＝11－a ＝－1，i ＝i ＋1＝5，不满足条件i <2 011，再次循环；…….由此可知a 的值为－1，12，2，三个数循环，所以输出的a 的值为2. 又因为二项式的通项T r ＋1＝C r6(a x )6－r⎝⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 6a 6－r x 3－r，令3－r ＝2，解得r ＝1，所以二项式⎝⎛⎭⎪⎫a x －1x 6的展开式中含x 2项的系数是(－1)C 1625＝－192.8．B [解析] P ，Q 的位置如图所示，根据三角形面积公式则S △APQ S △ABC ＝12|AP ||AQ |sin A12|AB ||AC |sin A ＝23×12＝13，所以△APQ 的面积为23.9．D [解析] 由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，可得点A ，B 在圆x 2＋y 2＝4上且∠AOB ＝60°.在平面直角坐标系中，设A (2，0)，B (1，3)，P (x ，y )，则(x ，y )＝λ(2，0)＋μ(1，3)，所以x ＝2λ＋μ，y ＝3μ，解得μ＝y 3，λ＝12x －12 3y .由于|λ|＋|μ|≤1，则12x －12 3y ＋13y ≤1，即|3x －y |＋|2y |≤23，所以①⎩⎨⎧3x －y ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤2 3或②⎩⎨⎧3x －y ≥0，y <0，3x －3y ≤23或③⎩⎨⎧3x －y <0，y ≥0，－3x ＋3y ≤2 3或 ④⎩⎨⎧3x －y <0，y <0，－3x －y ≤2 3.上述四个不等式组在平面直角坐标系中表示的区域如图所示阴影10．41 [解析] 4 415，… 照此规律，第511.1h2＝1a 2＋1b 2＋1c2 [解析] 方法一：过S 作△ABC 所在平面的垂线，垂足为O ，联结CO并延长交AB 于D ，联结SD .∵SO ⊥平面ABC ，∴SO ⊥AB .∵SC ⊥SA ，SC ⊥SB ，∴SC ⊥平面ABC .∴SC ⊥AB ，SC ⊥SD ，∴AB ⊥平面SCD .则AB ⊥SD .∴在Rt △ABS 中，有1SD 2＝1a 2＋1b2，在Rt△CDS 中，有1h 2＝1SD 2＋1c 2＝1a 2＋1b 2＋1c2.方法二：根据等体积关系16abc ＝13S △ABC h ，则1h 2＝4（S △ABC ）2a 2b 2c2.∵4(S △ABC )2＝|AB |2|AC |2sin 2A ＝|AB |2|AC |2(1－cos 2A )＝|AB |2|AC |2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－（|AB |2＋|AC |2－|BC |2）24|AB |2|AC |2＝|AB |2|AC |2－（|AB |2＋|AC |2－|BC |2）24＝(a 2＋b 2)(a 2＋c 2)－（a 2＋b 2＋a 2＋c 2－b 2－c 2）24＝b 2c 2＋a 2c 2＋a 2b 2，∴1h 2＝4（S △ABC ）2a 2b 2c 2＝b 2c 2＋a 2c 2＋a 2b 2a 2b 2c 2＝1a 2＋1b 2＋1c2.12．82 5 [解析] 第9行的第一个数为10，该行的公差为9，故第9个数是10＋(9－1)×9＝82.因为第n行的通项公式是a nk＝(n＋1)＋(k－1)n＝kn＋1，所以kn＋1＝82，解得kn＝81.所以n＝1，k＝81；n＝3，k＝27；n＝9，k＝9；n＝27，k＝3；n＝81，k＝1.。

2014届高考数学(文)二轮专题复习专题1第3讲

第3讲不等式、线性规划一、选择题1．(2013·福建高考)若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是 ( )．A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析 ∵2x ＋2y ≥22x ＋y ，且2x ＋2y ＝1， ∴2x ＋y ≤14，∴x ＋y ≤－2. 答案 D2．(2013·湖南高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )．A ．－52B ．0 C.53D ．52解析画出可行域如图．设z ＝x ＋2y ，当直线y ＝－12x ＋z 2过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23时，z 取最大值53，所以(x ＋2y )max＝53. 答案 C3．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )．A ．a ＜v ＜abB ．v ＝abC ．ab ＜v ＜a ＋b2D ．v ＝a ＋b2解析设甲、乙两地之间的距离为s . ∵a ＜b ，∴v ＝2s sa ＋s b＝2sab (a ＋b )s ＝2ab a ＋b ＜2ab2ab＝ab .又v －a ＝2aba ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b ＞a 2－a 2a ＋b ＝0，∴v ＞a .答案 A4．(2013·安徽高考)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )．A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}解析由已知条件得0<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2. 答案 D5．(2013·湖北高考)某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为( )．A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析设租A 型车x 辆，B 型车y 辆时租金为z 元则z ＝1 600x ＋2 400y ，x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .画出可行域如图．直线y ＝－23x ＋z2 400过点A (5,12)时纵截距最小， ∴z min ＝5×1 600＋2 400×12＝36 800，故租金最少为36 800元．答案 C 二、填空题6．已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋2y 的最小值是________．解析因为1x ＋2y ＝(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝4＋y x ＋4x y ≥4＋2 y x ·4xy ＝8，等号当且仅当y ＝12，x ＝14时成立．故填8. 答案 87．(2013·重庆高考)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．解析由题意，得Δ＝64sin 2α－32cos 2α≤0，化简得cos 2α≥12，∵0≤α≤π，∴0≤2α≤2π， ∴0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π， ∴0≤α≤π6或5π6≤α≤π. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π8．(2013·陕西高考)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为________．解析如图，曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令 z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点(－1,2)时，z 取得最小值，此时z ＝2×(－1)－2＝－4.答案－4 三、解答题 9．已知函数f (x )＝2xx 2＋6.(1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3，或x >－2}，求k 的值； (2)对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围．解 (1)f (x )>k ⇔kx 2－2x ＋6k <0.由已知{x |x <－3，或x >－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2，由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25. (2)∵x >0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤226＝66. 当且仅当x ＝6时取等号，由已知f (x )≤t 对任意x >0恒成立，故t ≥66. 即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞.10．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解设F (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，则问题的条件变为当x ∈[－1，＋∞)时，F (x )≥0恒成立．∵当Δ＝(－2a )2－4(2－a )＝4(a ＋2)·(a －1)≤0，即－2≤a ≤1时，F (x )≥0恒成立．又当Δ＞0时，F (x )≥0在[－1，＋∞)上恒成立的充要条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，F (－1)≥0，－－2a 2≤－1⇒⎩⎨⎧a ＞1或a ＜－2，a ≥－3，a ≤－1⇒－3≤a ＜－2.故a 的取值范围是[－3,1]．11．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．解(1)设隔热层厚度x cm，由题意，建筑物每年的能源消耗费用为C(x)＝k3x＋5 (0≤x≤10)，再由C(0)＝8，得k＝40，∴C(x)＝403x＋5(0≤x≤10)，又∵隔热层建造费用为6x(万元)，∴f(x)＝20×403x＋5＋6x＝8003x＋5＋6x(0≤x≤10)．(2)f(x)＝8003x＋5＋6x＝1 6006x＋10＋(6x＋10)－10，∵0≤x≤10，∴6x＋10＞0，∴f(x)≥21 6006x＋10×(6x＋10)－10＝70.当且仅当1 6006x＋10＝6x＋10.即x＝5时，取“＝”号．故隔热层修建5 cm厚时，总费用最小，最小值为70万元．。

(通用版)(新课标)2014高考数学二轮复习作业手册第4B讲函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质理

专题限时集训(四)B[第4讲函数、基本初等函数Ⅰ的图像与性质](时间：30分钟)1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3（x ≤0），f （x －1）－f （x －2）（x >0），则f (2)＝( )A ．1B ．2C ．0D ．－12．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后来为了赶时间(图X4－23．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12（－x ），x <0，若af (－a )>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)4．已知函数f (x )的图像如图X4－3所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋6，x 3x ＋4，x <0，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是( )A.203，263B.203，263C.113，6D.113，66．函数f (x )＝sin 2x ＋e ln |x |( )图X4－47．函数y ＝f (x )，x ∈D ，若存在常数C ，对任意的x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D ，使得f （x 1）f （x 2）＝C ，则称函数f (x )在D 上的几何平均数为C .已知f (x )＝x 3，x ∈[1，2]，则函数f (x )在[1，2]上的几何平均数为( )A. 2 B ．2 C ．4 D ．2 28．定义在R 上的函数y ＝f (x )，在(－∞，a )上是增函数，且函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有( )A ．f (x 1)>f (x 2)B ．f (x 1)≥f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．f (x 1)≤f (x 2)9．设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f －32的值等于( )A ．－12B ．－13C ．－14D ．－1510．定义区间(a ，b )，[a ，b )，(a ，b ]，[a ，b ]的长度均为d ＝b －a ，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，(1，2)∪[3，5)的长度d ＝(2－1)＋(5－3)＝3.用[x ]表示不超过x 的最大整数，记{x }＝x －[x ]，其中x ∈R .设f (x )＝[x ]·{x }，g (x )＝x －1，当0≤x ≤k 时，若不等式f (x )< g (x )的解集区间的长度为5，则k 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．911．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0，若f (a )＝12，则a 等于________．12．设a ，b ∈R ，且a ≠2，若定义在区间(－b ，b )内的函数f (x )＝lg 1＋ax1＋2x是奇函数，则a ＋b 的取值范围是________．13．设函数f (x )＝|x －a |－ax ，其中a 为常数．若函数f (x )存在最小值的充要条件是a ∈A ，则(1)集合A ＝________；(2)当a ∈A 时，函数f (x )的最小值为________．专题限时集训(四)B1．D [解析] f (2)＝f (1)－f (0)＝[f (0)－f (－1)]－f (0)＝－f (－1)＝－1.2．C [解析] 由题意可知函数图像最开始为“斜率为负的线段”，接着为“与x 轴平行的线段”，最后为“斜率为负值，且小于之前斜率的线段”．观察选项中图像可知，C 项符合，故选C.3．A [解析] 若a >0，则f (－a )>0，即log 12a >0，解得0<a <1；若a <0，则f (－a )<0，即log 2(－a )<0，解得－1<a <0.故实数a 的取值范围是(－1，0)∪(0，1)．4．A [解析] 从图像可知，函数是奇函数且以±1为零点，且随着x →＋∞，函数值逐步趋近于0，故选项A 中的函数符合．5．D [解析] 设x 1<0，x 2≥0，x 3≥0，根据抛物线的对称性可得x 2＋x 3＝6，函数f (x )在[0，＋∞)最小值为－3，当x ∈(－∞，0)时，函数f (x )<4.所以x 1满足－3<3x 1＋4<4，即－73<x 1<0.由此得113<x 1＋x 2＋x 3<6.6．B [解析] 函数是非奇非偶函数，排除选项A ，C.当x >0时f (x )＝sin 2x ＋x ，f ′(x )＝2cos 2x ＋1，此时函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π6上单调递增，只能是选项B 中的函数图像．7．D [解析] 由于x 1∈[1，2]，所以2x 1∈[1，2]，取x 2＝2x 1即得f (x 1)f (x 2)＝8，所以f （x 1）f （x 2）＝2 2.8．A [解析] 由于函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，其图像关于y 轴对称，把这个函数图像平移|a |个单位(a <0左移、a >0右移)可得函数y ＝f (x )的图像，因此可得函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a 对称，此时函数在(a ，＋∞)上是减函数，由于x 1<a ，x 2>a 且|x 1－a |<|x 2－a |，说明x 1离对称轴的距离比x 2离对称轴的距离小，故f (x 1)>f (x 2)．9．C [解析] 由于函数f (x )是奇函数，且对任意t ∈R f (t )＝f (1－t )，所以f (x )＝－f (x －1)⇒f (x ＋1)＝－f (x )⇒f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以2为周期的周期函数，故f (3)＝f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－14. 所以f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－14. 10．B [解析] 当n ≤x <n ＋1，n 为自然数，[x ]＝n ，{x }＝x －[x ]＝x －n ，不等式f (x )<g (x )，即n (x －n )<x －1，即(n －1)x <n 2－1.当n ＝0时，不等式(n －1)x <n 2－1，即x >1，此时无解；当n ＝1时，不等式(n －1)x <n 2－1，即0<0，此时不等式也无解；当n ≥2时，不等式(n －1)x <n 2－1，即x <n ＋1，此时不等式f (x )<g (x )的解集为[n ，n ＋1)．综上可知不等式f (x )<g (x )在0≤x ≤k 上只有k >2时有解，且其解集为[2，k )，故当解区间的长度为5时k ＝7.11.2或－1 [解析] 若a >0，则log 2a ＝12，得a ＝2；若a ≤0，则2a＝12，得a ＝－1.12.⎝⎛⎦⎥⎤－2，－32 [解析] f (－x )＋f (x )＝lg 1－ax 1－2x ＋lg 1＋ax 1＋2x ＝lg 1－a 2x 21－4x 2＝0，∴1－a 2x 21－4x 2＝1，∴(a 2－4)x 2＝0，∵x 2不恒为0，∴a 2＝4，又a ≠2，故a ＝－2，∴f (x )＝lg 1－2x 1＋2x.由1－2x 1＋2x >0，得－12<x <12，由题意(－b ，b )⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，∴0<b ≤12，故－2<a ＋b ≤－32. 13．[－1，1] －a 2[解析] (1)当x ≥a 时，f (x )＝(1－a )x －a ；当x <a 时，f (x )＝a －(1＋a )x .要使f (x )有最小值，需满足1－a ≥0，且1＋a ≥0，即－1≤a ≤1时，f (x )存在最小值．(2)当x ＝a 时，f (x )取得最小值－a 2.。

