天津市南开中学2015届高三第四次月考数学(文)试题 Word版含答案

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天津南开中学高三第五次月考数学(文)试卷

天津南开中学2016届高三第五次月考数学(文史类)本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数212ii+-等于 A ．i B ．i - C. 1D .1-（2）已知命题p ：若a b >，则22a b >；q ：“1x ≤”是“2230x x +-≤”的必要不充分条件，则下列命题是真命题的是A ．p q ∧B .p q ⌝∧ C.p q ⌝∧⌝ D.p q ∧⌝（3）记集合22{(,)|16}A x y x y =+≤，集合{(,)|40,(,)}B x y x y x y A =+-≤∈表示的平面区域分别为12,ΩΩ.若在区域1Ω内任取一点(,)P x y ，则点P 落在区域2Ω中的概率为A ．24ππ- B ．324ππ+C ．24ππ+ D ．324ππ-（4）运行如下图所示的程序，则输出的结果为A ．7B ．9C ．10D ．11（5）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．π+B ．2π+C ．2π+D ．π+（6）已知函数sin 2y x x =-，下列结论正确的个数是 ①图象关于12x π=-对称②函数在[0，2π]上的最大值为2 ③函数图象向左平移6π个单位后为奇函数 A ．0B ．1C ．2D ．3（7）已知定义在R 上的函数2()1|1()|f x x m =---关于y 轴对称，记(2),a f m =+1251(log ),()2b fc f e ==则,,a b c 的大小关系是A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<（8）已知函数||()2x f x x =+，若关于x 的方程2()f x kx =有4个不同的实数解，则k 的取值范围是 A ．1k >B ．1k ≥C ．01k <<D ．01k <≤天津南开中学2016届高三第五次月考数学(文史类)第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

【数学】天津市南开中学2015届高三第五次月考试题(理)

天津市南开中学2015届高三第五次月考试题（理）I 卷一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．） 1. 复数2(1)1i z i+=-的共轭复数所对应的点位于复平面的( ).A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2. 函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是( ).A ．()0,+¥ B ．(),0-¥ C ．()2,+¥ D ．(),2-?3. 设α、β、γ为平面， m 、n 、l 为直线，则m β⊥的一个充分条件是( ).A.,,l m l αβαβ⊥=⊥ B.,,n n m αβα⊥⊥⊥C.,,m αγβγα⊥⊥⊥D.,,m αγαγβγ=⊥⊥4. 4.已知圆01010:221=--+y x y x C 和圆04026:222=-+++y x y x C 相交于B A 、两点，则公共弦AB 的长为( ).A.5B.25C.35D.105. 若抛物线212C y px =：()0p >的焦点F 恰好是双曲222221x y C a b-=：()0,0a b >>的右焦点，且它们的交点的连线过点F ,则双曲线的离心率为( ).A1BC．126. 已知0,0,lg 2lg8lg 2,x y x y >>+=则113x y+的最小值是 ( ).A ．2 B．．．47. 若函数()y f x =()x R ∈满足()()2f x f x +=，且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-.函数()lg ,01|2|,02x x g x x x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内的零点个数为 ( ).A.6B.7C.8D.9 8. 已知,,,a b c d 均为实数，函数()3232a b f x x x cx d =+++()0a <有两个极值点12,x x ()12x x <，满足()21f x x =.则关于实数x 的方程()()20a f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦的实根个数为( ).A.0B.2C.3D.4II 卷( 将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效．)二、填空题：(每小题5分，共30分．)9. 一个几何体的三视图如所示，则这个几何体的表面积为__________.10. 如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数2y x =图象下方的点（图中阴影部分）构成的区域. 在D 中随机取一点，则该点在E 中的概率为__________.11.二项式82x ⎛ ⎝的展开式中的常数项是__________.（用数字作答）12. 已知数列{}n a 满足：12a =，211n n n a a na +=-+，令11n n n b a a +=⋅，则数列{}n b的前10项和为__________.13. 函数)(x f y =为定义在R 上的减函数，函数)1(-=x f y 的图象关于点（1,0）对称，,x y 满足不等式0)2()2(22≤-+-y y f x x f ，(1,2),(,)M N x y ，O 为坐标原点，则当41≤≤x 时，OM ON ⋅的取值范围为__________.14. 关于实数x 的不等式23225|5|x x x ax ++-≥在[]1,12上恒成立，则实数a 的取值范围是__________.1正视图俯视图侧视图三、解答题：(15—18每小题13分，19—20每小题14分，共80分．) 15. 从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中,每次不放回地摸出2个球为一次试验,直到摸出的球中有红球,则试验结束. (Ⅰ)求第一次试验恰摸到一个红球和一个白球概率；(Ⅱ)记试验次数为随机变量X ,求X 的分布列及数学期望()E X .16.已知函数2()2sin (0)2ωωω=->xf x x 的最小正周期为π3.（I ）求函数()f x 在区间3,4ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（II ）在∆ABC 中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，且a b c <<2sin =c A ,求角C 的大小；（Ⅲ）在（II ）的条件下，若311()2213f A π+=，求cos B 的值．17. 如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为菱形， 60=∠ABC ，侧面PAB 是边长为2的正三角形，侧面PAB ⊥底面ABCD .(Ⅰ)设AB 的中点为Q ，求证：⊥PQ 平面ABCD ；（Ⅱ）求斜线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值；（Ⅲ）若在侧棱PC 上存在一点M ，使得二面角C BD M --的大小为60，求CPCM的值.18. 如图，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为E 的左顶点为A 、上顶点为B ，点P 在椭圆上，且12PF F ∆的周长为4+. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设,C D 是椭圆E 上两不同点，//CD AB ,直线CD 与x 轴、y 轴分别交于,M N 两点，且,MC CN MD DN λμ==，求λμ+的取值范围.19. 已知数列{}n a满足()*12111,3,43,2n n n a a a a a n N n +-===-∈≥，（Ⅰ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列，并求出{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意*n N ∈，有1212212nnb b b n a a na +++=+ 成立，求n S .20. 已知函数()()2ln 12k f x x x x=+-+()0,1k k ≥≠且．（Ⅰ）当2k =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅲ）当0k =时，设()f x 在区间[]0,n ()*n N ∈上的最小值为n b ，令()ln 1n na nb =+-，证明：131321122424221n na a a a a a a a a a a a -+++<()*n N ∈．参考答案一、选择题：三、解答题：15.从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中,每次不放回地摸出2个球为一次试验,直到摸出的球中有红球,则试验结束. (Ⅰ)求第一次试验恰摸到一个红球和一个白球概率；(Ⅱ)记试验次数为随机变量X ,求X 的分布列及数学期望()E X .解: (Ⅰ)设“第一次试验恰摸到一个红球和一个白球”为事件A,则1126283()7C C P A C ==16. 已知函数2()2sin(0)2ωωω=->xf x x 的最小正周期为π3，（I ）求函数()f x 在区间3,4ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（II ）在∆ABC 中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，且a b c <<2sin =c A ,求角C 的大小；（Ⅲ）在（II ）的条件下，若311()2213f A π+=，求cos B 的值．解（I ）1cos ()22sin()126x f x x x ωπωω-=-⋅=+- 由函数.32,32,3)(==ωπωππ解得即的最小正周期为x f2()2sin()136f x x π∴=+-3,4x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，222363x πππ-≤+≤，21sin()136x π-≤+≤，所以x π=-时，()f x 的最小值是3-，2x π=时，()f x 的最大值是1.（II 2sin =c A ，由正弦定理，有a c =3sin 2A =CAsin sin又sin A ≠0 ∴sin C =，又因为 a b c <<，∴23C π=. （Ⅲ）由311()2213f A π+=得12cos 13A =.50,sin 313A A π<<∴==. 由23C π=知3A B π+=,cos cos()cos cos sin sin 333B A A A πππ∴=-=+=.17. 如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为菱形， 60=∠ABC ，侧面PAB 是边长为2的正三角形，侧面PAB ⊥底面ABCD .(Ⅰ)设AB 的中点为Q ，求证： ⊥PQ 平面ABCD ；（Ⅱ）求斜线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值；（Ⅲ）若在侧棱PC 上存在一点M ，使得二面角C BD M --的大小为60，求CPCM的值.(Ⅰ)证明：因为侧面PAB 是正三角形，AB 的中点为Q ，所以AB PQ ⊥，因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB 底面ABCD AB =，⊂PQ 侧面PAB ，所以⊥PQ 平面ABCD .（Ⅱ）连结AC ，设O BD AC = ，建立空间直角坐标系xyz O -，则)0,0,0(O ，)0,0,3(B ，)0,1,0(C ，)0,0,3(-D ，)3,21,23(-P . )3,21,233(--=,平面ABCD 的法向量)1,0,0(=m，设斜线PD 与平面ABCD 所成角的为α，则10303414273||||||,cos |sin =++==><=PD m mα. （Ⅲ）设t =)3,23,23(t t t -=()01t ≤≤，则M )3,123,23(t t t +-， =BM )3,123,323(t t t +--，)0,0,1(32=DB ，设平面MBD 的法向量为),,(z y x n =，则00·=⇔=⇔⊥x n n， ⇔=⇔⊥0·n n 03)123()323(=++-+-tz y t x t ，取3=z ，得)3,236,0(-=tt n，又平面ABCD 的法向量)1,0,0(=m所以|60cos ||,cos |||||·|=><=n m n m n m ，所以21)236(332=-+t t ，解得2=t （舍去）或52=t .所以，此时CP CM 52=.18. 如图，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>E 的左顶点为A 、上顶点为B ，点P 在椭圆上，且12PF F ∆的周长为4+ （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设,C D 是椭圆E 上两不同点，//CD AB ,直线CD 与x 轴、y 轴分别交于,M N 两点，且,MC CN MD DN λμ==，求λμ+的取值范围.解：（Ⅰ）由题意得：224a c c e a ⎧+=+⎪⎨==⎪⎩解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,所以椭圆的方程为2214x y +=；（Ⅱ）又(2,0),(0,1)A B -，所以12AB k =.由//CD AB ,可设直线CD 的方程为12y x m =+ 由已知得(2,0)M m -，(0,)N m ，设1122(,),(,)C x y D x y由2214,12⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x y y x m 得：222220++-=x mx m222(2)4(22)02∆=-->⇒<m m m ，所以212122,22+=-=-x x m x x m ，由MC CN λ=得1111(2,)(,)x m y x m y λ+=-- 所以112x m x λ+=-即121m x λ=--，同理，由MD DN μ=得221mx μ=--.所以212221212112222()22211x x m m m x x x x m m λμ++=--+=--⨯=-+=--.由2222(,2](2,)1m m <⇒∈-∞-+∞-, 又0,0,0m λμ≠<<，所以(,2)λμ+∈-∞-.19. 已知数列{}n a 满足()*12111,3,43,2n n n a a a a a n N n +-===-∈≥，（Ⅰ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列，并求出{}n a 的通项公式（Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意*n N ∈，有1212212nnb b b n a a na +++=+ 成立，求n S .解：（Ⅰ）由1143n n n a a a +-=-可得()11213,2n n n n a a a a a a +--=--=，{}1n n a a +∴-是以2为首项，3为公比的等比数列()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+()112131313n n ---=+=-（Ⅱ）1n =时，11113,3,3b b S a === 2n ≥时()21212,nnb n n na =+--= 1223n n n b na n -==⨯ 21322323323n n S n -=+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯()0121213233331n n -=⨯+⨯+⨯++⨯+设01211323333n x n -=⨯+⨯+⨯++⨯则()123131********n n x n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯()12312333332n nn n nx n n ---=⨯-+++=⨯-13322n n S n ⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭ 综上，13322n n S n ⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭．20.已知函数()()2ln 12k f x x x x=+-+()0,1k k ≥≠且．（Ⅰ）当2k =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅲ）当0k =时，设()f x 在区间[]0,n ()*n N ∈上的最小值为n b ，令()ln 1n na nb =+-，证明：131321122424221n na a a a a a a a a a a a -+++<()*n N ∈．（Ⅰ）解：当2k =时， ()()2ln 1f x x x x =+-+，()1121f x x x'=-++， ∴()1ln 2f =，()312f '=.曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()3ln212y x -=-，即322ln 230x y -+-=.（Ⅱ）解：()()11111x kx k f x kx x x +-'=-+=++,()1,x ∈-+∞, 当0k =时，()1xf x x'=-+，令()0f x '<，则0x >， ∴()f x 的单调递减区间是()0,+∞；当10k k ->，即01k <<时，令()0f x '<，则10kx k -<<， ∴()f x 的单调递减区间是10,k k-⎛⎫⎪⎝⎭；当10k k ->，即1k >时，令()0f x '<，则10kx k -<<， ∴()f x 的单调递减区间是1,0k k-⎛⎫⎪⎝⎭. （Ⅲ）证明：当0k =时， ()f x 在[]0,n 上单调递减， ∴()()ln 1n b f n n n ==+-，()ln 1n n a n b n =+-=()*n N ∈，11 ∴()()(132124213521246222n n n a a a a a a n -⨯⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=<= ， ∴))(131321122424213211n n a a a a a a a a a a a a n -+++<++++==.。

