河北省隆化县存瑞中学高三数学一轮复习《函数与方程》学案[

河北省隆化县存瑞中学高三数学一轮复习《指对幂函数》学案

目标一：记住根式的概念，记住幂的有关概念，幂的运算法则目标二：能用运算法则对有理指数幂进行化简和求值学习过程：认真阅读教材，完成下列问题 1(2) 两个重要公式 ①na n ＝②(n a )n ＝ (注意a 必须使na 有意义)． 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂： nm a ＝ _______ (a ＞0，m 、n ∈N*，且n ＞1)； ②负分数指数幂：n m a-＝ ______＝________(a ＞0，m 、n ∈N*，且n ＞1)．③0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂 (2)有理数指数幂的性质①sra a ＝ (a ＞0，r ，s ∈Q)；②sr a )(＝ (a ＞0，r ，s ∈Q)；③r ab )(＝ (a ＞0，b ＞0，r ∈Q)．3、33)8(-=____________2)10(-=_____________44)3(π-=______________2)(b a -=_____________4．化简416x 8y 4(x <0，y <0)的结果为________ 5、021231)12()972()71()027.0(--+----6、计算下列各式（1）031)87()1258(---+343])2[(--+4316-+|-21|1001（2）313373329a a a a--÷（3）012132)32()25(10)5001()833(-+--+----（4）33323323134)21(428a ab bab a b a a ⨯-÷++-达标检测： 1、已知aa a x f x x +=)(，a 是大于0的常数，求的值)101100()1012()1011(f f f ++2、已知122+=na ，求nnnn aa a a --++33的值3.（选做）已知0,)(,)(>-=+=--a a a x g a a x f x x x x ，设12)()(=∙y g x g ，f(x)∙f(y)=6, 求)()(y x f y x f +-的值反思小结指数函数（第二课时）目标：记住指数函数的概念及图像，由指数函数图像能得出指数函数的基本性质，能从基本的指数函数的图像入手，研究指数型函数图像，并能比较大小，能利用指数函数的性质研究函数的奇偶性及复合函数的定义域、值域单调性等综合性问题学习过程：1、写出指数函数的定义___________________________________2、做出指数函数的草图 a>1 1>a>03、性质（1）定义域_______________(2)值域___________________ (3)恒过定点__________(4)若a>1当0<x 时，∈y ________当x<0时∈y __________________ 若0<a<1当0<x 时，∈y ________当x<0时∈y __________________ （5）增减性4、比较大小（1）.10-5.70， .105.70 （2）.721.01，531.01、5、比较m ，n 的大小（1）nm22< （2）n m 2.02.0<（3）nm a a <6、设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是（A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a7．如图所示的曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是函数y ＝a x，y ＝b x，y ＝c x，y ＝d x的图象，则a ，b ，c ，d 的大小关系是 _____________8、已知函数|1|)31(+=x y(1)作出函数的图象(简图)；(2)由图象指出其单调区间； (3)由图象指出当x 取什么值时有最值，并求出最值．9、（选做）、已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数。

2.9 函数与方程学案(高考一轮复习)

2014年高中数学一轮复习教学案第二章函数、导数及其应用第9节函数与方程一．学习目标：1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.二．学习重、难点：1．学习重点：会函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2．学习难点：能够用二分法求相应方程的近似解.三．学习方法：讲练结合四．自主复习：1．函数的零点(1)定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使_________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与______有交点⇔函数y＝f(x)有_______．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_________，那么函数y＝f(x)在区间_______内有零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个___也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系3.二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且_____________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_________，使区间的两个端点逐步逼近________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．五．复习前测：1．下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是()2．函数f (x )＝(x －1)ln xx －3的零点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．函数f (x )＝lg x －1x 的零点所在的区间是( )A ．(0,1]B ．(1,10]C ．(10,100]D ．(100，＋∞)4．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是__________．5．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的近似解，验证f (2)·f (4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0∈__________(填区间)．要点点拨： 1．函数零点的理解函数的零点是指方程f (x )＝0的根，也可以认为函数f (x )与x 轴交点的横坐标，但不是指交点(x ，f (x ))．2．函数零点具有的性质对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数零点具有以下性质： (1)当它通过零点(不是偶次零点)时，函数值变号； (2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 3．零点存在定理的零点个数(1)在(a ，b )上存在零点(此处的零点不仅指变号零点)，个数不定，若仅有变号零点，则有奇数个．(2)若函数在(a ，b )上有零点，不一定有f (a )·f (b )<0.六．复习过程：题型一：确定函数零点所在的区间 [例1](1)函数f (x )＝(12)x －2－x 3的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)(2)函数f (x )＝ln(x －2)－2x 的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)[思路点拨](1)根据函数零点的存在性定理，只需验证选项中区间端点值是否异号即可作出判断．(2)根据所给区间把不在定义域中的区间去掉，然后把所给区间的两个端点的函数值求出，再判断．[规律总结](1)判断函数零点所在的区间，当方程f(x)＝0无法解出或函数y＝f(x)的图象不易作出时，常用函数零点存在的判定定理判断．(2)判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题．变式训练1函数f(x)＝e x＋x－2的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)题型二：函数零点个数的判定[例2](2012·天津卷)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()A．0B．1C．2 D．3[思路点拨]把求函数f(x)的零点个数问题转化为函数y1＝2x－2与y2＝－x3的图象在区间(0,1)内的交点个数问题，作出函数图象结合区间端点值即可判断结果．[规律总结]在解决函数与方程问题中的函数的零点问题时，要学会掌握转化与化归思想的运用，如本例直接根据已知函数求函数的零点个数难度很大，也不是初等数学能轻易解决的，所以遇到此类问题第一反应就是转化已知函数为熟悉的函数再进行数形结合求解，实际上也是在考查考生的转化与化归的能力．对于此类问题还要注意灵活运用函数的性质，如函数的单调性、奇偶性等．变式训练2(2013·郑州模拟)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是()A．多于4 B．4C．3 D．2题型三：二分法的应用[例3]若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数值如下：[思路点拨]本题要求用二分法求函数的零点，题设中给出了六个函数值，所以在解题方法上，可结合根的存在性定理来判断．[规律总结]利用二分法求近似解需注意的问题(1)第一步中：①区间长度尽量小；②f(a)、f(b)的值比较容易计算且f(a)·f(b)<0；(2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与相应方程的根是等价的．变式训练3下列是函数f(x)在区间[1,2]上一些点的函数值.由此可判断：方程f(x)＝0的一个近似解为__________．(精确度0.1，且近似解保留两位有效数字)题型四：函数零点的应用[例4]设函数f(x)＝log2(2x＋1)，g(x)＝log2(2x－1)，若关于x的函数F(x)＝g(x)－f(x)－m在[1,2]上有零点，求m的取值范围．[规律总结] 已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解．变式训练4定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝(12)|x －m |.(1)求m 的值；(2)设g (x )＝log 2x ，证明：方程f (x )＝g (x )只有一个实数解．创新探究——数形结合思想在求函数零点中的应用[例题] (2011·山东高考)已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)．当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝__________.链接高考：1．(2012·湖北)函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．72．(2011·山东)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．93．(2011·陕西)函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内( ) A ．没有零点 B ．有且仅有一个零点 C ．有且仅有两个零点 D ．有无穷多个零点七．反馈练习：1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋4)，x <0，x (x －4)，x ≥0.则函数f (x )的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．为了求函数f (x )＝2x －x 2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x 和函数值f (x )的部分对应值(精确度0.01)，如下表所示：A ．(0.6,1.0)B ．(1.4,1.8)C ．(1.8,2.2)D ．(2.6,3.0)3．已知a 是函数f (x )＝2x －log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)>0C ．f (x 0)<0D ．f (x 0)的符号不确定4．(2013·西安模拟)函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．函数f (x )＝3cos πx2－log 12 x 的零点的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．56．方程x 2＋2x －1＝0的解可视为函数y ＝x ＋2的图象与函数y ＝1x的图象交点的横坐标，若x 4＋ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ，4x i)(i ＝1,2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是( )A ．RB ．∅C ．(－6,6)D ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)7．“a ＝14”是“函数f (x )＝ax 2－x ＋1只有一个零点”的__________条件．8．(2013·西安五校联考)函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数的零点，则实数m 的取值范围是__________．9．设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列命题： ①b ＝0，c >0时，方程f (x )＝0只有一个实数根； ②c ＝0时，y ＝f (x )是奇函数；③方程f (x )＝0至多有两个实根．上述三个命题中所有正确命题的序号为__________．10．(1)求f (x )＝x 3－2x 2－x ＋2的零点；(2)判定f (x )＝1x－x ，在(0,1)内是否有零点； (3)判定f (x )＝ln x ＋2x －6的零点个数．11．设函数f (x )＝(12)|x －1|，g (x )＝log 2x (x >0)，试判定函数φ(x )＝f (x )－g (x )在(0,2]内零点的个数．12．已知集合P ＝[12，2]，函数y ＝log 2(ax 2－2x ＋2)的定义域为Q . (1)若P ∩Q ≠∅，求实数a 的取值范围；(2)若方程log 2(ax 2－2x ＋2)＝2在[12，2]内有解，求实数a 的取值范围．八．思维总结：九．自我评价：1．你对本章的复习的自我评价如何？A．很好B．一般C．不太好2．你认为在这章复习中还有哪些知识漏洞？。

(新课标)高三数学一轮复习第2篇函数与方程学案理

第十六课时函数与方程课前预习案1.结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系；2.判断一元二次方程根的存在性与根的个数.1.函数零点的概念：对于函数()y f x =，我们把使叫做函数()y f x =的零点. 2.函数零点与方程根的关系：方程()y f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与有交点⇔函数()y f x =有注意：函数的零点不是一个点，而是函数图象与x 轴交点的 . 3.函数零点的判断：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 ,那么函数()y f x =在区间内有零点,即存在(,)c a b ∈,使得()0f c =,这个c 也就是方程()0f x =的根.4.二分法：对于在区间[],a b 上连续不断,且的函数()y f x =,通过不断地把函数的所在的区间 , 使区间的两个端点逐步逼近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法.5.用二分法求函数()y f x =零点近似值的步骤：（1）确定区间[],a b ,验证 ,给定精确度ε；（2）求区间[],a b 的中点1x ；（3）计算1()f x ①若1()f x 0，则1x 就是函数的零点；②若1()()0f a f x ∙<，则令1b x =，此时零点在区间； ③若1()()0f x f b ∙<，则令1a x =，此时零点在区间；（4）判断是否达到精确度ε，即若 ,则得到零点近似值a （或b ），否则重复（2）—（4）.1.若函数()f x 在区间[]2,2-上的图象是连续不间断的曲线，且()f x 在()2,2-内有一个零点，则()()22f f -∙的值（）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．不能确定2.若函数()f x 惟一的零点同时在区间（0，16），（0，8），（0，4），（0，2）内,那么下列命题正确的是（）A.函数()f x 在区间（0，1）内有零点B.函数()f x 在区间()0,1或()1,2内有零点C.函数()f x 在区间[2，16]上无零点D.函数()f x 在区间()1,16上无零点 3.下列所示函数图象与x 轴均有交点, 但不宜用二分法求交点横坐标的是（）课堂探究案考点1 确定函数零点个数【典例1】确定下列函数零点的个数（1）2()318f x x x =--; （2）2()log (2)f x x x =+-.【变式1】确定下列函数零点的个数.（1）1()f x x x=-；（2）2()ln f x x x=-.【变式2】（2012年湖北理）函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7考点2确定函数零点存在区间【典例2】函数()2xf x e x =+-的零点所在的一个区间是( )A ．(2,1)--B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)【变式3】（2013年重庆理）若a b c <<,则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间( )A.(),a b 和(),b c 内B.(),a -∞和(),a b 内C.(),b c 和(),c +∞内D.(),a -∞和(),c +∞内考点3 用二分法求方程的近似解【典例3】用二分法可得24xx +=在（1,2）内的近似解（精确到0.1）为．参考数据：1.（课本题再现）如果二次函数2(3)y x mx m =+++有两个不同的零点，则m 的取值范围是（）A.(,2)(6,)-∞-+∞ B.(2,6)- C.[2,6]- D.{2,6}-2.（2012年天津理）函数22)(3-+=x x f x 在区间(0,1)内的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 3.方程322360x x x -+-=在区间[]2,4-上的根必定属于区间（）A.[－2，1]B.5[,4]2 C.7[1,]4D.75[,]42４.若函数()f x ax b =+有一个零点是2，那么函数2()g x bx ax =-的零点是（）A.0，2B.0，21C.0，－12D.2，－12课后拓展案组全员必做题1.函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（） A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（1，1)e和（3，4） D ．（e ，)+∞2.已知函数2()(3)1f x mx m x =+-+的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是（）A.（0，1） B.[0,1] C.(,1)-∞ D. (,1]-∞3.关于x 的方程2122(0,1)x a x x a a a +=-++>≠的实数解的个数为 .4．关于x 的方程2360x x a -+=的两根为12,x x ，已知121(2,0),(,3)2x x ∈-∈，则a 的取值范围是 .5. 若直线2y a =与函数|1|(0,1)xy a a a =->≠且的图象有两个交点，则a 的取值范围是 .组提高选做题1.函数()cos f x x =在[0,)+∞内 ( )A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点 2．方程220x ax +-=在区间[1,5]上有解,则实数a 的取值范围是( ) A.,235⎛⎫+∞ ⎝-⎪⎭ B.()1,+∞ C.23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.23,5⎛⎤--⎥⎝⎦∞ 3. (2011年山东理)已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9参考答案1.D2.C3.B【典例1】解（1）94(18)972810∆=-⨯-=+=>，∴()f x 有两个零点．（2）令()0f x =，则2log (2)x x +=．令2()log (2)g x x =+，()h x x =，分别作出两函数的图象（略）．通过图象可以得出函数()f x 有两个零点．【变式1】（1）解：()0f x =，即10x x-=，解得1x =±．()f x 有两个零点．（2）解：令()ln g x x =，2()h x x=，分别作出两函数的图象（略）．通过图象可以得出函数()f x 有一个零点．【变式2】C 【典例2】C 【变式3】A 【典例3】1.41.A2.B3.D4.C组全员必做题1.B2.D3.24.(9,0)5.1 (0,)2组提高选做题1.B2.C3.B。