2014年高考数学(文)二轮配套教案：第一部分专题复习篇专题六第三讲

第三讲圆锥曲线的综合问题1．直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．2．有关弦的问题(1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．①斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝1＋1k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：|x2－x1|＝(x1＋x2)2－4x1x2，|y2－y1|＝(y1＋y2)2－4y1y2.②当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．3．圆锥曲线中的最值(1)椭圆中的最值F1、F2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有①|OP|∈[b，a]．②|PF1|∈[a－c，a＋c]．③|PF1|·|PF2|∈[b2，a2]．④∠F1PF2≤∠F1BF2.(2)双曲线中的最值F1、F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有①|OP|≥a.②|PF1|≥c－a.(3)抛物线中的最值点P 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的任一点，F 为焦点，则有：①|PF |≥p2.②A (m ，n )为一定点，则|P A |＋|PF |有最小值．1． (2013·课标全国Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 ( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1 答案 D解析设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，所以⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1x 22a 2＋y22b 2＝1运用点差法，所以直线AB 的斜率为k ＝b 2a2，设直线方程为y ＝b 2a2(x －3)，联立直线与椭圆的方程得(a 2＋b 2)x 2－6b 2x ＋9b 2－a 4＝0，所以x 1＋x 2＝6b 2a 2＋b 2＝2；又因为a 2－b 2＝9，解得b 2＝9，a 2＝18.2． (2013·江西)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A.33 B ．－33 C ．±33D ．－ 3答案 B解析 ∵S △AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB＝12sin ∠AOB ≤12. 当∠AOB ＝π2时，S △AOB 面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝22.设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)，即kx －y －2k ＝0.由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33. (也可k ＝－tan ∠OPH ＝－33)． 3． (2013·大纲全国)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是( )A ．[12，34]B ．[38，34]C ．[12，1]D ．[34，1]答案 B解析利用直线P A 2斜率的取值范围确定点P 变化范围的边界点，再利用斜率公式计算直线P A 1斜率的边界值．由题意可得A 1(－2,0)，A 2(2,0)，当P A 2的斜率为－2时，直线P A 2的方程式为y ＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0，解得x ＝2或x ＝2619.由点P 在椭圆上得点P ⎝⎛⎭⎫2619，2419，此时直线P A 1的斜率k ＝38. 同理，当直线P A 2的斜率为－1时，直线P A 2方程为y ＝－(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得7x 2－16x ＋4＝0，解得x ＝2或x ＝27.由点P 在椭圆上得点P ⎝⎛⎭⎫27，127，此时直线P A 1的斜率k ＝34.数形结合可知，直线P A 1斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤38，34.4． (2012·四川)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B ，当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________．答案 3解析直线x ＝m 过右焦点(1,0)时，△F AB 的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a ＝8，此时，|AB |＝2×b 2a ＝2×32＝3，∴S △F AB ＝12×2×3＝3.5． (2012·北京)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点．其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为______．答案3解析 ∵y 2＝4x 的焦点F (1,0)，又直线l 过焦点F 且倾斜角为60°，故直线l 的方程为y ＝3(x －1)，将其代入y 2＝4x 得3x 2－6x ＋3－4x ＝0，即3x 2－10x ＋3＝0.∴x ＝13或x ＝3.又点A 在x 轴上方，∴x A ＝3.∴y A ＝2 3.∴S △OAF ＝12×1×23＝ 3.题型一圆锥曲线中的范围、最值问题例1 已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (－1,0)的直线交抛物线C 于P 、Q 两点，设AP →＝λAQ →.(1)若点P 关于x 轴的对称点为M ，求证：直线MQ 经过抛物线C 的焦点F ；(2)若λ∈⎣⎡⎦⎤13，12，求|PQ |的最大值．审题破题 (1)可利用向量共线证明直线MQ 过F ；(2)建立|PQ |和λ的关系，然后求最值． (1)证明设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 1，－y 1)． ∵AP →＝λAQ →，∴x 1＋1＝λ(x 2＋1)，y 1＝λy 2，∴y 21＝λ2y 22，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，x 1＝λ2x 2， ∴λ2x 2＋1＝λ(x 2＋1)，λx 2(λ－1)＝λ－1，∵λ≠1，∴x 2＝1λ，x 1＝λ，又F (1,0)，∴MF →＝(1－x 1，y 1)＝(1－λ，λy 2)＝λ⎝⎛⎭⎫1λ－1，y 2＝λFQ →， ∴直线MQ 经过抛物线C 的焦点F .(2)解由(1)知x 2＝1λ，x 1＝λ，得x 1x 2＝1，y 21·y 22＝16x 1x 2＝16， ∵y 1y 2>0，∴y 1y 2＝4，则|PQ |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝x 21＋x 22＋y 21＋y 22－2(x 1x 2＋y 1y 2) ＝⎝⎛⎭⎫λ＋1λ2＋4⎝⎛⎭⎫λ＋1λ－12 ＝⎝⎛⎭⎫λ＋1λ＋22－16， λ∈⎣⎡⎦⎤13，12，λ＋1λ∈⎣⎡⎦⎤52，103，当λ＋1λ＝103，即λ＝13时，|PQ |2有最大值1129，|PQ |的最大值为473.反思归纳求最值或求范围问题常见的解法有两种：(1)几何法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．(2)代数法．若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．变式训练1 (2013·广东)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．解 (1)依题意知|c ＋2|2＝322，c >0，解得c ＝1.所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)由y ＝14x 2得y ′＝12x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线P A ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，所以切线P A 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0.同理可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0，又点P (x 0，y 0)在切线P A 和PB 上，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0，所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0 的两组解，所以直线AB 的方程为x 0x －2y －2y 0＝0. (3)由抛物线定义知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1，所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y ，消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0， ∴y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20，∴|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 20＋x 20－2y 0＋1 ＝y 20＋(y 0＋2)2－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5 ＝2⎝⎛⎭⎫y 0＋122＋92， ∴当y 0＝－12时，|AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92.题型二圆锥曲线中的定点、定值问题例2 (2012·福建)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上． (1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q ，证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．审题破题 (1)先求出B 点坐标，代入抛物线方程，可得p 的值；(2)假设在y 轴上存在定点M ，使得以线段PQ 为直径的圆经过点M ，转化为MP →·MQ →＝0，从而判断点M 是否存在．(1)解依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12. 因为点B (43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2. 故抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)证明方法一由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1得⎩⎨⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1.设M (0，y 1)，令MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1－y 1，由MP →·MQ →＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*) 由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．方法二由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1得⎩⎨⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1.取x 0＝2，此时P (2,1)，Q (0，－1)，以PQ 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝2，交y 轴于点M 1(0,1)、M 2(0，－1)；取x 0＝1，此时P ⎝⎛⎭⎫1，14，Q ⎝⎛⎭⎫－32，－1，以PQ 为直径的圆为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋⎝⎛⎭⎫y ＋382＝12564，交y 轴于点M 3(0,1)、M 4⎝⎛⎭⎫0，－74. 故若满足条件的点M 存在，只能是M (0,1)．以下证明点M (0,1)就是所要求的点．因为MP →＝(x 0，y 0－1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－2，所以MP →·MQ →＝x 20－42－2y 0＋2＝2y 0－2－2y 0＋2＝0.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．反思归纳定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．变式训练2 已知直线l ：y ＝x ＋6，圆O ：x 2＋y 2＝5，椭圆E ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的离心率e＝33，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等． (1)求椭圆E 的方程；(2)过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值．(1)解设椭圆的半焦距为c ，圆心O 到直线l 的距离d ＝61＋1＝3，∴b ＝5－3＝ 2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝33a 2＝b 2＋c2b ＝2，∴a 2＝3，b 2＝2.∴椭圆E 的方程为y 23＋x 22＝1.(2)证明设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，联立直线l 0与椭圆E 的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －x 0)＋y 0y 23＋x 22＝1，消去y 得(3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2－6＝0， ∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0)2－6]＝0，整理得，(2－x 20)k 2＋2kx 0y 0－(y 20－3)＝0，设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－y 20－32－x 20，∵点P 在圆O 上，∴x 20＋y 20＝5， ∴k 1·k 2＝－5－x 20－32－x 2＝－1. ∴两条切线的斜率之积为常数－1. 题型三圆锥曲线中的存在性问题例3 如图，椭圆的中心为原点O ，离心率e ＝22，且a 2c＝2 2.(1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P 满足OP →＝OM →＋2ON →，其中M 、N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12.问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值？若存在，求F 1，F 2的坐标；若不存在，说明理由．审题破题 (1)列方程组求出a 、c 即可；(2)由k OM ·k ON ＝－12先确定点M 、N 坐标满足条件，再根据OP →＝OM →＋2ON →寻找点P 满足条件：点P 在F 1、F 2为焦点的椭圆上．解 (1)由e ＝c a ＝22，a 2c ＝22，解得a ＝2，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝2，故椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由OP →＝OM →＋2ON →，得(x ，y )＝(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(x 1＋2x 2，y 1＋2y 2)，即x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2.因为点M 、N 在椭圆x 2＋2y 2＝4上，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 22＋4x 1x 2)＋2(y 21＋4y 22＋4y 1y 2) ＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20. 所以P 点是椭圆x 2(25)2＋y 2(10)2＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F 1、F 2，则由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|为定值，又因c ＝(25)2－(10)2＝10，因此两焦点的坐标为F 1(－10，0)，F 2(10，0)．反思归纳探究是否存在的问题，一般均是先假设存在，然后寻找理由去确定结论，如果真的存在，则能得出相应结论，如果不存在，则会由条件得出相互矛盾的结论．变式训练3 (2012·江西)已知三点O (0,0)，A (－2,1)，B (2,1)，曲线C 上任意一点M (x ，y )满足|MA →＋MB →|＝OM →·(OA →＋OB →)＋2.(1)求曲线C 的方程；(2)动点Q (x 0，y 0)(－2<x 0<2)在曲线C 上，曲线C 在点Q 处的切线为l .问：是否存在定点P (0，t )(t <0)，使得l 与P A ，PB 都相交，交点分别为D ，E ，且△QAB 与△PDE 的面积之比是常数？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由．解 (1)由MA →＝(－2－x,1－y )，MB →＝(2－x,1－y )， |MA →＋MB →|＝(－2x )2＋(2－2y )2， OM →·(OA →＋OB →)＝(x ，y )·(0,2)＝2y ，由已知得(－2x )2＋(2－2y )2＝2y ＋2，化简得曲线C 的方程：x 2＝4y . (2)假设存在点P (0，t )(t <0)满足条件，则直线P A 的方程是y ＝t －12x ＋t ，PB 的方程是y ＝1－t2x ＋t .曲线C 在Q 处的切线l 的方程是y ＝x 02x －x 204，它与y 轴的交点为F ⎝⎛⎭⎫0，－x 204.由于－2<x 0<2，因此－1<x 02<1.①当－1<t <0时，－1<t －12<－12，存在x 0∈(－2,2)，使得x 02＝t －12，即l 与直线P A 平行，故当－1<t <0时不符合题意． ②当t ≤－1时，t －12≤－1<x 02，1－t 2≥1>x 02，所以l 与直线P A ，PB 一定相交．分别联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t －12x ＋t ，y ＝x 02x －x 24，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－t 2x ＋t ，y ＝x 02x －x 24，解得D ，E 的横坐标分别是x D ＝x 20＋4t2(x 0＋1－t )，x E ＝x 20＋4t2(x 0＋t －1)，则x E －x D ＝(1－t )x 20＋4t x 20－(t －1)2. 