天津市南开中学2024届高三下学期第四次月考化学试卷 (含答案与解析)

天津市南开中学2024届高三下学期第四次月检测化学试题本试卷满分100分，考试时间60分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．相对原子质量：N ：14 O ：16 F ：19 Mg ：24 Al ：27 K ：39 Fe ：56 Co ：59 一、选择题(每题只有一个选项是正确的，每题3分，共36分)1. 化学与生活紧密相关，下列说法正确的是 A. 浸有酸性高锰酸钾溶液的硅藻土可用于水果保鲜 B. 推广使用煤液化技术可以减少温室气体二氧化碳的排放 C. 过期药品属于有害垃圾，为防止污染环境应当深埋处理 D. 防晒衣的主要成分为聚酯纤维，可以长期用肥皂洗涤2. A N 为阿伏加德罗常数，下列叙述中正确的是A. 常温常压下，246gNO 与24N O 混合气体共含A 2N 个氧原子B. 标准状况下，22.4L 乙烯中含有的σ键数目为A 4NC. 密闭容器中，()21molH g 与()21molI g 充分反应生成HI(g)，容器内分子数小于A 2ND. 常温下20.1molCl 与过量稀NaOH 溶液反应，转移的电子总数为A 0.2N 3. 反应物(S)转化为产物(P 或P Z ⋅)的能量与反应进程的关系如图所示：下列有关四种不同反应进程的说法正确的是 A. 进程I 是吸热反应 B. 平衡时P 的产率：II>I C. 生成P 的速率：III>IID. 进程IV 中，Z 没有催化作用4. W 、X 、Y 、Z 、R 是五种短周期主族元素，原子序数依次增大。

W 元素的一种离子与Li +具有相同的电子层排布且半径稍大，X 原子核外L 层的电子数与Y 原子核外M 层的电子数之比为3:2，X 与Z 同主族，Z 的价电子排布式为3s 23p 4。