河北省隆化县存瑞中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案

河北省隆化县存瑞中学函数的概念与基本初等函数多选题试题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知函数22(2)log (1),1()2,1x x x f x x +⎧+>-⎪=⎨≤-⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<，则下列结论正确的是（）A ．12m <≤B ．11sin cos 0x x ->C ．3441x x +>- D．2212log mx x ++10【答案】ACD 【分析】画出()f x 的图象，结合图象求得1234,,,,m x x x x 的取值范围，利用特殊值确定B 选项错误，利用基本不等式确定CD 选项正确. 【详解】画出()f x 的图象如下图所示，由于关于x 的方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<，由图可知12m <≤，故A 选项正确. 由图可知12,x x 关于直线2x =-对称，故12122,42x x x x +=-+=-，由()()22221x x +=≤-解得3x =-或1x =-，所以1232,21x x -≤<--<≤-，3324π-<-<-，当134x π=-时，1212sin cos ,sin cos 02x x x x ==--=，所以B 选项错误. 令()()2221x m x +=≤-，()22log 2log 1x m m m +==，()22log 21m x +=，()222log 1m x +=，12,x x 是此方程的解，所以()211log 22m x =+，或()221log 22m x =+，故()()22221211211log 422m x x x x x ++=+--++()()2121122881022x x =+++≥=+，当且仅当()()211211522,222x x x +==-+时等号成立，故D 选项正确.由图象可知()()2324log 1log 1x x +=-+，()()2324log 1log 10x x +++=，()()34111x x +⋅+=，4433111,111x x x x +==-++，由()()2log 111x x +=>-，解得1x =或12x =-，由()()2log 121x x +=>-，解得3x =或34x =-，所以3431,1342x x -≤<-<≤， ()3433331144145111x x x x x x +=+-+=-+++ ()332151141x x +≥+⋅-=-①. 令()()21134,1,1421x x x x +===-++或12x =-，所以①的等号不成立，即3441x x +>-，故C 选项正确. 故选：ACD【点睛】求解有关方程的根、函数的零点问题，可考虑结合图象来求解.求解不等式、最值有关的问题，可考虑利用基本不等式来求解.2．已知函数()2,021,0x x ax x f x x -⎧+≤=⎨->⎩，则（）A ．()f x 的值域为()1,-+∞B ．当0a ≤时，()()21f x f x >+C ．当0a >时，存在非零实数0x ，满足()()000f x f x -+=D ．函数()()g x f x a =+可能有三个零点【答案】BC 【分析】A ．考虑2a =时的情况，求解出各段函数值域再进行判断；B ．先根据条件分析()f x 的单调性，再根据21x +与x 的大小关系进行判断；C ．作出222,,y x ax y x ax y x ax =+=-+=-+的函数图象，根据图象的对称性进行分析判断；D ．根据条件先分析出()0,1a ∈，再根据有三个零点确定出a 满足的不等式，由此判断出a 是否有解，并判断结论是否正确.【详解】A ．当0x >时，21011xy -=->-=-，当0x ≤时，22224a a y x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，取2a =，此时()2111y x =+-≥-，所以此时的值域为[)1,-+∞，故A 错误；B ．当0a ≤时，22224a a y x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭的对称轴为02a x =-≥，所以()f x 在(],0-∞上单调递减，又因为()f x 在()0,∞+上单调递减，且200021a -+⨯=-，所以()f x 在R 上单调递减，又因为22131024x x x ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，所以21x x +>，所以()()21f x f x >+，故B 正确；C ．作出函数22,,21x y x ax y x ax y -=+=-+=-的图象如下图所示：由图象可知：22,y x ax y x ax =+=-+关于原点对称，且2y x ax =-+与21x y -=-相交于()00,x y ，因为点()00,x y 在函数2y x ax =-+的图象上，所以点()00,x y --在函数2y x ax =+的图象上，所以()()()00000f x f x y y +-=+-=，所以当0a >时，存在0x 使得()()000f x f x -+=，故C 正确；D ．由题意知：()f x a =-有三个根，所以()f x 不是单调函数，所以0a >，又因为()211,0xy -=-∈-，所以()1,0a -∈-，所以()0,1a ∈，且22,4a y x ax ⎡⎫=+∈-+∞⎪⎢⎣⎭，若方程有三个根，则有24a a ->-，所以4a >或0a <，这与()0,1a ∈矛盾，所以函数()()g x f x a =+不可能有三个零点，故D 错误，故选：BC. 【点睛】思路点睛：函数与方程的综合问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的个数；（2）求参数范围；（3）求不等式解集；（4）研究函数性质.3．已知函数()()()22224x x f x x x m m ee --+=-+-+（e 为自然对数的底数）有唯一零点，则m 的值可以为（） A ．1B ．1-C ．2D ．2-【分析】由已知，换元令2t x =-，可得()()f t f t -=，从而f t 为偶函数，()f x 图象关于2x =对称，结合函数图象的对称性分析可得结论. 【详解】∵22222222()4()()(2)4()()x x x x f x x x m m e e x m m e e --+--+=-+-+=--+-+，令2t x =-，则22()4()()ttf t t m m e e -=-+-+，定义域为R ，22()()4()()()t t f t t m m e e f t --=--+-+=，故函数()f t 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于2x =对称，要使得函数()f x 有唯一零点，则(2)0f =，即2482()0m m -+-=，解得1m =-或2 ①当1m =-时，2()42()t t f t t e e -=-++ 由基本不等式有2t t e e -+≥，当且仅当0t =时取得2()4t t e e -∴+≥故2()42()0ttf t t e e -=-++≥，当且仅当0t =取等号故此时()f x 有唯一零点2x =②当2m =时，2()42()t t f t t e e -=-++，同理满足题意. 故选：BC ．【点睛】方法点睛：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.②()y f x =的图象关于直线x a =对称 ()()f a x f a x ⇔-=+()()2f x f a x ⇔-=+4．设函数(){}22,,2f x min x x x =-+其中{},,min x y z 表示,,x y z 中的最小者.下列说法正确的有（） A ．函数()f x 为偶函数B ．当[)1,x ∈+∞时，有()()2f x f x -≤C ．当x ∈R 时，()()()ff x f x ≤D ．当[]4,4x ∈-时，()()2f x f x -≥ 【答案】ABC 【分析】画出()f x 的图象然后依据图像逐个检验即可．解：画出()f x 的图象如图所示：对A ，由图象可知：()f x 的图象关于y 轴对称，故()f x 为偶函数，故A 正确；对B ，当12x ≤≤时，120x -≤-≤，()()()222f x f x x f x -=-≤-=；当23x <≤时，021x <-≤，()()22f x x f x -≤-=；当34x <≤时，122x <-≤，()()()22242f x x x x f x -=--=-≤-=；当4x ≥时，22x -≥，此时有()()2f x f x -<，故B 成立；对C ，从图象上看，当[)0,x ∈+∞时，有()f x x ≤成立，令()t f x =，则0t ≥，故()()f f x f x ⎡⎤≤⎣⎦，故C 正确；对D ，取32x =，则111224f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()2f x f x -<，故D 不正确．故选：ABC ．【点睛】方法点睛：一般地，若()()(){}min ,f x S x T x =（其中{}min ,x y 表示,x y 中的较小者），则()f x 的图象是由()(),S x T x 这两个函数的图象的较低部分构成的．5．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，2()2f x x x =-+，下列说法正确的是（）A ．(0,)x ∈+∞时，函数解析式为2()2f x x x =-B ．函数在定义域R 上为增函数C ．不等式(32)3f x -<的解集为(,1)-∞D ．不等式2()10f x x x -+->恒成立【答案】BC 【分析】对于A ，利用奇函数定义求(0,)x ∈+∞时，函数解析式为2()2f x x x =+；对于B ，研究当(,0)x ∈-∞时，()f x 的单调性，结合奇函数图像关于原点对称，知()f x 在R 上的单调性；对于C ，求出(1)3f =，不等式(32)3f x -<，转化为(32)(1)f x f -<，利用单调性解不等式；对于D ，分类讨论(0,)x ∈+∞与(,0)x ∈-∞两种情况是否恒成立. 【详解】对于A ，设(0,)x ∈+∞，(,0)x -∈-∞，则2()2f x x x -=--，又()f x 是奇函数，所以2()()2f x f x x x =--=+，即(0,)x ∈+∞时，函数解析式为2()2f x x x =+，故A 错；对于B ，2()2f x x x =-+，对称轴为1x =，所以当(,0)x ∈-∞时，()f x 单调递增，由奇函数图像关于原点对称，所以()f x 在R 上为增函数，故B 对；对于C ，由奇函数在R 上为增函数，则(0,)x ∈+∞时，2()23f x x x =+=，解得11x =，23x =-（舍去），即(1)3f =，所以不等式(32)3f x -<，转化为(32)(1)f x f -<，又()f x 在R 上为增函数，得321x -<，解得1x <，所以不等式的解集为(,1)-∞，故C 对；对于D ，当(,0)x ∈-∞时，2()2f x x x =-+2222()121231(21)(1)0f x x x x x x x x x x x -+-=-+-+-=-+-=-+-<，当(0,)x ∈+∞时，2()2f x x x =+222()12131f x x x x x x x x -+-=+-+-=-不恒大于0，故D 错；故选：BC 【点睛】方法点睛：考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是：（1）把不等式转化为[][]()()f g x f h x >的模型；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别. 考查了利用奇偶性求函数解析式，求函数解析式常用的方法：（1）已知函数类型，用待定系数法求解析式；（2）已知函数奇偶性，用奇偶性定义求解析式；（3）已知()f x 求[()]f g x ，或已知[()]f g x 求()f x ，用代入法、换元法或配凑法；（4）若()f x 与1()f x或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解；6．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，()1f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则（）A ．()f x 是周期为2的函数B ．()()201920201f f +=-C ．()f x 的值域为[-1，1]D ．()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点【答案】BCD 【分析】对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得()()4f x f x =-，则()f x 是周期为4的周期函数，可判断A ；对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ．对于D ，构造函数()()cos g x f x x =-，利用导数法求出单调区间，结合零点存在性定理，即可判断D ．【详解】根据题意，对于A ，()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，所以()f x 图象关于1x =对称，(2)()()f x f x f x +=-=- 即(4)(2)()f x f x f x +=-+= 则()f x 是周期为4的周期函数，A 错误；对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-，则()()201920201f f +=-；故B 正确．对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10x ∈-，时，()10f x -≤＜， (0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[11]-，．故C 正确．对于D ，(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，[0,1],()(2)x f x x x ∴∈=--，[1,2],2[0,1],()(2)(2)x x f x f x x x ∴∈-∈=-=--， [0,2],()(2)x f x x x ∴∈=--，()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+， ()f x 的周期为4，[2,4],()(2)(4)x f x x x ∴∈=--，[4,6],()(4)(6)x f x x x ∴∈=---， [6,2],()(6)(8)x f x x x π∴∈=--，设()()cos g x f x x =-，当2[0,2],()2cos x g x x x x ∈=-+-，()22sin g x x x '=-++，设()(),()2cos 0h x g x h x x =''=-+<在[0,2]恒成立，()h x 在[0,2]单调递减，即()g x '在[0,2]单调递减，且(1)sin10,(2)2sin20g g '=>'=-+<，存在00(1,2),()0x g x ∈'=，0(0,),()0,()x x g x g x ∈'>单调递增， 0(,2),()0,()x x g x g x ∈'<单调递减，0(0)1,(1)1cos10,()(1)0,(2)cos20g g g x g g =-=->>>=->，所以()g x 在0(0,)x 有唯一零点，在0(,2)x 没有零点，即2(]0,x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点，当[]24x ∈，时，，()()2cos 6+8cos x x g x f x x x =-=--，则()26+sin g x x x '=-，()()26+sin x x h x g x ='=-，则()2+cos >0h x x '=，所以()g x '在[]24，上单调递增，且()()3sin3>0,22+sin20g g '='=-<，所以存在唯一的[][]12324x ∈⊂，，，使得()0g x '=，所以()12,x x ∈，()0g x '<，()g x 在()12,x 单调递减，()14x x ∈，，()>0g x '，()g x 在()14x ，单调递增，又()31cos30g =--<，所以()1(3)0g x g <<，又()()2cos2>0,4cos4>0g g =-=-，所以()g x 在()12,x 上有一个唯一的零点，在()14x ，上有唯一的零点，所以当[]24x ∈，时，()f x 的图象与曲线cos y x =有2个交点，，当[]46x ∈，时，同[0,2]x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点，当[6,2],()(6)(8)0,cos 0x f x x x y x π∈=--<=>，()f x 的图象与曲线cos y x =没有交点，所以()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点，故D 正确；故选：BCD ．【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、周期性、两函数图像的交点，属于较难题.7．对于函数()()13cos ,,22132,,22x x f x f x x π⎧⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫⎪-∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩，下面结论正确的是（）A ．任取121,,2x x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()122f x f x -≤恒成立 B ．对于一切1,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()()*22N k f x f x k k =+∈ C ．函数()1ln 2y f x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭有3个零点 D ．对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】ABC 【分析】先在坐标轴中画出()y f x =的图象,根据图象可判断A 选项,结合解析式可判断B 选项,再画出1ln()2y x =-与k y x=的图象,数形结合可判断C,D 选项.【详解】在坐标轴上作出函数()f x 的图象如下图所示:由图象可知()f x 的最大值为1,最小值为1-,故选项A 正确; 由题可知()()()1312,(,)(2),(,)22221f x f x x f x f x x =-∈+∞⇒+=∈-+∞, 所以*1(2)()()()2k f x k f x k N +=∈即()2(2)k f x f x k =+,故选项B 正确;作出1ln()2y x =-的图象，因为11ln(2)ln 2232-=<，由图象可知()y f x =与1ln()2y x =-有3个交点,故选项C 正确;结合图象可知,若对任意0x >,不等式()kf x x恒成立, 即2x n =时,不等式(2)2kf n n恒成立, 又11(2)()(0)()22nnf n f ==, 所以1()22n k n ,即22n nk 在*n N ∈时恒成立, 设2()2x x g x =,则2ln 4()2xxg x -⋅'=, 故[)2,x ∈+∞时,()0g x '<,函数()g x 在[)2,+∞上单调递减, 所以[)2,x ∈+∞时,max ()(2)1g x g ==,又(1)1g =,所以max 212n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭,即1k ,故选项D 错误.故选:ABC. 【点睛】本题主要考查分段函数的周期性及数形结合法在处理函数问题中的应用,有一定难度.8．对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+（k ，b 为常数），对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有()()()()00f x h x mh x g x m ⎧<-<⎪⎨<-<⎪⎩，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =与()y g x =的“分渐近线”.给出定义域均为{}|1D x x =>的四组函数，其中曲线()y f x =与()y g x =存在“分渐近线”的是（） A ．()2f xx =，()g x =B ．()102xf x -=+，()23x g x x-=C ．()21x f x x+=，()ln 1ln x x g x x +=D ．()221x f x x =+，()()21xg x x e -=--【答案】BD 【分析】根据分渐近线的定义，对四组函数逐一分析，由此确定存在“分渐近线”的函数. 【详解】解：()f x 和()g x 存在分渐近线的充要条件是x →∞时，()()0,()()f x g x f x g x -→>．对于①，()2f x x =，()g x =当1x >时，令()()()2F x f x g x x =-=，由于()20F x x '=->，所以()h x 为增函数，不符合x →∞时，()()0f x g x -→，所以不存在分渐近线；对于②，()1022xf x -=+>，()232,(1)x g x x x-=<> ()()f x g x ∴>，2313()()10210xxx f x g x x x--⎛⎫-=+-=+ ⎪⎝⎭，因为当1x >且x →∞时，()()0f x g x -→，所以存在分渐近线；对于③，21()x f x x+=，ln 1()ln x x g x x +=，21111111()()ln ln ln x x nx f x g x x x x x x x x x++-=-=+--=-当1x >且x →∞时，1x 与1ln x 均单调递减，但1x的递减速度比1ln x 快，所以当x →∞时，()()f x g x -会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；对于④，22()1x f x x =+，()()21xg x x e -=--，当x →∞时，22()()220+1222+1x x x f x g x x e x x e--=-+++=→，且()()0f x g x ->，因此存在分渐近线．故存在分渐近线的是BD ．故选：BD ．【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查函数的单调性，属于难题.二、导数及其应用多选题9．已知函数()f x 对于任意x ∈R ，均满足()()2f x f x =-.当1x ≤时()ln ,01,0x x x f x e x <≤⎧=⎨≤⎩，若函数()()2g x m x f x =--，下列结论正确的为（）A ．若0m <，则()g x 恰有两个零点B ．若32m e <<，则()g x 有三个零点 C ．若302m <≤，则()g x 恰有四个零点 D ．不存在m 使得()g x 恰有四个零点【答案】ABC 【分析】设()2h x m x =-，作出函数()g x 的图象，求出直线2y mx =-与曲线()ln 01y x x =<<相切以及直线2y mx =-过点()2,1A 时对应的实数m 的值，数形结合可判断各选项的正误. 【详解】由()()2f x f x =-可知函数()f x 的图象关于直线1x =对称. 令()0g x =，即()2m x f x -=，作出函数()f x 的图象如下图所示：令()2h x m x =-，则函数()g x 的零点个数为函数()f x 、()h x 的图象的交点个数，()h x 的定义域为R ，且()()22h x m x m x h x -=--=-=，则函数()h x 为偶函数，且函数()h x 的图象恒过定点()0,2-，当函数()h x 的图象过点()2,1A 时，有()2221h m =-=，解得32m =. 过点()0,2-作函数()ln 01y x x =<<的图象的切线，设切点为()00,ln x x ，对函数ln y x =求导得1y x'=，所以，函数ln y x =的图象在点()00,ln x x 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=-，切线过点()0,2-，所以，02ln 1x --=-，解得01x e=，则切线斜率为e ，即当m e =时，函数()y h x =的图象与函数()ln 01y x x =<<的图象相切. 若函数()g x 恰有两个零点，由图可得0m ≤或m e =，A 选项正确；若函数()g x 恰有三个零点，由图可得32m e <<，B 选项正确；若函数()g x 恰有四个零点，由图可得302m <≤，C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.10．设函数()()()1f x x x x a =--，则下列结论正确的是（） A ．当4a =-时，()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为194B ．当1a =时，函数()f x 的图像与直线427y =有2个交点 C ．当2a =时，()f x 的图像关于点()1,0中心对称D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a ≥时，()()120f x f x +≤ 【答案】BCD 【分析】运用平均变化率的定义可分析A ，利用导数研究()f x 的单调性和极值，可分析B 选项，证明()()20f x f x +-=可分析C 选项，先得出1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，结合韦达定理可分析D 选项．【详解】对于A ，当4a =-时，()()()14f x x x x =-+，则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为()()()119123192221412⎛⎫⨯-⨯--⨯-⨯ ⎪⎝⎭=---，故A 错误；对于B ，当1a =时，()()23212f x x x x x x =-=-+，()()()2341311f x x x x x '=-+=--，可得下表：因为327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f =，()42227f =>，结合()f x 的单调性可知，方程()427f x =有两个实数解，一个解为13，另一个解在()1,2上，故B 正确；对于C ，当2a =时，()()()()()()()231211111f x x x x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎣⎦，则有()()()()()()33211110f x f x x x x x +-=---+---=，故C 正确；对于D ，()()()1f x x x x a =--，()()()()()2121321f x x x a x x a x a x a '=--+--=-++，令()0f x '=，可得方程()23210x a x a -++=，因为()()22412130a a a ∆=-+=-+>，且函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，所以1x ，2x 为方程()23210x a x a -++=的两个实数根，则有()12122132x x a a x x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()()()()()()1211122211f x f x x x x a x x x a +=--+--()()()()33221212121x x a x x a x x =+-++++()()()()()22212112212121212x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤=+-++++-++⎣⎦()()()22211221212221233a x x x x x x x x a ⎡⎤=+-+-+++⎢⎥⎣⎦()()()()()21242212113327a a a x x a a --⎡⎤=+-++=-+⋅⎢⎥⎣⎦因为2a ≥，所以()()120f x f x +≤，故D 正确；故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，平均变化率，极值等问题，本题的关键是选项D ，利用根与系数的关系，转化为关于a 的函数，证明不等式.。