又|FP |＝－x 204－t ，有S △PDE ＝12·|FP |·|x E －x D |＝1－t 8·(x 20＋4t )2(t －1)2－x 2，又S △QAB ＝12·4·⎝⎛⎭⎫1－x 204＝4－x 202，于是S △QAB S △PDE ＝41－t ·(x 20－4)[x 20－(t －1)2](x 20＋4t )2 ＝41－t ·x 40－[4＋(t －1)2]x 20＋4(t －1)2x 40＋8tx 20＋16t 2. 对任意x 0∈(－2,2)，要使S △QAB S △PDE为常数，即只需t 满足⎩⎪⎨⎪⎧－4－(t －1)2＝8t ，4(t －1)2＝16t 2.解得t ＝－1.此时S △QABS △PDE＝2，故存在t ＝－1，使得△QAB 与△PDE 的面积之比是常数2.典例 (14分)抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点M (0，－2)作直线l与抛物线相交于A ，B 两点，且满足OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线的方程；(2)当抛物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求△ABP 面积的最大值．规范解答解 (1)根据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2，抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0. [2分]设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4. 所以OA →＋OB →＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2.故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线的方程为x 2＝－2y .[7分](2)设P (x 0，y 0)，依题意，知当抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大．对y ＝－12x 2求导，得y ′＝－x ，所以－x 0＝2，即x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，即P (－2，－2)．此时点P 到直线l 的距离d ＝|2·(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2＝45＝455.[10分]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，则x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－4， |AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋22·(－4)2－4·(－4)＝410.于是，△ABP 面积的最大值为12×410×455＝8 2. [14分]评分细则 (1)由OA →＋OB →＝(－4，－12)得到关于p ，k 的方程组得2分；解出p 、k 的值给1分；(2)确定△ABP 面积最大的条件给1分；(3)得到方程x 2＋4x －4＝0给1分．阅卷老师提醒最值问题解法有几何法和代数法两种，本题中的曲线上一点到直线的距离的最值可以转化为两条平行线的距离；代数法求最值的基本思路是转化为函数的最值．1．设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →·OB →等于( )A.34 B ．－34C ．3D ．－3 答案 B解析方法一 (特殊值法)抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫12，0，过F 且垂直于x 轴的直线交抛物线于A (12，1)，B (12，－1)， ∴OA →·OB →＝⎝⎛⎭⎫12，1·⎝⎛⎭⎫12，－1＝14－1＝－34. 方法二设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2. 由抛物线的过焦点的弦的性质知：x 1x 2＝p 24＝14，y 1y 2＝－p 2＝－1.∴OA →·OB →＝14－1＝－34.2．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48答案 C解析不妨设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为x ＝p2.代入y 2＝2px 得，y ＝±p ，即|AB |＝2p ，又|AB |＝12，故p ＝6，所以抛物线的准线方程为x ＝－3，故S △ABP ＝12×6×12＝36.3．已知动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，则此动圆必过定点( )A ．(2,0)B ．(1,0)C ．(0,1)D ．(0，－1)答案 B解析因为动圆的圆心在抛物线y 2＝4x 上，且x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)，所以选B.4．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 C解析 ∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知|FM |＝y 0＋2.由于以F 为圆心、|FM |为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.5．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．答案 y 2＝4x解析设抛物线方程为y 2＝ax .将y ＝x 代入y 2＝ax ，得x ＝0或x ＝a ，∴a2＝2.∴a ＝4.∴抛物线方程为y 2＝4x .6．已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是____________．答案 ⎣⎡⎦⎤33，22解析设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，① 将y 2＝b 2－b 2a 2x 2代入①式解得x 2＝(3c 2－a 2)a 2c 2，又x 2∈[0，a 2]，所以2c 2≤a 2≤3c 2，所以离心率e ＝c a ∈⎣⎡⎦⎤33，22.专题限时规范训练一、选择题1．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝M B →，则p 等于 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析如图，由AB 的斜率为3，知α＝60°，又AM →＝M B →，∴M 为AB 的中点．过点B 作BP 垂直准线 l 于点P ，则∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°. ∴||BP ＝12||AB ＝||BM .∴M 为焦点，即p2＝1，∴p ＝2.2．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0答案 A解析由已知得A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P (x ，y ) (x ≥1)，则P A 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝4x 2－x －5.令f (x )＝4x 2－x －5，则f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取最小值，即P A 1→·PF 2→取最小值，最小值为－2.3．设AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2b2(a >b >0)中心的弦，椭圆的左焦点为F 1(－c,0)，则△F 1AB 的面积最大为( )A ．bcB ．abC ．acD ．b 2答案 A解析如图，由椭圆对称性知O 为AB 的中点，则△F 1OB 的面积为△F 1AB 面积的一半．又OF 1＝c ，△F 1OB 边OF 1上的高为y B ，而y B 的最大值为b .所以△F 1OB 的面积最大值为12cb .所以△F 1AB 的面积最大值为bc .4．已知点A (－1,0)，B (1,0)及抛物线y 2＝2x ，若抛物线上点P 满足|P A |＝m |PB |，则m 的最大值为( )A ．3B ．2C. 3D. 2答案 C解析据已知设P (x ，y )，则有m ＝|P A ||PB |＝(x ＋1)2＋y 2(x －1)2＋y 2＝ (x ＋1)2＋2x(x －1)2＋2x ＝x 2＋4x ＋1x 2＋1＝1＋4xx 2＋1＝ 1＋4x ＋1x ，据基本不等式有m ＝1＋4x ＋1x≤1＋42x ×1x＝3，即m 的最大值为 3.故选C.5．直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为A 、B 、C 、D ，则|AB ||CD |的值为 ( )A ．16B ．116C ．4D ．14答案 B解析由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋4＝0，x 2＝4y得x 2－3x －4＝0，∴x A ＝－1，x D ＝4，直线3x －4y ＋4＝0恰过抛物线的焦点F (0,1)，∴|AF |＝y A ＋1＝54，|DF |＝y D ＋1＝5，∴|AB ||CD |＝|AF |－1|DF |－1＝116.故选B. 6．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是 ( )A ．(14，94)B ．(23，1)C ．(12，23)D ．(0，12)答案 C解析点B 的横坐标是c ，故B 的坐标(c ，±b 2a)，已知k ∈(13，12)，∴B (c ，b2a )．又A (－a,0)，则斜率k ＝b 2a c ＋a ＝b 2ac ＋a 2＝a 2－c 2ac ＋a 2＝1－e 2e ＋1.由13<k <12，解得12<e <23. 7．已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则|AB |·|CD |的值( )A ．等于1B ．最小值是1C ．等于4D ．最大值是4 答案 A解析设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程，得y 2－4ty －4＝0. 设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，根据抛物线定义|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2，所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 224＝(y 1y 2)216，而y 1y 2＝－4，代入上式，得|AB |·|CD |＝1.故选A. 8．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在P 使线段PF 1的中垂线过点F 2，则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，22B.⎝⎛⎦⎤0，33C.⎣⎡⎭⎫22，1D.⎣⎡⎭⎫33，1答案 D解析设P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，y ，F 1P 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫b 22c ，y 2，当kQF 2存在时，则kF 1P ＝cy a 2＋c 2，kQF 2＝cyb 2－2c 2，由kF 1P ·kQF 2＝－1，得 y 2＝(a 2＋c 2)·(2c 2－b 2)c 2，y 2≥0，但注意到b 2－2c 2≠0，即2c 2－b 2>0，即3c 2－a 2>0，即e 2>13，故33<e <1.当kQF 2不存在时，b 2－2c 2＝0，y ＝0，此时F 2为中点，即a 2c －c ＝2c ，得e ＝33，综上，得33≤e <1，即所求的椭圆离心率的范围是⎣⎡⎭⎫33，1.二、填空题9．已知椭圆的焦点是F 1(－22，0)和F 2(22，0)，长轴长是6，直线y ＝x ＋2与此椭圆交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－95，15 解析由已知得椭圆方程是x 29＋y 2＝1，直线与椭圆相交有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋9y 2＝9，y ＝x ＋2，则10x 2＋36x＋27＝0，AB 中点(x 0，y 0)有x 0＝12(x A ＋x B )＝－95，y 0＝x 0＋2＝15，所以，AB 中点坐标是⎝⎛⎭⎫－95，15. 10．点P 在抛物线x 2＝4y 的图象上，F 为其焦点，点A (－1,3)，若使|PF |＋|P A |最小，则相应P 的坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－1，14 解析由抛物线定义可知PF 的长等于点P 到抛物线准线的距离，所以过点A 作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点⎝⎛⎭⎫－1，14即为所求点P 的坐标，此时|PF |＋|P A |最小． 11．斜率为3的直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点且与该抛物线交于A ，B 两点，则|AB |＝_______.答案 163解析如图，过A 作AA 1⊥l ′，l ′为抛物线的准线．过B 作BB 1⊥ l ′，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，过焦点F 作FM ⊥A 1A 交A 1A 于M 点，直线l 的倾斜角为60°，所以|AF |＝|AA 1|＝|A 1M |＋|AM |＝2＋|AF |·cos 60°，所以|AF |＝4，同理得|BF |＝43，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝163.12．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．答案 32解析 (1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝4，代入y 2＝4x ，得交点为(4,4)，(4，－4)，∴y 21＋y 22＝16＋16＝32. (2)当直线的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －4)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y－16k ＝0，由题意知k ≠0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－16.∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k 2＋32>32.综合(1)(2)知(y 21＋y 22)min ＝32.三、解答题13．(2013·天津)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A 、B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．解 (1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有(－c )2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b3，于是26b 3＝433，解得b ＝2，又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y 22＝1消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0. 求解可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程．(2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2，∴椭圆方程为x 23b 2＋y 2b2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2.设椭圆上的点到点Q (0,2)的距离为d ，则 d ＝(x －0)2＋(y －2)2＝x 2＋(y －2)2＝3b 2－3y 2＋(y －2)2＝－2(y ＋1)2＋3b 2＋6，∴当y ＝－1时，d 取得最大值，d max ＝3b 2＋6＝3，解得b 2＝1，∴a 2＝3.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)假设存在点M (m ，n )满足题意，则m 23＋n 2＝1，即m 2＝3－3n 2.设圆心到直线l 的距离为d ′，则d ′<1， d ′＝|m ·0＋n ·0－1|m 2＋n 2＝1m 2＋n 2.∴|AB |＝212－d ′2＝21－1m 2＋n 2. ∴S △OAB ＝12|AB |d ′＝12·21－1m 2＋n 2·1m 2＋n2＝1m 2＋n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋n 2. ∵d ′<1，∴m 2＋n 2>1，∴0<1m 2＋n 2<1，∴1－1m 2＋n 2>0.∴S △OAB ＝1m 2＋n 2⎝⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋n 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m 2＋n 2＋1－1m 2＋n 222＝12，当且仅当1m 2＋n 2＝1－1m 2＋n2，即m 2＋n 2＝2>1时，S △OAB 取得最大值12.由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝2，m 2＝3－3n 2得⎩⎨⎧m 2＝32，n 2＝12，∴存在点M 满足题意，M 点坐标为 ⎝⎛⎭⎫62，22，⎝⎛⎭⎫62，－22，⎝⎛⎭⎫－62，22或 ⎝⎛⎭⎫－62，－22，此时△OAB 的面积为12.。

2014年高考数学(文)二轮配套教案：第一部分专题复习篇专题一第二讲

第二讲数形结合思想1．数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面:（1）“以形助数"，把某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,揭示数学问题的本质;（2）“以数定形",把直观图形数量化，使形更加精确．2．数形结合思想的实质、关键及运用时应注意的问题：其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化，在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参，合理用参，建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围．3．实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系;(2)函数与图象的对应关系;（3）以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念，如复数、三角函数等;(4）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．如等式（x －2）2＋（y－1）2＝4，表示坐标平面内以（2，1)为圆心，以2为半径的圆．1． (2013·重庆）已知圆C1：（x－2)2＋(y－3)2＝1,圆C2:(x－3)2＋(y －4)2＝9,M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则｜PM｜＋｜PN|的最小值为（）A．5错误!－4 B.错误!－1C．6－2错误!D。

错误!答案A解析设P(x,0)，设C1（2,3）关于x轴的对称点为C1′（2，－3),那么|PC1｜＋｜PC2｜＝｜PC1′｜＋|PC2｜≥｜C1′C2｜＝错误!＝5 2.而|PM|＝|PC1|－1，｜PN|＝｜PC2|－3，∴|PM|＋｜PN｜＝｜PC1|＋|PC2｜－4≥5错误!－4。