2017届天津市南开中学高三第四次月考理科数学试题及答案

天津市南开中学2015届高三第四次月考数学（理）试题I 卷一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1. 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()25731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是( ).A. 125ln5+B. 11825ln 3+ C. 425ln5+ D. 450ln 2+2. 若921x ax ⎛⎫- ⎪⎝⎭()a R ∈的展开式中9x 的系数是212-，则0sin a xdx ⎰的值为 ( ). A. 1cos 2-B. 2cos1-C. cos 21-D. 1cos 2+3. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项123a =-，且满足12n n n S a S ++=()2n ≥，则2015S 等于 ( ). A. 20132014- B. 20142015- C. 20152016- D. 20162017-4. 若[]0,απ∈，,44ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，R λ∈，且3cos 202πααλ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，34sin cos 0βββλ++=，则cos 2αβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ( ).A.0 B. 125. 关于x 的方程320x ax bx c +++=的三个实数根可作为一个椭圆、一个双曲线、一个抛物线的离心率，则11b a -+的取值范围是 ( ).A. ()2,0-B. ()0,2C. ()1,0-D.()0,16. 如图，在ABC ∆中，2CM MB =，过点M的直线分别交射线,AB AC 于不同的两点,P Q ，若AP mAB = ，AQ nAC =，则()1m n +的最小值为( ).A.C.6 D. 27. 函数()[]()()1|1|,0,212,2,2x x f x f x x ⎧--∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则下列命题中正确命题的个数是 ( ).①函数()()ln 1y f x x =-+有3个零点；②若0x >时，函数()k f x x≤恒成立，则实数k 的取值范围是3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； ③函数()f x 的极大值中一定存在最小值； ④()()22k f x f x k =+ ()k N ∈，对一切[)0,x ∈+∞恒成立.A. 1B. 2C. 3D.4 8. 已知不等式()2227a b m m ++>-对任意正数,a b 都成立，则实数m 的取值范围是 ( ). A.()3,2- B. ()2,3- C. ()1,2- D. ()1,4-II 卷( 将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效．) 二、填空题：(每小题5分，共30分．) 9. 已知复数2i z =+（i 是虚数单位），则13i z+的虚部为__________.10. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C ：2sin 8cos ρθθ=与直线l：12,2,x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）相交于,P Q 两点，则||PQ = __________. 11. 如图，已知PA 与O 相切，A 为切点，过点P 的割线交O于,B C 两点，弦//CD AP ，,AD BC 相交于点E ，点F 为CE 上一点，且P EDF ∠=∠，若:3:2CE BE =，3DE =，2EF =，则PA = __________. 12.已知实数,x y 满足1,1,5,x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，x y z a b =+()0a b ≥>的最大值为1，则a b +的最小值为 __________.13. 已知定义域是R 的偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，若1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()()271log 7log 2f x a f x +⋅≤-恒成立，则实数a 的取值范围是 __________. 14. 已知函数()2,01,02x kx x f x x +≥⎧⎪=⎨⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎩，若函数()32y f f x =-⎡⎤⎣⎦有且只有3个零点，则实数k 的取值范围是 __________.三、解答题：(15—18每小题13分，19—20每小题14分，共80分．)15. 设()4sin sin cos 63f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； (Ⅱ)若锐角ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且()f A =，2a =，b =C 及边c .16. 在上海世博会期间，小红计划对事先选定的10个场馆进行参观.在她选定的10个场馆中，有4个场馆分布在A 区，3个场馆分布在B 区，3个场馆分布在C 区．已知A 区的每个场馆的排队时间为2小时，B 区和C 区的每个场馆的排队时间为1小时. 参观前小红因事只能从这10个场馆中随机选定3个场馆进行参观.(Ⅰ)求小红每个区都参观1个场馆的概率；(Ⅱ) 设小红排队时间总和为X （小时），求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ．17. 如图:已知矩形11BB C C 所在平面与底面1ABB N 垂直,直角梯形1ABB N 中AN //1BB ,AB AN ⊥，2CB BA AN ===,14BB =.（Ⅰ）求证：BN11C B N ⊥平面；（Ⅱ）求二面角11C C N B --的正弦值；（Ⅲ）在BC 边上找一点P ，使1B P CN 与,并求线段1B P 的长.18. 已知正项数列{}n a ，{}n b 满足：对任意正整数n ，都有n a ，n b ，1n a +成等差数列，n b ，1n a +，1n b +成等比数列，且110a =，215a =． (Ⅰ)求证：数列是等差数列；(Ⅱ)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (Ⅲ)设n S =11a +21a +…+na 1，如果对任意的正整数n ，不等式22n n nb aS a <-恒成立，求实数a 的取值范围．19.已知抛物线2y =的焦点为椭圆22221x y a b+=()0a b >>的右焦点,且椭圆的长轴长为4，左右顶点分别为A ，B . 经过椭圆左焦点的直线l 与椭圆交于C 、D 两点. （Ⅰ）求椭圆标准方程；（Ⅱ）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，且12||2SS -=，求直线l 的方程；（Ⅲ）若()()1122,,,M x y N x y 是椭圆上的两动点，且满足022121=+y y x x ，动点P 满足2OP OM ON =+（其中O 为坐标原点），求动点P 的轨迹方程.20. 设函数()1e x f x -=-．（Ⅰ）证明：当1x >-时，()1xf x x ≥+；（Ⅱ）设当0x ≥时，()1xf x ax ≤+，求实数a 的取值范围．天津南开中学2015届高三理科数学第四次月考试卷参考答案一、选择题：二、填空题：三、解答题：21. 15.设()4sinsin cos 63f x xx x ππ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； (Ⅱ)若锐角ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且()f A =，2a =，b =C 及边c .解：(Ⅰ)()4sin sin cos 6311sin sin cos cos sin 2222sin cos 4f x x x x x xx x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎛⎫=++--+- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ ∴()f x 的最小正周期2T π=. 由322242k x kπππππ+≤+≤+()k Z ∈解得52244k x k ππππ+≤≤+()k Z ∈，故()f x 的单调递减区间是52,244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈.(Ⅱ) ∵在锐角ABC ∆中，()f A =，∴4A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即sin 14A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.由02A π≤≤，得4A π=.∵2a =，b =sin sin a bA B =，得sin sin b A B a ==.由02B π≤≤，得3B π=.故54312C A B πππππ=--=--=.由余弦定理，22252cos 4622cos104124c a b ab C π=+-=+-⋅=-=+ 故1c =.22. 16. 在上海世博会期间，小红计划对事先选定的10个场馆进行参观.在她选定的10个场馆中，有4个场馆分布在A 区，3个场馆分布在B 区，3个场馆分布在C 区．已知A 区的每个场馆的排队时间为2小时，B 区和C 区的每个场馆的排队时间为1小时. 参观前小红因事只能从这10个场馆中随机选定3个场馆进行参观.(Ⅰ)求小红每个区都参观1个场馆的概率；(Ⅱ) 设小红排队时间总和为X （小时），求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ．解：(Ⅰ)从10个场馆中选三个，基本事件的总数为310120C =个，小红每个区都参观一个场馆的事件包含的基本事件数为11143336C C C =，故小红每个区都参观1个场馆的概率为36312010=.（Ⅱ）X 的取值可能是3,4,5,6，分别对应没有事件参观A 区场馆，参观一个A 区场馆，参观两个A 区场馆，参观三个A 区场馆，3123333102C 21(3)C 6C C P X +===， 1246310C C 1(4)C 2P X ===， 2146310C C 3(5)C 10P X ===， 34310C 1(6)C 30P X ===．所以X 的分布列为：()34566210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 23. 17. 如图:已知矩形11BB C C 所在平面与底面1ABB N垂直,直角梯形1ABB N 中 24. AN //1BB ,AB AN ⊥， 25.2CB BA AN ===,14BB =.（Ⅰ）求证：BN11C B N ⊥平面；26. （Ⅱ）求二面角11C C N B --的正弦值；27. （Ⅲ）在BC 边上找一点P ，使1B P CN 与所成角的余弦值为51,并求线段1B P 的长. （Ⅰ）证明矩形11BBCC 所在平面与底面1ABB N垂直，则1CB ABB N ⊥底面AN //1BB ,AB AN ⊥，则1AB BB ⊥()()()()112,2,00,4,20,4,00,0,2N C B C ，，, 1440B N BN ⋅=-=,则11B N BN BN ⊥⊥，且1111B N B C B = ，则11BN C B N ⊥平面（Ⅱ）()11,,C B N m x y z =设平面法向量为，(2,2,0)BN = ∴设2BN m = ,则求得(1,1,0)m = .设二面角11C C N B --的平面角为θ，()1,,C CN n x y z =设平面法向量为，则1CC 0,C 0n n N ⋅=⋅= ，由00y x z =⎧⎨-=⎩.得(1,0,1)n =||1cos 2||||m n m n θ⋅==，sin θ∴=. （Ⅲ）设),0,0(a P 为BC 上一点，则1(0,4,)B P a =- ，(2,2,2)CN =-则有1151B P CN B P CN⋅=⋅ ，则217160a a -+=,解得1a =. ∴(0,0,1)P ，则线段1B P28. 18. 已知正项数列{}n a ，{}n b 满足：对任意正整数n ，都有n a ，n b ，1n a +成等差数列，n b ，1n a +，1n b +成等比数列，且110a =，215a =．(Ⅰ)求证：数列是等差数列；(Ⅱ)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (Ⅲ)设n S =11a +21a +…+na 1，如果对任意的正整数n ，不等式22n n nb aS a <-恒成立，求实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）由已知得11121122+-+++⋅+⋅=⇒⎩⎨⎧⋅=+=n n n n n n n n n n n b b b b b b b a a a b ，即112+-+=n n n b b b ，由2b 1=a 1+a 2=25，得b 1=252，由a 22=b 1b 2，得b 2=18，∴{nb }是以225为首项，22为公差的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()422+=n b n ， ∴()242n n b +=，()()243++=n n a n ．（Ⅲ）由（Ⅱ）知()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++=413124321n n n n a n ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=41412n S n 原式化为34241414++-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n a ，即f (n )=()()086312<--+-n a n a 恒成立，当a –1＞0即a ＞1时，不合题意；当a –1=0即a=1时，满足题意；当a –1＜0即a ＜1时，f (n )的对称轴为()()01223<---=a a x ，f (n )单调递减，∴只需f (1)=4a –15＜0Þ a ＜415，∴a ＜1；综上，a ≤1． 29.19. 已知抛物线2y =的焦点为椭圆22221x y a b+=()0a b >>的右焦点,且椭圆的长轴长为4，左右顶点分别为A ，B . 经过椭圆左焦点的直线l 与椭圆交于C 、D 两点. （Ⅰ）求椭圆标准方程；（Ⅱ）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，且12||2SS -=，求直线l 的方程；（Ⅲ）若()()1122,,,M x y N x y 是椭圆上的两动点，且满足022121=+y y x x ，动点P 满足2OP OM ON =+（其中O 为坐标原点），求动点P 的轨迹方程.解：（Ⅰ）由题设可知：因为抛物线2y =的焦点为，所以椭圆中的c =又由椭圆的长轴为4得2,a = 故2222b a c =-=故椭圆的标准方程为：22142x y +=（Ⅱ）方法一：设直线:l 2-=my x ，代入椭圆方程得()0222222=--+my y m，设()()2211,,y x D y x C ，()()0,20,2B A -222221+=+m my y 于是2121212421y y y y S S +⨯=-⨯⨯=-=222222=+⨯m m所以2±=m故直线l 的方程为022=+±y x方法二：当直线l 斜率不存在时,直线方程为2-=x ，此时,ABD ABC ∆∆面积相等，12||0S S -=当直线l 斜率存在（显然0k ≠）时,设直线方程为)0)(2(≠+=k x k y设1122(,),(,)C x y D x y和椭圆方程联立得到⎪⎩⎪⎨⎧+==+)2(12422x k y y x ,消掉y 得 04424)21(2222=-+++k x k x k显然0∆>，方程有根，且22212124k k x x +-=+此时122121|||2||||||2||S S y y y y -=-=+=|)2()2(|221+++x k x k=22121||22|22)(|2kk k x x k +=++ 因为0k ≠,上式221||222=+kk ，解得22±=k ，所以直线方程为022=+±y x .（Ⅲ）设1122(,),(,),(,)p P P x y M x y N x y ，由2OP OM ON =+可得： 12122.............2P P x x x y y y =+⎧⎨=+⎩① 022121=+y y x x ②,M N 是椭圆上的点，故2222112224,24x y x y +=+=由①②可得：222212122(2)2((2)p p x y x x y y +=+++22221122(2)4(2)x y x y =+++故22220P Px y +=，即点P 的轨迹方程是2212010P Px y +=.30. 20. 设函数()1e x f x -=-． 31. （Ⅰ）证明：当1x >-时，()1xf x x ≥+；（Ⅱ）设当0x ≥时，()1xf x ax ≤+，求实数a 的取值范围．（Ⅰ）证明：注意到1x >-时，10x +>，于是有()1x f x x ≥+，即11e 1e e e 1111x x x x x x x x x x ----≥⇔-≥⇔≥⇔≥++++. 令()()e 1x g x x =-+，()1 x ∈-+∞，．()e 1x g x '=-，令()0g x '=，得0x =．当x 变化时，()()g x g x '，的变化情况如下表：可见()g x 在(]1 0-，上单调递减，在[)0 +∞，上单调递增，所以当1x >-时，()()0min 0e 100g g ==-+=，故当1x >-时，()()00g x g ≥=，即e 1x x ≥+，从而()1xf x x ≥+，且当且仅当0x =时等号成立． 32. （Ⅱ）解：由0x ≥时，011x xe ax -≥-≤+恒成立，故0a ≥. 设()+e 11x xh x ax -=-+，[)0 x ∈+∞，，则()()()2211ee 11xxax axh x ax ax --+-'=-=-++()()22e e 11xx ax ax -⎡⎤=-+⎣⎦+．设()()2e 1x k x ax =-+，[)0 x ∈+∞，，则()()2e 21e 22x x k x a ax a x a '=-+=--.()012k a '=- 当120a -≥，即102a ≤≤时，()22x k x e a ''=-，0x ≥时，1xe≥，2122a ≤，故()0k x ''≥.所以()k x '单调递增，()()00k x k ''≥=，故()k x 单调递增，()()00k x k ≥=恒成立，符合题意.当120a -<，即12a >时，存在0δ>，()0,x δ∈时，()0k x '<，()k x 单调递减， ()()00k x k <=，与()0k x ≥恒成立矛盾.综合上述得实数a 的取值范围是10 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．。

天津市南开中学2015年高考数学模拟试卷(文科) 含解析

2015年天津市南开中学高考数学模拟试卷（文科)一、选择题:（本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．请将答案填涂在答题卡上！)1．复数（其中i为虚数单位）的虚部等于（）A．﹣i B．﹣1 C．1 D．02．设集合A={x｜x＞2｝,若m=lne e(e为自然对数底)，则（）A．∅∈A B．m∉A C．m∈A D．A⊆{x|x＞m｝3．某程序框图如图所示,该程序运行后输出的结果为(）A．7 B．6 C．5 D．44．在等差数列{a n｝中，若a2+a3=4，a4+a5=6，则a9+a10=（）A．9 B．10 C．11 D．125．“a＞3”是“函数f（x）=ax+3在（﹣1，2）上存在零点"的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知向量=（3，﹣2)，=（x，y﹣1）且∥，若x，y均为正数，则+的最小值是（）A．B．C．8 D．247．在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0)，(1，2,1）,（2，2，2），给出的编号为①，②，③,④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为(）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②8．已知F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0)的左右焦点，如果双曲线上存在一点P，使得F2关于直线PF1的对称点恰在y轴上,则该双曲线的离心率e的取值范围为（）A．e＞B．1＜e＜C．e＞D．1＜e＜二．填空题:（本大题共6小题，每小题5分,共30分．请将答案填在答题纸上！）9．公共汽车在8:00到8：20内随机地到达某站，某人8：15到达该站，则他能等到公共汽车的概率为．10．已知变量x,y满足约束条件，则z=2x•4y的最大值为．11．如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于m．12．如图,P为圆O外一点，由P引圆O的切线PA与圆O切于A点，引圆O的割线PB与圆O交于C点．已知AB⊥AC，PA=2,PC=1，则圆O的面积为．13．已知，，点C在∠AOB内，∠AOC=45°，设,则=．14．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a 的取值范围为．三、解答题：(本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分,共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学,测量出他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．其中甲班有一个数据被污损．（Ⅰ）若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；（Ⅱ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率．16．已知函数（其中ω＞0）的周期为π．(Ⅰ）求ω的值;（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）得到函数y=g（x）的图象．求函数g（x）在上的单调区间．17．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=,E,F分别是棱AD,PC的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面PAB;(Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣B为60°，（i）证明平面PBC⊥平面ABCD;(ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．18．已知各项均为正数的数列｛a n｝满足a n+2+2=4a n+1﹣a n（n∈N＊）,且a1=1，a2=4．（Ⅰ)证明：数列{}是等差数列；(Ⅱ）设b n=的前项n和为S n,求证：S n＜1．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，｜AB｜+｜CD|=3．(Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ)求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围．20．已知函数f（x）=lnx+，g（x)=x﹣2m,其中m∈R,e=2。