高三数学第一轮复习函数与方程教案文

函数与方程一、知识梳理：（阅读教材必修1第85页—第94页）1、方程的根与函数的零点(1)零点:对于函数,我们把使0的实数x叫做函数的零点。

这样，函数的零点就是方程0的实数根，也就是函数的图象与x轴交点的横坐标，所以方程0有实根。

（2）、函数的零点存在性定理：如果函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有那么，在区间（a，b）内有零点，即存在c，使得=0，这个C 也就是方程0的实数根。

（3）、零点存在唯一性定理：如果单调函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有那么，在区间（a，b）内有零点，即存在唯一c，使得=0，这个C 也就是方程0的实数根。

（4）、零点的存在定理说明：①求在闭间内连续，满足条件时，在开区间内函数有零点；②条件的函数在区间（a，b）内的零点至少一个；③间[a，b]上连续函数，不满足，这个函数在（a，b）内也有可能有零点，因此在区间[a，b]上连续函数，是函数在（a，b）内有零点的充分不必要条件。

2、用二分法求方程的近似解（1）、二分法定义：对于区间[a，b]连续不断且的函数通过不断把区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法。

（2）、给定精确度（）用二分法求函数的零点近似值步骤如下：①确定区间[a，b]，验证给定精确度（）；②求区间（a，b）的中点c；③计算（I）若=0，则c就是函数的零点；（II）若则令b=c，（此时零点）；（III）若则令a=c，（此时零点）；④判断是否达到精确度，若|a-b|，则得到零点的近似值a（或b），否则重复②--④步骤。

函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解，由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的程序，借助计算器或者计算机来完成计算。

二、题型探究[探究一]：函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．[探究二]：若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否一定是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0呢？提示：不一定．由图(1)(2)可知．[探究三]：有二分法求方程的近似解例1：已知图象连续不断的函数在区间（a，b）（b-a=0.1）上有唯一零点，如果用“二分法”求个零点（精确度0.0001）的近似值，那么将区间等分的次数至少是（D）（A）7 （B）8 （C）9 （D）10例2：下列图象不能用二分法示这个函数的零点的是（3、5）(5)Xy o(3)X yo(4)Xy o oyX(2)(1)Xyo二、方法提升1、根据根的存在定量理，判断方程的根的取值范围是在高考题中易考的问题，这类问题只需将区间的两个端点的值代入计算即可判断出来。