2．（2011·大纲全国)已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )A．1 B．2 C.错误! D.错误!答案C解析如图，设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，则错误!＝a －c，错误!＝b－c。

2014高考数学文复习方案二轮作业手册(新课标·通用版)专题限时集：第16讲概率含解析

专题限时集训(十六）［第16讲概率］(时间：45分钟）1m ，n ，则复数(m ＋ni ）2是纯虚数的概率是（ )A.13B 。

错误! C.错误! D 。

错误! 2．任意画一个正方形，再将这个正方体各边的中点相连得到第二个正方形，依此类推，这样一共画了4个正方形,如图X16－1所示．若向图形中随机投一点,则所投点落在第四个正方形的概率是（）A 。

错误! B.错误! C 。

错误! D.错误!X16－1X16－23．如图X16－2所示，把一个单位圆八等分，某人向圆内投镖,则他投中阴影区域的概率为( )A.错误!B.错误!C.错误! D 。

错误!4．如图X16－3所示，矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，由此我们可估计出阴影部分的面积约为( )A。

错误!B。

错误! C.错误!D。

错误!5．若实数a,b满足a2＋b2≤1，则关于x的方程x2－2x＋a＋b＝0无实数根的概率为（)A。

错误!B。

错误!C.错误!D.错误!6．在［－2，3]上随机取一个数x，则(x＋1）(x－3）≤0的概率为( )A。

错误!B。

错误! C.错误! D.错误!7．在区域错误!内任取一点x2＋y2＝1内的概率为( ）A.错误!B。

错误!C.错误!D.错误!8．将一个质点随机投放在关于x，y的不等式组错误!所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是（)A.错误!B.错误!C．1－错误!D．1－错误!9．从1,3,5,7这四个数中随机地取出两个数组成一个两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率为________．10．设a,b随机取自集合{1，2,3}，则直线ax＋by＋3＝0与圆x2＋y2＝1有公共点的概率是________．11．6名外语翻译者中有4人会英语，另外2人会俄语．现从中抽出2人，则抽到英语,俄语翻译者各1人的概率等于________．12．从边长为1的正方形的中心和四个顶点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离是错误!的概率为________．13．已知f（x）＝错误!，在区间[2，3］上任取一点x0，使得f′(x0）〉0的概率为________．14．连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，若记向量a＝(m，n)与向量b＝（1，－2）的夹角为θ，则θ为锐角的概率是________．15．在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三个小球．现从这个盒子中，有放回地先后抽得两个小球的标号分别为x，y，设O为坐标原点，M的坐标为(x－2,x－y)．（1)求|错误!｜2的所有取值之和；（2)求事件“|错误!｜2取得最大值”的概率．16．公安部交管局修改后的酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车"和“醉酒驾车”,其判断标准是驾驶人员每100毫升血液中的酒精含量X毫克，当20≤X<80时，认定为酒后驾车；当X≥80时,认定为醉酒驾车，重庆市公安局交通管理部门在对G42高速路我市路段的一次随机拦查行动中，依法检测了200辆机动车驾驶员的每100毫升血液中的酒精含量，酒精含量X（单位：毫克）的统计结果如下表：（1)求t的值；（2)从酒后违法驾车的司机中随机抽取2人，求这2人中含有醉酒驾车司机的概率．专题限时集训（十六）1．C ［解析] 当m＝n时，(m＋ni)2是纯虚数，所以其概率为错误!.2．C ［解析] 后一个正方形的面积是前一个的12，故第四个正方形的面积是第一个正方形面积的错误!。

2014高考数学理复习二轮作业手册(新课标·通用版)专题限时集：第5讲函数与方程、函数模型及其应用

专题限时集训(五)[第5讲函数与方程、函数模型及其应用](时间：45分钟)1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点是( )A ．x ＝0或x ＝12B ．x ＝－2或x ＝0C ．x ＝12D ．x ＝02．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)，一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )A ．36万件B ．18万件C ．22万件D ．9万件3．已知函数f (x )＝e |x |＋|x |.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，－1)4．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则a 的取值范围是( ) A ．(－2，2) B ．[－2，2] C ．(2，＋∞) D ．(－∞，2)5．设函数f (x )＝13x －ln x ，则y ＝f (x )( )A ．在区间1e ，1，(1，e)内均有零点B ．在区间1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点6．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12（x ＋1），x ∈[0，1），1－|x －3|，x ∈[1，＋∞），则关于x 的函数F (x )＝f (x )－a (0<a <1)的所有零点之和为( )A ．1－2aB ．2a－1C ．1－2－aD ．2－a－17．当a >0时，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x的图像大致是( )图X5－18．已知函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数．若关于x 的方程f (x )＝kx ＋k 有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．－1，－12∪14，13B ．－1，－12∪14，13C ．－13，－14∪12，1D ．－13，－14∪12，19．若x 1，x 2是函数f (x )＝x 2＋mx －2(m ∈R )的两个零点，且x 1<x 2，则x 2－x 1的最小值是________．10．定义：如果函数y ＝f (x )在定义域内给定的区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f （b ）－f （a ）b －a，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点．如y ＝x 4是[－1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1，1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________．11．函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝f (x )．当x ∈[0，1]时，f (x )＝2x .若在区间[－2，3]上方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．12．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝e x－ax ，若函数在R 上有且仅有4个零点，则a 的取值范围是________．13.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋1，x ≥a ，4x －4×2x －a，x <a . (1)若x <a 时，f (x )<1恒成立，求a 的取值范围；(2)若a ≥－4时，函数f (x )在实数集R 上有最小值，求实数a 的取值范围．14．某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品．根据经验知道，每台机器产生的次品数P (万件)与每台机器的日产量x (万件)(4≤x ≤12)之间满足关系：P ＝0.1x 2－3.2ln x ＋3.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元．(利润＝盈利－亏损)(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y (万元)表示为x 的函数；(2)当每台机器的日产量x (万件)为多少时所获得的利润最大？最大利润为多少？15．已知函数f (x )＝ln(e x＋a ＋1)(a 为常数)是实数集R 上的奇函数，函数g (x )＝λf (x )＋sin x 在区间[－1，1]上是减函数．(1)若g (x )≤λt －1在x ∈[－1，1]上恒成立，求实数t 的最大值；(2)若关于x 的方程ln x f （x ）＝x 2－2e x ＋m 有且只有一个实数根，求m 的值．专题限时集训(五)1．D [解析] 当x ≤1时，2x－1＝0，解得x ＝0；当x >1时，1＋log 2x ＝0，解得x ＝12(舍去)．故函数f (x )的零点是x ＝0.2．B [解析] 利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．故选B.3．B [解析] 函数f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝e x＋x 单调递增，故在[0，＋∞)上函数f (x )的最小值为f (0)＝1，故函数f (x )在R 上的最小值为1.若方程f (x )＝k 有两个不同的实数根，则k >1.4．A [解析] 令f ′(x )＝3x 2－3＝0，解得x ＝±1，且x ＝－1为函数f (x )的极大值点，x ＝1为函数f (x )的极小值点．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则实数a 同时满足f (－1)＝2＋a >0，f (1)＝－2＋a <0，解得－2<a <2，即实数a 的取值范围是(－2，2)．5．D [解析] 函数图像是连续的，且f ′(x )＝13－1x ＝x －33x，当x ∈(0，e)时，f ′(x )<0，故函数f (x )在区间(0，e)内单调递减．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13e－ln 1e >0，f (1)＝13>0，f (e)＝13e －ln e<0，所以函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点． 6．A [解析] 画出函数f (x )的图像．当0<a <1时，直线y ＝a 与函数y ＝f (x )图像交点的横坐标即为函数F (x )的零点，根据图像可得两个函数图像共有五个交点，其中两个交点关于直线x ＝3对称，两个交点关于直线x ＝－3对称，这四个交点的横坐标之和为零，第五个交点的横坐标x 满足－log 12(－x ＋1)＝a ，即log 2(－x ＋1)＝a ，解得x ＝1－2a.7．B [解析] f ′(x )＝(x 2－2ax ＋2x －2a )e x ，由于方程x 2－2ax ＋2x －2a ＝0的判别式Δ＝4a 2＋4>0，且－2a <0，故方程x 2－2ax ＋2x －2a ＝0有两个不相等的异号实数根x 1，x 2(设x 1<x 2)，则f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减．函数f (x )为非奇非偶函数，故为选项B 中的图像．8．B [解析] 当0≤x <1时，f (x )＝x ，又f (x ＋1)＝(x ＋1)－[x ＋1]＝x －[x ]＝f (x )，故函数f (x )是以1为周期的周期函数．在同一坐标系中，分别作出函数y ＝f (x )，y ＝kx ＋k 的图像，可知当方程f (x )＝kx ＋k 有三个不同的实根时，k 满足3k ＋k ≥1且2k ＋k <1，或者－3k ＋k ≥1且－2k ＋k <1，解得14≤k <13或－1<k ≤－12.9．2 2 [解析] 由于Δ＝m 2＋8>0，故函数f (x )一定有两个不同的零点，又－2<0，所以两个零点异号，故x 2>0，x 1<0，所以x 2－x 1＝x 2＋(－x 1)≥2 －x 1x 2＝2 2或x 2－x 1＝（x 2＋x 1）2－4x 1x 2＝m 2＋8≥2 2.10．(0，2) [解析] 因为函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1，1]上的平均值函数，且f （1）－f （－1）1－（－1）＝m ，所以关于x 的方程－x 2＋mx ＋1＝m ，即x 2－mx ＋m －1＝0在(－1，1)内有实数根，若m ＝0，方程无解，所以m ≠0，解得方程的根为x 1＝1或x 2＝m －1.所以必有－1<m －1<1，即0<m <2，所以实数m 的取值范围是(0，2)．11.⎝ ⎛⎭⎪⎫25，23 [解析] 根据偶函数和周期性把函数拓展到[－2，3]，其图像如图所示．直线y ＝ax ＋2a 过定点(－2，0)，在区间[－2，3]上方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根，等价于直线y ＝ax ＋2a 与函数y ＝f (x )的图像有四个不同的公共点，结合图形可得实数a满足不等式3a ＋2a >2，且a ＋2a <2，即25<a <23.12．(e ，＋∞) [解析] 由于函数是偶函数，当＝()有且只有4个零点时，0一定不能是函数的零点，且在x >0时有且仅有2个不同的零点，即方程e x－ax ＝0有两个正实根．方法一：(分离参数，构造函数的方法)a ＝e x x ＝φ(x )，则φ′(x )＝x －1x2e x，可得x ＝1为函数φ(x )在(0，＋∞)上唯一的极小值点，也是最小值点，φ(x )min ＝φ(1)＝e ，且在x >0且x →0时，φ(x )→＋∞.故只要a >e 即可，故a 的取值范围是(e ，＋∞)．方法二：(数形结合的切线法)在同一坐标系中分别作出函数y ＝e x，y ＝ax 在(0，＋∞)的图像，可知当直线y ＝ax 与曲线y ＝e x相切时两个函数图像有唯一的公共点；当直线y ＝ax的斜率大于曲线y ＝e x过坐标原点的切线的斜率时，两曲线有两个不同的公共点．设切点坐标为(x 0，e x 0)，则在该点处的切线方程为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)，该直线过坐标原点时，－e x 0＝－x 0e x 0，解得x 0＝1，此时切线斜率为e ，故a 的取值范围是(e ，＋∞)．13．解：(1)因为x <a 时，f (x )＝4x －4×2x －a ，所以令t ＝2x ，则有0<t <2a.f (x )<1当x <a 时恒成立，转化为t 2－4×t2a <1，即42a >t －1t在t ∈(0，2a)上恒成立．令p (t )＝t －1t ，t ∈(0，2a )，则p ′(t )＝1＋1t 2>0，所以p (t )＝t －1t在(0，2a)上单调递增，所以42a ≥2a －12a ，所以2a≤5，解得a ≤log 2 5.(2)①当x ≥a 时，f (x )＝x 2－ax ＋1，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋1－a 24.(i)当a2≤a ，即a ≥0时，f (x )min ＝f (a )＝1；(ii)当a2>a ，即－4≤a <0时，f min (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝1－a 24.②当x <a 时，f (x )＝4x－4×2x －a.令t ＝2x，t ∈(0，2a)，设h (t )＝t 2－42a t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －22a 2－44a .(i)当22a <2a ，即a >12时，h min (t )＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ＝－44a ； (ii)当22a ≥2a ，即a ≤12时，h (t )在开区间t ∈(0，2a )上单调递减，h (t )∈(4a－4，0)，无最小值．综合①，②知当a >12时，1>－44a ，函数f (x )min ＝－44a ；当0≤a ≤12时，4a－4<0<1，函数f (x )无最小值；当－4≤a <0时，4a－4<－3≤1－a 24，函数f (x )无最小值．故当a >12时，函数f (x )有最小值为－44a .14．解：(1)由题意得，所获得的利润为y ＝10·[2(x －P )－P ] ＝10(2x －3P ) ＝20x －30P＝20x －3x 2＋96ln x －90(4≤x ≤12)． (2)由(1)知y ′＝20－6x ＋96x ＝－6x 2＋20x ＋96x＝－2（3x 2－10x －48）x ＝－2（3x ＋8）（x －6）x.令y ′＝0，可得x ＝6或x ＝－83.从而当4≤x ≤6时，y ′>0，函数在[4，6]上为增函数；当6<x ≤12时，y ′<0，函数在(6，12]上为减函数．所以当x ＝6时，函数取得极大值，也为[4，12]上的最大值．即当x ＝6时，获得最大利润，最大利润为y max ＝20×6－3×62＋96ln 6－90＝(96ln 6－78)万元，所以当每台机器日产量为6万件时，可以获得最大利润，为(96ln 6－78)万元．15．解：(1)∵f (x )＝ln(e x＋a ＋1)是实数集R 上的奇函数，∴f (0)＝0，即ln(e 0＋a ＋1)＝0⇒2＋a ＝1⇒a ＝－1，将a ＝－1代入，则f (x )＝ln e x＝x ，显然为奇函数．∴g (x )＝λf (x )＋sin x ＝λx ＋sin x ，∴g ′(x )＝λ＋cos x ，x ∈[－1，1]．要使g (x )是区间[－1，1]上的减函数，则有g ′(x )≤0在x ∈[－1，1]恒成立， ∴λ≤(－cos x )min ，所以λ≤－1.要使g (x )≤λt －1在x ∈[－1，1]上恒成立，只需g (x )max＝g (－1)＝－λ－sin 1≤λt －1在λ≤－1时恒成立即可，即(t ＋1)λ＋sin 1－1≥0(其中λ≤－1)恒成立即可．令h (λ)＝(t ＋1)λ＋sin 1－1(λ≤－1)，则⎩⎪⎨⎪⎧t ＋1≤0，h （－1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧t ＋1≤0，－t －2＋sin 1≥0，∴t ≤sin 1－2，所以实数t 的最大值为sin 1－2.(2)由(1)知方程ln x f （x ）＝x 2－2e x ＋m ，即ln x x ＝x 2－2e x ＋m ，令f 1(x )＝ln x x，f 2(x )＝x 2－2e x ＋m ，∵f ′1(x )＝1－ln x x2， ∴当x ∈(0，e)时，f ′1(x )>0，f 1(x )在(0，e)上为增函数；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′1(x )<0，f 1(x )在(e ，＋∞)上为减函数．当x ＝e 时，f 1(x )max ＝1e.而f 2(x )＝x 2－2e x ＋m ＝(x －e)2＋m －e 2，当x ∈(0，e)时，f 2(x )是减函数；当x ∈(e ，＋∞)时，f 2(x )是增函数．当x ＝e 时，f 2(x )min ＝m －e 2.只有当m －e 2＝1e ，即m ＝e 2＋1e 时，方程有且只有一个实数根．。