中学2015届高三第四次月考数学(文)试题 Word版含答案

2015届山东省济宁市微山县第二中学高三第四次月考数学（文）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}220M x x x =+-<，12,2x N x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭则=N MA ．(1,1)-B ．(2,1)-C ．(2,1)--D ．(1,2)2．已知i 是虚数单位，设复数113i z =-，232i z =-，则21z z 在复平面内对应的点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量b a ,的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝（）A ．2B ．22 C ．32D ．424．已知sin θ＋cos θ＝43，⎪⎭⎫⎝⎛∈40πθ，，则sin θ－cos θ的值为（）．A ．32B ．－23C ．13D ．－135．已知等差数列｛a n ｝的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于A ．－10B ．－8C ．－6D ．－46．下列命题错误的是 A ．命题“21,11x x <<<若则-”的逆否命题是若1x ≥或1x ≤-，则12≥xB ．“22am bm <”是”a b <”的充分不必要条件C ．命题p ：存在R x ∈0,使得01020<++x x ，则p ⌝：任意R x ∈,都有012≥++x xD ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题7．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为A ．64B ．62C ．22D ．28．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩,A B （如图），要测算,A B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得50BC m =，105,45ABC BCA ∠=∠=，就可以计算出,A B 两点的距离为A ．502mB ．503mC ．252mD ．2522m 9．已知函数()y xf x '=-的图象如图（其中()f x '是函数()f x 的导函数）,下面四个图象中,()y f x =的图象可能是10．已知直线,l m ，平面,αβ，且,l m αβ⊥⊂，给出四个命题： ①若α∥β，则l m ⊥； ②若l m ⊥，则α∥β；③若αβ⊥，则l ∥m ；④若l ∥m ，则αβ⊥．其中真命题的个数是A ．4B ．3C ．2D ．111．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=2,1)21(2,)2()(x x x a x f x 满足对任意的实数21x x ≠都有0)()(2121<--x x x f x f 成立,则实数a 的取值范围为A ．)2,(-∞B ． ]813,(-∞ C ．]2,(-∞ D ．)2,813[12．已知[1,1]x ∈-，则方程2cos 2πxx -=所有实数根的个数为A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设变量,x y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩,则目标函数1y z x +=的最小值为．14．已知0,0x y >>，若2282y x m m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是． 15．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直底面,所有顶点都在球面上,21==AA AB AC=1,o BAC 60=∠,则球的表面积为_________．16．下面四个命题：①已知函数(),0,,0,x x f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩≥ 且()()44f a f +=，那么4a =-；②要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只要将sin 2y x =的图象向左平移3π单位； ③若定义在()∞+∞，- 上的函数)(-1()(x f x f x f =+）满足，则)(x f 是周期函数；④已知奇函数()f x 在(0,)+∞为增函数，且(1)0f -=，则不等式()0f x <的解集{}1x x <-．其中正确的是__________________．三、解答题:本大题共5小题，共计70分。

2015-2016学年天津市南开中学高三(下)第五次月考数学试卷(理科)

2015-2016学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（理科）一、选择题：1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i2．（5分）设变量x，y满足，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．（5分）设p：x2﹣3x+2＞0，q：＞0，则p是q（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）函数f（x）=log0.5（x2﹣4）的单调减区间为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（2，+∞）5．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（）A．2 B．4 C．8 D．166．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S k﹣1=﹣3，S k=0，S k+1=4，则k=（）A．5 B．6 C．7 D．87．（5分）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，点P为△ABC内一点，若∠BPC=90°，PB=1，则PA=（）A．4﹣B．C．D．18．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC 上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．（5分）如图，向边长为1的正方形内随机的投点，所投的点落在由y=x2和y=x围成的封闭图形的概率为．10．（5分）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，且双曲线的一个焦点在抛物线y2=20x的准线上，则双曲线的方程为．12．（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为．13．（5分）（几何证明选做题）如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知PD=2DA=2，则PE=．14．（5分）已知函数f（x）=，，＞，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）设函数f（x）=cos2x+sin2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[﹣，）时，求f（x）的取值范围．16．（13分）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．17．（13分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，H为BC中点，且FH⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BFC=90°，AB=2，EF=1．（Ⅰ）求证：FH∥平面EDB；（Ⅱ）求二面角B﹣DE﹣C的大小；（Ⅲ）求四面体B﹣DEF的体积．18．（13分）如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求△APB面积取最大值时直线l的方程．19．（14分）设数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a2S n+a1，其中a2≠0．（Ⅰ）求证：{a n}是首项为1的等比数列；（Ⅱ）若数列{b n}的前n项和为T n=n2+2n，求数列{a n•b n}的前n项和；（Ⅲ）若a2＞﹣1，求证：S n≤（a1+a n），并给出等号成立的条件．20．（14分）已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f′（x）和g′（x）是f（x），g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致．（Ⅰ）讨论f（x）的极值；（Ⅱ）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣2，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；（Ⅲ）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a﹣b|的最大值．2015-2016学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i【解答】解：复数==，故选：A．2．（5分）设变量x，y满足，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：变量x，y满足约束条件，画出图形：目标函数z=x+3y经过点A（1，1），z在点A处有最小值：z=1+3×1=4，故选：C．3．（5分）设p：x2﹣3x+2＞0，q：＞0，则p是q（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：关于p：x2﹣3x+2＞0，解得：x＞2或x＜1，关于q：＞0，解得：x＞2或x＜﹣2或﹣1＜x＜1，则p是q的必要不充分条件，故选：B．4．（5分）函数f（x）=log0.5（x2﹣4）的单调减区间为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（2，+∞）【解答】解：令t=x2﹣4＞0，求得x＞2或x＜﹣2，故函数的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），且y=log0.5t，故本题即求函数t在定义域内的单调增区间．由于函数t在定义域内的单调增区间为（2，+∞），故函数f（x）的减区间为（2，+∞），故选：D．5．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：模拟执行程序，可得k=0，S=1满足条件k＜3，S=1，k=1满足条件k＜3，S=2，k=2满足条件k＜3，S=8，k=3不满足条件k＜3，退出循环，输出S的值为8．故选：C．6．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S k﹣1=﹣3，S k=0，S k+1=4，则k=（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：∵S k=﹣3，S k=0，S k+1=4，﹣1∴a k=S k﹣S k﹣1=3，a k+1=S k+1﹣S k=4，﹣a k=4﹣3=1．∴公差d=a k+1∴a k=a1+（k﹣1）=3，∴a1=4﹣k，S k=ka1+=0，化为k（4﹣k）+=0，解得k=7．故选：C．7．（5分）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，点P为△ABC内一点，若∠BPC=90°，PB=1，则PA=（）A．4﹣B．C．D．1【解答】解：在△ABC中，由已知得∠PBC=60°，∴∠PBA=30°，在△PBA中，由余弦定理得PA2=3+1﹣2×=1，∴PA=1．故选：D．8．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC 上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得若•=（+）•（+）=++ +=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．•=﹣•（﹣）==（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．由①②求得λ+μ=，故选：C．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．（5分）如图，向边长为1的正方形内随机的投点，所投的点落在由y=x2和y=x围成的封闭图形的概率为．【解答】解：由定积分可求得阴影部分的面积为S==（）=，边长为1的正方形的面积为1，所以所求概率P=．故答案为：．10．（5分）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是10．【解答】解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8，6，10显然面积的最大值为10故答案为：1011．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，且双曲线的一个焦点在抛物线y2=20x的准线上，则双曲线的方程为．【解答】解：因为抛物线y2=20x的准线方程为x=﹣5，所以由题意知，点F（﹣5，0）是双曲线的左焦点，所以a2+b2=c2=25，①又双曲线的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，所以=2，②由①②解得a2=5，b2=20，所以双曲线的方程为．故答案为：．12．（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为3．【解答】解：直线ρsinθ=a即y=a，（a＞0），曲线ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，即x2+（y﹣2）2=4，表示以C（0，2）为圆心，以2为半径的圆，∵△AOB是等边三角形，∴B（a，a），代入x2+（y﹣2）2=4，可得（a）2+（a﹣2）2=4，∵a＞0，∴a=3．故答案为：3．13．（5分）（几何证明选做题）如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知PD=2DA=2，则PE=．【解答】解：因为BC∥PE，∴∠BCD=∠PED，且在圆中∠BCD=∠BAD⇒∠PED=∠BAD，⇒△EPD∽△APE，∵PD=2DA=2⇒⇒PE2=PA•PD=3×2=6，∴PE=．故答案为：．14．（5分）已知函数f（x）=，，＞，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为（1，2）．【解答】解：由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，作出函数y=f（x），y=a|x|的图象，当a≤0，不满足条件，∴a＞0，当a≥2时，此时y=a|x|与f（x）有三个交点，当a=1时，当x＜0时，f（x）=﹣x2﹣5x﹣4，由f（x）=﹣x2﹣5x﹣4=﹣x得x2+4x+4=0，则判别式△=16﹣4×4=0，即此时直线y=﹣x与f（x）相切，此时y=a|x|与f（x）有五个交点，∴要使函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则1＜a＜2，故答案为：（1，2）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）设函数f（x）=cos2x+sin2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[﹣，）时，求f（x）的取值范围．【解答】解：f（x）=cos2x+sin2（x+）．⇔f（x）=cos2x+⇔f（x）=cos2x+sin2x+⇔f（x）=sin（2x+）+，（1）最小正周期，∵sinx单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，（k∈Z）∴2x∈[2kπ﹣，2kπ+]，（k∈Z）解得：x∈[，]，（k∈Z）∴f（x）的最小正周期为π；单调递增区间为[，]，（k∈Z）（2）由（1）得：f（x）=sin（2x+）+∵x∈[﹣，），∴2x∈[，]，由三角函数的图象和性质：可知：当2x=时，f（x）取得最小值，即=0．当2x=时，f（x）取得最大值，即．∴x∈[﹣，）时，f（x）的取值范围在，．16．（13分）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．【解答】解：（I）记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D由题意知P（B）=，P（C）=P（D）=由于A=B++根据事件的独立性和互斥性得P（A）=P（B）+P（）+P（）=P（B）P（）P（）+P（）P（C）P （）+P（）P（）P（D）=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=（II）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5根据事件的对立性和互斥性得P（X=0）=P（）=（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）=P（X=1）=P（B）=×（1﹣）×（1﹣）=P（X=2）=P（+）=P（）+P（）=（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=P（X=3）=P（BC）+P（B）=××（1﹣）+×（1﹣）×=P（X=4）=P（）=（1﹣）××=P（X=5）=P（BCD）=××=故X的分布列为所以E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+5×=17．（13分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，H为BC中点，且FH⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BFC=90°，AB=2，EF=1．（Ⅰ）求证：FH∥平面EDB；（Ⅱ）求二面角B﹣DE﹣C的大小；（Ⅲ）求四面体B﹣DEF的体积．【解答】（Ⅰ）证明：设AC与BD交于G，则G为AC的中点．连接EG，GH，由于H为BC的中点，故GH∥AB，GH=，又EF AB，EF=，∴四边形EFGH为平行四边形，∴FH∥平面EDB；（Ⅱ）解：∵FH⊥平面ABCD，∴平面BFC⊥平面ABCD，又AB⊥BC，∴AB⊥平面BFC，则AB⊥BF，则EF⊥FB，又∠BFC=90°，∴BF⊥平面CDEF，在平面CDEF内过点F作FK⊥DE交DE的延长线与k，则∠FKB为二面角B﹣DE﹣C的一个平面角，∵EF=1，AB=2，∴FC=，DE=，又EF∥DC，∴∠KEF=∠EDC，∴sin∠EDC=sin∠KEF=，∴FK=EFsin∠KEF=，tan∠FKB==，∴∠FKB=60°，∴二面角B﹣DE﹣C为60°；（Ⅲ）解：∵EF⊥FB，∠BFC=90°，∴BF⊥平面CDEF，∴BF为四面体B﹣DEF的高，又BC=AB=2，∴BF=FC=，S=EF•FC=×1×，四面体B ﹣DEF 的体积．V B ﹣DEF = =．18．（13分）如图，椭圆C ： =1（a ＞b ＞0）的离心率为，其左焦点到点P （2，1）的距离为，不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求△APB 面积取最大值时直线l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意，解得：． ∴所求椭圆C 的方程为：．（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 的中点为M 当AB ⊥x 轴时，直线AB 的方程为x=0，与不过原点的条件不符，故设AB 的方程为y=kx +m （m ≠0）由，消元可得（3+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣12=0① ∴ ，∴线段AB的中点M，∵M在直线OP上，∴∴k=﹣故①变为3x2﹣3mx+m2﹣3=0，又直线与椭圆相交，∴△＞0，x1+x2=m，∴|AB|=P到直线AB的距离d=∴△APB面积S=（m∈（﹣2，0），令u（m）=（12﹣m2）（m﹣4）2，则∴m=1﹣，u（m）取到最大值∴m=1﹣时，S取到最大值综上，所求直线的方程为：19．（14分）设数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a2S n+a1，其中a2≠0．（Ⅰ）求证：{a n}是首项为1的等比数列；（Ⅱ）若数列{b n}的前n项和为T n=n2+2n，求数列{a n•b n}的前n项和；（Ⅲ）若a2＞﹣1，求证：S n≤（a1+a n），并给出等号成立的条件．【解答】解：（I）当n=1时，a1+a2=a2a1+a1，∴a1=1．=S n+1﹣S n=a2S n+a1﹣（a2S n﹣1+a1）=a2（S n﹣S n﹣1）=a2a n，∵a n+1∴=a2≠0．∴{a n}是以1为首项，以a2为共比的等比数列．（II）当n=1时，b1=3，当n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1=n2+2n﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+1，当n=1时，上式仍成立，∴b n=2n+1．又a n=a2n﹣1，∴a n b n=a2n﹣1（2n+1）．设数列{a n•b n}的前n项和为R n，若a2=1，则a n=a1=1，∴R n=T n=n2+2n．若a2≠1，则R n=3a20+5a2+7a22+…+（2n+1）a2n﹣1，∴a2R n=3a2+5a22+7a23+…（2n+1）a2n，∴（1﹣a2）R n=3+2a2+2a22+2a23+…+2a2n﹣1﹣（2n+1）a2n，=1+﹣（2n+1）a2n∴R n=+﹣．（III）当a=1时，a n=1，∴S n=n，=n，故S n=．当a2≠1时，当n=1或n=2时，显然S n=成立，当n≥3时，若﹣1＜a2＜0或0＜a2＜1，则a n=a2n﹣1＜1，若a2＞1，则a n=a2n﹣1＞1．∴（a r+1﹣1）（a n﹣r+1﹣1）＞0，即a r+1+a n﹣r+1＜1+a r+1a n﹣r+1，（r=1，2，3…n﹣1）∴a2r+a2n﹣r＜1+a2n．上面不等式对r从1到n﹣1累加求和得：∴2a2+2a22+2a23+…+2a2n﹣1＜（n﹣1）（1+a2n），∴a2+a3+a+…+a n＜（1+a2n）∴1+a2+a3+a+…+a n+a n+1＜（1+a2n），∴1+a2+a3+a+…+a n＜（1+a2n﹣1），即S n＜（a1+a n）．综上，S n≤（a1+a n），当且仅当a2=1或n=1或n=2时取等号．20．（14分）已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f′（x）和g′（x）是f（x），g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致．（Ⅰ）讨论f（x）的极值；（Ⅱ）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣2，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；（Ⅲ）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a﹣b|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2+a，a≥0时，f′（x）≥0，f（x）在R递增，无极值，a＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣，令f′（x）＜0，解得：﹣＜x＜，∴f（x）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣，）递减，在（，+∞）递增，∴f（x）的极大值是f（﹣）=﹣，f（x）的极小值是f（）=．（Ⅱ）f′（x）=3x2+a，g′（x）=2x+b，由题得f′（x）g′（x）≥0在[﹣2，+∞）上恒成立．因为a＞0，故3x2+a＞0，进而2x+b≥0，即b≥﹣2x在[﹣2，+∞）上恒成立，所以b≥4，故实数b的取值范围是[4，+∞）；（Ⅲ）令f′（x）=0，得x=±．若b＞0，由a＜0得0∈（a，b）．又因为f′（0）g′（0）=ab＜0，所以函数f（x）和g（x）在（a，b）上不是单调性一致的．因此b≤0．现设b≤0，当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＜0；当x∈（﹣∝，﹣）时，f′（x）＞0．因此，当x∈（﹣∝，﹣）时，f′（x）g′（x）＜0．故由题设得a≥﹣且b≥﹣，从而﹣≤a＜0，于是﹣＜b≤0，因此|a﹣b|≤，且当a=﹣，b=0时等号成立，又当a=﹣，b=0时，f′（x）g′（x）=6x（x2﹣），从而当x∈（﹣，0）时f′（x）g′（x）＞0．故函数f（x）和g（x）在（﹣，0）上单调性一致，因此|a﹣b|的最大值为．。