高考数学专题复习函数与方程思想教案

高考数学专题复习函数与方程思想教案第一章：函数与方程引论【教学目标】1. 理解函数与方程的概念及其相互关系。

2. 掌握函数与方程的基本性质和常用解法。

【教学内容】1. 函数与方程的定义及例子。

2. 函数与方程的性质分析。

3. 函数与方程的解法探讨。

【教学过程】1. 引入新课：通过实例介绍函数与方程的重要性。

2. 讲解概念：讲解函数与方程的基本概念，引导学生理解其相互关系。

3. 分析性质：分析函数与方程的性质，如单调性、奇偶性等。

4. 解法探讨：介绍常用的函数与方程解法，如代入法、消元法等。

【作业布置】1. 复习函数与方程的基本概念和性质。

2. 练习解简单的函数与方程题目。

第二章：一次函数与一元一次方程【教学目标】1. 掌握一次函数的图像和性质。

2. 学会解一元一次方程。

【教学内容】1. 一次函数的图像和性质。

2. 一元一次方程的解法。

【教学过程】1. 引入新课：通过实际问题引入一次函数和一元一次方程。

2. 讲解概念：讲解一次函数的图像和性质，如斜率、截距等。

3. 解法讲解：讲解一元一次方程的解法，如加减法、乘除法等。

4. 练习巩固：学生练习解一次函数和一元一次方程的题目。

【作业布置】1. 复习一次函数的图像和性质。

2. 练习解一元一次方程。

第三章：二次函数与一元二次方程【教学目标】1. 掌握二次函数的图像和性质。

2. 学会解一元二次方程。

【教学内容】1. 二次函数的图像和性质。

2. 一元二次方程的解法。

【教学过程】1. 引入新课：通过实际问题引入二次函数和一元二次方程。

2. 讲解概念：讲解二次函数的图像和性质，如开口方向、顶点等。

3. 解法讲解：讲解一元二次方程的解法，如因式分解法、求根公式法等。

4. 练习巩固：学生练习解二次函数和一元二次方程的题目。

【作业布置】1. 复习二次函数的图像和性质。

2. 练习解一元二次方程。

第四章：函数与方程的应用【教学目标】1. 学会运用函数与方程解决实际问题。

2. 培养学生的数学应用能力。

高考数学(理科)一轮复习函数与方程学案有答案

高考数学（理科）一轮复习函数与方程学案有答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案11 函数与方程导学目标：1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似值．自主梳理．函数零点的定义对于函数y＝f，把使________成立的实数x叫做函数y ＝f的零点．方程f＝0有实根⇔函数y＝f的图象与____有交点⇔函数y＝f有________．2．函数零点的判定如果函数y＝f在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____________，那么函数y＝f在区间________内有零点，即存在c∈，使得________，这个____也就是f＝0的根．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点________，________________无交点零点个数________________________4.用二分法求函数f零点近似值的步骤第一步，确定区间[a，b]，验证________________，给定精确度ε；第二步，求区间的中点c；第三步，计算______：①若________，则c就是函数的零点；②若________，则令b＝c[此时零点x0∈]；③若________，则令a＝c[此时零点x0∈]；第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a；否则重复第二、三、四步．自我检测．f＝x2＋2x－3，x≤0－2＋lnxx>0的零点个数为A．0B．1c．2D．32．若函数y＝f在R上递增，则函数y＝f的零点A．至少有一个B．至多有一个c．有且只有一个D．可能有无数个3．如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是A．①②B．①③c．①④D．③④4．设f＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈内近似解的过程中得f<0，f>0，f<0，则方程的根所在的区间是A．B．c．D．不能确定5．若函数f的零点与g＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f可以是A．f＝4x－1B．f＝2c．f＝ex－1D．f＝ln探究点一函数零点的判断例1 判断函数y＝lnx＋2x－6的零点个数．变式迁移1 若定义在R上的偶函数f满足f＝f，且当x∈[0,1]时，f＝x，则函数y＝f－log3|x|的零点个数是A．多于4个B．4个c．3个D．2个探究点二用二分法求方程的近似解例2 求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解．变式迁移2 用二分法研究函数f＝x3＋lnx＋12的零点时，第一次经计算f<0，>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为A.0，12B．f12c.12，1D.0，12探究点三利用函数的零点确定参数例3 已知a是实数，函数f＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．变式迁移3 若函数f＝4x＋a•2x＋a＋1在上存在零点，求实数a的取值范围．．全面认识深刻理解函数零点：从“数”的角度看：即是使f＝0的实数x；从“形”的角度看：即是函数f的图象与x轴交点的横坐标；若函数f的图象在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；若函数f的图象在x＝x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．2．求函数y＝f的零点的方法：求方程f＝0的实数根；对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点；主要用于求函数零点的近似值，二分法的条件f•f<0表明：用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．3．有关函数零点的重要结论：若连续不间断的函数f是定义域上的单调函数，则f至多有一个零点；连续不间断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；连续不间断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变．一、选择题．函数f＝2x＋3x的零点所在的一个区间是A．B．c．D．2．已知函数f＝log2x－13x，若实数x0是方程f＝0的解，且0<x1<x0，则f的值A．恒为负B．等于零c．恒为正D．不小于零3．下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是4．函数f＝－1有两个零点x1、x2，且x1<x2，则A．x1<2,2<x2<5B．x1>2，x2>5c．x1<2，x2>5D．2<x1<5，x2>55．设函数f＝4x－4，x≤1x2－4x＋3，x>1，g＝log2x，则函数h＝f－g 的零点个数是A．4B．3c．2D．1题号2345答案二、填空题6．定义在R上的奇函数f满足：当x>0时，f＝XXx ＋logXXx，则在R上，函数f零点的个数为________．7．已知函数f＝x＋2x，g＝x＋lnx，h＝x－x－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是______________．8．若函数f＝ax－x－a有两个零点，则实数a的取值范围是________．三、解答题9．已知函数f＝x3－x2＋x2＋14.证明：存在x0∈，使f＝x0.0．已知二次函数f＝4x2－2x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，使f>0，求实数p的取值范围．1．设函数f＝ax2＋bx＋c，且f＝－a2，3a>2c>2b，求证：a>0且－3<ba<－34；函数f在区间内至少有一个零点；设x1，x2是函数f的两个零点，则2≤|x1－x2|<574.答案自主梳理．f＝0 x轴零点 2.f•f<0f＝0 c 3. 两个一个无 4.f•f<0f①f＝0②f•f<0 ③f•f<0自我检测．c [当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；当x>0时，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2，所以已知函数有两个零点．]2．B 3.B 4.B 5.A课堂活动区例1 解题导引判断函数零点个数最常用的方法是令f＝0，转化为方程根的个数，解出方程有几个根，函数y＝f 就有几个零点，如果方程的根解不出，还有两种方法判断：方法一是基本方法，是利用零点的存在性原理，要注意参考单调性可判定零点的唯一性；方法二是数形结合法，要注意作图技巧．解方法一设f＝lnx＋2x－6，∵y＝lnx和y＝2x－6均为增函数，∴f也是增函数．又∵f＝0＋2－6＝－4<0，f＝ln3>0，∴f在上存在零点．又f为增函数，∴函数在上存在唯一零点．方法二在同一坐标系画出y＝lnx与y＝6－2x的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数y＝lnx＋2x－6只有一个零点．变式迁移1 B [由题意知f是偶函数并且周期为2.由f－log3|x|＝0，得f＝log3|x|，令y＝f，y＝log3|x|，这两个函数都是偶函数，画两函数y轴右边的图象如图，两函数有两个交点，因此零点个数在x ≠0，x∈R的范围内共4个．]例2 解题导引①用二分法求函数的零点时，最好是利用表格，将计算过程所得的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等置于表格中，可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程，有时也可利用数轴来表示这一过程；②在确定方程近似解所在的区间时，转化为求方程对应函数的零点所在的区间，找出的区间[a，b]长度尽可能小，且满足f•f<0；③求方程的近似解，所要求的精确度不同得到的结果也不同，精确度ε，是指在计算过程中得到某个区间后，直到|a－b|<ε时，可停止计算，其结果可以是满足精确度的最后小区间的端点或区间内的任一实数，结果不唯一．解设f＝2x3＋3x－3.经计算，f＝－3<0，f＝2>0，所以函数在内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在内有解．取的中点0.5，经计算f<0，又f>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在内有解，如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表.的中点fa＋b20.5f<00.75f>00.625f<00.6875f<0|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1至此，可以看出方程的根落在区间长度小于0.1的区间内，可以将区间端点0.6875作为函数f零点的近似值．因此0.6875是方程2x3＋3x－3＝0精确度0.1的一个近似解．变式迁移2 D [由于f<0，f12>0，而f＝x3＋lnx＋12中的x3及lnx＋12在－12，＋∞上是增函数，故f 在－12，＋∞上也是增函数，故f在0，12上存在零点，所以x0∈0，12，第二次计算应计算0和12在数轴上对应的中点x1＝0＋122＝14.]例3 解若a＝0，f＝2x－3，显然在[－1，1]上没有零点，所以a≠0.令Δ＝4＋8a＝8a2＋24a＋4＝0，解得a＝－3±72.①当a＝－3－72时，f＝0的重根x＝3－72∈[－1,1]，当a＝－3＋72时，f＝0的重根x＝3＋72∉[－1,1]，∴y＝f恰有一个零点在[－1,1]上；②当f•f＝<0，即1<a<5时，y＝f在[－1,1]上也恰有一个零点．③当y＝f在[－1,1]上有两个零点时，则a>0Δ＝8a2＋24a＋4>0－1<－12a<1f1≥0f－1≥0，或a<0Δ＝8a2＋24a＋4>0－1<－12a<1f1≤0f－1≤0，解得a≥5或a<－3－72.综上所述实数a的取值范围是a>1或a≤－3－72.变式迁移3 解方法一设2x＝t，则函数f＝4x＋a•2x＋a＋1化为g＝t2＋at＋a＋1)．函数f＝4x＋a•2x＋a＋1在上存在零点，等价于方程t2＋at＋a＋1＝0，①有正实数根．当方程①有两个正实根时，a应满足Δ＝a2－4a＋1≥0t1＋t2＝－a>0t1•t2＝a＋1>0，解得：－1<a≤2－22；当方程①有一正根一负根时，只需t1•t2＝a＋1<0，即a<－1；当方程①有一根为0时，a＝－1，此时方程①的另一根为1.综上可知a≤2－22.方法二令g＝t2＋at＋a＋1)．当函数g在上存在两个零点时，实数a应满足Δ＝a2－4a＋1≥0－a2>0g0＝a＋1>0，解得－1<a≤2－22；当函数g在上存在一个零点，另一个零点在时，实数a应满足g＝a＋1<0，解得a<－1；当函数g的一个零点是0时，g＝a＋1＝0，a＝－1，此时可以求得函数g的另一个零点是1.综上知a≤2－22.课后练习区．B [因为f＝12－3<0，f＝1>0，所以f在区间上存在零点．]2．A3．c [能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f•f<0.A、B中不存在f<0，D中函数不连续．]4．c5．B [当x≤1时，函数f＝4x－4与g＝log2x的图象有两个交点，可得h有两个零点，当x>1时，函数f＝x2－4x＋3与g＝log2x的图象有1个交点，可得函数h有1个零点，∴函数h共有3个零点．]6．3解析函数f为R上的奇函数，因此f＝0，当x>0时，f＝XXx＋logXXx在区间内存在一个零点，又f为增函数，因此在内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在内有且仅有一解，从而函数在R上的零点的个数为3.7．x1<x2<x3解析令x＋2x＝0，即2x＝－x，设y＝2x，y＝－x；令x＋lnx＝0，即lnx＝－x，设y＝lnx，y＝－x.在同一坐标系内画出y＝2x，y＝lnx，y＝－x，如图：x1<0<x2<1，令x－x－1＝0，则2－x－1＝0，∴x＝1＋52，即x3＝3＋52>1，所以x1<x2<x3.8．a>1解析设函数y＝ax和函数y＝x＋a，则函数f＝ax－x －a有两个零点，就是函数y＝ax与函数y＝x＋a有两个交点，由图象可知当0<a<1时两函数只有一个交点，不符合；当a>1时，因为函数y＝ax的图象过点，而直线y ＝x＋a所过的点一定在点的上方，所以一定有两个交点，所以实数a的取值范围是a>1.9．证明令g＝f－x.………………………………………………………………∵g＝14，g＝f－12＝－18，∴g•g<0.……………………………………………………………………………又函数g在上连续，…………………………………………………………所以存在x0∈，使g＝0.即f＝x0.………………………………………………………………………………0．解二次函数f在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，使f>0的否定是：对于区间[－1,1]内的任意一个x 都有f≤0.……………………此时f1≤0f－1≤0，即2p2＋3p－9≥02p2－p－1≥0，解得：p≥32或p≤－3.…………………………………………………………………………∴二次函数f在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，使f>0的实数p的取值范围是－3<p<32.…………………………………………………………………………………1．证明∵f＝a＋b＋c＝－a2，∴3a＋2b＋2c＝0.又3a>2c>2b，∴3a>0,2b<0，∴a>0，b<0.又2c＝－3a－2b，由3a>2c>2b，∴3a>－3a－2b>2b.∵a>0，∴－3<ba<－34.……………………………………………………………………∵f＝c，f＝4a＋2b＋c＝a－c.①当c>0时，∵a>0，∴f＝c>0且f＝－a2<0，∴函数f在区间内至少有一个零点．……………………………………………②当c≤0时，∵a>0，∴f＝－a2<0且f＝a－c>0，∴函数f在区间内至少有一个零点．综合①②得f在内至少有一个零点．……………………………………………∵x1，x2是函数f的两个零点，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．∴x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca＝－32－ba.∴|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2＝－ba2－4－32－ba＝ba＋22＋2.∵－3<ba<－34，∴2≤|x1－x2|<574.……………………………………………………………………。

高三一轮复习教案-函数与方程

课题：函数与方程（高三第一轮复习课）教学内容分析：本节课选自人教版必修一第三章第一节《函数与方程》内容。

函数与方程在高中数学中占举足轻重的地位，高考对函数零点的考查有：（1）求函数零点；（2）确定函数零点的个数：（3）根据函数零点的存在情况求参数值或取值范围。

题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题主要考查相应函数的图像和性质，主观题考查较为综合，涉及函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法等。

本节课通过对函数零点的讨论，将函数零点与方程的根、与函数图像三者有机结合起来。

它既揭示了函数与方程之间的内在联系，又对函数知识进行了总结拓展，同时将方程与函数图像联系起来，渗透了“数形结合”、“方程与函数”等重要思想。

学情分析：这是一个理科的普通班，学生基础普遍不扎实，学生具有强烈的畏难情绪，且眼高手低。

通过高一高二的知识积累，学生虽然对本节内容有简单的认识，但是时间较长，知识点大多遗忘。

所以，在本课开始前，先通过简单的知识梳理让学生把知识点贯穿起来，然后根据学生的实际情况进行适当的知识点拓展。

设计思想：教学理念：以第一轮复习为抓手，让学生把各个相关的知识点有机的结合起来。

教学原则：夯实基础，注重各个层面的学生。

教学方法：讲练结合，师生互动。

教学目标：知识与技能：让学生理清函数零点、函数图象与x轴的交点、方程的根三者之间的关系；弄清零点的存在性、零点的个数、零点的求解方法等三个问题。

过程与方法：利用已学过的函数的图像、性质去研究函数的零点。

情感态度与价值观：体会数形结合的数学思想及从特殊到一般的归纳思想，提高辩证思维以及分析问题解决问题的能力。

教学重点难点：重点：函数零点，方程的根，函数图象与x轴交点三者之间的互相联系。

难点：零点个数问题，含参数的零点问题。

教学程序框图：教学环节与设计意图：（一）、知识梳理设计意图：第一部分知识梳理要求学生在课前完成，学生回顾已学过的内容，结合相关知识整理出“函数与方程”的知识体系。