(通用版)(新课标)2014高考数学二轮复习作业手册专题限时集第1A讲集合与常用逻辑用语、复数

专题限时集训(一)A[第1讲集合与常用逻辑用语、复数](时间：30分钟)1．已知集合A ＝{x |x 2－4x －5＝0}A ∩B ＝( )A ．{1}B ．{1，－1，5}C ．{－1}D ．{1，－1，－5}2．设集合U ＝{0，1，2，3，4，5}，A ＝{1，2}，B ＝{x ∈Z |x 2－5x ＋4<0}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{0，1，2，3}B ．{5}C ．{1，2，4}D ．{0，4，5}3．下列有关命题的说法中，正确的是( )A ．命题“若x 2>1，则x >1”的否命题为“若x 2>1，则x ≤1”B ．命题“若α>β，则tan α>tan β”的逆命题为真命题C ．命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0”D ．“x >1”是“x 2＋x －2>0”的充分不必要条件4．若复数z 满足z ＝(z －1)·i ，则复数z 的模为( )A ．1 B.22 C. 2 D ．25．命题“∀x ∈[1，2]，x 2－a ( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤56．若复数z ＝1＋i 1－i2013，则ln|z |＝( ) A ．－2 B ．0C ．1D ．47．设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{2，4，6}，B ＝{2，3，5}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．{3，5}B ．{4，6}C ．{1，2，3，4，5}D ．{1，2，4，6}8．已知a ，b 均为正实数，若复数z ＝(a ＋i)(b ＋i)为纯虚数，则复数z 虚部的最小值为( )A ．1B ．iC ．2D ．2i9．给出下列四个命题：①∀α∈R ，sin α＋cos α>－1；②∃α0∈R ，sin α0＋cos α0＝32；③∀α∈R ，sin αcos α≤12；④∃α0∈R ，sin α0cos α0＝34. 其中正确命题的序号是( )A ．①②B ．①③C ．③④D ．②④10．已知命题p ：双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的离心率为2，命题q ：椭圆x 2b2＋y 2＝1(b >0)的离心率为32，则q 是p 的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件11．复数z 满足z ＝2－i 1－i，则z 等于( ) A ．1＋3iB ．3－i C.32－12i D.32＋12i 12．命题p ：函数f (x )＝a x －2(a >0且a ≠1)的图像恒过点(0，－2)，命题q ：函数f (x )＝lg|x |(x ≠0)有两个零点，则下列说法正确的是( )A ．“p 或q ”是真命题B ．“p 且q ”是真命题C ．綈p 为假命题D ．綈q 为真命题13．集合{－1，0，1，2}的非空真子集的个数是________．14．下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题： ①|z |＝2；②z 2＝2i ；③z 的共轭复数为1＋i ；④z 的虚部为－1.其中所有真命题的序号是________．专题限时集训(一)A1．C [解析] 因为A ＝{x|x 2－4x －5＝0}＝{－1，5}，B ＝{1，－1}，所以A∩B＝{－1}．2．D [解析] 因为不等式x 2－5x ＋4<0的解是1<x<4，x 为整数，所以集合B ＝{2，3}，A∪B＝{1，2，3}，故∁U (A ∪B)＝{0，4，5}．3．D [解析] 命题“若x 2>1，则x>1”的否命题为“若x 2≤1，则x≤1”，选项A 中的说法不正确．命题“若α>β，则tan α>tan β”的逆命题是“若tan α>tan β，则α>β”，根据正切函数的性质，这个说法不正确．命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0”的否定是“∀x∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0”，选项C 中的说法不正确．不等式x 2＋x －2>0的解是x <－2或x >1，故x >1时，不等式x 2＋x －2>0一定成立，反之不真，所以“x >1”是“x 2＋x －2>0”的充分不必要条件，选项D 中的说法正确．4．B [解析] 因为z ＝(z －1)i ，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，所以a ＋b i ＝(a ＋b i －1)i ，即a ＋b i ＝－b ＋(a －1)i ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－b ，a －1＝b ，，解得a ＝12，b ＝－12，所以z ＝12－12i.故复数z 的模为|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22. 5．C [解析] 满足命题“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≤0”为真命题的实数a 即为不等式x 2－a ≤0在[]1，2上恒成立的a 的取值X 围，即a ≥x 2在[]1，2上恒成立，即a ≥4，要求的是充分不必要条件，因此选项中满足a >4的即为所求，选项C 符合要求．6．B [解析] 由1＋i 1－i＝i ，得z ＝i 2013＝i ，|z |＝1，所以ln |z |＝0. 7．A [解析] 由A ＝{2，4，6}，得∁U A ＝{1，3，5}，所以(∁U A )∩B ＝{3，5}．8．C [解析] z ＝(a ＋i)(b ＋i)为纯虚数⇔ab ＝1，z 的虚部为a ＋b ≥2 ab ＝2.9．C [解析] 由于sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4∈[－2，2]，故命题①②均是假命题；由于sin αcos α＝12sin 2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，12，34∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，所以命题③④都是真命题．10．C [解析] 由双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的离心率为2，可得b ＝2；当椭圆x 2b2＋y 2＝1(b >0)的离心率为32时，可得b ＝2或b ＝12.所以q 是p 的必要不充分条件． 11．C [解析] 因为z ＝2－i 1－i ＝（2－i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝3＋i 2＝32＋12i ，所以z ＝32－12i. 12．A [解析] 因为函数y ＝a x 的图像恒过定点(0，1)，所以函数f (x )＝a x －2的图像恒过定点(0，－1)，因此命题p 为假命题；由f (x )＝lg |x |＝0得x ＝±1，所以函数f (x )＝lg|x |(x ≠0)有两个零点，因此命题q 为真命题．所以“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，綈p 为真命题，綈q 为假命题，故选A.13．14 [解析] 集合共有4个元素，故非空真子集的个数为24－2＝14.14．②④ [解析] 因为z ＝2－1＋i ＝2（－1－i ）2＝－1－i ，所以|z |＝2，z 2＝2i ，z ＝－1＋i ，z 的虚部为－1.故命题②④为真命题．。

2014高考数学(文)新课标大二轮专题复习与测试课件

如图所示，正三棱柱A1B1C1－ABC中，点D是BC的中点，BC＝ 2BB1，设B1D∩BC1＝F.求证： (1A1C∥平面AB1D； (2BC1⊥平面AB1D. 工具大二轮专题复习与测试·数学文科第一部分专题四栏目导引
证明： (1连接A1B，设A1B与AB1交于E，连接DE. ∵点D是BC中点，点E是A1B中点，∴DE∥A1C，∵A1C⊄平面AB1D， DE⊂平面AB1D，
∴A1C∥平面AB1D. (2∵△ABC是正三角形，点D是BC的中点，∴AD⊥BC. ∵平面ABC⊥平面B1BCC1，平面ABC∩平面B1BCC1＝BC，AD⊂平面ABC，
∴AD⊥平面B1BCC1，∵BC1⊂平面B1BCC1，∴AD⊥BC1. 工具大二轮专题复习与测试·数学文科第一部分专题四栏目导引
2 ∵点D是BC的中点，BC＝ 2BB1，∴BD＝ 2 BB1. 2 BD CC1 ∵BB ＝ BC ＝ 2 ，∴Rt△B1BD∽Rt△BCC1. 1 ∴∠BDB1＝∠BC1C. ∴∠FBD＋∠BDF＝
∠C1BC＋∠BC1C＝90° . ∴BC1⊥B1D.因为B1D∩AD＝D，∴BC1⊥平面AB1D. 工具大二轮专题复习与测试·数学文科第一部分专题四栏目导引
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2014版高考数学(文科)(全国通用版)二轮复习(审题+解题+回扣+专练)word版第一篇