2015-2016学年天津市南开中学高三(下)第五次月考数学试卷(文科)(解析版)

2015-2016学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（文科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数等于（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣12．（5分）已知命题p：若a＞b，则a2＞b2；q：“x≤1”是“x2+2x﹣3≤0”的必要不充分条件．则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧￢q3．（5分）记集合A={（x，y）|x2+y2≤16}，集合B={（x，y）|x+y﹣4≤0，（x，y）∈A}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2．若在区域Ω1内任取一点P（x，y），则点P落在区域Ω2中的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．115．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）为（）A．π+B．2 C．2πD．6．（5分）已知函数y=sin2x﹣cos2x，下列结论正确的个数是（）①图象关于x=﹣对称；②函数在[0，]上的最大值为2③函数图象向左平移个单位后为奇函数．A．0 B．1 C．2 D．37．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=1﹣|1﹣（x﹣m）2|关于y轴对称，记a=f（m+2），b=f（log5），c=f（e），则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c8．（5分）已知函数f（x）=，如果关于x的方程f（x）=kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围是（）A．k＞1 B．k≥1 C．0＜k＜1 D．0＜k≤1二.填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9．（5分）已知集合A={﹣1，a}，B={2a，b}，若A∩B={1}，则A∪B=．10．（5分）为了抗震救灾，现要在学生人数比例为2：3：5的A、B、C三所高校中，用分层抽样方法抽取n名志愿者，若在A高校恰好抽出了6名志愿者，那么n=．11．（5分）如图，AB是⊙O的直径，且AB=3，CD⊥AB于D，E为AD的中点，连接CE并延长交⊙O 于F，若CD=，则EF=．12．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的方程为．13．（5分）已知四边形ABCD，AC是BD的垂直平分线，垂足为E，O为四边形ABCD外一点，设||=5，||=3，则（+）•（﹣）=．14．（5分）设a＞0，b＞0，且不等式++≥0恒成立，则实数k的最小值等于．三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3sinA，周长为4（+1），且sinB+sinC=sinA．（1）求a及cosA的值；（2）求cos（2A﹣）的值．16．（13分）某卖场同时销售变频冷暖空调机和智能洗衣机，这两种产品的市场需求量大，有多少卖多少．今年五一假期该卖场要根据实际情况确定产品的进货数量，以达到总利润最大．已知两种产品直接受资金和劳动力的限制．根据过去销售情况，得到两种产品的有关数据如表：（表中单位：百元）试问：怎样确定两17．（13分）己知三棱柱ABC﹣A1B1C1，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，∠BCA=90°，AC=BC=2，又知BA1⊥AC1（Ⅰ）求证：AC1⊥平面A1BC；（Ⅱ）求点C到平面A1AB的距离；（Ⅲ）求二面角A﹣A1B﹣C余弦值的大小．18．（13分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且S n、a n、成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，设，求数列{C n}的前项和T n．19．（14分）如图，设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足=，且•=0．（1）若过A、B、F2三点的圆恰好与直线l1：x﹣y﹣3=0相切，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．20．（14分）已知函数（a＞0）．（1）若函数f（x）有三个零点分别为x1，x2，x3，且x1+x2+x3=﹣3，x1x2=﹣9，求函数f（x）的单调区间；（2）若，3a＞2c＞2b，证明：函数f（x）在区间（0，2）内一定有极值点；（3）在（2）的条件下，若函数f（x）的两个极值点之间的距离不小于，求的取值范围．2015-2016学年天津市南开中学高三（下）第五次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016春•天津校级月考）复数等于（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：复数===i．故选：A．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．2．（5分）（2015•万州区校级二模）已知命题p：若a＞b，则a2＞b2；q：“x≤1”是“x2+2x﹣3≤0”的必要不充分条件．则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧￢q【分析】先判断命题p，q的真假，再利用复合真假的判定方法即可判断出正误．【解答】解：命题p：若a＞b，则a2＞b2，不正确，举反例：取a=1，b=﹣2，不成立；q：由x2+2x﹣3≤0，解得﹣3≤x≤1，因此“x≤1”是“x2+2x﹣3≤0”的必要不充分条件，是真命题．∴p∧q，￢p∧￢q，p∧￢q，是假命题，￢p∧q是真命题．故选：B．【点评】本题考查了复合真假的判定方法，属于基础题．3．（5分）（2016•烟台一模）记集合A={（x，y）|x2+y2≤16}，集合B={（x，y）|x+y﹣4≤0，（x，y）∈A}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2．若在区域Ω1内任取一点P（x，y），则点P落在区域Ω2中的概率为（）A．B．C．D．【分析】由题意，根据几何概型的公式，只要求出平面区域Ω1，Ω2的面积，利用面积比求值．【解答】解：由题意，两个区域对应的图形如图，其中，，由几何概型的公式可得点P落在区域Ω2中的概率为；故选B．【点评】本题考查了几何概型的概率求法，解答本题的关键是分别求出平面区域Ω1，Ω2的面积，利用几何概型公式求值．4．（5分）（2016•宜春校级模拟）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【分析】模拟程序框图的运行过程，该程序是累加求和的应用问题，当S≤﹣1时输出i的值即可．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；，否；，否；，否；，否；，是，输出i=9．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，是基础题目．5．（5分）（2014•太原二模）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）为（）A．π+B．2 C．2πD．【分析】由三视图可以看出，该几何体下部是一个圆柱，上部是一三棱锥，圆柱半径为1高也是1，三棱锥底面是一等腰直角三角形，过斜边的侧面与多方面垂直且该侧面是一等边三角形，边长是2，由于该几何体是一组合体故其体积为圆柱的体积与棱锥体积的和．【解答】解：由三视图，该组合体上部是一三棱锥，下部是一圆柱由图中数据知V圆柱=π×12×1=π三棱锥垂直于底面的侧面是边长为2的等边三角形，且边长是2，故其高即为三棱锥的高，高为故棱锥高为由于棱锥底面为一等腰直角三角形，且斜边长为2，故两直角边长度都是底面三角形的面积是=1故=故该几何体的体积是π+故选A．【点评】本题考点是由三视图还原实物图，考查由在视图给出几何体的度量，由公式求体积，本题是三视图考查中常出现的题型，关键是正确地还原出几何体的特征．6．（5分）（2016春•天津校级月考）已知函数y=sin2x﹣cos2x，下列结论正确的个数是（）①图象关于x=﹣对称；②函数在[0，]上的最大值为2③函数图象向左平移个单位后为奇函数．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】利用两角和的正弦函数化简函数的解析式，①利用正弦函数的对称性，判断图象关于x=﹣对称是否正确；②求出函数在[0，]上的最大值是否为2，判断正误即可．③利用函数图象向左平移个单位后，求出函数的解析式，判断是否为奇函数．【解答】解：函数y=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），①因为2x﹣=k，k∈Z，当k=﹣1时，x=是函数的一条对称轴，所以图象关于x=﹣对称正确；②x∈[0，]，则2x﹣∈[，]，所以函数y=2sin（2x﹣）的最大值为2，正确；③函数图象向左平移个单位后可得：函数y=2sin（2x+﹣）=sin2x，函数为奇函数．正确；故选：D．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的对称性，函数的最值以及函数的图形的平移，考查计算能力．7．（5分）（2016春•天津校级月考）已知定义在R上的函数f（x）=1﹣|1﹣（x﹣m）2|关于y轴对称，记a=f（m+2），b=f（log5），c=f（e），则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c【分析】先由偶函数的性质求出f（x）=1﹣|1﹣x2|，由此利用对数函数和指数函数的性质能求出a，b，c 的大小关系．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）=1﹣|1﹣（x﹣m）2|关于y轴对称，∴m=0，∴f（x）=1﹣|1﹣x2|，∵a=f（m+2）=f（2）=1﹣|1﹣22|=﹣2，b=f（log5）=1﹣|1﹣（）2|=（log5）2∈（0，1），c=f（e）=1﹣|1﹣（）2|=1﹣|1﹣e|=2﹣e≈﹣0.71828，∴a＜c＜b．【点评】本题考查三个数的大小关系的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．8．（5分）（2015秋•赤峰校级期末）已知函数f（x）=，如果关于x的方程f（x）=kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围是（）A．k＞1 B．k≥1 C．0＜k＜1 D．0＜k≤1【分析】根据方程的特点，相当于只需有三个不等于零的不同实数根，把方程解的问题转化为两函数的交点问题，通过数形结合得出k的范围．【解答】解：f（x）=kx2有四个不同的实数解，∴显然当x=0时，无论k为何值，都成立，当只需有三个不等于零的不同实数根，∴方程可化=|x|（x+2），只需y=和y=|x|（x+2）有三个不等于零的交点即可，画出函数y=|x|（x+2）的图象如图：有图象可知只需0＜＜1，∴k＞1，故选A．【点评】本题考查了方程的解和函数的交点问题的转换，难点是利用数形结合的思想解决问题．二.填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9．（5分）（2012•张家港市校级一模）已知集合A={﹣1，a}，B={2a，b}，若A∩B={1}，则A∪B={﹣1，1，2} ．【分析】由A∩B={1}，可得1∈A且1∈B，进而可得a=1，b=1，求出集合A，B后，根据集合并集运算规则可得答案．【解答】解：集合A={﹣1，a}，B={2a，b}，又∵A∩B={1}，∴a=1，2a=2，则b=1故A={﹣1，1}，B={1，2}∴A∪B=故答案为{﹣1，1，2}【点评】本题以集合交集及并集运算为载体考查了集合关系中的参数取值问题，解答是要注意集合元素的互异性．10．（5分）（2011•江苏模拟）为了抗震救灾，现要在学生人数比例为2：3：5的A、B、C三所高校中，用分层抽样方法抽取n名志愿者，若在A高校恰好抽出了6名志愿者，那么n=30．【分析】学生人数比例为2：3：5，用分层抽样方法抽取n名志愿者，每个个体被抽到的概率相等，A高校恰好抽出了6名志愿者，则每份有3人，10份共有30人【解答】解：∵学生人数比例为2：3：5，A高校恰好抽出了6名志愿者，∴n==30，故答案为：30．【点评】一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本．这样使得样本更具有代表性．11．（5分）（2016春•天津校级月考）如图，AB是⊙O的直径，且AB=3，CD⊥AB于D，E为AD的中点，连接CE并延长交⊙O于F，若CD=，则EF=．【分析】AB是圆O的直径，可得∠ACB=90°．利用射影定理可得CD2=AD•DB．已知AD=2DB，得DB=1，已知E为AD的中点，可得ED=1．在Rt△CDE中，利用勾股定理可得CE．利用△ACE∽△FBE可得：EA•EB=EC•EF，即可求得EF．