高考数学(理科)一轮复习函数与方程学习型教学案有答案

高考数学（理科）一轮复习函数与方程学案有答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案11 函数与方程导学目标：1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似值．自主梳理．函数零点的定义对于函数y＝f，把使________成立的实数x叫做函数y ＝f的零点．方程f＝0有实根⇔函数y＝f的图象与____有交点⇔函数y＝f有________．2．函数零点的判定如果函数y＝f在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____________，那么函数y＝f在区间________内有零点，即存在c∈，使得________，这个____也就是f＝0的根．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点________，________________无交点零点个数________________________4.用二分法求函数f零点近似值的步骤第一步，确定区间[a，b]，验证________________，给定精确度ε；第二步，求区间的中点c；第三步，计算______：①若________，则c就是函数的零点；②若________，则令b＝c[此时零点x0∈]；③若________，则令a＝c[此时零点x0∈]；第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a；否则重复第二、三、四步．自我检测．f＝x2＋2x－3，x≤0－2＋lnxx>0的零点个数为A．0B．1c．2D．32．若函数y＝f在R上递增，则函数y＝f的零点A．至少有一个B．至多有一个c．有且只有一个D．可能有无数个3．如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是A．①②B．①③c．①④D．③④4．设f＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈内近似解的过程中得f<0，f>0，f<0，则方程的根所在的区间是A．B．c．D．不能确定5．若函数f的零点与g＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f可以是A．f＝4x－1B．f＝2c．f＝ex－1D．f＝ln探究点一函数零点的判断例1 判断函数y＝lnx＋2x－6的零点个数．变式迁移1 若定义在R上的偶函数f满足f＝f，且当x∈[0,1]时，f＝x，则函数y＝f－log3|x|的零点个数是A．多于4个B．4个c．3个D．2个探究点二用二分法求方程的近似解例2 求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解．变式迁移2 用二分法研究函数f＝x3＋lnx＋12的零点时，第一次经计算f<0，>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为A.0，12B．f12c.12，1D.0，12探究点三利用函数的零点确定参数例3 已知a是实数，函数f＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．变式迁移3 若函数f＝4x＋a•2x＋a＋1在上存在零点，求实数a的取值范围．．全面认识深刻理解函数零点：从“数”的角度看：即是使f＝0的实数x；从“形”的角度看：即是函数f的图象与x轴交点的横坐标；若函数f的图象在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；若函数f的图象在x＝x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．2．求函数y＝f的零点的方法：求方程f＝0的实数根；对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点；主要用于求函数零点的近似值，二分法的条件f•f<0表明：用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．3．有关函数零点的重要结论：若连续不间断的函数f是定义域上的单调函数，则f至多有一个零点；连续不间断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；连续不间断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变．一、选择题．函数f＝2x＋3x的零点所在的一个区间是A．B．c．D．2．已知函数f＝log2x－13x，若实数x0是方程f＝0的解，且0<x1<x0，则f的值A．恒为负B．等于零c．恒为正D．不小于零3．下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是4．函数f＝－1有两个零点x1、x2，且x1<x2，则A．x1<2,2<x2<5B．x1>2，x2>5c．x1<2，x2>5D．2<x1<5，x2>55．设函数f＝4x－4，x≤1x2－4x＋3，x>1，g＝log2x，则函数h＝f－g 的零点个数是A．4B．3c．2D．1题号2345答案二、填空题6．定义在R上的奇函数f满足：当x>0时，f＝XXx ＋logXXx，则在R上，函数f零点的个数为________．7．已知函数f＝x＋2x，g＝x＋lnx，h＝x－x－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是______________．8．若函数f＝ax－x－a有两个零点，则实数a的取值范围是________．三、解答题9．已知函数f＝x3－x2＋x2＋14.证明：存在x0∈，使f＝x0.0．已知二次函数f＝4x2－2x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，使f>0，求实数p的取值范围．1．设函数f＝ax2＋bx＋c，且f＝－a2，3a>2c>2b，求证：a>0且－3<ba<－34；函数f在区间内至少有一个零点；设x1，x2是函数f的两个零点，则2≤|x1－x2|<574.答案自主梳理．f＝0 x轴零点 2.f•f<0f＝0 c 3. 两个一个无 4.f•f<0f①f＝0②f•f<0 ③f•f<0自我检测．c [当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；当x>0时，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2，所以已知函数有两个零点．]2．B 3.B 4.B 5.A课堂活动区例1 解题导引判断函数零点个数最常用的方法是令f＝0，转化为方程根的个数，解出方程有几个根，函数y＝f 就有几个零点，如果方程的根解不出，还有两种方法判断：方法一是基本方法，是利用零点的存在性原理，要注意参考单调性可判定零点的唯一性；方法二是数形结合法，要注意作图技巧．解方法一设f＝lnx＋2x－6，∵y＝lnx和y＝2x－6均为增函数，∴f也是增函数．又∵f＝0＋2－6＝－4<0，f＝ln3>0，∴f在上存在零点．又f为增函数，∴函数在上存在唯一零点．方法二在同一坐标系画出y＝lnx与y＝6－2x的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数y＝lnx＋2x－6只有一个零点．变式迁移1 B [由题意知f是偶函数并且周期为2.由f－log3|x|＝0，得f＝log3|x|，令y＝f，y＝log3|x|，这两个函数都是偶函数，画两函数y轴右边的图象如图，两函数有两个交点，因此零点个数在x ≠0，x∈R的范围内共4个．]例2 解题导引①用二分法求函数的零点时，最好是利用表格，将计算过程所得的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等置于表格中，可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程，有时也可利用数轴来表示这一过程；②在确定方程近似解所在的区间时，转化为求方程对应函数的零点所在的区间，找出的区间[a，b]长度尽可能小，且满足f•f<0；③求方程的近似解，所要求的精确度不同得到的结果也不同，精确度ε，是指在计算过程中得到某个区间后，直到|a－b|<ε时，可停止计算，其结果可以是满足精确度的最后小区间的端点或区间内的任一实数，结果不唯一．解设f＝2x3＋3x－3.经计算，f＝－3<0，f＝2>0，所以函数在内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在内有解．取的中点0.5，经计算f<0，又f>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在内有解，如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表.的中点fa＋b20.5f<00.75f>00.625f<00.6875f<0|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1至此，可以看出方程的根落在区间长度小于0.1的区间内，可以将区间端点0.6875作为函数f零点的近似值．因此0.6875是方程2x3＋3x－3＝0精确度0.1的一个近似解．变式迁移2 D [由于f<0，f12>0，而f＝x3＋lnx＋12中的x3及lnx＋12在－12，＋∞上是增函数，故f 在－12，＋∞上也是增函数，故f在0，12上存在零点，所以x0∈0，12，第二次计算应计算0和12在数轴上对应的中点x1＝0＋122＝14.]例3 解若a＝0，f＝2x－3，显然在[－1，1]上没有零点，所以a≠0.令Δ＝4＋8a＝8a2＋24a＋4＝0，解得a＝－3±72.①当a＝－3－72时，f＝0的重根x＝3－72∈[－1,1]，当a＝－3＋72时，f＝0的重根x＝3＋72∉[－1,1]，∴y＝f恰有一个零点在[－1,1]上；②当f•f＝<0，即1<a<5时，y＝f在[－1,1]上也恰有一个零点．③当y＝f在[－1,1]上有两个零点时，则a>0Δ＝8a2＋24a＋4>0－1<－12a<1f1≥0f－1≥0，或a<0Δ＝8a2＋24a＋4>0－1<－12a<1f1≤0f－1≤0，解得a≥5或a<－3－72.综上所述实数a的取值范围是a>1或a≤－3－72.变式迁移3 解方法一设2x＝t，则函数f＝4x＋a•2x＋a＋1化为g＝t2＋at＋a＋1)．函数f＝4x＋a•2x＋a＋1在上存在零点，等价于方程t2＋at＋a＋1＝0，①有正实数根．当方程①有两个正实根时，a应满足Δ＝a2－4a＋1≥0t1＋t2＝－a>0t1•t2＝a＋1>0，解得：－1<a≤2－22；当方程①有一正根一负根时，只需t1•t2＝a＋1<0，即a<－1；当方程①有一根为0时，a＝－1，此时方程①的另一根为1.综上可知a≤2－22.方法二令g＝t2＋at＋a＋1)．当函数g在上存在两个零点时，实数a应满足Δ＝a2－4a＋1≥0－a2>0g0＝a＋1>0，解得－1<a≤2－22；当函数g在上存在一个零点，另一个零点在时，实数a应满足g＝a＋1<0，解得a<－1；当函数g的一个零点是0时，g＝a＋1＝0，a＝－1，此时可以求得函数g的另一个零点是1.综上知a≤2－22.课后练习区．B [因为f＝12－3<0，f＝1>0，所以f在区间上存在零点．]2．A3．c [能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f•f<0.A、B中不存在f<0，D中函数不连续．]4．c5．B [当x≤1时，函数f＝4x－4与g＝log2x的图象有两个交点，可得h有两个零点，当x>1时，函数f＝x2－4x＋3与g＝log2x的图象有1个交点，可得函数h有1个零点，∴函数h共有3个零点．]6．3解析函数f为R上的奇函数，因此f＝0，当x>0时，f＝XXx＋logXXx在区间内存在一个零点，又f为增函数，因此在内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在内有且仅有一解，从而函数在R上的零点的个数为3.7．x1<x2<x3解析令x＋2x＝0，即2x＝－x，设y＝2x，y＝－x；令x＋lnx＝0，即lnx＝－x，设y＝lnx，y＝－x.在同一坐标系内画出y＝2x，y＝lnx，y＝－x，如图：x1<0<x2<1，令x－x－1＝0，则2－x－1＝0，∴x＝1＋52，即x3＝3＋52>1，所以x1<x2<x3.8．a>1解析设函数y＝ax和函数y＝x＋a，则函数f＝ax－x －a有两个零点，就是函数y＝ax与函数y＝x＋a有两个交点，由图象可知当0<a<1时两函数只有一个交点，不符合；当a>1时，因为函数y＝ax的图象过点，而直线y ＝x＋a所过的点一定在点的上方，所以一定有两个交点，所以实数a的取值范围是a>1.9．证明令g＝f－x.………………………………………………………………∵g＝14，g＝f－12＝－18，∴g•g<0.……………………………………………………………………………又函数g在上连续，…………………………………………………………所以存在x0∈，使g＝0.即f＝x0.………………………………………………………………………………0．解二次函数f在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，使f>0的否定是：对于区间[－1,1]内的任意一个x 都有f≤0.……………………此时f1≤0f－1≤0，即2p2＋3p－9≥02p2－p－1≥0，解得：p≥32或p≤－3.…………………………………………………………………………∴二次函数f在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，使f>0的实数p的取值范围是－3<p<32.…………………………………………………………………………………1．证明∵f＝a＋b＋c＝－a2，∴3a＋2b＋2c＝0.又3a>2c>2b，∴3a>0,2b<0，∴a>0，b<0.又2c＝－3a－2b，由3a>2c>2b，∴3a>－3a－2b>2b.∵a>0，∴－3<ba<－34.……………………………………………………………………∵f＝c，f＝4a＋2b＋c＝a－c.①当c>0时，∵a>0，∴f＝c>0且f＝－a2<0，∴函数f在区间内至少有一个零点．……………………………………………②当c≤0时，∵a>0，∴f＝－a2<0且f＝a－c>0，∴函数f在区间内至少有一个零点．综合①②得f在内至少有一个零点．……………………………………………∵x1，x2是函数f的两个零点，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．∴x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca＝－32－ba.∴|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2＝－ba2－4－32－ba＝ba＋22＋2.∵－3<ba<－34，∴2≤|x1－x2|<574.……………………………………………………………………。

《一轮复习教学案第二章函数导数及其应用第八节函数与方程》优秀教案

第八节函数与方程
☆☆☆2021考纲考题考情☆☆☆
自|主|排|查
1．函数的零点 1函数零点的定义
对于函数＝f ∈D ，把使f ＝0的实数叫做函数＝
f ∈D 的零点。

2几个等价关系
方程f ＝0有实数根⇔函数＝f 的图象与轴有交点⇔函数＝f 有零点。

3函数零点的判定零点存在性定理
如果函数＝f 在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有fa ·fb 0的图象与零点的关系
0的图象
与轴的交点1,0，2,01,0无交点零点个数210
微点提醒
1．有关函数零点的结论
1若连续不断的函数f在定义域上是单调函数，则f至多有一个零点。