审题是解题的开端，深入细致的审题是成功解题的必要前提．著名数学教育家波利亚说，“最糟糕的情况就是学生没有弄清问题就进行演算和作图．”为此波利亚总结出一张“怎样解题表”，将解题的过程分为四个阶段．其中第一步弄清问题就是我们常说的审题．审题就是多角度地观察，由表及里，由条件到结论，由数式到图形，洞察问题实质，选择正确的解题方向．事实上，很多考生往往对审题掉以轻心，或不知从何处入手进行审题，致使解题失误而丢分，真是令人痛心不已．本讲结合实例，教你正确的审题方法，给你制订一条“审题路线图”，破解高考不再难．一审条件挖隐含任何一个数学问题都是由条件和结论两部分构成的．条件是解题的主要素材，充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路．条件有明示的，有隐含的，审视条件更重要的是要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含的信息，发挥隐含条件的解题功能．例1已知0≤α<β<γ<2π，且sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，求β－α.审题路线图条件sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0根据审题路线图，可以规范地将题目解出．解由已知得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝－sin γ， ①cos α＋cos β＝－cos γ， ②①2＋②2得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，故cos(β－α)＝－12.由0≤α<β<γ<2π，知0<β－α<2π，所以β－α＝2π3或β－α＝4π3. 同理可得cos(γ－α)＝－12，0<γ－α<2π，所以γ－α＝2π3或γ－α＝4π3.由于β<γ，得β－α<γ－α，所以β－α取小值，γ－α取大值，即β－α＝2π3.设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于 ( )A.2525B.255C.2525或255D.55或525答案 A解析依题意得sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45.又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)．因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.故选A.二审结论会转换问题解决的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误．因而解决问题时的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的．审视结论，就是在结论的启发下，探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律．善于从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠近条件，从而发现和确定解题方向．例2 已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，A 、B 是抛物线C 上异于坐标原点O 的不同两点，抛物线C 在点A ，B 处的切线分别为l 1，l 2，且l 1⊥l 2，l 1与l 2相交于点D . (1)求点D 的纵坐标； (2)证明：直线AB 过定点．审题路线图通过审视结论，我们画出了审题路线图，根据审题路线图，即可规范求解． (1)解如图，设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． ∵l 1，l 2分别是抛物线C 在点A ，B 处的切线， ∴直线l 1的斜率k 1＝y ′|x ＝x 1＝x 1p ，直线l 2的斜率k 2＝y ′|x ＝x 2＝x 2p .∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，得x 1x 2＝－p 2.∵A ，B 是抛物线C 上的点，∴y 1＝x 212p ，y 2＝x 222p.∴直线l 1的方程为y －x 212p ＝x 1p(x －x 1)，直线l 2的方程为y －x 222p ＝x 2p(x －x 2)．由⎩⎨⎧y －x 212p ＝x 1p(x －x 1)y －x 222p ＝x2p (x －x 2)，解得⎩⎨⎧x ＝x 1＋x22y ＝－p2.∴点D 的纵坐标为－p2.(2)证明 ∵F 为抛物线C 的焦点，∴F ⎝⎛⎭⎫0，p 2. ∴AF →＝⎝⎛⎭⎫－x 1，p 2－x 212p ＝⎝⎛⎭⎫－x 1，p 2－x 212p ， BF →＝⎝⎛⎭⎫－x 2，p 2－x 222p ＝⎝⎛⎭⎫－x 2，p 2－x 222p .∵p 2－x 212p p 2－x 222p ＝p 2－x 21p 2－x 22＝－x 1x 2－x 21－x 1x 2－x 22＝x 1x 2， ∴AF →∥BF →，即直线AB 过定点F.已知椭圆x 22＋y 24＝1的上、下焦点分别为F 1、F 2，点P 在第一象限且是椭圆上一点，并满足PF 1→·PF 2→＝1，过P 作倾斜角互补的两条直线P A 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点．(1)求证：直线AB 的斜率为定值；(2)求△P AB 面积的最大值．(1)证明由条件可得F 1(0，2)，F 2(0，－2)，设P (x 0，y 0) (x 0>0，y 0>0)，则PF 1→＝(－x 0，2－y 0)，PF 2→＝(－x 0，－2－y 0)，所以PF 1→·PF 2→＝x 20－(2－y 20)＝1，又点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 202＋y 204＝1，所以x 20＝4－y 22，从而4－y 202－(2－y 20)＝1，得y 0＝ 2.则点P 的坐标为(1，2)．因为直线P A 、PB 的斜率必存在，故不妨设直线PB 的斜率为k (k >0)，则直线PB 的方程为y －2＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x －1)x 22＋y 24＝1，消去y ，得(2＋k 2)x 2＋2k (2－k )x ＋(2－k )2－4＝0，设B (x B ，y B )，A (x A ，y A )，则1＋x B ＝2k (k －2)2＋k 2，x B ＝2k (k －2)2＋k 2－1＝k 2－22k －22＋k 2，同理可得x A ＝k 2＋22k －22＋k 2，则x A －x B ＝42k2＋k 2，y A －y B ＝－k (x A －1)－k (x B －1)＝8k2＋k 2.所以直线AB 的斜率k AB ＝y A －y Bx A －x B＝2为定值． (2)解由(1)可设直线AB 的方程为y ＝2x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m x 22＋y 24＝1，消去y ，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0，由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)>0，得m 2<8，即－22<m <22，又点P 到直线AB 的距离为d ＝|m |3，则S △P AB ＝12|AB |d ＝121＋2|x A －x B |d＝12⎝⎛⎭⎫4－12m 2×3×|m |3＝18m 2(－m 2＋8)≤18⎝⎛⎭⎫m 2－m 2＋822＝ 2.当且仅当m ＝±2时取等号．所以△P AB 面积的最大值为 2. 三审图形抓特点在不少数学高考试题中，问题的条件往往是以图形的形式给出，或将条件隐含在图形之中，因此在审题时，要善于观察图形，洞悉图形所隐含的特殊的关系、数值的特点、变化的趋势．抓住图形的特征，运用数形结合的数学思想方法，是破解考题的关键．例3 给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中 x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是______．审题路线图〈观察方向一〉〈观察方向二〉〈观察方向三〉解析建立如图所示的坐标系，则A (1,0)，B (cos 120°，sin 120°)，即B (－12，32)．设∠AOC ＝α，则OC →＝(cos α，sin α)． ∵OC →＝xOA →＋yOB →＝(x,0)＋⎝⎛⎭⎫－y 2，32y ＝(cos α，sin α)．∴⎩⎨⎧x －y2＝cos α，32y ＝sin α.∴⎩⎨⎧x ＝sin α3＋cos α，y ＝2sin α3，∴x ＋y ＝3sin α＋cos α＝2sin(α＋30°)． ∵0°≤α≤120°，∴30°≤α＋30°≤150°. ∴x ＋y 有最大值2，当α＝60°时取最大值．答案 2点评从上面三种审题角度看，认真审图，抓住图形特征，解题又快又准，所以观察方向三值得考虑．如图是半径为2，圆心角为90°的直角扇形OAB ，Q 为AB 上一点，点P 在扇形内(含边界)，且OP →＝tOA →＋(1－t )OB →(0≤t ≤1)，则OP →·OQ → 的最大值为________．答案 4解析 ∵OP →＝tOA →＋(1－t )OB →， ∴B ，P ，A 三点共线，∴BP →＝tBA →，又0≤t ≤1，∴P 在线段BA 上运动． ∵Q 为AB 上一点，设∠POQ ＝θ，∴OP →·OQ →＝|OP →||OQ →|cos θ＝2|OP →|cos θ≤2|OP →|≤2×2＝4，即当P ，Q 重合且位于A 或B 处时，OP →·OQ →取得最大值4. 四审结构定方案数学问题中的条件和结论，很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的．在这些问题的数式结构中，往往都隐含着某种特殊关系，认真审视数式的结构特征，对数式结构进行深入分析，加工转化，可以寻找到突破问题的方案．例4 在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan C tan B的值是________．审题路线图〈观察方向一〉〈观察方向二〉解析由b a ＋ab ＝6cos C ，得b 2＋a 2＝6ab cos C .化简整理得2(a 2＋b 2)＝3c 2，将tan C tan A ＋tan Ctan B 切化弦，得sin C cos C ·(cos A sin A ＋cos Bsin B ) ＝sin C cos C ·sin (A ＋B )sin A sin B ＝sin C cos C ·sin Csin A sin B＝sin 2Ccos C sin A sin B . 根据正、余弦定理得 sin 2Ccos C sin A sin B＝c 2ab ·a 2＋b 2－c 22ab＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝2c 232c 2－c 2＝4. 答案 4点评观察方向二从数式的特点出发，选择特殊化方法，这种解题方案往往会达到令人非常满意的效果．已知O 是锐角△ABC 的外接圆的圆心，且∠A ＝θ，若cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝2mAO →，则m ＝________(用θ的三角函数表示)．答案 sin θ解析方法一设AB ＝c ，AC ＝b ，AO ＝R ，将等式cos B sin C ·AB →＋cos C sin B·AC →＝2mAO →两边平方，得cos 2B ·⎝⎛⎭⎫c sin C 2＋cos 2C ·⎝⎛⎭⎫b sin B 2＋2cos B cos C ·c sin C ·b sin B·cos θ＝4m 2R 2. 设△ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理，得 cos 2B ＋cos 2C ＋2cos B cos C cos θ＝m 2.降幂，得1＋12cos 2B ＋12cos 2C ＋2cos B cos C cos θ＝m 2，则m 2＝1＋12cos[(B ＋C )＋(B －C )]＋12cos[(B ＋C )－(B －C )]＋2cos B cos C cos θ，将上式右边展开并化简，得m 2＝1＋cos θcos(B ＋C )＝1－cos 2θ＝sin 2θ. 注意到m >0，可知m ＝sin θ.方法二设AB ＝c ，AC ＝b ，AO ＝R ， ∠BAO ＝α，∠CAO ＝β. 等式cos B sin C ·AB →＋cos C sin B ·AC →＝2mAO →两边同时乘以AO →，得cos B sin C ·cR cos α＋cos Csin B·bR cos β＝2mR 2，由正弦定理及cos α＝c2R＝sin C ，cos β＝b2R ＝sin B ，得cos B sin C ＋cos C sin B ＝m ，所以m ＝sin(C ＋B )＝sin θ.方法三设A ＝B ＝C ＝θ＝60°，AB ＝AC ＝1，则AB →＋AC →＝23mAO →，上式两边平方，得1＋1＋1＝4m 2，注意到m >0，所以m ＝32＝sin 60°＝sin θ. 五审图表、数据找规律题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，往往也暗示着解决问题的目标和方向．在审题时，要认真观察分析图表、数据的特征和规律，常常可以找到解决问题的思路和方法．例5 (2012·湖南)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率) 审题路线图解 (1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为 1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2，A 3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得 P (A 1)＝15100＝320，P (A 2)＝30100＝310，P (A 3)＝25100＝14.因为A ＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3是互斥事件，所以P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3) ＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3) ＝320＋310＋14＝710. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图：(1)求出表中的M 、p (2)若该校高一年级有学生360人，试估计他们参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数；(3)在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[20,25)内的概率．解 (1)由区间[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，10M＝0.25，所以M ＝40. 因为频数之和为40，所以10＋25＋m ＋2＝40，解得m ＝3，p ＝m M ＝340，n ＝2540＝0.625.因为a 是区间[15,20)内的频率组距，所以a ＝n5＝0.125.(2)参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数约为360×0.625＝225.(3)在样本中，在区间[20,25)内的人数为3，可分别记为A ，B ，C ，在区间[25,30)内的人数为2，可分别记为a ，b .从该5名同学中取出2人的取法有(A ，a )，(A ，b )，(B ，a )，(B ，b )，(C ，a )，(C ，b )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(a ，b )，共10种，至多一人在区间[20,25)内的情况有(A ，a )，(A ，b )，(B ，a )，(B ，b )，(C ，a )，(C ，b )，(a ，b )，共7种，所以至多一人参加社区服务次数在区间[20,25)内的概率为710.六审细节更完善审题不仅要从宏观上、整体上去分析、去把握，还要更加注意审视一些细节上的问题．例如括号内的标注、数据的范围、图象的特点等．因为标注、范围大多是对数学概念、公式、定理中所涉及的一些量或解析式的限制条件．审视细节能适时地利用相关量的约束条件，调整解决问题的方向．所以说重视审视细节，更能体现审题的深刻性．例6 各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝14a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a n ；(2)令b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n， n 为奇数，b n 2， n 为偶数，c n ＝b 2n ＋4 (n ∈N *)，求{c n }的前n 项和T n .审题路线图解 (1)a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1⇒14a 21－12a 1＝0，因为a 1>0，故a 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝14a 2n ＋12a n －14a 2n －1－12a n －1，所以14(a 2n －a 2n －1)－12(a n ＋a n －1)＝0，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.因为a n >0，所以a n －a n －1＝2，即{a n }为等差数列，所以a n ＝2n (n ∈N *)．(2)c 1＝b 6＝b 3＝a 3＝6，c 2＝b 8＝b 4＝b 2＝b 1＝a 1＝2， n ≥3时，c n ＝b 2n ＋4＝b 2n －1＋2＝b 2n －2＋1＝a 2n －2＋1＝2n －1＋2，此时，T n ＝8＋(22＋2)＋(23＋2)＋…＋(2n －1＋2)＝2n ＋2n ；当n ＝2时，T 2＝22＋2×2＝8＝c 1＋c 2.所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6， n ＝1，2n ＋2n ， n ≥2且n ∈N *.点评从审题路线图可以看出，细节对思维的方向不断地修正着．已知数列{a n }的首项a 1＝t >0，a n ＋1＝3a n2a n ＋1，n ＝1,2，….(1)若t ＝35，求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等比数列，并求出{a n }的通项公式；(2)若a n ＋1>a n 对一切n ∈N *都成立，求t 的取值范围．(1)证明由题意知a n >0，1a n ＋1＝2a n ＋13a n ＝13a n ＋23，1a n ＋1－1＝13⎝⎛⎭⎫1a n －1，由于a 1＝t ＝35，所以1a 1－1＝23.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为23，公比为13的等比数列，1a n －1＝23⎝⎛⎭⎫13n －1＝23n ，所以a n ＝3n 3n ＋2.(2)解由(1)知1a n ＋1－1＝13⎝⎛⎭⎫1a n－1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1的通项为1a n －1＝⎝⎛⎭⎫1t －1⎝⎛⎭⎫13n －1，由a 1>0，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1知a n >0，又a n ＋1>a n ，得1a n ＋1<1a n.即⎝⎛⎭⎫1t －1⎝⎛⎭⎫13n ＋1<⎝⎛⎭⎫1t －1⎝⎛⎭⎫13n －1＋1，得1t －1>0，又t >0，所以t 的取值范围是(0,1)．1．解题先审题，养成认真审题，缜密思考的良好习惯．2．审题要慢要细，要谨慎思考：(1)全部的条件和结论；(2)必要的图形和图表；(3)数学式子和数学符号．要善于捕捉题目中的有效信息，要有较强的洞察力和显化隐含条件的能力．要制订和用好审题路线图．3．审题路线图：一审条件挖隐含→二审结论会转换→三审图形抓特点→四审结构定方案→五审图表、数据找规律→六审细节更完善.。