【解答】解：在Rt△ABC中，CD⊥AB于D，∴CD2=AD•BD=2BD2=2，∴DB=1，∵E为AD的中点，∴AE=ED=1，∴CE=BC=，又△ACE∽△FBE，∴，∴EF==．故答案为：．【点评】熟练掌握圆的性质、射影定理、勾股定理、相交弦定理是解题的关键．12．（5分）（2016春•天津校级月考）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的方程为．【分析】根据题意，点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=4，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，即可求出双曲线的方程．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a=2；点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±x，由双曲线的性质，可得b=1；则双曲线的方程为．故答案为．【点评】本题考查双曲线与抛物线的性质，注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1）”这一条件的运用，属于中档题．13．（5分）（2016春•天津校级月考）已知四边形ABCD，AC是BD的垂直平分线，垂足为E，O为四边形ABCD外一点，设||=5，||=3，则（+）•（﹣）=16．【分析】根据条件，AC垂直平分线段BD，从而得出，，而，，且，代入进行向量加法和数量积的运算便可求出答案．【解答】解：∵AC是BD的垂直平分线；∴，；∴====25﹣9=16．故答案为：16．【点评】考查垂直平分线的概念，向量垂直的充要条件，向量加法的几何意义，相反向量的概念，以及向量减法的几何意义，向量数量积的运算．14．（5分）（2016•浙江模拟）设a＞0，b＞0，且不等式++≥0恒成立，则实数k的最小值等于﹣4．【分析】把k看作参数，将参数分离成k≥，再利用基本不等式求的最大值．【解答】解：∵a＞0，b＞0，由++≥0，得k≥，只需k≥[]max即可．∵a+b≥，∴．∴k≥﹣4，从而实数k的最小值等于﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题属于不等式恒成立问题，是高考常考题型之一．常规思路是先分离参数，再转化为函数最值问题求解．三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.15．（13分）（2016春•天津校级月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3sinA，周长为4（+1），且sinB+sinC=sinA．（1）求a及cosA的值；（2）求cos（2A﹣）的值．【分析】（1）由已知及三角形面积公式可求bc=6，进而可求a，利用余弦定理即可得解cosA的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用二倍角公式可求sin2A，cos2A的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵△ABC的面积为3sinA=bcsinA，∴可得：bc=6，∵sinB+sinC=sinA，可得：b+c=，∴由周长为4（+1）=+a，解得：a=4，∴cosA====，（2）∵cosA=，∴sinA==，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=﹣，∴cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16．（13分）（2016春•天津校级月考）某卖场同时销售变频冷暖空调机和智能洗衣机，这两种产品的市场需求量大，有多少卖多少．今年五一假期该卖场要根据实际情况确定产品的进货数量，以达到总利润最大．已知两种产品直接受资金和劳动力的限制．根据过去销售情况，得到两种产品的有关数据如表：（表中单位：件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．【解答】解：设进货量分别为空调机x台，洗衣机y台，利润z百元，则，化简为目标函数z=10x+8y即，做出可行域如图所示：由可得A（8，10），平移经过A（8，10）点时截距最大，即目标函数z最大，此时z=10×8+8×10=160百元．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．17．（13分）（2011•东湖区校级三模）己知三棱柱ABC﹣A1B1C1，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，∠BCA=90°，AC=BC=2，又知BA1⊥AC1（Ⅰ）求证：AC1⊥平面A1BC；（Ⅱ）求点C到平面A1AB的距离；（Ⅲ）求二面角A﹣A1B﹣C余弦值的大小．【分析】解法一﹣﹣几何法：（I）根据已知中∠BCA=90°得BC⊥AC，由A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，可得A1D⊥BC，结合线面垂直判定定理得BC⊥面A1AC，所以BC⊥AC1，又由BA1⊥AC1，再由线面垂直的判定定理，可得AC1⊥平面A1BC；（Ⅱ）根据（I）的结论可得A 1ACC1是菱形，进而根据AC=BC=2，我们可以根据，得到点C到平面A1AB的距离；（Ⅲ）令AC1∩A1C=O，作OE⊥A1B于E，连AE，由（I）中结论可得A1B⊥AE，故∠AEO为二面角平面角，解三角形AEO即可得到答案．解法二﹣﹣向量法：（I）取AB的中点E，则DE∥BC，因为BC⊥AC，所以DE⊥AC，又A1D⊥平面ABC，以DE，DC，DA1为x，y，z轴建立空间坐标系，求出各点坐标，进而得到相应向量的坐标，利用向量垂直数量积为0，可以判断出AC1与平面A1BC内两条件相交直线都垂直，进而得AC1⊥平面A1BC；（II）C到平面A1AB的距离，其中平面A1AB的法向量，求出法向量的坐标，代入即可求出答案．（III）分别求出平面AA1B与平面A1BC的法向量，代入向量夹角公式，即可求出答案．【解答】解法一﹣﹣几何法：（I）∠BCA=90°得BC⊥AC，因为A1D⊥底ABC，所以A1D⊥BC，A1D∩AC=D，所以BC⊥面A1AC，所以BC⊥AC1因为BA1⊥AC1，BA1∩BC=B，所以AC1⊥底A1BC（II）由（I）得AC1⊥A1C，所以A1ACC1是菱形，所以AC=AA 1=A1C=2，，由，得（III）设AC1∩A1C=O，作OE⊥A1B于E，连AE，由（1）所以A1B⊥AE，所以∠AEO为二面角平面角，在Rt△A1BC中，所以，所以二面角余弦解法二﹣﹣向量法：（I）如图，取AB的中点E，则DE∥BC，因为BC⊥AC，所以DE⊥AC，又A1D⊥平面ABC，以DE，DC，DA1为x，y，z轴建立空间坐标系，则A（0，﹣1，0），C（0，1，0），B（2，1，0），A1（0，0，t），C1（0，2，t），，，，由，知A1C⊥CB，又BA1⊥AC1，从而AC1⊥平面A1BC；（II）由，得设平面A1AB的法向量为，，，所以，设z=1，则所以点C到平面A1AB的距离=（III）再设平面A1BC的法向量为，，，所以，设z=1，则，故=，根据法向量的方向可知二面角A﹣A1B﹣C的余弦值大小为【点评】本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，点面之间距离的计算，二面角的平面角，解答立体几何有几何法和向量法两种方法，前者要求熟练掌握相应的判定定理、性质定理，要求有较强的逻辑性，后者可将空间问题转化为向量问题，需要记忆大量公式和较强的计算能力．18．（13分）（2008•湖北校级模拟）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且S n、a n、成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，设，求数列{C n}的前项和T n．【分析】（Ⅰ）S n、a n、成等差数列．即，再利用1）根据Sn与an的固有关系an=去解（Ⅱ）（Ⅱ），∴b n=4﹣2n，==，可用错位相消法求和．【解答】解：（Ⅰ）由题意知当n=1时，；当两式相减得a n=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），整理得：（n≥2）∴数列{a n}是为首项，2为公比的等比数列.（Ⅱ），∴b n=4﹣2n==，①②①﹣②得∴【点评】本题考查Sn与an关系的具体应用，指数的运算，数列错位相消法求和知识和方法．要注意对n 的值进行讨论19．（14分）（2014•蒙山县模拟）如图，设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足=，且•=0．（1）若过A、B、F2三点的圆恰好与直线l1：x﹣y﹣3=0相切，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．【分析】（1）设B（x0，0），由已知条件推导出，b2=3c2，从而得到a=2c，再由，能求出椭圆C的方程．（2）由（1）知F2（1，0），l：y=k（x﹣1），联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出存在满足题意的点P，且m的取值范围是（0，）．【解答】解：（1）设B（x0，0），∵F2（c，0），A（0，b），∴，，∵•=0，∴，∴，∵=，∴F1为BF2中点，∴，b2=3c2，从而a2=4c2，∴a=2c，∵•=0，∴⊥，∴△ABF2的外接圆的圆心为F1（﹣c，0），半径r=|F2B|=2c，又直线：x﹣﹣3=0与△ABF 2的外接圆相切，∴，解得c=1，∴a=2，b=，∴椭圆C的方程为．（2）由（1）知F2（1，0），l：y=k（x﹣1），联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，y1+y2=k（x1+x2﹣2），=（x1﹣m，y1）+（x2﹣m，y2）=（x1+x2﹣2m，y1+y2），∵菱形的对角线互相垂直，∴（）•=0，∴（x1+x2﹣2m，y1+y2）•（x2﹣x1，y2﹣y1）=0，∴（x1+x2﹣2m）（x2﹣x1）+（y1+y2）（y2﹣y1）=0，∵，∴（x1+x2﹣2m）+k（y1+y2）=0，∴，由题意知k∈R且k≠0，∴m=，∴0＜m＜，∴存在满足题意的点P，且m的取值范围是（0，）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点的坐标是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和函数与方程思想的合理运用．20．（14分）（2011•蓝山县校级模拟）已知函数（a＞0）．（1）若函数f（x）有三个零点分别为x1，x2，x3，且x1+x2+x3=﹣3，x1x2=﹣9，求函数f（x）的单调区间；（2）若，3a＞2c＞2b，证明：函数f（x）在区间（0，2）内一定有极值点；（3）在（2）的条件下，若函数f（x）的两个极值点之间的距离不小于，求的取值范围．【分析】（1）根据函数零点的概念，x1，x2，x3，即为=0的三个实数根，则x3=0，结合韦达定理得出，，由此f′（x）=a（x﹣1）（x+3），单调区间可求．（2）由条件得出f′（1）=a+b+c=＜0，整理3a+2b+2c=0，又f′（2）=4a+2b+c=4a﹣（3a+2c）+c=a﹣c．考察f′（0），f′（1），f′（2）的符号，利用f′（x）在（0，2）内由零点（需对c的取值进行讨论）进行证明．（3）设m，n是函数的两个极值点，则m，n也是导函数f′（x）=ax2+bx+c=0的两个零点．可得出|m﹣n|，关于的不等式，并结合约束条件2c=﹣3a﹣2b，3a＞2c＞2b得出取值范围．【解答】（1）因为函数=x（）（a＞0），又x1+x2+x3=﹣3，x1x2=﹣9，则x3=0，x1+x2=﹣3，x1x2=﹣9（1分）因为x1，x2是方程=0的两根，则，，得，，（3分）所以=a（x2+2x﹣3）=a（x﹣1）（x+3）．令f′（x）=0 解得：x=1，x=﹣3故f（x）的单调递减区间是（﹣3，1），单调递增区间是（﹣∞，﹣3），（1，+∞）．（5分）（2）因为f′（x）=ax2+bx+c，，，所以a+b+c=，即3a+2b+2c=0．又a＞0，3a＞2c＞2b，，所以3a＞0，2b＜0，即a＞0．b＜0．（7分）于是＜0，f′（0）=c，f′（2）=4a+2b+c=4a﹣（3a+2c）+c=a﹣c．（8分）①当c＞0时，因为f′（0）=c＞0，＜0，而f′（x）在区间（0，1）内连续，则f′（x）在区间（0，1）内至少有一个零点，设为x=m，则在x∈（0，m），f′（x）＞0，f（x）单调递增，在x∈（m，1），f′（x）＜0，f（x）单调递减，故函数f（x）在区间（0，1）内有极大值点x=m；（9分）②当c≤0时，因为＜0，f′（2）=a﹣c＞0，则f′（x）在区间（1，2）内至少有一零点．同理，函数f（x）在区间（1，2）内有极小值点．综上得函数f（x）在区间（0，2）内一定有极值点．（10分）（3）设m，n是函数的两个极值点，则m，n也是导函数f′（x）=ax2+bx+c=0的两个零点，由（2）得3a+2b+2c=0，则m+n=﹣，mn==．所以|m﹣n|===由已知，，则两边平方≥3，得出≥1，或≤﹣1，即≥﹣1，或≤﹣3又2c=﹣3a﹣2b，3a＞2c＞2b，所以3a＞﹣3a﹣2b＞2b，即﹣3a＜b＜﹣a．因为a＞0，所以﹣3＜＜﹣．综上分析，的取值范围是[﹣1，﹣）．【点评】本题是函数与不等式的综合．考查函数零点的知识，导数在研究函数性质的应用，不等式的性质．需具有分析解决、代换转化，推理计算能力．。