2连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。

3连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号。

2．三个等价关系
方程f＝0有实数根⇔函数＝f的图象与轴有交点⇔函数＝f有零点。

小|题|快|练
一、走进教材
1．必修192A
0f－
________。

解析设函数f＝2＋m－6，则根据条件有f22m
3m3m4m23m
错误!⇔错误!错误!即错误!
∴－5即错误!错误!2a错误!
将①代入上述不等式中，解得2021a>2或a1即可，解得2<a<错误!。

【答案】错误!。

高三数学一轮复习函数与方程1教案

高三数学一轮复习教案：函数与方程1教材分析：函数零点的概念是高考的热点，题型一般为选择题、填空题，属于中低档题。

主要考察函数零点与相应方程的关系，零点存在的判定条件。

学情分析：函数零点的概念，函数零点与相应方程的关系，零点存在的判定条件。

由于对数是高一上学期学的，现在对于这些概念性的题肯定已经模糊，故在教学上以基本的概念为主，为接下来二分法的学习做铺垫。

教学目标：1.理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件；2. 培养学生的观察能力，培养学生的抽象概括能力，培养学生分析、解决问题的能力；3. 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．教学重点： 1.结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．教学难点：理解根据二次函数的图象与x 轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数及函数零点的概念，对“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解；通过用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程根之间的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识．教学过程：一、知识梳理：1．函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ，把使0)(x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y 的零点．2．函数零点的意义：函数)(x f y的零点就是方程0)(x f 实数根，亦即函数)(x f y 的图象与x 轴交点的横坐标．即：方程0)(x f 有实数根函数)(x f y的图象与x 轴有交点函数)(x f y有零点．3．函数)(x f y零点的求法：①（代数法）求方程0)(x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．二、例题讲解c 例1．求函数2223xxxy与x 轴的交点，并画出它的大致图象．b/a 例2．：研究方程|x2－2x －3|=a （a ≥0）的不同实根的个数．解：设y=|x2－2x －3|和y=a ，利用Excel 、图形计算器或其他画图软件，分别作出这两个函数的图象，它们的交点的个数，即为所给方程实根的个数．如下图，当a=0或a ＞4时，有两个实根；当a=4时，有三个实根；当0＜a ＜4时，有四个实根．练习c1.如果抛物线f(x)= c bx x2的图象与x 轴交于两点(-1,0)和(3,0),则f(x)>0的解集是（C）A ． (-1,3)B ．[-1,3]C ．D ．c2．已知d cxbxxx f 23)(,在下列说法中：(1)若f(m)f(n)<0,且m<n,则方程f(x)=0在区间(m,n)内有且只有一根；(2) 若f(m)f(n)<0,且m<n,则方程f(x)=0在区间(m,n)内至少有一根；(3) 若f(m)f(n)>0,且m<n,则方程f(x)=0在区间(m,n)内一定没有根；(4) 若f(m)f(n)>0,且m<n,则方程f(x)=0在区间(m,n)内至多有一根；其中正确的命题题号是(2)．b/a3.讨论关于x 的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实根个数．解:原方程转化为,即方程x2-5x+a+3=0在区间（1,3）内是否有根,由得:,设f(x)= x2-5x+a+3,对称轴是,若得有一根在区间（1,3）内,即当时,原方程有一根; 若得时,原方程有两根;时, 原方程无解．三、归纳小结1．函数零点的概念2．函数零点的意义3．函数零点的求法四、布置作业c1.设方程1022x x的根为,则（ C ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ． (2,3)D ．(3,4)c2.关于x 的一元二次方程0142)3(22m xm mx有两个不同的实根,且一根大于3,一根小于1,则m 的取值范围是.解：设f(x)= mx2+2(m+3)x+2m+14,根据图象知当或时,符合题意得.b/a3.已知二次函数c bxax x f 2)(和一次函数bx x g )(，其中R cb a ,,且满足c b a ，0)1(f .证明：函数)()(x g x f 与的图象交于不同的两点.解：由，即函数)()(x g x f 与的图象交于不同两点。

高三数学一轮复习学案12：函数与方程

第九节函数与方程最新考纲：1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．1．函数的零点(1)函数零点的定义一般地，如果函数y＝f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)＝0，则a叫作这个函数的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f (x)有。

(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间a，b]上的图象是不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．问题探究1：(1)函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？(2)在(3)中，(a，b)内只有一个零点吗？2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)零点的分布3.二分法求方程的近似解(1)二分法的定义对于在区间a，b]上连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫作二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；(ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(ⅱ)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(ⅲ)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．④判断是否达到精确度ε.即：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④.问题探究2：若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则y＝f(x)在区间a，b]上的图象是否一定是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0呢？考点一函数零点的判断与求解(1)(2015·莱芜一模)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x≤1，1＋log2x，x>1，则函数f(x)的零点为()A.12，0 B．－2,0 C.12D．0(2)(2016·保定高三质检)函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)对点训练1．f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为()A．4 B．5 C．6 D．72．(2016·郑州预测)设函数f (x )＝e x ＋2x －4，g (x )＝ln x ＋2x 2－5，若实数a ，b 分别是f (x )，g (x )的零点，则( )A ．g (a )<0<f (b )B ．f (b )<0<g (a )C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<03．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝ .考点二二次函数的零点已知函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间（－1,3）上恒有一个零点，且只有一个零点，求a 的取值范围．对点训练已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋2，a ∈R .(1)若不等式f (x )≤0的解集为[1,2]，求不等式f (x )≥1－x 2的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )＋x 2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．考点三函数零点的应用(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈(－1，0]，x ，x ∈(0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12B.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23 D.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23 (2)(2015·河南焦作联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x >0，－x 2－2x ＋1，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )＋2m 有三个零点，则实数m 的取值范围是．对点训练1．(2016·洛阳统考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －1－kx 2，x ≤0，ln x ，x >0有且只有2个不同的零点，则实数k 的取值范围是( )A ．(－4,0)B ．(－∞，0]C ．(－4,0]D ．(－∞，0)2．(2015·哈尔滨三中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋4x ， x ≥4，log 2x ， 0<x <4.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．1,2)C ．(－∞，2)D ．(－∞，1)1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( ) (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( ) (4)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内，有f (a )·f (b )<0成立，那么y ＝f (x )在(a ，b )内存在唯一的零点．( )(5)函数f (x )＝kx ＋1在1,2]上有零点，则－1<k <－12.( )2．(2015·安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln xD ．y ＝x 2＋13．(2016·山东实验一诊)函数f (x )＝－1x ＋log 2x 的一个零点落在下列哪个区间( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)4．已知函数f (x )＝ln x －x －a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，－1) C ．－1，＋∞)D ．(－1，＋∞)5．(2016·长春外国语学校诊断)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1(x ≤0)，x －2＋ln x (x >0)，的零点个数为．。

高考数学一轮复习教学案函数与方程学案

函数与方程1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与有交点⇔函数y＝f(x)有(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个也就是方程f(x)＝0的根．2.．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系3.二分法对于在区间[a，b]上连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．基础自测1．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A ．0,2B ．0，12C ．0，－12D ．2，－121. 函数的零点不是点：函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．2．对函数零点存在的判断中，必须强调： (1)f (x )在[a ，b ]上连续； (2)f (a )·f (b )<0；(3)在(a ，b )内存在零点．这是零点存在的一个充分条件，但不必要．3．对于定义域内连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．5.x据此数据,可得f(x)=3x -x-4的一个零点的近似值(精确到0.01)为 .4.在以下区间中,存在函数f(x)=x 3+3x-3的零点的是( ) A.[-1,0] B.[1,2] C.[0,1]D.[2,3]3.下列函数图象与x 轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是( )2.如果二次函数y=x 2+mx+(m+3)有两个不同的零点,则m 的取值范围是( ) A.(-2,6) B.[-2,6]C.{-2,6}D.(-∞,-2)∪(6,+∞)3.已知函数f(x)=x 2+(1-k)x-k 的一个零点在(2,3)内,则实数k 的取值范围是 .2.已知函数f(x)=kx 2-3x+1的图象与x 轴在原点的右侧有公共点,则实数k 的取值范围为( ) A. 0,94B. 0,94C. -∞,94D. -∞,941.方程2-x +x 2=3的实数解的个数为( )A.2B.3C.1D.4举一反三3已知函数f(x)=-x2+2e x+m-1,g (x )=x+e 2x(x>0).(1)若y=g (x )-m 有零点,求m 的取值范围;(2)确定m 的取值范围,使得g (x )-f (x )=0有两个相异实根.考点三函数零点的综合应用【例3】设f(x)=log 2(2x +1),g(x)=log 2(2x -1),若关于x 的函数F(x)=g(x)-f(x)-m 在[1,2]上有零点,求m 的取值范围.举一反三2在用二分法求方程x 2=2的正实数根的近似解(精确度0.001)时,如果我们选取初始区间是[1.4,1.5],则要达到精确度要求至少需要计算的次数是 .考点二二分法的应用【例2】在用二分法求方程x 3-2x-1=0的一个近似解时,现在已经将根锁定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为 .举一反三1已知函数f (x )=ln x ,则函数g (x )=f (x )-f'(x )的零点所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)考点一函数零点的求解与判定【例1】 (2013天津高考)函数f(x)=2x |log 0.5x|-1的零点个数为( ) A.1B.2C.3D.4。

第八节函数与方程学案高三数学一轮复习

第八节函数与方程一、学习目标1、理解函数零点的概念以及函数的零点与方程的根之间的关系，并会求函数的零点或判断个数。

2、会根据函数的零点求参数，了解函数零点存在定理，会判断零点所在区间。

二、学习过程知识点一函数的零点1.函数零点的概念对于函数y＝f（x），x∈D，我们把使f（x）＝0的叫做函数y＝f（x），x∈D的零点.注意：零点不是点，是满足f（x）＝0的实数x.2.三个等价关系3.零点存在定理【提醒】函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点.自查自测1、（判断题）函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点. ( )2、函数245y x x =--的零点为（）.A ．()5,0B ．()1,5-C ．1-和5D ．()1,0-和()5,03、(人教A 版必修①P155·T1改编)下列图象所表示的函数中不能用零点存在性定理求零点的是( ).A 、B 、C 、D 、考点一函数零点所在区间的判断例11、设()2f x lnx x ＝＋－，则函数f (x )的零点所在的区间为( ).1(0)A ， ).(12?B ， .3(2)C ， .4(3)D ，变式11：()2ln 1f x x x =--的零点所在的区间是（） A ．()1,2 B ．()2,3 C ．()3,4 D ．()4,5 变式12、(人教A 版必修①P160)已知函数x x f x +=2)(，x x x g +=2log )(，x x x h +=3)(的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c ，的大小顺序为( ).A 、c b a >>B 、a c b >>C 、b a c >>D 、c a b >>考点二函数零点个数问题例21、已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=0,log 0,)(221x x x x f x ，则函数g (x )＝f (x )－12的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3变式21、函数()()0.2sin log 02f x x x x π⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的零点个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4交点个数为（）A 、3B 、4C 、6D 、8拓展、已知函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，函数()()g x f x x m =++，若()g x 有两个零点，则m 的取值范围是（）．A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞- C ．[0,)+∞ D ．[1,0)-【当堂检测】1．函数()234x f x x =+-的零点所在的区间是（） A ．()1,0- B ．()0,1 C ．()1,2 D ．()2,32．已知函数()1,02,0x f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，则方程()30x f x -=的解的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．3 3．函数()sin 4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,8π上的所有零点之和为（）A ．45πB ．40πC ．35πD ．30π 4．（选做）若函数()2ln f x x m x =+-在区间()1,2上只有一个零点，则常数m 的取值范围为（）A ．12m <<B ．ln 22m <<C ．11ln 2m <<+D ．1ln 22m +<<【归纳总结】1、确定函数零点所在区间的常用方法2、函数零点个数的判断方法【作业】1、函数2()log f x x x =+的零点所在的区间为（）A ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．23,34⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭2、（多选）函数2()2x f x a x=--的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的可能取值是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33、函数()32,03e ,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩的零点个数为___________. 4、（2024上海模拟卷改编选做）已知函数()()()122,0,R log 1,0,x x f x a x x ⎧≤⎪=∈⎨+>⎪⎩，a x f x g +=)()(在R 上没有零点，则实数a 的取值范围是（） A ．(){},10-∞- B ．(),1∞-- C ．()1,-+∞ D ．。