2014高考数学文复习方案-二轮作业手册专题综合训练(三)-专题三-三角函数、三角恒等变换与解三角形

2014高考数学文复习方案-二轮作业手册专题综合训练(三)-专题三-三角函数、三角恒等变换与解三角形-(1)D(1) 圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．(2) 判断两圆位置关系的方法两圆(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 12(r 1>0)与(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)的圆心距为d ，则d>r 1＋r 2两圆外离；d ＝r 1＋r 2两圆外切；|r 1－r 2|<d<r 1＋r 2两圆相交；d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 两圆内切；0≤d<|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 两圆内含(d ＝0时为同心圆).题型1 直线与圆的位置关系例1 已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R)．(1) 求证：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒交于两点；(2) 求直线被圆C 截得的弦长最小时直线l 的方程．(1) 证明：直线l 的方程整理得(x ＋y －4)＋m(2x ＋y －7)＝0，∵ m ∈R ，∴ ⎩⎨⎧2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，也就是直线l 恒过定点A(3，1)．由于|AC|＝5<5(半径)，∴ 点A(3，1)在圆C 内，故直线l 与圆C 恒交于两点．(2) 解：弦长最小时，直线l ⊥AC ，而k AC ＝－12，故此时直线l 的方程为2x －y －5＝0. 变式训练已知圆x 2＋y 2－6mx －2(m －1)y ＋10m 2－2m －24＝0(m ∈R)．(1) 求证：不论m 取什么值，圆心在同一直线l 上；(2) 与l 平行的直线中，哪些与圆相交，相切，相离．(1) 证明：配方得(x －3m)2＋[y －(m －1)]2＝25.设圆心为(x ，y)，则⎩⎨⎧x ＝3m ，y ＝m －1，消去m ，得x －3y －3＝0.故不论m 取什么值，圆心在同一直线l ：x －3y －3＝0上．(2) 解：设与l 平行的直线为n ：x －3y ＋b ＝0，则圆心到直线l 的距离d ＝|3m －3（m －1）＋b|10＝|3＋b|10，由于圆的半径r ＝5，∴ 当d<r ，即－510－3<b<510－3时，直线与圆相交；当d ＝r ，即b ＝±510－3时，直线与圆相切；当d>r ，即b<－510－3或b>510－3时，直线与圆相离．题型2 直线与圆相交的弦的问题例2 已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，一动直线l 过A(－1，0)与圆C 相交于P 、Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线m ：x ＋3y ＋6＝0相交于N.(1) 求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ；(2) 当PQ ＝23时，求直线l 的方程；(3) 探索AM→·AN →是否与直线l 的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．(1) 证明：∵ l 与m 垂直，且k m ＝－13， ∴ k l ＝3.又k AC ＝3，所以当l 与m 垂直时，l 的方程为y ＝3(x ＋1)，l 必过圆心C.(2) 解：①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意．②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.因为PQ ＝2 3，所以CM ＝4－3＝1，则由CM ＝|－k ＋3|k 2＋1＝1，得k ＝43，∴ 直线l ：4x －3y ＋4＝0. 从而所求的直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0.(3) 解：∵ CM ⊥MN ，∴ AM→·AN →＝(AC →＋CM →)·AN→＝AC →·AN →＋CM →·AN →＝AC →·AN → .①当l 与x 轴垂直时，易得N ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，－53，则AN →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，－53.又AC →＝(1，3)，∴ AM →·AN →＝AC →·AN →＝－5；②当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，则由⎩⎨⎧y ＝k （x ＋1），x ＋3y ＋6＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k －61＋3k，－5k 1＋3k ，则AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋3k ，－5k 1＋3k . ∴ AM →·AN →＝AC →·AN →＝－51＋3k ＋－15k 1＋3k＝－5.综上，AM→·AN →与直线l 的斜率无关，且AM→·AN →＝－5. 另解：连结CA 并延长交m 于点B ，连结CM ，CN ，由题意知AC ⊥m ，又CM ⊥l ，∴ 四点M 、C 、N 、B 都在以CN 为直径的圆上，由相交弦定理，得AM→·AN →＝－|AM|·|AN|＝－|AC|·|AB|＝－5.备选变式（教师专享）已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4，直线l 1过定点A(1，0)．(1) 若l 1与圆相切，求l 1的方程；(2) 若l 1与圆相交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又l 1与l 2：x ＋2y ＋2＝0的交点为N ，判断AM ·AN 是否为定值？若是，则求出定值；若不是，请说明理由．解：(1) ①若直线l 1的斜率不存在，即直线是x ＝1，符合题意．②若直线l 1斜率存在，设直线l 1为y ＝k(x －1)，即kx －y －k ＝0.由题意知，圆心(3，4)到已知直线l 1的距离等于半径2，即⎪⎪⎪⎪3k －4－k k 2＋1＝2，解得k ＝34. ∴所求直线方程是x ＝1或3x －4y －3＝0.(2) (解法1)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx －y －k ＝0.由⎩⎨⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1. 又直线CM 与l 1垂直，由⎩⎨⎧y ＝kx －k ，y －4＝－1k（x －3），得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k2，4k 2＋2k 1＋k 2. ∴ AM ·AN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋2k 1＋k 22· ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2k ＋12＝2|2k ＋1|1＋k 21＋k 2·31＋k 2|2k ＋1|＝6为定值．故AM·AN 是定值，且为6.(解法2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx －y －k ＝0.由⎩⎨⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1. 再由⎩⎨⎧y ＝kx －k ，（x －3）2＋（y －4）2＝4，得(1＋k 2)x 2－(2k 2＋8k ＋6)x ＋k 2＋8k ＋21＝0.∴x 1＋x 2＝2k 2 ＋ 8k ＋ 61 ＋ k2，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k2，4k 2＋2k 1＋k 2. 以下同解法1.(解法3)用几何法连结CA 并延长交l 2于点B ，k AC ＝2，kl 2＝－12， ∴CB ⊥l 2.如图所示，△AMC ∽△ABN ，则AM AB＝AC AN，可得AM·AN＝AC·AB＝25·35＝6，是定值．题型3圆的切线问题例3求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．解：由题意，设所求圆的方程为圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.圆C与直线y＝0相切，且半径为4，则圆心C的坐标为C1(a，4)或C2(a，－4)．又已知圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的圆心A的坐标为(2，1)，半径为 3.若两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1.①当C1(a，4)时，有(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，故可得a＝2±210.∴所求圆方程为(x－2－210)2＋(y－4)2＝42或(x－2＋210)2＋(y－4)2＝42.②当C2(a，－4)时，(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，故a＝2±2 6.∴所求圆的方程为(x－2－26)2＋(y＋4)2＝42或(x－2＋26)2＋(y＋4)2＝42.备选变式（教师专享）自点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆C：x2＋y2－4x －4y ＋7＝0相切．求：(1) 光线l 和反射光线所在的直线方程；(2) 光线自A 到切点所经过的路程．解：根据对称关系，首先求出点A 的对称点A′的坐标为⎝⎛⎭⎫－3，－3，其次设过A′的圆C 的切线方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋3－3.根据d ＝r ，即求出圆C 的切线的斜率为k ＝43或k ＝34，进一步求出反射光线所在的直线的方程为 4x －3y ＋3＝0或3x －4y －3＝0.最后根据入射光与反射光关于x 轴对称，求出入射光所在直线方程为4x ＋3y ＋3＝0或3x ＋4y －3＝0.光路的距离为⎪⎪⎪⎪A′M ，可由勾股定理求得 ⎪⎪⎪⎪A′M 2＝⎪⎪⎪⎪A′C 2－⎪⎪⎪⎪CM 2＝7.【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分)直线l 过点(－4，0)且与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝25交于A ，B 两点，如果AB ＝8，求直线l 的方程．学生错解：解：设直线l 的方程为y ＝k(x ＋4)，由被圆截得的弦长为8，可得圆心(－1，2)到直线y＝k(x＋4)的距离为3，即|3k－2|1＋k2＝3，解得k＝－512，此时直线方程为5x＋12y＋20＝0.审题引导：(1) 如何设过定点的直线的方程？(2) 圆中弦长的问题，通常作怎样的辅助线构造直角三角形来解决？规范解答：解：过点(－4，0)的直线若垂直于x轴，经验证符合条件，即方程为x＋4＝0满足题意；(4分)若存在斜率，设其直线方程为y＝k(x＋4)，由被圆截得的弦长为8，可得圆心(－1，2)到直线y＝k(x＋4)的距离为3，即|3k－2|1＋k2＝3，解得k＝－512，(10分)此时直线方程为5x＋12y＋20＝0，(12分)综上直线方程为5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0.(14分)错因分析： 1. 解答本题易误认为斜率k一定存在从而漏解.2. 对于过定点的动直线设方程时，可结合题意或作出符合题意的图形分析斜率k是否存在，以避免漏解．1. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是____________．答案：43解析：∵ 圆C 的方程可化为(x －4)2＋y 2＝1，∴ 圆C 的圆心为(4，0)，半径为1.由题意知，直线y ＝kx －2上至少存在一点A(x 0，kx 0－2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴ 存在x 0∈R ，使得AC ≤1＋1成立，即AC min ≤2.∵ AC min 即为点C 到直线y ＝kx －2的距离|4k －2|k 2＋1， ∴ |4k －2|k 2＋1≤2，解得0≤k ≤43.∴ k 的最大值是43. 2. 已知直线l 过点(－2，0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24 解析：易知圆心坐标是(1，0)，圆的半径是1，直线l 的方程是y ＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，根据点到直线的距离公式得|k ＋2k|k 2＋1＜1，即k 2＜18，解得－24＜k ＜24.3. 直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若MN ≥23，则k 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 解析：设圆心C(2，3)到直线y ＝kx ＋3的距离为d ，若MN ≥23，则d 2＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12MN 2≤4－3＝1，即|2k|21＋k2≤1，解得－33≤k ≤33. 4. 若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m)2＋y 2＝20(m ∈R)相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是________．答案：4解析：依题意得OO 1＝5＋20＝5，且△OO 1A 是直角三角形，S △OO 1A ＝12·AB 2·OO 1＝12·OA ·AO 1，因此AB ＝2·OA·AO 1OO 1＝2×5×255＝4. 5. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C的中心在坐标原点O ，右焦点为F.若C 的右准线l 的方程为x ＝4，离心率e ＝22. (1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设点P 为准线l 上一动点，且在x 轴上方．圆M 经过O 、F 、P 三点，求当圆心M 到x 轴的距离最小时圆M 的方程．解：(1) 由题意，设椭圆C 的标准方程为x 2a2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2c ＝4，c a ＝22，解得a ＝22，c ＝2.从而b 2＝a 2－c 2＝4.所以所求椭圆C 的标准方程为x 28＋y 24＝1. (2) (解法1)由(1)知F(2，0)．由题意可设P(4，t)，t>0.线段OF 的垂直平分线方程为x ＝1.①因为线段FP 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，t 2，斜率为t 2，所以FP 的垂直平分线方程为y －t 2＝－2t(x －3)，即y ＝－2t x ＋6t ＋t 2.② 联立①②，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝t 2＋4t，即圆心M ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，t 2＋4t . 因为t>0，所以t 2＋4t ≥2t 2·4t＝22，当且仅当t 2＝4t，即t ＝22时，圆心M 到x 轴的距离最小，此时圆心为M(1，22)，半径为OM ＝3.故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －22)2＝9.(解法2)由(1)知F(2，0)．由题意可设P(4，t)，t>0.因为圆M 过原点O ，故可设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0.将点F 、P 的坐标代入得⎩⎨⎧4＋2D ＝0，16＋t 2＋4D ＋tE ＝0，解得⎩⎨⎧D ＝－2，E ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t ＋8t .所以圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－D 2，－E 2，即(1，t 2＋4t )．因为t>0，所以t 2＋4t ≥2t 2·4t＝22，当且仅当t 2＝4t，即t ＝22时，圆心M 到x 轴的距离最小，此时E ＝－4 2.故所求圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －42y ＝0.6. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 由圆弧C 1和圆弧C 2相接而成，两相接点M 、N 均在直线x ＝5上．圆弧C 1的圆心是坐标原点O ，半径为r 1＝13；圆弧C 2过点A(29，0)．(1) 求圆弧C 2所在圆的方程；(2) 曲线C 上是否存在点P ，满足PA ＝30PO ？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；(3) 已知直线l ：x －my －14＝0与曲线C 交于E 、F 两点，当EF ＝33时，求坐标原点O 到直线l 的距离．解：(1) 由题意得，圆弧C 1所在圆的方程为x 2＋y 2＝169.令x ＝5，解得M(5，12)，N(5，－12)，又C 2过点A(29，0)，设圆弧C 2所在圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧52＋122＋5D ＋12E ＋F ＝0，52＋122＋5D －12E ＋F ＝0，292＋29D ＋F ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－28，E ＝0，F ＝－29.所以圆弧C 2所在圆的方程为x 2＋y 2－28x －29＝0.(2) 假设存在这样的点P(x ，y)，则由PA ＝30PO ，得(x －29)2＋y 2＝30(x 2＋y 2)，即x 2＋y 2＋2x －29＝0.由⎩⎨⎧x 2＋y 2＋2x －29＝0，x 2＋y 2＝169（－13≤x ≤5），解得x ＝－70(舍去)；由⎩⎨⎧x 2＋y 2＋2x －29＝0，x 2＋y 2－28x －29＝0（5≤x ≤29），解得x ＝0(舍去)．所以这样的点P 不存在．(3) 因为圆弧C 1、C 2所在圆的半径分别为r 1＝13，r 2＝15，因为EF>2r 1，EF>2r 2，所以E 、F 两点分别在两个圆弧上．设点O 到直线l 的距离为d ，因为直线l 恒过圆弧C 2所在圆的圆心(14，0)，所以EF ＝15＋132－d 2＋142－d 2，即132－d 2＋142－d 2＝18，解得d 2＝1 61516，所以点O 到直线l 的距离为 1 6154. 1. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA→·PB →的最小值为________．答案：－3＋22 解析：设∠APB ＝2θ，|PO→|＝x ，则PA →·PB →＝|PA →|·|PB →|·cos2θ＝|PA →|2cos2θ＝(|PO →|2－1)·(1－2sin 2θ)＝(x 2－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－2x 2＝x 2－2－1＋2x 2≥－3＋22，当且仅当x 2＝2x2，即x ＝42时取等号． 2. 若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b的取值范围是________．答案：[1－22，3]解析：y＝3－4x－x2变形为(x－2)2＋(y－3)2＝4(0≤x≤4，1≤y≤3)，表示以(2，3)为圆心，2为半径的下半圆，如图所示．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－4x－x2有公共点，只需直线y＝x＋b在图中两直线之间(包括图中两条直线)，y＝x＋b与下半圆相切时，圆心到直线y＝x＋b的距离为2，即|2－3＋b|2＝2，解得b＝1－22或b＝1＋22(舍去)，∴b的取值范围为1－22≤b≤3.3. 已知圆C过点P(1，1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称．(1) 求圆C的方程；(2) 过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A、B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．解：(1) 设圆心C(a，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2) 由题意知，直线PA 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设PA ：y －1＝k(x －1)，PB ：y －1＝－k(x －1)，由⎩⎨⎧y －1＝k （x －1），x 2＋y 2＝2得(1＋k 2)x 2＋2k(1－k)x ＋(1－k)2－2＝0.因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解，故可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2.同理可得x B ＝k 2＋2k －11＋k 2，所以k AB ＝y B －y A x B －x A ＝－k （x B －1）－k （x A －1）x B －x A ＝2k －k （x B ＋x A ）x B －x A ＝1＝k OP ，所以，直线AB 和OP 一定平行．4. 已知以点C ⎝⎛⎭⎪⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1) 求证：△AOB 的面积为定值；(2) 设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M 、N ，若|OM|＝|ON|，求圆C 的方程；(3) 在(2)的条件下，设P 、Q 分别是直线l ：x ＋y ＋2＝0和圆C 的动点，求|PB|＋|PQ|的最小值及此时点P 的坐标．解：(1) 由题设知，圆C 的方程为(x －t)2＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，化简得x 2－2tx ＋y 2－4t y ＝0，当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A(2t ，0)；当x ＝0时，y＝0或4t ，则B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，4t ， ∴ S ΔAOB ＝12|OA|·|OB|＝12|2t|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＝4为定值．(2) ∵ |OM|＝|ON|，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴ C 、H 、O 三点共线，则直线OC 的斜率k ＝2t t ＝2t 2＝12，∴ t ＝2或t ＝－2，∴ 圆心C(2，1)或C(－2，－1)∴ 圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d>r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去.∴ 圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5(3) 点B(0，2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为B′(－4，－2)，则|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上点Q 的最短距离为|B ′C|－r ＝（－6）2＋32－5＝35－5＝2 5.所以|PB|＋|PQ|的最小值25，直线B′C 的方程为y ＝12x ，则直线B′C 与直线x ＋y ＋2＝0的交点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－43，－23.1. 两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．2. 圆的弦长的常用求法：(1) 几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12l 2＝r 2－d 2； (2) 代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]. 请使用课时训练(B)第5课时(见活页)．。