天津市南开大学附属中学2015届高三第二次月考数学(理)试题 Word版无答案

南开大学附属中学2014-2015学年度高三第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（每题5 分，共40 分）1. 已知复数z 满足25)43(=+z i ，则=z （）A. i 43-B. i 43+C. i 43--D. i 43+- 2.“33a b >”是“33log log a b >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（）A.2B.3C.4D.54.若-9、a 、-l 成等差数列，-9、m 、b 、n 、-1成等比数列，则ab=( ) A 、15 B 、-l5 C 、±l5 D 、105.已知函数2sin y x =的定义域为[,]a b ,值域为[2,1]-，则b a -的值不可能是( )A. 2πB. 76πC. 56πD. π6. 已知m ，n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是 A 、若m ,n m,α⊥⊥则n //α B 、若,,αγβγ⊥⊥则//αβ C 、若m ,n ,αα⊥⊥则m //n D 、若m //,m //,αβ则//αβ7. 已知f(x)=bx+1为关于x 的一次函数，b 为不等于1的常数，且满足g(n)=⎩⎨⎧≥-=)1( )]1([)0( 1n n g f n 设a n =g(n)－g(n －1)(n ∈N ※),则数列{a n }为（）A ．等差数列B ．等比数列C ．递增数列D ．递减数列8. 在平面四边形ABCD 中,3,4AB BC ==，090ABC ∠=，ACD 是正三角形，则AC BD 的值为（）A. -2B. 2C.72 D. 72-二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 为了解某校高中学生的近视眼发病率，高二、高三分别有学生800名、．600名、500生共抽取__________名.10. 右图是一个空间几何体的三视图, 则该几何体的体积大小为_____________.11. 已知a =（-3，2），b =（-1，0），向量a λ+b 与a -2b 垂直，则实数λ的值为_____.12. 对于任意x R ∈，满足2(2)2(2)40a x a x -+--<恒成立的所有实数a 构成集合A, 使不等式43x x a -+-<是的解集为空集的所有实数a 构成集合B,则R A C B ⋂=____ 13. 如图，圆O 的直径8=AB ，C 为圆周上一点，4=BC ，过C 作圆的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，则线段AE 的长为 14. 若a 是1+2b 与1-2b 的等比中项，则22aba b+的最大值为__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数)4sin()4sin(2)32cos()(πππ+-+-=x x x x f （1）求函数)(x f 的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）求函数)(x f 在区间]212[ππ，-上的值域.16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17. 如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥CD ，PA = 1， PD ＝ 2 ，E 为PD 上一点，PE = 2ED ．（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角D －AC －E 的余弦值；（Ⅲ）在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得BF // 平面AEC ？若存在，指出F 点的位置，并证明；若不存在，说明理由．18. 已知单调递增的等比数列{}n a 满足：23428,a a a ++=且3242,a a +是a 的等差中项。

天津市南开中学2015届高三第五次月考数学(理)试题

1
侧视图
1
1
俯视图
10. 如图，设 D 是图中边长为 4 的正方形区域， E 是 D 内函数 y x2 图象下方的点（图中阴影部分）构成的区域 . 在 D 中随机取一点，则该点在 E 中的概率为 __________.
8
x1
11. 二项式
的展开式中的常数项是 __________. （用数字作答）
2
a f x bf x c 0 的实根个数为 ( ).
A. 0
B.
2
C.
3
D.
4
II 卷( 将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效． )
二、填空题： ( 每小题 5 分，共 30 分． )
12 22
9. 一个几何体的三视图如所示，
12
22
则这个几何体的表面积为 __________.
1
正视图
12 22 12 22
2. 函数 f ( x) = ( log 1 x2 - 4)的单调递增区间是 ( ).
2
A． (0,+ ￥ ) B ．(- ￥,0) C ． (2,+ ￥ ) D ． (- ? , 2)
3. 设、、为平面， m 、n 、l 为直线，则 m 的一个充分条件是 ( ).
A.
,
l,m l
B.
n ,n ,m
2

1 a 0, b 0 的右焦点，且它们的交点的连线过点F , 则双曲线
的离心率为( ).
A． 2 1
B． 5 2
C． 6 2
D．
2
6. 已知 x 0, y 0,lg 2x lg8 y lg 2, 则 1 1 的最小值是 ( ). x 3y
21 2

【数学】天津市南开中学2015届高三第三次月考试题(理)

天津市南开中学2015届高三第三次月考试题（理）、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上, 每小题5分，共40分•）某空间几何体的三视图如右图所示 A.180 B. 240 C. 276已知m, n 是两条不同直线是两个不同平面，给出四个命题：①若门：二 m,n 二：£, n _ m ,则： ②若，则〉// :③若 m 丨■■•、，n .l “,m _n,则-丨• ④若 m//「，n//： ,m//n ,贝// - 其中正确的命题是（）. A.②③B.①②C.②④D.①④3. 已知三棱柱ABC - AB 。