高三数学一轮复习精品学案8：§2.8 函数与方程

§2.8 函数与方程知识内容1.零点的概念：对于函数()()y f x x D =∈，把使()0f x =成立的实数x 叫做函数()()y f x x D =∈的零点．注意：（1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．（2）函数的零点是函数()y f x =的图象与x 轴交点的横坐标．（3）求零点就是求方程()=0f x 的实数根． 2.零点存在性判定定理：如果函数y =f (x )在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线,且()()0f a f b ⋅<,则函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈,使得()0f c =,这个c 就是方程()0f x =的根．『说明』这样得到方程()0f x =在区间(),a b 内必有根，由此只能判断根的存在，既不能判定有多少个实数根，也不能得出根的值． 3.二次函数零点的判定（1）二次函数零点的判定二次函数2y ax bx c =++的零点个数，方程20ax bx c ++=的实根个数见下表．（2）二次函数零点的性质① 二次函数的图象是连续的，当它通过零点时(不是二次零点)，函数值变号． ② 相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号．『说明』对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立．（3）二次函数的零点的应用①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图．②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质． 4.函数零点的判断（零点分析法）零点分析法的概念：如果函数y =f (x )在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线,并且在区间端点的函数值符号相反，即()()0f a f b ⋅<，则在区间(),a b 内，函数()y f x =至少有一个零点，即相应的方程()0f x =在区间(),a b 内至少有一个实数解． 5.变号零点和不变号零点如果函数()y f x =在一个区间[],a b 上的图象不间断，并且它的两个端点处得函数值异号，即()()0f a f b ⋅<，则函数在区间上至少有一个零点，即存在一点()0,x a b ∈，使0()=0f x ．这样的零点常称作变号零点．有时曲线通过零点时不变号，这样的两点称作不变号零点． 6.二分法（1）二分法定义：我们把每次取区间的中点，将区间一分为二再经行比较，按需求留下其中一个小区间的方法称为二分法．（2）用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证()()0f a f b <，给定精确度．第二步：求区间(),a b 的中点1x ．第三步：计算()1f x①若()10f x =，则1x 就是函数的零点； ②若()()1.0f a f x <，则令1b x =； ③若()()10f x f b <，则令1a x =．第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点的近似值a （或b ），否则重复第二、三、四步．例题精讲一、方程与零点例1：若1()x f x x-=，则方程(4)f x x =的根是( ) A ．12B ．－12C ．2D ．－2例2：求下列函数的零点：（1）34y x x =-；（2）268y x x =-+.二、函数的图象与零点例3：下面函数没有零点的是（）A ．2()=f x xB ．(f xC ．1()f x x= D ．2()f x x x =+ 例4：下列函数不存在零点的是（）A ．1y x x=-B ．y =C ．1(0)1(0)x x y x x +≤⎧=⎨->⎩D ．1(0)1(0)x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩例5：已知函数()f x 图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点．例6：已知函数3()=4f x x x -. （1）求函数的零点并画函数的图象；（2）解不等式()0xf x <.例7：解不等式|21|x -≤三、函数的零点例8：若函数1y ax =+在(0,1)内恰有一解，则实数a 的取值范围是（） A ． 1a >-B ． 1a <-C ． 1a >D ． 1a <例9：若函数2()2f x x x a =++没有零点，则实数a 的取值范围是（） A ．1a <B ．1a >C ．1a ≤D ．1a ≥例10：函数532()=1020154f x x x x x ----的一个零点是（） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．2例11：设函数()f x 对R x ∈都满足(3)(3)f x f x +=-,且方程()0f x =恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（）A ．0B ．9C ．12D ．18例12：已知函数()34f x mx =-，若在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =，则实数m 的取值范围是．例13：函数2()=2(0)f x ax ax c a ++≠的一个零点为1，则它的另外一个零点为 . 例14：函数2()56f x x x =-+的零点是．例15：若方程2210ax -=在(0,1)内恰有一解,则实数a 的取值范围是．四、零点个数例16：函数2243y x x =--的零点个数（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．不能确定例17：函数2816y x x =-+-在区间[]3,5上（）A ．没有零点B ．有一个零点C ．有2个零点D ．有无数个零点例18：二次函数2y ax bx c =++中，0a c ⋅<则函数的零点个数是（） A ．1个B ．2个C ．0个D ．不能确定例19：函数2()=-21f x x +-的零点的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．3例20：函数22(2)9y x x =--的图象与x 轴交点的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4例21：若函数()y f x =是偶函数，定义域为{}0R x x ∈≠且()f x 在()0+∞，上减函数，(2)=0f ，则函数()f x 的零点有（）A ．唯一一个B ．两个C ．至少2个D ．无法判断例22：已知函数()()R y f x x =∈满足(3)(1)f x f x +=+，且x []1,1∈-时，()||f x x =，则()y f x =与5log y x =的图象交点的个数是 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6 例23：函数3()231f x x x =-+零点的个数为．例24：试判断方程2|9|2x a -=+实根的个数．五、零点的区间问题例25：若函数()y f x =在区间()2,2-上的图象是连续的，且方程()0f x =在()2,2-上仅有一个实根0，则(1)(1)f f -的值（） A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．无法判断例26：函数()y f x =的图象是在R 上连续不断的曲线，且(1)(2)0f f >，则()y f x =在区间[1,2]上（）A ．没有零点B ．有2个零点C ．零点个数为偶数D ．零点个数为k ，N k ∈例27：三次函数32210x x x +--=在下面的那些连续整数区间没有根（） A ．-2和-1之间 B ．-1和0之间 C ． 0和1之间 D ．1和2之间例28：函数()2log 21f x x x =+-的零点必落在区间（） A ．B ．C ．D ．(1,2)例29：方程lg 0x x +=在下列的哪个区间内有实数解（）⎪⎭⎫⎝⎛41,81⎪⎭⎫ ⎝⎛21,41⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21A ． []100.1--，B ． []0.11，C ． []110，D ． (]0-∞，例30：若函数|1|()2x f x m --=-的图象与x 轴有交点，则实数m 的取值范围是（） A ．01m <≤ B ．01m ≤≤ C ．10m m ≥<或 D ．10m m ><或例31：证明方程3420x x --=在区间[]2,0-内至少有2个实数解．六、零点的恒成立问题例32：三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |ax ≥在[]1,12上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图象”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是．例33：已知m ∈R ，函数()()21f x m x x a=-+-恒有零点，求实数a 的取值范围.七、二分法例34：已知函数()f x 在区间[],a b 上单调且()()0f a f b ⋅<，则方程()=0f x 在区间[],a b 内（）A ．至少有一个零点B ．至多有一个零点C ．没有零点D ．必需唯一零点例35：某方程有一无理根在区间()1,3D ∈内，若用二分法求次根的近似值，则将D 至少分次后，所得近似值可精确到0.1.例36：用“二分法”求方程0523=--x x 在区间[2,3]内的实根，取区间中点为5.20=x ，那么下一个有根的区间是 .课后检测1.当01x ≤≤时，函数1y ax a =+-的值有正值也有负值，则实数a 的取值范围是（） A ．12a <B ．1a >C ．112a a <>或D ．112a << 2.函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（）A ． (1, 2)B ． (2 , 3)C ． (3, 4)D ． (4, 5)3.当01x ≤≤时，函数1y ax a =+-的值有正值也有负值，则实数a 的取值范围是（） A ．12a < B ．1a > C ．112a a <>或 D ．112a << 4.有解的区域是（） A ．B ．C ．D ．5.利用函数的图象，指出函数3()21f x x x =--+的零点所在的大致区间.01lg =-xx (0,1](1,10](10,100](100,)+∞——★ 参考答案 ★——例题精讲例1：A例2：『解』（1）34=(2)(2)y x x x x x =-+-，所以方程34=0x x -的实数根为02,2-，，故函数的零点是02,2-，．（2）268=(2)(4)y x x x x =-+--，所以方程268=0x x -+的实数根为2,4，故函数的零点是2,4．例3：C 例4：D『解析』令10x +=得1x =-，不符合0x ≥；令10x -=得1x =，不符合0x <．例5：『解』在（－2，－1．5）、（－0．5，0）、（0，0．5）内有零点.例6：『解』（1）因为34=x x -(2)(2)x x x -+，所以函数的零点为0,2,2-，3个零点把x 轴3,(1)3,(3)15f f =-=，由于例7：『解』此不等式当然两边平方可用，但是利用图象来处理也是非常简便的，令|21|y x =-，y =令|21|y x =-，y =函数|21|y x =-的图象比较容易画出，而y =12y x =平移缩放变化得来的，可以不同考虑怎样平移缩放，因为函数y =12y x =的图象相似，只要找函数y =由上图可以看出，原不等式的解集为3{0}2x ≤≤．例8：B 例9：B『解析』函数2()2f x x x a =++没有零点，就是方程22=0x x a ++没有实数根，故判别式440a ∆=-<得1a >.例10：C『解析』当1x =-时，(1)0f -=. 例11：D『解析』由(3)(3)f x f x +=-知()f x 的图象有对称轴3x =，方程()0f x =的6个根在x 轴上对应的点关于直线3x =对称，依次设为1231233,3,3,3,3,3t t t t t t ---+++，故6个根的和为18，答案为D ．例12：2(,]3-∞-『解析』∵在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =，则(2)(0)0f f -≤， ∴ (64)(4)0m --⨯-≤，解得23m ≤-．所以，实数m 的取值范围是2(,]3-∞-．例13：-3『解析』设另一零点为2x ，由根与系数的关系有221ax a+=-，2=3x ∴-. 例14：2或3例15：12a >『解析』设函数2()21f x ax =-，由题意可知，函数()f x 在(0,1)内恰有一个零点． ∴(0)(1)1(21)0f f a =-⨯-<，解得12a >．例16：C 例17：B『解析』尽管(3)0,(5)0f f <<，但函数在[]3,5上有零点，事实上，令()=0f x ,得4x =，这是函数的一个不变号零点．例18：B『解析』(0),(0)0c f a c a f =∴⋅=⋅<，即a 和(0)f 异号，即0(0)0a f >⎧⎨<⎩或0(0)0a f <⎧⎨>⎩，所以必有2个零点．例19：B 例20：B『解析』令0y =，22(23)(23)0x x x x -+--=，∵2230x x -+>，∴2230x x --=，解得1x =-或3x =，即方程()0f x =只有两个实数根. 例21：B『解析』由已知条件得(2)0f -=，画出()f x 的大致图象(图略)，可知()f x 有2个零点．例22：B『解析』由(3)(1)f x f x +=+知(2)()f x f x +=故()f x 是周期为2的函数，在同一坐标系中作出()y f x =与5log y x =的图象，可以看出，交点个数为4．例23：3例24：『解』令2|9|y x =-，2y a =+，如下图所示在同一直角坐标系内画出两函数的图象：由图可知：当29a +>，即7a >时，函数有两个交点，即方程有2个实根；当29a +=，即7a =时，函数有3个交点，即方程有3个实根；当029a <+<，即27a -<<时，函数有4个交点，即方程有4个实根；当20a +=，即2a =-时，函数有2个交点，即方程有2个实根；当20a +<，即2a <-时，函数没有交点，即方程没有实数根；综上所述：当27a -<<时，方程有4个实根；当7a =时，方程有3个实根；当7a >或2a =-时，方程有2个实根；当2a <-时，方程没有实根．例25：D『解析』根据连续函数零点的性质，若(1)(1)0f f -<，则()f x 在()1,1-内必有零点，即方程()=0f x 在()1,1-内有根；反之若方程()=0f x 在()2,2-内有实根，不一定有(1)(1)0f f -<，也可能(1)(1)0f f ->例26：D例27：C例28：C例29：B例30：A『解析』令()0f x =，得：|1|1()2x m -=，∵ |1|0x -≥，∴ |1|10()12x -<≤，即01m <≤．例31：『证明』设3(=42f x x x --），则()f x 的图象是连续曲线，又(2)20,(0)20f f -=-<=-<，若取区间[]2,0-内一点-1，得(1)10f -=>，因此函数()f x 满足(2)(1)0,(1)(0)0f f f f --<-< 例32：10a ≤『解析』∵ 112x ≤≤，∴ 原不等式可化为：225|5|x x x a x++-≥当5x =时，25x x+和2|5|x x -同时取到最小值5，故10a ≤．例33：『解』(1)当0m =时，()0f x x a =-=解得x a =恒有解，此时R a ∈；(2)当0m ≠时，∵ ()0f x =，即20mx x m a +--=恒有解，∴211440m am ∆=++≥恒成立，令()2441g m m am =++∵()0g m ≥恒成立，∴2∆α2=16-16≤0，解得11a -≤≤,综上所述知，当0m =时，R a ∈；当0m ≠时，11a -≤≤．例34：D例35：5『解析』3-10,220,52n n n ≤≥≥，所以至少5次．例36：[2,2.5)『解析』令33()25,(2)10,(2.5) 2.5100f x x x f f =--=-<=->.课后检测1.D2.B『解析』易知函数()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数．∵(1)ln12640f =+-=-<，(2)ln 246ln 220f =+-=-<，(3)ln366ln30f =+-=>．∴(2)(3)0f f <，即函数()f x 的零点在区间(2,3)．所以选B ．3.D4.B5.『解』易知函数3()21f x x x =--+在定义域R 上是减函数．用计算器或计算机作出,()x f x 的对应值表或图象．x -3 -2-1 0 1 2 3 ()f x 3413 4 1 -2 -11 -32由列表或图象可知，(0)0f >，(1)0f <，即(0)(1)0f f <，说明函数()f x 在区间(0,1)内有零点，且仅有一个．所以函数()f x 的零点所在大致区间为(0,1)．。