2014高考数学文复习方案二轮作业手册(新课标·通用版)专题综合训练(五) 专题五立体几何 Word版含解析-推

14．(13 分)如图 Z5－11 所示，在多面体 ABCDE 中，AB⊥平面 ACD，DE⊥平面 ACD，AB＝CD＝1，AC＝ 3，AD＝DE＝2，G 为 AD 的中点．
(1)在线段 CE 上找一点 F，使得 BF∥平面 ACD，并加以证明；
(2)求三棱锥 G－BCE 的体积．
图 Z5－10
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

(通用版)(新课标)高考数学二轮复习作业手册第3B讲不等式与线性规划、计数原理与二项式定理理

专题限时集训(三)B[第3讲不等式与线性规划、计数原理与二项式定理](时间：30分钟)1．若2x＋2y＝1，则x ＋y A ．[0，2] B ．[－2，0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]2．已知z ＝2x ＋y ，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥m ，且z 的最大值是最小值的4倍，则m的值是( )A.17B.16C.15D.143．已知(1－ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 4．从0，1，2，3中任取三个数字，组成无重复数字的三位数中，偶数的个数是________．(用数字回答)5．若存在实数x ，y 使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －x －3y ＋2≤0，x ＋y －6≤0与不等式x －2y ＋m ≤0都成立，则实数m的取值范围是( )A ．m ≥0B ．m ≤3C ．m ≥1D ．m ≥36．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－127．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y＝2，a ＋b ＝4，则2x ＋1y的最大值为( )A ．3B ．3 2C ．4D ．4 28．某班同学准备参加学校在寒假里组织的“社区服务”“进敬老院”“参观工厂”“民俗调查”“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成．其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一．则不同安排方法的种数是( )A ．48B ．24C ．36D ．649．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x ≤0，x ＋y ≤2，则2x ＋y 的最小值，最大值分别为( )A ．3，6B ．0，3C ．0，6D ．－18，610．已知函数y ＝x 33＋m 2x 2＋(m ＋n )x ＋1的两个极值点分别为x 1，x 2，且x 1∈(0，1)，x 2∈(1，＋∞)，记分别以m ，n 为横、纵坐标的点P (m ，n )表示的平面区域为D .若函数y ＝log a (x ＋4)(a >1)的图像上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，3]B ．(1，3)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)11．若x ＋a3x8的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝________.12．将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，有________种放法．(用数字作答)13．已知a ＝⎠⎛－11(1＋1－x 2)d x ，则a －π2x －1x 6展开式中的常数项为________．14．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x|＋|y|≤2，y ＋2≤k（x ＋1）表示平面三角形区域，则实数k 的取值范围是________．专题限时集训(三)B1．D [解析] 1＝2x ＋2y ≥2 2x ＋y ⇒2x ＋y ≤2－2⇒x ＋y ≤－2，当且仅当x ＝y ＝－1时，等号成立，故选D.2．D [解析] 画出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥m的可行域，由可行域知，目标函数z ＝2x ＋y过点(m ，m )时有最小值，最小值为z min ＝3m .过点(1，1)时有最大值，最大值为z max ＝3，因为z的最大值是最小值的4倍，所以3＝12m ，即m ＝14.3．D [解析] (1－ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为C 25－a C 15＝10－5a ＝5，解得a ＝1. 4．10 [解析] 考虑三位数“不含0”和“含0”两种情况．(1)三位数不含0时，2必填个位，A 22种填法．(2)三位数含0时，0填个位，A 23种填法.0填十位，2必填个位，A 12种填法．所以，偶数的个数一共有A 22＋A 23＋A 12＝10.5．B [解析] 由x －2y ＋m ≤0，得m ≤－x ＋2y ，即m ≤[－x ＋2y ]max .设z ＝－x ＋2y ，则z 为直线x －2y ＋z ＝0在y 轴截距的2倍．已知不等式组表示的平面区域如图中的△ABC ，结合图形可知在点C 处取z 取得最大值，且点C 的坐标为(3，3)，故z 的最大值为3，即m ≤3.6．C [解析] 不等式组表示的可行域如图所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧－1＝0，3x ＋y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，故P (3，－1)．当点M 与点P 重合时，直线OM 斜率最小，此时k OM ＝－1－03－0＝－13.7．C [解析] 由题意，得x ＝log a 2，y ＝log b 2，故x ＋y ＝2log a 2＋1log b 2＝log 2a 2＋log 2b ＝log 2(a 2b )．又4＝a ＋b ≥2 a b ，所以a 2b ≤16，故2x ＋1y＝log 2(a 2b )≤4.8．C [解析] 采用间接法．由于“参观工厂”与“环保宣传”相邻，故总的安排方法为A 22A 44＝48.又因为“民俗调查”排在周一时，所有其他的安排方法为A 22A 33＝12，则符合要求的安排方法为48－12＝36种．9．D [解析] 如图所示，在点A (4，－2)处2x ＋y 取得最大值，且最大值为6.当直线z＝2x ＋y 为抛物线y 2＝x 的切线时，2x ＋y 取得最小值．联立⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2x ＋y ，y 2＝x ，则4x 2－(1＋4z )x ＋z 2＝0，Δ＝(4z ＋1)2－16z 2＝0，解得z ＝－18，最小值为－18.10．B [解析] 令g (x )＝y ′＝x 2＋mx ＋m ＋n ，则m ，n 满足⎩⎪⎨⎪⎧g （0）>0，g （1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n >0，2m ＋n ＋1<0.点P 表示的平面区域如图所示阴影部分，当函数y ＝log a (x ＋4)(a >1)的图像上存在区域D 内的点时，应满足log a (－1＋4)>1，即log a 3>1，则0<log 3a <1，故1<a<3.11.12 [解析] 二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋3x 8展开式的通项为T r ＋1＝C r8a r x 8－43r ，令8－43r ＝4，可得r＝3，故C 38a 3＝7，解得a ＝12.12．112 [解析] C 27＋C 37＋C 47＋C 57＝21＋35＋35＋21＝112.13．－160 [解析] 根据定积分的几何意义可得a ＝2＋π2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a －π2x －1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6.根据对称性，展开式的常数项为第四项，即T 4＝C 36(2x )3⎛⎭⎪⎫－1x 3＝－160.14．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 [解析] 如图所示，只有直线y ＋2＝k (x ＋1)从直线m 到n 移动时，或者直线从a 到b 移动时，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤2，y ＋2≤k （x ＋1）表示的平面区域才是三角形区域．故斜率k 的取值范围是0<k ≤23或k <－2.。

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