的侧棱与底面垂直，体积为9 ,底面是边长为,3的4 正三角形•若P 为底面A 1B 1C 1的中心，贝U PA 与平面ABC 所成角的大小为().‘2x -y-2 色0,4. 在平面直角坐标系xoy 中，M 为不等式组丿x+2y-1兰0,所表示的区域上3x y _8 乞0,动点，则直线OM 斜率的最小值为（）.A.2B.1C.2 25.已知F 1和F 2分别是双曲线仔-占=1（a 0, b 0）的两个焦点，A 和B 是以 a bO 为圆心，以|OF 1 |为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F 2AB 是等边1.2. A.| B. C. D.D.,则该几何体的表面积为D. 300三角形，则该双曲线的离心率为().2爲=1(a ■ 0,b 0)的离心率为2,若抛物线 a b的连线交C i 于第一象限的点M .若G 在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近2 2 B.£ —136 272 2 c.z —127182 2D. 1—11898. 线，则A.1!16(). B.已知椭圆、38 C.2、. 33 D.4、、332E:笃•爲=1(3 b 0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交椭圆 a b于A,B 两点。

若AB 的中点坐标为(1-1)，则E 的方程为().9. II 卷(将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效•)二、填空题：(每小题5分，共30分.)已知数列曲的前n 项和S n 满足S n=2a n ・1N *，且a^1，则通项公式 10. 圆心在直线x-2y ，7=0上的圆C 与x 轴交于两点A(-2,0)、B(-4,0),则圆C 11. 的方程为 __________ . 在边长为2的菱形ABCD 中，• BAD =60, E 为CD 的中点,则 AE BD -12. -q二已知 cos(x -…)二… ,贝U cosx ■ cos(x )=6 3 313. 已知函数y =x 3-3x * c 的图象与X 轴恰有三个公共点,则实数C 的取值范围B. 、、3一1C . 31D. 26. 2已知双曲线C 1:笃7. C 2：X 2=2py(p 0)的焦点到双曲线G 的渐近线的距离为 2,则抛物线的方程).A. x 23B. x 216 3y C.x 2=8y D.3已知抛物线G :x 2p 0的焦点与双曲线C 2 :2p2「宀1的右焦点是 __________ .2 2X y14•点F 是椭圆E :1的左焦点，过点F 且倾斜角是锐角的直线I 与椭25 9圆E 交于A 、B 两点，若H AOB 的面积为9，则直线I 的斜率是2三、解答题：(15 —18每小题13分，19— 20每小题14分，共80分.) 15. 一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为 1,2, 3, 4,5的5个红球与编号为1,2, 3,4的4个白球,从中任意取出3个球.(I )求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率； (n )记X 为取出的3个球中编号的最大值，求X 的分布列与数学期望.16. 在二ABC 中，A, B,C 的对边分别为a,b,c,且a cosC, b cos B, c cos A 成等差数列.(I )求B 的值;(n )求 2sin 2A cos(A-C)的范围.17. 如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD -底面 ABCD ,且 PA 二 PD 2 AD , E 、2(I )求证：EF //平面PAD ； (n )求证:平面PAB _平面PDC ; (川)在线段AB 上是否存在点G,使得 1面角C -PD -G 的余弦值为-？3若存在，求AG 的长度；若不存在，说明理由118. 已知函数 f (x) x 2_aln x (a 0).2(I )若a =2,求f(x)在(1,f(1))处的切线方程;F 分别为PC 、 BD 的中点.C(n )求f (x)在区间［1,e］上的最小值；(川)若f (x)在区间(1,e)上恰有两个零点，求a的取值范围.119. 已知数列〈和的前n项和S n»a n-(—)n「2 (n N ),数列2b ［满足 0 =2n a「(I) 求证：数列 g 是等差数列，并求数列a /的通项公式；(II) 设数列L」La n的前n项和为T n，证明：N ■■且n_3时，T n;I n J 2n+1 (川)设数列｛羅满足a n(C n-3n)=(-1)n% n ,(九为非零常数，n乏屮)，问是否存在整数■，使得对任意n N，都有G“ .G ?120. 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为-，它的一个顶点2恰好是抛物线x2尔3y的焦点.(I)求椭圆C的标准方程；(I)若A，B是椭圆C上关x轴对称的任意两点，设点P -4,0，连接PA交椭圆C于另一点E，求证：直线BE与x轴相交于定点M；(川)设O为坐标原点，在(I)的条件下，过点M的直线交椭圆C于S，T两点，求OS OT的取值范围.参考答案15. 一个袋子中装有大小形状完全相同的编号空别対1, 2亠4,5的5个红球与编号为1 2T3,4 的4介白球，从中任意职出3尘球，（I ）求取出的3介球颜色相同且编号是三个连续雾逊的概率；存E ）记X 为取出的？个球中踣号的最大倍L £的分布列肖数学期望"解：（I ）设"■取出的3个球颜色益同冃期号是三个苣期整数叩为事件扎则(n) X 的取值为2,3, 4,5.P(X=2) =曲+3血=1 '21，1 2 2 1 ,C 2C 4 C 2 C 4 4 P(X=3)=C ： =21P (X=4)=C；C "3C；C6=3 57P(X 丸)/1、.」.C ； 3所以X 1 85 X 的数学期望EX =2'3 4 4 3 5 ' •212173 2116.在ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosC,b cosB,ccos A成等差数列.(i)求B 的值；(n)求2sin2A • cos(A-C)的范围.解：(i),- a cos C, b cos B, c cos A 成等差数列，. acosC ccosA = 2bcosB .由正弦定理，得sin AcosC sin C cos A = 2sin B cos B ,即：sin (A C) =si n2B , . sin B =si n2B .又在AABC 中，B=2B或B+2B=JT, - B =—3 '(n) 丁B 二一，32 兀2 2 nA C . . 2sin A cos(A-C) = 1 -cos2A cos(2A )3 3=1-cos2A「lcos2A 一sin 2A=1 3 sin 2A「一cos2A = 1 亠、3sin(2 A )2 2 2 2 32兀兀兀J一n/ 0 ■ A , 2A sin(2 A ) _1 .3 3 3 2 3.2sin2A cos(A-C)的范围是(-扌,1 、3].1工如團，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD^边长为2的正方刑，侧面丄底面磁込半血&隔加P昭的中曲(I)求证；丽7/平面(II)求证:干面PAB L平面PW *(III)在线段肋上是否存在点G.伫得」二面角C-PD-G的余弦值为£ ?若存在.求的的长度；若不荐在*说明理由.(I)证明;连结占由已知"为血7中总亠第召页共2页护E 为PC 中点.•••在CPA 中，EF // PA且PA 平面PAD , EF 二平面PAD /. EF //平面PAD(n )证明：因为平面PAD _平面ABCD ,平面PAD | j 面ABCD 二ADABCD 为正方形，CD _ AD , CD 二平面ABCD 所以CD _平面PAD . ••• CD _ PA又PA 卫冷AD ,所以沖AD 是等腰直角三角形，且.APD ^，即PA 丄 PD .CD "PD =D ,且CD 、PD 面 PDCPA _ 面 PDC又 PA 二面 PAB ，•面 PAB _ 面 PDC(川)如图，取AD 的中点0 ,连结OP , OF •/ PA = PD , • P0 _ AD .•••侧面PAD _底面ABCD ,平面PAD -平面ABCD 二AD ,• P0 _ 平面 ABCD , 而0,F 分别为AD,BD 的中点，• OF //AB ,又 ABCD 是正方形，故 OF _ AD .以O 为原点，直线OA,OF ,OP 分别为x, y,z 轴建立空间直角坐标系则有 A(1,0,0), D(-1,0,0) , P(0,0,1).1若在AB 上存在点G,使得二面角C - PD -G 的余弦值为—，连结PG,DG.3设 G(1a,0)(0 "乞 2).T由(n )知平面PDC 的法向量为PA=(1,0,-1).PA —辽AD, PA_PD ,OP=OA22AB 上存在点G(lg,0),使得二面角C -PD -G 的余弦值为-，此时AG 二丄. 3 21 218.已知函数 f(x) = ^x -alnx(a 0).(I )若a =2,求f (x)在(1,f (1))处的切线方程； (n )求f(x)在区间［1,e ］上的最小值;(川)若f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点，求a 的取值范围.1 2 21 解:(I) a=2,f(x) x -2 In x, f'(x) = x , f'(1) =—1, f (1),2 x 21f (x)在(1, f ⑴)处的切线方程为y 〜2 = i x-1，即2x ，2y-3 = 0.设平面PGD 的法向量为n 二(x, y, z).•/ DP = (1,O,1),GD = (-2,—a,0)•••由 n DP = 0, n GD = 0 可得x 0 y z =02,令 x =1 ,则 y 二上，z =「1,-2 x - a y 0 z = 0a故 n =(1,一2,一1)a得，a =「所以在线段2cos ：： n,二=〕，解3③若、、a _e,即a_e 2,在(1,e)上, f '(x) ：：： 0, f(x)在［1,e ］上单调递减因此,在f x 区间［1,e ］上的最小值为j—,0 < a 兰1,21 21 2 2 e -a, a _ e . 22(川)由(n )可知当0：：：a 乞1或a_e 时，f(x)在(1,e)上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点.当1 ：：： a ::: e 2时,要使f (x)在区间(1,e)上恰有两个零点,则工a eI 1 2即 1 2 ,此时，e ：：： a e .所以，a 的取值范围为 a e 2221 2(e,^e ).19.已知数列GJ 的前n 项和S^ -a n -(-)nJ- 2( n • N ”)，数列 g 满足b = 2na ..2(I)求证澈列是等差数列，并求数列的通项公式；(n)设数列-_La n 的前n 项和为人，证明：n N "且 n_3时，T n5n; I n J2n+1(川)设数列｛Q J 满足a n G -3n ) =(-1)n r n ,(扎为非零常数，n 壬N ),问是否存在整数，，使得对任意 n• N "，都有c n d >c n .1 1解(I )在 S ^-a ^(-)n J - 2 中，令 n=1，可得 S 厂-a n -1 • 2 p ，即 a^ -11当 n _2 时，S nd= _and_ (广二 2,an= S n- S n 」二一a nan 」(严,22-2a n =a n 」 (1)nJL，即2na^2nJ a nj ' 1.2:b n=2na n ，・b n=b n 「1,即当 n - 2时，b n-b n 「1.又b^2a^1,-数列fb,是首项和公差均为1的等差数列. 于是 b n =1(n -1) 1 二 n =2n a n ,・ a .综上，f (x)min a 1 — I n a ,1 ：： a1-a(1 —1 n a) <0, 2«f(1)=： A0,2 1 2f (e) =— e -a >0,2(II)由(l )得51an 十%)n ，所以n11 1 1T n =2 — 3 (―)24 (—)3K (n 1)(—)n2 2 2 21111 1 Tn =2 (亍23 (；)34 (亍4K (n 1)( )n 12 2 2 2 21 11 1 1由①-②得一T n =1 • (-)2(-)3- K (—)n_(n 1)(-)n12 2 2 2 2十心严]1=1 4 2-(n 1)(')n11—122(n 3)(2n-2n-1)2n(2 n 1)证明如下：证法1: (1)当n=3时，由上验算显示成立。