高三数学一轮复习优质教案5：2.8 函数与方程教学设计

2.8 函数与方程『知识能否忆起』1．函数的零点 (1)定义：对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点． (2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x 轴交点间的关系：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与有交点⇔函数y ＝f (x )有． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y ＝f (x )在区间『a ，b 』上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数y ＝f (x )在区间内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得，这个也就是方程f (x )＝0的根．2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象与x 轴的交点，(x 1,0) 无交点零点个数3.二分法对于在区间『a ，b 』上连续不断且的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．『小题能否全取』1．(教材习题改编)下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是( )2．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0,2 B ．0，12C ．0，－12D ．2，－123．根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( )x －1 0 1 2 3 e x 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x ＋212 345A.(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(2,3)4．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的近似解，验证f (2)·f (4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0∈________(填区间)．5．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是________．1.函数的零点不是点：函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．2．对函数零点存在的判断中，必须强调： (1)f (x )在『a ，b 』上连续； (2)f (a )·f (b )<0；(3)在(a ，b )内存在零点．这是零点存在的一个充分条件，但不必要．3．对于定义域内连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．考点一确定函数零点所在的区间典题导入『例1』 (2012·唐山统考)设f (x )＝e x ＋x －4，则函数f (x )的零点位于区间( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(2,3)由题悟法利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时，首先看函数y ＝f (x )在区间『a ，b 』上的图象是否连续不断，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．以题试法1．(2013·衡水模拟)设函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)考点二判断函数零点个数典题导入『例2』 (1)(2012·北京高考)函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)(2012·北京东城区模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1由题悟法判断函数零点个数的常用方法(1)解方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间『a ，b 』上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．以题试法2．(2012·湖北高考)函数f (x )＝x cos x 2在区间『0,4』上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7 考点三函数零点的应用典题导入『例3』 (2011·辽宁高考改编)已知函数f (x )＝e x －x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．若函数变为f (x )＝ln x －2x ＋a ，其他条件不变，求a 的取值范围．由题悟法已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．以题试法3．已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )是偶函数，当x ∈『0,1』时，f (x )＝x ，若在区间『－1,3』上函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围是______．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12D ．02．设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是『－1,1』上的增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12<0，则方程f (x )＝0在『－1,1』内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根3．(2012·长沙模拟)已知函数f (x )的图象是连续不断的，x 、f (x )的对应关系如下表：x 1 2 3 4 5 6 f (x )136.1315.552－3.9210.88－52.488－232.064则函数f (x )存在零点的区间有( ) A ．区间『1,2』和『2,3』 B ．区间『2,3』和『3,4』 C ．区间『2,3』、『3,4』和『4,5』 D ．区间『3,4』、『4,5』和『5,6』4．(2013·北京西城二模)执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ①y ＝2x ； ②y ＝－2x ； ③f (x )＝x ＋x －1；④f (x )＝x －x －1. 则输出函数的序号为( )A ．①B ．②C ．③D ．④5．(2012·北京朝阳统考)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)6．(2013·哈师大模拟)若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈『－1,1』时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，0，x ＝0，－1x ，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间『－5,5』内的零点个数是( )A ．5B ．7C ．8D ．107．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0可得其中一个零点x 0∈______，第二次应计算________．8．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 9．(2013·南通质检)已知函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则实数k 的取值范围是________．10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.11．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间『0,2』上有解，求实数m 的取值范围．12．若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围．1．(2012·“江南十校”联考)已知关于x 的方程|x 2－6x |＝a (a >0)的解集为P ，则P 中所有元素的和可能是( )A ．3,6,9B ．6,9,12C ．9,12,15D ．6,12,152．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0满足f (0)＝1，且f (0)＋2f (－1)＝0，那么函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)若a >b >c ，且f (1)＝0，试证明f (x )必有两个零点；(2)若对x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 1)≠f (x 2)，方程f (x )＝12『f (x 1)＋f (x 2)』有两个不等实根，证明必有一个实根属于(x 1，x 2)．1．对于定义域为D的函数f(x)，若存在区间M＝『a，b』⊆D(a<b)，使得{y|y＝f(x)，x ∈M}＝M，则称区间M为函数f(x)的“等值区间”．给出下列四个函数：①f(x)＝2x；②f(x)＝x3；③f(x)＝sin x；④f(x)＝log2x＋1.则存在“等值区间”的函数是________．(把正确的序号都填上)2．m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.(1)有且仅有一个零点；(2)有两个零点且均比－1大．答案『知识能否忆起』1． (1) f (x )＝0 (2) x 轴零点(3) f (a )·f (b )<0， (a ，b ) f (c )＝0，c 2．(x 1,0)，(x 2,0)两个一个零个3. f (a )·f (b )<0 一分为二零点『小题能否全取』1．『答案』C2．『解析』选C ∵2a ＋b ＝0，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)． ∴零点为0和－12.3．『解析』选C 设函数f (x )＝e x －x －2，从表中可以看出f (1)·f (2)<0，因此方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为(1,2)．4．『解析』由f (2)·f (3)<0可知x 0∈(2,3)．『答案』(2,3)5．『解析』∵函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在(0,1)上有零点． ∴f (0)f (1)<0.即a (a ＋2)<0，解得－2<a <0. 『答案』(－2,0)『例1』『自主解答』 ∵f (x )＝e x ＋x －4，∴f ′(x )＝e x ＋1>0.∴函数f (x )在R 上单调递增．f (－1)＝e －1＋(－1)－4＝－5＋e －1<0，f (0)＝－3<0，f (1)＝e ＋1－4＝e －3<0，f (2)＝e 2＋2－4＝e 2－2>0，f (1)f (2)<0，故零点x 0∈(1,2)．『答案』 C1．『解析』选B 设函数f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2，f (1)·f (2)<0，且f (x )为单调函数，则x 0∈(1,2)．『例2』 (1)『自主解答』 (1)在同一平面直角坐标系内作出y 1＝x 12与y 2＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点，因此函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x只有1个零点．(2)由f (f (x ))＋1＝0可得f (f (x ))＝－1，又由f (－2)＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－1. 可得f (x )＝－2或f (x )＝12.若f (x )＝－2，则x ＝－3或x ＝14；若f (x )＝12，则x ＝－12或x ＝2，综上可得函数y ＝f (f (x ))＋1有4个零点．『答案』 (1)B (2)A2．『解析』选C 令x cos x 2＝0，则x ＝0，或x 2＝k π＋π2，又x ∈『0,4』，因此x k ＝k π＋π2(k ＝0,1,2,3,4)，共有6个零点．『例3』『自主解答』 ∵f (x )＝e x －x ＋a ， ∴f ′(x )＝e x －1.令f ′(x )＝0，得x ＝0.当x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－∞，0)上是减函数；当x >0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数．故f (x )min ＝f (0)＝1＋a .若函数f (x )有零点，则f (x )min ≤0，即1＋a ≤0，得a ≤－1. 『答案』 (－∞，－1』『答案』∵f (x )＝ln x －2x ＋a ，∴f ′(x )＝1x －2.令f ′(x )＝0，得x ＝12.当0<x ≤12时f ′(x )≥0，∴f (x )为增函数；当x >12时，f ′(x )<0，∴f (x )为减函数．∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12－1＋a . 若f (x )有零点，则f (x )max ≥0，即ln 12－1＋a ≥0.解得a ≥1－ln 12，a 的取值范围为[)1＋ln 2，＋∞.3．『解析』由f (x ＋1)＝f (x －1)得，f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是周期为2的函数．∵f (x )是偶函数，当x ∈『0,1』时，f (x )＝x ，∴当x ∈『－1,0』时，f (x )＝－x ，易得当x ∈『1,2』时，f (x )＝－x ＋2，当x ∈『2,3』时，f (x )＝x －2.在区间『－1,3』上函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，即函数y ＝f (x )与y ＝kx ＋k 的图象在区间『－1,3』上有4个不同的交点．作出函数y ＝f (x )与y ＝kx ＋k 的图象如图所示，结合图形易知，k ∈⎝⎛⎦⎤0，14. 『答案』⎝⎛⎦⎤0，141．『解析』选D 当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上函数f (x )的零点只有0.2．『解析』选C 由f (x )在『－1,1』上是增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12<0，知f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，12上有唯一零点，所以方程f (x )＝0在『－1,1』上有唯一实数根．3．『解析』选C 因为f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，所以在区间『2,3』，『3,4』，『4,5』内有零点．4．『解析』选D 由图可知输出结果为存在零点的函数，因2x >0，所以y ＝2x 没有零点，同样y ＝－2x 也没有零点；f (x )＝x ＋x －1，当x >0时，f (x )≥2，当x <0时，f (x )≤－2，故f (x )没有零点；令f (x )＝x －x －1＝0得x ＝±1，故选D.5．『解析』选C 由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解之得0<a <3.6．『解析』选C 依题意得，函数f (x )是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象，结合图象得，当x ∈『－5,5』时，它们的图象的公共点共有8个，即函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间『－5,5』内的零点个数是8.7．『解析』因为f (x )＝x 3＋3x －1是R 上的连续函数，且f (0)<0，f (0.5)>0，则f (x )在x ∈(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f (0.25)的符号．『答案』(0,0.5) f (0.25)8．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．『解析』函数f (x )的零点个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 的图象交点的个数，易知当a >1时，两图象有两个交点；当0<a <1时，两图象有一个交点．『答案』(1，＋∞)9．(2013·南通质检)已知函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则实数k 的取值范围是________．『解析』因为Δ＝(1－k )2＋4k ＝(1＋k )2≥0对一切k ∈R 恒成立，又k ＝－1时，f (x )的零点x ＝－1∉(2,3)，故要使函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则必有f (2)·f (3)<0，即2<k <3.『答案』(2,3)10．证明：令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12－12＝－18， ∴g (0)·g ⎝⎛⎭⎫12<0.又函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，12上连续， ∴存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0. 11．解：设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈『0,2』，①若f (x )＝0在区间『0,2』上有一解，∵f (0)＝1>0，则应有f (2)<0，又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1，∴m <－32. ②若f (x )＝0在区间『0,2』上有两解，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，0<－m －12<2，f 2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －12－4≥0，－3<m <1，4＋m －1×2＋1≥0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥3或m ≤－1，－3<m <1，m ≥－32.∴－32≤m ≤－1. 由①②可知m 的取值范围(－∞，－1』．12．若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点．(2)当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根．则Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点．1．『解析』选B 如图，函数y ＝|x 2－6x |的图象关于直线x ＝3对称，将直线y ＝a 从下往上移动可知：P 中所有元素的和可能是6,9,12.2．『解析』∵f (0)＝1，∴c ＝1.又∵f (0)＋2f (－1)＝0，∴f (－1)＝－1－b ＋1＝－12，得b ＝12.∴当x >0时，g (x )＝2x －2＝0有唯一解x ＝1；当x ≤0时，g (x )＝－x 2＋32x ＋1，令g (x )＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝－12，即g (x )＝0有唯一解．综上可知，g (x )＝f (x )＋x 有2个零点．『答案』23．证明：(1)∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0，又∵a >b >c ，∴a >0，c <0，即ac <0.又∵Δ＝b 2－4ac ≥－4ac >0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根，∴函数f (x )有两个零点．(2)令g (x )＝f (x )－12『f (x 1)＋f (x 2)』，则g (x 1)＝f (x 1)－12『f (x 1)＋f (x 2)』＝f x 1－f x 22， g (x 2)＝f (x 2)－12『f (x 1)＋f (x 2)』＝f x 2－f x 12， ∴g (x 1)·g (x 2)＝f x 1－f x 22·f x 2－f x 12＝－14『f (x 1)－f (x 2)』2. ∵f (x 1)≠f (x 2)，∴g (x 1)·g (x 2)<0.∴g (x )＝0在(x 1，x 2)内必有一实根．即f (x )＝12『f (x 1)＋f (x 2)』在(x 1，x 2)内必有一实根．1．『解析』问题等价于方程f (x )＝x 在函数的定义域内是否存在至少两个不相等的实根，由于2x >x ，故函数f (x )＝2x 不存在等值区间；由于x 3＝x 有三个不相等的实根x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1，故函数f (x )＝x 3存在三个等值区间『－1,0』，『0,1』，『－1,1』；由于sin x ＝x 只有唯一的实根x ＝0，结合函数图象，可知函数f (x )＝sin x 不存在等值区间；由于log 2x ＋1＝x 有实根x 1＝1，x 2＝2，故函数f (x )＝log 2x ＋1存在等值区间『1,2』．『答案』②④2．解：(1)若函数f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有且仅有一个零点，则等价于Δ＝4m 2－4(3m ＋4)＝0，即m 2－3m －4＝0，解得m ＝4或m ＝－1.(2)设两零点分别为x 1，x 2，且x 1>－1，x 2>－1，x 1≠x 2.则x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝3m ＋4，故只需⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4m 2－43m ＋4>0，x 1＋1＋x 2＋1>0，x 1＋1x 2＋1>0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －4>0，－2m ＋2>0，3m ＋4＋－2m ＋1>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m <－1或m >4，m <1，m >－5.故m 的取值范围是{m |－5<m <－1}．。